UNIVERSIDADE DE LISBOAI

Faculdade de CiênciasDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

11 ANOo

GEOMETRIAResolução dos Exercícios

Armando Machado

2002

REANIMAT

Projecto Gulbenkian de Reanimação Científica da Matemática no Ensino Secundário

– 1 –

Resolução dos exercícios de Geometria (11 ano)o

1) Consideremos o triângulo que serviu para definir as três razões trigonométricas

Figura 1

Pelo teorema de Pitágoras podemos escrever

EG FG œ EF# ## .

Dividindo ambos os membros desta igualdade por , obtemosEF#

EG FG

EF EF œ "

#

# #

#

,

ou seja, escrito de modo equivalente,

EG FG

EF EF œ " Ð Ñ Ð Ñ œ "

# #

# #, cos sen .! !

Por outro lado, partindo da definição tg , podemos dividir ambos os termos da fracção porÐ Ñ œ! FGEG

EF para obter também

tg .sencos

Ð Ñ œ œÐ Ñ

Ð Ñ!

!

!

FGEF

EGEF

2) Podemos considerar o triângulo rectângulo com o vértice correspondente ao ângulo recto nocentro da base e com os restantes vértices nos meus pés e no topo da Torre. Sendo ! o ângulopedido, tem-se tg e portanto, recorrendo à calculadora, obtemos o valor aproximadoÐ Ñ œ œ $! $!!

"!!

! ¸ ("Þ&( .° (nos cálculos intermédios conservamos maior precisão do que a pedida). Sendo adistância pedida, tem-se cos , dondeÐ Ñ œ! "!!

.

. œ ¸ $"'"!!

Ð Ñcos.

!

Podemos assim dizer que, com a aproximação pedida, o ângulo é ° e a distância é metros.(# $"'

3) a) Tomemos como unidade de medida o lado do triângulo equilátero. A bissectriz referidadivide o triângulo equilátero em dois triângulos “iguais”, por terem dois lados e o ângulo por eles

– 2 –

formados iguais.

Figura 2

Uma vez que em triângulos iguais a ângulos iguais opõem-se lados iguais, constatamos que abissectriz divide o lado oposto ao meio. A bissectriz é também perpendicular ao lado oposto, umavez que os dois ângulos que ela determina com esse lado são iguais por se oporem a lados iguais emtriângulos iguais. Estamos assim na presença de dois triângulos rectângulos iguais com hipotenusaigual a e cateto oposto ao ângulo de ° igual a . A medida do cateto adjecente a este ângulo (a" $! "

#

altura do triângulo) pode ser determinada pelo teorema de Pitágoras e é assim igual a

Ê Ê Ê È" Ð Ñ œ " œ œ

" " $ $

# % % ## # .

Podemos assim escrever

sen °

cos °

tg ° .

Ð$! Ñ œ œ" #

"

Ð$! Ñ œ œ" #

$

Ð$! Ñ œ œ œ œ" $ $

$ $ ‚ $ $

"#

$#

"#

$#

È

È

È

È È ÈÈ È

Repare-se que, na determinação da tangente, podíamos perfeitamente ter parado na expressão ; o"

$Èque fizémos a seguir foi o que se costuma chamar “racionalizar o denominador”. Essa operaçãocostuma ser recomendada em Matemática não só por “razões cosméticas”; ela permite por exemplo,no nosso caso, comparar mmais facilmente os valores do cosseno e da tangente. O mesmo triângulo rectângulo tem o outro ângulo agudo igual a ° e serve assim tambémb) '!para calcular as razões trigonométricas deste último ângulo. A única diferença é que o cateto opostoao ângulo de ° é o adjacente ao ângulo de ° e vice-versa. Podemos assim escrever'! $!

cos °

sen °

tg ° .

Ð'! Ñ œ œ" #

"

Ð'! Ñ œ œ" #

$

Ð'! Ñ œ œ œ $$

"

"#

$#

$#"#

È

ÈÈÈ È

O mesmo raciocínio conduz mais geralmente às conclusões

– 3 –

sen ° , ° sen , tg °tg

Ð*! Ñ œ Ð Ñ Ð*! Ñ œ Ð Ñ Ð*! Ñ œ"

Ð Ñ! ! ! ! !

!cos cos

(para a última reprar que, para determinar o inverso de uma fracção, basta trocar o seu numeradorcom o denominador).

4) Tomemos o cateto do triângulo rectângulo como unidade de comprimento.

Figura 3

Pelo teorema de Pitágoras, a hipotenusa desse triângulo mede e daqui deduzimosÈ È" " œ ## #

que

sen °

cos °

tg ° .

Ð%& Ñ œ œ œ" # #

# # ‚ # #

Ð%& Ñ œ œ" #

# #

Ð%& Ñ œ œ ""

"

È È ÈÈ È

ÈÈ

5) a) Acrescentemos letras para identificar os vértices na figura dada, onde se tem assimj œ EF.

Figura 4

– 4 –

Os ângulos da base e do triângulo isósceles são iguais e portanto uma vez que a somaE F ÒSEFÓdos ângulos internos dum triângulo é °, eles medem")!

")! $'

#œ (#

° °°.

Podemos agora deduzir que o ângulo do triângulo medeG ÒSEGÓ

")! Ð(# (# Ñ œ $'° ° ° °.

b) Uma vez que os ângulos e do triângulo são ambos iguais a °, podemos concluirS G ÒSFGÓ $'

que . Por outro lado, os triângulos e são semelhantes, por terem osFG œ SF œ " ÒSEFÓ ÒGSEÓângulos respectivamente iguais. Podemos assim concluir que os seus lados são proporcionais eportanto

EG SE

SE EFœ ,

ou seja

j " "

" jœ ,

que também pode ser escrito simplesmente .j " œ "j

c) Multiplicando ambos os membros por , vemos que a equação é equivalente à equaçãoj j " œ "j

j j œ " !# , uma vez que esta última não admite como solução. Esta última equação do segundograu, que pode ser escrita na forma admite as soluçõesj j " œ !#

j œ" „ " %

#

Èe, uma vez que, por se tratar dum comprimento, , vemos que se tem efectivamentej !

j œ œ" & & "

# #

È È.

d) Se traçarmos a bissectriz do ângulo do triângulo isósceles , verificamos, tal como noS ÒESFÓcaso do triângulo equilátero que examinámos no exercício 3, que essa bisectriz é ortogonal ao ladoÒEFÓ e divide esse lado ao meio. Daqui deduzimos que

sen ° .Ð") Ñ œ œ œ" # %

j & "j#

ÈUma vez que o triângulo tem dois ângulos iguais a °, os lados opostos são iguais eÒSEGÓ (#portanto

SG œ j " œ œ& " # & "

# # #

È È.

Raciocinando como anteriormente, com o triângulo isósceles , vemos que a bissectriz do seuÒFSGÓângulo é perpendicular ao lado e divide-o ao meio. Daqui se conclui queF ÒSGÓ

cos ° .Ð$' Ñ œ œ" %

& "SG#

È

– 5 –

Uma vez que sen ° cos ° , podemos deduzir o valor de cos ° :# #Ð") Ñ Ð") Ñ œ " Ð") Ñ

cos ° sen °

.

Ð") Ñ œ " Ð") Ñ œ " œ& " # &

"'

œ œ"' ' # &

"' %

"! # &

È Ë È

Ë È É È#

Analogamente,

sen ° cos °

.

Ð$' Ñ œ " Ð$' Ñ œ " œ& " # &

"'

œ œ"' ' # &

"' %

"! # &

È Ë È

Ë È É È#

e) Consideremos o raio da circunferência dada como unidade de comprimento. O ângulo ao centrocorrespondente ao lado dodecágono regular inscrito é ° pelo que o comprimento do lado$'!

"!° œ $!

do decágono é precisamente = . Partamos então da circunferência, onde já traçámos doisjÈ&"

#

diâmetros perpendiculares e tentemos determinar com régua e compasso um segmento decomprimento .È&"

#

Figura 5

Começamos por reparar que se pode escrever e que portanto é o comprimentoÈ ÈÈ& œ " # &# #

da hipotenusa de um triângulo rectângulo de catetos e . Em consequência é a hipotenusa de" #È&#

um triângulo rectângulo de catetos e e portanto é fácil construirmos na figura anterior um"# "

segmento de comprimento : Determinamos o ponto médio do segmento e verificamosÈ&# I ÒSFÓ

que o segmento tem esse comprimento.ÒIGÓ

– 6 –

Figura 6

Desenhemos agora um arco de circunferência de centro em e raio , que vai intersectar oI IG

diâmetro no ponto Uma vez que e , vemos que é oÒEFÓ J Þ IJ œ IG œ IS œ SJ œÈ È& &"# # #

"

comprimento procurado. Se quisermos desenhar o decágono basta marcar a abertura do compassocom o comprimento do segmento e ir marcando sucessivamente pontos sobre a circunfe-ÒSJ Órência, com a ajuda do compasso a uma distância igual a este comprimento dos anteriores.

Figura 7

6) Podemos escrever

tg ° .sen °cos °

Ð$' Ñ œ œÐ$' Ñ

Ð$' Ñ

"! # &

& "

É ÈÈ

No sentido de tentar simplificar o resultado e chegar ao valor proposto vamos racionalizar o

– 7 –

denominador, multiplicando ambos os membros da fracção por , o que conduz aÈ& "

tg °Ð$' Ñ œ œ œ"! # & Ð & "Ñ "! # & Ð & "Ñ

Ð & "Ñ Ð & "Ñ & "

œ œ œ"! # & Ð & "Ñ

% %

"! # & ' # &

œ œ œÐ"! # &Ñ Ð' # &Ñ

% %

'! #! & "# & #!

œ)! $#

É ÉÈ È È ÈÈ È

É È ÈÉ É ÉÈ ÈÉ ÉÈ È È ÈÉ

#

È ÈÈ É É È& "' & # &

% %œ œ & # &.

7) Podemos também escrever

cos ° sen °

sen ° cos °

sen ° cos °

cos ° sen °

Ð(# Ñ œ Ð") Ñ œ

Ð(# Ñ œ Ð") Ñ œ

Ð&% Ñ œ Ð$' Ñ œ

Ð&% Ñ œ Ð$' Ñ œ

ÈÉ ÈÈÉ È

& "

%

"! # &

%

& "

%

"! # &

%.

8) a) Vamos, como é habitual, utilizar nos cálculos intermédios uma casa decimal para além daque nos é pedido no resultado. Uma vez que o perímetro do equador e dos meridianos é igual a# V V1 , onde é o raio da Terra, obtemos o valor aproximado para este raio, em quilómetros,

V œ ¸ '$''Þ#Þ%! !!!

#1

Figura 8

– 8 –

Como se vê na figura, o raio, em quilómetros, do paralelo de Lisboa é

V Ð$)Þ($ Ñ ¸ %*''Þ$cos °

e portanto o perímetro do paralelo é aproximadamente

# ‚ %*''Þ$ ¸ $"#!%Þ"1

ou seja, com valor aproximado ao quilómetro, 31204 Km. O deslocamento de Km na direcção Leste é feito sobre o paralelo, cujo perímetrob) #!!calculámos atrás. A variação em graus da longitude pode ser assim calculada por proporcio-Bnalidade:

B $'!

#!! $"#!%Þ"¸

donde

B ¸ ¸ #Þ$"$'! ‚ #!!

$"#!%Þ".

Uma vez que andámos na direcção Leste, a nova longitude, ainda Oeste é assim aproximadamente

*Þ"& #Þ$" ¸ 'Þ)%.

O deslocamento de 200 Km na direcção Norte faz-se sobre o meridiano, que tem o perímetro de%!!!! = C Km. A variação em grau da latitude calcula-se analogamente

C œ œ "Þ)$'! ‚ #!!

%!!!!.

A nova latitude, ainda Norte, é assim

$)Þ($ "Þ) œ %!Þ&$.

Com a aproximação pedida, podemos assim dizer que o ponto de chegada tem latitude e%!Þ&Rlongitude .'Þ)[

9) a) Podemos considerar um triângulo rectângulo com o vértice correspondente ao ângulo rectono centro da primeira posição do navio e com os restantes vértices na proa do navio e na minhaposição.

Figura 9

– 9 –

O ângulo desse triângulo correspondente ao vértice em que eu estou é ° e o cateto$$Þ'&#

° œ "'Þ)#&

oposto mede m. A distância pedida é o outro cateto, pelo que podemos concluir que##&#

m œ ""#Þ& B

""#Þ&

Bœ Ð"'Þ)#& Ñ ¸ !Þ$!#%tg °

e portanto

B ¸ ¸ $($Þ!""#Þ&

!Þ$!#%.

Podemos assim dizer que o meio do navio estava inicialmente a cerca de metros.$(! Neste segundo instante temos um triângulo rectângulo em que o cateto oposto ao ângulo b) !que se quer conhecer mede m e o cateto adjacente é o calculado na alínea precedente,##&aproximadamente m. Tem-se assim$($Þ!

tgÐ Ñ ¸ ¸ !Þ'!$###&

$($!

e portanto, recorrendo de novo à calculadora, 31.1°.! ¸ A situação neste terceiro momento é a descrita na figura seguinte:c)

Figura 10

Desta podemos concluir que

tg

tg

Ð Ñ ¸ ¸ $Þ#)%#"##&

$($

Ð Ñ ¸ ¸ #Þ')"!"!!!

$($

#

"

e portanto, usando a calculadora,

#

"

¸ ($Þ!(

¸ '*Þ&%

° .°

O ângulo pedido é a diferença °, portanto cerca de °.# " ¸ $Þ&$ $Þ&

– 10 –

10) Tracemos, como auxiliar, a altura do triângulo correspondente ao vértice .G

Figura 11

Uma vez que

sen ° ,Ð&! Ñ œ œGH GH

EG %

concluímos que

GH œ % ‚ Ð&! Ñ ¸ % ‚ !Þ(''! ¸ $Þ!'%#sen ° .

Analogamente

EH œ % ‚ Ð&! Ñ ¸ % ‚ !Þ'%#) ¸ #Þ&("#cos °

e portanto também

HF ¸ & #Þ&("# ¸ #Þ%#)).

Podemos agora escrever

tgÐFÑ œ ¸ ¸ "Þ#'"'GH $Þ!'%#

HF #Þ%#))

e portanto ficamos a conhecer os dois ângulos desconhecidos:

F ¸ &"Þ'! G œ ")! ÐE FÑ ¸ ()Þ%!°, ° °.

Finalmente, de se ter sen , podemos concluir queGHGF

œ ÐFÑ

GF œ ¸ ¸ $Þ*!**GH $Þ!'%#

ÐFÑ !Þ()$(sen.

Depois de termos utilizado um grau maior de precisão em cálculos intermédios, podemos apresentaro que nos é pedido com a precisão referida:

FG ¸ $Þ*" F ¸ &"Þ' G ¸ ()Þ%, °, °.

11) Comecemos por reparar que a medida do terceiro ângulo pode ser determinada de modoelementar:

– 11 –

G œ ")! Ð&! '! Ñ œ (!° ° ° °.

De acordo com a sugestão, a altura correspondente ao vértice .ÒFHÓ F

Figura 12

Podemos então escrever

FH œ "! ‚ Ð&! Ñ ¸ "! ‚ !Þ(''! ¸ (Þ''!sen °

e sen ° , dondeFH œ FG ‚ Ð(! Ñ

FG œ ¸ ¸ )Þ"&"'FH (Þ''!

Ð(! Ñ !Þ*$*(sen °.

A determinação de pode fazer-se, como é sugrido, de modo análogo, com o auxílio da alturaEGcorrespondente ao vértice , mas também se pode fazer calculando separadamente e :E EH GH

EH œ "! ‚ Ð&! Ñ ¸ "! ‚ !Þ'%#) ¸ 'Þ%#)

GH ¸ )Þ"&"' ‚ Ð(! Ñ ¸ )Þ"&"' ‚ !Þ$%#! ¸ #Þ())

cos ° ,cos ° ,

e portanto

EG ¸ 'Þ%#) #Þ()) ¸ *Þ#"'.

