Lista 5 - Geometria Analítica - Resolução

Geometria Analítica

Lista 5

Posições relativas entre reta e plano

1

1. Verifique se as retas r e s são concorrentes e, se forem, obtenha o ponto de

intersecção.

(a) ( ) ( ) ( ) ( )

Sendo ( ) o vetor diretor da reta e ( ) o vetor diretor da reta ,

verificaremos se e são L.D. ou L.I..

não pode ser escrito como múltiplo escalar de , portanto são L.I., ou seja, não

paralelos.

Para encontrar o ponto de intersecção deve-se igualar as coordenadas.

(I)

(II)

(III)

Isolando de (III) e substituindo em (II):

( )

Substituindo em (III):

Substituindo e em (I), para testar a validade dos parâmetros:

Logo, e é a solução do sistema.

Substituindo na equação da reta s, obtemos o ponto de intersecção ( ).

(b)

O vetor diretor de r é ( ) e ( ) o vetor diretor de s.

Observa-se que , então e são paralelos e r e s são paralelas.

(c)

(I)

(II)

(III)

O vetor diretor de r é ( ) e da reta s é ( ). Como não é possível

escrever em função de , concluímos que r e s são não-paralelas.

Substituindo na reta s, temos:

Substituindo em (I) e (II):


Lista 5


2

Foi encontrado um único valor para , então o ponto de intersecção é composto por

, e . Portanto, ( ).

(d)

O vetor diretor de r é ( ) e ( ) o vetor diretor de s. Como não é

possível escrever em função de , concluímos que r e s são não-paralelas.

Pela equação da reta r, temos que:

Pela equação da reta s, temos que:

Substituindo a coordenada z:

Inserindo os valores encontrados nas equações da reta, obtemos:

Não foi encontrado um valor único para z, portanto, não existe ponto de intersecção

entre as retas. Como elas são não-paralelas, elas são reversas.

2. A altura e a mediana relativas ao vértice B do triângulo ABC estão contidas

respectivamente, em ( ) ( ) e ( ) ( ). Sendo

( ), determine A e B.

A

B

C

r

s

M R


Lista 5


3

i) Parte 1: para encontrar o ponto B

Igualando as coordenadas de r e s:

Substituindo na primeira equação:

( )

Então:

Então ( )

ii) Parte 2: para encontrar o ponto A

( )

( )

( )

( ) ( )

Então .

/

Logo:

; igualando-se as coordenadas tem-se:

Resolvendo o sistema encontra-se

Substituindo na equação da reta s obtém-se o ponto M.

( )

Como M é ponto médio de ( ) e ( ) temos as seguintes

relações:

Das equações acima: , e , portanto ( ).


Lista 5


4

3. Estude a posição relativa das retas r e s:

(a) ( ) ( )

Inicialmente, escreveremos s na forma paramétrica:

Substituindo na segunda equação:

Admitindo que :

Temos as seguintes informações: ( ) ( ) ( )

( ).

Verificaremos se ( ) são L.D.:

, logo são L.D. e as retas s e r são paralelas.

– Substituindo ( ) em s:

Igualdades não verificadas, portanto e r e s são paralelas distintas.

(b)

Escrevendo r na forma paramétrica:

Da segunda equação temos , substituindo na primeira:

Admitindo ,

Escrevendo s na forma paramétrica:

Da segunda equação temos , substituindo na primeira:

( )

Se então ( )

Admitindo ,

𝑠

𝑠

𝑟 𝑠

𝑟


Lista 5


5

Agora conseguimos extrair as seguintes informações: ( ) ( )

( ) ( ).

não é múltiplo escalar de , portanto ( ) são L.I e r e s não são paralelas.

( )

[ ]

Então r e s são concorrentes.

(c)

( ) ( )

Informações:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

[ ] |

|

Logo, r e s são reversas.

