UNIVERSIDADE DE SAO PAULO

INSTITUTO DE FÍSICA

H ^ - f t f c - 2ltli->t

QUANTIZAÇÂO ESTOCASTICA E A

INVARIÂNCIA DE GAUGE

Ricardo Luiz Viana

Dissertação de Mestrado apresentada no Instituto de Física da Universidade de São Paulo

SAO PAULO 1987

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

INSTITUTO DE FÍSICA

Q U A N T I Z A C A O E S T O C A S T I C A E

A 1 N V A R I A N C I A DE G A U G E

RICARDO LUIZ VIANA

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

APRESENTADA NO INSTITUTO

DE FÍSICA DA UNIVERSI­

DADE DE SÃO PAULO

ORIENTADOR: PROF. PR, ÉLCIO ABDALLA

SAO PAULO

1987

FICHA CATALOGRÂFICA Preparada pelo Serviço de Bibl ioteca e Informação

do Ins t i tu to de F í s ica da Universidade de São Paulo

Viana, Ricardo Luiz Quantizacâb estocástica e a invariância de Gauge.

São Paulo, 1987.

Dissertação (Mestrado) - Universidade de São Pau­lo. Instituto de Física. Departamento de Física Mate mática.

Area de Concentração: Física das Partículas Ele­mentares.

Orientador: Prof. Dr. Êlcio Abdalla

Unitermos: l.Ouantizacão estocástica; 2.Regulari­zação estocástica; 3.Simetria de Gauge.

USP/IF/SBI - 22/87

- I -

Ao8 meus pais,

Rubens e Regina Viana

- II -

AGRADECIMENTOS

• Ao Prof. Elcio Abdalla, pela amizade e orientação recebida na

condução do presente trabalho;

• Ao Prof. Marcelo Gomes pelas discussões e sugestões relevantes;

• Aos colegas e amigos do Instituto de 1'Isica, em especial ao

Cristóvão Rincoski, Farnêzio Carvalho, Luís Coelho, José Mahon,

Alcione Fernandes, Gilberto Vicente, Rubens Ribeiro

• Ao Prof. Liu Kai pela amizade e formação intelectual;

• A Leocãdio José Correia, pelas lições de vida;

• A Tânia, pelo grande afeto e paciência ainda maior, na fase

final deste trabalho;

• Ao Conselho Nacional de Pesquisas, pelo suporte financeiro.

- I l l -

"I do not know what I may appear to the world; but to myself I

seem to have been only like a boy, playing on the sea-shore, and

diverting myself, in now and then finding a smoother peeble or

a prettier shell than ordinary, whilst the great ocean of truth

lay all undiscovered before me"

ISAAC NEWTON

- IV -

SUMÁRIO

Na presente dissertação, fazemos ua resuao das idéias fundamen­

tais do aetodo de Quantiração Estocâstica de Parisi e Ku. coa

aplicações a teorias de caapo Uscalares.de Gauge e Feraiõnicas.

Ea particular, nós útil iramos o esqueaa de Regularização Analíti

ca Estocâstica no calculo do tensor de polarização para a Eletro

dinâmica Quântica coa Bosons ou Féraions de Dirac. A influência

da regularização na invariância de Cauge é estudada para aabas

as teorias, e é sugerida uma extensão do método para alguns aode

los supersiaétricos.

ABSTRACT

In the present dissertation, we made a survey of the fundamental

ideas about Parisi-Wu's Stochastic Quantization Method, with

applications to Scalar. Gauge and Feraionic theories.In particu­

lar, we use the Analytic Stochastic RegularizeionScheme to calcu

late the polarization tensor for Quantum Electrodynamics with bosons

or Dirac Fermions. The regularization influence is studied for

both theories and an extension of this method for some

supersymmetrical models is suggested.

- V -

rmcE

. INTRODUÇÃO 01

. CAPÍTULO 1 : A EQUAÇÃO DE LANGEVIN

1-1 : UM Exemplo Staples - o Movimento Browniano 04

1-2 : A Equação de Fokker-Planck de um Boson 11

1-3 : A Equação de Langevin de um Bõson 16

. CAPfTULO II : QUANTIZAÇAO ESTOCÁSTICA DE UMA TEORIA ESCALAR

11 —1 : Regras de Feynman e Diagramas Estocásticos 21

I1-2 : Cálculo em um "loop" da Função de Dois Pontos 28

I1-5 : Regularização Analítica Estocástica 32

• CAPÍTULO III : QUANTIZAÇAO ESTOCÁSTICA DE TEORIAS DE GAUGE

III-l : 0 Campo de Maxwell Livre 38

II1-2 : 0 Problema da Fixação de Gauge 42

II1-3 : Eletrodinâmica Escalar 47

II1-4 : Cálculo do Tensor de Polarização da QED Escalar

utilizando Regularização Estocástica 51

III-4-1 : Caso Bidimensional 61

111 -4-2 : Caso Quadridimensional 66

. CAPÍTULO IV ; QUANTIZAÇAO ESTOCÁSTICA DE TEORIAS COM

FERMIQNS

IV-1 : Introdução de férmions no Formalismo Estocástico70

IV-2 : Eletrodinâmica Spinorial 78

IV-3 : Tensor de Polarização do Vácuo 80

IV-4 : Conclusões 87

- VI -

. APÊNDICE A : INTEGRAÇÕES EM D DIMENSÕES

A.I. Integrações de objetos con indices 91

A.2. Coordenadas D-Esféricas 92

A.3. Cálculo da integral « ,>l / i*\* 94

. APÊNDICE B : TENSOR DE POLARIZAÇÃO DA QED ESCALAR UTI­

LIZANDO REGULARIZAÇÃO DIMENSIONAL

. REFERÊNCIAS

* • *

97

103

- 01 -

I N T R O D U Ç Ã O

• Até o início desta década, eram conhecidos basicamen

te dois métodos para a Quantização de teorias de campo Lagrangea

nasi* O primeiro deles, conhecido como Quantiração Canõnica, ba­

seia-se na idéia de um campo clássico como um sistema mecânico

com infinitos graus de liberdade, sendo escrito por uma formula­

ção Lagrangeana, onde associa-se aos campos os momentos conjuga­

dos. Um princípio variacional fornece as equações de movimento.

Na Quantização, nós impomos regras de comutação (ou anticomuta-

ção, dependendo do caso) para as variáveis dinâmicas considera­

das.

• O segundo processo parte de um "funcional gerador",

escrito na forma de uma integral de trajetórias, e que leva em

conta todas as configurações admissíveis dos campos. A partir des

se funcional obtém-se as funções de Green, e com elas a matriz

S e os elementos de matriz das observáveis.

• Ambos os métodos ressentem-se de dificuldades técni­

cas (que aparecem na Quantização de teorias de Gauge, por exem­

plo) cujo tratamento envolve um número considerável de artifí­

cios, como introdução de graus de liberdade não físicos, campos

com a estatística trocada, estados de norma negativa, etc; co­

nhecidos genericamente pelo nome de "Ghosta" (fantasmas). Podemos

encará-los como uma patologia destas formulações.

• Uma interessante alternativa, que veremos pode dis­

pensar algumas destas dificuldades, é o método de Quantização

[2] Estocastica, proposto por Parisi e Wu em 1981. Inspirado na

\?i;;\f" H INTROPUCAO (ng.03. apôs o 1* parágrafo)

. Uma característica notável desta prescrição ê que ela.

alcn de poder ser implementada nâo-perturbativãmente, parecia pre

servar todas as simetrias físicas dos modelos nos quais ê aplica-

da " . o que foi parcialmente confirmado por alguns cálculos es_

pecíficos . Porém, utilizando uma diferente classe de regula­

dores . AhiLiIta et ai. mostraram que o esquema quebra ma

nifestamente a invariãncia de gauge em teorias de gauge com bõ

sons carregados (nos casos abeliano e não-abeliano.sendo que nes­

te último a quebra é mais danosa).

. Frisamos que esta ê uma questão central no programa da

renorraaliração lfc ', o qual requer um esquema de isolamento de dí

vergências ultravioletas que preserve simetrias relevantes. As

técnicas conhecidas sofrem, sem exceção, de problemas deste tipo.

Como exemplo, a regularização dimensional (que é apontada fre

qUcntemente como paradigma) não pode ser aplicada,na sua versão o

riginal, a modelos supersimétricos. Desta forma, a busca de um es

quema que preserve tanto a invariãncia de gauge como a supersime-

tria tem sido um dos mais intrincados problemas da teoria quânti-

ca de campos, daí a importância que vemos no estudo desta regula­

rização sugerida na quantização estocástica.

E R R A T A

_PJ?KJ

01

09

13

26'

26"

55

55

53

55

58

62

69

97

9"

105

/ £_n4f _se Jj?

.sendo esc r i t o . . .

.uma f u n c i o n a l . . .

.tempo Euclidiano usual x ... o

.funções de grau...

..pelos(eq.(2-21))...

.=# de linhas lisas • # de

linhas internas cru2adas(2-59)

Usando um "cut-off" ingênuo nas

integrações...

leia-se

*v, (p) I-.-ô 'r-V

(5-47)

16'

...são representada nor (2-9)...

B s ...i dx. ... (3-58)

...(o que vale a trocar...)...

Em termos de Lagraneena...

TENSOR DE POLARIZAÇÃO QED ESCA­

LAI... ...(8-0)...

...aparecerão como pólos em ...

(55)- "Analytic Stochstic...."

. . . IFUSP P r e p r i n t . . .

(36)- ...IFT Preprint P-06...

...senàc descrito...

A- .im funcional...

..."tempo" Euclideano usual x....

...funções degrau...

...t emos(eq. (2 - 21) ) . ..

...= p de linha» internas cru:a-

das + # de linhas externas cruzadas

Usando um "cut-off" ingênuo t.

nas integrações.

!i,„]p) -e A" 6 uv

(5-47)

16r"

...são representadas por (2-9)... ar

B • f dx. (5-58)

..(o que eqüivale a trocar...)..

Em termos da Lagrangeana...

TENSOR DE POLARIZAÇÃO DA QED ES­

CALAR... ...(B-0)...

...aparecerão como pólos es c...

(55)-' Analytic Stochastic..."

...IFUSP Preprint P-655.

(36)-...Mod. Phys. Lett.

2 (1987) 499

- 02 -

analogia formal existente entre a teoria Euclideana de campos e

a mecânica estatísica clássica, o método fundamenta-se na intro­

dução de uma variável auxiliar (funcionando como um parâmetro

temporal) e no uso de uma dinâmica estocástica para a descrição

da evolução do sistema. A teoria de campos "convencional" é reco

brada como o limite estacionário deste sistema em não-equilí-

brio.

. Para tal, utiliza-se em tratamentos perturbativos a

equação de Langevin, e em tratamentos não-perturbativos a equa­

ção de Fokker-Planck; ambas já amplamente utilizadas na física

desde o início do século. *• -»

• 0 interesse maior do método, â época de sua inven­

ção, residia na quantização de campos de Gauge, cuja abordagem

convencional leva a problemas, como a aparição de fantasmas

(sic). Uma das principais virtudes deste novo esquema foi dispen

sar a utilização explícita destes entes.

• Nos últimos anos a Quantização Estocástica vem sendo

[4] objeto de intensa investigação L J. Originalmente desenvolvido

para campos bosônicos, o método foi estendido para férmions e

super-campos, incluindo a maioria das teorias de interação

de interesse . Em particular, esta é uma técnica promissora em

[6] aplicações na gravitaçao de Einstein e em teorias de

[7] "Strings".

« Um campo fértil de utilização é a simulação computa­

cional do tipo Monte-Carlo em teorias na rede. A variável auxi­

liar introduzida pelo método permite uma única parametrização

dos dados da rede em cada etapa da computação, economizando um

grande tempo de processamento.

- 03 -

• Entretanto, esta mesma variável permitiu uma aplica­

ção ainda mais notável, que é uma prescrição nova da regulariza­

ção, ' e que vem sendo apontada como uma possível solução para

a eliminação de divergências em teorias supersimétricas.

• * *

• Este trabalho objetiva principalmente o estudo deste

esquema de regularização, discutindo sua controvertida implica­

ção sobre a invariância de Gauge. No primeiro capítulo, fazemos

uma apresentação, de caráter mais didático do que propriamente

exaustivo, das motivações físicas e do aparato matemático básico

do método de Quantização Estocástica.

• No capítulo seguinte, ã guisa de ilustração, descre­

vemos a aplicação do método a uma teoria escalar de auto-intera-

ção, mostrando como ele funciona perturbativamente, com e sem a

regularização estocástica já mencionada.No terceiro capítulo se­

rá analisado o caso de teorias de Gauge, com a descrição do cam­

po de radiação (Maxwell) e da interação com Bosons carregados

(QED escalar), sendo analisados objetos particularmente interes­

santes na verificação da simetria de Gauge.

