GEOMETRIA - ESCOLA DE MATEMÁTICA · 2019. 5. 26. · COLEÇÃO ESCOLA DE GEOMETRIA GEOMETRIA TEORIA DAS CURVAS ORGANIZAÇÃO DA APRENDIZAGEM Sumário 1 Abordagem Histórica 00 2

COLEÇÃO ESCOLA DE GEOMETRIA

FUN

GEOMETRIA TEORIA DAS CURVAS

JOÃO CARLOS MOREIRA COLEÇÃO ESCOLA DE GEOMETRIA






JOÃO CARLOS MOREIRA Professor do Instituto de Ciências Exatas e Naturais - ICENP

Universidade Federal de Uberlândia

EDITORA LIVRARIA ESCOLA DE MATEMÁTICA


Copyright © 2019 by João Carlos Moreira CAPA: João Carlos Moreira EDITOR: João Carlos Moreira DIAGRAMAÇÃO: João Carlos Moreira DISTRIBUIÇÃO: Editora Livraria Escola de Matemática COLEÇÃO ESCOLA DE GEOMETRIA

Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra poderá ser reproduzida sejam quais forem os meios empregados sem a permissão expressa da Editora. Aos infratores aplicam-se as sanções previstas nos artigos 102, 104, 106 e 107 da Lei no 9.610, de 19 de fevereiro de 1988.

Impresso no Brasil / Printed in Brazil

https://www.escoladematematicapontal.com.br/livraria-online/

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Para todos os meus alunos, com carinho. João Carlos Moreira


Prefácio

Este livro é fruto de um projeto intitulado Escola de Geometria, criado em 2017, com o intuito de colaborar na melhoria do ensino e do aprendizado da Geometria e suas aplicações. A metodologia de ensino é baseada na teoria de sistemas matemáticos e no desenvolvimento de algoritmos. Esse material é inédito e propõe uma nova abordagem no ensino de matemática no Brasil. Agradeço a Deus pela missão educacional confiada a mim.

Ituiutaba, março de 2019.

João Carlos Moreira


Símbolos lógicos

Símbolo Lê-se Exemplo Lê-se

∈ pertence 2 ∈ A O número dois pertence ao conjunto A.

∀ para todo (∀ a)(a ∈ ℕ) Para todo a, a pertencente a ℕ.

∃ existe (∃ x)(x ∈ A) Existe x, x pertencente ao conjunto A.

∃! existe um único (∃! x∗)(x∗ ∈ ℕ) Existe um único sucessor de x pertencente ao conjunto dos números naturais.

∧ e x ∧ y x e y ∨ ou (inclusivo) x ∨ y x ou y ∨ ou (exclusivo) x ∨ y x ou y ¬ não ¬(2 ∈ A) 2 não pertence ao

conjunto A → implica 𝑃 → 𝑄 P implica Q ↔ se, e somente se 𝑃 ↔ 𝑄 P se, e somente se, Q



ORGANIZAÇÃO DA APRENDIZAGEM

Sumário

1 Abordagem Histórica 00

2 Abordagem Algébrica 00

2.1 Sistema matemático das curvas no ℝ𝑛 00

2.1.1 Representação das curvas 00

2.1.2 As operações 00

2.1.3 As relações 00

2.1.4 Os axiomas 00

2.2 Teoria do cálculo infinitesimal 00

2.3 Teoria do cálculo diferencial 00

2.4 Teoria do Cálculo integral 00

3 Abordagem Geométrica 00

3.1 Representação das curvas no ℝ2 e ℝ3 00

3.2 Cálculo de perímetro 00

3.3 Cálculo de área 00

4 Abordagem Computacional 00

4.1 Representação das curvas 00

4.2 Algoritmos 00


5 Abordagem Avançada 00

5.1 Teoremas 00

5.2 Conjecturas 00

5.3 Paradoxos 00

6 Resolução de Problemas 00

6.1 Abordagem histórica 00

6.2 Abordagem algébrica 00

6.2.1 Conceitos primitivos e derivados 00

6.2.2 Prática intuitiva 00

6.2.3 Prática formal 00

6.3 Abordagem geométrica 00




6.4 Abordagem Computacional 00




7 Referências Bibliográficas 00

COLEÇÃO ESCOLA DE CÁLCULO

1 UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA

2.1 Sistema matemático das curvas

Apresentamos nas próximas seções, os elementos que constituem

um sistema matemático (modelo) para o desenvolvimento da teoria das curvas.

