1

GEOMETRIA ESPACIAL

1) O número de vértices de um dodecaedro formado por triângulos é

(a) 6

(b) 8

(c) 10

(d) 15

(e) 20

2) O número de diagonais de um prisma octogonal regular é

(a) 30

(b) 32

(c) 36

(d) 40

(e) 60

3) (UFRGS) A figura abaixo representa a planificação de um sólido.

15

8

8 12

12

O volume desse sólido, de acordo com as medidas indicadas, é

(a) 180

(b) 360

(c) 480

(d) 720

(e) 1440

15

2

4) Na figura, M é o ponto médio da aresta. Qual a probabilidade de um ponto escolhido

ao acaso na superfície do cubo pertencer à região sombreada?

(a) 1/3

(b) 1/6

(c) 1/8

(d) 1/10

(e) 1/12

5) (UFRGS) Na figura, O é o centro do cubo. Se o volume do cubo é 1, o volume da

pirâmide de base ABCD e vértice O é

C

D

O B

A

6) (UFRGS) Um cubo e um hexágono regular estão representados na figura abaixo. Os

vértices do hexágono são pontos médios das arestas do cubo.

Se o volume do cubo é 64 cm3, então a área da região sombreada é

(a) 62

(b) 410

(c) 68

(d) 610

(e) 123

M

(a) 1/2

(b) 1/3

(c) 1/4

(d) 1/6

(e) 1/8

3

7) (VUNESP) Um copinho de sorvete, em forma de cone, tem 10 cm de profundidade, 4

cm de diâmetro no topo e tem aí colocadas duas conchas semiesféricas de sorvete,

também de 4 cm de diâmetro. Se o sorvete derreter para dentro do copinho, podemos

afirmar que

(a) não transbordará.

(b) transbordará.

(c) os dados são insuficientes.

(d) os dados são incompatíveis.

(e) todas as afirmações anteriores são falsas.

8) (UFRGS) Um octaedro tem seus vértices localizados nos centros das faces de um

cubo de aresta 2.

O volume do octaedro é

(a) 2/3

(b) 4/3

(c) 2

(d) 8/3

(e) 10/3

9) (VUNESP) Uma esfera E de raio r está inscrita em um cubo e outra F está

circunscrita a esse mesmo cubo. Então a razão entre os volumes de F e de E é igual a

(a) 3

(b) 23

(c) 33/2

(d) 33

(e) 43/3

4

10) (UFGRS) Na figura abaixo está representada a planificação de um prisma hexagonal

regular de altura igual à aresta da base.

Se a altura do prisma é 2, seu volume é

(a) 4√3.

(b) 6√3.

(c) 8√3.

(d) 10√3.

(e) 12√3.

11) Um copinho cônico circular reto de 10 cm de altura contém sorvete, conforme a

figura. Quer-se dividir igualmente o sorvete entre duas pessoas segundo um corte reto

paralelo à base. A que distância do vértice deve ser feito o corte?

(a) 5 cm

(b) 5,5 cm

(c) 53 cm

(d) 5 22 cm

(e) 5 34 cm

12) No Mottola, um copo de cafezinho tem o formato da figura, onde os diâmetros dos

círculos das bases medem 3cm e 5 cm e a altura mede 5 cm. A alternativa que contém o

valor mais próximo da capacidade do copo, em ml, é

(a) 8

(b) 16

(c) 32

(d) 64

(e) 128

5

13) (UFRGS) Um sólido é totalmente mergulhado em um cilindro contendo água,

causando a elevação do nível da água em 1,5 cm. Se o raio da base do cilindro mede 5

cm, o volume do sólido é de

(a) 6,5 cm3

(b) 10 cm3

(c) 15 cm3

(d) 25 cm3

(e) 37,5 cm3

14) (PUC) Um cubo de aresta 2a é secionado por um plano conforme a figura abaixo. O

volume do sólido que foi retirado é

2a

2a

2a

(a) a3/6

(b) a3 – 3

(c) a33/6

(d) a33/12

(e) 8a3/3

15) (UFGRS) Duas esferas de raio r foram colocadas dentro de um cilindro circular reto

com altura 4r, raio da base r e espessura desprezível, como na figura abaixo.

Nessas condições, a razão entre o volume do cilindro não ocupado pelas esferas e o

volume das esferas é

(a) 1/5.

(b) 1/4.

(c) 1/3.

(d) 1/2.

