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GEOMETRIA GEOMETRIA PLANA PLANA
Prof. FabianoProf. Fabiano
POLÍGONOS REGULARES
O O ORR Ra a a
...
R = Raio- raio da circunf. circunscrita - distância do centro a um vértice
a = Apótema- Raio da circunferência inscrita- distância do centro ao meio de um lado
POLÍGONOS REGULARES
O O ORR Ra a a
...
R = Raio- raio da circunf. circunscrita - distância do centro a um vértice
a = Apótema- Raio da circunferência inscrita- distância do centro ao meio de um lado
TRIÂNGULO EQUILÁTERO
R
a.O
h = —— 32
QUADRADO
Ra
.O
2d =
HEXÁGONO REGULAR
Ra
O.
6 triângulos equiláteros
ÁREAS PLANASRETÂNGULO
b.hS = PARALELOGRAMO
bh
bh
ÁREAS PLANAS
QUADRADO
2S =TRAPÉZIO
S = 2————(B+b).h
b
B
h
ÁREAS PLANAS
TRIÂNGULO
b
h S = 2———b.h
CIRCUNFERÊNCIA
C = RO. 2πR
πR2S =
MEDIANA Mediana é o segmento que vai de um vértice qualquer de um triângulo até o ponto médio do lado oposto. Veja o exemplo:
No triângulo ABC acima, o ponto "D" é o ponto médio do lado CB. Portanto, o segmento AD é a mediana relativa ao lado "A" do triângulo ABC.Como o triângulo possui três lados e três vértices, possui também três medianas (uma para cada vértice).
MEDIATRIZConsideremos um segmento AB e seja M o ponto médio do segmento. A reta r perpendicular ao segmento AB e que passa por M e denominada mediatriz do segmento AB.
Todo o triângulo tem três mediatrizes ( cada uma relativa a um lado), e se encontram no mesmo ponto C denominado circuncentro.
ALTURAÉ o segmento cujas as extremidades são vértice do triângulo e a intersecção da perpendicular com o lado oposto ( ou seu prolongamento).
É interessante observar que,quando se trata de um triângulo obtusângulo, AH é a altura relativa ao lado BC.Todo o triângulo possui três alturas ( cada uma relativa a um lado), que se encontram num mesmo ponto O, denominado ortocentro
BISSETRIZÉ a semi-reta que divide um ângulo em dois ângulos congruentes. Na figura a semi-reta OM é a bissetriz do ângulo AÔB pois os ângulos AÔM e MÔB são congruentes.
Todo o triângulo tem três bissetrizes (cada uma relativa a um ângulo), que se encontram num mesmo ponto I, denominado incentro.
Pontos notáveis de um triângulo:
•1 - Incentro
•2 - Circuncentro
•3 - Baricentro
•4 - Ortocentro
. 1. O incentro Chama-se bissetriz de um ângulo à reta que divide o ângulo em duas partes iguais. Ao ponto de intersecção das bissetrizes dos ângulos de um triângulo chamamos incentro. Este ponto é o centro da circunferência inscrita no triângulo.
2. O circuncentroCom os três vértices do triângulo pode-se traçar um circunferência na qual o triângulo fica inscrito. O centro desta circunferência é o circuncentro - ponto de intersecção das mediatrizes dos lados do triângulo.
3. O baricentro Unindo o ponto médio de cada lado do triângulo ao vértice oposto obtém-se um segmento de reta designado mediana. O ponto onde se interceptam as medianas é o baricentro ou centro de gravidade do triângulo.
4. O ortocentro O ortocentro é o ponto onde se interceptam as alturas do triângulo, isto é, as perpendiculares traçadas desde os vértices até aos lados opostos (ou seus prolongamentos).
ÂNGULOS
AGUDO
OBTUSO
30º
30º
30º
30º
150º
150º150º
150º
Si =
Si =
180º
360ºSi = 180º(n-2)
QUALQUER POLÍGONO:
ÂNGULOS
(FUVEST-98) As retas t e s são paralelas. A medida do ângulo x, em graus, éa) 30b) 40c) 50d) 60e) 70
ÂNGULOS
40º20º
ÂNGULOS
40º20º
20º+90º+X=180º110º+X=180º
X=70º
(FUVEST-98) As retas t e s são paralelas. A medida do ângulo x, em graus, éa) 30b) 40c) 50d) 60e) 70
ÂNGULOS
120º120º
60º 120º
OO
OO..
90º
(UFMG-97) Observe a figura. Suponha que as medidas dos ângulos PSQ, QSR, SPR, assinalados na figura, sejam 45°, 18° e 38°, respectivamente. A medida do ângulo PQS, em graus, é:a) 38b) 63c) 79d) 87
Exercício resolvido
(UFMG-97) Observe a figura. Suponha que as medidas dos ângulos PSQ, QSR, SPR, assinalados na figura, sejam 45°, 18° e 38°, respectivamente. A medida do ângulo PQS, em graus, é:a) 38b) 63c) 79d) 87
90º 36º
90º 36º
76º
(UFMG-97) Observe a figura. Suponha que as medidas dos ângulos PSQ, QSR, SPR, assinalados na figura, sejam 45°, 18° e 38°, respectivamente. A medida do ângulo PQS, em graus, é:a) 38b) 63c) 79d) 87
90º 36º
76º
90º + 36º + 76º + x = 360º
202º + x = 360º
x = 158º
x
(UFMG-97) Observe a figura. Suponha que as medidas dos ângulos PSQ, QSR, SPR, assinalados na figura, sejam 45°, 18° e 38°, respectivamente. A medida do ângulo PQS, em graus, é:a) 38b) 63c) 79d) 87
90º 36º
76º
90º + 36º + 76º + x = 360º
202º + x = 360º
x = 158º
x = 158º
79º
(UFMG-97) Observe a figura. Suponha que as medidas dos ângulos PSQ, QSR, SPR, assinalados na figura, sejam 45°, 18° e 38°, respectivamente. A medida do ângulo PQS, em graus, é:a) 38b) 63c) 79d) 87
80º
60º
60º
40º
40º
80º
A
E
F
D
C
B
≈
ÂNGULOS IGUAIS
SEMELHANÇA
LADOS PROPORCIONAIS
∆ABC ∆DBE≈A C
B
ED
DE // AC
SEMELHANÇA
TRIÂNGULO RETÂNGULOA
CB
b.
a
c h.
a2 = b2 + c2 ah = bc
Exercício proposto(UFES-99) Na figura, as retas r e s são paralelas. A soma α+β+γ+δ das medidas dos ângulos indicados na figura éa) 180°b) 270°c) 360°d) 480°e) 540°
Resposta: eResposta: e
(UEL-97) Na figura a seguir, tem-se os ângulos XYW, XZW e XTW, inscritos em uma circunferência de centro O.Se med do ângulo XOW=80°, então med do ângulo XYW +med do ângulo XZW +med do ângulo XTW é igual aa) 160° b) 150°c) 140° d) 120°e) 100°
Resposta: dResposta: d
Exercício proposto