GERD ERWIN ERNST GOJTAN ANÁLISE DA PRECISÃO DE …livros01.livrosgratis.com.br/cp111343.pdf · A utilização do princípio do trabalho virtual, com parâmetros de rigidez concentrados,

GERD ERWIN ERNST GOJTAN

ANÁLISE DA PRECISÃO DE UMA ESTRUTURA ROBÓTICA COM

CINEMÁTICA PARALELA ASSIMÉTRICA DE TOPOLOGIA 2UPS+PRP,

EM FUNÇÃO DO MAPEAMENTO DOS ERROS DE POSICIONAMENTO

DA PLATAFORMA MÓVEL NO ESPAÇO DE TRABALHO DISPONÍVEL,

DURANTE OPERAÇÃO DE FRESAMENTO DE ACABAMENTO,

APLICANDO MODELAGEM MATEMÁTICA.

Tese apresentada à Escola Politécnica da

Universidade de São Paulo para a obtenção

do título de Doutor em Engenharia.

São Paulo

2009

Livros Grátis

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II

GERD ERWIN ERNST GOJTAN

ANÁLISE DA PRECISÃO DE UMA ESTRUTURA ROBÓTICA COM

CINEMÁTICA PARALELA ASSIMÉTRICA DE TOPOLOGIA 2UPS+PRP,

EM FUNÇÃO DO MAPEAMENTO DOS ERROS DE POSICIONAMENTO

DA PLATAFORMA MÓVEL NO ESPAÇO DE TRABALHO DISPONÍVEL,

DURANTE OPERAÇÃO DE FRESAMENTO DE ACABAMENTO,

APLICANDO MODELAGEM MATEMÁTICA.

Tese apresentada à Escola Politécnica da

Universidade de São Paulo para a obtenção

do título de Doutor em Engenharia.

Área de concentração:

Engenharia Mecânica de Projeto e Fabricação

Orientador:

Prof. Dr. Tarcísio Antonio Hess Coelho

São Paulo

2009

III

Este exemplar foi revisado e alterado em relação à versão original, sob responsabilidade única do autor e com a anuência de seu orientador. São Paulo, 19 de agosto de 2009. Assinatura do autor ____________________________ Assinatura do orientador _______________________

FICHA CATALOGRÁFICA

Gojtan, Gerd Erwin Ernst

Análise da precisão de uma estrutura robótica com cinemática paralela assimétrica de topologia 2UPS+PRP, em função do mapeamento dos erros de posicionamento da plataforma móvel no espaço disponí – vel, durante operação de fresamento de acabamento aplicando mode – lagem matemática / G.E.E. Gojtan. -- ed.rev. -- São Paulo, 2009.

241 p.

Tese (Doutorado) - Escola Politécnica da Universidade de São Pau- lo. Departamento de Engenharia Mecatrônica e de Sistemas Mecânicos.

1. Robótica 2. Cinemática 3. Usinagem I.Universidade de São Paulo. Escola Politécnica. Departamento de Engenharia Mecatrônica e de Sistemas Mecânicos II. t.

IV

DEDICATÓRIA

À minha amada esposa Lucimara pelo seu constante apoio e paciência e a meus

queridos pais Ernst e Inge pelo seu incansável incentivo, graças aos quais consegui a

concentração e a perserverança necessárias para a realização desta obra.

V

AGRADECIMENTOS

Ao Prof. Dr. Tarcísio Antônio Hess Coelho, pelos seus valiosos ensinamentos e

sua imprescindível orientação durante todas as fases deste trabalho.

A todos aqueles que de alguma forma me ajudaram a tornar possível a

elaboração da presente tese.

VI

ABSTRACT

This thesis has the purpose to study the precision of a new robotic structure for milling operations, in substitution to the conventional serial machine-tools, specialy the CNC milling machines and cutting centers. The proposed structure is based on the parallel kinematics concept and the precision analysis was realized, applying mathematical models, to obtain the positioning errors mapping of the cutting tool in the available workspace, during finishing milling operations. The motivation is on the search higher performances and the parallel robotic structures have several advantages to the serial structures: modular construction, lightness, high velocities/acelerations. Otherwise, there are still problems to be solved, like: guaranty of precision, workspace optimization and reduction/elimination of singularities.

The methodology applied for the development of this work involves four steps: the proposal of a new robotic structure developed using existing synthesis methods; the development of mathematical models to characterize its kinematic behavior; the error sources identification that influences the deviation of the tool position; the elaboration of mathematical models and computer algorithms to analyse the influence level of each identified error source.

We developed one assymmetric robotic structure 2UPS+PRP, with the following characteristics: mobility 3 with three translations in the space, reduced number of componentes and displacement in z direction independent from the displacents in the x and y directions. We presented the computer algorithms to map the kinematic, geometric and elastic errors, throw the discretization of the available workspace, based on the Jacobian matrices and the virtual work principle.

With regard to the tool position deviation mappings obtained, we reach to some conclusions. The major kinematic errors occurred when the imprecisions imposed to the two lateral actuatores had opposed signals. The geometric errors with dimensional tolerances in the IT5 work class, were the more relevant among the considered errors. The elastic errors, considering finishing manufacturing forces, were the less relevent among the considered errors, being expressive the influence of the rigidity of the universal and spherical jounts. The utilization of the virtual work principle and concentrated rigidity parameters, showed to be efficacious and efficient, compared to the SMA (astructural matrice analisis) and the FEM (finite elements methode), because of the minor work to develop its formulations end the reduced computer time to its prosecution. Keywords: precision, machine-tool, milling process, parallel robot.

VII

RESUMO

Esta tese tem por objetivo estudar a precisão de uma nova estrutura robótica para operações de fresamento, em substituição às convencionais maquinas-ferramentas seriais, especialmente as fresadoras e os centros de usinagem CNC. A estrutura proposta está baseada no conceito da cinemática paralela, tendo a análise da precisão sido realizada em função do mapeamento dos erros de posicionamento da ferramenta de corte dentro do espaço de trabalho disponível, durante operação de fresamento de acabamento, aplicando modelagem matemática. A motivação está na busca por altos desempenhos e as estruturas robóticas paralelas possuem diversas vantagens perante as estruturas seriais: construção modular, massa reduzida, altas velocidades/acelerações. Por outro lado, há ainda problemas a serem solucionados, como: garantia da precisão, otimização do espaço de trabalho e redução/eliminação de singularidades.

A metodologia aplicada no desenvolvimento deste trabalho compreende quatro etapas: a proposta de uma nova estrutura robótica desenvolvida a partir de métodos de síntese existentes; o desenvolvimento de modelos matemáticos para caracterizar o seu comportamento cinemático; a identificação das fontes de erro que influenciam no desvio de posição da ferramenta; a elaboração de modelos matemáticos e algorítmos computacionais para analisar o grau de influência de cada fonte de erro identificada.

Desenvolvemos uma estrutura robótica de topologia assimétrica 2UPS+PRP, com as seguintes características: mobilidade 3 com três translações no espaço, reduzido número de componentes e movimento na direção z independente dos movimentos nas direções x e y. Apresentamos os algoritmos computacionais para mapear os erros cinemáticos, geométricos e elásticos através da discretização do espaço de trabalho disponível, baseado nas matrizes Jacobianas e no princípio do trabalho virtual.

Com relação aos mapeamentos dos desvios de posição da ferramenta obtidos, chegamos a algumas conclusões. Os maiores erros cinemáticos ocorreram quando as imprecisões impostas aos dois membros motores laterais tinham sinais contrários. Os erros geométricos com tolerâncias dimensionais na classe de trabalho IT5, foram os mais relevantes dentre os erros considerados. Os erros elásticos, considerando forças de usinagem de acabamento, foram os menos relevantes entre os erros considerados, sendo expressiva a influência da rigidez das juntas universais e esféricas. A utilização do princípio do trabalho virtual, com parâmetros de rigidez concentrados, mostrou ser eficaz e eficiente, comparado ao SMA (análise da matriz estrutural) e ao FEM (método dos elementos finitos), devido ao menor trabalho para o desenvolvimento da sua formulação e ao tempo computacional reduzido para o seu processamento. Palavras-chave: precisão, máquina-ferramenta, processo de fresamento, robô paralelo.

VIII

SUMÁRIO

TÍTULO

LISTA DE SÍMBOLOS

LISTA DE FIGURAS

LISTA DE TABELAS

1 INTRODUÇÃO______________________________________________________1

1.1 Apresentação__________________________________________________________1

1.2 Motivação_____________________________________________________________3

1.3 Objetivo______________________________________________________________3

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA__________________________________________4

2.1 Fundamentos acerca de estruturas robóticas paralelas___________________________5

2.2 Comparações entre estruturas seriais , paralelas e híbridas_______________________8

2.3 Classificação topológica de estruturas robóticas paralelas ______________________16

2.4 Síntese topológica para estruturas robóticas paralelas__________________________18

2.5 Análise cinemática de estruturas robóticas paralelas___________________________22

2.6 Jacobianos – erros e singularidades em estruturas robóticas paralelas______________23

2.7 Espaço de trabalho de estruturas robóticas paralelas___________________________26

2.8 Avaliação do desempenho de estruturas robóticas paralelas_____________________27

2.8.1 Erros por deformações

elásticas____________________________________________28

2.8.2 Erros por imprecisões geométrica e

cinemáticas________________________________35

2.8.3 Erros por dilatações

térmicas_______________________________________________40

2.9 Comentários acerca da revisão bibliográfica_________________________________41

3 METODOLOGIA PARA O DESENVOLVIMENTO DO TRABALHO________42

3.1 Síntese da estrutura robótica paralela______________________________________42

3.2 Desenvolvimento de modelos matemáticos da estrutura paralela_________________43

3.3 Identificação das prováveis fontes de erro __________________________________43

3.4 Desenvolvimento de modelos que quantifiquem cada uma das fontes de erro

consideradas ___________________________________________________________44

4 SÍNTESE DA ESTRUTURA ROBÓTICA PARALELA ____________________45

4.1 Método alternativo de síntese_____________________________________________45

4.2 Descrição da estrutura robótica paralela_____________________________________46

4.3 Verificação da mobilidade e conectividade da estrutura paralela sintetizada________48

IX

4.4 Discussão ____________________________________________________________48

5 ANÁLISE CINEMÁTICA DA ESTRUTURA PARALELA 2UPS+PRP________52

5.1 Coordenadas de localização da ferramenta e deslocamentos dos atuadores_________52

5.2 Análise de posições: cinemática inversa e direta______________________________55

5.3 Análise de velocidades e configurações singulares____________________________58

5.4 Método para avaliação do espaço de trabalho________________________________63

5.5 Discussão____________________________________________________________70

6 ANÁLISE DOS ERROS CINEMÁTICOS DA ESTRUTURA PARALELA

2UPS+PRP_________________________________________________________72

6.1 Relação entre os erros de posicionamento da ferramenta e os associados aos atuadores

______________________________________________________________________72

6.2 Cálculo dos erros cinemáticos____________________________________________73

6.3 Mapeamento dos erros cinemáticos________________________________________74

6.4 Discussão ____________________________________________________________81

7 ANÁLISE DOS ERROS GEOMÉTRICOS DA ESTRUTURA PARALELA

2UPS+PRP________________________________________________________86

7.1 Relação entre os erros de posicionamento da ferramenta e os erros associados às

imprecisões na localização das juntas nos membros ativos _____________________88

7.2 Cálculo dos erros geométricos___________________________________________91

7.3 Mapeamento dos erros geométricos_______________________________________91

7.4 Análise da sensibilidade aos parâmetros da estrutura paralela___________________97

7.5 Discussão ___________________________________________________________100

8 ANÁLISE DOS ERROS ELÁSTICOS DA ESTRUTURA PARALELA

2UPS+PRP________________________________________________________104

8.1 Desenvolvimento do modelo para avaliação do erro elástico ___________________104

8.2 Cálculo da rigidez de cada um dos membros ativos___________________________109

8.3 Cálculo da força de usinagem____________________________________________114

8.4 Mapeamento dos erros elásticos _________________________________________ 119

8.5 Discussão ___________________________________________________________126

9 VALIDAÇÕES DOS MODELOS MATEMÁTICOS______________________128

9.1 Validação dos modelos geométrico e cinemático de posição____________________128

9.2 Validação do modelo elástico de posição __________________________________132

10 CONCLUSÃO____________________________________________________144

11 TRABALHOS FUTUROS __________________________________________147

12 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS___________________________________149

X

APÊNDICE A – MAPEAMENTOS DOS ERROS DA ESTRUTURA 2UPS+PRP_155

APÊNDICE B – LISTAGEM DO PROGRAMA DA ESTRUTURA 2UPS+PRP___204

LISTA DE SÍMBOLOS

αc Ângulo de incidência do dente da fresa

β Curso da junta universal

βc Ângulo de corte do dente da fresa

γc Ângulo de saída do dente da fresa

δπ Desvio dos parâmetros geométricos

δθ Desvio angular da plataforma móvel no ponto P em coordenadas

cilíndricas

δH Desvio da posição vertical da plataforma móvel no ponto P em

coordenadas cilíndricas

δP Desvio da posição do ponto P localizado na plataforma móvel em

coordenadas cartesianas

δR Desvio radial da posição da plataforma móvel no ponto P em

coordenadas cilíndricas

δq Erro dos atuadores

δp Erro de posicionamento da plataforma móvel

χ Matriz de rigidez local dos atuadores ou membros motores

κ Índice de condicionamento

κE Índice de condicionamento pela norma Euclidiana

Кr Ângulo da aresta de corte da fresa com a peça usinada

λ Índice da ordem do espaço de trabalho (bi ou tridimensional)

λi Menor autovalor não negativo

λs Maior autovalor não negativo

XI

φC0 Ângulo de contato entre a fresa e a peça usinada

φC Ângulo de atuação da força de corte adotado pelo autor

φ Curso da junta esférica

σe Limite de resistência ao escoamento

Π Vetor de parâmetros geométricos

θ Orientação angular da plataforma móvel em torno ao eixo

z e com posição inicial sobre o eixo x

ae Penetração de trabalho no fresamento

A Área transversal

ap Profundidade de corte no fresamento

C Junta cilíndrica, Conectividade

cθ Cosseno do ângulo θ

Ck Conectividade parcial

CT Conectividade total

d Diâmetro

de Diâmentro externo

Df Diametro da fresa

di Diamentro interno

E Módulo de elasticidade

f Vetor de funções nulas

F Força atuante no ponto P da plataforma móvel

Fc Força de corte

Ff Força de avanço

Fu Força de usinagem

ff Avanço por rotação da fresa

Ft Componente tangencial da força de usinagem atuante

XII

Fr Componente radial da força de usinagem atuante

Fx Componente da força de usinagem atuante na direção x

Fy Componente da força de usinagem atuante na direção y

Fz Componente da força de usinagematuante na direção z

fZ Avanço da fresa por dente

GL Graus de liberdade

h Deslocamento fornecido pelo atuador ou membro motor

H Posição vertical do ponto P na plataforma móvel em coordenadas

cilíndricas, junta helicoidal

hC Espessura do cavaco

I Matriz identidade

ICG Índice de condicionamento global

IG Índice de desempenho global

IT Qualidade de trabalho (International Tolerance)

J Jacobiano, matriz jacobiana

Jπ Matriz jacobiana dos parâmetros geométricos

Jc Matriz jacobiana cinemática total

Jg Matriz jacobiana geométrica total

Jp Matriz jacobiana da plataforma móvel

Jq Matriz jacobiana das juntas motoras

k Rigidez

KC Força de corte específica segundo Kienzle

KC11 Força de corte específica para cavaco de secção igual a 1mm2 segundo

Kienzle

K Matriz de rigidez dos membros motores no sistema global

Lf Largura da fresa

XIII

ls Coordenada do centro da junta esférica

lu Coordenada do centro da junta universal

m Número de membros ativos

M Mobilidade

mc Coeficiente do material usinado segundo Kienzle

n Número total de elos

N Número total de pontos pertencentes ao espaço de trabalho

nf Rotação da fresa

npj Número de juntas que permite j graus de liberdade

P Posição da ferramenta na plataforma móvel, junta prismática

p Vetor de localização da plataforma móvel

p& Vetor de velocidade das plataforma móvel

q Vetor de deslocamentos impostos pelas juntas motoras

q& Vetor de velocidades das juntas motoras

R Posiçao radial do ponto P na plataforma móvel em coordenadas

cilíndricas, junta de revolução

S Sensibilidade média, junta esférica

sθ Seno do ângulo θ

V Volume do espaço de trabalho

vi Versor posição de montagem das juntas universais JUi

vc Velocidade de corte

vf Velocidade de avanço

W Espaço de trabalho funcional

U Junta universal

wi Versor posição de montagem das juntas esféricas JSi

Zf Número de dentes da fresa

XIV

LISTA DE FIGURAS

1.1 - Torno CNC Centur 30D da ROMI.

XV

1.2 - Modelo de uma estrutura cinemática paralela segundo Stewart.

2.1 - Cadeias cinemáticas, (HESS-COELHO, 2005). a) aberta; b) fechada.

2.2 - Esquema de estrutura robótica de cinemática paralela (HESS-COELHO, 2005).

2.3 - Fresadora CNC Universal MH-700C MAHO.

2.4 - Centro de usinagem “VMC 135E”, (RASZL e HESS-COELHO, 2005).

2.5 - Estrutura paralela: (a) primeiro simulador de vôo construído por Claus Cappel na

década de 1960; (b) simulador de entretenimento “MD-11”,

(HESS-COELHO, 2008).

2.6 Manipulador pega-e-põe IRB 340 FlexPicker da ABB, (HESS-COELHO, 2005).

2.7 - Máquina-ferramenta paralela Cosmos Center PM-600 de 5 eixos da Okuma

(MERLET, 206b).

2.8 - Estrutura robótica paralela hexapode CMW 300 da CMW,

(RASZL e HESS-COELHO, 2005).

2.9 - Estrutura robótica paralela tripode Ulysses da Fatronik,


2.10 - Máquina-ferramenta híbrida Tricept 805 da SMT,


2.11 - Modelos cinemáticos de estruturas paralela simétricas: (a) 6UPS (STEWART,

1966), (b) 6RUS (BONEV e GOSSELIN, 2000).

2.12 - Esquemas de estruturas paralelas assimérticas (HESS-COELHO, 2008):

(a) 3UPS+CP; (b) 3PUS+CP.

2.13 - Mecanismo paralelo RRRRRR (HESS-COELHO, 2008).

2.14 - Mecanismo paralelo 3 RRR (HESS-COELHO, 2005).

2.15 - Estrutura paralela Neos-Tricept da ABB, (HESS-COELHO, 2005): a) foto;

b) modelo cinemático.

2.16 - Estrutura paralela 2RUS+PRP (HESS-COELHO, 2007).

2.17 - Configuração singular de movimento incontrolável no interior do espaço de

trabalho, em um mecanismo plano RRRRR (HESS-COELHO, 2005).

2.18 - Configuração singular de redução de movimento, limitando o espaço

de trabalho, em um mecanismo plano RRRRR (HESS-COELHO, 2005).

XVI

2.19 - Espaço de trabalho. a) Delta 4 (STAMPER et al, 1997); b) Tricept

(XI et al, 2004).

2.20 - Estrutura paralela Ortoglide (MAJOU et al, 2006): (a) foto; (b) modelo

cinemático.

2.21 - Estrutura paralela Isoglide (RIZK et al., 2007) : (a) 3-T3 ; (b) 4-T3R1.

2.22 - Tripode 3PRS. (XI et al.,2004).

2.23 - Estruturas paralelas (XI et al., 2004): a) Tricept; b) George V; (c) Z3.

2.24 - Elipsóide de manipulabilidade, (MERLET, 2007).

2.25 - Estrutura paralela (BRIOT e BONEV, 2007): (a) 3 RPR; (b) 3 PRP .

2.26 - Influência dos parametros geométricos e cinemáticos na posição final do

manipulador da Ortoglide (CARO et al., 2007).

2.27 - Estrutura paralela 3PRS (VERNET et al., 2005) : (a) foto; (b) modelo

cinemático.

2.28 - Efeitos da deformação elástica. a) dilatações térmicas unidirecionais;

b) distribuição das temperaturas em função da entrada de calor.

2.29 - Fluxo de calor através de uma junta (RAMESH et al., 2000).

4.1 - Membro central e a plataforma móvel com a ferramenta.

4.2 - Estrutura robótica tridimensional com cinemática paralela assimétrica

2UPS+PRP.

4.3 - Localização do motor da estrutura 2UPS+PRP: (a) base fixa; (b) plataforma

móvel.

4.4 - Diagramas cinemáticos das arquiteturas da família: (a) 2UPS+PRP;

(b) 2PUS+PRP; (c) 2RUS+PRP.

4.5 - Tricept IRB 940 da ABB (MERLET, 2006b).

4.6 – (a) Ortoglide (PASHKEVICH, 2005); (b) Tripteron (Laboratoire de

Robotique Université Laval).

5.1 - Modelo cinemático da estrutura robótica 2UPS+PRP, com indicação das

coordenadas do ponto P (ferramenta) e os deslocamentos dos atuadores:

(a) vista superior; (b) vista lateral.

5.2 - Configurações possíveis para h2 = 1,544 m, h1 = 0,620 m e h3 = 0 m:

(a) R = 1 m e θθθθ = 30º; (b) R = 0,5 m e θθθθ = 83º.

XVII

5.3 - Configurações da estrutura paralela quando: (a) h1 = 0; (b) h2 = 0 ; (c) h1 = h2 = 0.

5.4 - Notação empregada para formulação alternativa da análise de velocidades.

(a) vista superior no plano ρτ; (b) vista espacial de h1; (c) vista espacial de h2.

5.5 – (a) Configuração singular obtida quando 0det =Jp ; (b) P em movimento e se

aproximando da posição singular.

5.6 - Fluxograma do algorítmo para avaliação do espaço de trabalho.

5.7 - Membro lateral destacando as juntas esférica e universal.

5.8 - Junta universal.

5.9 - Espaço de trabalho teórico, baseado na posição de referência H = 0 ,

sem mostrar a sua redução conforme se afasta de H = 0.

5.10 - Superfícies de trabalho: (a) para H = 0 mm; (b) para H = 120 mm;

(c) para H = 240 mm; (d) para H = 360 mm; (e) para H = 480 mm;

(f) para H = 600 mm.

6.1 - Estrutura robótica 2UPS+PRP com erros cinemáticos nas direções: (a) xb e (b) yb.

6.2 - Erro cinemático referente ao posicionamento do ponto P, na direção xb,

considerando situação simétrica, sendo dh1 = dh2 = dh3 = 5 µm:

(a) para H = 0 mm; (b) para H = 120 mm; (c) para H = 240 mm;

(d) para H = 360 mm; (e) para H = 480 mm; (f) para H = 600 mm.

6.3 - Erro cinemático referente ao posicionamento do ponto P, na direção yb,

considerando situação simétrica, sendo dh1 = dh2 = dh3 = 5 µm:




considerando situação assimétrica, sendo dh1 = -dh2 = dh3 = 5 µm:




considerando situação assimétrica, sendo dh1 = -dh2 = dh3 = 5 µm:




considerando situações simétricas e assimétricas para H = 0 mm e dh3 = 5 µm:

(a) para dh1 = dh2 = 5 µm; (b) para dh1 = dh2 = - 5 µm;

XVIII

(c) para dh1 = - dh2 = 5 µm; (d) para - dh1 = dh2 = 5 µm.


considerando situações simétricas e assimétricas para H = 0 mm e dh3 = 5 µm:

(a) para dh1 = dh2 = 5 µm; (b) para dh1 = dh2 = - 5 µm;

(c) para dh1 = - dh2 = 5 µm; (d) para - dh1 = dh2 = 5 µm.

6.8 - Caso particular para interpretação dos erros.

6.9 - Mapeamento do erro na direção xb, para H = 0 m, dh1 = dh2 = 5 µm,

ls = 0,2 m, lu = 2.ls, sem restrição dos cursos das juntas.

7.1 - Estrutura robótica 2UPS+PRP com erros geométricos nas direções: (a) xb e (b) yb.

7.2 - Erro geométrico referente ao posicionamento do ponto P, na direção xb,

com tolerâncias simétricas: (a) para H = 0 mm; (b) para H = 120 mm;


(f) para H = 600 mm.7.12: Erro de posição δX na superfície de trabalho

localizada em Z = 300 mm.

7.3 - Erro geométrico referente ao posicionamento do ponto P, na direção yb,



(f) para H = 600 mm.7.14: Erro de posição δX na superfície de trabalho


7.4 - Erro geométrico referente ao posicionamento do ponto P, na direção xb,

com tolerâncias assimétricas: (a) para H = 0 mm; (b) para H = 120 mm;


(f) para H = 600 mm.7.16: Erro de posição δY na superfície de trabalho


7.5 - Erro geométrico referente ao posicionamento do ponto P, na direção yb,



(f) para H = 600 mm.7.18: Erro de posição δY na superfície de trabalho


7.6 - Sensibilidade média aos parâmetros 1 a 12, em relação a dθ:



7.7 - Sensibilidade média aos parâmetros 1 a 12, em relação a dR:

XIX



7.8 - Fuso de rolamentos de esferas com castanha (junta prismática).

7.9 - Juntas mecânicas: (a) universal; (b) esférica.

8.1 - Representação simplificada da estrutura 2UPS+PRP, para desenvolvimento do

modelo elástico.

8.2 - Forças atuantes nas molas de rigidez k1, k2 e k3.

8.3 - Força Fr

atuante no ponto P e os vetores ρr

, τr

, i , j e k .

8.4 - Determinação da rigidez dos membros laterais: (a) modelo cinemático;

(b) modelo elástico.

8.5 - Vista em corte do membro lateral, para determinação da rigidez do fuso.

8.6 – Vista do membro central, para determinação da rigidez do fuso.

8.7 - Exemplo de processo de fresamento.

8.8 - Oscilação da força de usinagem.

8.9 - Vista superior da composição da força de usinagem.

8.10 – Fresamento: (a) na direção xb; (b) na direção yb.

8.11 - Estrutura robótica 2UPS+PRP com erros elásticos nas direções: (a) xb e (b) yb.

8.12 - Erro elástico referente ao posicionamento do ponto P na direção xb

e movimento de avanço na direção xb: (a) para H = 0 mm;

(b) para H = 120 mm; (c) para H = 240 mm; (d) para H = 360 mm;

(e) para H = 480 mm; (f) para H = 600 mm.

8.13 - Erro elástico referente ao posicionamento do ponto P na direção yb



(e) para H = 480; (f) para H = 600 mm.

8.14 - Erro elástico referente ao posicionamento do ponto P na direção xb

e movimento de avanço na direção yb: (a) para H = 0 mm;


(e) para H = 480 ; (f) para H = 600 mm.

8.15 - Erro elástico referente ao posicionamento do ponto P na direção yb




XX

9.1 - Superfície de trabalho para H = 0 mm, com cotas em centímetros, obtida através

de programa para desenhos AUTOCAD.

9.2 - Superfície de trabalho em H = 0 mm, obtida com MATLAB.

9.3 - Situações de aferição dos modelos geométrico e cinemático.

9.4 - Modelo para equacionamento geométrico.

9.5 - Posições de aferição do modelo de erro elástico.

9.6 - Pontos de fixação com deslocamento nulo.

9.7 - Posição 1 e força Fx, com deformação na direção do eixo x.

9.8 - Posição 1 e força Fy, com deformação na direção do eixo y.







9.15 - Erros elásticos δx e δy para Fx = 100 N e Fy = 0 N: (a) posição 1; (b) posição 2;

(c) posição 3; (d) posição 4.

9.16 - Erros elásticos δx e δy para Fx = 0 N e Fy =100 N: (a) posição 1; (b) posição 2;

(c) posição 3; (d) posição 4.

10.1 - Esquema de estrutura robótica 2UPS+PRP com configuração “estrela”.

XXI

LISTA DE TABELAS

2.1 - Tipos de elos e suas representações esquemáticas.

2.2 - Tipos de juntas (SUH e RADCLIFFE, 1978).

2.3 - Dados técnicos do centro de usinagem “VMC 135E”.

2.4 - Dados técnicos da estrutura paralela hexapode CMW 300 da CMW.

2.5 - Dados técnicos da estrutura paralela tripode Ulysses da Fatronik.

2.6 - Dados técnicos da máquina-ferramenta híbrida Tricept 805 da SMT.

2.7 - Comparativo entre estruturas seriais, paralelas e híbridas.

5.1 - Parâmetros adotados para a análise da estrutura robótica paralela 2UPS+PRP.

5.2 - Limites dos cursos das juntas prismáticas, assim como universais e

esféricas utilizados no estudo (CATÁLOGO INA,1966).

6.1 - Comparação entre os métodos para o cálculo de c

xdP e c

ydP , para R = 1 m,

θ = 20 º, H = 0 m, dh1 = - dh2 = 5 µm.

6.2 - Desvios percentuais associados aos valores de c

xdP e c

ydP , referentes à tabela 6.1.

6.3 - Comparação entre os métodos para o cálculo de c

xdP e c

ydP , para R = 1 m,

θ =20 º , dh1 = dh2 = 5 µm.

6.4 - Desvios percentuais associados aos valores de c

xdP e c

ydP , referentes à tabela 6.3.

7.1 - Tolerâncias referentes aos parâmetros da estrutura paralela 2UPS+PRP.

8.1 - Materiais da estrutura robótica 2UPS+PRP.

8.2 - Ferramenta de corte utilizada na simulação do processo de fresamento.

8.3 - Condições de operação utilizados na simulação do processo de fresamento.

8.4 - Material da peça usinada na simulação do processo de fresagem.

9.1 - Dados dimensionais para aferição do modelo de erro cinemático.

9.2 - Resultados comparativos das aferições do modelo cinemático de posição.

9.3 - Posições dadas para aferição do modelo de erro elástico.

9.4 - Forças aplicadas no ponto P da plataforma móvel.

9.5 - Resultados comparativos das aferições do modelo elástico de posição.

1

1. INTRODUÇÃO

1.1 Apresentação

A fabricação de peças através de processos de usinagem é tradicionalmente

realizada por máquinas-ferramentas bastante conhecidas no mercado, podendo ser

citadas dentre as mais antigas as fresadoras e os tornos mecânicos (fig. 1.1). Estas

máquinas de uso convencional, possuem estrutura cinemática serial, com translação em

3 eixos ortogonais entre si e atingem velocidades de avanço entre 25 a 30 m/min e

precisões entre 2 a 5 µm, devendo-se notar entretanto que tais valores já estão chegando

ao seu extremo, em função dos limites tecnológicos destas máquinas.

Fig. 1.1 - Torno CNC Centur 30D da ROMI.

Apesar destas limitações, a demanda dos setores automobilístico, aeronáutico,

eletrônico, alimentício, farmacêutico e cirúrgico, exigem a busca constante por

mecanismos, máquinas ou sistemas operacionais que tragam níveis de desempenho cada

vez mais elevados na fabricação, montagem e manipulação de peças.

Entende-se por alto desempenho, a obtenção de altas precisões em todas as

regiões do espaço de trabalho disponível, envolvendo simultaneamente altas cargas

aplicadas e altas velocidades de avanço relativas entre a peça manuseada ou trabalhada

e a garra ou a ferramenta de corte.

Para atingir tais objetivos, as comunidades acadêmica e industrial vêm buscando

alternativas para as máquinas-ferramentas convencionais. Neste sentido, estão

2

demonstrando um especial e crescente interesse pelas estruturas robóticas de cinemática

paralela. As estruturas de cinemática paralela podem apresentar construções bastante

diversas, mas de uma maneira geral é possível dizer que elas se baseiam em uma

plataforma móvel P sustentada por diversos membros li unidos a uma base fixa B

através de juntas Pi e Bi nas suas extremidades (fig. 1.2).

Fig. 1.2 - Modelo de uma estrutura cinemática paralela segundo Stewart.

Nas máquinas com este tipo de estrutura, a plataforma móvel pode se deslocar

em todas as direções dentro do espaço de trabalho, em função de movimentos

provocados independentemente em cada um dos membros motores, sendo que a

ferramenta de trabalho é presa à plataforma móvel.

As estruturas de cinemática paralela apresentam algumas vantagens em relação

às máquinas com estrutura cinemática serial, como por exemplo construção modular,

massa reduzida e movimentos complexos, trazendo consigo altas velocidades e

acelerações, possibilidade de usinagem de geometrias complexas com apenas um ajuste

de máquina, construções mais baratas e menor consumo de energia o que implica em

uma maior produtividade em função de um menor tempo de ciclo de trabalho.

Por outro lado, há ainda alguns fatores a serem melhorados, tais como o tamanho

e a regularidade do espaço de trabalho, a rigidez da estrutura e a sua precisão.

3

1.2 Motivação

Neste trabalho é abordado o aspecto da precisão que pode ser alcançada durante

a fabricação de produtos, específicamente em operações de usinagem, utilizando

estruturas robóticas de cinemática paralela. Uma boa meta inicial com relação à

precisão a ser obtida, está em igualá-la à das máquinas convencionais, que como

mencionado anteriormente está na faixa de 2 a 5 µm. Chegar a tais níveis de precisão e

depois ainda superá-los, pode ser considerado um dos principais problemas quanto à

utilização irrestrita das estruturas de cinemática paralela na indústria. A dificuldade em

se conseguir garantir uma alta precisão de posicionamento da ferramenta em todos os

pontos do espaço de trabalho disponível durante o processo se deve a uma série de

erros, causados, dentre outros, por imprecisões dimensionais, deformações elásticas e

dilatações térmicas.

1. 3 Objetivo

Frente às dificuldades e metas apresentadas, busca-se por intermédio deste

trabalho, trazer uma contribuição aos setores industriais e acadêmicos empenhados em

tornar possível a aplicação de estruturas robóticas de cinemática paralela em processos

de usinagem de precisão na indústria. Focando o aspecto da precisão, trabalhou-se na

proposta de uma metodologia baseada em cinemática inversa, matrizes jacobianas e

trabalho virtual para ser aplicada a estruturas paralelas, na quantificação teórica de

diversas fontes de erros individuais.

Notando ainda não se ter chegado a um consenso sobre o tipo de arquitetura

paralela mais indicado para operações de fresamento, propôe-se uma nova topologia de

máquina cinemática paralela assimétrica, desenvolvida por métodos de síntese

topológica existentes.

Aplicando a metodologia proposta à estrutura desenvolvida, foram elaborados

modelos matemáticos e algorítmos computacionais, para mapear os erros que causam

desvios de posicionamento da plataforma móvel e por conseguinte da ferramenta de

trabalho presa a esta, em função do espaço de trabalho disponível.

4

2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

A presente revisão bibliográfica está focada em apresentar o histórico das

pesquisas mais recentes e relevantes realizadas, assim como da condição atual ou

“estado da arte”, destacando os critérios para a avaliação do desempenho das estruturas

com arquitetuta de cinemática paralela.

Na seção 2.1, apresentam-se os fundamentos acerca de estruturas paralelas em

geral. Além disto, busca-se nesta seção um esclarecimento quanto a terminologia

normalmente empregada na literatura. Na seção 2.2, são mostradas algumas aplicações

atuais e potenciais das estruturas paralelas, sendo também feita uma comparação quanto

ao desempenho entre estas e as estruturas seriais, mostrando as vantagens e

desvantagens de cada uma, em especial quanto à sua utilização como máquinas-

ferramentas. Na seção 2.3 é tratada a questão da topologia das estruturas paralelas,

apresentando algumas classificações segundo os critérios da mobilidade, formas de

motorização, simetria e espaço de trabalho. Na seção 2.4 são descritos alguns métodos

de síntese topológica, responsáveis pela geração de arquiteturas alternativas para a

realização de uma determinada tarefa. Na seção 2.5 se comenta sobre as análises

cinemáticas direta e inversa, bem como sobre as transformações homogêneas para

relacionar as coordenadas definidas num sistema de referência local vinculado à

plataforma móvel, com aquelas definidas num sistema de referência global vinculado à

base fixa. A seção 2.6 trata do processo de obtenção das matrizes jacobianas e a sua

importância para a avaliação de erros e verificação de ocorrência de singularidades. Na

seção 2.7, define-se o espaço de trabalho de uma estrutura paralela, além de apresentar

os métodos para a sua obtenção. Na seção 2.8 são descritas algumas das fontes de erros

mais relevantes, que interferem diretamente na precisão das estruturas paralelas e por

conseguinte na avaliação de desempenho como um todo. Finalmente, a revisão

bibliográfica se encerra na seção 2.9, com alguns comentários finais, quanto a possíveis

pesquisas relacionadas ao tema da determinação do erro, em função da enumeração de

problemas em aberto.

5

2.1 Fundamentos acerca de estruturas robóticas paralelas

As estruturas robóticas paralelas resultaram da própria evolução dos

mecanismos, entendidos como subsistemas mecânicos transformadores de movimento,

presentes em inumeras máquinas e dispositivos.

Os mecanismos são uma combinação de corpos rígidos ou resistentes, também

conhecidos por elos, de tal forma conectados, que se movam um em relação ao outro

com movimentos definidos, formando uma ou mais cadeias cinemáticas ou membros

(REULEAUX, 1875).

