III) ESPAÇOS VETORIAIS REAISemilia/Cursos/algebralinear/Espacos Vetoriais.pdf · Elementos de Álgebra Linear – ESPAÇOS VETORIAIS REAIS Profa.Emília / Edméa P8)∀∈α,,βαRV∀uu∈⇒()−β=αu−βu

Elementos de Álgebra Linear – ESPAÇOS VETORIAIS REAIS Profa. Emília / Edméa

III) ESPAÇOS VETORIAIS REAIS Definição: Denomina-se espaço vetorial sobre os Reais (R) ao conjunto não vazio , tal que: V

1) Existe uma adição: ( ):

,u v u v+ × →

→ +

V V V com as seguintes propriedades:

A1) Associativa da adição: ( ) ( ), , ,u v w u v w u v w∀ ∈ + + = + +V A2) Comutativa da adição : , ,u v u v v u∀ ∈ + = +V A3) Elemento neutro da adição: 0 , 0 0u u u∃ ∈ ∀ ∈ + = + = uV V

A4) Elemento oposto da adição: ( ) ( ) ( ) 0u u u u u v∀ ∈ ∃ − ∈ + − = − + =V V

2) Existe uma multiplicação por escalar: ( ). :

,v .vα α× →

→

R V V com as seguintes propriedades:

M1) ( ) ( ), ,u u uα β α β∀ ∈ ∈ ⇒ =K V αβ

u u

M2) ( ), ,u uα β α β∀ ∈ ∈ ⇒ + = +K V α β

M3) ( ), ,u v u v u vα α α∀ ∈ ∈ ⇒ + = +K V α

M4) ( )1 1u u∃ ∈ ∀ ∈ ⇒ =K V u

Notação: , ,+ ⋅V : espaço vetorial

Obs 1: Os elementos reais são chamados escalares e denotados por , ,α β κ , por exemplo.

Obs 2: Os elementos do espaço vetorial V são chamados vetores e são denotados, normalmente, pelas letras u v , dentre outras. , , w

Exemplos:

1) O conjunto de vetores do plano 2R

ur

vr u v+uuuuur

2) O espaço vetorial , ,+ ⋅R .

3) O espaço vetorial , ,+ ⋅C , sendo as operações definidas da seguinte forma:

( ) ( ) ( ) ( )( ) , , , ,a bi c di a c b d i a b c d+ + + = + + + ∀ ∈R e ( ) , ,a bi a bi a biα α α α+ = + ∀ ∈ + ∈R C .

11


4) O conjunto das n-uplas reais, ( ){ }1 2 1 2, ,..., , ,...,n

n nx x x x x x=R ∈R , com as operações de adição e multiplicação por escalar usuais.

5) O conjunto das matrizes M com as operações de adição e multiplicação por escalar usuais das matrizes.

( )m n× R

6) O conjunto dos polinômios de grau ≤ n

( ) { }1 21 2 1 0

0...

ni n n

n i i n n ii

a x a a x a x a x a x a a−−

=

= ∈ = + + + + + ∑P R R R∈

Contra-exemplos: 1) Considere o conjunto dos números reais e as operações abaixo definidas:

( ):

,a b a b+ × →

→ +

R R R e ( )

:, 0a aα α

⊗ × →

→ ⊗ =

R R R

Observe que a operação não satisfaz a propriedade (M4), pois ⊗ 0, 1 0x x x∀ ≠ ⊗ = ≠ .

2) Seja e as seguintes operações: 2=V R

( ) ( )( ) (

2 2 2:

, , , ,a b c d a c b d+ × →

→ + +

R R R) ) e

( )( ) ( ) (

2 2:

, , , ,a b a b a bα α α

× →

→ =

R R R

A operação de multiplicação por escalar definida desta forma não satisfaz a propriedade (M3), isto é: ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , ,a b a b a a b a b a b a a b bα β α β α β α β α β+ = + = + ≠ + = + , +

Exercícios: 1) Verifique se o conjunto abaixo, com as operações definidas é um espaço vetorial:

( ) ( )( ) ( )

2 2 2

1 1 2 2 1 2

:

, , , ,0x y x y x x⊕ × →

→ +

R R R e

( )( ) ( ) (

2 2

1 1 1 1 1 1

:

, , , , )x y x y xα α α

× →

→ =

R R Ryα

2)Seja V = { u ∈R/ u > 0}, verifique se V é Espaço Vetorial sobre R com as operações: a) Usuais; b) + : V x V V . : R x V V → →

u + v = u.v α .u = u . α

PROPRIEDADES DOS ESPAÇOS VETORIAIS: Seja V um espaço vetorial real.

