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!" 44 III. MATERIAIS E MÉTODOS III.1. Materiais O material em estudo é a liga GK AlSiMg7 usada na fabricação de rodas fundidas em moldes permanentes sob baixa pressão pela empresa Italspeed Automotive Ltda. A composição química média da liga encontra-se na Tabela II. Tabela II: Composição química (% massa) da liga em estudo. Si Fe Cu Mn Mg Ti Ca Sr Al média 7,44 0,14 0,005 0,003 0,32 0,13 0,002 0,02 balanço Foram fornecidos pela empresa Italspeed Automotive Ltda 37 conjuntos com três corpos-de-prova cada, retirados de corridas reais de produção de rodas. A região de extração dos corpos-de-prova é mostrada na figura 21. Figura 21: Região de extração dos corpos-de-prova.

III. MATERIAIS E MÉTODOSrodrmagn/PROJETOS_IC/2005/A356B.pdf · ... a partir dos valores de H e n obtidos em cada um deles ... tensão-número de ciclos, originados em ensaios com

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44

III. MATERIAIS E MÉTODOS

III.1. Materiais

O material em estudo é a liga GK AlSiMg7 usada na fabricação de rodas fundidas

em moldes permanentes sob baixa pressão pela empresa Italspeed Automotive Ltda. A

composição química média da liga encontra-se na Tabela II.

Tabela II: Composição química (% massa) da liga em estudo.

Si Fe Cu Mn Mg Ti Ca Sr Al

média 7,44 0,14 0,005 0,003 0,32 0,13 0,002 0,02 balanço

Foram fornecidos pela empresa Italspeed Automotive Ltda 37 conjuntos com três

corpos-de-prova cada, retirados de corridas reais de produção de rodas. A região de

extração dos corpos-de-prova é mostrada na figura 21.

Figura 21: Região de extração dos corpos-de-prova.

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45

Os corpos-de-prova foram retirados das rodas já termicamente tratadas, submetidas

aos processos de solubilização (a 535° C durante 8 horas) e envelhecimento artificial (a

145° C durante 3,5 horas). Inicialmente, os corpos-de-prova foram usinados pela empresa

com 45 mm de comprimento útil e 6 mm de diâmetro útil, tendo como limitação

dimensional a localização dos mesmos na roda. Porém, eles tiveram que ser re-usinados,

devido à diferença dimensional dos raios de arredondamento, ficando com as dimensões

mostradas na figura 22:

Figura 22: Dimensões do corpo-de-prova (mm).

III.2. Métodos

III.2.1. Caracterização microestrutural

Os corpos-de-prova fornecidos pela empresa foram cortados nos sentidos

longitudinal e transversal e embutidos em baquelite. Posteriormente, foi feito o lixamento e

o polimento dos mesmos na politriz automática Struers Abramin (figura 23) de acordo

como roteiro descrito na Tabela III.

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Tabela III: Roteiro de Polimento

Material: AlSi OPS: 1:10 em água destilada Para 6 amostras

Passo Suporte Tamanho Abr. Lubr. Força(N) Tempo RPM

1 Rotal # 220 água 180 2’00’’ 150

2 Rotal # 320 água 180 3’00’’ 150

3 Rotal # 500 água 180 3’00’’ 150

4 DP-MOL 6 µm álcool 180 4’00’’ 150

5 DP-MOL 3 µm álcool 120 4’00’’ 150

6 DP-NAP 1 µm álcool 120 4’00’’ 150

7 OP-NAP OP-S (suspensão de sílica coloidal) 120 4’00’’ 150

Figura 23: Politriz automática Abramin Struers – LabMat/FEI.

Após o polimento, as peças foram analisadas no microscópio LEICA DMLM

(figura 24), acoplado ao software analisador de imagens LEICA Q-500/W, para a análise da

microestrutura, sem ataque, com o objetivo de examinar qualitativamente o tamanho e a

distribuição dos microconstituintes do material. (Metals Handbook, v.8)

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47

Figura 24: Microscópio LEICA-LabMat/FEI

III.2.2. Preparação dos corpos-de-prova

Antes dos ensaios mecânicos, os corpos-de-prova foram lixados com lixas de

granulações #220, #320, #400 e #600 e polidos com pasta de diamante de 6 µm e 1 µm.