– 12 –

12)

ângulo seno

18°°

°

°

°

°

°°

°

°

°

°

°°

°

È

É ÈÈ

ÈÈ

É È

É ÈÈ

ÈÈ

É È

È

&"%"#

"!# &

%

##

&"%

$#

"!# &

%

"!# &

%

$#

&"%

##

"!# &

%"#

&

$!

$'

%&

&%

'!

(#

*! "

"!)

"#!

"#'

"$&

"%%

"&!

"'# "%

13) a) O facto de a bissectriz ser perpendicular à base e dividir esta ao meio já foiÒFGÓencontrado na resolução de outros exercícios, como por exemplo o exercício 3, pelo que nosabstemos de repretir o argumento. No contexto da figura

Figura 131

podemos escrever cos e sen , portanto sen .EQ œ " ‚ Ð Ñ FQ œ " ‚ Ð Ñ FG œ # Ð Ñ! ! ! A altura do triângulo correspondente ao vértice tem por medida sen , deb) ÒEFGÓ G " ‚ Ð# Ñ!acordo com o que vimos na propriedade P1 do texto. A área do triângulo é, como sabemos, igual a metade do produto de qualquer das bases pelac)altura correspondente. Considerando a base , que já vimos medir sen , a altura é, comoÒFGÓ # Ð Ñ!verificámos em a), cos , pelo que a área é igual a sen cos . Considerando a baseÐ Ñ ‚ # Ð Ñ ‚ Ð Ñ! ! !"

#

ÒEFÓ " Ð# Ñ, de comprimento , a altura correspondente é, como verificámos em b), sen e portanto a!

– 13 –

área é também igual a sen . A área calculada pelos dois métodos tem que ser igual, portanto"# Ð# Ñ!

sen cos sen , dondeÐ Ñ ‚ Ð Ñ œ Ð# Ñ! ! !"#

sen sen cos .Ð# Ñ œ # Ð Ñ Ð Ñ! ! !

14) Podemos escrever

Ð Ð Ñ Ð ÑÑ œ Ðsen sen! !cos # ! ! ! !

! ! !

Ñ Ð Ñ # Ð Ñ Ð Ñ œ

œ " # Ð Ñ Ð Ñ œ " Ð# Ñ

# #cos sen cossen cos sen .

15) A propriedade pode ser enunciada, sem referir explicitamente as letras que nomeiam osvértices e os lados, dizendo que, dado um vértice qualquer, são iguais os quocientes pelos senos dosângulos correspondentes aos outros dois vértices dos lados opostos a esses vértices. Quando ovértice de partida é o vértice a propriedade corresponde à igualdade enunciada. Quando o vérticeGfor , a igualdade passa a serF

- +

ÐGÑ ÐEÑœ

sen sen

e, quando o vértice for , ela passa a serE

, -

ÐFÑ ÐGÑœ

sen sen.

16) Se o automóvel se move à velocidade de Km/h, ele precorre metros em *! *!!!! $'!!segundos, pelo que, sendo a distância em metros percorrida em segundos, podemos escrever aB "!proporção

*!!!! B

$'!! "!œ ,

o que nos permite determinar

B œ œ #&!*!!!! ‚ "!

$'!!.

Podemos assim esquematizar a situação numa figura

– 14 –

Figura 14

onde denota a posição da girafa, a nossa posição no primeiro instante, a posição no segundoK E Finstante e a posição quando estamos mais pertoda girafa, ou seja quando a recta éG GKperpendicular ao caminho percorrido. Reparemos agora que no triângulo o ângulo mede ° ° ° e o ânguloa) ÒEFKÓ F ")! &! œ "$!K ")! Ð"$! $& Ñ œ "& mede ° ° ° °. Aplicando a lei dos senos, cem

FK #&!

Ð$& Ñ Ð"& Ñœ

sen ° sen °,

donde concluímos o valor aproximado

FK œ ¸ ¸ &&%Þ!$#&! ‚ Ð$&Ñ #&! ‚ !Þ&($'

Ð"& Ñ !Þ#&))

sensen °

.

Podemos assim dizer que, no segundo instante, estávamos a cerca de 554 metros da girafa. Podemos escreverb)

FG

FKœ Ð&! Ñcos °

e portanto

FG œ FK ‚ Ð&! Ñ ¸ &&%Þ!$ ‚ !Þ'%#) ¸ $&'Þ"#cos ° .

Para responder à pergunta que nos é feita, basta-nos agora calcular o tempo que o automóvel leva>a percorrer os 356.12 metros de até . Para isso usamos mais uma vez a proporçãoF G

*!!!! $&'Þ"#

$'!! >¸ ,

de onde se deduz que

– 15 –

> ¸ ¸ "%Þ#%$'!! ‚ $&'Þ"#

*!!!!.

Podemos assim dizer que o automóvel leva mais cerca de 14 segundos a chegar ao ponto maispróximo da girafa.

17)

Figura 15

a) °; b) °; c) °; d) °; e) °; f) °; g) °."#! '! "#! "#! "#! ! '!

18) Exercício a realizar na Internet.

19) a) Andar ° no sentido directo conduz à mesma posi que andar"!!! ção final"!!! #° ‚ $'! œ #)!° ° no sentido directo. Andar ° no sentido directo é o mesmo que andar ° no sentido retrógrado eb) "!!! "!!!conduz à mesma posição final que andar ° ° ° no sentido retrógrado."!!! $ ‚ $'! œ )!

20) Já sabemos que se tem \ Ç Ð Ðcos ! !Ñß Ð ÑÑ \sen , se é o ponto da semi-recta correspondenteao ângulo de movimento que está a distância da origem. Sendo ! " ] Ç Ð< Ð Ñß < Ð ÑÑcos ! !sen ,tem-se S]

Ä Äœ < S\ \ ] S ], pelo que e estão na mesma semi-recta de origem e a distância de a

S < \ S <, igual a vezes a distância de a é igual a .

21) Este é um exercício em que não é importante comparar os resultados aproximados obtidospelo estudante com os que fossem obtidos pelo professor pelo que não parece útil apresentar umaproposta de solução. Fazemos apenas algumes observações relativamente a certas alíneas. É importante reparar que o facto de não haver solução única radica não somente no factob)de vários ângulos generalizados corresponderem a uma mesma semi-recta mas também no facto de

– 16 –

semi-rectas distintas corresponderem ao mesmo seno. Análoga observação se pode fazerrelativamente às alíneas c) e d). Dos gráficos parece ressaltar que o contradomínio tanto do seno como do co-seno é oe)intervalo e que o contradomínio da tangente é a totalidade dos números reais. AÒ"ß "Ó ‘confirmação deste facto no círculo trigonométrico pode ser dividida em duas partes: Na primeirarepara-se que o seno e o co-seno estão sempre no intervalo e a tangente é evidentementeÒ"ß "Ósempre um número real; Numa segunda parte, que haverá porventura tendência a esquecer e queimporta não confundir com a primeira, é necessário convencer-nos de que qualquer número nointervalo é seno de algum ângulo e co-seno de outro e de que qualquer número real éÒ"ß "Ótangente de algum ângulo. Para nos convencermos destes últimos factos é possível exibir umaconstrução baseada no círculo trigonométrico, de ângulos nas condições pretendidas. Podemos fazer uma translação para a esquerda e outra para a direita, de comprimentof)correspondente a 360 unidades no eixo das abcissas, e decalcar sobre a folha de acetato o gráficoque está por baixo.

22) a) Trata-de de uma experiência a ser conduzida pelo estudante e que não faz sentidoconfrontar com uma solução do professor. A solução desta alínea poderá depender da calculadora utilizada mas acreditamos que ob)que se passa com mais frequência é que, no caso do seno e da tangente a calculadora escolhe oângulo entre ° e ° (exclusive, no caso da tangente) e no caso do co-seno a calculadfora*! *!escolhe o ângulo qye está entre ° e °. Quando pedimos à calculadora para determinar um! ")!ângulo cujo seno seja ela dá uma mensagem de erro, uma vez que não existe tal ângulo.#

23) a) A função aproxima-se duma cujo período é cerca de .!Þ() A função também admite, por exemplo, os períodos e .b) "Þ&' !Þ() A função admite como períodos todos os da forma , com inteiro não nulo,c) 5 ‚ !Þ() 5positivo ou negativo.

24) Tem-se e .5 .0Ð"!Ñ œ 0Ð&Ñ œ 0Ð!Ñ ¸ " 0Ð*Ñ œ 0Ð%Ñ œ 0Ð"Ñ ¸ "

25) a) A função parece de facto admitir como período, tal como todos os números da forma")!5 ‚ ")! 5, com inteiro não nulo. A um ângulo generalizado e à soma deste com ° correspondem duas semi-rectas com ab) ")!mesma direcção e sentidos opostos, em particular duas semi-rectas que determinam a mesma recta.Uma vez que a tangente de um ângulo generalizado é igual ao declive da recta que ele determina, osdois ângulos generalizados têm a mesma tangente.

26) Recordemos que, se tivermos uma régua de comprimento igual ao do período, quando acolocamos horizontalmente com a extremidade esquerda sobre qualquer ponto do gráfico, aextremidade direita fica sempre sobre o gráfico. Se fizermos isso no caso da tangente, com umarégua com o comprimento correspondente a 180, verificamos que a régua nunca toca o gráfico antesda sua extremidade, pelo que não pode haver nenhum período mais pequeno que °. Se fizermos")!o mesmo com o seno ou o co-seno e com uma régua de comprimento correspondente a ,$'!constatamos que a régua encontra em geral o gráfico uma vez antes da sua extremidade, o que

– 17 –

parece deixar em aberto a possibilidade de existir um período menor que °. No entanto,$'!marcando na régua o segundo ponto que se encontrava no gráfico e deslocando a régua para outroponto do gráfico, constata-se que o ponto marcado não permanece sobre o gráfico pelo que não éefectivamente um período. O que se fez atrás de modo experimental pode ser adaptado a um ponto de vista maisrigoroso: Se é um período positivo da funT ção e se, para um certo valor do domínio, tem-se+0ÐBÑ Á 0Ð+Ñ B Ó+ß + T Ò T para todo o do intervalo , então é mesmo o período positivo mínimo.No caso em que isso não aconteça mas exista apenas um número finito de pontos noB ßá ß B" 8

intervalo com a mesma imagem que e os números , definidos porÓ+ß + T Ò + T ßá ßT" 8

B œ + T B œ + T ßá ß B œ + T" " # # 8 8, ,

não sejam períodos, é ainda o período positivo mínimo. Repare-se que, para verificar que umTcerto não é um período, apesar de se ter , basta arranjar outro elemento doT 0Ð+ T Ñ œ 0Ð+Ñ ,4 4

domínio tal que .0Ð, T Ñ Á 0Ð,Ñ4

27) Uma vez que o seno é negativo (e diferente de ), a semi-recta correspondente ao ângulo"pode estar no terceiro ou no quarto quadrantes. Da igualdade

sen#Ð! !Ñ Ð Ñ œ "cos ,#

podemos tirar

cos#Ð!Ñ œ " Ð Ñ œ " œ% "' *

& #& #&#

e portanto cosÐ!Ñ œ „$& . Se a semi-recta estiver no terceiro quadrante o co-seno é negativo e

portanto cos e tg . Se a semi-recta estiver no quarto quadrante, o co-senoÐ Ñ œ Ð Ñ œ œ! !$ %& Ð Ñ $

Ð Ñsencos

!!

é positivo e portanto cos e tg .Ð Ñ œ Ð Ñ œ œ ! !$ %& Ð Ñ $

Ð Ñsencos

!!

28) Generalizando o que vimos atrás, constatamos que, quando conhecemos o valor sen doÐ!Ñseno de um ângulo sen! ! !, podemos utilizar a igualdade cos para deduzir o valor de#Ð Ñ Ð Ñ œ "#

cos#Ð! !Ñ Ð Ñ mas o valor de cos não fica perfeitamente determinado porque não sabemos se épositivo ou negativo (e, efectivamente, para um dado seno, as duas hipóteses são possíveis). Oúnico caso em que podemos dizer sem ambiguidade qual o valor do co-seno é aquele em que não hálugar para falar de sinal, ou seja aquele em que : Nesse caso podemos dizer quecos#Ð!Ñ œ !cos . O valor do seno referido inicialmente era assim ou .Ð Ñ œ ! " "!

29) Uma vez que a tangente é positiva, o ângulo ! está no primeiro ou terceiroquadrantes.Tem-se

"

Ðœ " Ð

costg ,

##

!!

Ñ % %Ñ œ œ

" &1+ .

donde cos#Ð! ! !Ñ œ Ð Ñ œ " Ð Ñ œ% "& &

# #, sen cos , e portanto

– 18 –

cos , sen .Ð Ñ œ „ œ „ Ð Ñ œ „ œ „# # & " &

& && &! !È È

È È

Mais precisamente, se estiver no primeiro quadrante, cos e sen e, se ! ! ! !Ð Ñ œ Ð Ñ œ# & && &

È Èestiver no terceiro quadrante, cos e sen .Ð Ñ œ Ð Ñ œ ! !# & &

& &

È È

30) a) Estudo das restrições da função sen ° :B È ÐB Ñ

Ò*!ß !Ó Ò!ß *!Ó Ò*!ß ")!Ó Ò")!ß #(!ÓÒ "ß !Ó Ò!ß "Ó Ò!ß "Ó Ò"ß !Ó

! ! ")! ")!contradomínio

zerossentido de crescimento ß ß à à

O contradomínio da funb) ção é . A função é estritamente crecente no intervaloÒ"ß "ÓÒ*!ß *!Ó Ò*! 5 ‚ $'!ß *! 5 ‚ $'!Ó 5 − e, mais geralmente nos intervalos da forma , com , e™é estritamente decrescente no intervalo e, mais geralmente, nos intervalos da formaÒ*!ß #(!ÓÒ*! 5 ‚ $'!ß #(! 5 ‚ $'!Ó 5 − ! ")!, com . Os zeros da função são , e, mais geralmente os™valores do domínio da forma e da forma , com ; este facto pode! 5 ‚ $'! ")! 5 ‚ $'! 5 − ™ser enunciado, de forma mais compacta, dizendo que os zeros são os elementos do domínio daforma , com . A função atinge o seu máximo absoluto, igual a , em tal como, mais: ‚ ")! : − " *!™geralmente, nos pontos da forma ,com , e atinge o seu mínimo absoluto, igual a*! 5 ‚ $'! 5 − ™" *! *! 5 ‚ $'! 5 −, no ponto , e, mais geralmente, nos pontos da forma ,com .™

31) a) Estudo das restrições da função cos ° :B È ÐB Ñ

Ò!ß *!Ó Ò*!ß ")!Ó Ò")!ß #(!Ó Ò#(!ß $'!ÓÒ!ß "Ó Ò"ß !Ó Ò"ß !Ó Ò!ß "Ó*! *! #(! #(!

contradomíniozeros

sentido de crescimento à à ß ß

O contradomínio da funb) ção é . A função é estritamente crecente no intervaloÒ"ß "ÓÒ")!ß $'!Ó Ò")! 5 ‚ $'!ß $'! 5 ‚ $'!Ó 5 − e, mais geralmente nos intervalos da forma , com ,™e é estritamente decrescente no intervalo e, mais geralmente, nos intervalos da formaÒ!ß ")!ÓÒ5 ‚ $'!ß ")! 5 ‚ $'!Ó 5 − *! #(!, com . Os zeros da função são , e, mais geralmente os™valores do domínio da forma e da forma , com ; este facto pode*! 5 ‚ $'! #(! 5 ‚ $'! 5 − ™ser enunciado, de forma mais compacta, dizendo que os zeros são os elementos do domínio daforma , com . A função atinge o seu máximo absoluto, igual a , em tal como,*! : ‚ ")! : − " !™mais geralmente, nos pontos da forma ,com , e atinge o seu mínimo absoluto, igual a5 ‚ $'! 5 − ™" ")! ")! 5 ‚ $'! 5 −, no ponto , e, mais geralmente, nos pontos da forma , com .™

– 19 –

32) a) Estudo das restrições da função tg ° :B È ÐB Ñ

Ó*!ß !Ó Ò!ß *!Ò Ó*!ß ")!ÓÓ Ò")!ß #(!ÒÓ_ß !ÓÓ Ò!ß_Ò Ó_ß !Ó Ò!ß_Ó

! ! ")! ")!contradomínio

zerossentido de crescimento ß ß ß ß

O contradomínio da funb) ção é . A função é estritamente crecente no intervalo e,‘ Ó*!ß *!Òmais geralmente nos intervalos da forma , com . Os zeros daÒ*! 5 ‚ ")!ß *! 5 ‚ ")!Ó 5 − ™função são , e, mais geralmente os valores do domínio da forma , com . A! ")! 5 ‚ ")! 5 − ™função não tem extremos absolutos nem relativos. A função não é crescente na totalidade do seu domínio uma vez que, por exemplo,d)%& ")! Ð%& Ñ œ " ! œ Ð")! Ñ e tg ° tg ° . No entanto ela é estritamente crescente em qualquerintervalo que esteja contido no domínio, uma vez que um tal intervalo está forçosamente contidonum dos intervalos do tipo , com . O que se passa é queÒ*! 5 ‚ ")!ß *! 5 ‚ ")!Ó 5 − ™qualquer contra-exemplo relativo à afirmação de a função ser crescente faz intervir dois númerosque têm entre si um número que não está no domínio.

