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Gerador elétrico de estator rotativo com magnetos
permanentes e rotor fixo com enrolamentos
concentrados: Análise e estudo do seu circuito
magnético
Gonçalo Pereira Miguéis
Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em
Engenharia Eletrotécnica e de Computadores
Orientador: Prof. Doutor Paulo José da Costa Branco
Júri
Presidente: Prof. Doutor Rui Manuel Gameiro de Castro
Orientador: Prof. Doutor Paulo José da Costa Branco
Vogal: Prof. Doutor Carlos Alberto Ferreira Fernandes
Outubro de 2016
i
Agradecimentos
Em primeiro lugar gostaria de agradecer à minha mãe, ao meu pai e à minha irmã. Estas são as pessoas
mais importantes na minha vida e a quem devo tudo o que tenho. Foram um apoio incondicional e
incansável em todas as etapas da minha vida.
Gostaria de agradecer ao professor Paulo Branco, por me ter dado a oportunidade de trabalhar consigo
desde cedo. Por me também me ter dado a oportunidade de aprender e pelo ambiente excecional que
criou durante este período.
Agradeço também aos meus colegas que estiveram a realizar dissertações com o professor Paulo
Branco, pela amizade e camaradagem que espero que fique para sempre.
Por fim, um agradecimento a todos os meus amigos por tornarem este trajeto mais divertido e
agradável.
ii
Resumo
O gerador síncrono tem sido a máquina por excelência na geração de energia elétrica. A sua
vertente de magnetos permanentes apresent a vantagens significativas, como ausência de
escovas, menor volume e maior rendimento. Os magnetos permanentes encontram -s e
localizados no indutor, que está normalmente situado na parte interior da máquina. Esta topologi a
apresenta, no entanto, alguns inconvenientes, como é o caso da descolagem esporádica dos
magnetos, devido à sua exposição a forças centrífugas oriundas da rotação da máquina.
Esta dissertação aborda o estudo de uma topologia em que o induzido se encontre na parte
interior e o indutor na parte exterior do gerador. Com esta abordagem a força centrífuga aplicada
aos magnetos tende a comprimi-los contra o indutor em vez de os descolar. Além disso, a
colocação dos magnetos permanentes no exterior facilita a sua remoção em caso de
necessidade, assim como minimiza problemas de temperatura que possam provocar a sua
desmagnetização.
Para a concretização da topologia a estudar para um gerador síncrono de magnetos
permanentes, realiza-se um projeto de um gerador síncrono monofásico de 20 kW e veloci dade
nominal de 100 rpm a ser empregue num sistema de microgeração adaptado à energia das
marés.
Nesta dissertação são desenvolvidos modelos eletromagnéticos e térmicos bem como, um
algoritmo de otimização que os interligue. É ainda estudado o comportamento do gerador em
vazio, com carga equilibrada e ainda para a situação de perda de uma das fases da carga. Por
último é estimado o tempo de vida útil do isolamento dielétrico do gerador dimensionado.
Palavras-chave: gerador síncrono de magnetos permanentes, elementos finitos, análise
eletromagnética, análise térmica.
iii
Abstract
In the past couple of years, the synchronous generator has been a widely used generator. In
particular, the permanent magnet synchronous generator has great benefits , such as the absence
of brushes, a smaller volume and a higher efficiency. The permanent magnets are located in the
inductor, which is normally located in the inner part of the machine. However, this topology has
some drawbacks, the main one being the occasional ungluing of the magnets due to centrifugal
forces originated by the rotational motion of the generator.
This master’s dissertation addresses the study of a topology in which the magnets are located
in the outer part of the machine, (rotor). With this approach, the centrifugal force tends to
compress the magnets instead of ungluing them, and additionally makes these components more
easily accessible allowing for an easy maintenance.
The sizing of a single phase permanent magnet synchronous generator which rotates at 100
rpm and that delivers 20 kW of active power to the load is intended. It is also intended that the
proposed generator operates through the kinetic energy extracted from river currents.
In the present master’s dissertation electromagnetic and thermal models, as well as an
optimization algorithm that interlink, both of them are, developed. The generator operating modes:
open circuit, full load and full load with the loss of one of the load phases are also studied. Lastly ,
the lifetime expectancy of the dielectric isolation of the generator windings for nominal operat ion
conditions is estimated.
Keywords: PM synchronous generator, finite-element method (FEM), electromagnetic analysis, thermal
analysis.
iv
Índice
Agradecimentos ..............................................................................................................................i
Resumo ........................................................................................................................................ ii
Abstract........................................................................................................................................ iii
Lista de Figuras ............................................................................................................................vii
Lista de Tabelas ........................................................................................................................... ix
Lista de Acrónimos.........................................................................................................................x
Lista de Símbolos ......................................................................................................................... xi
1. Introdução ..............................................................................................................................1
1.1. Principal objetivo .............................................................................................................1
1.2. Estrutura da dissertação ..................................................................................................1
2. Enquadramento ......................................................................................................................3
2.1. Inconvenientes das topologias “tradicionais” dos geradores síncronos de magnetos
permanentes ..............................................................................................................................3
2.2. Topologia proposta do gerador síncrono de magnetos permanentes para aplicações de
baixas velocidades .....................................................................................................................3
2.3. Aplicação do Gerador ......................................................................................................4
2.4. Materiais constituintes da máquina elétrica .......................................................................5
2.4.1. Magnetos permanentes ............................................................................................5
2.4.2. Material ferromagnético macio ..................................................................................7
2.4.3 Eixo do gerador ...........................................................................................................9
2.4.4. Condutores ..............................................................................................................9
2.5. Perdas no gerador de magnetos permanentes ................................................................ 11
2.5.1. Perdas nos materiais ferromagnéticos ..................................................................... 11
2.5.2. Perdas nos condutores........................................................................................... 14
2.6. Procedimentos efetuados num programa por elementos finitos ........................................ 14
2.7. Equações na origem do modelo eletromagnético em elementos finitos ............................. 15
2.7.1. Equações de Maxwell ............................................................................................ 15
2.7.2. Vetor potencial e potencial elétrico .......................................................................... 16
2.7.3. Restantes equações necessárias à resolução do problema ...................................... 16
2.7.4. Condições de fronteira ........................................................................................... 17
2.8. Equações na origem do modelo térmico em elementos finitos .......................................... 18
2.8.1. Diferentes formas de transmissão de energia térmica .............................................. 18
2.8.2. Equações para transferência de calor ..................................................................... 18
2.8.3. Condições de fronteira ........................................................................................... 21
2.8.3.1. Condição de fronteira de Dirichlet ........................................................................ 21
2.8.3.2. Condição fronteira de Newman ........................................................................... 21
2.9. Conceitos sobre circuitos magnéticos ............................................................................. 21
2.9.1. Conceito de relutância............................................................................................ 21
v
2.9.2. Método de cálculo da força magnetomotriz num circuito magnético com magneto s
permanentes ......................................................................................................................... 22
3. Modelo analítico de parâmetros concentrados com vista à simulação eletromagnética do gerador
em vazio...................................................................................................................................... 25
3.1. Geometria do gerador síncrono de magnetos permanentes ............................................. 25
3.1.1. Aspeto gráfico da topologia do gerador de magnetos permanentes ........................... 25
3.1.2. Distribuição dos condutores .................................................................................... 27
3.1.3. Variáveis que representam a geometria do gerador de magnetos permanentes ......... 28
3.2. Construção do modelo eletromagnético por parâmetros concentrados ............................. 30
3.2.1. Vantagens e desvantagens do modelo de parâmetros concentrados em comparação
com o modelo por elementos finitos ....................................................................................... 30
3.2.2. Resolução do circuito magnético do gerador de magnetos permanentes ................... 30
3.3. Resultados do gerador de magnetos permanentes em vazio ............................................ 35
3.3.1. Resultados obtidos através do modelo de parâmetros concentrados ......................... 35
3.3.2. Comparação de resultados entre várias geometrias obtidas a partir do modelo de
parâmetros concentrados ...................................................................................................... 36
3.3.3. Comparação dos resultados obtidos entre modelo de parâmetros concentrados e
elementos finitos. .................................................................................................................. 39
4. Modelo utilizado para a simulação em vazio e em carga do gerador de magnetos permanentes 41
4.1. Sistema elétrico isolado ................................................................................................. 41
4.1.1. Carga elétrica ........................................................................................................ 41
4.1.2. Conversor eletrónico de potência ............................................................................ 42
4.1.3. Modelos eletromagnético e térmico ......................................................................... 47
4.2. Condições a cumprir nos modelos eletromagnético e térmico .......................................... 49
4.2.1. Modelo eletromagnético: constrangimentos ................................................................. 49
4.2.2. Modelo térmico: constrangimentos .............................................................................. 52
4.3. Algoritmo de otimização para o dimensionamento do gerador de magnetos permanentes . 53
4.3.1. Interligação entre variáveis dos modelos eletromagnético e térmico .......................... 53
4.3.2. Algoritmo de otimização ......................................................................................... 55
5. Resultados do estudo do gerador de magnetos permanentes .................................................. 59
5.1. Geometrias do gerador a analisar .................................................................................. 59
5.1.1. Variáveis geométricas ............................................................................................ 59
5.1.2. Geometria selecionada para o gerador síncrono de magnetos permanentes ............. 63
5.2. Funcionamento em vazio ............................................................................................... 65
5.3. Funcionamento em carga .............................................................................................. 68
5.3.1. Análise eletromagnética em carga do gerador de magnetos permanentes ................. 68
5.3.2. Análise térmica em carga do gerador de magnetos permanentes .............................. 73
5.4. Análise do gerador aquando da perda de uma das fases da carga ................................... 77
5.5. Estimação do tempo de vida útil do isolamento dielétrico do gerador de magnetos
permanentes ............................................................................................................................ 82
6. Conclusões ........................................................................................................................... 85
vi
6.1. Considerações finais ..................................................................................................... 85
6.2. Trabalhos futuros .......................................................................................................... 86
Anexos ........................................................................................................................................ 87
Anexo I – Parâmetros que constituem as relutâncias no modelo eletromagnético de parâmetros
concentrados ............................................................................................................................ 87
Anexo II – Influência da variação da temperatura na resistividade elétrica dos condutores de cobre e
no valor de densidade de fluxo magnético residual dos magnetos permanentes ........................... 90
Anexo III – Características das geometrias simuladas através do modelo abordado no capítulo 4 . 92
Bibliografia .................................................................................................................................. 94
vii
Lista de Figuras
Figura 1 - Topologia do gerador de magnetos permanentes proposta na presente dissertação. ..........4 Figura 2 - Sistema RiverSails. .........................................................................................................5 Figura 3 - Posicionamento do gerador no sistema RiverSails. ...........................................................5 Figura 4 - Curvas BH dos magnetos permanentes. ..........................................................................7 Figura 5 - Curvas de desmagnetização dos magnetos permanentes. ................................................7 Figura 6 - Curva de magnetização do material ferromagnético macio. ...............................................9 Figura 7 - Curvas de magnetização típicas dos materiais ferromagnéticos. ...................................... 12 Figura 8 - Efeito das correntes de Foucault nos materiais ferromagnéticos maciços. ................ 13 Figura 9 - Efeito das correntes de Foucault nos materiais ferromagnéticos laminados. ............. 13 Figura 10 - Corpo com forma arbitrária onde ocorrem trocas de energia térmica. ............................. 19 Figura 11 - Parte ativa do gerador síncrono de magnetos permanentes com 8 pares de polos, plano
tridimensional. ............................................................................................................................. 26 Figura 12 - Parte ativa do gerador síncrono de magnetos permanentes com 8 pares de polos, plano
frontal. ......................................................................................................................................... 26 Figura 13 - Sentido de magnetização dos magnetos e do enrolamento dos condutores. ................... 27 Figura 14 - Distribuição das bobinas ligadas em série. ................................................................... 28 Figura 15 - Variáveis que representam a geometria do gerador. ..................................................... 29 Figura 16 - Gerador dividido em diferentes secções de acordo com a distribuição da densidade de fluxo
magnético prevista. ...................................................................................................................... 31 Figura 17 - Circuito magnético do gerador de magnetos permanentes............................................. 32 Figura 18 – Fluxograma do processo de cálculo do fluxo magnético. ............................................... 34 Figura 19 - Fluxo magnético por espira obtido através do modelo de parâmetros concentrados. ....... 36 Figura 20 - Força eletromotriz por espira obtida através do modelo de parâmetros concentrados...... 36 Figura 21 - Variação do valor eficaz da força eletromotriz em função da variação dos parâmetros
geométricos. ................................................................................................................................ 37 Figura 22 - Variação da relação força eletromotriz eficaz, volume do gerador, em função da variação
dos seus parâmetros geométricos. ................................................................................................ 37 Figura 23 - Variação da relação força eletromotriz eficaz, custo dos materiais do gerador, em função da
variação dos seus parâmetros geométricos. .................................................................................. 37 Figura 24 - Fluxo magnético por espira, obtido através dos modelos de parâmetros concentrados e por
elementos finitos. ......................................................................................................................... 40 Figura 25 - Força eletromotriz por espira, obtida através dos modelos de parâmet ros
concentrados e por elementos finitos . ........................................................................................ 40 Figura 26 - Análise espetral da força eletromotriz quando calculada pelos modelos de parâmetros
concentrados e por elementos finitos. ........................................................................................... 40 Figura 27 - Conversor eletrónico de potência. ................................................................................ 43 Figura 28 - Carga elétrica e filtros do conversor eletrónico de potência. ........................................... 44 Figura 29 - Variação aproximada da potência reativa no condensador. ........................................... 47 Figura 30 – Esquema representativo do modelo eletromagnético utilizado. ...................................... 48 Figura 31 - Onda de tensão com elevada distorção harmónica. ...................................................... 51 Figura 32 - Análise espetral da onda de tensão com elevada distorção harmónica. .......................... 52 Figura 33 - Esquema de interligação entre variáveis dos modelos eletromagnético e térmico. .......... 53 Figura 34 - Esquema de interligação entre as variáveis dos modelos eletromagnético e térmico após
fixação da temperatura dos magnetos permanentes e dos condutores de cobre. ............................. 54 Figura 35 - Fluxograma representativo do algoritmo de simulação do gerador de magnetos
permanentes. .............................................................................................................................. 57 Figura 36 - Principais variáveis que representam a geometria do gerador, PPolar=1........................... 60 Figura 37 - Principais variáveis que representam a geometria do gerador, PPolar=0........................... 60 Figura 38 - Custo dos materiais constituintes dos magnetos permanentes, veio, condutores de cobre e
material ferromagnético macio para cada geometria do gerador. ..................................................... 63 Figura 39 - Volume de cada geometria do gerador. ........................................................................ 63 Figura 40 - Massa de cada geometria do gerador. ......................................................................... 64 Figura 41 - Geometria do gerador de magnetos permanentes selecionada. ..................................... 64
viii
Figura 42 - Distribuição da densidade de fluxo magnético no gerador de magnetos permanentes. .... 65 Figura 43 - Densidade de fluxo magnético no material ferromagnético do induzido em vazio. ........... 66 Figura 44 - Análise espetral da densidade de fluxo magnético no material ferromagnético do induzido
em vazio. ..................................................................................................................................... 66 Figura 45 - Sistema elétrico isolado com representação das grandezas elétricas em análise no presente
capítulo. ...................................................................................................................................... 67 Figura 46 - Tensão total induzida aos terminais do gerador em vazio. ............................................. 67 Figura 47 - Análise espetral da tensão total induzida aos terminais do gerador em vazio. ................. 68 Figura 48 - Densidade de fluxo magnético nos magnetos permanentes em vazio. ........................... 68 Figura 49 - Densidades de fluxo magnético no material ferromagnético do induzido em vazio e em
carga. .......................................................................................................................................... 69 Figura 50 - Análise espetral da densidade de fluxo magnético no material ferromagnético do induzido
em carga. .................................................................................................................................... 69 Figura 51 - Tensão aos terminais do gerador. ................................................................................ 70 Figura 52 - Decomposição em harmónicas da tensão aos terminais do gerador. .............................. 70 Figura 53 - Corrente que circula nos enrolamentos do gerador. ...................................................... 70 Figura 54 - Decomposição em harmónicas da corrente que circula nos enrolamentos do gerador. .... 71 Figura 55 - Tensão na carga na condição de funcionamento nominal do gerador. ............................ 71 Figura 56 - Análise espetral da tensão na carga na condição de funcionamento nominal do gerador. 72 Figura 57 - Corrente na carga na condição de funcionamento nominal do gerador. .......................... 72 Figura 58 - Análise espetral da corrente na carga na condição de funcionamento nominal do gerador.
................................................................................................................................................... 72 Figura 59 - Potência insânia no gerador na sua condição nominal de funcionamento. ...................... 73 Figura 60 - Potência insânia na carga na condição de funcionamento nominal do gerador. ............... 73 Figura 61 - Densidade de fluxo magnético nos magnetos permanentes em carga. ........................... 74 Figura 62 - Análise espetral da densidade de fluxo magnético em carga. ........................................ 74 Figura 63 - Distribuição de temperatura no gerador de magnetos permanentes quando em
funcionamento nominal (modelo 2D). ............................................................................................ 76 Figura 64 - Distribuição de temperatura no gerador de magnetos permanentes quando em
funcionamento nominal (modelo 3D). ............................................................................................ 77 Figura 65 - Esquema do sistema elétrico em estudo com ocorrência de defeito numa das fases da
carga. .......................................................................................................................................... 78 Figura 66 - Tensão na carga na ocorrência de perda de uma das fases. ......................................... 78 Figura 67 - Análise espetral da tensão na carga na ocorrência de perda de uma das fases. ............. 78 Figura 68 - Corrente na carga na ocorrência de perda de uma das fases......................................... 79 Figura 69 - Análise espetral da corrente na carga na ocorrência de perda de uma das fases. ........... 79 Figura 70 - Tensão aos terminais do gerador na ocorrência de perda de uma das fases da carga. .... 80 Figura 71 - Análise espetral da tensão aos terminais do gerador na ocorrência de perda de uma das
fases da carga. ............................................................................................................................ 80 Figura 72 - Corrente no gerador na ocorrência de perda de uma das fases da carga. ...................... 80 Figura 73 - Análise espetral da corrente no gerador na ocorrência de perda de uma das fases da carga.
................................................................................................................................................... 81 Figura 74 - Potência instantânea entregue à carga na ocorrência de perda de uma das suas fases. . 81 Figura 75 - Potência instantânea aos terminais do gerador na ocorrência de perda de uma das fases
da carga. ..................................................................................................................................... 82 Figura 76 - Tempo de vida útil do isolamento dielétrico dos condutores. .......................................... 83 Figura 77 - Localização das variáveis Yaux1 e Xaux1. ........................................................................ 87 Figura 78 - Localização da variável Yaux2. ...................................................................................... 88 Figura 79 - Variação da resistividade elétrica dos condutores de cobre em função da temperatura. .. 90 Figura 80 - Variação da densidade de fluxo magnético residual em função da temperatura. ............. 91
ix
Lista de Tabelas
Tabela 1 - Características dos magnetos permanentes. ...................................................................6 Tabela 2 - Comparação entre características de diferentes materiais utilizados no isolamento dos
condutores. ................................................................................................................................. 10 Tabela 3 - Classes térmicas do isolamento das máquinas elét ricas. ................................................ 11 Tabela 4 - Analogia entre principais grandezas elét ricas e magnéticas. ........................................... 22 Tabela 5 - Variáveis geométricas. ................................................................................................. 29 Tabela 6 - Componentes passivos do andar Dc e do filtro de saída ................................................. 47 Tabela 7 - Variáveis geométricas das geometrias simuladas com 10 pares de polos. ....................... 61 Tabela 8 - Variáveis geométricas das geometrias simuladas com 8 pares de polos. ......................... 62 Tabela 9 - Valor das variáveis geométricas que constituem a geometria selecionada do gerador de