• No último capítulo, mostramos as modificações neces­

sárias para a análise de campos fermiônicos, sendo estudada no

mesmo enfoque do capítulo precedente a QED espinorial. Os resul

tados assim obtidos permitem interessantes ilações a respeito da

aplicabilidade do método de regularização estocástica em alguns

modelos supersimétricos; e de sua relação com o esquema bem co-

[81 nhecido da regularização dimensional (um exemplo de aplica­ção sendo mostrado no apêndice B).

- 04 -

CAPÍTULO I

A EQUAÇÃO DE LANGEVIN

I.l. Um exemplo simples: o Movimento Browniano

• Para tornar mais claras as origens físicas do método

de quantização estocásticas, vamos antes fazer uma rápida digre£

são acerca do processo estocástico mais conhecido, que é o movi­

mento Browniano. Hã dois tratamentos possíveis para o problema,

que raostrar-se-á serem equivalentes:

PI A. Método de Fokker-Planek

• A característica essencial dos processos estocãticos é o

aparecimento de flutuações. Elas impedem uma descrição exa­

ta das variáveis físicas de interesse, de tal modo que re­

sultados relevantes sejam obtidos através de uma distribui

ção de probabilidades P(., t) que satisfaça a equação de

Fokker-Planek:

'íT-tfrc,*) (i-i)

onde^Wpp é um operador, dito "Hamiltoniano de Fokker-Planok",

além da condição de normalização usual

Pt-,*)J* * ( (1"2)

- 05 -

[10] B. Método do Langooxn

• Sem embargo das dificuldades, o método continua oferecendo

uma equação dinâmica para as variáveis físicas do problema.

Nesse caso, o efeito das flutuações é representado pela in­

clusão de uma variável randõmica (aleatória), dita "ruido".

# • •

• Inicialmente estudaremos, pelo método de Fokker-Planck.aevo

lução randõmica de um conjunto de partículas suspensas em

um meio dissipativo, podendo estar sujeitas a uma força ex-

terna de deslocamento K(x), independente do tempo,.Vamos de

duzir a equação de Fokker-Planck para a distribuição de pro fill

habilidades P(x, t), nestas condições.

• O fato de que, localmente, há conservação do número de par

tículas, permite-nos escrever uma equação de continuidade

onde a corrente total j é encarada como a soma de outras -*

duas: uma corrente de deslocamento jo produzida para força •*

externa K, que assumimos ser linearmente proporcional ã den

sidade de partículas, ou seja:

£ (*', *; - Y jc(?> P r*7 * ; d .4)

e outra corrente de "difusão" j p provocada por um gradiente

de concentração de partículas, de modo que

7(;>(+)s-ot V ?(*;*) (1"5)

- 06 -

onde o sinal negativo caracteriza o fato de que a difusão

ocorre no sentido da «enor concentração.

• Inserindo (1-4) e (1-5) em (1-3) temos a equação de Fokker-

Planck

¥í*lJ= v-/>v-rjt(?>Jp<Z*> (i-6)

[12J

• Pode-se demonstrar (teorema de Frobenius para processos

Markovianos discretos) que se a equação de Fokker-Planck ti

ver uma solução positiva, normalizada e independente do tem

po PE(x) - dita "distribuição de equilíbrio" - ela será uni

ca e toda solução positiva e normalizada deve tender assin-

toticamente a ela:

/C. PC?,*) « P (*'J e (1-7)

f —/ o*o

• Isto implica que, em (1-6):

Se além disso supusermos, o que é muito comum na pratica, • * • *

que a força de deslocamento K(x) seja conservativa - isto

implica em que ela e obtenivel de um potencial K(x)*-W(x) -

temos que

* ^ - V P . - X v v ) . o

- 07 -

• Isto é, a distribuição de equilíbrio será da forma

• Comparando com a distribuição de Boltzmann da mecânica está

tiStica [f « 1/kT)

c ** p C-/v^J0 (1.9)

temos

/ - « / (1-10)

• Esta relação é, na verdade, uma conseqüência do teorema de

flutuação - dissipação de Einstein: a é um coeficiente de

difusão, e e » é um coeficiente de atrito. Y

• Vamos estudar agora o mesmo problema a partir do método de

Langevin. Procuramos, então, uma equação dinâmica para a

trajetória x(t) de uma partícula de massa m sujeita ã força "* "* - - dx

externa K(x), â resistência mecânica do meio -e —-— e a •* •*

uma força randomica en(x), proveniente dos impactos aleato

rios gerados nas colisões entre as partículas.

• Matematicamente esta força randomica pode ser representada

por um "ruído", isto é, uma variável gaussiana cujas médias

são

—5

T (1-13.a)

<íf(*) f(4')> -2* S(t-*•') (1-13.D)

- 08 -

A equação de movimento será:

z

d-t1 j-é {

Em geral a força inercial é" desprezível sm comparação aos

outros termos (aproximação de Smoluchowski), donde segue a

equação de Langevin para o movimento Browniano:

-J— * r "- l ' \ ' (1-14)

Um procedimento sistemático para resolver (1-14) c adotar

uma condição inicial x(0) * x0, de modo que a equação pos­

sa ser reescrita numa forma integral:

i

i * Médias estatísticas sobre o ruído n(t) são definidas como:

<••-• > - Jf C-O PC*])

onde P(n) é uma distribuição de probabilidades Gaussianas

(1-11)

-ii\M^) ?(1)'- H T~T- (1-12'

« 1 e

- 09 -

cuja solução ê univocamente expressa como uma funcional do

ruído:

• A equivalência entre estes dois tratanentos (Langevin e

Fokker-Planck) pode ser aostrada partindo da premissa de

que a probabilidade de encontrar uma partícula em x e t se­

ja dada por:

• Sendo xr-t (t • c) uma solução da equação de Langevin, a

(1-15) indica que

associada com a distribuição de probabilidades

? r « > * £ ) - < í f * " ' - « ; rf<o;>> (i-i9)

• Inserindo (1-18) em (1-19) e expandindo o argumento da mé­

dia em série de potências em xj obtemos:

?(f,4.f> - KSC^-^M)^ - -2- < -'.í'C7j(+)) .

(1-20)

- 10 -

• Devido a (1-11) e (1-12). médias de funcionais de ruído

podem ser fatorizadas:

pm particular, usando (1-15.a) e (1-13.b):

<?3-[ftOJ7CO>. =o »-") ' 7

. Usando (1-17), (1-22) e (1-23) em (1-20), além da integral:

i+t

temos

a«- *w. ri ' ^ d-24)

• Dividindo (1-24) por c e tomando o limite quando e -* 0 obte

mos finalmente

- 11 -

que é a equação de Fokker-Planck ( 1 - 6 ) , anteriormente determinada.

. Para finalizar, devemos inserir u*ia observação sobre o

significado da distribuição de equilíbrio P_ ( x ) no contexto da

equação de Langevin. Segundo um teorema ergódico, a média temporal

de uma determinada grandeza relacionada a uma única partícula em

movimento Browniano tende, para tempos grandes, ã média estatísti­

ca desta grandeza para um ensemble de partículas na distribuição

de equilíbrio de Boltzmann.

1.2. A equação de Fokker-Planck de um Boson

. A analogia formal existente entre a Mecânica Estatísti -f 21 ca clássica e a Teoria de campos Euclidiana motivou Parisi e W u l '

para que utilizassem os conceitos estocãsticos (mostrados despre -

tenciosamente na seção anterior) na quantização de teorias de campo.

. Apenas para fixar as idéias, vamos exemplificar as coi­

sas para o caso de um campo bosônico ^ ( x ) , onde x s (x.,Xj ,x»,x.)

é a posição no espaço Euclidiano, numa teoria de campos cuja ação

clássica é S_ [ >J .

. Os objetivos fundamentais dessa teoria serão as funções

de Green Euclidianas de N pontos, escritas na forma de integral de

trajetórias comov ' :

\ó*

12 - .

-i-5

* * Cl-26) J-*r e

onde „£<|> = TT et4(*i) T

Sabe-se que a medida j _ -,

(1-27)

!•*• e desta integral funcional ê intimamente relacionada com a distri­

buição de Boltimann de um sistema estatístico^quilíbrio a tempe

ratura T. pela associação usual (de agora em diante escolheremos

unidades adequadas tais que -n - kT - i )

i_ s J— (1-28)

. isso implica em que as funções de Green Euclidianas

(1-26) possam ser interpretadas como as funções de correlação

deste sistema estatístico no equilíbrio. A idéia original de Pa-

VÍBÍ, e Wu foi considerar (1-27) a distribuição estacionaria (de

BolLann) de um processo estocático. Vimos (1-9) que este tipo

de processo (exemplificado pelo movimento Browniano) realmente

tem uma distribuição de equilíbrio única.

. Parabenizar este processo estocástico, suplementa­

mos o campo O U ) com uma coordenada adicional x(0 < t < - ) . dita

tempo fictício, "Quinto" tempo ou tempo de Langevin:

^W-W*/r> (1"29)

- 13 -

que não deve ser confundido com o tempo Euclidiano usual x0.

• 0 processo estocâstico pode, então, ser imaginado co

mo resultante do acoplamento do campo com um reservatório de ca­

lor (fictício) ã temperatura T. 0 sistema deve então atingir uma

distribuição de equilíbrio para grandes valores do tempo de Lan-

gevin T.

• Finalmente, ê necessário descrever a evolução esto­

cástica de <{> = $(x, T) por uma equação diferencial estocástica

que permita assintoticamente uma solução estacionaria (de equi­

líbrio). A equação mais simples é, nesta ótica, a equação de Lan

gevin.

• Entretanto, antes de escrevê-la explicitamente, va­

mos analisar a dinâmica estocástica do campo Bosônico $ pelo mé­

todo de Fokker-Planck, em analogia com o já desenvolvido para o

movimento Browniano.

• Graças ã introdução do tempo de Langevin, a distri­

buição de probabilidades será o funcional P[$, T ] , no invés de

P(x, t) como no caso anteriormente estudado.. Nesse caso, os gra-

dientes serão substituídos por derivadas funcionais (V7 •* —z—).

• Para escrever a equação de Fokker-Planck do Boson

<í>(x, T) na forma (1-6) temos de adotar uma força de deslocamento

conservativa. Como a ação clássica tem dimensão de massa (em uni

dades naturais), a seguinte associação é razoável:

j(V; -- V V(?) —* - S— s C43 (i-3o)

- 14 -

donde escrevemos por analogia a equação de Fokker-Planck

na qual a somatória abrange o caso de várias configurações pos­

síveis do campo (fizemos a « Y • 1)«

* Comparando com a equação (1-1) obtemos o Hamiltonia-

no de Fokker-Planck

(1-32)

cujo maior inconveniente, no momento, é não ser um operador Her-

miti-uno, Podemos consertar este defeito fazendo uma transformação

ri 3] de similaridade ~

o que eqüivale a definirmos uma distribuição auxiliar:

— * Ji )t Í*,r7 tal que = JJÇ \P l<p.rj (1-3S)

• Definindo o operador

, , . (J_ • L JJ—\ lU.M d S4>.(«) J (1-36)

- 15 -

podemos escrever (1-53) numa fora» bastante conveniente (e mani­

festamente Hermitiana):

Ü D • I [ J'« */(•) a. (O (1-37)

• A equaçio de autovalores (reais) para este objeto é:

° FI» f * S *f * d-38)

de maneira que podemos expandir a distribuição auxiliar (1-34)

coao uma combinação sobre o conjunto completo dos autoestados fn

$ O,?} = <L a,, e <y tyJ d-39)

• Além de llermitiana, como (1-37) é uma forma quadra ti

ca (positiva-definida) temos que Àn > 0. Há, normalmente, mais

algumas suposições gerais para a construção do espectro do Hamil

toniano de Fokker-Planck:

a. que haja um vácuo não degenerado

b. que o espectro possua um "gap de energiawacima do vácuo. o

que significa, em termos dos autovalores de^£Fp, que:

a'. X0 • 0

(1-40) b'.jA, : A, > X0

• Para grandes valores do tempo de Langevin (T - -).

Observamos que todas as exponenciais de (1-39) convergem, ã ex­

ceção daquela correspondente ao autoestado de vácuo (A0 * 0). To

mando, sem perda de generalidade , a0 * 1, temos portanto

- 16 -

Usando (1-34) encontramos: .

