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INPE-15689-TDI/1463
IMPACTO DO EFEITO DA QUEBRA DE ONDAS
OCEANICAS NA ESTRUTURA DA CAMADA LIMITE
ATMOSFERICA
Iury Angelo Goncalves
Dissertacao de Mestrado do Curso de Pos-Graduacao em Meteorologia, orientada
pelo Dr. Valdir Innocentini, aprovada em 16 de fevereiro de 2009.
Registro do documento original:
<http://urlib.net/sid.inpe.br/mtc-m18@80/2009/02.03.18.25>
INPE
Sao Jose dos Campos
2009
PUBLICADO POR:
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INPE-15689-TDI/1463
IMPACTO DO EFEITO DA QUEBRA DE ONDAS
OCEANICAS NA ESTRUTURA DA CAMADA LIMITE
ATMOSFERICA
Iury Angelo Goncalves
Dissertacao de Mestrado do Curso de Pos-Graduacao em Meteorologia, orientada
pelo Dr. Valdir Innocentini, aprovada em 16 de fevereiro de 2009.
Registro do documento original:
<http://urlib.net/sid.inpe.br/mtc-m18@80/2009/02.03.18.25>
INPE
Sao Jose dos Campos
2009
Dados Internacionais de Catalogacao na Publicacao (CIP)
Goncalves, Iury Angelo.G586i Impacto do efeito da quebra de ondas oceanicas na estrutura
da camada limite atmosferica / Iury Angelo Goncalves. – Sao Josedos Campos : INPE, 2009.
145p. ; ( INPE-15689-TDI/1463)
Dissertacao (Mestrado em Meteorologia) – Instituto Nacionalde Pesquisas Espaciais, Sao Jose dos Campos, 2009.
Orientador : Dr. Valdir Innocentini.
1. Interacao oceano-atmosfera. 2. Comprimento de rugosi-dade. 3. Pulverizacao. 4. Fluxo de calor. 5. Fluxo de Momen-tum. I.Tıtulo.
CDU 551.511.61:551.446.3
Copyright c© 2009 do MCT/INPE. Nenhuma parte desta publicacao pode ser reproduzida, arma-zenada em um sistema de recuperacao, ou transmitida sob qualquer forma ou por qualquer meio,eletronico, mecanico, fotografico, reprografico, de microfilmagem ou outros, sem a permissao es-crita do INPE, com excecao de qualquer material fornecido especificamente com o proposito de serentrado e executado num sistema computacional, para o uso exclusivo do leitor da obra.
Copyright c© 2009 by MCT/INPE. No part of this publication may be reproduced, stored in aretrieval system, or transmitted in any form or by any means, electronic, mechanical, photocopying,recording, microfilming, or otherwise, without written permission from INPE, with the exceptionof any material supplied specifically for the purpose of being entered and executed on a computersystem, for exclusive use of the reader of the work.
“Se aprenderes a perder, a cair, a errar, ninguem mais o controlara.Porque o maximo que podera acontecer a voce e cair, errar e perder.
E isto voce ja sabe”.
autor desconhecido“A Grandeza do mar”
A meus queridos pais e a minhas irmãs que eu amo.
AGRADECIMENTOS
Agradeco a DEUS por ter me dado forca, saude, garra e perseveranca para poder
realizar este trabalho. Obrigado Senhor por ter me ajudado a superar todas as
dificuldades.
A meus pais, Reinaldo e Maria Jose que me deram forca, carinho. Pelo amor in-
condicional. Tudo que sou hoje, devo a voces.
As minhas irmas Nayara, Nuria e Yasmim que mesmo distante estao sempre torcendo
por mim. Por me incentivar sempre, em qualquer situacao, principalmente nos mo-
mentos mais difıceis.
Ao meu orientador, Dr. Valdir Innocentini, que nao hesitou em me oferecer apoio,
em todos os sentidos, nos momentos que precisei. Pelas conversas, pela paciencia
e atencao. Pela dedicacao e comprometimento com o trabalho e consequentemente
com o meu amadurecimento pessoal e profissional. Jamais vou esquecer.
Ao Leonardo Marques da Cruz, da empresa Prooceano. Por ter confiado em mim,
no meu trabalho e pelo apoio nesses dois ultimos anos.
A minha querida amiga Andressa Cesana, pela valiosa ajuda. Pelas correcoes na
reta final do meu trabalho, pela amizade, por sempre esta me dando forca e me
incentivando.
Aos meus amigos: Almir, Zenilza, Nilma, Zaira, Natalia e Juliana. Por terem me
ajudado muito. Muito mais do que voces imaginam. Pelo apoio no momento em que
eu mais precisei. Que Deus vos abencoe!
Ao meu amigo Augusto Veiga, pelo empenho em me ajudar no inıcio do meu tra-
balho, por sempre estar me motivando e pela amizade.
A todos meus amigos do Curso de Pos-Graduacao em Meteorologia do INPE, em
especial: Lucimara, Enrique, Vinıcius. Obrigado pelas trocas de experiencias, por
dividirem comigo uma etapa tao importante da minha vida e principalmente pela
amizade sincera.
Aos meus amigos de laboratorio: Marılia, Jonas, Samantha. Varias brincadeira, con-
versas bobas e muitas risadas. Isso me ajudou muito!!
A Marılia Shimizu, pelas correcoes e conselhos.
Ao meu amigo do suporte Cesar. Obrigado por estar sempre disposto a ajudar em
qualquer momento.Valeu!!
Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientıfico e Tecnologico CNPq, pelo
auxılio financeiro de dois anos de bolsa de mestrado.
RESUMO
Neste trabalho foi construıdo um modelo numerico unidimensional de Camada Li-mite Planetaria (CLP), com a Camada de Limite Superficial (CLS) segundo a teoriade similaridade e os coeficientes de difusividade extrapolados ate o topo da CLP.Os processos fısicos do arrasto das ondas e da pulverizacao na atmosfera foramimplementados no modelo com o intuito de compreender e avaliar seus efeitos naestrutura da CLP. A rugosidade do mar foi investigada em funcao da idade da onda,do empinamento da onda e do termo fonte de energia Sin (uso explıcito do espectrode onda). Os resultados mostraram diferencas marcantes entre as parametrizacoes. Areducao maxima na velocidade do vento foi observada pela relacao do empinamentoda onda, sendo de 48%. Quando a rugosidade do mar foi avaliada em funcao da idadeda onda e de Sin observou-se uma reducao maxima em torno de 27% e 12%, respec-tivamente. Os resultados das simulacoes, envolvendo a pulverizacao, mostraram queo efeito das gotıculas sobre a transferencia de momentum e insignificante. Todavia,foi observado um resfriamento e umedecimento nos nıveis mais baixos da atmosferaassociados a evaporacao das gotıculas. O maximo refriamento foi atingido quandoo comprimento de rugosidade foi parametrizado em funcao de Sin. Para umidaderelativa de 50%, o resfriamento e umedecimento sao capazes de inverter os gradientesde umidade e temperatura na primeira camada do modelo. Para ventos de 20 m/s,os resultados indicaram que a pulverizacao na atmosfera nao pode ser desprezada: asgotıculas podem alterar significativamente os fluxos de calor e umidade da interface.
IMPACT OF EFFECT OF THE BREAK OCEAN WAVES IN THEATMOSPHERIC BOUNDARY LAYER STRUCTURE
ABSTRACT
In this work was built one-dimensional numerical model of Planetary BoundaryLayer (PBL) with the Surface Boundary Layer (SBL) agreeing with the theory ofsimilarity and the coefficients of diffusivity were extrapolated up to top of the PBL.The physical processes, wave drag and the sea spray have been implemented in themodel in order to understand and evaluate the combined effect in the structureof PBL. The sea surface roughness was investigated according to wave age, wavesteepness and term source Sin (explicit use of wave spectrum). The results showednotable differences among the parameterizations. The maximum reduction in thewind speed was observed by the relationship of the wave steepness parameterization,48%. When sea surface roughness was assessed, according to wave age and Sin therewas a maximum reduction of around 27% and 12%, respectively. The results ofsimulations involving sea spray showed that the effect of droplets on the transferof momentum is negligible. However, was observed a cooling and moistening atatmosphere lower levels of the associated with droplets evaporation. The maximummoistening was achieved when the roughness length was parameterized with Sin.For relative humidity of 50% the cooling, and moistening were able to reverse thegradients of humidity and temperature in first model layer. For winds of 20 m/s, theresults showed that the sea spray couldn’t be neglected: the droplets can significantlyalter the interface heat and moistening flux.
SUMARIO
Pag.
LISTA DE FIGURAS
LISTA DE TABELAS
LISTA DE SIMBOLOS
1 INTRODUCAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.1 Aspectos Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.2.1 Objetivos Especıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3 Descricao sucinta dos capıtulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2 FUNDAMENTACAO TEORICA E REVISAO BIBLIOGRAFICA 31
2.1 Geracao de ondas pelo vento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Parametrizacao da rugosidade da superfıcie do mar. . . . . . . . . . . . . 36
2.2.1 Idade da onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.2 Empinamento da onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.3 Termo fonte de energia espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2.3.1 Formulacao da rugosidade do mar utilizando explicitamente o espec-
tro de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2.3.2 Formulacao da rugosidade do mar utilizando explicitamente o espec-
tro de onda e a pulverizacao na atmosfera. . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.3.3 Formulacao da tensao superficial induzida pela onda τw. . . . . . . . 47
2.3 Efeito da pulverizacao na atmosfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3 PULVERIZACAO NA ATMOSFERA DEVIDO A QUEBRA DE
ONDAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.1 Mecanismo de producao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2 Funcao Quantificadora da Pulverizacao na Atmosfera (FQPA) . . . . . . 57
3.3 Termodinamica da pulverizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3.1 Evolucao do raio das gotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3.1.1 Raio de equilıbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.3.1.2 Tempo de residencia τf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.3.1.3 Tempo de decaimento ’e’ τr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4 DESCRICAO DO MODELO NUMERICO . . . . . . . . . . . . . 75
4.1 Modelo unidimensional de Camada Limite Planetaria - MUCL . . . . . . 75
4.2 Parametrizacao dos fluxos turbulentos e interacao com a superfıcie . . . . 76
4.2.1 Hierarquia do fechamento turbulento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.2.2 Formulacao numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2.2.1 Modelo unidimensional em equilıbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.3 Parametrizacao do efeito da pulverizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.3.1 Calor sensıvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.3.2 Calor latente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5 RESULTADOS OBTIDOS E UMA ANALISE . . . . . . . . . . . 91
5.1 Descricao do experimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.2 Impacto no perfil do vento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.2.1 Idade da onda e empinamento da onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.2.2 Termo fonte de energia espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.3 Impacto nos perfis de temperatura e umidade . . . . . . . . . . . . . . . 102
6 CONSIDERACOES FINAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.1 Conclusoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
A DISCRETIZACAO DA EQUACAO DE DIFUSAO . . . . . . . . 127
B FORMULACAO DO COMPRIMENTO DE MONIN-OBUKHOV129
C FORMULACAO DA TENSAO SUPERFICIAL INDUZIDA
PELA ONDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
C.1 Parte de baixa frequencia - parte explicitamente prognosticada pelos
modelos de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
C.2 Parte de alta frequencia - parte nao explicitamente prognosticada pelos
modelos de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
D FORMULACAO DO ∆qsinc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
LISTA DE FIGURAS
Pag.
2.1 Distribuicao de energia espectral de onda por frequencia. . . . . . . . . . 31
2.2 Evolucao do campo de onda em funcao de Rβ. . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3 Variacao do espectro de onda em funcao da direcao e da frequencia. . . . 34
2.4 Balanco de energia para ondas jovens, com vento a 20 m/s atuando du-
rante 3 horas. Resultados do modelo WAM (Wave Modeling Group). . . 36
2.5 Parametro de Charnock em funcao da velocidade do vento a 10 metros
de superfıcie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.6 Comprimento de rugosidade em funcao da idade e do empinamento da
onda. Dados do HEXOS (pequenos cırculos cinza), Anctil e Donelan
(triangulos) e RASEX (cırculo abertos: u10 < 10 m/s; cırculos fechados:
u10 > 10 m/s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.7 Balanco do fluxo de momentum em funcao da altura. . . . . . . . . . . . 43
2.8 FQPA em funcao do raio de formacao da gota, para u10 = 15 m/s. . . . . 51
3.1 Tipos de quebra de ondas: (a) mergulhante, (b) derramante, com for-
macao de encapelamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2 Producao de gota filme e gota jato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3 (a) Raio da gota formada quando ha um rompimento da bolha de ar na
superfıcie do mar, em que 1 e 2 referem-se a temperatura da agua do
mar, sendo 24 e 4 C, respectivamente. (b) Altura maxima de ascensao
da gota; 1, 2 , 3 e 4 referem-se a temperatura da agua do mar, sendo 4C,
16C , 30C e 24C, respectivamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4 Sıntese do mecanismo de producao de gotas. . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.5 Etapas da producao de gotas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.6 Fluxo de volume estimado para u10 = 15 m/s. . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.7 Comparacao da razao de producao total de gotas computadas pelas for-
mulacoes de Zhao et al. (2006), Andreas (1998) e Fairall et al. (1994)
com cPpic/u10 = 0, 2 e cPpic/u10 = 1, 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.8 Trocas de calor (sensıvel e latente) na superfıcie do oceano associadas aos
processos turbulentos e a pulverizacao na atmosfera. . . . . . . . . . . . 64
3.9 Balanco das forcas que atuam em uma gota de raio r suspensa no ar,
considerando uma atmosfera em repouso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.1 FI em funcao da altura significativa de onda e da fracao da umidade
relativa, sendo Ta = 277 K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.1 Reducao relativa de u10 em funcao do comprimento de rugosidade, para
as parametrizacoes SM, VK e TY, considerando uma atmosfera instavel
e u10 = 40 m/s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.2 Reducao relativa de u10 em funcao do comprimento de rugosidade, para
as parametrizacoes SM, VK e TY, considerando uma atmosfera estavel
e u10 = 40 m/s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.3 Reducao relativa de u10 em funcao do comprimento de rugosidade, para
as parametrizacoes SM, VK e TY, considerando uma atmosfera neutra e
u10 = 40 m/s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.4 Reducao relativa de u10 em funcao do comprimento de rugosidade, para
as parametrizacoes SM, VK e TY, considerando uma atmosfera instavel
e u10 = 20 m/s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.5 Reducao relativa de u10 em funcao do comprimento de rugosidade, para
as parametrizacoes SM, VK e TY, considerando uma atmosfera neutra e
u10 = 20 m/s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.6 Reducao relativa de u10 em funcao do comprimento de rugosidade, para
as parametrizacoes SM, VK e TY, considerando uma atmosfera estavel
e u10 = 20 m/s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.7 Variacao do parametro de Charnock em funcao da idade da onda. . . . . 97
5.8 Isolinhas de z0, computado pela relacao TY, para varios valores de Hs e
LPpic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.9 Tensao superficial induzida pela onda em funcao do perıodo de pico e do
parametro de Charnock. As linhas pontilhadas correspondem a tensao
relativa a baixa frequencia e as linhas contınuas correspondem a tensao
relativa a alta frequencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.10 Reducao relativa de u10 em funcao do comprimento de rugosidade, para a
parametrizacao JS, considerando uma atmosfera instavel, u10 = 20 m/s
e α = 0, 0019. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.11 Reducao relativa de u10 em funcao do comprimento de rugosidade, para a
parametrizacao JS, considerando uma atmosfera instavel, u10 = 20 m/s
para α = 0, 01 e α = 0, 03. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.12 Tensao superficial em funcao do perıodo de pico, considerando uma at-
mosfera instavel e α = 0, 0019. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.13 Tensao superficial em funcao do perıodo de pico, considerando uma at-
mosfera instavel e α = 0, 01. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.14 Tensao superficial em funcao do perıodo de pico, considerando uma at-
mosfera instavel e α = 0, 03. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.15 Raio de equilıbrio em funcao da fracao da umidade relativa, sendo r0 o
raio de formacao da gota em metro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.16 Raio de equilıbrio em funcao da fracao da umidade relativa, sendo r0 o
raio de formacao da gota em metro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.17 Razao entre o raio de equilıbrio e o raio de formacao, para gotas com raio
de formacao variando entre 1 a 500µm. f representa a fracao da umidade
relativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.18 Variacao do tempo de decaimento em funcao da umidade e do raio de
formacao para Ta = Tm = 0C, sendo f fracao da umidade relativa. . . . 105
5.19 Variacao do tempo de decaimento e do tempo de residencia em funcao
da velocidade e da temperatura do ar, sendo a temperatura do mar Tm =
0C. As linhas contınuas corresponde a τr e as linhas pontilhadas a τf . . 105
5.20 Razao da producao de gotas em funcao do raio de formacao, para varios
valores de u10 com PPic = 5 s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.21 Razao da producao de gotas em funcao do raio de formacao, para varios
valores de u10 com PPic = 20 s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.22 Variacao da temperatura a 10 metros de superfıcie, sem pulverizacao. . . 107
5.23 Fluxo de calor sensıvel na interface, sem pulverizacao com umidade rela-
tiva de 80%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.24 Fluxo de calor latente na interface, sem pulverizacao com umidade rela-
tiva de 80%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.25 Fluxo de calor sensıvel na interface, sem pulverizacao com umidade rela-
tiva de 50%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.26 Fluxo de calor latente na interface, sem pulverizacao com umidade rela-
tiva de 50%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.27 Variacao da temperatura a 10 metros de superfıcie em funcao do perıodo
de pico, para umidade relativa de 80%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.28 Fluxo de calor sensıvel na interface em funcao do perıodo de pico, para
umidade relativa de 80%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.29 Fluxo de calor latente na interface em funcao do perıodo de pico, para
umidade relativa de 80%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.30 Variacao da umidade especıfica em funcao do perıodo de pico, para umi-
dade relativa inicial de 80%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.31 Razao entre os fluxos de calor sensıvel da pulverizacao e os da interface,
para umidade relativa inicial de 80%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.32 Razao entre os fluxos de calor latente da pulverizacao e os da interface,
para umidade relativa inicial de 80%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.33 Variacao da temperatura a 10 metros de superfıcie em funcao do perıodo
de pico, para umidade relativa inicial de 50%. . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.34 Fluxo de calor sensıvel na interface em funcao do perıodo de pico, para
umidade relativa inicial de 50%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.35 Fluxo de calor latente na em funcao do perıodo de pico, para umidade
relativa inicial de 50%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.36 Variacao da umidade especıfica medida a 10 metros de superfıcie em
funcao do perıodo de pico, para umidade relativa inicial de 50%. . . . . 114
LISTA DE TABELAS
Pag.
3.1 coeficientes do polinomio de Miller (1987) . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2 coeficientes da FQPA de Andreas (1992) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
LISTA DE SIMBOLOS
ac – Aceleracao da gota (ms−2)cg – Velocidade de grupo (ms−1)cpa – Calor especıfico do ar a pressao constante (JKg−1C−1)cPpic – Velocidade de fase do pico do espectro de onda (ms−1)cpm – Calor especıfico da agua do mar a pressao constante (Jkg−1C−1)Cd – Coeficiente de arrasto em uma gota esfericaD′w – Difusividade molecular do vapor de agua no ar modificado pela
curvatura (m2s−1)Dw – Difusividade do vapor de ar (m2s−1)E(f, θ) – Espectro bidimensional de ondaE(f) – Espectro unidimensional de onda em funcao da frequenciaE(K) – Espectro unidimensional de onda em funcao do numero de ondaesat – Pressao de saturacao (hPa)Fm – Fluxos da interface de momentum (Kgm−1s−1)Fh – Fluxos da interface de calor sensıvel (Wm2)Fq – Fluxos da interface de calor latente (Wm2)fPpic – Frequencia de pico da onda (Hz)g – Aceleracao gravitacional (ms2)Hs – Altura significativa de onda (m)k′a, – Condutividade termica do ar modificada pela curvatura (Wm−1K−1)ka – Condutividade termica do ar (Wm−1K−1)κ – Constante de von KarmanK – Numero de ondaKm – Coeficiente vertical de difusao turbulenta de momentum (s−1)Kh – Coeficiente vertical de difusao turbulenta de calor (s−1)Kq – Coeficiente vertical de difusao turbulenta de umidade (s−1)L – Comprimento de Monin-Obukhov (m)LPpic – Comprimento de onda do pico do espectro de onda (m)Lv – Calor latente de vaporizacao (Jkg−1)Ma – Peso molecular do ar seco (kgmol−1)map – Massa de agua pura na gota (kg)Mg – Massa total das gotas lancadas na atmosfera (kg)mg – Massa da gota (kg)Mge – Massa total das gotas que evaporam (kg)Mm – Peso molecular da agua (kgmol−1)Ms – Peso molecular do NaCl (kgmol−1)ms – Massa de sal na gota (kg)Nz – Numero de nıveis do modeloq – Umidade especıfica
Qssp – Fluxo de Calor Sensıvel liberado pelas gotıculas (Wm2)QLsp – Fluxo de Calor Latente liberado pelas gotıculas (Wm2)Rβ – Numero de ReynoldsR – Constante universal dos gases (Jmol−1K−1)r – Raio instantaneo da gota (m)rb – Raio da bolha de ar (µm)req – Raio da gota ao chegar em equilıbrio com o meio (µm)Rib – Numero de Richardson volumetrico (bulk)r0 – Raio de formacao da gota (µm)r(τf ) – Raio da gota ao cair no oceano (µm)s – SalinidadeSds – Termo de dissipacao devido a quebra de ondas forcadas pelo ventoSin – Termo que representa o processo de geracao de ondas pelo ventoSLθ – Incremento de temperatura devido a evaporacao das gotasSLq – Incremento de umidade relativa devido a pulverizacaoSnl – Processos nao lineares (interacao onda-onda)SS – Incremento de temperatura provocada por trocas de calor sensıvelTa – Temperatura do arTa10 – Temperatura do ar a 10 metros de superfıcieTm – Temperatura da superfıcie do mar (C)Teq – Temperatura de equilıbrio da massa total de gotıculas, apos contanto com o arUf – Velocidade de queda da gota (velocidade terminal) (ms−1)um – Velocidade do vento modificado pela presenca de onda (ms−1)usp – Velocidade horizontal da gota ao deslocar no ar (ms−1)u10 – Velocidade do vento a 10 metros de superfıcie (ms−1)u∗ – Velocidade de Friccao (ms−1)u∗t – Velocidade de friccao turbulenta (ms−1)z0 – Comprimento de rugosidade (m)ρa – Densidade do ar (Kgm−3)ρap – densidade da agua pura (Kgm−3)ρm – Densidade da superfıcie do mar (Kgm−3)τ – Cisalhamento total (s−1)τf – Tempo de residencia da gota na atmosfera (s)τr – Tempo de decaimento ’e’ do raio da gota (s)τturb – Tensao superficial turbulenta (s−1)τpa – Tensao superficial da pulverizacao na atmosfera (s−1)~τw – Tensao superficial induzida pela onda (s−1)~τwaf – Tensao superficial induzida pela onda (parte nao explicitamente
prognosticada pelos modelos de onda) (s−1)~τwbf – Tensao superficial induzida pela onda (parte explicitamente
prognosticada pelos modelos de onda)(s−1)τν – Tensao superficial devido a viscosidade (s−1)Θs – Coeficiente de osmose da gota
θ0 – Temperatura potencial media na CLSϑ – Direcao do ventoφ(z/L) – Funcao universalω – Frequencia angular de onda (Rads−1)ωPpic – Frequencia angular do pico do espectro de onda (Rads−1)δs – Tensao superficial da agua do mar (Jm−2)γ = 2 – Numero de ıons no qual uma molecula de sal dissocia na gotaδw – Tensao da superfıcie de agua pura (Jm−2)νa – Viscosidade do ar (m2s−1)
1 INTRODUCAO
1.1 Aspectos Gerais
O oceano e a atmosfera sao ligados dinamicamente e termodinamicamente pelas tro-
cas de momentum, calor e umidade em sua interface. Essa interacao do oceano com
a atmosfera e de grande importancia para a circulacao do oceano e da atmosfera em
varias escalas. O entendimento dessa interacao tem tido um progresso significativo
nos ultimos anos, sendo importante para a compreensao de fenomenos atmosfericos
como ciclones tropicais e extratropicais, jatos na camada limite, frentes oceanicas
costeiras, entre outros.