III.2.3. Ensaios de tração

O ensaio de tração é um teste feito através da aplicação de uma carga uniaxial

crescente no corpo-de-prova até que ocorra a ruptura. A aplicação da carga é feita através

de duas garras que são presas nas extremidades dos corpos-de-prova, sendo que tais

extremidades são mais largas que o centro para evitar que a ruptura ocorra na região onde

está a garra.

Os ensaios foram realizados em uma máquina universal de ensaios MTS (figura 25)

e através deles foram obtidas as propriedades mecânicas básicas do material, os parâmetros

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48

para o ensaio de fadiga e os valores dos coeficientes H e n da equação de Ramberg-Osgood

sob carregamento monotônico (equação 14).

III.2.4. Ensaios de fadiga

O ensaio de fadiga é um teste feito através da aplicação de uma carga (ou

deformação) alternada com amplitude constante no corpo-de-prova até que ocorra a

ruptura. Através do ensaio, é medido o número de ciclos que ocorrem até a falha e, a partir

daí, pode ser traçada a curva ε-N do material.

Os ensaios de fadiga também foram realizados em uma máquina universal de

ensaios MTS (figura 25) e tiveram amplitude de deformação variando entre 0,175% e

0,25%. A norma ASTM E606-92 só não foi seguida no quesito “dimensão dos corpos-de-

prova” já que estes, por se originarem de rodas, tinham tamanho reduzido.

Figura 25: Máquina universal de ensaios MTS-LabMat/FEI.

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49

III.2.5. Análise fractográfica

Os corpos-de-prova ensaiados tiveram sua superfície de fratura observada em lupa

estereoscópica com o objetivo de serem identificadas características comuns nas mesmas.

Alguns deles foram então escolhidos, pela sua representatividade no conjunto, para terem

suas seções perpendiculares à fratura analisadas no microscópio LEICA DMLM (figura

24), acoplado ao analisador de imagens LEICA Q-500/W, sendo para isso previamente

preparados pelo roteiro de polimento da tabela III.

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50

IV. RESULTADOS

IV.1. Caracterização microestrutural

Foi observado no microscópio que a estrutura da liga GK AlSiMg7 é formada por

dendritas de alumínio envoltas por uma microestrutura eutética (alumínio e silício), como é

possível verificar nas figuras 26 e 27. Foi possível observar também que a estrutura é

bastante refinada, porém contendo muitos poros (indicados por setas na Figura 26), que são

críticos para as propriedades mecânicas da liga, devido à concentração de tensão que

causam.

Figura 26: Microestrutura da seção longitudinal do corpo-de-prova após polimento até

etapa com sílica coloidal. Dendritas de fase α envoltas por microestrutura eutética. Os

pontos escuros da foto da esquerda são porosidades, indicadas por setas.

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51

Figura 27: Microestrutura da seção transversal do corpo-de-prova após polimento até etapa

com sílica coloidal. Dendritas de fase α envoltas por microestrutura eutética.

IV.2. Ensaios de tração

Foram realizados 5 ensaios de tração. A figura 28 mostra o comportamento do

material em um dos ensaios, através de uma curva tensão-deformação convencional.

Figura 28: Curva tensão-deformação convencional de um dos ensaios de tração

realizados.

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52

A partir das tensões e deformações convencionais foram calculadas as tensões e

deformações reais totais, pelas equações 5 e 6 e, assim, traçada a curva real, apresentada na

figura 29.

Figura 29: Curva tensão-deformação real.

Posteriormente, foi calculada a deformação elástica real pela equação 12 e pela

diferença entre esta e a deformação real total foi encontrada a deformação plástica real. Foi

traçada, então, a curva tensão-deformação plástica real (figura 30) para o intervalo cujo

primeiro ponto tinha tensão real aproximadamente igual a 200 MPa e o último ponto tinha

deformação convencional de aproximadamente 2,5%. Esse intervalo foi escolhido para que

fosse eliminado o erro devido à troca do extensômetro pelo deslocamento da garra para

medir a deformação. A partir da linha de tendência traçada nesse gráfico e de sua equação,

foram retirados os valores de H e n.