(1-42)

c >a©

• Vimos no caso do movimento Browniano que para tempos

(no nosso caso f) grandes a distribuição de probabilidades toma

uma forma a Ia Boltzmann (1-8); escrita, em vista de (1-30) como

^ 6 ' - C (1-43)

que comparada com (1-42) fornece o autoestado de vácuo:

1.3. A equação de Langevin de um Boson

• 0 método de Fokker-Planck ê útil em quantização esto

castiça para investigar propriedades gerais da teoria, mas na

análise de problemas particulares ê mais conveniente o uso do me

todo de Langevin que, como se viu na seção 1-1, ê equivalente ao

primeiro 'logo, nossas analogias com o movimento Browniano con­

tinuam válidas, e o correspondente Bosônico da equação (1-14) c

- 17 -

• Naturalmente, o termo randômico (ruído) deve também

ser um campo escalar. Médias Gaussianas sobre este ruído são, em

semelhança com (1-11) e (1-12), definidas como:

Uni )«, ° i 7

_ J ' (1-46) < > ,

^ u " ' " 5 ' " " . 5 " 1 ' " ' " >nde(^)n -: T T dni (*, T)

Í.X.T

• Em particular, temos que

\ (1-47.a)

u (^ n 'o ( i -47.b)

• Médias sobre produtos de mais de dois ruídos são ob-

teníveis a partir de um processo formalmente semelhante ao da de

composição de Wick

<1(».,r.^ V*a»*<' 1i«« 5> - O tl.48) 1

(1-49)

*c<*a» á5 pares

<V". T '>1( *J . T Í^

(1-50)

- 18 -

• Adotando para (1-45) a condição inicial

À Cr, **- «? ) 9 o í

as soluções serão dadas univocamente em termos do ruído

• Estamos particularmente interessados em médias Gaus-

sianas sobre o ruído de funcionais destas soluções em tempos de

Langevin iguais: J[$ (x, T) ] . Supondo, sem perda de generalidade,

o denominador de (1-46) igual a um, encontramos:

• Estes funcionais são tipicamente o produto formal

dos campos em N pontos - nesse caso estas médias serão ditas "fun

goes de correlação es tocas tica8"'.

[SI • Pode-se mostrar, heuristicamente, a conexão entre o

tratamento estocástico e a teoria de campo considerando objetos

do tipo (1-52) e a observação básica de que as médias sobre o

ruído também podem ser diretamente calculadas a partir de uma dis

tribuição de probabilidades que obedeça a equação de Fokker-

Planck (1-31):

- 19 -

I 1 J (1-53)

• Tomando o l i m i t e desta expressão quando T -* •», eusan

do (1-43)

ST-?*© 1 1 J

- S f f J

V-»-o % " ' ' . 1 J " '"* d-54)

• Assim como em (1-52), os funcionais 3*f#(x)J serão do

tipo

T T (1-55)

que inserida juntamente com as funções de correlação estocãsti-

cas (1-52) na equação (1-54) fornece

• £ - — " * »! '' ' n ' ^ N 1- r - v d-56)

onde usamos a definição (1-45) de funções de Green Euclidianas.

• Esta expressão mostra explicitamente que se pode ob

ter uma teoria de campos usual (no espaço Euclidiano) como o li­

mite estacionário - tempos de Langevin iguais e muito grandes -

de um processo estocãstico, como sugerido por Parisi e WU.

• Deste modo, uma teoria de campos pode ser tratada

perturbativamente transformando a equação (diferencial) de Lange

vin (1-45) numa equação integral - usando o método das funções

de Green - que por sua vez pode ser resolvida por iterações.

- 20 -

quando a constante de acoplamento da Lagrangeana seja suficiente

«ente pequena. Tratamentos não-perturbativos são conumente estu­

dados via equação de Fokker-Planck do campo.

21 -

CAPITULO II

QUANTIZAÇAO ESTOCÂSTICA DE UNA TEORIA ESCALAR

II.l. Regras de Feyman e Diagraaas Estocásticos

• Ilustraremos o emprego da técnica perturbativa men­

cionada no final do capítulo anterior, através de uma teoria de

Bôsons massivos neutros com uma auto-interação do tipo X*J * -1.

A ação Euclidiana deste modelo é:

sttí • ÍA [ i ^ f - f ~Y*±-ifs3 (2-D

• A equação de Langevin do Boson, segundo a forma pa­

drão (1-45) assume a expressão (32 = 3u8u) •*

?±WsC9K^ ) + &-*)+* + t(*fT)+ 1<VO (2-2) ar

onde o ruído tem médias Gaussianas (omitimos o subscrito n) da­

das por (1-47):

< l(*,r)>»o (2-3.a)

(2-3.b)

• Vamos analisar, inicialmente, a teoria livre (A »0).

Adotando a condição de contorno

f (*,r*c) «O (2-4)

- 22 -

para a equação de Langevin (2-2), podemos reescrevê-la sob a for

ma integral

r £(,,r) = {^{^^('-I'f-^lhy) (2-5)

onde G(x, T) é a função de Green (retardada) do problema, deter­

minada pelas equações:

se

ç^-o-o ie f^ O

(2-6.b)

• Para trabalhar (onde é mais conveniente) no

dos momenta usamos a transformada inversa de Fourie>:

iÀ.x

espaço

Ç K O » e 5 o*,r)

que, inserida em (2-6) fornece

se r^o

cuja solução é (omitimos os superscritos)

(2-7)

(2-8)

(2-9)

ou. no espaço de configuração, segundo (2-7)

- 23 -

C-.C J (*)"

-rrtW>*«-*. df*0

(2-10)

• Vanes considerar, então, a presença de interação

(X t 0), com a qual colocamos (2-2) na foraa integral coapleta

(2-11)

o

Efetuando uaa iteração nesta equação (o que corresponde ã tosar

a primeira ordem ea teoria de perturbação) obteaos:

[KKl 'SCl ' t1)]} (2-12)

cujos primeiros termos

• i . j ^ ^ ^ ] • * JJW j ç UÍA y 5 n pt vy^j »|*... (2-i3)

podem ser representativos graficamente. Adotamos uma linha contí

nua {"lisa") para as funções de Green (propagadores). A constan­

te de .icnplamento A associamos um vórtice trilinear, c ao ruído

uma cruz.

• Deste modo, (2-13) será representada pela expansão:

- 24 -

4 - -x +

+-

(2-14)

- 25 -

Nestes gráficos, deve-sc observar que estão incluídas as integra

ções sobre as coordenadas (ou mementa) e os tempos de Langevin

internos nos vértices bem como nos ruídos.

• A partir da expansão (2-14), podemos obter funções

de correlação de \ pontos < $(x„ t) ... • (xN. "Ü >• Quando toma­

mos as médias Gaussianas dos ruídos, todas as cruzes se combinam

de todas as formas possíveis, devido â propriedade (1-49) de de­

composição de Wick dos ruídos. Ainda, pela (1-48), vemos que al­

gumas uniões não são admissíveis. Graficamente, a fusão de dois

ruídos é representada por apenas uma cruz. Desta forma, obtemos

diagramas, que chamaremos "diagramas eatooásticoa".

• Como exemplo, para a função de dois pontos obteremos,

até a ordem de um loop:

^Mijc*,,*,^ *

- 26 -

• Cada um destes diagramas estocâsticos possui a forma

de uma diagrama de Feynman da teoria "convencional" de campos, a

menos das cruzes (onde dois ruídos foram fundidos). E possível Í14T

demonstrar, " " usando argumentos gerais, que a adição de todos

os diagramas estocâsticos topologicamente semelhantes a um dia­

grama de Feynman fornece exatamente este diagrama de Feynman (no

limite estacionãrio). Para a função de três pontos, por exemplo:

•f

-h

4-

4- 4-

4- -H

4- todas as rotações

dos gráficos SÍ2-16)

o©

• A contribuição em ordem zero de perturbação ã função

de dois pontos (correspondente à teoria livre) em (2-15) pode ser

encarada como o propagador das linhas com cruzes que ocorrem nos

diagramas:

C T - O -

nDC*-';*.*-') (2'17)

onde o campo $ livre ê dado por (2-5). Obtemos, pois, para x -• •

(o outro tempo T' será feito tender ao infinito mais tarde):

J>(*-'*,;r.r > i*U\ ^^^/^-^>7<r^*3Jrf^a,^(r*-^>-*,>^ ; *

•o T

0 0

Jt ^y^^f-j/r^s^.ruy^j^^y^1))

to

(2-18)

onde usamos (2-3.b). Lançando mão da função de Green (2-10), sem

a necessidade das funções de grau, jã que t < T e t < T', rees-

crevemos (2-18) como:

/Lf/jfilt^^[-ír-*)f<,-,>

Jf*-/W

• Efetuando as integrações em dt, d*y e d"k' obtém-se

wf * 2 • f c * » *

cuja transformada de Four ier, no espaço dos momenta, é

iXK-r.n e -_e I* z (2-20)

• Tonando o limite estacionário (x > T' -» •) pelos:

_f (2-21) l Z T>«,rfr')

que é exatamente o propagador (no espaço Euclidiano) de Feynman

de um Bõson.

• Nossas observações podem, pois, ser sumarizadas em

algumas "regras de Feynman".

I - Desenhar todos os diagramas iofol^ant^e distintos corres­

pondentes ã ordem de perturbação (iteração);

- 27 -

II. Associamos usa cruz ã contração (média Gaussiana) de dois

ruídos. Hi, então, linhas "lisa»" e "cruzadas" distribuídas

de tal modo que:

11.1. Todo "Loop" tea, ao menos, uma linha cruzada;

11.2. Dois vértices externos não pode» ser ligados por ua ca

•inho contínuo de linhas lisas;

11.3. Qualquer linha cruzada pode ser ligada a una linha ex­

terna por ua caainho de linhas lisas.

III. Associaaos ãs linhas os propagadores (no espaço dos aoaenta,

a aenos das funções delta de conservação de aoaentua-energia)

i r A T ~ ,, .„»x _

» A (2-22)

* x *3H;TS>- -) l l

e ao vértice a constante de acoplaaento

- A

IV. Nas linhas já se incluea integrações sobre os aoaenta e tem­

pos de Langevin internos. Se for o caso, deve-se, também, in

tegrar sobre o "Loop momentum" p, com a medida (2H)*

i Nos cálculos subsequentes usaremos esta expressão mais simples, obtida a

partir de (2-19) para x' muito grande, donde o termo entre colchetes é des­

prezível.

- 28 -

• Finalmente, há uma importante relação topolõgica que

fornece o número de linhas cruzadas Nx num diagrama estocâstico.

Sendo L o número de "Loops", Ni o número de linhas internas e V

o número de vértices, a relação de Euler se escreve

L = A/j - V t \ (2-23)

• 0 número total de linhas N ê tanto igual ao número

de linhas externas mais internas (NE + Ni) como ao número de li­

nhas lisas NLmais linhas cruzadas Nx, donde

N ^ A / ^ A / . -A/L (2.24)

• Como precisamos de uma linha lisa para atingir cada

vértice do diagrama

NL - v t2.25)

combinando (2 -23) , (2-24) e (2-25) obtemos:

Kl = i 4 A/ - / (2-26)

II.2. Cálculo era um "Loop" da função de dois pontos

• Apresentaremos, à guisa de ilustração do uso das re­

gras de Feynman (2-22) para a teoria escalar \$3, o cálculo até

a primeira ordem da função de correlação estocãstica de dois pon

tos, dada pela expansão gráfica (2-15).

- 29 -

• O primeiro termo (T-l) é simplesmente o propagador

da linha cruzada (2-17). Para o segundo termo (T-2), vamos com­

pletar a regra IV da seção anterior no que diz respeito à inte­

gração sobre os tempos de Langevin internos. Num diagrama, estes

tempos fluem das cruzes (T 0 » 0) até os vértices (T finito).Quan

do tomamos o limite estacionãrio: x -» «, como se sabe. Uma obser-[16]

vação engenhosa devida a Bern (e que simplifica as integra^

ções) é que, se iniciarmos o processo com x0 = -•, o limite esta

cionãrio é alcançado para qualquer tempo de Langevin finito T.

• Temos, então:

onde faremos o ordenamento ti < t2 < Ti * T2 • x para tempos ex­

ternos iguais. Naturalmente temos de considerar a outra hipótese

(ti > tí) o que introduz um fator de 2 no diagrama.

• Utilizando as "Regras de Feynman" (2-22) esta contri^

buição será ^ ,

L h

J J ' (sir)H (2"27)

-—1 e * n l I"* *-J j

90 . 00

e v2 l

e [a-iowjc^*/)

X I UMi,

30

i (2-28)

. A contribuição dos quatro diagramas subsequentes será

dada por ( naturalmente t. ^ t 2 ^ T i = T? = T ) •"

CT-3")+ •••• + fT-O *

r e d r r a w \ o s

rz + Jas cruzes

.2V ^ {^i-^MObí^-^. ) • - <*» - # o

SU/f-*.)] • C^l^^-^O } (2-29)

*

- a ,w ) ÍVM - ( l A _ « x r . M

^ • 2 \ M

+ Ck, «-* fc- O (2-30)

- 31 -

• Efetuando as integrações em dtj e dtí obtcmos

CT-J)*. CT-O

= V Ar \

"cwoW_ cv.*/fcH*(^3<J(2'31)

• Tal que a soma de todos os diagramas em um

no l imi t e e s t a c i o n ã r i o , é :

"Loop",

X I (2-32)

que é exatamente igual ã expressão analítica associada ao diagra

ma de Feynman da teoria convencional (Euclidiana):

que ilustra, até a ordem de A2 de perturbações, que a teoria es-

tocástica no limite estacionãrio reduz-se ã teoria de campos. Uma

prova mais geral (válida para todas as ordens) é dada, entre ou-

ri43 - -trás, por Grimus e Hüffel. Ha varias demonstrações dessa w equivalência na l i t e r a t u r a , usando outros métodos.

