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EletromagnetismoIIProf.DanielOrquizadeCarvalhoEl
etromag
netism
oII
Prof.Dan
ielO
rquiza
SJBV
• Potenciais vetorial e escalar retardados
• Campos de um dipolo infinitesimal
Potenciais Retardados
EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza9
Potenciais retardados e dipolo de Hertz (Introdução) (Capítulo 11– Páginas 395a 400)
(Capítulo 14– Páginas 511 a 517)
SJBV
Dipolo Hertziano
• Qualquer corrente variável no tempo ou carga sendo acelerada irradia ondas
eletromagnéticas.
Potenciais Retardados
• O Dipolo de Hertz consiste em um fio de comprimento
infinitesimal conduzindo uma corrente senoidal:
• Consideremos, que este dipolo está imerso num meio
dielétrico infinito (ar).
I = I0 cos ωt( )
• O Dipolo Hertziano é útil para compreender como a radiação eletromagnética ‘se
comporta’ na região próxima e distante de uma antena.
• Trata-se de um dipolo porque a corrente levaria à existência de cargas de
amplitudes opostas com magnitudes instantâneas opostas nas extremidades do fio.
11
SJBV
Potenciais Retardados
Potenciais Retardados
• É possível mostrar que o potencial magnético A e o potencial elétrico V (escalar)
também satisfazem Eqs. de Onda.
• Para isso, partimos das Eqs. de Maxwell no domínio do tempo:
∇×!E= -∂
!B∂t
(Lei de Faraday)
∇×!H= !J+∂!D∂t
(Lei de Ampère)
∇⋅!D= ρv
∇⋅!B= 0
(Lei de Gauss Elétrica)
(Lei de Gauss Magnética)
(1)
(2)
(3)
(4)
SJBV
Potenciais Retardados
Potenciais Retardados
• O potencial V não pode ser utilizado por si só para calcular o campo elétrico
usando pois o campo não é mais conservativo:
• O potencial vetorial A é definido por:
∇×!E= -∂
!B∂t
!E= -∇V,
!B =∇×
!A,
e substituindo na L.F (1):
⇒∇×!E= - ∂
∂t∇×!A⎡⎣ ⎤⎦ ⇒∇×
!E + ∂
!A∂t
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟= 0
• O Campo pode ser calculado a partir de A e V: !E
!E + ∂
!A∂t
= −∇V ⇒!E = −∇V − ∂
!A∂t
(5)
(6)
2
SJBV
Potenciais Retardados
Potenciais Retardados
• Considerando um meio homogêneo e isotrópico, e substituindo (6) na L.G.E:
• Substituindo (5) e (6) em (2) (Lei de Ampère):
∇⋅!E = ρv
ε= −∇2V − ∂
∂t∇⋅!A( ) ⇔∇2V + ∂
∂t∇⋅!A( ) = − ρv
ε(7)
∇×∇×!A = µ
!J +µε ∂
∂t−∇V − ∂
!A∂t
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= µ!J −µε∇ ∂V
∂t⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟−µε
∂2!A
∂t2
• Podemos aplicar a seguinte identidade vetorial no lado esquerdo da Eq. Acima:
∇×∇×!A =∇ ∇⋅
!A( )−∇2
!A
SJBV
Potenciais Retardados
Potenciais Retardados
• Com isso, chegamos na seguinte Equação:
• Um campo vetorial é unicamente definido quando seu divergente e seu rotacional
são especificados.
(8)
• Utilizando as eqs. De Maxwell e a definição de A, chegamos à Eq. de Onda vetorial:
∇2!A−∇ ∇⋅
!A( ) = −µ
!J +µε∇ ∂V
∂t⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟+µε
∂2!A
∂t2
• O potencial A foi definido através de seu rotacional. O divergente pode ser escolhido
através de qualquer função. É interessante escolher: ∇⋅!A = −µε ∂V
∂t (9)
∇2!A−µε ∂
2!A
∂t2= −µ
!J (10)
3
SJBV
Potenciais Retardados
Potenciais Retardados
• Além disso, substituindo (9) em (7), chegamos à seguinte Eq. Para V:
• As equações (10) e (11) são um conjunto de quatro Eqs. de Onda com fontes (quais)
bastante usadas para calcular os campos eletromagnéticos em problemas de antenas.