33) a)

Figura 16

Relativamente ao referencial ortonormado do plano do equador com origem em e definido pelosSvectores /Ä Ä/ \ Ç Ð ÐP98 Ñß ÐP98 ÑÑB C ! \ \ e , tem-se cos sen (lembrar que a unidade de comprimentoconsiderada é o raio da Terra, pelo que a distância de a é ). Podemos assim escrever\ S "!

S\ œ ÐP98 Ñ / ÐP98 Ñ /Ä Ä Ä

! \ B \ Ccos sen .

Pelo modo como a latitude é definida, e por um argumento semelhante ao utilizado nab)alínea precedente, concluímos que, relativamente ao referencial vectorial ortonormado do plano domeridiano constituído pelos vectores tem-se e ,S\ /

Ä Ä! D

– 20 –

S\ œ ÐP+> ÑS\ ÐP+> Ñ /Ä Ä Äcos sen .\ ! \ D

Combinando as conclusões de a) e b), podemos escreverc)

S\ œ ÐP+> ÑS\ ÐP+> Ñ / œÄ Ä Ä

œ ÐP+> Ñ Ð ÐP98 Ñ / ÐP98 Ñ / Ñ ÐP+> Ñ / œÄ Ä Ä

œ ÐP+> Ñ ÐP98 Ñ / ÐP+> Ñ ÐP98 Ñ / Ä Ä

cos sencos cos sen sencos cos cos sen s

\ ! \ D

\ \ B \ C \ D

\ \ B \ \ C en ,ÐP+> Ñ /Ä\ D

e portanto

S\ Ç Ð ÐP+> Ñ ÐP98 Ñ ß ÐP+> Ñ ÐP98 Ñ ß ÐP+> Ñ ÑÄ

cos cos cos sen sen .\ \ \ \ \

34) a) O caso examinado inicialmente, e representado na figura utilizada, era aquele em que oângulo ! ! estava no primeiro quadrante, e portanto o ângulo ° estava no segundo quadrante.*! Nos casos em que está no segundo, no terceiro ou no quarto quadrantes, ° está nos ter-! !*! ceiro, quarto e primeiro quadrantes, respectivamente, e as figuras têm que ser adaptadas. Emqualquer dos casos, constatamos que temos triângulos rectângulos congruentes por teremhipotenuas com o mesmo comprimento e ângulos agudos iguais (por serem definidos por lados"perpendiculares). Em qualquer dos casos o segmento que representa o co-seno de tem o mesmo!comprimento que o que representa o seno de ° e o segmento que representa o seno de tem*! ! !o mesmo comprimento que o que representa o co-seno de ° , pelo que podemos escrever*! !

sen ° , ° sen ,Ð*! Ñ œ „ Ð Ñ Ð*! Ñ œ „ Ð Ñ! ! ! !cos cos

e apenas temos que nos preocupar em verificar que os sinais que efectivamente aparecem em cadaum dos três casos são os mesmos que os que aparecem no caso em que ! está no primeiroquadrante. Ora, isso resulta de que: i) Se está no segundo quadrante, então ° está no terceiro e portanto! !*! sen ° , cos , cos ° e sen .Ð*! Ñ ! Ð Ñ ! Ð*! Ñ ! Ð Ñ !! ! ! ! ii) Se está no terceiro quadrante, então ° está no quarto e portanto sen ° ,! ! !*! Ð*! Ñ !cos , cos ° e sen .Ð Ñ ! Ð*! Ñ ! Ð Ñ !! ! ! iii) Se está no quarto quadrante, então ° está no primeiro e portanto! !*! sen ° , cos , cos ° e sen .Ð*! Ñ ! Ð Ñ ! Ð*! Ñ ! Ð Ñ !! ! ! ! Se está no semi-eixo positivo das abcissas, então ° está no semi-eixo positivo dasb) ! !*! ordenadas e portanto tem-se

sen ° cos , cos ° sen .Ð*! Ñ œ " œ Ð Ñ Ð*! Ñ œ ! œ Ð Ñ! ! ! !

Se está no semi-eixo positivo das ordenadas, então ° está no semi-eixo negativo das! !*! abcissas e portanto tem-se

sen ° 0 cos , cos ° 1 sen .Ð*! Ñ œ œ Ð Ñ Ð*! Ñ œ œ Ð Ñ! ! ! !

Se está no semi-eixo negativo das abcissas, então ° está no semi-eixo negativo das! !*! ordenadas e portanto tem-se

sen ° cos , cos ° sen .Ð*! Ñ œ " œ Ð Ñ Ð*! Ñ œ ! œ Ð Ñ! ! ! !

Se está no semi-eixo negativo das ordenadas, então ° está no semi-eixo positivo das! !*!

– 21 –

abcissas e portanto tem-se

sen ° 0 cos , cos ° 1 sen .Ð*! Ñ œ œ Ð Ñ Ð*! Ñ œ œ Ð Ñ! ! ! !

35) Se eu deslocar para a esquerda o gráfico da função associada ao seno unidades, obtenho a*!função associada ao co-seno.

36)

Ângulo Seno Co-seno Tangente°

°

°

°°

°

°

°°

")! ! " !

"&!

"$& "

"#! $

*! " !

'! $

%& "

$!

! ! "

"# # $

$ $

# ## #

$# #

"

$# #

"

# ## #

"# # $

$ $

È ÈÈ ÈÈ

ÈÈ È

È È

ÈÈ

!

$!

%& "

'! $

*! " !

"#! $

"$& "

"&!

")! ! " !

°

°

°°

°

°

°°

"# # $

$ $

# ## #

$# #

"

$# #

"

# ## #

"# # $

$ $

È ÈÈ ÈÈ

ÈÈ È

È È

ÈÈ

37) a) Uma vez que °")! ! !œ ")! Ð Ñ° , podemos aplicar sucessivamente as duaspropriedades já conhecidas e obter

sen °cos °

tg °

Ð")!

Ð")!

Ð")!

! ! !

! ! !

! ! !

Ñ œ Ð Ñ œ Ð Ñ

Ñ œ Ð Ñ œ Ð Ñ

Ñ œ Ð Ñ œ Ð ÑÞ

sen sencos cos

tg tg

– 22 –

Analogamente, e uma vez que °b) *! ! !œ *! Ð Ñ° ,

sen ° cos coscos ° sen sen

tg °tg tg

Ð*! Ñ œ Ð Ñ œ Ð Ñ

Ð*! Ñ œ Ð Ñ œ Ð Ñ

Ð*! Ñ œ œ" "

Ð Ñ Ð Ñ

! ! !

! ! !

!! !

38) a)

sen ° sen ° ° ° °sen °

Ð*!! Ð(#! ")! (#! ")!

œ Ð")!

! ! ! !

! ! ! !

Ñ Ð*!! Ñ œ Ñ Ð Ñ œ

Ñ Ð")! Ñ œ Ð Ñ Ð Ñ

cos ° coscos ° sen cos

b)

sen ° sen ° °

sen °

Ð#(! Ð")! *!

œ Ð*!

! ! !!

! !! !

Ñ Ð*! Ñ œ Ñ œ"

Ð Ñ

Ñ œ Ð Ñ " "

Ð Ñ Ð Ñ

tg °tg

tg tgcos .

39) Vamos seguir os passos sugeridos: 1) Tem-se,m para ! œ ! ß°

sen sen ° senÐ# Ñ œ Ð! Ñ œ ! œ # ‚ ! ‚ " œ # Ð Ñ Ð Ñ! ! !cos

e, para °,! œ *!

sen sen ° sen .Ð# Ñ œ Ð")! Ñ œ ! œ # ‚ " ‚ ! œ # Ð Ñ Ð Ñ! ! !cos

Verificámos assim que a igualdade é válida para cada ângulo entre °sen senÐ# Ñ œ # Ð Ñ Ð Ñ! ! !cos ! !e °, incluindo a extremidades.*! 2) Suponhamos agora que é umn ângulo entre ° e °. Podemos então escrever! *! ")!! " "œ *! ! *!° com o ângulo entre ° e ° e então, lembrando o que já conhecemos sobre essesângulos ,"

sen sen ° sen sen° sen ° sen .

Ð# Ñ œ Ð")! # Ñ œ Ð# Ñ œ # Ð Ñ Ð Ñ œ

œ # Ð*! Ñ Ð*! Ñ œ # Ð Ñ Ð Ñ

! " " " "

" " ! !

coscos cos

A partir deste momento já sabemos que a igualdade sen sen é válida para todosÐ# Ñ œ # Ð Ñ Ð Ñ! ! !cosos ângulos ! entre ° e °.! ")! 3) Suponhamos agora que é um ângulo entre ° e °. Procedendo de modo anâlogo ao! ")! $'!da alínea precedente, podemos escrever ° com entre ° e ° e então, lembrando o! " "œ ")! ! ")!que já sabemos sobre esses ângulos ,"

sen sen ° sen sensen ° ° sen .

Ð# Ñ œ Ð$'! # Ñ œ Ð# Ñ œ # Ð Ñ Ð Ñ œ

œ # ‚ Ð Ð")! ÑÑ ‚ Ð Ð")! ÑÑ œ # Ð Ñ Ð Ñ

! " " " "

" " ! !

coscos cos

A partir deste momento já sabemos que a igualdade sen sen é válida para todosÐ# Ñ œ # Ð Ñ Ð Ñ! ! !cosos ângulos ! entre ° e °.! $'! 4) Consideremos enfim um ângulo arbitrário. Podemos então escrever ° ,! ! "œ 5 ‚ $'! com inteiro, positivo negativo ou nulo, e entre ° e ° (de entre os números da forma5 ! $'!"

– 23 –

5 ‚ $'!° considerar o maior que é inferior a ). Lembrando o que já sabemos sobre esses ângulos!", vem finalmente

sen sen ° sen sensen ° ° sen .

Ð# Ñ œ Ð# ‚ 5 ‚ $'! # Ñ œ Ð# Ñ œ # Ð Ñ Ð Ñ œ

œ # Ð5 ‚ $'! Ñ Ð5 ‚ $'! Ñ œ # Ð Ñ Ð Ñ

! " " " "

" " ! !

coscos cos

40) Uma vez que ° , concluímos, por aplica"# œ Ð'! Ñcos ção directa da propriedade precedente,

que os ângulos tais que são os da forma ° ° e os da forma! !cosÐ Ñ œ '! 5 ‚ $'!"#

'! 5 ‚ $'! (#! "%%!° °. Vejamos quais, de entre estes, estão entre ° e °. O par de desigualdades

(#! Ÿ '! 5 ‚ $'! Ÿ "%%!

é sucessivamente equivalente a

''! Ÿ 5 ‚ $'! Ÿ "$)!''! "$)!

$'! $'!Ÿ 5 Ÿ ,

e os valores inteiros de que verificam esta última são e . Os correspondentes valores de são5 # $ !

'! # ‚ $'! œ ()! '! $ ‚ $'! œ ""%!° ° °, ° ° °.

Do mesmo modo, o par de desigualdades

(#! Ÿ '! 5 ‚ $'! Ÿ "%%!

é sucessivamente equivalente a

()! Ÿ 5 ‚ $'! Ÿ "&!!()! "&!!

$'! $'!Ÿ 5 Ÿ ,

e os valores inteiros de que verificam esta última são e . Os correspondentes valores de são5 $ % !

'! $ ‚ $'! œ "!#! '! % ‚ $'! œ "$)!° ° °, ° ° °.

Os ângulos pedidos são assim, °, °, ° e °()! "!#! ""%! "$)! Þ

41) Uma vez que senÐ! !Ñ œ Ð*! Ñcos ° , a equação dada é equivalente a

cos cosÐ# Ñ œ Ð*! Ñ! !° ,

que, de acordo com a propriedade que temos estado a utilizar, tem como soluções os ângulos para!os quais existe com ° ° e aqueles para os quais existe com5 − # œ *! 5 ‚ $'! 5 −™ ! ! ™# œ *! 5 ‚ $'! 5 −! ! ™° °. A primeira condição é equivalente à existência de tal que$ œ *! 5 ‚ $'! œ $! 5 ‚ "#!! !° °, ou seja, tal que ° ° e a segunda condição é equivalente àexistência de tal que ° °. Podemos assim dizer que a equação tem como5 − œ *! 5 ‚ $'!™ !soluções os ângulos da forma ° °, com , e aqueles da forma ° °,$! 5 ‚ "#! 5 − *! 5 ‚ $'!™com .5 − ™ Apesar de a solução anterior ser perfeitamente correcta, ela pode ser simplificada serepararmos no seguinte: Podemos escrever

– 24 –

*! 5 ‚ $'! œ $! "#! $5 ‚ "#! œ $! Ð$5 "Ñ ‚ "#! œ $! : ‚ "#!° ° ° ° ° ° ° ° °,

com . As soluções do tipo ° °, com são assim também: œ $5 " − *! 5 ‚ $'! 5 −™ ™soluções do tipo ° °, com , pelo que podemos dizer mais simplesmente que as$! 5 ‚ "#! 5 − ™soluções do nosso problema são as da forma ° °, com .$! 5 ‚ "#! 5 − ™

42) A equação é equivalente a ° e tem assim como soluções os valorescosÐ#! !Ñ œ Ð")! Ñcosde para os quais existe com ° ° e aqueles para os quais existe! ™ ! !5 − # œ ")! 5 ‚ $'!5 − # œ ")! 5 ‚ $'!™ ! ! com ° °. A primeira condição é equivalente a

! œ ")! 5 ‚ $'!° °

e a segunda é equivalente sucessivamente a

$ œ ")! 5 ‚ $'! œ '! 5 ‚ "#!! !° °, ° °.

Podemos assim dizer que as soluções do problema são os ângulos que se podem escrever na!forma ° °, com , e aqueles que se podem escrever na forma ° °,")! 5 ‚ $'! 5 − '! 5 ‚ "#!™com .5 − ™ Como no exercício anterior, a solução pode ser apresentada de modo mais simples serepararmos que

")! 5 ‚ $'! œ '! #%! $5 ‚ "#! œ '! Ð$5 #Ñ ‚ "#!° ° ° ° ° ° °,

com , pelo que as soluções do primeiro tipo são casos particulares das soluções do$5 # − ™segundo.