- 32 -

II.3. Regularização analítica estocástica

• Até o momento, não discutimos as divergências das aa

plitudes calculadas segundo o processo estocástico, assimindo ta

citamente que elas poderiam ser regularizadas a partir de alguma

prescrição usual.. No entanto, a introdução do tempo de Langevin

na quantização estocástica permite que possamos propor um esque­

ma novo de regularização. Antes de discuti-lo, vamos porém fa-

[4] zer uma rápida analise * ('o grau de divergência superficial dos

diagramas estocãsticos para a teoria escalar A+1 que considera­

mos. Manteremos a notação empregada no final da secção II-l.

• Como há 3 linhas bosônicas encontrando-se cm cada

vértice, o número de extremidades é 3 V. Mas cada linha interna

contribui com duas extremidades, enquanto cada linha externa com

apenas uma, donde

€ 1 (2-33)

• Usando (2-24) e (2-25) em (2-23) obtemos:

V - ^ M -AL (2-34)

ou, como NE » N E L • NEx * # de linhas externas lisas +# de li­

nhas externas cruzadas (2-35)

K * Z (*"«. + K • " ) (2-36)

• Seja Y uma amplitude (sub-diagrama) estocástica em D

dimensões do espaço Euclidiano. A contribuição, no limite esta­

cionar io, desta amplitude em termos do critério de contagem de

potências, é:

- 33 -

í~\Tr^Tr±T7 1 lomfi crui€S *• v*K<ices "* (2-37)

• Considerando-se, ainda, que a última integração nos

tempos de Langevin produz, um fator adicional no momentum exter­

no p de , ao invés de (k é o momentum de integração); p2 k2

então o grau de divergência superficial desta amplitude estocâs-tica é:

d V ) - DL -JN^ -lU-D IX (2-38)

onde Nx * Nix + NEX " # de linhas lisas •# de linhas internas

cruzadas. (2-39)

• Usando (2-39) e (2-36) obtemos, então:

Aei*)=l>L*N -A/ -3V + 2 ex et (2-40)

• Por outro lado, a amplitude de Feynman corresponden­

te (da teoria usual) a y contribui com

TT- é*l T T £ loops l indas K

i n f e r n a s

(2-41)

donde o grau de divergência superficial da amplitude de Feynman

e:

l(Y)= DL -Jtij (2-42)

Que, com o uso de (2-33) torna-se

a qual, comparada com (2-40) fornece a relação

onde usamos (2-35).

• Devido à própria maneira de se construirem os diagra

mas estocásticos, temos pelo menos uma linha externa lisa

que implica, em termos da (2-44), que

òl6U) JKO (2-45)

(o caso dE » d é obtido quando há um número máximo de linhas ex­

ternas cruzadas).

• Chegamos, pois, a uma importante conclusão: o grau

de divergência superficial de uma amplitude estocástica nunca ex

cede o grau de divergência da amplitude de Feynman corresponden­

te. Embora isto tenha sido provado aqui para o caso particular

da teoria escalar A<)>3, o fato tem validade geral. Logo podemos

satisfazer-nos, pelo menos em princípio, com as prescrições de

regularização de uso corrente, como " cutoffs" ingênuos, Pauli-

Villars, regularização dimens onal, analítica, etc; dependendo,

ê claro, das simetrias que desejamos preservar na teoria em

- 34 -

estudo. Voltaremos a considerar estes esquemas nos próximos dois

capítulos.

• Até aqui, consideramos uma dinâmica de Langevin re­

presentada por um processo Markoviano, pois usamos a seguinte me

dia Gaussiana dos ruídos (ruído "branco")'.

ri7j Ja era devida a Wiener " a observação de que este tipo de n u

dos pode levar a inconsistências (não-diferenciabilidade de mé­

dias de soluções da equação de Langevin).

D*] • Como remédio, Ito propôs a adoção de um proces­

so nâo-Markoviano, pela introdução de um regulador :j-e - uma fun­

ção suave que tende a uma delta de Dirac, variando o parâmetro c.

Nesse caso, a média Gaussiana contém um "Smearing" sobre 6(T-T')

<l(*,r) •,(*>';>>« í(*-x;^ (T-T'> (2-46)

onde, como dissemos, é:

*• (2-47)

• A introdução destas idéias no formalismo da quantiza

ção estocástica é devida a Breit, Gupta e Zaks .^ 0 uso de um

regulador sobre o tempo de Langevin, como em (2-46), parece indi

car que o esquema preserva todas as simetrias físicas da teoria,

como a invariância de Lorentz, de Gauge (o presente trabalho tra

ta justamente das controvérsias existentes sobre o fato) e Qui-

ral (para modelos não-massivos). Isso elevou o método a uma

- 55 -

posição de destaque dentre os demais, particularmente em teorias

supersimétricas. cujas dificuldades de regularização são grandes.

Este assunto será discutido nessa dissertação.

• Graças a (2-47), quando o parâmetro do regulador ten

de a zero, devemos recobrar a teoria não-regularizada . Uma esco [19]

lha particular (que adotaremos) e:

I C O = £ I * I (2-48) t

com o qual obtemos amplitudes estocásticas regularizadas com di­

vergências ultravioletas aparecendo como pólos simples em e, que

são subtraídos a fim de obtermos um resultado finito. Neste as­

pecto, o método faz contacto com a regularização analítica de

Speer.

• Outro regulador, com propriedades algo diferentes,

usado em muitos dos trabalhos sobre o assunto, ê

• Será útil trabalharmos a transformada de Fourier de

(2-48):

f 'w ^ ê

0 oc

-«0

- 36

que, usando a definição de função gama, fornece

£ | (->.*£ r&) ^/"£^[l ( '"^] (2-50)

• Para fins de calculo, basta-nos encontrar a expressão

regularizada do propagador "cruzado". Para a nossa teoria esca­

lar, o uso de (2-46) fornece, ao invés de (2-18), a equação:

-*0 -c©

onde usamos, por conveniência o "truque" de Bern para as integra

çôes. Fri$amos que, como em (2-18), ainda não tomamos completa­

mente o limite estacionário, já que T f x'.

• Escrita em termos das transformadas de Fourier , é

r r +*

3> C W > - Jt rfV

.«o - * ./

Í2 qa ; r-k)^(^rU) e

.ffci (4-* )

M L l

J rfir £

-(4*OCtvo ei* e

( A W - M *

- 4 0 0Õ T r

J

(•k f i u + t'u>)±

d* e

+»

fra^ffo-ojí^ w -£

(2-52)

-#• (4WV • Oj

- 37 -

onde usamos (2-9) e (2-50). Fazendo a substituição de variáveis

X = ui

> 4- tU

(2-53)

reescrevemos (2-52) como

l+«* (2-S4)

00

* Lembrando que, em nosso esquema, as divergências oco£

rem como pólos simples em e; são relevantes apenas termos até a

ordem de e2 no propagador. Tomando o limite c -» 0, termos de

o(e) produzem termos finitos, e termos de ordem superior contri­

buições que se anulam. Justifica-se, portanto, a aproximação:

l*f€- e i-eJL l*l+©-C«*j (2-55)

donde a forma final do propagador regularizado ê:

v (4W)

ir í**4

-*>

(2-56)

- 58 -

CAPÍTULO III

QUANTIZAÇÃO ESTOCÂSTICA DE TEORIAS DE GAUGE

III.l. O Caapo de Maxwell Livre

• Inicialmente vamos nos ater no caso relativamente

simples de um campo de Gauge Abeliano (Maxwell) livre, cuja ação

Euclidiana ê

© A j f r r (3-D

onde

P. - 3 , ^ . - 3 . A /

de tal modo que a ação pode ser expressa como

^KO

que, em vista de (3-3) é

= - ! £- + í/*^

'

(3-2)

A equação de Langevin do campo Au será

(3-4)

¥!t^m(Blf -l>-)fí~('<*>+ lr(*S) (3-5)

39 -

na qual os ruídos têm a Media Gaussiana (l-47.b)

<%(«tr> f.c»1.*'^- 2 Í ^ 5 ¥ ( « - * , ) ^ r - T ' , > (3-6)

• Nossa analise será «ais transparente no espaço dos

momenta, onde a equação de Langevin (3-5) é escrita:

7)

Pe (3-6) calculamos a função de dois pontos do ruído COMO:

• Como na teoria do capítulo anterior, adotando a con­

dição de contorno

r (3-9)

colocamos (3-7) na forma integral

(3-10)

t

r) (4,0 - \'T' °1 (Ic,r-r; rj^ <±,?')

o

onde^7Uè» ê a função de Green retardada, que satisfaz, para

T - T' > 0

- 40 -

coa as condições iniciais

(3-12)

• A solução de (3-11) deve ser ua objeto COM dois índi_

ces. Fazeaos o "Ansatx":

&7 ( 4 , ^ *«*..* 3*,*-í

(3-13)

onde A e B são coeficientes dependentes de T - x*. Para determi-

ná-los, basta inserir (3-13) em (3-11) efetuando as integrações.

A constante de integração que aparece ê fixada pelas condições

iniciais (3-12) como sendo — . A solução final e k*

*]*">•(*,- -» 2tl:le(T.T'xj-i4: i.1 J

e:

• A função de correlação de dois pontos do campo (3-10)

<f» ( i . *> f l - . f * . T ' » -

•d

o o

(3-15)

""^^./^•'^V^^)

t/ão tomamos ainda os tempos de Langevin tendendo ao infinito pa­

ra explicitar a forma geral das expressões. Usando (3-8), e deH

nindo o propagador "cruzado" do campo de GaugeJ9yp-(k; t, T') como

- 41 -

< I(V.O ()»';> • A***'^- ( W > (3-16)

obtemos c - r ' , W«iT'»T->

/ " J 7 / 7 V/>- (3-i7:

• Com o uso da função de Green (propagador da linha

"lisa") (3-14) a integração fornece (para x, T' finitos):

r -42<f>0 m 4*|T-r'i l j Í3--1&)

• Para simplificar a notação, introduzimos os projeto-

res transversal e longitudinal:

X - - - K - - l i . X. r V

(3-19)

L_. W-/

X. (3-20)

de modo que:

- 42 -

^ L CO w^(r.r') (3-21)

• Com a convenção gráfica usual, representaremos estes

propagadores como

II1.2. 0 Problema da Fixação de Gauge

• 0 limite estacionário do propagador "cruzado" ê um

tanto delicado. Fazendo tempos de Langevin iguais (T * T')

Quando tomamos T -»• », aparece uma divergência no segundo termo:

- 43 -

• O primeiro termo em (3-22) é facilmente reconhecível

como o propagador de Feynman usual do fõton no Gauge de Landau.

Mas, para obtê-lo, não foi necessário acrescentar à Lagrangeana

da teoria um termo de fixação de Gauge. Isto levou inicialmente

ã crença de que a quantização estocástica dispensava perturbati-

vamente esta fixação.

• A parte longitudinal 2LUI,T do propagador, e que di­

verge no limite estacionário, parecia ser um obstáculo muito sé­

rio ã consistência do formalismo. No entanto, Parisi e Wu l imos

tratam que este termo desaparece no cálculo de objetos invarian-

tes de Gauge, que são as quantidades efetivamente importantes.

• Pode-se entender a geração automática da fixação de

Gauge em quantização estocástica observando que, na teoria, usual,

a dificuldade está em que, para obtermos as funções de Green, d£

vemos inverter o operador

*- Ar , (3-23)

A'(v Vo que no entanto ê singular. Na teoria estocástica o operador cor

respondente é (veja (3-11)).

s„ h • nit - '4') o qual é não-singular, devido S introdução do tempo de Langevin.

• Outra forma de ver este fato ê tomando a transforma­

da de Fourier de (3-11) em relação a T:

- t'u/ T

(4,u,> - \ ÍT) (4,fO £ <>/r (3-25)

r- J "v/-

com o qual temos

• Ê curioso notar a presença do termo iw, permitindo

que (3-23) seja inversível.

• Infelizmente, porém, a quantização estocástica resul_

ta não dispensar completamente a fixação de Gauge, como apontado [20]

por Namiki e colaboradores. Eles mostraram que a fixação de

Gauge aparece sorrateiramente na escolha de condições iniciais

na solução da equação de Langevin.