P1) O vetor nulo (ou elemento neutro da adição) é sempre único.

P2) Para cada vetor u , existe um único vetor ∈V u− ∈V tal que u u , em outras palavras, o vetor oposto de u é único.

( ) 0+ − =

P3) , .0 0, 0α α∀ ∈ = ∈R V .

P4) . , 0. 0, 0u u∀ ∈ = ∈V RP5) . 0 0 0,u ou u e uα α α= ⇒ = = ∈ ∈R V .

P6) ( ) ( ) ( ), u u u uα α α α∀ ∈ ∀ ∈ ⇒ − = − = −R V .

P7) , , ( ) ,R u v V u v u vα α α∀ ∈ ∀ ∈ ⇒ − = − α sendo que u – v = u + (-v).

12


P8) ( ), , u u u uα β α β∀ ∈ ⇒ − = −R V α β∀ ∈ .

P9) Se e u v, ,u v w V∈ u w+ = + , então v w= .

SUBESPAÇO VETORIAL Definição: Um subconjunto não vazio , (⊂W V V um espaço vetorial real) é dito subespaço vetorial de se também é um espaço vetorial real, considerando as operações restritas a ele. VTeorema: Um subconjunto não vazio , (⊂W V V um espaço vetorial real) é um subespaço vetorial se satisfaz:

(i) . 0∈W(ii) . ,u v u v∀ ∈ ⇒ + ∈W W(iii) ,u uα α∀ ∈ ⇒ ∈W R∀ ∈ . W

Exercício: Verifique se os subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais:

a) ( ){ } 3, , 0 ,a b c a b c= + + =W V = R .

b) 11 1211 22 12 21

21 22

0 ,a a

a a a aa a

= + = = −

W ( )2=V M R .

c) { }20 1 2 1 2 0( ) 1 ,p t a a x a x a a a= = + + + − =W ( )2=V P R .

INTERSECÇÃO DE SUBESPAÇOS VETORIAIS

Seja , ,+ ⋅V um espaço vetorial e sejam , , , φ⊂ V U W ≠U W , dois subespaços vetoriais de V .

Proposição: A intersecção de é um subespaço vetorial de ∩U W , ,+ ⋅V .

Obs: 1) Note que a união de subespaços vetoriais de , ,+ ⋅V , não é um subespaço de ∪U W V .

2) Todo espaço vetorial possui pelo menos dois subespaços, os quais são chamados de subespaços triviais.

V

São eles: { }0 ,= =U U V .

SOMA DE SUBESPAÇOS

Proposição: Considere o conjunto dado por: { },u w u w+ = + ∈ ∈U W U W . Este conjunto é um subespaço vetorial de , chamado de subespaço soma. V

Obs: Nestas condições temos que: 1) ; + = +U W W U 2) { }0+ =U U ;

3) . ,⊂ + ⊂ +U U W W U W

13


Definição: Seja , ,+ ⋅V um espaço vetorial e sejam , , , φ⊂U W V U W ≠

{, dois subespaços vetoriais

de , tais que U W e V + = V }0∩ =U W . Neste caso, dizemos que V é a soma direta de e . Os subespaços U e são ditos subespaços suplementares.

U

⊕

W WNotação: U W

Exercício: Considere os seguintes subconjuntos de e verifique se é a soma direta de e . 3R 3R U WRepresente geometricamente os subespaços considerados.

a) ( ){ }, ,0 ,x y x y= ∈U R e ( ){ }0,0, z z= ∈W R .

b) ( ){ }, ,0 ,x y x y= ∈U R e ( ){ }0, ,z z z= ∈W R .

Proposição: Sejam e subespaços vetoriais de um espaço vetorial . Então se, e somente se, cada vetor

U W∈

V = ⊕V U Wv V admite uma única decomposição , onde u e . w∈ ∈U Wv u w= +

COMBINAÇÃO LINEAR

Definição: Seja um espaço vetorial sobre e V R { }1 2, ,..., nu uS u= ⊂ V . Diz-se que um vetor v∈V é combinação linear dos elementos de , se existirem escalares S 1 2, , ..., nα α α ∈R tais que:

n

1 1 2 21

... n n j jj

v u u u uα α α α=

= + + + =∑ .

