IBP126_15

Copyright 2015, Instituto Brasileiro de Petrleo, Gs e Biocombustveis - IBP

Este Trabalho Tcnico foi preparado para apresentao na Congresso Rio Automao, realizado em maio de 2015, no Rio de Janeiro.

Este Trabalho Tcnico foi selecionado para apresentao pelo Comit Tcnico do evento, seguindo as informaes contidas no

trabalho completo submetido pelo(s) autor(es). Os organizadores no iro traduzir ou corrigir os textos recebidos. O material

conforme, apresentado, no necessariamente reflete as opinies do Instituto Brasileiro de Petrleo, Gs e Biocombustveis, Scios e

Representantes. de conhecimento e aprovao do(s) autor(es) que este Trabalho Tcnico seja publicado nos Anais do Congresso Rio

Automao 2015.

______________________________ 1 Graduando, Universidade Federal do Rio Grande do Norte

2 Doutor Universidade Federal do Rio Grande do Norte

IDENTIFICAO DE UM SISTEMA DE TANQUES

ACOPLADOS NO LINEAR COM ATRASO UTILIZANDO RNA

Jos K. E. da C. Martins1, Fbio R. de L. Souza

1, Fbio M. U. de Arajo

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Resumo

Este trabalho apresenta o desenvolvimento, e testes, de um software para identificao de dinmicas no lineares,

utilizando Redes Neurais Artificias, do tipo perceptron de mltiplas camadas, utilizando o algoritmo de treinamento de

retropropagao do erro, conhecido como backpropagation. Como estudo de caso foi utilizado um sistema de tanques

acoplados. A estrutura de modelagem utilizada foi do tipo NNARX (Neural Network Autoregressive, exogenous input).

Para a validao do modelo foram realizados testes com o sistema em malha aberta e malha fechada. Para encapsular todo

o processo de identificao, desde a coleta de dados at a validao do modelo neural obtido, de uma forma simples,

direta e intuitiva, o software foi desenvolvido em mdulos, que iram auxiliar a identificao no linear de sistemas

dinmicos inclusive na presena de atrasos, como podemos verificar nos resultados apresentados.

Abstract

This paper presents a software to identify nonlinear, with time delay, dynamic systems using artificial neural networks.

This software is, didactically, divided into modules to provide a simple, functional and very intuitive user interface. The

implemented neural network was a Multilayer Perceptron, by using Backpropagation error learn method. A real didact

system of coupled tanks was used to demonstrate the software utilization. A neural model to the coupled tanks was,

satisfactorily, obtained, as it can be seen in validation curves. The results shown in this paper confirm the capability of the

developed software to identify nonlinear, with time delay, dynamic systems on a simple and intuitive way, as it was

proposed.

1. Introduo

Desde o surgimento da matemtica, os homens tentam estudar e compreender fenmenos e sistemas que os

auxiliem a solucionar problemas do seu cotidiano. Para isso faz-se necessrio uma representao matemtica desses

sistemas, ou seja, um modelo matemtico. O modelo matemtico pode ser representado a partir de equaes que

descrevem a fsica do processo, mas existem casos onde a descrio do sistema complexa ou no se possvel obter uma

representao com base nos fenmenos fsicos. Uma possvel soluo para esse problema a obteno do modelo

matemtico a partir do processamento de dados coletados do sistema, possibilitando a descrio de sua dinmica. Este

procedimento denominado de identificao de sistemas.

Segundo AGUIRRE et al., (1998), um dos grandes desafios na histria da cincia tem sido obter sistemas

anlogos aos processos e fenmenos observados no universo. Por sistema anlogo entende-se um sistema capaz de

reproduzir algumas caractersticas do fenmeno observado. Esses sistemas anlogos so denominados de modelos, e

existem diversas formas de se obter esses modelos. NUNES (2006), afirma que a modelagem matemtica de sistemas

adquire importncia especial na soluo de problemas de engenharia. Atravs de modelos matemticos pode-se predizer o

Congresso Rio Automao 2015

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comportamento de um sistema, possibilitando a realizao de simulaes, sob diversas condies de operao. Com isso,

pode-se ajustar controladores e/ou estudar formas de melhorar o desempenho do sistema atravs de simulaes.

