GERAÇÃO DE VAZÃO EM RIOS DE REGIÕES SEMI-ÁRIDAS

Marcos Airton de Sousa Freitas. Coordenador do Grupo de Pesquisas em Recursos Hídricos, Meio Ambiente e Computação Aplicada; Coord. do Curso de Especialização em Engenharia de

Software (Internet); Prof. da Universidade de Fortaleza - UNIFOR; E-mail: freitas@feq.unifor.br Resumo - No projeto, otimização e análise de risco de sistemas múltiplos de reservatórios faz-se, normalmente, uso de simulações e estudos de Monte Carlo. Para isso, são empregados modelos de geração sintética de vazões, tanto à nível mensal quanto anual. Os modelos autoregressivos disponíveis na literatura para a geração de vazão funcionam relativamente bem em rios de regiões temperadas. Quando, porém, aplicados aos rios de regiões semi-áridas não reproduzem, de maneira satisfatória, as características típicas de intermitência desses rios. Neste artigo são analisados diversos modelos adaptados para regiões semi-áridas e aplicados a bacias hidrográficas do Nordeste do Brasil, na geração sintética de vazões. Na gestão dos recursos hídricos em regiões semi-áridas, sujeitas a condições críticas de precipitação e armazenamento de água, é muito importante a análise dos impactos de secas extremas por meio da geração sintética de vazões, bem como a definição de políticas de otimização e conservação da água.

Abstract – By the design, optimization and risk analysis of multipurpose reservoirs systems Monte Carlo simulations, where usually used monthly and annually streamflow generation models have been used. In general auto-regressive models preserve the statistical parameters of the historical time series when they are applied in humid basis. Otherwise, they are not able to reproduce the persistence (long periods of low and high flow) encountered in the historical series of intermittent rivers from semi-arid areas. In this study several streamflow generation models have been modified and applied to semi-arid in the Northeast Brazil. By the water resources management in semi-arid regions, subject to critical precipitation and reservation conditions, the impact assessment analysis of hydrologic droughts trough streamflow simulation is of huge importance for water resources policy makers. Key Words: geração de vazão; semi-árido; otimização. 1. INTRODUÇÃO O semi-árido brasileiro, com área de cerca de 1 milhão de km2 , é caracterizado, dentre outros aspectos, por uma acentuada variabilidade espaço-temporal de sua precipitação (400 a 1800 mm/a) e uma elevada taxa de evaporação (acima de 2000 mm/a), associada à condições geológicas restritivas (subsolo cristalino de reduzida potencialidade hídrica), tendo como conseqüência a apresentação de intermitência de seus cursos d’água. A construção de barragens artificiais ao longo dos principais rios da região, apresentou-se, a partir do início deste século, como necessidade indispensável no tocante à oferta hídrica, especialmente nos períodos de secas. Para o dimensionamento e operação desses sistemas de reservatórios superficiais, submetidos, via de regra, a usos múltiplos e concorrentes (abastecimento humano, irrigação, produção de energia, etc.), lança-se mão, dentre outras ferramentas, de modelos determinísticos chuva-vazão e/ou de modelos de geração estocástica de vazão (FREITAS, 1996), dependendo principalmente da disponibilidade de dados. Para a geração sintética de vazões foram apresentados na literatura diversos modelos, com diferentes intervalos de tempo. De um modo geral, esses modelos podem ser agrupados em duas categorias: modelos de geração direta e modelos de desagregação. À primeira classe pertencem os