• Por exemplo, vimos que a condição particular

jj U , ° ) = O (3-9)

leva ã parte transversal do propagador (3-22) no Gauge de Landau.

Outras condições iniciais levariam a propagadores transversos em

outros Gauges covariantes. No limite estacionário, temos

^ CV,T'> *JL IJ - 0-«) V i r íz í r V j

(3-27)

de maneira geral. Entretanto, o formalismo dispensa pelo menos

o termo de fixação de Gauge na Lagrangeana

1 ( 3 B { 1* r r (3-28)

- 44 -

• A princípio esta parece ser uma afirmação incoerente

com o fato de que, sendo a equação de Langevin a descrição de um

processo Markoviano ("Random Walk"), no limite de grandes tempos

o sistema como um todo tende a "esquecer" sua configuração ini­

cial. Nesta ótica a forma final do propagador nada tem a haver

com a escolha das condições iniciais

-k2t

• Isto não e verdade, pois, alem do termo a e (que

garante a convergência do propagador (3-21)) há um temo a T não-

convergente. Isto implica em que, mesmo no limite estacionário,

o sistema sempre guarda alguma "memória" das condições iniciais

- o que vai se refletir na fixação automática de Gauge (3-27),

• Outra vantagem incontestável da quantização estocãs-

tica reside na sua aplicação a campos não -abelianos (Yang-Mills).

Lembramos que na quantização via integração funcional o termo de

fixação de Gauge deve ser adicionado ã ação da teoria para que a

densidade (no espaço Euclidiano)

e'S

seja normalizável.

• No entanto, uma análise não-perturbativa revela que

para grandes potenciais de Gauge, esta fixação de Gauge não é

unívoca, o que gera por sua vez, ambigüidades na integração fun­

cional. Isto ê conhecido na literatura como problema de Gri-[21]

bov, e e tipicamente uma patologia de teorias nao -abelianas.

Como no formalismo estocãstico pode ser dispensada a fixação de

Gauge via termo aditivo (3-30), nós estamos livres das ambiguida

des de Gribov.

- 45 -

• Um problema igualmente característico de modelos não-

abelianos qparece na própria integração de trajetórias, que consi_

dera todas as configurações possíveis dos campos de Gauge. Sendo

a ação S um invariante de Gauge, temos de levar em conta que mui_

tas destas configurações estão ligadas entre si por transforma­

ções de Gauge, logo serão fisicamente indistinguíveis. Isto im­

plica na necessidade de uma prescrição que elimine este redundân [22]

cia de integração, como a dos "ghosts" de fòddeev-Popov. 0

seu uso elimina, a princípio, as divergências geradas na integra

çao de e , causadas pelo volume infinito do grupo de Gauge da

teoria.

* 0 tratamento perturbativo, na quantização estocásti-

ca, de campos nio-abelianos leva a uma geração automática dos

"ghosts" de Faddeev-Popov. Também, como no caso abeliano, as con

tribuições divergentes causadas pelo termo longitudinal do pro­

gramador do glúon devem se anular no cálculo de objetos invarian

tes de Gauge. Namiki et

(no limite estacionário)

[20] tes de Gauge. Namiki et ai. J calcularam o invariante de Gauge

^_.^ «-* ^ r~ ' f<r^' W (3-29) T-> ao * '* 3

verificando explicitamente estas afirmações.

.abe . b.c t onde Fy; - 3uAt - 3„A^ - gfabc AyV,

M. ^ Abe ••

no qual a, b, c sao índices internos e f sao as constantes de estrutura do grupo de Gauge.

- 46 -

• Para finalizar, devemos mencionar uma alternativa

proposta para o problema em questão, conhecida como fixação de [23]

Gauge de Zwanziger. l Era breves toques, a idéia consiste em

modificar o campo de Gauge, de tal modo que (3-22) seja substi­

tuído por um operador inversível. Como a equação de Langevin não

se altera mediante uma transformação de Gauge usual, esta nova

transformação deve ser semelhante, mas dependente do tempo de

Langevin x:

onde A deve ser escolhido tal que (3-2S) passe a ser não-singu-

lar.

• Este novo termo induzido pela transformação de Gauge

se cancela sempre que se trate de campos externos (desde que se

esteja calculando funções de Green de objetos invariantes) ou

quando o campo de Gauge estiver acoplado a uma corrente conserva

da. Este último caso depende das equações de movimento. No caso

de haver renormalizações, estas podem diferir do caso clássico,

introduzindo anomalias (como na renormalização BPHZ, onde a inva

riância de Gauge é quebrada). 0 esquema de regularização analíti_ [24]

ca de Speer v sofre do mesmo problema, e o melhor procedimen-T8]

to invariante ê o de regularização dimensional, para o qual

as equações de movimento conservam sua forma clássica. Devemos

verificar, portanto, se funções de Green arbitrárias da corrente

têm divergência zero quando regularizadas.

[25]

• Como mostrado por Bern e Halpern, este procedi­

mento ê incompatível com a prescrição de regularização estocãsti^

ca apresentada no capítulo anterior, razão pela qual não será

- 47 -

considerada neste trabalho.

II.3. Eletrodinâmica Escalar

• Consideraremos, agora, uma teoria de Gauge Abeliana

de interação com Bosons massivos carregados (QED escalar), obti­

da via acoplamento minimal:

9. — ^ -$.«.• « V „.„,

cuja ação, no espaço Euclidiano, é:

S C W J ' \i"*({1>-^- -*'3>T> • *»'+*+) (J-J2)

• A dinâmica estocástica de cada campo é determinada

através das respectivas equações de Langevin (D2 = DuDp):

dr S4>(n(T) + 1*(*,?}

• &*Í4(*t*)+*Z +*(*,*)+ 'fdi'*) (3-34)

^^-^ (3-35)

• -3.11.. c ^ v * * % 4 +g| (%r;

- 48 -

onde convencionamos

• Vamos utilizar em nossos cálculos o esquema de regu­

larização analítica estocástica, o que implica em que as médias

Gaussianas dos ruídos sejam dadas por:

36)

(3-37)

* *

< 1 1 > • < 1 1 > - °

(3-38)

• Passemos às "Regras de Feynman" deste modelo, tal co

mo no caso da teoria X<J>3. Além das regras gerais, devemos in­

cluir os propagadores e vértices.

• Para os campos bosônicos, os propagadores de linhas

lisas e cruzadas (regularizados) são dados, respectivamente, por

(2-9) e (2-56)

f'

49

- * — , - D Cf.- r . r> = — — = * «

' t X ^ ' (2-56)

Tf IfX

• Para os campos de Gauge, os propagadores assumirão

formas mais simples, pois nossos cálculos relacionar-

se-ão a objetos transversais (uma vez que estamos interessados,

como exposto na introdução, em verificar a influência da regula

rização estocãstica sobre a invariância de Gauge da teoria). As-

k k sim sendo, a parte longitudinal (a ** *"3 do propagador "liso"

k2

do fôton permaneceria como um espectador, podendo ser expurgada

dos cálculos sem prejuízo.

• Além disso, em vista de nossa recente discussão acer

ca da fixação de Gauge, a própria parte transversal do propaga­

dor (3-21) pode ser simplificada, assumindo a forma num Gauge

conveniente. Sabemos que isto é possível escolhendo condições

iniciais apropriadas para a equação de langevin. Enquanto (3-21)

exibe uma forma do tipo "Gauge de Landau", optamos por uma forma

tipo "Gauge de Feynman" 6y^. Logo para linhas "lisas" :

- 50 -

• A similaridade entre (3-39) e (2-9) sugere que o pro

pagador (regularizado) de linha "cruzada" do fÕton não-massivo

seja obtido de maneira semelhante. Com efeito, um cálculo intei­

ramente análogo ao anterior fornece (x = -7-5-): _ _w

Ck e) / ' • / • rj^i •

In2

. Para encontrar as expressões dos vértices de intera­

ção numa teoria relativamente complexa como esta, parece traba­

lhoso repetir o que foi feito no segundo capítulo: colocar as

equações de Langevin nas respectivas formas integrais, resol­

vê-las por iteração, associando os termos resultantes com todos

os diagramas estocãsticos nesta ordem de perturbação - conheci­

dos os propagadores, os vértices são encontrados por exclusão.

Uma alternativa um tanto menos pedestre é a seguinte:

• Sabemos que no limite estacionário a teoria estocãstica tende

ã teoria convencional Euclidiana. Os vértices de uma tal teo­

ria devem ser independentes dos tempos de Langevin, uma uma vez

que estes já estão incorporados aos propagadores. Logo, as ex­

pressões associadas aos vértices de qualquer teoria no forma-

lismo estocástico são as mesmas dos diagramas de Feynman con­

vencionais no espaço Euclidiano.

• Numa ação da forma (3-32) há vértices dos tipos Ay <J>*<|> e

- 51 -

Ay A^ <fr*$, com três e quatro pernas externas, respectivamente,.

Suas expressões Euclidianas sao

r

- - cCp+i»').. Vf > (3-41)

* - <e ei $ (3-42)

;i menos das funções delta de conservação de Momentum-energia.

11.4. Cálculo do Tensor de Polarização da QED Escalar utilizando

Regularização Estocástica

• Como já comentamos na seção II-3, a escolha de uma

prescrição de regularização prende-se muito ao tipo de simetria

que se deseja preservar na teoria. Nós estamos particularmente

interessados na manuteção da invariância de Gauge. Para teorias

de Gauge, uma maneira sistemática de verificar esta propriedade

é calculando as correções quânticas ao propagador do campo de

Gauge, i.e., o tensor de polarização do vácuo it^^ (p), onde p

são os momenta externos.

. Se a invariância de Gauge for mantida no decorrer

dos cálculos, este ê um objeto transversal:

52 -

K Tr (r> = o r r (3-43)

,\lé« disso, o fato do campo de Gauge ter massa zero implica em

que

%-<r\í f=o

(3-44)

• Antes, porém, de efetuar este calculo usando regula­

rização estocãstica, é ilustrativo retornar a QED escalar conven

cional (no espaço Euclidiano) e rever o efeito de algumas pres-[271

criçoes de regularização familiares.

• Na ordem de um "loop", temos de calcular os diagra­

mas de Feynman:

t

(3-45)

• Aplicando as regras de Feynman usuais, obtemos a ex­

pressão (D - Dimensional):

2

• Usando urn "Cut-off ingênuo nas integrações sobre

os "loop momenta" obtém-se una expressão constante.

Tr.(f)- -tJÍ , i í- - (3-47) r a Tf1 r

que não é transversal, e nem se anula para momenta externos nu­

los. Isto implica em que a prescrição quebra explicitamente a

invariância de Gauge pela indução de uma correção de massa para

o campo de Gauge.

• Podemos também nos valer da regularização dimensio­

nal. Nela, nós "continuamos analiticamente" a dimensão (Euclidea

na) do espaço de D • 4 para D « 4 - c. As divergências das ampli

tudes assim calculadas manifestam-se como polos em e (assemelhan

do-se ao que ocorre em regularização estocástica) que são subtra£

dos a fim de que se obtenha um resultado finito.

