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Gravidade: Problemas Michael Fowler 6/1/07

Universidade de Virgínia, Departamento de Física

1. Derivar aceleração em movimento circular a partir do Teorema de Pitágoras.

Imagine que um canhão, colocado no topo de uma montanha muito elevada, dispara um projéctil na

horizontal e acima da atmosfera, à velocidade necessária para que descreva uma órbita circular em torno

da Terra. Num segundo, a bola desce 5 metros abaixo da linha do horizonte, ao mesmo tempo que viaja v

metros na horizontal, tal como mostrado no diagrama (as distâncias percorridas estão exageradas no

diagrama, para tornar mais clara a situação).

Aplique o Teorema de Pitágoras ao triângulo rectângulo para demonstrar que a velocidade mínima

necessária para que o projéctil descreva uma órbita circular imediatamente acima da atmosfera é dada

por:

.

(Utilize como aproximação o facto de a distância percorrida por segundo ser pequena quando comparada

com o raio da Terra.)

2. Propriedades da elipse.

Assinale um ponto P´ na elipse, muito próximo do ponto P, e una por intermédio de segmentos de reta, o

novo ponto aos dois focos da elipse.

Considere que a “corda” utilizada para unir o novo ponto aos focos é do mesmo tamanho da utilizada para

unir o ponto P aos focos. Prove que um raio de luz proveniente de um dos focos em direcção a P será

reflectido na direcção e sentido do outro foco.

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3. A Terceira Lei de Kepler afirma que a expressão T2/R

3 assume o mesmo valor para todos os planetas

do Sistema Solar.

Para órbitas circulares, como se relacionam T e R, se a força da gravidade for proporcional a 1/R? E se a

força da gravidade for proporcional a 1/R3? Que conclusão se pode tirar da Terceira Lei de Kepler, no que

respeita à força da gravidade?

4. Os sinais de televisão são transmitidos por satélites geoestacionários, colocados em órbitas tais que se

encontram sempre sobre o mesmo local da Terra. Utilize as Lei de Kepler e os dados acerca da órbita da

Lua para determinar a que distância da superfície da Terra se encontram os satélites geoestacionários

referidos. Pode um destes satélites ser colocado imediatamente acima da sua cidade? Se a resposta for

negativa, explique o seu raciocínio.

5. Um génio maléfico coloca uma rocha esférica (uma rocha vulgar) em rota de colisão com a Terra, a

orbitar o Sol no sentido contrário ao do planeta. A rocha colide com a Terra, numa região desértica.

Estima-se que a cratera é semelhante à causada por uma bomba de hidrogénio de uma megatonelada.

Qual o tamanho da rocha?

6. O cometa Halley tem uma órbita elíptica, sendo a distância mínima ao Sol de 0.587 UA. Uma vez que

o período orbital é de 76 anos, qual a distância máxima a que o cometa fica do Sol durante o seu

movimento? Qual a excentricidade da sua órbita?

7. Cometa Halley simplificado.

a) A distância mínima a que um cometa fica do Sol durante a sua órbita é de 0.5 UA. Utilize a

Terceira Lei de Kepler e efetue comparações com a Terra para determinar qual a distância

máxima a que o cometa fica do Sol durante a sua órbita, sabendo que tem um período orbital de

64 anos.

b) Qual a razão entre as energias cinéticas do cometa no ponto mais próximo e mais afastado do

Sol.

c) Compare a energia cinética do cometa no ponto em que se encontra mais próximo do Sol com a

energia cinética de um corpo com a mesma massa e com uma órbita circular em torno do Sol.

8. Galileu identificou quatro satélites de Júpiter:

Satélite Raio orbital em 106 km Período orbital em dias

Io 0.422 1.77

Europa 0.671 3.55

Ganymede 1.070 7.16

Calisto 1.880 16.7

As órbitas são todas aproximadamente circulares.

(Dados de http://www.ifa.hawaii.edu/, onde se encontram listados mais 59 satélites de Júpiter!)