2.1.1 Representação algébrica das curvas

CAPÍTULO 2 ABORDAGEM ALGÉBRICA

C. Jordan (1838-1922) foi um matemático francês. Dentre suas principais contribuições, destacamos o tratado Traité des substituencies et des équations algebraique, publicado em 1870 e considerado o primeiro livro sobre a teoria de grupos. O teorema da curva de Jordan o tornou muito conhecido entre os matemáticos.

Definição 1. Uma curva no espaço euclidiano ℝn é uma função contínua φ ⊆ ℝ × ℝn. Uma curva é dita parametrizada, se existir um parâmetro t e funções contínuas (∀i)( i ∈ {1, … , n})(xi ⊆ ℝ× ℝ), tais que

(∀t)(t ∈ D(φ))(φ(t) = (x1(t), x2(t), … , xn(t))).

Neste caso, (∀i)(i ∈ {1,… , n})(xi = xi(t)), são chamadas de equações paramétricas da curva.



Escólio. A linha reta foi uma das primeiras curvas estudadas, no entanto Euclides, em “Os Elementos”, embora dedique muito estudo à linha reta, não a considera uma curva. Na verdade, a primeira definição geral de curva aparece com Jordan em seu Cours d'Analysein de 1893.

Exemplo 1. Um segmento de linha reta 𝐱𝒚 no ℝn, também chamado de reta limitada, pode ser visto como uma curva parametrizada por

(∀𝑡)(𝑡 ∈ [0,1])(φ(t) = (1 − t) ∙ 𝐱 + t ∙ 𝒚).

Exemplo 2. Uma linha reta no ℝn, ou simplesmente reta, também pode ser obtida através do prolongamento de um segmento de linha reta 𝐱𝒚 no ℝn e pode ser vista como uma curva parametrizada por

(∀𝑡)(𝑡 ∈ ℝ)(φ(t) = (1 − t) ∙ 𝐱 + t ∙ 𝒚). Por outro lado, as retas que passam por 𝐱 =(x1, x2, … , xn) ∈ ℝ

n e tem direção do vetor 𝒗 =(v1, v2, … , vn) ∈ ℝ

n, v ≠ 𝟎, são curvas que podem ser parametrizadas por:

(∀𝑡)(𝑡 ∈ ℝ)(φ(t) = 𝐱 + t ∙ 𝒗).

Exemplo 3. Uma curva poligonal no ℝn é uma cadeia de segmentos de linhas retas adjacentes e não colineares 𝐱1𝐱2, 𝐱2𝐱3, … , 𝐱m−1𝐱m no ℝn, denotada por 𝐱1𝐱2𝐱3…𝐱m−1𝐱m. Tal curva pode ser parametrizada por:



Exemplo 4. (Cônicas) Uma cônica é definida como o conjunto dos pontos cujas distâncias a um ponto fixo, chamado de foco, é proporcional a sua distância à uma reta fixa, chamada de diretriz. Tais curvas são parábolas, elipses ou hipérboles, se a constante de proporcionalidade 𝑒, chamada de excentricidade, for igual a 1, menor que um ou maior que um, respectivamente.

Considerando um ponto arbitrário (𝑥, 𝑦) da curva no sistema ortogonal cartesiano, a diretriz como sendo o eixo da abscissa e o foco 𝐹(0, 𝑦0) no eixo da ordenada, teremos que:

φ(t) =

{

(1 − t) ∙ 𝐱1 + t ∙ 𝐱2, t ∈ [0,1) (2 − t) ∙ 𝐱2 + (t − 1) ∙ 𝐱3, t ∈ [1,2)

⋮ (m − 1 − t) ∙ 𝐱m−2 + (t − (m − 2)) ∙ 𝐱m−1, t ∈ [m − 2,m − 1)

(m − t) ∙ 𝐱m−1 + (t − (m − 1)) ∙ 𝐱m, t ∈ [m − 1,m]

.