modelos, os quais geram vazões simultaneamente para distintos intervalos de tempo (FERNANDEZ & SALAS, 1986; SIM, 1987; BARTOLINI et al., 1988; CLAPS et al., 1993). Nos modelos de desagregação as vazões são geradas inicialmente para um intervalo de tempo maior, por exemplo um ano, e então desagregadas em intervalos de tempo menores, como por exemplo mês, semana, dia, etc. Conforme DRACUP et al. (1980) quatro considerações fundamentais devem ser avaliadas, quando da definição de secas, quais sejam: 1) qual o interesse maior na análise, isto é, qual a natureza do déficit d’água a ser investigado (meteorológico, hidrológico ou agrícola), 2) qual o intervalo de discretização utilizado na análise de série de tempo (anual, semestral, mensal, etc.), 3) qual o patamar estabelecido para separação entre eventos de cheia e de seca e 4) a escolha dos métodos de regionalização e padronização adotados. Uma seca hidrológica pode ser definida como um, ou uma seqüência de anos, onde a vazão média anual permanece abaixo da vazão anual média a longo prazo, considerando-se toda a série existente (DRACUP et al., 1980). Um evento de seca pode, destarte, ser caracterizado por meio de três parâmetros, a saber: a duração D, em anos; a severidade ou déficit acumulado S e a magnitude M, a qual representa o déficit médio acumulado abaixo da vazão média anual.

Quando da aplicação de modelos estocásticos de geração de vazão fez-se necessário

observar não só as características de série de vazão, mas também o uso a que se destinam os modelos. Um dos aspectos mais importantes na análise de recursos hídricos em regiões semi-áridas são os impactos de eventos extremos, em especial, de secas prolongadas, sobre os sistemas de recursos hídricos. Para isso é imprescindível a geração de longas séries de vazões sintéticas. ASKEW et al. (1971), STEDINGER & TAYLOR (1982), bem como KENDALL & DRACUP (1992) discutiram a incapacidade dos modelos tradicionais, baseados na cadeia de Markov, em reproduzir a distribuição de freqüência de eventos de secas extremas, ocorridas nas séries históricas. A seguir são analisados alguns modelos, adaptados de modelos citados na literatura especializada, visando reproduzir as características típicas de intermitência dos rios de regiões semi-áridas. Os modelos foram, então, aplicados, a nível mensal, à bacias da região semi-árida brasileira. 2. MODELOS DE GERAÇÃO DA VAZÃO 2.1 Modelagem Anual Um primeiro modelo anual a ser descrito é o modelo denominado Thomas-Fiering ou modelo AR(1), isto é, Auto-Regressivo de ordem 1, que se baseia em um processo estocástico (MASS et al., 1962). O segundo modelo é o modelo Gama-Autoregressivo ou GAR(1), proposto por FERNANDEZ & SALAS (1990). Ambos os modelos são casos particulares do modelo ARMA (BOX & JENKINS, 1976). 2.1.1 Modelo AR(1) O modelo AR(1) original, também conhecido como Modelo Thomas-Fiering, pode ser descrito através da equação: 2/12

1 )1()( ρσµρµ −+−+= − iii tQQ

sendo iQ = vazão no ano i;

µ = média da população;

σ = desvio padrão da população; ρ = coeficiente de correlação lag-1 da população;

it = variável aleatória N(0,1).

Para rios intermitentes do Nordeste do Brasil empregam-se, entretanto, variáveis aleatórias com distribuições assimétricas, tais como a log-normal e gama. 2.1.2 Modelo GAR(1) Um modelo Gama-Autoregressivo de 1ª ordem pode ser descrito por meio de um processo aditivo da seguinte forma: iii QQ εφ += −1

onde iQ = vazão no intervalo de tempo i;

φ = coeficiente de autocorrelação;

iε = variável aleatória independente.

Para a geração de número aleatório com distribuição gama utiliza-se o esquema seguinte: ηφλε +−= )1( sendo

>→=

=→=

∑=

M

j

Uj MY

M

j

1

0)(

00

φη

η

com M = variável aleatória com distribuição Poisson e média igual a )ln(φβ−

jU = variável aleatória uniforme (0,1)

jY = variável aleatória com distribuição exponencial de média igual a α/1 .