Verifique que a Terceira Lei de Kepler é satisfeita neste sistema e use os dados da tabela para determinar

a massa de Júpiter.

9. A galáxia NGC 4258 contém um disco de matéria, uma versão gigantesca dos anéis de Saturno. O

disco não é rígido, mas é constituído por rochas, etc., com órbitas aproximadamente circulares. O disco

tem um raio interno de 0.14 pc (parsec), e um raio externo de 0.28 pc. A zona mais interior tem um

período de 800 anos, enquanto a mais exterior tem um período de 2200 anos.

a) Mostre que estes dados indicam que o disco se encontra num campo gravítico dominado por uma

massa central (e não pelo campo gravítico do próprio disco).

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b) Determine a massa aproximada do objecto central. O aglomerado de estrelas mais denso que se

conhece tem cerca de 105 massas solares/pc

3. Pode o objecto central ser um aglomerado de

estrelas? Se a resposta for negativa, o que poderá ser?

10. Representação gráfica do campo gravítico.

O diagrama mostra como determinar a força da gravidade em qualquer ponto, num sistema constituído

por duas massas.

a) Represente o vetor campo em vários pontos e, em seguida, faça uma representação do campo ao

desenhar as linhas de campo: linhas contínuas que, em cada ponto, têm a direcção do campo

nesse ponto (o mesmo que “linhas de força” no magnetismo.)

b) Represente o diagrama das linhas de campo para duas massas diferentes, como a Terra e a Lua.

Em particular, clarifique como se comporta o campo ao longo do segmento de reta que une a

Terra à Lua.

11. a) Explique resumidamente a partir de um diagrama, o motivo pelo qual o campo gravítico no

interior de uma concha esférica e uniforme é nulo.

b) Suponha que um túnel bastante profundo foi perfurado na perpendicular ao solo. Qual a força

gravítica sentida por uma massa de 1 kg que se encontra no interior do túnel à distância r do

centro da Terra, considerando que à distância RE = 6400 km (na superfície da Terra), essa força

é de 10 N? (Assuma que a densidade da Terra é uniforme.)

* As restantes alíneas desta questão requerem conhecimentos de Movimento Harmónico Simples

c) Suponha agora que, numa obra fantástica de engenharia, o túnel é perfurado ao longo de um

segmento de reta que passa pelo centro da Terra e emerge no antípoda da sua posição. O ar é

retirado do túnel, criando-se vácuo no seu interior. Se um corpo com 1 kg é largado do repouso a

partir de uma das extremidades, quanto tempo demora a chegar ao outro lado?

d) Suponha que existe um asteróide com 64 km de raio, e que apresenta a mesma densidade da

Terra. Se for construído no asteróide um túnel semelhante ao da alínea c), quanto tempo

demoraria um corpo a atravessar este túnel?

12. No ano 3000, um grupo de rapazes que apreciam a vida nas cavernas, escavaram uma gigantesca

caverna esférica no interior da Lua. (O centro da caverna não corresponde ao centro da Lua!) Assumindo

que a Lua é uma esfera rochosa de densidade uniforme, prove que o campo gravítico no interior da

caverna é o mesmo em qualquer local. (Pista: determine o campo gravítico da Lua, sem considerar a

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caverna, em seguida pense na caverna como uma esfera uniforme de densidade negativa, e adicione as

duas contribuições.)

13. Imagine um túnel construído em linha reta através do interior da Terra, ligando dois locais antípodas.

A força gravítica sobre qualquer massa no interior do túnel é dada por F = mgr/rE.

a) Deduza a expressão da energia potencial gravítica no interior do túnel. Considere essa energia

nula no centro da Terra.

b) Esboce um gráfico da energia potencial gravítica em função da distância ao centro da Terra,

tomando como início o centro da Terra, mas prolongando o gráfico para valores muito acima da

superfície da Terra. A curva do gráfico deve ser contínua.

c) Por convenção, a energia potencial gravítica é definida como sendo nula para pontos a uma

distância infinita. Como procederá para ajustar a sua equação a esta convenção?