magnetos permanentes. ............................................................................................................... 65 Tabela 10 - Condutividades térmicas dos materiais contidos na cava do gerador. ............................ 75 Tabela 11 - Principais características das geometrias simuladas com 10 pares de polos. ................. 92 Tabela 12 - Principais características das geometrias simuladas com 8 pares de polos. ................... 93
x
Lista de Acrónimos
AC – Corrente alternada
AWG – American Wire Gauge
DC – Corrente continua
FEM – Modelo por elementos finitos
Fmm – Força magnetomotriz
GMP – Gerador de magnetos permanentes
PM – Magnetos permanentes
PWM – Modelação por largura de impulso
xi
Lista de Símbolos
Símbolo Quantidade Unidades
𝛼𝑐𝑢 Coeficiente de temperatura 1/℃
𝛼𝐼𝑑𝑧 Ângulo do material ferromagnético macio
do induzido °
𝛼𝑀𝑎𝑔 Ângulo dos magnetos permanentes °
𝛼𝑃 Coeficiente de expansão térmica do fluído 1/K
𝛼𝑃𝑎𝑠𝑠𝑜 Variável incremental na rotação do gerador rad
𝛼𝑅𝑜𝑡 Ângulo de rotação do gerador rad
Δ𝐶𝑢𝑠𝑡𝑜𝑀𝑎𝑡
Variação do custo dos materiais que constituem os magnetos permanentes,
veio, condutores de cobre e material ferromagnético macio do gerador em relação à sua geometria de referência
%
Δ𝑖𝐿𝑓𝑂𝑢𝑡 Variação máxima da corrente na bobina
𝐿𝑓𝑂𝑢𝑡 A
Δ𝑄𝑓𝑂𝑢𝑡 Variação da potência reativa no
condensador 𝐶𝑓𝑂𝑢𝑡 VAr
Δ𝑡𝑑𝑐 Intervalo de tempo em que os díodos do
retificador não conduzem s
Δ𝑉𝐶𝑓𝑂𝑢𝑡 Variação máxima da tensão no
condensador 𝐶𝑓𝑂𝑢𝑡 V
Δ𝑉𝑑𝑐 Variação da tensão aos terminais do
condensador V
Δ𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 Variação do volume do gerador em relação
à geometria de referência %
𝛿 Coeficiente de tempo em que o par de
IGBTs conduz
𝜖 Emissividade
휀 Permissividade elétrica F/m
𝜖𝐵 Variável que define a o valor máximo
admissível entre densidades de fluxo magnético
T
𝜖𝐷 Variável que incrementa ou decrementa o
parâmetro 𝐷 m
𝜖𝑃 Variável que define a o valor máximo
admissível entre o intervalo de potência desejado
W
휀𝑙𝑎𝑚 Espessura de uma chapa m
𝜗𝑖𝑠 Energia de ativação eV
𝑣𝐿𝑓𝑂𝑢𝑡 Tensão instantânea no condensador 𝐶𝑓𝑂𝑢𝑡 V
𝜆 Condutividade térmica W/(m K)
𝜆𝑎𝑟 Condutividade térmica do ar W/(m K)
𝜆𝑐𝑢 Condutividade térmica dos condutores de
cobre W/(m K)
xii
𝜆𝑒𝑞 Condutividade térmica da área de
magnetos permanentes onde se encontram os condutores
W/(m K)
𝜆𝐼𝑠𝑜𝑙 Condutividade térmica do isolamento
dielétrico W/(m K)
𝜇 Permeabilidade magnética H/m
𝜇𝐸𝐹 Permeabilidade magnético do entreferro H/m
𝜇𝐹𝑒 Permeabilidade magnético do material
ferromagnético macio H/m
𝜇𝑀𝑃 Permeabilidade magnética dos magnetos
permanentes H/m
𝜇𝑃 Viscosidade dinâmica do fluído Pa s
𝜌𝑐𝑢 Resistividade do cobre Ω ∙ m
𝜌𝑀 Carga elétrica por unidade de volume C/m3
𝜌𝑅𝑒𝑓 Resistividade do cobre à temperatura de
referência Ω ∙ m
𝜌𝑇 Densidade mássica do corpo kg/m3
𝜎 Condutividade elétrica S/m
𝜎𝑒𝑞 Condutividade elétrica equivalente do um
material laminado e isolado
dielectricamente
S/m
𝜎𝑀 Condutividade elétrica de um material
formado por um bloco maciço S/m
𝜙 Fluxo magnético Wb
𝜓 Fluxo magnético ligado Wb
Ω Corpo arbitrário
𝜔𝐶 Frequência angular das formas de onda
entregues à carga rad/s
𝐴 Vetor de potencial T m
𝐴𝑟𝑒𝑎𝐶𝑜𝑛𝑑 Área da secção transversal de um condutor
de cobre
m2
𝐴𝑟𝑒𝑎𝑆𝑙𝑜𝑡 Área de uma cava m2
𝐵 Densidade de fluxo magnético T
𝐵𝐼𝑑𝑧 Densidade de fluxo magnético no material
ferromagnético do induzido junto aos enrolamentos
T
𝐵𝐼𝑑𝑡 Densidade de fluxo magnético máxima no
material ferromagnético do indutor T
𝐵𝐼𝑑𝑧𝐴𝑛𝑡 Variável auxiliar que guarda o valor de
𝐵𝐼𝑑𝑧 T
𝐵𝑖𝑠 Constante associada ao material utilizado
como isolante h
𝐵𝐽 Densidade de fluxo magnético no “joelho” da curva BH do material ferromagnético
macio T
𝐵𝑀𝑎𝑔 Densidade de fluxo magnético nos
magnetos permanentes T
xiii
𝐵𝑚𝑎𝑥 Valor máximo da densidade de fluxo
magnético T
𝐵𝑟 Densidade de fluxo magnético residual T
𝐶𝑢𝑠𝑡𝑜𝑀𝑎𝑡
Custo dos materiais que constituem os
magnetos permanentes, veio, condutores de cobre e material ferromagnético macio
do gerador
€
𝐶𝑑𝑐 Condensador do andar DC do conversor
eletrónico de potência F
𝐶𝑓𝑂𝑢𝑡 Condensador do filtro de saída F
𝑐𝑃 Capacidade térmica a pressão constante J/(kg K)
𝑐𝑣 Capacidade térmica a volume constante J/(kg K)
𝐷 Profundidade do gerador m
𝐷𝐶𝑖𝑙 Diâmetro do gerador m
𝐷𝐼𝑛𝑓 Limite inferior do parâmetro 𝐷 m
𝐷𝑀 Campo de deslocamento elétrico C/m2
𝐷𝑆𝑢𝑝 Limite superior do parâmetro 𝐷 m
𝐸 Campo elétrico V/m
𝐹𝑚𝑚 Força magnetomotriz A
𝑓 Frequência elétrica Hz
𝑓𝐶 Frequência de comutação dos IGBTs do
inversor Hz
𝑓𝑒𝑚 Força eletromotriz V
𝑓𝑒𝑚𝑒𝑓 Valor eficaz de força eletromotriz V
𝑓𝑓𝑂𝑢𝑡 Frequência de ressonância do filtro de saída
Hz
𝑓𝑝𝐶 Fator de potência da carga
𝑓𝑠𝑎í𝑑𝑎 Frequência das formas de onda entregues
à carga Hz
𝑔 Aceleração da gravidade m/s2
𝐻 Intensidade de campo magnético A/m
𝐻𝐶 ′ Coercividade aparente A/m
𝐻𝐼𝑑𝑧 Intensidade de campo magnético no
material ferromagnético do induzido junto
aos enrolamentos
A/m
ℎ Coeficiente de transferência de calor W/(m2 K)
ℎ𝐸𝐹 Altura do entreferro m
ℎ𝐼𝑑𝑡 Altura do material ferromagnético do
indutor m
ℎ𝐼𝑑𝑡 ′ Altura da relutância do indutor m
xiv
ℎ𝐼𝑑𝑧 Altura do material ferromagnético do
induzido m
ℎ𝐼𝑑𝑧𝐸𝑥𝑡 Altura da relutância da componente externa
do induzido m
ℎ𝐼𝑑𝑧𝐼𝑛𝑡 Altura da relutância da componente interna
do induzido m
ℎ𝑀𝑃 Altura dos magnetos permanentes m
ℎ𝑅 Altura da relutância m
ℎ𝑉𝑒𝑖𝑜 Raio do eixo do gerador m
𝐼𝐶 Valor eficaz da corrente fornecida à carga
por fase A
𝐼𝑒𝑓 Valor eficaz da corrente elétrica A
𝐼𝐼𝑛 Corrente nos enrolamentos do gerador A
𝐼𝑖𝑛𝑣 Corrente à entrada do inversor de tensão A
𝑖𝐶 Corrente instantânea simples na carga A
𝑖𝑑𝑐 Corrente no andar de corrente contínua A
𝑖𝐼𝑛𝑣 Corrente instantânea no inversor A
𝑖𝐿𝑓𝑂𝑢𝑡 Corrente na bobina 𝐿𝑓𝑂𝑢𝑡 A
𝑖𝑅𝑒𝑡 Corrente instantânea no gerador A
𝐽 Densidade de corrente elétrica A/m2
𝐽𝑖𝑛 Densidade de corrente elétrica na entrada
do gerador A/m2
𝐽𝐹 Densidade de correntes de Foucault A/m2
𝐽𝑆 Densidade de corrente à superfície A/m2
𝐾𝑐𝑢 Coeficiente de utilização dos condutores de
cobre
𝑘𝑎𝑟 Coeficiente de utilização do ar
kB Constante de Stefan-Boltzmann eV/K
𝑘𝑓 Constante de cálculo das correntes de
Foucault
𝑘𝐼𝑠𝑜𝑙 Coeficiente de utilização do isolamento
dielétrico
𝑘ℎ Constante de cálculo das correntes de
histerese
𝐿𝐶 Indutância da carga H
𝐿𝑓𝐼𝑛 Indutância do filtro de entrada H
𝐿𝑓𝑂𝑢𝑡 Indutância do filtro de saída H
𝐿𝑖𝑠 Tempo de vida útil do isolamento dielétrico h
𝑙𝑐𝑢 Comprimento dos condutores de cobre m
xv
Massa Massa do gerador kg
𝑁𝐼𝑛𝑓 Limite inferior do parâmetro 𝑁𝑆
𝑁𝑀𝑎𝑥 Número máximo de condutores por cava
𝑁𝑃 Número de circuitos em paralelo por cava
𝑁𝑃𝑈𝑠𝑜 Variável auxiliar que guarda o valor de 𝑁𝑃
𝑁𝑆 Número de espiras por cava
𝑁𝑆𝑢𝑝 Limite superior do parâmetro 𝑁𝑆
𝑁º𝐻𝑎𝑟𝑚𝑆𝑢𝑝200𝐻𝑧 Número de harmónicas com frequência
superior a 200 Hz
𝑛 Velocidade de rotação do gerador rpm
𝑛𝑃𝐹𝑀1 Índice da equação das perdas nos
materiais ferromagnéticos
𝑛1 Normal exterior do meio 1
𝑛2 Normal exterior do meio 2
𝑛ℎ1 Constante do cálculo das perdas por
histerese
𝑃 Potência ativa no gerador de magnetos
permanentes W
𝑃𝐶 Potência ativa na carga W
𝑃𝑐𝑢 Perdas nos condutores de cobre W
𝑃𝑑𝑐 Potência no andar contínua do conversor
eletrónico de potência W
𝑃𝑓 Perdas de Foucault W
𝑃�̂� Densidade de perdas de Foucault W/kg
𝑃𝐹𝑒𝑟𝑟𝑜𝑀𝑎𝑔 Perdas nos materiais ferromagnéticos W
𝑃ℎ Perdas por histerese W
𝑃𝑖 Potência de perdas do elemento 𝑖 W
𝑃𝐼𝑑𝑡 Potência de perdas no material
ferromagnético do indutor W
𝑃𝐼𝑑𝑧 Potência de perdas no material
ferromagnético do induzido W
𝑃𝐼𝑛𝑠𝑡 𝐼𝑛 Potência instantânea à saída do gerador W
𝑃𝐼𝑛𝑠𝑡 𝑂𝑢𝑡 Potência instantânea à entrada da carga W
𝑃𝑀𝑎𝑔 Potência de perdas nos magnetos
permanentes W
𝑃𝑟 Número de Prandtl
𝑝 Número de pares de polos
𝑝𝑢𝑙 Índice de pulsação do retificador
xvi
𝑝𝑃𝑜𝑙𝑎𝑟 Variável indicativa do tipo de peça polar do
gerador
𝑄 Calor J
𝑄𝑖 Fonte de calor i J
𝑞 Fluxo de calor J/m2
𝑅 Relutância magnética 1/H
𝑅𝐴𝐷 Número de Rayleigh
𝑅𝐶 Resistência da carga Ω
𝑅𝐸𝐹 Relutância do entreferro 1/H
𝑅𝑓𝑖𝑐 Resistência fictícia que simula a resistência
equivalente do inversor e carga Ω
𝑅𝐼𝑑𝑡 Relutância do material ferromagnético do
indutor 1/H
𝑅𝐼𝑑𝑧𝐸𝑥𝑡 Relutância da componente externa do
material ferromagnético do induzido 1/H
𝑅𝐼𝑑𝑧𝐼𝑛𝑡 Relutância da componente interna do material ferromagnético do induzido
1/H
𝑅𝑀𝑃 Relutância dos magnetos permanentes 1/H
𝑟𝑐𝑢 Resistência dos condutores de cobre Ω
𝑆𝐶 Potência aparente entregue à carga VA
𝑆𝑒𝑐𝑐𝑢 Secção transversal dos condutores de
cobre m2
𝑆𝑒𝑐𝐸𝐹 Secção transversal da relutância do
entreferro m2
𝑆𝑒𝑐𝐼𝑑𝑡 Secção transversal da relutância do indutor m2
𝑆𝑒𝑐𝐼𝑑𝑧𝐸𝑥𝑡 Secção transversal da relutância da
componente externa do induzido m2
𝑆𝑒𝑐𝐼𝑑𝑡𝐼𝑛𝑡 Secção transversal da relutância da
componente interna do induzido m2
𝑆𝑒𝑐𝑀𝑃 Secção transversal da relutância dos
magnetos permanentes m2
𝑆𝑇 Secção transversal da relutância m2
𝑇 Temperatura ℃
𝑇𝜔 Temperatura da componente do gerador que está em contacto com o fluido
℃
𝑇𝑐 Período de comutação dos semicondutores s
𝑇𝐶𝑜𝑛𝑑 Temperatura nos condutores de cobre ℃
𝑇𝐶𝑜𝑛𝑑𝑈𝑠𝑜 Variável auxiliar que armazena o valor de 𝑇𝐶𝑜𝑛𝑑 ℃
𝑇𝐶𝑜𝑛𝑑𝑅𝑒𝑓 Temperatura dos enrolamentos de cobre à
temperatura de referência ℃
𝑇𝑒𝑥𝑡 Temperatura externa ℃
𝑇𝑓 Temperatura do fluído ℃
xvii
𝑇𝑔𝑒𝑟 Período da tensão gerada pelo gerador s
𝑇𝑖𝑠 Temperatura do isolamento dielétrico K
𝑇𝑀𝑎𝑔 Temperatura nos magnetos permanentes ℃
𝑇𝑀𝑎𝑔𝑈𝑠𝑜 Variável auxiliar que guarda o valor de 𝑇𝑀𝑎𝑔 ℃
𝑡 Tempo s
𝑈𝐶 Valor eficaz da tensão fornecida à carga
por fase V
𝑉 Potencial elétrico V
𝑉𝐴𝐵 Tensão composta entre as fases A e B V
𝑉𝐵𝐶 Tensão composta entre as fases B e C V
𝑉𝐶 Tensão simples numa das fases da carga V
𝑉𝐶𝐴 Tensão composta entre as fases C e A V
𝑉𝐶𝑓𝑂𝑢𝑡 Tensão no condensador 𝐶𝑓𝑂𝑢𝑡 V
𝑉𝑑𝑐 Tensão média no condensador 𝐶𝑑𝑐 V
𝑉𝐺𝑒𝑟𝑀𝑎𝑥 Valor máximo da tensão gerada pelo
gerador de magnetos permanentes V
𝑉𝑖 Volume do elemento 𝑖 m3
𝑉𝐼𝑛 Tensão aos terminais do gerador V
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 Volume do gerador m3
𝑉𝑛𝑢𝑐𝑙𝑒𝑜 Volume do núcleo de material
ferromagnético macio m3
𝑊ℎ Área da curva BH do material
ferromagnético macio Pa
𝑋𝑎𝑢𝑥1 Variável auxiliar no cálculo de 𝑆𝑒𝑐𝐼𝑑𝑧𝐸𝑥𝑡 m
𝑥𝑙𝑎𝑚 Número de laminas de um material
laminado
𝑌𝑎𝑢𝑥1 Variável auxiliar no cálculo de ℎ𝐼𝑑𝑧𝐸𝑥𝑡 m
𝑌𝑎𝑢𝑥2 Variável auxiliar no cálculo de ℎ𝐼𝑑𝑧𝐼𝑛𝑡 e
𝑆𝑒𝑐𝐼𝑑𝑧𝐼𝑛𝑡 m
𝑍𝐶 Impedância equivalente da carga Ω
1
1. Introdução
1.1. Principal objetivo
O principal objetivo desta dissertação é o projeto de um gerador síncrono de magnetos
permanentes com uma topologia inversa, ou seja, em que o circuito do induzido (estator) se
encontre fixo e na parte interior da máquina, enquanto o circuito rotativo do indutor (rotor) se
localize na sua parte exterior. Dimensionar-se-á um gerador monofásico de baixa tensão para
baixas velocidades, isto é, com uma velocidade nominal de rotação correspondente a 100 rpm .
Pretende-se ainda que este forneça um valor de potência ativa de 20 kW a uma carga modelado ra
de uma habitação.
O gerador será dimensionado para aplicações relacionadas com a extração de energia das
correntes marítimas. Deste modo, tenciona-se que este seja robusto, apresente uma construção
modular e que se encontre inserido num sistema isolado constituído pelo mesmo e por uma carga
elétrica. A interligação da carga ao gerador será efetuada por um conversor AC/DC/AC,
apresentado no seguimento da presente dissertação. Este mesmo conversor possibilita o
aparecimento de sistemas não sinusoidais, considerados neste trabalho.
Pretende-se desenvolver um modelo eletromagnético e térmico que possibilite o
dimensionamento de várias geometrias de geradores com diferentes dimensões e números de
pares de polos. Intenta-se no final desta dissertação selecionar uma geometria do gerador de
entre as simuladas, consoante os seguintes requisitos: preço dos materiais, peso e volume.
1.2. Estrutura da dissertação
A presente dissertação encontra-se organizada em seis capítulos.
No primeiro capítulo, apresentam-se o principal objetivo da dissertação e a estrutura adotada
neste trabalho.
No segundo capítulo, introduzem-se, de forma sucinta, o conjunto de conteúdos teóricos no
âmbito do projeto de máquinas elétricas, que servem de auxílio a temáticas abordadas nos
restantes capítulos. O capítulo 2 começa por abordar a importância do gerador síncrono na
geração de energia elétrica. Seguidamente, apresenta-se uma topologia que, por um lado,
pretende colmatar lacunas existentes nas topologias típicas do gerador síncrono de magnetos
permanentes, e, que por outro, pretende estar adaptada aos desafios impostos por sistema de
extração de energia das correntes marítimas que proporciona a sua rotação. São mencionados
os principais fatores a ter em consideração para o gerador, tendo em conta o ambiente em que
vai estar inserido. Subsequentemente, procede-se à realização de uma análise e seleção dos
materiais constituintes do gerador, identificando as suas principais características e os seus
limites de operação. Posteriormente, especificam -se as equações que proporcionam o cálculo
das perdas de Joule que ocorrem no gerador, referindo-se ainda as principais equações
2
eletromagnéticas e térmicas a resolver pelo programa por elementos finitos além das condições
de fronteira a considerar. Por último, abordam-se os conceitos de relutânc ia magnética e de força
magnetomotriz que serão necessários no capítulo 3.
No terceiro capítulo é desenvolvido um modelo de parâmetros concentrados para o gerado r,
um que se pretende simular o seu comportamento eletromagnét ico. Começa-se por apresent a r
a geometria a simular, bem como as variáveis geométricas que a caracterizam e a estrutura do
seu circuito magnético. Por fim, são simuladas várias geometrias do gerador em vazio e verific a -
se a precisão deste modelo comparativamente com um modelo por elementos finitos.
O quarto capítulo apresenta os elementos do sistema onde se pretende que o gerador esteja
integrado, isto é, o conversor eletrónico de potência e a carga trifásica a alimentar. Apresenta -
se o dimensionamento do sistema, tendo em conta os filtros nele contidos, e procede-se à
enumeração das variáveis cujos limites têm de ser cumpridos de modo a garantir a correta
operação do gerador. Posteriormente, realçando-se o facto de que a interligação das variáveis
que são comuns aos modelos eletromagnét ico e térmico, realçando-se que a simulação em carga
do gerador deve ser efetuada através de um algoritmo de otimização que considere a simulação
integrada e sequencial dos dois modelos. Consequentemente, descreve-se um algoritmo que
visa dimensionar o gerador através da interligação de três modelos: parâmetros concentrados
(circuitos do sistema elétrico), eletromagnét ico de parâmetros distribuídos (parte eletromagnét ic a
do gerador) e térmico de parâmetros distribuídos (parte térmica do gerador). Este algoritm o
efetua a alteração de variáveis eletromagnét icas e térmicas, de modo a cumprir todos os
constrangimentos impostos ao gerador.
No quinto capítulo apresentam-se os resultados das simulações efetuadas segundo o
algoritmo apresentado no capítulo anterior para o gerador em carga. Posteriormente é
selecionada a geometria mais vantajosa e são analisados os resultados das suas simulações em
maior detalhe. É também analisado o comportamento do gerador na ocorrênc ia da perda de uma
das fases da carga. Por último, é estimado o tempo de vida útil do isolamento dielétrico do
gerador nas condições de carga equilibrada e operação nominal.
No sexto capítulo, são enumeradas algumas limitações do presente trabalho associadas a
alterações a serem efetuadas em trabalhos futuros. Por fim, são apresentadas as conclusões
obtidas na presente dissertação.
3
2. Enquadramento
2.1. Inconvenientes das topologias “tradicionais” dos geradores síncronos de magnetos
permanentes
O gerador síncrono de magnetos permanentes está em atividade desde cerca de 1950 [ 1] e
tem sido a máquina por excelência quer em aplicações com baixas velocidades, como por
exemplo na produção de energia elétrica baseada em energias alternativas [2,3], quer em
aplicações caracterizadas por altas velocidades, tanto na indústria aeronáutica como em volant es
de inércia [4,5].
Nestas aplicações, a topologia do gerador é caracterizada pela localização dos magnetos no
indutor, o qual constitui a parte móvel e interior da máquina situada no seu eixo. Com o passar
dos anos, esta topologia tem apresentado alguns inconvenientes , tanto a nível mecânico como
a nível magnético, nomeadamente:
- A localização dos magnetos permanentes no interior da máquina e associadas ao seu eixo.
Isto dificulta não apenas a sua magnetização in loco (quando for o caso), bem como qualque r
operação de manutenção dos mesmos, por exemplo, a sua substituição;
- As forças centrífugas sobre os magnetos podem ser muito elevadas, particularmente em
aplicações com altas velocidades de rotação, e podem provocar danos mecânicos na sua
estrutura causando a sua desmagnetização. Na maioria dos casos aplica-se uma cinta de
carbono à volta do rotor de modo reforçar a fixação dos magnetos, protegendo-os assim da ação
da força centrífuga. No entanto, esta cinta aumenta o entreferro da máquina, fazendo com que a
força magnetomotriz tenha de ser aumentada de modo a que se possa obter a mesma força
eletromotriz .
2.2. Topologia proposta do gerador síncrono de magnetos permanentes para aplicações de
baixas velocidades
Para fazer face aos problemas introduzidos no capítulo anterior, isto é, fixação dos magnetos
permanentes, fácil acesso e substituição de alguns componentes da máquina elétrica, propõe -
se o estudo de uma máquina síncrona de magnetos permanentes em que o induzido se encontre
na parte interior e o indutor na parte exterior da mesma, onde estarão também localizados os
magnetos. A Figura 1 ilustra um gerador de magnetos permanentes com esta topologia. Como
objetivo final, pretende-se efetuar o dimensionamento de um gerador síncrono monofásico com
uma velocidade de rotação nominal de 100 rpm e que entregue 20 kW de potência ativa à carga.
Pretende-se que o gerador apresente as seguintes caracterís ticas: baixo custo, dimensões
reduzidas, alta eficiência, alta fiabilidade, baixa manutenção e const rução modular. Na Figura 1
para além do gerador, encontra-se ilustrada uma caneta de modo a dar ao leitor uma ideia do
tamanho da máquina elétrica a dimensionar.
4
Figura 1 - Topologia do gerador de magnetos permanentes proposta na presente dissertação.
Com a configuração proposta na presente dissertação, verifica -se que embora os magnetos
continuem a estar sujeitos a forças centrífugas, agora estas forças contribuem para sua fixação,
uma vez que os empurram contra o indutor. Eliminam-se as cintas de carbono, obtendo-se assim
um reduzido entreferro, ao mesmo tempo que se mitiga a possibilidade de danos mecânicos nos
magnetos.
Procurar-se-á também dimensionar a máquina na perspetiva de que esta apresente uma
construção modular, isto é, de fácil acesso e substituição de alguns dos seus componentes. Com
esta configuração pretende-se ainda obter um acesso mais fácil aos magnetos permanentes, que
são um componente crítico da máquina.
2.3. Aplicação do Gerador
O gerador estudado na presente dissertação foi projetado para a geração de energia elétrica
através da energia cinética extraída das correntes marítimas. Mais concretamente, o sistema
utilizado é semelhante ao sistema RiverSails, [6], levado a cabo pela empresa Tidal Sails, que
consiste na colocação ao longo da largura do rio, de velas de alumínio acopladas a cabos. Este
sistema é colocado de modo a formar uma figura geométrica em forma triangular, como se pode
ver na Figura 2. Nos vértices da figura geométrica formada, Figura 3, existe a possibilidade da
colocação de um gerador elétrico, que pela configuração do sistema sugere uma máquina com
indutor exterior e induzido interior. O sistema em questão está atualmente em fase de testes e
5
tem como principais vantagens: o elevado rendimento, a ausência de poluição e o baixo custo,
sendo que se espera alcançar em 2020 a geração de energia elétrica com um custo de
0,05 €/kWh, [6]. As velas estão dotadas de um mecanismo de auto-ajus te do ângulo segundo a
componente longitudinal do rio em função da velocidade da corrente de água. No caso da
ocorrência de correntes demasiado fortes, as velas ajustam o seu ângulo de modo a dispersar a
energia em excesso, preservando o sistema.
Figura 2 - Sistema RiverSails.
Figura 3 - Posicionamento do
gerador no sistema RiverSails.
Tendo em consideração a velocidade das correntes marítimas, foi selecionada uma
velocidade de operação nominal do gerador correspondente a 100 rpm . Este baixo valor de
rotação associado ao elevado valor de potência do gerador, 20 kW, indicia que este experienc i e
forças elevadas. A robustez do gerador é também um dos seus maiores requisitos, devido aos
perigos ambientais e ao seu elevado custo de manutenção. Outra importante característica do
gerador está relacionada com a sua necessidade em tolerar defeitos. De modo a assegurar esta
característica, o gerador pode ser construído tendo em consideração uma estrutura modular.
2.4. Materiais constituintes da máquina elétrica
Neste subcapítulo são apresentados os principais materiais e respetivos critérios de seleção ,
relacionados com o dimensionamento do gerador.
2.4.1. Magnetos permanentes
Os magnetos permanentes são um componente crítico numa máquina elétrica, já que são
eles que fornecem o fluxo magnético, cuja variação no tempo providencia o aparecimento da
força eletromotriz. Estes elementos são também conhecidos como materiais ferromagnét ic os
duros, já que na ausência de campos externos, e uma vez magnetizados, mantêm alinhados
grande parte dos spins dos eletrões que os constituem, garantindo assim a sua magnetizaç ão
[7]. Os materiais ferromagnét icos duros mais utilizados hoje em dia, bem como as suas principais
vantagens e desvantagens encontram -se descritos na Tabela 1, [8]. É de notar que o parâmetro
densidade de fluxo magnético remanescente, está relacionado com a amplitude máxima do
campo magnético disponível, e o parâmetro campo coercivo, está relacionado com a
propicial idade da desmagnetização do material ferromagnét ico duro na presença de campos
magnéticos externos [9].
6
Tabela 1 - Características dos magnetos permanentes.
Principais Vantagens Principais Desvantagens
Ferrite
Reduzido custo monetário
Elevado valor de campo coercivo
Elevada resistência à
desmagnetização e corrosão
Elevadas temperaturas máximas
de operação
Reduzida resistência mecânica
Reduzido valor de densidade de
fluxo magnético remanescente
Alnico
Elevada resistência mecânica
Elevada resistência à corrosão
Elevadas temperaturas máximas
de operação
Elevado custo
Baixo valor de densidade de fluxo
magnético remanescente
Samário-Cobalto Elevada resistência à corrosão
Elevadas temperaturas máximas
de operação
Elevado custo
Reduzida robustez mecânica
Neodímio-Ferro-Boro Elevado valor de densidade de
fluxo magnético remanescente
Reduzida robustez mecânica
Reduzida resistência à corrosão
Junção materiais
magnéticos e
polímeros Flexibilidade do material
Reduzido valor de densidade de
fluxo remanescente
Uma vez que, como foi referido no subcapítulo 2.2, um dos requisitos na construção do
gerador é que este apresente um volume reduzido, a escolha do magneto a usar recaiu sobre o
neodímio-ferro-boro uma vez que apresenta o maior valor de densidade de fluxo magnét ico
remanescente e não apresenta valores de campo coercivo reduzidos (em valor absoluto). No
entanto, este tipo de magneto apresenta reduzida resistência à corrosão. Para mitigar este fac to
aplicou-se uma cobertura anticorrosiva. Existem revestimentos à base de vários materiais sendo
alguns exemplos: o níquel, o ouro, o cobre ou o epóxi. Tendo como critério a relação qualidade
preço, decidiu-se revest ir os magnetos com uma cobertura à base de níquel [10].
Uma vez escolhido o tipo e revestimento, tornou-se necessário escolher o magneto
específico que apresente a melhor relação densidade de fluxo magnético remanescente com
temperatura máxima de operação, sabendo que quanto maior for um parâmetro, menor será o
outro. Deste modo, começou-se por fixar a temperatura máxima de operação do magneto em
150℃ . Selecionou-se dentro dos magnetos que cumprem este requisito, o que apresentou maior
valor de densidade de fluxo magnético remanescente. Foi escolhido o magneto 46SH da empresa
Eclipse Magnetics, [11]. Como pode ser comprovado na curva BH deste magneto, presente na
Figura 4, o valor de densidade de fluxo magnético a ser utilizado nos cálculos posteriores
depende da temperatura a que os magnetos se encontram.
7
Figura 4 - Curvas BH dos magnetos permanentes.
Depois da seleção dos magnetos permanentes, tornou-se necessário enumerar as potenc iais
causas que conduzem ao aparecimento de perdas irrevers íveis na capacidade do material
fornecer campo magnético, [12]. Estas perdas ocorrem devido a dois grandes fatores. O primeiro
está relacionado com a operação dos magnetos em situações em que estes apresentem
temperaturas superiores às suas temperaturas máximas de operação. Para evitar esta situação
projetar-se-á o gerador de modo a que, no seu modo nominal de operação, a temperatura nos
magnetos seja 135℃ , garantindo deste modo uma margem de segurança de 15℃ . O outro fator
causador de perdas irrevers íveis . É a operação dos magnetos em situações onde estes
apresentem uma densidade de fluxo magnético inferior à verificada nos “joelhos” das curvas de
desmagnetização da Figura 5. Para a temperatura de 135°C estima-se que este valor
corresponda a 0,35 T , valor obtido após a interpolação das curvas a 100 ℃ e 150 ℃.
Figura 5 - Curvas de desmagnetização dos magnetos permanentes.
2.4.2. Material ferromagnético macio
O material ferromagnético macio é também um componente crucial na composição de um
gerador elétrico, uma vez que direciona o caminho que o fluxo percorre. Este material é
8
frequentemente constituído por uma liga de ferro à qual se adiciona silício, de modo a aumenta r
a sua resistividade elétrica, reduzindo assim as perdas por correntes induzidas. Com este intuito,
é também usual dividir o material em placas isoladas dielectricamente entre si, em vez de um
bloco maciço.
Existem dois grandes grupos destes materiais, o primeiro é constituído por placas de material
orientado, isto é, com maior facilidade de magnetização numa direção específica, apresent ando
menor densidade de perdas magnéticas, maior valor de permeabilidade magnética e custo
monetário mais elevado [13] do que o segundo grupo de materiais, denominado material não
orientado. É de notar que o gerador está dimensionado para operar a baixas velocidades, o que
como é visível pela equação (1) se traduz em baixas frequências, sendo 𝑛 a velocidade de
rotação da máquina, em rotações por minuto, 𝑓 a frequência elétrica, em Hz, e 𝑝 o seu número
de pares de polos.
𝑓 =
𝑛 𝑝
60 (1)
Uma vez que o material ferromagnét ico macio, abordado na presente secção, está sujeito a
variações de campos magnéticos, e sendo este material condutor, existirão correntes induz idas
a circular neste material. Estas correntes , também conhecidas por correntes de Foucault, dão
origem a perdas designadas com o mesmo nome. Estas perdas podem ser expressas por
equações semelhantes à expressão (2), onde 𝑘𝑓 é uma constante relacionada com o material e
𝐵𝑚𝑎𝑥 ,o valor máximo de densidade de fluxo magnético verificado. Dado que, como já foi
constatado no parágrafo anterior, a operação da máquina ocorrerá com reduzidos valores de
frequência elétrica, devido à sua baixa rotação, conclui-se pela análise da equação (2) que as
perdas de Foucault, 𝑃𝑓 , serão também de reduzida magnitude.