2.1.3 Modelo ARR (Alternating Renewal Reward)

O modelo anual Alternating Renewal Reward de KENDALL & DRACUP (1992), baseia-se nas características (duração, severidade e magnitude) dos períodos de secas e cheias encontrados na série histórica. Ele faz uso da distribuição geométrica para a simulação da duração dos períodos de secas e cheias e da distribuição gama a dois parâmetros para a reprodução da severidade. Uma hipótese básica no processo de modelagem das vazões anuais por meio do modelo ARR é a de que os eventos de secas sejam oriundos de populações distintas, ou seja, o déficit Yi (déficit no ano i) seja independente e uniformemente distribuído, dependente, entretanto, da duração. Para a geração anual são efetuados dois estágios: 1) modelagem do processo seca/cheia, 2) modelagem da vazão dentro de período de seca ou cheia. O modelo pode, deste modo, se encontrar em um dos dois estados possíveis. Caso, por exemplo, o sistema seja a priori adotado como sendo cheia, gera-se, então, DH1 anos de cheias. A seguir, adota-se o sistema como seca e gera-se DL1 anos de seca e assim por diante. Sendo DHn e DLn distribuições de probabilidades independentes e uniformemente distribuídas.

O problema, portanto, resume-se à identificação de funções de distribuições de probabilidade para os dois estágios do modelo. Para a modelagem do processo cheia/seca foi utilizada a distribuição geométrica e para a modelagem da severidade das cheias e secas foi usado a distribuição gama a dois parâmetros. Um fator restritivo no ajuste das distribuições para a duração, bem como para a severidade, diz respeito à pequena amostra. Em um período de cerca de 80 anos de dados tem-se, por exemplo, cerca de 15 períodos de seca. Para superar essa deficiência foram empregados, então, dois procedimentos: decimação e padronização. Na análise de série de tempo com intervalo menor do que um ano, isto é, caso haja periodicidade, a variável original pode ser substituída através de uma padronização, com o objetivo de remover essa periodicidade. Empregou-se o procedimento de decimação (BLOOMFIELD, 1976) para a obtenção de n (número de meses) séries de vazão, por meio do uso dos valores de vazões padronizados de anos seguidos, para cada seca (cada cheia), em cada uma das n séries. As severidades dos períodos de cheias e secas são, deste modo, avaliados. Esse procedimento simula uma regionalização, através de n séries de vazões de n diferentes postos de uma região homogênea, submetidos às mesmas condições climáticas. Para a simulação da duração dos períodos de cheias e secas utilizou-se a distribuição geométrica, conforme a equação a seguir: f x pqx

x( ) = −1 Para a severidade empregou-se distribuições gama a dois parâmetros para cada duração, segundo KENDALL & DRACUP (1992):

f Ye Y

rD

YD

rD

( )( )( )

=− −λ λλ 1

Γ

com Γ = a função gama; r = o parâmetro de forma; λ = o parâmetro de escala. 2.2 Modelagem Mensal 2.2.1 Modelo PAR(1) O modelo mensal de Thomas-Fiering ou PAR(1) pode ser representado pela equação a seguir :

2/1211,

1, )1(´)( jjjjjij

j

jji rstQQr

s

sQQ −+−+= −−

−,

onde 1, −jiQ e jiQ , = vazão no mês j-1 e j do ano i

1−jQ e jQ = vazão média dos meses j-1 e j

1−js e js = desvio padrão dos meses j-1 e j

jr = coeficiente de correlação do mês j

jt´' = variável aleatória de uma distribuição assimétrica

Os resultados insatisfatórios resultantes de aplicações do modulo convencional Thomas-Fiering em regiões semi-áridas, com inúmeros valores nulos de vazão, trouxeram propostas de modificações desse modelo apresentadas por CLARKE (1973) e FILHO (1978). Tais procedimentos levam em consideração a independência entre a ocorrência ou não-ocorrência de vazão em cada mês do ano. Inicialmente são determinados as probabilidades de ocorrências de vazão para cada mês, dadas por:

n

nPj

'

=

onde n´ = número de valores não nulos de vazão em um dado mês j com n observações; n = número de anos da série histórica Para cada mês é então gerado um número aleatório Vj com distribuição uniforme (0,1) e comparado ao valor de probabilidade de ocorrência de vazão.