As cadeias cinemáticas ou membros, podem ser classificadas como abertas,

fechadas ou híbridas, dependendo de os elos das suas extremidades estarem unidos ou

não (fig. 2.1). Assim, uma cadeia cinemática é considerada fechada quando as suas duas

extremidades se encontram unidas. Já quando as duas extremidades da cadeia

cinemática estão separadas, a cadeia é considerada aberta.

Fig. 2.1 - Cadeias cinemáticas, (HESS-COELHO, 2005). (a) aberta; (b) fechada.

Os elos podem ser classificados de acordo com a sua função em: fixo, motor(es)

e movidos. O elo fixo sustenta toda a estrutura e não realiza qualquer movimento; o(s)

elo(s) motor(es) está(ão) diretamente acoplado(s) ao(s) motor(es) de acionamento e

(a) (b)

6

coloca(m) o sistema em movimento; os elos movidos se deslocam em função do

movimento imposto pelo(s) elo(s) motor(es) (HARTENBERG e DENAVIT, 1964).

Como ilustrado na tabela 2.1, os elos podem tomar a forma de bases fixas,

plataformas móveis e hastes.

Tabela 2.1 - Tipos de elos e suas representações esquemáticas.

Elo Representação esquemática

1. Haste

2. Plataforma móvel

3. Base fixa

As conexões ou uniões entre os elos, são feitas por intermédio de elementos

conhecidos como pares cinemáticos ou juntas mecânicas. Existem diversos tipos de

juntas e cada uma permite um determinado número de graus de liberdade entre os elos

por elas conectados. O termo graus de liberdade GL é uma característica associada à

junta e se refere ao número de movimentos independentes que um elo pode efetuar em

relação ao outro. Dentre as juntas, podem ser citadas as de rotação ou de revolução, as

prismáticas ou de translação, as helicoidais ou tipo rosca, as cilíndricas, as universais, as

esféricas, dentre outras.

Uma vez que cada uma destas juntas possui uma forma geométrica básica,

porém podendo assumir diferentes formas construtivas, adotam-se algumas

representações esquemáticas para facilitar o seu desenho na estrutura, como ilustrado na

tabela 2.2 (SUH e RADCLIFFE, 1978).

7

Tabela 2.2 - Tipos de juntas (SUH e RADCLIFFE, 1978).

Junta Geometria Representação GL

1. Revolução (R)

1

2. Prismática (P)

1

3. Helicoidal (H)

1

4. Cilíndrica (C)

2

5. Universal (U)

2

6. Esférica (S)

3

Nas estruturas robótica de cinemática paralela, a base fixa e a plataforma móvel

são os dois elos principais, os quais são unidos entre si por duas ou mais cadeias

cinemáticas independentes (MERLET, 2000; HESS-COELHO, 2005). Na plataforma

móvel, encontra-se a garra ou ferramenta de trabalho, que se move num espaço de

trabalho bidimensional ou tridimensional, em função de deslocamentos impostos pelos

motores instalados em cada uma dos membros ou cadeias cinemáticas independentes.

Dois membros são considerados independentes, quando o movimento de um

membro não é afetado pelo movimento do outro. Por outro lado, dois membros são

considerados dependentes no caso em que o movimento de um membro é determinado

pelo do outro. A fig. 2.2 mostra uma vista esquemática de uma estrutura robótica de

cinemática paralela genérica.

8

Fig. 2.2 - Esquema de estrutura robótica de cinemática paralela (HESS-COELHO,

2005).

2.2 Comparações entre estruturas seriais, paralelas e híbridas

2.2.1 Estruturas seriais

Dentre as estruturas seriais mais antigas e tradicionais estão as máquinas-

ferramentas como o torno mecânico e a fresadora (fig. 2.3). Nestas máquinas-

ferramentas, os deslocamentos ocorrem em função do movimento relativo de translação

de três guias sobrepostas, nas direções dos eixos ortogonais coordenados x, y, z do

sistema cartesiano.

Fig. 2.3 - Fresadora CNC Universal MH-700C MAHO.

Plataforma móvel

Base Fixa

Junta mecânica

Elo

9

Destas máquinas, evoluíram os modernos centros de usinagem com CNC

(Comando Numérico Computadorizado), sendo apresentado a seguir como exemplo o

VMC 135E (fig. 2.4).

Fig. 2.4 - Centro de usinagem “VMC 135E” (RASZL e HESS-COELHO, 2005).

Tab. 2.3 - Dados técnicos do centro de usinagem “VMC 135E”.

Precisão de posição 3 [µm]

Espaço de trabalho 800 [dm3]

2.2.2 Estruturas paralelas

As primeiras estruturas paralelas surgiram no final da década de 1940, têndo

encontrado utilidade prática principalmente a partir da década de 1960. Assim, durante

as décadas de 1960 e 1970 eram empregadas básicamente como máquinas de testes de

rodagem, simuladores de vôo para treinamentos (fig. 2.5a) ou equipamentos de

entretenimento em centros de lazer (fig. 2.5b).

10

a b

Fig. 2.5 - Estrutura paralela: (a) primeiro simulador de vôo construído por Claus Cappel

na década de 1960; (b) simulador de treinamento “MD-11”, (HESS-

COELHO, 2008).

Na década de 1980, as estruturas paralelas começaram também a ser empregadas

como manipuladores robóticos, especialmente para operações pega-e-põe de altas

velocidades, mas onde não havia a exigência de grandes precisões. Dentre estes

manipuladores, destacam-se os baseados na estrutura tipo Delta, constituida por

diversos paralelogramos unidos a uma plataforma móvel, como a IRB 340 FlexPicker

da ABB (fig. 2.6). Suas velocidades chegam a 10 m/s e as acelerações a 100 m/s2.

11

Fig. 2.6 - Manipulador pega-e-põe IRB 340 FlexPicker da ABB, (HESS-COELHO,

2005).

Foi sómente em meados da década de 1990 que as estruturas robóticas de

cinemática paralela passaram a despertar um interesse maior por parte da industria e

universidades, para aplicações como máquinas-ferramentas (fig. 2.7), como alternativa

às estruturas de cinemática serial convencionalmente utilizadas.

Fig. 2.7 - Máquina-ferramenta paralela Cosmos Center PM-600 de 5 eixos da Okuma

(MERLET, 2006b).

12

As estruturas paralelas possuem determinadas características técnicas que as

fazem ter uma série de vantagens em relação às estruturas seriais. Elas têm massa

reduzida, pelo fato de serem constituídas por cadeias cinemáticas que atuam

simultâneamente sobre a plataforma móvel e por seus motores estarem localizados na

base ou junto a esta, resultando em uma resposta dinâmica rápida em termos de

velocidade e aceleração, assim como em uma alta relação carga/peso (MERLET, 2000).

Suas construções são modulares, devido ao uso repetido de elementos idênticos como

elos e motores, resultando em montagens mais simples e na redução do custo total

(WECK e SCHUMACHER, 1998). Proporcionam alta flexibilidade de movimentos

resultando em uma única preparação de máquina.

Contudo, as estruturas paralelas apresentam também algumas desvantagens em

relação às estruturas seriais. Elas têm uma complexidade mecânica maior, em virtude da

montagem e devido aos elementos que o constituem. Necessitam de um controle

complexo envolvendo até seis motores, em seu caso mais geral, mesmo para realizar

uma simples trajetória retílinea. Existe a possibilidade da ocorrência de singularidades,

principalmente por colisão entre seus membros. Apresentam uma relação desfavorável

entre o seu espaço de trabalho e o volume ocupado pelo sistema. E principalmente, há

problemas em atingir altas precisões, quanto ao posicionamento e orientação da

ferramenta de trabalho.

Para solucionar estes problemas, e assim obter sistemas com desempenhos

globais cada vez mais elevados, os centros de pesquisas acadêmicos e industriais vêm

trabalhando intensamente, apresentando protótipos com topologias alternativas e

desenvolvendo novos modelos matemáticos. Estes desempenhos globais se referem à

melhoria das caraterísticas negativas, como por exemplo a falta de precisão, mas sem

perda das características positivas, como as altas velocidades e acelerações.

Até o final da década de 1990, houve um predomínio das estruturas hexapodes,

com mobilidade seis. A mobilidade M é uma característica associada ao mecanismo

como um todo e se refere ao número de movimentos independentes possíveis que os

elos móveis de uma estrutura com cinemática paralela podem realizar. Frequentemente

a mobilidade coincide com o número de motores.

Como exemplo é apresentado a seguir o centro de usinagem CMW 300 da CMW

(fig. 2.8).

13

Fig. 2.8 - Estrutura robótica paralela hexapode CMW 300 da CMW,


Tabela 2.4 - Dados técnicos da estrutura paralela hexapode CMW 300 da CMW.

Precisão de posição 12 [µm]


A partir do início da década de 2000 até os dias atuais, os desenvolvimentos se

voltaram para as estruturas cinemáticas paralelas com menor mobilidade,

principalmente as tripodes, com mobilidade três. A adoção destas arquiteturas, em

substituição às hexapodes, de mobilidade seis, resulta na utilização de sistemas de

menor complexidade mecânica, que traz como conseqüência a simplificação no

controle, uma melhor relação entre o tamanho da estrutura e o espaço de trabalho

disponível e a redução no seu custo por conter um número menor de componentes.

Como exemplo é apresentado a seguir o Ulysses da Fatronik (fig. 2.9).

14

Fig. 2.9 - Estrutura robótica paralela tripode Ulysses da Fatronik,


Tabela 2.5 - Dados técnicos da estrutura paralela tripode Ulysses da Fatronik.

Precisão -- [µm]


2.2.3 Estruturas híbridas

Outra tendência observada é a utilização de arquiteturas híbridas, ou seja, a

combinação de estruturas paralelas com seriais, de modo a aproveitar os pontos

favoráveis associados ao emprego destes diferentes tipos de mecanismos. Desta forma,

pode-se alcançar um espaço de trabalho de translação ou orientação maior.

Como exemplos é apresentado a seguir o Tricept 805 da SMT (fig. 2.10).

15

Fig. 2.10 - Máquina-ferramenta híbrida Tricept 805 da SMT,


Tabela 2.6 - Dados técnicos da máquina-ferramenta híbrida Tricept 805 da SMT.

Precisão 50 [µm]


Para melhor poder comparar as estruturas apresentadas, com relação à precisão,

e ao espaço de trabalho, a tabela 2.7 reune os respectivos dados das tabelas 2.3 a 2.6.

Tabela 2.7 - Comparativo entre estruturas seriais, paralelas e híbridas.

Estrutura Modelo Precisão de posição

[µm]

Espaço de trabalho

[dm3]

Serial VMC 135E 3 800

Paralela hexapode CMW 300 12 90

Paralela tripode Ulysses -- 200

Híbrida Tricept 805 50 900

16

2.3 Classificação topológica de estruturas robóticas paralelas

Devido às características das estruturas robóticas de cinemática paralela, é

possível conceber uma infinidade de topologias, geradas a partir de diferentes

combinações de seus membros ou cadeias cinemáticas independentes. Assim, devido à

enorme variedade de combinações topológicas possíveis, surgiram diversas maneiras de

se classificar as estruturas cinemáticas paralelas em grupos ou famílias. Dentre outras,

podem ser citadas as classificações com relação aos graus de mobilidade, à forma de

atuação ou motorização, à simetria e ao espaço de trabalho da estrutura.

A classificação em função dos graus de mobilidade é feita de acordo com o

número de movimentos independentes possíveis que os elos móveis da estrutura

cinemática podem realizar. Nas estruturas cinemáticas paralelas, os graus de mobilidade

podem variar entre um a seis. Dentre as mais tradicionais, estão as hexapodes, com seis

graus de mobilidade e as tripodes com três graus de mobilidade.

A classificação quanto a forma de atuação ou motorização é feita de acordo

com os tipos de motores utilizados, que podem ser rotativos ou lineares. Os motores

rotativos são preferívelmente utilizados em robôs manipuladores e os motores lineares

mais utilizados em máquinas-ferramentas, devido às relação de transmissão com

elevadas reduções de velocidades. Quando nos referimos a motores lineares, queremos

dizer juntas prismáticas ativas, o que engloba diferentes soluções construtivas, tais

como cilindros hidráulicos ou pneumáticos, motores elétricos rotativos acoplados a

fusos de esferas recirculantes ou mesmo motores elétricos lineares.

A classificação em função da simetria é feita separando as estruturas paralelas

em simétricas e assimétricas. As estruturas simétricas contém membros independentes

idênticos, apresentando o mesmo número e tipo de juntas, dispostas na mesma

sequência. Por outro lado, as estruturas assimétricas são aquelas que não satisfazem a

definição anterior. Desta forma, o sentido da simetria não é geométrico, mas sim

topológico.

Quanto à dimensão do espaço de trabalho, as estruturas podem ser

bidimensionais ou tridimensionais. Nas estruturas bidimensionais, os elos móveis

executam movimentos em planos que sejam paralelos entre si. As estruturas

tridimensionais, por sua vez, são representadas por aquelas que não satisfaçam as

condições definidas para estruturas bidimensionais.

17

Para uma correta e uniforme identificação de cada tipo de estrutura robótica de

cinemática paralela desenvolvida, se convencionou o emprego de uma notação literal

(BONEV, 2001). Esta notação se baseia numa representação por meio de letras, em

função do tipo de juntas e também da seqüência em que elas aparecem na estrutura,

partindo-se da base fixa até chegar à plataforma móvel. Além disso, uma letra

sublinhada representa uma junta ativa ou motora, isto é, um dos elos associados a esta

junta está acoplado a um motor. Por conseguinte uma letra não sublinhada representa

uma junta passiva ou movida.

Dentre os tipos de estruturas paralelas simétricas podem ser citadas a 6UPS e a

6RUS, com seis graus de mobilidade (fig. 2.11). Para as do tipo 6UPS, a mais conhecida

é a plataforma Stewart-Gough (STEWART,1966), tendo diferentes geometrias sido

apresentadas por GOSSELIN (1990), GOSSELIN (1992) e BENEA (1996) entre outros.

Para as do tipo 6RUS, o mais polular é o robô Hexa proposto por Hunt em 1983

(PIERROT et al., 1990), tendo diversas geometrias sido apresentadas por ZAMANOV

(MERLET, 1996) e TAKEDA et al. (1996), entre outros.

(a) (b)

Fig. 2.11 - Modelos cinemáticos de estruturas paralela simétricas: (a) 6UPS

(STEWART, 1966), (b) 6RUS (BONEV e GOSSELIN, 2000).

Dentre os tipos de estruturas paralelas assimétricas podem ser citadas a

3UPS+CP e a 3PUS+CP, com três graus de mobilidade (fig 2.12).

18

(a) (b)

Fig. 2.12 - Esquemas de estruturas paralelas assimérticas (HESS-COELHO, 2008):

(a) 3UPS+CP; (b) 3PUS+CP.

2.4 Síntese topológica para estruturas robóticas paralelas

A finalidade da síntese topológica é a geração de arquiteturas alternativas para a

realização de uma determinada tarefa. Nesta seção são caracterizados vários métodos

propostos na literatura com este fim. Independentemente do método adotado para a

síntese topológica, é usual tomar como ponto de partida a definição da mobilidade

necessária, bem como os tipos de movimentos que viabilizarão a realização da tarefa.

Dentre os métodos propostos podem ser citados aqueles que se baseiam no critério de

Gruebler-Kutzbach e na teoria dos grupos de Lie. Além destes, há também os métodos

da enumeração de membros ativos e da adição de membro passivo.

O critério de Gruebler-Kutzbach (TSAI, 1999), definido pela equação (2.1),

costuma ser empregado para a determinação da mobilidade de uma estrutura cinemática

conhecida. No caso da síntese topológica, a mobilidade M e o índice λ são

especificados. A mobilidade está associada ao número de movimentos independentes

que a plataforma móvel deverá realizar. O índice λ corresponde à ordem do espaço em

que a estrutura irá operar, sendo três para o espaço bidimensional e seis para o espaço

tridimensional. Contudo, como a estrutura não é conhecida, não sabemos o número total

de elos n, bem como o número de juntas npj que permitem j graus de liberdade. Assim, a

partir da equação 2.1, pode-se obter uma relação entre o número total de elos n e o

número de juntas npj, com a seguinte restrição: seus valores devem ser números inteiros.

( ) ( )∑−

=

⋅−−−⋅=1

1

1λ

λλj

PjnjnM (2.1)

19

Este método pode ser aplicado no desenvolvimento de estruturas seriais ou

paralelas, porém apresenta o inconveniente de que alguns tipos de estruturas

tridimensionais não obedecem a este critério, ou seja, possuem mobilidade maior ou

menor do que a calculada. Como exemplos podem ser citados o mecanismo de Bennet

(ANANTHASURESH e KOTA, 1993) e o Tripteron (GOSSELIN et al., 2004).

O método que se baseia na teoria dos grupos de deslocamento de Lie foi

proposto por HERVÉ (1978) inicialmente para determinar a mobilidade M de

mecanismos em geral. Posteriormente, este autor estendeu este método para a geração

de estruturas cinemáticas paralelas. Considere uma estrutura paralela formada por seis

elos e contendo seis juntas de rotação, conforme a fig. 2.13 (HESS-COELHO, 2008).

Para se determinar a mobilidade da plataforma 4, admite-se inicialmente que esta esteja

apenas vinculada aos elos 1, 2 e 3. Assim, os seus movimentos independentes serão

duas translações, ao longo dos eixos x e z, e uma rotação em torno do eixo y. Por outro

lado, imaginando que a plataforma 4 estivesse vinculada aos elos 1, 5 e 6, seus

movimentos independentes seriam duas translações, ao longo dos eixos y e z, e uma

rotação em torno do eixo x. A intersecção dos movimentos possíveis previstos para a

plataforma 4 permite concluir que o único movimento independente seja a translação na

direção do eixo z. Consequentemente, a sua mobilidade será unitária.

O método proposto por Hervé é exatamente o procedimento inverso ao descrito

anteriormente, ou seja, especificam-se movimentos da plataforma móvel, investigam-se

os membros vinculados a esta plataforma, de tal forma que a intersecção dos grupos de

movimentos que cada membro permite, coincida com os movimentos desejados para a

plataforma.

Fig. 2.13 - Mecanismo paralelo RRRRRR (HESS-COELHO, 2008).

20

Para os métodos que serão descritos a seguir, é necessário apresentar a definição

de conectividade. A conectividade C de um membro corresponde à soma do número de

graus de liberdade das juntas contidas no próprio membro ou cadeia. Por outro lado, a

conectividade total CT da estrutura cinemática pode ser definida como a soma das

conectividades parciais dos seus membros (SHOHAM e ROTH, 1997).

O método de enumeração de membros ativos (HUNT, 1983; TSAI, 1999) se

baseia no critério de Gruebler-Kutzbach, sendo no entanto mais sistemático para a

determinação de estruturas paralelas. A partir da equação 2.2, calcula-se a conectividade

total CT da estrutura cinemática, admitindo-se conhecidos o índice do espaço λ e a

mobilidade M. Deve-se ressaltar que o número de membros ativos m, que conectam a

plataforma móvel à base fixa, deve ser igual à própria mobilidade M, e as

conectividades parciais Ck possuem limites inferior M e superior λ.

( ) λλ −⋅+==∑=

MCCm

k

kT 11

(2.2)

Este método é aplicado exclusivamente a estruturas cinemáticas paralelas, sendo

citado como exemplo de aplicação, o mecanismo de cinemática paralela 3RRR

representado na fig. 2.14, que possui mobilidade igual a três, tem três de graus de

liberdade por ser plano e o número de membros ativos também é igual a três. Assim,

pela equação 2.2, a conectividade total resulta igual a nove.

Fig. 2.14 - Mecanismo paralelo 3 RRR (HESS-COELHO, 2005).

21

O método de adição de um membro passivo (BROGARDH, 2002), considera

que o movimento da plataforma móvel fica limitado por um membro passivo conectado

a ela. A conectividade total CT da estrutura cinemática é calculada através da equação

2.3, impondo a restrição de que as conectividades parciais Ck dos elos ativos m devem

ser iguais ao número de graus de liberdade GL.

( ) MCCm

k

kT ⋅+==∑+

=

11

1

λ (2.3)

Este método também é aplicado exclusivamente a estruturas cinemáticas

paralelas. A máquina-ferramenta Neos-Tricept (fig. 2.15), foi projetada segundo este

método. O movimento da plataforma móvel é limitado por um membro passivo UP e a

conectividade parcial de cada um dos três membros ativos UPS é igual a 6 (seis), assim

sendo a máquina é capaz de executar 3 (três) movimentos independentes no espaço:

uma translação e duas rotações.

a b

Fig. 2.15- Estrutura paralela Neos-Tricept da ABB, apud (HESS-COELHO, 2005):

a) foto; b) modelo cinemático.

Recentemente, HESS-COELHO (2007) formalizou um método alternativo de

síntese, que gera estruturas paralelas assimétricas. O método é realizado em três passos:

1. Considere como ponto de partida uma arquitetura gerada pelo método de adição de

membro passivo;

2. elimine um de seus membros ativos;

3. torne ativo o membro passivo.

22

Como exemplo citamos a estrutura paralela 2RUS+PRP (HESS-COELHO,

2007) apresentada na fig. 2.16. A mesma possui mobilidade M igual a três, sendo que

sua plataforma executa duas translações e uma rotação. Para determiná-la, parte-se de

uma estrutura 3RUS+PRP, cujo membro passivo PRP é convenientemente escolhido de

modo a restringir o movimento da plataforma móvel (1º passo). A seguir, elimina-se um

dos membros ativos RUS (2º passo). Finalmente, torna-se ativo o membro passivo PRP,

acoplando um motor a uma das juntas prismáticas (3º passo).

Fig. 2.16 - Estrutura paralela 2RUS+PRP (HESS-COELHO, 2007).

2.5 Análise cinemática de estruturas robóticas paralelas

A análise cinemática de uma estrutura robótica paralela tem por finalidade

relacionar a localização da plataforma móvel, na qual se localiza a ferramenta, com os

deslocamentos impostos pelos seus atuadores ou motores. Em termos de importância, a

análise cinemática é fundamental para o levantamento do espaço de trabalho disponível,

na verificação de ocorrência de singularidades, no planejamento de trajetórias da

ferramenta e na avaliação do desempenho de uma estrutura robótica.

Nesta seção, será abordada a análise cinemática de posição, que pode ser de dois

tipos: direta e inversa. Na cinemática direta, deseja-se determinar a localização da

plataforma móvel a partir dos deslocamentos impostos pelos seus motores, admitidos

conhecidos. Na cinemática inversa, pretende-se determinar os deslocamentos impostos

pelos motores a partir da localização conhecida da plataforma móvel. Deve-se enfatizar

que o termo localização incorpora tanto a posição, referente às coordenadas de um

23

ponto notável da plataforma, como a orientação, normalmente descrita por uma

sequência de ângulos de Euler (TSAI, 1999).

Para a realização da análise cinemática, são admitidos conhecidos todos os

parâmetros geométricos e dimensionais dos elos e das juntas. Tais parâmetros estão

contidos num vetor Π. O vetor q representa os deslocamentos impostos pelos motores,

enquanto que o vetor p contém os elementos necessários para definir a localização da

plataforma móvel. Assim, a relação entre os vetores q, p e Π pode ser representada

matematicamente por um vetor f de funções nulas. Este vetor possui dimensão M, que

corresponde à própria mobilidade da estrutura robótica.

( ) [ ] 0,...,,,, 21 ==ΠT

Mfffpqf 2.4

Dentre os vários métodos para a obtenção do vetor f, convém destacar aquele

que se baseia em transformações homogêneas para relacionar as coordenadas definidas

num sistema de referência local vinculado à plataforma móvel, com aquelas definidas

num sistema de referência global vinculado à base fixa (CRAIG, 1989). Os sistemas

homogêneos admitem pelo menos a solução trivial que é igual a zero.

2.6 Jacobianos – erros e singularidades em estruturas robóticas paralelas

Para se determinar o Jacobiano associado a uma estrutura paralela, deriva-se em

relação ao tempo, o vetor f da equação 2.4

qJpJ qp&& ⋅=⋅ (2.5)

sendo q& , o vetor cujos elementos representam as velocidades associadas às juntas

motoras; p& , o vetor cujos elementos correspondem às velocidades associadas à

plataforma móvel; Jq e Jp, as matrizes que correspondem aos dois tipos de jacobianos

associados às estruturas paralelas, que são respectivamante o jacobiano das juntas

motoras e o jacobiano da plataforma móvel. Os vetores mencionados são M x 1,

enquanto que as matrizes são M x M, sendo M a mobilidade do mecanismo.

24

Uma vez que os Jacobianos de uma estrutura paralela estejam determinados, é

possível encontrar as suas configurações singulares e as velocidades dos motores em

função de uma dada velocidade de operação prevista para a plataforma móvel.

Assim, as velocidades das juntas motoras podem ser calculadas rearranjando a

eq. 2.5, que fica na forma

pJJq pq&& ⋅⋅= −1 (2.6)

Deve-se evitar que uma estrutura paralela atinja configurações singulares, sendo

que elas podem ser determinadas impondo-se que os determinantes das matrizes Jq e Jp

sejam nulos (GOSSELIN e ANGELES, 1990), isto é

0)det( =qJ (2.7)

e

0)det( =pJ (2.8)

Por um lado, quando 0)det( =pJ , a estrutura robótica pode perder

completamente a sua inerente rigidez, devido ao aumento de graus de mobilidade,

acarretando em movimentos infinitesimais indesejados, mesmo quando todos os

atuadores estão totalmente inertes, tornando-se incontrolável (MERLET, 2000). A fig.

2.17 mostra um mecanismo plano RRRRR, no qual a plataforma móvel pode girar,

mesmo com os membros motores parados (HESS_COELHO, 2005).

Fig. 2.17 - Configuração singular de movimento incontrolável no interior do espaço de

trabalho, em um mecanismo plano RRRRR (HESS-COELHO, 2005).

Atuador Atuador

Plataforma móvel

25

E por outro lado, quando 0)det( =qJ , a plataforma móvel se aproxima dos

limites de seu espaço de trabalho, resultando na perda de uma ou mais mobilidades e

ocupando assim também uma configuração singular (TSAI, 1999). A fig. 2.18 ilustra

um mecanismo plano RRRRR, no qual as juntas de rotação ficam alinhadas, limitando o

espaço de trabalho (HESS-COELHO, 2005).

Fig. 2.18 - Configuração singular de redução de movimento, limitando o espaço

de trabalho, em um mecanismo plano RRRRR (HESS-COELHO, 2005).

Uma outra utilidade relevante para o Jacobiano é permitir a determinação de

erros de localização da plataforma móvel, provocados por imprecisões nos

deslocamentos impostos pelos motores. Pode-se relacionar estes dois erros por meio de

uma aproximação de 1ª ordem para a série de Taylor do vetor de funções f.

qqpp JJ δδ ⋅=⋅ (2.9)

sendo δq, o vetor cujos elementos representam as imprecisões nos deslocamentos das

juntas motoras; δp, o vetor cujos elementos correspondem aos erros de posicionamento

da plataforma móvel. Assim, os erros de localização da plataforma móvel podem ser

calculados rearranjando a equação 2.9, que fica na forma

qqpp JJ δδ ⋅⋅= −1 (2.10)

Atuador Atuador

Plataforma móvel

26

2.7 Espaço de trabalho de estruturas robóticas paralelas

O espaço de trabalho de uma estrutura robótica de cinemática paralela

corresponde a uma região bidimensional ou tridimensional, que a plataforma móvel é

capaz de alcançar (fig. 2.19). Costuma-se classificar os espaços de trabalho em duas

categorias: de translação e de orientação.

O espaço de trabalho de translação refere-se ao conjunto de posições que um

ponto pertencente à plataforma móvel pode ocupar, mantendo-se fixa a orientação da

plataforma. Por outro lado, define-se o espaço de trabalho de orientação (BONEV e

RYU, 2001b), como sendo o conjunto de possíveis rotações da plataforma, mantendo-se

imóvel apenas um de seus pontos.

Sob um ponto de vista prático, na avaliação do espaço de trabalho de uma

estrutura paralela, deve-se considerar que os seus movimentos estão sujeitos a três tipos

de restrições: singularidades, limites mecânicos das suas juntas, além das eventuais

interferências entre seus membros (MERLET, 2000).

Há três tipos de abordagens seguidas para a determinação do espaço de trabalho:

a geométrica, a baseada na discretização e através de técnicas de otimização. A

abordagem geométrica (STERNHEIM, 1988; GOSSELIN et al., 1992; BONEV e

RYU, 2001a), normalmente empregada em estruturas bidimensionais ou tridimensionais

simples, consiste no emprego de operações booleanas sobre áreas ou volumes de

entidades primitivas (cilindros, esferas, etc). O método de discretização considera que o

espaço de trabalho seja determinado a partir de um reticulado regular, seja cartesiano ou

polar, de nós. Verifica-se para cada um dos nós do reticulado, a sua relação de

pertinência ao espaço de trabalho. A fronteira do espaço de trabalho é constituída por

um conjunto de nós que tenham pelo menos um vizinho que não pertença a este espaço.

A abordagem baseada no emprego de técnicas de otimização compreende a definição de

funções que devam ser maximizadas ou minimizadas, além da satisfação de restrições

de igualdade e/ou desigualdade (HUANG et al., 1998). ALCIATORE e NG (1994),

aplicaram o método de Monte Carlo e a segmentação por mínimos quadrados, para

determinar os limites dos espaços de trabalho. Ainda dentro desta abordagem, pode-se

mencionar o procedimento sugerido por GOSSELIN e BOUDREAU (1999), que se

baseia na seleção dos parâmetros de uma estrutura paralela de modo a esta se

27

movimentar dentro de um espaço de trabalho especificado, utilizando algoritmo

genético.

(a) (b)

Fig. 2.19 - Espaço de trabalho. a) Delta 4 (STAMPER et al, 1997); b) Tricept (XI et al,

2004).

STAMPER et al. (1997) enfatizaram que, na síntese dimensional de um robô

paralelo, não se deve buscar apenas a maximização do tamanho do espaço de trabalho.

É necessária, sobretudo, uma atenção especial à qualidade do espaço de trabalho obtido,

normalmente mensurada por índices de desempenho cinetostáticos.

2.8 Avaliação do desempenho de estruturas robóticas paralelas

Os critérios para avaliar o desempenho de uma estrututa robótica paralela,

podem ser o tamanho do espaço de trabalho, a velocidade e a aceleração da ferramenta,

a precisão de posicionamento e orientação da ferramenta, a capacidade de carga, entre

outros. A síntese dimensional de uma estrutura paralela tem como finalidade determinar

parâmetros como, por exemplo, as dimensões dos elos, as direções dos eixos de rotação

das juntas e seus cursos, de modo a satisfazer tais critérios (CHABLAT e WENGER,

2003).

Com relação à precisão de posicionamento e orientação da ferramenta, deve-se

ressaltar que um dos principais problemas para a utilização prática das estruturas

paralelas, como máquinas-ferramentas, está na dificuldade de se conseguir alcançar a

28

precisão requerida durante o processo, como por exemplo, em operações de fresamento.

As causas da imprecisão destas estruturas devem-se aos erros devidos a

deformações elásticas, imprecisões geométricas e cinemáticas, dilatações térmicas, entre

outros.

2.8.1 Erros por deformações elásticas

A rigidez insuficiente dos elos e juntas de uma estrutura paralela pode acarretar

deformações elásticas inaceitáveis devido às forças e momentos aplicados (ZHANG,

2000). Tais deformações provocam desvios na localização ideal programada para a

plataforma móvel, que sustenta a ferramenta, dentro do espaço de trabalho. Assim, a

rigidez global da estrutura não só afeta a sua precisão, como também a sua capacidade

de carga e as suas características dinâmicas por conta das vibrações (CARBONE e

CECCARELLI, 2007). Considerando uma situação puramente estática, a relação entre

os esforços atuantes nos elementos motores com as deformações elásticas

correspondentes, é dada pela eq. 2.11

eKF δ⋅= (2.11)

sendo F, a força atuante; K, a matriz de rigidez global dos membros motores e δe, as

deformações elásticas correspondentes.

Para avaliar o comportamento da rigidez global de uma estrutura paralela em

todo seu espaço de trabalho, toma-se como ponto de partida a determinação da sua

correspondente matriz de rigidez.

Há pelo menos três métodos para a obtenção da matriz de rigidez (RIZK et al.,

2007): a análise por elementos finitos, o método da análise da matriz estrutural

(CORRADINI et al., 2003; ZHANG e ANGELES, 2005; PASKHEVICH et al., 2007) e

a modelagem adotando-se parâmetros de rigidez concentrados (TSAI, 1999; ZHANG et

al., 2004; XI et al., 2004; PASKHEVICH et al., 2007).

Na análise por elementos finitos, discretiza-se a estrutura original em

determinados tipos de elementos (treliças, vigas, placas), estabelecendo-se a conexão

entre eles, de modo a se obter os níveis de deformação e tensão ao longo da estrutura.

Este método tem a vantagem de fornecer os resultados mais precisos e confiáveis, em

29

comparação com os outros dois métodos mencionados, mas tem por desvantagem um

elevado custo computacional (RIZK et al., 2007). A razão deste elevado custo é em

virtude do extenso tempo gasto, tendo em vista a necessidade de se refazer a malha da

estrutura bidimensional ou tridimensional para cada configuração ocupada ao longo de

seu espaço de trabalho (PASKHEVICH et al., 2007). Assim a análise por elementos

finitos é normalmente empregada nas fases finais de projeto.

PASKHEVICH et al. (2007) destacaram que o método da análise da matriz

estrutural (SMA) também incorpora as principais idéias do método de elementos

finitos, mas trabalha com elementos maiores, tais como vigas tridimensionais flexíveis

de modo a representar a estrutura considerada.

Na modelagem empregando parâmetros de rigidez concentrados, se admite que

os elos e juntas se comportam como molas elásticas que, dependendo do caso, podem

ser de tração, flexão ou torção. Este método fornece bons resultados num tempo

computacional aceitável (RIZK et al., 2007). A equação 2.12 é consequência da

aplicação do princípio do trabalho virtual (TSAI, 1999).

JcJcK T ⋅⋅= χ (2.12)

sendo K, a matriz de rigidez global dos membros motores; χ, a matriz de rigidez

diagonal dos membros motores no sistema local de referência; JcT o transposto do

Jacobiano cinemático total e Jc, o Jacobiano cinemático total, escrito na forma,

pq JJcJc ⋅= −1 (2.13)

com Jcq-1, a inversa da matriz Jacobiana cinemática das juntas motoras e Jp, a matriz

Jacobiana da plataforma móvel.

Uma vez determinada a matriz de rigidez, podem ser calculados diferentes

índices de desempenho locais, correspondentes a uma dada configuração da estrutura

paralela. É usual empregar os seguintes índices de rigidez local: o determinante, o traço

(XI et al., 2003), a norma, o índice de condicionamento, os autovalores e autovetores

(CARBONE e CECCARELLI, 2007).

30

O determinante det(K) pode ser utilizado para investigar tanto o efeito dos parâmetros

de projeto, como as eventuais singularidades associadas à rigidez. Como normalmente

os elementos da matriz K não possuem as mesmas unidades, o seu determinante e traço

apresentam o inconveniente de dificultar uma interpretação física.

A norma da matriz K pode ser calculada de várias maneiras, dependendo do tipo

de definição de norma associada àquela matriz. Na literatura, utilizam-se as normas

Euclidiana, de Chebyshev, de Frobenius e a norma-p.

A norma Euclidiana, também denominada norma-2, é definida pela eq. 2.14

{ }ii

EK λmax|||| ≡ (2.14)

sendo o símbolo || || o operador da norma, { }iλ o conjunto de autovalores não-

negativos de K . K T.

A norma de Frobenius pode ser expressa na forma

( )Tn

i

n

j

ijF KKtrKK ⋅=≡ ∑∑= =1 1

2|||| (2.15)

A noma de Chebyshev ou norma infinita, é dada pela eq. 2.16

∑=<<

∞ =n

j

ij

mi

KK1

max

1

|||||| (2.16)

A eq. 2.15 representa a definição da norma-p

⋅≡ ∑∑

= =

n

j

n

i

ijp pKK1 1

|||||| (2.17)

É possível demonstrar que a norma-p coincide com a de Frobenius para p = 2, e

com a de Chebishev para p tendendo a infinito (CARBONE, CECCARELLI, 2007).

O índice de condicionamento de uma matriz K pode ser calculado pela eq. 2.18.

31

Tomando-se por base a norma Euclidiana, tal equação pode ser reescrita na

forma da eq. 2.19, sendo λs e λi o maior e o menor autovalor de K. K T.

( ) ||||||| 1−⋅= KKKκ (2.18)

( )i

s

E Kλ

λκ ≡ (2.19)

Os autovalores e autovetores são úteis para uma interpretação física, pois

representam as direções de máximo e mínimo desempenho de rigidez.

Os índices anteriores correspondem a índices de desempenho locais, ou seja, são

calculados para determinadas configurações ocupadas pela estrutura. Assim, também

podem ser definidos índices de desempenho globais IG, de modo a avaliar o espaço de

trabalho como um todo. A literatura apresenta vários tipos de índices globais, levando

em conta os valores mínimo, máximo ou médio (XI et al., 2003), dos índices locais

associados.

