7/23/2019 GRUP 453

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UFF - Instituto de Matematica Algebra III 2013/1

Data: 14 maio 2013. www.professores.uff.br/nmedeiros

Lista 2

1. Mostre que se n 3, entao Sn nao e abeliano. Calcule Z(S3) e S

3.

2. Sejam M,N dois subgrupos normais de um grupo G. Vimos que M N tambem e umsubgrupo normal.

(a) Mostre que se M N= {1}, entao xy= yx para todo x M, y N.

(b) Prove que se M N= G e M N= {1}, entao a funcao : MN Gdada por(x, y) xy e um isomorfismo.

3.

SeAeBsao subgrupos de um grupo finito tais que mdc(|A| , |B|

) =1, entaoAB

= {1}.

4. Seja N um subgrupo normal de um grupo G. Mostre que se G e abeliano, entao G/Ne abeliano; e se G e cclico, entao G/N e cclico. Alguma das recprocas e valida?

5. O normalizador(centralizador) um elementog G eC(g) :={x G | gx = xg}.Prove:

(a) C(g) e um subgrupo de G.

(b) g Z(G) se, e somente se, C(g) =G.

(c) Z(G) =

gGC(g).

6. O grupo multiplicativo Q e cclico? E o grupo aditivo Q?

7. E verdade que R2 = S1 como grupos abelianos? Ou seja: todo vetor do plano seescreve como uma soma finita de vetores de norma 1?

8. Prove que um grupo cclico de ordem n possui exatamente (n)geradores, onde e afuncao de Euler (sugestao: Zn).

9. SejaGum grupo finito tal que, para cada divisor dda ordem deG, tem-se queGpossuino maximo um subgrupo de ordem d. Prove que G e cclico.

Roteiro: sejamn a ordem de G e nd o numero de elementos de ordem d emG. Vamosprovar quend = (d)para todo fatord de n. Em particular,G possui(n)elementosde ordem n.

Observe que

d|n nd =n. Como n =

d|n(d), basta entao mostrar nd (d)paratodo d | n, onde entra a hipotese.

10. Seja F um domnio. Entao todo subgrupo finito G de F e cclico (sugestao: use oexerccio anterior; note que o polinomio xd 1tem no maximo d razes no domnio F).Em particular, se F e um corpo finito, entao F e cclico.