A interacao entre o oceano e a atmosfera pode ser caracterizada por alteracoes nas
correntes oceanicas, implicando em variacao na quantidade de calor armazenada nas
camadas superiores do oceano, resultando em um desequilıbrio entre o ganho e a
perda de calor na superfıcie do mar. Esse desequilıbrio induz mudancas na dinamica
da atmosfera. Por outro lado, pode se iniciar com aquecimento da superfıcie terrestre
pela radiacao solar, provocando ascendencia de ar (conveccao) e, por consequencia,
uma circulacao atmosferica com ventos em superfıcie que transferem energia para o
oceano atraves do atrito, dando origem a algumas correntes oceanicas, como exemplo
as correntes superficiais.
A transferencia de energia da atmosfera para o oceano provoca ondulacoes no mar,
cuja a escala varia de poucos centımetros a centenas de metros, sendo que essas
ondulacoes (rugosidades da superfıcie do mar) caracterizam o campo de onda. A
evolucao do campo de onda no tempo e no espaco depende do vento superficial, da
temperatura do ar e do mar e da profundidade.
A rugosidade da superfıcie do mar e um parametro muito importante nos estudos da
dinamica do oceano-atmosfera, sendo capaz de modificar a transferencia de momen-
tum, calor e umidade atraves da interface. Alem disso, a quebra de ondas aumenta
drasticamente a transferencia (massa, calor, umidade, momentum) entre o oceano e
a atmosfera (ZHAO; TOBA, 2001).
A grande importancia dos fluxos de momentum, calor e umidade nos prognosticos
de variacoes climaticas e seus efeitos sobre o clima do planeta tem incentivado o
desenvolvimento de estudos nessa area.
27
Uma importante componente da evolucao do campo de onda e a pulverizacao na
atmosfera atraves de gotıculas. Com a quebra de ondas ocorre um entranhamento de
ar no oceano originando gotıculas, que ascendem na atmosfera, causando mudancas
na troca de massa entre o oceano e a atmosfera, podendo alterar a estrutura da
camada limite (ANDREAS; EMANUEL, 2001).
A parametrizacao do campo de onda assim como da pulverizacao na atmosfera em
simulacoes numericas de agitacao marıtima sao muito importantes para o estudo
da interacao oceano-atmosfera. Isso vem sendo enaltecido nos ultimos anos atraves
de observacoes, experimentos em laboratorio e de modelagem numerica (DRENNAN,
2006)
Os resultados deste trabalho poderao contribuir para compreender a dinamica do
sistema oceano-atmosfera, principalmente sob fortes ventos. Alem disso, para uma
melhoria na determinacao da rugosidade sobre a superfıcie do mar, implicando em
uma melhor estimativa da tensao superficial em modelos de ondas que e fundamental
pra determinar os fluxos da superfıcie. O estudo foi realizado atraves de simulacoes
numericas utilizando um modelo simplificado de camada limite.
1.2 Objetivos
O objetivo dessa pesquisa consiste em investigar o mecanismo fısico da rugosidade do
mar (arrasto das ondas) e a producao de gotıcula na estrutura da camada limite, na
presenca de agitacao marıtima causada pelo vento, assim como o efeito combinado
na estabilidade estatica da atmosfera.
1.2.1 Objetivos Especıficos
• Elaborar um modelo numerico unidimensional de camada limite (MUCL)
com a fısica do arrasto das ondas e a microfısica de gotıculas;
• Avaliar o efeito das formas mais usadas de parametrizacao do estado do
mar nos fluxos de momentum, calor e umidade entre atmosfera e o oceano;
• Avaliar o ciclo de vida da gota, quanto a umidade relativa e a temperatura
da atmosfera;
• Avaliar a producao de gotas em funcao da velocidade do vento e do desen-
volvimento do mar;
28
• Examinar o efeito da evaporacao das gotas e o arrasto das ondas nos fluxos
da interface.
1.3 Descricao sucinta dos capıtulos
No Capıtulo 2 e apresentada a fundamentacao teorica do arrasto das ondas e uma
discussao sobre o impacto da pulverizacao na atmosfera, sendo que os elementos
teoricos, como agitacao do mar, espectro de ondas, dissipacao de energia e compri-
mento de rugosidade, analisados com maiores detalhes.
No Capıtulo 3 e feita uma revisao do estado da arte da microfısica das gotıculas,
sendo todo o ciclo de vida da gota analisado matematicamente. No mesmo capı-
tulo, sao apresentadas as aproximacoes e simplificacoes utilizadas no MUCL para
parametrizar a pulverizacao na atmosfera.
No Capıtulo 4 tem-se uma descricao do MUCL. Os aspectos teorico da camada
limite, tais como parametrizacao de fluxos verticais turbulento, ordem de fechamento
e teoria de similaridade sao analisados, assim como as simplificacoes utilizadas para
implementacao no modelo numerico.
No Capıtulo 5 e apresentado os resultados obtidos das simulacoes numericas, as
analises e comentarios.
No Capıtulo 6 e apresentada as consideracoes finais, conclusoes e sugestoes.
29
2 FUNDAMENTACAO TEORICA E REVISAO BIBLIOGRAFICA
2.1 Geracao de ondas pelo vento
O oceano e permanentemente sujeito a forcas externas da natureza, que provocam
alguns tipos de ondas nesse ambiente. As forcas naturais predominantes que exercem
influencia sobre o oceano sao: a forca de gradiente de pressao exercida pela atmosfera,
os terremotos, a forca gravitacional exercida pela Terra e por outros corpos celestes,
tais como a Lua e o Sol, a forca de Coriolis (devido a rotacao da Terra) e a tensao
superficial. A causa mais comum da formacao das ondas na superfıcie dos oceanos
e a acao do vento (MASSEL, 1996).
Nos oceanos as ondas sao classificadas como: ondas sonoras, capilares, de gravidade,
interna e planetaria. Todas essas ondas podem ocorrer simultaneamente, produzindo
complexos padroes de oscilacao. O intervalo de frequencia associado as forcas exter-
nas e muito amplo e a resposta da superfıcie do oceano detem um intervalo extraor-
dinariamente amplo de comprimentos e de perıodos de onda, desde ondas capilares,
com perıodos menores que um segundo, passando por ondas induzidas pelo vento
com perıodos da ordem de poucos segundos, ate oscilacoes de mare, com perıodos
da ordem de muitas horas e dias (MASSEL, 1996). Na Figura 2.1 observa-se esses
tipos de ondas e suas respectivas frequencias.
Figura 2.1 - Distribuicao de energia espectral de onda por frequencia.
Fonte: Adaptada de Massel (1996).
31
As ondas de gravidade, geradas pelo vento, estao quase sempre presentes nos oceanos.
Estas ondas sao geradas por ventos locais ou ventos distantes a milhares de quilome-
tros do local onde estas se encontram. Essas ondas afetam uma serie de atividades
tais como a navegacao, a pesca, a recreacao e o gerenciamento costeiro (defesa).
Elas tambem, sao muito importantes nos processos climaticos, atuando nos fluxos
de calor, energia, gases e partıculas entre os oceanos e a atmosfera (WMO, 1998).
As ondas presentes em um determinado local, proximo a costa ou em mar aberto,
podem ser classificadas com vagas ou marulho. Vagas sao aquelas que ainda estao
na zona de geracao, sendo capazes de receber energia do vento. Marulhos sao on-
das que se propagaram para fora da regiao de formacao original e, nao recebem
energia do vento. Os termos em ingles para vagas e marulho sao wind-sea e swell,
respectivamente, sendo amplamente conhecidos e utilizados.
A geracao de ondas pela acao do vento pode ser explicada da seguinte forma: supoe-
se um mar sem rugosidade, tal como um espelho liso, na qual comeca a atuar um
vento com velocidade constante. A partir daı, identificam-se tres processos fısicos
diferentes (HOLTHUIJSEN, 2007):
a) Fonte de energia do vento: no estagio inicial da geracao de ondas, a tur-
bulencia do vento produz flutuacoes aleatorias da pressao sobre a superfıcie
do mar originando pequenas ondas de forma quase regular, com compri-
mentos de ondas de alguns centımetros, conhecidas como ondas capilares
(PHILLIPS, 1957).
b) Interacao nao linear: o vento, que atua sobre a onda, produz diferencas
de pressao ao longo do perfil da onda, o que faz com que esta cresca. O
processo e instavel porque a medida que a onda cresce, a diferenca de
pressao aumenta, acelerando o processo de crescimento. A instabilidade
faz com que o crescimento seja exponencialmente (MILES, 1957).
c) Dissipacao: quebra de onda relacionada ao proprio crescimento, a intera-
cao com o fundo ou a resistencia do ar.
Toba et al. (2006) avaliaram a evolucao do campo de onda atraves do numero de
Reynolds Rβ:
Rβ =u2∗
νaωPpic(2.1)
32
onde ωPpic e a frequencia angular do pico do espectro de onda, u∗ e a velocidade de
friccao e νa e a viscosidade cinematica do ar. Esse parametro, Rβ, descreve varios
processos na interface oceano-atmosfera, tais como o cisalhamento do vento, a quebra
de ondas, o entranhamento de bolhas e geracao de gotas por pulverizacao. Rβ pode
ser interpretado como um estimador das condicoes dinamicas do fluido no limite
entre a atmosfera e o oceano. As mudancas na dinamica da interface como funcao
de Rβ sao mostradas na Figura 2.2.
Figura 2.2 - Evolucao do campo de onda em funcao de Rβ .
Fonte: Adaptada de Toba et al. (2006).
O momento da transicao da superfıcie lisa para a ocorrencia da separacao da superfı-
cie de ar (geracao do arrasto) acontece quando Rβ atinge o valor de 2×102. Todavia,
com Rβ = 103 (Figura 2.2) ocorre uma transicao para um regime da plena turbulen-
cia da Camada Limite Oceanica (camada acima da superfıcie que sofre influencia do
campo de onda) e subsequente quebra de ondas. Observa-se que a medida que Rβ
aumenta, a superfıcie da onda torna-se mais rugosa. Quando Rβ excede o valor de
103, o empinamento da onda (razao entre sua altura e seu comprimento) aumenta
ate que, ao chegar a um valor maior que 1/7, as ondas tornam ıngremes e comecam
a quebrar levando a uma maior turbulencia proximo da crista, implicando em maior
33
cisalhamento do vento e um aumento nas transferencia de gases na interface ar-mar
(ZHAO; TOBA, 2001).
Sob influencia do vento, as componentes das ondas crescem e o espectro direcional
E(f, θ) se desenvolve. Esse espectro representa a forma na qual a energia de onda e
distribuıda em relacao a frequencia e a direcao. O espectro direcional de ondas pode
ser expresso como um produto do espectro pontual E(f) por uma funcao represen-
tando as caracterısticas do espalhamento da energia por direcao, D(θ), denominada
funcao espalhamento angular de energia. A distribuicao D(θ) mais utilizada e:
D(θ) =
2π
cos2 ϕ se ϕ ≤ 0
0 se ϕ > 0
onde ϕ = θ− ϑ, sendo θ a direcao da onda e ϑ a direcao do vento. Pode-se observar
na Figura 2.3 a variacao do espectro de onda em funcao da direcao e da frequencia.
(a) Espalhamento da energia de ondaem todas as direcoes e frequencias.
(b) Espalhamento da energia de onda em todas as direcoes com fre-quencia constante.
Figura 2.3 - Variacao do espectro de onda em funcao da direcao e da frequencia.
Fonte: Adaptada de Holthuijsen (2007).
Em geral, a forma do espectro evolui de acordo com a velocidade do vento, com o
perıodo que o vento atua e com o comprimento de pista. O espectro e considerado
completamente desenvolvido quando as ondas param de crescer. Isso ocorre quando
a velocidade de fase do pico do espectro de onda (cPpic) se aproxima da velocidade
do vento (U). Para mares desenvolvidos em aguas profundas, os experimentos do
Joint North Sea Wave Projet (JONSWAP; Hasselmann et al. (1973)) mostraram
34
que o espectro unidimensional completamente desenvolvido chamado de espectro de
JONSWAP, e definido como:
E(f) = αg2(2π)−4f−5 exp
[−5
4
(f
fPpic
)−4]γ
exp
[− 1
2
(ffPpic
δ
)2]
(2.2)
em que α = 0, 008; γ = 3, 3; g e a aceleracao gravitacional; δ = 0, 07 se f ≤ fPpic ou
δ = 0, 09 se f > fPpic e fPpic e a frequencia do pico do espectro de onda.
A evolucao do espectro em modelos e obtida pela equacao do balanco de energia,
que evolui enquanto cada componente de onda se propaga com velocidade de grupo
~cg, (WMO, 1998):∂E
∂t+ ~∇ · (~cgE) = Sin + Snl + Sds. (2.3)
O termo Sin corresponde ao processo de geracao de ondas pelo vento (termo fonte
de energia espectral), Snl representa os processos nao lineares (interacao onda-onda)
e Sds representa o termo de dissipacao devido a quebra de ondas forcadas pelo vento
(whitecapping).
Na Figura 2.4, na qual e apresentado os resultados do modelo WAM (Wave Modeling
Group), e observado a evolucao do espectro de ondas em funcao dos tres termos Sin,
Snl e Sds.
Essa evolucao do espectro, em modelos numericos, pode ser explicada da seguinte
forma: as ondas do oceano recebem energia da atmosfera atraves do vento, sendo
que essa transferencia de energia ocorre muito proxima do pico do espectro de onda.
Entretanto, a energia recebida nessas frequencias rapidamente e removida por dois
processos: interacoes nao lineares (transportam energia para a alta e baixa frequen-
cia) e quebra de ondas (Figura 2.4). Atraves da quebra, as ondas transferem energia
e momentum para o oceano. O efeito total proximo do pico do espectro e negativo.
Em altas frequencias, onde a energia e recebida, o processo de quebra de ondas ra-
pidamente dissipa essa energia e os tres processos se equilibram. O nıvel de energia
nessas frequencias esta mais ou menos em equilıbrio (Figura 2.4). Em baixas frequen-
cias, a energia recebida das frequencias media e absorvida. Essa energia associada
com algumas transferencias de energia do vento, faz com que o pico do espectro
migre para frequencias menores.
Para avaliar o desenvolvimento da componente espectral de onda, foi introduzido
35
Figura 2.4 - Balanco de energia para ondas jovens, com vento a 20 m/s atuando durante 3 horas.Resultados do modelo WAM (Wave Modeling Group).
Fonte: Adaptada de Janssen et al. (2002).
o termo idade da onda. O termo adimensional idade da onda e usado para desig-
nar a velocidade de fase no pico do espectro, cPpic , normalizada pela velocidade do
vento medida frequentemente a 10 metros da superfıcie do mar (u10). Assim, para
situacoes onde(cPpic/u10
)≈ 1, tem-se ondas completamente desenvolvidas, carac-
terizando ondas no estagio maduro. Nesse caso, ha um equilıbrio na transferencia
de momentum, ou seja, os termos Sin e Sds sao equivalentes. Para(cPpic/u10
)< 1,
o mar se encontra em desenvolvimento, formado por ondas jovens que nao estao
completamente desenvolvidas, o que significa que as ondas estao em processo de
crescimento retirando continuamente energia do vento. Para evitar a influencia da
estratificacao no perfil de velocidade do vento e na apropriada altura acima do mar
em que e medida a velocidade do vento, a idade da onda passou a ser computada
com u∗ ao inves de u10. Com essa escala(cPpic/u∗
), ondas maduras ou velhas tem
idade acima de 10 enquanto ondas com idade menor sao consideradas jovens (JONES
et al., 2001).
2.2 Parametrizacao da rugosidade da superfıcie do mar.
2.2.1 Idade da onda
A descricao das caracterısticas de superfıcies lıquidas e complexa devido a mobili-
dade da rugosidade que ocorre com a evolucao das ondas. Na superfıcie da Terra,
36
a rugosidade e caracterizada por propriedades geometricas dos solidos de superfı-
cie. No oceano, a rugosidade e considerada como uma interface entre dois fluidos
de diferentes densidades, em que ambos estao em movimento. Como a dinamica da
camada da interface (oceano-atmosfera) esta intimamente ligada a rugosidade da
superfıcie do mar, define-se um parametro, z0, para expressar a aerodinamica da
superfıcie do mar. Charnock (1955) propos que o crescimento de z0 e proporcional a
(u∗/g). O autor, atraves de observacoes sobre um oceano homogeneo e sem ondas,
propos a seguinte relacao:
z0 = αu2∗g
(2.4)
em que g e a aceleracao gravitacional e α = 0, 0185 e o coeficiente de Charnock
(comprimento de rugosidade adimensional). A maior parte das evidencias experi-
mentais disponıveis naquela epoca mostravam que havia uma fraca dependencia da
velocidade do vento, em concordancia com o modelo proposto por Charnock. Entre-
tanto, com o avanco das pesquisas, outros experimentos mostraram que o parametro
de Charnock nao e capaz de representar bem os processos dinamicos da interface
e que pode depender da velocidade do vento assim como do estado do mar. Por
exemplo: Fairall et al. (2001) avaliaram o parametro de Charnock, sob a influencia
do vento a 10 metros da superfıcie (Figura 2.5), atraves de uma analise sobre um
conjunto de dados coletados por algumas expedicoes (Coare, cruzeiro realizado pelo
navio Moana Wave entre os dias 11 de novembro e 03 de dezembro de 1992; Scope,
cruzeiro realizado pelo navio FLIP entre os dia 17 e 28 de novembro de 1993, etc.).
O autor percebeu que na media o parametro de Charnock aumenta com a velocidade
do vento.
37
Figura 2.5 - Parametro de Charnock em funcao da velocidade do vento a 10 metros de superfıcie.
Fonte: Adaptada de Fairall et al. (2001).
Kitaigorodskii e Volkov (1965), atraves de experimentos, propuseram que o coe-
ficiente de Charnock depende da pista de atuacao do vento e da velocidade do
vento (contrariando a hipotese inicial de Charnock), sendo z0 e proporcional a raiz
quadrada da integral do espectro de onda:
z20 = A2
∫ ∞0
E(K)exp(−2κ/u∗)dK (2.5)
em que A e uma constante, E(K) e o espectro de onda em funcao do numero de
onda K e κ constante de von Karman.
Kitaigorodskii (1970) assumiu o modelo proposto por Charnock e introduziu a idade
da onda na formulacao, sendo o coeficiente de Charnock dado por:
α = 0, 068
(u∗cPpic
)−3/2
exp(−κcPpic/u∗) (2.6)
sendo cPpic a velocidade de fase do pico do espectro de onda e κ a constante de
von Karman. A influencia da idade da onda na definicao de z0 foi confirmada por
varios pesquisadores, por exemplo: Huang (1986), Masuda e Kusaba (1987), Nordeng
(1991), Smith et al. (1992).
Huang (1986), avaliando experimentalmente a dinamica da quebra de ondas, apre-
38
sentou outra formulacao:
α = 0, 085
(u∗cPpic
)1/2
× exp(−x0)
[(1 + x0 +
x20
2+x3
0
6
)]1/2
(2.7)
sendo
x0 = 2κcPpic/u∗.
Masuda e Kusaba (1987), com base numa analise de dados experimentais, pro-
puseram uma relacao que envolve apenas a idade da onda:
α = 0, 0129
(u∗cPpic
)1,1
. (2.8)
Toba et al. (1990), combinando dados de campo e de laboratorio, propuseram uma
outra relacao:
α = 0, 020
(u∗cPpic
)0,5
. (2.9)
Nordeng (1991) apresentou uma relacao alternativa. O autor negligenciou as ondas
que se deslocavam em sentido diferente do escoamento do vento e assumiu que a
contribuicao de ondas capilares e pequena, concluindo que:
α = 0, 11
(u∗cPpic
)−3/4
× exp(−x0)
[(1 + x0 +
x20
2+x3
0
6
)]1/2
(2.10)
com
x0 = 2κcPpic/u∗.
Os experimentos do HEXOS (Humidity Exchanger Over the Sea), programa que
tinha como principal objetivo estudar o estado do mar, os fluxos de calor e umidade,
tambem vieram a confirmar a dependencia do z0 com a idade da onda. Smith et al.
(1992), avaliando os dados do HEXOS, chegaram a seguinte relacao:
α = 0, 48
(cPpicu∗
)−1
. (2.11)
Volkov (2001), analisando um amplo conjunto de observacoes de varios pesquisadores
como Masuda e Kusaba (1987), Toba et al. (1990), Smith et al. (1992), entre outros,
39
propos a seguinte relacao:
α =
0, 03
(cPpicu∗
)× exp
[−0, 14
(cPpicu∗
)]se 0, 35 <
cPpicu∗≤ 35
0, 008 secPpicu∗≥ 35
.
O autor observou que, para ondas muito jovens, a relacao acima tem uma dependen-
cia quase linear com a idade da onda.
2.2.2 Empinamento da onda
Hsu (1974) propos outra forma de parametrizar a rugosidade do mar. O autor su-
geriu que z0 fosse funcao do empinamento da onda(Hs/LPpic
), sendo Hs a altura
significativa da onda e LPpic o comprimento do pico do espectro de onda. A motivacao
para buscar uma nova parametrizacao do estado do mar veio do fato de que as
formulacoes baseadas na idade da onda nao conseguiram representar corretamente
mares mais complexos, isto e, mares com influencia tanto de vagas como de marulhos
simultaneamente.
Taylor e Yelland (2001) tambem avaliaram a relacao entre z0 e o estado do mar.
