Huygens, a Helena da Geometria

e o aprisionamento do tempo

Carlos FarinaUniversidade Federal do Rio de Janeiro

Programa: “Ciencia as 19 horas”Instituto de Fısica de Sao Carlos (IFSC/USP)

Sao Carlos, 19 de junho de 2012

Plano da apresentacao

1. Vida e obra

2. Em busca de um pendulo isocrono

3. Cicloide, a Helena da Geometria

4. A dor de dente de Pascal e a competicao de 1658

5. Huygens, a tautocrona e o pendulo cicloidal

6. O pendulo conico isocrono

7. Comentarios finais

Vida e obra

Christiaan Huygens (1629 - 1695)

Retrato feito por Caspar Netscher, 1671(Museu Historico, Haia, Holanda)

• Nascido em Haia, Holanda, filho de Constantijn Huygens eSuzanna van Baerle, Christiaan Huygens era matematico,fısico e astronomo.

• Seu pai era um homem de muita cultura e influencia,conhecido como poeta, latinista, musico e matematico.

• Sua casa era frequentada por pessoas celebres, como ReneDescartes (1596-1650) e Rembrandt (1606-1669).

• 1645 - Universidade de Leiden - matematica e direito.

• No entanto, a superioridade de suas habilidades em mecanicae matematica ja eram evidentes em 1646 (aos 17 anos):

(i) mostrou que a curva formada por um fio suspenso por seusextremos (denominada catenaria) nao era a parabola;

(i) solucionou o problema da queda livre e movimento deprojeteis (nao conhecia os trabalhos de Oresme e Galileu)

• Esses resultados impressionaram Mersenne (matematico,padre e teologo frances) que teve um papel crucial nadivulgacao cientıfica da epoca (“internet”de seu tempo)

• Em carta a seu irmao Constantijn, Huygens conta sobresuas descobertas relativas a queda livre dos corpos

• Distancia proporcional aoquadrado do tempo:

1

3=

1 + 3

5 + 7=

1 + 3 + 5

7 + 9 + 11= ··

• Corpos projetados para olado descrevem parabolas

• Huygens pede a seu irmaopara mostrar sua carta aseu pai que, orgulhoso dofilho, escreve a Mersenne

• 1651 - primeiros escritos em matematica (secoes conicas).

• 1654 - publica “De Circuli Magnitudine Inventa”, que lhe daalguma reputacao.

• 1655/56:- estuda choques elasticos (publicacao em 1669);- De Ratiociniis in ludo aleae (Do calculo no jogo de azar);

1o trabalho publicado sobre teoria das probabilidades;

• 1655/56:- com seu irmao, cria metodo de polir lentes; melhores

imagens (∼ 90×); varias observacoes astronomicas:- descobre uma lua de Saturno (Titan);- analisa a superfıcie de Marte;- observa a nebulosa de Orion;- desvenda o misterio de Saturno!

• 1656 - publica “De Saturni luna observato nova”;

o medo de estar errado × prioridade da descoberta fazHuygens explicar o misterio de Saturno em um anagrama:

aaaaaaacccccdeeeeeghiiiiiii ℓℓℓℓmmnnnnnnnnnooooppqrrsttttt uuuuu

• Em carta de 28 de marco de 1658 a J. Chapelain ...

• A solucao do anagrama e publicada apenas em 1659:“Annulo cingitur annulo tenui, plano, nusquam cohaerentead eclipticam inclinato.”“Saturno e rodeado por um anel tenue, plano, que nelenao toca estando inclinado em relacao a eclıptica.”

• 1656/57 - Huygens construiu o 1o

relogio de pendulo.

• Em 1636 Galileu pensou em acoplarum contador ao pendulo. Parece terconstruıdo um modelo (inacabado).

• Galileu faleceu em 1642; seu filhotampouco termina a construcao.

• A patente foi concedida a Huygens.