14. Represente graficamente a variação da energia potencial gravítica ao longo do segmento de reta que

une a superfície da Terra à superfície da Lua. Qual a velocidade mínima que um foguetão deve ter para

que atinja a Lua quando disparado directamente a partira da Terra? Qual será a sua velocidade ao atingir a

superfície da Lua? (Despreze o movimento de rotação da Terra e a velocidade orbital da Lua – considere

estes dois corpos como massas fixas.)

15. Durante a resolução desta questão, considere que a mMarte = 0.1 x mTerra e rMarte=0.5 x rTerra.

a) Sabendo que g = 10 m/s2 à superfície da Terra, qual a aceleração devida à gravidade na

superfície de Marte? Apresente os cálculos que efectuar.

b) Um satélite com uma órbita de baixa altitude viaja a 8 km/s. Utilize o valor de g em Marte

calculado na alínea a) para determinar a velocidade de um satélite a orbitar Marte a baixa

altitude.

c) Determine a velocidade de escape para o planeta Marte.

d) Um satélite geoestacionário tem uma órbita circular em torno da Terra, de raio 42 000 km.

Sabendo que um dia em Marte tem aproximadamente 24 horas, qual deverá ser o raio da órbita

de um satélite geoestacionário em torno de Marte?

16. Phobos, um dos satélites de Marte, tem um raio de aproximadamente 11 km e uma massa de 1016

kg.

Assuma que Phobos tem uma forma esférica.

a) Determine a aceleração da gravidade (g) em Phobos.

b) Se na Terra conseguir saltar verticalmente até uma altura de um metro, que altura conseguirá

atingir em Phobos?

c) Pode um astronauta numa bicicleta atingir velocidade orbital em Phobos? E será que consegue

atingir a velocidade de escape?

17. Úrano tem um raio quatro vezes superior ao da Terra, mas a gravidade à superfície é de apenas 0.8 x

gTerra. A velocidade de escape da Terra é de 11.2 km/s. Apenas a partir destes factos, determine a

velocidade de escape em Úrano.

18. a) Determine a velocidade orbital de uma nave espacial numa órbita de baixa altitude em torno da

Lua, ligeiramente acima do topo das montanhas.

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b) Suponha que o piloto aumenta subitamente a velocidade por um fator de √ , mas durante a

breve aceleração mantém a nave orientada na mesma direcção horizontal. Descreva a trajetória

da nave logo após os motores serem desligados. Que nome se dá à trajetória descrita?

19. No espaço profundo, um astronauta é abandonado a dez metros de distância da sua nave espacial de 4

toneladas. Se este estiver em repouso em relação à nave e não existirem outros campos gravíticos nas

proximidades, estime quanto tempo deverá passar até que o astronauta regresse a bordo da nave. Qual a

velocidade do astronauta quando atinge a nave? (Considere que a nave tem 5 metros de diâmetro.)

20. A velocidade de escape da Lua é de 2.38 km/s. Suponha que tem um canhão na Lua que dispara um

projéctil a 2.4 km/s. Obviamente, se disparar o projéctil perpendicularmente ao solo (na vertical) este

escapará à gravidade da Lua. Mas e se disparar o projéctil quase horizontalmente, apenas com elevação

suficiente para passar sobre as montanhas? Descreva a trajetória do projéctil nesta situação.

21. A velocidade de escape da Terra é de 11.2 km/s. Qual a velocidade de escape do Sistema Solar, a

partir de uma órbita de espera em torno da Terra de raio equivalente a vários raios da Terra? (Pista: Qual

a velocidade orbital da Terra?) Tendo em conta o resultado obtido, estime aproximadamente quanto

combustível é necessário para alcançar os planetas exteriores, em comparação com o combustível

necessário para chegar à Lua.