𝑃𝑓 = 𝑘𝑓 𝐵𝑚𝑎𝑥 𝑓
2 (2)
Pelo motivo anteriormente citado, e pelo facto de um dos objetivos na construção da máquina ,
passar pela construção de um gerador de reduzido custo monetário, optou-se pelo segundo tipo
de material ferromagnético macio, isto é, não orientado. Tomada esta decisão, foi selecionado o
material ferromagnético macio DI-MAX M-10X da empresa AK Steel, [14]. Este material foi
escolhido segundo o critério de maior valor de permeabilidade magnética. A sua curva BH está
ilustrada na Figura 6.
De modo a fazer o melhor aproveitamento do material ferromagnético macio, isto é, para que
ele não se encontre saturado ou sobredimensionado em termos de volume, projetar -se-á a
máquina de modo a que opere com um valor máximo de densidade de fluxo magnético, no
material ferromagnético macio, correspondente ao valor verificado no “joelho” da curva da Figura
6, isto é, 1,35 T .
9
Figura 6 - Curva de magnetização do material ferromagnético macio.
2.4.3 Eixo do gerador
A rotação do gerador é assegurada por uma estrutura que liga o indutor e as velas metálicas
referenc iadas no subcapítulo 2.3. Esta estrutura não será simulada na presente dissertação ,
devido à necessidade do seu planeamento mecânico. Existe ainda a necessidade de utilizar um
eixo que mantenha o induzido fixo. O material escolhido para o efeito foi aço, uma vez que, por
um lado, é um material de elevada resistência mecânica, por outro, não é ferromagnét ico, o que
permite que não haja interferência no circuito magnético do gerador.
Tendo em consideração o formato cilíndrico do veio, procedeu -se ao cálculo do seu diâmetro,
𝐷𝐶𝑖𝑙 em mm de acordo com a equação (3), sendo 𝑃 o valor da potência ativa da máquina em
watts , e 𝑛 seu número de rotações por minuto [15].
𝐷𝐶𝑖𝑙 = √1,77×106 𝑃
1000 𝑛
3
(3)
2.4.4. Condutores
O último grande componente do gerador elétrico compreende os condutores elétricos
colocados à volta do induzido. É usual a escolha de condutores de cobre uma vez que é um
material que apresenta uma boa condutividade elétrica em função do seu preço. De realçar que
estes materiais apresentam um grau de pureza elevado, acima de 99% [17].
Quanto à sua secção, e tendo em consideração que a escolha de uma secção demasiado
elevada se traduz em dificuldades de enrolamento dos condutores na máquina, optou-se pelo
uso de condutores de secção de 2,09 mm2, ou seja, 14 AWG.
Embora estes condutores apresentem uma resistividade elétrica a 20℃ próximo dos
1,8×10−8 Ωm, é de evidenciar que este valor varia em função da sua temperatura, segundo a
equação (4).
10
𝜌𝑐𝑢(𝑇𝑐𝑢) = 𝜌𝑅𝑒𝑓 [1 + 𝛼𝑐𝑢 (𝑇𝐶𝑜𝑛𝑑 −𝑇𝐶𝑜𝑛𝑑𝑅𝑒𝑓)] (4)
Onde 𝜌𝑅𝑒𝑓 é a resistividade do cobre a uma temperatura de referênc ia, 𝛼𝑐𝑢 é o coeficiente de
temperatura do cobre, 𝑇𝐶𝑜𝑛𝑑 𝑅𝑒𝑓 é a temperatura de referência e 𝑇𝐶𝑜𝑛𝑑 é a temperatura a que o
condutor se encontra.
Tabela 2 - Comparação entre características de diferentes materiais utilizados no isolamento dos
condutores.
Poliuretano
alquídico
Poliéster
alquídico
Poliéster
epóxi
alquídica
Silicone
epóxi
Poliéster
epóxi
Temperatura
máxima de
operação
[ºC]
130 155 155 180 180
Força
mecânica 2 3 3 1 4
Flexibilidade 4 3 2 2 2
Resistência
à humidade 3 3 3 3 4
Resistência
química 3 3 3 3 4
Torna-se agora necessário definir o tipo de isolamento dielétrico que irá revestir os
condutores. Este tipo de isolamento é o mais exigente no dimensionamento de uma máquina
elétrica, já que, é o que se encontra mais próximo da principal fonte de calor, as perdas no cobre
[16]. Para além da função dielétrica, este isolamento tem ainda outras funções, tais como o
aumento da resistência mecânica e a proteção contra poeiras e humidade.
Apresenta-se na Tabela 2, [17], uma seleção de resinas e vernizes isolantes. À exceção da
temperatura máxima de operação, as característ icas destes materiais apresentam -s e
categorizadas numa escala de 0 a 4. O primeiro passo, na escolha do material isolante a utilizar,
passa por definir a temperatura contínua de operação nos enrolamentos do gerador. Prevê -s e
que esta seja próxima dos 155℃ na situação de operação nominal. Assim sendo, e de acordo
com a norma IEC 60034-1 [18], é possível a utilização de um isolamento nos condutores de
classe térmica F, como se pode ver também na Tabela 3. De modo a garantir uma margem de
segurança decidiu-se utilizar um isolamento de classe H, que suporta uma temperatura cont ínua
de operação no isolamento dos condutores correspondente a 180℃ .
11
Como se pretende dimensionar um gerador elétrico de baixa tensão, isto é, com uma tensão
eficaz nominal inferior a 1 kV [17], a característica dielétrica do material isolante não é o fator
determinante, uma vez que, todos os materiais da Tabela 2 cumprem esse requisito. Assim
sendo, tendo em consideração a classe térmica do gerador e as restantes característ ic as
apresentadas na tabela anteriormente referida, selecionou-se o isolante poliéster epóxi, uma vez
que à exceção do parâmetro flexibilidade, este é material o que apresenta característ icas mais
robustas.
Tabela 3 - Classes térmicas do isolamento das máquinas elétricas.
Classe Térmica Temperatura máxima contínua de
operação [℃]
B 130
F 155
H 180
2.5. Perdas no gerador de magnetos permanentes
As perdas presentes num gerador elétrico advêm da não idealidade dos materiais que o
constituem. Estas perdas têm um papel fundamental na determinação da eficiência elétrica e na
temperatura de operação do gerador. Estas podem ser divididas em dois grupos: perdas nos
materiais ferromagnét icos e perdas nos condutores de cobre.
2.5.1. Perdas nos materiais ferromagnéticos
As perdas mencionadas nesta secção podem ser divididas em dois grupos: perdas por
histerese e perdas por correntes de Foucault [19]. As primeiras têm origem no facto de nem toda
a energia do campo magnético no material ferromagnético, ser retornada quando a força
magnetomotriz é removida. As segundas resultam do facto do material ferromagnético ser um
material condutor, e como tal, estando também ele sujeito a variações do campo magnético, fica
sujeito a tensões e correntes induzidas, as quais, em associação com a resistência elétrica do
material dão origem a perdas.
Uma das expressões mais utilizadas para o cálculo destas perdas, é a expressão de
Steinmetz, equação (5), [20].
𝑃𝐹𝑒𝑟𝑟𝑜𝑀𝑎𝑔 = 𝑃ℎ+ 𝑃𝐹 = 𝑘ℎ 𝐵𝑚𝑎𝑥
𝑛ℎ1 𝑓 + 𝑘𝐹 𝐵𝑚𝑎𝑥2 𝑓2 (5)
Na relação (5) as expressões 𝑘ℎ , 𝑘𝐹 e 𝑛h1 são constantes que dependem fortemente do
material ferromagnét ico, 𝐵𝑚𝑎𝑥 é o valor da amplitude máxima do campo magnético e 𝑓 é o valor
12
da frequênc ia elétrica a que o gerador se encontra a operar. O cálculo dos coeficientes 𝑘ℎ e 𝑘𝐹
é normalmente obtido através de um ajuste da equação (5) aos valores de perdas fornec i dos
pelo fabricante, para valores fixos de densidade de fluxo magnético e frequência. Os dados do
fabricante, anteriormente mencionados, são normalmente fornecidos a partir de frequênc i as
superiores a 50 Hz. Como o gerador a ser dimensionado na presente dissertação irá operar com
valores de frequência elétrica reduzidos, os resultados do ajuste da equação (5), não são
satisfatórios devido à disparidade nos valores de frequênc ia.
Assim sendo, recorreu-se ás definições de cada tipo de perda para se proceder ao seu
cálculo. Em relação às perdas por histerese sabe-se que estas podem ser traduzidas pela
expressão (6) [21]:
𝑃ℎ = 𝑉𝑛𝑢𝑐𝑙𝑒𝑜 𝑊ℎ 𝑓 (6)
Sendo que, 𝑉𝑛𝑢𝑐𝑙𝑒𝑜 representa o volume do núcleo do material ferromagnético, onde as perdas
por histerese estão a ser calculadas, e 𝑊ℎ representa a área da curva BH, melhor expressa pela
expressão (7):
𝑊ℎ = ∮𝐻 𝑑𝐵 (7)
Figura 7 - Curvas de magnetização típicas dos materiais ferromagnéticos .
Nesta expressão, 𝐵 e 𝐻 são valores de densidade de fluxo magnético e de intensidade de
campo magnético respetivamente, retirados ao longo de um ciclo. Ciclo este, que tem uma forma
análoga ao representado pela Figura 7.
Quanto às perdas por correntes de Foucault, sabe-se que estas correntes aparecem num
material condutor quando este está na presença de um campo magnético variável. O sent ido
destas correntes pode ser determinada pela regra da mão direita, como mostra a Figura 8.
(a) (b)
(c)
(d)
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 45000
0.5
1
1.5
2
2.5Curva de Magnetização B(H) do Hiperco 50
H [A/m]
B [
T]
(a)
(b) (c)
230ºC 200ºC 170ºC
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 45000
0.5
1
1.5
2
2.5Curva de Magnetização B(H) do Hiperco 50
H [A/m]
B [
T]
13
Figura 8 - Efeito das correntes de Foucault nos
materiais ferromagnéticos maciços.
Figura 9 - Efeito das correntes de Foucault nos
materiais ferromagnéticos laminados.
Sabe-se também que a densidade destas correntes está relacionada com o campo elétrico
pela equação (8).
𝑱𝑭 = 𝜎 𝑬 (8)
Sendo 𝑱𝑭 a densidade de correntes induzida no material, 𝜎 a sua condutividade elétrica e 𝑬
o campo elétrico. Estas correntes induzidas dão origem a perdas por efeito de Joule no material,
e a sua densidade pode ser expressa pela relação (9).
𝑃�̂� = 𝑱𝑭 ∙ 𝑬 (9)
Relacionando as expressões (8) e (9), obtém-se uma expressão simplificada, que é
representada pelo integral de volume na equação (10).
𝑃𝐹 = ∫
𝐽𝐹2
𝜎𝑉 𝑑𝑉 (10)
Existe uma diferença no método de cálculo da condutividade equivalente dos materiais
ferromagnét icos. Uma vez que os magnetos permanentes são compostos por um bloco maciço,
a sua condutividade elétrica corresponde à condutividade do material de que são constituídos,
no caso, neodímio, ferro e boro. Por outro lado, o material ferromagnét ico macio é composto por
chapas laminadas e isoladas dielectricamente entre si, pelo que a sua condutividade equival ent e
é diferente condutividade da verificada num bloco maciço deste material. Assim sendo, recorre -
B(t)
𝑖𝐹
B(t)
𝑖𝐹
(a) (b)
14
se à expressão (11) para o cálculo da condutividade elétrica equivalente do material
ferromagnét ico macio 𝜎𝑒𝑞 , [22]. Nesta, 𝜎𝑀 é a condutividade elétrica do material e 𝑥 𝑙𝑎𝑚 é o
número de lâminas que o constituem e cujo valor aproximado pode ser calculado através da
expressão (12), onde 𝐷 é a profundidade do gerador e 휀𝑙𝑎𝑚 é a espessura de cada chapa.
𝜎𝑒𝑞 =
𝜎𝑀𝑥𝑙𝑎𝑚2 (11)
𝑥𝑙𝑎𝑚 =
𝐷
휀𝑙𝑎𝑚
(12)
É importante salientar que a expressão (10) apenas é válida em sistemas sinusoidais. No
caso de não nos encontrarmos na presença de um sistema deste tipo, terá de se proceder à
transformação deste sistema, num sistema sinusoidal, através da decomposição das correntes
de Foucault em harmónicas. Nesse caso, o valor, das perdas de Foucault, será então o resultado
da soma da expressão (10) aplicada a cada harmónica. A equação (10) é válida para materiais
ferromagnét icos, o que inclui os magnetos permanentes e o material ferromagnét ico macio.
2.5.2. Perdas nos condutores
As perdas mencionadas nesta secção advêm da não idealidade do cobre como material
condutor, isto é, do facto deste apresentar uma resistência elétrica não nula. Estas perdas são
expressas pela expressão (13), [23], que também só é válida para regimes sinusoidais.
𝑃𝑐𝑢 = 𝑟𝑐𝑢 𝐼𝑒𝑓
2 (13)
Onde 𝑟𝑐𝑢 é a resistência do enrolamento de cobre e 𝐼𝑒𝑓 é o valor eficaz da corrente que o
percorre. Repare-se ainda que o valor da resistência do condutor depende diretamente da
temperatura de operação do gerador, isto é, ela aumenta com o aumento da temperatura. A
resistência do condutor pode ser calculada segundo a equação:
𝑟𝑐𝑢 =
𝑙𝑐𝑢 𝜌𝑐𝑢𝑆𝑒𝑐𝑐𝑢
(14)
Em que 𝑙𝑐𝑢 é o comprimento do condutor de cobre, 𝑆𝑒𝑐𝑐𝑢 é a sua secção e 𝜌𝑐𝑢 é a
resistividade do cobre expressa pela equação (4).
2.6. Procedimentos efetuados num programa por elementos finitos
A filosofia dos programas por elementos finitos consiste em dividir um problema grande, num
conjunto de problemas de menor complexidade chamados elementos finitos.
15
Este programa apresenta como entradas: a geometria da máquina, os parâmetros
característicos dos materiais utilizados e outras características mais específicas de cada modelo.
O modelo eletromagnét ico apresenta como entrada a velocidade de rotação do gerador e o
modelo térmico apresenta como entrada as perdas. Como saída obtêm-se os valores das
variáveis pretendidas e/ou os seus gráficos.
O programa em questão funciona realizando os seguintes passos, [24]:
1) Discretização da geometria da máquina em pequenos elementos;
2) Aplicação de equações a cada elemento anteriormente discretizado;
3) Junção de todas as equações num sistema ou matriz;
4) Aplicação das condições de fronteira e condições iniciais;
5) Resolução do sistema de equações anterior;
6) Cálculo das grandezas pretendidas e construção dos gráficos necessários;
A discretização da geometria em elementos é efetuada através de uma malha, isto é, através
de uma aproximação de cada elemento a uma função geométrica elementar. Geralmente recorre -
se a triângulos, que, dependendo da precisão necessária , poderão ser maiores ou menores.
Quanto menores forem os elementos, maior serão a precisão e o tempo de simulação. Assim
sendo, terá de ser encontrado um compromisso que depende da geometria e do tipo de problem a
em análise. É de referir que os elementos não necessitam de ser obrigatoriamente todos do
mesmo tamanho.
2.7. Equações na origem do modelo eletromagnético em elementos finitos
Neste subcapítulo, especificam-se os fundamentos subjacentes ao modelo eletromagnét ic o
por elementos finitos.
2.7.1. Equações de Maxwell
Este modelo parte das equações de Maxwell, (15), (16), (17) e (18), onde a variável 𝑯
representa a intensidade de campo magnético, 𝑬 o campo elétrico, 𝑱 a densidade de corrent e,
𝑫𝑴 o campo de deslocamento elétrico, 𝑩 a densidade de fluxo magnético, e 𝜌𝑀 a carga elétrica
por unidade de volume.
∇×𝑯 = 𝑱 +
𝜕𝑫𝑴
𝜕𝑡 (15)
∇×𝑬 = −𝜕𝑩
𝜕𝑡 (16)
16
∇ ∙ 𝑩 = 0 (17)
∇ ∙ 𝑫𝑴 = 𝜌𝑀 (18)
A equação (15) é conhecida como Lei de Ampére, a (16) como Lei de Faraday e as equações
(17) e (18) como Lei de Gaus, para circuitos magnéticos e elétricos respetivamente.
2.7.2. Vetor potencial e potencial elétrico
Analisando a equação (17) constata-se que a divergênc ia da densidade de campo magnét ico
é nula. Assim sendo, recorre-se a um campo auxiliar denominado vetor potencial 𝑨, tal que:
𝑩 = ∇×𝑨 (19)
A equação (19) resulta do facto da divergência de um rotacional ser sempre nula. Da equação
anterior (19) e da equação (16), temos que:
∇× (𝑬 +
𝜕𝑨
𝜕𝑡) = 0 (20)
Reformulando a expressão anterior obtêm-se:
𝑬 = −∇ ∙ V −
𝜕𝑨
𝜕𝑡 (21)
Onde V é o potencial escalar.
2.7.3. Restantes equações necessárias à resolução do problema
Outra equação necessária à resolução do problema é a equação (22):
∇ ∙ 𝑱 = −
𝜕𝜌𝑀
𝜕𝑡 (22)
Em meios lineares, homogéneos e isotrópicos pode-se ainda recorrer às três relações abaixo
apresentadas:
𝑱 = 𝜎 𝑬 (23)
17
𝑫𝑴 = 휀 𝑬 (24)
𝑩 = 𝜇 𝑯 (25)
∇ ∙ 𝑫𝑴 = 𝜌𝑀 (26)
Onde 𝜎 é a condutividade elétrica do material e 휀 é sua permissividade. Como foi mencionado
anteriormente 𝜇 é a permeabil idade magnética. Quanto à densidade de corrente induzida, esta
pode ser obtida através da seguinte expressão:
𝑱𝒊𝒏 = 𝜎
𝜕𝑨
𝜕𝑡 (27)
2.7.4. Condições de fronteira
As equações de Maxwell aliadas às equações (23), (24), (25) e (26) são suficientes para
efetuar um estudo magnético num circuito constituído por um só material, no entanto, é
necessário adicionar ao sistema condições fronteira quando estamos a estudar a interação entre
vários materiais, [25].
𝒏𝟐×(𝑬𝟏 − 𝑬𝟐) = 0 (28)
𝒏𝟐 ∙ (𝑫𝟏 − 𝑫𝟐) = 𝜌 (29)
𝒏𝟐×(𝑯𝟏 − 𝑯𝟐) = 𝑱𝑺 (30)
𝒏𝟐 ∙ (𝑩𝟏 −𝑩𝟐) = 0 (31)
𝒏𝟐 ∙ (𝑱𝟏 − 𝑱𝟐 ) =𝜕𝜌
𝜕𝑡 (32)
Nestas equações 𝒏𝟐 é a normal exterior do meio do material 2 e 𝑱𝑺 representa a densidade
de corrente à superfície.
18
2.8. Equações na origem do modelo térmico em elementos finitos
Neste subcapítulo pretende-se especificar os fundamentos sobre os quais o modelo térmico
em elementos finitos assenta.
2.8.1. Diferentes formas de transmissão de energia térmica
Toda a matéria que nos rodeia é composta por átomos e moléculas. Esses átomos e
moléculas estão em movimento constante, e é este movimento que produz energia térmica.
Existem três modos de transmissão de energia térmica. O primeiro é denominado condução,
ocorre em substâncias que se encontram em contacto físico direto, e no qual as partículas com
maior velocidade chocam com as partículas com menor velocidade, acelerando-as [26]. Este é o
meio predominante de transmissão de energia térmica entre sólidos.
O segundo modo é intitulado convecção. É caracterizado pela transmissão de energia térmica
entre dois locais através do movimento de fluidos, envolvendo também a transferênc ia de massa
dentro do fluído [27]. Quando um fluido é aquecido desloca-se para longe da fonte de calor
transportando energia térmica. Começa por aquecer e, consequentemente, expande-se, ficando
menos denso, o que provoca a sua movimentação ascendente. Este é usualmente o método de
transferência de energia térmica nos líquidos e gases.
O último modo é designado por radiação e ocorre através da emissão de ondas
eletromagnéticas. Quanto mais quente o objeto, maior frequênc ia terão as ondas emitidas [28] .
Não é necessário contacto direto entre objetos, e até pode ocorrer através do vácuo. De modo a
garantir a conservação de energia, a perda de energia 𝑊 pelos eletrões está associada à
emissão de radiação de várias fontes (calor, luz), constituídas por partículas, fotões de
frequência 𝑓 = 𝑊/ℎ. A temperatura determina o comprimento de onda ou frequência da radiação
eletromagnética como indicado pela lei de Planck de radiação do corpo negro.
2.8.2. Equações para transferência de calor
Com o objetivo de determinar as equações a resolver no modelo térmico por elementos
finitos, partiu-se do princípio da conservação da energia térmica em que, [29]:
Taxa de variação do calor = Calor gerado pelas fontes de calor internas + fluxo de calor a
entrar no corpo.
Considere-se então um corpo arbitrário Ω, ilustrado na Figura 10, com uma fronteira Λ, cuja
componente normal unitária é 𝒏𝟏 . Sabe-se que 𝑐𝑣 é a quantidade de energia necessária para que
uma unidade de massa do corpo aumente uma unidade de temperatura, que 𝜌𝑇 é a densidade
mássica do corpo, e 𝑇 é a sua temperatura. Pode-se então expressar matematicamente a
energia térmica no corpo, num instante 𝑡 da seguinte forma:
19
∫ 𝑐𝑣 𝜌 𝑇(𝑡)Ω
𝑑𝑉 (33)
Figura 10 - Corpo com forma arbitrária onde ocorrem trocas de energia térmica.
Tendo como objetivo escrever a expressão que representa o calor gerado por estas fontes,
definiu-se a variável 𝑄 como a variável que representa as fontes de calor. Calor este, proveni ent e
das perdas nos enrolamentos de cobre, perdas nos magnetos permanentes e perdas no material
ferromagnét ico macio, do indutor e induzido. Cada componente da variável 𝑄 pode ser obt ido
segundo a equação (34), onde 𝑄𝑖 é o calor gerado pela fonte 𝑖, 𝑃𝑖 a potência de perdas que lhe
deu origem e 𝑉𝑖 o seu volume.
𝑄𝑖 =
𝑃𝑖𝑉𝑖
(34)
Por fim, como o fluxo de calor representado pela variável 𝑞 estará a sair do gerador, a
equação (35) apresentará um valor negativo ao passar pela fronteira Λ.
∫ 𝑞(𝑡) ∙ 𝑛Λ
𝑑𝐴 (35)
Aplicando o teorema da divergênc ia obtém-se a expressão (36).
∫ 𝑞(𝑡) ∙ 𝑛Λ
𝑑𝐴 = ∫ ∇ ∙ 𝑞(𝑡)Ω
𝑑𝑉 (36)
Juntando as equações (33), (34) e (36) sobre a forma do princípio da conservação de energia ,
chega-se à expressão (37).
Ω
Λ 𝐐
𝐧𝟏 𝐪
20
𝑑
𝑑𝑡(∫ 𝑐𝑣 𝜌𝑇 𝑇(𝑡)Ω
𝑑𝑉) = ∫ 𝑄(𝑡)Ω
𝑑𝑉−∫ ∇ ∙ 𝑞(𝑡)Ω
𝑑𝑉 (37)
Que pode ser simplificada numa primeira fase para a equação (38).
∫ 𝑐𝑣 𝜌
𝑑 𝑇(𝑡)
𝑑𝑡Ω 𝑑𝑉 = ∫ 𝑄(𝑡)
Ω 𝑑𝑉−∫ ∇ ∙ 𝑞(𝑡)
Ω 𝑑𝑉 (38)
E numa segunda fase para a expressão (39).
𝑐𝑣 𝜌
𝑑 𝑇(𝑡)
𝑑𝑡+ ∇ ∙ 𝑞(𝑡) = 𝑄(𝑡) (39)
Consoante o modo de transmissão de energia térmica, a fórmula de cálculo do fluxo de calor
varia. Para a condução esta variável é calculada através da equação (40), para a convecção é
utilizada a equação (41) e para a radiação a equação (42) [24].
𝑑𝑞
𝑑𝑡= −𝜆 ∇ ∙ T (40)
𝑑𝑞
𝑑𝑡= ℎ (𝑇𝑓 − 𝑇𝜔)
(41)
𝑑𝑞
𝑑𝑡= 𝜖 kB T
4 (42)
Onde 𝜆 é a condutividade térmica do material, ℎ o coeficiente de transferênc ia de calor, 𝜖 a
emissividade do material e kB é a constante de Stefan-Boltzmann. A variável 𝑇𝜔 representa a
temperatura da componente do gerador, que está em contacto com o fluido no processo de
convecção e 𝑇𝑓 representa a temperatura do fluido.
O coeficiente ℎ é calculado para um cilindro horizontal com convecção não forçada através
da fórmula expressa pela equação (43) [30].
ℎ =𝜆
𝐷𝑐𝑖𝑙
(
0,6+
0,387 𝑅𝐴𝐷
16
(1 + (0,559/𝑃𝑟)96)
827
)
2
(43)
Onde 𝐷𝑐𝑖𝑙 é o diâmetro do gerador, 𝑃𝑟 é o número de Prandtl e 𝑅𝐴𝐷 é o número de Rayleigh
que é calculado através da equação:
𝑅𝐴𝐷 =
𝑔 𝛼𝑃 𝜌2 𝑐𝑃 |𝑇− 𝑇𝑒𝑥𝑡| 𝐷𝑐𝑖𝑙
3
𝜆 𝜇𝑃 (44)
21
Sendo 𝑔 a aceleração da gravidade, 𝛼𝑃 o coeficiente de expansão térmica do fluido, 𝑐𝑃 a
capacidade específica de calor a pressão constante, 𝑇𝑒𝑥𝑡 a temperatura externa e 𝜇𝑃 a
viscosidade dinâmica do fluido.
2.8.3. Condições de fronteira
As equações anteriores necessitam de condições auxiliares para a solução do problema nas
fronteiras da geometria, denominadas condições de fronteira. Assim sendo, apresentam-se em
seguida as duas condições necessárias.
2.8.3.1. Condição de fronteira de Dirichlet
Esta condição declara que a temperatura na fronteira do corpo é dada pela expressão (45):
𝑇(𝑡) = 𝑇0 (45)
Em que 𝑇0 pode ser uma função ou simplesmente uma constante.
2.8.3.2. Condição de fronteira de Newman
Esta condição é expressa pela equação (46).
𝑛 ∙ 𝑞 = 𝑞𝑜 (46)
Em que 𝑞0 pode ser uma função ou simplesmente uma constante.