• 1658 - 4 publicacoes em matematica e geometria; publica“Horologium”, onde descreve seu invento anterior.

• Ainda em (1658), participa de um concurso sobre acicloide; retifica a cicloide.

Obs: Fermat ja retificara aparabola semicubica e Torricelli,a espiral logarıtmica (1640).

• 1659 - publica “Systema Saturnium”, onde descrevedetalhadamente suas observacoes sobre o anel de Saturno:

Figura: Capa da obra “Systema Saturnium”, publicada em 1659.

• 1661-1663: apos visita a Londres e conversa com Boyle,Huygens passou a construir suas proprias bombas de vacuo:

• “Suspensao anomala”:1a observacao de pressao negativa(carta de 28/12/1661 a seu irmao)

• Intensa correspondencia commembros da Royal Society (elesnao conseguiam reproduzir seuexperimento)

• 1662-1670 - Huygens constroi varios cronometros marıtimos.

• Huygens esteve interessado na construcao de relogios porquase 40 anos: de 1656 ate 1693.

• 1663 - torna-se membro da Real Academia de Londres.

• 1665 - descreve pela 1a vez a sincronizacao de dois relogiosde pendulo presos a um mesmo suporte.

• 1665 - e convidado por J.B. Colbert (ministro de LuisXIV) para fundar a Academia de Ciencias de Paris.

• 1666 - membro fundador da Academia de Paris (o quelhe rende um bom salario e apartamento bem situado).

• 1666-1681 - vive em Paris (2 visitas a Holanda).

• 1669 - publicacao sobre choques elasticos.

• 1673 - uma de suas publicacoes mais importantes:

“Horologium oscillatorium sive do motupendulorum ad horologia aptato demostrationesgeometriae”

(Relogio de pendulo, ou demonstracoesgeometricas do movimento pendular aplicado arelogios)

Capa de sua obra mais importante

Conteudo do Horologium Oscillatorium:

• Contem 5 partes; bem mais do que uma descricao derelogios; e um tratado sobre movimento acelerado decorpos em queda (pendulo como exemplo);

• 1a parte: descricao de caracterısticas mecanicas derelogios de pendulo;

• 2a parte: proposicoes sobre corpos em queda sob acao dagravidade: queda livre, planos inclinados, trajetoriascurvilıneas; demonstra que a cicloide e a curva tautocrona;

• 3a parte: teoria das evolutas e involutas; retificacao decurvas; evoluta da cicloide e a propria cicloide (deslocada);

• 4a parte: a mais longa; trata do pendulo fısico(nao-idealizado), cuja massa esta distribuıda ao longo dopendulo; 1as nocoes sobre momento de inercia;

• 5a parte: pendulo conico isocrono (esfera no final do fio semove sobre paraboloide de revolucao); evoluta da parabola;13 teoremas sobre forca centrıfuga;

• grande parte dos resultados contidos em HorologiumOscillatorium foram obtidos no final de 1659;

• 4a parte foi desenvolvida somente em 1664.

• Hooke tambem mostrou (antes de 1673, mas apos 1659) queas revolucoes sobre um paraboloide de revolucao tem perıodoindependente da altura;

• 1675 - projeta relogio com molas, mas a prioridade e dada aR. Hooke (∼ 1660)

• 1673 - teoria ondulatoria da luz (publicada em 1690).Observa:

• dupla refracao; exp. com espato da Islandia (Calcita).• polarizacao da luz, mas nao adota vibracoes transversais;

Obs: Newton argumenta:

Polarizacao =⇒ Transversalidade das vibracoes da luz

Transversalidade⇐⇒ incompatıvel com eter luminıfero

Com esse argumento, refuta a teoria ondulatoria da luz

- Teoria corpuscular domina por ≈ um seculo e meio;- Somente com Young e Fresnel a teoria ondulatoria e aceita;- Tiro de misericordia na T. corpuscular (vel. da luz na agua);- J.C. Maxwell: luz como onda eletromagnetica (unificacao);- H.R. Hertz: 1o a gerar e detectar ondas EM (1887);- Mas, por ironia da historia da ciencia, ..., dualidadeonda-partıcula, surgimento da teoria quantica.