LISTA DE EXERCÍCIOS 3

1) Verifique se o vetor ( )1,0,0w = é combinação linear dos vetores

. ( ) ( ) ( )1 2 31,1,1 , 1,1,0 1,0, 1u u e u= = − = −

2) Para qual valor de , o vetor k∈R ( ) 31, 2, k= − ∈R( )

v pode ser escrito como combinação linear dos

vetores de , sendo S ( ){ }3,0, 2 , 2, 1, 5S = − − − .

3) Determine condições para o vetor ( ) 3, ,a b c= ∈Rv , para que o mesmo seja uma combinação

linear dos vetores 1 1,1, 2= −u , ( )2 1,0,1u = − e 3u 0,1, 1= − . ( ) ( )4) Verdadeiro ou Falso. Justifique.

a) ( ) ( ) ( )1,0,2 1,0,1 , 1,0,0∈ −

b) 2 22 2 1 ,t t t t t − + ∈ + +

c) 1 1 1 0 0 1 0 0

, ,2 1 0 1 0 0 1 0−

∈

−

5) Verifique se os seguintes conjuntos são espaços vetoriais:

14


a) 2, (x1, y1) + (x2, y2 ) = (x1 + x2, y1 + y2 ) e . )y,x()y,x( 22 αα=αb) 2, (x1, y1) + (x2, y2 ) = (x1 + x2, y1 + y2 ) e )0,x()y,x( α=α . c) A = {(x, y) ∈ 2: y=5x } com as operações usuais. 2

d) A= com as operações usuais.

∈∈

Rb,a:)2,2(M

0ba0

e) 2, ( )yx,y2x2()y,x()y,x 11112211 +−−=+ , )ax,ay3()y,x(a −= . f) 3 ,{ Rx:)x3,x2,x( ∈ }

}

, com as operações usuais.

6) Prove que se u, v e w ∈V e u+v=u+w, então v=w (lei do cancelamento da adição). 7) Seja V o conjunto dos vetores geométricos do espaço. Sendo u um vetor fixo desse espaço,

mostrar que W= é um subespaço vetorial de V. { R:u ∈αα

8) Verifique se são subespaços vetoriais de V.

a) V = 2, W = { ( } 0y:R)y,x 2 =∈

b) V=M2( ), W= .

−=∈

xy:)R(M

tzyx

2

c) V=Mn( ), U = {A ∈Mn( ): At = A}, W = {A ∈Mn( ): A T= T A}, onde T é uma matriz dada de Mn( ).

d) V = 3, U = { ( }, W = { ( } 23 zx:R)z,y,x =∈ 0ze2xy:R)z,y,x 3 =+=∈

e) V=M2( ), W= (matrizes inversíveis).

≠−∈

0bcad:)R(M

dcba

2

f) V= (nP ), U={f(t) ∈ (nP ): f(t) tem grau maior que 2}, W={f(t) ∈ (nP ): f(0) = 2 f(1)}

9) Verificar que não são subespaços vetoriais do R3: a) W = { } 1x:R)z,y,x( 3 =∈

b) W = { } 0zyx:R)z,y,x( 23 =++∈ 10)Sejam U, V e W subespaços do R3, tais que U={ 3( , , ) R :x y z x z∈ = },

V={ } e W = { }. Verifique que U + V = 0yx:R)z,y,x( 3 ==∈ 0zyx:R)z,y,x( 3 =++∈ 3, U + W = 3 e V + W = 3. Em algum dos casos a soma é direta. 11) Seja V Mn( ), mostrar que a intersecção dos subespaços W1 = {matrizes triangulares superiores} e W2 = {matrizes triangulares inferiores} é um subespaço vetorial de V.

15


SUBESPAÇO GERADO

Seja um espaço vetorial sobre e V R { }1 2, ,..., nS u u u= ⊂ V .

Considere o conjunto de todas as combinações possíveis de , ou seja,

S

1,

n

j j j jj

u uα α=

= ∈ ∑W Z S∈ .

Proposição: O conjunto W como descrito anteriormente é um subespaço vetorial de V , chamado de subespaço vetorial gerado por S . Notação: [ ]S=W .