Podemos separar as tcnicas para a modelagem de sistemas dinmicos em trs categorias, so elas: A modelagem

caixa branca, que utiliza os fenmenos envolvidos nos processos, e as leis da fsica que descrevem esses processos, para

obter um modelo que represente o sistema; A modelagem caixa preta, tambm conhecida como identificao, que utiliza

dados do sistema, como valores de sadas para entradas conhecidas, para encontrar um modelo que represente o mesmo, pressupondo pouco ou nenhum conhecimento prvio do sistema; E a modelagem caixa cinza que incorpora algum

conhecimento sobre a fsica do sistema modelagem caixa preta. Segundo JNIOR (2014), com a crescente evoluo e

disponibilidade de computadores, o uso de modelos computacionais tem aumentado em praticamente todas as reas do

conhecimento humano, de modo que nos dias atuais o processo de modelagem de sistemas reais de grande importncia

em quase todas as reas da cincia. Diante disso, atualmente, com a grande capacidade que se tem de coletar dados e, em

muitos casos, a dificuldade de se obter as relaes fsicas que regem a dinmica de um sistema, torna-se interessante a

utilizao de mtodos de identificao.

Os sistemas dinmicos encontrados na prtica so, em ltima anlise, no lineares, e apesar de em alguns casos

uma aproximao linear ser satisfatria, em muitos outros casos os modelos linearizados no conseguem representar de

forma satisfatria o sistema real, no linear. No entanto, as Redes Neurais Artificiais (RNA) possuem caractersticas que a

tornam atrativas para o uso em aplicaes como a identificao de sistemas dinmicos no lineares, como a capacidade de

generalizao e aprendizado. Segundo HAYKIN, (2001), evidente que uma rede neural extrai seu poder computacional

atravs, primeiro, de sua estrutura maciamente paralelamente distribuda e, segundo, de sua habilidade de aprender e,

portanto, generalizar. A generalizao se refere ao fato de a rede neural produzir sadas adequadas para entradas que no

estavam presentes durante o treinamento (aprendizagem). Estas duas capacidades de processamento de informao tornam

possvel para as redes neurais resolver problemas complexos (de grande escala) que so atualmente intratveis. Em termos

de identificao, diversos trabalhos fazem o uso de RNA. Drummond (1999) utilizou RNA tanto para a identificao,

quanto para o controle de um sistema pendular inverso sobre carro, Linhares (2007) utilizou RNA para a identificao da

frao molar de pentano na composio do GLP, Fernandes (2010) fez uso da RNA para identificao de cargas lineares e

no-lineares em sistemas eltricos residenciais, Fernandes (2006) identificou um sistema de nvel em ambiente industrial

utilizando RNA entre outros trabalhos.

O controle de nvel est presente em diversos setores indstrias, inclusive na indstria do petrleo. O controle de

nvel na indstria do petrleo abrange algumas etapas de sua produo, desde a extrao do petrleo at o seu

processamento e armazenamento. Durante essas etapas o controle de nvel exerce diferentes funes, como por exemplo:

Regulador de reagentes qumicos, na qual manter a especificao, para maximizar o lucro, de suma importncia; No

processo de armazenamento do petrleo e seus derivados, evitando assim um nvel mnimo indesejado ou um possvel

transbordamento. Devido a estas caractersticas, a identificao da dinmica de um sistema de tanques acoplados foi

escolhida como estudo de caso para o presente trabalho. Dentro dessa perspectiva, esse trabalho apresenta a identificao

de um sistema de tanques acoplados, com dinmica no linear e atraso de transporte, utilizando RNA. Para tornar a

identificao de sistemas dinmicos, brevemente tratada na seo 2, uma tarefa simples e intuitiva, conforme a

metodologia apresentada na seo 3, foi desenvolvido o software apresentado na seo 4, com o qual foram obtidos os

resultados apresentados na seo 5.

2. Fundamentao Terica

Lucena (2005), apresenta diversas estruturas baseadas em redes neurais apropriadas para identificao de

sistemas no lineares, estas so generalizaes das estruturas de identificao linear. Elas so caracterizadas pelo seu

vetor de regresso, ou seja, pelo vetor que contm os valores passados das variveis usadas para se estimar a sada do

sistema. Algumas estruturas de identificao linear so: FIR (Finite Impulse Response), ARX (AutoRegressive,

eXogenous input), ARMAX (AutoRegressive, Moving Average, eXogenous input), OE (Output Error) e SSIF (State

Space Innovations Form). Dependendo da escolha do vetor de regresso, diferentes estruturas de modelo neural emergem.