• 1681 - volta a Holanda por motivos de saude; a morte deColbert em 1683 e clima religioso nao propıcio fazem comque Huygens nao retorne mais a Paris;

• 1681 - apresenta na Royal Society sua teoria de gravitacao;nao admitia acao a distancia (Newton na audiencia!).

• 1690 - publica Traite de la lumiere; bonitas explicacoes parareflexao e refracao. Enunciado do Princıpio de Huygens:

Cada ponto de uma frente de ondano eter hipotetico e interpretadacomo uma fonte de novas per-turbacoes (ondıculas secundarias)que se espalham esfericamente e anova frente de onda e a envoltoriade todas estas ondıculas...

Figura: Capa do livro “Traite de la Lumiere”, publicado em 1690. Noteque, nessa edicao, Huygens tambem apresenta a sua teoria da gravitacao.

• Ha diversas preciosidades no tratado da luz de Huygens, comopor exemplo sua discussao sobre propagacao da luz naatmosfera (nao-homogenea):

• 1690 - “Discours de la cause de la pesanteur” (gravitacao);

• 1693 - ultima publicacao sobre relogios;

• 1695 - falece em Haia; ultimos anos: solidao e melancolia.

• 1698 - “Cosmotheoros”; publicacao postuma sobrepossibilidade de vida extraterrestre.

C. Huygens foi seguramente um dos maioresfısicos do seculo XVII, seculo dos genios (Galileu,Kepler, Descartes, Fermat, Pascal, Torricelli,Huygens, Hooke, Newton,...)

• Apelidado por Newton de “Summus Ingenius”;

• Leibniz: amigo pessoal ate o fim de seus dias; considerava-sediscıpulo de Huygens;

• Sommerfeld: Huygens foi o especialista mais brilhante emrelogios de todos os tempos.

Para Joseph Louis Lagrange (1736 - 1813):

Huygens foi destinado a melhorar e desenvolvera maioria dos descobrimentos de Galileu

Galileu =⇒ Huygens

• Telescopio (20×) =⇒ melhorou telescopio (92×);

• Luas de Jupiter =⇒ Lua de Saturno;

• Saturno (3 estrelas?) =⇒ desvendou o misterio deSaturno (anel)

• Princıpio de Inercia =⇒ Teoria do MovimentoRelativo;

• Quase obteve Acent. =⇒ obteve a formula da Acent.;

• Isocronismo do pendulo =⇒ pendulo cicloidal;

• Sugeriu Relogios de pendulo =⇒ construiu!

Em busca de um pendulo isocrono

• Galileu na catedral de Pisa (aos 19 anos): oscilacoes deum lustre com perıodo independente da amplitude

• Conta-se que teria usado o proprio pulso para medir osintervalos de tempo;

θ0

ℓ

m

amplitude das oscilacoes

Para Galileu:

perıodo τ nao depende da

amplitude de oscilacao θ0

Huygens:

percebe que isso so e verdadepara pequenas amplitudes de oscilacao

• Valor teorico exato para qualquer amplitude de oscilacao:

τ(θ0)

τ0

= 1 +12

22sen2

(θ0

2

)+

12 × 32

22 × 42sen4

(θ0

2

)+ ...

onde

τ0 = 2π

√ℓ

g

O problema da longitude

• Motivacao de Huygens: aprimorar de cronometros marıtimos.

• Navegacoes: medicoes de latitude e longitude eram cruciais.

• Um bom navegador podia verificar a latitude por meio daduracao do dia, altura do sol ou observaoes das estrelas.

• No entanto, a medicao do meridiano exigia muito mais:exigia a medicao precisa do tempo!.

