Governador - educacaoprofissional.seduc.ce.gov.breducacaoprofissional.seduc.ce.gov.br/images/material_didatico/... · das construções gráficas e da morfologia das figuras. 2.1.3

Governador

Vice Governador

Secretária da Educação

Secretário Adjunto

Secretário Executivo

Assessora Institucional do Gabinete da Seduc

Coordenadora da Educação Profissional – SEDUC

Cid Ferreira Gomes

Domingos Gomes de Aguiar Filho

Maria Izolda Cela de Arruda Coelho

Maurício Holanda Maia

Antônio Idilvan de Lima Alencar

Cristiane Carvalho Holanda

Andréa Araújo Rocha

1 INTRODUÇÃO.................................................................................................. 3 2 À GEOMETRIA................................................................................................. 4

2.1 Primeiros conceitos............................................................................. 4 2.1.1 Princípios da Geometria................................................................... 4 2.1.2 Desenho geométrico......................................................................... 4 2.1.3 Espaço............................................................................................... 4 2.1.4 Medição.............................................................................................. 4 2.1.5 Ponto................................................................................................. 4 2.1.6 Linhas................................................................................................. 4 2.1.7 Linha reta........................................................................................... 5 2.1.8 Semi-reta............................................................................................ 5 2.1.9 Segmento de reta.............................................................................. 6 2.1.10 Ângulos............................................................................................ 6 2.2 Construção........................................................................................... 7 2.2.1 Linha horizontal ............................................................................... 7 2.2.2 Linha vertical..................................................................................... 7 2.2.3 Linha inclinada.................................................................................. 7 2.2.4 Quanto à direção............................................................................... 8 2.2.5 Linhas perpendiculares.................................................................... 8 2.2.6 Linhas convergentes........................................................................ 8 2.2.7 Linhas divergentes........................................................................... 8 2.2.8 Diagonal............................................................................................. 10 2.2.9 Mediana.............................................................................................. 10 2.2.10 Apótema........................................................................................... 10 2.2.11 Bissetriz........................................................................................... 11

3 GEOMETRIA DESCRITIVA.............................................................................. 12 3.1 Projeção ortogonal de um ponto........................................................ 12 3.2 Classificação das projeções............................................................... 12 3.3 Estudo do ponto................................................................................... 13 3.4 Posições do ponto............................................................................... 15 3.5 Plano Bissetor...................................................................................... 17 3.6 Estudo da reta...................................................................................... 18 3.7 Determinação da reta.......................................................................... 19 3.8 Posições da reta.................................................................................. 19

4 GEOMETRIA PLANA....................................................................................... 22 4.1 Triângulos............................................................................................. 22 4.2 Elementos do triângulo....................................................................... 22 4.3 Formas triangulares............................................................................ 26 4.4 Formas paralelogrâmicas................................................................... 30 4.5 Formas irregulares.............................................................................. 35 4.6 Polígono................................................................................................ 37 4.6.1 Polígonos regulares.......................................................................... 39 4.6.2 Polígonos irregulares....................................................................... 39 4.6.2.1 Polígono irregular convexo........................................................... 39 4.6.2.2 Polígono irregular côncavo........................................................... 39 4.6.2.3 Polígono estrelado......................................................................... 40 4.6.2.4 Polígonos quanto aos ângulos..................................................... 40 4.7 Circulo................................................................................................... 40 4.7.1 Raio®................................................................................................. 41 4.7.2 Corda.................................................................................................. 41

4.7.3 Diâmetro............................................................................................. 41 4.7.4 Tangência e concordância............................................................... 41 4.8 Cálculo de área................................................................................... 54 4.8.1 Cálculo da área do triângulo............................................................ 55 4.8.2 Cálculo da área do paralelogramo.................................................. 56 4.8.3 Cálculo da área do losango............................................................. 57 4.8.4 Cálculo da área do quadrado........................................................... 58 4.8.5 Cálculo da área do círculo............................................................... 60 4.8.6 Cálculo da área de setores circulares............................................ 61 4.8.7 Cálculo da área de coroas circulares............................................. 61 4.8.8 Medição de ângulo............................................................................ 63

5 GEOMETRIA ESPACIAL................................................................................ 64 5.1 Conceitos gerais.................................................................................. 64 5.2 As linhas nos desenhos técnicos...................................................... 65 5.3 Projeções ortogonais.......................................................................... 67 5.4 Planos de projeção.............................................................................. 68 5.5 Escolha das vistas............................................................................... 72 5.6 Projeções pelo 3º diedro..................................................................... 77

6 REPRESENTAÇÃO DE COTAGEM................................................................ 90 7 PROPORÇÕES E DIMENSÕES...................................................................... 95 8 LEGENDA......................................................................................................... 96 9 ESCALA DO DESENHO.................................................................................. 96 10 A ORIGEM DO DESENHO TÉCNICO............................................................ 98

10.1 Normas................................................................................................ 98 10.1.1Normas da ABNT.............................................................................. 99 10.2 Instrumentos usados......................................................................... 101 10.1.1 Lápis e lapiseiras............................................................................ 101 10.2.2 Esquadros....................................................................................... 101 10.2.3 Compasso........................................................................................ 102 10.2.4 Escalímetro...................................................................................... 102 10.2.5 Folhas............................................................................................... 103 10.2.6 Dobragem........................................................................................ 103

11 PERSPECTIVA............................................................................................... 105 12 EXEMPLOS DE DESENHO TÉCNICO UTILIZADO NA INDÚSTRIA........... 106 13 EXERCÍCIOS.................................................................................................. 111

Escola Estadual de Educação Profissional [EEEP] Ensino Médio Integrado à Educação Profissional

Tecelagem – Desenho Técnico

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1. INTRODUÇÃO

A palavra geometria é composta de duas palavras gregas: geos (terra) e metron (medida). Esta denominação deve a sua origem à necessidade que, desde os tempos remotos, o homem necessitava medir terrenos. Ano após ano o Rio Nilo transbordava do seu leito natural, espalhando um rico limo sobre os campos ribeirinhos, o que constituía uma benção, a base de existência do país dos Faraós, que na época se circunscrevia a uma estreita faixa de terra às margens do rio. A inundação fazia desaparecer os marcos de delimitação entre os campos. Para demarcarem novamente os limites existiam os "puxadores de corda", os "harpedonaptas" que baseavam a sua arte essencialmente no conhecimento de que o triângulo de lados 3, 4, 5 é retângulo. As construções das pirâmides e templos pelas civilizações egípcia e Babilônica são o testemunho mais antigo de um conhecimento sistemático da Geometria. Contudo, muitas outras civilizações antigas possuíam conhecimentos de natureza geométrica, desde a Babilônia à China, passando pela civilização Hindu. Os Babilônicos tinham conhecimentos matemáticos que provinham da agrimensura e comércio e a civilização Hindu conhecia o teorema sobre o quadrado da hipotenusa de um triângulo retângulo. A Geometria como ciência dedutiva apenas teve início na Grécia Antiga, cerca de sete séculos antes de Cristo, graças aos esforços de muitos notáveis predecessores de Euclides, como Tales de Mileto (640 - 546 a.C.), Pitágoras (580 - 500 a.C.) e Eudóxio (408 - 355 a.C.). Platão interessou-se muito pela Geometria e ao longo do seu ensino evidenciou a necessidade de demonstrações rigorosas, o que facilitou o trabalho de Euclides. Euclides (323 - 285 a.C.) deu uma grande contribuição para a Geometria escrevendo o livro "Elementos" que é constituído por 13 volumes. Este livro estabeleceu um método de demonstração rigorosa usado até hoje como fonte de informações para estudos na área.



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2 PRINCÍPIOS GEOMETRIA Os estudos iniciais sobre Geometria Plana estão relacionados à Grécia Antiga, também pode ser denominada Geometria Euclidiana em homenagem a Euclides de Alexandria (360 a.C. - 295 a.C.), grande matemático educado na cidade de Atenas e frequentador da escola fundamentada nos princípios de Platão. Os princípios que levaram à elaboração da Geometria Euclidiana eram baseados nos estudos do ponto, da reta e do plano. O ponto era considerado um elemento que não tinha definição plausível, a reta era definida como uma sequência infinita de pontos e o plano definido através da disposição de retas. As definições teóricas da Geometria de Euclides estão baseadas em axiomas, postulados, definições e teoremas que estruturam a construção de variadas formas planas. Os polígonos são representações planas que possuem definições, propriedades e elementos. 2.1 PRIMEIROS CONCEITOS

2.1.1 PROPRIEDADES DA GEOMETRIA É a ciência que tem por objetivo estudar as propriedades relativas às formas e as dimensões dos corpos. 2.1.2 DESENHO GEOMÉTRICO É a representação gráfica das figuras geométricas. O desenho geométrico trata das construções gráficas e da morfologia das figuras. 2.1.3 ESPAÇO O espaço é a extensão sem limite. É indefinido e ilimitado. A simples consideração dos objetos que nos rodeiam em relação às suas características geométricas, tais como: a forma; a grandeza e a posição, nos revela a existência do espaço. 2.1.4 MEDIÇÃO É a parte da geometria que estuda a determinação dos comprimentos das linhas, áreas e volume das figuras. 2.1.5 PONTO O ponto é o elemento que não tem dimensão. Para representá-lo costuma-se cruzar duas linhas. Em desenho um ponto deve sempre vir acompanhado por uma letra, para distinguir um do outro.

2.1.6 LINHAS A linha é a sucessão de pontos, tão unidos que chegam a se confundir em um traço contínuo.



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Quando deslocamos o grafite sobre o papel representamos a imagem de uma linha. A linha se caracteriza por uma dimensão: o comprimento. As Linhas podem ser classificadas: Quanto a Forma, Quanto a Posição e Quanto a Direção.

Quanto a Forma podem ser: RETA, COMPOSTA E CURVA. Composta: Poligonal, mista e sinuosa. Curva: Côncava e convexa

Quanto a Posição: Horizontal, Vertical e Inclinada Quanto a Direção: Convergente, Divergente, Paralela e Perpendicular

2.1.7 LINHA RETA A reta é a menor distância entre dois pontos. A reta contém uma infinidade de pontos, e por um ponto podemos traçar uma infinidade de retas. A reta é infinita em ambos os sentidos.

2.1.8 SEMI-RETA Diz-se Semi-Reta cada uma das partes em que fica dividida uma reta por um dos seus pontos. A Semi-Reta é infinita em apenas um sentido.