Se o vetor de regresso for selecionado de forma similar utilizada pelo modelo ARX, a estrutura de modelagem neural

ser chamada NNARX (Neural Network ARX). Do mesmo modo, temos as estruturas NNFIR, NNARMAX, NNOE e

NNSSIF. Segundo Nrgaard et al. (2001), os modelos de estrutura NNARX e NNFIR so sempre estveis, pois

representam puramente relaes algbricas entre as variveis do modelo. Essa caracterstica pode ser observada, pois

esses modelos so BIBO (Bounded Input, Bounded Output) estveis por no possurem realimentao da sada estimada.

No modelo NNFIR, o vetor de regresso formado apenas por medies passadas das variveis de entrada do processo.

No modelo NNARX, so acrescentados ao vetor de regresso valores de medies passadas das variveis de sada do

processo.


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Devido a esses motivos, a estrutura escolhida para identificar a planta foi a NNARX. A expresso matemtica da

estrutura no-linear estendida NNARX descrita como:

],(kf[=)(k,y ) (1)

Os paramentos que sero ajustados no modelo esto contidos no vetor . Onde (k) e so dados por:

T)]du(k,d),u(k);y(k,),[y(k=(k) ......1 (2)

Tbbaa ],...,;,...,[' 01 (3)

No entanto, f[.] uma funo no linear, aproximada por uma estrutura especfica, como por exemplo, uma rede

MLP. Dessa forma, de maneira geral, a equao que define a estimao obtida por meio dessas estruturas no lineares

pode ser representada pela Equao.

))(),...,(),(),...,1(()( dkudkukykyfky (4)

sendo os valores de y(k-i) e u(k-j) dados por regressores, utilizados como entrada da rede.

A Figura 1 apresenta o diagrama dessa estrutura, onde )( ky a sada estimada da planta, d o atraso de

transporte, a ordem da sada, a ordem da entrada, y a sada e u a entrada da planta. Pode-se notar a aplicao de regressores neste modelo, fazendo com que a sada presente da rede esteja relacionada com valores passados de entrada e

sada do sistema a ser identificado. A utilizao de regressores de fundamental importncia, uma vez que a estrutura

projetada com o intuito de identificar a dinmica existente em um sistema fsico.

Figura 1. Estrutura do modelo NNARX

3. Metodologia

Uma caracterstica importante no mtodo de identificao o grau de conhecimento a priori do sistema.

Normalmente no se pressupe qualquer conhecimento prvio do sistema, neste caso classifica-se a identificao como

caixa-preta como dito por Sjberg et al. (1996). Com o passar do tempo, surgiu necessidade de haver mtodos que no


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exigissem do usurio um profundo conhecimento do processo, mas permitissem a utilizao de conhecimento prvio sobre

o sistema durante a sua identificao, resultando, normalmente, em modelos melhores e fisicamente mais significativos

segundo, Johansen (1994) e Lindskog & Ljung (1994). Procedimentos com essa caracterstica so denominados mtodos

de identificao caixa-cinza. Segundo Nrgaard et al. (2001), identificar um sistema consiste na tarefa de determinar um

modelo que represente a sua dinmica a partir de uma srie de medies de suas variveis. Um dos objetivos deste

trabalho analisar a aplicao da rede MLP na identificao de sistemas dinmicos no lineares. O processo de

identificao se dar a partir de um conjunto de dados de entrada-sada.

O procedimento bsico de identificao pode ser divido em 4 etapas, como descrito a segui. Na primeira etapa,

conhecida como coleta de dados, a planta recebe um sinal de excitao e observa-se a influncia dessa variao na sada.

Dessa forma, caracterizado um par de entrada e sada, sendo esse a base do conjunto de dados obtidos. Um sinal de

excitao que geralmente aplicado em identificao o sinal PRBS (Pseudo Random Binary Signal), e suas variaes,

como o sinal PRS (Pseudo Random Signal) que tambm muito utilizado na prtica. A segunda etapa, conhecida como

seleo da estrutura de modelagem, consiste em escolher, entre as famlias de estruturas de modelagem, qual a mais

apropriada para descrever o sistema em questo, por exemplo, estruturas de modelos lineares, redes perceptron de

mltiplas camadas, redes de funes de base radial, wavelets, etc. Na terceira etapa, conhecida como estimao do