0

0

,

,

>⇒≤

=⇒>

jijj

jijj

QPV

QPV

Quando 0, >jiQ e 01, =−jiQ , então jiQ , é determinado do seguinte modo:

jjjji tsQQ +=,

sendo jt = número aleatório com distribuição normal N(0,1).

Uma outra modificação desse modelo foi proposta por MATALAS (1967). Não sé devido as características assimétricas das vazões mensais, mas também por causa da dificuldade de obtenção de um estimador representativo do valor populacional de assimetria, pois as séries históricas de vazão são geralmente curtas, utiliza-se muitas vezes uma distribuição de probabilidade log-normal. Como o logaritmo de nulo não é definido, o que impossibilitaria de se aplicar a transformação log diretamente a séries históricas de rios intermitentes, MATALAS (1967) apresentou uma forma de estimar os parâmetros da série histórica no domínio logarítmico sem alterar a série em si. 2.2.2 Modelo Two-tier

A maioria dos modelos, entretanto, não captura, a distribuição e a persistência dos totais anuais. As vazões mensais geradas (por modelos mensais) caso somadas, normalmente diferem das vazões anuais sintéticas (geradas por modelos anuais), particularmente quando o modelo é especificado em termo dos logaritmos das vazões, ou de alguma outra transformação efetivada. Em tais casos, ou as vazões mensais ou as anuais necessitam ser ajustadas para se manter tal consistência. Uma questão relevante é como ajustar as vazões sazonais geradas sem substancialmente distorcer suas distribuições marginais. Neste estudo diversos métodos de ajustes foram testados e analisados.

Na aplicação de modelos estocásticos de vazão em sistemas de recursos hídricos é importante, portanto, que não apenas os parâmetros estatísticos das vazões mensais, mas também os das vazões anuais, sejam reproduzidos. Os valores de vazões negativos gerados, bem como a distorção na distribuição marginal foram observados. A utilização de um ou outro procedimento de ajuste é de fundamental relevância, notadamente na avaliação da capacidade do modelo de geração em reproduzir os períodos de secas extremas e estimar com razoável precisão a vizinhança das vazões anuais históricas.

2.2.3 Método dos Fragmentos O Método dos Fragmentos de SVANIDZE (1980) norteia-se na desagregação, em vazões mensais (ou intervalo de tempo menor), de vazões anuais pré-geradas por algum modelo anual (neste caso, pelo modelo ARR). O cerne do modelo caracteriza-se pela estimativa, para cada mês e para todos os anos i da série histórica, dos denominados fragmentos, dados por:

fQ

Qi j

i j

i jj

n,

,

,

=

=∑

1

sendo: n = número de meses (n=12); Qi j, = vazão no mês j do ano i.

Os fragmentos f i j, correspondem ao valor percentual da vazão anual (denominador da

equação acima) no ano i. A seguir os valores anuais históricos de vazão são ordenados de forma crescente e divididos em intervalos de classes. Os limites dos intervalos de classes são formados pela média entre valores sucessivos de vazão. O número total de classes é igual ao número de anos de vazão da série medida. A primeira classe tem como limite inferior zero e a última classe tem limite superior infinito. As vazões anuais geradas são, então, distribuídas conforme os intervalos de classe e fragmentadas em valores mensais. 2.2.4 Modelo de Desagregação O modelo de desagregação proposto por VALENCIA & SHAAKE (1973) faz uso de um modelo de geração de vazão anual, para em seguida desagregar esses valores anuais em vazões mensais, semanais ou diárias. O modelo baseia-se na equação a seguir: iii BVAMQ +=

onde iQ = matriz de vazões

A = vetor de parâmetros [12x1]