22. Imagine uma lua fictícia, a que chamaremos Lua1, como sendo uma esfera com a mesma densidade

da Terra, mas com raio exactamente igual a ¼ do raio da Terra:

ρMoon1 = ρTerra e RMoon1 = 0.25 x RTerra

a) Considerando a aceleração da gravidade à superfície da Terra como g = 10 m/s2, qual a

aceleração da gravidade à superfície da Lua1?

b) Se a velocidade de escape a partir da superfície da Terra é de 11 km/s, qual a velocidade de

escape a partir da superfície da Lua1?

c) Se um satélite a orbitar a Terra a baixa altitude (com um raio de órbita aproximadamente igual

ao raio da Terra) demorar 90 minutos para efectuar uma volta ao planeta, quanto tempo demora

o mesmo satélite a efectuar uma volta completa à Lua1, numa órbita de baixa altitude (com um

raio de órbita semelhante ao raio da Lua1)?

d) A Lua tem um raio próximo do raio da Lua1 referida anteriormente (o raio da Lua é 10% maior

que ¼ do raio da Terra, mas desprezaremos essa diferença). Contudo, a Lua tem uma densidade

correspondente a 60% da densidade da Terra. Utilize a densidade real da Lua (mas o raio da

Lua1), para recalcular as respostas dadas nas alíneas a), b) e c).

23. Titã, um dos satélite de Saturno, possui uma órbita de raio 1.22 x 106 km e um período de 15.9 dias.

Utilize esta informação para descobrir a massa de Saturno e, sabendo que o raio de Saturno é de 60 300

km, deduza:

a) A densidade média de Saturno.

b) O valor de g à superfície de Saturno.

c) A velocidade de escape de Saturno.

24. Plutão tem um raio correspondente a 20% do raio da Terra e uma massa correspondente a 0.2% da

massa da Terra. (Ambos os valores têm uma margem de erro de aproximadamente 5%.)

a) Suponha que um astronauta que se encontra na Terra num fato totalmente isolado, pode saltar na

vertical cerca de 0.5 m. Até que altitude conseguirá saltar em Plutão? (Não é necessário o valor

de G para resolver este exercício!)

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b) Assumindo que a resistência do ar é desprezável, a que velocidade um carro de corridas

necessita de se mover sobre, por exemplo, um oceano gelado, para atingir a velocidade de escape

em Plutão? (Lembre-se que a velocidade de escape da Terra é de 11.2 km/s.)

c) Será que o carro perde o contato com o solo antes de atingir essa velocidade? Explique a sua

resposta.

25. A velocidade de escape de determinado planeta é de 10 km/s. O planeta tem uma lua cujo raio

corresponde a ¼ do raio do planeta, e densidade igual a metade da densidade do planeta. Qual a

velocidade de escape desta lua?

26. Num universo imaginário, a força gravítica diminui com a distância na proporção de 1/R, em vez de

1/R2. Suponha que nesse universo existe um planeta com o mesmo raio da Terra e com a mesma

aceleração da gravidade (g) à superfície. Será que o período orbital de um satélite em órbita de baixa

altitude (acima de uma atmosfera de espessura desprezável) seria o mesmo? Será que a velocidade de

escape seria a mesma?

27. Algures sobre o segmento de reta que une a Terra e o Sol está um ponto, designado de ponto de

Lagrange, onde qualquer satélite lá colocado orbita o Sol em sincronia com a Terra. De facto, já lá está

um satélite, que monitoriza continuamente o Sol. Estime a distância a que este ponto de Lagrange se

encontra da Terra.

28. Numa missão à Lua, uma nave espacial é lançada da Terra com a velocidade mínima necessária para

alcançar a Lua, mas orientada de modo a passar um pouco ao lado da Lua, contornando-a, de modo a que

a distância da nave à superfície da Lua seja mínima sobre o ponto da Lua que se encontra mais afastado

da Terra. Nesse ponto, a nave dispara um foguete de modo a que este orbite a Lua a baixa altitude. Qual é

(aproximadamente) a alteração de velocidade necessária para efectuar este lançamento?

Órbitas elíticas para Planetas e Asteróides

29. O asteróide Gaspra está a uma distância do Sol que corresponde ao dobro da distância da Terra ao Sol.

Assuma que a sua órbita é circular e que planeia uma expedição até este asteróide.