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53

Figura 30: Curva tensão-deformação plástica real.

Esse procedimento foi feito para cada um dos ensaios e, a partir dos valores de H e

n obtidos em cada um deles foi calculado o valor médio de ambos, assim como foram

calculados os valores médios de outras propriedades do material, obtidas dos ensaios e

apresentadas na Tabela IV:

Tabela IV: Propriedades do material obtidas pelo ensaio de tração.

Propriedades σ±x AT 25 mm (%) 10,84 ± 2,03 Estricção (%) 11,80 ± 1,21

LE (MPa) 220 ± 20 LR(MPa) 292 ± 16 LF(MPa) 287 ± 17

LFREAL(MPa) 325 ± 18 UTREAL (N.mm/mm3) 36,29 ± 2,71

E (GPa) 70 ± 1,6 H (MPa) 378 ± 37

n 0,088 ± 0,007

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54

É importante ressaltar que no cálculo da tensão real de ruptura do material estudado

não foi necessária a correção dada pela equação 8, já que nesse caso a estricção é pequena

e, portanto, não houve formação de pescoço que impusesse grande estado triaxial de

tensões nesta região.

IV.3. Ensaios de fadiga

Primeiramente, foram realizados 8 ensaios de fadiga válidos, com freqüência de 2

Hz. Como a liga estudada apresentou nesses ensaios uma vida em fadiga longa, optou-se

por realizar os ensaios seguintes com frequência igual a 3 Hz. No total, foram realizados 5

ensaios válidos com cada amplitude de deformação (0,175%, 0,20%, 0,225% e 0,25%),

totalizando 20 ensaios. As figuras 31 e 32 mostram os gráficos tensão-número de ciclos,

originados em ensaios com amplitude de deformação igual a 0,20% e 0,25%,

respectivamente.

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55

Figura 31: Tensões Máximas e Mínimas x Número de ciclos de um dos ensaios

com %20,0=aε

Figura 32: Tensões Máximas e Mínimas x Número de ciclos de um dos ensaios

com %25,0=aε

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56

Para cada ensaio foram calculadas as amplitudes médias de deformação total e de

deformação plástica. Pela diferença destes valores foi obtida a amplitude média de

deformação elástica. A figura 33 mostra a combinação destes dados com o número de

ciclos até a fratura dos respectivos ensaios.

Figura 33: Pontos relacionando as amplitudes de deformação total, elástica e

plástica com o número de ciclos em cada ensaio.

As equações das retas de amplitude de deformação elástica e plástica obtidas no

gráfico acima tiveram sua forma alterada para que fosse possível compará-las com as

equações (22) e (23) apresentadas anteriormente. Assim, foram obtidos os coeficientes e os

expoentes de resistência e ductilidade à fadiga, mostrados na Tabela V.

Os valores de tensão, deformação total e deformação plástica convencionais médios

obtidos nos ensaios foram convertidos para valores reais. A combinação dos valores de

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57

tensão com os valores de deformação total e plástica deu origem aos dois gráficos

apresentados nas figuras 34 e 35.

Figura 34: Comparação dos valores de amplitude média de tensão real obtidos nos ensaios

com amplitude de deformação constante.

Figura 35: Pontos relacionando os valores de amplitude de tensão real média e de

amplitude de deformação plástica real média de cada ensaio.

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58

A partir do gráfico da figura 35 foi possível a obtenção dos valores do coeficiente de

encruamento cíclico (H’) e do expoente de encruamento cíclico (n’) do material estudado, a

partir da equação da curva média dos pontos. Os valores de H’ e n’ são fornecidos na tabela

V.

Tabela V: Propriedades do material obtidas no ensaio de fadiga.