modele, feito o ajusto dos parmetros da estrutura escolhida. Quando esta um modelo neural, esse processo

usualmente chamado de treinamento ou aprendizado. Nessa etapa se faz uso do conjunto de dados obtidos durante a

coleta de dados, e da estrutura de regressores previamente selecionada, para se montar um conjunto de treinamento, que

ser usado para, com base no algoritmo de treinamento escolhido, ajustar os parmetros livres da RNA, de forma a melhor

representar a dinmica do sistema a ser identificado. Na quarta etapa, conhecida como validao do modelo, feita uma

analise, onde se verifica a capacidade da rede em dar uma resposta que seja aproximadamente igual a da planta

identificada, para uma entrada diferente das apresentadas no treinamento. Se o modelo satisfizer os requisitos do projeto,

ele aceito e estar pronto para ser utilizado para os fins a que foi desenvolvido. Em caso contrrio, deve-se retornar para

alguma das etapas anteriores, buscando aprimorar o modelo.

4. Funcionalidade do software Desenvolvido

O software desenvolvido tem como objetivo implementar uma RNA para identificao de sistemas dinmicos,

no lineares, com atraso de transporte. Por questes didticas, foi dividido em mdulos. Para cada mdulo h uma

interface, onde o usurio interage com o software, como ser descrito posteriormente.

O mdulo inicial do software possibilita realizar a etapa de coleta de dados. Nesse mdulo possvel gerar um

sinal do tipo PRS, definindo valores mximos e mnimos da amplitude e do perodo. Um grfico auxiliar permite observar

o sinal que est sendo gerado e a resposta do sistema ao mesmo. Tambm possvel determinar a quantidade de amostras

que se deseja obter e limites de segurana nos quais a planta pode operar. Aps a coleta solicitado ao usurio que salve

os dados coletados em um arquivo, este arquivo ser utilizado em outros passos do processo de identificao.

Figura 2. Interface do mdulo inicial do software

No segundo mdulo, o usurio define a ordem e o atraso do modelo, como est sendo utilizada a estrutura de

modelagem NNARX, ao preencher esses campos definido o nmero de entradas RNA. Na atual etapa da pesquisa, o

software identifica apenas sistemas SISO, portanto, a RNA ter apenas uma sada. Por questo de simplificao

utilizado mesma ordem para entrada e sada do sistema. Desta forma ao carregar os dados que foram coletados,


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montado o conjunto de treinamento. Aps a criao do conjunto de treinamento solicitado ao usurio salvar o conjunto

de treinamento em um arquivo, este arquivo ser utilizado em outros passos do processo de identificao.

Figura 3. Montando o conjunto de treinamento

No terceiro mdulo solicitado ao usurio carregar o conjunto de treinamento. Com tal conjunto devidamente

carregado, o usurio pode escolher os demais parmetros da estrutura da RNA: quantidade de camadas escondidas,

quantidade neurnios e o tipo de funo de ativao nas camadas escondidas. As funes de ativao implementadas

foram sigmoide e tangente hiperblico. O usurio tambm escolhe critrio de parada de treinamento da RNA, podendo ser

o valor desejado para o erro mdio quadrtico de treinamento e a quantidade de pocas. Dos algoritmos de treinamento, o

usurio pode optar pelo backpropagation simples e o backpropagation com momentum. Tambm possvel determinar a

quantidade percentual de todo o conjunto de treinamento, que se deseja utilizar, para treinamento da RNA e para teste. O

mdulo tambm conta com um boto continuar treinamento que possibilita ao usurio parar o treinamento em qualquer

instante, salvando assim os pesos, e depois, em outro momento, continuar o treinamento. Neste ambiente possvel

observa o erro mdio quadrtico do treinamento atravs da curva de aprendizagem, que mostra a relao do nmero de

pocas com o erro mdio quadrtico. Aps o treinamento da RNA solicitado ao usurio a salvar o conjunto de pesos da

RNA em arquivo, este arquivo ser utilizado em outros passos do processo de identificao.

Figura 4. Mdulo de configurao de parmetros da RNA

No ltimo mdulo realizada a validao da RNA. Inicialmente o usurio carrega a RNA, a partir de um arquivo

salvo, e define se irar fazer a validao em malha aberta ou em malha fechada. Caso o usurio escolha malha aberta, o

sinal de excitao ser do tipo PRS, e caso seja malha fechada o sinal de entrada ser gerado por um controlador

proporcional integral derivativo (PID), sintonizado pelo usurio para acompanhar uma referncia. Dessa forma possvel


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acompanhar a sada real do sistema e a sada da RNA, sendo possvel altera em tempo real a realimentao da RNA com

dados coletados do sensor ou da sada da prpria RNA.

