Trabalho Realizado por:

- Inês Lino 10ºA Nº11

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Um poliedro é um sólido limitado por polígonos. Os polígonos são as faces do poliedro, isto é, são as figuras planas que o limitam. Os lados dos polígonos são as arestas do poliedro e os seus vértices são os vértices do poliedro.

Os poliedros podem ser côncavos ou convexos. São convexos quando se encontram todos para o mesmo lado em relação ao mesmo plano de qualquer uma das faces, caso contrário dizem – se côncavos.

Aos poliedros cujas as faces são polígonos regulares geometricamente iguais e em cada um dos seus vértices encontra-se o mesmo número de arestas designamos por poliedros regulares, também conhecidos por sólidos platónicos.

Poliedros Regulares

Em geometria, os poliedros estão associados aos pares chamados Duais. O dual de um sólido é um outro sólido que se obtém unindo os pontos centrais adjacentes do sólido original.

O objectivo deste trabalho é escolher um sólido platónico e o seu dual e fazer a sua construção. O sólido escolhido foi o icosaedro e o seu dual é o dodecaedro.

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O icosaedro é um poliedro convexo de 20 faces, regular e é constituído por 20 triângulos equiláteros. é um sólido platónico.

O estudo destas figuras geométricas sólidas, como o Icosaedro, é muito importante para a matemática, mais especificamente para a geometria espacial.

O Icosaedro foi identificado como representante de um elemento, a água, pelo filósofo grego Platão. Este é um sólido formado por 30 arestas, 12 vértices e 20 faces em forma de um triângulo equilátero. Os poliedros platónicos possuem uma propriedade que os distingue dos outros, só eles é que podem ser inscritos na esfera.

Icosaedro Planificação de um Icosaedro

Área e volume

A área (A) e o volume (V) de um Icosaedro são, respectivamente:

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Dual do Icosaedro / dodecaedro

O Icosaedro tem um dual e o seu dual é o poliedro dodecaedro, como podemos ver na imagem abaixo.

Icosaedro e o seu Dual

Em cada vértice do Icosaedro concorrem cinco triângulos. Se unirmos os centros desses triângulos vamos obter um pentágono regular e se repetirmos o mesmo processo para cada um dos 12 vértices do icosaedro vamos obter 12 pentágonos que irão fazer parte das faces de um dodecaedro regular – o dodecaedro é o poliedro dual do Icosaedro.

Dodecaedro

O dodecaedro é um poliedro regular com 12 faces que são pentágonos, 20 vértices e 30 arestas.

Dodecaedro Planificação de um Dodecaedro

Área e volume

A área A e o volume V de um dodecaedro regular de aresta a é:

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Sabendo que a medida das arestas do dual é 2 cm e do sólido platónico é 7 cm, calcula o volume do espaço não ocupado pelo dual.

Calcular o volume do Dodecaedro :

aresta

Calcular o volume do Isocaedro :

aresta

O volume do espaço não ocupado pelo dual:

Volume do Isocaedro = 748,90

Volume do Dodecaedro = 54,25

Volume do Isocaedro – Volume do Dodecaedro = 748,90 – 54,25 =

694,07

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O volume não ocupado pelo dual é de 694,07

- A escolha efectuada foi o Icosaedro que como dual tinha o dodecaedro. Foi efectuada esta escolha pois, pode ser considerada como um “desafio” pelo facto de ser um poliedro bastante difícil na sua construção. Penso que foi um desafio a que me propus e que consegui superar.

- Nos conhecimentos adquiridos posso salientar, a definição de poliedro, poliedro regular, poliedro côncavo e convexo, sólidos platónicos. Bem como o numero de arestas, de vértices e de faces do sólido platónico e do seu dual.

Em relação aos sólidos platónicos fiquei a saber que existem 5 (Tetraedo, cubo, Octaedro, Dodecaedro e Icosaedro) e que representam cinco elementos (fogo, terra, ar, espírito e água).

Cada um destes sólidos platónicos tem um dual.

- A maior parte das dificuldades sentidas foi na construção do poliedro, mas acabou por ser construído com sucesso.

- Os materiais utilizados para a construção dos dois sólidos foram os seguintes:

Papel acetato; Fita adesiva de alumínio; Cartolina;

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- www.uff.br/cdme/platonicos/ - Os sólidos platónicos

- www.pt.wikipedia.org/wiki/Icosaedro

- www.magiadamatematica.com/uerj/cap/09-poliedros.pps – Poliedros.PPT

- www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm43/sol_plat.htm - Geometria a várias dimensões Sólidos platónicos

 

 

- Lexicoteca - Moderna Enciclopédia Universal ; Círculo de Leitores, Tomo VIII, XI, XV

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