As eq. 2.20 e 2.21 representam formas de calcular o índice global

correspondente ao valor médio do índice de condicionamento

( )

V

dVKIG

∫ ⋅=

κ (2.20)

ou

( )3L

dVKIG

∫ ⋅=

κ (2.21)

sendo V o volume do espaço de trabalho, κ o índice de condicionamento, K a matriz de

rigidez global dos membros motores e L um comprimento característico da estrutura

paralela.

32

Foram desenvolvidos vários trabalhos que se propuseram a avaliar a rigidez de

estruturas paralelas com mobilidade igual a três. Dentre estes, destacam-se aqueles que

estudaram a estrutura Delta, com atuadores lineares, cuja plataforma móvel executa três

translações independentes (HUANG et al., 2001; MAJOU et al., 2006; PASKHEVICH

et al., 2007 e RIZK et al., 2007). Além destes, podem ser citados outros

desenvolvimentos como os de XI et al. (2004) e ZHANG et al. (2004), que trataram de

estruturas em que as plataformas móveis realizam duas rotações e uma translação

independentes.

HUANG et al. (2001), ao analisar uma estrutura Delta, decidiram dividir a

estrutura da máquina em duas subestruturas: a base e a estrutura cinemática paralela.

Apresentaram, como resultados, a distribuição média da rigidez nas direções axial,

radial e tangencial, na forma de gráficos tridimensionais, em função dos eixos x e y.

MAJOU et al. (2006), realizaram uma análise paramétrica de rigidez da

Ortoglide, que corresponde a uma estrutura particular da Delta (fig. 2.20).

(a) (b)

Fig 2.20 - Estrutura paralela Ortoglide (MAJOU et al, 2006): (a) foto; (b) modelo

cinemático.

Para tanto, determinaram a matriz de flexibilidade, calculada na sua

configuração isotrópica. Pela análise da expressão simbólica dos elementos desta

matriz, obtiveram os parâmetros de maior influência em relação à rigidez. Os autores

avaliaram tanto o erro de trajetória da ferramenta devido à deformação elástica, como

33

as regiões de maior rigidez no espaço de trabalho, considerando a ação das forças de

corte em processos de fresamento de alta velocidade (High Speed Machining).

PASKHEVICH et al. (2007) continuaram o trabalho de MAJOU et al. (2006),

avaliando a rigidez translacional e rotacional da estrutura Ortoglide não apenas na

configuração isotrópica, mas também em outras duas configurações distintas. Os autores

observaram uma variação de 30 a 40% dependendo da configuração ocupada dentro do

espaço de trabalho. A validação do modelo foi feita usando o método dos elementos

finitos, para as três configurações mencionadas, apresentando um erro de 10 a 15%.

RIZK et al. (2007) avaliaram a rigidez de duas estruturas da família Isoglide (fig.

2.21), uma com mobilidade três e a outra com mobilidade quatro. Os autores

apresentaram um método baseado na subestruturação das cadeias/membros, visando

calcular a matriz de rigidez global. Tal método reduz significativamente o tempo de

processamento computacional se comparado ao método de elementos finitos. Como

resultados, foram apresentados os mapas dos elementos da matriz de rigidez. Deve-se

ressaltar que as estruturas analisadas requerem tolerâncias de montagem elevadas, para

garantir os alinhamentos dos eixos das juntas de rotação. Portanto, nestes casos os erros

geométricos tendem a ser superiores aos erros de deformação elástica.

(a) (b)

Fig. 2.21- Estrutura paralela Isoglide (RIZK et al., 2007) : (a) 3-T3; (b) 4-T3R1.

34

XI et al. (2004) e ZHANG et al. (2004), avaliaram a rigidez da estrutura 3PRS

(fig 2.22), aplicando o método dos parâmetros concentrados. Propuseram dois índices

globais estatísticos: o valor médio e o desvio padrão do traço da matriz de flexibilidade

generalizada.

Fig. 2.22 - Tripode 3PRS. (XI et al., 2004).

Nestes trabalhos, os autores comparam os índices da estrutura analisada com os

índices correspondentes das máquinas Tricept, George V e Z3 (fig. 2.23).

(a) (b) (c)

Fig. 2.23 - Estruturas paralelas (XI et al., 2004): (a) Tricept; (b) George V; (c) Z3.

35

2.8.2 Erros por imprecisões geométricas e cinemáticas

Os erros geométricos são aqueles devidos a imprecisões ocorridas durante a

fabricação e montagem dos componentes da estrutura paralela. RAMESH et al. (2000a)

consideram que tais erros são as principais fontes de imprecisão das máquinas-

ferramentas. Estes erros são normalmente afetados por diversos fatores, tais como,

acabamento superficial, pré-carga em mancais, folgas, etc.

Os erros cinemáticos são particularmente significativos quando há movimento

combinado de diferentes eixos de uma máquina-ferramenta. Tais erros ocorrem durante

a execução de algoritmos de interpolação de trajetórias para a ferramenta de corte.

Com relação aos erros cinemáticos, a grande maioria dos autores utiliza a matriz

Jacobiana J, para definir índices de desempenho que quantifiquem, ainda que

indiretamente, a precisão de uma estrutura paralela.

Dentre os vários índices propostos para este fim, encontram-se a

manipulabilidade (MERLET, 2006), o índice de condicionamento (STAMPER et al.,

1997; TSAI, 1999; CHABLAT et al., 2004) e a isotropia. Convém ressaltar que estes

índices podem ser definidos tanto localmente, para uma determinada configuração,

como também globalmente, ao longo de todo espaço de trabalho. Tais índices foram,

inicialmente, propostos para robôs seriais (TSAI, 1999) e, posteriormente, passaram a

ser também adotados para robôs paralelos. A seguir, apresenta-se de forma resumida

cada um destes índices.

A manipulabilidade (HONG e KIM, 2000; MERLET, 2006) pode ser definida

como o quão facilmente e uniformemente a plataforma móvel é capaz de se mover em

direções arbitrárias. Para analisar a manipulabilidade da estrutura, emprega-se

normalmente o elipsóide de manipulabilidade. Esse elipsóide (fig. 2.24) pode ser

construido por meio de uma transformação (“mapping”) partindo de uma esfera unitária,

definida no espaço das coordenadas das juntas ativas, e chegando ao espaço das

coordenadas da plataforma móvel através da matriz jacobiana. Os eixos maiores e

menores do elipsóide indicam as direções em que a plataforma móvel pode se mover

respectivamente com maior ou menor facilidade e a medida desta facilidade é

proporcional ao comprimento dos eixos principais. Se o elipsóide for maior e mais

circular, então a plataforma móvel executará movimentos mais rápidos e mais

uniformes.

36

Figura 2.24 - Elipsóide de manipulabilidade, (MERLET, 2006).

Normalmente quando se fala em isotropia em relação a uma determinada

propriedade, significa que tal propriedade apresenta o mesmo valor em todas as direções

consideradas. Em termos cinemáticos, uma configuração é isotrópica quando o

jacobiano coincide com a matriz identidade para aquela configuração. Uma estrutura

paralela será completamente isotrópica quando o jacobiano coincidir com a matriz

identidade para todas as configurações possíveis dentro do espaço de trabalho. Este é o

caso dos robôs Tripteron e Isoglide 3-T3.

O índice de condicionamento κ, referente ao jacobiano, é empregado tanto como

indicador da precisão de um robô, como medida da proximidade de uma singularidade

(STAMPER et al., 1997; MERLET, 2006). O índice de condicionamento global ICG é

expresso pela eq. 2.22

∫

∫=

⋅

W

W

dW

dW

ICGκ

1

(2.22)

sendo W, o espaço de trabalho e κ, o índice de condicionamento, que possui valor

unitário para uma localização isotrópica da estrutura.

37

Recentemente, MERLET (2006) contestou o emprego destes índices em robôs

paralelos por considerá-los inadequados. Propôs, como critérios alternativos, o emprego

da média e da variância associadas ao máximo erro de posicionamento ao longo do

espaço de trabalho. É interessante notar que BHATTACHARYA (1988) já destacava

que as estruturas paralelas devem ser tratadas de forma distinta das estruturas seriais.

A inclusão dos erros geométricos, além dos erros cinemáticos já considerados, se

faz mediante a utilização da matriz jacobiana retangular n x M, sendo M a mobilidade e

n a soma da mobilidade com o número de parâmetros que sofrem variação.

Foram desenvolvidos vários trabalhos que se propuseram a avaliar o erro de

posicionamento em estruturas paralelas com mobilidade igual a três. Dentre estes,

destacam-se aqueles que estudaram a estrutura Ortoglide, cuja plataforma móvel

executa três translações independentes (CHABLAT e WENGER, 2003; PASHKEVICH

et al., 2005; CHABLAT et al., 2007; CARO et al., 2007). Além destes, podem ser

citados outros desenvolvimentos como os de VERNER et al. (2005), que trataram de

estruturas em que as plataformas móveis realizam duas rotações e uma translação

independentes. Por outro lado, BRIOT e BONEV (2007) avaliaram o erro cinemático de

duas estruturas bidimensionais, a 3RPR e a 3PRR, com mobilidade igual a três (fig.

2.25).

(a) (b)

Fig. 2.25 - Estrutura paralela (BRIOT e BONEV, 2007): (a) 3 RPR; (b) 3 PRP .

38

Tendo por objetivo a determinação dos parâmetros ótimos para a estrutura

Ortoglide, (CHABLAT e WENGER, 2003; PASHKEVICH et al., 2005), empregaram

dois índices cinemáticos: o índice de condicionamento da matriz jacobiana e o elipsóide

de manipulabilidade. Com estes índices, os autores obtiveram um espaço de trabalho

cartesiano, com a forma próxima de um cubo, sendo que a configuração que atinge o

ponto central deste cubo é isotrópica. CHABLAT et al. (2007), continuaram os

desenvolvimentos anteriores, aplicando na otimização que realizaram, o método

baseado na análise de intervalos. Desta forma, os autores conseguiram manter os fatores

de amplificação de velocidade dentro de intervalos pré-definidos.

CARO et al. (2007), propuseram um método para analisar a influência dos erros

geométricos e cinemáticos na Ortoglide (fig. 2.26). Os autores observaram que na

configuração isotrópica, a estrutura analisada é menos sensível a variações dimensionais

e angulares. Por outro lado, quando a estrutura se aproxima de configurações singulares,

ela se torna mais sensível a estas variações geométricas. Além disso, a partir dos

resultados das simulações, foi possível concluir que os comprimentos dos elos dos

paralelogramos causam uma influência maior sobre o erro, do que o paralelismo destes

mesmos elos.

Fig. 2.26 - Influência dos parametros geométricos e cinemáticos na posição final

do manipulador da Ortoglide (CARO et al., 2007).

VERNER et al. (2005), tendo por objetivo a calibração ótima de uma estrutura

3PRS (fig. 2.25), realizaram o mapeamento dos erros geométricos ao longo do espaço

39

de trabalho, baseando-se nos índices de condicionamento da matriz Jacobiana. Os

autores propuseram que a região selecionada para a calibração corresponda àquela de

menor sensibilidade a estes tipos de erros.

(a) (b)

Fig. 2.27 - Estrutura paralela 3PRS (VERNET et al., 2005) : (a) foto; (b) modelo

cinemático.

BRIOT e BONEV (2007), consideraram apenas o erro cinemático como

relevante, porque admitiram que as estruturas a serem analisadas foram projetadas,

fabricadas e calibradas adequadamente. Uma contribuição importante deste trabalho foi

a proposta de um novo índice de desempenho, que corresponde ao erro máximo de

posicionamento da plataforma móvel dentro do espaço de trabalho. A determinação do

erro máximo pode ser realizada mediante a análise do Hessiano da estrutura paralela.

WANG e EHMANN (2002) avaliaram o erro geométrico e cinemático de

estruturas 6UPS, com aproximações de 1ª e 2ª ordem, prevendo em sua análise a

possibilidade de incorporação de outros erros oriundos de fontes diversas, tais como

dilatações térmicas e deformações elásticas.

40

2.8.3 Erros por dilatacões térmicas

Os erros térmicos são causados por dilatações dos elementos que compôe uma

estrutura paralela, em função de aumentos de temperaturas. Embora o erro térmico

possa ser reduzido por melhorias na estrutura da máquina, ele não pode ser totalmente

eliminado devido a limitações técnicas. O erro térmico é causado por processos de

deformação não-lineares e dependentes do tempo, devido a variações de temperaturas

não-lineares na estrutura. Isto resulta da combinação de distorções térmicas de muitos

componentes de máquina com diferentes características térmicas. Os comportamentos

térmicos complexos são criados por interações entre a localização e intensidade da fonte

de calor, assim como coeficiente de resistência térmica e configuração da máquina.

YANG e NI (2004), apresentaram uma metodologia de modelamento para erros

térmicos não estacionários em máquinas-ferramentas. O método usa um modelo

dinâmico denominado rede neural cíclica integrada, para localizar erros não lineares

dependentes do tempo, sob várias condições térmicas, considerando o comportamento

dinâmico do campo de temperaturas e a deformação térmica das estruturas da máquina

(fig. 2.28). Experimentos de deformações térmicas foram conduzidos em fusos, para

avaliar o desempenho do modelo em termos de robustez e precisão.

(a) (b)

Fig: 2.28 - Efeitos da deformação térmica (CARO et al., 2007): (a) dilatações térmicas

unidirecionais; (b) distribuição das temperaturas em função da entrada de calor.

RAMESH et al. (2000b), analisam o erro térmico em máquinas-ferramentas.

Durante o processo, há geração de calor, que causa expansão dos elementos estruturais

da máquina. Os erros térmicos foram divididos em duas categorias. Na 1ª categoria

estão os erros que variam em função da temperatura mas não em função da posição

41

(PITE) e na 2ª categoria estão os erros que variam em função da temperatura e da

posição (PDTE). Analisando o comportamento da estrutura da máquina-ferramenta sob

diversos perfís térmicos, foi aplicada a teoria do comportamento termoelástico. Esta

teoria se baseia em admitir que a distribuição da pressão de contato através das juntas

controla a transferência de calor de um elemento estrutural para o outro (fig. 2.29),

lembrando que as juntas de uma máquina-ferramenta representam o contato entre os

elos da estrutura.

Fig. 2.29 - Fluxo de calor através de uma junta (RAMESH et al., 2000).

2.9 Comentários acerca da revisão da literatura

Pode-se observar da revisão da literatura realizada que:

a) as estruturas estudadas são topologicamente e geometricamente simétricas.

b) há uma tendência maior em investigar estruturas com mobilidade três.

c) existe uma dificuldade inerente ao processo de determinação dos parâmetros

das estruturas paralelas, que é consequência da necessidade de satisfazer

inúmeros critérios conflitantes, tais como, tamanho e forma do espaço de

trabalho, precisão e velocidade.

d) não há ainda um consenso quanto ao tipo de arquitetura ideal de estrutura

paralela mais adequada para aplicações de usinagem.

e) não há uma abordagem unificada para avaliar a precisão de estruturas

paralelas, considerando a influência conjunta das diversas fontes de erro

existentes, tais como, a geométrica, a cinemática, a elástica e a térmica.

f) não há ainda um consenso quanto ao índice global de desempenho mais

adequado para avaliar tanto os erros geométricos e cinemáticos, quanto os

erros elásticos.

42

3. METODOLOGIA PARA O DESENVOLVIMENTO DO TRABALHO

De modo a analisar a precisão de uma estrutura robótica paralela assimétrica, em

operações de fresamento de acabamento, propõe-se a seguinte metodologia de trabalho,

compreendendo quatro etapas:

a) Síntese de uma nova topologia de estrutura robótica paralela assimétrica, adequada

para operações de fresamento;

b) desenvolvimento de modelos matemáticos que permitam caracterizar o

comportamento cinemático da estrutura sintetizada;

c) identificação de prováveis fontes de erro que podem levar a estrutura paralela

investigada a se desviar de sua trajetória ideal durante o processo de usinagem;

d) desenvolvimento de modelos matemáticos e algoritmos computacionais que

quantifiquem os erros de posicionamento da ferramenta, devidos a cada fonte de

erro isoladamente;

Uma vez que os resultados dos modelos sejam obtidos, pretende-se:

• Validar os modelos computacionais elaborados, comparando-se os seus resultados

com aqueles fornecidos por programas comerciais;

• realizar a comparação entre os erros parciais encontrados, de modo a avaliar quais

são preponderantes e quais são irrelevantes;

• analisar a sensibilidade dos parâmetros de projeto sobre os erros de posicionamento

da plataforma móvel, que transporta a ferramenta.

A seguir, apresentam-se comentários adicionais referentes às quatro etapas da

metodologia.

3.1 Síntese da estrutura robótica paralela

Para a síntese de uma nova topologia de estrutura robótica paralela, adequada a

operações de fresamento, pretende-se empregar um método alternativo de síntese

proposto por HESS-COELHO (2007).

O ponto de partida corresponde à definição dos movimentos independentes da

ferramenta fresa, no caso três translações ao longo de eixos ortogonais. A estrutura

43

estará sintetizada completamente sob o ponto de vista topológico, quando da

determinação das juntas e elos presentes em seus membros ativos.

O processo de síntese da arquitetura será descrito no capítulo 4.

3.2 Desenvolvimento de modelos cinemáticos da estrutura paralela

Nesta etapa, apresentada no capítulo 5, pretende-se desenvolver modelos

cinemáticos que permitam, primeiramente, relacionar as coordenadas da ferramenta

com os deslocamentos proporcionados pelos atuadores.

Em segundo lugar, pela derivação no tempo das equações de posição, será

possível determinar as matrizes jacobianas, necessárias para um levantamento de

eventuais configurações singulares.

Finalmente, de posse dos modelos anteriores mencionados, será apresentado um

método para avaliação do espaço de trabalho disponível, ou seja, a região de alcance da

ferramenta.

3.3 Identificação das prováveis fontes de erro

Conforme apresentado na revisão da literatura, há diversas fontes de erro que

causam a alteração da trajetória ideal prevista para a ferramenta, durante operações de

fresamento.

No desenvolvimento do presente estudo, são considerados os erros cinemáticos,

geométricos e elásticos, sendo que os erros térmicos e os erros devidos a folgas foram

desprezados.

Os erros cinemáticos se devem à influência simultânea de imprecisões nos

deslocamentos dos membros motores sobre a localização da ferramenta.

Específicamente, estes erros são oriundos dos subsistemas de atuação e controle, tais

como motores, sensores, controlador, etc.

Os erros geométricos ocorrem devido às tolerâncias de fabricação e montagem

dos componentes, provocando uma diferença entre o modelo cinemático real e teórico.

As tolerâncias de fabricação podem ser tanto dimensionais como geométricas.

Os erros elásticos são devidos às deformações elásticas nos componentes da

estrutura paralela, em função da rigidez e dos esforços atuantes. Assim, a rigidez global

44

afeta a sua capacidade de carga e, por conseguinte, a sua precisão. Com relação aos

esforços atuantes, deve-se considerar as forças e momentos oriundos do processo de

fresamento, na interação entre a ferramenta e a peça trabalhada.

3.4 Desenvolvimento de modelos que quantifiquem cada uma das fontes de erro

consideradas

De modo geral, a análise dos erros de posicionamento da ferramenta será

realizada mediante uma aproximação de 1ª ordem, para avaliar os desvios nas funções

das equações cinemáticas. WANG e EHMAN (2002) apud MERLET (2006b)

esclarecem que, após realizar estudos sobre erros com aproximações de 1ª e 2ª ordem,

concluem que são suficientes as de 1ª ordem. As aproximações de 2ª ordem são

recomendadas em robôs de pequenas dimensões.

Os erros cinemáticos serão modelados no Capítulo 6, admitindo a hipótese de

erro nos deslocamentos dos atuadores. Os erros geométricos, por sua vez, apresentados

no Capítulo 7, serão modelados considerando imprecisões nas coordenadas das juntas

nos membros ativos. E com relação ao erro elástico, apresentado no Capítulo 8, os

modelos serão gerados aplicando-se o princípio do trabalho virtual à estrutura paralela

sob a ação da força de usinagem na fresa.

45

4. SÍNTESE DA ESTRUTURA ROBÓTICA PARALELA ASSIMÉTRICA

Para a síntese topológica de uma nova estrutura robótica paralela, adequada para

operações de fresamento, será empregado um método alternativo de síntese formalizado

por HESS-COELHO (2007). Apenas a título de informação, GOGU (2009), em seu

livro “Structural Synthesis of Parallel Robots.”, cita este método como uma das

abordagens possíveis para a síntese topológica dentre as que até hoje foram propostas.

4.1 Método alternativo de síntese

Este método alternativo de síntese consiste de três fases:

1. Síntese de uma estrutura robótica paralela segundo o método da adição de

membro passivo;

2. eliminação de um dos membros ativos;

3. instalação de um atuador no membro passivo ou movido, transformando-o em

ativo.

Com relação à 1ª fase, toma-se como ponto de partida que a ferramenta de corte,

nas operações de fresamento, execute três translações ao longo de eixos ortogonais. Para

tanto, esta ferramenta será instalada numa plataforma móvel, cuja movimentação será

restringida por um membro passivo PRP.

Fig. 4.1 - Membro central e a plataforma móvel com a ferramenta.

46

Consequentemente, a ferramenta se movimentará dentro de um espaço

tridimensional cilíndrico. De modo a definir a posição da ferramenta, são necessários

três membros ativos com conectividade seis, cada um. Neste caso, selecionaram-se três

membros ativos idênticos UPS. Assim, a estrutura se torna 3UPS+PRP.

Passando para as fases 2 e 3, elimina-se um dos membros ativos UPS e instala-se

um atuador para mover a junta P do membro central PRP. Portanto, a estrutura

resultante será 2UPS+PRP, conforme ilustrado na fig. 4.2.

Fig. 4.2 - Estrutura robótica tridimensional com cinemática paralela assimétrica

2UPS+PRP.

4.2 Descrição da estrutura robótica paralela

A estrutura robótica sintetizada é constituida por uma base fixa, uma plataforma

móvel, dois membros ativos laterais de comprimento variável ou telescópico hi e um

membro ativo central h3 .

O membro central é formado por três elos móveis e três juntas. A primeira junta,

do tipo prismática, restringe o movimento de um bloco a uma translação ao longo do

47

eixo do espaço cilíndrico de movimentação da ferramenta. A seguir, existe um outro elo

móvel articulado ao bloco por meio de uma junta de rotação, cujo eixo é paralelo ao

eixo de translação do bloco. Conectado a este elo móvel, por meio de outra junta

prismática, existe uma haste completamente viculada à plataforma móvel. Deve-se

destacar que o eixo associado a segunda junta prismática é ortogonal ao eixo da

primeira.

Com relação aos membros ativos laterais, estes conectam a base à plataforma

móvel por meio de três juntas e dois elos móveis. As três juntas presentes em cada um

dos membros laterais são do tipo universal, prismática e esférica.

Na plataforma móvel, pode ser instalado o motor responsável pela transmissão

da rotação à ferramenta (fig. 4.3b). Uma outra solução construtiva seria fixar este motor

à própria base e a transmissão de potência ser realizada por meio de um eixo

intermediário vinculado em suas extremidades aos eixos da ferramenta e do motor, por

meio da seguinte sequência de juntas: de rotação, universal, prismática, universal e de

rotação (fig. 4.3a); Desta maneira, o deslocamento angular do eixo do motor será

idêntico ao da ferramenta.

(a) (b)

Fig. 4.3 - Localização do motor da estrutura 2UPS+PRP: (a) base fixa; (b) plataforma

móvel.

48

4.3 Verificação da mobilidade e conectividade da estrutura paralela sintetizada

A mobilidade M da estrutura robótica paralela sintetizada pode ser determinada

aplicando-se o critério de Gruebler-Kutzbach (TSAI, 1999), conforme ítem 2.4. Assim,

a partir da inspeção da topologia gerada, as seguintes propriedades da estrutura podem

ser obtidas: a ordem λ do espaço de movimentação do mecanismo; o número total de

elos n ; o número de juntas npj que permitem j graus de liberdade.

No caso da estrutura paralela 2UPS+PRP, λ vale 6, uma vez que o espaço de

movimentação é tridimensional. Esta estrutura contém oito elos, incluindo-se a base

fixa, cinco juntas que permitem 1 grau de liberdade, duas juntas que permitem 2 graus

de liberdade e duas juntas que permitem 3 graus de liberdade.

Desta maneira, aplicando-se o critério de Gruebler-Kutzbach (TSAI, 1999),

obtém-se

( ) ( ) ( ) 33918611

1

=−−⋅=⋅−−−⋅= ∑−

=

λ

λλj

pjnjnM (4.1)

O valor obtido para a mobilidade corresponde exatamente ao número de

movimentos independentes necessários para a plataforma móvel e, consequentemente,

para a ferramenta de corte.

Com relação à conectividade total CT da estrutura paralela, que corresponde à

soma dos graus de liberdade de todas as juntas presentes, obtém-se o seguinte valor

( ) 15331221

=+++⋅==∑=

m

k

T jC (4.2)

4.4 Discussão

A estrutura robótica paralela 2UPS+PRP foi sintetizada topológicamente a partir

de um método alternativo de síntese. A topologia obtida é assimétrica, uma vez que o

membro central não é idêntico aos membros laterais. A presença do membro central

PRP restringe a plataforma móvel, que transporta a ferramenta, a movimentos dentro de

um espaço tridimensional cilíndrico.

49

Com relação ao esquema de atuação, uma possibilidade viável seria a utilização

de servo-motores elétricos, acoplados a fusos de esferas recirculantes, de modo a tornar

ativas as três juntas prismáticas da estrutura robótica paralela.

Ao se aplicar o método alternativo de síntese, observa-se que a conectividade de

cada um dos membros ativos laterais é igual a seis. Desta maneira, há outras sequências

possíveis para as juntas universal, prismática e esférica nestes membros. A fig. 4.4

apresenta o diagrama cinemático da estrutura sintetizada, além de outras arquiteturas

possíveis, cujos membros ativos laterais satisfazem a condição de conectividade igual a

seis.

As estruturas 2UPS+PRP (fig. 4.4 a) e 2PUS+PRP (fig. 4.4 b) são mais

adequadas em máquinas de usinagem, uma vez que a substituição das juntas ativas P

por fusos, resulta numa grande redução: um grande deslocamento angular dos

atuadores, proporciona um pequeno deslocamento para a plataforma móvel.

Por outro lado, a estrutura paralela 2RUS+PRP (fig. 4.4 c) se presta a

manipuladores robóticos, devido ao fato de que pequenos deslocamentos angulares dos

atuadores proporcionam grandes deslocamentos da plataforma móvel. Apenas a título

de esclarecimento, as 3 estruturas desta família são derivadas de um trabalho anterior

apresentado em (HESS-COELHO, MALVEZZI, 2007).

(a) (b) (c)

Fig. 4.4 - Diagramas cinemáticos das arquiteturas da família: (a) 2UPS+PRP;

(b) 2PUS+PRP; (c) 2RUS+PRP.

Verificou-se, segundo o critério de Gruebler-Kutzbach, que a estrutura

sintetizada possui mobilidade igual a três, donde se deduz que a plataforma móvel é

capaz de realizar três movimentos independentes. Consequentemente, a ferramenta de

50

corte, instalada na plataforma móvel, poderá executar três translações ao longo de eixos

ortogonais.

Esta característica confere à estrutura 2UPS+PRP maior simplicidade

construtiva se comparada à máquina Tricept ilustrada na fig. 4.5, que possui topologia

3UPS+UP ^ RR. A máquina Tricept necessita de um pulso robótico serial RR para

permitir que a ferramenta seja capaz de realizar três translações independentes.

Consequentemente, possui mobilidade cinco, requerendo cinco servo-motores para o

seu subsistema de atuação. Além disso, a estrutura 2UPS+PRP possui menor inércia,

devido ao fato de não empregar membro central passivo.

Fig. 4.5 - Tricept IRB 940 da ABB (MERLET, 2006b).

A estrutura sintetizada 2UPS+PRP também pode ser qualitativamente

comparada com outras arquiteturas propostas: a Ortoglide (fig. 4.6 a) e a Tripteron (fig.

4.6 b), destacando o paralelismo e ortogonalidade entre os eixos de suas juntas. Estas

duas estruturas, apesar de serem simétricas em sua topologia, requerem condições

especiais de paralelismo e ortogonalidade entre os eixos das juntas rotativas e

prismáticas.

51

(a) (b)

Fig. 4.6 – (a) Ortoglide (PASHKEVICH, 2005); (b) Tripteron (Laboratoire de

Robotique Université Laval).

Tais condições ocasionam dificuldades na fabricação e montagem dos

componentes destas máquinas, resultando em tolerâncias dimensionais e geométricas

mais estreitas e, consequentemente, aumentando os seus custos.

No caso da estrutura paralela assimétrica 2UPS+PRP, as condições especiais se

resumem ao membro central ativo, em que o eixo da primeira junta prismática deve ser

paralelo ao eixo da junta rotativa e o eixo da segunda junta prismática deve ser

ortogonal ao eixo da primeira.

52

5. ANÁLISE CINEMÁTICA DA ESTRUTURA PARALELA 2UPS+PRP

Este capítulo apresenta o desenvolvimento dos modelos matemáticos que

permitem realizar a análise cinemática da estrutura paralela 2UPS+PRP. Inicialmente,

busca-se relacionar as coordenadas da ferramenta com os deslocamentos fornecidos

pelos atuadores. Assim, a partir do vetor de funções nulas, será possível resolver as

equações de posição, associadas às cinemáticas inversa e direta.

A seguir, apresenta-se a análise de velocidades tendo por objetivo a investigação

de condições para ocorrência de configurações singulares no espaço de trabalho.

O capítulo se encerra desenvolvendo o método adotado para avaliação do espaço

de trabalho disponível.

θ

τ

τ

ρ

ρ

(a) (b)

Fig. 5.1 - Modelo cinemático da estrutura robótica 2UPS+PRP, com indicação das

coordenadas do ponto P (ferramenta) e os deslocamentos dos atuadores:

(a) vista superior; (b) vista lateral.

5.1 Coordenadas de localização da ferramenta e deslocamentos dos atuadores

Seja [ ]Tz

b

y

b

x

bb PPPP ,,= o ponto da plataforma móvel correspondente à

extremidade da ferramenta de corte, com suas coordenadas expressas em relação a um

sistema de referência fixo à base. Seja [ ]Thhhq 321 ,,=

r o vetor cujos elementos

53

representam os deslocamentos fornecidos pelos três atuadores. O vetor

[ ]Tbbpp ululslsl 2121 ,,,rrrrr

=π corresponde ao vetor cujos elementos são os parâmetros da

estrutura paralela. Isto é, 1slpr

e 2slpr

representam as coordenadas dos centros das juntas

esféricas S1 e S2, respectivamente, expressas em relação a um sistema de referência fixa

a plataforma móvel. Analogamente, 1ulbr

e 2ulbr

representam as coordenadas das juntas

universais U1 e U2, respectivamente, expressas em relação ao sistema de referência fixo

à base.

Assim, nesta seção, pretende-se determinar o vetor de funções nulas

( ) 0,,rrrr

=πqPf b com dimensão três. Em virtude do membro central da estrutura paralela

restringir a plataforma móvel a um movimento dentro de um espaço tridimensional

cilíndrico, o emprego das coordenadas cilíndricas R, θ e H se mostra mais adequado do

que a utilização das coordenadas cartesianas x

b P , y

b P e z

b P .

Desta maneira, com cθ e sθ sendo respectivamente o cosseno e o seno de θ, fica

[ ] [ ]HsRcRPPP z

b

y

b

x

b ,,,, θθ ⋅⋅=

Considere o ponto 2Sb . A equação (5.1) relaciona as suas coordenadas na base

fixa em relação às coordenadas na plataforma móvel.

( )

⋅=

1,,

122 sl

RHTS p

b

p

br

θ (5.1)

sendo

( ) ( ) ( ) ( )pbb

b

p xRTranszRotzHTransRHT ,,,,, ⋅⋅= θθ

Assim,

( ) ( ) ( ) =

⋅⋅⋅=

1,,,

122 sl

xRTranszRotzHTransS p

pbb

br

θ

54

( ) ( ) =

⋅

⋅⋅=

11000

0100

0010

001

,,2

2

2

z

y

x

bbls

ls

lsR

zRotzHTrans θ

( ) =

+

⋅

−

⋅=

11000

0100

00

00

,2

2

2

z

y

x

bls

ls

Rls

cs

sc

zHTransθθ

θθ

( )( )

=

⋅++⋅

⋅−+⋅

⋅

=

11000

100

0010

0001

2

22

22

z

yx

yx

ls

lscRlss

lssRlsc

H

θθ

θθ

( )( )

=

+

⋅++⋅

⋅−+⋅

=

112

2

2

2

22

22

z

b

y

b

x

b

z

yx

yx

S

S

S

Hls

lscRlss

lssRlsc

θθ

θθ

As coordenadas de 2Ub são xlu2 , ylu2 e zlu2 respectivamente, nas direções xb,

yb e zb em relação às coordenadas da base da estrutura.

Como a distância entre os pontos S2 e U2 corresponde ao deslocamento h2

fornecido pelo segundo atuador ou membro motor lateral, então

( ) ( ) 222222 hUSUS bbTbb =−⋅−

Substituindo as coordenadas de S2 e U2 , obtém-se

55

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )[ ]

( )[ ]xyyx

yyxx

zyx

zyx

lulsluRlss

lulsluRlsc

lululu

HlslsRlsh

2222

2222

22

22

22

22

22

22

22

2

2

⋅+⋅+−⋅⋅+

+⋅+⋅+⋅⋅−

−+++

+++++=

θ

θ (5.2)

Análogamente, para o primeiro atuador ou membro motor lateral obtém-se

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )[ ]

( )[ ]xyyx

yyxx

zyx

zyx

lulsluRlss

lulsluRlsc

lululu

HlslsRlsh

1111

1111

21

21

21

21

21

21

21

2

2

⋅+⋅+−⋅⋅+

+⋅+⋅+⋅⋅−

−+++

+++++=

θ

θ (5.3)

Para o terceiro atuador ou membro motor central, a coordenada coincide com a

coordenada H da plataforma móvel. Portanto,

3hH = (5.4)

Desta forma, o vetor fr

de funções nulas será

( )( )( ) 0

0

0

0

...

...

,,

3

22

22

21

21

3

2

1rrrr

=

=

−

−++

−++

=

=

hH

hRls

hRls

f

f

f

qPf x

x

b π (5.5)

5.2 Análise de posições: cinemática inversa e direta

Por cinemática inversa, entende-se o problema da determinação dos

deslocamentos fornecidos pelos atuadores h1, h2 e h3, admitindo que sejam conhecidas

as coordenadas da ferramenta R, θ e H. Desta maneira, considerando as equações (5.2)

a (5.4), nota-se que, para o primeiro e segundo membros, o lado direito das equações

está completamente determinado e, portanto, h1 e h2 são fácilmente calculados. No caso

do terceiro membro, o membro central, a situação é ainda mais simples porque a

coordenada H coincide com h3.

56

No caso da cinemática direta, admite-se que sejam conhecidos h1, h2 e h3,

devendo-se determinar R, θ e H. Este problema, para estruturas robóticas paralelas, é

mais difícil do que o anterior porque, geralmente, as variáveis da ferramenta estão

presentes em todas as equações, resultando num acoplamento significativo entre elas.

Por uma peculiaridade da estrutura paralela assimétrica 2UPS+PRP, a coordenada H

independe de R e θ e coincide com h3, conforme mencionado no parágrafo anterior.

Nesta seção, o problema da cinemática direta será resolvido mediante a adoção

de algumas simplificações nos parâmetros da estrutura paralela. Assim, admite-se que

sejam nulos os parâmetros xls1 , zls1 , xls2 , zls2 , xlu1 , zlu1 , xlu2 , zlu2 . Além disso,

lslsls yy −=−= 12 e lululu yy −=−= 12

Substituindo estes parâmetros modificados nas equações (5.2) e (5.3), obtém-se

( ) ( )luRslulsclulsHRh ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−+++= θθ 22222222 (5.6)

( ) ( )luRslulsclulsHRh ⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−+++= θθ 22222221 (5.7)

Subtraindo a eq. (5.7) da eq. (5.6)

luR

hhs

⋅⋅

−=

4

21

22θ

Somando-se as equações (5.6) e (5.7)

( )[ ]22

21

222224

1hhlulsHR

lulsc −−+++⋅⋅

⋅⋅=θ

Como 122 =+ θθ sc , elimina-se a variável θ e obtém-se uma equação

polinomial de 6º grau na variável R.

( ) ( ) 016484 2246 =+⋅⋅−⋅+⋅⋅+⋅ NRQMRMR (5.8)

57

sendo 22

21

2222 hhluHlsM −−++⋅=

( ) 2222

21 lshhN ⋅−=

22 lulsQ ⋅=

Apenas a título ilustrativo, considere o seguinte exemplo de aplicação. Admita

que R = 1 m , θ = 30º , H = 0 m, ls = 0,5 m e lu =1 m. Substituindo estes valores nas

eqs. (5.2) a (5.4), obtém-se h2 = 1,544 m, h1 = 0,620 m e h3 = 0 m.