2.9. Conceitos sobre circuitos magnéticos
Neste subcapítulo pretende-se introduzir alguns conceitos relacionados com a resolução de
circuitos magnéticos. Estes circuitos vão ser utilizados no decorrer da presente dissertação, no
processo de construção de um modelo que simule o comportamento eletromagnét ico do gerado r.
2.9.1. Conceito de relutância
A análise de circuitos magnéticos pode ser realizada recorrendo à lei de Ampére ou à lei de
Hopkinson. Na construção do modelo magnético realizada no Capítulo 3 optou-se por utilizar a
última, uma vez que, é uma lei mais intuitiva e permite uma melhor visualização das grandez as
envolvidas. Esta lei envolve grandezas como relutância e força magnetomotriz , que são análogas
a grandezas elétricas como se pode ver na Tabela 4:
22
Tabela 4 - Analogia entre principais grandezas elétricas e magnéticas.
Grandezas elétricas Grandezas magnéticas
Tensão Força magnetomotriz
Corrente Fluxo magnético
Resistência Relutância
A força magnetomotriz é análoga à tensão num circuito elétrico. A relutância magnética é
análoga à resistência elétrica, na medida em que o fluxo magnético tende a percorrer o caminho
com menor relutância. No entanto, em vez de dissipar energia magnética a relutância armazena -
a. A relutância de um circuito magnético uniforme pode ser calculada segundo a seguinte
expressão:
𝑅 =
ℎ𝑅𝜇 𝑆𝑇
(47)
Onde ℎ𝑅 representa a altura, 𝜇 a permeabilidade magnética e 𝑆𝑇 a secção transversal do
componente do circuito magnético, que a relutância respetiva representa.
2.9.2. Método de cálculo da força magnetomotriz num circuito magnético com magnetos
permanentes
Como a excitação da máquina é efetuada através de magnetos permanentes, a força
magnetimotriz pode ser calculada segundo a expressão (48):
𝐹𝑚𝑚 = −𝐻𝑐
′ ℎ𝑀𝑃 (48)
Onde ℎ𝑀𝑃 é a altura do magneto e 𝐻𝐶′ é a coercividade aparente, associada à represent aç ão
linear das suas curvas de magnetização [31]. Assumindo que esta curva de magnetização pode
ser descrita pela equação (49), como aproximação usual para magnetos de neodímio-ferro-bo ro
[31], é possível obter o valor de coercividade aparente, através da permeabilidade magnét ica
dos magnetos, e da sua densidade de fluxo magnético remanescente expressa pela equação
(50).
𝐵 = 𝜇𝑀𝑃 (𝐻−𝐻𝑐
′)𝜇𝑀𝑃 𝐻+ 𝐵𝑟 (49)
23
𝐻𝑐′ = −
𝐵𝑟𝜇𝑀𝑃
(50)
Pelo que a força magnetomotriz pode ser reescrita da seguinte forma:
𝐹𝑚𝑚 =
𝐵𝑟 ℎ𝑀𝑃𝜇𝑀𝑃
(51)
24
25
3. Modelo analítico de parâmetros concentrados com vista à simulação eletromagnética do gerador em vazio
Neste capítulo, definem-se as característ icas geométricas do gerador, assim como as
variáveis que as podem sintetizar. Procede-se também à construção de um modelo de
parâmetros concentrados com o objetivo de efetuar a simulação do comportam ent o
eletromagnético do gerador. Posteriormente, são analisados os resultados obtidos através deste
modelo. Com o intuito de perceber como se comportam determinadas grandez as
eletromagnéticas, alteram-se as variáveis que estabelecem a geometria do gerador e analisam-
se os resultados. Comparam-se os resultados obtidos para uma mesma geometria relativos aos
modelos de parâmetros concentrados e eletromagnético por elementos finitos. Posteriorm ent e
são retiradas conclusões da precisão do modelo de parâmetros concentrados.
3.1. Geometria do gerador síncrono de magnetos permanentes
Tendo em conta o objetivo de dimensionar um gerador monofásico de baixa tensão, isto é,
um gerador que apresente um valor máximo de tensão eficaz de 1 kV [17], e de modo a evitar
elevados aumentos de tensão em curtos intervalos de tempo, foi-se mais longe nesta restrição.
Com efeito, no procedimento limitou-se o valor máximo da onda de tensão a 1 kV de modo a
evitar a necessidade da colocação de filtros 𝑑𝑉/𝑑𝑡, isto é, filtros que evitem elevados aumentos
da amplitude da tensão num curto intervalo de tempo [32]. Dimensionar-se-á o gerador de modo
a que este opere à velocidade nominal de 100 rpm e entregue 20 kW de potência ativa à carga.
É de notar que na presente dissertação se considera que a inércia da máquina é suficientem ent e
elevada para que as variações na sua velocidade sejam insignificantes.
Define-se nesta secção a geometria e variáveis associadas ao gerador de magnetos
permanentes a simular. Por último, estuda-se o sentido de magnetização dos magnetos
permanentes, bem como, a orientação dos condutores na máquina em estudo.
3.1.1. Aspeto gráfico da topologia do gerador de magnetos permanentes
Para se proceder à simulação do comportamento do gerador em vazio, torna-se necessário
apresentar graficamente a sua geometria. Pretende-se simular, numa primeira fase, uma
geometria com 8 pares de polos como a representada na Figura 11. Esta figura ilustra a máquina
num plano 3D que permite ter a perceção dos seus componentes e da sua profundidade. No
entanto no decorrer da presente dissertação, a análise do gerador será feita com recurso a
imagens que privilegiem um plano frontal, à semelhança do que acontece na Figura 12.
26
Figura 11 - Parte ativa do gerador síncrono de magnetos permanentes com 8 pares de polos, plano tridimensional.
Figura 12 - Parte ativa do gerador síncrono de magnetos permanentes com 8 pares de polos, plano frontal.
27
Na Figura 12 é possível distinguir os vários materiais que constituem o gerador. A cinzento
escuro e na zona exterior da máquina encontra-se o material ferromagnético macio. Progred indo
para uma zona ligeiramente mais interior encontram -se blocos com a cor cinzento claro que
representam os magnetos permanentes. O conjunto dos dois componentes referidos formam o
indutor. Com o formato cilíndrico e uma cor acastanhada encontram -se os condutores de cobre.
Entre os aglomerados de condutores está, uma vez mais a cinzento escuro, o material
ferromagnét ico macio. Por fim, o cilindro na zona central da figura é o veio do gerador composto
por aço não magnético. Estes três últimos componentes formam o induzido. É ainda de referi r
que a camada de ar existente entre cada magneto e o material ferromagnético macio do induz ido
é designada por entreferro.
3.1.2. Distribuição dos condutores
Figura 13 - Sentido de magnetização dos magnetos e do enrolamento dos condutores.
Uma vez identificados os materiais e a geometria do gerador, torna-se relevante identificar o
sentido de enrolamento dos condutores, assim como o sentido de magnetização dos magnetos.
Para que, aos terminais de cada conjunto de condutores, se possa obter uma tensão com a
mesma polaridade, estes devem ser enrolados segundo a regra da mão direita, como se pode
ver na Figura 13. Embora todos os condutores tenham a mesma direção, a corrente que os
𝑍
𝑋
𝑌
28
percorre tem sentidos opostos, nesta figura, as setas representam o sentido de magnetizaç ão
dos magnetos, as cruzes representam a distribuição dos condutores com correntes a circular no
sentido negativo do eixo das abcissas e os pontos representam a distribuição dos condutores
com correntes a circular no sentido positivo do mesmo eixo.
Figura 14 - Distribuição das bobinas ligadas em série.
Concluindo a análise da distribuição dos condutores, é de mencionar que cada bobina situada
à volta de cada polo do induzido se encontra ligada em série com as seguintes, como mostra a
Figura 14. Nesta figura está apenas representada uma espira por par de polo. No entanto,
existirão 𝑁𝑆 espiras por cava.
3.1.3. Variáveis que representam a geometria do gerador de magnetos permanentes
Para que se possa simular o comportamento do gerador de magnetos permanentes, é
conveniente transpor a sua geometria em variáveis que a representem. Estas variáveis e a sua
localização encontram-se indicadas na Figura 15, nesta, as variáveis ℎ𝑉𝑒𝑖𝑜 e ℎ𝐼𝑑𝑧 represent am,
respetivamente, os raios do eixo e do material ferromagnético macio do induzido. As variáveis
ℎ𝐸𝐹 , ℎ𝑀𝑃 e ℎ𝐼𝑑𝑡 representam as alturas do entreferro, dos magnetos permanentes e do material
ferromagnét ico macio do indutor. Do mesmo modo, 𝛼𝐼𝑑𝑧 representa o ângulo ocupado pelo
material ferromagnético macio do induzido e 𝛼𝑀𝑎𝑔 o ângulo ocupado pelos magnetos. Na Tabela
29
5 estão sintetizados os valores que estas variáveis tomam nas simulações efetuadas no presente
capítulo.
Tabela 5 - Variáveis geométricas.
Variável Valor
ℎ𝑉𝑒𝑖𝑜 [mm] 35
ℎ𝐼𝑑𝑧 [mm] 158
ℎ𝐸𝐹 [mm] 1
ℎ𝑀𝑃 [mm] 25
ℎ𝐼𝑑𝑡 [mm] 16
𝛼𝐼𝑑𝑧 [°] 11,25
𝛼𝑀𝑎𝑔 [°] 11,25
Figura 15 - Variáveis que representam a geometria do gerador.
ℎ𝑉𝑒𝑖𝑜
ℎ𝑀𝑃
ℎ𝐸𝐹
ℎ𝐼𝑑𝑧
ℎ𝐼𝑑𝑡
𝛼𝑀𝑎𝑔 𝛼𝐼𝑑𝑧
𝛼𝑅𝑜𝑡
30
3.2. Construção do modelo eletromagnético por parâmetros concentrados
Existem várias opções a utilizar com o intuito de simular o gerador. Uma destas é a utilização
de um modelo analítico de parâmetros concentrados, neste subcapítulo são expostas e
discutidas as suas vantagens e desvantagens, bem como, as equações que estão na base da
sua construção.
3.2.1. Vantagens e desvantagens do modelo de parâmetros concentrados em comparação com o modelo por elementos finitos
O modelo eletromagnét ico de parâmetros concentrados, desenvolvido neste capítulo, tem
como objetivo permitir a simulação do comportamento do gerador em vazio. Importa referir que
este modelo apresenta alguns pontos favoráveis e outros desfavoráveis.
Vantagens:
- Permite a otimização da geometria do gerador através do uso mais eficiente de algoritmos
matemáticos. Isto verifica-se possível devido ao facto de estarmos na presença de um reduz ido
número de equações a resolver;
- Permite uma simulação mais rápida que um modelo por elementos finitos;
- Devido à sua menor complexidade, o desenvolvimento deste modelo demora menos tempo
do que a parametrização de um modelo por elementos finitos, e;
- Exige o recurso a um único software para efetuar simulações em vazio e em carga.
Desvantagens:
- Menos preciso que um modelo por elementos finitos. É de salientar que esta precisão pode
ser melhorada com a adaptação das relutâncias magnéticas ao perfil de densidade de fluxo
magnético do gerador. No entanto, constata-se que este processo de ajuste das relutâncias não
é conveniente, uma vez que exige ajustes manuais e o conhecimento prévio do perfil de fluxo
magnético de uma geometria particular, dificultando assim o processo de otimização.
3.2.2. Resolução do circuito magnético do gerador de magnetos permanentes
O modelo em estudo assenta em algumas assunções e hipóteses simplificativas. Em primeiro
lugar assume-se que a máquina se encontra a operar em regime estacionário. É também
assumido que a permeabil idade magnética de cada material, tem o mesmo valor no mesmo
instante de tempo. A permeabilidade magnética do entreferro corresponde a 4 𝜋×10−7H/m, a dos
magnetos permanentes corresponde a 1,05 vezes este valor e a permeabilidade magnética do
material ferromagnético macio varia segundo a sua curva BH da Figura 6.
Como já foi referido na secção 2.9.1, o presente modelo será simulado segundo a lei de
Hopkinson. Deste modo, e assumindo que o fluxo magnético apenas circula pelo material
ferromagnét ico macio, entreferro e magnetos permanentes (não há dispersão magnética ),
31
dividiu-se o gerador em diferentes secções representadas na Figura 16. A cada secção foi
atribuída uma relutância magnética como se pode ver na Figura 17 que ilustra o circuito
magnético do gerador. Nesta figura, encontram-se também expressas as variáveis que
representam os elementos constituintes do seu circuito magnético, sendo eles: 𝑅𝐼𝑑𝑡 a relutânc i a
do material ferromagnético macio do indutor, 𝑅𝑀𝑃 a relutância dos magnetos permanentes e 𝑅𝐸𝐹
a relutância do entreferro. A relutânc ia do material ferromagnético macio do induzido foi dividida
em dois componentes devido ao seu diferente formato geométrico. Assim sendo, denominou -s e
𝑅𝐼𝑑𝑧𝐸𝑥𝑡 a relutância magnética da componente exterior do induzido e 𝑅𝐼𝑑𝑧𝐼𝑛𝑡 a relutânc ia
magnética da sua componente interior. Ao contrário dos restantes materiais, os magnetos
permanentes são representados, não só pela sua respetiva relutância, mas também por uma
fonte de força magnetomotriz, 𝐹𝑚𝑚 .
Figura 16 - Gerador dividido em diferentes secções de acordo com a distribuição da densidade de fluxo magnético prevista.
Sabendo que devido à simetria do gerador, o fluxo que circula em cada ramo do induz ido
corresponde ao fluxo total dividido pelo número de pares de polos, e que o fluxo que circula em
cada ramo do indutor corresponde a metade deste valor, aplicou-se o equivalente magnético da
segunda lei de Kirchhoff a uma malha da Figura 17. A equação (52) expressa a relação magnét ica
entre o fluxo e a 𝐹𝑚𝑚 ao longo da malha indicada na Figura 17.
32
Figura 17 - Circuito magnético do gerador de magnetos permanentes.
2 𝐹𝑚𝑚 −2 𝜙
8 (𝑅𝑀𝑃(𝛼𝑅𝑜𝑡) + 𝑅𝐸𝐹(𝛼𝑅𝑜𝑡)+ 𝑅𝐼𝑑𝑧𝐸𝑥𝑡(𝛼𝑅𝑜𝑡) + 𝑅𝐼𝑑𝑧𝐼𝑛𝑡)−
𝜙
16𝑅𝐼𝑑𝑡= 0 (52)
Simplificando esta expressão, chega-se à equação de cálculo do fluxo magnético, (53).
𝜙(𝛼𝑅𝑜𝑡) =16 𝐹𝑚𝑚
𝑅𝑀𝑃(𝛼𝑅𝑜𝑡)+ 𝑅𝐸𝐹(𝛼𝑅𝑜𝑡)+ 𝑅𝐼𝑑𝑧𝐸𝑥𝑡(𝛼𝑅𝑜𝑡)+ 𝑅𝐼𝑑𝑧𝐼𝑛𝑡 +𝑅𝐼𝑑𝑡2
(53)
Como já foi referido na secção 2.9.2 a força magnetomotriz em vazio é calculada segundo a
equação (51), onde foi considerado 𝜇𝑀𝑃 = 4,2 𝜋 ×10−7 H/m e 𝐵𝑟 = 1,23 T.
Em relação aos valores das relutâncias, verifica -se que estes variam durante a rotação do
gerador. É relevante notar que para a presente geometria, de acordo com a Tabela 5 e Figura
12, é possível obter a forma de onda de fluxo magnético através da resolução do seu circuito
magnético, durante apenas um quarto do período elétrico. A restante forma de onda é obtida por
simetria em relação aos eixos das ordenadas e das abcissas. Assim, a rotação do gerado r
durante um quarto do seu período elétrico, tem como posição inicial a posição expressa na Figura
15 e roda até ao momento em que os magnetos ficam completamente desalinhados do induz ido,
𝑅𝐼𝑑𝑡
𝑅𝑀𝑃
𝑅𝐸𝐹
𝑅𝐼𝑑𝑧𝐸𝑥𝑡
𝑅𝐼𝑑𝑧𝐼𝑛𝑡
𝐹𝑚𝑚
33
posição final. A variável 𝛼𝑅𝑜𝑡 sendo o ângulo de rotação do indutor, apresentará um valor inicial
de 0 rad e um valor final igual a 𝛼𝑀𝑎𝑔 , neste caso 𝜋
16 rad. É então possível definir as expressões
das relutâncias magnéticas para o período simulado, 0 ≤ 𝛼𝑅𝑜𝑡 ≤𝜋
16𝑟𝑎𝑑 na forma das relações (54)
a (58).
𝑅𝐼𝑑𝑡 =ℎ𝐼𝑑𝑡′
𝜇𝐹𝑒 𝑆𝑒𝑐𝐼𝑑𝑡 (54)
𝑅𝑀𝑃(𝛼𝑅𝑜𝑡) =
0,8 ℎ𝑀𝑃𝜇𝑀𝑃 𝑆𝑒𝑐𝑀𝑃
+0,2 ℎ𝑀𝑃
𝜇𝑀𝑃 𝑆𝑒𝑐𝑀𝑃(𝛼𝑅𝑜𝑡𝛼𝑀𝑎𝑔
)
(55)
𝑅𝐸𝐹(𝛼𝑅𝑜𝑡) =
ℎ𝐸𝐹
𝜇𝐸𝐹 𝑆𝑒𝑐𝐸𝐹 (𝛼𝑅𝑜𝑡𝛼𝐼𝑑𝑧
)
(56)
𝑅𝐼𝑑𝑧𝐸𝑥𝑡(𝛼𝑅𝑜𝑡) =
0,8 ℎ𝐼𝑑𝑧𝐸𝑥𝑡𝜇𝐹𝑒 𝑆𝑒𝑐𝐼𝑑𝑧𝐸𝑥𝑡
+0,2 ℎ𝐼𝑑𝑧𝐸𝑥𝑡
𝜇𝐹𝑒 𝑆𝑒𝑐𝐼𝑑𝑧𝐸𝑥𝑡 (𝛼𝑅𝑜𝑡𝛼𝐼𝑑𝑧
)
(57)
𝑅𝐼𝑑𝑧𝐼𝑛𝑡 =
ℎ𝐼𝑑𝑧𝐼𝑛𝑡𝜇𝐹𝑒 𝑆𝑒𝑐𝐼𝑑𝑡𝐼𝑛𝑡
(58)
Os termos 𝜇𝑀𝑃, 𝜇𝐸𝐹 e 𝜇𝐹𝐸 são, respetivamente, as permeabilidades magnéticas dos magnetos
permanentes, do entreferro e do material ferromagnético macio. 𝑆𝑒𝑐𝐼𝑑𝑡 é a secção transversal do
material ferromagnét ico macio do indutor, 𝑆𝑒𝑐𝐼𝑑𝑧𝐸𝑥𝑡 e 𝑆𝑒𝑐𝐼𝑑𝑡𝐼𝑛𝑡 são as secções transversais, das
componentes externa e interna do mesmo material, localizado no induzido. Por último, 𝑆𝑒𝑐𝑀𝑃 e
𝑆𝑒𝑐𝐸𝐹 são as secções transversais dos magnetos permanentes e entreferro, respetivamente. A
variável ℎ𝐼𝑑𝑡 ′ representa a altura da relutância representativa do material ferromagnético macio
do indutor. As formas de cálculo dos componentes destas relutâncias magnéticas encontram -s e
descritas em detalhe no Anexo I.
É de salientar que as expressões (55) e (57), estão divididas em dois termos: um termo fixo
(o da esquerda) com oitenta por cento do peso e outro termo (o da direita) que varia com o
aumento do ângulo de rotação, tendo apenas vinte por cento do peso da relutância magnét ica.
Este procedimento visa simular o efeito da expansão do fluxo proveniente de uma relutância com
menor secção para outra com maior.
34
Figura 18 – Fluxograma do processo de cálculo do fluxo magnético.
Sim Não
Cálculo de: 𝜇𝐹𝑒
Equação (60)
ห𝐵𝐼𝑑𝑧𝐴𝑛𝑡 − 𝐵𝐼𝑑𝑧ห < 𝜖𝐵
Cálculo de: 𝐵𝐼𝑑𝑧 e 𝐻𝐼𝑑𝑧
Equações: (59) e (60)
Guardar o valor de 𝐵𝐼𝑑𝑧 numa variável auxiliar
𝐵𝐼𝑑𝑧𝐴𝑛𝑡 = 𝐵𝐼𝑑𝑧
Cálculo do 𝐵𝐼𝑑𝑧 correspondente ao 𝐻𝐼𝑑𝑧 na
curva BH da Figura 6
Cálculo de: 𝑅𝐼𝑑𝑡 , 𝑅𝑀𝑃 , 𝑅𝐸𝐹 , 𝑅𝐼𝑑𝑧𝐸𝑥𝑡 , 𝑅𝐼𝑑𝑧𝐼𝑛𝑡
Equações: (54) a (58)
Cálculo de: 𝜙(𝛼𝑅𝑜𝑡 )
Equação (53)
) a (Error! Reference s
𝛼𝑅𝑜𝑡 (𝑘) = 𝛼𝑅𝑜𝑡(𝑘 − 1) +𝛼𝑃𝑎𝑠𝑠𝑜
Início
𝜇𝐹𝑒 = 0,003H/m; 𝛼𝑅𝑜𝑡 = 0 rad;
𝛼𝑃𝑎𝑠𝑠𝑜 = 1,3×10−4 rad
35
Na Figura 6 verifica-se que a curva BH do material ferromagnét ico macio não é linear. Assim
a sua permeabil idade magnética teve de ser calculada de forma iterativa como ilustra o
fluxograma da Figura 18. Este cálculo consiste numa sequência de computações constituída pelo
cálculo das relutâncias magnéticas, equações (54) a (58), fluxo magnético, equação (53),
densidade de fluxo magnético no material ferromagnético macio, equação (59), e intensidade de
campo magnético, equação (60). A partir do valor de intensidade de campo magnét ico
anteriormente obtido e da curva BH do material ferromagnético macio, é calculado o novo valor
de densidade de fluxo magnético no mesmo material, bem como a sua permeabil i dade
magnética, equação (60). Caso a diferença entre as variáveis de densidade de fluxo magnét ico
seja maior que um valor predefinido, 𝜖𝐵 , é repetido o processo descrito neste parágra fo,
começando pelo recálculo das relutâncias magnéticas. Caso contrário, é aumentado o valor do
ângulo de rotação da máquina, 𝛼𝑅𝑜𝑡 por intermédio da variável 𝛼𝑃𝑎𝑠𝑠𝑜 seguido do ciclo de
procedimentos descritos no presente parágrafo, começando pelo cálculo das relutâncias para
esta nova posição angular.
𝐵𝐼𝑑𝑧 =
𝜙
𝑆𝑒𝑐𝐼𝑑𝑧𝐸𝑥𝑡 (59)
𝐻𝐼𝑑𝑧 =
𝐵𝐼𝑑𝑧𝜇𝐹𝑒
(60)
O cálculo da força eletromotriz é efetuado através da equação (61).
𝑓𝑒𝑚 =𝑑𝜓
𝑑𝑡= 𝑁𝑆
𝑑𝜙
𝑑𝑡 (61)
3.3. Resultados do gerador de magnetos permanentes em vazio
Neste capítulo, apresentam-se os resultados obtidos através da simulação do modelo de
parâmetros concentrados para a geometria do gerador representada na Figura 12. Em seguida
variam-se as variáveis que sintetizam esta geometria de modo a perceber qual o seu efeito na
simulação eletromagnética da máquina. Por fim são comparados os resultados simulando a
geometria da Figura 12 através de um modelo de parâmetros concentrados e de um modelo por
elementos finitos, com o intuito de verificar a precisão do primeiro.
3.3.1. Resultados obtidos através do modelo de parâmetros concentrados
Através do modelo eletromagnét ico de parâmetros concentrados, descrito no subcapítulo 3.2,
simulou-se o gerador com a geometria representada na Figura 12. Esta pode ser sintetizada
pelas variáveis geométricas da Tabela 5, sendo que a sua profundidade, representada pela
variável 𝐷, apresenta um valor de 20 cm. Deste modo, numa espira, obtiveram-se as formas de
36
onda representadas na Figura 19 e na Figura 20, representativas do fluxo magnético e da força
eletromotriz , respetivamente.
Figura 19 - Fluxo magnético por espira obtido através do modelo de parâmetros concentrados.
Como pode ser observado na Figura 19, o fluxo magnético tem uma forma de onda
aproximadamente sinusoidal. Analisando a evolução da força eletromotriz na Figura 20, verific a -
se que esta apresenta uma descontinuidade em 𝑡 = 37,5 ms . É de salientar que estas
descontinuidades não estão de acordo com o que acontece na realidade, embora seja de esperar
que o seu andamento seja em geral o correto. As descontinuidades devem-se, em grande parte,
ao facto de o modelo não considerar fugas magnéticas.
Figura 20 - Força eletromotriz por espira obtida através do modelo de parâmetros concentrados.
3.3.2. Comparação de resultados entre várias geometrias obtidas a partir do modelo de parâmetros concentrados
De modo a verificar quais os parâmetros que mais contribuem para o aumento da força
eletromotriz , volume e custo do gerador, simulou-se a geometria anterior tida como referênc i a,
bem como variações desta geometria, onde os parâmetros ℎ𝐼𝑑𝑧 , ℎ𝐸𝐹 , ℎ𝑀𝑃 , ℎ𝐼𝑑𝑡 e 𝐷 são
aumentados, um de cada vez, com valores arbitrários de 1, 10, 25 e 50 mm. No fim, procede -s e
37
à comparação dos resultados das geometrias simuladas em relação à de referência, obtendo -s e
as variações relativas de cada uma das grandezas em análise. Estes resultados encontram -s e
expressos nas Figuras 21 a 23.
Figura 21 - Variação do valor eficaz da força eletromotriz em função da variação dos parâmetros geométricos.
Figura 22 - Variação da relação força eletromotriz eficaz, volume do gerador, em função da variação dos seus parâmetros geométricos.
Figura 23 - Variação da relação força eletromotriz eficaz, custo dos materiais do gerador, em função da variação dos seus parâmetros geométricos.
38
No que concerne o parâmetro custo dos materiais, (Figura 23), só foram considerados os
custos variáveis relativos à construção do gerador, admitindo que os custos fixos, como por
exemplo o corte dos materiais, são iguais para todas as geometrias. A razão pela qual não foram
considerados os preços fixos, assenta no facto das empresas de corte dos materiais
orçamentarem os seus serviços em função da complexidade do corte e do número de peças a
cortar. Esta tarefa exige mão de obra especializada, cuja remuneração suplanta o custo de
operação das máquinas de corte.