(e) 2/3.

a

a a

6

16) Um aquário tem a forma de um paralelepípedo reto retângulo com as seguintes

dimensões internas: 50cm de comprimento, 30cm de largura e 40cm de altura. Esse

aquário contém água até a altura de 30 cm. Deseja-se colocar nesse aquário objetos

cilíndricos maciços e idênticos de densidade maior do que a densidade da água.

Sabendo-se que a altura e o diâmetro desses cilindros medem 10 cm e considerando

π = 3,14, a quantidade máxima desses objetos que pode ser colocada no aquário, de

modo que a água nele contida não transborde, é

(a) 15

(b) 16

(c) 19

(d) 20

(e) 21

17) (FFFCMPA)Uma esfera metálica de raio 3 cm é colocada dentro de um recipiente

cilíndrico que contém água, cujo raio da base é de 6 cm. Supondo que não haja

transbordamento de água, pode-se afirmar que o nível da água sobe

(a) 3 cm

(b) 2,5 cm

(c) 2 cm

(d) 1,5 cm

(e) 1 cm

18) (FFFCMPA) Duas esferas tangentes estão presas por um fio a uma haste vertical,

tocando-a, como mostra a figura. O ponto A, onde o fio é preso à haste, e os centros B e

C das duas esferas estão alinhados. Sendo d(B,C) = 2d(A,B), a razão entre o volume da

esfera menor e o volume da esfera maior é

(a) 1/27

(b) 1/16

(c) 1/9

(d) 1/8

(e) 1/4

A

B

C

7

19) (UFRGS) Na figura abaixo, P é o centro da face superior de um cubo. A pirâmide

de base hachurada tem um de seus vértices em P.

P

Se o volume da pirâmide é 1, então o volume do cubo é

(a) 2

(b) 3

(c) 4

(d) 6

(e) 8

20) (UFRGS)A partir de quatro dos vértices de um cubo de aresta 6, constituído com

madeira maciça, foram recortadas pirâmides triangulares congruentes, cada uma tendo

três arestas de medida 3, conforme representado na figura 1, abaixo.

O sólido obtido após a retirada das pirâmides está representado na figura 2, abaixo.

O volume do sólido obtido é

(a) 198.

(b) 204.

(c) 208.

(d) 212.

(e) 216.

8

21) (UFGRS)A figura abaixo representa um prisma reto de base hexagonal regular.

Considere as seguintes planificações.

Quais delas podem ser planificações do prisma?

(a) Apenas I.

(b) Apenas II.

(c) Apenas I e II.

(d) Apenas II e III.

(e) I, II e III.

9

22) (UFRGS) A figura abaixo representa a planificação de uma pirâmide de base

quadrada com AB = 6 cm, sendo ADV triângulo equilátero.

D C

V

A B

O volume da pirâmide é

(a) 123

(b) 273

(c) 363

(d) 723

(e) 1083

23) (UFRGS) Um reservatório tem forma de um cilindro circular reto com duas

semiesferas acopladas em suas extremidades, conforme representado na figura abaixo.

O diâmetro da base e a altura do cilindro medem, cada um, 4 dm, e o volume de

uma esfera de raio r é 4

3𝜋𝑟3.

Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo da capacidade do reservatório, em

litros, é

(a) 50.

(b) 60.

(c) 70.

(d) 80.

(e) 90.

10

24) (UFRGS) Considere a figura abaixo, que representa a planificação de um cubo.

Qual dos cubos apresentados nas alternativas pode corresponder ao desenho da

planificação?

11

25) (UFRGS) Observe o sólido S formado por 6 cubos e representado na figura abaixo

Dentre as opções a seguir, o objeto que, convenientemente composto com o

sólido S, forma um paralelepípedo é

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(e)

12

Resolução

1) Em 12 triângulos há 123=36 lados. Cada aresta do dodecaedro é a união de 2 lados

de triângulos.

Logo, há 18 arestas.

F=12 e A=18 V + F = A + 2 V + 12 = 18 + 2 V=8

2) Como uma diagonal do prisma não pode estar contida em um face, com uma

extremidade no vértice A há apenas 5 diagonais (AB, AC, AD, AE, AF).

A

Para cada um dos 8 vértices da base superior há 5 diagonais: Total: 85=40.

3)

15

8 15

8 12

12

O retângulo de lados 15 e 8 será a base do sólido.

Dobrando nos lados indicados e unindo os lados de comprimento 12, temos:

Cada aresta do sólido é comum a

dois lados de triângulos.

