CÁLCULO I

Instituto de Matemática - UFRJProf. Nei Rocha

Rio de Janeiro2018-1

Sumário

1 Fundamentos do Cálculo 11.1 Álgebra de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Números Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Produto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4 O Plano Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.1 Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4.2 Circunferências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4.3 Trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4.4 Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.5 Relações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.6 Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.6.1 Propriedades de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.6.2 Operações de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.6.3 Composição de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.6.4 Funções Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.7 Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.7.1 Funções Trigonométricas Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.8 Funções Exponencial e Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.8.1 Funções Exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.8.2 Funções Logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.9 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2 Limites 452.1 Caso I: limx→a f(x) = l com a ∈ R e l ∈ R . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.1.1 Propriedades dos Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.2 Caso II: limx→a f(x) = l com a ∈ R e l = ±∞ . . . . . . . . . . . . . 482.3 Caso III: limx→a f(x) = l com a = ±∞ e l ∈ R∪−∞,+∞ . . . . . 502.4 O limite e = limx→∞

1 + 1

x

x= limx→0 (1 + x)

1x . . . . . . . . . . . . 51

2.5 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.5.1 Propriedades da Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.6 Teorema do Valor Intermediário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3 Derivada 603.1 Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.2 Interpretação Geométrica da Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.3 Derivadas Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

1

3.4 Regras de Derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.5 Derivadas de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.6 Derivadas de Funções Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.7 Derivada da Função Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.8 Derivada da Função Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.8.1 Derivadas das Funções Trigonométricas Inversas . . . . . . . . 703.9 Derivação Implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.10 Intervalos de Crescimento e de Decrescimento . . . . . . . . . . . . . 723.11 Máximos e Mínimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.12 Concavidade e Pontos de Inflexão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.13 Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.14 Teoremas de Rolle e do Valor Médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.14.1 Teorema de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.14.2 Teorema do Valor Médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.15 Problemas de Maximização e Minimização . . . . . . . . . . . . . . . 783.16 Regra de L’Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.16.1 Indeterminações do Tipo 0/0 e ±∞/±∞ . . . . . . . . . . . 793.16.2 Indeterminações do Tipo 0.±∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.16.3 Indeterminações do Tipo ±∞∓∞ . . . . . . . . . . . . . . . 803.16.4 Indeterminações do Tipo 1±∞ , ∞0 e 00 . . . . . . . . . . . . . 80

3.17 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4 Integral 874.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.2 Conceito de Área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.3 A Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.4 Propriedades da Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.5 Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.6 Teorema Fundamental do Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.7 Integral Indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.7.1 Propriedades da Integral Indefinida . . . . . . . . . . . . . . . 934.8 Integrais de Funções Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.9 Integração por Substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.10 Integração por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.11 Integração de Funções Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.12 Cálculo de Área entre Duas Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.13 Comprimento de Arcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.14 Sólidos de Revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.15 Integrais Impróprias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.15.1 Integrais Impróprias em Intervalos Infinitos . . . . . . . . . . . 1064.15.2 Integrais Impróprias em R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084.15.3 Integrais Impróprias em Intervalos Finitos . . . . . . . . . . . 108

4.16 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

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CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DE CÁLCULO I

UNIDADE I — Limites: Definição de Limites; Teoremas sobre Limites; LimitesUnilaterais;Limites no Infinito; Limites

Infinitos; Assíntotas Horizontais e VerticaisUNIDADE II — Continuidade: Definição de Continuidade; Teorema sobre Con-

tinuidade: Soma, Diferença, Produto, Quociente,Composta e o Teorema do Valor Intermediário;UNIDADE III — A Derivada: Reta tangente ao Gráfico da Função; Definição de

Derivada; Relação existenteentreDiferenciabilidade e ContinuidadeUNIDADE IV — Cálculo das Derivadas: Derivadas de somas, Diferenças, Pro-

dutos e Quocientes; Derivadas das Funções Trigonométricas; Derivadas de funçõesCompostas (Regra da Cadeia); Diferenciação Implícita; Derivada da Função Potên-cia para Expoentes Racionais; Derivadas de Ordem Superior.

UNIDADE V — Aplicações da Derivada: Taxas Relacionadas; Valores Máximose Mínimos de uma Função (Absoluto e Relativo); Teorema de Rolle e o Teoremado Valor Médio; Regra de L’Hospital; Funções Crescentes e Decrescentes e o Testeda Derivada Primeira; Teste da Derivada Segunda p/Máximos e Mínimos Relativos;Problemas de Máximos e Mínimos; Concavidade e Ponto de Inflexão; Esboço deGráficos.

UNIDADE VI — Integral Definida:Definição de Integral (Soma de Riemann);Propriedades da Integral Definida; Teorema do valor Médio para Integrais; TeoremaFundamental do Cálculo.

UNIDADE VII — Aplicações da Integral Definida: Áreas; Volume de Sólido deRevolução.

UNIDADE VIII — Função Inversa: Teorema da Função Inversa; As Inversasdas Funções Trigonométricas e suas Derivadas; FunçõesLogarítmicas e Exponencial;Derivada de Função Potência com Expoente Real.

UNIDADE IX — Técnicas de Integração: Integração por Partes; Integração porSubstituição Soluções Trigonométricas; Integração por Fração Parcial

UNIDADE X — Integral Imprópria.

BIBLIOGRAFIA

[1] LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica. 3.ed. Harbra, 2002.vol. 1.

[2] SANTOS, Ângela Rocha dos; BIANCHINI, Waldecir. Aprendendo Cálculocom Maple: Cálculo de Uma

Variável. 1.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2002[3] STEWART, James. Cálculo. 4.ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning,

2002. vol. 1.

AVALIAÇÕES

Prova 1: 11/05/2018Prova 2: 06/07/2018Prova 3: 11/07/2018Prova Final: 13/07/2018

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Capítulo 1

Fundamentos do Cálculo

1.1 Álgebra de Conjuntos

Letras maiúsculas, como por exemplo A, B, ..., Y , Z, representarão conjuntos.A letra grega Ω representará o conjunto universal em uma situação determinada.Letras minúsculas a, b, ..., y, z, indicarão elementos desses conjuntos.

A relação de pertinência será grafada pelo símbolo ∈ e escrevemos, por exemploa ∈ A para indicar que a é membro de A (ou a pertence a A).

O conjunto vazio é representado pelo símbolo ∅.Atenção: é preciso reconhecer que membros de um dado conjunto podem eles

próprios serem conjuntos. Por exemplo, os membros do conjunto 3, 5, ∅, 1, 2 são3, 5, ∅ e 1, 2.

Observação 1 A importância do estabelecimento do conjunto universal se dá namatemática para evitar estruturas de conjuntos paradoxais como a do Paradoxo deRussell. Como é permitido um conjunto pertencer a um outro conjunto, somoslevados a poder responder se um dado conjunto U é ou não membro de um dadoconjunto. Russell faz o seguinte raciocínio: O conjunto de todas as vacas do mundonão é uma vaca e, portanto esse conjunto não pertence a si mesmo. No entanto oconjunto de todos os objetos (animados ou inanimados) que não são vacas é tambémum objeto que não é vaca; logo ele tem a si mesmo como membro. O paradoxo deRussell coloca então a seguinte questão:

Seja S o conjunto de todos os conjuntos que não são membros de si mesmos.Então devemos nos perguntar: S é um membro de si mesmo?

Qualquer que seja a resposta a essa pergunta, ela levará a uma contradição. Poiso conjunto é caracterizado como

S = A : A /∈ A .

(i) Se S ∈ S, então, pela definição de S, S /∈ S, o que nos leva a uma con-tradição!

(ii) Se S /∈ S, então, pela definição de S, S ∈ S, o que nos leva a uma con-tradição!

Num curso avançado de Teoria dos Conjuntos, você verá como evitar esse tipo deparadoxo, trabalhando-se com uma coleção de conjuntos que são todos subconjuntosde um particular conjunto Ω, que não cause problemas.

1

Um conjunto também pode ser descrito por uma propriedade p, comum a todosos seus elementos, e escrevemos

A = x | x tem a propriedade p

Exemplo 1 A = x | x = 2k, k = 1, 2, ... descreve o conjunto dos números in-teiros pares positivos.

Diremos que A ⊂ B (A está contido em B) se todo elemento de A é também umelemento de B, e diremos também que A é subconjunto de B.