Utilizando um amplo conjunto de dados do HEXOS, RASEX (Riso Air Sea Ex-
anche) e de Anction e Donelan (1996), os autores analisaram a relacao entre z0 e(cPpic/u∗
)assim como entre z0 e
(Hs/LPpic
). Ao associar os valores da constante de
Charnock com os correspondentes valores de(cPpic/u∗
), os autores observaram uma
discrepancia entre os dados do RASEX, HEXOS e os de Anctil e Donelan (Figura
2.6(a)). Fazendo a mesma analise usando Hs e(cPpic/u∗
)como escala de rugosidade,
os resultados foram mais satisfatorios, mas sob condicoes de ventos fortes os dados
do RASEX apresentaram associacoes incorretas para ondas jovens. Somente usando(Hs/LPpic
)como parametro de escala, os autores chegaram a uma melhor relacao
entre os dados do RASEX e os do HEXOS, como pode ser observado na Figura
2.6(b).
Desse modo, Taylor e Yelland sugeriram a seguinte relacao:
z0 = HsA1
(Hs
LPpic
)B1
, sendo A1 = 1200 e B1 = 4, 5. (2.12)
Drennan et al. (2005), utilizando oito conjuntos de dados que representavam o estado
do mar atraves de informacoes de onda e do cisalhamento do vento, fizeram uma
40
(a) α×(cPpic
u∗
)−1
(b)(z0Hs
)×(
Hs
LPpic
)Figura 2.6 - Comprimento de rugosidade em funcao da idade e do empinamento da onda. Dados do
HEXOS (pequenos cırculos cinza), Anctil e Donelan (triangulos) e RASEX (cırculo abertos:u10 < 10 m/s; cırculos fechados: u10 > 10 m/s).
Fonte: Adaptada de Taylor e Yelland (2001).
analise das duas escalas de rugosidade(cPpic/u∗
)e(Hs/LPpic
). Os dados foram
separados em dois conjuntos: um conjunto representando uma situacao do mar do-
minado por vagas e outro sendo dominado por marulho. Os autores verificaram que
em condicoes de vagas nenhuma escala e capaz de modelar todos os dados e que
em condicoes de mar misturado, com predomınio de marulho(Hs/LPpic > 0, 02
), a
escala(Hs/LPpic
)esta melhor correlacionada com z0.
2.2.3 Termo fonte de energia espectral
Uma outra forma de avaliar a superfıcie do mar, na qual utiliza-se explicitamente o
espectro de onda, foi proposta por Janssen (1991), Chalikov e Makin (1991), Makin
e Kudryavtsev (1999) e Hara e Belcher (2004). Nesse caso, o efeito das ondas no
perfil do vento e parametrizado utilizando o comprimento de rugosidade computado
em funcao do termo fonte de energia espectral (Sin). A vantagem dessa forma de
parametrizar a rugosidade da superfıcie do mar e que a mesma e valida para casos em
que o oceano esta sob influencia tanto de vagas como de marulho (o que normalmente
ocorre no mar), uma vez que o comprimento de rugosidade e avaliado em funcao
da energia contida em cada componente de onda. A parametrizacao e baseada na
41
hipotese da separacao do fluxo de ar e na conservacao de momentum, a qual implica
numa tensao superficial independente da altura acima da superfıcie do mar.
Simpson (1989) definiu a separacao do fluxo de ar como um completo processo de
quebra da corrente de ar dentro da Camada Limite Oceanica (CLO), caracterizada
por um disturbio aerodinamico. Essa separacao acaba mudando significativamente
a estrutura vertical da tensao superficial proximo da superfıcie das ondas, levando
o fluxo de momentum a ser dividido em tres partes, sendo resultado de um ba-
lanco dinamico entre a tensao superficial induzida pela onda τw, tensao superficial
turbulenta τturb e a tensao superficial devido a viscosidade τν :
τ = τturb(z) + τw(z) + τν(z) = ρau2∗ = constante. (2.13)
Em z = 0 (na superfıcie do mar), a tensao superficial, τ , e mantida pela viscosidade
molecular e pelo movimento das ondas. Entao, a Equacao 2.13 pode ser reescrita
por:
τ = τw(z) + τν(z) = ρau2∗ = constante. (2.14)
Acima da camada laminar τν(z) e praticamente nulo, sendo desprezado no balanco.
Dessa forma a tensao superficial e dominada por:
τ = τturb(z) + τw(z) = ρau2∗ = constante. (2.15)
O balanco definido pela Equacao 2.15 ocorre dentro da CLO. Acima dessa camada
τw reduz rapidamente com a altura, tornando-se desprezıvel acima de 10 metros, o
que implica em um domınio apenas da tensao superficial turbulenta.
τ = τturb(z) = ρau2∗ = constante. (2.16)
O balanco do fluxo de momentum em funcao da altura e apresentado na Figura 2.7.
2.2.3.1 Formulacao da rugosidade do mar utilizando explicitamente o
espectro de onda
Pela teoria de similaridade de Monin-Obukhov, a tensao superficial e definida por
τ = ρau2∗ = τturb = constante. (2.17)
42
Figura 2.7 - Balanco do fluxo de momentum em funcao da altura.
Fonte: Adaptada de Moon et al. (2004).
em queκz
u∗
∂u
∂z= φm(z/L)
sendo que φm(z/L) representa uma funcao universal, κ a constante de von Karman
e L o comprimento de Monin-Obukhov. Dentro da Camada Limite Superficial, onde
u∗ e constante, o perfil do vento e dado por:
u(z) =u∗κ
[ln
(z
z0
)+ Ψm(z)
](2.18)
com
Ψm(z) =
∫ z
z0
[φm(z′/L)− 1
z′
]dz′. (2.19)
Janssen (1991) supos que a tensao superficial e modificada devido a presenca de
ondas na CLO, como definido na Equacao 2.15,
τ = τturb(z) + τw(z) = ρau2∗ = constante.
43
O autor assumiu que o comprimento de rugosidade para o mar desenvolvido, isto e,
mares com ondas velhas, poderia ser modelado pela relacao de Charnock
z0 = ατ
gρa(2.20)
sendo α = 0, 01 uma constante, ρa densidade do ar e g a aceleracao gravitacional.
Por outro lado, o comprimento de rugosidade para o mar em desenvolvimento,
mares com ondas em processo de crescimento (jovens), poderia ser modelado por
z1. Janssen propos que o novo perfil do vento modificado (um) pela presenca de
onda e dado por
um(z) =u∗κ
[ln
(z + z1
z0 + z1
)+ Ψ′m(z)
](2.21)
em que
Ψ′m(z) =
∫ z
z0
[φm(z′/L)− 1
z′ + z1
]dz′ ≈
∫ z
z0
[φm(z′/L)− 1
z′
]dz′ = Ψm(z). (2.22)
Comparando os perfis 2.18 e 2.21 tem-se um(z) < u(z), ou seja, o campo de onda
reduz a velocidade do vento. De fato, para z1 ≥ 0 observa-se que
z
z0
>z + z1
z0 + z1
⇒ ln
(z + z1
z0 + z1
)< ln
(z
z0
).
Utilizando a Equacao 2.22 e a relacao acima, conclui-se um(z) < u(z). Observe que
um(z0) = u(z0) = 0, isso significa que a introducao do campo de onda modifica o
perfil do vento sem alterar o comprimento de rugosidade basico (z0).
Para computar z1, deriva-se a Equacao 2.21 em relacao a z:
κ(z + z1)
u∗
∂um∂z
= φm(z/L). (2.23)
Pela definicao de u∗tκz
u∗t
∂um∂z
= φm(z/L) (2.24)
entao, segue que
ut∗ =
(z
z + z1
)u∗. (2.25)
44
Desse modo, parametriza-se a tensao superficial turbulenta por
τturb(z) =
(z
z + z1
)2
τ (2.26)
e, assumindo a conservacao de momentum em z = z0 tem-se
τturb(z0) = τ − τw(z0). (2.27)
Combinando a Equacao 2.26 e a Equacao 2.27(z0
z0 + z1
)2
τ = τ − τw(z0) (2.28)
ou
z0
(1
z0 + z1
)=
(1− τw(z0)
τ
)1/2
. (2.29)
A razao τw/τ e chamada de parametro de acoplamento, sendo sempre menor que 1.
Essa razao representa quanto da tensao superficial e suportada pela tensao superficial
induzida pela onda, indicando o grau de interacao das ondas com a atmosfera (MAKIN
et al., 1995).
Definindo ξ =
(1− τw(z0)
τ
)1/2
, a Equacao 2.29 pode ser escrita na forma
1
z0 + z1
=ξ
z0
. (2.30)
Resolvendo para z1,
z1 = z0
(1
ξ− 1
). (2.31)
Assim, dados u∗, τw e z0 computa-se z1.
2.2.3.2 Formulacao da rugosidade do mar utilizando explicitamente o
espectro de onda e a pulverizacao na atmosfera.
Como discutido na secao anterior, dentro da CLO, a tensao superficial e balanceada
τ = τturb(z) + τw(z) = ρau2∗ = constante.
45
Supondo que junto com a quebra de ondas ocorra a pulverizacao na atmosfera,
segundo Pielke e Lee (1991) e Andreas (2004), o balanco definido acima e modificado.
Isso porque as gotıculas suspensas na atmosfera caracterizam uma tensao superficial
adicional, ou seja, a tensao superficial da pulverizacao na atmosfera (τpa). Desse
modo, o balanco dentro da CLO e dado por:
τ = τturb(z) + τw(z) + τpa(z) = ρau2∗ = constante. (2.32)
Note que τw(z) esta associado apenas a energia espectral de ondas e τpa(z) associado
a producao de gotıculas suspensas na atmosfera (massa adicional que o mar lanca
no ar via gotıculas).
Andreas (2004) e Zhao et al. (2006) parametrizaram τpa(z) como
τpa(z) =4
3πρmusp(zs)
∫ r2
r1
(r3
0
dF
dr0
)dr0 × exp
(z ln b
Hs
)(2.33)
sendo ρm a densidade da agua do mar, r0 o raio de formacao da gota, b = 0, 001
constante empırica, dF/dr0 a Funcao Quantificadora da Pulverizacao na Atmosfera
(FQPA), usp(zs) a velocidade horizontal da gota ao deslocar no ar, definida por
u(zs) =u∗κ
ln
(zsz0
)com zs = 0, 635Hs e Hs a altura significativa de onda. Essa integral sera melhor
discutida no Capıtulo 3.
De modo analogo, descrito na secao anterior, para computar z1 supoe-se que o perfil
do vento seja o mesmo da Equacao 2.21
um(z) =u∗κ
[ln
(z + z1
z0 + z1
)+ Ψ′m(z)
].
Entretanto, neste caso z1 passa a representar a influencia tanto das ondas quanto
da pulverizacao na atmosfera. Usando as Equacoes 2.26 e 2.32 tem-se(z0
z0 + z1
)2
τ = τ − [τw(z0) + τpa(z0)] (2.34)
46
ou
z0
(1
z0 + z1
)=
(1− τw(z0) + τpa(z0)
τ
)1/2
. (2.35)
Definindo ξ =
(1− τw(z0) + τpa(z0)
τ
)1/2
, a equacao acima pode ser reescrita na
forma1
z0 + z1
=ξ
z0
. (2.36)
Resolvendo para z1
z1 = z0
(1
ξ− 1
). (2.37)
Desse modo, computando a integral na Equacao 2.33 tem-se τpa. Com os valores de
u∗, τw e z0 computa-se z1.
2.2.3.3 Formulacao da tensao superficial induzida pela onda τw.
A tensao superficial induzida pela onda τw na superfıcie do mar (z = 0), a qual
pode ser interpretado fisicamente como uma tensao superficial adicional devido a
presenca do campo de ondas, e determinada pela taxa de variacao do momentum
da onda (~P ) devido a dinamica do vento (JANSSEN, 1992)
~τw(0) =
∫ ∞0
K
[∫D
∂ ~P
∂tdθ
]dK (2.38)
com~P = ρmωE(K, θ)~l (2.39)
em que ω e a frequencia angular, ~l =~KK
( K e o numero de onda), θ e a direcao de
onda, D = |θ| < π/2 e E(K, θ) e o espectro de onda. Substituindo ~P em 2.38:
~τw(0) =
∫ ∞0
K
[∫D
ρmω∂E(K, θ)~l
∂tdθ
]dK. (2.40)
Para computar ∂E(K, θ)/∂t, considera-se apenas o termo fonte de energia do vento
Sin(K, θ), ou seja,∂E(K, θ)
∂t= Sin(K, θ),
47
o que implica em
~τw(0) =
∫ ∞0
K
[∫D
ρmωSin(K, θ)~ldθ
]dK. (2.41)
Usando a relacao KSin(K, θ)dKdθ = Sin(f, θ)dfdθ segue que (JANSSEN, 1992):
~τw(0) =
∫ ∞0
[∫D
ρmωSin(f, θ)~ldθ
]df (2.42)
que pode ser reescrita, usando a relacao de dispersao para aguas profundas, ω = g/c,
como:
~τw(0) = ρmg
∫ ∞0
[∫D
Sinc~ldθ
]df. (2.43)
sendo c a velocidade de fase da onda.
A tensao superficial induzida pela onda e determinada principalmente pela parte de
alta frequencia do espectro de onda (parte nao explicitamente prognosticada pelos
modelos de onda), devido ao fato dessas ondas terem uma maior razao de crescimento
(JANSSEN, 1992). Desse modo, τw pode ser escrito como:
~τw(0) = ~τwbf (0) + ~τwaf (0) (2.44)
sendo que ~τwbf e ~τwaf representam a parte de baixa frequencia do espectro (parte
explicitamente prognosticada pelos modelos de onda) e a parte de alta frequencia do
espectro (parte nao explicitamente prognosticada pelos modelos de onda), respecti-
vamente. Desse modo,
~τwbf (0) = ρmg
∫ fc
0
[∫D
Sinc~ldθ
]df (2.45)
~τwaf (0) = ρmg
∫ ∞fc
[∫D
Sinc~ldθ
]df (2.46)
fc representa a mais alta frequencia de onda resolvida em modelos de onda.
O termo Sin(f, θ) e parametrizado em funcao da teoria de geracao de ondas de
Phillips (1957) e Miles (1957):
Sin(f, θ) = α + βE(f, θ) (2.47)
48
α representa o termo de Phillips (1957), sendo importante no inıcio da geracao a
partir do mar em repouso, determinado empiricamente por Cavaleri e Malanotte-
Rizzoli (1981):
α =
ρa
2πg2[u∗ cos(θ)]4 × exp
(− ω
ωPpic
)se θ ≤ 90
0 se θ > 90o
onde ωppic = 2π × 0, 13g/28u∗ (frequencia angular do pico do espectro de onda).
O termo β representa o crescimento exponencial determinado por Miles (1957) sendo
parametrizado por Janssen (1992) como:
β =ρaρm
φω
(u∗ cos(θ)
c
)2
(2.48)
com φ =1, 2
κ2η ln4 η, η =
(u∗κc
)2
Ω exp
(κc
u∗ cos(θ)
), Ω =
gκ2z2
u2∗
e z2 = z0 + z1.
Ja para a parte de alta frequencia, seguindo Janssen (1992), o espectro de onda e
definido por E(f, θ) = (fc/f)5E(fC , θ). Utilizando as Equacoes 2.46-2.47, tem-se:
~τwaf (0) = ρmgf5c
∫ ∞fc
[∫D
Sin(fc, θ)
cf 5~ldθ
]df. (2.49)
Segundo Makin(1989), a tensao superficial induzida τw reduz com a altura apro-
ximadamente como exp(−2f 2z). Logo, a distribuicao vertical da tensao superficial
induzida e dada por:
~τw(z) = ρmg
∫ ∞0
[∫D
Sinc~ldθ
]exp(−2f 2z)df. (2.50)
Portanto, dados o espectro de onda E(f, θ), u∗, z0 e z1, computa-se τw.
2.3 Efeito da pulverizacao na atmosfera
O efeito da pulverizacao na atmosfera, na transferencia de calor e umidade na in-
terface ar-mar, e muito questionada na literatura resultando em intensos debates e
especulacoes.
Ling (1993), avaliando os transportes de momentum, calor e umidade atraves de
49
dados coletados em torres em alto mar, concluiu que a producao de microgotıculas
e a principal fonte de umidade e calor, tendo um papel dominante no transporte
vertical de calor e umidade do oceano para a atmosfera.
Makin (1998) avaliou o impacto da pulverizacao na atmosfera e nos fluxos de calor
e umidade atraves de um modelo unidimensional de camada limite. Este modelo foi
baseado no balanco das equacoes de movimento, calor e umidade. O autor notou
uma pequena influencia da pulverizacao nos fluxos de calor e umidade quando a
velocidade do vento era menor que 18 m/s, entretanto para ventos com velocidade
acima de 25 m/s o impacto foi significativo.
Hasse (1992), avaliando a pulverizacao na atmosfera quanto a area total de superfıcie
da gotıcula, definida por:
A =3wsρmr0
(2.51)
onde:
ws, conteudo de agua lıquida contida no ar;
r0, raio medio da gotıcula;
concluiu que a pulverizacao e insignificante nos fluxos de superfıcie, ”exceto talvez
para ventos fortes como no caso de um furacao”.
Andreas (1992), simulando a pulverizacao na atmosfera com um modelo de mi-
crofısica de gotıculas, concluiu que a contribuicao da pulverizacao foi pequena sobre
os fluxos calor, exceto sob condicoes de tempestades, onde o fluxos podem aumentar
cerca de 10%, considerando ventos de 20 m/s.
DeCosme et al. (1996) relataram, com base em observacoes, que a pulverizacao na
atmosfera nao causou efeito significativo sobre os fluxos de calor da Camada Limite
Superficial para ventos com velocidade maiores que 18 m/s.
Zhang e Perrie (2006) utilizaram um sistema composto por modelos de ondas Wave
Watch III (WW3) e atmosferico MC2 (Canadiam Mesoscale Community model)
para estudar o impacto combinado das gotıculas (originarias da quebra de ondas) e
do arrasto (considerando a presenca de ondas) no desenvolvimento e intensificacao de
tempestades. O trabalho mostrou que quando os ventos foram intensos e a tempera-
tura do mar era alta, o fluxo de calor da superfıcie aumentou. Por outro lado, o fluxo
de momentum foi maior em regioes onde as ondas eram jovens, e decaıram quando o
espectro de onda amadureceu. O efeito combinado (arrasto e gotıculas) foi estudado
50
em varias simulacoes de casos reais. As simulacoes mostraram que o impacto sobre
a trajetoria das tempestades foi pequeno, mas grande com relacao a intensidade. A
evaporacao das gotıculas causou um umedecimento e esfriamento do ar proximo a
superfıcie, aumentando a diferenca entre a temperatura da superfıcie do ar e do mar
adjacente, desestabilizando a camada limite e intensificando a turbulencia. Entao,
o transporte vertical de umidade aumentou, contribuindo significativamente para a
liberacao de calor latente em nıveis intermediarios da atmosfera, formando nuvens.
Desta forma, foi gerada uma estrutura favoravel a intensificacao das tempestades.
Zhao et al. (2006) atribuıram as contradicoes citadas acima as diferentes
parametrizacoes da funcao que quantifica a pulverizacao na atmosfera (FQPA),
FQPA =dF
dr0
= f(r0, u10, ωp). (2.52)
Essa funcao quantifica a quantidade de gotas, com raio de formacao r0, formadas
por unidade de m−2s−1µm−1. O autor, comparando algumas funcoes encontradas
na literatura, notou que a FQPA esta melhor correlacionado com Rβ (numero de
Reynolds) do que com o u∗ e que a parametrizacao deste processo pode alterar os
resultados quanto ao impacto da pulverizacao nos fluxos de calor e umidade. Na
Figura 2.8 observa-se a variacao de algumas FQPAs em funcao do raio de formacao
da gota, para u10 = 15 m/s.
Figura 2.8 - FQPA em funcao do raio de formacao da gota, para u10 = 15 m/s.
Fonte: Adaptada de Zhao et al. (2006).
51
3 PULVERIZACAO NA ATMOSFERA DEVIDO A QUEBRA DE ON-
DAS.
3.1 Mecanismo de producao
A pulverizacao na atmosfera ocorre atraves do cisalhamento da crista de ondas
causada pelo vento e do rompimento de bolhas de ar na superfıcie do mar. O cisa-
lhamento da crista de ondas e o processo mais importante na pulverizacao, como
sera descrito a seguir.
De acordo com Longuet-Higgins e Tuner (1974), a quebra de ondas pode ser dividida
em mergulhante e derramante. Os termos em ingles para mergulhante e derramante
sao plunging e spilling, respectivamente. Esses dois tipos de quebras sao ilustradas
na figura 3.1.
Figura 3.1 - Tipos de quebra de ondas: (a) mergulhante, (b) derramante, com formacao de encapela-mento.
Fonte: Adaptada de Bortkovskii (1987).
No tipo mergulhante (Figura 3.1(a)), a onda quebra violentamente, formando um
tubo que se fecha abruptamente e desaba na quebra gerando grande turbulencia
proxima da linha da agua. Bolhas de ar sao capturadas pelo tubo que e formado na
regiao frontal. Este tipo de quebra e observado em aguas rasas. No tipo derramante
(Figura 3.1(b)), a onda comeca a quebrar relativamente distante da beira da praia, de
53
um modo suave como se espraiando pela agua. Esse movimento, como que deslizando
sobre a agua, captura um grande numero de bolhas de ar, formando uma mistura
de bolhas de ar e agua denominada encapelamento ou whitecaps em ingles.
As bolhas, geradas pela quebra de ondas, emergem na superfıcie do oceano onde
se rompem, dando origem a dois tipos de gotas: filme e jato. As gotas filme sao
produzidas quando a bolha da subsuperfıcie se eleva ate a interface; nesse momento,
o lıquido comeca a escorrer ao longo da cupula e a superfıcie superior da bolha
rapidamente tornar-se muito fina. Ocorre entao um desequilıbrio das forcas de tensao
superficial, levando a bolha a se romper, produzindo centenas de gotas. Blanchard
(1983) relacionou a producao de gotas filme com o raio da bolha de ar. Segundo o
autor, a producao aumenta com o raio, sendo que bolhas com raio menor que 150µm
nao sao capazes de produzir gotas filme. As gotas filme tem raio tıpico menor que
3µm (WOOLF et al., 1987).
As gotas jato representam a segunda categoria gerada por bolhas. Essas gotas sao
lancadas por uma coluna de agua microscopica (jato) que se eleva para fora do centro
da cavidade deixada apos a ruptura da bolha de ar na interface. Esse jato torna-se
instavel e quebra-se, formando ate 10 gotas. A elevacao da coluna de agua ocorre
porque a energia liberada apos o colapso da bolha e convertida em energia cinetica.
Esses dois mecanismos de producao (gota jato e gota filme) sao ilustrados na Figura
3.2.
Figura 3.2 - Producao de gota filme e gota jato.
Fonte: Adaptada de Monahan et al. (1986).