A trajetória economicamente mais viável é uma trajetória elíptica, cuja aproximação máxima ao Sol

ocorre num ponto sobre a órbita da Terra, designado por r1, enquanto que o afastamento máximo ao Sol

ocorre num ponto sobre a órbita de Gaspra, designado de r2. Suponha que após abandonar a atmosfera, a

nave é rapidamente acelerada até atingir a velocidade v1, desligando-se de seguida o motor de modo a que

a nave siga a referida trajetória elíptica, alcançando a órbita de Gaspra com velocidade v2. (Despreze a

força gravítica exercida pela Terra sobre a nave.)

a) Que parâmetros são conservados durante a órbita elíptica?

b) Determine duas equações para o cálculo de v1 e v2 em função de r1 e r2, G e M, onde M

corresponde à massa do Sol.

c) Resolva as duas equações para determinar o valor de v1.

d) Determine a velocidade orbital da Terra em função de r1, G e M.

e) Sabendo que a velocidade orbital da Terra é de 30 km/s, qual deverá ser o aumento de

velocidade da nave em relação à Terra, para chegar a Gaspra ao longo da órbita elíptica

referida?

f) Represente num diagrama a órbita da Terra e a direcção e sentido de lançamento da nave a partir

da Terra, para que esta chegue a Gaspra, descrevendo a trajetória referida. Qual a trajetória

aproximada que a nave deve seguir caso seja lançada em sentido contrário?

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30. Suponha que enviamos a partir da Terra uma sonda espacial de massa m com destino a Júpiter

seguindo a trajetória elíptica mais económica. Considere que o raio da órbita de Júpiter em torno do Sol é

de 5 UA.

a) Qual a energia total da sonda nesta órbita elíptica?

b) Assume que a sonda é lançada a partir de uma órbita de espera circular em torno da Terra, de

raio tal que a força de gravidade da terra tem um efeito desprezável. Sabendo que a velocidade

orbital da Terra é de 30 km/s, qual a velocidade da sonda em relação à Terra, à medida que entra

na órbita elíptica?

c) Qual a velocidade da sonda quando alcança a órbita de Júpiter?

31. Pretende-se enviar uma sonda a um asteróide de órbita circular de raio correspondente ao triplo do

raio da órbita da Terra (assumindo que a órbita da Terra é também circular).

a) Construa um diagrama onde represente a órbita da Terra, a órbita do asteróide e a trajetória mais

eficiente para a viagem da sonda.

b) Se a Terra tem uma velocidade orbital de 30 km/s, qual deverá ser a velocidade da sonda

relativamente à Terra no ponto em que o campo gravítico da Terra deixa de se fazer sentir?

32. Suponha que um satélite se encontra a orbitar a Terra a baixa altitude, isto é, numa órbita circular e a

uma altitude de 200 km em relação à superfície, de modo a que o raio da órbita é de 6 600 km,

aproximadamente. Pretende-se que o satélite ganhe altitude até que a sua órbita circular tenha o dobro do

raio da inicial (e portanto o satélite estará a 6 800 km acima da superfície da Terra).

Para provocar esta alteração existe uma técnica que consiste em gerar dois impulsos rápidos: o primeiro

impulso coloca o satélite numa órbita elíptica, de modo a que a distância mínima da órbita ao centro da

Terra corresponda a metade da distância máxima da órbita ao centro da Terra; o segundo impulso, que

ocorre no ponto mais alto da trajetória, coloca o satélite em órbita circular, com um raio correspondente à

distância do satélite (nesse ponto mais alto da trajetória) ao centro da terra.

Utilize a conservação do momento angular e da energia na órbita elíptica para responder às questões

seguintes:

a) Qual a percentagem correspondente ao aumento de velocidade gerado pelo impulso 1?

b) Qual a percentagem correspondente ao aumento de velocidade gerado pelo impulso 2?

c) Formule uma explicação qualitativa de como lançaria um foguete para que este se dirija à Terra,

a partir de uma órbita de espera nas proximidades de Marte (despreze a gravidade de Marte).