Se A ⊂ B mas existe um elemento b ∈ B tal que b /∈ A, (b não pertence a A),diremos que A é um subconjunto próprio de B.

Para mostrar que A não está contido em B, basta exibir um elemento a ∈ A talque a /∈ B.

A relação de inclusão goza de três propriedades fundamentais. Dados quaisquerconjuntos A, B e C, temos:

Reflexividade: A ⊂ A.Antissimetria: Se A ⊂ B e B ⊂ A então A = B.Transitividade: Se A ⊂ B e B ⊂ C então A ⊂ C.A propriedade antissimétrica é muito usada nos raciocínios matemáticos. Quando

se deseja provar que A = B, prova-se que A ⊂ B e B ⊂ A.Por sua vez, a propriedade transitiva da inclusão é a base do que chamamos

de silogismo. Exemplo de silogismo: todo ser humano é um animal, todo animal émortal, logo todo ser humano é mortal. Denominando H o conjunto dos homens, Ao conjunto dos animais e M o conjunto dos seres mortais. Então temos

H ⊂ A e A ⊂M =⇒ H ⊂M .

Proposição 1 ∅ ⊂ A, para qualquer conjunto A.

Definição 1 Dado um conjunto universal Ω, denotaremos o conjunto de todos ossubconjuntos de Ω por P(Ω), chamado conjunto das partes de Ω. Assim

P(Ω) = A : A ⊂ Ω .

Exemplo 2 Eis alguns exemplos de conjuntos das partes de conjuntos dados:(i) P(1, 2, 3) = ∅, 1 , 2 , 3 , 1, 2 , 1, 3 , 2, 3 , 1, 2, 3.(ii) P(∅) = ∅ com P(∅) = ∅.(iii) P(∅) = ∅, ∅.

Definição 2 Dados dois conjuntos A ⊂ Ω e B ⊂ Ω indicaremos por A ∪ B oconjunto dos elementos que pertencem a A ou a B, isto é o conjunto dos elementosque pertencem a pelo menos um dos conjuntos A e B. Este conjunto é chamadounião de A com B.

A ∪B = ω ∈ Ω | ω ∈ A ou ω ∈ B

2

Extensão 1: Seja a coleção de conjuntos A1, A2, ..., An (Ai ⊂ Ω, para todoi = 1, 2, ..., n). Então

n∪i=1

Ai = ω ∈ Ω | ω ∈ A1 ou ω ∈ A2 ... ou ω ∈ An

Extensão 2: Seja a coleção de conjuntos A1, A2, ... (Ai ⊂ Ω, para todo i ∈ N).Então ∞∪

i=1Ai = ω ∈ Ω | ω ∈ Ai para algum i ∈ N

Definição 3 Dados dois conjuntos A e B, definimos o conjunto interseção de Ae B como o conjunto dos elementos que pertencem simultaneamente a A e B, isto é

A ∩B = ω ∈ Ω | ω ∈ A e ω ∈ B

Extensão 1: Seja a coleção de conjuntos A1, A2, ..., An (Ai ⊂ Ω, para todo i =1, 2, ..., n). Então

n∩i=1

Ai = ω ∈ Ω | ω ∈ A1 e ω ∈ A2 ... e ω ∈ An

Extensão 2: Seja a coleção de conjuntos A1, A2, ... (Ai ⊂ Ω, para todo i ∈ N).Então ∞∩

i=1Ai = ω ∈ Ω | ω ∈ Ai para todo i ∈ N

Definição 4 Dados dois conjuntos A e B, diz-se que eles são disjuntos, se nãotêm elementos comuns, isto é, se A ∩ B = ∅. Por extensão, dada uma coleção deconjuntos A1, ..., An, dizemos que eles são (mutuamente) disjuntos, ou disjuntos

dois a dois, se Ai ∩ Aj = ∅, para todo i = j.

Definição 5 Dado um conjunto A, definimos o conjunto complementar de A oconjunto dos elementos de Ω que não pertencem a A. Simbolicamente

Ac = ω ∈ Ω | ω /∈ A

Definição 6 Dados dois conjuntos A e B, define-se o conjunto diferença de A eB como o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B, isto é

A−B = ω ∈ Ω | ω ∈ A e ω /∈ B

Observe que A−B = A ∩Bc.

A proposição seguinte lista as propriedades mais importantes que relacionam osconceitos definidos anteriormente.

Proposição 2 Dado um conjunto universal Ω e conjuntos A, B e C, os seguintesitens se verificam:

(i) Para todo conjunto A ⊂ Ω, A ∪ ∅ = A, A ∩ ∅ = ∅.(ii) A ⊂ B se e somente se A ∪B = B.(iii) A ⊂ B se e somente se A ∩B = A.(iv) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C.

3

(v) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C.(vi) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C).(vii) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C).(viii) A ∪ Ac = Ω, A ∩ Ac = ∅, ∅c = Ω, Ωc = ∅.(ix) (Ac)c = A.(x) A ⊂ B se e somente se Bc ⊂ Ac.

(xi) (A ∪B)c = Ac ∩Bc,n∪i=1

Aic=n∩i=1

Aci

e∞∪i=1

Aic=∞∩i=1

Aci

.

(xii) (A ∩B)c = Ac ∪Bc,n∩i=1

Ai

c=n∪i=1

Aci

e∞∩i=1

Ai

c= ∞∪i=1

Aci

.

1.2 Números Reais

Nesse curso nosso conjunto universal de trabalho será o conjunto dos números reais.Porém antes de exibi-lo, definiremos outros subconjuntos dos reais que serão impor-tantes no cálculo.

Números Naturais

O conjunto dos números naturais ou inteiros positivos N será representado por

N = 1, 2, 3, ... .

Números Inteiros

Os números −1, −2, −3,... são chamados inteiros negativos. A união do conjuntodos naturais com os inteiros negativos e o elemento neutro da adição 0 define oconjunto dos números inteiros denotado por Z:

Z = N∪0∪ −n : n ∈ N= ...,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, ...

Observação 2 No conjunto Z, distinguimos três subconjuntos notáveis:

Z+ = N∪0 = 0, 1, 2, 3, ... (conjunto dos inteiros não-negativos)

Z∗+ = N = 1, 2, 3, ... (conjunto dos inteiros positivos)

Z− = 0,−1,−2,−3, ... (conjunto dos inteiros não-positivos)

Z∗− = −1,−2,−3, ... (conjunto dos inteiros negativos)

Z∗ = ...,−3,−2,−1, 1, 2, 3, ... (conjunto dos inteiros não-nulos)

Além disso, vemos claramente que N ⊂ Z.

Números Racionais

O conjunto dos números racionais consiste de todas as frações (ou razões) de in-teiros. Assim, denominando Q o conjunto dos números racionais, temos

Q =ab: a ∈ Z e b ∈ Z∗

.

4

Observação 3 Observe que enquanto os números naturais e inteiros possuem umaúnica representação em N e Z, respectivamente, um número racional admite infinitasrepresentações. Por exemplo,

1

3=2

6=10

30= ...

Observação 4 Observe que, tomando b = 1 na definição de Q acima, obtemos oconjunto dos números inteiros. Assim todo número inteiro é também um númeroracional, embora a recíproca não seja sempre verdadeira. Com isso temos N ⊂ Z ⊂ Q.

Observação 5

Q+ =ab: a ∈ Z+ e b ∈ Z∗+

(conjunto dos racionais não-negativos)

Q− =ab: a ∈ Z− e b ∈ Z∗+

(conjunto dos racionais não-positivos)

Q∗ =ab: a, b ∈ Z∗

(conjunto dos racionais não-nulos)

As operações são assim definidas:Adição. Associa os números m

n, pq∈ Q à soma m

n+ p

q.

+ : Q×Q −→ Qmn, pq

−→ m

n+ p

q:= mq+np

nq

Multiplicação. Associa os números m,n ∈ N ao produto m.n.

· : Q×Q −→ Qmn, pq

−→ m

n· pq:= mp

nq

Para todo a ∈ Q∗ existe um único número denominado inverso de a e denotadopor 1

aou a−1, tal que

a.a−1 = 1.

Assim, se a = mn, deveremos ter a−1 = n

m.

Representação Decimal de Números Racionais O sistema decimal nos per-mite representar todos os números inteiros usando apenas os 10 dígitos 0, 1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8 e 9. Podemos também representar os números racionais em sua formadecimal nos valendo também desses dígitos.

