Computational Modeling of a Regular Wave Tank

GOMES, M. N.1; ISOLDI, L. A.2; OLINTO, C. R.3, ROCHA, L. A. O.4; SOUZA, J. A.5 Programa de Pós-Graduação em Modelagem Computacional (PPGMC) - Universidade Federal do Rio Grande (FURG)

Rio Grande, Brasil 1mateusufpel.gomes@gmail.com; 2liercioisoldi@bol.com.br; 3claudioolinto@furg.br; 4laorocha@gmail.com;

5jasouza@furg.br

Abstract— This work studies two different numerical

methodologies for the generation of regular gravity waves.

�umerical simulations for the wave generation were performed

with the FLUE�T® package, using the multiphase Volume of

Fluid (VOF) model to reproduce the wave propagation inside the

tank. Therefore, it was possible to analyze two methodologies for

regular wave generation that could be used in future works,

mainly in the study of devices for sea wave energy conversion in

electric energy.

Keywords-�umerical wave tank; Wave Energy; Volume of

Fluid (VOF); FLUE�T®; Computational Modeling

I. INTRODUÇÃO

Os países ultimamente têm investido na exploração de novas fontes de energia, e em especial nas chamadas fontes renováveis. E uma dessas que tem merecido destaque é a energia contida nas ondas do mar. De acordo com [1], os oceanos, contendo o maior de todos os recursos naturais, possuem um potencial energético enorme, que pode contribuir de forma significativa para as necessidades crescentes de energia a um nível global. Uma das formas de investigar este potencial é através de

experimentos ou simulações computacionais em laboratórios. Para isso utilizam-se modelos que descrevem fisicamente o fenômeno. Para analisar dispositivos capazes de converter a energia das ondas do mar em energia elétrica é importante dominar as diferentes teorias de ondas de gravidade bem como o processo de geração destas. Neste trabalho, duas diferentes formas de geração de

ondas regulares de gravidade, em um tanque de ondas numérico, foram desenvolvidas através de simulações computacionais. Foi utilizado um modelo numérico bidimensional que baseia-se no modelo multifásico Volume

of Fluid (VOF), utilizando técnicas semelhantes a [2], [3], [4] e [5]. Tanto no processo de simulação numérica quanto na análise dos resultados foi empregado o pacote de dinâmica dos fluidos computacional composto pelos softwares FLUENT® e GAMBIT®. Para familiarizar o leitor com o assunto, inicialmente, foi apresentado um breve estudo a respeito de dois tipos de teorias de onda, uma teoria linear e a outra não linear.

II. TEORIA DE ONDAS

Aqui abordou-se as ondas de gravidade, também chamadas de ondas de superfície, em especial as regulares. Entende-se por ondas de gravidade regulares as ondas de comportamento bem definido e constante em cada período de tempo. Foram discutidas duas teorias de ondas de gravidade; a

Teoria Linear de ondas que é aplicável a ondas com amplitude e comprimento pequenos e a Teoria Não Linear de Stokes de 2a Ordem que é aplicável a ondas com amplitudes e comprimentos grandes.

A. Elementos de Onda

De acordo com [6], ondas na superfície livre existem devido a tendência natural dos líquidos de permanecerem no estado de equilíbrio. Quando um objeto é largado num tanque de água um distúrbio é criado e forma uma onda de superfície. Os movimentos subseqüentes na superfície são resultado da ação da gravidade, tendendo a retornar a água para a sua posição sem distúrbio. Uma vez que estas ondas são resultados da ação da gravidade elas são chamadas de ondas de gravidade. De acordo com [7], outro fator que pode causar um distúrbio na superfície livre da água é a ação dos ventos. Além disso, as ondas podem ocorrer de todos os tamanhos e formas, dependendo da magnitude das forças que agem sobre a água. Na Fig. 1, é possível observar as principais características das ondas. Sendo que h é a profundidade (distância do fundo do mar até o nível médio da água), A é a amplitude (distância entre crista e o nível médio da água) H é a altura (distância entre cava e crista), η é chamada de elevação da onda e L é o comprimento da onda (distância entre duas cristas ou duas cavas sucessivas) que pode ser calculado pela seguinte relação:

Figura 1. Características da onda.