• A diferenca entre a hora a bordo (ajustada, por ex, quando osol atingisse o zenite) e a hora do porto de saıda poderia serconvertida em graus de longitude.

• Cada hora de discrepancia equivale a 15o de longitude que,por sua vez, podem ser traduzidos em distancias.Proximo a linha do Equador: 1o ←→∼ 110km

• Ou seja, cada 4min de erro no relogio do porto acarretava umerro de ∼ 110km na posicao do navio (na linha do Equador).

• Dominar a marcacao do tempo (“aprisionar o tempo”) eraimprescindıvel para as navegacoes. Era uma questao devida ou morte, literalmente.

• A utilizacao do pendulo como contador do tempo, aumentoua precisao dos relogios de aproximadamente 15 min para 15 s.

• Ate mesmo a Companhia Holandesa das Indias Orientaisdemonstrou interesse na construcao de relogios mais precisos.

• No final do seculo XVII e inıcio do XVIII tomou proporcoesinimaginaveis: em 1714, o parlamento ingles ofereceu“milhoes de reais” para quem descobrisse um metodo praticoe util de se determinar a longitude.

Procedimento do Huygens

• Como as ondas do mar alteravam a amplitude dos pendulos,Huygens decide construir um pendulo isocrono e utiliza-lonum cronometro marıtimo.

• Como compensar o aumento do perıodo para grandesoscilacoes? Inserindo obstaculos laterais!

ℓ

obstaculoobstaculo

comprimento efetivodo pendulo ℓef

ℓef < ℓ

Mas que forma deve ter cada obstaculolateral para que a diminuicao docomprimento efetivo do pendulo (ℓef)compense o aumento de seu perıodo (τ)com a amplitude (θ0)?

• Huygens tentou (em vao) estabelecer um metodoexperimental para determinar a forma dos obstaculos;

• Desistiu da ideia em 1658, voltando a restringir aamplitude de oscilacao;

• No entanto, uma feliz (?) coincidencia o aguardava:

- a dor de dente de Pascal -

Cicloide, a Helena da geometria

• A cicloide foi descoberta por Charles Bouvelles (1501)em sua tentativa quadrar o cırculo.

• Essa curva foi muito estudada por Galileu (∼ 1599) e, naFranca, independentemente, por Mersenne (la roulette);

• Definicao cinematica: um ponto P em um cırculo que rolasem deslizar em uma linha reta descreve uma cicloide.

XO

Y

CicloideP

• Propriedade fundamental: a reta tangente a cicloide em Ppassa pelo ponto mais alto da circunferencia geratriz

circunferenciageratriz

trajetoriacicloidal

P

ponto mais alto

ponto de contato

• Em uma ocasiao, Pascal escreveu:

“A cicloide e uma curva tao usual e corrente quedepois da reta e da circunferencia nenhuma outracurva e tao comumente encontrada. E descritatao frequentemente diante de nossos olhos que esurpreendente que nao tenha sido consideradapelos antigos..”

• Na epoca, havia a necessidade de novas curvas, para testar aeficiencia de novos metodos, ...

• A cicloide logo se tornou popular entre os matematicos;

• Nomes importantes relacionados a cicloide: Galileu, Mersenne,Roberval, Christopher Wren, Pascal, Huygens, irmaosBernoulli (braquistocrona), Newton, Leibniz, Torricelli, ...

• Devido ao numero de disputas provocadas entre matematicos,a cicloide foi apelidade de Helena da Geometria, em alusao aHelena de Troia, cobicada e disputada por varios homens.

Dor de dente de Pascal

• Em uma noite de novembro de 1654, Pascal experimentouum extase religioso que o fez abandonar a matematica e aciencia pela religiao.

• Em 1658, um curioso episodio ocorrido na vida de Pascalacaba influenciando os rumos da mecanica daquele seculo.

• Para suportar uma absurda dor de dente, Pascal, em umato de desespero, resolveu pensar em problemas sobre acicloide que Mersenne lhe passara certa vez.