43) A igualdade sen sen é equivalente a ° ° e tem assimÐ Ñ œ Ð Ñ Ð*! Ñ œ Ð*! Ñ! ! ! !! !cos coscomo solu ° °ções os ângulos tais que existe com ° e aqueles! ™5 − ‚ $'!*! œ *! 5! !!

para os quais existe com ° ° °. A primeira condição é5 − *! œ *! 5 ‚ $'!™ ! !!

sucessivamente equivalente a

œ 5 ‚ $'! œ 5 ‚ $'!! ! ! !! !°, °.

A segunda condição é sucessivamente equivalente a

œ ")! 5 ‚ $'! œ ")! 5 ‚ $'!! ! ! !° °, ° °.! !

Deduzimos assim que as soluções de para os quais existe tal quesen sen são os Ð Ñ œ Ð Ñ! !! ! ™5 −! ! ™ ! !œ 5 ‚ $'! 5 − œ ")! 5 ‚ $'!! !° e aqueles para os quais existe tal que ° °.Poderíamos talvez ser levados a pensar que tínhamos obtido uma solução diferente da enunciada napropriedade anterior, por aparecer o sinal ” ” no lugar od sinal “ ”. No entanto, se pensarmos um pouco, reparamos que não há diferença, na medida que, se é um inteiro, então é também5 5um inteiro e que qualquer inteiro se pode escrever na forma , com inteiro conveniente.5 5

44) Lembrando que sen ° , a equaÈ## œ Ð%& Ñ ção dada é equivalente a sen sen ° e temÐ& Ñ œ Ð%& Ñ!

assim como soluções os ângulos para os quais existe com ° ° e aqueles! ™ !5 − & œ %& 5 ‚ $'!para os quais existe com ° °. A primeira condição é equivalente a5 − & œ "$& 5 ‚ $'!™ !! ! !œ * 5 ‚ (# œ #( 5 ‚ (# à !° ° e a segunda a ° ° a primeira fornece valores de entre ° e$'! 5 œ !ß "ß #ß $ß % 5° exactamente para os valores e a segunda para os mesmos valores de , pelo

– 25 –

que temos, por um lado, as soluções, ° ° ° ° ° e, por outro lado, as soluções* ß )" ß "&$ ß ##& ß #*(#( ß ** ß "(" ß #%$ ß $"&° ° ° ° °. Se quisermos apresentar o conjunto das soluções de forma mais bonita,podemos escrevê-lo com

Ö* ß #( ß )" ß ** ß "&$ ß "(" ß ##& ß #%$ ß #*( ß $"& ×° ° ° ° ° ° ° ° ° ° .

45) Uma vez que o raio é metros, o corredor passa metros a norte do diâmetro exactamente%& "&quando o ângulo ! ! do movimento verifica a condição sen . Utilizando a calculadora,Ð Ñ œ "

$

constatamos que um valor aproximado do ângulo entre ° e ° cujo seno é é ° e um! *! "*Þ%("#"$

valor aproximado do respectivo suplementar é °. Os instantes pedidos correspondem aos"'!Þ&#))ângulos entre ° e °, para os quais sen , ângulos esses que são assim os da forma! ! "!)! Ð+Ñ œ "

$

aproximada ° °, com , e os da forma ° °, com"*Þ%("# 5 ‚ $'! 5 œ !ß "ß # "'!Þ&#)) 5 ‚ $'!5 œ !ß "ß #. Podemos então organizar a lista dos valores aproximados dos ângulos correspondentesaos instantes procurados:

"*Þ%("# "'!Þ&#)) $(*Þ%("# &#!Þ&#)) ($*Þ%("# ))!Þ&#))°, °, °, °, °, °.

Uma vez que o corredor percorre ° em cada segundo os tempos depois da partida em que ele"!passa nas posições referidas são aproximadamente, em segundos,

"Þ* "'Þ" $(Þ* &#Þ" ($Þ* ))Þ", , , , , .

46) a) ° radianos radianos radianos.#! œ œ ¸ !Þ$&#!")! *1 1

° radianos radianos radianos.b) "# œ œ ¸ !Þ#""#")! "&1 1

° radianos radianos.c) "!!! œ œ ¸ "(Þ%&"!!! &!")! *

1 1

° radianos radianos radianos.d) "&! œ œ ¸ #Þ'#"&! &")! '1 1

47) a) $1 radianos ° °.œ œ &%!$ ‚")!11

radianos ° °.b) * *‚")!# #1 œ œ )"!

radianos ° °.c) $ $‚")!"! "!1 œ œ &%

radianos ° °.d) #Þ& œ ¸ "%$Þ##Þ&‚")!1

– 26 –

48)

Ângulo sen tgcos

1

1

1

1

1

1

"!

' # #" "$

$

&

% # ## #

$"!

$ # #$ "

#&

È ÈÉ ÈÉ È

É ÉÈ ÈÈ È

È ÈÉ ÈÉ È

É

&" &"% %

"!# &

"!# &

"!# & "!# &

% %&"

&"

&" &"% %

"!# &

"!# &

"

È È

È È

È

"

$

1

È!# & "!# &

% %&"

&"

È ÈÈ ÉÈ

49) a) Uma vez que sen ° sen , os ângulos referidos são os da forma œ Ð$! Ñ œ Ð Ñ"# '

1

#51 1 1' 1 ™ 1 1 1 ™, com , e os da forma ( + , com .5 − Ñ #5 œ #5 5 −' '

(

Não estudámos, na secção precedente, as equações trigonométricas do tipo tg tgb) Ð Ñ œ Ð Ñ! !!

mas é fácil adaptar os raciocínios então feitos, relativamente ao seno e ao co-seno, para concluir queos ângulos que verificam aquela equação são os que correspondem à mesma semi-recta que e! !!

os que correspondem à semi-recta oposta, que é a associada a , e portanto são os ângulos da1 ! !

forma , com , e os da forma , com . No nosso caso, uma vez que! 1 ™ ! 1 1 ™! ! #5 5 − #5 5 −" œ Ð Ñ #5tg , as soluções são as que se podem escrever nalguma das formas e1 1

% %! 11% #5 5 −1 1 ™, com . Note-se que esta solução pode ser enunciada de forma equivalente dizendo que os ângulosprocurados são os da forma , com . Basta, com efeito, reparar que os valores desta1

% 8 8 −1 ™

forma com par correspondem aos da expressão e aqueles com ímpar correspondem8 #5 81% 1

aos da expressão .1 1% % #5 œ Ð#5 "Ñ1 1 1

A igualdade c) sen é equivalente a sen sen e tem assim comoÐ% Ñ œ Ð Ñ Ð% Ñ œ Ð Ñ! ! ! !cos 1#

soluções os ângulos para os quais existe com e aqueles para os quais! ™ ! ! 15 − % œ #51#

existe com . A igualdade é sucessivamente5 − % œ Ð Ñ #5 % œ #5™ ! 1 ! 1 ! ! 11 1# #

equivalente a

& œ #5 œ # "! &

#5! 1 !

1 1 1,

e a igualdade é sucessivamente equivalente a% œ Ð Ñ #5! 1 ! 11#

$ œ #5 œ # ' $

#5! 1 !

1 1 1, ,

pelo que podemos dizer que as soluções são os ângulos que se podem escrever nalguma das!formas e , com .1 1 1 1

"! & ' $#5 #5 5 − ™

– 27 –

50) A desigualdade em P9 pode ser escrita na forma

senÐ! !!

!Ñ

Ð Ñ

Ð Ñ

sencos

e dela podemos deduzir, uma vez que e portanto sen! Ð! !1# Ñ !,

" Ð Ñ Ð Ñ

"!

! !sen cos

e portanto também, invertendo os números positivos que intervêm nestas desigualdades,

" Ð ÑÐ Ñsen

.!

!!cos

Quando , apesar de estritamente positivo, está próximo de , constata-se intuitivamente,! !

examinando o círculo trigonométrico, que está próximo de e portanto também , quecosÐ Ñ "! senÐ Ñ!!

está entre e , está próximo de . Mas é o declive da recta que une a origem docosÐ Ñ " "! senÐ Ñ!!

referencial ao ponto do gráfico com abcissa . O facto de esse declive estar próximo de explica! "porque é que o gráfico está próximo da recta que passa pela origem e tem declive . Examinámos o"que se passava no caso em que mas, quando está próximo de , tem-se com! ! ! " ! ! ! œ

" ! ! œ œ também próximo de e então , pelo que caímos no caso estudadosen sen senÐ Ñ Ð Ñ Ð Ñ

! " "! " "

anteriormente. Note-se que na resolução deste exercício utilizámos um conceito matematicamente poucoexplicado, nomeadamente o que significa “estar próximo”. O exame mais cuidado do que issosignifica será abordado mais à frente, quando se estudar as noções de limite e continuidade.

51) Tem-se

Ð# ? Ñ † Ð$ @ Ñ œ # Ð? † Ð$ @ ÑÑ œ # Ð$ Ð? † @ ÑÑ œ '?Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä† @ .

52)

Figura 17

– 28 –

Começámos por escolher um ponto sobre a recta e representar o três vectores por setas comSorigem em . Projectámos então as extremidades dessas três setas ortogonalmente sobre a recta eS <utilizámos essas projecções como extremidades dos vectores projecção , e , representados@ @ @Ä Ä Äw w w

" # $

com origem em . O vector é o vector e não aparece por isso assinalado na figura.S @ !Ä Äw$

53)

Figura 18

Representámos o vector por uma seta situada sobre a recta , desenhámos uma perpendicular àA <Ä

recta passando pela extremidade desta e considerámos os três vectores , e utilizando a< @ @ @Ä Ä Ä" # $

mesma origem que a da seta que representa e com as extremidades na recta perpendicularAÄ

referida. Repare-se que um dos vectores possíveis, que notámos , é o próprio vector .@ AÄ Ä$

54) a) Se a projec coincide com , uma vez que ação ortogonal de sobre , então @ @ −Ä Ä Äi iÄ Ä

@< <

projec . Reciprocamente, se , então podemosção ortogonal pertence, por definição, a i iÄ Ä

@< <Ä −

escrever a decomposi e pelo que, por definição , onde é ortogonal a ção,@ œ @ ! @ −Ä Ä ÄÄ Äi iÄ Ä

!< <

@ @Ä Ä é a projecção ortogonal de sobre iÄ

<. Se a projec for b) ção ortogonal de sobre , podemos escrever , com @ @ œ ! @ @Ä Ä Ä ÄÄ Ä

iÄ

!<ww ww

ortogonal a é orotognal a é ortogonal a i i iÄ Ä Ä

@ @< < < e portanto . Reciprocamente, se ,Ä Ä Äœ @ ww

podemos escrever , pelo que, por defini@ÄÄ Äœ ! @ ! − !

Ä Ä Ä, com ção, é a projecção ortogonal dei <

@Ä sobre iÄ

<.

55) Consideremos um plano vectorial iÄ

@Ä! e um vector do espaço. Então: A projecção ortogonal de sobre é igual a se, e só se, .a) @ @ @ −Ä Ä ÄÄ Ä

i i! !

A projecção ortogonal de sobre é igual a se, e só se, é ortogonal a .b) @ ! @Ä ÄÄ ÄÄi i! !

– 29 –

56) Se os vectores e têm projecções ortogonais e , respectivamente, sobre um plano@ A @ AÄ Ä Ä Äw w

vectorial , então a projecção ortogonal do vector sobre é o vector e, parai iÄ Ä

@ A @ AÄ Ä Ä Ä! !

w w

cada real , a projecção ortogonal de sobre é .> > @ > @Ä ÄÄi !

w

57) Para determinar aproximadamente o produto escalar ?Ä Ä† @ em cada um dos três casos,recorremos às figuras seguintes, em que foram determinadas gráficamente as projecções ortogonaisde sobre a recta vectorial que contém , e obtemos respectivamente os valores aproximados@ ?Ä Ä

? † @ œ m?mm@ m ¸ #Þ# ‚ "Þ!& ¸ #Þ$Ä Ä Ä Ä

? † @ œ m? mm@ m ¸ #Þ# ‚ "Þ% ¸ $Þ"Ä Ä Ä Ä

? † @ œ !Ä Ä

w

w

.

Figura 19

Para determinar aproximadamente o produto escalar @Ä Ä† ? em cada um dos três casos,recorremos às figuras seguintes, em que foram determinadas gráficamente as projecções ortogonaisde sobre a recta vectorial que contém , e obtemos respectivamente os valores aproximados? @Ä Ä

@ † ? œ m@ mm? m ¸ "Þ(& ‚ "Þ#& ¸ #Þ#Ä Ä Ä Ä

@ † ? œ m@ mm? m ¸ "Þ*& ‚ "Þ& ¸ #Þ*Ä Ä Ä Ä

@ † ? œ !Ä Ä

w

w

.

Figura 20

Do exame dos resultados obtidos, e tendo em conta os inevitáveis erros nas medições efectuadas,parece possível que, em cada um dos casos, se tenha (isso é de facto verdadeiro,? † @ œ @ † ?Ä Ä Ä Ä

como sejustificerá a seguir no curso).

58) Examinemos o caso da primeira igualdade, uma vez que o da segunda é análogo. A ideia éreparar que ?Ä Ä Ä @ ? pode ser olhado como a de dois vectores, nomeadamente os vectores esoma@Ä, e aplicar a propriedade distributiva que envolve a soma:

Ð? @ Ñ † A œ Ð? Ð@ ÑÑ † A œ ? † A Ð@ Ñ † A œÄ Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä

œ ? † A ÐÐ@ † AÑÑ œ ? † A @ † AÄ Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä.

– 30 –

59) Podemos escrever

m? @ m œ Ð? @ Ñ † Ð? @ Ñ œ ? † Ð? @ Ñ @ † Ð? @ Ñ œÄ Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä

Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä† ? ? † @ @ † ? @ † @ œ m? m m@ m #? † @

#

# #œ ? .

No caso em que os vectores ?Ä Ä Ä Ä@ ? † @ œ ! e são ortogonais, tem-se e a fórmula anterior reduz-se àigualdade , que já encontrámos no décimo ano (a versão vectorial dom? @ m œ m? m m@ mÄ Ä Ä Ä# # #

teorema de Pitágoras).

60) Podemos escrever

Ð?

œ ? œ

Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä @ Ñ † Ð? @ Ñ œ ? † Ð? @ Ñ @ † Ð? @ Ñ œÄ Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä† ? ? † @ @ † ? @ † @ m? m m@ m# #

pelo que se tem m? m œ m@ m @ Ñ † Ð? @ Ñ œ !Ä Ä Ä Ä ÄÄ se, e só se, .

61)

Figura 21

Nas condia) ções da figura, tem-se , tratando-se assim de um vector cujaB @ œ F\Ä Ä Ä

direcção é a da altura correspondente ao vértice . Daqui se conclui que este vector é ortogonal àFbase , e portanto ao vector , o que pode ser traduzido pela igualdade SE ?Ä ÐB @ Ñ † ? œ !Ä Ä Ä .Analogamente, .B ÐB ? Ñ † @ œ !Ä Ä ÄÄ Ä Ä ? œ E\ @

Ä é ortogonal ao vector , e portanto

As igualdades obtidas em a) permitem-nos escreverb)

! œ ÐB @ Ñ † ? œ BÄ Ä Ä

! œ ÐB ? Ñ † @ œ BÄ Ä Ä

Ä Ä Ä Ä† ? @ † ?Ä Ä Ä Ä† @ ? † @

.

Subtraindo membro a membro as igualdades precedentes, obtemos

! œ BÄ Ä Ä Ä Ä Ä Ä† ? B † @ œ B † Ð? @ Ñ

o que mostra que o vector BÄ Ä Ä? @ œ FE S\Ä

é ortogonal ao vector . Isso quer dizer que a recta éperpendicular à recta , sendo assim a altura correspondente ao vértice , o que nos permiteEF Sconcluir que esta última passa pelo ponto .\

– 31 –

62) Podemos escrever

" œ

œ @

m@ ?m œ Ð@ ? Ñ † Ð@ ? Ñ œ @ † Ð@ ? Ñ ? † Ð@ ? Ñ œÄ Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä

Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä† @ @ † ? ? † @ ? † ? œ " #? † @ "

#

,

de onde deduzimos que #?Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä† @ œ " ? † @ œ ? † @ œ m? mm@ m Ð Ñ œ, ou seja, . Uma vez que "# cos !

cosÐ Ñ '! ! ")!! !, e que ° é o ângulo entre ° e ° cujo cos-seno é , podemos dizer que o ângulo entre"#

os dois vectores é °. A conclusão pode ser interpretada geometricamente do seguinte modo:'!Representamos os dois vectores e por duas setas com a mesma origem e extremidades e? @ S EÄ Ä

F, respectivamente.