PROPRIEDADES DOS SUBESPAÇOS GERADOS

Sejam conjuntos de um espaço vetorial 1 2,S S e S , , .+ ⋅V Então:

P1) P2) [ ]S S⊆ [ ] [ ]1 2 1 2S S S S⊆ ⇒ ⊆

P3) [ ] P4) [ ]S S= [ ] [ ] [ ]1 2 1S S S S2+ = ∪

ESPAÇOS VETORIAIS FINITAMENTE GERADOS

Definição: Um espaço vetorial , ,+ ⋅V1 2,u u∃

é finitamente gerado se existe um sistema (ou conjunto)

finito de vetores geradores, isto é, ,..., nu ∈V tais que [ ]1 2, ,..., nu u u=V .

Exemplo 01: O espaço R é finitamente gerado pois os vetores 3 ( ) ( ) ( )1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1 formam um

conjunto de geradores para o . 3R De fato: Seja ( ) 3, ,a b c= ∈R

)1

v um vetor qualquer. Fazendo a combinação linear

, obteremos exata-mente o vetor dado. Logo qualquer vetor do espaço

pode ser gerado pelos vetores ( )( ) ( ) (1,0,0 0,1,0 0,0,a b c+ +3R ( ) ( ), 0,1,0 , 0,0,11,0,0 . Assim, temos que o espaço é finitamente

gerado, pois é existe um conjunto com 3 geradores.

Exemplo 02: Considere o seguinte conjunto: 1 0 0 1 0 0 0 0

, , ,0 0 0 0 1 0 0 1

S

=

.

Então ( ) [ ]2 S=M R . Logo é finitamente gerado.

Exemplo 03: O espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual à é gerado pelo seguinte conjunto de vetores:

n

{ }2 31, , , ,..., nS x x x x= .

De fato: Qualquer polinômio de grau menor ou igual a n , 0

( )n

kk

kp t a

=

= ∑ x , é uma combinação

linear dos elementos do conjunto . S

16


Lista de Exercícios 4 1. Determine o subespaço gerado por:

a) b) (1,1u = ) ( ) ( ){ }1,0,0 , 0,1,0S = c) 1 0 0 1

,0 1 1 0

u v−

= =

.

2. Considere os seguintes subespaços de : 3R ( ) ( )1,0,0 , 1,1,1= U e ( ) ( )0,1,0 , 0,0,1= W .

Determine um sistema de geradores para o subespaço ∩U W .

3. Encontre o subespaço ∩U , sendo dados: W ( ){ }, 0x y x y= −U = e

( ){ },x y x=W 0=

000

, subespaços do R . 2

4. Determine um sistema de geradores para o subespaço das soluções do sistema linear abaixo:

2 3: 2 3

3 2 2

x y z tS x y z t

x y z t

+ − − = − + + = − − + =

5. Determine um sistema de geradores para os subespaços dados abaixo:

a) { } ( )22ax bx c a b c= + + = − ⊂W P R

R

b) ( )2

00 2 3x x y

y x −

= ⊂

U M

DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR

Definição: Um conjunto de vetores { }1 2, , ..., nS u u u= ⊂ V é chamado de linearmente

independente (L.I.) se existe uma única solução para a equação: , qual seja: 1

0n

k kk

uα=

=∑{ }0, 1,2,...,k k nα = ∀ ∈ .

Definição: Nas mesmas condições o conjunto é dito linearmente dependente (L.D.) se a

equação admite mais do que uma solução, isto é,

S

1

0n

k kk

uα=

=∑ { }1,2,..., 0kk n α∃ ∈ ≠ .

Obs: 1) Um conjunto de vetores é L.I. se e somente se não é L.D. 2) O conjunto vazio é dito L.I., por convenção. PROPRIEDADES

Sejam conjuntos de um espaço vetorial 1 2,S S e S , , .+ ⋅V Então:

P1) Se { },u v ∈V é um conjunto L.D. então 0 v uα α∃ ≠ = , ou seja, v é combinação linear de u .

P2) Se o vetor nulo pertence ao conjunto então é L.D. S SP3) Se u e 0≠ { }S u= então é L.I. S

17


P4) Se e é L.D. então é L.D. também. 1 2S S⊆ 1S 2S

P5) Se e é L.I. então é L.I. também. 1 2S S⊆ 2S 1S

P6) Se { }1 2, ,..., nS u u u= é L.I. e para algum v∈V , v S∉ , temos que { }S v∪ é um conjunto L.D.

então . [ ]v S∈

P7) Se { }1 2, ,..., nS u u u= é L.D. e { }ju S u j ∈ − , para algum { }1,2,...j∈ n então

[ ] { }jS S u = − .