B

C

D E F

Dobra

Dobra

Dobr

a

Emenda

13

É uma pirâmide retangular de base B=158 altura 12.

.4803

12815

3

HBV

4)

A área do triângulo sombreado é a metade da área do quadrado, face do cubo.

No cubo há 6 faces. Logo, a área total do cubo corresponde à área de 12

triângulos sombreados.

Portanto, a chance de escolher um ponto no triângulo é 1 em 12, ou seja, 1/12.

5) C

D

O B

A

6) O volume do cubo de aresta a é a3. Se a

3=64, então a=4.

No triângulo retângulo da figura com vértices ABC, temos:

x2=2

2+2

2 x

2 = 4 + 4 x

2 = 8 x=22

M

12

8

15

M

O volume da pirâmide de

base ABCD e vértice em O é um

terço do volume do semicubo.

Logo, o seu volume é um sexto do

volume do cubo. Se o volume do

cubo é 1, então o volume da

pirâmide é 1/6.

2

2

A

x B

C

14

A região sombreada é um hexágono regular de lado x, formado por 6 triângulos

equiláteros de lado x.

A sua área é

3124

386

4

3226

4

36

22

x

A .

7)

8)

O quadrado de lado ℓ=√2 e área B=(√2)2=2 é a base da pirâmide superior.

A altura da pirâmide superior é H=1.

Logo, o volume da pirâmide superior 3

2

3

12

3

HBV .

O octaedro é formado por duas pirâmides destas.

Logo, o seu volume é 3

4

3

2

3

2V

10

2

As duas semiesferas formam uma esfera de raio 2, cujo

volume é

323

322

3

4

3

4 33

rV .

O copinho é um cone de raio 2 e altura 10, cujo volume

é

403

40

3

102

33

22

HrHB

V .

Como o volume do sorvete é menor do que o volume do

copinho, quando derreter não transbordará.

Visão Superior

1 1

1

1

1

1

1

1

1

1

√2

15

9)

I. O ponto O pertence ao plano BDE: Falso.

O plano que passa por B, D e E, que é uma superfície infinita, contém o triângulo

sombreado BDE. Se O não pertence ao triângulo, então também não pertence ao

plano.

E

O

D

B

II. O ponto O pertence ao plano ACG: Verdade.

Os pontos A, O e G estão em uma diagonal do cubo. Logo, são colineares.

Assim, O pertence ao lado AG do triângulo sombreado ACG.

Se está no triângulo, está no plano que contém o triângulo.

G

O

C

A

III. Qualquer plano contendo os pontos O e E também contém C: Verdade.

Os pontos E, O e C estão em uma diagonal do cubo. Logo, são colineares.

Assim, O pertence à reta r que contém E e C.

Qualquer plano que contém O e E, também contém r.

Se Or e r, então Oα.

E

O

C

r

16

10) No prisma hexagonal regular a altura igual à aresta da base. Ambas valem 2.

A base é um hexágono regular de lado 2.

Logo, o volume do prisma é 312236 HBV .

11)

10002

1 3x

12)

5

3

5

h

h 5h = 3h+15 2h=15

h=15/2=7,5.

B

10

x V 2V

3

3

102

x

V

V

x3=500

333 451254500 x .

12,5

5

5

3

h

77,813

5,12)5,2( 2

2

V

66,173

5,7)5,1( 2

1

V

V2 – V1 = 81,77-17,66 =64,11

H=2

2

2 Este hexágono é formado por 6 triângulos equiláteros

de lado 2.

Sua área vale 364

346

4

36

2

B

17

13) O volume do sólido é o mesmo volume do líquido deslocado, ou seja, o do cilindro

assinalado, de raio 5 e altura 1,5.

O volume deste cilindro é .7,35,1522 HrV

14)

2a

2a

2a

Para uma melhor visualização vamos seccionar em outro lado, ou ainda, vamos

virar o cubo:

222

2aaahbB

1,5

5

a

a a

a

a a

a

H=a

O sólido retirado é

uma pirâmide não

reta com altura H=a e

base triangular.

b=a

h=a O seu volume é

63

2

3

3

2

aa

a

HBV

base

B

18

15)

Razão entre o volume do cilindro não ocupado pelas esferas e o volume das esferas:

2

1

8

4

3

8

3

4

3

3

r

r

16)

Volume do cilindro: V1=r2H = 5

210=2510.