* No apêndice B mostramos que a parte divergente do

tensor de polarização do vácuo, com esta prescrição, é (B-14):

Tr.((0- I±L. (frf- -f*S ) (3-48, 3(itoe

- 54 -

que é transversal (py *ww = 0) e anula-se para momenta externo

nulo (ITUW, (0) B 0) - a invariãncia de Gauge ê preservada,

• Chegamos, assim, à regularização estocástica - que

obviamente sõ faz sentido numa teoria estocasticamente quantiza-

da. Na QED escalar, em ordem de um "loop", temos que calcular to

dos os diagramas abaixo, resultantes dos possíveis arranjos das

u ri si cruzes nas l i n h a s : " *

- 55 -

. No cálculo destas contrubuições, faremos uso tanto

do "truque" de Bern como do ordenamento dos tempos internos

ambos já expostos na seção II-2. As "regras de Feynman", aqui,

são representada por (2-9), (2-56), (3-39), (3-40), (3-41) e

(3-42). Por generalidade, trabalharemos com um número arbitrário

D de dimensões, de modo que a medida de integração nos loops é

dDk . 1'inalmcnte, faremos (2 i r )»

e = < Ccarga Jo U o ^ ( . _ 5 0 )

• Deste modo, a contr ibuição (G-l) será ( t i < t2 < Ti =

T2 * T, o fator de dois vem do outro possível ordenamento):

- 56 -

• Se estamos interessados "a priori" na parte divergen

te deste objeto, e se ela ocorre como um pólo —-, conclui-se

que a parte dos propagadores cruzados proporcional a e ín[x| pro

duz resultados finitos e pode, portanto, ser omitida dos cálcu­

los. Assim:

(«w/.'HMs*' *' o, r - r V ^ >

- 0 0 _ to

(J^f»V(-U + rV l „ e

®

r r [Cfe«P>'«.,Jl+e(JL'*«'!r£ ®

(AT, e f lt^ J .

i r 4 + »*2 w - 00

(3 -50)

Usando + °°

1 J

- eo

ií V

- C ar a

e

< + * <

- cu

* e (3-51)

e efetuando as integrações nos tempos de Langevin internos, obte

mos:

(3-52) ^«

f J w* ckwpickiff^y^^v^^

- 57 -

• Os quatro diagramas seguintes: (G-2), (G-3), (G-4) e

(G-5) são topologicamente iguais, diferindo apenas na distribui­

ção das cruzes. Isto implica num fator de 4 sobre um deles. Cal­

cularemos, então, a contribuição (ti < t2 < Tj = T 2 = T ) :

i« J'i dij W*'ISS V / ^ ^ ' ^ ^ / *

•DO

G i f t . - i . - t ^ ^ C ^ f i K . + . i f ^ ' P V ^ - f/-;<..^ >

(3-53)

Logo:

(Oi-l) • ( 6 , - 3 ) + C * - « 0 + C É , - 5 }

r *•

4ft » - 0 0

fu f él c^^yc^^L C*vf tf)UÍ[(^?f+»?] t+c &

- C ^ ' ) Í V M ' í r - ^ r , , , n - £ M«, i \ -l"-f'CT-t,)

+ ••

<S3

r ^ M-clU'zn ^[C^p^^JEV'O

. o»

T < M . (3-54)

- 58 -

• Nesse caso, incluímos os termos a c ín|x| pois este

tipo de diagramas (assim como os dois últimos) fornecem alguns

termos finitos importantes em determinados cancelamentos, como

se verá ao longo dos cálculos. Logo, teremos em (3-54) o produto

de modo que ela é desdobrada em três parcelas:

Oj-z)+... 4(6,-5) - fl «• B + C (356)

onde (nos momenta externos p podemos tomar e = 0), integrando so

bre os tempos de Langevin internos, e usando (3-51), são obtidos

os resultados:

3 . «í/e* í J ^ -ÉÍ»I«.I

Cf*? J •"" (<**xl)U+i*,>

a°4 o«H>ycifc^>„

«

t»vf [ífe^^M jU£[(fc+p->2, ^ • i . ^ a . / J

(3-S8)

59 -

oo

c -. i V ( Jk - £ *»j!ii

tf* - 0 0

U»4

C*^f^ y^*r>-( A CJLvf [clujO** J ]*£{kW4 M1'** t C k * ^ ^ J }

(3-59)

• Os dois últimos diagramas, (G-6) e (G-7), diferem ape

nas na colocação da cruz nas pernas externas, o que implica num

fator de dois sobre um deles, como (t < ti - T 2 - x)

(e,-0 =

J J (aitf r ) t>~(M/* ) <a -*t

^ - í f i r - ° (3-60)

- 60 -

donde —

«-tfcU-O- •'it j J (<w)» ^ »y« -00

-r e (* + >**)

. Tendo em vista (3-55) podemos escrever (3-61) como a

soma de duas parcelas

onde, integrando similarmente em dx,. dx2 * e dt obtemos:

Cp1)1 Jc^r (^^)

CP 2)* J C*tf (ItS-í:

(3-65)

1* Para estes cálculos utilizamos as fórmulas

©U * — . J_ (3-63)

Jx A*!*' - I (3-64)

O+*l)0*i"> *

- 61 -

• Estes resultados são expressos CM termos de integrais

cuja solução fechada ê, na maioria dos casos, impossível ou mui­

to difícil de ser obtida (alguns casos são possíveis - ver apên­

dices). Por este motivo, usaremos um procedimento aproximativo

que salienta divergências e termos finitos nestas integrais.

• Partimos do fato de que o tensor «p^ê analítico em

m para m suficientemente grande (comportamento ultravioleta da

QED escalar). Logo, wu«» pode ser expandido em série de potências

de -——. A transversal idade de *Uto, (caso seja valida) deve ser ve

rificada em cada ordem da expansão. Desenvolveremos os integran-

dos, portanto, em series de -£— (onde p são os momenta externos),

até a ordem que forneça termos que se anulem quando o regulador

é removido (e -• 0). Eventualmente estaremos interessados em al­

guns termos finitos, para verificar cancelamentos.

• Nossos cálculos serão efetuados em D = 2 e D = 4 di­

mensões .

III.4-1. Caso Bi-dimensional

• Para a expansão, vamos reescalonar o loop momentum

k -• mk. Então, (3-52) fica (p/m = p).

- I í oi t **

P* j tá cví^o^o'4* 0

(3-67) [c^AO^^t^'-O

que já fornece um resultado finito no primeiro termo da expansão

• o qual é o próprio integrando, tomado em p = 0 - ou seja:

* l i ,1

cci-o * 1 L 14A HA-3*4ê 1 pl J u») (4^0 ^

Usando (A-5) e (A-213) obtemos, no limite e •* O

(Cr-i) i-<pirf 1 1 (3-68)

A (3-56)

* Jas cro3«*

* R + B • C

será expandida por parcelas. Inicialmente, observamos que os cãl

culos são simplificados fazendo k «--»• k + p na parcela A (o que

vale a trocar o lugar da cruz no "loop"). Fazendo o reescalona-

mento k •* mk temos, para (3-59):

. Út [A * Ul+*)rC*L*f)-

^j W ( W al*oi4t[(i»tf*&*'+*! (3-69)

• Resultados nâo-nulos quando e •+ O são obtidos expan­

dindo o integrando de (3-69) até segunda ordem em p.

63 -

R • «

I - -

- V V 33 « «*., • ^

(3-70)

(3-71)

. Calculando estes termos em separado, com o uso das

fórmulas do apêndice A, chegamos após alguma álgebra nas inte­

grais (quando e -* 0):

i \ (3-72) *,.JL\ã ^l- , , l - (L

(rl) J(«) f l í^y*6 í r í p ' / „ * (»-")

í) - Ü (Jíi *M-M.l,» (f«í J («o1.

C4**o V*£

- 64 -

teJiLfS i ,Í Í . n )\ã cio

ei O/, «. A/»~ (3-75) / -c <f<P7r<* j9 *i (ViV^ V)

fi, iV (A ^ (F1? W c^o"+e grcsfiS

(3-76)

• As outras possíveis contribuições era (3-73) anu­

lam-se devido a (A-7). Colocando (3-72), (3-73), (3-74) (3-75) e

(3-76) era (3-71) encontramos:

r ^ i r ( / .2 ; i K

• Nas parcelas B e C de (3-56) ê suficiente (para ob­

ter as contribuições não nulas em e -»• C) tomar o primeiro termo

da expansão em p, que corresponde ao caso de p * 0. A propósito,

nesta situação os termos B e C tornam-se idênticos (X2 -> xi), e

sua soma é:

8 + C • H i l .*>

J*< '£ h\*i)

cPT J -*>

T p t » /> (« •» *«>

ÍÀ ^ M - (3-78)

onde utilizamos os resultados (3-60) e (3-61), De (3-68)

(3-79)

- 65 -

• Finalmente desejamos avaliar a (3-62)

cr0Js

(3-80)

de modo que, usando (3-65) com k -> mk, obtemos:

S r -ÃT(rl)i

(3-81)

•r

• 0 outro termo se obtém de (3-66). Um cálculo análogo

ao feito acima fornece:

£?- ' í o?ircr

z) (3-82)

r

A adição de todas es t a s cont r ibuições (3-49) fornece

= U-j.") P W B + c - r c A - ^

que, de (3-68), (3-77), (3-79). (3-81) e (3-82), se escreve como

II r UTi

J V f r . S r r (3-83)

+ Deve-se ressaltar que obtivemos um resultado finíto, graças ao cancelamento

da» divergências entre (3-77) e (3-81).

- 6t> -

que é manifestante transversal (pu «u„» 0). Concluímos que. pe­

lo menos em D * 2 dimensões, o processo não logrou violar a inva­

riant-ia de Gauge. Contudo, a situação muda sensivelmente quando

consideramos o...

III.4-2. Caso Quadri-dimensional

• Passaremos de D * 2 para D * 4 dimensões. As diver­

gências ultravioletas (por contagem de potências) serão mais dra

mâticas, e as contribuições ao tensor de polarização do vácuo exi

birão a dependência analítica —— com mais freqüência - o pró­

prio resultado terá uma parte divergente. Um cálculo um tanto pa

recido (onde a dimensão é D = 4 - c) está no apêndice B. Como lá

fizemos, vamos desconsiderar as partes finitas das contribuições

(em e •* 0), o que implica, também, em não considerar os termos em

e £n|x| dos propagadores cruzados.

• Sendo assim, reavaliamos as expressões da sub-seção

anterior para D « 4. 0 gráfico com duas linhas cruzadas fica (em

p » 0):

A

'V [J l -<M-* J UT,)H Ull,l\**A€ (3-84) P* J wf ; («/• <y

Novamente, com o uso das fórmulas do apêndice A, obtemos (nosso

interesse será fixado na parte divergente das expressões):

^ - - ^ ' ~ ^ ~ - . * *.t- (3-85)

(t . f. « termo finito)

Ç>H ir2pxe

obtemos

A

- t»T -

Para o gráfico com apenas usa linha interna cruzada

i ' '

(3-8(i)

onde usamos a expansão do propagador em potências do momento ex­

terno. Os A-'s são dados por:

(3-38)

^ • — ^ 1 4 *.i. 36 p V e 9f( r

4)VA6 (3-89)

3-90)

68 -

í): 1»* At ( ,«

ÍÃ Air - It-Cf) J(») J(h\) **l UirV^e

M-( 3 - 9 1 j

• Coletando os resultados C3-87), (3-88), (3-89),

(3-90) e (3-91) em (3-86) obtém-se a parte divergente:

(HT) Cf)Z ' 6 / 5Í- , At~ < A

3 ( j > ^ J £ (3-92)

• Os últimos diagramas são

Oi-O + («•-*) *

c**$- -íÜir^L l A I

(pz:> wq aW+£

(3-93)

t a i s que, f inalmente:

<5* u * CG,-0 • £ « i - 0 * f~

S*2Cfl)*£

i.l (3-94)

•Somando as contribuições (3-85), (3-92) e (3-94), te

mos o resultado, para a parte divergente:

f) + $r- 4 k f~

r Í 3 4 irJpZ£ HtTlCf2)Ja C3-95)

- 69 -

que c manifestamente não-transversal, situação que não melhora

considerando os termos finitos. Isto implica, como vimos, na que

bra da invariància de Gauge nesta dimensão. Em termos de Lagran-

gena da QED escalar, isto induz o aparecimento de um contra ter­

mo de massa não invariante de Gauge para o campo de Gauge, do ti

po:

onde Zi é uma constante de normalização.

• Tentativas de explicação desses resultados serão abor

dados no último capítulo, onde compararemos diagramas com Bósons

c Férmions. Por ora, ê intrigante notar que estes resultados pa­

recem realmente depender da forma particular do regulador esto-

cãstico.

[27]

• Por exemplo, Bern, utilizando o regulador (2-49)

para a QED escalar, chegou a conclusões diferentes das nossas,

i.e., provando a manutenção da invariància de Gauge. Curiosamen [28]

te, porem, Gonzales-Arroyo, com o mesmo regulador de Bem,

mostrou a quebra dessa simetria para uma teoria de Yang-Mills pu

ra: A mesma constatação foi atingida na referência [15], que nu­

ma "QCD Escalar" em D * 4 usaram o regulador adotado no presente

trabalho.

• De qualquer maneira, já se pode pelo menos dizer que

o simples fato da regularização estocãstica não alterar a função

deitada posição Euclidiana não ê suficiente garantia para que o

esquema preserve a invariància de Gauge - o que entra em desacor

do com algumas posições a respeito.

- 70 -

CAPÍTULO IV

QUANTIZAÇÃO ESTOCASTICA DE TEORIAS COM FÉRMIONS

IV.1. Introdução de Fémions no Formalisrao Estocástico

• A introdução de Férmions no programa da Quantização

Estocãstica envolve consideráveis dificuldades técnicas, a prin­

cipiar do fato de que não hã análogos clássicos para campos feir

miônicos, devido a seus caráter anticomutativo. Na linguagem de

operadores, isto se manifesta no aparecimento de operadores não-

positivo-definidos.

• Na literatura sobre o tema, a Quantização Kstocásti-

ca de Férmions é considerada mediante três enfoques básicos:

1. Método de Pseudo-Férmions (em teorias de Gauge na rede)

[29] .

. Proposto por Fucito et. ai, e unicamente aplicá­

vel em teorias onde os campos fermiônicos aparecem como bilinea-

res, consistindo na bosonização da integral funcional (que con­

tém, como é esperãvel, variáveis de Grassmann). O método não fun

ciona satisfatoriamente no limite do contínuo, sendo mais apro­

priado para simulações do tipo Monte-Carlo.

