GEOMETRIA - escoladematematicapontal.com.br · COLEÇÃO ESCOLA DE GEOMETRIA Prefácio Este livro é fruto de um projeto intitulado Escola de Geometria, criado em 2017, com o intuito

COLEÇÃO ESCOLA DE GEOMETRIA

FUN

GEOMETRIA TEORIA DAS SUPERFÍCIES

JOÃO CARLOS MOREIRA COLEÇÃO ESCOLA DE GEOMETRIA






JOÃO CARLOS MOREIRA Professor do Instituto de Ciências Exatas e Naturais - ICENP

Universidade Federal de Uberlândia

EDITORA LIVRARIA ESCOLA DE MATEMÁTICA


Copyright © 2019 by João Carlos Moreira CAPA: João Carlos Moreira EDITOR: João Carlos Moreira DIAGRAMAÇÃO: João Carlos Moreira DISTRIBUIÇÃO: Editora Livraria Escola de Matemática COLEÇÃO ESCOLA DE GEOMETRIA

Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra poderá ser reproduzida sejam quais forem os meios empregados sem a permissão expressa da Editora. Aos infratores aplicam-se as sanções previstas nos artigos 102, 104, 106 e 107 da Lei no 9.610, de 19 de fevereiro de 1988.

Impresso no Brasil / Printed in Brazil

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Para todos os meus alunos, com carinho. João Carlos Moreira


Prefácio Este livro é fruto de um projeto intitulado Escola de Geometria, criado em 2017, com o intuito de colaborar na melhoria do ensino e do aprendizado da Geometria e suas aplicações. A metodologia de ensino é baseada na teoria de sistemas matemáticos e no desenvolvimento de algoritmos. Esse material é inédito e propõe uma nova abordagem no ensino de matemática no Brasil. Agradeço a Deus pela missão educacional confiada a mim.

Ituiutaba, março de 2019.

João Carlos Moreira


Símbolos lógicos

Símbolo Lê-se Exemplo Lê-se

∈ pertence 2 ∈ A O número dois pertence ao conjunto A.

∀ para todo (∀ a)(a ∈ ℕ) Para todo a, a pertencente a ℕ.

∃ existe (∃ x)(x ∈ A) Existe x, x pertencente ao conjunto A.

∃! existe um único (∃! x∗)(x∗ ∈ ℕ) Existe um único sucessor de x pertencente ao conjunto dos números naturais.

∧ e x ∧ y x e y ∨ ou (inclusivo) x ∨ y x ou y ∨ ou (exclusivo) x ∨ y x ou y ¬ não ¬(2 ∈ A) 2 não pertence ao

conjunto A → implica 𝑃 → 𝑄 P implica Q ↔ se, e somente se 𝑃 ↔ 𝑄 P se, e somente se, Q



ORGANIZAÇÃO DA APRENDIZAGEM

Sumário

1 Abordagem Histórica 00

2 Abordagem Algébrica 00

2.1 Sistema matemático das superfícies no ℝ𝑛 00

2.1.1 Representação das superfícies 00

2.1.2 As operações 00

2.1.3 As relações 00

2.1.4 Os axiomas 00

2.2 Teoria do cálculo infinitesimal 00

2.3 Teoria do cálculo diferencial 00

2.4 Teoria do Cálculo integral 00

3 Abordagem Geométrica 00

3.1 Representação das superfícies no ℝ3 00

3.2 Cálculo de área 00


3.3 Cálculo de volume 00

4 Abordagem Computacional 00

4.1 Representação das superfícies 00

4.2 Algoritmos 00

5 Abordagem Avançada 00

5.1 Teoremas 00

5.2 Conjecturas 00

5.3 Paradoxos 00

6 Resolução de Problemas 00

6.1 Abordagem histórica 00

6.2 Abordagem algébrica 00

6.2.1 Conceitos primitivos e derivados 00

6.2.2 Prática intuitiva 00

6.2.3 Prática formal 00

6.3 Abordagem geométrica 00




6.4 Abordagem Computacional 00




7 Referências Bibliográficas 00


1 UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA

1 A origem primitiva da matemática está muito ligada ao

desejo humano de observar as formas que compõem o universo e compreender as relações existentes entre as mesmas.

2 Matéria é tudo aquilo que tem massa e ocupa lugar no espaço tridimensional. Uma porção limitada de matéria recebe o nome de corpo.

3 Uma superfície pode ser definida como o limite, a face ou a fronteira de um corpo, a sua parte visível.

4 O estado de um corpo é determinado de acordo com a sua capacidade de resistir as forças que possam mudar a sua forma e volume. Um sólido é um corpo cuja forma e volume permanece praticamente inalterados na natureza.

5 O estudo de sólidos e das superfícies que modelam a sua forma e volume, remonta as origens do homem.

CAPÍTULO 1 ABORDAGEM HISTÓRICA

René Descartes (1596-1650), foi um matemático francês. Dentre suas contribuições, destacamos o tratado Le Monde, publicado em 1637 e que tinha como apêndice a obra La Géométrie que deu origem ao que conhecemos hoje como a geometria cartesiana.