As variáveis Δℎ𝐼𝑑𝑧 , Δℎ𝐸𝐹 , Δℎ𝑀𝑃 , Δℎ𝐼𝑑𝑡 , Δ𝐷 correspondem, respetivamente, às variações dos
parâmetros ℎ𝐼𝑑𝑧 , ℎ𝐸𝐹 , ℎ𝑀𝑃 , ℎ𝐼𝑑𝑡 e 𝐷. Por outro lado, a variável Δ 𝑓𝑒𝑚𝑒𝑓 corresponde à variação do
valor eficaz da força eletromotriz, Δ 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 corresponde à variação do volume do gerador e
Δ 𝐶𝑢𝑠𝑡𝑀𝑎𝑡 corresponde à variação do custo dos materiais que o constituem. O rácio Δ 𝑓𝑒𝑚𝑒𝑓
Δ 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 é
indicador da sensibilidade da fem face a uma variação do volume e o rácio Δ 𝑓𝑒𝑚𝑒𝑓
Δ 𝐶𝑢𝑠𝑡𝑜𝑀𝑎𝑡 é um
indicador é um indicador de sensibilidade da fem face a uma variação dos custos dos materiais.
É importante perceber que o aumento de qualquer um dos parâmetros considerados, ℎ𝐼𝑑𝑧 ,
ℎ𝐸𝐹 , ℎ𝑀𝑃 , ℎ𝐼𝑑𝑡 e 𝐷 , pode ter como consequência a alteração de qualquer uma das relutânc i as
magnéticas, presentes na resolução do circuito magnético do gerador. Tomando -se como
exemplo um aumento da variável ℎ𝐼𝑑𝑧 , verifica-se que esta variação implicará o aumento das
secções transversais do entreferro e dos magnetos permanentes, o que terá como consequê nc i a
uma redução das relutânc ias representativas destes componentes . Isto acontece devido ao fac to
de a máquina apresentar uma geometria cilíndrica e também devido ao facto dos ângulos 𝛼𝐼𝑑𝑧 e
𝛼𝑀𝑎𝑔 se manterem constantes.
Analisando a Figura 21 verifica-se que o aumento do entreferro, representado pela variável
ℎ𝐸𝐹 , tem um efeito prejudicial na força eletromotriz. Deste modo, conclui-se que o entreferro deve
ser o mais reduzido possível. Optou-se deste modo por utilizar um entreferro de 1 mm .
Verifica-se também que uma variação da altura do indutor, ℎ𝐼𝑑𝑡, não tem efeitos significat i vos
no valor eficaz da fem (Figura 21). Conclui-se então que este parâmetro deve ter apenas a altura
suficiente que permita que a densidade de fluxo magnético, no material ferromagnético macio do
indutor, seja próxima de 1,35 T, pelos motivos referenc iados na secção 2.4.2.
Quanto ao parâmetro que representa a altura dos magnetos permanentes, ℎ𝑀𝑃 , verific a -s e
através da análise da Figura 21 que este é o segundo parâmetro com mais elevada influênc ia na
variação do valor eficaz de força eletromotriz. No entanto, é importante referir que a variável ℎ𝑀𝑃
tem limites de operação, isto é, este deve estar associado a uma densidade de fluxo magnét ico
no material ferromagnético macio do induzido que não ultrapasse 1,35 T.
No que diz respeito ao parâmetro 𝐷, que representa a profundidade do gerador, verifica -s e
que embora não apresentando limitações em termos de desempenho dos materiais, este não é
o parâmetro que mais contribui para o aumento do valor eficaz da força eletromotriz.
39
Por fim, analisando o parâmetro que representa a altura do induzido, ℎ𝐼𝑑𝑧 , verifica-se que
este é o parâmetro que proporciona uma maior variação da força eletromotriz (Figura 21). A
razão prende-se com o facto da variável ℎ𝐼𝑑𝑧 contribuir para a variação das secções transvers ais
de outros componentes do gerador, como por exemplo dos magnetos permanentes, mas
sobretudo por permitir variar o número de condutores por cava. É ainda de salientar que esta
variável é a que conduz a um maior rácio Δ 𝑓𝑒𝑚𝑒𝑓
Δ Volume e
Δ 𝑓𝑒𝑚𝑒𝑓
Δ CustoMat, como pode ser observado nas
Figuras 22 e 23, ou seja esta variável é que a conduz a um maior aumento da força eletromot riz
utilizando um menor volume do gerador e um menor custo dos materiais. É assim expectável que
o gerador tenha um melhor desempenho nas geometrias em que apresente um maior valor de
raio.
Pela análise efetuada, podem-se apontar 3 conclusões importantes para a geometria do
circuito magnético do gerador:
- O entreferro da máquina deve ser o mais pequeno possível. Fixou-se em 1 mm ;
- Os parâmetros ℎ𝐼𝑑𝑡 e ℎ𝑀𝑃 devem ser dimensionados de modo a que a densidade de fluxo
magnético nos materiais ferromagnét icos do indutor e induzido, se encontre próxima de 1,35 T;
- O parâmetro ℎ𝐼𝑑𝑧 deve apresentar um valor elevado, na medida em que é o que conduz a
um maior valor eficaz de força eletromotriz utilizando um menor volume e um menor custo dos
materiais utilizados.
3.3.3. Comparação dos resultados obtidos entre modelo de parâmetros concentrados e elementos finitos.
Com o objetivo de verificar a precisão do modelo de parâmetros concentrados desenvol v ido
nos subcapítulos anteriores, decidiu-se comparar os seus resultados com os resultados obtidos
através de um programa por elementos finitos utilizando a mesma geometria.
Comparando os resultados dos dois modelos obtiveram -se os gráficos da evolução do fluxo
magnético e da força eletromotriz, representados na Figura 24 e na Figura 25, respetivament e.
Analisando estes gráficos verifica-se que, embora as ondas de fluxo magnético se aproximem,
apresentando uma diferença de 3% entre os seus valores eficazes, o mesmo não se verifica nas
ondas da força eletromotriz que apresentam uma diferença entre valores eficazes de 7%. Para
além da diferença do valor de tensão eficaz, a força eletromotriz apresenta uma análise espetral
bastante distinta quando calculada por cada um destes modelos, como é possível observar na
Figura 26. Conclui-se então que o modelo de parâmetros concentrados não é tão preciso quanto
o necessário para a geometria da máquina que se pretende simular.
40
Figura 24 - Fluxo magnético por espira, obtido através dos modelos de parâmetros concentrados e por elementos finitos.
Figura 25 - Força eletromotriz por espira, obtida através dos modelos de parâmetros concentrados
e por elementos finitos.
Figura 26 - Análise espetral da força eletromotriz quando calculada pelos modelos de parâmetros concentrados e por elementos finitos.
41
4. Modelo utilizado para a simulação em vazio e em carga do gerador de magnetos permanentes
Uma vez que o modelo construído no capítulo anterior não se verificou preciso na modulação
eletromagnética do gerador, optou-se por tratar o dimensionamento do mesmo utilizando um
programa por elementos finitos. Optou-se também por tratar o dimensionamento do gerador em
carga uma vez que neste modo de operação os constrangimentos são mais rigorosos. Começa -
se neste capitulo por definir o sistema isolado de que o gerador irá fazer parte, descrevendo em
detalhe a carga e conversor eletrónico de potência que também o integram. Procede-se em
seguida à explicitação dos modelos eletromagnét ico e térmico a utilizar no dimensionamento do
gerador. Posteriormente expõem-se os constrangimentos de cada modelo. Por fim, desenvol ve -
se o algoritmo de dimensionamento do gerador que integra os modelos anteriormente referidos.
4.1. Sistema elétrico isolado
O gerador elétrico cujo dimensionamento é alvo de estudo na presente dissertação deverá
estar incluído num sistema isolado constituído pelo gerador, por um conversor eletrónico de
potência e por uma carga elétrica. A estrutura do gerador já foi abordada no capítulo anterior, a
qual permitiu verificar as variáveis geométricas mais significativas para a otimização do gerado r
em termos de densidade de potência. Neste subcapítulo pretende-se abordar algumas
características da carga elétrica considerada e do conversor eletrónico de potência.
4.1.1. Carga elétrica
Com o intuito de modelar uma carga elétrica de uma habitação e, tendo em consideração
que o fator de potência médio ponderado das mesmas é de 0,86 indutivo [33], utilizou-se uma
carga constituída pela série de uma resistência elétrica com uma indutância.
Pretende-se que o gerador forneça 20 kW de potência ativa à carga. No entanto, este valor
é demasiado elevado para o consumo médio doméstico, selecionando-se deste modo uma carga
trifásica que permita a divisão da potência pelas fases. Enfatizando uma vez mais o facto de a
carga ser modelada para uma habitação, salienta-se que a forma de onda de tensão deva ser
fornecida deve apresentar um valor eficaz de 230 V e uma frequência de 50 Hz. Em contrapart i da,
sabe-se que é conveniente que o gerador opere com valores de tensão superiores aos verific ados
na carga. Com efeito, quanto maior for a tensão do gerador para a mesma potência, menor será
a sua corrente e, consequentemente, menores serão as perdas nos condutores , (13), e menor
volume terá a máquina, devido à menor exigência do seu dimensionamento térmico. Tendo em
consideração as diferenças de tensão entre gerador e carga, e devido ao facto de, por um lado,
o gerador ser monofásico e, por outro, a carga ser trifásica, infere -se que será necessári o
recorrer a um inversor de tensão descrito na próxima secção.
42
Estando na presença de uma carga trifásica alimentada a 230 V, pode-se determinar quais
os valores da resistência e indutância equivalentes que a constituem de modo a consumir a
potência desejada. Partindo da definição de fator de potência expressa na equação (62) e
sabendo que a partir da potência aparente se pode obter o valor da impedância da carga,
equação (63), é possível obter a equação (64) através da conjugação de (62) e (63). Como a
carga é constituída por dois elementos, um resistivo, 𝑅𝐶 , e um indutivo, 𝐿𝐶 , será necessária mais
uma equação para satisfazer o número de incógnitas. Assim sendo, recorreu-se à expressão (65)
fazendo novamente uso da definição de fator de potência. A partir da resolução do sistema de
equações, (64) e (65), obtiveram-se os valores da resistência e indutância da carga que
correspondem a 5,87 Ω e 11,04 mH respectivamente.
𝑓𝑝𝐶 =𝑃𝐶𝑆𝑐 ⇔ 𝑆𝐶 =
𝑃𝐶𝑓𝑝𝐶
(62)
𝑆𝐶 = 3 𝑈𝐶 𝐼𝐶 = 3
𝑈𝐶2
𝑍𝐶 ⇔ 𝑍𝐶 = 3
𝑈𝐶2
𝑆𝐶
(63)
𝑍𝐶 = √𝑅𝐶
2 + (𝜔𝐶 𝐿𝐶)2⇔3
𝑈𝐶2
𝑃𝐶/𝑓𝑝𝐶= √𝑅𝐶
2 + (𝜔𝐶 𝐿𝐶)2
(64)
𝑓𝑝𝐶 = cos(𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 (
𝜔𝐶 𝐿𝐶𝑅𝐶
)) (65)
Nas equações anteriores, 𝑓𝑝𝐶 representa o fator de potência da carga, 𝑆𝐶 e 𝑃𝐶 represent am
as potências aparente e ativa que lhe são entregues, 𝑈𝑐 e 𝐼𝐶representam os valores eficazes da
tensão e corrente da carga por fase, 𝑅𝑐 e 𝐿𝐶 são os valores resistivos e indutivos da carga
mencionados no parágrafo anterior e 𝜔𝐶 representa a frequência angular da carga que é descrita
pela equação (66).
𝜔𝐶 = 2 𝜋 𝑓𝑠𝑎í𝑑𝑎 (66)
4.1.2. Conversor eletrónico de potência
Como referido na secção precedente, é necessário o recurso a um conversor eletrónico de
potência de forma a ligar a saída monofás ica do gerador à carga trifásica. Para este efeito,
selecionou-se um conversor AC/DC/AC, isto é, constituído por um retificador, um andar de
corrente contínua e um inversor. O andar de corrente contínua é composto por um condensado r,
𝐶𝑑𝑐, o qual pode ser visto como um elemento que desacopla o retificador do inversor, permit indo
assim um controlo independente deste último [34].
43
Quanto ao retificador, selecionou-se um retificador monofásico em ponte e a díodos como se
pode ver na Figura 27. Uma vez que o conteúdo harmónico das formas de onda toma maior
importânc ia na carga, o principal critério de seleção deste retificador recaiu no baixo preço dos
semicondutores por ele utilizados.
No que diz respeito ao inversor, optou-se pela utilização de um inversor trifásico com IGBTs,
observável na Figura 27. A seleção dos semicondutores em questão assenta no facto destes
serem os semicondutores de excelência em aplicações de potência a baixa e média tensão,
atendendo, por um lado, à sua capacidade de suportar as tensões e correntes, e, por outro, ao
seu custo monetário [35].
Uma vez que o inversor vai trabalhar com frequências de comutação elevadas, torna -se
necessário o recurso a um filtro que anule o efeito introduzido pelas comutações, de modo a que
a tensão e corrente entregues à carga sejam alternadas sinusoidais. Assim sendo, selecionou -
se um filtro LC, representado na Figura 28, constituído por uma bobina, 𝐿𝑓𝑂𝑢𝑡 , em série com a
carga e um condensador, 𝐶𝑓𝑂𝑢𝑡 em paralelo com a carga. O dimensionamento dos component es
que compõem o filtro é efetuado levando em consideração um compromisso entre o seu
desempenho ao nível do conteúdo harmónico das ondas entregues à carga e o seu custo, peso
e dimensões. Quanto mais elevada for a indutância da sua bobina, maior será a queda de tensão
na mesma, bem como, o custo, o volume e as dimensões associadas ao filtro [36].
Figura 27 - Conversor eletrónico de potência.
𝐺𝑀𝑃
𝐶𝑑𝑐
𝑖𝑅𝑒𝑡 𝑖𝐼𝑛𝑣
𝑖𝑑𝑐
𝑉𝑑𝑐
𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎
44
Figura 28 - Carga elétrica e filtros do conversor eletrónico de potência.
Quanto à modulação utilizada pelo inversor, selecionou-se a modulação por largura de
impulso (PWM - pulse width modulation) de três níveis, dado que é um tipo de modulação simples
e que requer componentes do filtro de saída com menores dimensões do que o mesmo tipo de
modelação a dois níveis [35]. Para a sua frequênc ia de comutação selecionou-se 20 kHz , uma
vez que a partir desta gama de frequências o ruído que advém da comutação dos semicondut o res
começa a ser inaudível pelo ouvido humano [37].
No que diz respeito ao dimensionamento dos componentes passivos utilizados no convers o r,
começou-se pelo dimensionamento do condensador, 𝐶𝑑𝑐 , que constitui o andar de corrente
contínua. Para este efeito, considera-se uma resistência equivalente fictícia dada pela expressão
(67), a qual encontrar-se-ia ligada ao retificador e permite o cálculo da corrente média fornec i da
ao inversor expressa pela equação (68), [38].
𝑅𝑓𝑖𝑐 =𝑉𝑑𝑐2
𝑃𝑑𝑐 (67)
𝐼𝑖𝑛𝑣 =
𝑉𝑑𝑐𝑅𝑓𝑖𝑐
(68)
Em (67) e (68) 𝑉𝑑𝑐 é o valor médio da tensão no condensador e 𝑃𝑑𝑐 é a potência entregue ao
inversor. De salientar que, para o efeito, foi considerado um rendimento de 100% tanto do
retificador como do inversor. Assim sendo, 𝑃𝑑𝑐 tem o mesmo valor que a potência aparent e
entregue à carga, ou seja, 23,26 kW segundo a equação (62). Partindo da expressão da corrente
no condensador, equação (69), e assumindo que a tensão aos seus terminais se comporta de
forma aproximadamente linear, é possível obter uma expressão aproximada de cálculo do valor
do condensador, (70), através da conjugação das equações (69), (67) e (68), isto porque, quando
o retificador não conduz, a corrente do condensador é igual à corrente que passa pelo invers o r.
Utilizando um valor de 𝑉𝑑𝑐 correspondente a 650 V obteve-se um valor de 𝐶𝑑𝑐 de 18 mF.
𝐺𝑀𝑃
𝑉𝐶𝑓𝑂𝑢𝑡
𝑖𝐿𝑓𝑂𝑢𝑡 𝑖𝑐
𝐶𝑓𝑂𝑢𝑡 𝐶𝑓𝑂𝑢𝑡 𝐶𝑓𝑂𝑢𝑡
𝑅𝐶 𝑅𝐶 𝑅𝐶
𝐿𝐶
𝐿𝐶 𝐿𝐶
𝑉𝐶𝐴
𝑉𝐴𝐵
𝑉𝐵𝐶
𝐿𝑓𝑂𝑢𝑡
𝐿𝑓𝑂𝑢𝑡
𝐿𝑓𝑂𝑢𝑡
𝐿𝑓𝐼𝑛
𝑉𝑐
45
𝑖𝑑𝑐 = 𝐶𝑑𝑐𝑑𝑉𝑑𝑐𝑑𝑡𝑑𝑐
≅ 𝐶𝑑𝑐Δ𝑉𝑑𝑐Δ𝑡𝑑𝑐
(69)
𝐶𝑑𝑐 ≅ 𝐼𝑖𝑛𝑣
Δ𝑡𝑑𝑐Δ𝑉𝑑𝑐
=Pdc Δ𝑡𝑑𝑐Δ𝑉𝑑𝑐 𝑉𝑑𝑐
(70)
Δ𝑡𝑑𝑐 =
𝑃𝑒𝑟𝑔𝑒𝑟
𝑝𝑢𝑙
(71)
Nas equações anteriores Δ𝑉𝑑𝑐 representa a variação máxima admissível da tensão aos
terminais do condensador e Δ𝑡𝑑𝑐 o intervalo de tempo em que os díodos não conduzem. Esta
variável depende de 𝑝𝑢𝑙 , isto é, do índice de pulsação do retificador [39]. No caso do retificado r
monofásico em ponte 𝑝𝑢𝑙 toma o valor de 2. O termo Δ𝑡𝑑𝑐 e depende também de 𝑇𝑔𝑒𝑟 que
representa o período da tensão gerada pelo gerador e que é fornecido pela equação (72) onde
𝑛 representa o número de rotações por minuto e 𝑝 o número de pares de polos do gerador.
𝑇𝑔𝑒𝑟 =60
𝑛 𝑝 (72)
No que concerne ao dimensionamento do filtro de saída do inversor, começou-se por aplicar
a segunda lei de Kirchhoff, à malha constituída pelo condensador 𝐶𝑑𝑐 , bobina 𝐿𝑓𝑂𝑢𝑡 e
condensador 𝐶𝑓𝑂𝑢𝑡 ,ilustrados na Figura 28 e relacionadas pela equação (73). Em seguida,
substituiu-se na equação (73) a tensão da bobina dada pela expressão (74), onde se admit iu
também que a corrente que circula na bobina se comporta de forma aproximadamente linear para
o período de tempo em causa. Posteriormente, partindo da equação (75), resultante da
substituição de (74) em (73), e sabendo que a tensão média na carga é igual à tensão no
condensador 𝐶𝑑𝑐 durante a parcela em que o par de IGBTs conduz, 𝛿, obtém-se a expressão
(76). De modo a determinar 𝐿𝑓𝑂𝑢𝑡 , optou-se por utilizar o valor de 𝛿 que conduz ao maior valor da
última indutância. Para este efeito, igualou-se a expressão (76) a zero e procedeu-se à sua
diferenciação em função de 𝛿, (77). Posteriormente substituiu -se o resultado desta equação em
(76), obtendo-se a expressão que permite o cálculo aproximado do coeficiente de autoinduç ão
𝐿𝑓𝑂𝑢𝑡 do filtro de saída, (78), [40]. Obteve-se para 𝐿𝑓𝑂𝑢𝑡 o valor de 490 μH.
𝑉𝑑𝑐 = 𝑣𝐿𝑓𝑂𝑢𝑡
+𝑉𝐶𝑓𝑂𝑢𝑡 (73)
𝑣𝐿𝑓𝑂𝑢𝑡
= 𝐿𝑓𝑂𝑢𝑡
𝑑𝑖𝐿𝑓𝑂𝑢𝑡𝑑𝑡
(74)
46
𝑉𝑑𝑐 = 𝑣𝐿𝑓𝑂𝑢𝑡
+𝑉𝐶𝑓𝑂𝑢𝑡= 𝐿𝑓𝑂𝑢𝑡
𝑑𝑖𝐿𝑓𝑂𝑢𝑡𝑑𝑡
+𝑉𝐶𝑓𝑂𝑢𝑡≅ 𝐿𝑓𝑂𝑢𝑡
Δ𝑖𝐿𝑓𝑂𝑢𝑡Δ𝑡
+ 𝑉𝐶𝑓𝑂𝑢𝑡
(75)
𝐿𝑓𝑂𝑢𝑡 =(𝑉𝑑𝑐 −𝑉𝐶𝑓𝑂𝑢𝑡
) Δ𝑡
Δ𝑖𝐿𝑓𝑂𝑢𝑡=𝑉𝑑𝑐 (1 − 𝛿) 𝛿 𝑇𝑐
Δ𝑖𝐿𝑓𝑂𝑢𝑡
(76)
𝑑 𝐿𝑓𝑂𝑢𝑡𝑑 𝛿
= 0 ⟺−𝑉𝑑𝑐 𝛿 𝑇𝑐 + 𝑉𝑑𝑐 (1 − 𝛿) 𝑇𝑐
Δ𝑖𝐿𝑓𝑂𝑢𝑡= 0⟺ 𝛿 =
1
2 (77)
𝐿𝑓𝑂𝑢𝑡 =
𝑉𝑑𝑐𝑇𝑐
4 Δ𝑖𝐿𝑓𝑂𝑢𝑡 (78)
Quanto ao dimensionamento do condensador do mesmo filtro, 𝐶𝑓𝑂𝑢𝑡 , partiu-se da equação
(79) relativa à potência reativa neste componente. Admitiu-se que a variação da corrente no
condensador é linear durante o período de comutação dos semicondutores, (81). Reconhec endo
que a tensão aos terminais do condensador permanece aproximadamente inalterada durante o
referido período, a variação de potência reativa experienciada por este componente coincide com
a área da corrente no condensador durante metade deste período, Figura 29, [40]. Neste
seguimento substituiu -se a variação da potência reativa em (79) pela área referida, sendo que
a sua base corresponde a 𝑇𝑐/2 e a sua altura a Δ𝐼𝐿𝑓𝑂𝑢𝑡/2. Assim sendo, obteve-se a equação que
permite o cálculo do condensador do filtro de saída, equação (80), [40]. Segundo esta equação
dimensionou-se 𝐶𝑓𝑂𝑢𝑡 com o valor de 50 μF.
𝐶𝑓𝑂𝑢𝑡 =d𝑄𝑓𝑂𝑢𝑡d𝑉𝐶𝑓𝑂𝑢𝑡
≅Δ𝑄𝑓𝑂𝑢𝑡Δ𝑉𝐶𝑓𝑂𝑢𝑡
⇔ 𝐶𝑓𝑂𝑢𝑡 Δ𝑉𝐶𝑓𝑂𝑢𝑡≅ Δ𝑄𝑓𝑂𝑢𝑡 =
1
2
𝑇𝑐2
Δ𝐼𝐿𝑓𝑂𝑢𝑡2
=𝑇𝑐 Δ𝐼𝐿𝑓𝑂𝑢𝑡
8 (79)
𝐶𝑓𝑂𝑢𝑡 =
𝑇𝑐 Δ𝐼𝐿𝑓𝑂𝑢𝑡8 Δ𝑉𝐶𝑓𝑂𝑢𝑡
=𝑉𝑑𝑐 𝑇
2
32 𝐿𝑓𝑂𝑢𝑡 Δ𝑉𝐶𝑓𝑂𝑢𝑡
(80)
𝑇𝐶 =1
𝑓𝐶= 50 𝜇𝑠 (81)
Para que este filtro funcione corretamente é necessário que se verifique a condição (82), em
que 𝑓𝑠𝑎í𝑑𝑎 é a frequênc ia da tensão aos terminais da carga, 50 Hz, 𝑓𝑐 é a frequênc ia de comutação
dos semicondutores que, como já foi mencionado, é 20 kHz, e por fim, 𝑓𝑓𝑂𝑢𝑡 é a frequência de
ressonânc ia do filtro de saída que é expressa pela equação (83), [38]. Salienta-se que nas
frequências da equação (82), 𝑓𝑓𝑂𝑢𝑡 deve ser pelo menos uma década maior que 𝑓𝑠𝑎í𝑑𝑎 , e que 𝑓𝑐
deve também ser pelo menos uma década maior que 𝑓𝑓𝑂𝑢𝑡 . A condição anterior é cumprida uma
vez que 𝑓𝑓𝑂𝑢𝑡 corresponde a 2 kHz.
47
𝑓𝑠𝑎í𝑑𝑎 ≪ 𝑓𝑓𝑂𝑢𝑡 ≪ 𝑓𝑐 (82)
𝑓𝑓𝑂𝑢𝑡 =
1
√𝐿𝑓𝑂𝑢𝑡 𝐶𝑓𝑂𝑢𝑡
(83)
Figura 29 - Variação aproximada da potência reativa no condensador.
A Tabela 6 resume os componentes passivos do andar Dc e do filtro de saída.
Tabela 6 - Componentes passivos do andar Dc e do filtro de saída
Parâmetro Valor
𝐶𝑑𝑐 [mF] 18
𝐿𝑓𝑂𝑢𝑡 [ μH] 490
𝐶𝑓𝑂𝑢𝑡 [μF] 50
4.1.3. Modelos eletromagnético e térmico
A simulação do sistema elétrico constituído pelo gerador, conversor eletrónico de potência e
carga, terá de ser realizada por diferentes programas. No que diz respeito ao gerador, pretende -
se que este seja simulado por um programa eletromagnético por elementos finitos, a partir de
uma geometria bidimensional. Uma vez que não é possível simular a carga e o conversor de
potência neste programa, pretende-se que estes componentes sejam simulados através do
software de modelação Simulink. Neste programa é utilizado um esquema semelhante ao
representado na Figura 28, em que o gerador passa a ser representado por uma série de fontes
de tensão parametrizadas segundo a decomposição em harmónicas da onda de tensão obt ida
através do programa eletromagnético por elementos finitos. Foram apenas consideradas as
harmónicas com amplitude superior a 1% em relação à fundamental.
𝐼𝐶𝑓𝑂𝑢𝑡
Δ𝐼𝐿𝑓𝑂𝑢𝑡/2
TC
2
tempo [s] TC 2 TC
𝐼 [𝐴]
48
Dado que se vai proceder à simulação do gerador em carga, verifica-se que a simulação do
seu modelo eletromagnético exige a interação entre os dois programas anteriormente referi dos,
elementos finitos e Simulink. Esta interação está esquematizada no fluxograma da Figura 30,
onde se verifica que o primeiro passo é a simulação do gerador em vazio, 𝐼𝐼𝑛(𝑡) = 0, realizada
através do programa eletromagnético por elementos finitos por forma a obter a tensão em vaz io,
𝑉𝐼𝑛(𝑡). Em seguida, simula-se no software Simulink onde se encontram o conversor e a carga
trifásica, obtendo-se a onda de corrente aos terminais do gerador 𝐼𝐼𝑛(𝑡) que, por sua vez, é
inserida no programa eletromagnético por elementos finitos e imposta aos condutores do
gerador. A partir deste primeiro ciclo, procede-se à simulação dos dois programas de forma
cíclica até se garantir que os perfis de tensão e corrente são idênticos em iterações consecuti vas.