33. Um Sistema “Binário”.

Um planeta semelhante à Terra recentemente descoberto – que designaremos por P – órbita em torno da

estrela anã vermelha Gleise 581, que se encontra a 20 ano-luz da Terra. Esta estrela tem uma massa

correspondente a 1/3 da massa do Sol.

A presença do planeta P foi evidenciada ao detetar uma oscilação no movimento da estrela, oscilação essa

com um período de 13 dias. (A oscilação é provocada pela gravidade do planeta P: pense no que acontece

num sistema binário.)

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a) Qual a distância a que P se encontra da sua estrela?

Não esqueça que:

- para qualquer tipo de sistema planetário com órbitas circulares,

, sendo M a massa da

estrela;

- Utilize como unidade de tempo o ano terrestre e como unidade de distância a Unidade

Astronómica UA (a distância média da Terra ao Sol), de modo que para o nosso sistema

solar

;

- Qual o resultado da razão entre T2 e R

3 se aplicarmos estas unidades ao sistema da estrela

Gleise 581?

- a oscilação verificada significa que P tem um período orbital correspondente a 13 dias.

Escreva o período orbital de P em anos-terrestres e deduza a distância a que este se encontra da

estrela Gleise (em UA).

b) Sabendo que 1 UA = 1.5 x 108 km, qual a velocidade orbital de P?

c) A partir da detecção do desvio Doppler, concluiu-se que a velocidade máxima da estrela Gleise

581 durante os 13 dias de oscilação é de 3 m/s. A partir destes dados, e tratando o planeta P e a

estrela Gleise 581 como um “sistema binário de estrelas”, qual a razão entre a massa de P e a

massa da estrela Gleise?

d) A massa do nosso Sol corresponde a 300 000 vezes a massa da Terra. Qual a relação entre a

massa do paneta P e a massa do nosso planeta (lembre-se que a massa da estrela Gleise 581

corresponde a 1/3 da massa do Sol)?

Relatividade Geral

34.

a) Enuncie o Princípio da Equivalência.

b) Explique como um raio de luz que atravessa um elevador pode levar à conclusão de que a luz é

defletida devido à gravidade. Inclua um diagrama.

c) Sabendo que a luz é deflectida na ordem de 1 segundo de arco ao passar pelo Sol, e que este

valor é determinado a partir de uma simples aproximação clássica, apresente uma estimativa

para a deflexão que ocorre quando a luz passa pela superfície de uma estrela de neutrões, com

duas vezes a massa do Sol e um raio de 10 km (o raio do Sol é de 700 000 km)? Descreva as

aproximações que efectuou.

35. O primeiro teste experimental de Relatividade Geral foi uma observação da deflexão da luz das

estrelas pelo campo gravítico do Sol (durante um eclipse solar). De acordo com a física clássica, se

considerarmos a luz como pequenas partículas, a deflexão pode ser estimada em aproximadamente 20%,

ao considerar o efeito do campo gravítico do Sol igual à gravidade junto à superfície do Sol por um

período de tempo igual ao necessário para que as partículas percorram uma distância equivalente ao

diâmetro do Sol. Calcule, em segundo de arco, a deflexão angular provocada por tal situação. A

Relatividade Geral prevê que a deflexão real deverá ser o dobro do valor obtido pela física clássica – e tal

foi observado.

36. Os satélites GPS encontram-se a uma altitude de aproximadamente 20 000 km. Calcule a sua

velocidade e determine as correções que devem ser efectuadas aos relógios dos satélites, tendo em conta a

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os efeitos da Relatividade Geral e Restrita. Estas correções são importantes para o funcionamento do

sistema ou podem ser negligenciadas na prática?

Exercícios sobre vários temas

37. Observe atentamente a imagem seguinte e indique o que está errado na órbita de Plutão representada

na imagem:

http://www.enchantedlearning.com/subjects/astronomy/activities/coloring/Solarsystem.shtml

38. Mercúrio pode ser observado como um pequeno ponto negro, quando este se interpõe entre o Sol e a

Terra, o que ocorre, em média, de 10 em 10 anos. Uma vez que Mercúrio tem um período orbital de

aproximadamente 88 dias, porque é este fenómeno tão raro? E por que motivo se verifica apenas nos

meses de Maio ou Novembro?