Considerando agora o problema da cinemática direta, com h2 = 1,544 m,

h1 = 0,620 m e h3 = 0 m, pretende-se determinar R, θ e H. Resolvendo a eq (5.8),

chega-se às seguintes raízes R = [0,504, -0,504, -1, 1, 0,993i, -0,993i]T m.

Evidentemente, em virtude do exemplo escolhido sabe-se que a raíz correta será

R = 1 m. Entretanto, na situação real de um protótipo construído com a arquitetura

paralela 2UPS+PRP, os sensores estarão instalados junto aos atuadores de modo a

medir as variáveis h1, h2 e h3. Assim, o controlador do protótipo deverá ser capaz de

selecionar uma solução dentre as seis possíveis, de modo a estimar a localização correta

da ferramenta.

A seguir, apresentam-se esquemáticamente as duas configurações possíveis de

montagem da estrutura paralela, válidas para o exemplo de aplicação.

θ=30

θ=83

(a) (b)

Fig. 5.2 - Configurações possíveis para h2 = 1,544 m, h1 = 0,620 m e h3 = 0 m:

(a) R = 1 m e θθθθ = 30º; (b) R = 0,5 m e θθθθ = 83º.

58

5.3 Análise de velocidades e configurações singulares

As equações das velocidades podem ser obtidas derivando-se em relação ao

tempo, as funções nulas f1, f2 e f3. Assim,

com j = 1, 2, 3

Substituindo as expressões das funções e derivando as parcialmente em relação

às variáveis θ, R, H, h1, h2 e h3, chega-se na seguinte equação

⋅

=

⋅

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂−

3

2

1

2

1

333

222

111

100

00

00

h

h

h

h

h

H

R

H

f

R

ffH

f

R

ffH

f

R

ff

&

&

&

&

&

&θ

θ

θ

θ

(5.9)

sendo

( )[ ] ( )[ ]yyxxyxxy lulsluRlssluRlslulscf

111111111 ⋅+⋅+⋅+⋅+−⋅⋅=

∂

∂θθ

θ

( )[ ] ( )[ ]yyxxyxxy lulsluRlssluRlslulscf

222222222 ⋅+⋅+⋅+⋅+−⋅⋅=

∂

∂θθ

θ

03 =∂

∂

θ

f

( )θθ slucluRlsR

fyxx ⋅−⋅−+=

∂

∂111

1

0=⋅∂

∂+⋅

∂

∂+⋅

∂

∂+⋅

∂

∂=

dt

dh

h

f

dt

dH

H

f

dt

dR

R

f

dt

df

dt

df j

j

jjjjj θ

θ

59

( )θθ slucluRlsR

fyxx ⋅−⋅−+=

∂

∂222

2

03 =∂

∂

R

f

( )HlulsH

fzz +−=

∂

∂11

1

( )HlulsH

fzz +−=

∂

∂22

2

13 =∂

∂

H

f

A matriz diagonal que multiplica o vetor [ ]Thhhq 321 ,, &&&r& = será denominada Jq,

enquanto que a outra matriz que multiplica o vetor [ ]THR &&& ,,θ será chamada de Jp. A

letra J indica que estas matrizes são Jacobianos. Segundo TSAI (1999), um dos métodos

empregados para investigação de ocorrência de configurações singulares em estruturas

paralelas, se baseia no cálculo dos determinantes dos jacobianos Jq e Jp. Quando algum

destes determinantes for nulo, isto pode indicar que o mecanismo atingiu uma

configuração singular.

Partindo da análise do determinante de Jq, verifica-se que este se anula quando

h1 é zero, ou h2 é zero, ou ambos são nulos, isto é: 0det 21 =⋅= hhJq

(a) (b) (c)

Fig. 5.3 - Configurações da estrutura paralela quando: (a) h1 = 0; (b) h2 = 0 ;

(c) h1 = h2 = 0.

60

As configurações da estrutura paralela quando o determinante de Jq se anula são

apresentadas na fig. 5.3. Evidentemente, nota-se que tais configurações são físicamente

impossíveis.

A seguir, apresenta-se a expressão do determinante de Jp.

( )[ ] ( )[ ]{ }( )

( )[ ] ( )[ ]{ }( )θθ

θθ

θθ

θθ

slucluRls

lulsluRlssluRlslulsc

slucluRls

lulsluRlssluRlslulscJp

yxx

yyxxyxxy

yxx

yyxxyxxy

⋅−⋅−+⋅

⋅⋅+⋅+⋅+⋅+−⋅⋅−

−⋅−⋅−+⋅

⋅⋅+⋅+⋅+⋅+−⋅⋅=

111

22222222

222

11111111det

Devido à complexidade da expressão anterior, torna-se difícil verificar as

condições para anulação do determinante de Jp. Então, apresenta-se a seguir uma

formulação alternativa para a análise de velocidades. Sejam ρr

, τr

e kr

versores

ortogonais pertencentes a um sistema de referência vinculado à plataforma móvel.

θ

α

βρ

τ

φβ

γ

α

Fig. 5.4 - Notação empregada para formulação alternativa da análise de

velocidades. (a) vista superior no plano ρτ; (b) vista espacial de

h2; (c) vista espacial de h1.

De acordo com a notação empregada na fig. 5.4, pode-se escrever que

61

( ) ( ) ( )kssccchUSUS bbrrr

⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅=−=− γταγραγ11111 (5.10)

( ) ( ) ( )kssccchUSUS bbrrr

⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅=−=− φτβφρβφ22222 (5.11)

Admitindo, como hipótese simplificadora, que lslsls yy =−= 21 e que

02211 ==== zxzx lslslsls , obtém-se

( ) ( ) kHRlsRsvuvsvr

&r&

r&&

rrr⋅+⋅⋅+⋅⋅−==− τθρθ111 (5.12)

( ) ( ) kHRlsRsvuvsvr

&r&

r&&

rrr⋅+⋅⋅+⋅⋅+==− τθρθ222 (5.13)

como

( ) ( ) 211111 hUSUS =−⋅−

e

( ) ( ) 222222 hUSUS =−⋅−

então

( ) ( ) 111111 hhUSUS &&& ⋅=−⋅− (5.14)

( ) ( ) 222222 hhUSUS &&& ⋅=−⋅− (5.15)

Reescrevendo as eqs. (5.14) e (5.15) de outra maneira, temos

( ) ( ) 111111 hhUSuvsv &vr⋅=−⋅− (5.16)

( ) ( ) 222222 hhUSuvsv &vr⋅=−⋅− (5.17)

62

Substituindo os vetores das expressões (5.10) a (5.13) nas eqs. (5.16) e (5.17), e

acrescentando a identidade 3hH && = , chega-se na expressão matricial

( )( )

⋅

=

⋅

⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅

3

2

1

2

1

22

11

100

00

00

100 h

h

h

h

h

H

RHcchscRcclsh

HcchscRcclsh

&

&

&

&

&

&θ

βφβφβφ

αγαγαγ

(5.18)

Nota-se que a eq. (5.18) é equivalente à eq. (5.9), ressalvando-se as

simplificações nos parâmetros das juntas S1 e S2. Desta maneira, admitindo que h1 e h2

não sejam nulos, e considerando a condição em que o determinante de Jp seja nulo,

obtém-se

( )βαβα −⋅=⋅⋅⋅ senRls coscos2 (5.19)

Um par de ângulos α e β que satisfazem a eq. anterior é 2

πα −= e

2

πβ = , cuja

situação é apresentada na fig. 5.5a. Nota-se que isto corresponde à configuração da

estrutura paralela, quando as projeções dos vetores ( )11 US − e ( )22 US − sobre o plano

horizontal, estiverem numa mesma reta passando por U1 e U2. No caso em que

0== γφ , os pontos U1, S1, S2 e U2 estarão alinhados.

Esta configuração é singular e certamente deve ser evitada. Imagine a situação

indicada na fig. 5.5b, ou seja, a plataforma móvel realiza movimento de translação ao

longo da direção de ρr

. Os deslocamentos h1 e h2 são decrescentes até atingir a

configuração singular. A partir deste instante, os deslocamentos h1 e h2 passarão a ser

crescentes.

Entretanto, o mais provável é que ocorra o travamento da estrutura paralela na

configuração singular, uma vez que as direções das forças aplicadas pelos atuadores 1 e

2 serão ortogonais à direção do movimento da plataforma móvel.

No caso em que as folgas nas juntas sejam significativas, o aumento dos

comprimentos h1 e h2 poderá acarretar num posicionamento ambíguo para a plataforma

móvel 21SS , levando-a a aproximar-se ou afastar-se do ponto O.

Em qualquer uma das situações mencionadas nos parágrafos anteriores,

63

travamento ou movimento ambíguo da plataforma móvel, levará o sistema a uma

condição de incontrolabilidade.

θ

(a) (b)

Fig. 5.5 – (a) Configuração singular obtida quando 0det =Jp ; (b) P em movimento e se

aproximando da posição singular.

5.4 Método para avaliação do espaço de trabalho

O espaço de trabalho disponível da estrutura 2UPS+PRP representa a região

tridimensional que o ponto P, localização da ferramenta de corte, pode alcançar. Para

avaliar este espaço de trabalho, o método da discretização (HESS-COELHO; RASZL,

2005 e HESS-COELHO et al., 2007) será empregado. Este método considera que o

espaço de trabalho seja determinado a partir de um sólido, que pressupõe-se seja maior

do que o espaço de trabalho disponível, discretizado por uma malha regular. Devido à

simetria geométrica da estrutura paralela na direção do eixo zb, o sólido escolhido

representa apenas metade do paralelepípedo possível. A seguir, um algoritmo verifica se

cada nó da malha viola ou não as restrições físicas e cinemáticas. Consequentemente, as

fronteiras do espaço de trabalho serão formadas por um conjunto de nós que tenha pelo

menos um nó vizinho que não pertença ao espaço de trabalho.

As restrições físicas serão representadas pelos cursos das juntas prismáticas

(ativas), universais e esféricas (passivas). Por outro lado, as restrições cinemáticas

correspondem aos valores dos determinantes dos jacobianos Jq e Jp.

Na fig. 5.6 apresenta-se um fluxograma do algorimo empregado para

implementação do método de avaliação do espaço de trabalho.

64

Fig. 5.6 - Fluxograma do algorítmo para avaliação do espaço de trabalho.

I

R, θ, H

Cinemática inversa

h1, h2, h3

detJq, detJp

Ângulos de inclinação das juntas U e S

Todas as restrições foram satisfeitas?

Nó dentro do espaço de trabalho (ET)

Parâmetros ls1, ls2, lu1, lu2 ; cursos da juntas U e S; limites inferior e superior das juntas P.

máxPmáxPmáxP zzzyyyxxx ≤≤≤≤≤≤ minminmin ,,

Nó fora do espaço de trabalho (ET)

Volume ET = Volume ET + ∆v

N

S

F

Gráficos de superfícies Volume ET

65

Com relação à verificação dos cursos das juntas universais e esféricas, que por

sinal não é tão simples como a verificação dos limites das juntas prismáticas, cabe um

esclarescimento.

No caso específico das juntas esféricas, considere na figura a seguir os pontos S1

e U1, correspondentes aos centros das juntas esférica e universal, respectivamente, para

o 1º membro lateral.

ϕ

Fig. 5.7 - Membro lateral destacando as juntas esférica e universal.

Seja 1v um versor fixo à plataforma para definir o orientação de um dos eixos da

junta esférica. Assim, a restrição para esta junta pode ser formulada da seguinte maneira

max1

11

11 cosˆ ϕ≤

⋅

−

−i

b

bb

bb

vUS

US

com

11

111ˆ

US

USv

b

i

b

b

i

b

i

b

−

−=

sendo φmax, o curso da junta esférica; e i

b v1ˆ , o versor onde o índice i refere-se à

configuração de referência (θ = 0 e Rmédio).

Agora considere a junta universal representada na fig. 5.8

66

β1

β2

Fig. 5.8 - Junta universal.

O primeiro ângulo de rotação β1 corresponde a um deslocamento ângular em

torno do eixo zb. O ângulo de rotação β2 , por sua vez, é o deslocamento ângular em

torno do eixo y1.

Desta maneira, o versor wb ˆ pode ser determinado pela expressão (5.20).

( ) ( ) =⋅⋅= wyRzRw b

bb ˆ,,ˆ 222

1211 ββ

−

⋅

⋅

=

⋅

−

⋅

−

=

2

21

21

22

22

11

11

0

0

1

0

010

0

100

0

0

β

ββ

ββ

ββ

ββ

ββ

ββ

s

cs

cc

cs

sc

cs

sc

(5.20)

O versor wb ˆ depende da localização dos centros das juntas esférica e universal.

Então,

11

11ˆUS

USw

bb

bbb

−

−= (5.21)

Consequentemente, as duas restrições físicas associadas à junta universal U1

podem ser definidas da seguinte maneira

máx

x

b

y

b

cw

cwarctg β

β

ββ ≤

=

2

21 /

/ (5.22)

( ) máxz

bwarcsen ββ ≤−=2 (5.23)

67

sendo βmax, os cursos da junta universal em torno dos eixos y e z respectivamente; e wb ˆ ,

o versor definido anteriormente.

As tabela 5.1e 5.2 a seguir, contém respectivamente os parâmetros geométricos e

os limites de rotação ângular das juntas universais e esféricas da estrutura robótica

paralela 2UPS+PRP estudada.

Tabela 5.1 - Parâmetros adotados para a análise de estrutura robótica paralela

2UPS+PRP.

Símbolo Denominação Dimensão [mm]

lu1X Posição xb da junta universal na base -125

lu1Y Posição yb da junta universal na base +400

lu1Z Posição zb da junta universal na base 0

ls1x Posição xp da junta esférica na plataforma +100

ls1y Posição yp da junta esférica na plataforma +200

ls1z Posição zp da junta esférica na plataforma 0

lu2X Posição xb da junta universal na base -125

lu2Y Posição yb da junta universal na base -400

lu2Z Posição zb da junta universal na base 0

ls2x Posição xp da junta esférica na plataforma +100

ls2y Posição yp da junta esférica na plataforma -200

ls2z Posição zp da junta esférica na plataforma 0

H Altura do ponto P -600 a +600

R Distância horizontal do ponto P +600 a +1400

θθθθ Ângulo de rotaçao do ponto P -34 a +34 [ °]

68

Tabela 5.2 - Limites dos cursos das juntas prismáticas, assim como universais e

esféricas utilizados no estudo (CATÁLOGO INA, 2007).

Símbolo Denominação αX

[graus]

βY

[graus]

γZ

[graus]

Lmin

[mm]

Lmax

[mm]

U1,2 Universal 0 ±45 ±45 - -

S1,2 Esférica 0 ±30 ±30 - -

P1,2 Prismática - - - 850 1295

P3 Prismática - - - 604 1053

O volume de trabalho disponível da estrutura paralela 2UPS+PRP está em torno

de 200 dm3. Seu deslocamento máximo na direção do eixo zb é de ± 6 dm, partindo da

posição central de referência em H = 0. As áreas das superfícies de trabalho analisadas,

correspondentes às alturas H = 0, 120, 240, 360, 480, 600 mm, situadas em planos

paralelos a xbyb vão se reduzindo conforme se afastam da posição central de referência,

sendo respectivalmente iguais a S = 22,85; 22,85; 22,37; 19,76; 10,98; 1,15 dm2.

Fig. 5.9 – Espaço de trabalho teórico, baseado na posição de referência H = 0 ,

sem mostrar a sua redução conforme se afasta de H = 0.

69

Na fig. 5.10 a seguir, são apresentadas as superfícies analisadas, contidas no

espaço de trabalho disponível da estrutura 2UPS+PRP.

Fig. 5.10 - Superfícies de trabalho: (a) para H = 0 mm; (b) para H = 120 mm;



A fig. 5.10 pode ser melhor visualisada no Apêndice A.

70

5.5 Discussão

Para a determinação dos deslocamentos fornecidos pelos atuadores h1, h2 e h3,

admitindo-se conhecidas as coordenadas da ferramenta R, θ e H, é aplicada a

cinemática inversa, onde as três equações obtidas são independentes entre si nas

variáveis h1, h2 e h3.

Por outro lado, para a determinação das coordenadas da ferramenta R, θ e H,

admitindo-se conhecidos os deslocamentos fornecidos pelos atuadores h1, h2 e h3, é

aplicada a cinemática direta, onde uma das três equações obtidas é independentes e as

outras duas são dependentes entre si nas variáveis R, θ e H. Utilizando um método

analítico, obteve-se uma equação polinomial de 6º grau na variável R.

As estruturas paralelas, em sua grande maioria, são descritas por modelos

cinemáticos muito mais complexos. Apenas a título de exemplo, pode-se citar 6UPS,

Tricept, 3RUS+PRP, cujos modelos para cinemática direta, lidam com equações

polinomiais de 40º (INNOCENT, 2001), 24º (BI; LANG, 2006) e 16º grau (HESS-

COELHO; MALVEZZI, 2007), respectivamente.

A maior simplicidade dos modelos cinemáticos da estrutura robótica paralela

2UPS+PRP é consequência da própria arquitetura sintetizada pelo método alternativo

descrito no capítulo 4. O desacoplamento das variáveis h3 e H, das outras variáveis h1,

h2, R e θ, deve-se à motorização do membro central, que restringe os movimentos da

plataforma móvel.

Com relação à possibilidade de ocorrência de singularidades, dentro do espaço

de trabalho, desenvolveram-se os jacobianos Jq e Jp e foram analisadas as situações

em que os determinantes destas matrizes são nulos.

A situação em que 0)det( =Jq , somente ocorrerá se houver alguma

coincidência nos centros das juntas universal e esférica, seja do 1º ou do 2º membro, o

que é físicamente impossível.

Para que o det(Jp) seja nulo, é necessário que as coordenadas na direção x dos

centros das juntas universais sejam positivas, sendo que as possibilidades para

ocorrência de configurações singulares serão maiores na medida em que estes

parâmetros também aumentam.

Se observarmos os parâmetros escolhidos para a estrutura paralela na seção 5.4,

veremos que estas coordenadas - lu1x e lu2x - foram, propositadamente, escolhidas como

71

negativas, de modo a evitar a ocorrência de singularidades dentro do espaço de trabalho.

O método empregado para avaliação do espaço de trabalho se baseia na

discretização de um sólido, por uma malha regular, e na verificação para cada nó da

malha, da satisfação de restrições físicas e cinemáticas.

A partir da observação dos gráficos da seção 5.4, observa-se que os contornos do

espaço de trabalho foram definidos apenas pelas restrições físicas, associadas aos cursos

das juntas prismáticas, esféricas e universais.

Com relação aos parâmetros escolhidos para a estrutura paralela 2UPS+PRP,

pode-se afirmar que não existem configurações singulares na fronteira e no interior do

espaço de trabalho.

72

6 ANÁLISE DOS ERROS CINEMÁTICOS DA ESTRUTURA PARALELA

2UPS+PRP

Os erros cinemáticos em estruturas robóticas são causados por imprecisões nos

motores e transmissões associados aos atuadores, assim como por imprecisões na

estratégia de controle e nos sensores associados ao sistema de controle. Os tipos e

características dos motores, transmissões, sensores e estratégia de controle exercem uma

influência significativa.

Neste capítulo, os erros cinemáticos da estrutura robótica paralela 2UPS+PRP

serão modelados, admitindo-se a hipótese de erro nos deslocamentos fornecidos pelos

atuadores.

6.1 Relação entre os erros de posicionamento da ferramenta e os erros associados

aos atuadores

De modo a obter a relação entre os erros de posicionamento da ferramenta,

instalada na plataforma móvel, e os erros associados aos atuadores, toma-se como ponto

de partida os desvios nas funções nulas de posição, definidas pela eq. (5.5).

( ) 0,,rrrr

=πqPf b

Assim, calculando as derivadas parciais em relação a Pb e a qr

, temos

0=⋅∂

∂+⋅

∂

∂= qd

q

fPd

P

ffd b

b

rr

rrr

que na forma desenvolvida fica

033

22

11

=⋅∂

∂+⋅

∂

∂+⋅

∂

∂+⋅

∂

∂+⋅

∂

∂+⋅

∂

∂= dh

h

fdh

h

fdh

h

fdH

H

fdR

R

fd

fdf

jjjjjj

j θθ

com j = 1,2,3

73

Colocando a expressão anterior na forma matricial, obtém-se

⋅

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂−

=

⋅

∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂

3

2

1

3

3

2

3

1

3

3

2

2

2

1

2

3

1

2

1

1

1

333

222

111

h

h

h

h

f

h

f

h

f

h

f

h

f

h

f

h

f

h

f

h

f

H

R

H

f

R

ffH

f

R

ffH

f

R

ff

δ

δ

δ

δ

δ

δθ

θ

θ

θ

(6.1)

As matrizes que multiplicam os vetores

[ ]THR δδδθ ,, e [ ]T

hhh 321 ,, δδδ

são, respectivamente, os jacobianos Jp e Jq, definidos no capítulo 5.

6.2 Cálculo dos erros cinemáticos

Os erros cinemáticos da estrutura paralela estão associados aos erros de

posicionamento da ferramenta, admitindo que existam erros devidos ao sistema de

atuação, ou seja,

[ ] 0,, 321 ≠=Tcccc hhhq δδδδ

r

Na hipótese de que sejam impostos valores típicos para estes erros, considera-se

que o vetor cqr

δ seja conhecido. Desta maneira,

⋅⋅=

−

c

c

c

c

c

c

h

h

h

JqJp

H

R

3

2

11

δ

δ

δ

δ

δ

δθ

(6.2)

De modo a se determinar os erros de posicionamento da ferramenta, em termos

das coordenadas cartesianas associadas ao ponto P, obtém-se

74

( ) ( )( ) ( )

⋅−+⋅+

⋅−+⋅+

=

c

cc

cc

c

z

c

y

c

x

h

senRsenRR

RRR

P

P

P

3

coscos

δ

θδθθδ

θδθθδ

δ

δ

δ

(6.3)

6.3 Mapeamento dos erros cinemáticos

O mapeamento dos erros cinemáticos corresponde à distribuição dos erros

representados pelo vetor [ ]Tc

z

c

y

c

x PPP δδδ ,, ao longo do espaço de trabalho disponível,

admitindo-se uma imprecisão cqr

δ , associada aos deslocamentos fornecidos pelos

atuadores. Os parâmetros da estrutura paralela serão idênticos àqueles apresentados na

seção 5.4. Nesta seção, três tipos de mapeamentos serão considerados, sendo que a

diferença principal entre eles não reside no valor das componentes do vetor qr

δ , mas

nos sinais destas componentes.

(a)

(b) (c)

Fig. 6.1 - Estrutura robótica 2UPS+PRP (a) com erros cinemáticos nas direções:

(b) x e (c) yb.

75

6.3.1 Primeiro mapeamento

Neste caso, admite-se situação simétrica em que os erros conhecidos e

representados pelo vetor qr

δ sejam idênticos e iguais a +5 µm para os três atuadores.

A fig. 6.2 mostra as superfícies associadas aos erros cinemáticos c

xPδ na direção

xb, para diferentes alturas H ou posições no eixo zb, dentro do espaço de trabalho.

Fig. 6.2 - Erro cinemático referente ao posicionamento do ponto P, na direção xb,

considerando situação simétrica, sendo δh1 = δh2 = δh3 = 5 µm:




76


yPδ na direção

yb, para diferentes alturas H ou posições no eixo zb, dentro do espaço de trabalho.

Fig. 6.3 - Erro cinemático referente ao posicionamento do ponto P, na direção yb,





77

6.3.2 Segundo mapeamento

Considera-se agora uma situação assimétrica em que os erros conhecidos

representados pelo vetor qr

δ , continuem coincidindo em módulo, mas sejam distintos

pelo sinal. Assim, admite-se para os atuadores ou membros laterais, δh1 = +5 µm e δh2

= -5 µm. O membro central permanece com δh3 = +5 µm.


xPδ na direção



considerando situação assimétrica, sendo δh1 = - δh2 = δh3 = 5 µm:




78

A fig. 6.5, mostra as superfícies associadas aos erros cinemáticos c

yPδ na direção







79

6.3.3 Terceiro mapeamento

Aqui se analisa o comportamento dos erros sómente para a altura H = 0,

considerando quatro situações possíveis em termos da combinação de tolerâncias. Os

valores dos erros conhecidos referentes ao vetor qr

δ , permanecem iguais em módulo.

Em relação aos membros laterais, admite-se; (a) δh1 = δh2 = +5 µm, (b) δh1 =

δh2 = - 5 µm, (c) δh1 = - δh2 = +5 µm, (d) - δh1 = δh2 = +5 µm. O membro central

continua constante em δh3 = +5 µm.


xPδ na direção



considerando situações simétricas e assimétricas para H = 0 mm e δh3 = 5 µm:

(a) para δh1 = δh2 = 5 µm; (b) para δh1 = δh2 = - 5 µm;

(c) para δh1 = - δh2 = 5 µm; (d) para - δh1 = δh2 = 5 µm.


80

A fig. 6.7, mostra as superfícies associadas aos erros cinemáticos c

yPδ na direção







81

6.4 Discussão

A primeira questão que se coloca em discussão, neste capítulo, diz respeito à

validade da aproximação de 1ª ordem, através do emprego das matrizes Jq e Jp. A

validade pode ser verificada, comparando-se os erros [ ]Tc

z

c

y

c

x PPP δδδ ,, obtidos da forma

apresentada no capítulo 6, com aqueles calculados utilizando a formulação baseada na

cinemática direta (capítulo 5).

Tabela 6.1 - Comparação entre os métodos para o cálculo de c

xPδ e c

yPδ , para R = 1 m,

θ = 20 º, H = 0 m, δh1 = - δh2 = 5 µm.

Aproximação de 1ª ordem Cinemática direta

c

xPδ

[µm]

c

yPδ

[µm]

c

xPδ

[µm]

c

yPδ

[µm]

+ 4,3 - 12,7 + 4,3 - 12,7

Tabela 6.2 - Desvios percentuais associados aos valores de c

xPδ e c

yPδ , referentes à

tabela 6.1.

Desvio c

xPδ [%] 0

Desvio c

yPδ [%] 0

Tabela 6.3- Comparação entre os métodos para o cálculo de c

xPδ e c

yPδ , para R = 1 m,

θ =20 º , δh1 = δh2 = 5 µm.

Aproximação de 1ª ordem Cinemática direta

c

xPδ

[µm]

c

yPδ

[µm]

c

xPδ

[µm]

c

yPδ

[µm]

+ 4,8 + 1,7 + 4,8 + 1,7

82

Tabela 6.4 – Desvios percentuais associados aos valores de c

xPδ e c

yPδ , referentes à

tabela 6.3.

Desvio c

xPδ [%] 0

Desvio c

yPδ [%] 0

Analisando-se os resultados apresentados nas tabelas 6.1 a 6.4, nota-se que há

coincidência nos cálculos de c

xPδ e c

yPδ pelos dois métodos utilizados. Nestes cálculos

adotou-se para as posições das juntas universais e esféricas que ls1x = ls2x = lu1x = lu2x =

ls1z = ls2z = lu1z = lu2z = 0.

Com relação aos três mapeamentos dos erros cinemáticos realizados, adotou-se

5 µm como valor de referência. Este valor foi escolhido por ser factível; na verdade, há

sistemas de atuação e controle capazes de alcançar valores inferiores a este. O que se

busca com esta análise é avaliar, em quais regiões do espaço de trabalho, a estrutura

paralela assimétrica amplifica ou reduz os erros de entrada cqr

δ , referentes aos membros

ativos.

Da análise do primeiro mapeamento dos erros cinemáticos, situação em que os

erros nos três atuadores são idênticos, pode-se concluir que os erros na direção yb (fig.

6.3) serão nulos para y = 0, devido à simetria geométrica da estrutura em relação ao eixo

xb, independente do valor da altura H. Observa-se também que estes valores nulos

formam uma linha de simetria em que os valores dos erros para os dois quadrantes (x, y,

z > 0; x, z > 0, y < 0) serão iguais mas de sinais contrários.

Ainda com relação a c

yPδ , quando δh1 = δh2 = 5 µm, a faixa de variação é de -

2,5 a + 2,5 µm, ou seja, duas vezes inferior aos erros dos atuadores dos membros

laterais. Em alturas maiores (H = 480 e H = 600 mm), próximo à fronteira do espaço de

trabalho, os erros diminuem para 1,5 e 0,4 µm, respectivamente.

Observando a fig. 6.3, nota-se que o maior erro cinemático na direção xb ocorre

para H = 0 mm, permanecendo numa faixa estreita entre 4,4 a 5,1 µm. À medida em que

H aumenta, os erros máximos diminuem para 4,6 µm, 4,1 µm, 3,8 µm, 3,4 µm e 3,06

µm em relação a H = 120 mm, H = 240 mm, H = 360 mm, H = 480 mm e H = 600 mm,

respectivamente. Os erros são positivos e simétricos em relação ao eixo xb.

83

Para o segundo mapeamento, situação em que δh1 = - δh2 = 5 µm, observa-se

que os erros tanto na direção xb (fig. 6.4) como na direção yb (fig. 6.5) são iguais ou

mesmo superiores aos do primeiro mapeamento.

Com relação à direção xb, para H = 0 m, os erros variam de - 5 a + 5 µm. Porém,

à medida que H aumenta nota-se uma assimetria na faixa de variação dos erros. Por

exemplo, para H = 240 mm os erros variam entre + 4 µm e - 6 µm, já para

H = 480 mm, os erros variam entre 0 µm e - 5 µm, com redução gradativa da superfície

de trabalho, sendo que os maiores valores ocorrem no quadrante (x > 0, y < 0 e z > 0).

Para a direção yb, fig. 6.5, os maiores erros em valor absoluto alcançam 13,5 µm

Sendo que a faixa de variação se encontra entre – 8,5 e – 13,5 µm.

No terceiro mapeamento, foram analisadas quatro situações, que são

respectivamente (a) δh1 = δh2 = 5 µm, (b) δh1 = δh2 = - 5 µm, (c) δh1 = - δh2 = 5 µm e

(d) - δh1 = δh2 = 5 µm, mantendo-se a altura constante em H = 0 mm.

Com relação aos erros na direção xb (fig. 6.6), observa-se que as situações

simétricas (a) e (b), se encontram na mesma faixa de erro, variando em módulo entre 4,4

µm a 5,1 µm, estando o maior erro na faixa central em y = 0 e para valores decrescentes

de x. No caso (a) a variação é positiva, ou seja, de + 4,4 µm a + 5,1 µm e no caso (b) a

variação é negativa, ou seja, de – 4,4 µm a - 5,1 µm. Quanto às situações assimétricas

(c) e (d), em ambas o erro é zero em y = 0, aumentando para - 5 µm e + 5 µm nas

extremidades, próximo a y = ± 0.5 m. A única diferença é que a evolução do erro é

invertida, isto é no caso (c) o erro é + 5 µm em y = - 0.5 m e no caso (d) o erro é + 5 µm

em y = + 0.5 m.

A fig. 6.7 ilustra as variações de erro na direção yb, onde se verifica que para as

situações simétricas (a) e (b), o erro é zero em y = 0, aumentando para – 2,5 µm e +

2,5 µm, nas extremidades, próximo a y = ± 0.5 m. A diferença entre ambas é que a

evolução do erro é invertida, isto é no caso (a) o erro é + 2,5 µm em y = + 0.5 m e no

caso (b) o erro é + 2,5 µm em y = - 0.5 m. Quanto às situações assimétricas (c) e (d), em

ambas o erro varia no sentido x segundo faixas radiais, cujos valores em módulo se

encontram entre 8,5 µm a 13,5 µm, para valores decrescentes de x. No caso (c) a

variação é negativa, ou seja, de - 8,5 µm a - 13,5 µm e no caso (d) a variação é

positiva, ou seja, de + 8,5 µm a + 13,5 µm.

84

Quanto aos erros na direção zb, que são independentes dos mapeamentos, eles

coincidem com o valor de δh3 sendo portanto, igual a 5 µm.

Uma outra questão relevante diz respeito à interpretação da distribuição dos

erros ao longo do espaço de trabalho. Esta interpretação é certamente difícil, porém

possível em alguns casos particulares.

Considere a situação em que δh1 = δh2, θ = 0 º, H = 0 m, ls1x = ls2x = lu1x = lu2x = ls1z =

ls2z = lu1z = lu2z = 0 m, ls1y = - ls2y = ls e lu1y = lu2y = lu, lu = 2 . ls.

Fig. 6.8 - Caso particular para interpretação dos erros.

Observando a fig. 6.8, pode-se escrever que 222 LsRh += . Derivando-se esta

equação, obtém-se RRhh δδ ⋅=⋅ . Substituindo a variável h na expressão anterior vem

RhR

lsδδ =⋅

+

2

1

Assim, para R tendendo a zero, δR tende a infinito. Por outro lado, se R tender a

infinito, δR tenderá a δh. Estas duas situações de tendências para δR podem ser

observadas na fig. 6.9 a seguir.

85

Fig. 6.9 - Mapeamento do erro na direção xb, para H = 0 m, δh1 = δh2 = 5 µm,

ls = 0,2 m, lu = 2.ls, sem restrição dos cursos das juntas.

Este comportamento para distribuição dos erros na direção xb, ou seja, para

θ = 0, ser maior para pequenos valores de R e tender a δh1 = δh2 = δh = 5 µm para

valores crescentes de R, se observa quando as componentes x das coordenadas das

juntas U1, U2, S1 e S2 são nulos.

No caso em que estas componentes na direção x não são nulas, preservando-se

as demais condições, nota-se que os erros na direção x crescem à medida que R também

cresce (vide fig. 6.9). Esta influência das componentes das coordenadas das juntas U1,

U2, S1 e S2 será analisada no próximo capítulo.

86

7. ANÁLISE DOS ERROS GEOMÉTRICOS DA ESTRUTURA PARALELA

2UPS+PRP

Os erros geométricos ocorrem em função das tolerâncias de fabricação e das

tolerâncias de montagem dos componentes de uma estrutura robótica, provocando uma

diferença entre os modelos cinemáticos teórico e real.

Para a estrutura paralela 2UPS+PRP, os erros geométricos serão analisados,

admitindo-se imprecisões nas coordenadas das juntas nos membros ativos.

Segundo NIEMANN et al (1981), a tolerância é a diferença entre as dimensões

máxima e mínima permitidas de uma característica dimensionável. As tolerâncias de

fabricação são normalizadas de acordo com diferentes normas, podendo ser citadas a

ABNT, a DIN, a ISO, entre outras.

Como critério para a definição das tolerâncias dos parâmetros geométricos,

dados pelas posições das juntas universais e esféricas sobre a estrutura robótica, baseou-

se na norma ISO 286. Esta norma define tanto a largura do campo de tolerâncias ou

qualidade de trabalho IT (International Tolerance), como também a posição deste

campo de tolerâncias em relação à dimensão nominal.

Existem 20 qualidades de trabalho, que são IT01, IT0, IT1, ..., IT18, sendo

indicadas as seguintes aplicações com relação à precisão requerida:

1. As tolerâncias das qualidades de 01 a 3 para eixos e as de 01 a 4 para furos, são

particularmente indicadas para peças de altíssima precisão e calibradores de tolerância e

referência.

2. As tolerâncias de qualidades 4 a 11 para eixos e as de 5 a 11 para furos, são

particularmente indicadas para peças destinadas a serem associadas umas às outras.

3. As tolerâncias de qualidades superiores a 11, tanto para eixos como para furos, são

aplicadas para dimensões isoladas, carecendo de sentido, qualquer afirmativa relativa à

intercambialidade.

No presente desenvolvimento, foram escolhidas tolerâncias segundo a qualidade

de trabalho IT5, que fornece uma precisão média de acordo com os catálogos de fusos

de esferas (NSK) e de juntas mecânicas (INA) consultados. Com esta escolha, optamos

por verificar se conseguimos manter um baixo erro geométrico, com custos de

87

fabricação de seus componentes que não fossem excessivamente elevados. A qualidade

de trabalho IT5 é determinada de acordo com a seguinte equação empírica contida na

norma ISO 286, onde D representa a dimensão.

( )DDIT ⋅+⋅⋅= 001,045,075 3

O posicionamento da largura do campo de tolerância é feito sempre em relação à

linha zero ou neutra, obedecendo um certo escalonamento, baseado em fórmulas

empíricas.

A cada posição faz-se corresponder uma letra ou grupo de duas letras do

alfabeto, sendo utilizadas letras maiúsculas para medidas internas (furos) e letras

minúsculas para medidas externas (eixos).

Estão previstas as seguintes letras (aqui representadas pelas minúsculas):

1) para campo de tolerâncias abaixo da linha zero - a, b, c, cd, d, e, ef, f, fg, g, h

2) para campo de tolerâncias contendo a linha zero – js, j, k

3) para campo de tolerâncias acima da linha zero – m, n, p, r, s, t, u, v, x, y, z, za, zb, zc

Neste estudo, adotamos o posicionamento que faz a divisão por igual em relação à

sua dimensão nominal ou linha neutra, que segundo a norma ISO é representado pelas

letras “js”. A expressão correspondente é dada por

Dsuperior – Dinferior =IT/2

Os valores numéricos correspondentes à qualidade de trabalho IT são dados em

µm e a dimensão D é fornecida em mm. Estes valores foram tabelados segundo a norma

DIN 7151 para dimensões até 500 mm e segundo a norma DIN 7172 para dimensões

acima de 500 mm até 3150 mm. Ambas as normas estão contidas no norma ISO 286.