Definição 7 Um número decimal é uma expressão da forma

±a0, a1a2a3...

com a0 ∈ Z+ e ai ∈ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ∀i ∈ N.

5

Observação 6 Se existe um número natural n, tal que ai = 0, ∀i > n, então onúmero decimal é dito finito e podemos omitir a cauda de zeros, de maneira que

±a0, a1a2a3...an = ±a0 +

a110+

a2102

+a3103

+ ...+an10n

Portanto toda representação decimal finita corresponde um número racional.Entretanto, há números racionais cuja representação decimal não é finita. Por

exemplo, 13= 0, 333... e 19

22= 0, 8636363...

Números decimais com representação infinita e com dígitos recorrentes são sem-pre racionais.

Portanto um número é racional, se e somente se sua representação é finita ouinfinita recorrente.

Observação 7 Em geral, utiliza-se uma notação especial para a caracterização dosblocos de dígitos recorrentes. Assim o número 19

22= 0, 8636363... é também expresso

como 1922= 0, 863.

Exemplo 3 Encontre as frações dos números racionais a seguir expressos na suaforma decimal:

(a) 0, 231(b) 2, 281

A representação decimal de números racionais tem a vantagem de nos permitiravaliar de forma imediata qual de dois números racionais é o maior, bastando paraisso examinar suas representações decimais e observar o primeiro lugar em que osdígitos diferem. Por exemplo, 19

22< 7

8, pois 19

22= 0, 8636363... e 7

8= 0, 875.

Atenção: Decimais que terminam com o dígito 9 de forma recorrente são rep-resentações alternativas para decimais finitos. Por exemplo:

1 = 0, 9 = 0, 999...

1, 35 = 1, 349 = 1, 34999...

Os alunos certamente estranham esse fato, mas importante conscientizá-los deque isso é uma questão de convenção. Se desejamos que o número decimal 0, 999...seja representado pelo número racional x, então x tem que ser menor ou igual a 1 emaior do que cada um dos números 0, 9; 0, 99; 0, 999; ... O único racional com essaspropriedades é 1.

Divisão em Q

Definição 8 Dados dois números a =m

ne b =

p

qem Q, com a = 0, definimos a

divisão de b por a, representada porb

a, como o número c em Q, tal que

b = a.c.

O número c é chamado de quociente da divisão de b por a e é dado por

c =b

a=

p/q

m/n=

p

q× n

m.

6

Números Irracionais

Um número x é dito irracional se não for racional, isto é, se x não pode ser repre-sentado por nenhuma fração p

qcom p ∈ Z e q ∈ Z∗.

Observação 8 Denominando por I o conjunto dos número irracionais, vemos queQ ∩ I = ∅.

Observação 9 É importante ter em mente que todo número irracional admite umarepresentação decimal. No entanto essa representação decimal é sempre infinita esem nenhum padrão de recorrência de dígitos. Temos assim o seguinte esquema:

decimal recorrente ⇐⇒ número racional

decimal não-recorrente ⇐⇒ número irracional

Números Reais

Um número x é dito real se x ∈ Q ou x ∈ I, ou seja, x ∈ Q ∪ I. O conjunto dosnúmeros reais é denotado por R. Assim, R = Q ∪ I.

No conjunto dos números reais introduzimos duas operações, chamadas adição emultiplicação, que satisfazem a certas condições, chamadas de axiomas.

A adição faz corresponder a cada par de elementos x, y ∈ R sua soma x+ y ∈ R,enquanto a multiplicação associa a esses elementos o seu produto x · y ∈ R.

Usa-se a notação (R,+, ·) para indicar que R é um corpo munido das operações+ e ·.

Os axiomas de corpo são os seguintes:

(A) Axiomas da Adição

(A1) O corpo R é fechado em relação à adição, isto é,

se x ∈ R e y ∈ R então a soma x+ y ∈ R.

(A2) A adição é comutativa, isto é, para todo x ∈ R e y ∈ R temos

x+ y = y + x.

(A3) A adição é associativa, isto é, para todo x, y, z ∈ R temos

(x+ y) + z = x+ (y + z).

(A4) A adição possui elemento neutro aditivo, designado por 0, tal que paratodo x ∈ R

0 + x = x+ 0 = x.

(A5) Todo número x ∈ R admite um elemento simétrico (ou inverso aditivo)denotado por −x também em R, tal que

7

x+ (−x) = (−x) + x = 0.

Observação 10 Observe também que

−0 = (−0) + 0 = 0,

e que subtrair y de x equivale a adicionar −y a x, isto é,

x+ (−y) = x− y.

Observação 11 Observe também, que −(−x) = x, já que (−x)+x = 0, e, portanto,x é o simétrico de −x.

Observação 12 Finalmente, vale a lei do corte: se x+ z = y+ z então x = y, poisbasta somar a ambos os membros da primeira igualdade pelo simétrico de z.

(M) Axiomas da Multiplicação

(M1) O corpo R é fechado em relação à multiplicação, isto é,

se x ∈ R e y ∈ R então a multiplicação x · y ∈ R.

(M2) A multiplicação é comutativa, isto é, para todo x ∈ R e y ∈ R temos

x · y = y · x.

(M3) A multiplicação é associativa, isto é, para todo x ∈ R e y ∈ R temos

(x · y) · z = x · (y · z).

(M4) A multiplicação possui elemento neutro multiplicativo, designado por1, tal que para todo x ∈ R

1 · x = x · 1 = x.

(M5) Todo número x ∈ R∗ admite um elemento inverso (ou inverso multi-plicativo) denotado por x−1 (ou 1/x ou 1

x) também em R, tal que

x · x−1 = x−1 · x = 1.

Observação 13 Dados x e y em R, com y = 0, escreve-se tambémx

yem vez de

x · y−1. A operação (x, y) → x

y, definida para todo x ∈ R e todo y ∈ R∗, chama-se

divisão e o resultado x/y é o quociente de x por y. Não há divisão por zero. Assimx/0 não tem sentido, pois o zero não possui inverso multiplicativo.

8

Observação 14 Usamos a notação xn com n natural para significar o produto dex consigo mesmo em n fatores (com x0 = 1, se x = 0). Assim, por exemplo,x3 = x · x · x. Naturalmente também se prova que para todo m e n naturais

(i) xn · xm = xn+m

(ii) (xn)m = xmn

(iii) xn/xm = xn−m

(iv) (xy)n = xnyn

(v) Se x > 1 e m < n, então xm < xn

(vi) Se 0 < x < 1 e m < n, então xm > xn

Observação 15 Da mesma maneira, denotamos x−n com n natural como o produtode x−1 consigo mesmo em n fatores. Assim, por exemplo, x−3 = x−1 · x−1 · x−1 =1x· 1x· 1x= (1/x)3. Naturalmente também se prova que x−n · x−m = x−(n+m), para

todo m e n naturais.

Observação 16 Para m e n números naturais, entende-se x1/n = n√x, xm/n =

n√xm e x−m/n =

1n√xm

. Assim, para x > 0 e y > 0 dois reais e m e n naturais,

temos as seguintes propriedades das raízes:(i) n√x n√y = n

√xy

(ii) n√xm = np

√xmp

(iii) n

m√x = mn

√a

(iv) x < y ⇐⇒ n√x < n

√y

Observação 17 Se y = 0, tem-se quex

y= z se e somente se x = y · z. Daí se

deduz a utilíssima lei do corte: se x · z = y · z, então x = y, desde que z = 0.Observe também que, como 1 = x · x−1 = x−1 · x, temos que x é o inverso

multiplicativo do inverso multiplicativo, ou seja, x = (x−1)−1 ou equivalentementex = 1/ (1/x), para todo x ∈ R∗.

Por fim, as operações de adição e multiplicação num corpo R se relacionam peloúltimo axioma, que completa a definição de corpo.

(AM) Axioma da Distributividade

(AM1) O produto é distributivo relativamente à adição, isto é, para todox, y, z ∈ R

x · (y + z) = x · y + x · z e (y + z) · x = y · x+ z · y.

Observação 18 Um conjunto K tendo apenas os axiomas A1, A2, A3, A4 e A5

é denominado um grupo comutativo.

Observação 19 Um conjunto K tendo todos os axiomas anteriores, excluindo-seM2 e M5, é denominado um anel.

Por exemplo, o conjunto Z dos números inteiros forma um anel relativamente àadição e à multiplicação usuais.