Uma curva poligonal é também chamada de

caminho poligonal, polilinha, figura retilínea, curva linear por partes ou linha quebrada.

Quando suas extremidades coincidem; isto é,

𝐱m = 𝐱1, a curva poligonal é dita fechada, caso contrário será dita aberta.

Os pontos 𝐱1, 𝐱2, 𝐱3, … , 𝐱m−1 e 𝐱m e os

segmentos 𝐱1𝐱2, 𝐱2𝐱3, … , 𝐱m−1𝐱m são os vértices e

lados adjacentes da curva poligonal, respectivamente. Uma curva poligonal é dita simples, quando

dois lados quaisquer do polígono 𝐱i𝐱i+1 𝐱j𝐱j+1 se

interceptam somente quando são adjacentes ou quando a curva é fechada; caso contrário, é dita curva poligonal entrelaçada ou com auto intersecção.



1 J. Kepler (1571-1630), em 1602, disse acreditar que a órbita de Marte era oval, depois descobriu que era uma elipse com o sol no foco. De fato, ele introduziu a palavra "foco" e publicou sua descoberta em 1609. A excentricidade das órbitas planetárias é pequena (isto é, elas estão próximas dos círculos). A excentricidade de Marte é 1/11 e da Terra é 1/60.

2 G. Galileu (1564-1642) mostrou que os projéteis seguem caminhos parabólicos e B. Pascal (1623-1662) considerou a parábola como uma projeção central do círculo.

3 Em 1705, E. Halley (1656-1742) mostrou que o cometa, que

agora recebe o seu nome, tinha sua órbita elíptica em torno do sol. A excentricidade do cometa de Halley é de 0,9675, portanto está próxima de uma parábola (excentricidade 1).

4 A área da elipse é 𝜋𝑎𝑏. Não existe uma fórmula exata para o comprimento de uma elipse em funções elementares e isso levou ao estudo de funções elípticas. C. P. Ramanujan (1938-1974), em 1914, deu fórmula aproximada 𝜋 (3 (a + b) -

√(a + 3b) ∙ (3a + b)]) para o seu comprimento.

5 D. Gregory (1659-1708) e I. Newton (1643-1727) consideraram

as propriedades de uma parábola que trazem raios paralelos de luz a um foco.

6 Curvas também podem ser representadas algebricamente em

coordenadas retangulares ou polares.

7 A quadratriz foi descoberta por Hippias de Elis (c. 460 a.C. – 400 a.C.) em 430 a.C. Pode ter sido usado por ele para trisecionar um ângulo e emparelhar o círculo. A curva pode

𝑒 =√𝑥2 + (𝑦 − 𝑦0)

2

|𝑦|↔ 𝑒2𝑦2 = 𝑥2 + (𝑦 − 𝑦0)

2

ou (𝑦0)

2 − 2𝑦0𝑦 + (1 − 𝑒2)𝑦2 + 𝑥2 = 0



ser usada para dividir um ângulo em qualquer número de partes iguais. Mais tarde, foi estudado por Dinostratus em 350 a.C., que usou a curva para quadrar o círculo.

𝑦 = 𝑥𝑐𝑜𝑡𝑔 (𝜋𝑥

2𝑎)

ou

𝑟 =2𝑎𝜃

𝜋𝑠𝑒𝑛(𝜃).

8 Uma subclasse importante das curvas algébricas são as obtidas

por:

∑∑𝑎𝑖𝑗

𝑚2

𝑗=0

∙ 𝑥𝑖

𝑚1

𝑖=0

∙ 𝑦𝑗 = 0.

9 (Kampyle de Eudoxus) Curva estudada por Eudoxus (c. 408

a.C. – 355 a.C.) relacionada ao problema clássico de duplicação do cubo.

𝑎2𝑥4 = 𝑏4(𝑥2 + 𝑦2) ou

𝑟 =𝑏2

𝑎𝑐𝑜𝑠2(𝜃).