Lista de Exercícios 5 1. Determine se os conjuntos abaixo são L.I. ou L.D.

a) ( ) ( ) ( ){ } 31,2,1 , 0, 1,1 , 1,1,2S = − R⊂

b) ( ) ( ){ } 21,2 , 5,0S = ⊂ R

c) , para 1 1 0 1 1 2

, ,3 1 0 2 1 0

S − −

= −

( )2S ⊂M R .

d) { } ( )2 221 ,1 2 , 3S x x x x x= − + − + ⊂ P R

e)

( ) ( )( ) ( )( )

( )

2 31 2

2 33 4

2 35

, 1 ,

2 3 , 2 ,

1 2

p t t t p t t

S p t t p t t

p t t t

= − + = + = = − = ⊂ = + −

P R3

2. Para quais valores de o conjunto m∈R ( ) ( ) ( ){ }21,0, , 1,1,2 , 1,1,S m m= ⊂ R3 é L.I.

BASE E DIMENSÃO

Definição: Seja , ,+ ⋅V um espaço vetorial finitamente gerado. Um subconjunto finito B ⊂ V é chamado de base de se satisfaz as condições abaixo: V

1) [ ]B=V

2) B é um conjunto L.I. de vetores. Teorema: Seja { }1 2, , ..., nS u u u= V⊂ um sistema de geradores do espaço vetorial V . Então dentre os vetores de existe uma base para S V . Proposição: Seja um espaço vetorial gerado por um conjunto finito de vetores V{ }1 2, , ..., nu u u ⊂ V . Então qualquer conjunto com mais do que n vetores é necessariamente linearmente dependente (L.D.). Teorema: Qualquer conjunto L.I. de vetores de um espaço vetorial V de dimensão finita pode ser completado de modo a se tornar uma base para V .

18


Obs: Segue dos resultados anteriores que qualquer conjunto de vetores geradores e L.I. do espaço vetorial possui o mesmo número de elementos. VCorolário: Qualquer base de um espaço vetorial V tem sempre o mesmo número de elementos. Definição: Dado um espaço vetorial finitamente gerado, chama-se dimensão de ao número de vetores de uma base de .

VV

Exemplos:

a) ( )2 2=Rdim e) ( )( )dim 1n n= +P R

b) ( )3dim 3=R f) ( )( )2 4=M Rdim

c) ( )dim g) n n=R ( )( )2 3dim 6x =M R

d) ( )( )2dim 3=P R h) ( )( )dim .mxn m n=M R

Lista de Exercícios 6 1. Verifique se os conjuntos abaixo são base para os respectivos subespaços vetoriais:

a) ( ) ( ){ } 21,0 , 0,1B = ⊂ R

b) { } ( )2 3 331 , , 1 ,B t t t t t P= + + − + ⊂ R

c) ( ) ( ) ( ){ } 31,2,3 , 0,0,1 , 1,0,2B = − R⊂

d) ( ) ( ) ( ){ } 21,2 , 0,1 , 1,0B = − R⊂

e) ( )2 3

1 0 1 0 1 1,

0 0 1 1 0 0 xB −

= ⊂

M R

2. Obtenha bases e dimensões para os subespaços vetoriais abaixo relacionados:

a) ( ){ }3, , 2 3 0x y z x y z= ∈ + −W R =

b) ( ){ }4, , , 2 0, 3x y z t x y t z= ∈ + = =W R −

c) ( ){ }22 0ax bx c a b c= + + ∈ + − =W P R

d) ( )2 3 0a b

a b c dc d

= ∈ + = =

W M R −

19


PROCESSO PRÁTICO : OBTENÇÃO DE UMA BASE DE UM SUBESPAÇO VETORIAL DO nR

Seja um subespaço do espaço vetorial R . Então: [ 1 2, ,..., ku u u=W ]

k

n

1) A permuta de dois vetores, dentre os geradores, não altera o subespaço gerado 1 1,..., ,..., ,..., ,..., ,..., ,...,i j k j iu u u u u u u u = = W

2) Para cada α∈R , 0α ≠ temos que:

1 1,..., ,..., ,..., ,..., ,..., ,...,i j k i i ju u u u u u u u uα = = + W k

3) Se os vetores se apresentam na forma escalonada, eles formam um conjunto L.I. de vetores. Logo formam uma base para , tendo em vista que são um sistema de geradores para

.