9

Observação 20 Sejam x, y ∈ R. Então os seguintes resultados se verificam:(i) 0 · x = 0.(ii) Se x · y = 0, então x = 0 ou y = 0.(iii) (−x) · y = − (x · y) = x · (−y).(iv) (−x) · (−y) = x · y.(v) Se x2 = y2, temos que x = ±y.

Exemplo 4 Simplifique as expressões abaixo:

(a)2

3

1

2+3

5

(b) (−3)4 :−23

−2+

1

8

−2/3· (0, 444...)−1

Produtos Notáveis e Resultados Importantes Os seguintes produtos notáveisse verificam envolvendo números reais:

• (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2

• (a− b)2 = a2 − 2ab+ b2

• (a+ b) (a− b) = a2 − b2

• (a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3

• (a− b)3 = a3 − 3a2b+ 3ab2 − b3

• an − bn = (a− b) (an−1 + an−2b+ an−3b2 + ...+ a2bn−3 + abn−2 + bn−1)

• (x− a) (x− b) = x2 − (a+ b)x+ ab

• (x− a) (x− b) (x− c) = x3 − (a+ b+ c) x2 + (ab+ ac+ bc)x− abc

• (a1 + a2 + ...+ an)2 =n

i=1 a2i + 2

ni<j aiaj

Exemplo 5 Simplifique ao máximo as expressões abaixo:

(a)2x2 − x− 1

x2 − 9 · x+ 32x+ 1

;

(b)8x4 + 16x− 21− 2x3 − x2

2x2 − 3 + x.

Exemplo 6 Mostre que x− y =3√x− 3

√y

3√x2 + 3

√xy + 3

y2.

10

Desigualdades em R No conjunto dos números reais existe um subconjunto de-nominado de números positivos tal que:

(i) a soma de dois números positivos é postiva;(ii) o produto de dois números positivos é positivo.O conjunto dos números reais R atende às seguintes propriedades referente às

relações de ordem < (menor do que), > (maior do que), ≤ (menor ou igual que), ≥(maior ou igual que):

• a < b⇔ b− a é positivo, isto é, b− a > 0;

• a > b⇔ a− b é positivo, isto é, a− b > 0;

• a ≤ b⇔ a < b ou a = b;

• a ≥ b⇔ a > b ou a = b;

• Transitividade: se a < b e b < c, então a < c;

• Tricotomia: dados a, b ∈ R, exatamente uma das alternativas se verifica :a = b,ou a < b, ou a > b;

• Monotonicidade da Adição: se a < b, então a+ c < b+ c, ∀c ∈ R;

• Monotonicidade da Multiplicação: se a < b, então a · c < b · c quando c > 0 ea · c > b · c quando c < 0;

• Reflexiva: a ≤ a, ∀a ∈ R;

• Antissimétrica: se a ≤ b e b ≤ a, então a = b;

• Transitiva: se a ≤ b e b ≤ c, então a ≤ c;

• Tricotomia: ∀a, b ∈ R, temos a ≤ b ou b ≤ a.

Intervalos Intervalos são conjuntos infinitos de números reais como segue:

• Intervalo aberto: x ∈ R : a < x < b = (a, b) = ]a, b[

• Intervalo fechado: x ∈ R : a ≤ x ≤ b = [a, b]

• Intervalo fechado à direita e aberto à esquerda: x ∈ R : a < x ≤ b = (a, b] =]a, b]

• Intervalo aberto à direita e fechado à esquerda: x ∈ R : a ≤ x < b = [a, b) =[a, b[

• Intervalos infinitos:

(i) x ∈ R : x > a = (a,+∞) = ]a,+∞[(ii) x ∈ R : x ≥ a = [a,+∞) = [a,+∞[(iii) x ∈ R : x < b = (−∞, b) = ]−∞, b[

(iv) x ∈ R : x ≤ b = (−∞, b] = ]−∞, b]

11

Exemplo 7 Represente em notação intervalar os seguintes subconjuntos da retareal:

(a)∞∪n=1

An, com An =1n, 3− 1

n

para todo n ∈ N.

(b)∞∩n=1

An, com An = (− 1n, 3 + 1

n) para todo n ∈ N.

(c)∞∪n=1

An, com An = [n− 1, n] para todo n ∈ N.

Módulo ou Valor Absoluto A relação de ordem em R nos permite definir ovalor absoluto, ou módulo, de um número x ∈ R. A noção de valor absoluto é demuita importância no Cálculo. Por isso, é preciso ter em mente algumas de suaspropriedades e a sua definição.

O módulo ou valor absoluto de um número x ∈ R é definido como

|x| =

x, se x ≥ 0−x, se x < 0

Observação 21 Outras maneiras de se definir o módulo de um número x ∈ K são

|x| = max x,−x

ou|x| =

√x2.

Exemplo 8 |3| = 3 e |−π| = π.

Observação 22 Observe, a partir da definição de módulo, que |x| ≥ 0, para todox ∈ R.

Observação 23 Sejam x, y ∈ R. Definimos a distância de x a y, como

d (x, y) = |x− y| .

Pode-se mostrar os seguintes resultados referentes ao módulo de um número real:(i) |x| = 0 se e somente se x = 0.(ii) |−x| = |x|, para todo x ∈ R.(iii) |x · y| = |x| · |y|, para todo x, y ∈ R.(iv) |y−1| = |y|−1 e

xy = |x|

|y| , para todo x, y ∈ R e y = 0.(v) Se a ≥ 0, então |x| ≤ a se e somente se −a ≤ x ≤ a.(vi) − |x| ≤ x ≤ |x|, para todo x ∈ R.(vii) Para todo x, y ∈ R, temos |x+ y| ≤ |x|+ |y|.(viii) |x| − |y| ≤ ||x| − |y|| ≤ |x− y|.(ix) |x− y| ≤ |x|+ |y|.(x) |x− y| ≤ |x− z|+ |z − y|.(xi) Para quaisquer x1, x2, ..., xn ∈ R, temos

|x1 + x2 + ...+ xn| ≤ |x1|+ |x2|+ ...+ |xn| .

12

Equações e Inequações de Primeiro e Segundo Grau

Proposição 3 Uma equação da forma ax + b = 0 é dita de primeiro grau, e sua

solução é dada por x = − b

a.

Proposição 4 Uma equação da forma ax2 + bx + c = 0 é dita de segundo grau, e

sua solução é dada por x =−b±

√∆

2a, com ∆ = b2 − 4ac.

(i) Se ∆ = 0, então a equação admite apenas uma solução dada por x =−b2a

.

(ii) Se ∆ < 0, então a equação não admite solução real.(iii) Se ∆ > 0, então a equação não admite duas soluções reais, a saber, x1 =

−b−√∆

2ae x2 =

−b+√∆

2a.

Exemplo 9 Determine a solução da equação −2(2x− 1)− 5x+ 2 = 1− 7x.

Exemplo 10 Determine a solução da equação (x+ 6) (x+ 1) = 1.

Exemplo 11 Determine a solução da equação 3 |x− 4| = 2.

Exemplo 12 Determine a solução da equação 3 |x− 4| − |x+ 2| = −2.

Inequações de primeiro e segundo graus são aquelas que envolvem desigualdadesnas expressões e devem ser resolvidas com cautela a partir dos axiomas e pro-priedades de números reais. Vejamos por meio de exemplos os procedimentos desolução.

Exemplo 13 Determine o conjunto A = x ∈ R : 2x2 + x > 6.

Exemplo 14 Determine o conjunto B =

x ∈ R : 1

x≥ 1

x+ 2

.

Exemplo 15 Determine o conjunto C =

x ∈ R :

x+ 2

2x− 3

< 4

Exemplo 16 Determine o conjunto D = x ∈ R : 2x− 3 |x| ≥ 4.

1.3 Produto Cartesiano

Definição 9 Dados dois conjuntos A e B, chamaremos de produto cartesiano deA por B o conjunto de pares ordenados (a, b) onde a é um elemento de A e b é umelemento de B. Simbolicamente

A×B = (a, b) | a ∈ A, b ∈ B

Extensão 1: Dados n conjuntos A1, A2, ..., An, o produto cartesianon

i=1

Ai := A1× A2 × ... × An é definido como o conjunto das n-uplas (a1, a2, ..., an),

onde ai ∈ Ai, para i = 1, ..., n.