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2.1.9 SEGMENTO DE RETA Uma Reta não tem origem, nem fim. Quando queremos que uma Reta possua limite, ou seja, um segmento de reta, devemos marcar dois pontos quaisquer que marcarão sua origem e o seu fim. O Segmento de Reta é finito.

2.1.10 ÂNGULOS Os ângulos podem ser classificados, quanto à posição dos lados, quanto à sua abertura e quanto à soma. QUANTO À ABERTURA DOS LADOS Os ângulos podem ser: - De volta inteira = 360º - Ângulo raso ou meia volta = 180º - Ângulo obtuso = maior que 90º -Ângulo reto = ângulo que possui 90º - Ângulo agudo + menor que 90º

ÂNGULO DE VOLTA INTEIRA A soma dos ângulos formados em torno de um ponto 0, é igual a quatro ângulos retos.

ÂNGULO RASO OU DE MEIA VOLTA A soma dos ângulos formados em torno de um ponto e do mesmo lado de uma reta é igual a dois ângulos retos, ou seja, 180º.



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ÂNGULO OBTUSO É qualquer ângulo maior que o ângulo de 90º.

ÂNGULO RETO É o ângulo que possui 90º. Quando os ângulos são adjacentes iguais.

ÂNGULO AGUDO É o ângulo cuja abertura dos lados é menor que 90º.

2.2 CONSTRUÇÃO 2.2.1 LINHA HORIZONTAL – É aquela que segue a posição do plano das águas paradas. _____________________ 2.2.2 LINHA VERTICAL – Dizemos que uma Reta e Vertical quando coincide com a direção do fio de prumo.



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2.2.3 LINHA INCLINADA – Dizemos que uma reta é inclinada ou oblíqua, quando não é nem vertical, nem horizontal.

2.2.4 QUANTO À DIREÇÃO Podemos Dizer que as linhas quanto à direção podem ser: - Paralelas - Perpendiculares - Convergentes - Divergentes Linhas paralelas: As linhas são paralelas quando conservam entre si a mesma distância. A linha paralela não tem nenhum ponto comum. As linhas paralelas podem ser: - Paralelas Verticais - Paralelas Horizontais - Paralelas Eqüidistantes - Paralelas não Eqüidistantes - Paralelas Curvas - Paralelas Poligonais 2.2.5 LINHAS PERPENDICULARES: Diz-se que uma reta é perpendicular a outra, se a primeira linha ou o seu prolongamento encontrar a segunda linha, sem se inclinar sobre ela para qualquer dos lados. As retas que possuem ponto comum são chamadas retas concorrentes.

2.2.6 LINHAS CONVERGENTES: São aquelas que concorrem a um mesmo ponto. Este ponto é denominado ponto de convergência das linhas.



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2.2.7 LINHAS DIVERGENTES São linhas que partem do mesmo ponto.



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2.2.8 DIAGONAL São os segmentos de retas que unem os vértices não consecutivos de um POLÍGONO. Na figura temos as diagonais.

2.2.9 MEDIANA As medianas de um ângulo interno de um polígono regular encontram-se num ponto que será o centro da figura. Ou, noutras palavras mediana é a linha que une um vértice ao ponto médio do lado oposto.



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2.2.10 APÓTEMA Apótema de um polígono regular é a distancia do centro a um dos pontos médios do lado oposto do POLÍGONO.

2.2.11 BISSETRIZ É o segmento de reta que divide o ângulo em duas partes iguais.



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.3 GEOMETRIA DESCRITIVA

Geometria Descritiva, é a ciência que tem por fim representar num plano, as figuras do espaço, de maneira tal que, nesse plano, se possam resolver todos os problemas relativos a essas figuras. Ela foi criada no fim do século XVIII, pelo matemático francês Gaspar Monge.

3.1 PROJEÇÃO ORTOGONAL DE UM PONTO

A projeção ortogonal de um ponto sobre um plano, é o pé da perpendicular baixada do ponto ao plano.

"a" é a projeção e "A" sobre o plano "M" e "Aa" é a projetante (perpendicular)



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3.2 CLASSIFICAÇÃO DAS PROJEÇÕES

Projeção Cônica

Projeção Cilíndrica ou Paralela – Ortogonal

Projeção Cilíndrica ou Paralela - Oblíqua



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3.3 ESTUDO DO PONTO

Plano Horizontal (H) e Plano Vertical (V) são perpendiculares entre si.

Linha de Terra (XY).

Os planos são infinitos e perpendiculares, formando quatro regiões (diedros).

Plano Horizontal Anterior (HA)

Plano Horizontal Posterior (HP)

Plano Vertical Superior (VS)

Plano Vertical Inferior (VI)

O plano vertical é rebatido (sentido anti-horário) sobre o plano horizontal.

ÉPURA - é a representação de uma figura do espaço pelas suas projeções (rebatimento do plano vertical sobre o plano horizontal).

CONVENÇÕES - sendo os planos opacos, só as figuras situadas no 1º diedro são visíveis pelo observador ( o observador é sempre considerado como estando no primeiro diedro).

_________ linhas visíveis (contínua)



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.................... linhas invisíveis (pontilhada)

- - - - - - - - - linhas de projeção (tracejada)

_._._._._._ linhas auxiliares (traço e ponto)

Cota - distância do ponto ao Plano Horizontal (Aa).

Afastamento - distância do ponto ao Plano Vertical (Aa`).

3.4 POSIÇÕES DO PONTO

Ponto no 1º diedro

Ponto no 2º diedro



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Ponto no 3º diedro

Ponto no 4º diedro

Ponto no Plano Vertical Superior



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Ponto no Plano Vertical Inferior

Ponto no Plano Horizontal Superior

Ponto no Plano Horizontal Inferior



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Ponto na Linha de Terra

3.5 PLANO BISSETOR

É o plano que divide o diedro em duas partes iguais.

1º bissetor - corta o 1º e o 3º diedros.

2º bissetor - corta o 2º e o 4º diedros.

3.6 ESTUDO DA RETA



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Reta Perpendicular ao Plano - a projeção será um ponto.

Reta Paralela ao Plano - a projeção é igual à própria reta.

Reta Oblíqua ao Plano - a projeção é menor que a reta.

3.7 DETERMINAÇÃO DA RETA



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A posição da reta é determinada quando conhecidas as projeções desta nos planos.

3.8 POSIÇÕES DA RETA

Reta Oblíqua aos dois planos - Reta Qualquer

Reta Paralela ao PH e Oblíqua ao PV - Reta Horizontal



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Reta Paralela ao PV e Oblíqua ao PH - Reta Frontal

Reta Paralela aos dois planos - Reta Fronto-Horizontal

Reta Perpendicular ao PH - Reta Vertical

Reta Perpendicular ao PV - Reta Topo



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Reta Perpendicular à Linha de Terra - Reta de Perfil



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4 GEOMETRIA PLANA 4.1 TRIANGULOS Quanto aos lados. - Equilátero - Isósceles - Escaleno Quanto aos Ângulos - Acutângulo - Retângulo - Obtusângulo - Equiângulo

4.2 ELEMENTOS DO TRIANGULO LADOS – Num triângulo qualquer, temos três lados: AB – BC – AC VÉRTICES – Quando as linhas que formam os ângulos de um triângulo se encontram, dão origem aos vértices, A – B – C. BASE – É o lado sobre o qual se imagina que o triângulo esteja assente na fig, AB apresenta a base. ALTURA – É a perpendicular tirada desde o vértice até a base. Portanto, a altura é a distância de um vértice ao lado oposto. O triângulo, portanto, tem três alturas, onde, cada uma, corresponde a uma base, que é o lado oposto ao vértice o qual relaciona a altura (h). ÂNGULO – Três são os ângulos de um triângulo Â – B – C

MEDIANA – É o segmento que une o ponto médio do lado, ao vértice oposto. O triângulo possui três medianas: M1 (AE) – M2 (BF) – M3 (CD).



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MEDIATRIZ – É a perpendicular tacada pelo ponto médio de um dos lados do triângulo.

CEVIANA – É a reta que partindo do vértice, corta o lado oposto em qualquer ponto.

BISSETRIZ – É o segmento de reta que divide o ângulo em duas partes iguais.



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CATETO – É qualquer dos dois lados perpendiculares de um triângulo retângulo. HIPOTENUSA – Lado oposto ao ângulo reto. Na figura, reta BC é a Hipotenusa.

CIRCUNSCENTRO – Quando determinamos as medianas de um triângulo, estas se encontram num ponto que eqüidistam dos três vértices. Este ponto chama-se CIRCUNSCENTRO, e é nele que se faz centro para inscrever um triângulo.



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INCENTRO – As Bissetrizes de um triângulo se cortam sobre um ponto que é eqüidistante dos lados. Este ponto é o INCENTRO e serve para circunscrever os triângulos.

ORTOCENTRO – É o encontro das três alturas.

BARICENTRO – É o encontro das três MEDIANAS de um triângulo.



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PERÍMETRO – É a soma dos lados de um triângulo. Ex: AB+BC+AC

4.3 FORMAS TRIANGULARES Triângulo Equilátero Como Executar: - Traçar a base AB = a 5 cm Abertura do compasso = AB, centro em A, descrever um arco. Com a mesma abertura, centro em B, traçar outro arco que cortará o primeiro no ponto C. - Unindo os pontos ABC, teremos o triângulo eqüilátero. - Pelo vértice C, baixar uma perpendicular a AB (altura do triângulo). Traçar mais duas perpendiculares aos outros lados do triângulo, determinando mais duas alturas. - No encontro das alturas teremos o ORTOCENTRO, ponto G. - Unir os pontos DEF, para definir o triângulo ÓRTICO. - Cotar o desenho e hachurar o triângulo ÓRTICO.



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Triângulo Isósceles Como Executar: - Traçar a base AB= 5,5cm - Pelo ponto médio de AB levantar uma perpendicular, CD=5,0 cm - Unir os pontos ABC, determinando o triângulo ISÓSCELES. - Determinar as bissetrizes dos ângulos A e B; - No encontro das bissetrizes, teremos o INCENTRO “G”; - Pelo ponto G, traçar duas perpendiculares aos lados BC e AC; - Centro em G, raio = GD,GF ou GE, inscrever a circunferência no triângulo - Cotar e hachurar a circunferência inscrita.



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Triângulo Escaleno Como Executar: - Traçar a base AB=5,5cm - Pela extremidade A, traçar uma linha inclinada AC com 75º (30+45º) usar os esquadros. - Unindo os pontos, teremos o triângulo escaleno ABC. - Traçar a mediatriz de BC, centro em B, abertura maior que a meta de BC, descrever dois arcos. Com a mesma abertura, centro em C, traçar outros arcos que interceptarão os outros arcos já traçados. Unir os dois arcos, determinando, assim a MEDIATRIZ. - Determinar a mediatriz do lado AC; - No encontro das mediatrizes, teremos o ponto D, que é o CIRCUNSCENTRO do triangulo; - Centro em D, raios DA, circunscrever a circunferência no triângulo; - Cotar e hachurar o desenho.