• Inexplicavelmente, a ideia funcionou! Pascal interpretousua melhora como um sinal divino para que continuassepensando sobre a cicloide;

• Apos trabalhar intensamente por muitos dias, nao soresolveu tais problemas como criou varios outros;

A competicao de 1658

• Em lugar de publicar seus resultados, Pascal resolveuapresenta-los em forma de concurso;

• Haveria premios para quem resolvesse a contento certosproblemas desafiadores sobre a cicloide; Roberval foiescolhido como um dos juızes da competicao.

• Matematicos e fısicos da epoca, entre eles Huygens,Wren e Fermat, cientes da competicao, comunicaram aPascal suas descobertas sobre a cicloide.

• Apenas 2 conjuntos de solucoes foram entreguespleiteando os premios (Lalouvere e Wallis), mas Pascal eRoberval decidiram nao lhes conceder os premios.

• O vencedor do concurso foi Amos Detonville, anagrama deum pseudonimo de Pascal (resolveu todos os problemasde forma brilhante, ganahando o concurso e o premio).

Huygens, a tautocrona e o pendulo cicloidal

• Familiarizado com a nova curva (cicloide), Huygensdecidiu verificar se ela solucionava o seu problema(pendulo isocrono);

e deu certo!!

Procedimento de Huygens:

• Considerou um corpo deslizando sobre uma superfıciecicloidal lisa:

2R P (θ)

superfıciecicloidal

• Mostrou inicialmente que tal corpo oscila de modo queseu perıodo nao depende da altura de onde e abandonado;

• Portanto, se o pendulo descrever uma cicloide, seuperıodo τ nao dependera da amplitude de oscilacao θ0;

• Huygens chega a esse resultado mostrando que aprojecao vertical do movimento sobre a superfıcie cicloidalcoincide com a de um Mov. circular uniforme auxiliar;

• Persiste a questao: qual e a forma do obstaculo lateralpara que o corpo no extremo do pendulo descreva umacicloide?

• Huygens se pergunta: por que nao tentar obtaculoscicloidais?

e deu certo novamente!!

Primeira parte da demonstracao:

• Corpo parte do repouso de uma altura H ;

• Em t, o corpo se encontra em h. Como desceu H − h,

v2 = 2g(H − h) =⇒ v =√

2g√

H − h (1)

h

Hα

α

R

R

superfıciecicloidal

• Da figura, temos vvert = v cosα . Usando a propriedadefundamental da cicloide, temos, tambem

(2R cosα) cosα = h =⇒ cosα =

√h

2R(2)

• Substituindo (1) e (2) na equacao vvert = v cosα , obtemos

vvert =

√g

R

√h(H − h) (3)

Huygens introduz um MCU auxiliar de raio H/2 e veloc. u(a ser ajustada convenientemente):

β

d

v

uH2R

h

H − h

H

2

Da figura, temos

uvert = u cosβ, onde cosβ =d

H/2=⇒ uvert =

ud

H/2(4)

• Das propriedades de triangulos retangulos, podemos escrever

d

H − h=

h

d=⇒ d =

√h(H − h) (5)

Substituindo (5) em (4), obtemos

uvert =u

H/2

√h(H − h) (6)

Comparando com a equacao para vvert, a saber,

vvert =

√g

R

√h(H − h) (7)

vemos que, se escolhermos

u

H/2=

√g

R, ou seja u =

H

2

√g

R, (8)

as projecoes verticais dos 2 movimentos coincidirao!

Portanto, o intervalo de tempo desde que o corpo eabandonado ate atingir o ponto mais baixo da sup.cicloidal e o mesmo que no movimento auxiliar ocorpo gasta para dar meia volta:

1

4τ =

πH/2

u=

πH/2

H/2√

g/R=⇒ τ = 4π

√R

g(9)

O perıodo nao depende H!