88

7.1 Relação entre os erros de posicionamento da ferramenta e os erros associados

às imprecisões na localização das juntas nos membros ativos.

De modo a obter a relação entre os erros de posicionamento da ferramenta,

instalada na plataforma móvel, e os erros associados às imprecisões na localização das

juntas dos membros ativos, toma-se como ponto de partida os desvios nas funções nulas

de posição, definidas pela eq. (5.5) mostrada a seguir

( ) 0,,rrrr

=πqPf b

Assim, calculando as derivadas parciais em relação a Pb e a πr

, temos

0=⋅∂

∂+⋅

∂

∂= πδ

πδ

rr

rrr f

PP

ffd b

b

que na forma desenvolvida fica

022

22

22

11

11

11

22

22

22

11

11

11

=⋅∂

∂+⋅

∂

∂+⋅

∂

∂+⋅

∂

∂+

+⋅∂

∂+⋅

∂

∂+⋅

∂

∂+⋅

∂

∂+⋅

∂

∂+

+⋅∂

∂+⋅

∂

∂+⋅

∂

∂+⋅

∂

∂+⋅

∂

∂+⋅

∂

∂=

z

z

j

y

y

j

x

x

j

z

z

j

y

y

j

x

x

j

z

z

j

y

y

j

x

x

j

z

z

j

y

y

j

x

x

jjjj

j

lulu

flu

lu

flu

lu

flu

lu

f

lulu

flu

lu

fls

ls

fls

ls

fls

ls

f

lsls

fls

ls

fls

ls

fH

H

fR

R

ffdf

δδδδ

δδδδδ

δδδδδδθθ

com j = 1,2,3

Colocando a expressão anterior na forma matricial, temos

89

⋅

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

=

=

⋅

∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂

z

y

x

z

y

x

z

y

x

z

y

x

zyxzzxzyxzzx

zyxzyxzyxzyx

zyxzyxzyxzyx

lu

lu

lu

lu

lu

lu

ls

ls

ls

ls

ls

ls

lu

f

lu

f

lu

f

lu

f

lu

f

lu

f

ls

f

ls

f

ls

f

ls

f

ls

f

ls

f

lu

f

lu

f

lu

f

lu

f

lu

f

lu

f

ls

f

ls

f

ls

f

ls

f

ls

f

ls

f

lu

f

lu

f

lu

f

lu

f

lu

f

lu

f

ls

f

ls

f

ls

f

ls

f

ls

f

ls

f

H

R

H

f

R

ffH

f

R

ffH

f

R

ff

2

2

2

1

1

1

2

2

2

1

1

1

2

3

2

3

2

3

1

3

1

3

1

3

2

2

2

3

2

3

1

3

1

3

1

3

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

2

1

2

1

2

1

1

1

1

1

1

1

2

1

2

1

2

1

1

1

1

1

1

1

333

222

111

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δθ

θ

θ

θ

(7.1)

A matriz que multiplica o vetor

[ ]Tggg HR δδδθ ,,

é o Jacobiano Jp, enquanto a que multiplica o vetor

[ ]Tzyxzyxzyxzyx lululululululslslslslsls 22,2111222111 ,,,,,,,,,,, δδδδδδδδδδδδπδ =r

será denominada Jacobiano Jπ.

Sendo

θθθπ cRslsclsluJ yxx ⋅+⋅−⋅+−= 11111

θθθπ sRclsslsluJ yxy ⋅+⋅+⋅+−= 11112

90

HlsluJ zz ++−= 1113π

0161514 === πππ JJJ

RsluclulsJ yxx −⋅+⋅+−= θθπ 11117

θθπ clucslulsJ yxy ⋅+⋅−−= 11118

HlulsJ zz −+−= 1119π

012,111,110,1 === πππ JJJ

0232221 === πππ JJJ

θθθπ cRslsclsluJ yxx ⋅+⋅−⋅+−= 22224

θθθπ sRclsslsluJ yxy ⋅+⋅+⋅+−= 22225

HlsluJ zz ++−= 2226π

0292827 === πππ JJJ

RsluclulsJ yxx −⋅+⋅+−= θθπ 22210,2

θθπ cluslulsJ yxy ⋅+⋅+−= 22211,2

HlulsJ zz −+−= 2211,2π

012,311,310,3393837363534333231 ============ ππππππππππππ JJJJJJJJJJJJ

91

7.2 Cálculo dos erros geométricos

Os erros geométricos da estrutura paralela estão associados aos erros de

posicionamento da ferramenta, admitindo que existam erros associados à localização

das juntas U1, U2, S1 e S2, representadas pelo vetor πδr

.

Na hipótese de que sejam impostos valores típicos para estes erros, considera-se

que o vetor πδr

seja conhecido. Desta maneira,

ππ

δ

δ

δθr

dJJp

H

Rg

g

g

⋅⋅=

−1 (7.2)

De modo a se determinar os erros de posicionamento da ferramenta, em termos

das coordenadas cartesianas associadas ao ponto P, obtém-se

( ) ( )( ) ( )

⋅−+⋅+

⋅−+⋅+

=

g

gg

gg

g

z

g

y

g

x

h

senRsenRR

RRR

P

P

P

3

coscos

δ

θδθθδ

θδθθδ

δ

δ

δ

(7.3)

7.3 Mapeamento dos erros geométricos

O mapeamento dos erros geométricos corresponde à distribuição dos erros

representados pelo vetor [ ]Tg

z

g

y

g


admitindo-se uma imprecisão dos parâmetros da estrutura paralela, associada as

coordenadas das juntas U1, U2, S1 e S2. Os valores nominais destes parâmetros serão

idênticos àqueles apresentados na seção 5.4.

Nesta seção, dois tipos de mapeamentos serão considerados, sendo que a

diferença principal entre eles não reside no valor das componentes do vetor πδr

, mas

nos sinais destas componentes.

92

(a)

(b) (c)

Fig. 7.1 - Estrutura robótica 2UPS+PRP (a) com erros geométricos nas direções:

(b) xb e (c) yb.

Tabela 7.1 - Tolerâncias referentes aos parâmetros da estrutura paralela 2UPS+PRP.

Parâmetro [mm] Tolerância IT5 [µm]

Símbolo Valor Símbolo Simétrica Assimétrica

ls1x + 100 δls1x + 7,7 + 7,7

ls1y + 200 δls1y + 9,9 + 9,9

ls1z 0 δls1z 0 0

ls2x + 200 δls2x + 7,7 - 7,7

ls2y - 200 δls2y - 9,9 + 9,9

ls2z 0 δls2z 0 0

lu1x - 125 δlu1x - 8,3 - 8,3

lu1y + 400 δlu1y + 13,0 + 13,0

lu1z 0 δlu1z 0 0

lu2x - 125 δlu2x - 8,3 + 8,3

lu2y - 400 δlu2y - 13,0 + 13,0

lu2z 0 δlu2z 0 0

A seguir, apresentam-se as superfícies associadas aos erros g

xPδ e g

yPδ para diferentes

alturas H ou posições no eixo zb.

93


Admite-se situação simétrica em relação às tolerâncias, com os erros conhecidos

correspondentes ao vetor πr

d de acordo com os valores apresentados na tabela 7.1.

A fig. 7.2 mostra as superfícies associadas aos erros geométricos g

xPδ na direção


Fig. 7.2 - Erro geométrico referente ao posicionamento do ponto P, na direção xb,





94


yPδ na direção


Fig. 7.3 - Erro geométrico referente ao posicionamento do ponto P, na direção yb,





95


Aqui se considera situação assimétrica em relação às tolerâncias, com os erros

conhecidos correspondentes ao vetor πδr

também de acordo com os valores

apresentados na tabela 7.1.


xPδ na direção

xb, para diferentes alturas H ou posições no eixo zb., dentro do espaço de trabalho.






96


yPδ na direção







97

7.4 Análise da sensibilidade aos parâmetros da estrutura paralela

A análise da sensibilidade aos parâmetros da estrutura paralela 2UPS+PRP tem

por objetivo verificar o grau de influência de cada parâmetro sobre cada uma das

componentes do erro de posiciomamento da ferramenta.

Para realizar esta análise, calcula-se o valor médio da sensibilidade referente a

cada parâmetro em relação a cada uma das componentes do erro de posicionamento da

ferramenta. Emprega-se o valor médio, uma vez que a sensibilidade varia ao longo do


O cálculo da sensibilidade se baseia na matriz Jg, definida a seguir, para uma

determinada altura H da plataforma móvel.

πJJpJg ⋅= −1 (7.4)

que representada na forma matricial, fica

=

12,311,310,3393837363534333231

12,211,210,2292827262524232221

12,111,110,1191817161514131211

JgJgJgJgJgJgJgJgJgJgJgJg



Jg (7.5)

A sensibilidade da estrutura robótica ao erro geométrico, em função dos parâmetros de

localização das juntas universais e esféricas é obtida pela expressão

N

Jg

S

n

k

k

ij

ij

∑== 1

sendo Sij a sensibilidade média ao parâmetro j em relação à componente i do erro; k

ijJg

a sensibilidade ao parâmetro j em relação à componente i do erro para uma determinada

configuração k ocupada pela estrutura dentro do espaço de trabalho; N é o numero total

de pontos pertencentes ao espaço de trabalho, para uma dada altura H; i é o índice que

varia de 1 a 3, sendo 1 para δθ, 2 para δR e 3 para δH; j é o índice que varia de 1 a 12,

seguindo a sequência dos parâmetros da tabela 7.1.

98

A fig. 7.6 mostra os gráficos de barras referentes ao grau de influência dos

parâmetros geométricos na sensibilidade de θ ao erro, para algumas superfícies

associadas a diferentes alturas H ou posições no eixo zb, dentro do espaço de trabalho.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4x 10

-7

Lu1X Lu2X Lu1Y Lu2Y Lu1Z Lu2Z Ls1x Ls2x Ls1y Ls2y Ls1z Ls2z

Gra

u d

e i

nflue

ncia

do

s p

arâ

me

tros

geom

étr

icos

Sensibilidade de ThetaZ

Z = 0 [mm]

(a)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4x 10

-7


Gra

u d

e influencia

dos p

arâ

metr

os g

eom

étr

icos


Z = 120 [mm]

(b)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4x 10

-7


Gra

u d

e influencia

dos p

arâ

metr

os g

eom

étr

icos


Z = 240 [mm]

(c)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

0.5

1

1.5x 10

-7


Gra

u d

e infl

uen

cia

dos

parâ

metr

os g

eom

étr

icos


Z = 360 [mm]

(d)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

0.5

1

1.5

2

2.5

3x 10

-7


Gra

u d

e in

flu

en

cia

dos

pa

râm

etr

os

ge

om

étr

ico

s


Z = 480 [mm]

(e)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3x 10

-6


Gra

u d

e influencia

dos p

arâ

metr

os g

eom

étr

icos


Z = 600 [mm]

(f)

Fig. 7.6 – Sensibilidade média aos parâmetros 1 a 12, em relação a δθ:




99

A fig. 7.7 mostra os gráficos de barras referentes ao grau de influência dos

parâmetros geométricos na sensibilidade de R ao erro, para algumas superfícies

associadas a diferentes alturas H ou posições no eixo zb.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

1

2

3

4

5

6x 10

-5


Gra

u d

e influencia

dos p

arâ

metr

os g

eom

étr

icos

Sensibilidade de R

Z = 0 [mm]

(a)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0

1

2

3

4

5

6x 10

-5


Gra

u d

e influencia

dos p

arâ

metr

os g

eom

étr

icos

Sensibilidade de R

Z = 120 [mm]

(b)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

1

2

3

4

5

6x 10

-5


Gra

u d

e influencia

dos p

arâ

metr

os g

eom

étr

icos

Sensibilidade de R

Z = 240 [mm]

(c)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0

1

2

3

4

5

6

7x 10

-5


Gra

u d

e infl

ue

ncia

dos

pa

râm

etr

os

ge

om

étr

icos

Sensibilidade de R

Z = 360 [mm]

(d)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2x 10

-4


Gra

u d

e influencia

dos p

arâ

metr

os g

eom

étr

icos

Sensibilidade de R

Z = 480 [mm]

(e)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2x 10

-3


Gra

u d

e influencia

dos p

arâ

metr

os g

eom

étr

icos

Sensibilidade de R

Z = 600 [mm]

(f)

Fig. 7.7 – Sensibilidade média aos parâmetros 1 a 12, em relação a δR:




100

7.5 Discussão

Os erros geométricos ocorrem principalmente em função da existência de

tolerâncias dimensionais e geométricas nos componentes, além de tolerâncias de

montagem. As tolerâncias nos componentes ocorrem devido ao processo de fabricação e

devido ao desgaste em consequência do uso. As tolerâncias de montagem se referem

principalmente a folgas na estrutura. Neste estudo, nos concentramos especialmente na

influência das tolerâncias de fabricação para a determinação dos erros.

Em processos de fabricação, é práticamente impossível atingir exatamente a

dimensão nominal, de forma que se permite uma tolerância ou variação dimensional,

que pode estar contida numa faixa maior ou menor, dependendo da precisão necessária

ou do erro permitido.

Os fabricantes de fusos de esferas recirculantes, por exemplo, concentram seus

produtos principalmente nas qualidades de trabalho IT3 e IT5 (catálogos da RACO,

NSK, LK, EXLAR, KORTA).

Fig. 7.8 - Fuso de rolamentos de esferas com castanha (junta prismática).

Em acoplamentos com rolamentos radiais, para aplicações de cargas normais a

altas na construção de máquinas, são utilizadas as qualidades IT5 e IT6, com

afastamentos de referência j e k (NIEMANN, 1981; catálogos da FAG, SKF,

TIMKEN).

Já para juntas universais (fig. 7.9 a) e esféricas (fig. 7.9 b), são geralmente

empregadas as qualidades IT6, IT7 e IT8, com afastamentos de referência h e js,

(catálogos da INA, APEX, KTR, IMETEX).

101

(a) (b)

Fig. 7.9 - Juntas mecânicas: (a) universal; (b) esférica.

Em relação aos mapeamentos efetuados, pretende-se avaliar, em quais regiões do

espaço de trabalho, a estrutura paralela assimétrica amplifica ou reduz os erros de

entrada πδr

, referentes aos parâmetros geométricos.

Da análise do primeiro mapeamento dos erros geométricos, situação em que há

simetria nos erros dos parâmetros de posicionamento das juntas universais e esféricas,

pode-se concluir que os erros na direção yb (fig. 7.3) serão nulos para y = 0, devido à

simetria geométrica da estrutura em relação ao eixo xb, independente do valor da

altura H.

Observa-se também que estes valores nulos formam uma linha de simetria em

que os valores dos erros para os dois quadrantes (x, y, z > 0; x, z > 0 e y < 0) serão

iguais mas de sinais contrários.

Os valores máximos para os erros se encontram nas extremidades do eixo y,

chegando a - 20 a + 20 µm, para y < -0,5 m e y > +0,5 m respectivamente. Na faixa

entre - 0,1 m < y < 0,1 m , os erros variam de - 5 a + 5 µm. Em alturas maiores, tais

como H = 480 e H = 600 mm, próximo à fronteira do espaço de trabalho, os erros

diminuem para 10 e 4 µm, respectivamente, juntamente com a gradativa redução do

tamanho da superfície de trabalho.

Observando a fig. 7.2, nota-se que o maior erro geométrico na direção xb

permanece numa faixa estreita contida entre 6 a 16,4 µm ao longo do espaço de

trabalho. Conforme aumenta a altura H, e os tamanhos das superfícies de trabalho se

reduzemos, erros mínimos aumentam para 8 µm, 9 µm, 11 µm, 14 µm e 16 µm, em

102

relação a H = 120 mm H = 240 mm, H = 360 mm, H = 480 mm e H = 600 mm

respectivamente. Os erros são negativos e simétricos em relação ao eixo xb.

Para o segundo mapeamento, situação em que há assimetria nos erros dos

parâmetros de posicionamento das juntas universais e esféricas, observa-se que os erros

tanto na direção xb (fig. 7.4) são inferiores e na direção yb (fig. 7.5) são superiores aos

do primeiro mapeamento.

Com relação à direção xb, para H = 0 mm, os erros variam de - 10 a + 10 µm, em

relação ao eixo y. Porém, à medida que H aumenta nota-se uma redução na faixa de

variação dos erros. Ou seja, próximo à região de fronteira, em H = 480 mm e

H = 600 mm, por exemplo, os maiores erros são iguais a ± 5 µm e ± 2 µm,

respectivamente.

Para a direção yb, fig. 7.5, os maiores erros em valor absoluto alcançam 44 µm

Sendo que a faixa de variação se encontra entre + 28 e + 44 µm. Os erros variam dentro

de faixas radiais, aumentando conforme se aumenta também o valor de x.

Com relação aos parâmetros geométricos, a fig. 7.6 mostra que a maior

influência quanto à sensibilidade de θ se deve às coordenadas lu1x, lu2x, ls1x e ls2x, sendo

aproximadamente três vezes maior que a influência de lu1y, lu2y e aproximadamente seis

vezes maior que a influência de ls1y, ls2y. Esta relação entre os parâmetros sofre pouca

variação ao longo do espaço de trabalho.

Observa-se que, em valores absolutos, a influência global dos parâmetros lu1x,

lu2x, ls1x, ls2x, lu1y, lu2y, ls1y e ls2y permanece práticamente constante até H = 360 mm,

passando então a aumentar conforme se aproxima da fronteira do espaço de trabalho,

chegando a dobrar de valor em H = 600 mm.

Já a influência dos parâmetros lu1z, lu2z, ls1z, ls2z vai aumentando conforme se

afasta da altura de referência H = 0 mm. Assim, para H = 0 mm, a influência destes

parâmetros é nula, em H = 240 mm se iguala a ls1y, ls2y e em H = 480 mm já

ultrapassou lu1y, lu2y, passando a ser a segunda maior fonte de influência na

sensibilidade ao erro geométrico.

Por sua vez, a sensibilidade de R em relação aos parâmetros geométricos, é

ilustrada na fig. 7.7. Novamente se observa que a maior influência se deve às

coordenadas lu1x, lu2x, ls1x e ls2x, que também neste caso são aproximadamente três

vezes maior que a influência de lu1y, lu2y e seis vezes maior que a influência de ls1y, ls2y.

103

E mais uma vez, esta relação entre os parâmetros tem pouca variação ao longo do


Em valores absolutos, a influência global dos parâmetros lu1x, lu2x, ls1x, ls2x,

lu1y, lu2y, ls1y e ls2y permanece práticamente constante até H = 240 mm, passando a

aumentar de forma suave até H = 360 mm. Em H = 480 mm os valores dobram e nas

próximidades da fronteira do espaço de trabalho, em H = 600 mm os valores aumentam

200 vezes.

A influência dos parâmetros lu1z, lu2z, ls1z, ls2z aumenta gradativamente

conforme se afasta da altura de referência H = 0 mm. Na altura H = 0 a influência é

nula, em H = 120 mm supera ls1y, ls2y e em H = 480 mm ultrapassa lu1y, lu2y, passando a

ser a segunda maior fonte de influência na sensibilidade ao erro geométrico.

104

8 ANÁLISE DOS ERROS ELÁSTICOS DA ESTRUTURA PARALELA

2UPS+PRP

Os erros elásticos em estruturas robóticas são consequência das deformações

elásticas em seus componenentes, que por sua vez, dependem da sua rigidez e dos

esforços atuantes.

Neste capítulo, os modelos para avaliação do erro elástico na estrutura paralela

2UPS+PRP, serão gerados aplicando-se o princípio do trabalho virtual à estrutura

considerada sob a ação da força de usinagem, numa operação de fresamento de

acabamento.

8.1 Desenvolvimento do modelo para avaliação do erro elástico

Considere a estrutura paralela 2UPS+PRP, apresentada na fig. 8.1, onde se

destacam os pontos centro das juntas esféricas e universais, as molas k1, k2 e k3

correspondentes à rigidez dos membros ativos 1, 2 e 3, respectivamente, além da fresa

instalada na plataforma móvel sofrendo a ação da força de usinagem uFr

, durante a

interação ferramenta-peça de trabalho.

Fig. 8.1 - Representação simplificada da estrutura 2UPS+PRP,

para desenvolvimento do modelo elástico.

105

Por sua vez, na fig. 8.2 são indicadas as forças no sentido axial, atuantes nas

molas de rigidez k1, k2 e k3.

Fig. 8.2 – Forças atuantes nas molas de rigidez k1, k2 e k3.

Aplicando-se o princípio do trabalho virtual à estrutura paralela 2UPS+PRP,

conforme fig. 8.2, obtém-se

0332211

rrrrrrrrr=⋅+⋅−⋅−⋅− eeee PFhfhfhf δδδδ (8.1)

sendo eh1

rδ , eh2

rδ e eh3

rδ os deslocamentos virtuais nas molas 1, 2 e 3, respectivamente, e

ePr

δ o deslocamento virtual do ponto P.

Foram adotadas algumas hipóteses simplificadoras mencionadas a seguir:

a) o diâmetro da fresa e o comprimento da sua haste foram desconsiderados;

b) o motor responsável pela transmissão de rotação à ferramenta encontra-se

instalado na base e não na plataforma móvel, de acordo com a observação feita

na seção 4.2 do cap.4 ;

c) os efeitos gravitacionais foram desconsiderados.

106

O trabalho virtual da força uFs

, e

u PFrr

δ⋅ , pode ser escrito em termos das forças

nas direções radial, tangencial e axial (vetores ρr

, τr

, kr

da fig. 8.3) e do vetor

[ ]Teee HR δδδθ ,,

[ ]

⋅=⋅e

z

e

y

e

x

zyx

e

u

P

P

P

FFFPF

δ

δ

δ

δrr

(8.2)

O vetor uFr

nas componentes radial, tangencial e axial corresponde a

( ) ( ) ( ) kFFFkkFFFF ztruuuuˆ⋅+⋅+⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= τρττρρ

rrrrrrrrrrrr

sendo

( ) ( ) θθθθρ sFcFjsicjFiFFF yxyxur ⋅+⋅=+⋅+=⋅= ˆˆˆˆrr

( ) ( ) θθθθτ cFsFjcisjFiFFF yxyxut ⋅+⋅−=+−⋅+=⋅= ˆˆˆˆrr

portanto,

[ ] [ ]

−

⋅=

100

0

0

θθ

θθ

sc

cs

FFFFFF zrtzyx (8.3)

107

θ

ρτ

Fig. 8.3 – Força uFr

atuante no ponto P e os vetores ρr

, τr

, i , j e k .

Por outro lado, o vetor ePr

δ pode ser escrito da seguinte maneira

⋅

⋅

−

=

e

e

e

e

z

e

y

e

x

H

R

R

sc

cs

P

P

P

δ

δ

δθ

θθ

θθ

δ

δ

δ

100

0

0

(8.4)

Substituindo os vetores das eqs. (8.3) e (8.4) na eq. (8.2) vem

[ ]

[ ]

e

z

e

r

e

t

e

e

e

zrt

e

e

e

zrt

HFRFRF

H

R

R

FFF

H

R

R

sc

cs

sc

cs

FFF

δδδθ

δ

δ

δθ

δ

δ

δθ

θθ

θθ

θθ

θθ

⋅+⋅+⋅⋅=

=

⋅

⋅

⋅=

=

⋅

⋅

−

⋅

−

⋅

100

010

001

100

0

0

100

0

0

(8.5)

Substituindo o resultado da eq. (8.5) na eq (8.1) e colocando-a na forma

matricial vem:

108

[ ] [ ]

⋅=

⋅⋅e

e

e

e

e

e

zrt

h

h

h

fff

H

RFFRF

3

2

1

321

δ

δ

δ

δ

δ

δθ

Da eq. (6.1), sabe-se que

⋅=

e

e

e

e

e

e

H

RJc

h

h

h

δ

δ

δθ

δ

δ

δ

3

2

1

(8.6)

sendo pq JJJc ⋅= −1

Assim,

⋅=

⋅

3

2

1

f

f

f

Jc

F

F

RFT

z

r

t

(8.7)

O vetor [ ]Tfff 321 pode ser definido em função da rigidez dos membros

ativos e das correspondentes deformações elásticas eh1δ , eh2δ e eh3δ .

⋅

=

e

e

e

h

h

h

k

k

k

f

f

f

3

2

1

3

2

1

3

2

1

00

00

00

δ

δ

δ

(8.8)

De forma análoga ao apresentado na eq. (8.6) pode-se considerar que

⋅=

e

e

e

e

e

e

H

RJc

h

h

h

δ

δ

δθ

δ

δ

δ

3

2

1

(8.9)

Substituindo os resultados das eqs. (8.8) e (8.9) na eq. (8.7) vem

109

⋅⋅⋅=

⋅

e

e

e

T

z

r

t

H

RJcJc

F

F

RF

δ

δ

δθ

χ

sendo

Ou ainda, reescrevendo-se a equação anterior de outra maneira

⋅

⋅=

−

z

t

t

e

e

e

F

F

RF

K

H

R 1

δ

δ

δθ

(8.10)

sendo JcJcK T ⋅⋅= χ a matriz de rigidez global da estrutura paralela 2UPS+PRP.

Portanto, o erro elástico será

( ) ( )( ) ( )

⋅−+⋅+

⋅−+⋅+

=

e

ee

ee

e

z

e

y

e

x

h

sRsRR

cRcRR

P

P

P

3δ

θδθθδ

θδθθδ

δ

δ

δ

(8.11)

8.2 Cálculo da rigidez de cada um dos membros ativos

Nesta seção, apresenta-se o cálculo da rigidez de cada um dos membros ativos da

estrutura paralela, ou seja, como são determinados os valores de k1, k2 e k3.

Para os membros laterais 1 e 2, admite-se a situação indicada na fig. 8.4.

110

(a)

Fig. 8.4 - Determinação da rigidez dos membros laterais: (a) modelo cinemático;

(b) modelo elástico.

Assim, para o cálculo de k1 ou k2, considera-se o carregamento axial, ao longo

do eixo que passa pelos pontos-centro S e U, sendo que a rigidez de cada membro

levará em conta a contribuição da junta esférica, da junta prismática (fuso) e da junta

universal. Desta maneira,

111

1 1111

UtelescópioS kkk

k

++

= (8.12)

e

222

2 1111

UtelescópioS kkk

k

++

= (8.13)

sendo kS, a rigidez da junta esférica; ktelescópio a rigidez da junta prismática; e kU, a

rigidez da junta universal.

Os valores de rigidez correspondentes às juntas solicitadas kU e kS, podem ser

obtidos a partir de catálogos de fabricantes destes componentes.

111

No caso da junta prismática, esta corresponde construtivamente a um fuso de

esferas, proporcionando com seu giro a translação de uma haste vinculada na sua

extremidade à uma das juntas esféricas.

Fig. 8.5 - Vista em corte do membro lateral, para determinação da rigidez do telescópio.

Sendo assim, pode-se escrever que

111

1 1111

fusoporcahaste

telescópio

kkk

k

++

= (8.14)

e

222

2 1111

fusoporcahaste

telescópio

kkk

k

++

= (8.15)

sendo khaste, kporca e kfuso, a rigidez da haste, da porca e da porção deformada do fuso,

respectivamente.

112

O valor de rigidez correspondente à porca kporca, pode ser obtido a partir de

catálogos de fabricantes deste componente.

A rigidez da haste khaste, é determinada segundo a expressão

1

111

haste

hastehaste

hastel

AEk

⋅= (8.16)

e

2

222

haste

hastehaste

hastel

AEk

⋅= (8.17)

sendo Ehaste o módulo de elasticidade do material da haste; Ahaste a área da seção

transversal da haste; lhaste o comprimento util da haste.

No caso da porção deformada do fuso, a rigidez correspondente kfuso será

determinada aplicando-se a seguinte formulação

111

11

111

2 juntasjuntau

porca

haste

fusofuso

fuso

lll

lh

AEk

−−−−

⋅= (8.18)

e

222

22

222

2 juntasjuntau

porca

haste

fusofuso

fuso

lll

lh

AEk

−−−−

⋅= (8.19)

sendo h, o comprimento do membro lateral; lhaste, o comprimento da haste; lporca o

comprimento da porca; ljuntau a distância do centro da junta universal ao encosto do

fuso; ljuntas a distância do centro da junta esférica ao encosto da haste; Efuso o módulo de

elasticidade do material do fuso; Afuso a área da seção transversal do fuso.

113

O membro central também corresponde construtivamente a um fuso de esferas,

proporcionando com seu giro a translação de uma porca à qual está vinculado o braço

central movido em cuja extremidade está presa a plataforma móvel.

Fig. 8.6 – Vista do membro central, para determinação da sua rigidez.

A rigidez do membro central 3, levando em conta apenas a rigidez axial, é

calculada segundo

33

3 111

porcafuso

membro

kk

k

+

= (8.20)

com

32313 fusofusofuso kkk += (8.21)

sendo kporca3 e kfuso3 , a rigidez da porca e do fuso, respectivamente.

O valor de rigidez correspondente à porca kporca3, pode ser obtido a partir de

catálogos de fabricantes deste componente.

Z=0

Porca3

H lh3/2

lh3/2

114

A rigidez das partes deformadas do fuso kfuso31 e kfuso32 são determinadas a

seguir

Hlh

AEk

fusofuso

fuso

−

⋅=

23

3331 (8.22)

e

Hlh

AEk

fusofuso

fuso

+

⋅=

23

3332 (8.23)

sendo Efuso3 o módulo de elasticidade do material do fuso; Afuso3 a área da seção

transversal do fuso; lh3 o comprimento do fuso e H o deslocamento na direção zb .

8.3 Cálculo da força de usinagem

A determinação da força de usinagem é realizada considerando processo de

fresamento (fig. 8.7) em operação de acabamento, focando com isso a precisão da

máquina e da peça trabalhada.

Fig. 8.7 - Exemplo de processo de fresamento.

115

No fresamento a força de usinagem oscila em função do espaçamento entre os

dentes da ferramenta, como ilustrado na fig. 8.8. Neste estudo, no entanto, adotamos

como hipótese simplificadora que esta força é considerada constante, ou seja, admite-se

situação estática e sem choques adicionais, com fator de sobrecarga igual a um.

Fig. 8.8 - Oscilação da força de usinagem.

Consideramos que a força de usinagem Fu é composta pela força de corte Fc e

pela força de avanço Ff, conforme ilustrado na fig. 8.9.

Fig. 8.9 – Vista superior da composição da força de usinagem.

A força de usinagem Fu pode ser escrita em função de suas componentes radial,

tangencal e axial, como mostra a expressão (8.24).

[ ]T

zrtu FFFF = (8.24)

116

Estas componentes de força são obtidas a partir da decomposição da força de

corte e da força de avanço.

ϕ

θ

δ

ϕθ δ

(a) (b)

Fig. 8.10 – Fresamento: (a) na direção xb; (a) na direção yb.

Para fresamento na direção xb, temos

( ) ( )θθϕπ

δ senFsenFF fCfCt ⋅+

−−⋅⋅−=

2cos (8.25)

( ) ( )θθϕπ

δ cos2

coscos ⋅+

−−⋅⋅= fCfCr FFF (8.26)

( )fCz senFF δ⋅= (8.27)

Para fresamento na direção yb, temos

( ) ( )

−⋅+−−⋅⋅= θ

πθϕπδ

2cos senFsenFF fCfCt (8.28)

( ) ( )

−⋅+−−⋅⋅−= θ

πθϕπδ

2coscoscos fCfCr FFF (8.29)

117

( )fCz senFF δ⋅= (8.30)

Para o cálculo da força de corte Fc, é preciso conhecer as propriedades do

material da peça a ser usinada, as características da ferramenta utilizada e as condições

de operação.

Dentre as propriedades do material da peça, está o seu tipo que pode ser aço,

ferro fundido, metal não ferroso, material sintético e material natural. Além desta há

ainda outras como a dureza e a tensão limite de resistência à ruptura por tração.

Dentre as características da ferramenta, temos o material que pode ser por

exemplo de aço rápido ou metal duro, assim como a sua forma que pode ser cilindrica,

de disco, de topo, entre outras. Outras características importantes são o diâmetro Df , a

largura Lf , o número de dentes Zf , além dos ângulos de incidencia αc , de corte βc , de

saída γc e de hélice δf (WITTE, 1998; DINIZ, 2001).

Dentre as condições de operação, existe a usinagem de desbaste ou acabamento,

o fresamento frontal ou tangencial, a velocidade de corte vc, a velocidade de avanço vf ,

a profundidade de corte ap , a penetração de trabalho ae , o ângulo da direção da aresta

principal de corte com a peça usinada Kr , o coeficiente do material mc segundo Kienzle

e a força de corte específica para secção de material A=1mm2 KC11 segundo Kienzle

(WITTE, 1998; DINIZ, 2001). Além destas há ainda as citadas a seguir

A rotação da fresa é dada por

π⋅

⋅=

f

fD

vcn

1000 [rot/min] (8.31)

o avanço da fresa por rotação obtém-se de

f

fn

vff = [mm/rot] (8.32)

o avanço da fresa por dente calcula-se por

118

f

f

ZZ

ff = [mm/dente] (8.33)

o ângulo de contato total entre a fresa e a peça usinada é

⋅=

f

CD

aearcsen

20ϕ [rad] (8.34)

o ângulo de atuação da força de corte é adotado de forma simplificada para ae ≤ π/2

como

03

2CC ϕϕ ⋅= [rad] (8.35)

a espessura do cavaco é determinada pela expressão simplificada

( )rZC fh Κ⋅= sin [mm] (8.36)

a força de corte específica segundo Kienzle (WITTE, 1998; DINIZ, 2001), é obtida de

mc

CCC hKK −⋅= 11 [N/mm2] (8.37)

Assim, a força de corte é calculada por

CfC KfapF ⋅⋅= [N] (8.38)

A força de avanço, por sua vez, foi considerada como sendo igual a 20% da força de

corte (GIECK, 1996).

cf FF ⋅= 2,0 [N] (8.39)

119

8.4 Mapeamento dos erros elásticos

O mapeamento dos erros elásticos corresponde à distribuição dos erros

representados pelo vetor [ ]Te

z

e

y

e


admitindo-se uma deformação dentro do regime elástico, em função da rigidez da

estrutura associada à força de usinagem atuante. Os parâmetros da estrutura paralela são

apresentados nas tabelas a seguir. Nesta seção, dois tipos de mapeamentos serão

considerados, sendo que a diferença entre eles consiste na direção adotada para o

movimento de fresagem.

(a)

(b) (c)

Fig. 8.11 - Estrutura robótica 2UPS+PRP (a) com erros elásticos nas direções:

(b) xb e (c) yb.

Nas tabelas 8.1 a 8.4 a seguir, são apresentados os parâmetros utilizados para o

cálculo da deformação elástica.

120

Tabela 8.1 - Materiais da estrutura robótica 2UPS+PRP.

Características dos materiais

Símbolo Denominação Dimensão E k

- - [mm] [N/mm2] [N/mm]

fuso1, fuso2 Fusos de esferas Ǿfuso 32 x lfuso547 210000 Calculado

fuso3 Fusos de esferas Ǿfuso 100 x lfuso1280 210000 Calculado

U1, U2 Juntas universais dcruzeta 80 x lcruzeta 80 210000 315000*

S1, S2 Juntas esfericas Ǿesfera 60 210000 315000*

Porca1, Porca2 Porcas dos fusos Ǿe 50 x lporca100 210000 Calculado

Porca3 Porcas dos fusos Ǿe115 x Ǿi 100 x lporca80 210000 1500000

* Catálogo NSK.

Tabela 8.2 - Ferramenta de corte utilizada na simulação do processo de fresamento.

Características da ferramenta

Tipo Fresa frontal sem haste

Material Metal duro

Símbolo Denominação Unidade Valor

Df Diâmetro da fresa [mm] 100

Lf Largura da Fresa [mm] 40

Zf Nr. de dentes da fresa [-] 14

δf Ângulo de hélice da fresa [graus] 0

αf Ângulo de incidência do dente [graus] 7

βf Ângulo de corte do dente [graus] 77

γf Ângulo de saída do dente [graus] 10

121

Tabela 8.3 - Condições de operação utilizados na simulação do processo de fresamento.

Condições de operação

Símbolo Denominação Unidade Valor

vc Velocidade de corte [m/min] 500

vf Velocidade de avanço [mm/min] 50

ap Profundidade de corte [mm] 0,5

ae1 Penetração de trabalho entrada-centro [mm] 50

ae2 Penetração de trabalho centro-saída [mm] 0

Кr Ângulo aresta de corte com a peça [graus] 90

mc Coeficiente do material ABNT 1045 [ - ] 0,17

Kc11 Força de corte especifica p/ A=1mm2 [N/mm2] 2110

Tab. 8.4 - Material da peça usinada na simulação do processo de fresagem.

