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GEOMETRIA ESPACIAL Cubo e Paralelepipedo

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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA

CAMPUS FLORIANÓPOLIS

DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE FORMAÇÃO GERAL

UNIDADE CURRICULAR: MATEMÁTICA

PROFESSOR: ANTÔNIO JOÃO email: [email protected]

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GEOMETRIA ESPACIAL

PRISMA

SECÇÕES

Secção de um prisma é a interseção do prisma com um plano que intercepta todas as arestas

laterais. Notemos que a secção de um prisma é um polígono com vértice em cada aresta lateral.

Secção reta ou secção normal é uma secção cujo plano é perpendicular às arestas laterais.

SUPERFÍCIES

Superfície lateral é a reunião das faces laterais. A área desta superfície é chamada área

lateral e indicada por .

Superfície total é a reunião da superfície lateral com as bases. A área desta superfície é

chamada área total e indicada por .

CLASSIFICAÇÃO

Prisma reto é aquele cujas arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases. Num prisma reto

as faces laterais são retângulos.

Prisma oblíquo é aquele cujas arestas são oblíquas aos planos das bases.

Prisma regular é um prisma reto cujas bases são polígonos regulares.

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NATUREZA DE UM PRISMA

Um prisma será triangular, quadrangular, pentagonal, etc., conforme a base for um triângulo, um

quadrilátero, um pentágono, etc.

PARALELEPÍPEDO

Paralelepípedo é um prisma cujas bases são paralelogramos. A superfície total de um paralelepípedo

é a reunião de sei paralelogramos.

DIAGONAL E ÁREA E VOLUME DO PARALELEPÍPEDO RETÂNGULO

Dado um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c, temos:

CÁLCULO DA ÁREA DA BASE, ÁREA LATERAL E ÁREA TOTAL

Temos e

Área da base

ou seja a área da base é

Área lateral

ou seja a área lateral é

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Área total

A área total é a soma da área das bases mais a área lateral

CÁLCULO DA DIAGONAL

Observe que os triângulos são retângulos.

Cálculo da diagonal da base

Cálculo da diagonal do paralelepípedo

, mas então;

VOLUME

Como é a área da base e é a altura do paralelepípedo, temos:

Portanto:

Área total

Diagonal

Volume

EXEMPLO

Para construir um tabuleiro de xadrez, um marceneiro recebeu as seguintes instruções:

d D

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1ª) as dimensões do tabuleiro deveriam ser de 40 cm de comprimento por 20 cm de largura, por 5 cm

de altura;

2ª) ele deveria ser envernizado apenas na superfície superior e nas laterais;

3ª) a madeira deveria ser o ipê.

Com base nessas informações, determine;

a) a área da base;

b) a área lateral;

c) a área total;

d) o volume do paralelepípedo;

e) Se esse marceneiro gastará, em média, R$ 15,00 para revestir de verniz uma superfície de 1 m²,

quanto gastará para envernizar o tabuleiro?

f) se por 1 m³ de ipê ele paga R$ 900,00 ao seu fornecedor, qual será o custo da madeira a ser usada

na confecção do tabuleiro?

CUBO (HEXAEDRO REGULAR)

O cubo é um paralelepípedo retângulo cujas seis faces são quadrados.

Do paralelepípedo tínhamos que ,

mas observe que no cubo , portanto:

Área lateral

Área total

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Diagonal da base

Como a base é quadrada pelo teorema de Pitágoras, temos

Diagonal do cubo

Do paralelepípedo tínhamos , mas , portanto:

=

Volume

Área total

Diagonal

Volume

EXEMPLO

Seja um peso feito de ferro, que tem a forma de um cubo, cuja área total é de 150 cm². Sabendo-se

que a densidade do ferro é de 7,8 g/cm³, qual é a massa desse peso?

ÁREAS E VOLUME DE UM PRISMA

ÁREA DA BASE

Como a base de um prisma é um polígono, a área da base de um prisma é a área da base de um

polígono.

Por exemplo, se a base do prisma for um:

QUADRADO de lado .

TRIÂNGULO EQUILÁTERO DE LADO

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HEXÁGONO DE LADO

ÁREA LATERAL

A área lateral de um prisma é a soma das áreas das faces laterais:

Por exemplo, se a base do prisma for um:

QUADRADO de lado e altura .

TRIÂNGULO EQUILÁTERO DE LADO e altura .

HEXÁGONO DE LADO

EXEMPLO:

1. Em um prisma hexagonal regular, a aresta da base mede 3 cm e a aresta da face lateral mede 6 cm.

Calcule a área total.

EXEMPLO:

1. Uma indústria precisa fabricar 10 000 caixas de sabão com as medidas da figura ao lado.

Desprezando as abas, calcule, aproximadamente, quantos de papelão serão necessários.

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2. Dada o prisma triangular regular ao lado, calcule:

a) A área da base;

b) A área total;

c) A área total;

d) O volume

2. Quantos metros de cartolina, aproximadamente, foram usados para montar um cubo de 30 cm de

aresta?

3. Dispondo de uma folha de cartolina de 50 cm de comprimento por 30 cm de largura, pode-se

construir uma caixa aberta cortando um quadrado de 8 cm de lado em cada canto da folha. Quantos

cm² de material são necessários para se fazer essa caixa?

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4. Na figura a aresta do cubo mede 20 cm. A cavidade, em forma de prisma regular de base triangular

de aresta 5 cm, estende-se da face interior à face superior do cubo. Determine a área total da peça.

5. Calcule o volume de uma porca de parafuso cuja forma e medidas estão na figura ao lado.

6. A área total de um prisma hexagonal regular é . A aresta da base do prisma mede

2 m. Calcule a altura e o volume desse prisma.