'fε (mm/mm) 0,07

c -0,723

'fσ (MPa) 685

b -0,137

H’ (MPa) 676

n’ 0,137

IV.4. Análise fractográfica

As figuras 36 a 39 mostram fotos das superfícies dos corpos-de-prova que sofreram

carregamentos com diferentes valores de amplitude de deformação e que foram analisadas

em lupa estereoscópica. A análise mostrou a existência de muitos poros, indicados por setas

nas figuras.

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59

Figura 36: Superfície de fratura de um corpo-de-prova que sofreu carregamento

cíclico com amplitude de deformação igual a 0,175%.

Figura 37: Superfície de fratura de um corpo-de-prova que sofreu carregamento

cíclico com amplitude de deformação igual a 0,2%.

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60

Figura 38: Superfície de fratura de um corpo-de-prova que sofreu carregamento

cíclico com amplitude de deformação igual a 0,225%.

Figura 39: Superfície de fratura de um corpo-de-prova que sofreu carregamento

cíclico com amplitude de deformação igual a 0,25%.

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61

Entre os corpos-de-prova observados em lupa estereoscópica, dois foram escolhidos

para serem analisados no microscópio LEICA DMLM. Foi identificada uma microestrutura

bastante refinada, porém contendo grande quantidade de porosidade na região próxima à

fratura, como pode ser observado nas figuras 40 e 41.

Figura 40: Microestrutura da superfície de fratura de um corpo-de-prova que sofreu

carregamento cíclico com amplitude de deformação igual a 0,2%.

Figura 41: Microestrutura da superfície de fratura de um corpo-de-prova que sofreu

carregamento cíclico com amplitude de deformação igual a 0,225%.

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62

V. DISCUSSÃO DOS RESULTADOS

V.1. Ensaios de fadiga

Primeiramente, os resultados obtidos mostraram que os ensaios realizados foram

caracterizados pela fadiga de alto ciclo, o que pode ser constatado pela observação das retas

das amplitudes elástica e plástica de deformação na figura 33. Tais retas não se cruzam,

sendo que todos os seus pontos se encontram à direita do ponto que seria a intersecção das

mesmas se elas fossem prolongadas. Essa característica dos ensaios já era esperada devido

à limitação de aplicação de pequenas amplitudes de deformação para que o corpo-de-prova

não flambasse. Observa-se também que os pontos da reta de amplitude de deformação

elástica praticamente coincidem com os pontos da reta de amplitude de deformação total, o

que mostra que o processo de fadiga teve predominância da deformação elástica, reflexo da

das pequenas amplitudes de deformação impostas, o que também justifica a fadiga de alto

ciclo.

Pelo gráfico da figura 34, observa-se que para ensaios com uma mesma amplitude

de deformação a amplitude de tensão praticamente não variou. Essa característica pode ter

sido facilitada pelo fato da tensão se estabilizar após alguns ciclos (aproximadamente 100)

em todos os ensaios, o que facilita a análise dos resultados e também aumenta sua

confiabilidade (vide figuras 31 e 32).

Foi feita a comparação entre os comportamentos monotônico e cíclico da liga

através dos dados das tabelas IV (curva monotônica) e V (curva cíclica) aplicados às

�������������������� ��������������� ����������������������������������������� !"�����������

63

equações 14 e 25, respectivamente. As curvas obtidas são mostradas no gráfico da figura

42.

Figura 42: Comparação dos comportamentos monotônico e cíclico do material.

Observa-se que as curvas coincidem para valores de deformação baixos, enquanto

que para valores acima de 0,225 % de deformação, a curva de carregamento cíclico

apresenta tensões maiores que a de carregamento monotônico, mostrando que a liga em

estudo endurece sob carregamento cíclico. Essa característica é confirmada pelos gráficos

das figuras 31 e 32, que mostram que a tensão da liga aumentou antes de ocorrer a sua

estabilização.

Em relação aos valores de H’ e n’ obtidos pelo gráfico da figura 35, pode-se dizer

que eles apresentam uma boa confiabilidade, pois os dados a partir dos quais eles foram

�������������������� ��������������� ����������������������������������������� !"�����������

64

obtidos não apresentam grande dispersão no gráfico, o que é constatado pelo valor de R2

igual a 0,7524, relativamente próximo de 1.