13

Extensão 2: Dada uma sequência de conjuntos A1, A2, ..., o produto cartesiano∞

i=1

Ai = A1× A2 × ... é definido como o conjunto das ∞-uplas (a1, a2, ..., ) (ou das

sequências an, n ≥ 1) onde ai ∈ Ai, para todo i ∈ N.Exemplo 17 Se A = 1, 2 e B = 1, 2, 3, temos

A×B = (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3)Observação 24 (i) Observe que, em geral, A×B = B × A.

(ii) Quando A = B, representamos A×B por A2.(iii) Podemos observar que A×B = ∅, se e somente se A = ∅ ou B = ∅.

1.4 O Plano Cartesiano

O plano cartesiano, em geral denotado por R2, é o conjunto dos pares P = (x, y)de reais, x e y, chamados respectivamente de abscissa (ou primeira coordenada) eordenada (ou segunda coordenada).

O conjunto dos pontos cuja primeira coordenada é nula, isto é, o conjunto dospontos da forma P = (0, y), é chamado de eixo y, ou eixo das ordenadas. O conjuntodos pontos cuja segunda coordenada é nula, isto é, o conjunto dos pontos da formaP = (x, 0), é chamado de eixo x, ou eixo das abscissas. Os eixos x e y formam duasretas perpendiculares, e dividem o plano em quatro quadrantes:

Mais explicitamente, em termos das coordenadas, temos:

14

• Primeiro Quadrante: (x, y) : x ≥ 0 e y ≥ 0• Segundo Quadrante: (x, y) : x ≤ 0 e y ≥ 0• Terceiro Quadrante: (x, y) : x ≤ 0 e y ≤ 0• Quarto Quadrante: (x, y) : x ≥ 0 e y ≤ 0Se P = (x, y) e Q = (x′, y′), a distância Cartesiana entre P e Q é calculada

usando o Teorema de Pitágoras, ou seja, d(P,Q) =(x− x′)2 + (y − y′)2.

1.4.1 Retas

Uma reta vertical é o conjunto formado pelos pontos (x, y) cuja primeira coordenadax é igual a um número fixo a ∈ R; a sua equação se escreve x = a.

Por outro lado, uma reta horizontal é o conjunto formado pelos pontos (x, y)cuja segunda coordenada y é igual a um número fixo b ∈ R; a sua equação se escrevey = b.

15

As retas horizontais e verticais são descritas por somente um parâmetro (o “a”para uma reta vertical, ou o “b” para uma reta horizontal). Para as outras retas doplano, que não ficam necessariamente paralelas a um dos eixos, é preciso usar doisparâmetros, m e h, chamados respectivamente inclinação (ou coeficiente angular)e ordenada na origem (ou intercepto), para especificar a dependência entre x e y:

O significado da inclinação m deve ser entendido da seguinte maneira: partindode um ponto qualquer da reta, ao andar horizontalmente uma distância L para adireita, o deslocamento vertical da reta é de mL. Seja, por exemplo uma reta deinclinação 1/2. Observe que todos os triângulos da figura abaixo são semelhantes,

Observação 25 Se a inclinação é negativa, então o deslocamento vertical é parabaixo.

Observação 26 Se P = (x1, y1) e Q = (x2, y2) são dois pontos de uma reta nãovertical de inclinação m, então temos

m =y2 − y1x2 − x1

.

Essa relação pode ser usada para calcular a inclinação de uma reta.

Exemplo 18 Obtenha a equação da reta r que passa pelos pontos P = (−1, 3) eQ = (3, 0). Ache os valores de x e y para que os pontos R = (x, 100) e T = (6, y)pertençam a r.

16

Exemplo 19 Faça um esboço, no plano cartesiano, da reta descrita pela equaçãodada.

(a) x = 4(b) y = −3/2(c) x+ 2y = 0(d) y = 2x− 3

Exemplo 20 Represente geometricamente os pontos do plano que satisfazem a:(a) x+ 2y = 4(b) y ≥ |x|(c) x+ 2y ≤ 4

Observação 27 Duas retas r e s são paralelas se e somente se têm o mesmo coe-ficiente angular.

Observação 28 Duas retas r e s, de coeficientes angulares mr e ms são perpendic-

ulares se e somente se mr = −1

ms.

Exemplo 21 Caracterize a equação da reta s, paralela a r, e a equação da reta tperpendicular a r, que passa pelo ponto P .

(a) r : y = 5x+ 2, P = (−1, 5).(b) r : 4x− 3y + 6 = 0, P = (3,−5).

1.4.2 Circunferências

Considere a circunferência γ de centro C = (1, 2) e de raio r = 2 conforme a figuraabaixo:

Por definição, γ é definido pelo conjunto dos pontos P cuja distância euclidianaa C é igual a 2: d(P,C) = 2. Isso significa que as coordenadas (x, y) de P estãoassociadas pela seguinte expressão:

(x− 1)2 + (y − 2)2 = 2.

17

Assim γ é descrito pela seguinte equação:

(x− 1)2 + (y − 2)2 = 4.

Em geral, uma circunferência de raio r > 0 centrada em C = (x0, y0) é descritapela equação

(x− x0)2 + (y − y0)

2 = r2.

Exemplo 22 Obtenha o raio e o centro da circunferência descrita pela sua equaçãogenérica

x2 + y2 + 6x− 8y = 0.

Exemplo 23 Represente geometricamente os pontos do plano que satisfazem a x2+y2 = 2x.

1.4.3 Trigonometria

A trigonometria estabelece relações precisas entre os ângulos e os lados de um triân-gulo.

Definiremos as medidas trigonométricas elementares, sen (seno), cos (cosseno),tg (tangente), cotg (cotangente), sec (secante) e cossec (cossecante) e daremos assuas propriedades básicas.

Medidas de ângulos no plano

Para começar, é importante escolher uma unidade (como “metros” para compri-mentos, ou “litros” para volumes) para medir um ângulo determinado pela aberturaentre duas retas.

Descreveremos as duas unidades mais usadas, graus e radianos.Os ângulos serão medidos a partir de uma reta horizontal, em sentido antihorário.

A abertura mínima, naturalmente, é definida como valendo zero, qualquer que sejaa unidade. O que precisa ser definido é o valor do ângulo total. Se o ângulo formedido em graus, esse ângulo total é definido como valendo 360 graus:

Uma vez que o ângulo total foi fixado, a medição dos outros se faz proporcional-mente: a metade do ângulo total vale 180 graus, o ângulo reto mede 90 graus, etc. Avantagem dessa unidade é que vários ângulos bastante usados em geometria tomamvalores inteiros: 30, 60, 90, 180, 270, etc.

18

Observação 29 Observe que apesar da posição do ângulo total coincidir com oângulo nulo, eles devem ser considerados como distintos.

Fixar o ângulo total como sendo igual a 360 pode parecer arbitrário, e um jeitomais natural de definir o ângulo total é de usar a noção de comprimento usualna reta. De fato, considere o círculo de raio 1 centrado na origem e, partindo doponto (1, 0) (que corresponde a um ângulo de 0), ande ao longo do círculo no sentidoantihorário. Quando tiver percorrido uma distância igual ao raio do círculo, o ângulocorrespondente é definido como sendo de 1 (um) radiano:

Observação 30 Observe que o ângulo total corresponde à circunferência raio 1:2π.

Observação 31 Nesse curso, os ângulos serão medidos geralmente em radianos.Se a medida de um ângulo em graus é αg e em radianos é αr, a conversão se faz daseguinte maneira: como o ângulo total mede 360 graus e 2π radianos, temos

360

2π=

αgαr

.

Assim, temosαg =

αrπ× 180 e αr =

αg180

× π.

Assim, verifica-se por exemplo que um ângulo de 90 graus corresponde a αr =90180× π = π

2radianos.

Observação 32 Um ângulo negativo será interpretado como medido no sentidohorário:

19

Seno, cosseno e tangente

Para poder definir as ligações entre os ângulos e os lados de um triângulo, é necessáriofazer umas simplificações. Trabalharemos com um triângulo retângulo, isto é, quepossui um

ângulo reto. Considere então o seguinte triângulo ABC, retângulo em C:

Com respeito ao ângulo α, b é chamado de cateto adjacente, a de catetooposto, e c de hipotenusa.