(d)

Escrevendo a equação da reta s na forma paramétrica:

Da primeira equação obtemos:

Substituindo na segunda

Substituindo em

( )

Admitindo

Informações:

( ) ( ) ( ) ( )

𝑠

𝑠

𝑠


Lista 5


6

( )

– Substituindo as coordenadas de S na equação de r

A igualdade se verifica, portanto e r e s são paralelas e coincidentes.

(e)

( ) ( ) ( ) ( )

Informações:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

[ ] |

|

Logo, r e s são concorrentes.

(f)

Informações:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

[ ] |

|

Logo, r e s são concorrentes.

(g)

Escrevendo a equação da reta s na forma paramétrica:

Da segunda equação obtemos:

𝑠


Lista 5


7

Substituindo na primeira

Substituindo

em

(

)

Admitindo

Informações:

( )

( )

(

)

.

/ ( )

( )

( )

[ ] |

|


(h)

( ) ( )

Informações:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

[ ] |

|


𝑠


Lista 5


8

4. Sejam ( ) ( ) e ( ) ( ). Estude, segundo

valores de m, a posição relativa de r e s e obtenha, quando for o caso, uma equação

geral do plano determinado por elas.

Informações:

( )

( )

( )

( )

* +

Logo, r e s nunca serão paralelas.

( )

[ ] |

|

Se [ ]

Se [ ]

Logo, se

e se

Com

temos ( ) ( ).

Seja ( ) um ponto qualquer do plano determinado por r e s, a equação do

mesmo é dada por [ ] .

[ ] |

|

( ) ( ) ( ) ( )

5. Mostre que as retas r e s determinam um plano e obtenha a equação geral de .

(a)

Informações:

( ) .

/ ( ) ( ) ( )


Lista 5


9

( )

Então r e s formam um plano.



[ ] |

|

( ) ( )

(b)

Informações:

( )

( )

( )

( )

( )

– Substituindo as coordenadas de S na equação de r

Igualdade não verificada, portanto e r e s são paralelas e distintas.

Como são L.D., não podem determinar um plano. Então o plano será

determinado por .

( )



[ ] |

|

( ) ( ) ( ) ( )

6. Estude a posição relativa da reta r e do plano π e, quando forem transversais, obtenha

o ponto de intersecção P.

(a)


Lista 5


10

( ) ( )

Informações:

( )

( )

( ) – Vetor normal ao plano π

Substituindo as coordenadas de r em π:

( )

Substituindo na equação de r, obtemos o ponto de intersecção:

( ) ( ) ( )

(b)

( ) ( ) ( )

Informações:

( )

( )

( )

( )

, - |

|

– Substituindo as coordenadas de R em π, na forma paramétrica:

(I)

(II)

(III)

Das equações (II) e (III), e .

Substituindo em (I): (sentença matemática falsa)

Logo, e r em π são paralelos e r não está contida em .

(c)

(

) (

) ( )

Escrevendo a equação da reta r na forma paramétrica:


𝑟


Lista 5


11

Substituindo na segunda

Substituindo

em

Admitindo

Informações:

(

)

( )

(

) ( )

( )

, - |

|

– Substituindo as coordenadas de R em π, na forma paramétrica:

(I)

(II)

(III)

Substituindo (I) e (III) em (II):

Como a igualdade é verificada, então e r e π são paralelos e r está contida em π.

(d)

Escrevendo a equação da reta r na forma paramétrica:


Substituindo na primeira

( )

Substituindo em

Admitindo

𝑟

𝑟


Lista 5


12

Informações:

( )

( )


Substituindo as coordenadas de R na equação do plano π:

A igualdade não é verificada, portanto e r não está contida em π.