V.2. Análise fractográfica

Nas figuras 36 a 39, foi possível observar que a superfície de fratura é caracterizada

principalmente por poros, que são concentradores de tensão. Já a análise por microscopia

ótica mostrada nas figuras 40 e 41 mostra que a microestrutura é bastante refinada, apesar

da presença de porosidade.

Essa porosidade, por caracterizar-se por pequenos poros espalhados entre os braços

de dendrita da liga, poderia ser resultante do processo de solidificação da liga, em que seu

tamanho aumenta pela diminuição da velocidade de solidificação. Porém, como a

microestrutura da liga está bastante refinada, percebe-se que a velocidade de resfriamento

não foi lenta, mas mesmo assim não foi suficiente para evitar tal porosidade. O que poderia

ser feito nesse caso, além da melhoria do projeto de fundição, seria o controle da

quantidade de hidrogênio dissolvido no banho fundido para mudar a forma e distribuição

dos poros. Porém, isso deve ser feito com muita cautela, pois, como se sabe, o hidrogênio

também pode formar poros, sendo estes caracteristicamente arredondados e maiores, que

também são concentradores de tensão, apesar de serem bem menos críticos.

Provavelmente, no material estudado a porosidade é a principal determinante da

vida em fadiga. Assim, se for possível controlá-la, a vida será bem maior.

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65

VI. CONCLUSÕES

Do presente trabalho conclui-se que:

1) A liga estudada apresenta estabilização da tensão após alguns ciclos de

carregamento (aproximadamente 100), o que torna confiável a obtenção dos

parâmetros H’ e n’.

2) Os ensaios realizados caracterizaram-se pela fadiga de alto ciclo, devido às

baixas amplitudes de deformação impostas, apresentando, inclusive, predominância

de deformação elástica.

3) Em comparação com o carregamento monotônico, o carregamento cíclico da liga

em estudo apresenta valores maiores de tensão para amplitudes de deformação a

partir de aproximadamente 0,225%, o que mostra que a liga GK AlSiMg7 endurece

sob carregamento cíclico.

4) As superfícies de fratura, apesar de sua microestrutura refinada, apresentam

porosidades concentradoras de tensão, que reduzem a vida em fadiga da liga.

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66

Apêndice A – COMPARAÇÃO DAS LIGAS GKAlSi11 E GKAlSiMg7

Em Iniciação Científica anterior, da mesma aluna (Lopes, 2004), foi estudado o

comportamento mecânico da liga GK AlSi11 também utilizada na fabricação de rodas

automotivas fundidas. A composição química da liga é mostrada na tabela A.I:

Tabela A.I: Composição química da liga GK AlSi11.

Os corpos-de-prova ensaiados foram fornecidos pela mesma empresa com as

mesmas dimensões. Para essa liga, também foram realizados ensaios de tração e de fadiga

controlados por amplitude de deformação, além de análise da superfície de fratura. Assim,

cabe aqui a comparação entre as duas ligas.

Em relação às propriedades mecânicas básicas dos dois materiais, observa-se que a

liga GKAlSiMg7 apresenta valores de rigidez, tenacidade e resistência superiores à liga

GKAlSi11, o que é mostrado na tabela A.II:

balanço 0,0271 0,0021 0,1158 0,0062 0,0064 0,0794 0,0019 0,0057 0,1741 10,94

Al Sr Ca Ti Ni Zn Mg Mn Cu Fe Si

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67

Tabela A.II: Comparação das propriedades mecânicas das ligas GK AlSi11 e GK AlSiMg7.