2010 Third Southern Conference on Computational Modeling

978-0-7695-3976-8/09 $25.00 © 2009 IEEE

DOI 10.1109/MCSUL.2009.27

60

2010 Third Southern Conference on Computational Modeling

978-0-7695-3976-8/09 $26.00 © 2009 IEEE

DOI 10.1109/MCSUL.2009.27

60

=

L

hgTL

ππ

2tanh

2

2

(1)

onde g é a aceleração da gravidade e T é o período da onda. O período de uma onda é definido como o tempo

necessário para a forma da onda percorrer um ciclo completo, neste caso um comprimento de onda.

B. Teoria Linear de Ondas

Todas ondas, de gravidade, acústica ou eletromagnética, obedecem uma forma de equação de onda. A variável dependente em cada caso depende do fenômeno físico assim como das condições de contorno que podem ser lineares ou não-lineares. O escoamento incompressível de uma onda de superfície deve satisfazer a forma linear especial da equação da onda, conhecida como Equação de Laplace, se o escoamento for assumido irrotacional [6]. As ondas de gravidade na água devem satisfazer

basicamente as três seguintes condições de contorno.

1) Condição Cinemática da superfície livre: partículas de água não podem atravessar a superfície livre. Para satisfazer a condição da velocidade da partícula em η=Z deve ser

igual à velocidade normal na superfície livre. Matematicamente temos a seguinte condição:

kZ

kt

VZ

Z0=

= ∂∂

=∂∂

≈φη

η (2)

onde φ é uma função potencial e k é o vetor unitário normal,

2) Condição dinâmica da superfície livre: a pressão na superfície livre é zero para alguma posição x e algum tempo t. Consiste basicamente em aplicar a Equação de Bernoulli à superfície livre e obtém-se:

02

1 2 =++∂∂

Vgt

ηφ

(3)

onde φ é uma função potencial, g é a gravidade, η é a elevação da superfície livre e V a velocidade. A segunda condição de contorno pode ser linearizada

utilizando a condição de linearização dinâmica dada por:

η

φη

=∂∂

−=Ztg

1 (4)

3) Condição do fundo: o fundo pode ser considerado como

um plano horizontal e impermeável: Matematicamente, em hz −= .

0. =∂∂

=,

mVφ

(5)

onde m é a coordenada normal no fundo do mar e , é o vetor normal unitário exterior. Estamos lidando com um fluido continuo dentro da onda,

portanto a equação da continuidade é satisfeita. Se o escoamento for irrotacional, a velocidade pode ser representada por uma função potencial, assim é possível escrever a equação da continuidade da seguinte forma:

02 =∇ φ (6)

onde uma solução para (6) e que satisfaça as condições de contorno apresentadas fornece o seguinte potencial de velocidades:

( )( )

( )tkxsenkh

khkzagω

ωφ −

+=

cosh

cosh (7)

A partir de (7) são obtidas as seguintes componentes para

a velocidade:

( )( )

( )tkxkh

khkzagk

xu ω

ωφ

−+

=∂∂

= coscosh

cosh (8)

( )( )

( )tkxsenkh

khkzsenhagk

zw ω

ωφ

−+

=∂∂

=cosh

(9)

onde u é a componente na direção x da velocidade e w é a componente na direção z da velocidade. É possível ainda destacar uma equação que descreva o

movimento da superfície livre:

( )tkxA ωη −= cos (10)

C. Teoria de Stokes de 2a Ordem

A Teoria de Stokes consiste em assumir que as propriedades do movimento das ondas, como o potencial de velocidades, podem ser representadas por uma série de pequenas perturbações [6]. A mesma se aplica para alturas de onda maiores em águas relativamente profundas. Nesta teoria o potencial de velocidades é obtido através de uma série de potências do tipo:

……+++= 33

22

1 φεφεφεφ (11)

A solução contendo o termo de primeira ordem 1φ

representa a teoria linear. A expansão até o segundo termo

2φ representa a teoria de Stokes de 2a ordem e assim por

diante. Diferentemente do que ocorre na teoria linear, a trajetória de uma partícula quando são consideradas teorias não lineares, não descreve uma órbita fechada. Esse comportamento se aproxima ainda mais do comportamento

6161

de ondas reais com o movimento de correntes marítimas, indicando a transferência de massa ao longo da direção de propagação da onda. Apresenta-se então a equação que descreve o movimento

da superfície livre na teoria de Stokes de 2a Ordem.