54
O raio e a altura atingida por essas gotıculas dependem tambem do diametro da
bolha que se rompe. Hayami e Toba (1957), atraves de observacoes, indicaram que
o raio das gotas jato e cerca de 1/10 a 1/15 do raio da bolha que se rompeu na
superfıcie (Figura 3.3(a)). Spiel (1994) relacionou o raio da bolha de ar com o raio
da gota formada. Segundo o autor, bolhas com raio entre 350 e 1500µm originam
gotas jato de raio r0 = 0, 0337r1,208b , sendo rb o raio da bolha de ar.
Experimentalmente, Blanchard e Syzdec (1972) obtiveram curvas da altura maxima
de ascensao das gotas jato originadas de diferentes tamanhos de bolhas (Figura
3.3(b)). Os autores observaram tambem que a altura maxima de ascensao das gotas
dependia da temperatura do mar.
Figura 3.3 - (a) Raio da gota formada quando ha um rompimento da bolha de ar na superfıcie do mar,em que 1 e 2 referem-se a temperatura da agua do mar, sendo 24 e 4 C, respectivamente.(b) Altura maxima de ascensao da gota; 1, 2 , 3 e 4 referem-se a temperatura da agua domar, sendo 4C, 16C , 30C e 24C, respectivamente .
Fonte: Adaptada de Bortkovskii (1987).
Em contraste com esses dois tipos de producao indireta de gotas, a quebra de ondas
pode produzir diretamente outro tipo de gota sem a mediacao de bolhas de ar,
denominada gotas espuma. Preobrazhenskii (1973) foi o primeiro a documentar a
producao de gotas espuma. Durante suas medicoes no Atlantico Norte sob ventos
de 25 m/s, o autor observou a producao de gotas com raio maior que 200µm proxi-
mo da crista das ondas. Monahan et al. (1983), avaliando dados coletados durante
JASIN (The Joint Air-Sea Interaction Experiment), observaram que a gota espuma
55
e produzida desde que se tenha ventos com velocidade acima de 11 m/s. Monahan
et al. (1986) definiram que as gotas espuma sao resultantes de um mecanismo de
cisalhamento da crista da onda causado pelo vento, com um raio tıpico maior que
20µm. A sıntese do mecanismo de geracao de gotas e as etapas envolvidas nesse
processo sao ilustradas nas Figuras 3.4 e 3.5, respectivamente.
Figura 3.4 - Sıntese do mecanismo de producao de gotas.
Fonte: Adaptada de Monahan et al. (1986).
Figura 3.5 - Etapas da producao de gotas.
Fonte: Adaptada de Monahan et al. (1986).
56
3.2 Funcao Quantificadora da Pulverizacao na Atmosfera (FQPA)
Atraves de observacoes em mar aberto, dados de laboratorios e argumentos empıri-
cos, tem-se tentado quantificar a pulverizacao. Sao encontradas na literatura mais de
12 versoes de formulacoes que quantificam a pulverizacao na atmosfera (ANDREAS,
2002). E notada uma grande diferenca entre as FQPAs. As discrepancias comecam
pelo domınio de cada FQPA sendo que algumas compreendem raio de formacao da
gota variando entre 1 − 25µm, outras 0, 8 − 15µm e ate domınio com raio entre
1 − 500µm, entre outros. Outra discordancia esta relacionada com os fatores do
meio, uma vez que algumas FQPAs estao relacionadas com a evolucao do estado do
mar enquanto que outras levam em conta apenas a velocidade do vento desprezando
a evolucao do campo de onda. Ao comparar a producao de gotas, estimada por
varias FQPAs, nota-se uma variacao de ate 6 ordens de magnitude. O principal mo-
tivo de tantas discordancias vem das dificuldade em realizar as devidas medidas, de
definicoes imprecisas e de ate simplificacoes incorretas. Essas incertezas dificultam
a tentativa de quantificar precisamente o papel da pulverizacao na Camada Limite
Planetaria (ANDREAS, 1998).
A representacao da FQPA varia bastante na literatura. Abaixo tem-se os 4 tipos
usuais de representacao (ANDREAS, 2002):
a) dFdD0
, razao da producao de gotas pelo diametro de formacao;
b) dFdr0
, razao da producao de gotas pelo raio de formacao;
c) dFdD80
, razao da producao de gotas pelo diametro de formacao em um am-
biente com umidade relativa de 80%;
d) dFdr80
, razao da producao de gotas pelo raio de formacao em um ambiente
com umidade relativa de 80%.
Todas essas representacoes tem unidade de m−2s−1µm−1. Andreas (2002) relacionou
essas funcoes da seguinte forma:
2dF
dD0
=dF
dD80
=dF
dr0
=1
2
dF
dr80
.
A seguir e feita uma revisao das FQPAs, sendo apresentadas sete formulacoes:
57
• Blanchard (1963) foi o primeiro a estimar a FQPA. O autor utilizou dados
de Woodcock (1953) os quais foram medidos em torres a 600 metros de
altura proximo ao Havaı, sob umidade relativa de 91,4%. Atraves desses
dados, Blanchard quantificou a pulverizacao na atmosfera por:
dF
dr91,4
=2, 152× 104c2
r91,4
× exp
[c3 × ln
(c4
r91,4
)]2
em que,
c2 = 10−3 × [−7, 34 + 8, 966 ln(u10)]
c3 = −1, 4301 + 0, 07503 u10
c4 = 1, 764 + 0, 3713 u10.
Convertendo essa funcao para dF/dr0 obtem-se:
dF
dr0
=dr91,4
dr0
× dF
dr91,4
com
r91,4 = 0, 627r1,0020
edr91,4
dr0
= 0, 628r0,002,
isso para salinidade tıpica de 34 %0.
• Monahan et al. (1986), utilizando observacoes em tanques de ondas, foram
os primeiros a formular uma FQPA dividida em duas partes, baseada em
dois mecanismos fısicos: rompimento de bolhas (gota filme e gota jato) e
cisalhamento da crista da onda (gota espuma),
dF
dr80
=dF0
dr80
+dF1
dr80
sendo dF0/dr80 associado ao rompimento de bolhas e dF1/dr80 ao cisalha-
mento da crista. Dessa forma, tem-se:
dF0
dr80
= 1, 373(u3,4110 )× r−3
80 (1 + 0, 057r1,0580 )× 10[1,19 exp(−B2)]
58
em que B = 10,650
[0, 380− log(r80)].
O termo que representa o cisalhamento e dado por
dF1
dr80
=
0, se r80 < 10µm
8, 06× 10−6 exp(2, 08u10)r−280 , se 10µm < r80 < 75µm
4, 83× 10−2 exp(2, 08u10)r−480 , se 75µm < r80 < 100µm
4, 83× 106 exp(2, 08u10)r−880 , se 100µm < r80
.
(3.1)
• Miller (1987), tomando como base quatro conjuntos de dados do oceano,
propos outra FQPA. O autor parametrizou a producao de gotıculas como
um polinomio de quarto grau:
log
(dF1
dr80
)= B0(u10) +B1(u10)[log(r80)] +B2(u10)[log(r80)]2
+B3(u10)[log(r80)]3 +B4(u10)[log(r80)]4, 0, 8 < r80 < 15µm.
Os coeficientes B0, B1, B2, B3 e B4 sao funcoes de u10 como apresentado
na Tabela 3.1:
Tabela 3.1 - coeficientes do polinomio de Miller (1987)
u10
m/s B0 B1 B2 B3 B4
6 3,726 -3,652 3,673 -0,629 -0,5259 4,138 -3,236 1,172 2,292 -1,56911 4,405 -2,646 -3,156 8,902 -4,48213 4,596 -2,232 -5,983 13,198 -6,38215 4,758 -2,038 -7,101 14,758 -7,03818 4,998 -1,758 -9,323 18,238 -8,403
• Andreas (1992) propos uma FQPA baseada nas observacoes de Miller
(1987). Apesar da FQPA dada por Miller compreender um intervalo de
raio de 1,6 - 30 µm, Andreas extrapolou esta funcao para a regiao de gotas
espuma, isto e, gota com raio maior que 20 µm. Essa extrapolacao foi feita
com base em dados de Wu et al. (1984), coletados proximo a costa. O autor
59
propos:
dF
dr80
=
C1(u10)r−1
80 , se 15µm < r80 < 37, 5µm
C2(u10)r−2,880 , se 37, 5µm < r80 < 100µm
C3(u10)r−880 , se 100µm < r80
. (3.2)
Sendo C1, C2 e C3 funcoes do vento, apresentados na Tabela 3.2
Tabela 3.2 - coeficientes da FQPA de Andreas (1992)
u10
m/s C1 C2 C3
6 4,25 ×103 3,08 ×106 7,73 ×1016
9 7,18 ×103 4,89 ×106 1,23 ×1017
11 1,02 ×104 6,95 ×106 1,75 ×1017
13 1,36 ×104 9,25 ×106 2,32 ×1017
15 1,81 ×104 1,23 ×107 3,10 ×1017
18 6,34 ×104 4,32 ×107 1,08 ×1018
• Smith et al. (1993), com base em dados coletados em torres a 14 metros
de altura no mar da Islandia, propos uma outra forma de quantificar a
pulverizacao na atmosfera sendo expressa por
dF
dr80
=2∑i=1
Ai × exp−fi[ln(r80/ri)]
2
para 1 < r80 < 25µm,
com f1 = 3, 1; f2 = 3, 3; r1 = 2, 1µm e r2 = 9, 2µm. A1 e A2 sao funcoes
do vento a 14 metros de superfıcie u14, definidas por
log(A1) = 0, 0676u14 + 2, 43
log(A2) = 0, 959√u14 − 1, 476.
• Andreas (2002) fez uma revisao de 11 FQPAs, desde funcoes baseadas em
dados coletados em torres a dados de simulacoes em laboratorio. O autor
avaliou o fluxo de volume 43πr3
0dFdr0
, computado por varias FQPAs. Esse fluxo
de volume e apresentado na Figura 3.6. E observado uma variacao entre os
fluxos de volume de ate 6 ordens de magnitude (Figura 3.6). Andreas, apos
avaliar varias FQPAs, recomendou a FQPA de Fairall et al. (1994), a qual
60
e baseada em Andreas (1992), como a mais viavel. Segundo o autor, essa
FQPA abrange um domınio adequado para avaliar os fluxos na interface,
com ventos de ate 25 m/s e magnitude razoavel a partir de provas indiretas.
A FQPA proposta por Fairall et al. e expressa por:
dF
dr0
= 38×W (u10)r−0,0240 × dFa11
dr80
sendo dFa11/dr80 a FQPA de Andreas (1992) avaliada para u10 = 11 m/s e
W (u10) = 3, 8× 10−6u−3,410 .
Figura 3.6 - Fluxo de volume estimado para u10 = 15 m/s.
Fonte: Adaptada de Andreas (2002).
• Zhao et al. (2006), com base em dados observacionais disponıveis a partir
de campo e laboratorio, mostraram que a abordagem tradicional de utilizar
61
a velocidade do vento para descrever a pulverizacao na atmosfera apresenta
falhas. Segundo o autor, essas falhas ocorrem devido a negligencia do estado
do mar nas parametrizacoes. Tradicionalmente a dependencia do estado do
mar e negligenciada, como proposto por Monahan et al. (1986), Andreas
(1990), Smith et al. (1993), Fairall et al. (1994), Andreas et al. (2008)
entre outros, e assim, somente a velocidade do vento e atribuıda como
fator do meio para descrever a pulverizacao. Com essa simplificacao, a
FQPA pode ser representada pelo produto de duas funcoes, f1 e f2, sendo
a primeira uma funcao do raio de formacao da gota e a segunda uma funcao
da velocidade do vento:
dF
dr0
= f1(r0)× f2(u10).
Entretanto, Zhao et al. (2006), com base em dados de campo medidos por
Chaen (1973), dados de laboratorio (TOBA, 1961; KOGA; TOBA, 1981) e
com u10 ate 41 m/s, descreveram a producao de gotıculas considerando o
desenvolvimento do mar. Os autores usaram em sua formulacao o numero
de Reynolds, parametro adimensional Rβ definido por
Rβ =u2∗
νaωPpic.
Toba et al. (2006) mostraram que Rβ e um parametro fundamental para
controlar a CLO e o comportamento na interface ar-mar. Dessa forma,
Zhao et al. propuseram a seguinte relacao para FQPA:
dF
dr0
= f1(r0)× f2(u10, ωPpic) (3.3)
em que
f1(r0) =
7, 84× 10−3 × r−1
0 , se 30µm < r0 < 75µm
4, 41× 10× r−30 , se 75µm < r0 < 200µm
1, 41× 1013 × r−80 , se 200µm < r0 < 500µm
e
f2(u10, ωPpic) = R1,5β .
Zhao et al. (2006) compararam sua FQPA com a de Andreas (1998) e de a
62
Fairall et al. (1994), os resultados sao apresentados na Figura 3.7. Notou-
se que o estado do mar afeta fortemente a razao de producao de gotas, a
qual aumenta com o desenvolvimento do mar, isto e, com a idade da onda
(Figura 3.7). Foi observado tambem que para ventos com velocidade acima
de 20 m/s e com cPpic/u10 = 0, 2, a formulacao de Zhao et al. e comparavel
com a de Andreas. Entretanto, para cPpic/u10 = 1, 2 a producao de gotas e
menor tanto pelas relacoes de Fairall et al. quanto a de Andreas.
Figura 3.7 - Comparacao da razao de producao total de gotas computadas pelas formulacoes de Zhao etal. (2006), Andreas (1998) e Fairall et al. (1994) com cPpic
/u10 = 0, 2 e cPpic/u10 = 1, 2.
Fonte: Adaptada de Zhao et al. (2006).
3.3 Termodinamica da pulverizacao
Quando a velocidade do vento a 10 metros de superfıcie aproxima-se de 3 - 4 m/s,
ha uma perturbacao na superfıcie do oceano, que provoca a formacao de gotıculas.
A medida que a velocidade do vento vai aumentando, a geracao de gotıculas tem um
papel importante na dinamica da Camada Limite Planetaria. Quando a velocidade
do vento e de ate 9 m/s, o vento ja e capaz de quebrar ondas e lancar diretamente
gotıculas na atmosfera (MONAHAN et al., 1986). O efeito dessas gotıculas sao variados:
a pulverizacao pode transportar cargas eletricas da superfıcie do mar para o ar,
resultando em uma atmosfera mais eletrostatica, o que pode ocasionar relampagos
(ROLL, 1991). Alem disso, a pulverizacao pode transportar materia organica, tal
63
como bacterias (BLANCHARD, 1983), e vir a ser nucleos de condensacao afetando as
propriedades opticas da CLO. Quando a velocidade do vento aumenta ainda mais, o
numero de gotas produzidas aumenta drasticamente por varias ordens de grandeza.
Como resultado, para fortes ventos, a pulverizacao na atmosfera tem potencial para
modificar as transferencias na interface, alterando os fluxos de gases, momentum,
calor latente e sensıvel.
Na ausencia de gotıculas, os fluxos de calor na interface resultam da evaporacao da
superfıcie do mar, associado a uma perda de calor do oceano. Sobre essas mesmas
condicoes, quando o ar esta mais frio que o mar, origina-se um fluxo de calor sen-
sıvel do oceano para a atmosfera o que implica em um resfriamento do oceano. Na
presenca de gotas, o processo de evaporacao e resfriamento da gotıcula modifica os
fluxos de calor na CLO. Nessa camada as gotas resfriam por dois processos: perda
de calor sensıvel para a atmosfera, nos casos em que a temperatura do mar e maior
do que a da atmosfera, e evaporacao. Nota-se que as gotıculas sao fontes e sumi-
douros de calor e umidade. Quando as gotıculas atuam como fonte de umidade e
sumidouros de calor latente, o ar proximo da superfıcie esta mais resfriado e umido
do que observado na ausencia da pulverizacao (ANDREAS; DECOSMO, 2002). Con-
sequentemente, isso pode reduzir a perda de calor latente na interface e aumentar
o fluxo de calor sensıvel do mar para a atmosfera. Os processos de evaporacao sao
ilustrados na Figura 3.8.
Figura 3.8 - Trocas de calor (sensıvel e latente) na superfıcie do oceano associadas aos processos tur-bulentos e a pulverizacao na atmosfera.
Fonte: Adaptada de Andreas (2002).
64
A parametrizacao dos processos ilustrados na Figura 3.8 e bem complexa. A quan-
tidade de calor liberada pelas gotıculas depende de varios fatores do meio, como: o
tempo de residencia da gota na atmosfera τf (tempo que a gota permanece suspensa
no ar) e o tempo de decaimento ’e’ τr (tempo necessario para ocorrer uma reducao
no raio da gota maior que 63%). Essas duas escalas de tempo sao quantificadoras
dessa transferencia de calor. Quando τf < τr, a gota retorna ao oceano antes de
transferir todo seu calor latente. Caso τf > τr, a gota chega a transferir todo seu
calor latente e sensıvel antes mesmo de retornar ao oceano. Alem dessas escalas de
tempo, os fatores do meio como temperatura do ar, umidade relativa, raio de for-
macao da gota, velocidade do vento e turbulencia na CLO tambem sao capazes de
alterar as transferencias de calor e umidade.
O fluxo de calor sensıvel (Qssp) e calor latente (QLsp) proximo da superfıcie, mediados
pelas gotas, sao:
Qssp = Mg(Tm − Teq)cpm (3.4)
QLsp = MgeLv (3.5)
em que
Tm, temperatura da agua do mar;
Teq, temperatura de equilıbrio que a massa total de gotıculas atinge com o ar;
cpm, calor especıfico da agua do mar a pressao constante (Jkg−1C−1);
Lv, calor latente de vaporizacao (JKg−1);
Mg, massa total das gotas lancadas na atmosfera;
Mge, massa total das gotas que evaporam.
Para computar Mg e Mge e assumido que todas as gotas sao esfericas, sendo
Mg = ρm
∫ r2
r1
4
3πr3
0
dF
dr0
dr0 (3.6)
Mge = ρm
∫ r2
r1
4
3π[r3
0 − r3(τf )]dF
dr0
dr0 (3.7)
onde
ρm, densidade da agua do mar (Kg m−3);
dF/dr0, Funcao Quantificadora da Pulverizacao na Atmosfera (FQPA);
65
r0, raio de formacao da gota;
r2 e r1, limite inferior e superior do raio das gotas avaliadas no processo, dado em
metro;
r(τf ), raio da gota ao cair no oceano;
τf , o tempo de residencia, dado em segundo;
com Qssp e QLsp dados em Wm−2.
Segundo Andreas (1992), o raio da gota suspensa no ar, considerando uma umidade
menor que 98%, decresce exponencialmente
r(t) = req + (r0 − req) exp(−t/τr), (3.8)
req representa o raio da gota ao chegar em equilıbrio com o meio.
τr e definido por:r(τr)− reqr0 − req
=1
e(3.9)
isto e, apos o tempo τr a gota atingiu mais de 63% de sua capacidade de mudanca.
As equacoes apresentadas na sequencia representam a teoria basica da microfısica
de gotıculas de solucao aquosa. Essas equacoes foram desenvolvidas por Pruppacher
e Klett (1978) sendo algumas equacoes modificadas por Andreas (1989).
3.3.1 Evolucao do raio das gotas
Pruppacher e Klett (1978) mostraram que a variacao temporal do raio de uma gota
suspensa no ar e dada por (Equacao 13-28, pag. 420):
dr
dt=
[(f − 1)− y(r)]r−1
ρmRTaD′wMmesat(Ta)
+ ρmLvk′aTa
[LvMm
RTa− 1] (3.10)
sendo
y(r) =2MmδsRTaρapr
− γΘsms(Mm/Ms)
[mg −ms](3.11)
em que
r, raio instantaneo da gota,
ρm, densidade da agua do mar;
ρap, densidade da agua pura;
66
ms, massa de sal na gota (Kg);
mg = 43πρmr
3, massa da gota;
D′w, difusividade molecular do vapor de agua no ar modificado pela curvatura
(m2s−1);
k′a, condutividade termica do ar modificada pela curvatura (Wm−1K−1);
R = 8, 31441Jmol−1K−1, constante universal dos gases;
Lv, calor latente de vaporizacao (Jkg−1);
Mm = 18, 0160× 10−3kgmol−1, peso molecular da agua;
Ms = 58, 443× 10−3kgmol−1, peso molecular do NaCl;
Ta, temperatura do ar em Kelvin;
f = UR/100, fracao da umidade relativa UR (%);
esat, pressao de saturacao (hPa);
δs, tensao superficial da agua do mar (Jm−2);
Θs, coeficiente de osmose da gota;
γ = 2, numero de ıons no qual uma molecula de sal dissocia na gota.
Andreas (1989) derivou a seguinte expressao para Θs:
Θs = A−Bm+ Cm2 −Dm3 + Em4
com A = 0, 9270, B = 2, 164 × 10−2, C = 3, 486 × 10−2, D = 5, 956 × 10−3,
E = 3, 911 × 10−4, sendo que 0 < m < 6. m representa a molalidade e e definida
por
m =ms
Msmap
sendo map a massa de agua pura na gota.
A salinidade (s) da superfıcie do mar e dada por
s =ms
map +ms
.
Utilizando a definicao de salinidade, a massa de sal na gota e expressa por:
ms =
(s
1− s
)map.
Supondo que a gota e esferica, a massa de agua pura na gota pode ser aproximada
67
como
map ≈4
3ρapr
30.
Combinado as duas equacoes acima, aproxima-se a massa de sal na gota por
ms ≈4
3πρmr
30
(s
1− s
).
Andreas (1989) mostrou que para valores tıpicos de molalidade (0 < m < 6) tem-se
0, 927 < Θs < 1, 27.
Pruppacher e Klett (1978) apresentaram equacoes para D′w e k
′a (Eqs.13-13 e 13-20):
k′
a =ka
r0r0+∆t
+ kar0αtρacpa
(2πMa
RTa
)1/2(3.12)
D′
w =Dw
r0r0+∆w
+ Dwr0αc
(2πMm
RTa
)1/2(3.13)
sendo
r0, raio de formacao da gota em metro;
∆t = 2, 16× 10−7, constante empırica;
αt = 7× 10−1, constante empırica;
ρa, densidade do ar (Kgm−3);
cpa, calor especıfico do ar (JKg−1C−1);
Ma = 28, 9644× 10−3kgmol−1, peso molecular do ar seco;
Ta, temperatura do ar em graus Kelvin;
ka, condutividade termica do ar (Wm−1K−1);
∆w = 8× 10−8, constante empırica;
αc = 3, 6× 10−2, constante empırica;
Dw, difusividade do vapor de ar (m2s−1).
Andreas (1989) propos formulacoes para ka e Da:
ka = 2, 411× 10−2(1 + 3, 309× 10−3Ta − 1, 441× 10−6T 2a )
com Ta em graus Celsius
68
e
Dw = 2, 11× 10−5
(TaT0
)1,94(P0
P
)onde, T0 e P0 representam a temperatura e a pressao de referencia, respectivamente.
Neste caso, Ta e dado em Kelvin e P em milibar.