(e)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Informações:

( )

( )

( )

( )

, - |

|

Igualando as coordenadas de r às de π:

(I)

(II)

(III)

Isolando de (II) e substituindo em (III) obtém-se o sistema

Somando as duas equações obtém-se

Substituindo o parâmetro encontrado na equação da reta r, encontra-se o ponto de

intersecção P

(

)

𝑟


Lista 5


13

(f)

Informações:

( )

( )


Substituindo as coordenadas de R na equação do plano π:

( ) ( ) ( )

A igualdade não é verificada, portanto e r não está contida em π.

7. Calcule m para que r seja paralela a π: ( ) ( ) ( )

( ) ( ).

Informações:

( )

( )

( )

( )

Para que r seja paralela ao plano π, os vetores devem ser coplanares, ou seja,

linearmente dependentes.

, - |

|

8. Sejam ( ) ( ) . Usando em cada caso a

informação dada, obtenha condições sobre m e n.

Informações:

( )

( )

( )

(a) r e π são paralelos;

Para que r e π sejam paralelos, os vetores e devem ser ortogonais, ou seja


Lista 5


14

e R não deve pertencer ao plano π, ou seja,

√

Logo, r e π são paralelos se, e somente se, √

(b) r e π são transversais;

Para que r seja transversal a π, basta que e não sejam ortogonais, portanto,

(c) r está contida em π;

Para que r esteja contida em π, os vetores e devem ser ortogonais, ou seja

e R deve pertencer ao plano π, ou seja,

√

Logo, r está contida em π se, e somente se, √ .

9. Estude a posição relativa dos planos π1 e π2.

(a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Sendo e os vetores diretores de π1 e e de π2.

Verificaremos se * + é LD ou LI. A verificação também poderia ser feita no

conjunto * +.

, - |

| ( )

Então, π1 e π2 são paralelos.

( ) pertence também à ? – Substituindo as coordenadas na equação de .

(I)

(II)

(III)

Da equação (I) obtemos . Substituindo em (II) e (III) encontra-se .

Foram encontrados valores reais que satisfazem as três equações, portanto ( ) e os

planos π1 e π2 são iguais.

(b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Sendo e os vetores diretores de π1 e e de π2.

, - |

|

( )


Lista 5


15

Então, π1 e π2 são transversais.

(c)

( ) é o vetor normal a π1 e ( ) o vetor normal a π2. Observamos

que um é múltiplo escalar do outro, logo, são paralelos. Então π1 e π2 são também

paralelos.

Fazendo na equação de π1 obtemos o ponto ( ), pertencente ao

plano. Substituindo P na equação de π2, encontramos , então P não pertence à π2 e

π1 e π2 são paralelos e distintos.

(d) ( ) ( ) ( )

( ) é o vetor normal a π1 e ( ) e ( ) são vetores diretores

de π2.

Se o vetor simultaneamente ortogonal a e ( ) for paralelo à , então os planos

são paralelos.

|

| ( )

e são LI, portanto não são paralelos. Então π1 e π2 são transversais.

10. Calcule m para que os planos ( ) ( ) ( )

sejam paralelos e distintos, nos casos:

e são paralelos se o vetor e o vetor ( ) forem LD.

|

| ( )

( ) ( ) ( ) ( )

Obtemos o sistema

(I)

(II)

Isolando de (I) e substituindo em (II),.

A primeira solução não convém, pois tornaria o vetor nulo, que não define plano

algum.

Portanto, e são paralelos se

.


Lista 5


16

(a)

Os planos são distintos se o ponto ( ) não pertencer a .

Substituindo as coordenadas em obtemos , portanto

e não existe tal que e sejam paralelos e distintos.

(b)

Os planos são distintos se o ponto ( ) não pertencer a .

Substituindo as coordenadas em obtemos , portanto

e e são paralelos e distintos quando

.

11. Estude a posição relativa dos planos e ( )

( ) ( ).

e são paralelos se o vetor e o vetor ( ) forem LD.

|

| ( )

( ) ( ) ( ) ( )

Obtemos o sistema

(I)

(II)

(III)

Pela equação (III) encontramos . Substituindo em (I) e (II) encontramos,

respectivamente, e . Logo, inexiste que atenda simultaneamente às

três equações.