Figura 22

Uma vez que , as hipóteses do exercício mostram que o triângulo tem os três@ ? œ EF ÒSEFÓÄ Ä Ä

lados com o mesmo comprimento . Trata-se assim de um triângulo equilátero cujos ângulos"medem portanto °.'!

63) a) Tem-se

? † @ œ m? mm@ m Ð"#! Ñ œ Ä Ä Ä Ä "

#cos ° .

Vemb)

Ð#?Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä $@ Ñ † @ œ #? † @ $ @ † @ œ " $ œ 4

e

m#? $@ m œ Ð#? $@ Ñ † Ð#? $@ Ñ œ %? † ? '? † @ ' @ † ? * @ † @ œÄ Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä ÄÉ Èœ % $ $ * œ "*È È .

Uma vez quec)

% œ Ð#?Ä Ä Ä Ä Ä Ä $@ Ñ † @ œ m#? $@ mm@ m Ð Ñ œ "* Ð Ñcos cos! !È ,

concluímos que cosÐ! !Ñ œ ¸ !Þ*"('' ¸ "&'Þ&*%

"*È , e portanto °.

– 32 –

64) Tem-se

E\

E\

Ä Ä Ä Ä Ä Ä† EF œ EF † EF EG † EF

Ä Ä Ä Ä Ä Ä† EG œ EF † EG EG † EG

e portanto, uma vez que EF † EF œ mEFm œ mEGm œ EG † EGÄ Ä Ä Ä Ä Ä

# # ,

E\ E\Ä Ä Ä Ä

† EF œ † EG .

Mas, sendo e os ângulos que o vector faz com e , respectivamente, tem-se! " E\ EF EGÄ Ä Ä

E\ E\Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä

† EF œ mE\mmEFm Ð Ñ † EG œ mE\mmEGm Ð Ñcos cos! ",

pelo que, tendo em conta mais uma vez o facto de se ter , concluímos quemEFm œ mEGmÄ Ä

cos cosÐ Ñ œ Ð Ñ ! ")! œ! " ! ", ou seja, uma vez que estamos em presença de ângulos entre ° e °, .

65) a) Sabemos que a soma dos ângulos interno dum polígono convexo com lados é igual a8Ð8 #Ñ ‚ ")! $ ‚ ")! œ &%!°. No caso do pentágono essa soma é ° ° e portanto cada um dosângulos internos mede °. Tem-se ° ° sen ° e&%!

& %&"° œ "!) Ð"!) Ñ œ Ð(# Ñ œ Ð") Ñ œ cos cos È

assim

? † @ œ m? mm@ m Ð"!) Ñ œ Ä Ä Ä Ä & "

%cos ° .

È Vemb)

m@ ?m œ Ð@ ? Ñ † Ð@ ? Ñ œ @ † @ #? † @ @ † @ œ # œÄ Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä & " $ &

# #

m? @ m œ Ð? @ Ñ † Ð? @ Ñ œ ? † ? #? † @ @ † @ œ # œÄ Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä & " & &

# #

#

#

È ÈÈ È

.

Do segundo resultado podemos deduzir facilmente a fórmula pedida para :m? @ mÄ Ä

m? @ m œ œ œÄ Ä & & "! # &

# % #

"! # &Ë ËÈ È É È.

Poderíamos chegar do mesmo modo a uma fórmula para mas essa fórmula não seria tãom@ ?mÄ Ä

simples como a que nos é sugerida e poderíamos sentir dificuldade em simplificá-la. Podemos, noentanto, tirar partido do resultado que nos é sugerido e verificar se ele está correcto. Maisprecisamente, para verificar que È È&" $ &

# # é a raíz quadrada de , basta calcular o quadrado deÈ È&" $ &# # e verificar que ele é igual a . Ora,

È È È È È& " Ð & "Ñ & " # & ' # & $ &

# % % % #œ œ œ œ

##

,

como queríamos. Completemos a figura do seguinte modo, indicando os valores em graus de alguns dosc)ângulos envolvidos:

– 33 –

Figura 23

Desta figura podemos concluir que o ângulo dos vectores IHÄ

? $'Ä e é °, e portanto que

IH † ? œ Ð$' Ñ œÄ Ä cos °

È& "

%

e que o ângulo dos vectores e é °, e portanto queIH @ (#Ä Ä

IH † @ œ Ð(# Ñ œ Ð") Ñ œÄ Ä cos ° sen °

È& "

%.

Podemos escrever , com os coeficientes e a determinar pelas equaçõesIH œ +? ,@ + ,Ä Ä Ä

ÈÈ È

& "

%œ IH

& " & "

% %œ IH + ,

Ć ? œ +? † ? ,? † @ œ + ,Ä Ä Ä Ä Ä & "

%

Ć @ œ +? † @ ,@ † @ œ Ä Ä Ä Ä Ä

È.

A segunda equação é equivalente a

, œÈ È& " & "

% % +

e, substituindo este valor de na primeira equação, obtemos sucessivamente,

È È È ÈÈ È È

È È

& "

%œ + +

& " ' # & ' # &

% "' "'œ + +

& " ' # & "! # &

% "' "' œ +

"! # & "! # &

"' "'œ +

È È& " & "

% %

+ œ "

# #

,

e, substituindo na equação anterior, vem

– 34 –

, œÈ È È& " & " & "

% % # œ .

Obtivémos assim a primeira fórmula pedida

IH œ ? @Ä Ä Ä& "

#

È.

A segunda fórmula obtém-se de modo análogo, trocando os papéis de e :? @Ä Ä

FG œ ? @Ä & "

#Ä ÄÈ

.

Enfim, podemos escrever

GH œ EHEG œ Ð@ IHÑ Ð? FGÑ œ Ð@ @ ? Ñ œÄ ÄÄ Ä Ä Ä Ä Ä Ä ÄÄ & "

#

œ @ ? œ Ð@ ? Ñ& " & " & "

# # #Ä Ä Ä Ä

? @ Ñ Ð?Ä Ä& "

#

È ÈÈ È È

.

Nota: Tal como foi referido na nota de pé de página, os cálculos algébricos que acabámos de fazeradmitem uma alternativa geométrica porventura mais simples. Partimos da constatação de que asrectas e são paralelas, o que pode ser facilmente justificado utilizando a seguinte figura,EI FHobtida por prolongamento dos lados e do pentágono.ÒIHÓ ÒEFÓ

Figura 24

Retomamos em seguida a figura inicial e traçamos um paralela a passando por que vaiIH Eintersectar num ponto .FH J

– 35 –

Figura 25

ÒEIHJÓ é assim um paralelogramo e portanto

IHœ EJ œ ? FJÄ ÄÄ Ä .

O comprimento de pode ser calculado a partir do triângulo isósceles , com os ladosFJ ÒEFJÓÄ

iguais de comprimento , sendo assim igual a sen ° tem a mesma" # Ð") Ñ œÄÈ&"

# . Uma vez que FJ

direcção e sentido que o vector , de norma , podemos concluir que , portanto@ " FJ œÄ ÄÄ È&"# @

IHœ EJ œ ? Ä Ä Ä ÄÈ& "

#@ .

66) a) Tal como verificámos no exercício precedente, tem-se ?Ä Ä† @ œ È&"

% e, do mesmomodo, e . Vem então? † A œ @ † A œ Ä Ä Ä ÄÈ È&" &"

% %

m? @ Am œ Ð? @ AÑ † Ð? @ AÑ œÄ Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä

œ ? † Ð? @ AÑ @ † Ð? @ AÑ A † Ð? @ AÑ œÄ Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä

œ ? † ? ? † @ ? † @ @ † ? @ † @ @ † A A † ? A † @ AÄ Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä

#

† A œÄ

œ $ ' ‚ œ œ& " "# ' & ' * $ &

% % #

È È È,

e portanto

m? @ Am œÄ Ä Ä * $ &

#Ë È

.

Este não é o resultado que nos é proposto e pode não ser muito claro como fazer para chegar àquelea partir deste. No entanto, e como já fizémos num exercício anterior, podemos proceder ao contrárioe verificar se o quadrado do valor proposto é igual a . E, de facto, assim é:*$ &

#

È

È È ÈÈ È$

& "

#

##

œ $ ‚ œ $ ‚ œÐ & "Ñ ' # & * $ &

% % #.

– 36 –

A alínea c) do exercício precedente permite-nos escrever, a partir dos vectoresb)correspondentes a dois lados consecutivos dum pentágono regular, os vectores correspondentes aosrestantes lados. Vamos determinar os vectores pedidos como combinação linear de , assim? ß @ ß AÄÄ Ä

como outros que sejam necessários como auxiliares utilizando esse facto, relativamente a diferentesfaces do dodecaedro. Notamos na figura os vectores que vão sendo sucessivamenteD ß D ßáÄ Ä

" #

calculados.

Figura 26

– 37 –

D œ ? Ä Ä Ä

D œ A Ä Ä Ä

D œ D œ A @ œÄ Ä Ä Ä Ä Ä Ä

œ A @ œ A @ Ä Ä Ä Ä Ä Ä

D œÄ Ä

"

#

$ # "

#

%

ÈÈÈ È È ÈÈ È È È

È

& "

#@

& "

#@

& " & " & " & "

# # # #D @ ?

& " ' # & & " & "

# % # # ? ?

& "

#?

Ä

D œ D œÄ Ä Ä

œ ? œÄ Ä Ä Ä Ä

œ ? œ ? Ä Ä Ä Ä

ÈÈ

È È È È ÈÈ È È È

& "

#@

& "

#D

& " & " & " & " & "

# # # # #? @ A @

& " ' # & & " & "

# % # # A A

& % $

#

.

Repare-se que este último resultado podia ser obtido mais facilmente se reparássemos que o vectorD ? AÄ Ä Ä

& coincide com um dos vectores da face onde estão representados e . Análoga observaçãopodia ser feita para os resultados obtidos a seguir para e .D DÄ Ä

' (

D œ œÄ Ä Ä

œ @ @ œÄ Ä Ä Ä

œ Ä Ä

D œ D œÄ Ä Ä

œ AÄ Ä Ä

' # "

# #

( ' &

#

È ÈÈ È È ÈÈ È

ÈÈ È È È

& " & "

# #D D

& " & " & " & "

# # # #A ?

& " & "

# #A ?

& "

#D

& " & " & " & "

# # # #A ? ?

Ĝ

œ Ð œ AÄ ÄÈ È& " ' # &

# % ÑA .

Tem-sec)

SE œ @ D D D D œÄ Ä Ä Ä Ä Ä

œ @ ? A @ ? A œÄ Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä

œ # Ð? @ AÑ œ Ð? @ AÑÄ Ä Ä Ä Ä Ä$ &

#

" $ & (È È ÈÈ

& " & " & "

# # #@ ? A

& "

# È.

– 38 –

Daqui deduzimos que

mSEm œ m? @ Am œ $ œÄ $ & $ & & "

# # #Ä Ä Ä

œ $ œ $& $ $ & & & "

% #

È È ÈÈÈ ÈÈ È È

.

Este vai ser o diâmetro da esfera circunscrita ao dodecaedro e o raio desta é assim

raio .œ $& "

%È È

67) Tem-se FGÄ

œ EG EFÄ Ä

, e portanto

+ œ mFGm œ ÐEG EFÑ † ÐEG EFÑ œ EG † ÐEG EFÑ EF † ÐEG EFÑ œÄ Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä

œ EG † EG EG † EF EF † EG EF † EF œ , - #EF † EG œÄ Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä

œ , - # ,- ÐEÑ

# #

# #

# # cos .

68)

Figura 27

Sendo a distância referida, em Km, podemos aplicar directamente a propriedade precedente para.deduzir que

. œ $ # ## # # ‚ $ ‚ # ‚ Ð$& Ñcos °

e portanto, utilizando a calculadora,

. œ "$ "# ¸ "Þ()È ‚ Ð$& Ñcos ° .

A distância pedida é assim cerca de Km."Þ()

– 39 –

69) A ideia é considerar um referencial vectorial ortonormado /Ä Ä Ä Ä Äß / ß / / œ /B C D B tal que . Umavez que os vectores e são ambos ortogonais a , qualquer combinação linear dos vectores / / / /Ä Ä Ä Ä

C D C

e é também ortogonal a , e portanto à recta . Se é um vector arbitrário do espaço, sabemos/ / < ?Ä Ä ÄD

que se pode escrever

? œ Ð? † / Ñ / Ð? † / Ñ / Ð? † / Ñ /Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä ÄC C D D ,

com Ð? † / Ñ / < Ð? † / Ñ / Ð? † / Ñ / <Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä vector da recta e vector ortogonal à recta e este factoC C D D

implica, por defini é a projecção, que ção orotogonal de sobre a recta vectorial e queÐ? † / Ñ /Ä Ä Ä ?ÄÄi <

Ð? † / Ñ / Ð? † / Ñ /Ä Ä Ä Ä Ä ÄC C D D é a projecção ortogonal de sobre o plano vectorial .?Ä

Äi !

70) a) Tem-se, neste referencial ortonormado, EFÄ Ä

Ç Ð$ß "Ñ EG Ç Ð$ß %Ñ e , pelo que

EF † EG œ $ ‚ $ " ‚ % œ &Ä Ä

mEFm œ Ð$Ñ " œ "!Ä

mEGm œ $ % œ &Ä

,

,

.

È ÈÈ

# #

# #

Da fórmula , deduzimos queb) EF † EG œ mEFmmEGm ÐEÑÄ Ä Ä Ä

cos

cosÐEÑ œ œ œ EF † EG & "Ä Ä

mEFmmEGmÄ Ä

& "! "!È È .

Utilizando a calculadora, obtemos então o valor aproximado

E ¸ "!)Þ%$%*°.

Para se obter um vector directo de norma da recta , basta dividir o vector pela suac) " EG EGÄ

norma (isto é, multiplicá-lo por ). Obtemos assim o vector director"

mEGmÄ

/ œ EG Ç Ð ß ÑÄ " $ %

mEGmÄ

Ä

& &.

De acordo com o que se concluíu no exercício 69, a projecção pedida é

ÐEF † / Ñ / œ Ð$ ‚ " ‚ Ñ / œ / Ç Ð ß ÑÄ Ä Ä Ä Ä$ % $ %

& & & &.

– 40 –

71)

Figura 28

Escolhemos um referencial ortonormado determinado pela origem e pelos vectoresE

/ / /Ä Ä Äœ EF œ EH œ EIÄ Ä Ä

B C D, , .

Relativamente a este referencial vem

E Ç Ð!ß !ß !Ñ F Ç Ð"ß !ß !Ñ G Ç Ð"ß "ß !Ñ

H Ç Ð!ß "ß !Ñ I Ç Ð!ß !ß "Ñ J Ç Ð"ß !ß "Ñ

K Ç Ð"ß "ß "Ñ L Ç Ð!ß "ß "Ñ \ Ç Ð!ß ß "Ñ"

#

] Ç Ð ß !ß "Ñ E\ E]$

%

, , ,, , ,

, , ,Ä Ä

Ç Ð!ß ß "Ñ Ç Ð ß !ß "Ñ" $

# %.

Deduzimos daqui que

mE\m œ " œÄ " &

% #

mE] m œ " œÄ * &

"' %Ä Ä

† E] œ ! ‚ ‚ ! " ‚ " œ "$ "

% #

Ê ÈÊ

,

,

E\

e portanto, sendo ! o ângulo destes dois vectores, tem-se

cosÐ Ñ œ œ" )

‚ & &! È&

# %& È .

Utilizando a calculadora científica, obtemos o valor aproximado de !