1 2, ,..., ku u uW

WLista de Exercícios 7

1. Determinar uma base e a dimensão para e ,W U +U W , sendo:

( ) ( ) ( )2,1,1,0 , 1,0,1,2 , 0, 1,1,4= − W e ( ){ }4, , , 2 ,x y z t R x y z t= ∈ =U =

00

2. Considere o sistema linear e determine uma base e a dimensão para o subespaço das

soluções: 2 2

: 2 3 23 0

x y z tS x y z t

x y z t

− + − = + − + = + − + =

3. Achar um conjunto de geradores (sistema de geradores) dos seguintes subespaços de 4:

a) U = { }; 0tzyx:)t,z,y,x( 4 =+−−∈R

b) V = { }. 0tzyx:)t,z,y,x( 4 =+=−∈R

4. Mostrar que os polinômios 1 e 1 geram . 32 )t1(,)t1(,t −−− )(P3 R

5. Verificar se as seguintes matrizes geram o espaço vetorial M2( ): , , ,

.

1001

0011

1100

2110

6. Consideremos no 3 os seguintes subespaços vetoriais: U = [ (1,0,0), (1,1,1) ] e V = [ (0,1,0), (0,0,1) ]. Determinar um sistema de geradores de U V. ∩

7. Escrever o vetor nulo de 2 como combinação linear dos vetores (1,3) e (2,6). 8. Determinar os subespaços do 3 gerados pelos seguintes conjuntos

a) S={(2,-1,3)} b) A={(-1,3,2), (2,-2,1)} c) S={(1,0,1), (0,1,1), (-1,1,0)} d) S={(-1,1,0), (0,1,2) (-2,3,1)} e) A= {(1,2,-1), (-1,1,0), (-3,0,1), (-2,-1,1)}

20


9. Responda justificando: v=(-1,-3,2,0) ∈ [(2,-1,3,0), (1,0,1,0)] ?

10. Consideremos no espaço P2 = {at2 + bt +c: a, b, c ∈ℜ } os vetores p1(t) = t2 – 2t + 1, p2(t) = t + 2 e p3(t) = 2t2 – t. a) Escrever o vetor p(t) = 5t2 – 5t + 7 como combinação linear de p1, p2 e p3. b) Escrever o vetor p(t) = 5t2 – 5t + 7 como combinação linear de p1 e p2. c) Determinar uma condição para a, b e c de modo que o vetor at2 + bt + c seja combinação

linear de p2 e p3. d) É possível escrever p1 como combinação linear de p2 e p3?

11. Mostrar que os números complexos 2+3i e 1-2i geram o espaço vetorial sobre . 12. São subespaços vetoriais de C(I) os seguintes subconjuntos:U = {f ∈ C(I): f(t) = f(-t), ∀ t ∈ }

e V = {f ∈ C(I): f(t) = -f(-t), ∀ t ∈ }. Mostrar que C(I) = U⊕V.

13. Mostrar que é subespaço de M2( ) o subconjunto formado pelas matrizes anti-simétricas. Mostrar também que V=M2( ) é soma direta dos subespaços das matrizes simétricas e das anti-simétricas.

14. Mostrar que o subconjunto {1,i} é uma base de sobre .

15. No espaço vetorial 3 consideremos os seguintes subespaços: U = { } e V = [(1,2,0), (3,1,2)]. Determinar uma base e a dimensão dos subespaços U, V, U+V e U

0x:)z,y,x( 3 =∈R∩W.

16. Determinar uma base do 4 que contenha os vetores (1,1,1,1), (0,1,-1,0) e (0,2,0,2). 17. No espaço vetorial 3 consideremos os seguintes subespaços vetoriais: S = [(1,-1,2), (2,1,1)],

T = [(0,1,-1),(1,2,1)], U = { } e V = { }. Determinar as dimensões de : S, T, U, V, S+T, S

0zx4yx:)z,y,x( 3 =−=+∈R 0zyx3:)z,y,x( 3 =−−∈R∩T, T+U e T∩U.

18. Consideremos o subespaço vetorial de M3(ℜ ) constituído das matrizes simétricas. Determinar uma base desse subespaço vetorial.

19. Determinar uma base e a dimensão do espaço solução do seguinte sistema:

S: .