2. Introdução de uma massa fiotieia

[30]

• Devido a Fukai et ai, o método tenta solucionar

o problema gerado pela já mencionada não-positividade dos opera­

dores - eles podem assim ter autovalores negativos. Neste caso

os propagadores não convergem, o que impede que a distribuição

do probabilidade da equação de Fokker-Planck tenha um único esta

do de equilíbrio no limite estacíonárío. Como esta 6 uma condição

- 71 -

essencial para a equivalência entre o formalismo estocático e o

convencional, a situação ê fisicamente incômoda.

• A idéia básica ê introduzir uma "massa fictícia" pa­

ra os Férmions, o que eqüivale a tomar tj; •+ iõ na ação Euclideana

da teoria. Se, para o caso livre o método fornece bons resulta­

dos, ele c completamente inútil em modelos onde Férmions e Bo­

sons interagem, devido a uma inconsistência técnica nas respecti

vas equações de Langevin. Nas equações fermiônicas o tempo de Lan

gevin ganha dimensões (naturais) de comprimento, ao passo que nas

equações bosônicas ele tem dimensões de (comprimento)2.

3. Introdução de um "Kernel" nas equações de Langevin

• Esta técnica, publicada em trabalhos de Breit, Guota [5] [31]

o Ia ks c Damgaard e Tsokos , consiste em substituir a an­

tiga equação de Langevin (1-45) por uma versão generalizada uti­

lizando um "Kernel" Kjjl.x, y) - independente dos campos - como

segue :

dr * ^ . ^ r ) " Í4-D

• Adicionalmente, incluímos o Kernel nas médias Gaus-

sianas. de modo que, em lugar das correlações (1-47), tenhamos:

< 1 O^O J ° (1-4.a)

'' ') (4-2.b)

- 72 -

[15J • Poiic-sc demonstrar que o procedimento e formal­

mente equivalente a modificar o hamiltoniano de Fokker-Planck

(1-57) pelo sucedâneo

Além disso, se^Opp for positiva-definida e o "Kernel" for não-

singular (inversível), então o vácuo do espectro de probabilida­

de no limite estacionário não se altera com a introdução do "Ker_

nel". Portanto, nara tornar o hamiltoniano de Fokker-Planck posi

tivo-definido (caso ele jâ não o seja) podemos escolher um "ker­

nel" adequado, sem prejuízo da física do problema.

• A consistência dessa proposição ê confirmada por uma

- - W observação ja devida a Parisi e Ku - admitindo que a medida fun­

cional (1-27) seja a distribuição estacionaria de um processo es_

tocástico, qualquer equação dinâmica "a priori" ê admissível,sen

do (1-45) apenas a mais simples de todas.

No que segue, dentre os três apresentados, faremos

uma opção por este terceiro procedimento.

• Antes de considerarmos modelos mais complexos, vamos

nos fixar numa teoria de Fermions massivos de Spin 1/2 livres

(Spinores de Dirac), cuja ação no espaço-tempo de Minkowski 5

S [tfJ - [*H* [f(*>Oy;2> - M)^(.*>] (4-4) o J /

- • o -

onde ÍMX) C iMx) são variáveis de Grassmann. Trabalharemos única

mente em D = 4 dimensões, para evitar problemas com a existência

ou não desses Sninores em outras dimensões.

• Para escrever a ação correspondente no espaço Eucli-

dcano efetuamos uma rotação de Kick xQ -»-ixi, (d*x ,. = d3x dx*)

>- [ j \ l r"K>t;# -M-)?[« ,>]

(4-5)

onde 2f£ = YH^H • y.V pela representação usual y. - i"V0. As matri_

zes gama devem satisfazer ã álgebra de Clifford

• Omitindo o subscrito E, temos que a partir de (4-5) é

possível sugerir o "Kernel" fermiônico

K v3 J (4-7)

«quanto que, para campos bosônicos o "Kernel" ê trivial:

KB (*,^-- /•• /V--^) (4-8)

- 74 -

• Escrevemos, pois, a equação generalizada de Langevin

(4-1) como:

at- ( , '° = - í A xj (•••}-> ís * »".r;> ar 1 3 ] í fy'*,*•> ' (4-9,

. t í A C i ?* MJ.J f * •• M^ £ <9S>J\-a>* »i

= ( a ^ - H 1 ) , - . f ( i , r ) * ^ ( ' i r ^ (4-io)

e a respectiva equação conjugada:

(4-11)

* , T

(4-12)

onde implica em transposição matricial. 1? e fr são ruídos de

Grassmann, cujas funções de correlação (4-2) ficam:

J v

(4-13)

* Como esperado, a introdução do Kernel (4-8) faz com

que as equações (4-10) e (4-12) sejam formalmente semelhantes às

bosônicas. Isto implica na existência de funções de Green "Boeo-

nizadas" G (x - x '; T -T ' ) , obtidas de modo análogo ãs do F

- 75 -

capítulo 11.

tal que. adotando condições de contorno apropriadas rccscrcvamos

(4-11) na forma integral (o mesmo acontecendo para (4-12)):

(4-15)

• E conveniente usar a representação gráfica (no espa

ço dos momenta):

T J, .(4**Ml3ír-r )

3 1 J

M-lb) 6, (^r-r^.. . G f (|(r-T'j

• Neste caso, sendo a expressão do "Kernel" no espaço

-k:

Kij(K*%>' ( - ^ • H ) l . . r í ^ f c , 3 (4-17)

então a correlação (4-14) c re-escrita como

<^( V O ^ a W * 2('P+"\i cfY^O^-r'^4-i8) r * ' ,,3

• Nos tratamentos perturbativos, utiliza-se também a

convolução de (4-17) com (4-16), dita função de Green "Fermiôni-

<ra ":

- 76

r^-O.. JjV^Í^Vjq^fcVr-r^. (4-19)

(4-20)

r k r' a »_•

3

por convenção.

• 0 propagador da linha (bosonizada) cruzada, tal como

nos casos precedentes, é obtido a partir da função de dois pon­

tos (a menos de uma divergência de volume):

A . (V-T^rcA-U- <?í<*.Tj?i <-*.*'>> ,,-21)

usando (4-15) e (4 -18) obtém-se:

0

Jr'6m (*/r-r"í. r *

ou seja, para k' - -k, efetuadas as integrações:

- 77 -

• A expressão acima sõ c bcra-dcfinitla por meio de um

"ordenamento cronológico", com o qual f i c a (T ' > T)

à.. lK*f» •o - (

Li ( ' " « ) ( 4 - 2 5 )

' O

• Tomando o l i m i t e e s t a c i o n á r i o

A , - £ + *i l) r--r-»°° ^%M" )Í*H

(4-24)

obtem-se, como esperado, o propagador de Feynman Euclidcano.

• A prescrição de regularização analítica estocástica

faz com que o ruído (4-18) seja não-branco:

<*.(4,T)Y *>';>- K^K^A CT-r'> (4-2S)

sendo fe o regulador (2-48). Modifica-se portanto o propagador

da linha cruzada. Através de um cálculo praticamente igual ao

realizado para o campo escalar obtemos:

A (W>=-;f£ l )

)

O ^ J '« e

T

(t-êLUi)

«o < f x

r

li J (4-26)

onde o símbolo 0 representa a fusão dos ruídos ty e 0-.

- 78 -

IV.2. Eletrodinãaica Spinorial

• Nosso objetivo será o de analisar uma teoria de inte

ração com rêrmions de Dirac. cuja ação em D • 4 é:

St*r1.W-U^*r.*r~-i?L?-£*fl ^^t] (4-27)

• A introdução do campo de Gauge sugere, conforme pro­ps Z]

posto por Ishika%a que se use derivadas covariantes nos "Ker­nels", de modo que substituamos

(4-28)

(4-29)

onde convencionamos:

r s /-• Deste modo, as equações de Langevin Spinoriais (4-9)

e (4-11) para a ação (4-27) tomam a foriur

dr r Jli 'j (4-30)

i Tem sido sugerida a utilização de dois ruídos de Crassmann para as equações

fermiônicas (m, m, 02 e m, por exemplo), o que não invalida nossas ex­

pressões menos formais.

79 -

dl. (*ff) - r , T ,' x"r^

<- tf. C *, O (4-31)

• A equação para o campo de Gauge c obtida a partir do

"Kernel" bosônico (4-3); i.e..

'•l^- + e f ^ f 0-r> + 1 (*,0 <4-32>

• As correlações destes ruídos são, de acordo com

(3-36) e (4-25):

33)

(4-34)

• Neste ponto, já se pode enunciar as "Hagraa de t'cyn-

man" desta teoria estocasticamente quantizada, desde que lembre­

mos que o (único) vértice ê do tipo ijiAyil», cuja expressão Eucli-

deana convencional é (a menos da função delta)

. -*ir (4-35)

- RO -

os propagadores spinoriais são (4-16), (1-20) e (4-26) c os fo-

tônicos. já vistos em (3-39) e (3-40). Como de hábito, a presen­

ça de um "Loop" no diagrama implica em que devemos tomar o traço

do int egrando.

IV.3. Tensor de polarização do vácuo

• Usaiemos agora as mesmas técnicas do capítulo ante-

rios para calcular a correção em um "loop" ao propagador do cam­

po de Gauge (auto-energia do fôton), no caso em que D * 4 dimen­

sões, usando o esquema de regularização analítica estocástica.

• Nesta ordem, os diagramas que contribuem para o cál­

culo sao:

V - /

S «-

/

-Sh (6.-M

• r~ > — * -

u-n

B-

(6*-3) (4-36)

- 81 -

• Em princípio nosso interesse maior reside na parte

divergente (em e - 0) deste objeto, portanto não são necessários

na análise os termos do tipo e in x dos propagadores cruzados.

O primeiro diagrama fornecerá uma contribuição:

T i

- *> oo

onde o fator 2 deriva dos ordenamentos possíveis em ti < t2 <

Ti - T 2 = T. Usando os propagadores conhecidos temos (e = 1).

jj* {111* U e f e

f \ ~eO -ot

* 2 i^[C^k>MeJIV*tl

J < *

ir ®

^ * ,

TT -9Q

U », (4-38)

- 82 -

Efetuando as integrais em dt2, dtj, dxi e dx2 obte-

mos

JL r A T 4 ^ ( - / ^ H ) / ^ C ^ . H ) J

(ATÍ [Cr^^rV^M 1 ) cpx*^r^«^(4-(4-39)

• Como na QED escalar, este diagrama (com duas cruzes

no "loop") ê o menos divergente, razão pela qual sua parte infi­

nita já aparece quando se toma o momento externo zero. Obtém-se

então, após o cálculo do traço (o termo dependente da massa é f_i

nito).

í«,.o.-kV[i-i -^—.-LJLfl.í P* r J Gw>* ( t<+<) r

quando e •+ 0 obtemos

£._ Siy'ir'e

(4-40)

• Os dois gráficos seguintes levam fatores combinato-

riais de dois, e são topologicamente iguais, donde (ti < t2 <

Ti • T 2 " T)

<<?,-* ; * fc-*>

* «a , " " "

* fO « OO

^ [ Çò £ t ^ f ' + - + £ ^ < rr ^( t / ^ . - t O]

(4-41)

* ÍV j ^ c e. _, 4 + £

~.o -••

J», e p.[Vr(-f-/t^CC-^«)J 7 - —

r

-co

J*i

-^[fUpiVM'Ji^-t,)

II 4-**,

(4-42)

• Calculando o traço na expressão e efetuando as inte­

grações nos tempos de Langevin e nas variáveis xi e X2 obtemos:

(c-i) T c«;-.r>»

^ CC^P^H'J "§t | .%^*-r-M l3

(4-43)

- 84

. Devido ã simetria dos diagramas, vamos fazer

ora (4-45), e reescalonar o loop momentum. Sendo D * p/M. nós de­

senvolvemos o denominador em series de potências de p. como em

(3-70), chegando finalmente a

c r .(^'iP^^.'/.i./,^

^-ȣ

aj. o T M * '.«.

(4-44)

(4-45)

• Calculando explicitamente estes doze termos, através

das fórmulas do apêndice A já utilizadas antes, obtemos, no limi

t e t •» 0

T, - I&ÍL f £i _ L 1 «V * . v * + £ Cp2; / ^ T ) W cV*o; Vir'yVi (4-46)

7 _ HV r j»l Sr-\Kjf> $r Sr„ - 2 <

ToT/> (finito)

- 85 -

ijiVfj** -í-f* 3 cf»>* J

í„. («>' (V«-0

5 « « trY (finito)

l'£, 1,1 Cf*y Jf-»o* (**o'

£ • > £

H'«V-

v/V f A 2 . * ^ £

;* (?fJfaf (ki<<) £-=-

3+e ,Ve

' i i - .w&Vf A ** (r*y J (*rf

r.'1hV[i"i

t

(4 -47)

(4-48)

(4-49)

/£ irV'6

(4-50)

y r J ("> (4V<r£ wry>« (4-51)

- 86

" c f1) ' J (*»>' (kl* O

(fc'")'*4 fí ir'Cj-') f

i4 •"*(*.»/£

(4-55)

(4-54)

(4-S4)

. Coletando todos estes resultados cm (4-45) temos

Ci.*.)