( ) ( )( )

( )[ ] ( )tkxkhkhsenh

khkAtkxA ωωη −++−= 2cos2cosh2

4

coshcos

3

2 (12)

E também as componentes da velocidade:

( )( )

( ) ( )( )

( )tkxkhsen

zkkkAtkx

kh

khkzAgku ωωω

ω−

++−

+= 2cos

2coshcos

cosh

cosh4

2 (13)

( )

( )( ) ( )

( )( )tkxsen

kh

zkksenhkAtkxsen

khsenh

khkzsenhAgkw ωωω

ω−

++−

+= 2

cos

24

2 (14)

onde z é variação da posição da superfície livre da água até o fundo do mar. Maiores detalhes desta teoria podem ser encontrados em [6] e [7].

III. TANQUE DE ONDAS

Um dos objetivos deste trabalho é discutir, usando simulações numéricas, diferentes formas de geração de ondas de superfície num tanque. Foram desenvolvidas diferentes simulações computacionais deste processo para várias condições de contorno. Na Fig. 2 apresenta-se esquematicamente o tanque de ondas.

A. Condições de Contorno

Como é possível observar na Fig. 2, na parte superior do tanque de ondas, denominada de pressão de saída, é aplicada a condição de contorno de pressão atmosférica e na condição de contorno denominado parede é considerada uma velocidade nula. No que diz respeito ao gerador de onda a condição de contorno depende de uma das duas metodologias escolhidas. 1) Metodologia Móvel: esta metodologia consiste em aplicar no gerador de ondas a condição de contorno de parede móvel, que irá se mover semelhantemente a um pistão. Para isso utiliza-se a técnica da malha móvel que permite empregar uma variação de velocidade à parede móvel através de uma função definida pelo usuário (User Defined

Function - UDF).

Figura 2. Representação esquemática do tanque de ondas.

O controle do movimento desse pistão (parede móvel) é feito de acordo com as características da onda que se deseja gerar, e para isso é necessário conhecer o período e a altura da onda a ser gerada. Então, utilizando a função de transferência, que relaciona altura da onda e deslocamento do pistão, é possível determinar qual o deslocamento que o pistão precisa fazer para gerar a onda com as características desejadas. Essa função de transferência é definida por [7]:

( )( )( ) khkh

kh

S

H

22sinh

12cosh2

+

−= (15)

onde H é a altura da onda a ser gerada, S é o deslocamento do pistão, h a profundidade do tanque de ondas e k o número

de onda que é dado por Lk π2= , sendo L o

comprimento da onda. Conhecendo estas informações é possível determinar a

equação que controla o movimento da parede móvel. Esta equação do movimento é definida por [2]:

( ) ( )teS

tx T

t

ωsin12

2

50

−=

−

(16)

onde 0S é o deslocamento máximo do pistão (gerador da

onda), T é o período da onda e ω sua frequência que é dada por tπω 2= . Mas como o objetivo é aplicar a condição de

velocidade ao pistão, então deriva-se (16) em relação ao tempo e obtém-se a velocidade do pistão (gerador da onda), dada por:

( ) ( ) ( )

+

−

=

−−te

Tte

Stv T

t

T

t

ωωω sin2

5cos1

22

5

2

50 (17)

2) Metodologia Função: esta metodologia, desenvolvida em [5], consiste em aplicar ao gerador de ondas uma velocidade de entrada (velocity inlet) através de uma função definida pelo usuário (UDF). A velocidade varia de acordo com (13) e (14), ou seja, aplica-se ao gerador de ondas uma variação de velocidade conforme a Teoria de Stokes de 2a Ordem.