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Triângulo Retângulo Como Executar: - Traçar a base AB = 5,5cm - Pela extremidade B, levantar uma perpendicular com 5 cm. - Unir os pontos ABC, triângulo Retângulo. - Traçar a mediana de BC. Determinar o ponto médio de BC (ponto D). Unindo os pontos AD, teremos a mediana pedida; - Traçar a mediana dos lados AB e AC; - No encontro das medianas teremos o BARICENTRO; - Traçar um triângulo semelhante ao triângulo original. Determinar nas linhas AD, BE e CF, pontos que devem ficar a 1/3 dos vértices do triângulo original. - Unindo os pontos HIJ, termos um triângulo semelhante ao primeiro. - Cotar, hachurar e dar o acabamento final.



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4.4 FORMAS PARALELOGRÂMICAS Desenho do Retângulo Como Executar: - Traçar um quadrado ABCD. Lado = 5 cm. - Traçar a diagonal AC; - Centro em A, raio AC, descrever um arco que cortará o prolongamento de AB, no ponto E; - Levantar uma perpendicular pelo ponto E. EF = 5 cm - Unindo os pontos AEFD, teremos o RETÂNGULO HARMÔNICO. Observe que AE= AC. A diagonal d=L raiz quadrada onde d=5 vezes 1,41 onde d=7,05cm. - Determinar o Apótema do quadrado ABCD. Pelo ponto médio de BC, traçar uma perpendicular que cortará a diagonal d, no ponto H.O segmento GH é o APÓTEMA. - Cotar o desenho



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Desenho do Rombóide Como Executar: - Traçar a base AB = 7 cm - Pelas extremidades A e B, traçar linhas inclinadas com 75º. - Unir os pontos ABCD - Traçar as diagonais AC E BD do ROMBÒIDE - Determinar a altura EF - Cotar e anotar os ângulos.



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Desenho do Losango Como Executar: - Traçar as diagonais AC e BD - Unindo os pontos ABCD, teremos o LOSANGO pedido; - Anotar os ângulos - Cotar o desenho



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Trapézio Retângulo Como Executar: - Traçar a base maior AB=5,5cm; - Pela extremidade A, levantar uma perpendicular AD=5cm; - Pelo ponto D, traçar uma paralela a AB,marcando a base menor, CD=3cm - Unir os pontos ABCD, determinando o TRAPÉZIO RETÂNGULO - Traçar as diagonais AC e BD; - Traçar a base média; - Cotar o desenho; - Fazer as anotações.



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Trapézio Isósceles Como Executar: - Traçar a base AB = 5,5cm - Pelo ponto médio de AB, levantar uma perpendicular; - Pela extremidade da altura, traçar a base menor CD = 3 cm, paralela à base AB. - Unindo os pontos ABCD, teremos o TRAPÉZIO ISÓSCELES. - Traçar as diagonais AC e BD; - Traçar a base média (metade da altura); - No encontro das diagonais com a base média, teremos os pontos GH; - EF = AB + CD dividido por 2 e GH = AB - CD dividido por 2; - Cotar o desenho; - Fazer as anotações



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4.5 FORMAS IRREGULARES Forma Dodecagonal Como Executar: - Traçar a Base AB =5 cm - Levantar uma perpendicular pela extremidade, com 5 cm - Traçar uma paralela à base =5 cm - Definir a forma dodecagonal; - Cotar o desenho - Hachurar - Fazer as anotações



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Forma Octogonal Como Executar: - Traçar a base com 2 cm - Levantar perpendiculares pelas extremidades; - Definir a forma OCTOGONAL; - Cotar o desenho; - Hachurar - Fazer anotações



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4.6 POLÍGONO É uma porção de superfície plana limitada por segmentos unidos sucessivamente pelas suas extremidades.

LADOS Chamam-se LADOS de um POLÍGONO as linhas equivalentes retas ou curvas quecontornam a referida figura. Na figura, temos dois polígonos quaisquer, cujos lados são: AB; BC; CD; DE; EA; - AB;BC;CD;DE;EF;FA.



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VÉRTICE São os pontos de interseção de dois lados consecutivos. Na figura, temos os seguintes vértices: A;B;C;D;E –A;B;C;D;E ÂNGULOS É a abertura dos lados.

POLÍGONOS QUANTO DIMENSÕES DOS LADOS Os polígonos quanto às dimensões dos lados podem ser: regular; irregular; estrelado.



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4.6.1 POLIGONOS REGULARES Diz-se que um polígono é regular quando possui todos os lados e ângulos iguais. Observe nafigura que todos os lados e todos os ângulos são iguais.

4.6.2 POLIGONOS IRREGULARES O polígono é considerado irregular quando os seus lados e os seus ângulos são diferentes. Estes polígonos irregulares podem ser: CÔNCAVO ou CONVEXO. 4.6.2.1 POLIGONO IRREGULAR CONVEXO O polígono é convexo quando qualquer dos seus lados prolongados não cortam os lados desse polígono em outro ponto, ou, quando seccionado por uma linha qualquer corta o polígono em dois pontos. 4.6.2.2 POLIGONO IRREGULAR CÔNCAVO Diz-se que um polígono é côncavo, quando um dos seus lados prolongados corta o polígono emmais de dois pontos, ou, quando seccionado por uma reta qualquer corta este polígono em mais de dois pontos.



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4.6.2.3 POLIGONO ESTRELADO É o polígono entrelaçado em que cada lado corta o mesmo número de lados não consecutivos

4.6.2.4 POLÍGONOS QUANTO AOS ÂNGULOS

Os polígonos de acordo com o número de ângulos recebem denominações especiais. - TRIÂNGULO – 3 ângulos - QUADRILÁTEROS – 4 ângulos - PENTÁGONOS – 5 ângulos - HEXÁGONOS – 6 ângulos - HEPTÁGONO – 7 ângulos - OCTÓGONOS – 8 ângulos - ENEÁGONO – 9 ângulos - DECÁGONO – 10 ângulos - UNDECÁGONO – 11 ângulos - DODECÁGONO – 12 ângulos - PENTADECÁGONO – 15 ângulos - ICOSÁGONO – 20 ângulos Observação: Quando um polígono apresenta um número de ângulos diferentes dos relacionados acima,este polígono receberá o número correspondente aos lados acompanhado da palavra lado. 4.7 CIRCULO.

Para se desenhar uma circunferência, costuma-se utilizar-se um instrumento chamado compasso:

Outros elementos importantes da circunferência:

http://images.google.com.br/imgres?imgurl=http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b4/Compass_(drafting).jpg/180px-Compass_(drafting).jpg&imgrefurl=http://pt.wikipedia.org/wiki/Compasso_(geometria)&h=240&w=180&sz=15&hl=pt-BR&start=2&tbnid=Qu0ttgWEJjJP7M:&tbnh=110&tbnw=83&prev=/images?q=compasso&gbv=2&svnum=10&hl



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4.7.1 RAIO(r) : é o segmento que une o centro a qualquer ponto da circunferência.

4.7.2 CORDA: é um segmento que une dois pontos quaisquer da circunferência.

4.7.3 DIÂMETRO(d): é uma corda que passa pelo centro. Pode-se observar que o diâmetro é igual a dois raios, ou seja, d = 2.r

Quando se considera o interior da circunferência, e não apenas seu contorno, tem-se um círculo.

4.7.4 TANGÊNCIA E CONCORDÂNCIA tangência entre reta e circunferência: a reta tangente a um arco de circunferência sempre vai ser perpendicular ao raio do arco, no ponto de tangência



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exercício de concordância: desenhar um arco de circunferência que concorde com a reta r no ponto t e passe pelo ponto p.

tangentes a uma circunferência por um ponto exterior pelo ponto p, desenhar retas tangentes à circunferência.



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RETAS TANGENTES A DUAS CIRCUNFERÊNCIAS



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T2T4 é a outra tangente as duas circunferência.



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T2T4 é a outra tangente as duas circunferências.



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4.8 CÁLCULO DE ÁREA

Aproveitando uma promoção de uma loja de materiais para construção, uma família resolve trocar o piso da sala de sua residência. Sabem que a sala mede 4 metros de largura e possui um comprimento de 5,5 metros. Sabem também que o ladrilho desejado é quadrado, com 25 cm de lado. Quantos ladrilhos serão necessários para ladrilhar o piso da sala inteira?

http://www.matematicadidatica.com.br/GeometriaCalculoAreaFigurasPlanas.aspx#anchor_prob1







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Área é a denominação dada à medida de uma superfície. Na situação acima estamos nos referindo às áreas da sala e do ladrilho. Partindo-se deste princípio, o nosso problema se resume ao cálculo da razão entre as áreas da sala e do ladrilho. Para que você saiba solucionar, dentre outros, o problema acima, vamos então nos atentar ao método de cálculo da área das figuras geométricas planas mais comuns. De qualquer forma, no final da página você encontra a resolução detalhada do problema acima.

4.8.1 CÁLCULO DA ÁREA DO TRIÂNGULO

Denominamos de triângulo a um polígono de três lados. Observe a figura ao lado. A letra h representa a medida da altura do triângulo, assim como letra b representa a medida da sua base. A área do triângulo será metade do produto do valor da medida da base, pelo valor da medida da altura, tal como na fórmula abaixo:

A letra S representa a área ou superfície do triângulo.

Onde l representa a medida dos lados do triângulo. No caso do triângulo equilátero, que possui os três ângulos internos iguais, assim como os seus três lados, podemos utilizar a seguinte fórmula:

Exemplos

A medida da base de um triângulo é de 7 cm, visto que a medida da sua altura é de 3,5 cm, qual é a área deste triângulo? Do enunciado temos:

Utilizando a fórmula:

http://www.matematicadidatica.com.br/Razao.aspx





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A área deste triângulo é 12,25 cm2. Os lados de um triângulo equilátero medem 5 mm. Qual é a área deste triângulo equilátero? Segundo o enunciado temos:

Substituindo na fórmula: A área deste triângulo equilátero é de aproximadamente 10,8 mm2. 4.8.2 CÁLCULO DA ÁREA DO PARALELOGRAMO

Um quadrilátero cujos lados opostos são iguais e paralelos é denominadoparalelogramo. Com h representando a medida da sua altura e com b representando a medida da sua base, a área do paralelogramo pode ser obtida multiplicando-se b por h, tal como na fórmula abaixo:

Exemplos A medida da base de um paralelogramo é de 5,2 dm, sendo que a medida da altura é de 1,5 dm. Qual é a área deste polígono? Segundo o enunciado temos:

Substituindo na fórmula:

A área deste polígono é 7,8 dm2. Qual é a medida da área de um paralelogramo cujas medidas da altura e da base são respectivamente 10 cm e 2 dm? Sabemos que 2 dm equivalem a 20 cm, temos:

Substituindo na fórmula:

A medida da área deste paralelogramo é 200 cm2 ou 2 dm2.