Material da peça usinada

Material C(carbono) σr HB

ABNT_1045 [%] [N/mm2] [-]

Aço medio carbono 0,35 620 150


Neste caso, adota-se que a direção do movimento de usinagem coincide com o

eixo xb. A rigidez da estrutura e a força de usinagem aplicada são determinados a partir

dos parâmetros fornecidos pelas tabelas 8.1 a 8.4. Segundo estes dados, obtém-se uma

força de corte Fc = 93,5 N, uma força de avanço Ff = 18,7 N e um ângulo de atuação da

força de corte φc = 60 º .

122

A fig. 8.12 mostra as superfícies associadas aos erros elásticos e

xPδ na direção


Fig. 8.12 - Erro elástico referente ao posicionamento do ponto P na direção xb





123


yPδ na direção


Fig. 8.13 - Erro elástico referente ao posicionamento do ponto P na direção yb



(e) para H = 480; (f) para H = 600 mm.


124


Desta vez, adota-se que a direção do movimento de usinagem coincide com o

eixo yb. A rigidez da estrutura e a intensidade da força de usinagem aplicada

permanecem inalterados em relação ao primeiro mapeamento.


xPδ na direção





(e) para H = 480 ; (f) para H = 600 mm.


125


yPδ na direção







126

8.5 Discussão

Os erros elásticos ocorrem devido às deformações elásticas nos componentes da

estrutura paralela, em função de rigidez insuficiente para suportar as forças e momentos

atuantes. Assim, a rigidez global da estrutura paralela afeta a sua capacidade de carga e

por conseguinte a sua precisão.

Neste estudo, nos concentramos específicamente na influência da rigidez axial e

de uma força de usinagem contida no plano xbyb. Desta maneira, foram desconsideradas

a rigidez a flexão e a rigidez a torção, assim como forças ao longo do eixo zb.

A intensidade da força de usinagem, composta pela força de corte e pela força de

avanço, está de acordo com uma operação de fresamento de acabamento, que leva em

conta pequenas profundidades de corte, baixas velocidades de avanço e altas

velocidades de corte, conforme apresentado nas tabelas 8.1 a 8.5.

Os valores obtidos no calculo são: Fc = 93,5 N para a força de corte e Ff = 18,7

N para a força de avanço, resultando numa força de usinagem de Fu = 95 N.

Com relação aos dois mapeamentos efetuados para o erro elástico, foram

consideradas duas direções de corte distintas, uma na direção xb e outra na direção yb.

Pretende-se com isso avaliar o comportamento dos erros, detectando o pior caso e

também as regiões mais críticas dentro do espaço de trabalho da estrutura paralela

assimétrica, em função dos parâmetros de projeto e de processo adotados.

Os resultados de ambos os mapeamentos podem ser visualizados nas fig. 8.12 a

8.15. Observa-se que devido à ação da parcela de força no sentido tangencial ao braço

movido R, ocorre uma distorção nas faixas dos erros, que se distribuem de forma

assimétrica sobre as superfícies de trabalho.

No primeiro mapeamento, com o fresamento ocorrendo na direção e sentido +

xb, os erros em xb (fig. 8.12),variam entre - 0,4 e - 1,4 µm. Apesar da distorção, o erro

cresce no sentido - y, sendo de aproximadamente – 0,7 µm na posição central y = 0.

Observa-se também, que esta distribuição dos erros se mantém práticamente constante

para as diversas alturas H analisadas, havendo apenas uma redução significativa já na

altura H = 600 mm, nas proximidades da fronteira do espaço de trabalho, em função

das limitações físicas da estrutura robótica.

Já os erros na direção yb do primeiro mapeamento (fig. 8.13), se encontram numa faixa

entre - 0,8 e - 2,6 µm e variam ao longo do eixo x. Os erros se tornam maiores conforme

127

o valor de x aumenta, o que significa que os erros crescem conforme a ferramenta se

afasta de sua origem, contida na base fixa. Nota-se que entre as alturas H = 0 a H = 240

mm, estes valores ficam práticamente inalterados. Somente a partir da altura H = 360

até H = 600 mm, estes valores vão se reduzindo gradativamente, também neste caso em

virtude da redução do espaço de trabalho disponível.

Para o segundo mapeamento, com o fresamento ocorrendo na direção e sentido +

yb, (fig. 8.14), os erros em xb variam entre - 0,5 e + 2 µm, sendo esta faixa um pouco

maior que no primeiro mapeamento. Também neste mapeamento, o erro varia ao longo

do eixo y. Entretanto, o aumento do erro ocorre no sentido + y, estando em

aproximadamente -0,5 µm na posição central y = 0. Observa-se também, que esta

distribuição dos erros se mantém práticamente constante para as diversas alturas H

analisadas, havendo apenas uma redução significativa entre as alturas H = 400 e

H = 600 mm, devido à redução do tamanho do espaço de trabalho disponível.

E finalmente, os erros na direção yb do segundo mapeamento, (fig. 8.15), ficam

entre - 2 e - 5 µm, com variação ao longo do eixo x, analogamente ao primeiro

mapeamento, mas numa faixa um pouco maior. Também neste caso os erros aumentam

conforme o valor de x aumenta, ou seja, conforme a ferramenta se afasta da orígem.

Nota-se que estes valores ficam práticamente inalterados para as diversas alturas H

estudadas. Somente em H = 600 mm, estes valores se reduzem, devido à redução do

espaço de trabalho disponível.

128

9. VALIDAÇÕES DOS MODELOS MATEMÁTICOS

Aqui é verificada a validade dos resultados obtidos através dos modelos

matemáticos desenvolvidos, que calculam os erros geométricos, cinemáticos e elásticos.

Esta validação é realizada através de comparações com outros métodos de análise.

9.1 Validação dos modelos geométrico e cinemático de posição

A aferição dos modelos geométrico e cinemático, foi realizada em duas frentes.

Na primeira se utilizou métodos gráficos, trabalhando com o programa AUTOCAD,

para a obtenção da superfície de trabalho disponível na posição H = 0 mm, conforme

mostra a fig. 10.1 a seguir.

Fig. 9.1 - Superfície de trabalho para H = 0, com cotas em centímetros,

obtida através de programa para desenhos AUTOCAD.

Na fig. 9.2 é mostrado o mapeamento da superfície de trabalho obtida pelo modelo

matemático desenvolvido em MATLAB.

129

Fig. 9.2 - Superfície de trabalho em H = 0, obtida com MATLAB.

Ambos os modelos apresentam uma superfície de trabalho contida em x

variando de 600 a 1050 mm e em y variando entre -480 a +480 mm. As formas obtidas

pelo modelo gráfico no AUTOCAD e as formas obtidas pelo modelo matemático do

MATLAB também são bastante parecidas.

Na segunda frente realizamos um cálculo geométrico, considerando duas

situações simplificadas conforme fig. 9.3, com variações em luy1, luy2, lsy1 e lsy2.

Fig. 9.3 - Situações de aferição dos modelos geométrico e cinemático.

A fig. 9.4 representa o modelo geométrico simplificado, no qual estão baseadas

as equações apresentadas em seguida.

130

Fig. 9.4 - Modelo para equacionamento geométrico.

As expressões matemáticas utilizadas são

22 yxR += [mm]

π

θ180

⋅

=

x

yartg [graus]

+⋅⋅⋅−+=

2cos222 π

θRluRluL yiyii [mm]

π

β180

2arccos

222

⋅

⋅⋅

−+=∆

RL

luRL

i

yii

i [graus]

222

2cos2 HlsLlsLlh iyiiyiii +

−⋅⋅⋅−+=∆ β

π [mm]

Os dados dimensionais utilizados, estão registrados na tabela a seguir.

z y

x

LUY1 LUY2

LR

Lh1

Lh2

LS1y

LS2y

Teta

3=Beta2 1

1=Gama1

4=Gama2

2 3

4

P0

2=Beta1

131

Tabela 9.1 - Dados dimensionais para aferição do modelo de erro cinemático.

Símbolo Situação 1 ∆situação 1 Situação 2 ∆situação 2

[mm] [mm] [mm] [mm]

lu1x 0 0 0 0

Lu1y 400 5 400 0

lu1z 0 0 0 0

lu2x 0 0 0 0

lu2y -400 -5 -400 0

lu2z 0 0 0 0

ls1x 0 0 0 0

ls1y 200 0 200 5

ls1z 0 0 0 0

ls2x 0 0 0 0

ls2y -200 0 -200 -5

ls2z 0 0 0 0

X 600 0 500 0

Y 0 0 0 0

Z 0 0 0 0

θ 0 0 0 0

R 600 0 500 500

H 0 0 0 0

A tabela contém os resultados obtidos pelos dois métodos de análise.

132

Tabela 9.2 - Resultados comparativos das aferições do modelo cinemático de posição.

Aferições Tipo θ R lh2 lh1

- - [mm] [mm] [mm] [mm]

1 Geom. 0 605 637.201 637.201

Matlab 0 605 637.201 637.201

2 Geom. 22.094 545.023 716.100 429.883

Matlab 22.094 545.023 716,100 429.883

Baseado na comparação dos resultados obtidos, tanto na avaliação gráfica como

na avaliação geométrica, consideramos os modelos geométrico e cinemático válidos

para estudos da estrutura robótica 2UPS+PRP.

9.2 Validação do modelo elástico de posição

A validação quanto ao erro de posicionamento devido a deformações elásticas,

foi realizada utilizando o programa de Elementos Finitos Ansys versão 10.

Foram analisadas quatro posições distintas, como ilustrado nas figura 9.5.

1 2

3 4

Fig. 9.5 - Posições de aferição do modelo de erro elástico.

133

Os respectivos valores das posições estão registrados na tabela a seguir.

Tabela 9.3 - Posições dadas para aferição do modelo de erro elástico.

Posição θ R H

[graus] [mm] [mm]

1 0 800 0

2 0 800 300

3 30 800 0

4 30 800 300

As forças utilizadas são mostradas abaixo.

Tabela 9.4 - Forças aplicadas no ponto P da plataforma móvel.

Forças Unidade Valores

Fx [N] -100

Fy [N] -100

Para o cálculo foi empregado o critério de Von Mises, também conhecido por

critério da máxima energia de distorção de um material. Além disso, as extremidades

fixas das juntas universais U, e as extremidades superior e inferior da haste motora

central h3 foram engastados para cada uma das posições analisadas, sendo considerados

pontos de deslocamento nulo.

134

Fig. 9.6 – Pontos de fixação com deslocamento nulo.

Os resultados das análises através do programa de Elementos Finitos ANSYS

podem ser vistos nas figuras 9.7 a 9.14.

135

Fig. 9.7 - Posição 1 e força Fx, com deformação na direção do eixo x.

Fig. 9.8 - Posição 1 e força Fy, com deformação na direção do eixo y.

136



137



138



139

Nas fig. 9.15 e 9.16 a seguir, são apresentados os mapeamentos dos erros

elásticos elaborados com o programa desenvolvido em MATLAB, para as mesmas

forças e pontos analisados com o método dos elementos finitos .

140

Fig. 9.15 - Erros elásticos δx e δy para Fx = 100 N e Fy = 0 N:

(a) posição 1; (b) posição 2; (c) posição 3; (d) posição 4.

141

142

Fig. 9.16 - Erros elásticos δx e δy para Fx = 0 N e Fy = 100 N:

(a) posição 1; (b) posição 2; (c) posição 3; (d) posição 4.

143

A tabela apresenta os resultados obtidos pelos dois métodos de análise.

Tabela 9.5 - Resultados comparativos das aferições do modelo elástico de posição.

Aferições Método δx δy

- - [mm] [mm]

1 Ansys -1,46 x 10-5 - 1,36 x 10-3

(θ=0; R=800;H=0) Matlab - 60 x 10-5 - 3 x 10-3

2 Ansys - 0,62 x 10-5 - 1,51 x 10-3

(θ=0; R=800;H=200) Matlab - 70 x 10-5 - 3,5 x 10-3

3 Ansys - 5,5 x 10-4 - 1,01x 10-3

(θ=30; R=800;H=0) Matlab - 11 x 10-4 - 3,5 x 10-3

4 Ansys - 6,9 x 10-4 - 1,19 x 10-3

(θ=30; R=800;H=200) Matlab - 12 x 10-4 - 3,5 x 10-3

Forças aplicadas - Fx = -100; Fy = 0 [N] Fx = 0; Fy = -100 [N]

Observando os resultados obtidos pelo método de elementos finitos usando

ANSYS em comparação aos resultados obtidos pelo modelo matemático desenvolvido

em MATLAB, verifica-se que os valores das deformações se encontram na mesma

ordem de grandeza, que dependendo da posição variam entre 10-5 e 10-3 mm.

Nota-se que o modelo matemático apresenta deformações maiores do que os

calculados pelo método dos elementos finitos. Isto se deve provavelmente à

simplificação adotada de se utilizar somente a rigidez axial.

Entretanto, como estamos a favor da segurança, consideramos que o modelo

elástico em MATLAB pode ser utilizado em projetos de desenvolvimento de estruturas

robóticas.

Pode ser obtido um aprimoramento dos resultados obtidos, incluindo a rigidez à

flexão e a rigidez à torção.

144

10. CONCLUSÃO

Existe uma crescente demanda do mercado, em especial dos setores

automobilístico, aeronáutico, eletrônico, alimentício, farmacêutico e cirúrgico, por

mecanismos ou máquinas que tragam níveis de desempenho cada vez mais elevados na

fabricação, montagem e manipulação de peças e instrumentos. Um alto nível de

desempenho global é obtido quando se consegue atingir simultâneamente altas

acelerações e velocidades de deslocamento, com grandes cargas aplicadas, obtendo

índices altos e homogêneos de precisão em todos os pontos disponíveis contidos dentro

de um amplo espaço de trabalho da máquina utilizada.

Este trabalho focou o aspecto da precisão que pode ser alcançada, utilizando

estruturas robóticas de cinemática paralela em processos de usinagem de fresamento,

como uma alternativa às convencionais maquinas-ferramentas convencionais, tais como

fresadoras e centros de usinagem CNC, que possuem topologia serial. A meta colocada

com relação à precisão a ser obtida está entre 2 a 5 µm, para inicialmente se igualar às

máquinas convencionais neste aspecto. Chegar a tais níveis de precisão e ainda superá-

los é um dos principais problemas para a utilização irrestrita das estruturas de

cinemática paralela na indústria, já que em outros quisitos apresentam vantagens com

relação às estruturas seriais, como por exemplo construção modular, massa reduzida e

movimentos complexos, possibilitando construções mais baratas e operações a altas

velocidades com apenas um ajuste de máquina, o que implica em uma maior

produtividade em função de um menor tempo de ciclo de trabalho.

Neste estudo, considerou-se que a precisão obtida em um processo de usinagem

e especialmente de fresamento, depende preponderantemente dos erros de

posicionamento da ferramenta de corte durante a operação. Tais desvios de

posicionamento se devem a uma série de fatores ou causas, tendo sido aqui focados os

erros geométricos, os erros cinemáticos e os erros elásticos. Existem outras fontes

igualmente relevantes, como por exemplo os erros por dilatações térmicas e por

vibrações dinâmicas, cujas análises ficam para trabalhos futuros.

A proposta deste trabalho foi apresentar uma metodologia baseada em modelos

matemáticos que mapeiam os erros sobre o espaço de trabalho disponível, os quais

influenciam diretamente a precisão final das estruturas robóticas paralelas. Além disso,

notando não haver um consenso sobre o tipo de arquitetura paralela mais indicado para

145

operações de fresamento, foi também proposta uma nova topologia de máquina

cinemática paralela assimétrica, desenvolvida através de métodos existentes de síntese

topológica.

Inicialmente, desenvolveu-se uma nova estrutura robótica paralela assimétrica,

com topologia 2UPS+PRP, para realizar o modelamento matemático. Esta estrutura foi

gerada aplicando-se o método alternativo de síntese (HESS-COELHO, 2007), que gera

estruturas paralelas assimétricas. A decisão pela escolha de uma estrutura de topologia

assimétrica, está no fato de este tipo de estrutura ainda ser pouco estudada, em

comparação com as estruturas de topologia simétrica, conforme mostra a Revisão

Bibliográfica. Além disso, a estrutura assimétrica 2UPS+PRP possui algumas

vantagens, tais como: o desacoplamento do movimento ao longo do eixo zb, resultando

na simplificação das matrizes Jacobianas; a restrição dos movimentos da ferramenta de

corte a um espaço tridimensional cilíndrico em função da presença do membro central

PRP.

Em seguida, baseando-se no cálculo da cinemática inversa, das matrizes

Jacobianas e no princípio do trabalho virtual, foram desenvolvidos os modelos

matemáticos e os algorítmos computacionais, implementados na linguagem de

programação MATLAB versão 6.5, para mapear o espaço de trabalho e quantificar

isoladamente cada uma das fontes de erro consideradas. As matrizes Jacobianas foram

obtidas a partir das derivada de 1ª ordem por expansão de série de Taylor aplicadas às

equações da cinemática inversa do movimento.

Conforme mencionado anteriormente, das fontes de erro identificadas e que

levam a ferramenta presa à plataforma móvel de uma estrutura paralela a se desviar de

sua trajetória ideal durante o processo, três foram caracterizadas e analisadas por serem

consideradas relevantes segundo os autores consultados, sendo elas: a geométrica, a

cinemática e a elástica. O erro geométrico se dá em função de desvios de

posicionamento das juntas mecânicas, composto por tolerâncias dimensionais e

tolerâncias de montagem. O erro cinemático se deve à influência simultânea de

imprecisões nos deslocamentos nos membros ativos sobre a localização da ferramenta.

Já o erro elástico se refere à deformação elástica sofrida pelos elementos da estrutura e

que depende da relação entre a carga aplicada e a rigidez do sistema.

Neste estudo foram determinados os erros nas direções xb e yb para diversos

planos paralelos ao plano xbyb, considerando diferentes posições do espaço de trabalho,

146

ao longo do eixo zb, no sistema de coordenadas cartesianas global (xb yb. zb ). Foi

considerado apenas a metade superior, em virtude da simetria com a metade inferior, em

relação ao eixo zb. Adotando dimensões, materiais e condições de operação para a

estrututa 2UPS+PRP proposta, foram gerados os resultados dos erros individuais, então

comparados entre si para avaliar quais são preponderantes e quais são irrelevantes.

Com relação aos desvios de posição da ferramenta obtidos nos mapeamentos,

chegou-se a algumas conclusões. Os maiores erros cinemáticos ocorreram quando as

imprecisões impostas aos dois membros motores laterais tinham sinais contrários, sendo

mais expressivos na direção y. Os erros geométricos com tolerâncias dimensionais na

classe de trabalho IT5, foram os mais relevantes dentre os erros considerados, sendo os

parâmetros de posição das juntas U e S, na direção x os mais sensíveis ao erro. Desta

forma, recomenda-se que as dimensões da estrutura paralela sejam definidas nas classes

IT3 ou IT4, para melhoria do desempenho. Os erros elásticos, considerando forças de

usinagem de acabamento, foram os menos relevantes dentre os erros considerados. A

situação de maior erro elástico ocorre na direção y, quando a força na direção tangencial

é muito superior à radial, sendo expressiva a influência da rigidez das juntas universais

U e das juntas esféricas S sobre o erro. A aplicação do princípio do trabalho virtual, com

parâmetros de rigidez concentrados, revelou-se bastante eficaz e eficiente, comparado a

métodos como o SMA (análise da matriz estrutural) e o FEM (método dos elementos

finitos), devido ao menor trabalho demandado no desenvolvimento da sua formulação e

ao tempo computacional reduzido para o seu processamento.

Na avaliação do espaço de trabalho de uma estrutura paralela, deve-se considerar

que os seus movimentos estão sujeitos a três tipos de restrições: singularidades, limites

mecânicos nas suas juntas, além das eventuais interferências entre seus membros

(MERLET, 2000). As singularidades ocorrem em função do travamento ou da

incontrolabilidade de movimentos. Para a estrutura proposta, as singularidades não

ocorreram na região de fronteira, porque os limites do espaço de trabalho são definidos

pelos cursos das juntas. Já no interior do espaço de trabalho, verificou-se a ocorrência

de configuração singular apenas na situação em que as juntas U se afastam muito da

junta rotativa R do membro central, na direção x.

147

11. TRABALHOS FUTUROS

Com relação a trabalhos futuros, ainda podem ser desenvolvidos modelos

matemáticos e algoritmos computacionais para analisar outras influências na precisão da

estrutura robótica proposta, tais como:

• dilatações térmicas dos elementos da estrutura, salientando que o fator

temperatura também influi nas propriedades mecânicas dos materiais;

• deformações elásticas considerando adicionalmente as influências da rigidez à

flexão e da rigidez à torção, assim como a influência de cargas na direção do

eixo z, em função do peso próprio da estrutura robótica e de forças de usinagem;

• vibrações dinâmicas, em função da massa da estrutura e da força de usinagem

intermitente da ferramenta;

• a otimização do tamanho e forma do espaço de trabalho disponível, sem a perda

de características positivas já alcançadas;

• propor uma estimativa para o cálculo do erro total, incorporando a influência de

todas as fontes de erro consideradas.

Sugere-se também a construção de um protótipo, o que será útil na comparação

entre os erros teóricos e reais e na avaliação da utilidade prática desta estrutura robótica.

E finalmente, propõe-se o estudo de uma estrutura paralela alternativa, que

deriva da arquitetura estudada com relação à posição dos membros motores

telescópicos, formando uma configuração do tipo “estrela” (fig. 11.1).

148

Fig. 11.1 - Esquema de estrutura robótica 2UPS+PRP com configuração “estrela”.

Plataforma móvel

h1 h2

R

h3 (membro motor vertical)

Membro motor telescópico

Braço movido telescópico

Juntas

149

12. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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155

APÊNDICE A – MAPEAMENTOS DOS ERROS DA ESTRUTURA 2UPS+PRP

São reapresentados a seguir, os mapeamentos dos Capítulos 5, 6, 7 e 8.

a. Superfícies de trabalho

156

157

Fig. 5.10 - Superfícies de trabalho: (a) para H = 0 mm; (b) para H = 120 mm;



158

b. Mapeamento dos erros cinemáticos

• Primeiro mapeamento

na direção xb

159

160





161

na direção yb

162

163





164

• Segundo mapeamento

na direção xb

165

166





167

na direção yb

168

169





170

• Terceiro mapeamento

na direção xb

171





172

na direção yb

173





174

c. Mapeamento dos erros geométricos


na direção xb

175

176





177

na direção yb

178

179





180


na direção xb

181

182





183

na direção yb

184

185





186

d) Análise da sensibilidade aos parâmetros da estrutura paralela

• Grau de influência dos parâmetros geométricos na sensibilidade de θ ao erro

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4x 10

-7


Gra

u d

e influencia

dos p

arâ

metr

os g

eom

étr

icos


Z = 0 [mm]

(a)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4x 10

-7


Gra

u d

e influencia

dos p

arâ

metr

os g

eom

étr

icos


Z = 120 [mm]

(b)

187

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4x 10

-7


Gra

u d

e influencia

dos p

arâ

metr

os g

eom

étr

icos


Z = 240 [mm]

(c)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

0.5

1

1.5x 10

-7


Gra

u d

e influencia

dos p

arâ

metr

os g

eom

étr

icos


Z = 360 [mm]

(d)

188

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

0.5

1

1.5

2

2.5

3x 10

-7


Gra

u d

e influencia

dos p

arâ

metr

os g

eom

étr

icos


Z = 480 [mm]

(e)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

0.5

1

1.5

2

2.5

3x 10

-6


Gra

u d

e influencia

dos p

arâ

metr

os g

eom

étr

icos


Z = 600 [mm]

(f)

Fig. 7.6 – Sensibilidade média aos parâmetros 1 a 12, em relação a δθ:



189

• Grau de influência dos parâmetros geométricos na sensibilidade de R ao erro

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

1

2

3

4

5

6x 10

-5


Gra

u d

e influencia

dos p

arâ

metr

os g

eom

étr

icos

Sensibilidade de R

Z = 0 [mm]

(a)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

1

2

3

4

5

6x 10

-5


Gra

u d

e i

nfluencia

dos p

arâ

metr

os g

eom

étr

icos

Sensibilidade de R

Z = 120 [mm]

(b)

190

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

1

2

3

4

5

6x 10

-5


Gra

u d

e influencia

dos p

arâ

metr

os g

eom

étr

icos

Sensibilidade de R

Z = 240 [mm]

(c)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

1

2

3

4

5

6

7x 10

-5


Gra

u d

e influencia

dos p

arâ

metr

os g

eom

étr

icos

Sensibilidade de R

Z = 360 [mm]

(d)

191

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2x 10

-4


Gra

u d

e influencia

dos p

arâ

metr

os g

eom

étr

icos

Sensibilidade de R

Z = 480 [mm]

(e)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2x 10

-3


Gra

u d

e influencia

dos p

arâ

metr

os g

eom

étr

icos

Sensibilidade de R

Z = 600 [mm]

(f)

Fig. 7.7 – Sensibilidade média aos parâmetros 1 a 12, em relação a δR:



192

e) Mapeamento dos erros elásticos


na direção xb

193

194





195

na direção yb

196

197




(e) para H = 480; (f) para H = 600 mm.

198


na direção xb

199

200




(e) para H = 480 ; (f) para H = 600 mm.

201

na direção yb

202

203





204

APÊNDICE B – LISTAGEM DO PROGRAMA DA ESTRUTURA 2UPS+PRP

clc

clear all

%Autor: Gerd Erwin Ernst Gojtan

%Programa para mapear o erro de localizaçao da ferramenta em uma estrutura robotica paralela

tridimensional

%Fonte de erro: GEOMETRICO

%Metodo: Cinematica inversa e Jacobianos

%Data: 01/12/2008

%Estrutura: 2UPS+PRP

%TOLERANCIAS GERAIS

%Qualidade de trabalho geometrica (IT3, IT5, IT7)

ITg=5; %3; 5; 7 %[-] - E N T E R

%Qualidade de trabalho cinematica (IT3, IT5, IT7)

ITc=5; %3; 5; 7 %[-] - E N T E R

%Campo de tolerancias segundo DIN 7151 e DIN 7172 e afastamento js

%if IT==3 & 1<L<=3 Tol=0.002/2;

%elseif IT==3 & 3<L<=6 Tol=0.0025/2;

%elseif IT==3 & 6<L<=10 Tol=0.0025/2;

%elseif IT==3 & 10<L<=18 Tol=0.003/2;

%elseif IT==3 & 18<L<=30 Tol=0.004/2;

%elseif IT==3 & 30<L<=50 Tol=0.004/2;

%elseif IT==3 & 50<L<=80 Tol=0.005/2;

%elseif IT==3 & 80<L<=120 Tol=0.006/2;

%elseif IT==3 & 120<L<=180 Tol=0.008/2;

%elseif IT==3 & 180<L<=250 Tol=0.010/2;

%elseif IT==3 & 250<L<=315 Tol=0.012/2;

%elseif IT==3 & 315<L<=400 Tol=0.013/2;

%elseif IT==3 & 400<L<=500 Tol=0.015/2;

%elseif IT==3 & 500<L<=630 Tol=0.016/2;

%elseif IT==3 & 630<L<=800 Tol=0.018/2;

205

%elseif IT==3 & 800<L<=1000 Tol=0.021/2;

%elseif IT==3 & 1000<L<=1250 Tol=0.024/2;

%elseif IT==3 & 1250<L<=1600 Tol=0.029/2;

%elseif IT==3 & 1600<L<=2000 Tol=0.035/2;

%elseif IT==3 & 2000<L<=2500 Tol=0.041/2;

%elseif IT==3 & 2500<L<=3150 Tol=0.050/2;

%elseif IT==5 & 1<L<=3 Tol=0.004/2;

%elseif IT==5 & 3<L<=6 Tol=0.005/2;

%elseif IT==5 & 6<L<=10 Tol=0.006/2;

%elseif IT==5 & 10<L<=18 Tol=0.008/2;

%elseif IT==5 & 18<L<=30 Tol=0.009/2;

%elseif IT==5 & 30<L<=50 Tol=0.011/2;

%elseif IT==5 & 50<L<=80 Tol=0.013/2;

%elseif IT==5 & 80<L<=120 Tol=0.015/2;

%elseif IT==5 & 120<L<=180 Tol=0.018/2;

%elseif IT==5 & 180<L<=250 Tol=0.020/2;

%elseif IT==5 & 250<L<=315 Tol=0.023/2;

%elseif IT==5 & 315<L<=400 Tol=0.013/2;

%elseif IT==5 & 400<L<=500 Tol=0.027/2;

%elseif IT==5 & 500<L<=630 Tol=0.030/2;

%elseif IT==5 & 630<L<=800 Tol=0.035/2;

%elseif IT==5 & 800<L<=1000 Tol=0.040/2;

%elseif IT==5 & 1000<L<=1250 Tol=0.046/2;

%elseif IT==5 & 1250<L<=1600 Tol=0.054/2;

%elseif IT==5 & 1600<L<=2000 Tol=0.065/2;

%elseif IT==5 & 2000<L<=2500 Tol=0.077/2;

%elseif IT==5 & 2500<L<=3150 Tol=0.093/2;

%elseif IT==7 & 1<L<=3 Tol=0.010/2;

%elseif IT==7 & 3<L<=6 Tol=0.012/2;

%elseif IT==7 & 6<L<=10 Tol=0.015/2;

%elseif IT==7 & 10<L<=18 Tol=0.018/2;

%elseif IT==7 & 18<L<=30 Tol=0.021/2;

%elseif IT==7 & 30<L<=50 Tol=0.025/2;

%elseif IT==7 & 50<L<=80 Tol=0.030/2;

%elseif IT==7 & 80<L<=120 Tol=0.035/2;

%elseif IT==7 & 120<L<=180 Tol=0.040/2;

%elseif IT==7 & 180<L<=250 Tol=0.046/2;

%elseif IT==7 & 250<L<=315 Tol=0.052/2;

206

%elseif IT==7 & 315<L<=400 Tol=0.057/2;

%elseif IT==7 & 400<L<=500 Tol=0.063/2;

%elseif IT==7 & 500<L<=630 Tol=0.069/2; %adotado








%else Tol=0.130/2;

%end

%1. DADOS DIMENSIONAIS E MATERIAIS

%1.1 JUNTAS

%1.1.1 Juntas universais

%1.1.1.1 Junta universal 1 (U1)

%a) Angulos

%Angulo de giro maximo

Alphau1gr=45; %[graus] - metade do angulo total - E N T E R

Alphau1=Alphau1gr*(pi/180); %[rad]

%Angulo de montagem

%(adotado estar alinhado com a posiçao de referencia (LH3=0, ThetaZ=0,LR3=LR3medio))

%b) Posiçao nominal do centro de giro relativo ao sistema de referencia global cartesiano na base fixa

X0,Y0,Z0

Lu1X=-125; %0;%-45;-125;%[mm] - E N T E R

Lu1Y=400%[mm] - Sempre positivo - E N T E R

Lu1Z=0%[mm] - E N T E R

%c) Desvio geometrico

%(Baseado nas tolerancias geometricas segundo DIN 7151 e DIN 7172 e afastamento js)

iu1X=(0.45*(abs(Lu1X))^(1/3)+0.001*abs(Lu1X))/1000*(Lu1X/abs(Lu1X));

if ITg==3 Tolu1X=3*iu1X/2; %[mm]

elseif ITg==5 Tolu1X=7*iu1X/2; %[mm]

207

elseif ITg==7 Tolu1X=16*iu1X/2; %[mm]

else Tolu1X=0; %[mm]

end

iu1Y=(0.45*(abs(Lu1Y))^(1/3)+0.001*abs(Lu1Y))/1000*(Lu1Y/abs(Lu1Y));

if ITg==3 Tolu1Y=3*iu1Y/2; %[mm]

elseif ITg==5 Tolu1Y=7*iu1Y/2; %[mm]

elseif ITg==7 Tolu1Y=16*iu1Y/2; %[mm]

else Tolu1Y=0; %[mm]

end

iu1Z=(0.45*(abs(Lu1Z))^(1/3)+0.001*abs(Lu1Z))/1000*(Lu1Z/abs(Lu1Z));

if Lu1Z==0 iu1Z=0;

else iu1Z=(0.45*(abs(Lu1Z))^(1/3)+0.001*abs(Lu1Z))/1000*(Lu1Z/abs(Lu1Z));

end

if ITg==3 Tolu1Z=3*iu1Z/2; %[mm]

elseif ITg==5 Tolu1Z=7*iu1Z/2; %[mm]

elseif ITg==7 Tolu1Z=16*iu1Z/2; %[mm]

else Tolu1Z=0; %[mm]

end

Du1X=Tolu1X; %[mm] - Desvio geometrico

Du1Y=Tolu1Y; %[mm] - Desvio geometrico

Du1Z=Tolu1Z; %[mm] - Desvio geometrico

%d) Dimensoes relevantes

%Dimensoes da junta

dc1=20;%[mm] - Diametro do eixo da cruzeta - E N T E R

Lc1=80;%[mm] - Comprimento interno do eixo da cruzeta - E N T E R

Ljuntau1=95;%[mm] - Distancia do centro da junta universal ate a face do tubo

Ic1=(pi*dc1^4)/32; %[mm^4] - Momento de inercia da cruzeta

%e) Materiais

%Caracteristicas relevantes

Ejuntau1=210000; %[N/mm^2] - Modulo de elasticidade - E N T E R

Njuntau1=0.3; %[-] - Coeficiente de Poisson - E N T E R

%1.1.1.2 Junta universal 2 (U2)

%a) Angulos

%Angulo de giro maximo

Alphau2gr=Alphau1gr; %[graus]

Alphau2=Alphau2gr*(pi/180); %[rad]

208

%Angulo de montagem

%(adotado estar alinhado com a posiçao de referencia (LH3=0, ThetaZ=0, LR3=LRemedio))

%b) Posiçao nominal do centro de giro relativo ao sistema de referencia global cartesiano na base fixa

X0,Y0,Z0

Lu2X=Lu1X; %[mm]

Lu2Y=-Lu1Y; %[mm] - Sempre negativo

Lu2Z=Lu1Z; %[mm]

%c) desvio geometrico

%Du2X=Du1X; %[mm]

%Du2Y=-Du1Y; %[mm] - Sinal trocado em relaçao a Du1Y p/ manter simetria.

%Du2Z=Du1Z; %[mm]

Du2X=-Du1X; %[mm]

Du2Y=Du1Y; %[mm] - Sinal igual em relaçao a Du1Y p/ manter assimetria.