Para calcular a tensao da superfıcie do mar (agua salina), Pruppacher e Klett (1978,
pag.107) propuseram:
δs = δw + 2, 77× 10−2
(s
1− s
)onde δw representa a tensao da superfıcie de agua pura,
δw = 7, 610× 10−2 − 1, 55× 10−4Tm,
sendo δw dada em Jm−2, Tm a temperatura da superfıcie do mar variando entre
-40C e 40C e 0 < s < 260%0.
Por fim, Buck (1981) propos a seguinte relacao para a pressao de saturacao
esat(Ta) = 6, 1375 exp
(17, 502Ta
240, 97 + Ta
)com Ta em graus Celsius e esat em milibar.
3.3.1.1 Raio de equilıbrio
Para uma gota atingir equilıbrio termodinamico com o meio deve-se ter dr/dt = 0,
o que implica pela Equacao 3.10 em:
(f − 1)− y(req) = 0 (3.14)
com y(req) definido na Equacao 3.11.
Da relacao acima, apos substituir y(req), obtem-se uma equacao de quarto grau
para req. Desse modo, usa-se o metodo iterativo de Newton para computar o raio de
equilıbrio da gota. Sendo assim, considere
h(r) = (f − 1)− y(r). (3.15)
69
Aplicando o metodo de Newton, obtem-se a seguinte relacao de recursao:
rk+1 = rk −h(rk)
∂h
∂r
(3.16)
com ∂h/∂r avaliada em r = rk. Computa-se ∂h/∂r, tomando a derivada da Equacao
3.15.
∂h
∂r=
(2MmδsRTaρm
)r−2 − γΘsms
(Mm
Ms
)(4πρmr
3
3−ms
)−2
(4πρmr2) (3.17)
Desse modo, dados a temperatura inicial do ar e do mar, a salinidade, a umidade
relativa e o raio inicial obtem-se o raio de equilıbrio.
3.3.1.2 Tempo de residencia τf
Andreas (1992) propos que o tempo de residencia da gota e estimado por:
τf =Hs
2Uf(3.18)
sendo que Hs representa a altura significativa de onda e Uf a velocidade de queda
da gota (velocidade terminal). Para estimar a velocidade terminal, supoe-se uma
atmosfera em repouso. Considere uma gota suspensa no ar. Essa gota estara sob
influencia de tres forcas: forca gravitacional (F1), forca da flutuabilidade (buoyancy)
(F2) e a forca do arrasto (F3). A Figura 3.9 ilustra o balanco dessas tres forcas
atuando em uma gota de raio r.
Figura 3.9 - Balanco das forcas que atuam em uma gota de raio r suspensa no ar, considerando umaatmosfera em repouso.
70
Essas forcas sao definidas por:
F1 = Peso =4πρmr
3
3g
F2 =4πρar
3
3g
F3 = Cdρa(πr2)U2
sendo g a aceleracao gravitacional , U a velocidade de queda da gota e Cd o co-
eficiente de arrasto em uma gota esferica. O coeficiente de arrasto e definido por
(FRIEDLANDER, 1977):
Cd =6νaU
(1 + 0, 158Rβ), (3.19)
sendo aqui o numero de Reynolds (Rβ) dado por
Rβ =2rU
νa. (3.20)
Aplicando Segunda Lei de Newton nesse sistema, apresentado na Figura 3.9, tem-se
que
Frg = mgac
em que Frg, mg e ac representam a forca resultante, a massa e a aceleracao da gota,
respectivamente. Fazendo o balanco das forcas que atuam na gota
Frg = F1 − (F2 + F3) = mgac. (3.21)
Substituindo os valores de F1, F2, F3 e mg
4πr3
3(ρm − ρa)g − Cdρa(πr2)U2 =
4πρmr3
3ac. (3.22)
Quando U = Uf , ou seja, quando a gota atinge sua velocidade terminal Uf , tem-se
ac = 0. Dessa forma, a equacao acima pode ser reescrita como
4πr3
3(ρm − ρa)g − Cdρa(πr2)U2
f = 0. (3.23)
Resolvendo para Uf ,
U2f =
4r(ρm − ρa)3Cdρa
. (3.24)
71
Substituindo o valor de Cd e fazendo manipulacao algebrica
U2f =
2r2g
9νa
[1 + 0, 158
(2rUfνa
)2/3] (ρm
ρa− 1
). (3.25)
Computa-se a velocidade final usando o metodo iterativo de Newton. Para isso,
reescreve-se a equacao acima como:
9νarUf +
[1, 422νa
(2r0
νa
)2/3]U
5/3f − 2r0g
(ρmρa− 1
)= 0. (3.26)
Definindo:
G(Uf ) = 9νaUf +
[1, 422νa
(2r0
νa
)2/3]U
5/3f − 2r0g
(ρmρa− 1
). (3.27)
Pelo metodo de Newton, a relacao de recursao e dado por:
Ufk+1= Ufk −
G(Ufk)∂G∂Uf
(3.28)
sendo∂G
∂Ufavaliada em Uf = Ufk.
Tomando a derivada da Equacao 3.27
∂G
∂Uf= 9νa +
[1, 422νa
(2r0
νa
)2/3]
5
3U
2/3f . (3.29)
Portanto, dados a densidade do ar e do mar, a viscosidade do ar e o raio inicial
da gota e, considerando a gota esferica e uma atmosfera em repouso, computa-se a
velocidade terminal.
3.3.1.3 Tempo de decaimento ’e’ τr
Para calcular o tempo de decaimento ’e’, como definido pela Equacao 3.9, faz-se uma
expansao em serie de Taylor de r(t) (Equacao 3.8), centrada ao redor de t = (τr/2),
retendo os termos de segunda ordem:
r(0) ≈ r(τr/2)−∆tdr
dt+
(∆t)2
2
d2r
dt2(3.30)
72
r(τr) ≈ r(τr/2) + ∆tdr
dt+
(∆t)2
2
d2r
dt2(3.31)
sendo dr/dt avaliada em r = r(τr/2).
Supondo que r(t) e aproximadamente linear em t, entao, r = r(τr/2) =
[r(τr) + r(0)] /2. Subtraindo as Equacoes 3.30 e 3.31, tem-se:
r(τr)− r(0) ≈ 2∆tdr
dt. (3.32)
Para t = τr, tem-se r(τr) =
[r0
e+
(e− 1
e
)req
], substituindo na equacao acima:
[r0
(1− ee
)+
(e− 1
e
)req
]≈ 2∆t
dr
dt. (3.33)
Resolvendo para ∆t,
∆t ≈[r0
(1−ee
)+(e−1e
)req]
2dr
dt
. (3.34)
Portanto,
τr ≈ 2×∆t. (3.35)
Na equacoes acima, dr/dt e obtido da Secao 3.3.1, Equacoes 3.10-3.11.
Assim, dados a umidade relativa do meio, a densidade da agua do mar, a temperatura
do ar, a tensao superficial da agua do mar e o raio inicial da gota, computa-se o
tempo de decaimento ’e’.
73
4 DESCRICAO DO MODELO NUMERICO
4.1 Modelo unidimensional de Camada Limite Planetaria - MUCL
O modelo proposto foi discretizado na direcao vertical z e tem como variaveis
prognosticas momentum horizontal (u, v), temperatura potencial (θ) e vapor de
agua (q). As equacoes prognosticas para u, θ e q discretizadas em z, tem a forma
∂ui∂t
=τi+ 1
2− τi− 1
2
∆zi+ Ψi, i = 2, 3, .., Nz − 1 (4.1)
∂θi∂t
=τi+ 1
2− τi− 1
2
∆zi+ Ψi − (SLθ + Ss), i = 2, 3, .., Nz − 1 (4.2)
∂qi∂t
=τi+ 1
2− τi− 1
2
∆zi+ Ψi + SLq, i = 2, 3, .., Nz − 1 (4.3)
em que i refere-se ao nıvel, τ e a tensao superficial, Ψi representa todos os outros
termos (adveccao, difusao horizontal, forca de Coriolis, forca de pressao e dissipacao),
Nz e o numero de nıveis e SLθ, SS, SLq representam as forcantes externas relacionadas
a pulverizacao. Ss quantifica a variacao da temperatura provocada por trocas de calor
sensıvel, SLθ quantifica a variacao da temperatura potencial devido a evaporacao
das gotas e SLq quantifica a variacao da umidade especıfica devido a introducao
de vapor de agua na atmosfera. A superfıcie sera identificada pelo ındice 1. Nos
nıveis 1 e Nz as variaveis sao definidas como condicoes de fronteiras. A variavel
v tem formulacao similar a u. A tensao superficial foi parametrizada utilizando os
coeficientes de difusividade turbulenta K:
τi+ 12
= Ki+ 12
ui+1 − ui∆zi+ 1
2
(4.4)
τi− 12
= Ki− 12
ui − ui−1
∆zi− 12
(4.5)
exceto na superfıcie, sendo τ3/2 formulado pela teoria de similaridade, conforme sera
apresentada adiante. A discretizacao temporal e implıcita para os fluxos turbulentos
verticais, o que garante estabilidade numerica. A computacao de u no tempo (n +
1)∆t e dada por (a demostracao dessa equacao encontra-se no Apendice A):
ai+ 12un+1i+1 + biu
n+1i + ai− 1
2un+1i−1 = uni + ∆tΨn
i (4.6)
75
sendo
ai± 12
= −Ki± 1
2∆t
∆zi∆zi± 12
e
bi = 1− ai+ 12− ai− 1
2.
Definindo a matriz unidimensional U = (u2, u3, ..., uNz−1)T pode-se unificar as
equacoes para todos os nıveis:
AUn+1 = Un + B
sendo A uma matriz tridiagonal (Nz − 2)× (Nz − 2)
A =
b2 a2+ 12
0 ... 0
a3− 12
b3 a3+ 12
... 0
0 a4− 12
b4 ... 0
0 ... aNz−5/2 bNz−2 aNz−3/2
0 0 ... aNz− 32
bNz−1
e B um vetor 1× (Nz − 2)
B =
∆tΨn
2 − a2−1/2un+11
∆tΨn2
∆tΨn3
...
∆tΨnNz−1 − aNz−1/2u
n+1Nz
.
A solucao desta equacao para o tempo (n+1)∆t requer a especificacao das condicoes
de fronteiras em i = 1 e i = Nz e a triangularizacao da matriz A. As variaveis v, θ
e q tem formulacao similar.
4.2 Parametrizacao dos fluxos turbulentos e interacao com a superfıcie
4.2.1 Hierarquia do fechamento turbulento
A atmosfera corresponde a camada de ar que envolve a Terra, atingindo uma altura
de varios quilometros. Entretanto, as caracterısticas observadas proximas a superfıcie
nao sao as mesmas observadas em nıveis mais altos. Os processos de transporte
76
que ocorrem proximo a superfıcie modificam a camada atmosferica conhecida como
Camada Limite Planetaria (CLP).
Stull (1988) definiu a CLP como a parte da troposfera que e diretamente influenci-
ada pelas forcantes da superfıcie em uma escala de horas ou menos. Essas forcantes
podem ser arrasto, evaporacao, transferencias de calor e umidade, entre outros. Indi-
retamente, toda a atmosfera pode variar em resposta as caracterısticas da superfıcie,
entretanto, fora da CLP essas respostas sao bem mais lentas. Segundo o autor, a
CLP pode ser dividida em:
• Camada Laminar (CL): camada fina (1 cm) muito proxima a superfıcie,
na qual as transferencias das propriedades sao realizadas atraves do movi-
mento molecular.
• Camada Limite Superficial (CLS) ou Camada de Fluxos Constantes (CFC):
camada que esta em contato com a superfıcie, em que o cisalhamento e o
vento desempenham um papel dominante. Nessa camada, a variacao ver-
tical dos fluxos turbulentos nao excede 10% do seu valor. Sua espessura
varia de 10 a 100 metros, correspondendo de 10 a 20% da espessura da CLP.
A distribuicao vertical das variaveis meteorologicas nessa regiao e aproxi-
mada por um perfil logarıtmico, sendo influenciada pela estratificacao da
densidade do ar.
• Camada Limite Convectiva (CLC): compreende cerca de 70 a 80% da es-
pessura da CLP, apresentando pequena variacao da temperatura potencial
com a altura, em que a mistura ocorre por meio de movimentos convectivos,
organizados por grandes vortices.
• Camada de Entranhamento (CE): camada em que a turbulencia e inter-
mitente, funcionando como inibidor dos movimentos verticais ascendentes
que traz ar quente e seco para o interior da CLP.
Na CLP, os movimentos sao quase sempre turbulentos, sendo manifestados de forma
caotica, altamente irregular e variando rapidamente em funcao do tempo e do es-
paco. Para descrever esses movimentos e necessario recorrer as equacoes basicas
governantes (momentum, continuidade, termodinamica). Entretanto, quando a tur-
bulencia e considerada, as resolucoes das equacoes ficam mais complexas, pois o
77
numero de incognitas aumenta nas equacoes. Como exemplo, considere a equacao
de movimento horizontal:
Du
Dt= − 1
ρ0
∂P
∂x+ fv + Frx
∂u
∂t+ u
(∂u
∂x
)+ v
(∂u
∂y
)+ w
(∂u
∂z
)= − 1
ρ0
∂P
∂x+ fv + Frx (4.7)
em que u e v representam as componentes do vento, P e a pressao, f e o parametro
de Coriolis e Frx e a forca de atrito de viscosidade molecular.
Considerando um fluxo turbulento na CLP, e comum decompor uma variavel (λ)
como a soma da media (λ) e da flutuacao (λ′):
λ = λ+ λ′. (4.8)
Fazendo a decomposicao das variaveis u, v, w e P , substituindo na Equacao 4.7 e
aplicando a media de Reynolds:
∂u
∂t= − 1
ρ0
∂P
∂x+ fv + Frx +
[(∂u′u′
∂x
)+
(∂v′u′
∂y
)+
(∂w′u′
∂z
)]. (4.9)
Observa-se que, alem das variaveis u, v, w e P , tem-se agora nas equacoes os termos
de transportes turbulentos ou fluxos de Reynolds, representados pelas correlacoes
u′u′, v′u′, w′u′. Para os fluxos turbulentos, pode-se obter as equacoes prognosticas:
∂u′w′
∂t= −w′2
(∂u′
∂z
)−
(∂(u′w′2)
∂z
)− 1
ρ0
(u′∂P
∂z
)−
(g(ρ− ρ0)u′
ρ0
)(4.10)
sendo que o calculo depende das correlacoes triplas (λ′1λ′2λ′3 ). As equacoes prognos-
ticas para as correlacoes triplas dependem de correlacoes quadruplas. Desse modo,
a descricao da turbulencia requer um conjunto infinito de equacoes, e esse problema
e conhecido como o problema de fechamento turbulento. A descricao da turbulen-
cia e essencial para o entendimento dos processos de troca que ocorre na CLP,
especialmente para os modelos de CLP que sao baseados nas leis de conservacao
de massa, energia e momentum que estao diretamente ligadas a turbulencia. Desse
modo, tem-se adotado em modelos numericos 5 tipos de ordem de fechamento: zero
ordem (F0), primeira ordem (F1), uma e meia ordem (F1.5), segunda ordem (F2) e
terceira ordem (F3). No fechamento F0 nenhuma equacao prognostica e retida e as
78
variaveis prognosticas (u, v, w, θ e P ) sao estimadas diagnosticamente ou assumem
a forma do perfil. O fechamento F1 mantem as equacoes prognosticas e os fluxos sao
aproximados como funcao do gradiente local da quantidade transportada:
u′λ′ = −Kλ1
∂λ
∂x, v′λ′ = −Kλ2
∂λ
∂y, u′λ′ = −Kλ3
∂λ
∂z(4.11)
em que Kλ1 , Kλ2 e Kλ3 sao os coeficientes de difusao turbulenta.
No fechamento F1.5 as equacoes prognosticas de F0 sao mantidas assim como as
equacoes de variancias dessas variaveis. A equacao da energia cinetica turbulenta
(e) tambem e utilizada de forma que os coeficientes de difusao turbulenta (Km) sao
aproximados em funcao da propria energia cinetica (STULL, 1988):
u′w′ = −Km(e, θ2)∂u
∂z, v′w′ = −Km(e, θ2)
∂v
∂z. (4.12)
No fechamento F2 e mantido as equacoes de F1.5 incluindo os termos de corre-
lacoes. Nesse caso sao adicionados os termos de correlacoes triplas. Mellor e Yamada
(1974) parametrizam essas correlacoes triplas em funcao das correlacoes e da energia
cinetica turbulenta:
u′θ′2 = Λe−1/2∂θ′2
∂z(4.13)
onde Λ e um parametro de escala.
As equacoes de correlacoes contem muito mais processo fısico do transporte tur-
bulento do que as equacoes de energia cinetica, o que tende a fazer de F2 uma
aproximacao mais geral e melhor do que F1 e F1.5. Similarmente, F3 mantem as
equacoes de F2 incluindo as equacoes de correlacoes triplas, permitindo a adicao de
correlacoes quadruplas que sao aproximadas em funcao das correlacoes triplas.
4.2.2 Formulacao numerica
Os fluxos turbulentos verticais foram parametrizados de acordo com a primeira or-
dem de fechamento turbulento, sendo representados por:
u′w′ = −Km∂u
∂z(4.14)
θ′w′ = −Kh∂θ
∂z(4.15)
79
q′w′ = −Kq∂q
∂z(4.16)
onde u′w′, θ′w′, q′w′ eKm,Kh eKq sao os fluxos turbulentos verticais e os coeficientes
verticais de difusao turbulenta de momentum, calor e umidade, respectivamente.
Considerando os processos turbulentos da CLP, define-se as escalas de comprimento
(L), velocidade (u∗), umidade (q∗) e temperatura (θ∗) por:
L =u∗κβθ∗
(4.17)
u∗ =
(τ
ρa
)2
(4.18)
θ∗ =θ′w′
u∗(4.19)
q∗ =q′w′
u∗(4.20)
sendo
L e o comprimento de Monin-Obukhov;
κ e a constante de von Karman;
θ0 e a temperatura potencial media na CLS;
β = g/θ0.
Dentro da CFC os fluxos de momentum, calor e vapor sao avaliados de acordo com a
teoria de similaridade de Monin-Obukhov. Os gradientes verticais de grande escala
como o vento, temperatura potencial e umidade especıfica sao funcoes dessas escalas,
como segue:κz
u∗
∂u
∂z= φm(z/L) (4.21)
κz
θ∗
∂θ
∂z= φh(z/L) (4.22)
κz
q∗
∂q
∂z= φq(z/L) (4.23)
sendo que φm(z/L), φh(z/L) e φq(z/L) representam as funcoes universais que serao
definidas posteriormente.
Os parametros u∗, θ∗ e q∗ sao proporcionais aos fluxos da interface de momentum,
80
calor e umidade:
Fm = ρau2∗
Fh = −cpaρau∗θ∗Fq = −ρau∗q∗Lv
sendo que cpa e o calor especıfico do ar a pressao constante e Lv e o calor latente
de vaporizacao. Essa formulacao indica que os fluxos positivos sao do oceano para a
atmosfera.
As Equacoes 4.21-4.23 podem ser utilizadas para computar as variaveis u∗, θ∗, q∗ e
L, o que equivale a determinar os fluxos na superfıcie. Computando essas variaveis
e associando seus respectivos valores as Equacoes 4.14-4.16 obtem-se os valores de
Km, Kh e Kq no topo da CLS.
Para computar os coeficientes de difusao denota-se z1 e z2 como a altura do primeiro
e segundo nıvel do modelo, onde z1 = z0 (z0 e o comprimento de rugosidade).
Integrando as Equacoes 4.21-4.23 de z1 a z2, tem-se:
κ(u2 − u1)
u∗= ln
(z2
z1
)−Ψm(z) (4.24)
κ(θ2 − θ1)
θ∗= ln
(z2
z1
)−Ψh(z) (4.25)
κ(q2 − q1)
q∗= ln
(z2
z1
)−Ψq(z) (4.26)
em que
Ψm(z) =
∫ z
z0
[1− φm(z′/L)
z′
]dz′ (4.27)
Ψq(z) = Ψh(z) =
∫ z
z0
[1− φh(z′/L)
z′
]dz′. (4.28)
As funcoes φm(z/L) e φh(z/L), sugeridas por Businger et al. (1971) atraves de
81
observacoes, sao definidas por:
φm(z/L) =
1 se z/L = 0
(1− 15z/L)−1/4 se z/L < 0
1 + 4, 7z/L se z/L > 0
φh(z/L) =
0, 74 se z/L = 0
0, 74 (1− 9z/L)−1/2 se z/L < 0
0, 74 + 4, 7z/L se z/L > 0
.
Desse modo, as integrais definidas em 4.27 e 4.28 sao dadas por (as demostracoes
sao apresentadas no Apendice B):
Para o caso estavel (z/L > 0)
Ψm(z) = −4, 7z
L(4.29)
Ψh(z) = − 4, 7z
0, 74L(4.30)
Para o caso instavel (z/L < 0)
Ψm(z) = ln
[(1 + x2
1 + x1
)2(1 + x2
2
1 + x21
)]− 2 tan−1(x2) + 2 tan−1(x1) (4.31)
Ψh(z) = ln
∣∣∣∣y2 + 1
y1 + 1
∣∣∣∣2 (4.32)
sendo
x1 =(
1− 15z1
L
) 14
(4.33)
x2 =(
1− 15z2
L
) 14
(4.34)
y1 =(
1− 9z1
L
) 12
(4.35)
y2 =(
1− 9z2
L
) 12. (4.36)
Define-se o numero de Richardson volumetrico (Bulk) na primeira camada do modelo
82
por:
Rib =∆z β (θ2 − θ1)
(u2 − u1)2. (4.37)
Essa formulacao permite que o valor de L seja calculado com o valor de Rib. Assim,
combinando as Equacoes 4.17 e 4.37, para o caso estavel
∆z
L=
ln
(z2
z1
)[(9, 4 Rib − 0, 74) ±
√4, 9 Rib + 0, 5476
]9, 4 (1− 4, 7 Rib)
. (4.38)
Analogamente, para o caso instavel:
∆z
L= Rib
[ln
(z2
z1
)−Ψ1
]2
0, 74
[ln
(z2
z1
)−Ψ2
] . (4.39)
A demonstracao dessas duas relacoes sao apresentadas no Apendice B.
Neste caso, devido a dificuldade para computar L na Equacao 4.39 (a equacao torna-
se transcendental) e para evitar metodos iterativos e diminuir o tempo computa-
cional, utiliza-se, para o caso instavel, a aproximacao desenvolvida por Barker e
Baxter (1975):∆z
L= Rib × f(Cn) (4.40)
sendo
f(Cn) = 0, 47Cn − 1, 045 para∆z
L≤ −0, 05 e Cn ≥ 10 (4.41)
com
Cn =1
κln
(z
z0
)Segundo autor, os erros computacionais sao menores que 2%, sendo que para maiores
valores de Cn, a porcentagem de erro decresce. Se Cn ≥ 20 os erros sao menores que
1%.