(11)
• No caso da magnetostática e da eletrostática, as seguintes equações permitiam
calcular o potencial gerado por distribuições de cargas ρv e correntes J:
∇2V −µε ∂2V∂t2
= −ρvε
V =ρvdv4πεRV∫ (12)
!A = µ
!Jdv4πRV∫
e
4
SJBV
Potenciais Retardados
Potenciais Retardados
• Como os potenciais se comportam como ondas, é possível, calcular os potenciais
retardados em um ponto distante da fonte usando:
• Onde:
(12)
V =ρv t '( )dv4πεRV
∫
!A =
µ!J t '( )dv4πRV
∫e
t ' = t − Rv
• Ou seja, os potenciais são calculados da mesma forma que na estática, mas a fase
do potencial no tempo t’ é retardada (igual a fase da fonte no tempo t – R/v).
CO
LOC
AR
FIG
UR
A IN
DIC
AN
DO
PO
TEN
CIA
IS R
ETA
RD
AD
OS
DE
CO
RR
ENTE
OU
AN
TEN
A
5
SJBV
Dipolo Hertziano
Potenciais Retardados
• Para densidades de correntes variáveis no tempo, podemos calcular os campos EM
usando a equação de onda para o potencial A:
CO
LOC
AR
FIG
UR
A IN
DIC
AN
DO
PO
TEN
CIA
IS R
ETA
RD
AD
OS
DE
CO
RR
ENTE
OU
AN
TEN
A
∇2!A−µε ∂
2!A
∂t2= −µ
!J
• A densidade de corrente é a fonte de potencial (e de campo) e esta equação
corresponde a 3 eqs. escalares. Em coordenadas cartesianas:
∇2Ax +β2Ax = −µJx
∇2Ay +β2Ay = −µJy
∇2Az +β2Az = −µJz
• Onde β, como sabemos, expressa a mudança de fase por unidade de distância:
β =2πλ=ω µε
Ax, Ay e Az são fasores
2
SJBV
Dipolo Hertziano
Potenciais Retardados
• Se considerarmos uma fonte pontual infinitesimal de corrente orientada na direção de
z, a equação de Helmholtz para A fica:
CO
LOC
AR
FIG
UR
A IN
DIC
AN
DO
PO
TEN
CIA
IS R
ETA
RD
AD
OS
DE
CO
RR
ENTE
OU
AN
TEN
A
• Se soubermos a solução para esta equação, podemos encontrar a solução para
qualquer distribuição de corrente.
∇2Az +β2Az = −µJzδ x( )δ y( )δ z( )
• Como a fonte só existe na origem, fora da origem a equação fica:
∇2Az +β2Az = 0
• Considerando a simetria do problema, é interessante usar coordenadas esféricas,
onde o operador Laplaciano fica:
∇2Az =1r2
∂∂r
r2 ∂Az∂r
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟+
1r2senφ
∂2Az∂θ 2
+1
r2senφ∂∂φ
senφ ∂Az∂φ
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ 3
SJBV
Dipolo Hertziano
Potenciais Retardados
• Não pode haver variação de Az com φ nem θ, pois a fonte é pontual.
CO
LOC
AR
FIG
UR
A IN
DIC
AN
DO
PO
TEN
CIA
IS R
ETA
RD
AD
OS
DE
CO
RR
ENTE
OU
AN
TEN
A
• A solução geral desta equação diferencial é uma onda esférica, que tem a forma:
1r2
∂∂r
r2 ∂Az∂r
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟+β 2Az = 0
Az =Ce− jβr
4πr• Onde C é uma constante. Trata-se de uma onda plana cuja amplitude cai com 1/r
conforme nos afastamos da fonte.
• No caso da equação com fonte, a solução geral fica:
Az = µJze− jβr
4πr 4
• A equação de onda de onda em coordenadas esféricas fica:
SJBV
Dipolo Hertziano
Potenciais Retardados
• A onda esférica em um outro sistema de coordenadas pode ser expressa usando a
magnitude do vetor distância R:
CO
LOC
AR
FIG
UR
A IN
DIC
AN
DO
PO
TEN
CIA
IS R
ETA
RD
AD
OS
DE
CO
RR
ENTE
OU
AN
TEN
A
• A expressão anterior representa a contribuição para Az de uma fonte pontual (Jz só
existe num ponto).