C^-2} * C $ - 0 1 ^ J/£L *f j.*r*e ^n-?cf

l)ae (4-56)

observe que os termos de massa (4-46), (4-47) e (4-51) cance­

lam-se de uma maneira surpreendente. Combinando este resultado

com (4-40) obtemos a parte divergente do tensor de polarização

do vácuo da QED Spinorial.

r U - O - c*-*>* r« , -0

//cT,^

S E V ' T ' C

H=-r arlCf

l)'e (4-57)

• liste objeto c não transversal, assim com-ocorrido na

QF.D escalar.

- 87 -

IV .4. Conclusões

• Tendo estudado o efeito da regularização estocástica

(RE) em resultados obtidos para a QED Spinorial, vamos procu&r

analisá-los tosando como ponto de referência os cálculos do capí

tulo anterior, realizados para a QED escalar. Primeiramente, ob­

servamos uma interessante conexão da prescrição de RE com a regu­

larização dimensional (RD), que poderíamos enuniciar na forma:

a RE de um "loop" com n cruzes é equivalente, no sentido da RD,

ã continuação analítica da dimensão para D * 4 - — . • n

• Na QED escalar, em D * 4, o gráfico com duas linhas

internas cruzadas e (3-85) X

a - o s c . _ £ -GHJT P £

fazendo c •• - | - , i . é . , (G-l)sc •* 2(G-1)SC obtém-se:

0»-O * *- (4-58)

" 32rye de modo que o "novo" tensor de polarização seja

II r (4-59)

que c manifestamente transversal. Observemos que este resultado

concorda com o obtido no apêndice B via RD (B-14), com D «4 - ——,

a saber:

(4-60)

- 88 -

• A mesma constatação é feita na QED Spinorial, onde o

gráfico correspondente é (4-45)

5P

que, sendo t •* e/2 fica

Ccro* , òr~ <4"61> 5 *

3<trl7T

£-(*• fr

le

<e com o qual

Tí

• Com o uso da RD, como encontrado em [ò] por exemplo,

o resul tado na dimensão D * 4 - - | - é 2

r sr ( j r v 2 l r p* / eA <4"í'3'

• Em ambos os c a s o s , os g r á f i c o s com uma cruz no "loop",

(a outra na l inha do campo de Gauge) fornecem os mesmos r e s u l t a ­

dos da NH. Vemos, assim, que o termo problemático (no sent ido da

quebra de invariância de Gauge no resul tado f i n a l ) c o grá f i co

(4-1) para as duas t e o r i a s . Se o fa to depende ou não da forma par

t i c u l a r do regulador adotado, ê um problema em a b e r t o , f

• Uma in tere s sante apl icação dos presentes resu l tados

[33] i Por exemplo, Gavela e Huffei, utilizando-se do regulador (2-49) obtive­

ram na QED Spinorial um resultado transversal para o tensor de polarizaçlo.

" 89 "

diz respeito ao problema da regularização de teorias super-simé-

tricas. Este é um antigo quebra-cabeças , jâ que as prescrições

usuais produzem contra termos não invariantes (de Gauge e/ou su-[34j

persimetria) na Lagrangeana. Tem sido tentado, com sucesso,

a utilização da técnica de "Heat-Kernel" em combinação com o mé­

todo de campos de fundo (que possui alguma similaridade com o pro

cedimento adotado neste trabalho).

• A observação básica c a de que o gráfico com duas l'±

nhas internas cruzadas da QED escalar é o dobro do corresponden­

te na QED Spinorial, com sinal trocado. Como este c o diagrama

que origina os contra-termos não-invariantes, isto sugere que a

invariância de Gauge não é violada em teorias supersimétricas on

de haja duas contribuições bosônicas, o que implica no cancela­

mento destes termos problemáticos.

[25] • Num trabalho recente, onde os resultados presen-

[37] . tes foram estendidos para a QCD com Bosons e Fermions, sao

apresentadas duas alternativas factíveis:

•*• Acoplando o campo de Gauge (tratado como campo de fundo) a um

multipleto supersimétrico de matéria (constituído de dois campos

bosônicos carregados e um Férmion de Dirac) os contra termos bo-

sõnicos e fermiônicos geram um contra termo supersimétrico inva-

riante de Gauge - devido ao fator de dois no gráfico da QED esca

lar já mencionado.

•*• Numa teoria de Yang-Mills supersimétrico não estendida (N«l),

temos uma contribuição de um Spinor de Majorana (na representa­

ção adjunta do grupo de Gauge) e a contribuição escalar é repre­

sentada pela autointeração do modelo:

- 90 -

(4-64)

acrescida de im fator combinatorial de dois (devido às 2 contra

ções na expansão de Nick).Mais uma vez o contratermo supersimé­

trico produzido é invariante de Gauge, o que indica forteaente a

utilidade da RE na eliminação das divergências em modelos com su

persimetria.

• * *

- 91 -

APÊNDICE A

INTEGRAÇÕES EU D DIMENSÕES

A . l . Integrações de ob je tos com índices

• Temos, genericamente, a in tegra l ca D «linensões. f

j / i i ^ l . Sabemos que o resultado deve ser proporcional a um objeto sime-

trizado com dois índices (ôp,J

<t $ (A-l)

• u l t i p l i c a n d o (A-l) por ô u „ . e sendo ôUy * T r4* D

CsJ-[i*k 4 0 0 4 * (A-2) 3> J

que, inserida em (A-l) fornece a identidade (válida unicamente

sob o signo de integração!):

V - • £ - * • £ -• No caso da integral

\i'l fU">lrl-lr*f

o resultado, além de constante, deve ser um objeto simetrizado

com quatro índices, formado â partir dos deltas de Krõnecker como

i^-Ví-V^") (A-4)

i No espaço Euclideano.

- 92

• Multiplicando por 6»_ 6,* acha-se, após alguma álgebra

(T l

donde a identidade formal ê

j'* tfVXV) (A-S)

r r f -« i

D * JT> ínVí.-^*^Víf;^»-)

Por razões análogas, mostra-se que:

(A-7)

A.2. Coordenadas D-Esféricas Ü37]

• Seja a integral dDk f(k2), onde ku é o D-momen-(2»)*>

turn Euclideano ky * (ki k D). Introduzindo coordenadas D-es

féricas polares

* , ' ( * / * / • • . - . » , . * >

onde

^ V V e a medida é

* *' . t J% * i cíA J+ *~ô(áfc>4*M ^ d * ,

(A-8)

- 93 -

* Os intervalos de variação são os usuais

o < k <r-c

o < + < w

0 < ô < T Cx-I t ' *

• entao:

ir J -2 " «O

c^y (A j g ^ - y^-p-j^v^ ( « ^ ^

o

* Da teoria das funções gama, sabemos que (Re x > 0

Re y > 0):

f i x ' 4 2M-« . p ( , \ p ( 0

o

fazendo

temos que:

* . r ( ¥ ; r ( r ) \è+ »~ ^ « í Utjt- * *

r( r(k+2 (A-

Como f ( '/* ) " ^

- 94 -

»-* VC-i1) n (A-l l )

temos que (A-9) fica

v6 n%j 0

.2 -• Fazendo, finalmente, k = x a (A-12) e reescrita

(A-13) f i i ...5 ^ ^ ~ ^

A. 3. Cálculo da integral: \ 2. ,2. - V J

• Neste caso, basta fazer J (•"•>» ( k \ A~*£

•f (»> - X

na equação (A-13). Logo temos de resolver

aH W)* . / ' ( , / 4-**-*

d< cw/ftft/r** c^)V(%) J c«,o~*£ (A-i4)

• Usando a função beta •° .( sei*)- (.*" ^ - rwrf,)

- 95 -

escrevemos esta integral como

w • - - B í* «tf - £ v\ 2_

£ - - ~ )

r(~*o (A-15)

Sendo n um inteiroP(n) -(n - 1)!. Obtemos. por fim

< (5-*—).iH-5-fc-';.i fcfitf Ci-0.'f—")! (A"16)

• Na tabela a seguir, estão expostos os valores desta

integral para diferentes valores de D, n e m.

i As fórmulas estão indicadas segundo a tr ipla (A-Dnm)

r \ 3

h

on i •si

D» 4

31-

On i

Or»

i

£*2

r<>

<T»

o»

JC-a-I

3 a -•

Orx *-\ on

i

3h *h

m On

Ov 4

ON

I

<h m

0r\ 4

ro

3h 4

2

Sh on 4

or»

(T)

V On 4

rot

on

^

On

*h

'On] 4

*h 4 F O

% ^ t 4

«Si *õn

4

3h 4

•

*o^ 4

*h or\

4

4

h 4*

ON

- 97 -

APÊNDICE B

TENSOR DE POLARIZAÇÃO QED ESCALAR

UTILIZANDO REGULARIZAÇÃO DIMENSIONAL

• Para efeitos comparativos, vamos avaliar o tensor de

polarização da eletrodinâmica escalar com o uso de uma prescri­

ção "boa" fnão quebra a invariãncia de Gauge) - a regularição di

[26]

mcnsional. Na ordem mais baixa, os diagramas a serem calcula­

dos são

L (£-°) r

t, sendo as regras de Feynman aquelas válidas para a teoria quanti-

zada convencionalmente. Neste caso a expressão (3-46) correspon­

de ã (3-47). As amplitudes são calculadas inicialmente numa di­

mensão arbitrária D, que será analiticamente continuada para

I) • 4 - c. As divergências, como se sabe, também aparecerão como

pólos em (que devem ser subtraídos, a fim de fornecer a parte

finita da amplitude).

. 0 primeiro gráfico de Feynman a ser considerado ê:

(B-l)

(B-2)

- 98 -

• Usando (A-1S). con n * 0, • « 1 - c . tcmos (c * 1)

n>-il^ z t (~'>*"V(?Oro-%) c«)D rc%)

• - ii= rO-£Oc~'> («<r)eA

• O outro gráfico a ser calculado 6:

< f i ü C?**p).U^P>.-8 * e J(*/ C f ^ ^ - ^ C ^ . - 1 )

«. *) \ i-5- i ^ _ + (B-S) JH fr- i -^ [ChfiWW*-.*)

r J»i '

-*.

+ i P (£L c + ( r ~ o 1 Jew)9 [cfc.^.'jfi^^1) /

(B-4)

- 99

* As integrais acima são bem mais complicadas que as

vistas no apêndice A. Comumente se emprega as seguintes fórmulas, f37l

baseadas no uso da parametrizaçao de Feynman: - J

tfc&~;>r p

rc-p - f ) [ im «Vorc*c<-o p2^ « -.* -^

o % - • - r

^ - «. - p (B-(>)

U 4

7r ) o

4-K P „, 9 . 7 ÍB-7) [,<(i^)p'ívo^)^] ,c ^ rc*+f"3-)J

- 100 -

• No cálculo de li. usamos (B-7) con k - -k. mt *m2 *

ra, n » 1 e p » 1, obtendo

o

• Para I2. usa-se (B-5) COM as mesmas substituições ao

í**R.T- — <u [ « o - o r ~ j (B.9)

da mesma forma que, usando (B-6). obtemos:

V a , rr1-1- J- [- 0-> rV~ J -c (B.I0) («TV J

• Portanto

II -• 9 ^ B * í) + i +r +r tj

em vista de (B-2). (B-8). (B-9) e (B-10), é igual a

- 101 -

l \ L. .

r (Mir)

Z-l

(ir)' -/

N * * 1 .2

• J U L . r c< - - > f «i- («-^-5* c- c«—«>f »A * )

2 * • x* J

(B-ll)

• Vamos tomaT o limite desta expressão D •* 4, explici­

tando o pólo que existe em D » 4. £ conveniente usar a aproxima­

ção:

re*- f) (-0 •? i -1

p->H (Ji-O.1 (</-i>;>£- (B-12)

• Então:

Tf tL^ i^

i

- 102 -I

3(HlT) ( f ~J>)

c f r r - - p * ^

+ _ v - ( *<«*' t H 2 „ i

(It)1 I «/- 3 V -J>

* cr,r--r2^o * M 3 ftíTT^ (V-D) (B-13)

• Escrevendo, como ê usual, D • 4 - e, podemos dizer

que a parte divergente do tensor de polarização do vácuo ê dada

por

^T-tfrT'-ri-* 1 / - v ,r i „ , -/- - - (B.14)

onde, naturalmente, o pólo se manifesta em E + 0 (que é equiva­

lente a D •* 4).

- 103 -

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