Então, os planos e são sempre transversais.

12. Obtenha uma equação geral do plano que contém o ponto ( ) e é paralelo ao

plano de equação .

O plano que queremos a equação é paralelo à , então seu vetor

normal é ( ). Logo, a equação é da forma . Mas, ( )

pertence ao plano. Substituindo os pontos na equação.

A equação do plano é .

13. Dados ( ) ( ) ( ) e ( )

( ) ( ), obtenha uma equação vetorial de .

Para o cálculo da intersecção entre dois planos, devemos igualar suas coordenadas.

[os parâmetros e da equação de foram substituídos, respectivamente, por e

para serem diferentes de ]


Lista 5


17

(I)

(II)

(III)

Da eq. (II):

Substituindo em (I):

Substituindo e em (III): ( ) ( )

Substituindo os parâmetros acima na equação de , temos a reta com a seguinte

equação paramétrica:

Na forma vetorial: ( ) ( )

14. Escreva uma equação vetorial da reta r concorrente com s, paralela ao plano π e

perpendicular à reta AB. São dados: , ( ),

( ), ( ) ( ).

( ) ( ) ( )

Equação da reta ( ) ( )

Vetor normal do plano π: ( )

Q é o ponto de intersecção entre r e s. É da forma ( ).

P é o ponto de intersecção entre r e AB. É da forma ( ).

é paralelo à , vetor diretor de r, portanto

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

Mas,

, então:


Lista 5


18

Substituindo e em ( ):

Cálculo do vetor diretor:

(

)

(

) ( ) ( )

Cálculo do ponto :

( ) (

)

(

)

Logo, .

/ ( ).

15. Verifique se os planos e são perpendiculares.

(a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Sendo e os vetores diretores de e e os vetores diretores de .

e são perpendiculares se * + for LI, ou seja

, - |

| * +

Os planos e não são perpendiculares.

(b)

Sendo ( ) o vetor normal ao plano e ( ) o vetor normal ao

plano

e são perpendiculares se , ou seja, se .

( ) ( )

Logo, e são perpendiculares.

16. Obtenha uma equação geral do plano que contém o ponto ( ) e é perpendicular

aos planos e .

Queremos a equação do plano , que é perpendicular à e . Logo, , vetor normal

de é simultaneamente ortogonal à , vetor normal de , e , vetor normal de .


Lista 5


19

|

|

( ) ( )

Mas, ( ) , então:

Logo, .

17. Obtenha as equações da reta perpendicular comum às retas r e s:

(a)

Escrevendo ambas as equações na forma paramétrica:

Para a reta s serão necessárias algumas manipulações. Somando o termo ( ) em

todas as partes da igualdade, temos:

Encontramos então um sistema de equações planares:

(I)

(II)

Subtraindo (II) de (I)

Substituindo em (II)

( )

Admitindo , um parâmetro real

A reta que desejamos encontrar a equação é perpendicular comum à r e s, então

, onde é vetor diretor da reta.

|

| ( )

Incompleta

𝑟

𝑠


Lista 5


20

(b)

( ) ( )

Rescrevendo a equação de s

Informações:

( )

( )

( )

(

) ( )

Cálculo do vetor diretor da reta

|

| ( )

A intersecção entre r e s é um ponto pertencente à reta que desejamos equacionar.

Igualando as coordenadas:

Resolvendo o sistema encontra-se e .

Substituindo na equação de r, encontramos o ponto ( ).

Então

( ) ( )

18. Dadas as retas ( ) ( ) e ( ) ( ),

obtenha uma equação vetorial da reta t, concorrente com r e s e paralela a

( )

A reta t é a intersecção de dois planos, e , sendo que:

|

|

|

|

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )


Lista 5


21

A equação da reta t na forma planar é

𝑠

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