Este processo é semelhante ao verificado na resolução de equações não lineares.
Figura 30 – Esquema representativo do modelo eletromagnético utilizado .
Por seu turno, o modelo térmico consiste na simulação da geometria da máquina em causa,
através do programa térmico por elementos finitos, partindo também de uma geometri a
bidimensional. Esta simulação é efetuada em regime estacionário, ao contrário do que ocorre no
modelo eletromagnético.
𝑉𝐼𝑛(𝑡) 𝐼𝐼𝑛(𝑡)
𝐼𝐼𝑛(𝑡) = 0
Programa eletromagnético por
elementos finitos 2D
(gerador síncrono de magnetos
permanentes)
Fim
Simulink
(conversor eletrónico + carga trifásica)
49
4.2. Condições a cumprir nos modelos eletromagnético e térmico
De modo garantir a longevidade o desempenho do gerador é necessário assegurar que este
opere dentro de alguns limites. Pretende-se no presente subcapítulo enumerar os
constrangimentos que garantem o bom funcionamento eletromagnét ico e térmico do gerado r,
que são elementos essenciais a ter em linha de conta no seu dimensionamento.
4.2.1. Modelo eletromagnético: constrangimentos
Nesta secção, abordam-se sete constrangimentos que asseguram o desempenho
eletromagnético do gerador. Os primeiros destes constrangimentos estão relacionados com a
densidade de fluxo magnético no material ferromagnét ico macio do induzido e indutor. Como
explicitado na secção 2.4.2, é conveniente que o valor destas grandezas esteja situado na
vizinhança do “joelho” da curva BH da Figura 6, 𝐵𝐽 , que no presente caso é aproximadament e
igual a 1,35 T. Esta condição permite, por um lado, que a onda de força eletromotriz não se
encontre deformada pela saturação magnética, e por outro, que a máquina não se encontre
sobredimensionada. Estes requisitos são expressos pelas equações (84) e (85), onde 𝐵𝐼𝑑𝑧 e 𝐵𝐼𝑑𝑡
são as densidades de fluxo magnético dos materiais ferromagnéticos macios do induzido e
indutor, respetivamente. Como referido na secção 3.3.2, para uma velocidade de rotação nominal
e para um valor de carga nominais, o cumprimento destas condições está relacionado com o
correto dimensionamento das variáveis geométricas do gerador, abordadas na Figura 15. Caso
estas condições não se verifiquem, a geometria terá de ser ajustada.
𝐵𝐼𝑑𝑧 ≤ 𝐵𝐽 (84)
𝐵𝐼𝑑𝑡 ≤ 𝐵𝐽 (85)
O próximo constrangimento está relacionado com o facto do espaço físico de uma cava ser
limitado, o que implica que o número de condutores por cava também o será. Assim sendo, deve
ser respeitada a condição (86) onde 𝑁𝑆 e 𝑁𝑃 são, respetivamente, o número de condutores em
série e o número de circuitos em paralelo numa cava, 𝑁𝑀𝑎𝑥 é o número máximo de condutores
por cava, 𝐴𝑟𝑒𝑎𝐶𝑜𝑛𝑑 é a secção transversal de um condutor, 𝐴𝑟𝑒𝑎𝑆𝑙𝑜𝑡 é a área da cava e 𝐾𝑐𝑢 é o
seu coeficiente de utilização. Este coeficiente está relacionado com o facto de os condutores não
conseguirem ocupar toda a área disponível na cava, uma vez que por um lado existe sempre
uma percentagem de ar entre eles e por outro necessita de ser alocado espaço ao seu isolament o
dielétrico. O parâmetro 𝐾𝑐𝑢 representa a proporção da área disponível na cava que é ocupada
pelos condutores de cobre. O seu valor típico varia entre 0,3 e 0,7 [41]; assumiu-se neste trabalho
o valor médio de 0,5.
50
𝑁𝑆 ∙ 𝑁𝑃 ≤𝐾𝑐𝑢 𝐴𝑟𝑒𝑎𝑆𝑙𝑜𝑡𝐴𝑟𝑒𝑎𝐶𝑜𝑛𝑑
= 𝑁𝑀𝑎𝑥 (86)
O terceiro constrangimento a ser verificado, consiste na limitação do valor máximo da tensão
aos terminais do gerador. Tal como mencionado na secção 3.1, pretende-se dimensionar um
gerador que apresente um valor máximo de tensão inferior a 1 kV; deste modo evita-se a
necessidade da colocação de filtros 𝑑𝑉/𝑑𝑡, isto é, filtros que evitem elevados aumentos da
amplitude da tensão num curto intervalo de tempo [32]. Esta condição pode ser expressa pela
inequação (87), onde 𝑉𝐺𝑒𝑟𝑀𝑎𝑥 é o valor máximo da tensão aos terminais do gerador. Caso esta
condição não se verifique, deve proceder-se à diminuição do valor do número de enrolament os
em série 𝑁𝑠.
𝑉𝐺𝑒𝑟𝑀𝑎𝑥 < 1 kV (87)
Deve também ser verificado que a potência ativa entregue à carga corresponda a 20 kW,
expressão (88). Uma vez que estamos na presença de uma carga inserida num sistema
sinusoidal equilibrado, e visto que esta foi dimensionada para operar com os valores de potênc ia
em questão, a presente condição garante também que o valor eficaz de tensão entregue à carga
corresponde a 230 V. Caso 𝑃𝐶 < 20 kW, deve diminuir-se a profundidade, 𝐷, do gerador; caso
𝑃𝐶 > 20 kW, deve proceder-se ao aumento de 𝐷.
𝑃𝐶 = 20 kW (88)
O seguinte constrangimento está relacionado com a conservação da capacidade de os
magnetos operarem sem ocorrênc ia de perdas irrevers íveis na sua capacidade de magnetizaç ão.
Como já foi referido na secção 2.4.1, a densidade de fluxo magnético nos magnetos, 𝐵𝑀𝑎𝑔 , deve
ser superior à densidade de fluxo magnético verificada no “joelho” (caso este joelho exista) da
sua curva de desmagnetização, ilustrada na Figura 5. Essa condição está expressa pela
inequação (89) para uma temperatura de 135℃. No caso da ocorrência de (89) deve procede r -
se à diminuição do número de condutores em série por cava, 𝑁𝑆.
𝐵𝑀𝑎𝑔 > 0,35 T (89)
O último constrangimento está relacionado com a forma de onda de tensão do gerador. Sabe-
se que o fluxo magnético é o resultado da interação da geometria do gerador com as forças
magnetomotrizes que, por sua vez, são produzidas pelos magnetos permanentes e pela corrente
que percorre os enrolamentos da máquina. Sabe-se também que a tensão aos terminais do
gerador é proporcional à derivada temporal do fluxo ligado com os condutores, (61), pelo que se
conclui que a tensão no gerador depende em parte da corrente que o percorre em carga. Por
51
outro lado, sabe-se também que a corrente que circula no gerador depende da tensão aos seus
terminais.
Não sendo necessário que a forma de onda da tensão aos terminais do gerador seja
sinusoidal, já que o conversor de potência e os seus filtros o garantem à carga, é necessári o
garantir que a corrente que circula no gerador não tenha uma influênc ia excessiva no seu fluxo
magnético, isto porque, devido à interdependênc ia das formas de onda de tensão e corrente,
este facto implicaria a modificação permanente destas mesmas formas de onda, resultando no
aparecimento de cada vez mais harmónicas de alta frequênc ia na sua constituição, como se pode
verificar na Figura 31. Considerou-se 200 Hz como máximo limite para alta frequência e 5 como
o número limite de harmónicas significantes no sinal, condição (90). Na análise espetral
associada à condição (90) foram apenas consideradas as componentes de maior influênc ia, isto
é, foram somente consideradas as harmónicas com amplitude pelo menos 5% superior à
componente fundamental. Caso a condição (90) não se verifique deve proceder-se à diminuição
do número de condutores em série por cava, 𝑁𝑆.
𝑁º𝐻𝑎𝑟𝑚𝑆𝑢𝑝200𝐻𝑧
< 5 (90)
Figura 31 - Onda de tensão com elevada distorção harmónica.
A Figura 32 apresenta a decomposição em harmónicas da onda de tensão representada na
Figura 31. Tendo em consideração que a máquina apresenta 8 pares de polos e que esta roda a
100 rpm , verifica-se após a aplicação de (1), que a harmónica fundamental da Figura 31
corresponde a 13,33 Hz e que a sua décima quinta harmónica corresponde a 200 Hz. Uma vez
que na Figura 32 existem 11 harmónicas com frequência superior a 200 Hz conclui-se que a
condição (90) não é cumprida para a onda de elevada distorção harmónica.
52
Figura 32 - Análise espetral da onda de tensão com elevada distorção harmónica.
Para reduzir a influência da corrente que circula no gerador na sua onda de tensão, reduz indo
o aparecimento de formas de ondas semelhantes à que se encontra na Figura 31, foi colocado o
filtro constituído pela bobina, 𝐿𝑓𝐼𝑛 , à saída do gerador, observável na Figura 28. Ainda que por
um lado, o aumento do valor deste filtro evite que a onda de corrente apresente amplitudes tão
elevadas, por outro, aumenta o valor de tensão no gerador, uma vez que, impõe uma queda de
tensão aos seus terminais. Este filtro foi dimensionado segundo (91), [38].
2 𝜋 𝑓 𝐿𝑓𝐼𝑛 = 0,03 𝑅𝑓𝑖𝑐 (91)
4.2.2. Modelo térmico: constrangimentos
Existem dois constrangimentos térmicos a respeitar. O primeiro está relacionado com a
manutenção da capacidade de magnetização por parte dos magnetos permanentes, mencionada
na secção 2.4.1, que refere que a temperatura dos magnetos, 𝑇𝑀𝑎𝑔 , deverá ser inferior à sua
temperatura máxima de operação. Esta condição pode ser expressa pela equação (92) onde foi
considerada uma margem de segurança de 15℃ em relação à temperatura máxima de operação
dos magnetos permanentes. Caso a condição (92) não se verifique, deve proceder-se ao
aumento do número de circuitos em paralelo por cava, 𝑁𝑃, de modo a diminuir as perdas nos
condutores. Este processo pode, contudo, conduzir ainda a um ajuste do número de condutores
em série, 𝑁𝑠, segundo a relação (86) que deve ser cumprida.
𝑇𝑀𝑎𝑔 < 135 ℃ (92)
O segundo constrangimento diz respeito à temperatura no isolamento dos condutores. Estes
apresentam um valor de temperatura máximo de operação, o qual também irá definir a classe
térmica do isolamento dielétrico do gerador. De modo a preservar o isolamento do condutor, é
53
então necessário ser verificada a condição (93), onde 𝑇𝐶𝑜𝑛𝑑 é a temperatura no isolamento dos
condutores. Caso esta condição não se verifique, deve proceder -se ao aumento do número de
circuitos em paralelo por cava, 𝑁𝑃, de modo a reduzir os valores de corrente.
𝑇𝐶𝑜𝑛𝑑 < 180 ℃ (93)
4.3. Algoritmo de otimização para o dimensionamento do gerador de magnetos permanentes
Neste capítulo explicitam-se as variáveis comuns e interdependentes no que diz respeito aos
modelos eletromagnético e térmico. Posteriormente desenvolve-se o algoritmo de otimização
com vista ao dimensionamento do gerador.
4.3.1. Interligação entre variáveis dos modelos eletromagnético e térmico
Figura 33 - Esquema de interligação entre variáveis dos modelos eletromagnético e térmico.
Devido à elevada diferença entre os valores das constantes de tempo térmicas e
eletromagnéticas, é possível realizar as simulações destes modelos separadamente. Pelo que à
partida se poderia supor, que o dimensionamento do gerador será realizado, numa primeira fase
simulando o modelo eletromagnético as vezes necessárias até que este cumpra todos os
constrangimentos eletromagnét icos pretendidos e, numa segunda fase, simulando o modelo
𝑇𝐶𝑜𝑛𝑑
Modelo
Eletromagnético
𝐷
𝑁𝑆
𝑁𝑃
𝐵𝑟
𝜌𝑐𝑢
Verificação das
condições:
(84) 𝑎 (90)
𝐷
𝑃𝐼𝑑𝑡
𝑃𝐼𝑑𝑧
𝑃𝑀𝑎𝑔
𝑃𝑐𝑢
Modelo Térmico
Verificação das
condições:
(92) 𝑒 (93)
𝑇𝑀𝑎𝑔
54
térmico, ajustando os parâmetros térmicos separadamente. Constata-se porém que este
processo não é viável, uma vez que, por um lado, estes modelos dependem de variáveis comuns,
por outro, para se assegurar o cumprimento dos diferentes constrangimentos necessários para
um determinado modelo, terá de se atuar em variáveis que afetarão o outro.
Assim, considerando uma geometria bidimensional, a velocidade de rotação do gerado r
constante e também constantes as características dos materiais, os parâmetros a ajustar em
cada modelo de modo a que estes cumpram os requisitos necessários, estão indicados na Figura
33. Nesta figura, 𝑃𝑐𝑢 e 𝑃𝑀𝑎𝑔 representam as potências de perdas nos condutores de cobre e nos
magnetos respetivamente, 𝑃𝐼𝑑𝑧 e 𝑃𝐼𝑑𝑡 representam as perdas nos materiais ferromagnét i cos
macios do induzido e indutor. As setas que entram num modelo representam os parâmetros de
entrada e as que saem deste representam as variáveis de saída. Por outro lado, as setas que
interligam parâmetros representam a interdependênc ia destas variáveis. Verifica-se que o
parâmetro comum aos dois modelos é a profundidade do gerador, 𝐷. Constata-se também que,
por um lado, é necessário saber a temperatura dos magnetos, 𝑇𝑀𝑎𝑔 , para se determinar a
densidade de fluxo magnético residual por estes produzida, 𝐵𝑟, e por outro, é necessário saber
a temperatura nos condutores, 𝑇𝐶𝑜𝑛𝑑 , de modo a determinar o valor da sua resistividade, 𝜌𝑐𝑢 , que
possibilita a determinação da sua resistência e, consequentemente, das perdas produzidas por
este elemento.
Figura 34 - Esquema de interligação entre as variáveis dos modelos eletromagnético e térmico após fixação da temperatura dos magnetos permanentes e dos condutores de cobre .
Modelo
Eletromagnético
𝐷
𝑁𝑆
𝑁𝑃
Verificação das
condições:
(84) 𝑎 (90)
𝐷
𝑃𝐼𝑑𝑡
𝑃𝐼𝑑𝑧
𝑃𝑀𝑎𝑔
𝑃𝑐𝑢
Modelo Térmico
Verificação das
condições:
(92) 𝑒 (93)
55
Contudo, verifica-se ser possível efetuar algumas simplificações relativamente ao esquema
da Figura 33. Sabe-se, que a temperatura nos magnetos não deve ultrapassar a sua temperatu ra
máxima de operação, uma vez que, uma temperatura superior viola o requisito (92) e uma
temperatura muito inferior indicia que a máquina se encontra sobredimens ionada. Com este
conhecimento, é possível fixar o parâmetro 𝐵𝑟 assumindo que a sua temperatura nos magnetos
corresponde a 135℃ . Recorrendo ao conhecimento retirado de simulações previam ent e
realizadas sabe-se também que a temperatura nos condutores deve rondar os 155℃ . Assim
sendo, é possível fixar também o parâmetro 𝜌𝑐𝑢 . Após estas simplificações obtém-se um novo
esquema ilustrado pela Figura 34. É de notar que embora seja expectável que as temperatu ras
dos magnetos permanentes e dos condutores de cobre se aproximem dos 135℃ e dos 155℃
respetivamente, no caso da ocorrência de temperaturas inferiores os valores de 𝐵𝑟 e 𝜌𝑐𝑢 não
apresentam uma variação significativa como se pode ver pelos gráficos apresentados no Anexo
II. É ainda de mencionar que o programa por elementos finitos faz uso da densidade de fluxo
magnético residual nos magnetos permanentes, assumindo também que a sua permeabil i dade
magnética se mantém constante e igual a 4,2 𝜋×10−7H/m.
4.3.2. Algoritmo de otimização
Devido ao facto da simulação do gerador exigir diferentes programas, e dos modelos
eletromagnético e térmico necessitarem de ser simulados de modo acoplado, decidiu-se utilizar
um programa por elementos finitos que permite a sua utilização através do software MATLAB,
que, por sua vez, também se interliga ao programa simulink. O uso integrado das três platafo rm as
é possível através da parametrização do programa por elementos finitos utilizando uma
linguagem própria baseada em Java, [42].
Assim sendo e tendo em consideração os requisitos a cumprir, desenvolveu-se o algoritmo
de dimensionamento do gerador cujo fluxograma está representado na Figura 35. Este algoritm o,
começa com a inicialização de algumas variáveis. Seguidamente, é simulado o modelo
eletromagnético da Figura 30, seguido da verificação dos constrangimentos: (86) a (90). No caso
do seu incumprimento, é alterado o valor do número de enrolam entos em série, 𝑁𝑆. Caso
contrário procede-se à verificação da potência ativa na carga, ajustando o valor da profundi dade
do gerador, 𝐷, até que esta potência se encontre dentro do intervalo desejado. Este processo de
simulação do modelo eletromagnético em conjunto com a variação da profundidade do gerado r
é repetido para diferentes valores de 𝑁𝑆 até que se obtenha o mínimo valor deste parâmetro que
cumpra os constrangimentos (86) a (90).
56
Sim
Sim
Não
Sim
Não Não
Sim
Sim
Não
Início
𝐷 = 0,5 m; 𝑁𝑃 = 1; 𝑁𝑆𝑢𝑝 = 𝑁𝑀𝑎𝑥; 𝑁𝐼𝑛𝑓 = 1; 𝑁𝑆 = 𝑁𝑀𝑎𝑥
𝐷𝑆𝑢𝑝 = 0 m; 𝐷𝐼𝑛𝑓 = 0 m; 𝜖𝐷 = 0,1 m; 𝜖𝑃 = 100 W;
Variáveis geométricas
𝑁𝑆𝑢𝑝 = 𝑁𝑆; 𝐷𝑆𝑢𝑝 = 0; 𝐷𝐼𝑛𝑓 = 0;
𝑁𝑠 = 𝑓𝑙𝑜𝑜𝑟(𝑁𝑆𝑢𝑝 + 𝑁𝐼𝑛𝑓)/2
𝑃𝐶 < 20 𝐾𝑊 𝑃𝐶 > 20 𝐾𝑊 + 𝜖𝑃
Modelo Eletromagnético
ห𝑁𝑆𝑢𝑝 − 𝑁𝐼𝑛𝑓ห > 1
[(𝑃𝐶 ≤ 20 𝐾𝑊 + 𝜖𝑃 ) 𝑒
(𝑉𝐺𝑒𝑟𝑀𝑎𝑥 > 1 𝐾𝑉 𝑜𝑢
𝑜𝑢 𝑁º𝐻𝑎𝑟𝑚𝑆𝑢𝑝200𝐻𝑧> 5 𝑜𝑢
𝐵𝑀𝑎𝑔 < 0,35 𝑇]
𝐷𝐼𝑛𝑓 = 𝐷
𝐷𝑆𝑢𝑝 = 0 𝐷𝐼𝑛𝑓 = 0 𝐷 = (𝐷𝑆𝑢𝑝 + 𝐷𝐼𝑛𝑓 )/2
𝐷𝑆𝑢𝑝 = 𝐷
𝐷 = 𝐷 + 𝜖𝐷 𝐷 = 𝐷 − 𝜖𝐷
57
Figura 35 - Fluxograma representativo do algoritmo de simulação do gerador de magnetos permanentes.
Não
Sim
Não
Sim
Sim
Não
𝑃𝐶 ≥ 20 𝐾𝑊 𝑒
𝑃𝐶 ≤ 20 𝐾𝑊 + 𝜖𝑃
𝑁𝑈𝑠𝑜 = 𝑁𝑆; 𝑁𝐼𝑛𝑓 = 𝑁𝑆;𝐷𝑆𝑢𝑝 = 0;
𝑁𝑆 =𝑓𝑙𝑜𝑜𝑟 (𝑁𝑆𝑢𝑝 + 𝑁𝐼𝑛𝑓)
2;𝐷𝐼𝑛𝑓 = 0;
𝑇𝑀𝑎𝑔 = 200 ℃; 𝑇𝑐𝑢 = 200 ℃; 𝑁𝑆 = 𝑁𝑈𝑠𝑜
𝑇𝑀𝑎𝑔𝑈𝑠𝑜 = 0; 𝑇𝐶𝑜𝑛𝑑𝑈𝑠𝑜 = 0; 𝑁𝑃 = 𝑓𝑙𝑜𝑜𝑟(𝑁𝑀𝑎𝑥/𝑁𝑆)
Modelo Eletromagnético
Modelo Térmico
𝑇𝑀𝑎𝑔 > 135℃ 𝑜𝑢
𝑇𝐶𝑜𝑛𝑑𝑈𝑠𝑜 > 180 ℃
𝑇𝑀𝑎𝑔𝑈𝑠𝑜 = 𝑇𝑀𝑎𝑔 ; 𝑇𝐶𝑜𝑛𝑑𝑈𝑠𝑜 = 𝑇𝐶𝑜𝑛𝑑
𝑁𝑃𝑈𝑠𝑜 = 𝑁𝑃 ; 𝑁𝑃 = 𝑁𝑃 − 1;
𝑇𝑀𝑎𝑔𝑈𝑠𝑜 = 0 𝑜𝑢
𝑇𝐶𝑜𝑛𝑑𝑈𝑠𝑜 = 0
𝑁𝑆 = 𝑁𝑆 − 1;
𝑁𝑆𝑢𝑝 = 𝑁𝑆 + 1
𝑁𝐼𝑛𝑓 = 𝑁𝑆 − 2
𝐷𝑆𝑢𝑝 = 0; 𝐷𝐼𝑛𝑓 = 0;
𝑇𝑀𝑎𝑔 = 𝑇𝑀𝑎𝑔𝑈𝑠𝑜; 𝑇𝐶𝑜𝑛𝑑 = 𝑇𝐶𝑜𝑛𝑑𝑈𝑠𝑜
𝑁𝑃 = 𝑁𝑃𝑈𝑠𝑜 ;
Fim
Sim
𝐵𝐼𝑑𝑧 ≤ 𝐵𝐽 𝑒
𝐵𝐼𝑑𝑡 ≤ 𝐵𝐽 Geometria válida
Geometria inválida
58
Subsequentemente, procede-se ao cálculo do número máximo admissível de circuitos em
paralelo, 𝑁𝑃, isto é, ao valor que cumpre a condição (86). Posteriormente é simulado o modelo
térmico, o qual fornece o valor das perdas ao modelo eletromagnético. Em seguida são
analisadas as condições térmicas. Caso as condições (92) e (93) sejam cumpridas é diminuída
consecutivamente a variável 𝑁𝑃 até se obter o mínimo valor desta variável que cumpra os
correspondentes requisitos. Caso contrário é aumentado o valor de 𝑁𝑃 o que implica uma
diminuição de 𝑁𝑆, segundo (86). Com este objetivo e já com o novo valor de 𝑁𝑆, é novam ent e
simulado o modelo eletromagnético alterando o valor da profundidade do gerador até que a
potência na carga esteja dentro do intervalo desejado. No momento em que se atinja o valor
desta potência, é de novo retomado o ciclo de procedimentos do início deste parágrafo até que
as condições eletromagnétic as e térmicas sejam cumpridas. Por último verificam-se as condições
(84), 𝐵𝐼𝑑𝑧 ≤ 𝐵𝐽 e (85), 𝐵𝐼𝑑𝑡 ≤ 𝐵𝐽 . No caso do seu cumprimento considera-se que a geometria é
válida. Caso contrário deve proceder-se à alteração da geometria do gerador.
O método utilizado para ajustar a profundidade do gerador e o número de enrolamentos em
série encontra-se descrito em mais detalhe no presente parágrafo. Tome-se como exemplo o
ajuste da profundidade do gerador. Verifica-se que esta variável começa por tomar um valor
incial arbitrário, o qual é usado na simulação inicial do modelo eletromagnético. Caso após esta
simulação a potência na carga apresente um valor superior ao desejado, o parâmetro 𝐷 é
considerado como o limite superior que esta variável pode tomar, 𝐷 = 𝐷𝑆𝑢𝑝 . De seguida diminui -
se o valor da profundidade do gerador até que se obtenha uma potência na carga inferior à
desejada, 𝐷 = 𝐷 − 𝜖𝐷 , momento em que se alcança o limite inferior que 𝐷 pode tomar, 𝐷 = 𝐷𝐼𝑛𝑓 .
Caso na simulação inicial se verifique que a potência na carga é inferior ao desejado são
aplicados os procedimentos inversos, isto é, determinando-se o limite inferior de 𝐷, 𝐷 = 𝐷𝐼𝑛𝑓 ,
seguido do aumento do valor desta variável, 𝐷 = 𝐷 +𝜖𝐷 , até que se verifique o valor de potênc ia
na carga superior ao desejado, obtendo-se assim o limite superior de 𝐷, 𝐷 = 𝐷𝑆𝑢𝑝 . Posteriorm ente
é simulado o modelo eletromagnético utilizando um valor de profundidade do gerado r
correspondente à média dos seus limites inferior e superior, que por sua vez são atualizad os no
fim de cada simulação. Quando se verificar que a potência na carga está dentro do interval o
desejado cessa-se o atual conjunto de procedimentos. Este mesmo método é aplicado com o
número de enrolamentos em série, com a nuance das variáveis 𝐷, 𝐷𝑆𝑢𝑝 e 𝐷𝐼𝑛𝑓 , serem substituídas
por 𝑁𝑆 , 𝑁𝑆𝑢𝑝 e 𝑁𝐼𝑛𝑓.
A função “𝑓𝑙𝑜𝑜𝑟 ”, presente no fluxograma da Figura 35, providencia o número inteiro
arredondado por defeito do valor que lhe for fornecido. As variáveis com o índice “Uso”: 𝑁𝑈𝑠𝑜,
𝑁𝑃𝑈𝑠𝑜, 𝑇𝑀𝑎𝑔𝑈𝑠𝑜 e 𝑇𝐶𝑜𝑛𝑑𝑈𝑠𝑜 , são variáveis auxiliares utilizadas pelo programa e que guardam o valor
do parâmetro em causa.
As variáveis geométricas referidas no fluxograma da Figura 30 são as variáveis que
sintetizam a geometria do gerador.