Obs: para que um pendulo simples oscilando com pequenasamplitudes tenha esse perıodo seu comprimento deve serℓ = 4R (esse resultado era esperado?)

Segunda parte da demonstracao:

• Huygens desenvolveu a teoria das evolutas e involutas;

A

B

curva M : involuta de L

curva L:evoluta de M

centro de curvaturaO

• A evoluta da curva M corresponde ao lugar geometricodos centros de curvatura da curva M

• Dada uma curva M , so ha uma evoluta para ela; noentanto, dada uma curva L, ha varias involutas possıveis

Conjecturas (corretas) de Huygens:

• A reta perpendicular a curva M em B (perpendicular areta tangente em B) e tangente a curva L em A, isto e, asperpendiculares a curva M sao tangentes a curva L;

• Dada uma curva, so ha uma evoluta, pois uma curva podeser tracada a partir de suas tangentes (e a envolvente dastangentes);

• A evoluta da cicloide e a propria cicloide, deslocada edefasada de π rad. (Huygens foi feliz em sua suposicao,pois nem sempre a evoluta de uma curva e a propriacurva)

• Imaginemos que as duas geratrizes azuis girem juntas:

OO ′′

O ′

C ′′

C ′

A ′

C

A

d ′

d ′

2R

2R

• A tangente em A passa por C ′′ e, portanto, a perpendicularem A passa por C; a tangente em A ′ passa por C; Basta

mostrar, entao, que C ′′CA = C ′CA ′, ou seja, que os

comprimentos de arco AC ′′ e A ′C ′ sao iguais.

Inicialmente, note que A ′C ′ = O ′C ′ ; Temos tb

CC′′A = OC =⇒ CC′′ + C ′′A = OO′′ +O′′C =⇒ C′′A = O′′CA evoluta da cicloide e a propria cicloide defasada e deslocada!

esboco de um relogio

com

pendulo cicloidal

feito por Huygens

(Horologium Oscillatorium)

O pendulo conico isocrono• pendulo conico usual: movimento analogo ao de uma

partıcula no interior de uma calota esferica: a normal fazo papel da tensao.

• L e o raio de curvatura do arco de cırculo que gera, porrevolucao, a calota esferica (e nao da trajetoria dapartıcula)

calota esferica

θ′L

θ

L

θ 6= θ′ =⇒ τ 6= τ ′

• No entanto, pendulos diferentes podem ter perıodos iguais,pois τ so depende da projecao vertical h.

h θ Lθ′

L′

L cosθ = L′ cosθ′ = h

τ = 2π√

Lcosθg , τ ′ = 2π

√L′ cosθ′

g =⇒ τ = τ ′ = 2π√

hg

• Huygens conhecia esse resultado e, com ele, construiu umrelogio baseado em um pendulo conico isocrono.

• Note a presenca de um contrapeso do lado direito comcorrente parcialmente apoiada no solo.

• Huygens construiu um segundo relogio baseado em umpendulo conico, mas que era fruto direto de seus estudossobre evolutas.

• Ha alguma superfıcie de revolucao cuja forma faca com que osmov. circulares de uma partıcula deslizando em seu interiortenham o mesmo perıodo para qualquer raio da trajetoria?

• Em caso afirmativo, ela deve ter a propriedade: a projecaovertical do comp. do pendulo conico equivalente deve ser cte(PS = Cte).

Z

z = f(ρ)ρ

C

P

C ′

P ′

comprimento do pendulo

conico equivalente (PS)S

pto de suspensao

efetivo

• O paraboloide de revolucao possui essa prorpriedade!

• Mas como fazer a esfera no extremo do pendulo se moversobre tal superfıcie? =⇒ Evoluta da parabola(William Neile, 1657)

Z

z = αρ2ρ

C

P

obstaculo

com o perfil

da evoluta(semi-cubica)

pendulo conico

isocrono

(descrito em

Horologium)

Oscillatorium)

←− evoluta daparabola

Comentarios finais• Huygens esta entre os maiores astronomos, fısicos e

matematicos do seculo XVII.