Du2Z=-Du1Z; %[mm]


%Dimensoes da junta

dc2=dc1; %[mm] - Diametro do eixo da cruzeta

Lc2=Lc1; %[mm] - Comprimento do eixo da cruzeta

Ljuntau2=Ljuntau1; %[mm] - Distancia do centro da junta universal ate a face do tubo

Ic2=Ic1; %[mm^4] - Momento de inercia da cruzeta (CALCULADO)

%e) Materiais


Ejuntau2=Ejuntau1; %[N/mm^2] - Modulo de elasticidade

Njuntau2=Njuntau1; %[-] - Coeficiente de Poisson

%1.1.2 Juntas esfericas

%1.1.2.1 Junta esferica 1 (S1)

%a) Angulos

%Limite de angulo de giro

Alphas1gr=30; %[graus] - metade do angulo total - E N T E R

Alphas1=Alphas1gr*(pi/180); %[rad]

%Angulo de montagem relativo ao sistema fixo de referencia cartesiano na junta Xs1,Ys1,Zs1

%(adotado estar alinhado com a posiçao de referencia (LH3=0, ThetaZ=0,LR3=LR3medio))

209

%b) Posiçao nominal do centro de giro relativo ao sistema de referencia cartesiano na plataforma movel

xP,yP,zP

Ls1x=100;%[mm] - Sempre negativo - E N T E R

Ls1y=200;%[mm] - Sempre positivo - E N T E R

Ls1z=0; %[mm] - E N T E R

%c)Desvio geometrico


is1x=(0.45*(abs(Ls1x))^(1/3)+0.001*abs(Ls1x))/1000*(Ls1x/abs(Ls1x));

if ITg==3 Tols1x=3*is1x/2; %[mm]

elseif ITg==5 Tols1x=7*is1x/2; %[mm]

elseif ITg==7 Tols1x=16*is1x/2; %[mm]

else Tols1x=0; %[mm]

end

is1y=(0.45*(abs(Ls1y))^(1/3)+0.001*abs(Ls1y))/1000*(Ls1y/abs(Ls1y));

if ITg==3 Tols1y=3*is1y/2; %[mm]

elseif ITg==5 Tols1y=7*is1y/2; %[mm]

elseif ITg==7 Tols1y=16*is1y/2; %[mm]

else Tols1y=0; %[mm]

end

is1z=(0.45*(abs(Ls1z))^(1/3)+0.001*abs(Ls1z))/1000*(Ls1z/abs(Ls1z));

if Ls1z==0 is1z=0;

else is1z=(0.45*(abs(Ls1z))^(1/3)+0.001*abs(Ls1z))/1000*(Ls1z/abs(Ls1z));

end

if ITg==3 Tols1z=3*is1z/2; %[mm]

elseif ITg==5 Tols1z=7*is1z/2; %[mm]

elseif ITg==7 Tols1z=16*is1z/2; %[mm]

else Tols1z=0; %[mm]

end

Ds1x=Tols1x; %[mm] - desvio geometrico

Ds1y=Tols1y; %[mm] - desvio geometrico

Ds1z=Tols1z; %[mm] - desvio geometrico


%Dimensoes da junta

desf1=60; %[mm] - Diametro da esfera - E N T E R

Ljuntas1=33;%[mm] - Distancia do centro da junta esferica ate a face do tubo

%e) Materiais

210


Eesf1=210000; %[N/mm^2] - Modulo de elasticidade da esfera - E N T E R

Nesf1=0.3; %[-] - Coeficiente de Poisson da esfera - E N T E R

Sigmaesf1=3700; %[N/mm^2] - Limite de resistencia ao escoamento da esfera (aço temperado de alta

resistencia) - E N T E R

kSigmaesf1=5.25; %[-] - Constante do material (valor dado para aço temperado de alta resistencia) - E N

T E R

kHesf1=0.454+0.41*Nesf1; %[-] - Coeficiente de dureza relacionado ao coeficiente de Poisson

EHzesf1=Eesf1/(1-Nesf1^2); %[N/mm^2] - Modulo de elasticidade de Hertz

%1.1.2.2 Junta esferica 2 (S2)

%a) Angulos

%Limite de angulo de giro

Alphas2gr=Alphas1gr; %[graus]

Alphas2=Alphas2gr*(pi/180); %[rad]

%Angulo de montagem

%(adotado estar alinhado com a posiçao de referencia (LH3=0, ThetaZ=0, LR3=LR3medio))

%b) Posiçao nominal do centro de giro relativo ao sistema de referencia cartesiano na plataforma movel

xP,yP,zP

Ls2x=Ls1x; %[mm]

Ls2y=-Ls1y; %[mm] - Sempre negativo

Ls2z=Ls1z; %[mm]

%c) Desvio geometrico

%Ds2x=Ds1x; %[mm]

%Ds2y=-Ds1y; %[mm]- Sempre invertido com relaçao a Ls1y para manter a simetria

%Ds2z=Ds1z; %[mm]

Ds2x=-Ds1x; %[mm]

Ds2y=Ds1y; %[mm]- Igual com relaçao a Ls1y para manter a assimetria

Ds2z=-Ds1z; %[mm]


%Dimensoes da junta

desf2=desf1; %[mm] - Diametro da esfera

Ljuntas2=Ljuntas1; %[mm] - Distancia do centro da junta esferica ate a extremidade do tubo telescopico

%e) Materiais


211

Eesf2=Eesf1; %[N/mm^2] - Modulo de elasticidade

Nesf2=Nesf1; %[-] - Coeficiente de Poisson

Sigmaesf2=Sigmaesf1; %[N/mm^2] - Limite de resistencia ao escoamento

kSigmaesf2=kSigmaesf1; %[-] - Constante do material

kHesf2=kHesf1; %[-] - Coeficiente de dureza relacionado ao coeficiente de Poisson

EHzesf2=EHzesf1; %[N/mm^2] - Modulo de elasticidade de Hertz

%1.2 MEMBROS

%1.2 1 Membro telescopico central movido r3 com junta prismatica integrada porcar3 e junta rotativa

Juntar3

%a) Limites de angulo de rotaçao em torno do eixo Z do sistema de referencia global cartesiano na base

fixa X0,Y0,Z0

ThetaZinfgr=-34; %[graus] - Sempre negativo - E N T E R

ThetaZinf=ThetaZinfgr*pi/180; %[rad]

ThetaZsupgr=-ThetaZinfgr; %[graus] - Sempre positivo

ThetaZsup=ThetaZsupgr*pi/180; %[rad]

%b)Desvio geometrico angular

DThetaXgr=0; %[graus] - E N T E R (para DThetaX <>0 simetria no PKM apenas se

Lu1Z=Lu2Z=Ls1z=Ls2z=Lh3sup=Lh3inf=DThetaY=0)

DThetaX=DThetaXgr*pi/180; %[rad]

DThetaYgr=0; %[graus] - E N T E R

DThetaY=DThetaYgr*pi/180; %[rad]

DThetaZgr=0; %[graus] - E N T E R

DThetaZ=DThetaZgr*pi/180; %[rad]

%c) Limites de comprimento da haste central movida r3 (do centro da junta rotativa R3 ate o centro da

plataforma movel P)

Lr3min=604.1; %[mm] - E N T E R

Lr3max=1053.6; %[mm] - E N T E R

%d) Limites de posiçao horizontal do ponto P da plataforma movel (plano XY)

LR3min=Lr3min*cos(DThetaY); %[mm]

LR3max=Lr3max*cos(DThetaY); %[mm]

%e) Dimensoes da junta rotativa

dejuntar3=50; %[mm] - Diametro externo - E N T E R

dijuntar3=20; %[mm] - Diametro interno - E N T E R

212

Ljuntar3=67.5; %[mm] - Comprimento - E N T E R

Ajuntar3=pi*(dejuntar3^2-dijuntar3^2)/4 %[mm] - Area transversal

%f) Dimensoes da haste telescopica

dhaster3=32; %[mm] - Diametro

Lhaster3=569; %[mm] - Comprimento (excluindo 1/2 largura da plataforma movel = 150 mm)

Ahaster3=(pi*dhaster3^2)/4; %[mm^] - Area transversal

%g) Dimensoes do tubo

detubor3=48; %[mm] - Diametro externo - E N T E R

ditubor3=32; %[mm] - Diametro interno - E N T E R

Ltubor3=565; %[mm] - Comprimento - E N T E R (max=Lfr3)

Atubor3=(pi*(detubor3^2-ditubor3^2))/4; %[mm^2] - Area transversal

%h) Caracteristicas materiais relevantes

Ejuntar3=210000; %[N/mm^2] - Modulo de elasticidade - E N T E R

Ehaster3=210000; %[N/mm^2] - Modulo de elasticidade - E N T E R

Etubor3=210000; %[N/mm^2] - Modulo de elasticidade - E N T E R

%1.2.2 Membro motor central

%a) Dimensoes do fuso (entre mancais)

dfuso3=100; %[mm] Diametro - E N T E R

Lfuso3=1280; %[mm] - Comprimento entre encostos dos mancais A e B

Afuso3=(pi*dfuso3^2)/4;%[mm^] - Area transversal

Ifuso3=pi/32*(dfuso3^4); %[mm^4] - Momento de inercia

%b) Dimensoes da porca ou junta prismatica

deporca3=115; %[mm] - Diamentro externo - E N T E R

diporca3=dfuso3;%[mm] - Diametro interno

Lporca3=80;%[mm]

Aporca3=pi*(deporca3^2-diporca3^2)/4;%[mm^2] - Area transversal

Iporca3=pi/32*(deporca3^4-diporca3^4); %[mm^4] - Momento de inercia

%c) Distancia entre junta rotativa juntar3 e junta prismatica porca3

DJPR3=85;%[mm] - Distancia do centro de giro da junta prismatica ate o centro de giro da junta rotativa

- E N T E R

%d)Limites de posiçao vertical (altura) da junta prismatica P3 da haste central motora h3

Lh3inf=-(Lfuso3+Lporca3)/2; %[mm]

213

Lh3sup=-Lh3inf; %[mm]

%e) Limites de posiçao vertical do ponto P da plataforma movel (eixo Z)

if DThetaY<0

LH3inf=Lh3inf+Lr3max*sin(DThetaY); %[mm] - %Posiçao de altura superior maxima da plataforma

movel

LH3sup=Lh3sup+Lr3min*sin(DThetaY); %[mm] - %Posiçao de altura inferior maxima da plataforma

movel

else

LH3inf=Lh3inf+Lr3min*sin(DThetaY); %[mm]

LH3sup=Lh3sup+Lr3max*sin(DThetaY); %[mm]

end

%f) Caracteristicas materiais relevantes

Efuso3=210000; %[N/mm^2] - Modulo de elasticidade - E N T E R

Eporca3=210000; %[N/mm^2] - Modulo de elasticidade - E N T E R

%1.2.3 Membros motores laterais telescopicos

%1.2.3.1 Membro motor lateral telescopico h2

%a) Limites de comprimento

Lh1min=850; %[mm] - Limite inferior - E N T E R

Lh1max=1294.1; %[mm] - Limite superior - E N T E R


deporca1=50; %[mm] - Diamentro externo - E N T E R

diporca1=32; %[mm] - Diametro interno - E N T E R

Lporca1=100; %[mm] - Comprimento - E N T E R

Aporca1=(pi*(deporca1^2-diporca1^2))/4 %[mm^2] - Area

Iporca1=pi/32*(deporca1^4-diporca1^4); %[mm^4] - Momento de inercia

%c) Dimensoes da haste telescopica

dehaste1=65;%[mm] - Diametro externo - E N T E R

dihaste1=deporca1; %[mm] - Diametro interno

Lhaste1=547; %[mm] - Comprimento (Adotado)

Ahaste1=(pi*(dehaste1^2-dihaste1^2))/4 %[mm^2] - Area transversal

Ihaste1=pi/32*(dehaste1^4-dihaste1^4); %[mm^4] - Momento de inercia

214

%d) Dimensoes do fuso

dfuso1=diporca1; %[mm] - Diametro

%Lfuso1=Lh1-Lhaste1-Lporca1/2-Ljuntau1-Ljuntas1; %[mm] - Comprimento deformavel

(CALCULADO APOS Lh1)

Afuso1=(pi*dfuso1^2)/4 %[mm^2] - Area transversal

Ifuso1=pi/32*(dfuso1^4); %[mm^4] - Momento de inercia

%e) Materiais (caracteristicas relevantes)

Eporca1=210000; %[N/mm^2] - Modulo de elasticidade - E N T E R

Ehaste1=210000; %[N/mm^2] - Modulo de elasticidade - E N T E R

Efuso1=210000; %[N/mm^2] - Modulo de elasticidade - E N T E R

%1.2.3.2 Membro motor lateral telescopico h2

%a) Limites comprimento

Lh2min=Lh1min; %[mm] - Limite inferior

Lh2max=Lh1max; %[mm] - Limite superior


deporca2=deporca1; %[mm] - Diamentro externo

diporca2=diporca1; %[mm] - Diametro interno

Lporca2=Lporca1; %[mm] - Comprimento

Aporca2=Aporca1 %[mm^2] - Area

Iporca2=Iporca1; %[mm^4] - Momento de inercia

%c) Dimensoes da haste telescopica

dehaste2=dehaste1;%[mm] - Diametro externo

dihaste2=dihaste1; %[mm] - Diametro interno

Lhaste2=Lhaste1; %[mm] - Comprimento

Ahaste2=Ahaste1 %[mm^2] - Area transversal

Ihaste2=Ihaste1; %[mm^4] - Momento de inecia

%d) Dimensoes do fuso

dfuso2=dfuso1; %[mm] - Diametro

%Lfuso2=Lfuso1; %[mm] - Comprimento deformavel (OBTIDO APOS Lh2)

Afuso2=Afuso1 %[mm^2] - Area transversal

Ifuso2=Ifuso1; %[mm^4] - Modulo de elasticidade

%e) Materiais (caracteristicas relevantes)

215

Eporca2=Eporca1; %[N/mm^2] - Modulo de elasticidade

Ehaste2=Ehaste1; %[N/mm^2] - Modulo de elasticidade

Efuso2=Efuso1; %[N/mm^2] - Modulo de elasticidade

%XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

%2. CALCULO DO MAPEAMENTO DO ESPAÇO DE TRABALHO em relaçao ao sistema de

referencia global cartesiano na base fixa X0,Y0,Z0

%a) Angulo limite do grid

%Angulo de rotaçao maximo da haste centra movida r3 em torno do eixo Z do sistema de referencia

global cartesiano na base fixa X0,Y0,Z0

if abs(ThetaZinf)>=abs(ThetaZsup) ThetaZmax=ThetaZinf;

else ThetaZmax=ThetaZsup;

end

%b) Posiçoes limites do grid

%Posiçao inicial minima do grid

Xmin=LR3min*cos(ThetaZmax); %[mm] - Na coordenada X

Ymin=-abs(LR3max*sin(ThetaZmax)); %[mm] - Na coordenada Y

Zmin=LH3inf; %[mm] - Na coordenada Z

%Posiçao inicial maxima do grid

Xmax=LR3max; %[mm] - Na coordenada X

Ymax=abs(LR3max*sin(ThetaZmax)); %[mm] - Na coordenada Y

Zmax=LH3sup; %[mm] - Na coordenada Z

%Limites de curso disponiveis no grid

CX=Xmax-Xmin; %[mm] - Na coordenada X

CY=Ymax-Ymin; %[mm] - Na coordenada Y

CZ=Zmax-Zmin; %[mm] - Na coordenada Z

%Valor de incremento inicialmente estimado do grid

IX0=5; %[mm] - Na coordenada X - E N T E R

IY0=IX0; %[mm] - Na coordenada Y

IZ0=IX0; %[mm] - Na coordenada Z

%Quantidade de incrementos inicialmente estimado do grid

NX0=CX/IX0; %[-] - Na cordenada X

NY0=CY/IY0; %[-] - Na coordenada Y

NZ0=CZ/IZ0; %[-] - Na coordenada Z

%Quantidade de incrementos real do grid (minimo 2 para formar matriz)

NX=round(NX0); %[-] - Na coordenada X (numero inteiro)

if NX<=2 NX=2;

else NX=round(NX0);

216

end

NYa=round(NY0); %[-] - Na coordenada Y (numero inteiro)

if NYa<=2 NYa=2;

else NYa=round(NY0);

end

RestoNYa=rem(NYa,2); %Fornece o resto da divisao de NYa por 2

if RestoNYa==0 NY=NYa;

else NY=NYa+1;

end

NZa=round(NZ0); %[-] - Na coordenada Z (numero inteiro)

if NZa<=2 NZa=2;

else NZa=round(NZ0);

end

RestoNZa=rem(NZa,2); %Fornece o resto da divisao de ZYa por 2

if RestoNZa==0 NZ=NZa;

else NZ=NZa+1;

end

%Valor de incremento final do grid

IX=(NX0/NX)*IX0; %[mm] - Na coordenada X

IY=(NY0/NY)*IY0; %[mm] - Na coordenada Y

if Lh3sup==0 IZ=0;

else IZ=(NZ0/NZ)*IZ0; %[mm] - Na coordenada Z

end

%Posiçao final do grid

Xmax=Xmin+NX*IX; %[mm] - Na coordenada X

Ymax=Ymin+NY*IY; %[mm] - Na coordenada Y

Zmax=Zmin+NZ*IZ; %[mm] - Na coordenada Z

%Varredura das posiçoes do ponto P da plataforma movel dentro do grid

for K=1;%:NZ+1; %Na coordenada Z

for J=1:NY+1; %Na coordenada Y

for I=1:NX+1; %Na coordenada X

%Posiçoes do ponto P da plataforma movel em coordenadas cartesianas

X(I)=Xmin+(I-1)*IX; %[mm]

%X(I)=800; %[mm] Para calculo de aferiçao – E N T E R

Y(J)=Ymin+(J-1)*IY; %[mm]

%Y(J)=400; %[mm] Para calculo de aferiçao – E N T E R

%Z(K)=Zmin+(K-1)*IZ; %[mm]

Z(K)=0;%120;240;360;480; 600 p/ calc. manual da superf. de trabalho em diferentes alturas. – E N T E R

%XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

217

%3. CINEMATICA DE POSIÇAO GERAL DA PLATAFORMA MOVEL em relaçao ao sistema de

referencia cartesiano global na Base fixa 0,X,Y,Z

%3.1 Localizaçao da plataforma movel (ponto P)

%(Relativo ao membro motor central h3 com junta prismatica P3, junta rotativa R3 e haste telescopica

movida r3)

%a) Orientaçao da plataforma movel (ponto P) em torno do eixo Z

ThetaZ=atan2(Y(J),X(I)); %[rad]

ThetaZgr=ThetaZ*180/pi; %[graus]

%b) Posiçao escalar da plataforma movel (ponto P) em relaçao ao plano XY e altura Z

LR3=sqrt(X(I)^2+Y(J)^2); %[mm] - Horizontal no plano XY

LH3=Z(K); %[mm] - Vertical no eixo Z

%3.2 Comprimento escalar do braço central movido r3

%a) Comprimento nominal

Lr3=LR3/cos(DThetaY); %[mm]

%b) Erro de comprimento escalar da haste central movida r3 - GEOMETRICO


iLr3=(0.45*(abs(Lr3))^(1/3)+0.001*abs(Lr3))/1000;

if ITg==3 TolLr3=3*iLr3/2; %[mm]

elseif ITg==5 TolLr3=7*iLr3/2; %[mm]

elseif ITg==7 TolLr3=16*iLr3/2; %[mm]

else TolLr3=0; %[mm]

end

Dr3=TolLr3; %[mm]

%3.3 Posiçao escalar vertical da junta prismatica central P3 na haste motora central h3

%a) Posiçao nominal

Lh3=LH3+Lr3*sin(DThetaY); %[mm]

%b) Erro de posiçao conhecido da junta prismatica P3 na haste central motora h3 - CINEMATICO


IDh30=IZ0;

NDh30=(Dh3sup-Dh3inf)/IDh30;

NDh3=round(NDh30);

IDh3=NDh30/NDh3*IDh30; %[-] - Incremento da tolerancia do comprimento

218

if NDh3==0 Dh3=Dh3sup;

else Dh3=Dh3inf+(NDh3-1)*IDh3; %[mm] - Tolerancia do comprimento variavel

end

%3.4 Membro motor lateral telescopico h1

%a) Vetor de posiçao

Lh1x=Ls1x*cos(ThetaZ)*cos(DThetaY)+Ls1y*cos(ThetaZ)*sin(DThetaY)*sin(DThetaX)-

Ls1y*sin(ThetaZ)*cos(DThetaX)+Ls1z*cos(ThetaZ)*sin(DThetaY)*cos(DThetaX)+Ls1z*sin(ThetaZ)*si

n(DThetaX)+LR3*cos(ThetaZ)-Lu1X;

Lh1y=+(Ls1x*sin(ThetaZ)*cos(DThetaY)+Ls1y*sin(ThetaZ)*sin(DThetaY)*sin(DThetaX)+Ls1y*cos(T

hetaZ)*cos(DThetaX)+Ls1z*sin(ThetaZ)*sin(DThetaY)*cos(DThetaX)-

Ls1z*cos(ThetaZ)*sin(DThetaX)+LR3*sin(ThetaZ)-Lu1Y);

Lh1z=-

Ls1x*sin(DThetaY)+Ls1y*cos(DThetaY)*sin(DThetaX)+Ls1z*cos(DThetaY)*cos(DThetaX)+LH3-

Lu1Z;

LH1=[Lh1x;

Lh1y;

Lh1z];

Lh1a=sqrt(Lh1x^2+Lh1y^2+Lh1z^2);

%b) Comprimento escalar

X1=-2*Lu1X*Ls1x*cos(ThetaZ)*cos(DThetaY)+2*Lu1X*Ls1y*sin(ThetaZ)*cos(DThetaX)-

2*Lu1X*Ls1y*cos(ThetaZ)*sin(DThetaY)*sin(DThetaX)-

2*Lu1X*Ls1z*cos(ThetaZ)*sin(DThetaY)*cos(DThetaX)-2*Lu1X*Ls1z*sin(ThetaZ)*sin(DThetaX)-

2*Lu1X*LR3*cos(ThetaZ);

Y1=-2*Lu1Y*Ls1x*sin(ThetaZ)*cos(DThetaY)-2*Lu1Y*Ls1y*cos(ThetaZ)*cos(DThetaX)-

2*Lu1Y*Ls1y*sin(ThetaZ)*sin(DThetaY)*sin(DThetaX)-

2*Lu1Y*Ls1z*sin(ThetaZ)*sin(DThetaY)*cos(DThetaX)+2*Lu1Y*Ls1z*cos(ThetaZ)*sin(DThetaX)-

2*Lu1Y*LR3*sin(ThetaZ);

Z1=2*Lu1Z*Ls1x*sin(DThetaY)+2*Lu1Z*Ls1y*cos(DThetaY)*sin(DThetaX)-

2*Lu1Z*Ls1z*cos(DThetaY)*cos(DThetaX)-2*Lu1Z*LH3;

Lh1=sqrt(Lu1X^2+Lu1Y^2+Lu1Z^2+Ls1x^2+Ls1y^2+Ls1z^2+LR3^2+LH3^2+X1+Y1+Z1+2*Ls1x*L

R3*cos(DThetaY)-

2*Ls1x*LH3*sin(DThetaY)+2*Ls1y*LR3*sin(DThetaY)*sin(DThetaX)+2*Ls1y*LH3*cos(DThetaY)*s

in(DThetaX)+2*Ls1z*LR3*sin(DThetaY)*cos(DThetaX)+2*Ls1z*LH3*cos(DThetaY)*cos(DThetaX));

%[mm]

%c) Erro de curso longitudinal - CINEMATICO

%(Baseado nas tolerancias cinematicas segundo DIN 7151 e DIN 7172 e afastamento js)

219

iLh1=(0.45*(abs(Lh1))^(1/3)+0.001*abs(Lh1))/1000*(Lh1/abs(Lh1));

if ITc==3 TolLh1=3*iLh1/2; %[mm]

elseif ITc==5 TolLh1=7*iLh1/2; %[mm]


else TolLh1=0; %[mm]

end

Dh1=TolLh1; %[mm]

%3.5 Membro motor lateral telescopico (h2)


Lh2x=Ls2x*cos(ThetaZ)*cos(DThetaY)+Ls2y*cos(ThetaZ)*sin(DThetaY)*sin(DThetaX)-


n(DThetaX)+LR3*cos(ThetaZ)-Lu2X;

Lh2y=Ls2x*sin(ThetaZ)*cos(DThetaY)+Ls2y*sin(ThetaZ)*sin(DThetaY)*sin(DThetaX)+Ls2y*cos(The

taZ)*cos(DThetaX)+Ls2z*sin(ThetaZ)*sin(DThetaY)*cos(DThetaX)-

Ls2z*cos(ThetaZ)*sin(DThetaX)+LR3*sin(ThetaZ)-Lu2Y;

Lh2z=-

Ls2x*sin(DThetaY)+Ls2y*cos(DThetaY)*sin(DThetaX)+Ls2z*cos(DThetaY)*cos(DThetaX)+LH3-

Lu2Z;

LH2=[Lh2x;

Lh2y;

Lh2z];

Lh2a=sqrt(Lh2x^2+Lh2y^2+Lh2z^2);


Lh2b=sqrt(Lu2Y^2+Ls2y^2+LR3^2+LH3^2-2*Lu2Y*LR3*sin(ThetaZ)-2*Lu2Y*Ls2y*cos(ThetaZ));

%[mm]

Lh2c=sqrt(LH3^2+LR3^2+Ls2y^2+Lu2Y^2+Lu2X^2-2*(Ls2y*Lu2Y+LR3*Lu2X)*cos(ThetaZ)-

2*(LR3*Lu2Y-Ls2y*Lu2X)*sin(ThetaZ)); %[mm]

X2=-2*Lu2X*Ls2x*cos(ThetaZ)*cos(DThetaY)+2*Lu2X*Ls2y*sin(ThetaZ)*cos(DThetaX)-

2*Lu2X*Ls2y*cos(ThetaZ)*sin(DThetaY)*sin(DThetaX)-

2*Lu2X*Ls2z*cos(ThetaZ)*sin(DThetaY)*cos(DThetaX)-2*Lu2X*Ls2z*sin(ThetaZ)*sin(DThetaX)-

2*Lu2X*LR3*cos(ThetaZ);

Y2=-2*Lu2Y*Ls2x*sin(ThetaZ)*cos(DThetaY)-2*Lu2Y*Ls2y*cos(ThetaZ)*cos(DThetaX)-

2*Lu2Y*Ls2y*sin(ThetaZ)*sin(DThetaY)*sin(DThetaX)-

2*Lu2Y*Ls2z*sin(ThetaZ)*sin(DThetaY)*cos(DThetaX)+2*Lu2Y*Ls2z*cos(ThetaZ)*sin(DThetaX)-

2*Lu2Y*LR3*sin(ThetaZ);

Z2=2*Lu2Z*Ls2x*sin(DThetaY)+2*Lu2Z*Ls2y*cos(DThetaY)*sin(DThetaX)-

2*Lu2Z*Ls2z*cos(DThetaY)*cos(DThetaX)-2*Lu2Z*LH3;

220

Lh2=sqrt(Lu2X^2+Lu2Y^2+Lu2Z^2+Ls2x^2+Ls2y^2+Ls2z^2+LR3^2+LH3^2+X2+Y2+Z2+2*Ls2x*L

R3*cos(DThetaY)-

2*Ls2x*LH3*sin(DThetaY)+2*Ls2y*LR3*sin(DThetaY)*sin(DThetaX)+2*Ls2y*LH3*cos(DThetaY)*s

in(DThetaX)+2*Ls2z*LR3*sin(DThetaY)*cos(DThetaX)+2*Ls2z*LH3*cos(DThetaY)*cos(DThetaX));

%[mm]

%c) %Erro de curso longitudinal - CINEMATICO

%(Baseado nas tolerancias cinematicas segundo DIN 7151 e DIN 7172 e afastamento js)

iLh2=(0.45*(abs(Lh2))^(1/3)+0.001*abs(Lh2))/1000*(Lh2/abs(Lh2));

if ITc==3 TolLh2=3*iLh2/2; %[mm]



else TolLh2=0; %[mm]

end

Dh2=TolLh2; %[mm]

%3.6 Vetor posiçao das juntas universais U1 e U2

U1=[Lu1X

Lu1Y

Lu1Z];

U2=[Lu2X

Lu2Y

Lu2Z];

%3.7 Vetor posiçao das juntas esfericas S1 e S2

Ls1X=Ls1x*cos(ThetaZ)*cos(DThetaY)+Ls1y*cos(ThetaZ)*sin(DThetaY)*sin(DThetaX)-


n(DThetaX)+LR3*cos(ThetaZ);

Ls1Y=Ls1x*sin(ThetaZ)*cos(DThetaY)+Ls1y*sin(ThetaZ)*sin(DThetaY)*sin(DThetaX)+Ls1y*cos(The


Ls1z*cos(ThetaZ)*sin(DThetaX)+LR3*sin(ThetaZ);

Ls1Z=-

Ls1x*sin(DThetaY)+Ls1y*cos(DThetaY)*sin(DThetaX)+Ls1z*cos(DThetaY)*cos(DThetaX)+LH3;

S1=[Ls1X

Ls1Y

Ls1Z];

Ls2X=Ls2x*cos(ThetaZ)*cos(DThetaY)+Ls2y*cos(ThetaZ)*sin(DThetaY)*sin(DThetaX)-


221

n(DThetaX)+LR3*cos(ThetaZ);

Ls2Y=Ls2x*sin(ThetaZ)*cos(DThetaY)+Ls2y*sin(ThetaZ)*sin(DThetaY)*sin(DThetaX)+Ls2y*cos(The


Ls2z*cos(ThetaZ)*sin(DThetaX)+LR3*sin(ThetaZ);

Ls2Z=-

Ls2x*sin(DThetaY)+Ls2y*cos(DThetaY)*sin(DThetaX)+Ls2z*cos(DThetaY)*cos(DThetaX)+LH3;

S2=[Ls2X

Ls2Y

Ls2Z];

%3.8 Vetor posiçao relativo entre as juntas universais e esfericas

V1=S1-U1;

V1x=V1(1);

V1y=V1(2);

V1z=V1(3);

V2=S2-U2;

V2x=V2(1);

V2y=V2(2);

V2z=V2(3);


%4. CINEMATICA NA POSIÇAO DE REFERENCIA DA PLATAFORMA MOVEL em relaçao ao

sistema de referencia cartesiano global na Base fixa 0,X,Y,Z

%(Z=0, Theta=0, LR3=LR3medio)

%4.1 Localizaçao da plataforma movel (ponto P)

%(Relativo ao membro motor central h3 com junta prismatica P3, junta rotativa R3 e haste telescopica

movida r3)

%a) Orientaçao da plataforma movel (ponto P) em torno do eixo Z

ThetaZi=0; %[rad]

%b) Posiçao escalar da plataforma movel (ponto P) em relaçao ao plano XY e altura Z

LR3i=LR3min+(LR3max-LR3min)/2; %[mm] - Horizontal no plano XY

LH3i=0; %[mm] - Vertical no eixo Z

%4.2 Comprimento escalar do braço central movido r3

Lr3i=LR3i/cos(DThetaY); %[mm]

222

%4.3 Posiçao escalar vertical da junta prismatica central P3 na haste motora central h3

Lh3i=LH3i+Lr3i*sin(DThetaY); %[mm]

%4.4 Vetor posiçao do membro motor lateral telescopico h1

%a) Vetor posiçao

Lh1xi=Ls1x*cos(ThetaZi)*cos(DThetaY)+Ls1y*cos(ThetaZi)*sin(DThetaY)*sin(DThetaX)-

Ls1y*sin(ThetaZi)*cos(DThetaX)+Ls1z*cos(ThetaZi)*sin(DThetaY)*cos(DThetaX)+Ls1z*sin(ThetaZi)

*sin(DThetaX)+LR3i*cos(ThetaZi)-Lu1X;

Lh1yi=+(Ls1x*sin(ThetaZi)*cos(DThetaY)+Ls1y*sin(ThetaZi)*sin(DThetaY)*sin(DThetaX)+Ls1y*cos(

ThetaZi)*cos(DThetaX)+Ls1z*sin(ThetaZi)*sin(DThetaY)*cos(DThetaX)-

Ls1z*cos(ThetaZi)*sin(DThetaX)+LR3i*sin(ThetaZi)-Lu1Y);

Lh1zi=-

Ls1x*sin(DThetaY)+Ls1y*cos(DThetaY)*sin(DThetaX)+Ls1z*cos(DThetaY)*cos(DThetaX)+LH3i-

Lu1Z;

LH1i=[Lh1xi;

Lh1yi;

Lh1zi];


Lh1i=sqrt(Lh1xi^2+Lh1yi^2+Lh1zi^2);

%4.5 Vetor posiçao do membro motor lateral telescopico h2


Lh2xi=Ls2x*cos(ThetaZi)*cos(DThetaY)+Ls2y*cos(ThetaZi)*sin(DThetaY)*sin(DThetaX)-


*sin(DThetaX)+LR3i*cos(ThetaZi)-Lu2X;

Lh2yi=Ls2x*sin(ThetaZi)*cos(DThetaY)+Ls2y*sin(ThetaZi)*sin(DThetaY)*sin(DThetaX)+Ls2y*cos(T

hetaZi)*cos(DThetaX)+Ls2z*sin(ThetaZi)*sin(DThetaY)*cos(DThetaX)-

Ls2z*cos(ThetaZi)*sin(DThetaX)+LR3i*sin(ThetaZi)-Lu2Y;

Lh2zi=-

Ls2x*sin(DThetaY)+Ls2y*cos(DThetaY)*sin(DThetaX)+Ls2z*cos(DThetaY)*cos(DThetaX)+LH3i-

Lu2Z;

LH2i=[Lh2xi;

Lh2yi;

Lh2zi];

223


Lh2i=sqrt(Lh2xi^2+Lh2yi^2+Lh2zi^2);

%4.6 Vetor posiçao das juntas universais U1 e U2

U1=[Lu1X

Lu1Y

Lu1Z];

U2=[Lu2X

Lu2Y

Lu2Z];

%4.7 Vetor posiçao das juntas esfericas S1 e S2

Ls1Xi=Ls1x*cos(ThetaZi)*cos(DThetaY)+Ls1y*cos(ThetaZi)*sin(DThetaY)*sin(DThetaX)-


*sin(DThetaX)+LR3i*cos(ThetaZi);

Ls1Yi=Ls1x*sin(ThetaZi)*cos(DThetaY)+Ls1y*sin(ThetaZi)*sin(DThetaY)*sin(DThetaX)+Ls1y*cos(T


Ls1z*cos(ThetaZi)*sin(DThetaX)+LR3i*sin(ThetaZi);

Ls1Zi=-

Ls1x*sin(DThetaY)+Ls1y*cos(DThetaY)*sin(DThetaX)+Ls1z*cos(DThetaY)*cos(DThetaX)+LH3i;

S1i=[Ls1Xi

Ls1Yi

Ls1Zi];

Ls2Xi=Ls2x*cos(ThetaZi)*cos(DThetaY)+Ls2y*cos(ThetaZi)*sin(DThetaY)*sin(DThetaX)-


*sin(DThetaX)+LR3i*cos(ThetaZi);

Ls2Yi=Ls2x*sin(ThetaZi)*cos(DThetaY)+Ls2y*sin(ThetaZi)*sin(DThetaY)*sin(DThetaX)+Ls2y*cos(T


Ls2z*cos(ThetaZi)*sin(DThetaX)+LR3i*sin(ThetaZi);

Ls2Zi=-

Ls2x*sin(DThetaY)+Ls2y*cos(DThetaY)*sin(DThetaX)+Ls2z*cos(DThetaY)*cos(DThetaX)+LH3i;

S2i=[Ls2Xi

Ls2Yi

Ls2Zi];

%4.8 Vetor posiçao relativo entre as juntas universais e esfericas

V1i=S1i-U1;

V1ix=V1i(1);

224

V1iy=V1i(2);

V1iz=V1i(3);

V2i=S2i-U2;

V2ix=V2i(1);

V2iy=V2i(2);

V2iz=V2i(3);

%5. ANGULO DE MONTAGEM DAS JUNTAS U1, U2, S1, S2 em relacao a XYZ

%(adotado estarem alinhados com a posiçao de referencia (LH3i=0, ThetaZi=0,LR3i=LRemedio))

%5.1 Angulo de montagem da junta universal U1

cAlfam1=(S1i-U1)/norm(S1i-U1);

Alfam1=acos((S1i-U1)/norm(S1i-U1));

Alfam1x=Alfam1(1);

Alfam1y=Alfam1(2);

Alfam1z=Alfam1(3);

%5.2 Angulo de montagem da junta universal U2

cAlfam2=(S2i-U2)/norm(S2i-U2);

Alfam2=acos((S2i-U2)/norm(S2i-U2));

Alfam2x=Alfam2(1);

Alfam2y=Alfam2(2);

Alfam2z=Alfam2(3);

%5.3 Angulo de montagem da junta esferical S1

cBetam1=(S1i-U1)/norm(S1i-U1);

Betam1=acos((S1i-U1)/norm(S1i-U1));

Betam1x=Betam1(1);

Betam1y=Betam1(2);

Betam1z=Betam1(3);

%5.4 Angulo de montagem da junta esferical S2

cBetam2=(S2i-U2)/norm(S2i-U2);

Betam2=acos((S2i-U2)/norm(S2i-U2));

Betam2x=Betam2(1);

Betam2y=Betam2(2);

225

Betam2z=Betam2(3);

%6. ANGULO DE GIRO DAS JUNTAS

%6.1 Angulo de giro da junta universal U1

Beta2=asin(-(S1(3)-U1(3))/norm(S1-U1));

Beta1= atan((S1(2)-U1(2))/(S1(1)-U1(1)));

%6.2 Angulo de giro da junta universal U2

Phi2=asin(-(S2(3)-U2(3))/norm(S2-U2));

Phi1= atan((S2(2)-U2(2))/(S2(1)-U2(1)));

%6.3 Angulo de giro da junta esferica S1

Psi1=acos(((S1-U1)/norm(S1-U1))'*V1i/norm(V1i));

%6.4 Angulo de giro da junta esferica S2

Psi2=acos(((S2-U2)/norm(S2-U2))'*V2i/norm(V2i));


%5. CALCULO DAS MATRIZES JACOBIANAS PARA ANALISE DE SENSIBILIDADE - (Modelo

de Erro com aproximaçao de 1a. Ordem)

%5.1 Matriz Jacobiana da posiçao dos membros movidos Jx

%(ThetaZ, LR3, LH3)

dX1=2*Lu1X*Ls1x*sin(ThetaZ)*cos(DThetaY)+2*Lu1X*Ls1y*cos(ThetaZ)*cos(DThetaX)+2*Lu1X*

Ls1y*sin(ThetaZ)*sin(DThetaY)*sin(DThetaX)+2*Lu1X*Ls1z*sin(ThetaZ)*sin(DThetaY)*cos(DTheta

X)-2*Lu1X*Ls1z*cos(ThetaZ)*sin(DThetaX)+2*Lu1X*LR3*sin(ThetaZ);

dY1=-2*Lu1Y*Ls1x*cos(ThetaZ)*cos(DThetaY)-

2*Lu1Y*Ls1y*cos(ThetaZ)*sin(DThetaY)*sin(DThetaX)+2*Lu1Y*Ls1y*sin(ThetaZ)*cos(DThetaX)-

2*Lu1Y*Ls1z*cos(ThetaZ)*sin(DThetaY)*cos(DThetaX)-2*Lu1Y*Ls1z*sin(ThetaZ)*sin(DThetaX)-

2*Lu1Y*LR3*cos(ThetaZ);