Se dois lados forem conhecidos, o terceiro pode ser calculado usando o Teo-rema de Pitágoras, e o valor do ângulo α é determinado. Como qualquer triângulosemelhante a ABC tem os mesmos ângulos, α é determinado uma vez que um dosquocientes a/c, b/c, ou a/b for conhecido. A ligação entre e esses quocientes échamada respectivamente seno, cosseno e tangente de α, e denotada por

sen α =a

c, cosα =

b

ce tg α =

senαcosα

=a

b.

Faremos agora uma generalização, que permitirá enxergar melhor os três númerossenα, cosα e tgα, e que será também útil para considerá-las como funções de umavariável real.

Para tanto, usaremos um triângulo cuja hipotenusa é de tamanho c = 1. Isto é, oponto B do triângulo da figura acima é posicionado no círculo de raio 1 centrado naorigem, chamado círculo trigonométrico. As funções trigonométricas podem entãoser medidas efetivamente olhando para os comprimentos da seguinte figura:

20

Observe como senα, cosα e tgα mudam à medida que B se movimenta ao longodo círculo trigonométrico. Em particular, B pode dar uma volta completa no círculo,o que permite estender as funções trigonométricas a qualquer ângulo 0 < α < 2π, etambém para valores maiores ou até negativos. Os sinais das funções trigonométricasmudam dependendo do quadrante ao qual B pertence:

• Primeiro Quadrante: sen α ≥ 0, cosα ≥ 0 e tg α ≥ 0

• Segundo Quadrante: sen α ≥ 0, cosα ≤ 0 e tg α ≤ 0

• Terceiro Quadrante: sen α ≤ 0, cosα ≤ 0 e tg α ≥ 0

• Quarto Quadrante: sen α ≤ 0, cosα ≥ 0 e tg α ≤ 0

Observação 33 Observe pelo círculo trigonométrico que

sen2α+ cos2 α = 1.

Observação 34 Várias propriedades podem ser obtidas a partir do círculo trigonométrico.Por exemplo, observe que α e −α têm o mesmo cosseno, mas que ao transformar αem −α, o seno muda de sinal. Portanto,

cos(−α) = cosα

sen(−α) = −sen α

tg(−α) = −tg α

Outras medidas importantes de ângulos são dadas pela cotangente (cotg), sec(secante) e cossecante (cossec), definidas como

cotg α =cosα

sen α=

1

tg α, secα =

1

cosαe cossec α =

1

sen α.

Observação 35 Verifique também as seguintes equivalências:(i) cos(π − α) = − cosα, sen(π − α) = sen α, tg(π − α) = −tg α;(ii) cos(π + α) = − cosα, sen(π + α) = −sen α, tg(π + α) = tg α;(iii) cos(π

2− α) = sen α, sen(π

2− α) = cosα, tg(π

2− α) = cotg α;

(iv) cos(π2+ α) = −sen α, sen(π

2+ α) = cosα, tg(π

2+ α) = −cotg α.

Para os ângulos θ, múltiplos de 30 e 45 graus temos a seguinte tabela:

21

Exemplo 24 Calcule:(a) tg(π

3)

(b) sen7π6

(c) sec5π3

Identidades Trigonométricas Para o desenvolvimento adequado de nosso cursonecessitaremos futuramente das seguintes identidades trigonométricas:

sen(α+ β) = sen α. cosβ + sen β. cosα

sen(α− β) = sen α. cosβ − sen β. cosα

cos(α+ β) = cosα. cosβ − sen β.sen α

cos(α− β) = cosα. cosβ + sen β.sen α

tg(α+ β) =tg α+ tg β

1− tg α.tg β

tg(α− β) =tg α− tg β

1− tg α.tg β

Exemplo 25 A partir das identidades acima, mostre os seguintes resultados:(a) sen(2α) = 2sen α. cosα;(b) cos(2α) = cos2 α− sen2α = 2 cos2 α− 1 = 1− 2sen2α;(c) cos2 α =

1 + cos(2α)

2;

(d) sen2α =1− cos(2α)

2;

(e) cosα. cosβ = 12[cos(α+ β) + cos(α− β)];

(f) sen α. cos β = 12[sen(α+ β) + sen(α− β)];

(g) sen α.sen β = 12[cos(α− β)− cos(α+ β)]

(h) tg(α2) =

sen α

1 + cosα.

(i) tg2x+ 1 = sec2 x

Exemplo 26 Calcule sen (x+ y), com sen x = 13, sec y = 5

4, e x e y se situam no

primeiro quadrante.

Exemplo 27 Resolva as equações abaixo:(a) cos x = 0(b) sen x− cosx = 0(c) sen2x+ 3

2sen x = 1

(d) sen (2x) = sen x

(e) |cosx| < 1√2

1.4.4 Logaritmos

Os logaritmos foram introduzidos no século XVII pelo matemático escocês JohnNapier (1550 - 1617) e pelo matemático inglês Henry Briggs (1561 - 1630) para aexecução de complexos cálculos aritméticos.

22

O logaritmo de um número real x > 0 na base b (real positivo e diferente de 1)é dito ser a se ba = x, ou seja,

logb x = a⇐⇒ x = ba.

Exemplo 28 Calcule:(a) log2 16(b) log1/5 25(c) log2 1/8

Observação 36 Quando a base b é 10, então usamos simplesmente a notação log x,e quando a base b é o número de Euler e ∼= 2, 718, então usamos a notação ln x.

Propriedades dos Logaritmos

(P1) logb (x.y) = logb x+ logb y(P2) logb (x/y) = logb x− logb y(P3) logb x

α = α logb x

(P4) logb x =logc x

logc b(mudança de base)

(P5) blogb x = x

Exemplo 29 Resolva as equações exponenciais abaixo, usando uma calculadora oucomputador:

(a) 2x = 5. (3x)(b) 22x−5 = 7(c) 6.e3x = 8, 94

1.5 Relações

Definição 10 Sejam A e B dois conjuntos. Uma relação entre A e B é um sub-conjunto R de A × B. Dizemos que x ∈ A e y ∈ B estão relacionados por R, se(x, y) ∈ R, e denotamos em geral por “xRy”.

Observação 37 Se B = A, então falamos de uma relação R ⊂ A × A, como umarelação sobre A, simplesmente.

Definição 11 Sejam A e B dois conjuntos e seja R = (x, y) : xRy ⊂ A × Buma relação. Definimos como domínio e imagem da relação R respectivamente,Dom (R) e Im (R), as projeções sobre a primeira e segunda coordenadas, isto é,

Dom (R) = x ∈ A : ∃y ∈ B, xRy ,

Im (R) = y ∈ B : ∃x ∈ A, xRy

Observação 38 Naturalmente, a partir das definições de domínio e imagem, temos:

Dom (R) ⊂ A e Im (R) ⊂ B.

23

Exemplo 30 Sejam A = 1, 2, 3 e B = 2, 3, 4 e seja

R =

(x, y) ∈ A×B : x <

y + 1

2

.

(a) Obtenha R.(b) Obtenha Dom (R), o domínio da relação.(c) Obtenha Im (R), a imagem da relação.

Exemplo 31 Sejam A = 1, 2, 3, ... e

R = (x, y) ∈ A×A : 2x− 1 < y .

(a) Represente graficamente a relação R.(b) Obtenha Dom (R), o domínio da relação.(c) Obtenha Im (R), a imagem da relação.

1.6 Funções

Definição 12 Sejam A e B dois conjuntos. Uma função entre A e B é umarelação não-vazia f ⊂ A × B tal que, se (a, b) ∈ f e (a, b′) ∈ f , então b = b′. Odomínio de f , denotado por D (f), é o conjunto de todos os primeiros elementosdos membros de f . A imagem de f , denotada por Im (f), é o conjunto de todos ossegundos elementos dos membros de f . Simbolicamente, temos

D (f) = a ∈ A : ∃b ∈ B com (a, b) ∈ f

Im (f) = b ∈ B : ∃a ∈ A com (a, b) ∈ fO conjunto B é denominado contradomínio de f.Se D (f) = A, dizemos que uma função f é uma função de A para B,ou de

A em B, e escrevemosf : A→ B.