! ¸ %%Þ$"°.

– 41 –

72) a) De acordo com o que se viu no exercício referido, tem-se

B œ Ð$)ß ("( Ñ Ð*Þ"#& Ñ ¸ !Þ((!$(

C œ Ð$)ß ("( Ñ Ð*Þ"#& Ñ ¸ !Þ"#$(%

D œ Ð$)ß ("( Ñ ¸ !Þ'#&%(

B œ Ð$)ß ("( Ñ Ð"'Þ#*" Ñ ¸ !Þ(%)*

P

P

P

Q

cos coscos

cos cos

° °° sen °

sen °° ° #

C œ Ð$)ß ("( Ñ Ð"'Þ#*" Ñ ¸ !Þ#"))(

D œ Ð$)ß ("( Ñ ¸ !Þ'#&%(Q

Q

cos ° sen °sen °

O comprimento do túnel é simplemente a distância no espaço dos pontos e , sendob) P Qassim dado por

. œ ÐB B Ñ ÐC C Ñ ÐD D Ñ ¸ÈQ P Q P Q P

# # # 0.34328.

c)

Figura 29

O raio da circunfrência percorrida mede ° . O perímetro, que corresponde acosÐ$)Þ("( Ñ ¸ !Þ()!#%&percorrer um arco de ° sobre essa circunferência meda aproximadamente$'!

#1 ‚ !Þ()!#%& ¸ %Þ*!#%#$

e portanto o caminho percorrido ao longo do paralelo, correspondente a um arco de

"'Þ#*" *Þ"#& œ° ° 25.416°

mede aproximadamente

. ¸ !Þ$%'""%Þ*!#%#$

$'!w œ

‚ #&Þ%"'.

O arco percorrido ao da circunferência de centro no centro da Terra é igual ao ângulo d) !

entre os vectores e , o qual, uma vez que estes vectores têm norma , está definido porSQ SP "Ä Ä

cosÐ Ñ œ SQ † SP ¸ ‚ ‚ ‚Ä Ä

¸ !Þ*%"!)

! !Þ((!$( !Þ(%)*# !Þ"#$(% !Þ#"))( !Þ'#&%( !Þ'#&%(

,

portanto

– 42 –

! ¸ "*Þ('(°

O caminho percorrido calcula-se, mais uma vez, por proporcionalidade: Um arco de °$'!corresponde a uma distância de e portanto o arco de aproximadamente 19.767° corresponde#1aproximadamente à distância

. ¸ ¸ !Þ$%&!!# ‚ "*Þ('(

$'!ww 1

.

Do exame da figura seguinte (que não está à escala)

Figura 30

concluímos que o ponto mais profundo do caminho em linha recta de para tem uma distânciaP Qao centro igual a e portanto uma profundidadecosÐ Ñ!#

: œ " Ð Ñ ¸ !Þ!"%)%#

cos!

.

O objectivo desta alínea é dar uma interpretação mais familiar aos resultados obtidos nase)outras alíneas, traduzindo para Km os comprimentos, que até agora utilizaram como unidade o raioda Terra. Lembrando que este mede aproximadamente Km, podemos dizer que:'$'' e1) O comprimento do túnel é aproximadamente Km.#")& e2) O caminho ao longo do paralelo, sempre na direcção Leste, é aproximadamente Km.##!$ e3) O caminho mais curto sobre a superfície da Terra é aproximadamente Km.#"*' e4) A profundidade máxima atingida pelo túnel é aproximadamente Km.*%

– 43 –

73) a)

sen ° ° ° ° ° ° sen ° sen °

sen ° ° ° ° °

Ð"& Ñ œ Ð(& Ñ œ Ð%& $! Ñ œ Ð%& Ñ Ð$! Ñ Ð%& Ñ Ð$! Ñ œ

œ#

#Ð(& Ñ œ Ð"& Ñ œ Ð%& $! Ñ œ Ð%& Ñ

cos cos cos cos

cos cos cos c

È‚ ‚ œ

$ # " ' #

# # # %

È È ÈÈ,

os

cos

Ð$! Ñ Ð%& Ñ Ð$! Ñ œ

œ#

#

Ð"& Ñ œ œ œ œ œÐ"& Ñ Ð

Ð"& Ñ Ð

œ' # # "

° sen ° sen °

tg °sen °

°

È

È

‚ ‚ œ$ # " ' #

# # # %

' # ' #Ñ

' # ' #ÑÐ ' #Ñ

È È ÈÈÈ ÈÈ ÈÈ È ÈÈ È È

,È ÈÈ È

' #%

' #%

#

# ) # $ %

' # %œ œ # $

Ð(& Ñ œ œ œ œ œÐ(& Ñ Ð

Ð(& Ñ Ð

œ œ œ # $' # # "# ) # $ %

' # %

È È È

È È È È

,

tg °sen °

°

.

cos

È ÈÈ È

' #%

' #%

#È ÈÈ ÈÈ È ÈÈ È È' # ' #Ñ

' # ' #ÑÐ ' #Ñ

Uma vez que acabámos de determinar os valores do seno e do co-seno de ° e queb) "&determinámos no exercício 5 os valores destas razões trigonométricas para o ângulo de °,")podemos utilizar as fórmulas para o seno e o co-seno da diferença de dois ângulos para determinaro seno e o co-seno do ângulo de °. A partir destes dois valores podemos determinar, por divisão, o$valor da tangente de °.$ Conseguiríamos determinar os valores das razões trigonométricas para os ângulos da formac)5 ‚ $ 5 −°, com .™

74) a) A fórmula pedida vale, naturalmente, apenas para os valores de ! " e para os quais osegundo membro faz sentido, ou seja, para os quais e são diferentes de . Pode entãocos cosÐ Ñ Ð Ñ !! "escrever-se

tgsen sen sen

sen senÐ Ñ œ œ œ

Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ

Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ

œ

! "! " ! " ! "

! " ! " ! "cos cos coscos cos

sen sen

s

Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ Ð ÑÐ Ñ Ð Ñ

Ð Ñ Ð Ñ

! " ! "! "

! "

cos coscos cos

cos cos en senÐ Ñ Ð ÑÐ Ñ Ð Ñ

! "! "cos cos

œÐ Ñ Ð Ñ

" Ð Ñ Ð Ñ

tg tgtg tg

.! "

! "

Reparando que , vemos queb) ! " ! " œ Ð Ñ

tg .tg tg tg tg

tg tg tg tgÐ Ñ œ œ

Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ

" Ð Ñ Ð Ñ " Ð Ñ Ð Ñ! "

! " ! "

! " ! "

75) a) Tem-se

senÐ#! ! ! ! ! ! ! ! !Ñ œ Ð Ñ œ Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ œ # Ð Ñ Ð Ñsen sen sen sen .cos cos cos

Tem-seb)

– 44 –

cosÐ#! ! ! ! ! ! ! ! !Ñ œ Ð Ñ œ Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ œ Ð Ñ Ð Ñcos cos cos cossen sen sen .# #

Se lembrarmos a identidade sen#Ð! !Ñ Ð Ñ œ "cos# , podemos substituir, na igualdade obtida,sen por ou por sen de modo a obter respectivamente# # # #Ð Ñ " Ð Ñ Ð Ñ " Ð Ñ! ! ! !cos cos

cos cos cos coscos

Ð# Ñ œ Ð Ñ Ð" Ð ÑÑ œ # Ð Ñ "

Ð# Ñ œ Ð" Ð ÑÑ Ð Ñ œ " # Ð Ñ

! ! ! !

! ! ! !

# # #

# # #sen sen sen .

Das duas últimas fórmulas obtidas na alínea precedente podemos deduzir respectivamentec)

coscos

cos

#

#

Ð Ñ œ" Ð# Ñ

#

Ð Ñ œ" Ð# Ñ

#

!!

!!

,

sen ,

portanto

coscos

cos

Ð Ñ œ „" Ð# Ñ

#

Ð Ñ œ „" Ð# Ñ

#

!!

!!

ÊÊ

,

sen .

Uma vez que estas igualdades são válidas para um ângulo arbitrário, podemos, dado um ângulo!

" !, considerar e, fazendo a substituição, obtemos as fórmulas no enunciado. Para explicarœ "#

porque razão nunca é possível obter umas fórmulas deste tipo sem ambiguidade de sinal, bastarepararmos que, dados um ângulo , podemos considerar o ângulo °, para o qual se" " "w œ $'!

tem e, no entanto, °, pelo quecos cosÐ Ñ œ Ð Ñ œ ")!" "w# #" "w

cos cosÐ Ñ œ Ð Ñ# #

Ð Ñ œ Ð Ñ# #

" "

" "

w

w

sen sen ;

temos assim dois ângulos com o mesmo co-seno mas cujas metades têm senos e co-senos simétri-cos.

76) Tomemos como unidade de comprimento o lado da quadrícula do papel. O ângulo naprimeira figura pode ser calculado como soma de dois ângulos ! " e associados a triângulos rectân-gulos cujos catetos podem ser medidos directamente na figura e cujas hipotenusas medem respecti-vamente e .È ÈÈ È% * œ "$ " % œ &

– 45 –

Figura 31

O seu co-seno pode então ser facilmente calculado a partir da fórmula

cos cos cosÐ Ñ œ Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ œ ‚ ‚ œ$ # # " %

"$ "$& & '&! " ! " ! "sen sen .È È È È È

O ângulo da segunda figura é um ângulo dum triângulo rectângulo cujos catetos podem ser#

medidos directamente e cuja hipotenusa mede .È È"' %* œ '&

Figura 32

Tem-se assim

cos cosÐ Ñ œ œ Ð Ñ%

'&# ! "È ,

o que mostra que as duas amplitudes referidas são efectivamente iguais. Se reprarmos, além disso,que está “próximo” de , que e que ° , compreendemos porque é que os'& '% œ Ð'! Ñ œ% " "

'% # #È cosângulos referidos medem aproximadamente °.'!

– 46 –

77) Uma vez que os declives destas rctas são e , respectivamente, podemos escolher dois# "vectores não nulos com estes declives como vectores directores das rectas. É o que acontece, porexemplo, com os vectores ?Ä ÄÇ Ð"ß #Ñ @ Ç Ð"ß"Ñ e . O ângulo entre estes dois vectores é!definido por

cosÐ Ñ œ œ œ ¸ ? † @ " "Ä Ä

m?mm@ mÄ Ä& # "!

! È È È 0.31623

e portanto 108.4°. Uma vez que este ângulo é maio que ° o ângulo das duas rectas é o seu! ¸ *!splementar, ou seja, aproximadamente, °.("Þ'

78) a) Como no exercício precedente, estas rectas admitem como vectores directores os vectores?Ä ÄÇ Ð"ß7Ñ @ Ç Ð"ß7 Ñ e . O ângulo das rectas é o ângulo dos vectores ou o seu suplementarw

conforme aquele seja ou não menor ou igual a ° e portanto o co-seno do ângulo das rectas é o*!valor absoluto do ângulo dos vectores. Tem-se assim

cosÐ Ñ œ œl? † @ l l" 77 lÄ Ä

m?mm@ mÄ Ä" 7 " 7

!w

# w#È È .

Como já referimos a recta admite o vector como vector director. Por outrob) < ? Ç Ð"ß7ÑÄ

lado, o eixo das ordenadas admite como vector director. Tem-se assim que o ângulo @ Ç Ð!ß "ÑÄ "das duas rectas está definido por

cosÐ Ñ œ œ œl? † @ l l" ‚ ! 7‚ "l l7lÄ Ä

m?mm@ mÄ Ä" 7 ‚ " " 7

" È È# #.

Como caso particular de , com , vemos que o ângulo de com o eixo dasc) +Ñ 7 œ ! <w #abcissas está definido por

cosÐ Ñ œ"

" 7# È #

.

Lembrando que tg , constatamos que esta fórmula é uma consequência da fórmula em P47 œ Ð Ñ#

tg##

Ð Ñ " œ"

Ð Ñ#

#cos

(lembrar que por estar entre ° e °).cosÐ Ñ   ! ! *!# #

79) A recta admite o vector < ?ÄÇ Ð"ß"ß #ÑÈ como vector director. Os ângulos , e com! " #os três eixos estão assim definidos por

– 47 –

cos

cos

cos

Ð Ñ œ œ œl? † / l l"l "Ä Ä

m?mm/ mÄ Ä" " # ‚ " #

Ð Ñ œ œ œl? † / lÄ Ä

m?mm/ mÄ Äl"l "

" " # ‚ " #

Ð Ñ œ œ œl? † / l l #l #Ä Ä

m?mm/ mÄ Ä" " # ‚ " #

!

"

#

B

B

C

C

D

D

ÈÈ

È ÈÈ

,

,

,

e portanto ° e °.! " #œ œ '! œ %&

80) Sendo um ponto da recta , tam-se \ÐBß CÑ < E\Ä

Ç ÐB "ß C %Ñ E\ e então a recta éperpendicular à recta se, e só se, os vectores e forem perpendiculares, isto é, .< E\ ? E\ † ? œ !

Ä ÄÄ Ä

Esta última condição é traduzida pela equação , ou seja, .ÐB "Ñ ‚ " ÐC %Ñ ‚ # œ ! B #C œ (Juntando a esta equação a equação que traduz o facto de pertender à recta , ficamos\ÐBß CÑ <reduzidos a resolver o sitema de duas equaçãos a duas incógnitas

œB #C œ (C œ #B "

.

Resolvemos este sistema por um dos métodos habituais, por exemplo passando pelos sucessivossistemas equivalentes

œ œ œB #Ð#B "Ñ œ ( &B œ & B œ "C œ #B " C œ #B " C œ $

pelo que o ponto pedido é o ponto .\Ð"ß $Ñ

81) a) Sendo , tem-se \ Ç ÐBß Cß DÑ E\Ä

Ç ÐB "ß Cß DÑ F\ Ç ÐB "ß Cß DÑÄ

e pelo que oconjunto dos pontos tais que e sejam ortogonais pode ser traduzido pla condição de ser\ F\

Ä ÄE\

! o respectivo produto escalar, isto é pela equação

ÐB "ÑÐB "Ñ C D œ !# # ,

equivalente a . Lembrando o que estudámos no décimo ano, esta é a equação deB C D œ "# # #

uma superfície esférica de centro na origem do referencial e de raio .S " Se e são dois pontos distintos do espaço, o lugar geométrico dos pontos do espaçob) E F \

tais que e são ortogonais é uma superfície esférica de centro no ponto médio doE\ F\ SÄ Ä

segmento e de raio igual a metade do comprimento desse segmento. Para o reconhecermos,ÒEFÓutilizando a conclusão a que chegámos na alínea precedente, podemos tomar como unidade demedida metade do comprimento do segmento e considerar um referencial ortonormado com origemS / œ SF / /Ä Ä ÄÄ

, com e com os restantes vectores e escolhidos como quisermos; tem-se entãoB C D

F Ç Ð"ß !ß !Ñ E Ç Ð"ß !ß !Ñ e .

82) Se , dizer que o vector e equivale\ Á S S\ SE SFÄ ÄÄ

faz o mesmo ângulo com os vectoresa dizer que os co-senos dos dois ângulos são iguais, ou seja, que se tem

– 48 –

S\ S\œ

Ä Ä Ä† SE † SFÄ

mS\mmSEmÄ Ä Ä Ä

mS\mmSFm .

Esta última condição é equivalente, para , à condição\ Á S

S\ S\œ

Ä Ä Ä† SE † SFÄ

mSEmÄ Ä

mSFm ,

a qual é verificada trivialmente para . Esta última condi\ œ S ção caracteriza assim o lugargeométrico pedido. Podemos agora escrever a condição obtida em termos de coordenadas,reparando que

mSEm œ " % % œ $ mSFm œ * ! "' œ &Ä ÄÈ È, ,

e que, sendo ,\ Ç ÐBß Cß DÑ

S\ † SE œ B #C #D S\ œ $B %DÄ ÄÄ

, .