Em relação à vida em fadiga, observa-se que, para o mesmo carregamento, a liga

GKAlSiMg7 apresenta vida em fadiga maior que a liga GKAlSi11, o que pode ser

explicado pela sua microestrutura mais homogênea e refinada, que proporciona menos

concentração de tensões, apesar da existência de maior quantidade de pequenos poros

espalhados interdendriticamente, enquanto que na liga GKAlSi11 os poros predominantes

são originados pela presença de hidrogênio durante a solidificação, sendo

caracteristicamente arredondados e maiores. O gráfico da figura A.1 mostra curvas

relacionando a amplitude de deformação aplicada e a vida em fadiga das duas ligas em

estudo.

0,088±0,007 0,266±0,017 n

378±37 372±46 H

70 ±1,6 65 ±1 E (GPa)

36,29±2,71 28,79±9,84 UTReal(N.mm/mm3) 325,00±18,00 178,48±15,84 LFReal (MPa)

287,00±17,00 129,20±35,69 LF (MPa)

292,00±16,00 169,40±21,02 LR (MPa)

220,00±20,0 73,20±15,90 LE (MPa)

11,80±1,21 15,02±5,47 Redução de área (%)

10,84±2,03 11,82±3,05 AT25mm (%)

Liga GK AlSiMg7 Liga GK AlSi11 Propriedades

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68

Figura A.1: Comparação das curvas de amplitude de deformação em função do

número de ciclos para as ligas em estudo.

As curvas foram construídas a partir dos valores de 'fσ , '

fε , c, b e E de ambas as

ligas e da equação 24. Observa-se que a liga GK AlSiMg7 apresenta vida em fadiga maior

que a liga GK AlSi11 para amplitudes de deformação correspondentes a vidas entre 5000 e

8x106 ciclos, intervalo no qual estão contidos os ensaios realizados.

A comparação dos parâmetros de fadiga são dados na tabela A.III.

Tabela A.III: Parâmetros de comportamento cíclico das ligas GK AlSi11 e GK AlSiMg7. '

fε (mm/mm) c 'fσ (MPa) b H’ n’

GKAlSi11 4,82 -0,8853 169 -0,0577 128 0,028

GK Al SiMg7 0,04 -0,6619 702 -0,1397 676 0,137

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69

Se o estudo da liga for feito utilizando-se a amplitude de tensões, será obtido o

gráfico da figura A.2, a partir da equação 21 e dos valores de 'fσ e b, apresentados na

tabela A.III.

Figura A.2: Comparação das curvas de amplitude de tensão em função do número

de ciclos para as ligas em estudo.

A partir do gráfico observa-se a vida em fadiga da liga GK AlSiMg7 é maior para

amplitudes de tensão correspondentes a vidas de até 2 x 107 ciclos, enquanto que a partir

desse valor a liga GK AlSi11 apresenta maior vida.

Além disso, a liga GKAlSiMg7, sob carregamento cíclico, apresenta estabilização

da tensão após o aumento da mesma durante os primeiros ciclos, enquanto a liga GKAlSi11

não apresenta tal estabilização, sofrendo aumento da tensão até a fratura.

Foi feita também a comparação dos comportamentos monotônicos e cíclicos das

duas ligas, através do gráfico mostrado na figura A.3, em que se observa que a liga GK

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70

AlSiMg7 apresenta tensões maiores que a liga GK AlSi11 para o mesmo valor de

deformação. Além disso, percebe-se que a liga GK AlSiMg7 endurece sob carregamento

cíclico, já que as tensões da curva cíclica são maiores que as da monotônica, enquanto a

liga GK AlSi11 apresenta comportamento misto, endurecendo ciclicamente até

deformações de aproximadamente 0,007 mm/mm e depois amolecendo.

Figura A.3: Comparação das curvas tensão-deformação reais monotônicas e

cíclicas das ligas em estudo.

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71

Apêndice B – Análise Estatística dos Resultados

O estudo de confiabilidade de determinado equipamento ou componente é muito

útil, pois fornece a probabilidade do mesmo funcionar sem falhas durante determinados

tempos e condições, com certa confiança. Este estudo é bastante aplicado nos casos de falha

por fadiga e tem como objetivo estimar a vida em fadiga do produto em questão, incluindo

a probabilidade dessa falha. (Rodrigues, 2000; Stephens - C, 2001)

As distribuições de probabilidade mais usadas no estudo da falha por fadiga são a

Normal, a Log-normal e a de Weibull, sendo esta última preferencial em relação às outras

duas. (Stephens - C, 2001)

Distribuição de Weibull

Inicialmente, os dados de vida em fadiga do presente trabalho foram estudados pela

distribuição de Weibull.