=−=++=−−−

0tz0tyx2

0tzyx

20. Para que valores de a R∈ o seguinte conjunto é uma base de 3: B={(a,1,0), (1,a,1),(0,1,a)}.

21. Mostrar que os polinômios 1, 1+t, 1-t2 e 1-t-t2-t3 formam uma base de P3( ). 22. Seja {u1, u2,..., un} uma base de um espaço vetorial V de dimensão n sobre C. Mostrar que

{u1, u2,..., un, iu1, iu2,..., iun } é uma base de V considerado como espaço vetorial sobre .

21


TEOREMA DA DIMENSÃO

Teorema: Sejam e dois subespaços vetoriais de um espaço vetorial U W , ,+ ⋅V , que têm

dimensão finita, então dim , ( ) ( )dim≤U V ( ) ( )dim dim≤W V e além disso:

( ) ( ) ( ) ( )dim dim dim dim+ = + − ∩U W U W U W .

Proposição: Se é um subespaço vetorial de W , ,+ ⋅V tal que ( ) (dim=W )Vdim então =W V .

COORDENADAS Definição: Diz-se que uma base é ordenada se a ordem dos vetores é fixada.

Proposição: Dada uma base ordenada { }1 2, ,..., nB u u u= para o espaço vetorial , cada vetor de é escrito de maneira única como combinação linear de

VV B .

Definição: Seja { }1 2, ,..., nB u u u= V⊂ uma base ordenada para V e um vetor onde v∈V1 1 2 2v u u ... n nuα α= + α+ + . São chamados de coordenadas do vetor v∈V com relação à base B ,

os escalares 1 2 ,..., n,α α α ∈R .

Notação: [ ]

1

2

....B

n

v

αα

α

=

.

Lista de Exercícios 8 1. Dados os vetores abaixo, determina as coordenadas de cada um deles em relação às bases

B e canônicas dadas em cada caso:

a) ( ) 32,3, 1v = − ∈R , C base canônica, = ( ) ( ) ( ){ }1,1,1 , 1,1,0 , 1,1,0B = − .

b) ( ) ( )232 4v t t t= + + ∈P R , C base canônica e = { }21, 1 , 1B t t= + + .

c) , C base canônica e ( )2

2 34 7

A = ∈ −

M R =

.1 1 0 1 1 1 1 0

, , ,1 1 1 0 0 0 0 0

B − −

=

2. Determinar uma base e a dimensão para , ,W U +U W e ∩U W , sendo:

( ) ( ) ( )2,1,1,0 , 1, 1,0,2 , 0, 1,1,4= − − W e ( ) ( ) ( ) ( )2,0,0,1 , 1,0,0,2 , 1,1,1,1 , 0,2,2,1= U

22


3. Considere o sistema linear e determine uma base e a dimensão para o subespaço das

soluções: . 2 2

: 2 3 23 0

x y z tS x y z t

x y z t

+ + − =− + − + = + − + =

00

MUDANÇA DE BASE

Sejam { }1 2, ,..., nB u u u= e { }1 2, ,..., nD w w w= duas bases ordenadas de um mesmo espaço vetorial

, ,+ ⋅V . Dado um vetor v∈V , ele pode ser escrito das seguintes formas:

(1) 1 1 2 2 ... n nv u u uβ β β= + + + (2) v w1 1 2 2 ... n nw wλ λ λ= + + +

As matrizes das coordenadas de com relação as bases B e D são respectivamente: v∈V

(1)

1

2

...

n

v

ββ

β

=

(2) v

1

2

...

n

λλ

λ

=

Como B é base de , cada vetor pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base B, ou seja:

V iw D∈

(3)

1 11 1 21 2 1

2 12 1 22 2 2

1 1 2 2

...

..............................................

...

n n

n n

n n n nn

w u u uw u u

w u u

α α αα α α

α α α

= + + + = + + + = + + + n

u

u

Substituindo (3) em (2) temos a seguinte equação:

( ) ( ) ( )1 11 1 21 2 1 2 12 1 22 2 2 1 1 2 2... ... .... ...n n n n n n n nn nv u u u u u u u uλ α α α λ α α α λ α α α= + + + + + + + + + + + + u

que re-agrupando com relação aos vetores da base B temos:

( ) ( ) ( )1 11 2 12 1 1 1 21 2 22 2 2 1 1 2 2... ... .... ...n n n n n n n nn nv u uλα λ α λ α λα λ α λ α λα λ α λ α= + + + + + + + + + + + + u

1

2

n

Assim igualando as coordenadas, pois elas são únicas em relação à uma base dada, obtemos o seguinte produto matricial:

1 11 12 1

2 21 22 2

1 2

.....