Desse modo, dados u, θ e q em z1 e z2, pode-se utilizar as Equacoes 4.37-4.38,
4.40-4.41 para calcular L e, com as Equacoes 4.24-4.26 computa-se u∗, θ∗ e q∗.
83
O coeficiente de difusividade turbulenta K para momentum, temperatura e umidade,
no nıvel intermediario da primeira camada z = z3/2, sao dados por:
Momentum
K 32
=u2∗(z2 − z0)
θ2 − θ1
. (4.42)
Temperatura e umidade
K 32
=u∗θ∗(z2 − z0)
θ2 − θ1
. (4.43)
Para computar os fluxos turbulentos (momentum, calor e umidade) acima da CLS,
os coeficientes turbulentos sao determinados pelo polinomio proposto por Wyngaard
e Brost (1984)
K(z) =
C × z ×(
1− z
h
)2
se h < z < Hclp
1m2s−1 se Hclp < z
sendo Hclp a altura da CLP, h a altura da CLS e C =K3/2
z3/2.
No modelo apresentado, a altura da CLS e dada por h = 10 m (segundo nıvel do
modelo). Ja o topo da CLP, e definido como o nıvel na qual a temperatura potencial,
medida no nıvel z, torna-se maior do que a temperatura potencial da superfıcie.
4.2.2.1 Modelo unidimensional em equilıbrio
Em um modelo tridimensional, a distribuicao vertical das variaveis e mantida
atraves de um equilıbrio entre as forcantes. No modelo unidimensional proposto,
a manutencao da CLP sera artificial, realizada atraves dos termos Ψi nas Equacoes
4.1, 4.2 e 4.3. Entao, dada uma distribuicao vertical inicial das variaveis, os termos
Ψi sao computados por:
Ψi = −(τi+0,5 − τi−0,5
∆zi
). (4.44)
Analogamente, Ψ e computado para as outras variaveis, de forma que
∂(u, θ, q)
∂t= 0 (4.45)
em cada nıvel do modelo. Estes valores de Ψ sao mantidos inalterados ate o final
da integracao. Assim, qualquer variacao na CLS sera necessariamente atribuıda a
inclusao de novos efeitos, tais como uma possıvel chegada de um campo de ondas
84
do mar.
4.3 Parametrizacao do efeito da pulverizacao
4.3.1 Calor sensıvel
Supondo que ocorra a pulverizacao na atmosfera, a massa total de gotıculas lancada
na atmosfera chega a um equilıbrio termico em fracao segundos (ANDREAS, 1992).
Assume-se que toda a massa das gotas fica distribuıda entre o primeiro nıvel (z1 = z0)
e o segundo nıvel (z2) do modelo. Define-se a variacao da temperatura da coluna
de ar, entre os nıveis z1 e z2, causada pela troca de calor entre o ar e a massa de
gotıculas, como
Ss = Teq − Tmc
sendo Teq a nova temperatura da coluna de ar alcancada no equilıbrio termico, Tmc a
media da temperatura atual da coluna de ar (Ta) entre os dois nıveis z2 e z1, definida
por
Tmc =Ta(z2) + Ta(z1)
2.
Seja ∆Qs a variacao de calor sensıvel da massa total das gotıculas e ∆Qar a variacao
de calor sensıvel da massa de ar. Assumindo a hipotese da conservacao de energia:
∆Qs = −∆Qar. (4.46)
Considerando uma area unitaria tem-se
∆Qs = Qssp ×∆t, (4.47)
em que Qssp dado em Wm−2, como definido pela Equacao 3.4, e ∆t o passo de tempo
do modelo.
Definindo a variacao de calor sensıvel da massa de ar da coluna por:
∆Qar = ∆zρacpa(Tmc − Teq), (4.48)
onde ∆z = z2 − z1. A nova temperatura da coluna de ar apos as trocas de calor
85
sensıvel, computada utilizando as Equacoes 4.46-4.48, sera:
Teq =
43πρmcpmTm∆t
∫ rfr0
r3
0dFdr0
dr0 + ∆zρacpaTmc
43πρmcpm∆t
∫ rfr0
r3
0dFdr0
dr0 + ∆zρacpa
.
Desse modo, dadas a temperatura do ar (Ta) nos dois nıveis do modelo, a tem-
peratura do mar (Tm) e calculando a integral na equacao acima, tem-se o valor de
Ss.
4.3.2 Calor latente
O processo de evaporacao da massa de gotıculas envolve uma perda de energia do
ar, e consequentemente um resfriamento e liberacao de vapor de agua, alterando
a umidade relativa do meio. Neste caso, tem-se simultaneamente uma variacao na
umidade e na temperatura da camada.
Seja SLq a variacao da umidade e SLθ a variacao da temperatura:
SLθ = Teq − Tmc
e
SLq = qeq − qmc
em que Teq e qeq representam a temperatura potencial e a umidade especıfica de equi-
lıbrio, alcancado pela coluna de ar, apos o processo de evaporacao; Tmc representa a
media da temperatura potencial e qmc a media da umidade especıfica da coluna de
ar (qa) imediatamente antes do processo de evaporacao. Sendo qmc definido por
qmc =qa(z2) + qa(z1)
2.
Dividindo a massa total de gotas que evaporam Mge, definida pela Equacao 3.7, pela
massa de ar contida na coluna, obtem-se a variacao da umidade devido a pulverizacao
(SLq)
SLq =
43πρm∆t
∫ r2r1
[r3
0 − r3(τf )]dFdr0
dr0
∆zρa.
Entretanto, para evitar a supersaturacao do modelo, ou seja, qeq > qsat, sendo qsat a
86
razao de mistura saturada, define-se
SLq = Min SLq,∆qsinc
onde ∆qsinc representa a quantidade de massa necessaria para que ocorra a saturacao
na primeira camada do modelo, qeq = qsat, sendo dada por
∆qsinc =qsat − qmc
1− ϑ
em que
ϑ = qsat
[17, 27× 237
(Tmc − 36)2
]Lvcpa
e qsat e computado pela formulacao de Teten, dado por Soong e Ogura (1973)
qsat(Tmc, P ) =3, 8
Pexp
[17, 27× (Tmc − 273)
(Tmc − 36)
].
Esta formulacao de ∆qsinc e obtida fazendo uma expansao em serie de Taylor com
retencao dos termos de primeira ordem na formulacao de Teten para Tmc + ∆Tmc,
sendo essa expansao demonstrada no Apendice D.
Para Computar SLθ, faz-se:
SLθ = SLq ×Lvcpa
.
Portanto, calculando Mge obtem-se SLθ e SLq.
Para quantificar Mge, e necessario o calculo da integral∫ r2
r1
[r3
0 − r3(τf )]dF
dr0
dr0.
Essa integral e uma funcao de cinco variaveis, ou seja,
FINT (u10, Ta, f,Hs, r0) =
∫ rf
r0
[r3
0 − r3(τf )]dF
dr0
dr0.
Utilizando a dF/dr0 proposta por Zhao et al. (2006), dF/dr0 = f1(r0)×f2(u10, ωPpic),
pode-se reescrever FINT como
FINT (u10, Ta, f,Hs, r0) = f2(u10, ωPpic)× FI
87
sendo FI =∫ rfr0[r3
0 − r3(τf )× f1(r0)] dr0.
Para avaliar FI e necessario computar r(τf ) = r(Ta, f,Hs, r0). Entretanto, r(τf )
depende de quatro variaveis, o que torna esse calculo complexo em termos computa-
cionais.
A Figura 4.1 ilustra FI em funcao de Hs e de f , com Ta = 277 K.
Figura 4.1 - FI em funcao da altura significativa de onda e da fracao da umidade relativa, sendoTa = 277 K
E observado que dadas a temperatura potencial e umidade relativa, FI e aproxi-
madamente linear em relacao a Hs (Figura 4.1). Desse modo, para simplificar nu-
mericamente, FI e computada fazendo-se uma expansao em serie de Taylor, centrada
em Hs = 3 m, retendo os termos de primeira ordem
FI ≈ FI(Ta,f,Hs = 3) + (H − 3)∂FI∂Hs
. (4.49)
A B
88
em que ∂FI/∂Hs e avaliada em Hs = 3 m.
Para implementar no modelo numerico, os termos A e B sao tabelados em funcao da
fracao da umidade relativa (0,01< f <1) e da temperatura potencial (273 < Ta < 303
K) . Portanto, dados f e Ta tem-se os termos A e B. Com isso, para qualquer valor
de Hs, faz-se uma interpolacao linear (Equacao 4.49) e obtem-se FI . Por fim, com
os valores de FI , u10 e PPIC computa-se FINT .
89
5 RESULTADOS OBTIDOS E UMA ANALISE
5.1 Descricao do experimento
Para analisar o impacto da quebra de ondas oceanicas na CLP foram realizados dois
tipos de basicos de simulacoes:
• SSP: simulacao com o arrasto das ondas sem pulverizacao na atmosfera.
• SCP: simulacao com o arrasto das ondas e com pulverizacao na atmosfera.
As simulacoes consideraram o avanco do campo de onda sob uma atmosfera em
equilıbrio com o objetivo de avaliar o impacto do campo de onda e da pulverizacao
nos perfis das variaveis prognosticas.
As relacoes utilizadas para parametrizar a rugosidade do mar foram as propostas
por Smith et al. (1992), Janssen (1992), Taylor e Yelland (2001) e Volkov (2001), as
quais serao representadas posteriormente como SM, JS, TY, VK, respectivamente.
As escolhas foram feitas com o intuito de avaliar a rugosidade do mar (z0) em funcao
de diferentes parametrizacoes do arrasto:
i) idade da onda (SM, VK);
ii) empinamento da onda (TY);
iii) termo fonte de energia espectral de onda (JS).
A pulverizacao foi parametrizada segundo as formulacoes de Andreas (1989, 1992,
2005), entretanto, a FQPA escolhida para quantificar a producao de gotas foi a
proposta por Zhao et al. (2006). Isso porque essa FQPA considera o desenvolvimento
do mar e o campo de vento na quantificacao da producao de gotas.
Na modelagem foi utilizado o metodo de integracao implıcito. Enquanto o metodo
de integracao explıcito exige que K(∆z)2/∆t ≤ 0, 25 como condicao de estabilidade
numerica (PIELKE, 1984), o metodo implıcito e incondicionalmente estavel. Entre-
tanto, quando se usa o metodo implıcito maior precisao na integracao numerica e
alcancada com menores valores de ∆t. Nos experimentos utilizou-se ∆t = 18 s, valor
correspondente a aproximadamente metade daquele que seria exigido para estabili-
dade do metodo explıcito em uma discretizacao vertical com ∆z = 10 m.
91
No modelo foi utilizado Nz=4, ou seja, tres camadas. Foram avaliados dois perfis de
vento, tres perfis de temperatura e dois perfis umidade especıfica. Sendo:
Vento
a) u1 = 0, u2 = u3 = u4 = 20 m/s;
b) u1 = 0, u2 = u3 = u4 = 40 m/s.
Temperatura potencial
a) θ1 = 275K, θ2 = θ3 = θ4 = 280K (atmosfera estavel);
b) θ1 = 280K, θ2 = θ3 = θ4 = 280K (atmosfera neutra);
c) θ1 = 285K, θ2 = θ3 = θ4 = 280K (atmosfera instavel).
Umidade especıfica
a) q1 = 0, 0065, q2 = 0, 005 e q3 = q4 = 0, 001;
b) q1 = 0, 003, q2 = 0, 002 e q3 = q4 = 0, 001.
As variaveis ui, θi e qi com i = 1, ..., 4, representam o vento, a temperatura
potencial e a umidade especıfica nos nıveis 1, 2, 3 e 4 do modelo, respectivamente. A
densidade do ar foi assumida constante durante toda integracao, ρa = 1, 000 kgm−3.
Uma vez que o padrao de vento, temperatura e umidade sao escolhidos, esses sao
mantidos ate o final da simulacao.
Para o oceano, foi assumido que a temperatura da superfıcie do mar Tm, a densidade
do mar ρm e o coeficiente de osmose Θs fossem constantes durante todo tempo de
integracao. Sendo,
Tm = 273K;
ρm = 1, 024 kgm−3;
Θs = 0, 99.
O MUCL foi integrado utilizando as relacoes SM, JS, TY e VK, citadas acima.
Conforme apresentado no Capıtulo 4, dado um perfil de u, θ e q, o comprimento
92
de rugosidade (z0) e calculado atraves de um metodo iterativo de forma que os
valores de u∗ e z0 satisfacam os perfis adimensionais na CLS. Para a simulacao SSP,
a evolucao de u (analogo para θ e q) e feita atraves da equacao prognostica:
∂ui∂t
=τi+ 1
2− τi− 1
2
∆zi+ Ψi. (5.1)
Para a simulacao SCP a evolucao de u e a mesma descrita acima, entretanto as
evolucoes de θ e q sao dadas por
∂θi∂t
=τi+ 1
2− τi− 1
2
∆zi+ Ψi − (SLθ + Ss), i = 2, 3, .., Nz − 1 (5.2)
∂qi∂t
=τi+ 1
2− τi− 1
2
∆zi+ Ψi + SLq, i = 2, 3, .., Nz − 1. (5.3)
Os termos SLθ, Ss e SLq sao computados conforme descrito na Secao 4.3.
Foram impostos estados iniciais com u10 = 20 m/s, u10 = 40 m/s e z0 = 0, 0001 m.
Este valor inicial para z0 corresponde a ter uma atmosfera sobre uma superfıcie
praticamente lisa, sem ondas. Em seguida, um novo z0 foi imposto, e o modelo foi
integrado por varias iteracoes, ate que o equilıbrio fosse restabelecido. Esse procedi-
mento corresponde a ter uma atmosfera em equilıbrio, em que um campo de onda
(regiao rugosa) avanca sob essa atmosfera, de forma que a atmosfera nao consiga
modificar a superfıcie. Isso faz sentido porque o sistema acoplado oceano-atmosfera
tem dois tempos de respostas: um curto, na ordem de minutos, onde a atmosfera da
CLS se ajusta ao campo de onda; e um longo, na ordem de horas ou dias, no qual
o campo de ondas se ajusta as mudancas da atmosfera (OOST et al., 2002).
Para as relacoes SM, JS e VK, a partir das condicoes iniciais, u∗ e computado
iterativamente. A iteracao ocorre entre u∗ e z0. Para a relacao TY, dado um valor
para z0, u∗ e computado diretamente. Apos computar u∗ e z0, os coeficientes de
difusao sao calculados (Equacao 4.42-4.43) e, em seguida faz-se a evolucao no tempo
das variaveis u, θ e q. Os termos Ψi nas Equacoes 5.1-5.3 sao computados de tal
modo que force o modelo a ficar em equilıbrio, ou seja, a variacao temporal para
qualquer variavel prognostica (u, θ e q) e nula. Esses valores de Ψi sao computados
apenas no primeiro tempo de integracao, sendo mantidos inalterados ate o final da
simulacao. Entao, e imposto um novo z0 de forma que modifique a rugosidade inicial
da superfıcie do mar, impondo assim um desequilıbrio. Esse novo z0 esta associado a
presenca de um outro campo de onda com novo perıodo de pico (PPic). Para a relacao
93
JS, o novo z0 foi imposto de forma que em cada simulacao fossem obtidas ondas com
maior energia espectral. Para cada simulacao um novo espectro de ondas E(f, θ),
completamente desenvolvido (Equacao 2.2), foi construıdo. Com o valor do espectro
e do z0 e computado o u∗. Com esses tres valores, a tensao superficial induzida pela
onda e computada iterativamente. A iteracao ocorre entre E(f, θ), z0, z1, u∗ e τw.
Tanto para SSP e SCP, apos escolhido o perfil de vento, da temperatura e da umi-
dade, foram realizadas 19 simulacoes para cada parametrizacao de z0, sendo que
cada simulacao corresponde a um perıodo de pico fixo. Assim, a primeira simulacao
foi com PPic = 2 s e a ultima com PPic = 20 s. Dado PPic, foi assumido um espectro
completamente desenvolvido para computar a altura significativa de onda (Hs) e o
termo fonte de energia espectral (Sin). Uma vez imposto o campo de onda, o modelo
foi integrado ate que novos perfis em equilıbrio fossem obtidos. Foram necessarios
aproximadamente 150 passos de 18 segundos.
5.2 Impacto no perfil do vento
5.2.1 Idade da onda e empinamento da onda
Para quantificar o impacto no perfil do vento, foram estimados os valores da reducao
relativa da velocidade do vento no segundo nıvel do modelo:
(u10)incial − (u10)final(u10)incial
(5.4)
Na Figura 5.1 e observado a reducao relativa do vento em funcao do comprimento
de rugosidade para u10 = 40 m/s, considerando uma atmosfera instavel.
Figura 5.1 - Reducao relativa de u10 em funcao do comprimento de rugosidade, para as parametrizacoesSM, VK e TY, considerando uma atmosfera instavel e u10 = 40 m/s.
94
Nota-se uma diferenca significativa entre as tres parametrizacoes SM, VK e TY.
A reducao maxima na velocidade do vento, pela relacao TY, e em torno de 42%
(z0 = 0, 038 m; Hs = 6, 8 m), enquanto que para VK e SM sao de 27% (z0 =
0, 034 m; Hs = 6, 2 m) e 15% (z0 = 0, 025 m; Hs = 6, 0 m), respectivamente. Nas
tres parametrizacoes, a reducao relativa de u10 aumenta a medida que z0 cresce.
Fisicamente isso ocorre porque para superfıcies mais rugosas ha um maior atrito
(entre o vento e a superfıcie do mar), consequentemente uma maior dissipacao de
energia cinetica do vento para o oceano (maior tranferencia de momentum), o que
implica em uma reducao na velocidade do vento.
A reducao relativa do vento para atmosfera estavel e neutra sao ilustradas nas Fi-
guras 5.2-5.3, respectivamente.
Figura 5.2 - Reducao relativa de u10 em funcao do comprimento de rugosidade, para as parametrizacoesSM, VK e TY, considerando uma atmosfera estavel e u10 = 40 m/s.
Figura 5.3 - Reducao relativa de u10 em funcao do comprimento de rugosidade, para as parametrizacoesSM, VK e TY, considerando uma atmosfera neutra e u10 = 40 m/s.
95
E observada, para uma atmosfera estavel (Figura 5.2) e neutra (Figura 5.3), uma
reducao semelhante ao caso instavel. Isso indica que o efeito da instabilidade da
atmosfera nas parametrizacoes e insignificante, o que pode ser explicado pela analise
das Equacoes B.13 e B.40, apresentadas no Apendice B. Em cada passo de iteracao,
os termos 4, 7∆z/L e Ψ1 (que diferenciam o estado neutro dos estados estavel e
instavel, respectivamente) sao relativamente pequenos (sendo 4, 7∆z/L de ordem
10−2 e Ψ1 de ordem 10−1), nao afetando os resultados.
Quando o modelo e submetido a ventos de 20 m/s as discrepancias entre as
parametrizacoes sao mantidas. A reducao relativa do vento em funcao do compri-
mento de rugosidade para u10 = 20 m/s, considerando uma atmosfera instavel,
neutra e estavel, respectivamente, sao apresentadas nas Figuras 5.4-5.6.
Figura 5.4 - Reducao relativa de u10 em funcao do comprimento de rugosidade, para as parametrizacoesSM, VK e TY, considerando uma atmosfera instavel e u10 = 20 m/s.
Figura 5.5 - Reducao relativa de u10 em funcao do comprimento de rugosidade, para as parametrizacoesSM, VK e TY, considerando uma atmosfera neutra e u10 = 20 m/s.
96
Figura 5.6 - Reducao relativa de u10 em funcao do comprimento de rugosidade, para as parametrizacoesSM, VK e TY, considerando uma atmosfera estavel e u10 = 20 m/s.
A reducao maxima na velocidade do vento chega a 48%, 22% e 13% para as for-
mulacoes TY, VK e SM, respectivamente. Nota-se, ao analisar o impacto das tres
parametrizacoes para o mesmo comprimento de rugosidade, uma reducao relativa
maior para ventos com velocidades menores.
Comparando os resultados com u10 = 20 m/s e u10 = 40 m/s observa-se que a
formulacao TY permite um fluxo de momentum em um maior intervalo de z0 do que
as relacoes VK e SM, principalmente para valores menores de u10. Isso ocorre devido
as limitacoes apresentadas pelo parametro de Charnock, quando simulado com as
relacoes SM e VK, quanto a idade da onda.
Os valores do parametro de Charnock em funcao da idade da onda, dados pelas
relacoes VK e SM, sao apresentados na Figura 5.7.
Figura 5.7 - Variacao do parametro de Charnock em funcao da idade da onda.
97
Como descrito na Secao 2.2.1, na parametrizacao VK, com (cPpic/u∗) > 35 ou
(cPpic/u∗) < 0, 35, tem-se α = 0, 008 constante (Figura 5.7). Ja para a relacao SM,
foi observado nas simulacoes que: quando(cPpic/u∗
)< 10 ocorria um rapido cresci-
mento de z0 (z0 → ∞), ja para(cPpic/u∗
)> 30 observou-se uma rapida reducao
(z0 → 0). E notado que Smith et al. (1992, Figura 10) nao apresenta valores para
o parametro de Charnock quando(cPpic/u∗
)< 10 e
(cPpic/u∗
)> 30. Desse modo,
para resolver essas inconsistencias, foi assumido que: quando(cPpic/u∗
)< 10, z0 pas-
saria a ser constante, valor esse computado em(cPpic/u∗
)= 10. Do mesmo modo,
quando(cPpic/u∗
)> 30, z0 assumiria o valor computado em
(cPpic/u∗
)= 30 (Figura
5.7). Assim, devido a essas restricoes, usando a formulacao SM com vento de 40 m/s
e 20 m/s, tem-se 0, 0082m < z0 < 0, 0254m e 0, 0013m < z0 < 0, 0038m, respecti-
vamente. Pela relacao VK, para ventos de 40 m/s obtem-se 0, 003m < z0 < 0, 034m
e 0, 0005 m < z0 < 0, 0052 m para ventos de 20 m/s.
Entretanto, o mesmo nao ocorre com a parametrizacao TY, a qual nao apresenta
uma correspondencia biunıvoca com a idade da onda. A relacao de z0 para varias
alturas e comprimentos de ondas sao ilustradas na Figura 5.8. Observe que para um
mesmo z0, tem-se um conjunto de Hs e LPpic que satisfaz a relacao TY, ou seja, um
mesmo z0 corresponde a varias idades da onda.
Figura 5.8 - Isolinhas de z0, computado pela relacao TY, para varios valores de Hs e LPpic.
5.2.2 Termo fonte de energia espectral
Analises de Janssen (1992) indicaram que a tensao superficial induzida pela onda τw
e determinada principalmente pela parte de alta frequencia do espectro (parte nao
98
explicitamente prognosticada pelos modelos de onda). Na Figura 5.9, a qual ilustra
τwaf e τwbf em funcao do perıodo de pico para alguns parametros de Charnock (α),
observa-se que τwaf corresponde a 80% da tensao superficial induzida pela onda,
principalmente para perıodos de pico maiores.