Volume da parte do aquário que está sem água: V2= 503010.

A quantidade de cilindros será .2060

1025

103050

2

1

V

V

Se fosse 3, daria 20. Como é um pouco mais que 3, dá um pouco menos do que 20.

Pelas alternativas, sem necessitar efetuar contas, observamos que é 19.

r

2r

2r

4r

Volume do Cilindro: BH = r24r = 4r

3.

Volume das duas esferas: 3

8

3

42

33 rr

Volume do Cilindro não ocupado pelas esferas:

3

4)

3

21(4

3

424

33

33 r

rr

r

50

30

30

10

10

5

19

17)

O volume da esfera é 𝑉 =4𝜋𝑅3

3=

4𝜋33

3= 36𝜋

O Volume do líquido deslocado, que corresponde a um cilindro, é

V = R2h = 36h. Para que os volumes sejam iguais, h=1.

18)

Os triângulos ABD e ACE são semelhantes: 3𝑥

𝑥=

𝑅

𝑟

Logo, R = 3r

A razão entre o volume V1 da esfera menor e o volume V2 da esfera maior é

𝑉1𝑉2

=

4𝜋𝑟3

34𝜋𝑅3

3

=𝑟3

𝑅3=

𝑟3

(3𝑟)3=

𝑟3

27𝑟3=

1

27

6 6

3

h

A

B

C

x

2x r

R

D

E

3x

20

19)

P

Se a base da pirâmide coincidisse com a base do cubo, então o volume do cubo

seria 3 vezes o volume da pirâmide.

Como a base da pirâmide é metade da base do cubo, então o volume do cubo é 6

vezes o volume da pirâmide, ou seja, 6×1 = 6.

20)

Cada pirâmide retirada tem altura H=3 e como base B um triângulo retângulo,

conforme a figura:

3 Desta forma, B = (3×3) /2 = 9/2

3

O volume de cada pirâmide retirada é V = (B×H)/3 = (9/2)×3/3 = 9/2.

O volume do sólido é o volume do cubo, descontadas 4 destas pirâmides:

63– 4×9/2 = 216 – 18 = 198.

21

21)

Considere as seguintes planificações.

(F) (I) Não pode ser, uma vez que na planificação, os pentágonos estão ligados e no

sólido, as bases estão distantes.

(V) (II) Ligando-se os lados esquerdo e direito do retângulo central na planificação,

obtemos a superfície lateral do cilindro. Os pentágonos da planificação formarão as

bases do cilindro.

(V) (III) Mesmo argumento do item (II).

22

22)

D C

V

A B

V

H

6 D C

M

3

A 6 B

A base B a pirâmide é um quadrado de lado 6, logo a sua área é 36.

Sendo o triângulo ADV equilátero, AM=3 e AV=6.

A altura H da pirâmide é um cateto do triângulo retângulo AMV.

Por Pitágoras, 62 = 3

2 + H

2 36 = 9 + H

2 H

2 = 27

𝐻 = √27 = 3√3

O volume da pirâmide é 𝑉 =𝐵×𝐻

3=

36×3√3

3= 36√3.

23

23)

24)

Ao fechar a figura, os segmentos a e b irão coincidir e uma extremidade será o ponto P,

situada no vértice do quadrado sombreado com a parte clara.

a

b

P

a coincide com b P

P no vértice do quadrado

sombreado com parte clara.

O diâmetro do cilindro é 4, logo o raio é 2.

Se a altura é 4, então o volume do cilindro é V1 = R2H = ×2

2×4 =

16.

As duas semiesferas formam uma esfera de raio 2 e volume

V2 = 4

3𝜋𝑟3 =

4

3𝜋 × 23 =

32𝜋

3.

Assim, o volume do reservatório é V1 + V2 = 16 + 32/3 48 + 32

= 80

24

25) Para formar um paralelepípedo, é necessário um “L” idêntico ao da base para

sobrepô-lo. Além disto, no “meio” do “L” é necessário ter um prisma com 2 cubos,

idêntico ao da figura.

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(e)

“L” da base

Prisma com 2 cubos

Prisma com 2 cubos

no meio do L

L idêntico ao da base

25

RESPOSTAS

1) B

2) D

3) C

4) E

5) D

6) E

7) A

8) B

9) D

10) E

12) E

13) E

14) E

15) A

16) D

17) C

18) E

19) A

20) D

21) A

22) D

23) C

24) D

25) A