10 (Espiral de Arquimedes) Essa espiral foi estudada por

Arquimedes (c. 287 a.C. – 212 a.C.) em cerca de 225 a.C. na obra “On Spirals”. Ela já havia sido considerada pelo seu amigo Conon.

𝑟 = 𝑎𝜃.

11 (Conchoid) O Concóide, foi estudado pelo matemático grego Nicomedes (c. 280 a.C. – 210 a.C.) em cerca de 200 a.C. e está relacionado ao problema da duplicação do cubo.

(𝑥 − 𝑏)2(𝑥2 + 𝑦2) − 𝑎2𝑥2 = 0

ou 𝑟 = 𝑎 + 𝑏𝑠𝑒𝑐(𝜃)



12 (Cissoide de Diocles) Esta curva, que significa "em forma de

hera", foi inventada por Diocles (c. 240 a.C. – 180 a.C.) em cerca de 180 a.C., em conexão com sua tentativa de duplicar o cubo por métodos geométricos.

𝑦2 =𝑥3

(2𝑎 − 𝑥)

ou 𝑟 = 2𝑎𝑡𝑔(𝜃)𝑠𝑒𝑛(𝜃).

13 (Spiric Sections) Depois que Menaechmus construiu seções

cônicas cortando um cone por um plano, por volta de 150 a.C., que foi 200 anos depois, o matemático grego Perseus investigou as curvas obtidas cortando um toro por um plano que é paralelo à linha através do centro do buraco de o toro.

(𝑟2 − 𝑎2+𝑐2 + 𝑥2+𝑦2)2 = 4𝑟2(𝑥2+𝑐2).

Definição 2. Uma curva parametrizada é dita diferenciável no ponto t0 ∈ D(φ) se existir o limite

limℎ→0

φ(t0 + h) − φ(t0)

ℎ.

Neste caso, denotamos por φ´(t0) = limℎ→0

φ(t0+h)−φ(t0)

ℎ a

derivada de φ no ponto t0. Quando φ for diferenciável em todos os pontos de 𝐼 ⊆ D(φ), φ é dita diferenciável em 𝐼 e

(∀𝑡)(𝑡 ∈ 𝐼)(∃φ´(t)) ∧ (φ´(𝑡) = limℎ→0

φ(t + h) − φ(t)

ℎ).

Neste caso, φ´ é a função derivada de primeira ordem de φ. Se além disso, φ´ for uma função contínua φ será de classe 𝐶1e denotamos, φ ∈ 𝐶1(𝐼).



Definição 3. Se uma curva φ ⊆ ℝ ×ℝn parametrizada por t, tem derivada não nula no ponto t0, isto é φ´(t0) ≠ 𝟎, então existirá a reta que passa por φ(t0) e têm direção do vetor φ´(t0), chamada de reta tangente a curva φ no ponto φ(t0) que pode ser parametrizada por

(∀𝑡)(𝑡 ∈ ℝ)(r(t) = φ(t0) + t ∙ φ´(t0)).

Caso (∄φ´(t0)) ∨ (φ´(t0) = 𝟎), tal reta não existirá. As curvas que admitem as retas tangentes em todos os pontos de seu domínio; isto é:

(∀𝑡)(𝑡 ∈ 𝐷(φ))(∃φ´(t)) ∧ (φ´(t) ≠ 𝟎)

são chamadas de curvas regulares.

Recursivamente, φ será de classe 𝐶𝑛, 𝑛 > 1, se φ´ for de classe 𝐶𝑛−1 e denotamos φ ∈ 𝐶𝑛(𝐼).

UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA

COLEÇÃO ESCOLA DE ÁLGEBRA

5

FUN


Natural de Garça, estado de São Paulo, bacharel em matemática pela Unesp - SP, especialista em matemática pelo IMPA-RJ, mestre em matemática aplicada pela UFRJ-RJ e doutor em matemática pela UFSCar-SP. Atualmente é professor associado na UFU-MG, campus de Ituiutaba. Sua área de pesquisa é Análise Aplicada. Fundou em 2013 a primeira Escola de Cálculo do país com sede na Universidade Federal de Uberlândia.

JOÃO CARLOS MOREIRA COLEÇÃO ESCOLA DE GEOMETRIA

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