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4.8.3 CÁLCULO DA ÁREA DO LOSANGO

O losango é um tipo particular de paralelogramo. Neste caso além dos lados opostos serem paralelos, todos os quatro lados são iguais. Se você dispuser do valor das medidas h e b, você poderá utilizar a fórmula do paralelogramo para obter a área do losango. Outra característica do losango é que as suas diagonais são perpendiculares.

Observe na figura à direita, que a partir das diagonais podemos dividir o losango em quatro triângulos iguais. Consideremos a base b como a metade da diagonal d1 e a altura h como a metade da diagonal d2, para calcularmos a área de um destes quatro triângulos. Bastará então que a multipliquemos por 4, para obtermos a área do losango. Vejamos:

Realizando as devidas simplificações chegaremos à fórmula:

Exemplos

As diagonais de um losango medem 10 cm e 15 cm. Qual é a medida da sua superfície? Para o cálculo da superfície utilizaremos a fórmula que envolve as diagonais, cujos valores temos abaixo:

Utilizando na fórmula temos: A medida da superfície deste losango é de 75 cm2 Qual é a medida da área de um losango cuja base mede 12 cm e cuja altura seja de 9 cm? Neste caso, para o cálculo da área utilizaremos a fórmula do paralelogramo, onde utilizamos a base e a altura da figura geométrica, cujos valores temos abaixo:



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Segundo a fórmula temos:

A medida da área do losango é de 108 cm2. 4.8.4 CÁLCULO DA ÁREA DO QUADRADO

Todo quadrado é também um losango, mas nem todo losango vem a ser um quadrado, do mesmo modo que todo quadrado é um retângulo, mas nem todo retângulo é um quadrado. O quadrado é um losango, que além de possuir quatro lados iguais, com diagonais perpendiculares, ainda possui todos os seus ângulos internos iguais a 90°. Observe ainda que além de perpendiculares, as diagonais também são iguais. Por ser o quadrado um losango e por ser o losango um paralelogramo, podemos utilizar para o cálculo da área do quadrado, as mesmas fórmulas utilizadas para o cálculo da área tanto do losango, quanto do paralelogramo.

Quando dispomos da medida do lado do quadrado, podemos utilizar a fórmula do paralelogramo:

Como h e b possuem a mesma medida, podemos substituí-las por l, ficando a fórmula então como sendo:

Quando dispomos da medida das diagonais do quadrado, podemos utilizar a fórmula do losango:

Como ambas as diagonais são idênticas, podemos substituí-las por d, simplificando a fórmula para:

Exemplos

A lateral da tampa quadrada de uma caixa mede 17 cm. Qual a superfície desta tampa?



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Do enunciado temos que a variável l é igual a 17:

Substituindo na fórmula temos:

Portanto a superfície da tampa desta caixa é de 289 cm2. A medida do lado de um quadrado é de 20 cm. Qual é a sua área? Como o lado mede 20 cm, temos:

Substituindo na fórmula temos:

A área do quadrado é de 400 cm2. A área de um quadrado é igual a 196 cm2. Qual a medida do lado deste quadrado? Temos que S é igual a 196.

Utilizando a fórmula temos:

Como a medida do lado não pode ser negativa, temos que o lado do quadrado mede 14 cm. Cálculo da Área do Retângulo

Por definição o retângulo é um quadrilátero equiângulo (todo os seus ângulos internos são iguais), cujos lados opostos são iguais. Se todos os seus quatro lados forem iguais, teremos um tipo especial de retângulo, chamado de quadrado. Por ser o retângulo um paralelogramo, o cálculo da sua área é realizado da mesma forma. Se denominarmos as medidas dos lados de um retângulo como na figura ao lado, teremos a seguinte fórmula:

Exemplos Um terreno mede 5 metros de largura por 25 metros de comprimento. Qual é a área deste terreno? Atribuindo 5 à variável h e 25 à variável b temos:

Utilizando a fórmula:



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A área deste terreno é de 125 m2. A tampa de uma caixa de sapatos tem as dimensões 30 cm por 15 cm. Qual a área desta tampa? Podemos atribuir 15 à variável h e 30 à variável b:

Ao substituirmos as variáveis na fórmula teremos:

Portanto a área da tampa da caixa de sapatos é de 450 cm2. 4.8.5 CÁLCULO DA ÁREA DO CÍRCULO

A divisão do perímetro de uma circunferência, pelo seu diâmetro resultará sempre no mesmo valor, qualquer que seja circunferência. Este valor irracional constante é representado pela letra grega minúscula pi, grafada como:

Por ser um número irracional, o número pi possui infinitas casas decimais. Para cálculos corriqueiros, podemos utilizar o valor 3,14159265. Para cálculos com menos precisão, podemos utilizar 3,1416, ou até mesmo 3,14. O perímetro de uma circunferência é obtido através da fórmula:

O cálculo da área do círculo é realizado segundo a fórmula abaixo:

Onde r representa o raio do círculo.

Exemplos

A lente de uma lupa tem 10 cm de diâmetro. Qual é a área da lente desta lupa? Como informado no enunciado, o diâmetro da circunferência da lupa é igual a 10 cm, o que nos leva a concluir que o seu raio é igual a 5 cm, que corresponde à metade deste valor:

Substituindo-o na fórmula: A área da lente da lupa é de 78,54 cm2. Um círculo tem raio de 8,52 mm. Quantos milímetros quadrados ele possui de superfície? Do enunciado, temos que o valor do raio r é:

Ao substituirmos valor de r na fórmula teremos:



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A superfície do círculo é de 228,05 mm2. 4.8.6 CÁLCULO DA ÁREA DE SETORES CIRCULARES

O cálculo da área de um setor circular pode ser realizado calculando-se a área total do círculo e depois se montando uma regra de três, onde a área total do círculo estará para 360°, assim como a área do setor estará para o número de graus do setor. Sendo S a área total do círculo, Sα a área do setor circular e α o seu número de graus, temos:

Em radianos temos:

A partir destas sentenças podemos chegar a esta fórmula em graus:

E a esta outra em radianos:

Onde r representa o raio do círculo referente ao setor e α é o ângulo também referente ao setor.

Exemplos Qual é a área de um setor circular com ângulo de 30° e raio de 12 cm? Aplicando a fórmula em graus temos: A área do setor circular é de 37,6992 cm2. Qual é a superfície de um setor circular com ângulo de 0,5 rad e raio de 8 mm? Aplicando a fórmula em radianos temos:

A superfície do setor circular é de 16 mm2. 4.8.7 CÁLCULO DA ÁREA DE COROAS CIRCULARES



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O cálculo da área de uma coroa circular pode ser realizado calculando-se a área total do círculo e subtraindo-se desta, a área do círculo inscrito. Podemos também utilizar a seguinte fórmula:

Onde R representa o raio do círculo e r representa o raio do círculo inscrito.

Exemplos

Qual é a área de uma coroa circular com raio de 20 cm e largura de 5 cm? Se a largura é de 5 cm, significa que r = 20 - 5 = 15, substituindo na fórmula temos: A área da coroa circular é de 549,78 cm2. Qual é a superfície de uma coroa circular com r = 17 e R = 34? Aplicando a fórmula em temos: A superfície desta coroa circular é 2723,7672.

Resolução Detalhada do Problema no Começo da Página Para resolvermos tal problema, primeiramente vamos calcular a área da sala. Para podermos utilizar a fórmula do cálculo da área de um retângulo, vamos atribuir os 4 m da largura à letra h e os 5,5 m do comprimento à letra b:

Resolvendo através da fórmula:

Agora que sabemos que a sala tem uma área de 22 m2, precisamos conhecer a área do ladrilho. Como o ladrilho é quadrado, precisamos calcular a área de um quadrado, só que devemos trabalhar em metros e não em centímetros, pois a área da sala foi calculada utilizando-se medidas em metros e não medidas em centímetros. Poderíamos ter convertido as medidas da sala em centímetros, para trabalharmos apenas com centímetros. O importante é que utilizemos sempre a mesma unidade (múltiplo/submúltiplo). A transformação de 25 cm em metros é realizada dividindo-se tal medida por 100:

Então a medida dos lados dos ladrilhos é de 0,25 m. Se tiver dúvidas sobre como realizar tal conversão, por favor acesse a página que trata sobre as unidades de medidas, lá você encontrará várias informações sobre este assunto, incluindo vários exemplos e um link para uma calculadora sobre o tema. Voltando ao problema, como o ladrilho é quadrado, a área do ladrilho com lado l = 0,25 é igual a:

http://www.matematicadidatica.com.br/SistemasMedida.aspx

http://www.matematicadidatica.com.br/CalculadoraConversaoUnidadesMedida.aspx



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Como dito no começo da página, a resolução do problema se resume ao cálculo da razão entre a área da sala e a área do ladrilho. Como a sala tem uma área de 22 m2 e o ladrilho de 0,0625 m2, temos a seguinte razão:

Ou seja, para ladrilhar o piso da sala inteira serão necessários ladrilhos 35 4.8.8 MEDIÇÃO DE ÂNGULO Todo circulo é dividido em 360 partes iguais, cada uma das quais se chama GRAU. Um Graué 1/360 de um circulo completo, qualquer que seja o circulo grande ou pequeno, visto que um grau é amedida de abertura e não depende do raio do circulo. Qualquer ângulo pode ser medido. Para sedeterminar a medida de um ângulo basta coincidir o centro do TRANSFERIDOR no vértice do ângulo, e ler no LIMBO quantos graus marcados pelos lados dos ângulos. Se estes lados forem curtos, eles serão prolongados, pois já sabemos que o tamanho dos lados de um ângulo não altera na sua abertura. O Grau é a unidade para se expressar a medida dos ângulos. O GRAU está dividido em 60vpartes denominadas MINUTOS, o minuto está dividido em 60 SEGUNDOS, portanto, um ângulo que não contenha um número completo de graus poderá ser expresso em graus e partes fracionárias do GRAU. Para representar GRAUS, MINUTOS e SEGUNDOS existem símbolos convencionais. GRAU (o), MINUTO („), SEGUNDO (“). Ex: 40º 30‟ 30”. Quarenta graus trinta minutos e trinta segundos.