Observação 39 Se (x, y) ∈ f , dizemos frequentemente que y é a imagem de x sobf , e escrevemos

y = f(x)

ao invés de (x, y) ∈ f .Essa estrutura é familiar quando f é descrita por uma fórmula, mas se aplica a

qualquer estrutura funcional geral em que não haja uma fórmula fechada e algébrica.Assim, dizer que a função f : R→ R é definida pela fórmula f(x) = x3−2 significa

f =(x, y) : y = x3 − 2 com x ∈ R

ouf =(x, f (x)) : f (x) = x3 − 2 com x ∈ R

ouf =

x, x3 − 2: x ∈ R

24

Observação 40 O domínio da função pode ser obtido pelo contexto ou pela explic-itação direta do mesmo.

Exemplo 32 Seja A = 1, 2, 3 e B = 2, 4, 6, 8. Qual das seguintes relações sãofunções entre A e B? Quais são funções de A em B?

(a) (1, 2) , (2, 6) , (3, 4) , (2, 8)(b) (1, 4) , (3, 8)(c) (1, 6) , (2, 6) , (3, 2)(d) (1, 8) , (2, 2) , (3, 4)

Exemplo 33 Determine quais curvas abaixo são (ou não são) gráficos de funções,justificando a resposta.

Exemplo 34 Seja o gráfico da função abaixo:

(a) Qual o valor de f(−1)?(b) Qual o valor de f(3)?(c) Para que valores de x temos f(x) = 2?(d) Estime os valores de x tais que f(x) = 0.(e) Obtenha o domínio e a imagem da função.

Exemplo 35 Determine os domínios das seguintes funções:

(a) f(x) =1

x2 + 3x− 40

25

(b) f(x) =1

1− 1− x

x

(c) f(x) =1

1−√x− 1

Exemplo 36 Uma corda de tamanho L é cortada em dois pedaços. Com o primeiropedaço faz-se um quadrado, e com o segundo um círculo. Seja x o tamanho doprimeiro pedaço. Construa a função f(x) representando a área total (quadrado +círculo) e expresse o domínio dessa função.

Exemplo 37 O custo fixo mensal de uma empresa é R$ 30.000, 00, o preço unitáriode venda é R$ 8, 00 e o custo variável por unidade é R$ 6, 00.

(a) Obtenha a função lucro mensal.(b) Obtenha a função lucro líquido mensal, sabendo-se que o imposto de renda é

30% do lucro.

1.6.1 Propriedades de Funções

Definição 13 Uma função f : A → B é dita sobrejetora (ou sobrejetiva), seIm (f) = B. Uma função sobrejetora é também caracterizada pelo termo sobre-

jeção.

Observação 41 A questão se uma função é sobrejetora ou não depende da escolhado contradomínio, pois uma função pode sempre ser transformada numa sobrejeçãorestringindo o contradomínio ao conjunto imagem de f, mas às vezes nem sempreisso é fácil. Por exemplo, encontrar o conjunto imagem de f(n) = (n!)

1n para n

natural não é tarefa fácil. Assim é melhor expressar f : N→ R e não ser tãopreciso.

Definição 14 Uma função f : A→ B é dita injetora (ou injetiva), se para todox1 e x2 em A, f(x1) = f(x2) implica x1 = x2. Uma função injetora é tambémcaracterizada pelo termo injeção. Em termos simbólicos temos:

∀x1, x2 ∈ A : f(x1) = f(x2) =⇒ x1 = x2.

Ou equivalentemente

∀x1, x2 ∈ A : x1 = x2 =⇒ f(x1) = f(x2)

Definição 15 Uma função f : A→ B é dita bijetora (ou bijetiva), se é ao mesmotempo injetora e sobrejetora.

Exemplo 38 Verifique se as funções abaixo são injetoras, sobrejetoras ou bijetoras.(a) f : R→ R, com f (x) = x2.(b) f : R→ [0,∞), com f (x) = x2.(c) f : [0,∞)→ R, com f (x) = x2.(d) f : [0,∞)→ [0,∞), com f (x) = x2.

26

Definição 16 Uma função f : A→ B é dita par, se f(x) = f(−x); e é dita ímpar

se f(−x) = −f(x).Observação: Uma função, em geral, não precisa ser par ou ímpar. Para mostrar

que uma função f não é par, basta achar um ponto x em que f(−x) = f(x). Domesmo jeito, para mostrar que f não é ímpar, basta achar um ponto em que f(−x) =−f(x).

Observe também que funções pares são funções cujos gráficos são simétricos emtorno do eixo das ordenadas.

Exemplo 39 Verifique se as funções abaixo são pares, ímpares ou nenhuma dascondições:

(a) f (x) =x2

1− x4

(b) f (x) =x2

sen x(c) f (x) = sen(cosx)(d) f (x) = sen(sen x)(e) f (x) = 2x2 − 5x+ 2

Definição 17 (Crescimento e Decrescimento) Seja I um intervalo do domínioda função f.

(i) f é dita crescente em I, se para todo x1 < x2 em I, temos f(x1) ≤ f(x2);(ii) f é dita estritamente crescente em I, se para todo x1 < x2 em I, temos

f(x1) < f(x2);(iii) f é dita decrescente em I, se para todo x1 < x2 em I, temos f(x1) ≥ f(x2);(iv) f é dita estritamente decrescente em I, se para todo x1 < x2 em I, temos

f(x1) > f(x2).

O gráfico a seguir representa uma função estritamente crescente:

Observação 42 Pela definição acima, uma função constante é ao mesmo tempocrescente e decrescente.

27

1.6.2 Operações de Funções

Assim como podemos adicionar, subtrair, multiplicar e dividir números, tambémpodemos produzir novas funções através de operações. Essas operações são definidascomo segue:

Dadas duas funções f e g, definimos:

• (αf) (x) = αf (x), com α ∈ R;

• (f + g) (x) = f(x) + g(x);

• (f − g) (x) = f(x)− g(x);

• (f · g) (x) = f(x)g(x);

• (f/g) (x) = f(x)/g(x).

Observação 43 O domínio da função αf coincide com o domínio de f. O domíniodas funções resultantes das operações f + g, f − g e f · g é dado pela interseção dosdomínios de f e g. Já o domínio de f/g é dado pela interseção dos domínios de f eg, excluindo-se os pontos x tais que g(x) = 0.

Exemplo 40 Sejam f(x) =√5− x e g(x) =

√x− 3. Obtenha as funções abaixo e

seus domínios.(a) (f + g) (x)(b) (f − g) (x)(c) (f · g) (x)(d) (f/g) (x)

1.6.3 Composição de Funções

Se f e g são funções com f : A → B e g : B → C, então para todo a ∈ A,f(a) ∈ B. Mas B é domínio de g, assim g pode ser aplicada a f(a). Isso nos leva ag(f(a)), um elemento de C. Estabelecemos assim uma correspondência entre a ∈ Ae g(f(a)) ∈ C. Essa correspondência é denominada uma função composta de f e ge é denotada por g f (g de f). Assim g f : A→ C com

(g f) (a) = g(f(a)).

Em termos de pares ordenados temos

g f = (a, c) ∈ A× C : ∃b ∈ B com (a, b) ∈ f e (b, c) ∈ g .

Observação 44 O domínio de g f é o conjunto de todos os pontos x no domíniode f tais que f(x) está no domínio de g. Simbolicamente, temos

D (g f) = x ∈ D(f) : f(x) ∈ D(g)

Exemplo 41 Sejam f : R→ R e g : R −→ R com f (x) = x2 e g (x) = −3x + 1.Obtenha gf e fg e deduza que a composição de duas funções não é necessariamentecomutativa, isto é, g f = f g.

28

Observação 45 Uma vez que a composição de duas funções não é comutativa, de-vemos tomar cuidado com a ordem da composição. No entanto, a composição defunções é associativa, isto é,

h (g f) = (h g) f .

Exemplo 42 Sejam as funções f(x) = x2 + 2x − 1 e g(x) = 2x − 1. Obtenha aexpressão das funções abaixo:

(a) f g(b) g f(c) g g g

Exemplo 43 Sejam as funções f(x) = 2x − 3 e g(x) =√x. Obtenha a expressão

das funções abaixo, bem como os seus domínios:(a) f g(b) g f(c) f f

Exemplo 44 Para cada função f a seguir, dê uma decomposição de f como com-posição de funções mais simples.

(a) sen(2x)

(b)1

cos(2x3)

Exemplo 45 Sejam

f(x) =

0, se x < 0x2, se 0 ≤ x ≤ 10, se x > 1

e

g(x) =

1, se x < 02x, se 0 ≤ x ≤ 11, se x > 1

Determine f g, o seu domínio e esboce o seu gráfico.