2*Lu1Y*Ls1z*cos(ThetaZ)*sin(DThetaY)*cos(DThetaX)+2*Lu1Y*Ls1z*sin(ThetaZ)*sin(DThetaX)-


df1dThetaZ=dX1+dY1;

df1dThetaZ2=dX1+dY12;

df1dLR3=2*LR3-2*Lu1X*cos(ThetaZ)-

2*Lu1Y*sin(ThetaZ)+2*Ls1x*cos(DThetaY)+2*Ls1y*sin(DThetaY)*sin(DThetaX)+2*Ls1z*sin(DTheta

226

Y)*cos(DThetaX);

df1dLR32=2*LR3-2*Lu1X*cos(ThetaZ)+2*Lu1Y*sin(ThetaZ)+2*Ls1x*cos(DThetaY)-

2*Ls1y*sin(DThetaY)*sin(DThetaX)+2*Ls1z*sin(DThetaY)*cos(DThetaX);

df1dLH3=2*LH3-2*Lu1Z-

2*Ls1x*sin(DThetaY)+2*Ls1y*cos(DThetaY)*sin(DThetaX)+2*Ls1z*cos(DThetaY)*cos(DThetaX);

df1dLH32=2*LH3-2*Lu1Z-2*Ls1x*sin(DThetaY)-

2*Ls1y*cos(DThetaY)*sin(DThetaX)+2*Ls1z*cos(DThetaY)*cos(DThetaX);

dX2=2*Lu2X*Ls2x*sin(ThetaZ)*cos(DThetaY)+2*Lu2X*Ls2y*cos(ThetaZ)*cos(DThetaX)+2*Lu2X*

Ls2y*sin(ThetaZ)*sin(DThetaY)*sin(DThetaX)+2*Lu2X*Ls2z*sin(ThetaZ)*sin(DThetaY)*cos(DTheta

X)-2*Lu2X*Ls2z*cos(ThetaZ)*sin(DThetaX)+2*Lu2X*LR3*sin(ThetaZ);

dX22=2*Lu2X*Ls2x*sin(ThetaZ)*cos(DThetaY)-

2*Lu2X*Ls2y*cos(ThetaZ)*cos(DThetaX)+2*Lu2X*Ls2y*sin(ThetaZ)*sin(DThetaY)*sin(DThetaX)+2

*Lu2X*Ls2z*sin(ThetaZ)*sin(DThetaY)*cos(DThetaX)-

2*Lu2X*Ls2z*cos(ThetaZ)*sin(DThetaX)+2*Lu2X*LR3*sin(ThetaZ);



2*Lu2Y*Ls2z*cos(ThetaZ)*sin(DThetaY)*cos(DThetaX)-2*Lu2Y*Ls2z*sin(ThetaZ)*sin(DThetaX)-


dY22=-

2*Lu2Y*Ls2x*cos(ThetaZ)*cos(DThetaY)+2*Lu2Y*Ls2y*cos(ThetaZ)*sin(DThetaY)*sin(DThetaX)-

2*Lu2Y*Ls2y*sin(ThetaZ)*cos(DThetaX)-

2*Lu2Y*Ls2z*cos(ThetaZ)*sin(DThetaY)*cos(DThetaX)+2*Lu2Y*Ls2z*sin(ThetaZ)*sin(DThetaX)-


df2dThetaZ=dX2+dY2;

df2dThetaZ2=-dX22+dY22;

df2dLR3=2*LR3-2*Lu2X*cos(ThetaZ)-

2*Lu2Y*sin(ThetaZ)+2*Ls2x*cos(DThetaY)+2*Ls2y*sin(DThetaY)*sin(DThetaX)+2*Ls2z*sin(DTheta

Y)*cos(DThetaX);

df3dThetaZ=0;

df3dLR3=0;

df3dLH3=-1;

Jx=[df1dThetaZ df1dLR3 df1dLH3;

df2dThetaZ df2dLR3 df2dLH3;

df3dThetaZ df3dLR3 df3dLH3];

%5.2 Matriz Jacobiana da posiçao do centro de giro das juntas motoras Jqg - somente erro geometrico

%(Lu1X, Lu2X, Lu1Y, Lu2Y, Lu1Z, Lu2Z, Ls1x, Ls2x, Ls1y, Ls2y, Ls1z, Ls2z)

df1dLu1X=2*Lu1X-2*Ls1x*cos(ThetaZ)*cos(DThetaY)+2*Ls1y*sin(ThetaZ)*cos(DThetaX)-

2*Ls1y*cos(ThetaZ)*sin(DThetaY)*sin(DThetaX)-2*Ls1z*cos(ThetaZ)*sin(DThetaY)*cos(DThetaX)-

227

2*Ls1z*sin(ThetaZ)*sin(DThetaX)-2*LR3*cos(ThetaZ);

df1dLu2X=0;

df1dLu1Y=2*Lu1Y-2*Ls1x*sin(ThetaZ)*cos(DThetaY)-

2*Ls1y*sin(ThetaZ)*sin(DThetaY)*sin(DThetaX)-2*Ls1y*cos(ThetaZ)*cos(DThetaX)-

2*Ls1z*sin(ThetaZ)*sin(DThetaY)*cos(DThetaX)+2*Ls1z*cos(ThetaZ)*sin(DThetaX)-

2*LR3*sin(ThetaZ);

df1dLu2Y=0;

df1dLu1Z=2*Lu1Z+2*Ls1x*sin(DThetaY)-2*Ls1y*cos(DThetaY)*sin(DThetaX)-

2*Ls1z*cos(DThetaY)*cos(DThetaX)-2*LH3;

df1dLu2Z=0;

df1dLs1x=2*Ls1x-2*Lu1X*cos(ThetaZ)*cos(DThetaY)-

2*Lu1Y*sin(ThetaZ)*cos(DThetaY)+2*Lu1Z*sin(DThetaY)+2*LR3*cos(DThetaY)-

2*LH3*sin(DThetaY);

df1dLs2x=0;

df1dLs1y=2*Ls1y+2*Lu1X*sin(ThetaZ)*cos(DThetaX)-

2*Lu1X*cos(ThetaZ)*sin(DThetaY)*sin(DThetaX)-2*Lu1Y*sin(ThetaZ)*sin(DThetaY)*sin(DThetaX)-

2*Lu1Y*cos(ThetaZ)*cos(DThetaX)-

2*Lu1Z*cos(DThetaY)*sin(DThetaX)+2*LH3*cos(DThetaY)*sin(DThetaX)+2*LR3*sin(DThetaY)*sin

(DThetaX);

df1dLs2y=0;

df1dLs1z=2*Ls1z-2*Lu1X*cos(ThetaZ)*sin(DThetaY)*cos(DThetaX)-

2*Lu1X*sin(ThetaZ)*sin(DThetaX)-

2*Lu1Y*sin(ThetaZ)*sin(DThetaY)*cos(DThetaX)+2*Lu1Y*cos(ThetaZ)*sin(DThetaX)-

2*Lu1Z*cos(DThetaY)*cos(DThetaX)+2*LH3*cos(DThetaY)*cos(DThetaX)+2*LR3*sin(DThetaY)*co

s(DThetaX);

df1dLs2z=0;

df2dLu1X=0;

df2dLu2X=2*Lu2X-2*Ls2x*cos(ThetaZ)*cos(DThetaY)+2*Ls2y*sin(ThetaZ)*cos(DThetaX)-

2*Ls2y*cos(ThetaZ)*sin(DThetaY)*sin(DThetaX)-2*Ls2z*cos(ThetaZ)*sin(DThetaY)*cos(DThetaX)-

2*Ls2z*sin(ThetaZ)*sin(DThetaX)-2*LR3*cos(ThetaZ);

df2dLu2X2=2*Lu2X-2*Ls2x*cos(ThetaZ)*cos(DThetaY)-

2*Ls2y*sin(ThetaZ)*cos(DThetaX)+2*Ls2y*cos(ThetaZ)*sin(DThetaY)*sin(DThetaX)-

2*Ls2z*cos(ThetaZ)*sin(DThetaY)*cos(DThetaX)-2*Ls2z*sin(ThetaZ)*sin(DThetaX)-

2*LR3*cos(ThetaZ);

df2dLu1Y=0;

df2dLu2Y=2*Lu2Y-2*Ls2x*sin(ThetaZ)*cos(DThetaY)-

2*Ls2y*sin(ThetaZ)*sin(DThetaY)*sin(DThetaX)-2*Ls2y*cos(ThetaZ)*cos(DThetaX)-

2*Ls2z*sin(ThetaZ)*sin(DThetaY)*cos(DThetaX)+2*Ls2z*cos(ThetaZ)*sin(DThetaX)-

2*LR3*sin(ThetaZ);

df2dLu2Y2=2*Lu2Y+2*Ls2x*sin(ThetaZ)*cos(DThetaY)-

228

2*Ls2y*sin(ThetaZ)*sin(DThetaY)*sin(DThetaX)-

2*Ls2y*cos(ThetaZ)*cos(DThetaX)+2*Ls2z*sin(ThetaZ)*sin(DThetaY)*cos(DThetaX)-

2*Ls2z*cos(ThetaZ)*sin(DThetaX)+2*LR3*sin(ThetaZ); %FALTA CORRIGIR

df2dLu1Z=0;

df2dLu2Z=2*Lu2Z+2*Ls2x*sin(DThetaY)-2*Ls2y*cos(DThetaY)*sin(DThetaX)-


df2dLu2Z2=2*Lu2Z+2*Ls2x*sin(DThetaY)+2*Ls2y*cos(DThetaY)*sin(DThetaX)-


df2dLs1x=0;

df2dLs2x=2*Ls2x-2*Lu2X*cos(ThetaZ)*cos(DThetaY)-

2*Lu2Y*sin(ThetaZ)*cos(DThetaY)+2*Lu2Z*sin(DThetaY)+2*LR3*cos(DThetaY)-

2*LH3*sin(DThetaY);

df2dLs2x2=2*Ls2x-

2*Lu2X*cos(ThetaZ)*cos(DThetaY)+2*Lu2Y*sin(ThetaZ)*cos(DThetaY)+2*Lu2Z*sin(DThetaY)+2*L

R3*cos(DThetaY)-2*LH3*sin(DThetaY);

df2dLs1y=0;

df2dLs2y=2*Ls2y+2*Lu2X*sin(ThetaZ)*cos(DThetaX)-

2*Lu2X*cos(ThetaZ)*sin(DThetaY)*sin(DThetaX)-2*Lu2Y*sin(ThetaZ)*sin(DThetaY)*sin(DThetaX)-

2*Lu2Y*cos(ThetaZ)*cos(DThetaX)-

2*Lu2Z*cos(DThetaY)*sin(DThetaX)+2*LH3*cos(DThetaY)*sin(DThetaX)+2*LR3*sin(DThetaY)*sin

(DThetaX);

df2dLs2y2=2*Ls2y-

2*Lu2X*sin(ThetaZ)*cos(DThetaX)+2*Lu2X*cos(ThetaZ)*sin(DThetaY)*sin(DThetaX)-

2*Lu2Y*sin(ThetaZ)*sin(DThetaY)*sin(DThetaX)-

2*Lu2Y*cos(ThetaZ)*cos(DThetaX)+2*Lu2Z*cos(DThetaY)*sin(DThetaX)-

2*LH3*cos(DThetaY)*sin(DThetaX)-2*LR3*sin(DThetaY)*sin(DThetaX);

df2dLs1z=0;

df2dLs2z=2*Ls2z-2*Lu2X*cos(ThetaZ)*sin(DThetaY)*cos(DThetaX)-

2*Lu2X*sin(ThetaZ)*sin(DThetaX)-

2*Lu2Y*sin(ThetaZ)*sin(DThetaY)*cos(DThetaX)+2*Lu2Y*cos(ThetaZ)*sin(DThetaX)-


s(DThetaX);

df2dLs2z2=2*Ls2z-2*Lu2X*cos(ThetaZ)*sin(DThetaY)*cos(DThetaX)-

2*Lu2X*sin(ThetaZ)*sin(DThetaX)+2*Lu2Y*sin(ThetaZ)*sin(DThetaY)*cos(DThetaX)-

2*Lu2Y*cos(ThetaZ)*sin(DThetaX)-


s(DThetaX);

df3dLu1X=0;

df3dLu2X=0;

df3dLu1Y=0;

229

df3dLu2Y=0;

df3dLu1Z=0;

df3dLu2Z=0;

df3dLs1x=0;

df3dLs2x=0;

df3dLs1y=0;

df3dLs2y=0;

df3dLs1z=0;

df3dLs2z=0;

Jqg=[-df1dLu1X -df1dLu2X -df1dLu1Y -df1dLu2Y -df1dLu1Z -df1dLu2Z -df1dLs1x -df1dLs2x -

df1dLs1y -df1dLs2y -df1dLs1z -df1dLs2z;

-df2dLu1X -df2dLu2X -df2dLu1Y -df2dLu2Y -df2dLu1Z -df2dLu2Z -df2dLs1x -df2dLs2x -df2dLs1y

-df2dLs2y -df2dLs1z -df2dLs2z;

-df3dLu1X -df3dLu2X -df3dLu1Y -df3dLu2Y -df3dLu1Z -df3dLu2Z -df3dLs1x -df3dLs2x -df3dLs1y

-df3dLs2y -df3dLs1z -df3dLs2z];

%6.3 Matriz Jacobiana da posiçao dos membros motores Jqc - somente erro cinematico

%(Lh1, Lh2, Lh3)

df1dLh1=-2*Lh1;

df1dLh2=0;

df1dLh3=0;

df2dLh1=0;

df2dLh2=-2*Lh2;

df2dLh3=0;

df3dLh1=0;

df3dLh2=0;

df3dLh3=1;

Jqc=[-df1dLh1 -df1dLh2 -df1dLh3;

-df2dLh1 -df2dLh2 -df2dLh3;

-df3dLh1 -df3dLh2 -df3dLh3];

%5.4 Matriz Jacobiana das membros e juntas motoras Jqcg - para erro cinematico e geometrico

combinado

%(Lh1, Lh2, Lh3, Lu1X, Lu2X, Lu1Y, Lu2Y, Lu1Z, Lu2Z, Ls1x, Ls2x, Ls1y, Ls2y, Ls1z, Ls2z)

Jqcg=[-df1dLh1 -df1dLh2 -df1dLh3 -df1dLu1X -df1dLu2X -df1dLu1Y -df1dLu2Y -df1dLu1Z -

df1dLu2Z -df1dLs1x -df1dLs2x -df1dLs1y -df1dLs2y -df1dLs1z -df1dLs2z;

-df2dLh1 -df2dLh2 -df2dLh3 -df2dLu1X -df2dLu2X -df2dLu1Y -df2dLu2Y -df2dLu1Z -df2dLu2Z -

df2dLs1x -df2dLs2x -df2dLs1y -df2dLs2y -df2dLs1z -df2dLs2z;

-df3dLh1 -df3dLh2 -df3dLh3 -df3dLu1X -df3dLu2X -df3dLu1Y -df3dLu2Y -df3dLu1Z -df3dLu2Z -

230

df3dLs1x -df3dLs2x -df3dLs1y -df3dLs2y -df3dLs1z -df3dLs2z];

%5.5 Matriz Jacobiana total

%a) Para erro geometrico

Jxinv=inv(Jx);

Jtg=Jxinv*Jqg;

Jxinv2=inv(Jx2);

Jtg2=Jxinv2*Jqg2;

%b) Para erro cinematico

Jxinv=inv(Jx);

Jtc=Jxinv*Jqc;

%c) Para erro elastico do mecanismo paralelo

Jqcinv=inv(Jqc);

Jc=Jqcinv*Jx;


%6. SINGULARIDADES

%6.1 Verificaçao de singularidades cinematicas (matriz quadrada)

DetJqc=det(Jqc);

DetJxc=det(Jx);


%7.FORÇAS ATUANTES NO PONTO P DA PLATAFORMA MOVEL - OPERAÇAO DE

ACABAMENTO

%a) Material a ser usinado

%ABNT_1045 - aço medio carbono

%Resistencia do material: Sigmar=620 [N/mm^2] - tensao de ruptura

%b) Modo de fresamento

%Fresamento frontal

%c) Ferramenta de corte

%Fresa de topo cilindrica com pastilha de metal duro

Df=100; %[mm] - diametro da fresa - E N T E R

231

Lf=40; %[mm] - largura da fresa - E N T E R

Zf=14; %[-] - numero de dentes cortantes - E N T E R

Alphacgr=7; %[graus] - angulo de incidencia do dente para materiais com tensao de ruptura ate 700

N/mm^2 - E N T E R

Alphac=Alphacgr*pi/180; %[rad]

Bethacgr=77; %[graus] - angulo de corte do dente para materiais com tensao de ruptura ate 700 N/mm^2

- E N T E R

Bethac=Bethacgr*pi/180; %[rad]

Gammacgr=10; %[graus] - angulo de saida do dente para materiais com tensao de ruptura ate 700

N/mm^2 - E N T E R

Gammac=Gammacgr*pi/180; %[rad]

Delthafgr=0 %[graus] - inclinaçao dos dentes para caso de fresa helicoidal - E N T E R

Delthaf=Delthafgr*pi/180; %[rad]

%d) Processo de fresamento

vc=500; %[m/min] - velocidade de corte - E N T E R

vf=50; %[mm/min] - velocidade de avanço - E N T E R

ap=0.5; %[mm] - profundidade de corte para acabamento - E N T E R

ae1=50; %[mm] - penetraçao de trabalho entre o ponto de entrada do dente e a linha de centro horizontal

para fresamento frontal - E N T E R

ae2=0; %[mm] - penetraçao de trabalho entre a horizontal e o ponto de saida do dente para fresamento

frontal - E N T E R

ae=abs(ae1)+abs(ae2); %[mm] - penetraçao de trabalho para fresamento frontal

nf=vc*1000/(pi*Df); %[rot/min] - rotaçao da fresa por minuto

f=vf/nf ; %[mm/rot] - avanço da fresa por rotaçao (aprox f=0.1)

fz=f/Zf; %[mm/dente] - avanço da fresa por dente

if ae>Df/2 Phic0=asin(1);

else Phic0=asin(2*ae/Df); %[rad] - angulo de contato dente-peça

end

Phic=Phic0*2/3; %[rad] - angulo adotado como ponto de atuaçao da força de corte

Kappargr=90; %[graus] - angulo de direçao da aresta principal de corte - E N T E R

Kappar=Kappargr*pi/180; %[rad]

hc=fz*sin(Kappar); %[mm] - espessura do cavaco

mc=0.17; %[-] - coeficiente de reta do material ABNT 1045 - segundo Kienzle

Kc11= 2110; %[N/mm^2] - Força de corte especifica Kc para A=1mm^2 do material ABNT 1045 -

segundo Kienzle

Kc=Kc11*hc^(-mc); %[N/mm^2] - Força de corte especifica - segundo Kienzle (aprox Kc=4*Sigmar)

Fc=ap*f*Kc; %[N] - força de corte

Ff=0.2*Fc; %[N] - força de avanço

Fu=sqrt(Fc^2+Ff^2); %[N] - força de usinagem

232

%e) Forças nas direçoes X,Y,Z

%eI)Fresamento na direçao e sentido +X (força c/ sinal contrario ao do sentido de movimento)

%em funçao de Fc e Ff (calculados)

%Ft=-Fc*cos(Delthaf)*sin(pi/2-Phic-ThetaZ)+Ff*sin(ThetaZ); %[N] - Força tangencial perpendicular a

R - E N T E R

%Fr=Fc*cos(Delthaf)*cos(pi/2-Phic-ThetaZ)+Ff*cos(ThetaZ); %[N] - Força radial na direçao R - E N T

E R

%FZ=Fc*sin(Delthaf); %[N] - Força axial na direçao Z - E N T E R

%em funçao de FX e FY (dados para comparaçao com FEM)

FX=100;%0; %[N]

FY=0;%100; %[N]

FZ=0; %[N]

Ft=FX*sin(ThetaZ)+FY*cos(ThetaZ); %[N]

Fr=-FX*cos(ThetaZ)+FY*sin(ThetaZ); %[N]

%eII)Fresamento na direçao e sentido +Y (força c/ sinal contrario ao do sentido de movimento)

%em funçao de Fc e Ff (calculados)

%Ft=Fc*cos(Delthaf)*sin(pi-Phic-ThetaZ)+Ff*sin(pi/2-ThetaZ); %[N] - Força tangencial perpndicular a

R - E N T E R

%Fr=-Fc*cos(Delthaf)*cos(pi-Phic-ThetaZ)-+Ff*cos(ThetaZ); %[N] - Força radial na direçao R - E N T

E R

%FZ=Fc*sin(Delthaf); %[N] - Força axial na direçao Z - E N T E R

%em funçao de FX e FY (dados para comparaçao com FEM)

%FX=100;%0; %[N]

%FY=0;%100; %[N]

%FZ=0; %[N]

%Ft=FX*sin(ThetaZ)-FY*cos(ThetaZ); %[N]

%Fr=-FX*cos(ThetaZ)-FY*sin(ThetaZ); %[N]

%eIII) Componentes da força de usinagem para calculo da deformaçao

Fu=[Ft*LR3;Fr;FZ]; %[N] - Força de usinagem com componentes tangencial, radial e axial

%XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

%8. CALCULO DAS MATRIZES DE RIGIDEZ AXIAL

%8.1 Matriz de rigidez axial do mecanismo de cinematica paralela

%8. CALCULO DAS MATRIZES DE RIGIDEZ

%8.1 Matriz de rigidez axial do mecanismo de cinematica paralela

%a) Conjunto membro motor lateral telescopico h1 com as juntas universal U1 e esferica S1 nas

extremidades

233

kaporca1=550000; %[N/mm] - Rigidez da porca(NSK) - E N T E R

%kaporca1=Eporca1*Aporca1/Lporca1; %[N/mm] - Rigidez axial da porca

kahaste1=Ehaste1*Ahaste1/Lhaste1;%[N/mm] - Rigidez axial da haste

kafuso1=Efuso1*Afuso1/Lfuso1;%[N/mm] - Rigidez axial da parte deformavel do fuso

kajuntau1=315000;%[N/mm] - Rigidez da junta universal (ADOTADO) - E N T E R

kajuntas1=315000;%[N/mm] - Rigidez da junta esferica (CATALOGO INA) - E N T E R

katelescopio1=1/((1/kahaste1)+(1/kaporca1)+(1/kafuso1));%[N/mm] - Rigidez axial do fuso

kah1=1/((1/kajuntau1)+(1/kajuntas1)+(1/katelescopio1)); %[N/mm] - Rigidez axial do membro

%b) Conjunto membro motor lateral telescopico h2 com as juntas universal U2 e esferica S2 nas

extremidades


%kaporca2=Eporca2*Aporca2/Lporca2; %[N/mm] - Rigidez axial da porca

kahaste2=Ehaste2*Ahaste2/Lhaste2;%[N/mm] - Rigidez axial da haste

kafuso2=Efuso2*Afuso2/Lfuso2;%[N/mm] - Rigidez axial da parte deformavel do fuso

kajuntau2=315000;%[N/mm] - Rigidez da junta universal (ADOTADO) - E N T E R

kajuntas2=315000;%[N/mm] - Rigidez da junta esferica (CATALOGO INA) - E N T E R

katelescopio2=1/((1/kahaste2)+(1/kaporca2)+(1/kafuso2));%[N/mm] - Rigidez do fuso

kah2=1/((1/kajuntau2)+(1/kajuntas2)+(1/katelescopio2)); %[N/mm] - Rigidez do membro

%c) Membro motor central h3 com junta prismatica P3


%kaporca3=Eporca3*Aporca3/Lporca3; %[N/mm] - Rigidez da porca

kafuso31=(Efuso3*Afuso3)/(Lh3sup-LH3); %[N/mm] - Rigidez axial do fuso parte 1 (mancal A ate

porca)

kafuso32=(Efuso3*Afuso3)/(abs(Lh3inf)+LH3); %[N/mm] - Rigidez axial do fuso parte 2 (mancal B ate

porca)

kah3=1/((1/kaporca3)+(1/(kafuso31+kafuso32))); %[N/mm] - Rigidez axial do membro h3.

%d) Rigidez e flexibilidade axial

Ksiac=[kah1 0 0;

0 kah2 0;

234

0 0 kah3]; %[N/mm]

Kac=Jc'*Ksiac*Jc; %[N/mm]

%e) Matriz axial local

Ksic=[kah1 0 0;

0 kah2 0;

0 0 kah3]; %[N/mm]

%f) Matriz axial global

KEc=Jc'*Ksic*Jc; %[N/mm]


%9. CALCULO DO ESPAÇO DE TRABALHO FUNCIONAL DISPONIVEL

%9.1 Condiçoes

%Se todas as condiçoes forem iguais a 1 existe um espaço de trabalho funcional

c1=1; %movimento dentro do limite de ThetaZinf

c2=1; %movimento dentro do limite de ThetaZsup

c3=1; %movimento dentro do limite de LR3min

c4=1; %movimento dentro do limite de LR3max

c5=1; %movimento dentro do limite de LH3min

c6=1; %movimento dentro do limite de LH3max

c7=1; %movimento dentro do limite de Lh1min

c8=1; %movimento dentro do limite de Lh1max

c9=1; %movimento dentro do limite de Lh2min

c10=1; %movimento dentro do limite de Lh2max

c11=1; %movimento dentro do limite da junta universal U1

c12=1; %movimento dentro do limite da junta universal U2

c13=1; %movimento dentro do limite da junta esferica S1

c14=1; %movimento dentro do limite da junta esferica S2

c15=1; %sem singularidades devido impossibilidade de movimento nas regioes da fronteira do espaço de

trabalho (em funçao de Jqc)

c16=1; %sem singularidades devido movimentos incontrolaveis no interior do espaço de trabalho (em

funçao de Jqx)

%9.2 Verificaçao dos limites

if ThetaZ < ThetaZinf c1=0; end

if ThetaZ > ThetaZsup c2=0; end

235

if LR3 < LR3min c3=0; end

if LR3 > LR3max c4=0; end

if LH3 < LH3inf c5=0; end

if LH3 > LH3sup c6=0; end

if Lh1 < Lh1min c7=0; end

if Lh1 > Lh1max c8=0; end

if Lh2 < Lh2min c9=0; end

if Lh2 > Lh2max c10=0; end

if Beta2>Alphau1 c11=0; end

if Beta1>Alphau1 c11=0; end

if Phi2>Alphau2 c12=0; end

if Phi1>Alphau2 c12=0; end

if Psi1>Alphas1 c13=0; end

if Psi2>Alphas2 c14=0; endif abs(det(Jqc)) < 1e-5 c15=0; end

if abs(det(Jx)) < 1e-5 c16=0; end

%9.3 Mostra dos pontos pertencentes ao espaço de trabalho disponivel

Espaco(I,J)=NaN;

c=c1*c2*c3*c4*c5*c6*c7*c8*c9*c10*c11*c12*c13*c14*c15*c16;

if c == 1 Espaco(I,J)=1;

end


%10 - INFLUENCIA DOS PARAMETROS DE PROJETO NO ERRO DE POSICIONAMENTO

%1.1 Sensibilidade geometrica

%a) Valor inicial para verificaçao da influencia dos parametros na sensibilidade

Sensib1_ThetaZ=0;

Sensib2_ThetaZ=0;

Sensib3_ThetaZ=0;

Sensib4_ThetaZ=0;

Sensib5_ThetaZ=0;

Sensib6_ThetaZ=0;

Sensib7_ThetaZ=0;

Sensib8_ThetaZ=0;

Sensib9_ThetaZ=0;

Sensib10_ThetaZ=0;

Sensib11_ThetaZ=0;

Sensib12_ThetaZ=0;

236

Sensib1_R3=0;

Sensib2_R3=0;

Sensib3_R3=0;

Sensib4_R3=0;

Sensib5_R3=0;

Sensib6_R3=0;

Sensib7_R3=0;

Sensib8_R3=0;

Sensib9_R3=0;

Sensib10_R3=0;

Sensib11_R3=0;

Sensib12_R3=0;

Sensib1_H3=0;

Sensib2_H3=0;

Sensib3_H3=0;

Sensib4_H3=0;

Sensib5_H3=0;

Sensib6_H3=0;

Sensib7_H3=0;

Sensib8_H3=0;

Sensib9_H3=0;

Sensib10_H3=0;

Sensib11_H3=0;

Sensib12_H3=0;

%b) Divisor

Pts(I,J)=0;

if c==1 Pts(I,J)=Pts(I,J)+1;

end;

Pontos=sum(sum(Pts));

%c) Media aritmetica do grau de influencia da cada item

Sensib1_ThetaZ=(abs(Jtg(1,1))+Sensib1_ThetaZ)/Pontos;








237





Sensib1_R3=(abs(Jtg(2,1))+Sensib1_R3)/Pontos;












Sensib1_H3=(abs(Jtg(3,1))+Sensib1_H3)/Pontos;












%10.2 Condicionamento cinematico

Ncondc(I,J)=cond(Jtc)*Espaco(I,J); %1

%10.3 Condicionamento elastico

Ncondec(I,J)=cond(KEc)*Espaco(I,J); %1;


%11. CALCULO DOS ERROS DE LOCALIZAÇAO DO PONTO P DA PLATAFORMA MOVEL

%11.1 Erros de localizaçao em funçao de erros geometricos

238

Dqg=[Du1X;Du2X;Du1Y;Du2Y;Du1Z;Du2Z;Ds1x;Ds2x;Ds1y;Ds2y;Ds1z;Ds2z]; %[mm] - Vetor de

erros nas posiçoes das juntas (CONHECIDO)

Dxg=Jtg*Dqg; %[rad] e [mm] - Vetor de erros no membro movido

DThetaZg=Dxg(1)*Espaco(I,J); %[rad] - Erro na orientaçao (eixo Z)

DR3g=Dxg(2)*Espaco(I,J); %[mm] - Erro na posiçao horizontal (plano XY)

DH3g=Dxg(3) *Espaco(I,J); %[rad] e [mm] - Erro na posiçao vertical (eixo Z)

DXg(I,J)=(LR3+DR3g)*cos(ThetaZ+DThetaZg)-LR3*cos(ThetaZ)); %[mm] erro em funçao das

coordenadas XYZ

DYg(I,J)=(LR3+DR3g)*sin(ThetaZ+DThetaZg)-LR3*sin(ThetaZ); %[mm] erro em funçao das

coordenadas XYZ

DZg(I,J)=DH3g;

%11.2 Erros de localizaçao em funçao de erros cinematicos

Dqc=[Dh1;Dh2;Dh3]; %[mm] - Vetor de erros nos membros motores (CONHECIDO)

Dxc=Jtc*Dqc; %[mm] - Vetor de erros no membro movido

DThetaZc=Dxc(1)*Espaco(I,J); %[rad] - Erro na orientaçao(eixo Z)

DR3c=Dxc(2)*Espaco(I,J); %[mm] - Erro na posiçao horizontal (plano XY)

DH3c=Dxc(3) *Espaco(I,J); %[mm] - Erro na posiçao vertical (eixo Z)

DXc(I,J)=(LR3+DR3c)*cos(ThetaZ+DThetaZc)-LR3*cos(ThetaZ); %[mm] erro em funçao das

coordenadas XYZ

DYc(I,J)=(LR3+DR3c)*sin(ThetaZ+DThetaZc)-LR3*sin(ThetaZ); %[mm] erro em funçao das

coordenadas XYZ

DZc(I,J)=DH3c;

%11.3 Erros de localizaçao em funçao de erros elasticos no mecanismo paralelo

KEcinv=pinv(KEc);

Dxec=KEcinv*FE; %[mm] - Vetor de erros elasticos no mecanismo paralelo

DThetaZec=Dxec(1)*Espaco(I,J); %[rad] - Erro na orientaçao (eixo Z)

DR3ec=Dxec(2)*Espaco(I,J); %[mm] - Erro na posiçao horizontal (plano XY)

DH3ec=Dxec(3) *Espaco(I,J); %[mm] - Erro na posiçao vertical (eixo Z)

DXec(I,J)=(LR3+DR3ec)*cos(ThetaZ+DThetaZec)-LR3*cos(ThetaZ)); %[mm] erro em funçao das

coordenadas XYZ

DYec(I,J)=(LR3+DR3ec)*sin(ThetaZ+DThetaZec)-LR3*sin(ThetaZ); %[mm] erro em funçao das

coordenadas XYZ

DZec(I,J)=DH3ec;

%11.4 Erros de localizaçao em funçao de erros unificados: geometricos+cinematicos+elasticos no

239

mecanismo paralelo

DXcge(I,J)=DXg(I,J)+DXc(I,J)+DXec(I,J); %[mm] - erro em funçao das coordenadas XYZ

DYcge(I,J)=DYg(I,J)+DYc(I,J)+DYec(I,J); %[mm] - erro em funçao das coordenadas XYZ

DZcge(I,J)=(DZg(I,J)+DZc(I,J)+DZec(I,J)); %[mm] - erro em funçao das coordenadas XYZ

%12 Area de trabalho disponivel

WXY=Pontos*IX*IY;

end %para for 1

end %para for 2

end %para for 3

%13. GRAFICOS

%13.1 Grafico do espaço de trabalho disponivel

figure(1)

surf(Y,X,Espaco)

xlabel('Y (mm)'); ylabel('X (mm)'); zlabel('Espaço de trabalho disponivel (mm)')

%13.2 Sensibilidade geometrica

%a) Influencia em ThetaZ

figure(2)

ThetaZ=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12];

Sensib_ThetaZ=[Sensib1_ThetaZ Sensib2_ThetaZ Sensib3_ThetaZ Sensib4_ThetaZ Sensib5_ThetaZ

Sensib6_ThetaZ Sensib7_ThetaZ Sensib8_ThetaZ Sensib9_ThetaZ Sensib10_ThetaZ Sensib11_ThetaZ

Sensib12_ThetaZ];

bar(ThetaZ,Sensib_ThetaZ,'r')

xlabel('Lu1X Lu2X Lu1Y Lu2Y Lu1Z Lu2Z Ls1x Ls2x Ls1y Ls2y Ls1z Ls2z')

ylabel('Grau de influencia na sensibilidade de ThetaZ')

%b) Influencia em LR3

figure(3)

R3=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12];

240

Sensib_R3=[Sensib1_R3 Sensib2_R3 Sensib3_R3 Sensib4_R3 Sensib5_R3 Sensib6_R3 Sensib7_R3

Sensib8_R3 Sensib9_R3 Sensib10_R3 Sensib11_R3 Sensib12_R3];

bar(R3,Sensib_R3,'r')


ylabel('Grau de influencia na sensibilidade de R3')

%c) Influencia em LH3

figure(4)

H3=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12];

Sensib_H3=[Sensib1_H3 Sensib2_H3 Sensib3_H3 Sensib4_H3 Sensib5_H3 Sensib6_H3 Sensib7_H3

Sensib8_H3 Sensib9_H3 Sensib10_H3 Sensib11_H3 Sensib12_H3];

bar(H3,Sensib_H3,'r')


ylabel('Grau de influencia na sensibilidade de H3')

%13.3 Condicionamento

figure(5) %condicionamento do erro cinematico

surf(Y,X,Ncondc)

xlabel('Y (mm)'); ylabel('X (mm)'); zlabel('Condicionamento p/ erro cinematico')

figure(6) %condicionamento do erro erro elastico no mecanismo paralelo

surf(Y,X,Ncondec)

xlabel('Y (mm)'); ylabel('X (mm)'); zlabel('Condicionamento p/ erro elastico')

%13.4 Graficos de mapeamento dos erros em relaçao a DX, DY, DZ no espaço cartesiano (plano XY)

%a) Erro em DX

figure(7) %erro geometrico

surf(Y,X,DXg)

xlabel('Y (mm)'); ylabel('X (mm)'); zlabel('Erro geometrico em X (mm)')

figure(8) %erro cinematico

surf(Y,X,DXc)

xlabel('Y (mm)'); ylabel('X (mm)'); zlabel('Erro cinematico em X (mm)')

figure(9) %erro elastico

surf(Y,X,DXec)

xlabel('Y (mm)'); ylabel('X (mm)'); zlabel('Erro elastico em X (mm)')

figure(10) %erro geometrico, cinematico e elastico combinado

surf(Y,X,DXcge)

xlabel('Y (mm)'); ylabel('X (mm)'); zlabel('Erro geometrico, cinematico e elastico somados em X (mm)')

%b) Erro em DY

241

figure(11) %erro geometrico

surf(Y,X,DYg)

xlabel('Y (mm)'); ylabel('X (mm)'); zlabel('Erro geometrico em DY3 (mm)')

figure(12) %erro cinematico

surf(Y,X,DYc)

xlabel('Y (mm)'); ylabel('X (mm)'); zlabel('Erro cinematico em DY (mm)')

figure(13) %erro elastico

surf(Y,X,DYec)

xlabel('Y (mm)'); ylabel('X (mm)'); zlabel('Erro elastico em DY (mm)')

figure(14) %erro geometrico, cinematico e elastico combinado

surf(Y,X,DYcge)

xlabel('Y (mm)'); ylabel('X (mm)'); zlabel('Erro geometrico, cinematico e elastico somados em DY

(mm)')

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