É a soma dos comprimentos dos lados de um POLÍGONO.

http://www.matematicadidatica.com.br/Razao.aspx



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5 GEOMETRIA ESPACIAL

A Geometria espacial (euclidiana) funciona como uma ampliação da Geometria plana (euclidiana) e trata dos métodos apropriados para o estudo de objetos espaciais assim como a relação entre esses elementos. Os objetos primitivos do ponto de vista espacial, são: pontos, retas, segmentos de retas, planos, curvas, ângulos e superfícies. Os principais tipos de cálculos que podemos realizar são: comprimentos de curvas, áreas de superfícies e volumes de regiões sólidas. Tomaremos ponto e reta como conceitos primitivos, os quais serão aceitos sem definição.

5.1 CONCEITOS GERAIS

Um plano é um subconjunto do espaço R3 de tal modo que quaisquer dois pontos desse conjunto pode ser ligado por um segmento de reta inteiramente contido no conjunto.

Um plano no espaço R3 pode ser determinado por qualquer uma das situações:

Três pontos não colineares (não pertencentes à mesma reta); Um ponto e uma reta que não contem o ponto; Um ponto e um segmento de reta que não contem o ponto; Duas retas paralelas que não se sobrepõe; Dois segmentos de reta paralelos que não se sobrepõe; Duas retas concorrentes; Dois segmentos de reta concorrentes.

Duas retas (segmentos de reta) no espaço R3 podem ser: paralelas, concorrentes ou reversas.

Duas retas são ditas reversas quando uma não tem interseção com a outra e elas não são paralelas. Pode-se pensar de uma rera r desenhada no chão de uma casa e uma reta s desenhada no teto dessa mesma casa.

Uma reta é perpendicular a um plano no espaço R3, se ela intersecta o plano em um ponto P e todo segmento de reta contido no plano que tem P como uma de suas extremidades é perpendicular à reta.



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Uma reta r é paralela a um plano no espaço R3, se existe uma reta s inteiramente contida no plano que é paralela à reta dada.

Seja P um ponto localizado fora de um plano. A distância do ponto ao plano é a medida do segmento de reta perpendicular ao plano em que uma extremidade é o ponto P e a outra extremidade é o ponto que é a interseção entre o plano e o segmento. Se o ponto P estiver no plano, a distância é nula.

Planos concorrentes no espaço R3 são planos cuja interseção é uma reta. Planos paralelos no espaço R3 são planos que não tem interseção.

Quando dois planos são concorrentes, dizemos que tais planos formam um diedro e o ângulo formado entre estes dois planos é denominado ângulo diedral. Para obter este ângulo diedral, basta tomar o ângulo formado por quaisquer duas retas perpendiculares aos planos concorrentes.

Planos normais são aqueles cujo ângulo diedral é um ângulo reto (90 graus).

5.2 AS LINHAS NOS DESENHOS TÉCNICOS Quando desenhamos apenas pela vontade ou pelo prazer de expressar o que estamos pensando ou sentindo, traços contínuos ou uma só dimensão e combinações de linhas estão sempre presentes. Nesse caso, elas são inteiramente livres, ou seja, costumam fl utuar nas superfícies, porque são guiadas tão somente por nosso sentimento. Na construção de desenho técnico, no entanto, essa liberdade é relativa, pois as linhas devemobedecer a normas e convenções, que determinam sua utilização em três espessuras: grossa, média e fi na. O quadro a seguir apresenta as situações em que se aplica cada uma dessas espessuras.



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A figura mostra o uso dos diferentes tipos de linha apresentados no quadro, através de um desenho técnico de um móvel



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5.3 PROJEÇÕES ORTOGONAIS Ângulos Diedros A representação de objetos tridimensionais por meio de desenhos bidimensionais, utilizando projeções ortogonais, foi idealizada por Gaspar Monge no século XVIII. O sistema de representação criado por Gaspar Monge é denominado Geometria Descritiva. Considerando os planos vertical e horizontal prolongados além de suas interseções, como mostra a Figura 3.1, dividiremos o espaço em quatro ângulos diedros (que tem duas faces). Os quatros ângulos são numerados no sentido anti-horário, e denominados 1º, 2º, 3º, e 4º Diedros.

Utilizando os princípios da Geometria Descritiva, pode-se, mediante figuras planas, representar formas espaciais utilizando os rebatimentos de qualquer um dos quatro diedros. Entretanto, para viabilizar o desenvolvimento industrial e facilitar o exercício da engenharia, foi necessário normalizar uma linguagem que, a nível internacional, simplifica o intercâmbio de informações tecnológicas. Assim, a partir dos princípios da Geometria Descritiva, as normas de Desenho Técnico fixaram a utilização das projeções ortogonais somente pelos 1º e 3º diedros, criando pelas normas internacionais dois sistemas para representação de peças: • sistema de projeções ortogonais pelo 1º diedro • sistema de projeções ortogonais pelo 3º diedro O uso de um ou do outro sistema dependerá das normas adotadas por cada país. Por exemplo, nos Estados Unidos da América (USA) é mais difundido o uso do 3º diedro; nos países europeus é mais difundido o uso do 1º diedro. No Brasil é mais utilizado o 1º diedro, porém, nas indústrias oriundas dos USA, da Inglaterra e do Japão, poderão aparecer desenhos representados no 3º diedro. Como as normas internacionais convencionaram, para o desenho técnico, o uso dos 1º e 3º diedros é importante a familiarização com os dois sistemas de



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representação. A interpretação errônea de um desenho técnico poderá causar grandes prejuízos.

5.4 PLANOS DE PROJEÇÃO

As projeções feitas em qualquer plano do 1º diedro seguem um princípio básico que determina que o objeto a ser representado deverá estar entre o observador e o plano de projeção, conforme mostra a figura abaixo:

A partir daí, considerando o objeto imóvel no espaço, o observador pode vê- lo por seis direções diferentes, obtendo seis vistas da peça.

A figura a seguir mostra a peça circundada pelos seis planos principais, que posteriormente são rebatidos de modo a se transformarem em um único plano.

Cada face se movimenta 90º em relação à outra.



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A projeção que aparece no plano 1(Plano vertical de origem do 1º diedro) é sempre chamada de vista de frente.

Em relação à posição da vista de frente, aplicando o princípio básico do 1º diedro, nos outros planos de projeção resultam nas seguintes vistas:

• Plano 1 – Vista de Frente ou Elevação – mostra a projeção frontal do objeto.

• Plano 2 – Vista Superior ou Planta – mostra a projeção do objeto visto por cima.

• Plano 3 – Vista Lateral Esquerda ou Perfil – mostra o objeto visto pelo lado esquerdo.

• Plano 4 – Vista Lateral Direita – mostra o objeto visto pelo lado direito.

• Plano 5 – Vista Inferior – mostra o objeto sendo visto pelo lado de baixo.

• Plano 6 – Vista Posterior – mostra o objeto sendo visto por trás.

A padronização dos sentidos de rebatimentos dos planos de projeção garante que no 1º diedro as vistas sempre terão as mesmas posições relativas.

Ou seja, os rebatimentos normalizados para o 1º diedro mantêm,em relação à vista de frente, as seguintes posições:

• a vista de cima fica em baixo; • a vista de baixo fica em cima;

• a vista da esquerda fica à direita;

• a vista da direita fica à esquerda.

Talvez o entendimento fique mais simples, raciocinando-se com o tombamento do objeto.



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O resultado será o mesmo se for dado ao objeto o mesmo rebatimento dado aos planos de projeção.

A figura abaixo mostra as 6 vistas de uma peça no 1º diedro.

Observe que não são colocados os nomes das vistas, bem como não aparecem as linhas de limite dos planos de projeções.

É importante olhar para o desenho sabendo que as vistas, apesar de serem desenhos bidimensionais, representam o mesmo objeto visto por diversas posições.

Com a consciência de que em cada vista existe uma terceira dimensão escondida pela projeção ortogonal; partindo da posição definida pela vista de frente e sabendo a disposição final convencionada para as outras vistas, é possível entender os tombos (rebatimentos) efetuados no objeto.

Outra conseqüência da forma normalizada para obtenção das vistas principais do 1º diedro é que as vistas são alinhadas horizontalmente e verticalmente.



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Para facilitar a elaboração de esboços, como as distâncias entre as vistas devem ser visualmente iguais, pode-se relacionar as dimensões do objeto nas diversas vistas, conforme mostra a figura.

• Verticalmente relacionam se as dimensões de comprimento, • Horizontalmente relacionam-se as dimensões de altura,

• Os arcos transferem as dimensões de largura.

Exemplo:

Exercícios

Desenhar as 6 vistas principais das peças abaixo no 1º diedro:

Dificilmente será necessário fazer seis vistas para representar qualquer objeto.

Porém, quaisquer que sejam as vistas utilizadas, as suas posições relativas obedecerão às disposições definidas pelas vistas principais.



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Na maioria dos casos, o conjunto formado pelas vistas de frente, vista superior e uma das vistas laterais é suficiente para representar, com perfeição, o objeto desenhado.

5.5 ESCOLHA DAS VISTAS

No 1º diedro é mais difundido o uso da vista lateral esquerda, resultando no conjunto preferencial composto pelas vistas de frente, superior e lateral esquerda, que também são chamadas, respectivamente, de elevação, planta e perfil, como mostradas na figura.

Na prática, devido à simplicidade de forma da maioria das peças que compõem as máquinas e equipamentos, são utilizadas somente duas vistas. 19

Escolha das Vistas

Em alguns casos, com auxílio de símbolos convencionais, é possível definir a forma da peça desenhada com uma única vista.

Não importa o número de vistas utilizadas, o que importa é que o desenho fique claro e objetivo.

O desenho de qualquer peça, em hipótese alguma, pode dar margem a dupla interpretação.

O ponto de partida para determinar as vistas necessárias é escolher o lado da peça que será considerado como frente.

Normalmente, considerando a peça em sua posição de trabalho ou de equilíbrio, toma-se como frente o lado que melhor define a forma da peça.

Quando dois lados definem bem a forma da peça, escolhese o de maior comprimento.



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Feita a vista de frente faz-se tantos rebatimentos quantos forem necessários para definir a forma da peça.

Na figura a seguir, considerando como frente a direção indicada, as três vistas preferenciais do 1º diedro são suficientes para representar o objeto.