59
5. Resultados do estudo do gerador de magnetos permanentes
Neste capítulo abordam-se os resultados do estudo do gerador de magnetos permanent es
segundo os modelos e o processo de otimização apresentados no capítulo anterior. Começar -
se-á por definir as geometrias a simular. Seguidamente, será selecionada a geometria do gerado r
que apresente a ponderação entre a menor massa, menor volume e menor custo dos materiais .
Posteriormente, efetuar-se-á uma análise do gerador em vazio e em carga, tanto em termos
eletromagnéticos quanto em termos térmicos. Ainda nesta secção procede-se ao estudo da
operação do gerador sem uma das fases da carga, regime desequilibrado. Por último, estimar-
se-á o tempo de vida do gerador na sua condição nominal de operação.
5.1. Geometrias do gerador a analisar
De modo a assegurar que se obtém um gerador com reduzido volume, massa e custo
pretende-se analisar várias geometrias, procedimento este que permite a seleção daquela que
apresente características mais vantajosas em termos de reduzido volume, massa e custo dos
materiais. Estas geometrias incluem dois valores de pares de polos distintos, opção que por um
lado, permite a seleção do número de pares de polos que se comprove mais vantajoso, e por
outro, permite a validação dos resultados devido ao seu mais elevado número.
5.1.1. Variáveis geométricas
Optou-se por simular geometrias semelhantes à ilustrada na Figura 15 repetida na Figura 37.
No entanto, decidiu-se simular geometrias com diferentes peças polares do induzido de modo a
averiguar a que apresenta melhores resultados segundo os critérios referidos no parágra fo
anterior. As variáveis geométricas mencionadas no fluxograma da Figura 30 são as variáveis que
sintetizam o conjunto de geometria: ℎ𝐼𝑑𝑡, ℎ𝑀𝑃 , ℎ𝐸𝐹 , ℎ𝐼𝑑𝑧 , ℎ𝑉𝑒𝑖𝑜 , 𝛼𝑀𝑎𝑔 , 𝛼𝐼𝑑𝑧 e 𝑝𝑃𝑜𝑙𝑎𝑟 , e à exceção da
última, encontram-se ilustradas na Figura 36. O parâmetro 𝑝𝑃𝑜𝑙𝑎𝑟 toma o valor 0 quando a peça
polar tem o formato ilustrado pela Figura 37, e toma o valor de 1 quando esta tem o formato
ilustrado pela Figura 36.
No que diz respeito à atribuição de valores a estas variáveis, constata-se que nem todas
devem ser alteradas na formação de novas geometrias . A variável ℎ𝑉𝑒𝑖𝑜 foi dimensionada para a
potência e velocidade nominais segundo a equação (3), pelo que se conclui que esta deve tomar
sempre o mesmo valor, ou seja, 35 mm. Como já foi mencionado na secção 3.3.2, as variáveis
ℎ𝐼𝑑𝑡 e ℎ𝑀𝑃 devem ser dimensionadas de modo a que densidade de fluxo magnético nos materiais
ferromagnét icos macios do indutor e induzido, respetivamente, se aproximem do valor verifi cado
no “joelho” da curva BH deste material, que no caso, corresponde a 1,35 T. A última destas
variáveis não propícia a alterações é ℎ𝐸𝐹 , que como já foi referido foi fixada em 1 mm, um valor
60
reduzido uma vez que este parâmetro é necessário mecanicamente para a rotação da máquina,
contudo apenas tem efeitos nefastos na análise eletromagnética.
Figura 36 - Principais variáveis que representam a geometria do gerador, PPolar=1.
Figura 37 - Principais variáveis que representam a geometria do gerador, PPolar=0.
ℎ𝑉𝑒𝑖𝑜
ℎ𝑀𝑃
ℎ𝐸𝐹
ℎ𝐼𝑑𝑧
ℎ𝐼𝑑𝑡
𝛼𝑀𝑎𝑔 𝛼𝐼𝑑𝑧
ℎ𝑉𝑒𝑖𝑜
ℎ𝑀𝑃
ℎ𝐸𝐹
ℎ𝐼𝑑𝑧
ℎ𝐼𝑑𝑡
𝛼𝑀𝑎𝑔 𝛼𝐼𝑑𝑧
61
Tabela 7 - Variáveis geométricas das geometrias simuladas com 10 pares de polos.
Geometria 𝒉𝑰𝒅𝒛 [𝐦𝐦] 𝒉𝑴𝑷 [𝐦𝐦] 𝒉𝑰𝒅𝒕 [𝐦𝐦] 𝜶𝑰𝒅𝒛 [°] 𝜶𝑴𝒂𝒈 [°] 𝑷𝒑𝒐𝒍𝒂𝒓 𝒑
𝟏 196 60 13 5,7 5,7 0 10
𝟐 201 56 12 5,7 5,7 1 10
𝟑 250 4 15 5,7 10,8 0 10
𝟒 252 2 15 5,7 10,8 1 10
𝟓 196 56 17 8,1 8,1 0 10
𝟔 200 52 17 8,1 8,1 1 10
𝟕 243 7 19 8,1 10,8 0 10
𝟖 243 6 20 8,1 10,8 1 10
𝟗 149 38 12 5,7 5,7 0 10
𝟏𝟎 127 60 12 5,7 5,7 1 10
𝟏𝟏 184 4 11 5,7 10,8 0 10
𝟏𝟐 186 2 11 5,7 10,8 1 10
𝟏𝟑 152 34 13 8,1 8,1 0 10
𝟏𝟒 145 42 12 8,1 8,1 1 10
𝟏𝟓 178 7 14 8,1 10,8 0 10
𝟏𝟔 180 5 14 8,1 10,8 1 10
Conclui-se então que as variáveis geométricas a alterar são: ℎ𝐼𝑑𝑧 , 𝛼𝑀𝑎𝑔, 𝛼𝐼𝑑𝑧 e 𝑃𝑝𝑜𝑙𝑎𝑟 . Decidiu-
se atribuir dois valores a cada uma destas variáveis de modo a inferir o efeito destes parâmet ros
na análise eletromagnética e térmica do gerador por elas constituído.
Ao parâmetro 𝑃𝑝𝑜𝑙𝑎𝑟 , foram atribuídos os valores, 1 e 0. À variável 𝛼𝐼𝑑𝑧 foram atribuídos dois
valores angulares em função do ângulo máximo possível que esta variável pode ocupar, ou seja,
𝜋
𝑝 rad . O primeiro destes valores é 0,32
𝜋
𝑝 𝑟𝑎𝑑 e o segundo 0,455
𝜋
𝑝 𝑟𝑎𝑑 . Ao atribuir valores à
variável 𝛼𝐼𝑑𝑧 em função do número de pares de polos garante-se que, embora os valores desta
variável sejam distintos em ângulo, são iguais em proporção para diferentes pares de polos. Os
valores atribuídos a 𝛼𝐼𝑑𝑧 têm um elevado impacto no dimensionamento do gerador uma vez que,
por um lado, um reduzido valor viabiliza o emprego de um número mais elevado de condutores,
tanto em série como em paralelo. Por outro, um elevado valor de 𝛼𝐼𝑑𝑧 permite a obtenção de um
maior valor de fluxo por espira.
No que diz respeito à variável 𝛼𝑀𝑎𝑔 , foram-lhe também atribuídos dois valores de base em
função do número de pares de polos 0,32𝜋
𝑝 𝑟𝑎𝑑 e 0,6
𝜋
𝑝 𝑟𝑎𝑑. No entanto, nas situações onde se
verificar que 𝛼𝐼𝑑𝑧 é superior a 𝛼𝑀𝑎𝑔 , alterar-se-á o valor desta variável para um terceiro valor, de
modo a garantir que o ângulo do magneto seja igual ou superior ao ângulo do induzido, isto é,
62
se 𝛼𝐼𝑑𝑧 > 𝛼𝑀𝑃 então 𝛼𝑀𝑃 = 𝛼𝐼𝑑𝑧. Com esta alteração garante-se a obtenção de resultados mais
satisfatórios. Por fim, refere-se que a variável ℎ𝐼𝑑𝑧 foi parametrizada de modo a que o diâmetro
da geometria bidimensional da máquina correspondesse a 0,54 m e 0,4 m, possibilitando a
simulação de máquinas com o mesmo diâmetro.
Conclui-se então que se está na presença de quatro variáveis passíveis de se alterar, ℎ𝐼𝑑𝑧 ,
𝛼𝐼𝑑𝑧 , 𝛼𝑀𝑎𝑔 e 𝑃𝑃𝑜𝑙𝑎𝑟 , e que a cada uma delas lhe foi atribuído dois valores distintos. Por
conseguinte, conclui-se que o número de geometrias a simular é obtido através da combinação
destas quatro variáveis, resultando em 16 geometrias por par de polos, ou, 32 geometrias totais .
Os pares de polos selecionados foram 10 e 8.
A Tabela 7 apresenta as variáveis geométricas que constituem as geometrias com 10 pares
de polos ao passo que a Tabela 8 apresenta as geometrias com 8 pares de polos. De modo a
facilitar a nomenclatura de cada geometria optou-se por lhe atribuir um número representat i vo.
As geometrias simuladas com 10 pares de polos foram então numeradas de 1 a 16, ao passo
que, as geometrias constituídas por 8 pares de polos foram numeradas de 17 a 32.
Tabela 8 - Variáveis geométricas das geometrias simuladas com 8 pares de polos.
Geometria 𝒉𝑰𝒅𝒛 [𝐦𝐦] 𝒉𝑴𝑷 [𝐦𝐦] 𝒉𝑰𝒅𝒕 [𝐦𝐦] 𝜶𝑰𝒅𝒛 [°] 𝜶𝑴𝒂𝒈 [°] 𝑷𝒑𝒐𝒍𝒂𝒓 𝒑
𝟏𝟕 195 58 16 7,2 7,2 0 8
𝟏𝟖 210 43 16 7,2 7,2 1 8
𝟏𝟗 247 4 18 7,2 13,5 0 8
𝟐𝟎 248 3 18 7,2 13,5 1 8
𝟐𝟏 200 49 20 10,2 10,2 0 8
𝟐𝟐 208 41 20 10,2 10,2 1 8
𝟐𝟑 239 7 23 10,2 13,5 0 8
𝟐𝟒 241 5 23 10,2 13,5 1 8
𝟐𝟓 127 60 12 7,2 7,2 0 8
𝟐𝟔 152 35 12 7,2 7,2 1 8
𝟐𝟕 181 4 14 7,2 13,5 0 8
𝟐𝟖 184 2 13 7,2 13,5 1 8
𝟐𝟗 137 47 15 10,2 10,2 0 8
𝟑𝟎 150 34 15 10,2 10,2 1 8
𝟑𝟏 175 6 18 10,2 13,5 0 8
𝟑𝟐 177 5 17 10,2 13,5 1 8
As característ icas mais importantes resultantes da simulação da cada uma destas geometri as
encontram-se expressas no Anexo III.
63
5.1.2. Geometria selecionada para o gerador síncrono de magnetos permanentes
As geometrias descritas na secção anterior foram simuladas de acordo com o algoritmo da
Figura 35. Como já foi mencionado os critérios de seleção da geometria do gerador são o volum e,
massa e custo dos principais materiais constituintes do gerador.
A Figura 38 ilustra o custo dos materiais constituintes dos magnetos permanentes, veio,
condutores de cobre e material ferromagnético macio do induzido. Após a análise desta figura
conclui-se que a geometria com menor custo, é a geometria 8, perfazendo aproximadam ent e
5100 €. Esta geometria apresenta também o menor volume de entre as 32 simuladas, como é
visível pela Figura 39, apresentando um volume de 0,11 m3. Todavia a geometria com menor
massa é a geometria 18 com 740 kg.
Figura 38 - Custo dos materiais constituintes dos magnetos permanentes, veio, condutores de cobre e material ferromagnético macio para cada geometria do gerador.
Figura 39 - Volume de cada geometria do gerador.
64
Figura 40 - Massa de cada geometria do gerador.
A geometria 18 apresenta uma menor massa e um maior volume que a geometria 8 uma vez
que esta última apresenta na sua constituição uma maior percentagem de materiais com menor
densidade mássica e maior preço específico, nomeadamente, condutores de cobre e magnetos
permanentes. Selecionou-se a geometria número 8 como a mais indicada para a construção do
gerador, visto que, esta é 118% mais barata que a número 18, sendo apenas 1% mais pesada.
Os valores das variáveis que sintetizam a geometria escolhida com 10 pares de polos encontram -
se expressos na Tabela 9. A Figura 41 apresenta um aspeto final do gerador, visualizando-se os
magnetos e a sua distribuição, o eixo de suporte ao gerador, além do induzido e do indutor.
Figura 41 - Geometria do gerador de magnetos permanentes selecionada.
65
Tabela 9 - Valor das variáveis geométricas que constituem a geometria selecionada do gerador de magnetos permanentes.
𝒉𝑰𝒅𝒛 [𝐦𝐦] 𝒉𝑴𝑷 [𝐦𝐦] 𝒉𝑰𝒅𝒕 [𝐦𝐦] 𝜶𝑰𝒅𝒛 [°] 𝜶𝑴𝒂𝒈 [°] 𝒑𝑷𝒐𝒍𝒂𝒓 𝑫 [𝐦𝐦] 𝒑
243 6 20 8,1 10,8 1 480 10
5.2. Funcionamento em vazio
Após a determinação da geometria a utilizar, procede-se ao estudo do comportamento do
gerador a operar em vazio. A primeira grandeza a analisar é a distribuição da densidade de fluxo
magnético no gerador. Esta distribuição encontra -se ilustrada na Figura 42 para uma posição
angular, onde a escala colorida representa a intensidade da densidade de fluxo magnético e as
linhas pretas representam as linhas de potencial magnético. Nesta figura, o campo magnét ico é
apenas criado pelos magnetos permanentes, uma vez que na análise em vazio não existem
correntes a circular nos condutores do gerador. Da análise da Figura 42, é ainda possível
observar que as condições (84) e (85), ou seja 𝐵𝐼𝑑𝑡 ≤ 𝐵𝐽 e 𝐵𝐼𝑑𝑧 ≤ 𝐵𝐽 são cumpridas. Por último,
destaca-se o facto da existência de uma zona do material ferromagnét ico do induzido onde a
densidade de fluxo magnético é reduzida, isto é, inferior a 0,6 T, pelo que se conclui que esta
área não é aproveitada magneticamente. Contudo, este facto é uma inevitabilidade do
cumprimento da condição (84).
Figura 42 - Distribuição da densidade de fluxo magnético no gerador de magnetos permanentes .
X [m]
]
B [T] Y [m]
66
A Figura 43 ilustra a forma de onda da densidade de fluxo magnético no material
ferromagnét ico do induzido e apresenta uma forma de onda sinusoidal. Esta grandeza tem
especial importânc ia, uma vez que representa a densidade de fluxo magnético irá estabelecer o
fluxo magnético ligado com os condutores, estando fortemente relacionada com a tensão
induzida neste componente. Como é visível pela Figura 44 a densidade de fluxo magnético no
material ferromagnético do induzido em vazio é constituída por uma onda sinusoidal pura.
Figura 43 - Densidade de fluxo magnético no material ferromagnético do induzido em vazio.
Figura 44 - Análise espetral da densidade de fluxo magnético no material ferromagnético do induzido em vazio.
A Figura 45 representa o sistema elétrico em estudo na presente dissertação e que foi
abordado com maior detalhe no capítulo 4. Esta figura expõe a localização das formas de onda
elétricas que serão apresentadas no presente capítulo.
No que diz respeito à forma de onda de tensão total obtida aos terminais do gerador, ilust rada
na Figura 46, é possível verificar que estamos também na presença de uma onda sinusoidal
pura, conclusão também suportada pela sua análise espetral representada na Figura 47. Tanto
a tensão como a densidade de fluxo magnético apresentam um período de 0,06 𝑠 e uma
67
frequência de 50
3 Hz, que pode ser arredondada a 16,7 Hz. Estes valores são calculados através
da expressão (1) para uma velocidade de 100 rpm e 10 pares de polos.
Figura 45 - Sistema elétrico isolado com representação das grandezas elétricas em análise no presente capítulo.
Figura 46 - Tensão total induzida aos terminais do gerador em vazio.
No que concerne à análise térmica do gerador, o primeiro passo consiste na identificação
das suas fontes de calor. Posto que se está a analisar o seu comportamento em vazio, conclui -
se que as perdas nos concutores são nulas, consequência da não existência de correntes a
circular neste material. Quanto às perdas verificadas no material ferromagnético macio ,
relembra-se que estas são proporc ionais à intensidade e frequência da densidade de fluxo
magnético verificada neste componente, (5). Devido ao facto de a onda sinusoidal da densidade
de fluxo magnético apresentar uma frequência reduzida, Figura 43 , verifica-se que as perdas
neste material são desprezáveis. No que diz respeito às perdas nos magnetos permanent es,
𝑉𝐼𝑛 𝐺𝑀𝑃
𝐼𝐼𝑛
𝐼𝐿𝑜𝑎𝑑𝐴
𝐼𝐿𝑜𝑎𝑑𝐵
𝐼𝐿𝑜𝑎𝑑𝐶
𝑉𝐿𝑜𝑎𝑑𝐶 𝑉𝐿𝑜𝑎𝑑𝐵 𝑉𝐿𝑜𝑎𝑑𝐴
𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎
𝐹𝑖𝑙𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑆𝑎𝑖𝑑𝑎
𝐹𝑖𝑙𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎
68
verifica-se que estas perfazem 74 W, um valor reduzido para a dimensão do gerador. Conclui-s e
deste modo, que não existe nenhuma limitação térmica em vazio.
Figura 47 - Análise espetral da tensão total induzida aos terminais do gerador em vazio.
Figura 48 - Densidade de fluxo magnético nos magnetos permanentes em vazio.
5.3. Funcionamento em carga
A análise em carga do gerador divide-se em dois grandes grupos: eletromagnética e térmic a.
Neste subcapítulo ir-se-ão examinar as características mais importantes destas análises na
situação em que o gerador funciona no modo nominal de operação.
5.3.1. Análise eletromagnética em carga do gerador de magnetos permanentes
À semelhança do que foi realizado no subcapítulo anterior, começa-se a presente análise
pela determinação da densidade de fluxo magnético no material ferromagnético macio do
induzido. Na Figura 49 estão ilustradas estas grandezas para os modos de operação do gerado r
em vazio e em carga. Verifica-se que a densidade de fluxo magnético é agora afetada pelo campo
produzido pelas correntes que circulam nos condutores. O sentido das correntes resulta, segundo
a lei de Lenz, da força eletromotriz induzida aos terminais do gerador que terá o sentido tal de
forma a manter o fluxo magnético constante. Consequentemente, a sua criação está assoc iada
69
a um valor de densidade de fluxo magnético com sentido inverso à criada pelos magnetos, pelo
que se constata que 𝐵 em carga tem menor amplitude que a congénere em vazio. Após a análise
espectral desta forma de onda em carga, Figura 50, verifica-se que ao contrário da grandeza em
vazio, em carga 𝐵𝐼𝑑𝑧 apresenta duas harmónicas na sua constituição, a fundamental e uma de
terceira ordem com uma frequênc ia de 50 Hz e com uma magnitude correspondente a 16% em
relação à fundamental .
Figura 49 - Densidades de fluxo magnético no material ferromagnético do induzido em vazio e em carga.
Figura 50 - Análise espetral da densidade de fluxo magnético no material ferromagnético do induzido em carga.
Na Figura 51 encontra-se ilustrada a forma de onda de tensão aos terminais do gerado r
quando este se encontra no seu modo nominal de operação. Uma vez que a onda de densidade
de fluxo magnético nos condutores não é sinusoidal, Figura 49, a onda de tensão também não o
será, Figura 52. No entanto, já foi referido que este requisito apenas é exigido às ondas de tensão
e corrente fornecidas à carga. A forma de onda ilustrada na Figura 51 apresenta um valor máximo
de 967 V, pelo que se confirma que o constrangimento (87), 𝑉𝐺𝑒 𝑟𝑀𝑎𝑥 < 1 kV, é cumprido.
70
Figura 51 - Tensão aos terminais do gerador.
Figura 52 - Decomposição em harmónicas da tensão aos terminais do gerador.
Figura 53 - Corrente que circula nos enrolamentos do gerador.
Quanto à forma de onda da corrente que circula nos enrolamentos do gerador, verifica -s e
que esta apresenta o andamento ilustrado na Figura 53. A sua amplitude corresponde a 109 A,
71
no entanto, devido ao facto do gerador apresentar 17 condutores em paralelo por cava, a
amplitude máxima da corrente por condutor no interior do gerador será de 6,4 A. A Figura 54
expressa as principais harmónicas constituintes desta onda de corrente, as quais serão
importantes no dimensionamento térmico da máquina.
Figura 54 - Decomposição em harmónicas da corrente que circula nos enrolamentos do gerador.
No que diz respeito às formas de onda de tensão na carga pode verificar -se, pela análise da
Figura 55, que estas formam um sistema alternado e equilibrado, apresentando um valor eficaz
de 230 V a uma frequênc ia de 50 Hz. A Figura 56 apresenta a análise espetral da forma de onda
de uma tensão na carga. Analisando esta figura repara-se que embora esta forma de onda não
seja puramente sinusoidal devido à presença de uma harmónica de sétima ordem, o seu efeito
pode ser negligenciado uma vez que esta apresenta uma amplitude inferior a 2%
comparativamente com a harmónica fundamental.
Figura 55 - Tensão na carga na condição de funcionamento nominal do gerador.
As ondas de corrente na carga apresentam um andamento sinusoidal, Figura 57. O seu valor
eficaz corresponde a 34 A e a sua frequência corresponde também a 50 Hz.
72
Figura 56 - Análise espetral da tensão na carga na condição de funcionamento nominal do gerador.
Figura 57 - Corrente na carga na condição de funcionamento nominal do gerador.
Figura 58 - Análise espetral da corrente na carga na condição de funcionamento nominal do gerador.
Como consequência das ondas de tensão e corrente no gerador, obtém-se uma forma de
onda de potência instantânea neste elemento representada pela Figura 59. Sabendo que o valor
73
médio desta forma de onda corresponde à potência ativa fornecida pelo gerador, conclui-se que
este fornece 20,2 kW.
Figura 59 - Potência insânia no gerador na sua condição nominal de funcionamento.
A Figura 60 representa o valor de potência instantânea na carga, pelo que se pode inferir
que a potência ativa que lhe é entregue, isto é, o triplo do valor médio de uma forma e onda da
Figura 60 corresponde a 20,0 kW . Conclui-se deste modo, que o constrangimento (88), 𝑃𝐶 =
20 kW é cumprido.
Figura 60 - Potência insânia na carga na condição de funcionamento nominal do gerador.
5.3.2. Análise térmica em carga do gerador de magnetos permanentes
O primeiro passo da análise térmica do gerador passa pela identificação das suas fontes de
calor. No que diz respeito às perdas nos magnetos permanentes em carga, verifica -se um
aumento de 78% em relação ao seu valor na operação do gerador em vazio. Este facto ocorre
uma vez que, embora a densidade de fluxo magnético nos magnetos permanentes quando em
carga, Figura 61, apresente uma menor amplitude, esta passa a ser constituída por harmónic as
de elevada frequência (Figura 62) comparativamente com a mesma grandeza em vazio, vis íve l
74
na Figura 50. Verifica-se que as perdas no conjunto de magnetos correspondem a 132 W, o que
perfaz cerca de 20 % das perdas totais do gerador.
Figura 61 - Densidade de fluxo magnético nos magnetos permanentes em carga.
Figura 62 - Análise espetral da densidade de fluxo magnético em carga.
Embora o valor das perdas nos magnetos em vazio e em carga sejam bastante distintos, o
mesmo não acontece com o material ferromagnét ico macio. Devido ao facto deste material
apresentar uma resistência elétrica mais elevada, as correntes nele induzidas têm menor
amplitude, pelo que se verifica que neste material as perdas em carga continuam a ser
desprezáveis . Como já foi referido na secção 2.5.1, existem dois grandes fatores responsáveis
pela diferença dos valores da condutividade elétrica entre os magnetos permanentes e o material
ferromagnét ico macio. O primeiro fator está relacionado com o facto deste componente ser
constituído por materiais de elevada resistividade elétrica, como é o caso do silício. O outro fator
é o facto deste material ser constituído por chapas laminadas e isoladas dielectricamente entre
si, ao passo que, os magnetos são compostos por um bloco maciço. Deste modo a condutivi dade
elétrica dos magnetos permanentes corresponde à condutividade ponderada dos materiais que
os constituem, no caso neodímio, ferro e boro, por outro lado é utilizado um valor de
75
condutividade elétrica equivalente na condutividade que representa o material ferroma gnét ic o
macio. Esta é calculada segundo a equação (94), também referida na secção 2.5.1.
𝜎𝑒𝑞 =
𝜎𝑀𝑥𝑙𝑎𝑚2 (94)
Por fim, chega-se à última fonte de calor presente no gerador. Esta, localiza-se nos
condutores de cobre e tem origem nas perdas por efeito de Joule. O cálculo destas perdas é
realizado através da soma do resultado da equação (13) aplicada a cada uma das harmónic as
presentes da Figura 54. Estas perdas apresentam para a geometria em questão um valor de
497 W, o que perfaz cerca de 80% do valor das perdas de Joule totais no gerador. Conclui -s e
que, embora o gerador apresente um elevado número de condutores em paralelo, as perdas no
cobre continuam a ser o parâmetro que mais peso tem no seu dimensionamento térmico.
Tabela 10 - Condutividades térmicas dos materiais contidos na cava do gerador.
Parâmetro Valor
𝑘𝑎𝑟 0,30
𝑘𝐼𝑠𝑜𝑙 0,20
𝑘𝑐𝑢 0,5
𝜆𝑎𝑟 [W/(m ∙K)] 0,0341
𝜆𝐼𝑠𝑜𝑙 [W/(m ∙ K)] 0,64
𝜆𝑐𝑢 [W/(m ∙K)] 379
𝜆𝑒𝑞 [W/(m ∙K)] 190
Após a determinação da magnitude das perdas em cada material, foi efetuada a análise
térmica. Para esta análise foi atribuída uma condutividade térmica equivalente à área onde se
encontram situados os condutores. A necessidade da aplicação desta condutivid ade equival ent e
surge da perceção de que nesta mesma área da Figura 63 existem três materiais: os condutores
de cobre, o seu isolamento dielétrico e o ar que os rodeia. Uma vez que o recurso a uma
geometria que contenha os condutores representados separadamente, à semelhança do que
acontece Figura 41, implica um maior tempo de simulação, optou-se por utilizar um valor de
condutividade equivalente de 190 W/(m ∙ K). Esta grandeza é composta pela média ponderada
da condutividade de cada um dos materiais face à percentagem de área ocupada por cada um
deles, a expressão que permite o seu cálculo é a equação (95). Nesta, as grandez as
representadas por 𝑘 representam os coeficientes de utilização dos materiais, ou seja as frações
de espaço ocupado por cada um deles e as grandezas representadas por 𝜆 representam as
condutividades térmicas dos mesmos materiais. Na expressão (95) os índices ar, Isol e cu
representam respetivamente os materiais ar, isolamento dielétrico dos condutores e condutores
76
de cobre. Os valores que cada um destes parâmetros toma a 135℃ estão indicados na Tabela
10.