Figura 5. Mdulo de validao do modelo

5. Resultados

O estudo de caso escolhido, para demostrar uma aplicao do software desenvolvido, foi um sistema de tanques de acoplados, com dinmica no linear e atraso de transporte. Tratasse de uma planta didtica da Quanser (Apkarian, 1999), composta por dois tanques acoplados, contendo ainda uma bomba, e um reservatrio. Os dois tanques contm um

orifcio na sua base, que permite o fluxo de gua. O tanque superior receber a gua bombeada do reservatrio, sendo

assim o tanque superior alimenta o tanque inferior pelo orifcio em sua base e o tanque inferior fecha um ciclo com a gua

voltando para o reservatrio, pelo seu orifcio. Os tanques tm altura de 30 cm, dessa forma o nvel do liquido pode variar

em uma faixa de 0 a 30 cm. A bomba recebe uma tenso que pode variar na faixa de -3 a 3 volts, para valores negativos a

bomba suga o liquido do tanque e para valores positivos a bomba faz o bombeamento do liquido para os tanques. Na

figura 6, podemos ver uma representao do sistema de tanques acoplado, assim como o esquemtico de comunicao da

planta, que ser descrito posteriormente. A comunicao do software desenvolvido com a planta feita atravs de um

servidor TCP/IP, que est conectado a uma placa de aquisio de dado, tornando possvel a leitura dos sensores e a escrita

de um sinal eltrico na bomba.

Figura 6. Esquemtico de comunicao

O primeiro passo para a identificao foi coleta de dados, utilizando assim o primeiro mdulo do software

desenvolvido. Para tanto, foi gerado um sinal do tipo PRS, podendo variar sua amplitude em uma faixa de -3 a 3 volts. Foi

coletada a resposta da planta. Quando excitada pelo sinal PRS, para um total de 30 mil pontos. A figura 7 mostra o sinal

de excitao aplicado no sistema e a sua resposta.


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Figura 7. Sinal de excitao e resposta do sistema para 30 mil pontos

Como observado na figura 7, o PRS originalmente utilizado no foi capaz de gerar, na faixa de 20 a 30 cm, uma

quantidade de dados suficientes para uma boa identificao da dinmica do sistema quando operando nessa faixa. Para

contornar esse problema, foram coletados mais 5 mil pontos, utilizando um novo sinal PRS, com parmetros escolhidos

de forma a garantir que o nvel do sistema seja mantido na regio desejada.

Figura 8. Sinal de excitao e resposta do sistema para 5 mil pontos

Com os dois conjuntos de dados, um de 30 mil e um 5 mil, passou-se para o segundo mdulo, criao do

conjunto de treinamento. Nesse mdulo foi definida a ordem do modelo como sendo 2 e atraso do modelo como sendo 3,

sendo criado o conjunto de treinamento. Observe que nesse ponto foram criados dois conjuntos de treinamento, referentes

s duas amostras e s depois os dois conjuntos foram agrupados para formar o conjunto de treinamento final. Passou-se

para o prximo mdulo, treinar a RNA. Nesse mdulo foi definido como critrio de parada o erro mdio quadrtico de

1x10-7

ou 6000 pocas. A rede neural utilizada contava com uma camada escondida, contendo 4 neurnios, que por sua

vez, usavam funes de ativao do tipo sigmoide. O algoritmo de treinamento utilizado foi o backpropagation com

momentum, definido a taxa de aprendizagem com o valor de 0,005 e o momentum com o valore de 0,01. Para acelerar o

treinamento e manter os valores de entrada da RNA na mesma ordem de grandeza, o conjunto de treinamento foi

normalizando. Atravs da figura 9, pode-se notar que a rede no convergiu para o erro mdio quadrtico desejado, dessa

forma, o treinamento foi interrompido por atingir o nmero mximo de pocas.