Observe no conjunto de seis vistas que as outras três vistas, além de apresentarem partes ocultas, são desnecessárias na definição da forma do objeto.

Na figura abaixo, considerando a frente indicada no objeto, o conjunto formado pelas vistas de frente, superior e lateral direita é o que melhor representa a peça.

Na vista lateral esquerda aparecem linhas tracejadas, que devem ser evitadas.



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Quando a vista de frente for uma figura simétrica, conforme mostra a ilustração abaixo, teoricamente poderia utilizar qualquer uma das vistas laterais, porém deve-se utilizar a vista lateral esquerda para compor o conjunto das vistas preferenciais.



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É preciso ter muito cuidado com a escolha das vistas, porque o uso de vistas inadequadas pode levar a soluções desastrosas.

A figura à esquerda mostra que as duas vistas escolhidas podem representar qualquer uma das peças mostradas na figura a direta, se considerarmos os sentidos de observação indicados no paralelepípedo.

Ainda que pareça que o problema está resolvido, a solução pode ser enganosa como é mostrado na imagem.

As duas vistas escolhidas (a) podem corresponder a qualquer uma das quatro peças mostradas na figura a esquerda (b).

As vistas precisam ser escolhidas de modo que o desenho defina fielmente a forma da peça e que, em hipótese nenhuma, dê margem a dupla interpretação.



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Exemplo 1

Exemplo 2:



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Exercícios

Dadas as perspectivas faça o esboço das três vistas que melhor representam as peças:

5.6 PROJEÇÕES PELO 3º DIEDRO

Assim como no 1° diedro, qualquer projeção do 3º diedro também segue um princípio básico.

Para fazer qualquer projeção no 3º diedro, o plano de projeção deverá estar posicionado entre o observador e o objeto, conforme mostra a figura ao lado

O plano de projeção precisa ser transparente (como uma placa de vidro) e o observador, por trás do plano de projeção, puxa as projetantes do objeto para o plano.



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As vistas principais são obtidas em seis planos perpendiculares entre si e paralelos dois a dois, como se fosse uma caixa de vidro e, posteriormente, rebatidos de modo a formarem um único plano.

A figura a seguir mostra os rebatimentos dos planos que compõem a caixa de vidro, onde cada plano se movimenta 90º em relação ao outro.

Da mesma forma que no 1° diedro, a projeção que é representada no plano 1 corresponde ao lado da frente da peça.

Deste modo, considerando o princípio básico e os rebatimentos dados aos planos de projeção, têm-se as seguintes posições relativas das vistas:

• Plano 1 – Vista de Frente – mostra a projeção frontal do objeto.

• Plano 2 – Vista Superior – mostra a projeção do objeto visto por cima.

• Plano 3 – Vista Lateral Direita – mostra o objeto visto pelo lado direito.

• Plano 4 – Vista Lateral Esquerda – mostra o objeto visto pelo lado esquerdo

• Plano 5 – Vista Inferior – mostra o objeto sendo visto pelo lado de baixo.

• Plano 6 – Vista Posterior – mostra o objeto sendo visto por trás.



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A ilustração abaixo mostra as vistas principais resultantes das projeções na caixa de vidro e também os tombamentos que devem ser dados à peça para obter o mesmo resultado.

No 3° diedro as vistas mais utilizadas, que acabam se constituindo nas vistas preferenciais, são o conjunto formado pelas vistas de frente, superior e lateral direita.

A figura a seguir mostra as vistas principais e as vistas preferenciais do 3º diedro.



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Exemplo: analise as projeções das peças abaixo e procure entender os rebatimentos convencionados para o 3° diedro.

Exemplo: analise as projeções das peças abaixo e procure entender os rebatimentos convencionados para o 3° diedro.



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Exercícios

Tome como vistas de frente as direções indicadas e, analisando cuidadosamente os rebatimentos, faça o esboço das seis vistas principais de cada peça dada.

Comparação entre as Projeções dos Diedros.

Visando facilitar o estudo e o entendimento dos dois sistemas de projeções ortogonais, normalizados como linguagem gráfica para o desenho técnico, serão realçadas as diferenças e as coincidências existentes entre o 1º e o 3º diedros a seguir.

Quanto à vista de Frente

• Tanto no 1° como no 3° diedro, deve-se escolher como frente o lado que melhor representa a forma da peça, respeitando sua posição de trabalho ou de equilíbrio.

Quanto às Posições relativas das vistas

• A figura do próximo slide mostra as vistas principais do 1° e do 3° diedros. Para facilitar a comparação, nos dois casos, a vista de frente corresponde ao mesmo lado do objeto.

• Como é mantida a mesma frente, conseqüentemente, todas as outras vistas são iguais, modificando somente as suas posições relativas.



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Comparação entre as Projeções dos Diedros


As figuras abaixo fazem a comparação dos sentidos dos rebatimentos dos planos de projeções.



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As figuras abaixo fazem a comparação dos sentidos dos tombamentos do objeto.

Observe que no 1º diedro, olha-se a peça por um lado e desenha-se o que se está vendo do outro lado, enquanto no terceiro diedro, o que se está vendo é desenhado no próprio lado donde se está olhando a peça.



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Não se pode esquecer que cada projeção ortogonal representa o objeto em uma determinada posição e, assim sendo, no 1º diedro qualquer projeção ortogonal corresponde àquilo que é visto pelo outro lado da projeção que estiver ao seu lado.

Da mesma forma, no 3º diedro qualquer projeção ortogonal corresponde àquilo que é visto na direção da projeção que estiver ao seu lado.

Vistas superior e inferior:

VISTAS LATERAIS:



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.

Exemplo: A Figura mostra as vistas principais no 1° e no 3° diedros obtidas a partir da mesma vista de frente (direção indicada na perspectiva).

De acordo com as normas internacionais, na execução de desenhos técnicos, pode-se utilizar tanto o 1º como o 3° diedros.



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Para facilitar a interpretação do desenho é recomendado que se faça a indicação do diedro utilizado na representação.

A indicação pode ser feita escrevendo o nome do diedro utilizado, como mostrado no próximo slide ou utilizando os símbolos abaixo:




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Exemplos

No desenho seguinte são dadas as vistas principais no 1º e no 3º diedros.

Analise as projeções das superfícies que compõem a peça procurando entender os seus rebatimentos.

Exemplos



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Exemplos

Os desenhos seguintes mostram as três vistas que melhor representam a peça (conjunto de vistas que têm o menor número possível de arestas invisíveis), mantendo a mesma vista de frente tanto no 1º como no 3º diedros.

Observe que, para manter a mesma vista de frente nos dois diedros, foi necessário fugir das vistas preferenciais em um deles.



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Ou seja, aplicando o princípio básico em seis planos circundando a peça, obtemos, de acordo com as normas internacionais, as vistas principais no 1º diedro.

Para serem denominadas vistas principais, as projeções têm de ser obtidas em planos perpendiculares entre si e paralelos dois a dois, formando uma caixa.



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6 REPRESENTAÇÃO DE COTAGEM Para cada tipo de cotagem, também existem convenções específicas. Vejamos, a seguir, alguns exemplos. Círculos grandes

Círculos pequenos

Peças cilíndricas



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Raios pequenos

Raios médios

Seção quadrada



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Furo quadrado

Peças esféricas

Ângulos



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Peças simétricas

Espaços reduzidos



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Peça com furos



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7 PROPORÇÕES E DIMENSÕES É fundamental que um móvel ou qualquer outra peça a ser construída seja funcional, ofereça conforto e, sobretudo, atenda as fi nalidades a que se destina. Por isso, as informações do tipo“proporções” e “dimensões” são importantes e devem constar no desenho técnico, de acordo com as normas e convenções estabelecidas na área da marcenaria, conforme veremos nos exemplos a seguir.

Peças simétricas (meia vista) Pode-se desenhar somente um dos lados de uma peça simétrica, no qual a linhade eixo indicará a simetria. Pode-se usar esta representação para uma peça com dois lados iguais (desenhando a metade) e quatro lados iguais (desenhando a quarta parte), conforme figuras abaixo.



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8 LEGENDA A legenda não informa somente detalhes do desenho, mas também o nome da empresa, dos projetistas, data, logomarca, arquivo, etc. É na legenda que o projetista assina seu projeto e marca revisões. Em folhas grandes, quando se dobra o desenho, a legenda sempre deve estar visível, para facilitar a procura em arquivo sem necessidade de desdobrá-lo. Figura

9 ESCALA DO DESENHO Sua função é reduzir ou ampliar o dimensionamento do móvel, devendo ser indicada na legenda ou no detalhe, quando o último não for desenhado em escala natural. Vejamos a seguir os tipos de escala utilizados e alguns exemplos de sua aplicação: • Escala natural: 1:1 • Escala de redução: 1:2, 1:2,5, 1:5, 1:10, 1:20, 1:25, 1:50, 1:100 • Escala de ampliação: 2:1, 5:1, 10:11



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Escala natural 1:1

Escala de redução 1:2

Escala de ampliação 2:1



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10 A ORIGEM DO DESENHO TÉCNICO A representação de objetos tridimensionais em superfícies bidimensionais evoluiu gradualmente através dos tempos. Conforme histórico feito por HOELSCHER, SPRINGER E DOBROVOLNY (1978) um dos exemplos mais antigos do uso de planta e elevação está incluído no álbum de desenhos na Livraria do Vaticano desenhado por Giuliano de Sangalo no ano de 1490. No século XVII, por patriotismo e visando facilitar as construções de fortificações, o matemático francês Gaspar Monge, que além de sábio era dotado de extraordinária habilidade como desenhista, criou, utilizando projeções ortogonais, um sistema com correspondência biunívoca entre os elementos do plano e do espaço. O sistema criado por Gaspar Monge, publicado em 1795 com o título “Geometrie Descriptive” é a base da linguagem utilizada pelo Desenho Técnico. No século XIX, com a explosão mundial do desenvolvimento industrial, foi necessário normalizar a forma de utilização da Geometria Descritiva para transformá-la numa linguagem gráfica que, a nível internacional, simplificasse a comunicação e viabilizasse o intercâmbio de informações tecnológicas. Desta forma, a Comissão Técnica TC 10 da International Organization for Standardization – ISO normalizou a forma de utilização da Geometria Descritiva como linguagem gráfica da engenharia e da arquitetura, chamando-a de Desenho Técnico. Nos dias de hoje a expressão “desenho técnico” representa todos os tipos de desenhos utilizados pela engenharia incorporando também os desenhos não- projetivos (gráficos, diagramas, fluxogramas etc.). 10.1 NORMAS São guias para a padronização de procedimentos. Dependendo do âmbito de seu projeto, você pode encontrar normas internacionais, nacionais e internas de sua empresa, que buscam padronizar os desenhos. Antes de mais nada, Normas não são leis – o profissional pode não se prender a todos os aspectos da norma, desde que justifique e se responsabilize por isso. No caso do desenho técnico, não teremos normas que comprometam diretamente a segurança pessoal, porém procura-se sempre manter um padrão. As seguintes normas se aplicam diretamente ao desenho técnico no Brasil: NBR 10067 – Princípios Gerais de Representação em Desenho Técnico NBR 10126 – Cotagem em Desenho Técnico Sendo complementadas pelas seguintes normas: NBR 8402 – Execução de Caracteres para Escrita em Desenhos Técnicos NBR 8403 – Aplicação de Linhas em Desenho Técnico NBR 12296 – Representação de Área de Corte por Meio de Hachuras em Desenho Técnico Outras normas podem ser utilizadas para desenhos específicos: arquitetura, elétrica, hidráulica...