iM = matriz coluna de vazão no ano i subtraída de µ , estimado por ∑=

=12

112

1

j

jQM

B = matriz de parâmetros [12x12] jV = vetor de componentes aleatórios

O vetor A é estimado por )()( 1

iiii MMEMQEA −= , onde E( ) é o valor esperado e E-1( ) a

matriz inversa do valor esperado. A matriz de parâmetro B é por sua vez determinado a partir da expressão a seguir, a qual pode ser obtida por decomposição espectral ou análise de componentes principais: )()()()( 1

iiT

iiiiiT

iT MQEMQEMMEQQEBB −−=

3. APLICAÇÃO DOS MODELOS

Os diversos modelos foram consolidados em um pacote computacional denominado SAGE (Stochastische AbflussGEnerierungsmodell), composto dos seguintes modelos de geração de vazão sintética (FREITAS, 1995):

- Modelo PAR(Thomas/Fiering) com modificação de CLARKE(1973) - Modelo PAR (Thomas/Fiering) com transformação de MATALAS(1967) - Modelo Two-tier (PAR(1)/AR(1) com distribuição log-gama - Modelo Two-tier (PAR(1)/AR(1) com distribuição log-normal - Modelo Two-tier - PAR(1)/GAR(1) - Métodos dos Fragmentos / AR(1) com distribuição log-gama - Métodos dos Fragmentos / AR(1) com distribuição log-normal - Métodos dos Fragmentos / GAR(1) - Modelo de Desagregação /AR(1) de VALENCIA & SCHAAKE(1973) - Alternating Reward Renewal Model / Métodos dos Fragmentos

Figura 1: Localização das bacias hidrográficas analisadas. Para a verificação da aplicabilidade dos modelos a rios intermitentes do semi-árido brasileiro, empregou-se os modelos a quatro bacias do Nordeste do Brasil (Figura 1), bacias essas com áreas variando de 410 a 5695 km² (Tabela 1). Para a análise do desempenho de modelos de geração de vazão no semi-árido três critérios básicos são necessários, quais sejam: (1) análise dos parâmetros estatísticos das séries geradas; (2) análise do resultado da simulação da operação do reservatório e (3) análise das características (duração, severidade e magnitude) dos períodos de cheias e secas gerados (FREITAS, 1995).

Tabela 1 - Características das bacias hidrográficas analisadas

Nr.

Posto Rio Área da bacia (km2)

Vazão média anual (m3/s)

Período

1 Faz. Cajazeiras Acaraú 1550 7.45 1963-82 2 Sitio Poço Dantas Bastiões 3700 3.88 1968-81 3 Sitio Novos São Gonçalo 410 3.05 1963-75 4 Limeira Capibaribe 5695 6.55 1957-75

Para cada uma das bacias hidrográficas foram geradas 100 séries de 50 anos de extensão, com cada um dos modelos. Nas figuras 2, 3 e 4 são apresentados comparativos do valor histórico com o valor mediano (100 séries geradas) dos parâmetros média, desvio padrão e coeficiente de correlação, respectivamente. Os modelos Frag1 e Frag2 foram os que conseguiram melhor reproduzir os parâmetros estatísticos analisados.

Figura 2 - Parâmetros estatísticos das séries geradas e histórica (média) para o Posto Faz. Cajazeiras.

Vazão Média

0

10

20

30

40

50

60

J F M A M J J A S O N D

mês

(m³/

s)

HisClarkeMatalasTwotier1Twotier2Twotier3Frag1Frag2Frag3Disag

Figura 3 - Parâmetros estatísticos das séries geradas e histórica (desvio padrão) para o Posto Faz. Cajazeiras.