39. Um explorador do futuro decide aproximar-se de uma estrela de neutrões, seguindo uma trajectória de

queda-livre na qual a nave espacial contorna a estrela de neutrões e reaparece do lado oposto – e portanto

no interior da nave o astronauta está numa situação de imponderabilidade. Contudo, se g variar

significativamente entre a cabeça e os pés do astronauta, podem ocorrer consequências desastrosas.

a) Estime a partir de que taxa de variação de g o astronauta corre riscos.

b) Assuma que a estrela de neutrões tem uma massa correspondente ao dobro da massa do Sol, e

um raio de 10 km. Qual a distância mínima a que a nave se deve manter da superfície da estrela

para se manter em segurança?

40. O asteróide Icaros esteve recentemente a apenas 4 milhões de milhas da Terra (1 milha ≈ 1.61 km).

Caso ocorresse uma colisão e Icarus se movesse em direcção à Terra, forneça uma estimativa da energia

libertada numa colisão inelástica entre estes dois corpos. Compare essa energia com a libertada pela

explosão de uma bomba de hidrogénio de 1 megatonelada.

Exercícios com base em aplicações Flash e Java

41.

a) Abra o aplicativo “Viagem a Marte”. A velocidade inicial de lançamento do foguete que

introduzir corresponde a uma órbita de espera de elevada altitude (por exemplo equivalente a dez

vezes o raio da Terra) de modo que o campo gravítico da Terra tem um efeito desprezável.

Descubra a velocidade de lançamento mínima necessária para o foguete atingir Marte, esboce a

órbita do foguete nessas condições e estime a duração da viagem.

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b) Forneça uma explicação qualitativa de como dispararia um foguete de modo a que este atingisse

a Terra tendo como ponto de partida uma órbita de espera próxima de Marte. (Despreze a

gravidade de Marte.)

42.

a) A partir do documento “Factos sobre a gravidade”, determine a velocidade orbital de Júpiter.

b) Abra o aplicativo “Gravidade Assistida”. Repare que pode ajustar a velocidade inicial do foguete

e a proximidade inicial à órbita de Júpiter. Imagine que o foguete atinge a órbita de Júpiter com

velocidade nula – mas o lançamento foi planeado de modo a beneficiar ao máximo do efeito de

gravidade assistida. Pode Júpiter fornecer o impulso necessário para que o foguete seja lançado e

escape do Sistema Solar? Qual o aspeto da órbita do foguete vista a partir de Júpiter? Justifique

as suas respostas.

43. Abra o aplicativo “Canhão de Newton”. A altura da montanha (segundo os desenhos do próprio

Newton) é de cerca de 10% do diâmetro da Terra. Esta é aproximadamente a altura máxima atingida por

um ICBM (Míssil Balístico Intercontinental) numa trajectória em torno de metade do planeta, e portanto a

trajectória da bola de canhão do nosso exemplo corresponde a metade da trajectória de um ICBM.

a) Utilize o aplicativo para determinar a velocidade no topo da trajectória de um ICBM, em

comparação com a velocidade numa órbita circular com a mesma distância à superfície da Terra.

b) Se o ICBM for lançado de modo a que o motor se desligue assim que abandona a atmosfera, qual

a velocidade aproximada no momento em que o motor se desliga? (A resposta deve ser dada em

km/s, apesar de o aplicativo estar em milhas por hora. Considere o raio da Terra igual a 6400 km

e despreze a espessura da atmosfera.)

c) Quando o motor se desliga, qual o ângulo entre a trajectória do ICBM e a horizontal? (Pista:

lembre-se da conservação do momento angular.)

© Michael Fowler, Universidade de Virgínia

Casa das Ciências 2013

Tradução/Adaptação de Nuno Machado e Manuel Silva Pinto