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10.1.1 Normas da ABNT

A execução de desenhos técnicos é inteiramente normalizada pela ABNT. Os procedimentos para execução de desenhos técnicos aparecem em normas gerais que abordam desde a denominação e classificação dos desenhos até as formas de representação gráfica, como é o caso da NBR 5984 – NORMA GERAL DE DESENHO TÉCNICO (Antiga NB 8) e da NBR 6402 – EXECUÇÃO DE DESENHOS TÉCNICOS DE MÁQUINAS E ESTRUTURAS METÁLICAS (Antiga NB 13), bem como em normas específicas que tratam os assuntos separadamente, conforme os exemplos seguintes: • NBR 10647 – DESENHO TÉCNICO – NORMA GERAL, cujo objetivo é definir os termos empregados em desenho técnico. A norma define os tipos de desenho quanto aos seus aspectos geométricos (Desenho Projetivo e Não- Projetivo), quanto ao grau de elaboração (Esboço, Desenho Preliminar e Definitivo), quanto ao grau de pormenorização (Desenho de Detalhes e Conjuntos) e quanto à técnica de execução (À mão livre ou utilizando computador) • NBR 10068 – FOLHA DE DESENHO LAY-OUT E DIMENSÕES, cujo objetivo é padronizar as dimensões das folhas utilizadas na execução de desenhos técnicos e definir seu lay-out com suas respectivas margens e legenda.

As folhas podem ser utilizadas tanto na posição vertical como na posição horizontal, conforme mostra a Figura 1.2. Os tamanhos das folhas seguem os Formatos da série “A”, e o desenho deve ser executado no menor formato possível, desde que não comprometa a sua interpretação.



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Os formatos da série “A” têm como base o formato A0, cujas dimensões guardam entre si a mesma relação que existe entre o lado de um quadrado e sua diagonal (841 2 =1189), e que corresponde a um retângulo de área igual a 1 m2. Havendo necessidade de utilizar formatos fora dos padrões mostrados na tabela 1, é recomendada a utilização de folhas com dimensões de comprimentos ou larguras correspondentes a múltiplos ou a submúltiplos dos citados padrões. A legenda deve conter todos os dados para identificação do desenho (número, origem, título, executor etc.) e sempre estará situada no canto inferior direito da folha. • NBR 10582 – APRESENTAÇÃO DA FOLHA PARA DESENHO TÉCNICO, que normaliza a distribuição do espaço da folha de desenho, definindo a área para texto, o espaço para desenho etc.. Como regra geral deve-se organizar os desenhos distribuídos na folha, de modo a ocupar toda a área, e organizar os textos acima da legenda junto à margem direita, ou à esquerda da legenda logo acima da margem inferior. • NBR 13142 – DESENHO TÉCNICO – DOBRAMENTO DE CÓPIAS, que fixa a forma de dobramento de todos os formatos de folhas de desenho: para facilitar a fixação em pastas, eles são dobrados até as dimensões do formato A4. • NBR 8402 – EXECUÇÃO DE CARACTERES PARA ESCRITA EM DESENHOS TÉCNICOS que, visando à uniformidade e à legibilidade para evitar prejuízos na clareza do desenho e evitar a possibilidade de interpretações erradas, fixou as características de escrita em desenhos técnicos. Neste livro, além das normas citadas acima, como exemplos, os assuntos abordados nos capítulos seguintes estarão em consonância com as seguintes normas da ABNT: • NBR 8403 – APLICAÇÃO DE LINHAS EM DESENHOS – TIPOS DE LINHAS – LARGURAS DAS LINHAS • NBR10067 – PRINCÍPIOS GERAIS DE REPRESENTAÇÃO EM DESENHO TÉCNICO • NBR 8196 – DESENHO TÉCNICO – EMPREGO DE ESCALAS • NBR 12298 – REPRESENTAÇÃO DE ÁREA DE CORTE POR MEIO DE HACHURAS EM DESENHO TÉCNICO • NBR10126 – COTAGEM EM DESENHO TÉCNICO • NBR8404 – INDICAÇÃO DO ESTADO DE SUPERFÍCIE EM DESENHOS TÉCNICOS • NBR 6158 – SISTEMA DE TOLERÂNCIAS E AJUSTES • NBR 8993 – REPRESENTAÇÃO CONVENCIONAL DE PARTES ROSCADAS EM DESENHO TÉCNICO Existem normas que regulam a elaboração dos desenhos e têm a finalidade de atender a uma determinada modalidade de engenharia. Como exemplo, pode-se citar: a NBR 6409, que normaliza a execução dos desenhos de eletrônica; a NBR7191, que normaliza a execução de desenhos para obras de concreto simples ou armado; NBR 11534, que normaliza a representação de engrenagens em desenho técnico. Uma consulta aos catálogos da ABNTmostrará muitas outras normas



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vinculadas à execução de algum tipo ou alguma especificidade de desenho técnico. 10.2 INSTRUMENTOS USADOS 10.2.1 LÁPIS E LAPISEIRAS Ambos possuem vários graus de dureza: uma grafite mais dura permite pontas finas, mas traços muito claros. Uma grafite mais macia cria traços mais escuros, mas as pontas serào rombudas. Recomenda-se uma grafite HB, F ou H para traçar rascunhos e traços finos, e uma grafite HB ou B para traços fortes. O tipo de grafite dependerá da preferência pessoal de cada um. Os lápis devem estar sempre apontados, de preferência com estilete. Para lapiseiras, recomenda-se usar grafites de diâmetro 0,5 ou 0,3 mm. 10.2.2 ESQUADROS São usados em pares: um de 45o e outro de 30o / 60o. A combinação de ambos permite obter vários ângulos comuns nos desenhos, bem como traçar retas paralelas e perpendiculares. Para traçar retas paralelas, segure um dos esquadros, guiando o segundo esquadro através do papel. Ceaso o segundo esquadro chegue na ponta do primeiro, segure o segundo esquadro e ajuste o primeiro para continuar o traçado.



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Exercício Utilize ambos os esquadros para traçar uma “estrela” de retas:, usando os seguintes ângulos: 0o , 15o , 30o, 45o, 60o, 75o , 90o, 105o, 120o, 135o, 150o, 165o, 180o. 10.2.3 COMPASSO Usado para traçar circunferências e para transportar medidas. O compasso tradicional possui uma ponta seca e uma ponta com grafite, com alguns modelos com cabeças intercambiáveis para canetas de nanquim ou tira-linhas. Em um compasso ideal, suas pontas se tocam quando se fecha o compasso, caso contrário o instrumento está descalibrado. A ponta de grafite deve ser apontada em “bizel”, feita com o auxílio de uma lixa. Os compassos também podem ter pernas fixas ou articuladas, que pode ser útil para grandes circunferências. Alguns modelos possuem extensores para traçar circunferências ainda maiores. Existem ainda compassos específicos, como o de pontas secas (usado somente para transportar medidas), compassos de mola (para pequenas circunferências),compasso bomba (para circunferências minúsculas) e compasso de redução(usado para converter escalas). 10.2.4 ESCALÍMETRO Conjunto de réguas com várias escalas usadas em engenharia. Seu uso elimina ouso de cálculos para converter medidas, reduzindo o tempo de execução do projeto. O tipo de escalímetro mais usado é o triangular, com escalas típicas de arquitetura: 1:20, 1:25, 1:50, 1:75, 1:100, 1:125. A escala 1:100 corresponde a 1 m = 1 cm, e pode ser usado como uma régua comum (1:1). O uso de escalas será explicado mais adiante.



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10.2.5 FOLHAS O formato usado é o baseado na norma NBR 10068, denominado A0 (A-zero). Trata-se de uma folha com 1 m2, cujas proporções da altura e largura são de 1: 2 . Todos os formatos seguintes são proporcionais: o formato A1 tem metade da área do formato A0, etc. Obtém-se então os seguintes tamanhos:

Cabe ao desenhista escolher o formato adequado, no qual o desenho será visto com clareza. Todos os formatos devem possuir margens: 25 mm no lado esquerdo, 10 mm nos outros lados (formatos A0 e A1) ou 7 mm (formatos A2, A3 e A4). Também costuma-se desenhar a legenda no canto inferior direito. 10.2.6 DOBRAGEM Toda folha com formato acima do A4 possui uma forma recomendada de dobragem. Esta forma visa que o desenho seja armazenado em uma pasta, que possa ser consultada com facilidade sem necessidade de retirá-la da pasta, e que a legenda estaja visível com o desenho dobrado. As ilustrações abaixo mostram a ordem das dobras. Primeiro dobra-se na horizontal (em “sanfona”), depois na vertical (para trás), terminando a dobra com a parte da legenda na frente. A dobra no canto superior esquerdo é para evitar de furar a folha na dobra traseira, possibilitando desdobrar o desenho sem retirar do arquivo.



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11. PERSPECTIVA Quando olhamos para um objeto, temos a sensação de profundidade e relevo. As partes que estão mais próximas de nós parecem maiores e as partes mais distantes aparentam ser menores. A fotografia mostra um objeto do mesmo modo como ele é visto pelo olho humano, pois transmite a idéia de três dimensões: comprimento, largura e altura. O desenho, para transmitir essa mesma idéia, precisa recorrer a um modo especial de representação gráfica: a perspectiva. Ela representa graficamente as três dimensões de um objeto em um único plano, de maneira a transmitir a idéia de profundidade e relevo. Existem diferentes tipos de perspectiva. Veja como fica a representação de um cubo em três tipos diferentes de perspectiva:

perspectiva cônica perspectiva cavaleira perspectiva isométrica Cada tipo de perspectiva mostra o objeto de um jeito. Comparando as três formas de representação, você pode notar que a perspectiva isométrica é a que dá a idéia menos deformada do objeto. Iso quer dizer mesma; métrica quer dizer medida. A perspectiva isométrica mantém as mesmas proporções do comprimento, da largura e da altura do objeto representado. Além disso, o traçado 29 da perspectiva isométrica é relativamente simples.