𝜆𝑒𝑞 = 𝑘𝑎𝑟 𝜆𝑎𝑟+ 𝑘𝐼𝑠𝑜𝑙 𝜆𝐼𝑠𝑜𝑙 +𝑘𝑐𝑢 𝜆𝑐𝑢 (95)
Figura 63 - Distribuição de temperatura no gerador de magnetos permanentes quando em funcionamento nominal (modelo 2D).
A simulação térmica do gerador em carga resultou na distribuição térmica ilustrada pela
Figura 63. Repara-se que nesta figura a transferência de calor foi apenas considerada no sent ido
radial, devido às limitações do software com geometrias bidimensionais. Consequentemente, o
calor acumula-se na zona interior da máquina, situação que difere da realidade, uma vez que o
seu eixo também apresentará condução e convecção de calor para o exterior. Destaca-se no
entanto que, embora esta distribuição de calor não seja a mais precisa, é a que representa as
piores condições em que o gerador se pode encontrar. Conclui-se deste modo que o seu
dimensionamento foi efetuado para o pior cenário. Nesta simulação, a temperatura dos magnetos
atinge os 134℃ , concluindo-se que o constrangimento (92), 𝑇𝑀𝑎𝑔 < 135 ℃ , é cumprido. A
temperatura nos condutores atinge os 155℃ , cumprindo-se também o constrangimento (93),
𝑇𝐶𝑜𝑛𝑑 < 180 ℃. Embora com este valor de temperatura se pudesse utilizar um isolamento de
classe térmica 𝐹 , optou-se por utilizar um isolamento de classe 𝐻 de modo a garantir uma
margem de segurança. Estas classes térmicas foram referidas em maior detalhe na secção 2.4.4.
𝑇 [℃]
77
Figura 64 - Distribuição de temperatura no gerador de magnetos permanentes quando em funcionamento nominal (modelo 3D).
Com o intuito de visualizar a distribuição de temperatura no gerador de um modo mais
preciso, procedeu-se à sua simulação usando agora uma geometria 3D. Desta simulação resulta
a distribuição da Figura 64, onde é visível que já existe escoamento de calor pelo veio, resultando
numa distribuição térmica com temperaturas inferiores às verificadas na Figura 63. Os magnetos
apresentam menos 8℃ e os condutores menos 12℃ que na simulação térmica bidimensional.
5.4. Análise do gerador aquando da perda de uma das fases da carga
Neste subcapítulo procede-se à análise do comportamento do gerador para a situação de
perda de uma das fases da carga. Selecionou-se a fase 𝐶 como a fase onde o defeito ocorre,
como ilustra a Figura 65.
As formas de onda de tensão e corrente na carga após a ocorrência do defeito encontram -
se expressas na Figura 66 e na Figura 68, respetivamente. Repara-se através da análise destas
figuras que a desfasagem destas grandezas passa a ser de 180° em vez dos 120° característ ic os
do sistema trifásico equilibrado. Verifica-se também que existe uma ligeira deformação das
formas de onda de tensão na carga comparativamente com o seu modo de operação equilibrado,
incluindo o aparecimento de uma harmónica de sexta ordem, Figura 67. No que diz respeito ao
valor eficaz de tensão verifica-se que este perfaz 221 V, que corresponde a uma redução de 4%
em relação ao valor verificado na situação em que não ocorre defeito. A onda de corrente na
carga é sinusoidal pura como se pode ver pela análise da Figura 69, e o seu valor eficaz não
apresenta variações significativas relativamente ao modo de operação com carga equilibrada.
𝑇 [℃]
78
Figura 65 - Esquema do sistema elétrico em estudo com ocorrência de defeito numa das fases da carga.
Figura 66 - Tensão na carga na ocorrência de perda de uma das fases.
Figura 67 - Análise espetral da tensão na carga na ocorrência de perda de uma das fases.
𝐺𝑀𝑃
𝑉𝐶𝑓𝑂𝑢𝑡
𝑖𝐿𝑓𝑂𝑢𝑡 𝑖𝑐
𝐶𝑓𝑂𝑢𝑡 𝐶𝑓𝑂𝑢𝑡 𝐶𝑓𝑂𝑢𝑡
𝑅𝐶 𝑅𝐶 𝑅𝐶
𝐿𝐶
𝐿𝐶 𝐿𝐶
𝑉𝐶𝐴
𝑉𝐴𝐵
𝑉𝐵𝐶
𝐿𝑓𝑂𝑢𝑡
𝐿𝑓𝑂𝑢𝑡
𝐿𝑓𝑂𝑢𝑡
𝐿𝑓𝐼𝑛
𝑉𝑐
79
Figura 68 - Corrente na carga na ocorrência de perda de uma das fases.
Figura 69 - Análise espetral da corrente na carga na ocorrência de perda de uma das fases.
No que concerne ao desempenho do gerador de magnetos permanentes cujo
dimensionamento é tratado na presente dissertação, analisam -se as formas de onda de tensão
aos seus terminais, Figura 70, e da corrente nos seus enrolamentos, Figura 72. À semelhanç a
do que acontece com a onda de tensão na carga, a onda de tensão aos terminais do gerado r
apresenta uma maior deformação, indiciada pelo aparecimento de harmónicas de segunda e
quarta ordem, Figura 71, além de uma redução do valor eficaz de tensão, que neste caso é de
2% relativamente ao verificado no modo de funcionamento sem defeito nas fases da carga.
Relativamente à onda de corrente no gerador, Figura 72, verifica-se que esta apresent a
aproximadamente o mesmo número de harmónicas na sua constituição, Figura 73, contudo
devido ao defeito, a impedânc ia equivalente da carga diminui implicando uma diminuição do valor
eficaz de corrente. Neste modo de operação a corrente apresenta um valor eficaz correspondent e
a 30,3 A que constitui uma redução de 40% relativamente ao valor apresentado no modo de
operação sem falha na carga.
80
Figura 70 - Tensão aos terminais do gerador na ocorrência de perda de uma das fases da carga.
Figura 71 - Análise espetral da tensão aos terminais do gerador na ocorrência de perda de uma das fases da carga.
Figura 72 - Corrente no gerador na ocorrência de perda de uma das fases da carga.
81
Como consequência da redução do valor eficaz de corrente no gerador, a potência at iva
entregue à carga diminui. A Figura 74 ilustra potência instantânea para uma das fases da carga,
e apresenta um valor médio correspondente a 6,2 kW. É de referir que devido à desfasagem entre
correntes ou tensões corresponder a 180° , os gráficos de potência instantânea para ambas as
fases da carga são coincidentes. Uma vez que a potência ativa corresponde ao valor médio da
potência instantânea e uma vez que estamos na presença de duas fases na carga conclui -se que
o valor de potência ativa entregue à carga corresponde a 12,4 kW.
Figura 73 - Análise espetral da corrente no gerador na ocorrência de perda de uma das fases da carga.
Figura 74 - Potência instantânea entregue à carga na ocorrência de perda de uma das suas fases.
Como consequência das ondas de tensão e corrente no gerador representadas na Figura 70
na Figura 72 respetivamente, obtém-se o gráfico de potência instantânea no gerador ilust rada
na Figura 75. O valor médio desta potência, ou seja, o seu valor de potência ativa corresponde
a 12,5 kW. À semelhança o que acontece na carga a potência ativa fornecida por este gerado r
também diminui face ao modo equilibrado de operação.
82
Outra consequência da redução da corrente que circula nos enrolamentos do gerador é a
diminuição nas suas perdas, tanto nos magnetos permanentes como nos condutores de cobre.
As primeiras perfazem nesta situação 82 W, constituindo uma redução de 38% . As segundas,
perfazem 178 W, o que representa uma redução de 64 %. Uma vez que os valores de perdas no
gerador diminuem no caso de perda de uma das fases da carga, pode-se concluir que a
temperatura dos seus materiais também diminui comparativamente com o modo equilibrado de
operação. Assim sendo, conclui-se que o gerador suporta a perda de uma das fases sem
qualquer efeito nefasto que reduza o seu tempo de vida útil.
Figura 75 - Potência instantânea aos terminais do gerador na ocorrência de perda de uma das fases da carga.
5.5. Estimação do tempo de vida útil do isolamento dielétrico do gerador de magnetos permanentes
Neste subcapítulo procede-se à determinação do tempo de vida útil do gerador. Este conceito
de tempo de vida útil, consiste no número de unidades temporais que passam desde o momento
em que este é fabricado até o instante em que o desempenho para o qual foi desenvolvido deixa
de ser alcançado [43].
A experiência indica que existem determinados componentes do gerador que se tendem a
danificar mais cedo. Eles são tipicamente: os rolamentos, as escovas e o isolamento dielét rico
dos condutores [43]. Uma vez que o presente gerador não é dotado de escovas, ir-se-á analisar
apenas nesta dissertação o tempo de vida útil do seu isolamento dielétrico.
Para a determinação do tempo de vida útil, utilizou-se a equação (96), [44]. Nesta expressão,
𝑳𝒊𝒔 representa o tempo de vida útil do isolamento em horas, 𝑻𝒊𝒔 a temperatura a que este está
exposto em Kelvin, 𝐤𝐁 a constante de Boltzmann, 𝝑𝒊𝒔 a energia de ativação e 𝑩𝒊𝒔 é uma
constante associada ao material utilizado como isolante.
83
𝐿𝑖𝑠 = 𝐵𝑖𝑠 𝑒𝜗𝑖𝑠kB 𝑇𝑖𝑠
(96)
Para isolamentos de classe térmica 𝑯 , verifica-se que a constante 𝐤𝐁 toma o valor de
𝟖𝟔, 𝟏𝟕 𝛍 𝐞𝐕/𝐊 [43] e 𝝑𝒊𝒔 toma o valor 𝟏,𝟑𝟖 𝐞𝐕 [45]. Uma vez que as classes térmicas são
determinadas de modo a que o isolamento dure pelo menos 𝟐𝟎 𝟎𝟎𝟎𝐡 com a correspondent e
temperatura de operação [43], é possível calcular a constante 𝑩𝒊𝒔 para a temperatura máxima de
operação do isolamento de classe térmica 𝑯, isto é, 𝟏𝟖𝟎 ℃. Calculou-se então o valor se 𝑩𝒊𝒔
segundo (96), que corresponde a 𝟖, 𝟗𝟕 ×𝟏𝟎−𝟏𝟐 horas.
Após a determinação deste parâmetro é possível a elaboração do gráfico da Figura 76, que
nos indica o tempo de vida útil do isolamento, em função da temperatura a que este material se
encontra. Assumindo que a temperatura do isolamento é semelhante à verificad a nos condutores
é possível, através do gráfico da Figura 76, determinar o número de horas que o isolament o
durará mantendo a sua performance num nível desejado. Considerando que o gerador opera
permanentemente em condições nominais, conclui-se então que o tempo de vida útil do gerado r
é de 𝟏𝟒𝟒 𝟑𝟒𝟎 𝐡 o que corresponde a aproximadamente 𝟏𝟔 anos. Caso se tivesse optado por um
isolamento dielétrico de classe 𝑭, obter-se-ia um tempo de vida útil do isolamento de 𝟏𝟖 𝟑𝟑𝟏 𝐡,
isto é, aproximadamente 𝟐 anos.
Figura 76 - Tempo de vida útil do isolamento dielétrico dos condutores.
84
85
6. Conclusões
6.1. Considerações finais
A longo desta dissertação estudou-se uma topologia do gerador de magnetos permanent es
que prevenisse a descolagem dos magnetos. Foi proposta uma topologia onde o indutor está
localizado na parte exterior que constitui o rotor, enquanto o induzido se encontra na parte interior
do gerador que constitui o estator. Tendo em consideração que a rotação da máquina em estudo
é providenciada pelo fluxo da corrente de água de um rio, dimensionou-se o gerador para operar
com uma velocidade nominal de 𝟏𝟎𝟎 𝐫𝐩𝐦. No que diz respeito à carga que o gerador alimenta,
selecionou-se uma carga modeladora de uma habitação, is to é, constituída por uma bobina em
série com uma indutância onde se verifica um fator de potência indutivo de 𝟎, 𝟖𝟔. Uma vez que
se pretende que o gerador forneça 𝟐𝟎 𝐤𝐖 de potência ativa à carga, e sabendo que tipicament e
este valor é excessivo para a maioria das habitações, optou-se pela utilização de uma carga
trifásica. Tendo em consideração que ao contrário da carga o gerador é monofásico e sabendo
que estes dois componentes apresentam frequênc ia de operação distintas, foi necessári o
recorrer a um conversor eletrónico de potência para interligar o gerador à carga. Selecionou -s e
um conversor AC/DC/AC, isto é, constituído por um retificador monofásico, um andar Dc e um
inversor trifásico com modulação PWM.
No capítulo 3 estudou-se o uso de um modelo analítico de parâmetros concentrados com o
intuito de simular o comportamento eletromagnético do gerador. Aqui simulou-se uma geometri a
de referência, bem como, geometrias oriundas de variações das variáveis que sintetizam a
geometria do gerador. Verificou-se que, por um lado, tendo em vista a melhor performance do
gerador nem todas as variáveis geométricas devem ser alteradas , e por outro, algumas delas
apresentam limites de operação. Embora este modelo apresentasse à partida um elevado
número de benefíc ios, no que diz respeito ao tempo de simulação e à sua complexidade,
verificou-se que ele não é tão preciso quanto o necessário.
Devido aos motivos mencionados no último parágrafo decidiu-se abandonar o modelo
analítico de parâmetros concentrados, recorrendo-se a um programa por elementos finitos que
faz uso dos módulos eletromagnét ico e térmico. Em virtude da diferença de programas de
modelação do gerador, conversor de potência e carga, foi selecionado um programa por
elementos finitos que permite o seu uso através do software MATLAB. Determinaram-se ainda
os constrangimentos que o gerador tem de cumprir de modo a garantir a sua performance e a
qualidade da energia entregue à carga. Desenvolveu-se ainda um algoritmo de simulação do
gerador, levando em consideração a interligação de variáveis entre os modelos eletromagnét ic o
e térmico, bem como os constrangimentos a cumprir.
Foram simuladas várias geometrias com 𝟖 e 𝟏𝟎 pares de polos, segundo o algoritmo
anteriormente referido. Após a sua análise em função do custo dos materiais, volume e massa
do gerador, verificou-se que, de um modo geral, as geometrias mais vantajosas apresent avam
86
duas característ icas em comum, um elevado valor de diâmetro e uma peça polar larga. A
geometria mais vantajosa apresentava, para além destas caracterís ticas, um elevado número de
pares de polos, magnetos com elevado valor angular e uma elevada área do material
ferromagnét ico macio do induzido na zona à volta da qual se encontram enrolados os condutores.
Verificou-se que para a operação nominal do gerador as perdas no cobre correspondem a
cerca de 𝟖𝟎% das suas perdas totais e que as perdas no material ferromagnético macio são
desprezáveis a baixas velocidades. No que diz respeito ao modelo térmico por elementos finitos
conclui-se que este deve ser simulado a partir de uma geometria tridimens ional, uma vez que no
caso de uma geometria a duas dimensões apenas é considerada a transferência de calor no
sentido radial, no entanto, esta simulação fornece as piores condições em que o gerador se pode
encontrar.
Posteriormente, analisou-se a performance do gerador na situação de ocorrência de falha
numa das fases da carga. Verificou-se que esta situação não causa qualquer efeito nefasto no
tempo de vida útil do gerador.
Por último, realizou-se a análise do tempo de vida útil do isolamento dielétrico dos
condutores. Conclui-se, que caso o gerador opere nas condições nominais é esperado que o seu
isolamento apresente um tempo de vida útil próximo de 𝟏𝟔 anos.
6.2. Trabalhos futuros
O dimensionamento do gerador realizado na presente dissertação foi efetuado com base nos
resultados obtidos após a simulação de diferentes geometrias com dois pares de polos distintos .
No entanto, seria benéfico simular um maior número de pares de polos de modo a obter o valor
mais vantajoso deste parâmetro. Neste seguimento, seria também conveniente efetuar
simulações de novas geometrias com parâmetros próximos da geometria selecionada na
presente dissertação, com o intuito de se alcançar a geometria ótima.
O estudo realizado nesta dissertação assenta na assunção de que o gerador estará sempre
a operar com uma velocidade de rotação correspondente a 𝟏𝟎𝟎 rpm. Como tal, seria benéfic o
realizar um estudo em função do perfil de velocidade de um rio ao longo do dia.
Com o avanço da tecnologia dos semicondutores e controladores, surgem converso res
eletrónicos de potência mais adequados à conversão eletromecânica de energia. Sugere-se a
aplicação deste tipo de conversores, que podem apresentar um maior rendimento, ao mesmo
tempo que um menor custo e volume. Tem-se como exemplo o caso dos conversores matriciais
[46].
87
Anexos
Anexo I – Parâmetros que constituem as relutâncias no modelo eletromagnético de parâmetros concentrados
No seguimento da construção do modelo de parâmetros concentrados abordado no capítulo
3, definem-se neste anexo as variáveis que compõem as relutâncias utilizadas no mesmo
modelo. Estes parâmetros terão de depender apenas de constantes e das variáveis de entrada,
sendo estas: 𝒉𝑽𝒆𝒊𝒐 , 𝒉𝑬𝑭 , 𝒉𝑴𝑷 , 𝒉𝑰𝒅𝒕 , 𝜶𝑰𝒅𝒛 e 𝜶𝑰𝒅𝒕.
ℎ𝐼𝑑𝑡′ = (ℎ𝐼𝑑𝑧+ℎ𝑀𝑃+ℎ𝐸𝐹+ℎ𝐼𝑑𝑡/2)
𝜋
𝑝 (97)
𝑆𝑒𝑐𝐼𝑑𝑡 = ℎ𝐼𝑑𝑡 𝐷 (98)
𝑆𝑒𝑐𝑀𝑃 = 𝛼𝑀𝑎𝑔𝜋
180 (ℎ𝐼𝑑𝑧+ℎ𝐸𝐹+ℎ𝑀𝑃/2) 𝐷 (99)
𝑆𝑒𝑐𝐸𝐹 = 𝛼𝐼𝑑𝑧𝜋
180 (ℎ𝐼𝑑𝑧+ℎ𝐸𝐹/2) 𝐷 (100)
As variáveis 𝒀𝒂𝒖𝒙𝟏 e 𝑿𝒂𝒖𝒙𝟏 são variáveis auxiliares e estão representadas na Figura 77 e são
expressas pelas equações (101) e (102).
Figura 77 - Localização das variáveis Yaux1 e Xaux1.
𝑋𝑎𝑢𝑥1
ℎ𝐼𝑑𝑧 𝑌𝑎𝑢𝑥1
𝛼𝐼𝑑𝑧
2
88
𝑌𝑎𝑢𝑥1 = ℎ𝐼𝑑𝑧 𝑐𝑜𝑠 (𝛼𝐼𝑑𝑧𝜋
180
1
2) (101)
𝑋𝑎𝑢𝑥1 = ℎ𝐼𝑑𝑧 𝑠𝑖𝑛(𝛼𝐼𝑑𝑧
𝜋
180
1
2)
(102)
Outra variável auxiliar necessária à determinação dos parâmetros em causa é 𝒀𝒂𝒖𝒙𝟐 , esta
variável está representada na Figura 78 e expressa pela equação (103).
Figura 78 - Localização da variável Yaux2.
𝑌𝑎𝑢𝑥2 =
𝑋𝑎𝑢𝑥1
𝑡𝑔(𝜋2 𝑝) (103)
Os restantes parâmetros que constituem as relutâncias do modelo de parâmetros
concentrados são:
ℎ𝐼𝑑𝑧𝐸𝑥𝑡 = 𝑌𝑎𝑢𝑥1 −𝑌𝑎𝑢𝑥2 (104)
𝑆𝑒𝑐𝐼𝑑𝑧𝐸𝑥𝑡 = 2 𝑋𝑎𝑢𝑥1 𝐷 (105)
𝑋𝑎𝑢𝑥1
𝑌𝑎𝑢𝑥2
𝜋
2 𝑝
89
ℎ𝐼𝑑𝑧𝐼𝑛𝑡 =
(𝑌𝑎𝑢𝑥2−ℎ𝑉𝑒𝑖𝑜)
2+𝜋
𝑝
(𝑌𝑎𝑢𝑥2+ℎ𝑉𝑒𝑖𝑜)
2
(106)
𝑆𝑒𝑐𝐼𝑑𝑧𝐼𝑛𝑡 =
(𝑌𝑎𝑢𝑥2+ ℎ𝑉𝑒𝑖𝑜)
2 𝜋
𝑝 𝐷
(107)
𝜇𝐸𝐹= 4 𝜋×10−7 𝐻/𝑚 (108)
𝜇𝑀𝑃 = 1,05 𝜇𝐸𝐹 𝐻/𝑚 (109)
90
Anexo II – Influência da variação da temperatura na resistividade elétrica dos condutores de cobre e no valor de densidade de fluxo magnético residual dos magnetos permanentes
Este anexo pretende apresentar ao leitor dados que suportem as afirmações efetuadas na
secção 4.3.1. Na sequência da fixação dos parâmetros 𝑩𝒓 , densidade de fluxo magnético residual
nos magnetos permanentes e 𝝆𝒄𝒖 , resistividade elétrica dos condutores de cobre, foi previsto que
nas simulações efetuadas a temperatura nos magnetos permanentes corresponderia a 𝟏𝟑𝟓℃ e
a temperatura nos condutores de cobre corresponderia a 𝟏𝟓𝟓℃. Foi também afirmado que no
caso da ocorrência da alteração nas temperaturas destes materiais as variações dos parâmet ros
𝑩𝒓 e 𝝆𝒄𝒖 não seriam significat ivas.
A Figura 79 apresenta a percentagem de variação do valor de 𝝆𝒄𝒖 em relação ao valor
verificado no mesmo parâmetro à temperatura de referência, isto é, à temperatura a que se prevê
que os enrolamentos estejam, 𝟏𝟓𝟓℃. Após a análise desta figura é possível concluir que para
uma variação de 𝟐𝟓 ℃ em relação à temperatura prevista a resistividade elétrica dos condutores
varia 𝟔, 𝟖%.
Figura 79 - Variação da resistividade elétrica dos condutores de cobre em função da temperatura.
A Figura 80 apresenta a percentagem de variação do valor de 𝑩𝒓 em relação ao valor
verificado no mesmo parâmetro à temperatura de referência, isto é, à temperatura a que se prevê
que os magnetos se encontrem, 𝟏𝟑𝟓℃. Após a análise desta figura é possível concluir que para
uma variação de 𝟐𝟓 ℃ em relação à temperatura prevista, a densidade de fluxo magnét ico
remanescente nos magnetos permanentes varia 𝟑, 𝟕%.
Verifica-se que embora se preveja que as temperaturas dos magnetos permanentes e
condutores de cobre estejam próximas do valor previsto, no caso da ocorrênc ia de algum desvio
o parâmetro 𝝆𝒄𝒖 varia 𝟎, 𝟐𝟕% pela variação de 𝟏℃ e o parâmetro 𝑩𝒓 varia 𝟎, 𝟏𝟓% também pela
variação de 𝟏℃. Deste modo pode-se concluir que as simplificações efetuadas na secção 4.3.1.
são fundamentadas.
91
Figura 80 - Variação da densidade de fluxo magnético residual em função da temperatura.
92
Anexo III – Características das geometrias simuladas através do modelo abordado no capítulo 4
A Tabela 11 e a Tabela 12 apresentam respetivamente as principais características das
geometrias com 10 e 8 pares de polos. Verifica-se após a análise destas tabelas que em geral
as geometrias com 10 pares de polos apresentam valores mais elevados de perdas nos
magnetos, este facto ocorre uma vez que a frequênc ia das correntes que são induzidas neste
material é mais elevada que no caso das geometrias com 8 pares de polos. Verifica-se, no
entanto, que este aumento de frequência tem um efeito benéfico na redução da profundidade do
gerador comparativamente com as geometrias que apresentam 𝟖 pares de polos.
Tabela 11 - Principais características das geometrias simuladas com 10 pares de polos.
Geometria 𝑫 [𝐦𝐦] 𝑵𝑺 𝑵𝒑 𝑽𝒊𝒏𝒎𝒂𝒙 [𝐕] 𝑷𝒄𝒖 [𝐖] 𝑷𝒎𝒂𝒈 [𝐖] 𝑻𝑴𝒂𝒈 [℃]
𝟏 0,757 23 14 853 834 79 129
𝟐 0,675 19 16 971 752 47 131
𝟑 0,797 16 12 946 728 244 130
𝟒 1,071 10 13 955 742 150 125
𝟓 0,671 16 13 904 693 159 125
𝟔 0,573 16 13 945 654 60 134
𝟕 1,48 6 11 994 630 323 128
𝟖 0,480 17 17 967 497 132 134
𝟗 1,66 14 13 913 1172 65 123
𝟏𝟎 1,850 11 12 949 1516 31 135
𝟏𝟏 1,071 17 17 915 775 209 134
𝟏𝟐 1,620 9 11 977 1156 116 135
𝟏𝟑 1,286 11 11 895 1029 126 129
𝟏𝟒 1,269 10 11 934 1002 34 131
𝟏𝟓 1,016 12 14 993 743 223 131
𝟏𝟔 1,005 11 14 868 646 113 126
93
Tabela 12 - Principais características das geometrias simuladas com 8 pares de polos.
Geometria 𝑫 [𝐦𝐦] 𝑵𝑺 𝑵𝒑 𝑽𝒊𝒏𝒎𝒂𝒙 [𝐕] 𝑷𝒄𝒖 [𝐖] 𝑷𝒎𝒂𝒈 [𝐖] 𝑻𝑴𝒂𝒈 [℃]
𝟏𝟕 0,712 29 14 828 795 72 126
𝟏𝟖 0,607 27 17 936 744 50 133
𝟏𝟗 0,793 22 13 951 746 245 132
𝟐𝟎 1,128 16 11 937 965 130 127
𝟐𝟏 0,595 21 13 866 699 132 132
𝟐𝟐 0,582 19 15 891 571 70 124
𝟐𝟑 0,799 14 11 998 772 300 131
𝟐𝟒 0,528 21 19 913 477 128 129
𝟐𝟓 2,072 15 11 800 1498 89 127
𝟐𝟔 1,333 17 14 906 1180 53 134
𝟐𝟕 1,184 19 14 920 818 214 131
𝟐𝟖 1,739 13 10 895 1218 200 133
𝟐𝟗 1,646 11 11 864 1106 127 123
𝟑𝟎 1,279 12 12 882 921 84 125
𝟑𝟏 1,378 11 11 972 990 203 130
𝟑𝟐 1,225 12 12 881 877 107 131
94
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