6 A Arte rupestre foi uma das primeiras manifestações

intelectuais do homem nesse sentido, as mais conhecidas são datadas do período Paleolítico Superior (40.000 a.C.) e se tornaram em uma ferramenta muito eficiente para registrar as formas de animais que se relacionavam com o homem primitivo.

Fig.1. Gruta de Lascaux Fig.2. Bisão na Caverna de Altamira

Fig. 3 Caverna de Chauvet Fig. 4 Parque Nacional da Serra da Capivara

7 Em geral, as pinturas rupestres são marcadas pela

presença de grandes animais selvagens como bisões, cavalos, entre outros e mais raramente o humano. Acredita-se que essas pinturas estejam ligadas a atividades humanas como dança, luta, ritos religiosos, relações sexuais e caça.

8 Podemos observar que os desenhos destacam as superfícies dos corpos dos animais.

9 Com o desenvolvimento das civilizações, surgiram

métodos muito eficientes para se construir modelos de



sólidos geométricos, calcular o seu volume e medir a área de sua superfície.

10 A Pitágoras de Samos (c. a.C. 569-475 a.C.) e aos

pitagóricos se deve a construção dos poliedros regulares, bem como a seção áurea. Platão deu uma visão mística aos poliedros regulares, também chamados de sólidos de Platão.

11 Euclides de Alexandria (c. 325 a.C – 265 a.C) criou a teoria

da geometria euclidiana, encontrada no tratado "Os Elementos". Nesse tratado, temos alguns livros que se dedicam ao estudo dos sólidos.

12 Destacamos as seguintes definições:

13 Sólido é o que tem comprimento e largura e profundidade.

14 A extremidade de um sólido é uma superfície.

15 A geometria diferencial se dedica ao estudo das formas geométricas, destacando-se o estudo das curvas e superfícies e teve como base de seu desenvolvimento a análise matemática. Aparece pela primeira vez, no século XVIII, nos estudos de L. Euler (1707-1783) e G. Monge (1746-1818) (Une application d'Aanalyse à la géométrie, 1795).

16 N. Lobachevskii (1792-1856), descobre em 1826 que existem espaços diferentes do espaço euclidiano, fato muito importante para o desenvolvimento de outras geometrias.

17 Em 1827, J. Gauss (1777- 1855) apresenta uma teoria geral para as superfícies, deixando de ser uma mera aplicação



da análise e ganhando o status de uma área independente da matemática.

18 E. Galois (1811-1832) foi o primeiro a introduzir o conceito de grupo. Em 1854, A. Cayley (1821-1895) escreveu dois artigos que são notáveis pela percepção que têm de grupos abstratos. Mais tarde, a teoria de grupo impulsiona o desenvolvimento da geometria algébrica.

19 Na geometria algébrica uma superfície é um conjunto de pontos que satisfaz uma determinada equação.

20 Em 1854, G. Riemann (1826-1866) estabelece as bases da geometria que recebe o seu nome.

21 F. Minding (1806-1855) e K.M. Peterson (1828-1881) criam

na Rússia uma Escola de Geometria Diferencial e dedicaram a maior parte de seus estudos a deformações isométricas de superfícies; isto é, deformações contínuas que preservam a geometria interior das mesmas.

22 Os trabalhos de M. Lie (1842-1899) sobre equações diferenciais levou ao estudo de grupos topológicos e a topologia diferencial.

23 A visão de F. Klein (1849-1925) de que a geometria é o estudo de invariantes sob grupos de transformações fez com que E. Cartan (1869-1951) estabelecesse a teoria dos espaços com conexões projetivas e afins (estruturas geométricas-diferenciáveis em variedades).

24 Com esse desenvolvimento o conceito de superfície é visto como uma variedade de dimensão 2.

25 Atualmente o termo geometria diferencial tem sido substituído por variedades diferenciáveis.



26 A teoria das superfícies, na forma abordada no final do

século XIX, tratava apenas de superfícies ou parte dela razoavelmente regulares, devido ao uso da análise matemática.

27 No início do século XX, surgiu a chamada “Geometry in the large”, onde a exigência da diferenciabilidade foi substituída pela convexidade e singularidade local de geodésicas.

UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA

COLEÇÃO ESCOLA DE ÁLGEBRA

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FUN


Natural de Garça, estado de São Paulo, bacharel em matemática pela Unesp - SP, especialista em matemática pelo IMPA-RJ, mestre em matemática aplicada pela UFRJ-RJ e doutor em matemática pela UFSCar-SP. Atualmente é professor associado na UFU-MG, campus de Ituiutaba. Sua área de pesquisa é Análise Aplicada. Fundou em 2013 a primeira Escola de Cálculo do país com sede na Universidade Federal de Uberlândia.

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