IV. MODELO NUMÉRICO

A metodologia empregada baseia-se no modelo Volume

of Fluid (VOF), que permite simular computacionalmente um tanque de ondas observando a interação entre água e ar de uma forma muito próxima à realidade, conforme em [4]. O modelo VOF pode modelar dois ou mais fluidos,

resolvendo um único conjunto de equações para a quantidade de movimento e localizando a fração volumétrica de cada um dos fluídos ao longo do volume. A formulação VOF baseia-se no fato de que as duas ou mais fases são impenetráveis. Para cada fase adicional acrescentada ao modelo, a fração volumétrica é calculada no volume. Em cada volume de controle, a soma da fração

6262

volumétrica de todas as fases é unitária. Os campos para todas as variáveis e propriedades são compartilhados pelas fases e representam valores médios calculados no volume, contanto que a fração volumétrica de cada uma das fases seja conhecida localmente. Assim, as variáveis e propriedades em um determinado volume representam uma das fases ou uma mistura de fases, dependendo dos valores da fração do volume. Em outras palavras, se a q-ésima fração volumétrica do fluido é denotada como qα , então as

três seguintes condições são possíveis: - 0=qα : o volume está vazio (do q-ésima fluido);

- 1=qα : o volume está cheio (do q-ésima fluido);

- 10 << qα : o volume contém a interface entre o q-ésima

fluido e um ou mais fluidos; O modelo numérico empregado consiste basicamente na

equação da continuidade para a fração de uma ou mais fases:

(18)

onde qp

.

m é a transferência de massa da fase q para a fase p

e pqm. é a transferência de massa da fase p para a fase q,

qSα

é o termo fonte que neste caso é zero e ρ é a massa específica. E também da equação da quantidade de movimento:

→→→→→→→++

∇+∇∇+−∇=

∇+

∂∂

Fgvvpvvvt

T

ρµρρ . (19)

onde p é a pressão estática, →gρ é a força gravitacional ,

→F

são forças externas, µ é a viscosidade. A validação da aplicação do modelo VOF a este tipo de

problema é apresentada a seguir, juntamente com um estudo de caso onde são comparadas as ondas geradas numericamente com as obtidas pelas equações analíticas do movimento da superfície livre.

V. SIMULAÇÕES NUMÉRICA

O estudo de caso proposto consiste em analisar numericamente e graficamente o processo de geração de ondas com diferentes características. Foram realizadas quatro simulações para cada metodologia de geração de onda, conforme a Tab. 1. Adotou-se como convenção, MM para metodologia móvel, MF para metodologia função, H a altura da onda, T o período, h profundidade do tanque, L comprimento da onda e P o tamanho da malha quadrada regular utilizada. As simulações foram todas realizadas no regime laminar,

adotando para o acoplamento da pressão-velocidade o algoritmo PISO. Em todos os casos foi utilizada uma malha regular formada por volumes finitos do tipo quadrado, sendo importante salientar que no método da malha móvel uma

das imposições é utilizar uma malha com estas características. Na simulação 1 procurou-se comparar a onda gerada com

a (12). Para isso foi utilizado um tanque com 200 m de comprimento e com 16 m de profundidade, semelhante ao usado em [2]. Na Fig. 3 pode-se observar a boa concordância dos resultados em uma linha vertical, na posição x=20 m, no interior do tanque de ondas, onde o erro máximo absoluto após a estabilização da onda foi de 1.2 %. Ainda é possível verificar que a parcela referente ao termo da expansão de 2a ordem na Teoria de Stokes é irrelevante para ondas com características de porte médio como a do caso 1. Na simulação 2 utilizou-se um tanque com comprimento

de 15 m e profundidade de 1.2 m semelhante ao de [3]. Neste caso foi feita uma análise do perfil de velocidades na direção x em linhas verticais traçadas no interior do tanque. Na Fig. 4 apresenta-se uma comparação no instante de

tem t=16 s e na posição x=4 m entre a solução numérica e (13), mostrando que as características de velocidade se mantém ao longo do tanque de ondas. As análises são feitas apenas na região que está preenchida com água, onde o nível médio de água que é de 1.2 m é considerado como referência, ou seja, zero. Observa-se ainda que quanto mais afastada estiver a linha de medição do gerador de ondas os resultados analíticos e numéricos possuem uma melhor concordância devido ao perfil de velocidades nesta região já encontrar-se estabilizado.