A função densidade de probabilidade e a função de densidade de probabilidade

acumulada de Weibull são apresentadas respectivamente a seguir:

��

��

���

−−−−=

��

��

���

−−−×

��

��

���

−−×��

−=

β

ββ

γθγ

γθγ

γθγ

γθβ

xxF

xxxf

exp1)(

exp)(1

Onde β, γ e θ são parâmetros das funções. Cada autor os nomeia de forma diferente,

porém o que importa é a interpretação de seu significado:

�������������������� ��������������� ����������������������������������������� !"�����������

72

β = parâmetro de forma

θ = parâmetro de localização

γ = parâmetro de escala

O parâmetro de forma (β), como o próprio nome diz, se refere à forma da

distribuição. A figura B.1 mostra as diferentes formas de curva relativas a valores de β.

Figura B.1: Distribuiçãode Weibull de dois parâmetros para diferentes

valores de β. (Stephens - C, 2001)

Assim, para β = 1, tem-se uma distribuição exponencial, para β = 2, tem-se

uma assimétrica positiva, para β = 3,45, uma curva bem próxima da normal e para β

= 10, uma assimétrica negativa.(Stephens - C, 2001)

�������������������� ��������������� ����������������������������������������� !"�����������

73

O parâmetro de escala (θ), ou vida característica, é o valor (no caso da fadiga, é o

número de ciclos) correspondente a 63,2% das falhas (Stephens - C, 2001). Esse valor foi

obtido substituindo-se o x da função F(x), apresentada anteriormente, por θ. Assim:

��

��

���

−−−−=

��

��

���

−−−−=

β

β

γθγθθ

γθγ

exp1)(

exp1)(

F

xxF

Como na divisão dentro do parênteses o numerador e o denominador são iguais,

resultará em 1:

( )[ ] [ ]%2,63632,0

718,21

1)(

1exp11exp1)(

==−=

−−=−−=

θ

θ β

F

F

(Lipson, 1973)

O parâmetro de localização (γ), ou vida mínima, é o valor mínimo da vida, ou

duração de um componente em uma população. Muitas vezes, o valor da vida mínima é

assumido como sendo zero, o que reduz a função densidade de probabilidade acumulada de

3 parâmetros apresentada para a função de 2 parâmetros (γ = 0):

���

���

���

�−−=β

θx

xF exp1)(

Assim, enquanto a função densidade de probabilidade de 3 parâmetros assume que a

vida mínima da população seja um valor finito diferente de zero, a função de 2 parâmetros

assume que ela seja zero, o que facilita o seu estudo. (Stephens - C, 2001; Lipson, 1973)

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74

O estudo dos dados segundo a distribuição de Weibull é feito através da confecção

de um gráfico em papel especial (papel de probabilidade de Weibull) que contém uma

escala que torna linear a função em questão e assim permite a obtenção dos seus

parâmetros. Se, após o posicionamento dos pontos correspondentes aos dados estudados no

gráfico, observar-se que eles não são lineares, pode se chegar a duas conclusões: ou o valor

de γ é diferente de zero (neste caso, é possível adaptar o gráfico para linearizá-lo e analisar

o resultado) ou a população estudada não segue a distribuição de Weibull. (Lipson, 1973)

O papel de probabilidade de Weibull apresenta na abscissa os valores referentes ao

tempo, ou, nesse caso, número de ciclos até a falha e na ordenada a porcentagem de falha

acumulada. A escala para tornar linear a função foi obtida a partir da função densidade de

probabilidade acumulada de Weibull de 2 parâmetros:

���

���

���

�=−

���

���

���

�−=−

���

���

���

�−−=

β

β

β

θ

θ

θ

xxF

xxF

xxF

exp)(1

1

exp)(1

exp1)(

( )θββ

θ

β

lnln)(1

1lnln

)(11

ln

−=���

��

�=���

xxF

xxF

Comparando essa equação com a equação de reta baxy += , temos:

)(11

lnlnxF

Y−

=

xX ln=

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75

β=a (portanto, β é o coeficiente angular da reta)

θβ ln−=b (Lipson, 1973)

Para se apresentar graficamente estes valores, deve-se ordená-los em ordem

crescente e determinar a probabilidade de falha correspondente através da classificação,

dada por:

( )( )��

���

+−

4,03,0

nj

onde n é o número de elementos da amostra e j é o número de ordem do dado

amostral. (Rodrigues, 2000; Stephens - C, 2001)

A descrição feita anteriormente sobre a manipulação dos dados para que seja

possível estudá-los pela distribuição de Weibull foi feita com o objetivo de mostrar qual é a

base para a criação dos gráficos, que é utilizada quando estes são feitos manualmente.

Porém, aqui o estudo será feito com o auxílio de um dos softwares de estatística presentes

no mercado (Minitab, release 14-demo), o que resulta em uma precisão maior do que um

gráfico feito à mão.

Para cada uma das amplitudes de deformação estudadas, foi feito o gráfico no papel

de Weibull, incluindo o intervalo de confiança (figuras B.2 a B.5).

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76

Figura B.2: Gráfico de probabilidade de Weibull e intervalo de confiança para

dados de fadiga obtidos com %175,0=aε .

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77

Figura B.3: Gráfico de probabilidade de Weibull e intervalo de confiança para dados de

fadiga obtidos com %2,0=aε .

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78

Figura B.4: Gráfico de probabilidade de Weibull e intervalo de confiança para dados

de fadiga obtidos com %225,0=aε .

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79

Figura B.5: Gráfico de probabilidade de Weibull e intervalo de confiança para dados de

fadiga obtidos com %25,0=aε .

Pelos gráficos apresentados, observa-se que as posições dos pontos desenhados

resultaram em retas, apesar destas serem aproximadas, o que mostra que os dados em

estudo podem ser representados pela distribuição de Weibull. Analisando-se os parâmetros

de forma, fornecidos nos gráficos, percebe-se que, entre as formas das distribuições de

Weibull apresentadas (exponencial, assimétrica positiva, normal e assimétrica negativa), as

distribuições dos dados em estudo têm a forma mais aproximada da Normal

( 893,3175,0 =β , 903,2225,0 =β , 287,425,0 =β ), com exceção dos dados para amplitude de

deformação igual a 0,2 %, que se aproximam mais de uma assimétrica positiva

( 938,12,0 =β ). É importante salientar, no entanto que estes valores dos parâmetros de

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80

forma não estão tão próximos dos valores característicos para estas formas de curva de

Weibull.

Além disso, observa-se que os intervalos de confiança estão muito abertos, o que

faz com que percam sua significância, ou seja, na prática, saber que a vida em fadiga de um

elemento pode variar entre um número muito pequeno e um número muito grande de ciclos

não irá ajudar.

Assim, decidiu-se fazer também o estudo da curva de distribuição Normal para os

dados apresentados.

Distribuição Normal

A distribuição Normal, também conhecida como distribuição de Gauss, é descrita

por dois parâmetros principais: média ( x ) e desvio-padrão (σ ). A figura B.6 mostra a

forma da curva Normal:

Figura B.6: Curva Normal(Stephens - C, 2001).

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81

A função densidade de probabilidade f(x) é apresentada a seguir:

2

21

2

1)(

��

� −−

×= σ

πσ

xx

exf

A função densidade de probabilidade acumulada é dada pela integral da função

anterior:

)()( xfxF =

(Stephens - C, 2001)

Da mesma forma que para a distribuição de Weibull, foi feito o gráfico da curva

Normal para os dados apresentados (figuras B.7 a B.10):

Figura B.7: Gráfico de probabilidade Normal e intervalo de confiança para dados de

fadiga obtidos com %175,0=aε .

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