• Onde t’ é o tempo retardado discutido anteriormente
Az = µJze− jβR
4πR
• Se considerarmos uma distribuição contínua de corrente existente em um volume
V, temos que integrar o resultado anterior sobre todo o volume
Az = µJz t '( ) e− jβR
4πRdv '
V∫
t ' = t − Rv
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟.
• Pergunta: E se J tiver outros componentes (Jx e Jy)? Usar equações similares para
Ax e Az e fazer a sobreposição dos resultados. 5
SJBV
Dipolo Hertziano
Potenciais Retardados
• Voltando ao problema do dipolo de Hertz de comprimento infinitesimal ‘d’, o
potencial vetorial pode ser encontrado integrando a corrente ao longo do fio:
CO
LOC
AR
FIG
UR
A IN
DIC
AN
DO
PO
TEN
CIA
IS R
ETA
RD
AD
OS
DE
CO
RR
ENTE
OU
AN
TEN
A
• Onde vamos deixar o tempo retardado implícito em I.
• Tendo A, podemos encontrar os campos eletromagnéticos.
• Como a distribuição de corrente é uniforme ao longo do fio, e considerando que o
comprimento do fio é infinitesimal:
6
!A = azµI0
e− jβR
4πR−d /2
d /2
∫ dz '
!A = µI0d
e− jβr
4πraz
!H =
1µ∇×!A = 1
µ∇× Azaz( )
6
SJBV
Dipolo Hertziano
Potenciais Retardados
• Em grande parte dos problemas de antenas, é interessante usar Coord. Esféricas.
CO
LOC
AR
FIG
UR
A IN
DIC
AN
DO
PO
TEN
CIA
IS R
ETA
RD
AD
OS
DE
CO
RR
ENTE
OU
AN
TEN
A
• Note que não há Aφ e que os campos não variam
com φ.
7
• Convertendo A para coordenadas esféricas,
teremos compontentes em θ e em r.
Ar = Az cosθ = µI0de− jβr
4πrcosθ e
Aθ = −Azsenθ = −µI0de− jβr
4πrsenθ
• Com isso alguns termos do rotacional são nulos.
7
SJBV
!H = I0dsenθ
jβe− jβr
4πr+e− jβr
4πr2⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ aφ =
I0d4π
senθe− jβr jβr+1r2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ aφ
Dipolo Hertziano
Potenciais Retardados
• O rotacional em coordenadas esféricas é escrito:
CO
LOC
AR
FIG
UR
A IN
DIC
AN
DO
PO
TEN
CIA
IS R
ETA
RD
AD
OS
DE
CO
RR
ENTE
OU
AN
TEN
A
8
∇×!A = 1
rsenθ∂ Aφsenθ( )
∂θ−∂Aθ∂φ
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ ar +
1r
1senθ
∂Ar∂φ
−∂ rAφ( )∂r
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ aθ +
1r∂ rAθ( )∂r
−∂Ar∂θ
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ aφ
0 0 0 0
!H =
1µ∇×!A = 1
µr∂ rAθ( )∂r
−∂Ar∂θ
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ aφ
• Assim, H só tem componente φ. Isto é coerente? Lembrar da magnetostática.
• O campo magnético fica:
(1)
• Note que o campo possui um termo que cai com o inverso da distância e um termo
que cai com o quadrado do inverso da distância. 8
SJBV
Dipolo Hertziano
Potenciais Retardados
• Pergunta: Tendo H, como podemos encontrar E? Lei de Ampère.
CO
LOC
AR
FIG
UR
A IN
DIC
AN
DO
PO
TEN
CIA
IS R
ETA
RD
AD
OS
DE
CO
RR
ENTE
OU
AN
TEN
A
9
• O rotacional de H em coordenadas esféricas é:
• Como Hr e Hθ são nulos, a Lei de Ampère resulta em:
• Vamos considerar Er e Hθ separadamente.