Figura 4 - Parâmetros estatísticos das séries geradas e histórica (coeficiente de correlação) para o Posto Faz. Cajazeiras. Na tabela 2 são apresentadas as características das séries histórica e geradas para o Posto Faz. Cajazeiras, no rio Acaraú. Nas tabelas 3 a 5 encontram-se as estatísticas dos parâmetros característicos dos períodos de secas e cheias hidrológicas (duração, severidade e magnitude) para os modelos anuais. Tabela 2. Comparações das características estatísticas das séries histórica e geradas para o Posto Faz. Cajazeiras. Série Série Gerada Parâmetros Estatísticos Histórica PAR(1) GAR(1) Média(m³/s) 91.384 98.882 115.720 Desvio Padrão (m³/s) 104.223 96.545 122.283 Coef. de Variação 1.140 0.976 1.057 Coef. de Assimetria 1.579 1.923 1.607 Coef. de Correl. Lag-1 0.265 0.244 0.270

Desvio Padrão

0

10

20

30

40

50

60

70

J F M A M J J A S O N D

mês

(m³/

s)

HisClarkeMatalasTwotier1Twotier2Twotier3Frag1Frag2Frag3Disag

Coeficiente de Correlação

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

J F M A M J J A S O N D

mês

HisClarkeMatalasTwotier1Twotier2Twotier3Frag1Frag2Frag3Disag

Tabela 3. Comparação das estatísticas da duração dos períodos de secas hidrológicas das séries histórica e gerada para o Posto Faz. Cajazeiras. Série Série Gerada Parâmetros Estatísticos Histórica PAR(1) GAR(1) Média (ano) 3.133 3.053 3.141 Desvio Padrão (ano) 2.232 2.445 2.603 Coef. de Variação 0.712 0.801 0.829 Coef. de Assimetria 1.184 1.692 1.909 Coef. de Correl.Lag-1 0.451 -0.004 0.018 Tabela 4. Comparação das estatísticas da severidade dos períodos de secas hidrológicas das séries histórica e gerada para o Posto Faz. Cajazeiras. Série Série Gerada Parâmetros Estatísticos Histórica PAR(1) GAR(1) Média (m³/s*a) 204.761 181.444 244.755 Desvio Padrão (m³/s*a) 172.733 171.353 239.075 Coef. de Variação 0.844 0.944 0.977 Coef. de Assimetria 1.231 1.714 1.935 Coef. de Correl. Lag-1 0.393 -0.025 0.011 Tabela 5. Comparação das estatísticas da magnitude dos períodos de secas hidrológicas das séries histórica e gerada para o Posto Faz. Cajazeiras. Série Série Gerada Parâmetros Estatísticos Histórica PAR(1) GAR(1) Média (m³/s) 59.581 55.336 71.772 Desvio Padrão (m³/s) 22.164 24.068 29.513 Coef. de Variação 0.372 0.435 0.411 Coef. de Assimetria -0.839 -0.252 -0.494 Coef. de Correl. Lag-1 0.183 -0.033 -0.058 Na tabela 6 observam-se os erros médios de ajuste (bias e rmse) para o Posto Faz. Cajazeiras.

Tabela 6 - Erros médios de ajuste (bias e rmse) para o Posto Faz. Cajazeiras. Modelo Média

bias rmse Desvio Padrão bias rmse

Coef. de Correlação bias rmse

TF/Clarke 0.2876 0.2321 0.2060 0.1674 6.6039 4.1213 TF/Matalas 0.1965 0.1953 0.1639 0.1591 6.4141 1.7117 Two-tier1 0.3237 0.2652 0.2810 0.2007 7.1211 3.9973 Two-tier2 0.3031 0.2808 0.2369 0.2922 8.7538 2.2963 Two-tier3 0.3325 0.2704 0.2691 0.3102 8.5416 5.7129

Frag1 0.0966 0.2136 0.0838 0.1673 0.1276 1.9774 Frag2 0.1381 0.1825 0.1387 0.1028 0.8318 2.6558 Frag3 0.2076 0.1801 0.1111 0.1304 1.1984 1.9313 Disag. 0.4867 0.4691 0.3299 0.3379 7.3794 7.1152

4. CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES Neste trabalho foram apresentados vários modelos usados na geração de vazão em região semi-árida. Os modelos Frag1 e Frag2, quando aplicado às diversas bacias do semi-árido brasileiro apresentaram resultados mais satisfatórios, provando assim serem uma ferramenta útil no projeto e otimização de sistemas de reservatórios em regiões semi-áridas. 5. BIBLIOGRAFIA ASKEW,A.J.,W.W-G.YEH, W.A.HALL : A Comparative Study of Critical Drought Simulation, Water Resources Research, 7(1), 52-62, 1971. BARTOLINI,P., J.D.SALAS, J.T.B.OBEYSEKERA : Multivariate Periodic ARMA(1,1) Processes, Water Resources Research, 24(8), 1237-1246, 1988. BLOOMFIELD, P.: Fourier Analysis of Time Series: An Introduction, Wiley-Interscience, 258p, 1976. BOX,G.E.P, G.M.JENKINS: Time Series Analysis: Forecasting and Control, Holden-Day Verlag, 1976. CLAPS,P., F.ROSSI, C.VITALE: Conceptual-Stochastic Modeling of Seasonal Runoff Using Autoregressive Moving Average Models and Different Scales of Aggregation, Water Resources Research, 29(8), 2545-2559, 1993. CLARKE,R.T.: Mathematical Models in Hydrology, FAO Irrigation and Drainage Paper, N. 19., 1973. DRACUP, J. A.; LEE, K. S.; PAULSON, E.G.: On the Definition of Droughts, WATER RESOURCES RESEARCH, 16(2), 297-302. FERNANDEZ, B.; SALAS, J. D.: Periodic Gamma Autoregressive Processes for Operational Hydrology, WATER RESOURCES RESEARCH, 22(10), 1385-1396, 1986. FERNANDEZ,B., J.D. SALAS: Gamma-Autoregressive Models for Stream-Flow Simulation, Journal of Hydraulic Engineering, 116(11), 1403-1414, 1990. FILHO, A.A.C.: Um Modelo de Simulação e Operação de um Sistema de Irrigação com Reservatórios em Rios Intermitentes, Dissertação de Mestrado, UFRJ, Rio de Janeiro, 1978. FREITAS, M. A. S.: Stochastische Abflussgenerierung in intermittierenden semiariden Gebieten (NO-Brasilien). Abschlussarbeit Weiterbildendes Studium Bauingenieurwesen, Univ. Hannover, Deutschland, 1995. FREITAS, M.A.S.: A Decision Support System for Drought Forecasting and Reservoirs Management in Northeast Brazil, VIII Congresso Latino-Americano e Ibérico de Meteorologia, X Congresso Brasileiro de Meteorologia, Brasilia - DF, 1998. KENDALL, D.R.; DRACUP, J. A.: On the Generation of Drought Events Using an Alternating Renewal-Reward Model, STOCHASTIC HYDROL. HYDRAUL ., 6, 55-68, 1992. LEE, K.S.; DRACUP, J.A.: A Stochastic Frequency Analysis of Multiyear Droughts, National Science Foundation 1982, University of California Water Resources Center. LEE, K.S.; SADEGHIPOUR, J.; DRACUP, J.A.: An Approach for Frequency Analysis of Multiyear Drought Durations, WATER RESOURCES RESEARCH, 22(5), 655-662, 1986. MASS, A. et al.,: Design of Water Resources Systems, Harvard University Press, 1962. MATALAS,N.C.: Mathematical Assessment of Synthetic Hydrology, Warter Resources Research, 3(4), 937-945, 1967. SIM, C. H.: A Mixed Gamma ARMA(1) Model for River Flow Time Series, WATER RESOURCES RESEARCH, 23(1), 32-36, 1987. STEDINGER, J. R.; TAYLOR, M. R.: Synthetic Streamflow Generation, 1: Model Verification and Validation, Water Resources Research, 18(4), 909-918, 1982.

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