O lugar geométrico pedido é assim caracterizado pela equação

B #C #D $B %D

$ &œ ,

que pode ser sucessivamente simplificada:

&ÐB #C #DÑ œ $Ð$B %DÑ

&B "!C "!D œ *B "#D

"%B "!C #D œ !

(B &C D œ !Þ

83) a) Tem-se

EF EG

EH FG

FH GH

Ä ÄÇ Ð"ß "ß !Ñ Ç Ð"ß !ß "Ñ

ÄÇ Ð!ß "ß "Ñ Ç Ð!ß"ß "Ñ

Ä

ÄÇ Ð"ß !ß "Ñ Ç Ð"ß "ß !Ñ

Ä

, ,

, ,

, .

Concluímos daqui que todos estes seis vectores têm norma igual a . O sólido emÈ È" " œ #questão é o tetraedro. Tem-seb)

EF

EG

EH

Ć GH œ " ‚ " " ‚ " ! ‚ ! œ !Ä

Ć FH œ " ‚ " ! ‚ ! " ‚ " œ !Ä

Ć FG œ ! ‚ ! " ‚ " " ‚ " œ !Ä

.

Tem-se os vectores c) SH EFÄ

Ç Ð"ß "ß "Ñ EG EFGÄ Ä

e e são vectores não nulos do plano enão têm a mesm direcção. Uma vez que

– 49 –

SH † EF œ " ‚ " " ‚ " " ‚ ! œ !Ä Ä

SH † EG œ " ‚ " " ‚ ! " ‚ " œ !Ä Ä

,

,

o vector é ortogonal àqueles dois vectores, e portanto é ortogonal ao plano . Sejam , eSH EFGÄ

! "

# os ângulos da recta com cada uma das rectas , e , respetivamente. Tem-seSH EH FH GHÄ Ä Ä

cos

cos

cos

Ð Ñ œ œ ¸ !Þ)"'&!lSH † EHl #Ä Ä

mSHmmEHmÄ Ä

$ #

Ð Ñ œ œ ¸ !Þ)"'&!lSH † FHl #Ä Ä

mSHmmFHmÄ Ä

$ #

Ð Ñ œ œ ¸ !Þ)"'&!lSH † GHl #Ä Ä

mSHmmGHmÄ Ä

$ #

!

"

#

È ÈÈ ÈÈ È

,

,

,

e portanto °.! " #œ œ ¸ $&Þ$ Sabemos que as coordenadas do ponto médio de um segmento são as médias dasd)correspondentes coordenadas das duas extremidades. Tem-se assim, para o ponto médio do\

segmento , . Tem-se então e eÒEFÓ \ Ç Ð!Þ&ß !Þ&ß !Ñ \H Ç Ð!Þ&ß !Þ&ß "Ñ \G Ç Ð!Þ&ß!Þ&ß "ÑÄ Ä

portanto

\H † EF œ !Þ& ‚ " !Þ& ‚ " " ‚ ! œ !Ä Ä

\G † EF œ !Þ& ‚ " !Þ& ‚ " " ‚ ! œ !Ä Ä

,

.

Vemos assim que a recta é uma recta do plano e a recta é uma recta do plano ,\H EFH \G EFGambas perpendiculares à intersecção dos dois planos pelo que, por definição, o ângulo dosEF :dois planos é o ângulo das rectas e . Tem-se assim\H \G

cosÐ Ñ œ œ œ œ ¸ !Þ$$$$$l\H † \Gl l!Þ#& !Þ#& "l !Þ& "Ä Ä

m\Hmm\GmÄ Ä

!Þ#& !Þ#& " !Þ#& !Þ#& " "Þ& $: È È ,

e portanto °.: ¸ (!Þ& Verificámos, como passo intermédio da alínea c), quee)

cosÐ Ñ œ#

$ #! È È .

Tem-se então

cos cosÐ# Ñ œ # Ð Ñ " œ # ‚ " œ " œ% % "

$ ‚ # $ $! !#

pelo que, uma vez que , tal como 2 , é um ângulo entre ° e 180°, também com ,: ! :! Ð Ñ œcos "$

tem-se efectivamente .: !œ #

84) De acordo com a propriedade enunciada, o plano perpendicular a @Ä que passa pela origemadmite a equação

– 50 –

B #C œ !

e aquele que passa pelo ponto admite a equaçãoE Ç Ð#ß $Ñ

ÐB #Ñ #ÐC $Ñ œ !,

que também pode ser escrita na forma .B #C œ %

85) a) Procuremos um ponto particular da recta com, por exemplo, . Fazendo aC œ "substituição, obtemos a equação , donde , o que mostra que é um ponto#B $ œ " B œ # EÐ#ß "Ñparticular da recta. Examinando os coeficientes de e na equação dada, constatamosB Cimediatamente que o vector é um vector perpendicular à recta.? Ç Ð#ß$ÑÄ

Substtuindo na equação por , obtemos , pelo que é um ponto particular dab) B ! C œ & EÐ!ß &Ñrecta. Uma vez que a equação da recta também pode ser escrita na forma , vemos que" C B œ &$

%

o vector é ortogonal à recta. Este vector tem norma? Ç Ð"ß ÑÄ $%

m? m œ " œ œÄ * #& &

"' "' %Ê Ê

pelo que, para obter um vector de norma com a mesma direcção, basta multiplicar pelo inverso" ?Ä

da norma, obtendo o vector

@ Ç Ð ß ÑÄ % $

& %.

86) O vector ?ÄÇ Ð#ß$Ñ < < é perpendicular à recta , e portanto as rectas paralelas a são aquelesque são também perpendiculares a . A recta pedida admite assim a equação? <Ä w

#B $C œ %.

87) O vector ?ÄÇ Ð#ß $Ñ é perpendicular à primeira recta e, uma vez que a equação da segundapode ser escrita na forma equivalente , o vector é perpendicular à segundaC #B œ ! @ Ç Ð"ß#ÑÄ

recta. O ângulo das duas rectas é igual ao ângulo das duas rectas que lhes são perpendiculares, e!que admitem e como vectores directores, pelo que se tem? @Ä Ä

cosÐ Ñ œ œ œ ¸ !Þ%*'"%l? † @ l l# ‚ " $ ‚ #l %Ä Ä

m?mm@ mÄ Ä% * " % "$ ‚ &

! È È Èe portanto °.! ¸ '!Þ#&&

88) A distância pedida é a distância de ao pé da perpendicular à recta que passa por \ F < \ÞSubstituindo por na equaC ! ção da recta, obtemos a equação , com solução , pelo que$B œ ' B œ #o ponto é um ponto particular da recta Como é claro a partir da figuraEÐ#ß !Ñ <Þ

– 51 –

Figura 33

o vector é a projecção ortogonal do vector sobre a recta vectorial perpendicularF\ E\ Ç Ð&ß &ÑÄ Ä

a , a qual admite como vector director qualquer vector não nulo ortogonal a , por exemplo o< <vector . Para determinar a projecção ortogonal referida basta conhecermos um vector? Ç Ð$ß %ÑÄ

director de norma da recta perpendicular, por exemplo o que se obtém dividindo pela sua" ?Ä

norma . Partimos então de e obtemos, pela caracterização no exercícioÈ$ % œ & @ œ Ð ß ÑÄ# # $ %& &

69,

F\ œ ÐE\ † @ Ñ @ œ Ð& ‚ & ‚ Ñ @ œ @Ä Ä Ä Ä Ä Ä$ %

& &.

A distância pedida é assim .mF\m œ m@ m œ "Ä Ä

89) Queros arranjar dois números, não ambos nulos, tais que multiplicando o primeiro por e o$segundo por e somando os resultados obtém-se . Uma ideia é reparar que multiplicando por # ! $ #se obtém o mesmo resultado que multiplicando por , pelo que uma solu# $ ção simples éescolhermos os números e . O vector é assim um vector não nulo, para o qual# $ @ Ç Ð#ß$ÑÄ

? † @ œ !Ä Ä .

90) De acordo com o que nos é sugerido, sendo a norma do vector < œ + , ?È # # Ä e um dos!ângulos generalizados a que corresponde a semi-recta associada a , tem-se?Ä

? Ç Ð< Ð Ñß < Ð ÑÑÄ cos ! !sen ,

ou seja, e sen . O vector com a mesma norma a que corresponde a semi-recta+ œ < Ð Ñ , œ < Ð Ñcos ! !obtida por rotação de ° no sentido directo vai ter coordenadas*!

Ð< Ð*! ß < Ð*! ÑÑ œ Ð< Ð Ñß < Ð ÑÑ œ Ð,ß +Ñcos cos° ) sen ° sen ,! ! ! !

pelo que este vector é precisamente o vector considerado.@Ä

– 52 –

91) Um vector ortogonal à recta é o vector < ?Ä ÄÇ Ð#ß$Ñ @ Ç Ð$ß #Ñ e portanto o vector , que ''eortogonal a , é também ortogonal à recta . A recta admite assim a equação? < <Ä w w

$B #C œ -,

com , ou seja, admite a equação .- œ $ ‚ " # ‚ # œ ( $B #C œ (

92) O vector AÄÇ Ð $ "ß $ "Ñ <È È é ortogonal à recta e portanto o vectorw

@ Ç Ð $ "ß $ "Ñ <Ä È È , que é ortogonal a este, é um vector director de . O ângulo das rectasw !< < e está assim definido porw

cosÐ Ñ œ œ œ œ œl? † @ l l $ " $ "l # # "Ä Ä

m?mm@ mÄ Ä# $ " # $ $ " # $ # ) "' #

!È È

È É È È È ÈÈ ,

o que mostra que °.! œ '!

93) Relativamente ao primeiro sistema, obtemos sucessivamente os sistemas equivalentes:

œ œ œ œ

#B $C œ &%B 'C œ &

B œ

%B 'C œ &

B œ

% 'C œ &

B œ B œ

"! 'C 'C œ & ! œ "&

&$C#

&$C#

&$C#

&$C &$C# #

e a segunda equação do último sistema mostra que temos um sistema impossível. Relativa,ente aosegundo sistema vem analogamente:

œ œ œ œ e#B $C œ &%B 'C œ "!

B œ

%B 'C œ "!

B œ

% 'C œ "!

B œ B œ

"! 'C 'C œ "! ! œ !B œ

& $C

#

&$C#

&$C#

&$C#

&$C &$C# #

e constatamos que, dando um valor arbitrário a , existe sempre um valor de que verifica aC Bcondição, pelo que temos um sistema indeterminado.

94) a) À primeira equação corresponde uma recta perpendicular ao vector e à? Ç Ð"ß#ÑÄ

segunda corresponde uma recta perpendicular ao vector . Uma vez que os dois@ Ç Ð#ß$ÑÄ

vectores não têm a mesma direcção, as rectas não são paralelas; elas são assim concorrentes, o quemostra que o sistema é possível e determinado. ção corresponde uma recta perpendicular ao vector e àb) À primeira equa ? Ç Ð#ß%ÑÄ

segunda corresponde uma recta perpendicular ao vector . Uma vez que os dois@ Ç Ð$ß'ÑÄ

vectores têm a mesma direcção, por o segundo ser o primeiro multiplicado por , as rectas são para-$#

lelas, o que mostra que o sistema é impossível, se elas forem estritamente paralelas, ouindeterminado, se elas forem coincidentes. Fazendo na primeira equação, vem , peloC œ ! B œ &

#

que a primeira recta passa pelo ponto . Por substituição, constatamos que a segunda recta nãoÐ ß !Ñ&#

passa por esse ponto. As duas rectas são assim estritamente paralelas e o sistema é impossível.

– 53 –

ção corresponde uma recta perpendicular ao vector e à segundac) À primeira equa ? Ç Ð"ß "ÑÄ

corresponde uma recta perpendicular ao vector . Uma vez que os dois vectores não têm@ Ç Ð#ß"ÑÄ

a mesma direcção, as rectas não são paralelas; elas são assim concorrentes, o que mostra que osistema é possível e determinado. ção corresponde uma recta perpendicular ao vector e àd) À primeira equa ? Ç Ð#ß$ÑÄ

segunda corresponde uma recta perpendicular ao vector . Uma vez que os dois@ Ç Ð#ß $ÑÄ

vectores têm a mesma direcção, por o segundo ser o primeiro multiplicado por , as rectas são"paralelas, o que mostra que o sistema é impossível, se elas forem estritamente paralelas, ouindeterminado, se elas forem coincidentes. Fazendo na primeira equação, vem , peloC œ ! B œ &

#

que a primeira recta passa pelo ponto . Por substituição, constatamos que a segunda rectaÐ ß !Ñ&#

também passa por esse ponto. As duas rectas são assim coincidentes e o sistema é indeterminado.

95) Uma equação do plano perpendicular a que passa pela origem é e uma@ B #C œ !Ä

equação daquele que passa pelo ponto é , ou seja, .E B #C œ # # ‚ $ B #C œ %

96) a) Um vector perpendicular àquele plano pode ser o vector @ÄÇ Ð#ß$ß "Ñ. Para determinarum ponto particular do plano podemos, por exemplo, substituir e por , obtendo a equaçãoB C !D œ " EÐ!ß !ß "Ñ, o que mostra que é um tal ponto. Um vector perpendicular àquele plano pode ser o vector . Uma vez que ab) @ Ç Ð"ß !ß"ÑÄ

norma deste vector é , um vector de norma ainda perpendicular ao plano obtém-se dividindo oÈ# "

vector por ; trata-se do vector . Um ponto particular do plano pode ser o@ # ? Ç Ð ß !ß ÑÄ ÄÈ " "

# #È Èponto .EÐ#ß "(ß !Ñ

97) O vector ?ÄÇ Ð#ß"ß $Ñ é perpendicular ao plano , e portanto também perpendicular ao!plano paralelo a . Uma vez que deve passar pelo ponto uma equação de pode! ! ! !w w wEÐ"ß #ß !Ñßser , ou seja . O plano e o plano coincidem, uma vez#B C $D œ # ‚ " # #B C $D œ ! ! !w

que o primeiro já passava pelo ponto .E

98) O vector ?ÄÇ Ð"ß"ß "Ñ é ortogonal ao primeiro plano e, uma vez que a equação dosegundo plano também pode ser escrita na forma , o vector é ortogonal#B C œ ! @ Ç Ð#ß"ß !ÑÄ

ao segundo plano. O ângulo dos dois planos é igual ao ângulo de duas rectas que lhes sejam!respectivamente perpendiculares, rectas essas que admitem e como vectores directores. Tem-se? @Ä Ä

assim

cosÐ Ñ œ œ ¸ !Þ((%&*(l? † @ l $Ä Ä

m?mm@ mÄ Ä$ &

! È Èe portanto 39.232°.! ¸

99) O vector ?Ä ÄÇ Ð"ß "ß#Ñ @ Ç Ð"ß "ß "Ñ é um vector director da recta e o vector é um vectorortogonal ao plano. Uma vez que

? † @ œ " ‚ " " ‚ " # ‚ " œ !Ä Ä ,

– 54 –

os vectores e são mutuamente perpendiculares, Resulta daqui que o vector directo da recta é? @ ?Ä Ä Ä

um vector do plano e portanto a recta é paralela ao plano.

100) Queremos determinar para que valores de > − ‘ o ponto

Ð"ß !ß !Ñ >Ð"ß "ß#Ñ œ Ð" >ß >ß #>Ñ

pertence ao plano de equação . Somo assim conduzidos à equação em ,B C D œ # >

" > > #> œ #,

equivalente a , que admite como única solução. As coordenadas do ponto de#> œ $ > œ $#

intersecção obtêm-se substituindo o valor de por em e são portanto> Ð" >ß >ß #>Ñ$#

Ð ß ß $Ñ& $# # .