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12 EXEMPLO DE DESENHO TÉCNICO UTILIZADO NA INDÚSTRIA.



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13. EXERCICIOS 1.EXECUTE OS DESENHOS ABAIXO. A. Desenhe linhas paralelas formando ângulos de 30°, 45° e 60° com uma reta s horizontal utilizando o par de esquadros; B. Desenhe linhas perpendiculares passando por um ponto A utilizando o par de esquadros; C. Desenhe uma circunferência de raio r = 5,0 cm. Com o auxílio do par de esquadros, faça a representação dos ângulos 90°, 180°, 270° e 360°; D. Com o auxílio do transferidor, represente os seguintes ângulos: 38°, 110°, 255° e302°; E. Desenhe as circunferências de raios 1, 3, 5 e 6 centímetros a partir de um mesmo ponto A; F. Desenhe uma circunferência de raio r = 5,0 cm. Após, divida-a em 8 partes iguais com o uso do esquadro de 45°; G. Desenhe uma circunferência de raio r = 4,0 cm. Após, divida-a em 12 partes iguais com o uso do esquadro de 30°/60°; H. Desenhe uma circunferência de raio r = 4,0 cm. Após, divida-a em 24 partes iguais com o uso dos esquadros de 45° e 30°/60°; I. Utilizar o par de esquadros para traçar os seguintes ângulos com uma reta s horizontal a partir de um ponto A: 0° - 15° - 30° - 45° - 60° - 75° - 90° - 105° - 120°- 135° - 150° - 165° - 180°;J. Considerando dois segmentos de reta – s e t – que se interceptam no ponto A formando entre si um ângulo α=45°, traçar a reta bissetriz passando por A e que divide o ângulo α em duas partes iguais; K. Considerando a reta s existente, traçar a reta t perpendicular a s com o uso docompasso. Duas retas s e t são perpendiculares se formarem ângulos retos (90°) entre si; L. Considerando a reta s existente e o ponto A pertencente a s traçar com o auxílio do compasso a reta perpendicular t passando por A; M. Considerando um segmento de reta AB, determine sua mediatriz (Divisão aomeio de um segmento de reta); N. Dividir um segmento de reta AB em três pa



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2.CALCULE A ÁREA.

1. Qual é o comprimento da circunferência de raio igual a:

a.r=5cm b.r=3,5cm c.r=3kcm d.r=a/2cm

2. Uma roda gigante tem 8 metros de raio. Quanto percorrerá uma pessoa na roda gigante em 6 voltas?

3. Calcular o raio de uma roda gigante que em 6 voltas percorre uma distância de 66 metros.

4. Dado um quadrado de perímetro 4L, obter: (a) O raio da circunferência inscrita neste quadrado. e (b) O raio da circunferência circunscrita ao quadrado.

5. No R², uma circunferência tem centro no ponto (2,1) e passa pelo ponto (5,-3). Qual é o comprimento da circunferência?



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6. Calcular a área do círculo conhecendo-se o raio r ou o diâmetro d.

a.r=3cm b.d=3kR[2]cm c.r=2R[3]cm d.d=9cm

7. Calcular a área da região limitada por duas circunferências concêntricas, uma com raio 10 cm e a outra com raio 6 cm.

8. Se os perímetros de dois círculos são proporcionais à razão 2:3, qual é a razão entre as áreas desses círculos?

9. Qual é a área do círculo circunscrito em um triângulo equilátero cujo lado mede 18 cm?

10. Se a razão entre as áreas de dois círculos é 3:1, qual é a área do círculo menor se a área do círculo maior é 27pi cm²?



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11. Um jardim de formato circular com 6 metros de raio tem a metade de sua área removida para reduzir as despesas. Para isto foi cortada uma borda de largura uniforme em toda a sua volta. Qual é a largura desta borda?

12. Um triângulo equilátero de perímetro igual a 18 cm está inscrito em uma circunferência. Calcular a área da região externa ao triângulo que está dentro da circunferência.



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RESPOSTAS.

1.

raio= 5 cm, comprimento = 10 pi cm raio= 7/2 cm, comprimento = 7 pi cm raio= 3k cm, comprimento = 6k pi cm raio= a/2 cm, comprimento = a pi cm

2. 96 pi metro 3. 5,5 pi metros

4.

(a) O lado do quadrado mede L e o raio da circunferência inscrita é a metade do lado, isto é r=L/2. (b) O raio da circunferência circunscrita é a metade da diagonal do quadrado de lado L;

r²=2(L/2)²=L²/2 r=L R[2]/2

5.

O raio da circunferência é a distância entre o centro (2,1) e o ponto (5,-3). Pelo teorema de Pitágoras temos:

r²=(5-2)²+(-3-1)²=9+16=25 r=5

O comprimento da circunferência é 2×5×pi=10 pi unidades

6.

r=3 cm, A=9 pi cm² d=3k R[2] cm, A=½×9×k² pi cm² r=2R[3] cm, A=12 pi cm² d=a/2 cm, A=81/4 pi cm²



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7.

Na figura a região está pintada de verde e sua área é a área do círculo maior menos a área do círculo menor. Área=pi(R²-r²)=pi(100-36)=64 pi cm²

8.

4:9

9.

Na figura ao lado, seja a o apótema, r o raio e h a altura do triângulo então, h=a+r.

18²=h²+9² h=R[324-81]=R[243]=9 R[3]

Por outro lado, r²=9²+(h-r)²=81+h²-2hr+r² 81+243-2×9 R[3]×r=0 r=18/R[3]

Área do círculo = pi×r²=108 pi cm²

10.

Área 3cm²

11.

Largura : (6 – 3 R[2]) metros

12.

A área da região é a área do círculo menos a área do triângulo (região rosa). Se a é o apótema, r é o raio e h é a altura do triângulo, então h=a+r. Assim: 6²=h²+3²

h=R[36-9]=R[27]=3 R[3] r²=3²+(h-r)² 9+27-2×3×R[3]×r=0 r=6/R[3]

Área do círculo = pi r²=12 pi cm² Área do triângulo = 6×h/2=6.3 R[3]/2 = 9 R[3] cm² Área do círculo - Área do triângulo = (12 pi - 9 R[3]) cm²



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3. EXECUTE OS DESENHOS E AS COTAS ABAIXO.



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4 RELACIONE OS DESENHO ABAIXO

Procure nos desenhos abaixo as vistas que se relacionam entre si, e coloque os números correspondentes



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Procure nos desenhos abaixo as vistas que se relacionam entre si, e coloque os números correspondentes



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Dadas as projeções ortogonais, identifique os diedros utilizados nos desenhos.



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5. DESENHE AS VISTAS ORTOGONAIS. EXERCÍCIOS: Peças em Perspectiva para obtenção das Vistas Ortogonais

Hino do Estado do Ceará

Poesia de Thomaz LopesMúsica de Alberto NepomucenoTerra do sol, do amor, terra da luz!Soa o clarim que tua glória conta!Terra, o teu nome a fama aos céus remontaEm clarão que seduz!Nome que brilha esplêndido luzeiroNos fulvos braços de ouro do cruzeiro!

Mudem-se em flor as pedras dos caminhos!Chuvas de prata rolem das estrelas...E despertando, deslumbrada, ao vê-lasRessoa a voz dos ninhos...Há de florar nas rosas e nos cravosRubros o sangue ardente dos escravos.Seja teu verbo a voz do coração,Verbo de paz e amor do Sul ao Norte!Ruja teu peito em luta contra a morte,Acordando a amplidão.Peito que deu alívio a quem sofriaE foi o sol iluminando o dia!

Tua jangada afoita enfune o pano!Vento feliz conduza a vela ousada!Que importa que no seu barco seja um nadaNa vastidão do oceano,Se à proa vão heróis e marinheirosE vão no peito corações guerreiros?

Se, nós te amamos, em aventuras e mágoas!Porque esse chão que embebe a água dos riosHá de florar em meses, nos estiosE bosques, pelas águas!Selvas e rios, serras e florestasBrotem no solo em rumorosas festas!Abra-se ao vento o teu pendão natalSobre as revoltas águas dos teus mares!E desfraldado diga aos céus e aos maresA vitória imortal!Que foi de sangue, em guerras leais e francas,E foi na paz da cor das hóstias brancas!

Hino Nacional

Ouviram do Ipiranga as margens plácidasDe um povo heróico o brado retumbante,E o sol da liberdade, em raios fúlgidos,Brilhou no céu da pátria nesse instante.

Se o penhor dessa igualdadeConseguimos conquistar com braço forte,Em teu seio, ó liberdade,Desafia o nosso peito a própria morte!

Ó Pátria amada,Idolatrada,Salve! Salve!

Brasil, um sonho intenso, um raio vívidoDe amor e de esperança à terra desce,Se em teu formoso céu, risonho e límpido,A imagem do Cruzeiro resplandece.

Gigante pela própria natureza,És belo, és forte, impávido colosso,E o teu futuro espelha essa grandeza.

Terra adorada,Entre outras mil,És tu, Brasil,Ó Pátria amada!Dos filhos deste solo és mãe gentil,Pátria amada,Brasil!

Deitado eternamente em berço esplêndido,Ao som do mar e à luz do céu profundo,Fulguras, ó Brasil, florão da América,Iluminado ao sol do Novo Mundo!

Do que a terra, mais garrida,Teus risonhos, lindos campos têm mais flores;"Nossos bosques têm mais vida","Nossa vida" no teu seio "mais amores."

Ó Pátria amada,Idolatrada,Salve! Salve!

Brasil, de amor eterno seja símboloO lábaro que ostentas estrelado,E diga o verde-louro dessa flâmula- "Paz no futuro e glória no passado."

Mas, se ergues da justiça a clava forte,Verás que um filho teu não foge à luta,Nem teme, quem te adora, a própria morte.

Terra adorada,Entre outras mil,És tu, Brasil,Ó Pátria amada!Dos filhos deste solo és mãe gentil,Pátria amada, Brasil!

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Governador - educacaoprofissional.seduc.ce.gov.breducacaoprofissional.seduc.ce.gov.br/images/material_didatico/... · das construções gráficas e da morfologia das figuras. 2.1.3