• Solucionou um dos problemas mais desafiadores demecanica do seculo XVII: determinou a curva tautocronae com ela construiu um pendulo isocrono;

• Involutas - origem: analise do movimento de umapartıcula que se solta da borda de um disco girando noreferencial (nao inercial do disco.

• Soulcao de Huygens =⇒ retificacao da cicloide; (8R)

Seus interesses foram bastante variados. Alem dos topicos jamencionados, poderıamos ainda aumentar muito a lista:

• diversas outras curvas; a forma achatada da Terra; maquinasde combustao interna,...

• desenvolveu escala musical com 31 tons por oitava queinfluenciou a musica em seu paıs.

• Com os irmaos Bernoulli e Leibniz, obteve a catenaria(presente em construcoes e .. bicicletas de rodas quadradas)

• Universalidade da matematica: “pessoas de outros mundosainda desenvolverao geometria euclidiana”(Cosmotheoros)

A cicloide e a braquistocrona

• A cicloide e solucao de outro problema famoso em mecanica:o problema da braquistocrona (do grego: menor tempo),proposto por Jean Bernoulli em 1696.

Dados dois pontos A e B em um plano vertical, quale a curva tracada por um ponto sobre o qual atuasomente a gravidade, que comeca em A e atinge Bno menor tempo.

• Foi resolvido em 1697 por ele proprio, Jacques Bernoulli,Leibniz, L’Hopital e Newton.

• Conta-se que Newton teria resolvido o problema no mesmo diaem que o recebeu, apos chegar em casa cansado do trabalho.

• Ao receber uma solucao vinda da Inglaterra, mas semidentificacao, Jean Bernoulli teria dito:

“E pelo tamanho da pata que se reconhece o leao.”

E difıcil resumir em poucas palavras descobertas tao geniaisquanto as de Huygens, mas os textos de V.I. Arnold e S.S.Gindikin o fazem com maestria:

Huygens investigou muitos problemas emanalise, otica e mecanica. Por exemplo, 11anos antes da primeira publicacao de Leibnizem analise e 13 anos antes do surgimentodas “leis de Newton”, Huygens publicouseus calculos sobre forca centrıfuga emmovimento circular (ou seja, ele diferenciouduas vezes uma funcao que toma valoresvetoriais e usou a “segunda lei de Newton”).

V.I. Arnold, “Huygens and Barrow, Newton and Hooke”

“A dramatica historia do trabalho deHuygens e muito instrutiva. Num certosentido, sua maior ambicao nao foi realizada:ele nunca teve exito na construcao decronometros marıtimos e o pendulo cicloidal,que Huygens considerava seu principalinvento, nao sobreviveu a relogios de terra(restricoes na amplitude eram suficientes). Opendulo conico sofreu do mesmo problema.Mas seus resultados fısicos e matematicos,que foram motivados por problemas deaperfeicoamento de relogios, sobreviveramate os nossos dias, na analise infinitesimal,geometria diferencial e mecanica, e nao sepode subestimar seus significados”

S.G. Gindikin, “Tales of Physicists and Mathematicians”

Bibliografia

• Gindikin S G 1988 Tales of Physicists and Mathematicians(Boston: Birkhauser)

• Sobel D 1995 Longitude (New York: Walker PublishingCompany Inc.)

• Arnold V I 1990 Huygens and Barrow, Newton and Hooke(Berlin: Birkhauser Verlag)

• Andriesse C D 2005 Huygens: The Man Behind the Principle(Cambridge: Cambridge University Press)

• Yoder J G 1988 Unrolling Time: Christiaan Huygens and theMathematization of Nature (Cambridge: CambridgeUniversity Press)

• Bell A E 1947 Christian Huygens and the Development ofScience in the Seventeenth Century (London: Billing and SonsLtd., Guildfor and Esher)