101) De acordo com o sugerido, o ângulo da recta com o plano é o complementar do ângulo " darecta dada com uma recta perpendicular ao plano. A recta perpendicular ao plano admite o vector@ Ç Ð"ß"ß "Ñ ? Ç Ð"ß "ß#ÑÄ Ä como vector director e a recta dada admite o vector como vectordirector. Tem-se assim

cosÐ Ñ œ œ ¸ !Þ%("%!l? † @ l l#lÄ Ä

m?mm@ mÄ Ä' $

" È È ,

portanto ° e o ângulo pedido, sendo o complementar deste, é aproximadamente 28.126°." ¸ '"Þ)(%

102) a) Se , dizer que o vector e \ Á S S\ SE SFÄ ÄÄ

faz o mesmo ângulo com os vectoresequivale a dizer que os co-senos dos dois ângulos são iguais, ou seja, que se tem

S\ S\œ

Ä Ä Ä† SE † SFÄ

mS\mmSEmÄ Ä Ä Ä

mS\mmSFm .

Esta última condição é equivalente, para , à condição\ Á S

S\ S\œ

Ä Ä Ä† SE † SFÄ

mSEmÄ Ä

mSFm ,

a qual é verificada trivialmente para . Esta última condi\ œ S ção caracteriza assim o lugargeométrico pedido. Para identificarmos o lugar geométrico como sendo um plano, fixamos umreferencial ortonormado do espaço com origem e chamamos às coordenadas doS Ð+ ß + ß + ÑB C D

vector e às coordenadas do vector . O lugar geométrico ''e assim constituídoSE Ð, ß , ß , Ñ SFÄ Ä

B C D

pelos pontos tais que\ÐBß Cß DÑ

+ B + C + D , B , C , D

+ + + , , ,œ

B C D B C D

B C D B C D# # # # # #É É ,

equação que pode ser escrita na forma, mais longa mas mais familiar

– 55 –

Î Ñ Î ÑÐ Ó Ð ÓÏ Ò Ï ÒÉ É É É

Î ÑÐ ÓÏ ÒÉ É

+ ,

+ + + , , , + + + , , , B C

+ ,

D œ !+ ,

+ + + , , ,

B B

B C D B C D B C D B C D# # # # # # # # # # # #

C C

D D

B C D B C D# # # # # #

.

Os coeficientes de , e nesta equação não podem ser todos porque, a ser assim, os vectoresB C D !

SE SF S E FÄ Ä

e tinham a mesma direcção, contra a hipótese de , e não serem colineares.Identificamos então essa equação como sendo a de um plano. Os pontos da bissectriz das semi-rectas de origem que passam por e ,b) \ S E Frespectivamente, são certamente pontos do plano que pertencem ao lugar geométrico referidoSEFem a). Os pontos da recta perpendicular ao plano que passa por também estão nesse\ < SEF Slugar geométrico, uma vez que, para esses pontos distintos de a recta é perpendicular a\ S S\todas as rectas do plano, em particular é perpendicular às rectas e . Uma vez que jáSE SFsabemos que o lugar geométrico é um plano e que ele contém a bissectriz referida e a recta , que<são duas rectas conclorrentes em , o lugar geométrico não pode deixar de ser o plano definido porSesrtas duas rectas concorrentes, um plano perpendicular ao plano , por conter a recta SEF <perpendicular a esse plano. O lugar geométrico referido pode ser obtido como intersecção de dois lugares geométricos,c)nomeadamente aquele que é constituído pelo ponto e pelos pontos distintos de tais que S \ S S\

Ä

faz o mesmo ângulo com os vectores e e aquele que é constituído pelo ponto e pelosSE SF SÄ Ä

pontos distintos de faz o mesmo ângulo com os vectores e . Estes dois\ S S\ SE SGÄ ÄÄ

tais que planos têm o ponto em comum e portanto, se mostrarmos, como faremos em seguida, que os doisSplanos não coincidem, a sua intersecção, igual ao lugar geométrico pedido, é uma recta. Vejamos então que os dois lugares geométricos, cuja intersecção considerámos, nãocoincidem. Consideremos, para isso, a recta perpendicular ao plano passando por . Os< SEF S

pontos desta recta, distintos de , são, como vimos anteriormente, pontos tais que é\ S S\Ä

perpendicular a e a , em particular são pontos do primeiro plano. No entanto, eles não sãoSE SFÄ Ä

pontos do segundo plano, uma vez que é perpendicular a mas não é perpendicular a S\ SE SGÄ ÄÄ

visto que, se o fosse, a recta era também perpendicular ao plano e portanto os planos < SEG SEFe coincidiam, contrariando a hipótese de os quatro pontos não serem complanares.SEG

103) a) Temos que determinar um referencial vectorial desse plano, ou seja, dois vectores @Ä ÄA e ortogonais a que sejam não nulos e com direcções distintas. Podemos tomar, por exemplo,?Ä

@ Ç Ð!ß#ß "Ñ A Ç Ð"ß !ß !ÑÄ Ä, ,

e obtemos então a representação vectorial

ÖÐ"ß #ß !Ñ =Ð!ß#ß "Ñ >Ð"ß !ß !Ñ×=ß>−‘.

Dando valores a e , obtemos pontos do plano, Por exemplo, com e , temos ob) = > = œ " > œ !ponto , com e , temos o ponto e com e , temos o pontoFÐ"ß !ß "Ñ = œ ! > œ " GÐ!ß #ß !Ñ = œ " > œ #HÐ"ß !ß "Ñ.

– 56 –

104) Quando atribuímos um valor a , o sistema transforma-se num sistema de duas equaD çõeslineares nas incógnitas e , que pode ser interpretado como traduzindo a intersecção de duasB Crectas perpendiculares respectivamente aos vectores com coordenadas e . Uma vezÐ"ß #Ñ Ð"ß "Ñque estes vectores não têm a mesma direcção, as rectas em questão não são paralelas e têm assimdecerto um único ponto comum, que corresponderá a uma única solução do sistema. Se, em vez de atribuir um valor a , atribuíssemos um valor a . o sistema transformava-seD Cnum sistema de duas equações lineares nas incógnitas e , que podia ser interpretado comoB Dtraduzindo a intersecção de duas rectas perpendiculares respectivamente aos vectores comcoordenadas e . Uma vez que estes vectores têm a mesma direcção, as rectas emÐ"ß"Ñ Ð"ß "Ñquestão são paralelas e portanto podia acontecer que não tivessem nenhum ponto comum, o quecorrespondia a não haver nenhuma solução para o sistema.

105) O plano em questão passa pelo ponto pelo que o problema é muito fácil deEÐ"ß !ß #Ñresolver se disposermos de um vector AÄ ortogonal ao plano, ou, o que é o mesmo, ortogonal aambos os vectores ? Ç Ð"ß #ß"Ñ @ Ç Ð"ß "ß "ÑÄ Ä e . Mas acabámos, no exemplo tratado no texto,de determinar um tal vector, nomeadamente AÄÇ Ð"ß !ß "Ñ. Podemos então obter a equaçãocartesiana do plano , ou seja, .B D œ " # B D œ $

106) a) Comecemos por escrever as coordenadas dos pontos envolvidos:

EÐ!ß"ß !Ñ FÐ"ß !ß !Ñ GÐ!ß "ß !Ñ JÐ!ß !ß "Ñ, , , .

Para determinarmos uma equação cartesiana do plano , começamos por considerar os vectoresFGJ

desse plano e e procuramos um vector que sejaFG Ç Ð"ß "ß !Ñ FJ Ç Ð"ß !ß "Ñ ? Ð+ß ,ß -ÑÄ Ä Ä

ortogonal a estes dois vectores (e portanto ortogonal ao plano). Somos assim conduzidos ao sistemade duas equações

œ+ , œ !+ - œ !

do qual é muito fácil determinar uma solução particular não nula: Tomamos, e obtemos então+ œ ", œ " - œ " FGJ B C D œ " ! ! e . Uma equação cartesiana do plano é assim , isto é,

B C D œ ".

Para determinarmos uma equação cartesiana do plano , começamos por considerar os vectoresEFJ

desse plano e e procuramos um vector que sejaFE Ç Ð"ß"ß !Ñ FJ Ç Ð"ß !ß "Ñ @ Ð+ß ,ß -ÑÄ Ä Ä

ortogonal a estes dois vectores (e portanto ortogonal ao plano). Somos assim conduzidos ao sistemade duas equações

œ+ , œ !+ - œ !

do qual é muito fácil determinar uma solução particular não nula: Tomamos, e obtemos então+ œ ", œ " - œ " EFJ B C D œ " ! ! e . Uma equação cartesiana do plano é assim , isto é,

B C D œ ".

Como já fizémos anteriormente, o ângulo dos dois planos é igual ao ângulo de duasb) !rectas que lhes sejam respectivamente perpendiculares, as quais admitem os vectores e? Ð"ß "ß "ÑÄ

– 57 –

@ Ð"ß"ß "ÑÄ como vectores directores. Tem-se assim

cosÐ Ñ œ œ œ ¸ !Þ$$$$l? † @ l " "Ä Ä

m?mm@ mÄ Ä$ $ $

! È È ,

donde °.! ¸ (!Þ&

107) a) Vou escolher o referencial ortonormado de origem tal que E /Ä Äœ EF / œ EHÄ Ä

B C, e/ œ EIÄ Ä

D .. No referencial precedente, podemos escrever as coordenadas dos seguintes pontos:b)

Q Ç Ð!ß ß "Ñ Q Ç Ð ß !ß "Ñ Q Ç Ð"ß !ß Ñ Q Ç Ð"ß ß !Ñ" " " "

# # # #

Q Ç Ð ß "ß !Ñ Q Ç Ð!ß "ß Ñ" "

# #

" # $ %

& ' .

Podemos então escrever e . Procuremos um vector nãoQ ßQ Ç Ð ß ß !Ñ Q Q Ç Ð ß !ß ÑÄ Ä# " # $

" " " "# # # #

nulo que seja simultaneamente ortogonal a estes dois vectores. Tentamos assim achar? Ð+ß ,ß -ÑÄ

uma solução não nula do sistema de equações

+ , œ !

+ - œ !

" "# #

" "# #

e, fixando , obtemos a solução e . Vemos assim que o vector serve para+ œ " , œ " - œ " ? Ð"ß "ß "ÑÄ

os nossos propósitos e assim uma equação do plano que passa pelos pontos , e éQ Q Q" # $

B C D œ ! ""# , isto é

B C D œ$

#.

Os pontos , e também pertencem a este plano, uma vez que se tem, respectivamente,Q Q Q% & '

" ! œ " ! œ ! " œ" $ " $ " $

# # # # # #, , .

108) Substituindo, por exemplo, por , obtemos o sistema que se podeD !$B C œ "B C œ #œ

resolver facilmente determinando sucessivamente sistemas cada vez mais simples:

œ œ œ œ $B C œ " $B B # œ " #B œ "C œ B# C œ B# C œ B#

B œ

C œ B#

B œ

C œ

"#

"#&#

.

Concluímos assim que é um ponto particular da recta.EÐ ß ß !Ñ" &# #

Para determinar um segundo ponto particular da recta, procedemos analogamente

substituindo, por exemplo, por , o que conduz ao sistema que podemosD "$B C œ !B C œ %œ

resolver:

– 58 –

œ œ œ œ œ$B C œ ! $B B % œ ! #B œ % B œ # B œ #C œ B% C œ B% C œ B% C œ B% C œ '

.

Concluímos assim que é outro ponto particular da recta. Um vector directo da recta é,FÐ#ß'ß "Ñpor exemplo, o vector

EFÄ

Ç Ð ß ß "Ñ$ (

# #.

109) Se estes dois vectores tiverem a mesma direcção, os planos representados pelas duasequações têm uma mesma recta perpendicular e são assim paralelos. O sistema de equaçõesrepresenta portanto o conjunto vazio, se os planos forem estritamente paralelos, ou um plano, seeles forem coincidentes.

110) Pelo método já utilizado anteriormente, é simples determinar dois vectores ortogonais a AÄnão nulos e com direcções distintas, por exemplo os vectores

? Ð#ß"ß !Ñ @ Ð!ß "ß #ÑÄ Ä, .

Um sistema de equações cartesianas para a recta pode assim ser œ#B C œ #C #D œ ! #

‚ " !‚ #

, ou seja

œ#B C œ #C #D œ %

.

111) O problema reduz-se facilmente a um do mesmo tipo que o anterior, se repararmos que ovector EF

ÄÇ Ð#ß"ß "Ñ é um vector durecto da recta. Podemos então considerar os vectores

ortogonais à recta,

? Ç Ð"ß#ß !Ñ @ Ç Ð!ß"ß"ÑÄ Ä, ,

que são não nulos e têm direcções distintas, e obter, a partir deles o sistema de equações cartesianas

œB #C œ " #C D œ # "

‚ #, ou seja,

œB #C œ $C D œ "

.

Para verificarmos se pertence ou não à recta, basta substituirmos estasG Ç Ð"ß (ß#Ñcoordenadas nas equações: Uma vez que , o ponto não pertence à recta" # ‚ ( œ "& Á $(repare-se que não é necessario verificar o que acontece com a segunda equação, uma vez que aprimeira já não é verificada).

– 59 –

112) A recta em questão admite o sistema de equações cartesianas

B " C D #

" # "œ œ .

113) a) Escrevendo o sistem referido na forma mais explícita

B Ð"Ñ C ! D "

# $ "œ œ ,

verificamos que temos uma recta que passa pelo ponto de coordenadas e que admite oÐ"ß !ß "Ñvector de coordenadas como vector director.Ð#ß$ß "Ñ O plano com aquela equab) ção cartesiana é perpendicular ao vector . Uma vez que? Ð"ß "ß "ÑÄ

este vector é ortogonal ao vector de coordenadas , por se ter ,Ð#ß$ß "Ñ # ‚ " $ ‚ " " ‚ " œ !segue-se que este último é um vector do plano, e portanto a recta dada é paralela ao plano.

114) a) Um ponto pertence à recta referida se, e só se, o vector\ Ç ÐBß Cß DÑ

E\Ä

Ç ÐB "ß C "ß D #Ñ

pertencer à recta vectorial que contém o vector , ou seja, se, e só se, existir A Ç Ð"ß !ß#Ñ > −Ä ‘ talque , condição que é equivalente à conjunção das três igualdades , eE\ œ >A B " œ > C " œ !

Ä Ä

D # œ #> \ÐBß Cß DÑ. Podemos assim dizer que pertence à recta se, e só se,

B " œ • C œ "D #

#.

b) Um ponto pertence à recta referida se, e só se, o vector\ Ç ÐBß Cß DÑ

E\Ä

Ç ÐB "ß C "ß D #Ñ

pertencer à recta vectorial que contém o vector , ou seja, se, e só se, existir A Ç Ð!ß !ß $Ñ > −Äw ‘ talque , condição que é equivalente à conjunção das três igualdades , eE\ œ >A B " œ ! C " œ !

Ä Äw

D # œ $> \ÐBß Cß DÑ. Podemos assim dizer que pertence à recta se, e só se, se tem

B œ " • C œ ".

115) Partindo do sistemaÚÛÜ

#B $C #D œ #$B #C #D œ &B %C #D œ "

,

obtemos sistemas sucessivamente equivalentes,

– 60 –

Ú ÚÛ ÛÜ ÜÚ ÚÛ ÛÜ Ü

#B $C #D œ # #Ð%C #D "Ñ $C #D œ #$B #C #D œ & $Ð%C #D "Ñ #C #D œ &B œ %C #D " B œ %C #D "

Í Í

&C #D œ %"!C %D œ )B œ %C #D "

ÍD œ C #&

#

"!C %D œ )B œ %C #D "

Í

D œ C #

"!C %Ð C #Ñ œ )

B œ %C #D "

ÍD œ C #

) œ )B œ %C #D "

Ú ÚÛ ÛÜ Ü

&#

&#

&#

.

Este último sistema é ainda equivalente ao sistema de duas equações

œ &#C D œ #

B %C #D œ "

pelo que temos um sistema indeterminado, cujo conjunto de soluções representa uma recta doespaço, intersecção de dois planos, perpendiculares respectivamente aos vectores de coordenadasÐ!ß ß "Ñ Ð"ß %ß #Ñ&

# e , que têm direcções distintas.