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Figura 9. Curva de aprendizagem da RNA

Aps o treinamento foi feita a validao da RNA. Foram feitos dois ensaios, primeiro ensaio foi feito com a RNA em malha aberta, foi gerado um sinal de excitao do tipo PRS com a amplitude variando na faixa de -3 a 3 volts, a

RNA foi realimenta com a sada da planta. Na figura 10, mostra a comparao grfica da sada real, linha de cor azul, e a

sada da RNA, linha de com preta.

Figura 10. Primeiro ensaio, sistema em malha aberta

Como pode ser observado na figura 10, a RNA conseguiu identificar a dinmica da planta, com um erro considerado

baixo para as dimenses do sistema de tanques acoplado. Para uma anlise mais criteriosa, podemos observa a figura 11,

que nos auxilia a perceber o erro em cada instante.

Figura 11. Erro instantneo de cada sada


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Ao analisar a figura 11, vemos que o maior valor de erro instantneo foi de aproximadamente de 1,2 cm. Em relao as

dimenses do tanque um erro de 1,2 cm representa um erro percentual de 4% o que aceitvel dependendo das

especificaes. Esse maior erro ocorre quando a RNA inicializada, ou seja, quando recebe os primeiros sinais, e como a

RNA realimenta com valores da sada, no primeiro momento a RNA no ter valores passados, para gerar uma resposta

satisfatria, mas com o passar do tempo, a RNA ir adquirir esses valores e dessa forma ter uma resposta melhor. Os

outros valores de erro variam na faixa de aproximadamente de -0,6 at 0,4 cm o que representa em percentual, variando

entre 2%.

O segundo ensaio foi feito com a RNA em malha fechada. Foi sintonizado um controlador do tipo proporcional

integrativo (PI), com o valor de kp de 0,5 e o valor de ki de 0,01. Em malha fechada o software requisita uma sequencia

de referncias que so alteradas a cada 120s, para testar a dinmica da planta em uma ampla faixa de operao. Os valores

de referncias escolhidos foram 15 cm, 20 cm e 5 cm. O erro de rastreamento calculado comparando-se o valor de

leitura do sensor com relao ao setpoint, e tal erro foi utilizado no clculo da ao de controle. A figura 12, mostra

comparao grfica da sada real, linha de cor azul, a sada da RNA, linha de com preta. A referncia est com linhas

tracejadas de cor vermelha.

Figura 12. Segundo ensaio, sistema em malha fechada

Como pode ser observado na figura 12, a RNA conseguiu identificar a dinmica da planta, com um erro

considerado pequeno para as dimenses do sistema de tanques acoplados. Podemos observa agora de forma mais

acentuada o mesmo erro que ocorreu na malha aberta, na inicializao da RNA, assim como a sua melhora na resposta ao

passar do tempo. Na referncia de 5 cm possvel observa um erro maior. Esse erro ocorre devido dificuldade de

coletar dados nas extremidades da faixa de operao da planta, mas como grande parte dos sistemas no operam em tais

condies pode-se considerar que a RNA obteve uma resposta satisfatria.

6. Concluso

Neste trabalho foi desenvolvido um software com uma interface simples e intuitiva, que auxiliou no processo de

identificao de sistemas dinmicos, mesmo na presena de atraso de transporte. O software facilitou todo procedimento

de identificao. Ele possibilitou a coleta de dados e a anlise do mesmo atravs de sua interface, permitiu a montagem

automtica do conjunto de treinamento a partir de informao da ordem e atraso do modelo identificado, foi

implementado o algoritmo de treinamento do backpropagation bsico e com momentum, mas a forma modular como o

software foi desenvolvido permite a implementao de outros mtodos de treinamento, o software genrico

possibilitando ao usurio fazer vrios ensaios com quantidades diferentes que ele desejar de camadas escondidas e

nmero de neurnio, nele possvel alterar as funes de ativao e ainda fazer uma anlise da curva de aprendizagem

atravs de sua interface. O software permite fazer a validao de duas formas diferente, podendo ser com o sistema em

malha aberta ou em malha fechada, possibilitando ainda a realimentao do modelo com dados reais ou dados estimados

do modelo. Para demostrar a aplicao do software, foi identificado um sistema de tanques acoplados. O modelo foi

validado de duas formas: com o sistema em malha aberta e com o sistema em malha fechada. Para ambos os casos a

resposta do modelo neural se mostrou satisfatrio, como demostrado na seco de resultados.


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7. Agradecimentos

ANP, MCT, FINEP e Petrobras pelo apoio financeiro por meio do projeto PRH-PB-220.

8. Referncias

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