Figura 5.9 - Tensao superficial induzida pela onda em funcao do perıodo de pico e do parametro deCharnock. As linhas pontilhadas correspondem a tensao relativa a baixa frequencia e aslinhas contınuas correspondem a tensao relativa a alta frequencia.
E notado uma grande sensibilidade de τw em relacao a α. Por exemplo, para α =
0, 0019, nota-se que τwaf e aproximadamente quatro vezes maior que τwbf . Quanto
maior o α, maior e a contribuicao relativa das altas frequencias. Conclui-se que
τw e sensıvel ao parametro de Charnock, variacoes nesse parametro podem alterar
significativamente os valores da tensao superficial induzida pela onda.
A reducao relativa do vento, em funcao do comprimento de rugosidade
parametrizado pela relacao JS, em uma atmosfera instavel, tambem foi avaliada
como apresentada nas Figuras 5.10 e 5.11.
Na Figura 5.10, para α = 0, 0019, a reducao relativa maxima observada, chega
a 15%, correspondente a z0 = 0, 0005 m. Ja na Figura 5.11, para α = 0, 01 e
α = 0, 03, percebe-se que o impacto maximo tende a ser menor, sendo de 10% e
6, 5%, respectivamente. Portanto, valores maiores de α implicam em menor impacto
no campo de vento.
99
Figura 5.10 - Reducao relativa de u10 em funcao do comprimento de rugosidade, para a parametrizacaoJS, considerando uma atmosfera instavel, u10 = 20 m/s e α = 0, 0019.
Figura 5.11 - Reducao relativa de u10 em funcao do comprimento de rugosidade, para a parametrizacaoJS, considerando uma atmosfera instavel, u10 = 20 m/s para α = 0, 01 e α = 0, 03.
A distribuicao das variaveis τw, τ , τturb e τw/τ , computadas proximas da super-
fıcie, em funcao do perıodo de pico e para alguns valores da constante de Charnock,
sao ilustradas nas Figuras 5.12-5.14.
Figura 5.12 - Tensao superficial em funcao do perıodo de pico, considerando uma atmosfera instavele α = 0, 0019.
100
Figura 5.13 - Tensao superficial em funcao do perıodo de pico, considerando uma atmosfera instavele α = 0, 01.
Figura 5.14 - Tensao superficial em funcao do perıodo de pico, considerando uma atmosfera instavele α = 0, 03.
Na Figura 5.12 (α = 0, 0019), e observado que: para Ppic ≤ 3 s a tensao superficial
turbulenta (τturb) e uma fracao consideravel da tensao superficial (τ). Entretanto,
a medida que o perıodo de pico e aumentado, ou seja, coloca-se ondas com mais
energia, maior fica τw. Para Ppic > 8 s a tensao superficial e praticamente suportado
pela tensao superficial induzida pela onda. Neste caso, a razao de acoplamento se
aproxima de 1, isso indica que ha uma maior interacao entre o oceano e a atmosfera,
ou seja, para Ppic > 8 s, ocorre uma maior transferencia de gases, calor, umidade e
momentum entre os dois meios.
Quando e aumentado o valor do parametro de Charnock, Figuras 5.13 (α = 0, 01) e
Figura 5.14 (α = 0, 03), observa-se um crescimento da tensao superficial turbulenta
para perıodos de pico maiores do que 5 s. Para α = 0, 0019 e Ppic > 8 s, tem-
se τ = τw, entretanto, para α = 0, 01, a tensao superficial induzida pela onda
101
corresponde no maximo a 80% da tensao superficial. Quando α = 0, 03 essa razao e
reduzida a 63%. Isso mostra que valores maiores do parametro de Charnock implicam
em uma menor interacao entre o oceano e atmosfera, consequentemente, uma menor
transferencia de propriedades entres esses dois fluidos.
Quando os mesmos experimentos sao realizados com uma atmosfera estavel e neutra,
nota-se que o efeito da instabilidade da atmosfera nessa parametrizacao tambem e
insignificante, concordando com os resultados apresentados na Secao 5.2.1.
Foi avaliado tambem o impacto da pulverizacao no campo de vento atraves da
parametrizacao JS. A simulacao foi analoga a descrita na Secao 5.1. Entretanto,
com z0 computado pela Equacao 2.37. Os resultados mostraram que as gotıculas
suspensas na atmosfera nao sao capazes de alterar a transferencia de momentum
proximo da interface, sendo insignificante nesse aspecto.
5.3 Impacto nos perfis de temperatura e umidade
Para avaliar o impacto da pulverizacao nos perfis de temperatura e umidade, foram
realizadas simulacoes considerando apenas um padrao de atmosfera (atmosfera es-
tavel) e com u10 = 20 m/s.
A evolucao de req em funcao da fracao da umidade relativa e apresentada nas Figu-
ras 5.15-5.16. Nota-se que a medida que a umidade relativa e reduzida, menor e req
(Figuras 5.15-5.16).
Figura 5.15 - Raio de equilıbrio em funcao da fracao da umidade relativa, sendo r0 o raio de formacaoda gota em metro.
102
Figura 5.16 - Raio de equilıbrio em funcao da fracao da umidade relativa, sendo r0 o raio de formacaoda gota em metro.
Para umidade relativa menor que 80% a gota pode reduzir mais de 50% do seu raio
de formacao, resultados semelhantes sao obtidos por Andreas (1989). Das Figuras
5.15-5.16, observa-se que o impacto da umidade relativa na evolucao do raio, e maior
quando a umidade e reduzida de 90−80%. Para valores menores de umidade relativa,
uma grande variacao na umidade causa pequeno impacto na evaporacao da gota.
Na Figura 5.17, a qual ilustra a razao entre o raio de equilıbrio da gota e o raio de
formacao, e notado que a razao nao depende do raio de formacao da gota, mas sim
da umidade relativa do meio.
Figura 5.17 - Razao entre o raio de equilıbrio e o raio de formacao, para gotas com raio de formacaovariando entre 1 a 500 µm. f representa a fracao da umidade relativa.
Quando a umidade e de 10% o raio da gota chega a reduzir mais de 60%. O motivo
dessa razao ser independente do raio de formacao pode ser provado ao avaliar a
103
Equacao 3.14:
(f − 1)− y(req) = 0 (5.5)
sendo y(req) definido no Capıtulo 3. Substituindo o valor de y(req) e resolvendo para
req/r0 tem-se:
req/r0 =
(req(P1 − P3)− P2
req(P4 − P1)− P2P4
)1/3
(5.6)
em que
P1 = f − 1;
P2 =2MmδsRTaρap
;
P3 = γΘs(Mm/Ms).
Avaliando os termos dessa equacao e notado que (P1 − P3) >> P2 e (P4 − P1) >>
P2P4. Desse modo, a equacao acima pode ser reescrita como:
req/r0 =
(P1 − P3
P4 − P1
)1/3
. (5.7)
Observe que P1, P3 e P4 independem do raio de formacao. Embora δs dependa da
temperatura da superfıcie do mar, foi observado tambem que a temperatura do mar
nao influencia no raio de equilıbrio.
A umidade relativa tambem influencia muito o tempo de decaimento ’e’ (τr), como
pode ser observado na Figura 5.18, a qual ilustra τr para varios valores de umidade
relativa em funcao do raio de formacao. Nota-se que para raios menores do que
10 µm a gota alcanca o estado de equilıbrio em fracao de segundos. Entretanto,
para raios maiores esse tempo aumenta bastante, por exemplo: gotas com raio de
500 µm podem levar aproximadamente 3 h para alcancar o equilıbrio, concordando
com os resultados encontrados por Andreas (1992). Quanto a umidade, τr tambem
varia muito. Como exemplo, considere r0 = 100 µm e f = 0, 1, tem-se τr ≈ 100 s.
Considerando o mesmo raio e f = 0, 90, observa-se que τr ≈ 1000 s (Figura 5.18), ou
seja, a medida que a umidade relativa aumenta, maior torna-se τr. Isso ocorre porque
quanto mais umida for a atmosfera, mais lento sera o processo de evaporacao.
Pode-se observar, Figura 5.19, o tempo de decaimento e o tempo de residencia da
gota na atmosfera para varios valores da temperatura do ar e da velocidade do vento.
104
Figura 5.18 - Variacao do tempo de decaimento em funcao da umidade e do raio de formacao paraTa = Tm = 0C, sendo f fracao da umidade relativa.
Figura 5.19 - Variacao do tempo de decaimento e do tempo de residencia em funcao da velocidadee da temperatura do ar, sendo a temperatura do mar Tm = 0C. As linhas contınuascorresponde a τr e as linhas pontilhadas a τf .
Nota-se que o tempo de decaimento e modificado pela temperatura da atmosfera,
para valores maiores de Ta mais rapido a gota atinge seu equilıbrio, uma vez que
valores maiores de temperatura implicam em uma maior velocidade de evaporacao
(Figura 5.19). Quanto ao tempo de residencia, e notado que a temperatura do mar
pouco influencia, entretanto, esse parametro e muito sensıvel a velocidade do vento
(turbulencia da atmosfera). Quanto maior a velocidade do vento mais tempo a gota
fica suspensa. Oposto do que ocorre com o tempo de decaimento, o tempo de residen-
105
cia e inversamente proporcional ao raio de formacao, gotas com raios maiores retor-
nam mais rapido ao oceano. Gotas com raio de 1 µm permanecem suspensas por
horas, entretanto, gota de raio maior do que 50 µm, retornam ao oceano em questao
de segundos.
A avaliacao dessas duas escalas de tempo (τr e τf ) sao fundamentais para avaliar o
efeito da pulverizacao na atmosfera, isso porque essas escalas quantificam as trocas
de calor entre as gotas e a atmosfera, como observado pelas Equacoes 3.5-3.8. Por
exemplo, para r0 < 50 µm e Ta = 20 C tem-se τf > τr (Figura 5.19). Nestas
condicoes uma gota ficaria suspensa na atmosfera tempo suficiente para liberar todo
calor latente e sensıvel possıvel. Entretanto, para r0 > 50 µm tem-se τf < τr, nesse
caso a gota suspensa retornaria para o oceano antes de transferir todo calor latente.
Variando essas duas escalas de tempo, e notado impactos diferentes nos perfis de
temperatura e umidade.
Assim como ocorre com τf , a razao de producao de gotas varia muito em funcao
velocidade do vento. A razao da producao de gotıculas para varios valores de u10
com perıodo de pico de 5 e 20 segundos, sao ilustradas nas Figuras 5.20-5.21, res-
pectivamente.
Figura 5.20 - Razao da producao de gotas em funcao do raio de formacao, para varios valores de u10
com PPic = 5 s.
E observado que o vento tem grande influencia na razao de producao. Variando a
velocidade do vento de 2 m/s para 20 m/s, tem-se uma variacao na FQPA de ate 3
ordens de grandeza (Figura 5.20).
106
Figura 5.21 - Razao da producao de gotas em funcao do raio de formacao, para varios valores de u10
com PPic = 20 s.
A razao da producao de gotas varia tambem em funcao do estado do mar, como
discutido por Zhao et al. (2006). Observando a razao de producao de gotas (Figuras
5.20-5.21), percebe-se que para uma mesma velocidade, a variacao na producao de
gotas e maior que uma ordem de grandeza, quando o perıodo de pico e modificado
de 5 s para 20 s. Portanto, nota-se que o vento e o estado do mar podem alterar
significativamente a razao de producao de gotas.
Os resultados da simulacao SSP, em que foi desprezado o efeito da pulverizacao,
sao ilustrados nas Figuras 5.22-5.26. Analisando a Figura 5.22, a qual apresenta a
variacao da temperatura do ar a 10 metros de superfıcie (Ta10) em funcao do perıodo
de pico, observa-se uma diferenca significativa entre as parametrizacoes.
Figura 5.22 - Variacao da temperatura a 10 metros de superfıcie, sem pulverizacao.
A relacao SM e JS apresentam uma reducao maxima em torno de 0,5 K. Ja pelas
relacoes VK e TY a reducao e mais significativa, chegando a 1,0 K e 1,5 K respec-
107
tivamente. A reducao maxima sempre e observada para valores maiores de PPic,
isso ocorre porque nessa situacao o mar esta mais desenvolvido. Para PPic < 4 s a
reducao na temperatura e praticamente insignificante em todas as relacoes.
Os fluxos de calor latente e sensıvel da interface sao ilustrados nas Figuras 5.23-5.26,
sendo 5.23-5.24 para UR = 80% e 5.25-5.26 para UR = 50%. Observa-se que tanto
para UR = 80% e UR = 50% os fluxos sao praticamente constantes, com variacoes
menores que 10%.
Observando as Figuras 5.24 e 5.26, nota-se que a variacao da umidade modifica
significativamente os valores dos fluxos de calor latente, o mesmo nao e observado
nos os fluxos de calor sensıvel (Figura 5.23-5.25 ).
Figura 5.23 - Fluxo de calor sensıvel na interface, sem pulverizacao com umidade relativa de 80%.
Figura 5.24 - Fluxo de calor latente na interface, sem pulverizacao com umidade relativa de 80%.
108
Figura 5.25 - Fluxo de calor sensıvel na interface, sem pulverizacao com umidade relativa de 50%.
Figura 5.26 - Fluxo de calor latente na interface, sem pulverizacao com umidade relativa de 50%.
Quando e considerada a pulverizacao nas simulacoes, Figuras 5.27-5.36, as diferencas
sao marcantes, tanto na temperatura quanto na umidade especıfica e nos fluxos de
calor.
A variacao da temperatura, do fluxo de calor sensıvel e do fluxo de calor latente,
em funcao do perıodo de pico com umidade relativa inicial de 80% sao ilustradas
nas Figuras 5.27, 5.28 e 5.29, respectivamente. Na Figura 5.27, nota-se um compor-
tamento semelhante para as quatro parametrizacoes, principalmente para perıodos
de pico maiores . A reducao maxima na temperatura chega a 3,0 K, sendo atingida
pela relacao JS. As demais parametrizacoes apresentam reducao em torno de 2,5 K.
Comparando esses resultados com os apresentados na Figura 5.22, observa-se que
a pulverizacao causa um maior resfriamento na atmosfera quando simulado pelas
relacoes JS e SM. Esse resfriamento da camada ocorre devido a perda de energia,
tanto por calor sensıvel quanto por calor latente, do ar para a massa de gotıculas
lancadas na atmosfera, uma vez que essa massa encontra-se mais fria que o ar.
109
Figura 5.27 - Variacao da temperatura a 10 metros de superfıcie em funcao do perıodo de pico, paraumidade relativa de 80%.
Como era esperado, essa reducao na temperatura modifica os fluxos de calor sensıvel
e latente da interface (Figuras 5.28-5.29).
Figura 5.28 - Fluxo de calor sensıvel na interface em funcao do perıodo de pico, para umidade relativade 80%.
Figura 5.29 - Fluxo de calor latente na interface em funcao do perıodo de pico, para umidade relativade 80%.
110
A maior reducao no fluxo de calor sensıvel ocorre para as parametrizacoes SM,
VK e JS (Figura 5.28). A relacao TY e a que apresenta menor reducao nos fluxos,
justificada por apresentar um menor impacto da pulverizacao na temperatura (Fi-
guras 5.22-5.27). A reducao maxima no fluxo de calor sensıvel chega a quase 50%.
O fluxo de calor sensıvel e reduzido porque com a evaporacao das gotas ha uma
reducao do gradiente de temperatura.
Ao observar o fluxo de calor latente (Figura 5.29) nota-se uma reducao em torno de
30% para as relacoes SM, VK, JS e, de 15% para a relacao TY. Essa reducao ocorre
porque a evaporacao das gotas liberam vapor de agua na a atmosfera, deixando-
a cada vez mais saturada, o que implica em uma reducao dos fluxos na interface.
Essa reducao pode ser justificada pelo campo de umidade especıfica, como pode ser
observado na Figura 5.30, a qual apresenta a variacao da umidade especıfica em
funcao do perıodo de pico.
Figura 5.30 - Variacao da umidade especıfica em funcao do perıodo de pico, para umidade relativainicial de 80%.
Nota-se que a pulverizacao modifica o perfil de umidade especıfica. A umidade es-
pecıfica aumenta com a evaporacao das gotas deixando a atmosfera cada vez mais
saturada.
Ao comparar os fluxos sem pulverizacao (Figuras 5.23-5.24) e os fluxos com pulveri-
zacao (Figuras 5.28-5.29), conclui-se que a pulverizacao modifica significativamente
os fluxos da interface.
A razao entre os fluxos (calor latente e sensıvel) da pulverizacao e os fluxos da
interface sao ilustradas nas Figuras 5.31-5.32.
111
Figura 5.31 - Razao entre os fluxos de calor sensıvel da pulverizacao e os da interface, para umidaderelativa inicial de 80%.
Figura 5.32 - Razao entre os fluxos de calor latente da pulverizacao e os da interface, para umidaderelativa inicial de 80%.
E observado que para perıodos de pico menores o fluxo de calor sensıvel da pulveri-
zacao (Figura 5.31) representa menos de 5% do fluxo da interface, entretanto, para
valores maiores de PPic os fluxos da pulverizacao chegam a corresponder a quase 40%
em relacao aos da interface. Ja para o calor latente (Figura 5.32), os fluxos chegam
a representar quase 80% em relacao aos da interface, resultados semelhantes sao
encontrados por Andreas (1992). Nota-se tambem uma grande diferenca em funcao
das parametrizacoes. Por exemplo, para PPic=20 s, utilizando a relacao TY a razao
nao passa de 30%, entretanto, para JS essa razao chega a ser de ate 80% (Figura
5.32). Essas diferencas estao relacionadas com as diferentes evolucoes da umidade
especıfica e da temperatura para cada parametrizacao.
Quando as simulacoes sao realizadas com umidade relativa de 50%, os resultados
mostram um impacto mais acentuado da pulverizacao. Como e observado na Figura
5.33, a qual apresenta a variacao de Ta10 para varios perıodos de pico.
112
Figura 5.33 - Variacao da temperatura a 10 metros de superfıcie em funcao do perıodo de pico, paraumidade relativa inicial de 50%.
A reducao maxima da temperatura varia entre 4 K e 6 K. Para PPic > 15 s o resfri-
amento da camada e tao acentuado que chega a inverter o gradiente de temperatura
entre o primeiro e o segundo nıvel do modelo. Esse resfriamento acentuado esta
relacionado com a baixa umidade relativa. Como discutido nas Figuras 5.15-5.17,
para umidades menores, menor e o raio de equilıbrio da gota, ou seja, mais a gota
evapora, o que implica em uma maior dissipacao de energia do ar para o processo
de evaporacao.
Os fluxos de calor sensıvel e latente em funcao do perıodo de pico, para umidade
relativa de 50% sao ilustrados nas Figuras 5.34-5.35, respectivamente.
Figura 5.34 - Fluxo de calor sensıvel na interface em funcao do perıodo de pico, para umidade relativainicial de 50%.
113
Figura 5.35 - Fluxo de calor latente na em funcao do perıodo de pico, para umidade relativa inicial de50%.
E observado uma inversao tanto nos fluxos de calor sensıvel quanto nos fluxos de
calor latente. A inversao dos fluxos de calor sensıvel esta relacionada com a inversao
do gradiente vertical de temperatura (Figura 5.33). Ja para o calor latente, a inversao
ocorre porque a liberacao de vapor de agua, devido a evaporacao das gotas, e capaz
de inverter o gradiente de umidade. Essa inversao e observada na Figura 5.36, a
qual mostra a variacao da umidade especıfica a 10 metros de superfıcie em funcao
do perıodo de pico. Observe que para PPic > 10 s, a umidade especıfica ultrapassa
o valor de q1 = 0, 003, caracterizando a inversao do gradiente de umidade.
Figura 5.36 - Variacao da umidade especıfica medida a 10 metros de superfıcie em funcao do perıodode pico, para umidade relativa inicial de 50%.
114
6 CONSIDERACOES FINAIS
6.1 Conclusoes
Neste trabalho, procurou-se investigar a fısica do arrasto das ondas e da pulverizacao
na atmosfera sobre condicoes de fortes ventos. Para isso foi construıdo um modelo
numerico unidimensional de camada limite (MUCL) com a fısica do arrasto das on-
das e a microfısica de gotıculas, sendo os fluxos turbulentos verticais de momentum,
calor e umidade parametrizados pela teoria de similaridade de Monin-Obukhov. Os
resultados sao ineditos e todo tratamento numerico de implementacao e original.
Realizou-se simulacoes com o comprimento de rugosidade parametrizados pelas re-
lacoes Smith et al. (1992), Janssen (1992), Taylor e Yelland (2001) e Volkov (2001),
as quais serao representadas posteriormente como SM, JS, TY e VK, respectiva-
mente. As escolhas foram feitas com o intuito de avaliar a rugosidade do mar (z0)
em funcao de diferentes parametrizacoes do arrasto:
i) idade da onda (SM, VK);
ii) empinamento da onda (TY);
iii) termo fonte de energia espectral de onda (JS).
A pulverizacao na atmosfera foi parametrizada segundo as formulacoes de Andreas
(1989, 1992, 2005), entretanto a FQPA escolhida para quantificar a producao de
gotas foi a proposta por Zhao et al. (2006).
Os resultados dos experimentos mostraram diferencas marcantes entre as
parametrizacoes, principalmente quanto a evolucao do campo de vento. A relacao TY
foi a que apresentou a maior reducao relativa do vento, 48%, entre as parametriza-
coes. Sendo as outras relacoes como impacto maximo variando entre 12 e 28%. Alem
disso, foi observado que a relacao JS e muito sensıvel ao parametro de Charnock (α),
sendo que valores maiores de α implicam em menor impacto no campo de vento.
Ao avaliar o balanco da tensao superficial, notou-se que para valores maiores de
perıodo de pico, a tensao superficial e praticamente suportado pela tensao super-
ficial induzida pelas ondas. Foi observado que a tensao superficial induzida pelas
ondas relacionada a alta frequencia τwaf (parte nao explicitamente prognosticada
pelos modelos de onda), e dominante quando comparado com a tensao superficial
induzida pelas ondas relativa a parte de baixa frequencia τwbf (parte explicitamente
prognosticada pelos modelos de onda). Para α = 0, 0019, τwaf e cerca de 4 vezes
115
maior que τwbf .
No caso das simulacoes com pulverizacao, foi notado que o raio de equilıbrio da gota
e muito sensıvel a umidade relativa. Quanto menor a umidade, menor e o raio de
equilıbrio. A maxima reducao observada para o raio foi de 63%, valor atingido quando
a umidade relativa e de 10%. Quanto as escalas de tempo τf (tempo de residencia
da gota na atmosfera) e τr (tempo necessario para ocorrer uma reducao de 63%
no raio da gota), foi observado que pequenas variacoes nessas escalas implicam em
grandes mudancas na liberacao de calor latente das gotıculas. Em relacao a razao
de producao de gotas, foi notada uma variacao na producao a medida que o mar e
velocidade do vento sao modificados. Variacoes na velocidade do vento e no estado
do mar podem modificar a producao de gotas em ate 3 ou 2 ordens de grandeza,
respectivamente.