∇×!H =!J + ∂
!D∂t = jωε
!E
∇×!H =
1rsenθ
∂ Hφsenθ( )∂θ
−∂Hθ
∂φ
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ ar +
1r
1senθ
∂Hr
∂φ−∂ rHφ( )∂r
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ aθ +
1r∂ rHθ( )∂r
−∂Hr
∂θ
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ aφ
!E = 1
jωε1
rsenθ∂ Hφsenθ( )
∂θar −
1r∂ rHφ( )∂r
aθ⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
0 0 0 0
SJBV
Dipolo Hertziano
Potenciais Retardados
• O componente radial do campo elétrico fica:
CO
LOC
AR
FIG
UR
A IN
DIC
AN
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PO
TEN
CIA
IS R
ETA
RD
AD
OS
DE
CO
RR
ENTE
OU
AN
TEN
A
10
• Note que podemos reescrever esta expressão usando o fato de que no ar:
• Re-screvendo Er em termos de η:
Er =I0d2π
1jωε
cosθe− jβr jβr2+1r3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟Er =
1jωε
1rsenθ
I0d4π
e− jβr jβr+1r2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟∂ sen2θ( )
∂θ
βω=1c= µε ⇒
βωε
=η =η0
Er =I0d2π
ηcosθe− jβr 1r2+
1jβr3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ (2)
9
SJBV
Dipolo Hertziano
Potenciais Retardados
• O componente θ do campo elétrico fica:
CO
LOC
AR
FIG
UR
A IN
DIC
AN
DO
PO
TEN
CIA
IS R
ETA
RD
AD
OS
DE
CO
RR
ENTE
OU
AN
TEN
A
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• Novamente, usando o fato de que no ar:
⇒βωε
=η =η0
Eθ = −1jωε
I0d4π
senθ 1r∂∂r
r jβr+1r2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟e− jβr
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ Eθ =
jωε
I0d4π
senθ 1rβ 2e− jβr − 1
r2e− jβr − jβ
re− jβr
⎡
⎣⎢⎤
⎦⎥
• Re-escrevendo Eθ em termos de η:
Eθ =I0d4π
ηsenθe− jβr jβr+1r2+
1jβr3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ (3)
10
SJBV
Dipolo Hertziano
Potenciais Retardados
• Podemos reescrever os campos na forma polar. O campo magnético fica:
CO
LOC
AR
FIG
UR
A IN
DIC
AN
DO
PO
TEN
CIA
IS R
ETA
RD
AD
OS
DE
CO
RR
ENTE
OU
AN
TEN
A
12
• Onde:
• O componente radial do campo elétrico fica:
Hφ =I0βd4πr
senθe− jβr 1+ 1βr( )2
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟senθe
− j βr−δEφ( )
δEφ = tan−1 βr( )
Er =I0d2πr2
η 1+ 1βr( )2
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ cosθe
− j βr−δEr( )
• Onde: δEφ = tan−1 βr( )− π
2
(5)
(4)
SJBV
Dipolo Hertziano
Potenciais Retardados
CO
LOC
AR
FIG
UR
A IN
DIC
AN
DO
PO
TEN
CIA
IS R
ETA
RD
AD
OS
DE
CO
RR
ENTE
OU
AN
TEN
A
13
• O componente Eθ do campo elétrico fica:
• Onde: δEθ = tan
−1 βr 1− 1βr( )2
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
Eθ =I0d4πr
ηβ 1− 1βr( )2
+1βr( )4
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟senθe
− j βr−δEθ( )
• Note que:
(6)
• Como cada uma das fases δ é função de r, o período de oscilação vai variar conforma
‘r’ aumenta.
• Para distâncias radiais da ordem de λ, o comportamento da onda não é senoidal.
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SJBV
Dipolo Hertziano
Potenciais Retardados
CO
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TEN
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IS R
ETA
RD
AD
OS
DE
CO
RR
ENTE
OU
AN
TEN
A
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• Nos pontos em que r é pequeno com relação a λ:
• O termo que cai com 1/r3 (e 1/r2 para o campo magnético) são dominantes, ou seja,
são muito maiores que os outros termos.
• Neste caso, campo elétrico se assemelha ao campos de um dipolo eletrostático (só
que aqui variando no tempo).
• Este campos estão associadas a energia armazenada em campos reativos (capacitivo e
indutivo) no dipolo hertziano (que não é irradiada).
• Este campo é comumente denominado de Campo Próximo.
12