TABELA 1 SIMULAÇÕES REALIZADAS

Método H (m) T (s) h (m) L (m) P (m)

1 MF 1.000 6.000 16.00 53.60 0.100 2 MF 0.200 1.130 1.200 2.000 0.010 3 MF 0.140 0.800 0.500 1.020 0.005 4 MF 0.140 0.800 0.500 1.020 0.010 5 MM 0.140 0.800 0.500 1.020 0.010 6 MM 1.000 6.000 16.000 53.60 0.100 7 MM 0.140 1.500 1.000 3.400 0.010 8 MM 0.140 1.500 0.500 2.800 0.010

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

0 10 20 30 40 50 60

Tempo (s)

Amplitude (m)

Numérica (MF) Analítica Stokes (Parcela de Segunda ordem) (MF)

Figura 3. Amplitude da onda do caso 1 na posição x=20 m.

( ) ( )q

n

q q q q q α pq qpp 1

1α ρ α ρ v S m m

ρq t

→

=

∂ +∇ = + − ∂ ∑ ɺ ɺ

6363

-1.00

-0.90

-0.80

-0.70

-0.60

-0.50

-0.40

-0.30

-0.20

-0.10

0.00

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

Velocidade na direção x (m/s)

Profundidade (m)

Analítica (x=4 m)

x=4 m

x=6 m

x=2 m

Figura 4. Perfil de velocidades na direção x da simulação.

Nos casos 3 e 4 foram feitas simulações da geração de onda com a mesma característica em um tanque de ondas com 15 m de comprimento e 0.5 m de profundidade, onde foi modificado apenas o número de volumes da malha, no caso 3 a mesma possui 480.000 elementos e no caso 4 possui 120.000 elementos. Foi observado que a malha do caso 4 já está num bom padrão, pois quando se refina a mesma no caso 3 a margem do erro absoluto máximo na geração da onda continua aproximadamente 12 %. Na Fig. 5 apresenta-se a interação entre a água (vermelho) e o ar (azul) no tanque de ondas do caso 4, no instante de tempo t=16 s, mostrando a capacidade do modelo numérico proposto em gerar ondas regulares. Na Fig.6 mostra-se a topologia das velocidades na direção

x, do caso 4, no instante de tempo t=16 s; e na Fig. 7 apresenta-se uma figura semelhante, porém para as velocidades na direção y.

Figura 5. Geração da Onda com o Modelo VOF no caso 4.

Figura 6. Topologia das velocidades na direção x.

Figura 7. Topologia das velocidades na direção y.

A partir do caso 5 foram realizadas simulações com a metodologia da malha móvel. No caso 5 buscou-se analisar a velocidade em diferentes posições ao longo do comprimento de onda. Pois de acordo com [8] as velocidades ao longo de um comprimento de onda devem ter características semelhantes às apresentadas na Fig. 8. Ainda considerando a Fig. 8, foi possível observar uma

boa aproximação das características de velocidades obtidas através da simulação numérica com as características propostas pela teoria, como mostrado na Fig. 9 e na Fig. 10. É importante observar que como o processo de medição

leva em conta a elevação da superfície livre da água, conforme a Fig. 8. As curvas apresentadas nas Fig. 9 e na Fig. 10 possuem tamanhos distintos, pois cada linha de medição esta preenchida com água em diferentes níveis.

Figura 8. Característica da velocidade da onda ao longo de um comprimento.

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

Posição (m)

Velocidade na direção x (m/s)

M1 M2 M3 M4 M5

Figura 9. Velocidade na direção x ao longo de uma onda.

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

Posição (m)

Velocidade na direção y (m/s)

M1 M2 M3 M4 M5

Figura 10. Velocidade na direção y ao longo de uma onda.