As simulacoes mostraram tambem que a pulverizacao pode alterar significativamente
os fluxos de calor latente e sensıvel da interface. Para umidade relativa de 80% a
reducao maxima na temperatura, medida no segundo nıvel do modelo, chega a 3 K,
sendo esse maximo atingido pela relacao JS. As demais parametrizacoes tem reducao
em torno de 2 a 2,5 K. Quanto aos fluxos da interface, sob essa mesmas condicoes de
umidade, foi observado um reducao aproximadamente de 30%. Quando a umidade
relativa do meio e de 50%, o impacto na temperatura e na umidade e bem signi-
ficativo. A temperatura e reduzida em 6 K. A pulverizacao e capaz de inverter os
gradientes de temperatura e umidade entre o primeiro e o segundo nıvel do modelo.
Consequentemente, ha uma inversao dos fluxos de calor (latente e sensıvel) da in-
terface. Quando os resultados citados acima sao comparados com os resultados sem
pulverizacao, nota-se grande discrepancia. Sem pulverizacao, os fluxos sao pratica-
mente constantes, e a reducao maxima da temperatura e cerca de 1,5 K.
Quanto a transferencia de momentum, o efeito da pulverizacao na atmosfera avaliado
pela relacao JS, mostrou-se insignificante.
Nos experimentos apresentados, a interacao considerada e apenas do oceano para
a atmosfera, sem que o espectro de ondas seja alterado. Uma reducao tao grande
da velocidade do vento tera influencia na evolucao das ondas, o que por sua vez
suavizaria a reducao da velocidade, dando origem a um mecanismo de retroalimen-
tacao negativo. Estudos mais avancados com modelo acoplado oceano-atmosfera em
situacoes idealizadas, onde haja interacoes em ambos sentidos sao necessarias. Assim
116
como, avaliar o impacto da pulverizacao para outras condicoes iniciais de atmosfera
(vento e temperatura), uma vez que so foi avaliado para ventos de 20 m/s e atmosfera
estavel com temperatura potencial inicial de 280 K.
117
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126
A DISCRETIZACAO DA EQUACAO DE DIFUSAO
Considere a equacao de difusao:
∂u
∂t=
∂
∂zK∂u
∂z(A.1)
sendo K o coeficiente de difusao turbulenta.
Utilizando o metodo implıcito e discretizando A.1 em diferencas finitas, centradas
no tempo e no espaco, tem-se:
No tempo:∂u
∂t≈ un+1
i − uni∆t
. (A.2)
No espaco:
∂
∂zK∂u
∂z≈ ∂
∂zK
[(un+1i+1 − un+1
i
∆zi+ 12
)−
(un+1i − un+1
i−1
∆zi− 12
)](A.3)
ou∂
∂zK∂u
∂z≈ ∂
∂zK
[(un+1i+1 − un+1
i
∆zi+ 12
)−
(un+1i − un+1
i−1
∆zi− 12
)]. (A.4)
Combinando as equacoes discretizadas no tempo e no espaco, segue:
un+1i − uni
∆t=Ki+ 1
2
∆zi
(un+1i+1 − un+1
i
∆zi+ 12
)−Ki− 1
2
∆zi
(un+1i − un+1
i−1
∆zi− 12
), (A.5)
que pode ser reescrita como
un+1i − uni = ∆t
[Ki+ 1
2
(un+1i+1 − un+1
i
∆zi+ 12∆zi
)−Ki− 1
2
(un+1i − un+1
i−1
∆zi− 12∆zi
)]. (A.6)
127
Simplificando a equacao,
un+1i−1
(−
∆tKi− 12
∆zi− 12∆zi
)+ un+1
i
(1 +
∆tKi+ 12
∆zi+ 12∆zi
+∆tKi− 1
2
∆zi− 12∆zi
)
+ un+1i+1
(−
∆tKi+ 12
∆zi+ 12∆zi
)= uni . (A.7)
Definindo:
ai ≡ −∆tKi− 1
2
∆zi− 12∆zi
(A.8)
bi ≡ 1 +∆tKi+ 1
2
∆zi+ 12∆zi
+∆tKi− 1
2
∆zi− 12∆zi
(A.9)
ci ≡ −∆tKi+ 1
2
∆zi+ 12∆zi
(A.10)
A Equacao A.7 pode ser reescrita por
ai un+1i−1 + bi u
n+1i + ci u
n+1i+1 = uni . (A.11)
128
B FORMULACAO DO COMPRIMENTO DE MONIN-OBUKHOV
Para computar o comprimento de Monin-Obukhov (L) em funcao do numero de
Richardson volumetrico (Rib), como apresentado na Seccao 4.2.2, considere as
equacoes abaixo:
κz
u∗
∂u
∂z= φm(z/L) ⇒ κ
u∗
∂u
∂z=φm(z/L)
z(B.1)
κz
θ∗
∂θ
∂z= φh(z/L) ⇒ κ
θ∗
∂θ
∂z=φh(z/L)
z(B.2)
κz
q∗
∂q
∂z= φq(z/L) ⇒ κ
q∗
∂q
∂z=φq(z/L)
z. (B.3)
Integrando essas equacoes de z1 a z2 tem-se:
κ
u∗
∫ u2
u1
∂u
∂z=
∫ z2
z1
φm(z/L)
zdz ⇒ k(u2 − u1)
u∗=
∫ z2
z1
φm(z/L)
zdz (B.4)
κ
θ∗
∫ θ2
θ1
∂θ
∂z=
∫ z2
z1
φh(z/L)
zdz ⇒ k(θ2 − θ1)
θ∗=
∫ z2
z1
φh(z/L)
zdz (B.5)
κ
q∗
∫ q2
q1
∂q
∂z=
∫ z2
z1
φq(z/L)
zdz ⇒ k(q2 − q1)
q∗=
∫ z2
z1
φq(z/L)
zdz (B.6)
sendo
φm(z/L) =
1 se z/L = 0
(1− 15z/L)−1/4 se z/L < 0
1 + 4, 7z/L se z/L > 0
φh(z/L) = φq(z/L) =
0, 74 se z/L = 0
0, 74 (1− 9z/L)−1/2 se z/L < 0
0, 74 + 4, 7z/L se z/L > 0
.
Caso estavel (z/L > 0):∫ z2
z1
φm(z/L)
zdz =
∫ z2
z1
(dz
z+ 4, 7
dz
L
)= ln
(z2
z1
)+
4, 7∆z
L(B.7)
∫ z2
z1
φh(z/L)
z=
∫ z2
z1
(dz
z+
4, 7dz
0, 74L
)= ln
(z2
z1
)+
4, 7∆z
0, 74L(B.8)∫ z2
z1
φq(z/L)
zdz =
∫ z2
z1
(dz
z+
4, 7dz
0, 74L
)= ln
(z2
z1
)+
4, 7∆z
0, 74L. (B.9)
129
Utilizando as relacoes acima, as Equacoes B.4-B.6 podem ser reescritas como:
k(u2 − u1)
u∗= ln
(z2
z1
)+
4, 7∆z
L(B.10)
k(θ2 − θ1)
θ∗= ln
(z2
z1
)+
4, 7∆z
0, 74L(B.11)
k(q2 − q1)
q∗= ln
(z2
z1
)+
4, 7∆z
0, 74L. (B.12)
Isolando u∗, θ∗ e q∗ nas equacoes B.10-B.12:
u∗ =k(u2 − u1)
ln
(z2
z1
)+
4, 7∆z
L
. (B.13)
θ∗ =k(θ2 − θ1)
ln
(z2
z1
)+
4, 7∆z
0, 74L
. (B.14)
q∗ =k(q2 − q1)
ln
(z2
z1
)+
4, 7∆z
0, 74L
. (B.15)
Para computar o comprimento de Monin-Obukhov (L) em funcao do numero de
Richardson volumetrico (Rib), considere a equacao:
∆z
L=
∆z k β θ∗u2∗
. (B.16)
Substituindo B.13 e B.14 na equacao acima tem-se:
∆z
L=
∆z k2 β (θ2 − θ1)
0, 74 ln
(z2
z1
)+ 4, 7
∆z
L
k2 (u2 − u1)2[
ln
(z2
z1
)+ 4, 7
∆z
L
]2
, (B.17)
130
que pode ser reescrita por:
∆z
L=
∆z β (θ2 − θ1)
[ln
(z2
z1
)+ 4, 7
∆z
L
]2
(u2 − u1)2
(0, 74 ln
(z2
z1
)+ 4, 7
∆z
L
) . (B.18)
Substituindo Rib =∆z β (θ2 − θ1)
(u2 − u1)2em B.18, obtem-se:
∆z
L=
Rib
[[ln
(z2
z1
)]2
+ 22, 9
(∆z
L
)2
+ 9, 4 ln
(z2
z1
)∆z
L
](
0, 74 ln
(z2
z1
)+ 4, 7
∆z
L
) . (B.19)
Simplificando,
[4, 7 (1− 4, 7 Rib)]
(∆z
L
)2
+
[(0, 74− 9, 4 Rib) ln
(z2
z1
)](∆z
L
)−Rib
[ln
(z2
z1
)]2
= 0. (B.20)
Resolvendo a para a variavel∆z
L:
∆z
L=
ln
(z2
z1
)(9, 4 Rib − 0, 74)
9, 4 (1− 4, 7 Rib)
+
√(0, 74− 9, 4 Rib)2
(ln
(z2
z1
))2
+ 18, 8(1 + 4, 7 Rib)Rib
(ln
(z2
z1
))2
9, 4 (1− 4, 7 Rib).
Simplificando,
∆z
L=
ln
(z2
z1
)[(9, 4 Rib − 0, 74) ±
√4, 9 Rib + 0, 5476
]9, 4 (1− 4, 7 Rib)
. (B.21)
A equacao acima apresenta duas raızes, considerando o caso estavel e supondo 0 ≤Rib ≤ 0, 2127, observa-se que apenas a raiz positiva satisfaz a equacao de modo que
L ≥ 0.
131
Caso Instavel (z/L < 0)∫ z2
z1
φm(z/L)
zdz =
∫ z2
z1
(1− 15
z
L
)− 14
(dz
z
)(B.22)
∫ z2
z1
φh(z/L)
zdz =
∫ z2
z1
0, 74(
1− 9z
L
)− 12
(dz
z
)(B.23)
∫ z2
z1
φq(z/L)
zdz =
∫ z2
z1
0, 74(
1− 9z
L
)− 12
(dz
z
)(B.24)
Resolvendo a integral da Equacao B.22:∫ z2
z1
(1− 15
z
L
)− 14
(dz
z
)=
∫ z2
z1
(dz
z
)+
∫ z2
z1
[(1− 15
z
L
)− 14 − 1
](dz
z
). (B.25)
Definindo x ≡(
1− 15z
L
) 14
tem-se:
z = (1− x4)L
15, (B.26)
dz =−4 x3 L
15dx. (B.27)
Pelo metodo da substituicao, faz-se a mudanca da variavel z por x em B.25, de modo
que (z −→ z1 ∴ x −→ x1) e (z −→ z2 ∴ x −→ x2):∫ z2
z1
(1− 15
z
L
)− 14
(dz
z
)= ln
∣∣∣∣(z2
z1
)∣∣∣∣+
∫ x2
x1
[(1
x− 1
)(−4 x3 L
15dx
15
(1− x4)L
)]. (B.28)
Simplificando,∫ z2
z1
(1− 15
z
L
)− 14
(dz
z
)= ln
∣∣∣∣(z2
z1
)∣∣∣∣− 4
∫ x2
x1
[x2
(x2 + 1)(x+ 1)
]dx. (B.29)
Utilizando o metodo de fracoes parciais, considere:
x2
(x2 + 1)(x+ 1)=
A
x+ 1+Bx+ C
x2 + 1, (B.30)
132
que pode ser reescrita como:
x2
(x2 + 1)(x+ 1)=Ax2 + A+Bx2 +Bx+ Cx+ C
(x2 + 1)(x+ 1).
Dessa igualdade de polinomios obtem-se:
A+B = 1,
B + C = 0, (B.31)
A+ C = 0.
Resolvendo o sistema acima:
A = B =1
2,
C = −1
2. (B.32)
Utilizando as Equacoes B.29, B.30 e B.32 tem-se:∫ z2
z1
(1− 15
z
L
)− 14
(dz
z
)= ln
∣∣∣∣(z2
z1
)∣∣∣∣− 2
∫ x2
x1
1
x+ 1dx
− 2
[∫ x2
x1
x
x2 + 1dx−
∫ x2
x1
1
x2 + 1dx
]. (B.33)
Sabe-se que: ∫ x2
x1
1
x+ 1dx = ln
∣∣∣∣x2 + 1
x1 + 1
∣∣∣∣ , (B.34)
∫ x2
x1
x
x2 + 1dx =
1
2ln
∣∣∣∣x22 + 1
x21 + 1
∣∣∣∣ , (B.35)
∫ x2
x1
1
x2 + 1dx = tan−1(x2)− tan−1(x1). (B.36)
Entao, substituindo B.34-B.36 em B.33, obtem-se:
133
∫ z2
z1
(1− 15
z
L
)− 14
(dz
z
)= ln
∣∣∣∣(z2
z1
)∣∣∣∣− ln
∣∣∣∣∣(x2 + 1
x1 + 1
)2(x2
2 + 1
x21 + 1
)∣∣∣∣∣+ 2 tan−1(x2)− 2 tan−1(x1). (B.37)
Portanto, utilizando B.4, B.22 e B.37:
k (u2 − u1)
u∗= ln
∣∣∣∣(z2
z1
)∣∣∣∣− ln
∣∣∣∣∣(x2 + 1
x1 + 1
)2(x2
2 + 1
x21 + 1
)∣∣∣∣∣+ 2 tan−1(x2)− 2 tan−1(x1). (B.38)
Por fim, definindo
Ψ1 ≡ ln
[(1 + x2
1 + x1
)2(1 + x2
2
1 + x21
)]− 2 tan−1(x2) + 2 tan−1(x1), (B.39)
logo:k (u2 − u1)
u∗= ln
(z2
z1
)−Ψ1 ⇒ u∗ =
k (u2 − u1)
ln
(z2
z1
)−Ψ1
. (B.40)
Para a variavel θ, considerando a Equacao B.23 tem-se:∫ z2
z1
0, 74(
1− 9z
L
)− 12
(dz
z
)= 0, 74
∫ z2
z1
(dz
z
)+ 0, 74
∫ z2
z1
[(1− 9
z
L
)− 12 − 1
](dz
z
). (B.41)
Simplificando:∫ z2
z1
0, 74(
1− 9z
L
)− 12
(dz
z
)= 0, 74 ln
(z2
z1
)+ 0, 74
∫ z2
z1
[(1− 9
z
L
)− 12 − 1
](dz
z
). (B.42)
134
Definindo y ≡(
1− 9z
L
) 12, entao:
z = (1− y2)L
9, (B.43)
dz =−2 y L
9dy. (B.44)
Pelo metodo da substituicao, faz-se a mudanca da variavel z por y em B.42, de modo
que (z −→ z1 ∴ y −→ y1) e (z −→ z2 ∴ y −→ y2):∫ z2
z1
0, 74(
1− 9z
L
)− 12
(dz
z
)= 0, 74 ln
∣∣∣∣(z2
z1
)∣∣∣∣+ 0, 74
∫ y2
y1
[1
y− 1
](−2 y L
9dy
9
(1− y2)L
).
(B.45)
Simplificando:∫ z2
z1
0, 74(
1− 9z
L
)− 12
(dz
z
)= 0, 74
ln
∣∣∣∣(z2
z1
)∣∣∣∣− 2
∫ y2
y1
(1
y + 1dy
)(B.46)
ou ∫ z2
z1
0, 74(
1− 9z
L
)− 12
(dz
z
)= 0, 74
ln
∣∣∣∣(z2
z1
)∣∣∣∣− 2 ln
∣∣∣∣y2 + 1
y1 + 1
∣∣∣∣ . (B.47)
Utilizando as Equacoes B.5, B.23 e B.47, obtem-se:
k (θ2 − θ1)
θ∗= 0, 74
ln
∣∣∣∣(z2
z1
)∣∣∣∣− ln
∣∣∣∣y2 + 1
y1 + 1
∣∣∣∣2. (B.48)
Definindo
Ψ2 ≡ ln
∣∣∣∣y2 + 1
y1 + 1
∣∣∣∣2 (B.49)
entao:k (θ2 − θ1)
θ∗= 0, 74
ln
∣∣∣∣(z2
z1
)∣∣∣∣−Ψ2
. (B.50)
Por fim, isolando θ∗ na equacao acima:
θ∗ =k (θ2 − θ1)
0, 74
ln
∣∣∣∣(z2
z1
)∣∣∣∣−Ψ2
. (B.51)
135
Analogo para a variavel q, das Equacoes B.6, B.24 e B.47, tem-se:
q∗ =k (q2 − q1)
0, 74
ln
∣∣∣∣(z2
z1
)∣∣∣∣−Ψ2
. (B.52)
Substituindo u∗ (Equacoes B.40) e θ∗ (Equacoes B.50) na Equacao B.16, obtem-se
L em funcao de Rib:
∆z
L= Rib
[ln
(z2
z1
)−Ψ1
]2
0.74
[ln
(z2
z1
)−Ψ2
] . (B.53)
136
C FORMULACAO DA TENSAO SUPERFICIAL INDUZIDA PELA
ONDA
Como descrito na Secao 2.2.3.3, a tensao superficial induzida pela onda e determi-
nada pela taxa de variacao do momentum da onda (~P ) devido a dinamica do vento
(JANSSEN, 1992), como descrito abaixo:
~τw(0) =
∫ ∞0
K
[∫D
∂P
∂tdθ
]dK (C.1)
sendo~P = ρmωE(K, θ)~l. (C.2)
Substituindo ~P na Equacao C.1:
~τw(0) =
∫ ∞0
K
[∫D
∂(ρmωE(K, θ)~l)
∂tdθ
]dK (C.3)
ou
~τw(0) =
∫ ∞0
K
[∫D
ρmω∂(E(K, θ)~l)
∂tdθ
]dK. (C.4)
Como ∂(E(K, θ))/∂t = βE(K, θ), sendo β a razao de crescimento da onda. Entao:
~τw(0) =
∫ ∞0
[K
∫D
ρmωβE(K, θ)~ldθ
]dK, (C.5)
em que β e parametrizado por:
β =ρaρm
φω
(u∗ cos(θ)
c
)2
. (C.6)
Substituindo em C.6 em C.5, tem-se:
~τw(0) =
∫ ∞0
K
[∫D
ρmωρaρm
φω
(u∗ cos(θ)
c
)2
E(K, θ)~ldθ
]dK. (C.7)
Simplificando a expressao acima:
~τw(0) =
∫ ∞0
K
[ω2
c2
∫D
ρau2∗φE(K, θ)~l cos2(θ)dθ
]dK. (C.8)
137
ou
~τw(0) = τ
∫ ∞0
K3
[∫D
φE(K, θ)~l cos2(θ)dθ
]dK. (C.9)
Portanto,
~τwbf (0) = τ
∫ Kc
0
K3
[∫D
φE(K, θ) cos2(θ)~ldθ
]dK (C.10)
~τwaf (0) = τ
∫ ∞Kc
K3
[∫D
φE(K, θ) cos2(θ)~ldθ
]dK (C.11)
C.1 Parte de baixa frequencia - parte explicitamente prognosticada pe-
los modelos de onda
Da equacao C.5
~τw(0) =
∫ Kc
0
K
[∫D
ρmωβE(K, θ)~ldθ
]dK. (C.12)
Usando a relacao E(K)KdKdθ = E(f)dfdθ (Janssen,1992):
~τwbf (0) =
∫ fc
0
[∫D
ρmωβE(f, θ)~ldθ
]df. (C.13)
Como βE(f, θ) = Sin(f, θ) e pela relacao de dispersao para aguas profundas, ω =
g/c, tem-se:
~τwbf (0) = ρmg
∫ Kc
0
Sinc~ldθdf. (C.14)
C.2 Parte de alta frequencia - parte nao explicitamente prognosticada
pelos modelos de onda
~τwaf (0) = τ
∫ ∞Kc
K3
[∫D
φE(K, θ) cos2(θ)~ldθ
]dK. (C.15)
Seguindo Janssen (1992) o espectro de onda (espectro saturado) e definido por
E(K) =(KcK
)4E(KC , θ). Substituindo na Equacao C.15:
~τwaf (0) = τ
∫ ∞Kc
K3
[∫D
φK4c
K4E(Kc, θ) cos2(θ)~ldθ
]dK. (C.16)
Simplificando a expressao acima:
~τwaf (0) = τK4c
∫ ∞Kc
1
K
[∫D
φE(Kc, θ) cos2(θ)~ldθ
]dK. (C.17)
138
Para alto numero de onda, φ e virtualmente independente da direcao [cos(θ) = 1].
Entao, ~τwaf (0) pode ser aproximado por:
~τwaf (0) = τK4c
∫ ∞Kc
φ
K
[∫D
E(Kc, θ) cos2(θ)~ldθ
]dK. (C.18)
Considerando ζ =∫D
cos2(θ)E(K, θ)dθ, entao:
~τwaf (0) = τK4c
∫ ∞Kc
φ
K~lζdK. (C.19)
Portanto,
~τwaf (0) = τK4c
∞∑Kc
ζφ
K~l∆K. (C.20)
139
D FORMULACAO DO ∆qsinc
Como discutido na Secao 4.3.2, para evitar a supersaturacao do modelo e necessario
computar a massa de saturacao (∆qsinc). Sendo assim, seja a umidade de saturacao
dada por:
qsat =3, 8
Pexp
[17, 27× (T − 273)
(T − 36)
]. (D.1)
Fazendo uma expansao em serie de Taylor retendo os termos de segunda ordem,
tem-se:
qsat(T + ∆T ) ≈ qsat(T ) + ∆Tdqsat(T )
dT+
(∆T )2
2
d2qsat(T )
dT 2. (D.2)
Tomando a derivada da Equacao D.1:
∂qsat(T )
∂T≈ qsat(T )× exp
[17, 27× 237
(T − 36)2
]. (D.3)
Utilizando a aproximacao (qsat − q) Lvcpar
= ∆T e a Equacao D.3, pode-se reescrever
D.2 como
qsat(T + ∆T ) ≈ qsat(T ) + qsat(T )Lvcpar× exp
[17, 27× 237
(T − 36)2
](qsat − q) (D.4)
ou
qsat(T + ∆T ) ≈ qsat(T ) + ϑqsat(T + ∆T )− ϑq, (D.5)
sendo ϑ = qsat
[17,27×237(T−36)2
]Lvcpar
.
Logo,
qsat(T + ∆T ) ≈ qsat(T )− ϑq1− ϑ
. (D.6)
Por fim, da Equacao D.6, subtraindo q em ambos os lados obtem-se:
∆qsinc ≈ (qsat(T + ∆T )− q) =qsat(T )− q
1− ϑ. (D.7)
141
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