......

... ..... ..... ..... ..... ........

n

n

n n n nn

β α α α λβ α α α λ

β α α α λ

=

ou [ ] [ ] [ ]DDBB vMv = .

Definição: A matriz [ descrita acima é denominada matriz de mudança da base D para a base B.

]DBM

Proposição: Se a matriz de mudança da base { }1 2, ,..., nD w w w= ⊂ V para a base ordenada

{ }1 2, ,..., nB u u u= V⊂ é a matriz dada por [ ]DBM e a matriz de mudança da base

{ }1 2, ,..., nG v v v= V⊂ para a base { }1 2D w , ,..., nw w= ⊂ V é a matriz dada por [ ]GDM Então

temos: [ ] [ ] [DB

GB MMM = ]GD

23


Obs: 1) [ ] (BijB )α=M tal que ( Matriz identidade).

1,0,

ij

ij

se i jse i j

αα

= = = ≠

2)[ ] [ ] [ ]B B

B D=M M M D

B isto é, [ ] [ ]( ) 1B D

D B

−=M M .

Lista de Exercícios 9

1. Considere as bases ordenadas ( ) ( ){ }2, 1 , 3,4B = − e ( ) ( ){ }1,0 , 0,1D = do . Determine 2R[ ]B

DM e [ ]D

BM .

2. Qual a matriz de mudança da base { }1, 1D t= + para a base canônica { }1,B t= do ( )1P R ?

3. Determine a matriz mudança da base B para a base D, e sua inversa, em cada caso:

a) ( ) ( ) ( ){ }1,1,1 , 1,1,0 , 1,1,0B = − e D = base canônica do . 3R

b) { }21, 1 , 1B t t= + + e base canônica do D = ( )3 RP .

c) e 1 1 0 1 1 1 1 0

, , ,1 1 1 0 0 0 0 0

B − −

=

D

=base canônica do ( )2M R .

4. Sejam B={(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} e C={(0,1,0), (-1,0,0), (0,0,1)} bases ordenadas de 3. Encontre as matrizes que relacionam as coordenadas de vB e vC de um mesmo vetor v ∈

3nas bases B e C, respectivamente.Interprete geometricamente.

a) Se vB = ,

300

encontre vC.

b) Se vC = ,

−

022

encontre vB.

c) Se vB = ,

111

encontre vC.

5. Determinar as coordenadas da matriz de M1 12 0

−

2(R) em relação à base:

.

2100

,0200

,0010

,1001

6. No espaço 3 consideremos as bases B = {e1, e2, e3} e C = {g1, g2, g3} relacionadas da seguinte maneira:

g1 = e1 + e3 g2 = 2e1 + e2 + e3 g3 = e1 + 2e2 + e3.

Determinar a matriz de mudança de B para C e de C para B.

24


Se as coordenadas de um vetor u em relação á base B são 1,1 e 2, quais as coordenadas desse vetor em relação à base C?

7. A matriz de mudança da base {1 + t, 1 – t2} para uma base C ambas do mesmo subespaço

vetorial de P é . Determinar a base C. )(2 R

−11

21

8. A matriz de mudança de uma base B do 2 para a base {(1,1), (0,2)} desse mesmo espaço é

. Determinar a base B.

3201

9. Seja B = {u1, u2,..., un} uma base do espaço vetorial V e seja C = {u1, u1 – u2,..., u1 – un}. Mostrar que C é também uma base de V. Achar as matrizes de mudança de base de B para C e de C para B.

10. Sejam U e V subespaços vetoriais de um espaço vetorial de dimensão n. Supondo que

dim U>2n e que dim V >

2n , prove que: U∩V ≠ {0}.

11. No espaço vetorial 3 consideremos os seguinte subespaços: U = { } e V={ } e W=[(1,1,0), (0,0,2)]. Determinar uma base e a dimensão de cada um dos seguintes subespaços: U, V, W, U

0x:)z,y,x( 3 =∈R 0z2y:)z,y,x( 3 =−∈R∩V, V+W e U+V+W.

25

Documents

III) ESPAÇOS VETORIAIS REAISemilia/Cursos/algebralinear/Espacos Vetoriais.pdf · Elementos de Álgebra Linear – ESPAÇOS VETORIAIS REAIS Profa.Emília / Edméa P8)∀∈α,,βαRV∀uu∈⇒()−β=αu−βu