6464

Na simulação 6 testa-se a capacidade do modelo numérico com a metodologia da malha móvel em gerar ondas de médio porte. A Fig. 11 representa a amplitude da onda na posição x=20 m dentro de um tanque de ondas com características iguais ao do caso 1. È possível observar que o modelo é eficaz, apresentando um erro absoluto máximo de 0.5 %. E por fim nos casos 7 e 8 foram feitas simulações da

geração de ondas com mesmo período em um tanque de ondas com comprimento de 15 m e profundidade 1 m para o caso 7 e 0.5 m para o caso 8. Conforme pode-se notar na Fig. 12, na simulação 7 o fundo tem uma influência na geração da onda, consequentemente, observando (1) , o comprimento da onda acaba se modificando. Pode-se observar, na Fig. 12, uma boa concordância dos resultados com a solução analítica, porém no caso 8 fica claro o efeito do fundo na geração da onda uma vez que a profundidade é aproximadamente cinco vezes menor que o comprimento da onda e o recomendável, de acordo com [6], é a metade. Já no caso 7 a onda é influenciada pelo fundo do tanque, porém obedecendo uma certa regularidade em relação ao eixo x. O erro máximo absoluto encontrado nestas duas simulações ficou em torno de 5%.

15.0

15.5

16.0

16.5

17.0

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Tempo (s)

Amplitude (m)

Numérica Analítica

Figura 11. Amplitude da onda em x=20 m no caso 6.

0.40

0.42

0.44

0.46

0.48

0.50

0.52

0.54

0.56

0.58

0.60

0 2 4 6 8 10

Tempo (s)

Amplitude (m)

MM 7 MM 8 Analítica

Figura 12. Amplitude da onda nos casos 7 e 8.

VI. CONCLUSÕES

Analisando os resultados obtidos nas oito simulações desenvolvidas neste trabalho, entende-se que a modelagem computacional proposta, baseada no modelo VOF é pertinente, haja visto que podemos observar que o mesmo gera ondas com as características desejadas, apresentando erros máximos de aproximadamente 5% ao comparar-se a solução numérica com a analítica. As duas metodologias de geração de onda apresentam

resultados semelhantes, sendo que o único parâmetro que as diferencia de forma relevante é o tempo de processamento computacional, sendo mais vantajoso empregar a Metodologia Função que utiliza cerca de 75% do tempo utilizado pela Metodologia Móvel. Portanto foi possível validarmos essas metodologias de

simulação numérica para a geração de ondas regulares, comparando seus resultados com a solução analítica deste problema, mostrando que o modelo VOF é uma ferramenta capaz de reproduzir de forma adequada a interação entre água e ar. Sendo assim, este estudo então contribui para trabalhos

futuros na área de modelagem computacional da transformação de energia das ondas do mar em energia elétrica. Por exemplo, na simulação numérica de dispositivos do tipo Coluna de Água Oscilante (CAO) e Galgamento onde é necessária a geração de ondas regulares de gravidade, de forma a analisar o comportamento do conversor de energia devido à incidência da onda no mesmo.

AGRADECIMENTOS

Agradece-se a CAPES pelo apoio financeiro para a realização deste trabalho.

REFERÊNCIAS [1] Cruz, J. M. B. P., Sarmento, A. J. N. A., “Energia das Ondas:

Introdução aos Aspectos Tecnológicos, Económicos e Ambientais,” Ed. Instituto do Ambiente, Portugal, Amadora, 2004.

[2] Liu, et. al,, “Aplication of Numerical Wave Tank to OWC air chamber for wave energy conversion”, In: Procedings of the Eighteenth (2008) International Offshore and Polar Engineering Conference, Vancouver, Canada,2008.

[3] REPALLE, N, et. al, “CFD simulation of wave run-up on a spar cylinder”, In: Proceedings 16th Australasian Fluid Mechanics Conference, Gold Coast, Australia,2007.

[4] Fluent Inc. FLUENT 6.2, 2005, user’s guide.

[5] Horko, M., 2007, “CFD Optimisation of an Oscillating Water Column Energy converter”, Thesis of Master of Engineering Science, School of Mechanical Engineering, The university of Western, Australia.

[6] McCormick, M. E., ”Ocean engineering wave mechanics”, John Wiley & Sons, USA, New York, 1976.

[7] Dean, R. G., Dalrymple, R. A., ”Water wave mechanics for engineers end scientists”, Vol. 2, World scientific, Singapore, 1991.

[8] CEM. Coastal Engineering Manual, Army corps of Engineers, U.S, Wshington, 2002.

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