1.6.4 Funções Inversas

Dada uma bijeção f : A→ B, vemos que para todo y em B corresponde exatamenteum elemento x de A, tal que f(x) = y. Essa correspondência define uma função deB em A chamada inversa de f e denotada por f−1.

Definição 18 Seja f : A → B uma função bijetora. A função inversa de f é afunção f−1 : B → A dada por

f−1 = (b, a) ∈ B × A : (a, b) ∈ f .

Observação 46 Se f : A→ B é uma função bijetora, então f−1 : B → A tambémserá uma função bijetora, pois como D (f) = A e Im (f) = B, temos D (f−1) = Be Im (f−1) = A. Logo f−1 é sobrejetora. Uma vez que f é uma função, para cadaelemento x de A há um único elemento y de B, ou seja, f−1 é injetora. Assim f−1

é bijetora.

29

Observação 47 Se f : A→ B é uma função bijetora, então f−1 f : A→ A comf−1 f

(x) = x, para todo x ∈ A.

Esta função é denominada função identidade sobre A, e é denotada comumentepor iA.

Além disso, se f (x) = y, então x = f−1 (y), e assim f f−1 : B → B

f f−1

(y) = y, para todo y ∈ B.

Ou seja, f f−1 = iB.

Exemplo 46 Defina f : [0, 2)→ [1, 2) com f (x) =x

2+1. Mostre que f é bijetora e

descreva f−1. Esboce no mesmo plano o gráfico de f e f−1 e observe que os gráficossão simétricos em torno da reta y = x.

Exemplo 47 Defina f : (−∞, 0] → [5,∞) com f (x) = x2 + 5. Mostre que f ébijetora e descreva f−1. Esboce no mesmo plano o gráfico de f e f−1 e observe queos gráficos são simétricos em torno da reta y = x.

Observação 48 Sejam f : A → B e g : B → C duas funções bijetoras. Então acomposição g f : A → C é bijetora e (g f)−1 : C → A é dada por (g f)−1 =f−1 g−1.

Exemplo 48 Sejam f : R→ R, com f (x) = 2x−1 e g : R→ R, com g (x) = 2−3xduas funções. Pede-se:

(a) Obtenha as funções inversas f−1 e g−1.(b) Obtenha a composição g f : R→ R.(c) Obtenha a inversa da composição, isto é, (g f)−1 e verique que é equivalente

a f−1 g−1.

1.7 Funções Trigonométricas

Vejamos algumas funções trigonométricas importantes.Começemos com o gráfico de sen x, para x ∈ [0, 2π]:

Se o seno for considerado na reta real toda, obtemos:

30

Observe que a função f(x) = sen x é um função ímpar e que é também periódicade período 2π, pois

sen(x+ 2π) = sen x, ∀x ∈ R.A função f(x) = cosx por sua vez tem o seguinte comportamente para x ∈

[0, 2π]:

Observe que a função f(x) = cosx é um função par e também periódica deperíodo 2π, pois

O esboço da função tangente é um pouco mais delicado, pois a tangente não estádefinida quando cosx = 0. Isso implica a presença de assíntotas verticais no gráficocomo a seguir:

31

Quando considerada na reta real temos

Observe agora que a função f(x) = tg x é uma função ímpar e periódica deperíodo π, pois

tg(x+ π) = tg x, ∀x ∈ R.

1.7.1 Funções Trigonométricas Inversas

Vimos que para a função sen : R→ [−1, 1], um y ∈ [−1, 1] possui infinitas preima-gens, logo não é bijeção. Portanto, para inverter a função seno, é necessário restringiro seu domínio.

Vamos restringi-la ao intervalo [−π2, π2]:

De fato, com essa restrição sen : [−π2, π2]→ [−1, 1] é bijetora, e portanto admite

uma inversa. A função inversa de f(x) = sen x é grafada como f(x) = arcsen x ouf(x) = sen−1 x. Assim arcsen : [−1, 1]→ [−π

2, π2], de tal forma que

sen (arcsenx) = x para todo x ∈ [−1, 1]e arcsen (senx) = x para todo x ∈ [−π

2,π

2]

O gráfico de arcsenx pode ser obtido por uma reflexão do gráfico de senx peladiagonal do primeiro quadrante:

32

Exemplo 49 Seja y(0, π2) tal que y = arcsen

35

. Calcule sen y, cos y, e tg y.

O cosseno pode ser invertido também, se o seu domínio é bem escolhido: cos :[0, π]→ [−1, 1]

A função inversa é chamada arcosseno, e denotada arc cos ou cos−1 denotada

arccos : [−1, 1]→ [0, π]

Aqui também temos

cos (arccos x) = x para todo x ∈ [−1, 1]e arccos (cos x) = x para todo x ∈ [0, π]

O gráfico de arcos pode ser obtido por uma reflexão pela diagonal do primeiroquadrante, ou seja,

33

Finalmente, aara inverter a tangente, faremos a restrição tg : [−π2, π2]→ R, para

termos uma bijeção conforme o gráfico abaixo:

A função inversa é chamada de arc tg ou tg−1. Como antes,

tg (arctgx) = x para todo x ∈ Re arc tg (tgx) = x para todo x ∈ [−π

2,π

2]

O seu gráfico possui duas assíntotas horizontais: quando x é positivo e grande,o gráfico de arc tg x se aproxima da reta de equação y = π

2, e quando x é negativo

e grande, ele se aproxima da reta de equação y = −π2:

34

Observação 49 É importante notar que as três funções trigonométricas inversas,arc sen, arc cos e arc tg, foram definidas a partir de uma escolha de uma restriçãopara cada uma das funções sen, cos e tan. Essa escolha pode parecer arbitrária, masé a mais comum usada nos livros de matemática. Continuaremos usando as funçõesinversas assim definidas, até o fim do curso.

Exemplo 50 Determine o domínio das seguintes funções:(a) arccos(2x)(b) tg(arc sen x)

Exemplo 51 Resolva:(a) 3arc sen x = π/2(b) 9arc tg (tg (x2)) = π

Exemplo 52 Simplifique as expressões abaixo:(a) cos(arcsen x)(b) cos(2 arccos x)(c) sen(2 arccosx)

1.8 Funções Exponencial e Logaritmo

1.8.1 Funções Exponenciais

Uma função exponencial de base a > 0 é definida como

f : R→ (0,∞)

x −→ ax

Para a > 1, os gráficos de f(x) = ax são sempre dos tipos abaixo:

35

Observe que, quando a > 1, todos os gráficos passam pelo ponto (0, 1) e a funçãoé estritamente crescente.

Por outro lado, para 0 < a < 1, os gráficos de f(x) = ax são sempre dos tipos:

Observe agora que, quando 0 < a < 1, todos os gráficos também passam peloponto (0, 1) mas a função é estritamente decrescente.

Exemplo 53 Esboce os gráficos das funções 1− 2−x, 3x−1,32

−xe −32

|x|.

Exemplo 54 Resolva:(a) 5x + 5−x+2 = 26(b) (2x − 2) (5−x − 1) < 0

36

1.8.2 Funções Logarítmicas

A função logarítmica de base a > 0 é a função inversa da função exponencial debase a.

Uma função logarítmica de base a > 0 é definida como

f : (0,∞)→ R

x −→ logxa

Como log1a = 0 temos que toda função logarítimica da forma f(x) = logxa passapelo ponto (1, 0).

Para a > 1, os gráficos de f(x) = logxa são sempre do tipo abaixo:

Assim, para a > 1, a função f(x) = logxa é estritamente crescente, passa peloponto (1, 0) e tem assíntota vertical na origem.

Por outro lado, para 0 < a < 1, os gráficos de f(x) = logxa são sempre do tipo:

Assim, para 0 < a < 1, a função f(x) = logxa é estritamente decrescente, passapelo ponto (1, 0) e tem assíntota vertical na origem.

37

Observação 50 Quando a base é o número de Euler e = 2, 718281828459045235360287471352...então usamos as seguintes notações para as funções exponenciais e logarítimas debase e, respectivamente:

f(x) = ex e f(x) = lnx,

cujos gráficos são do tipo

Exemplo 55 Resolva:(a) e2x−1 >

√e

(b) ln |x+ 4|+ ln |x− 1| = ln 6(c) ln

2x−15x+1

< 0

1.9 Exercícios

Exercício 1 Resolva:(a) 1

x= x+ 1

(b) 6x3 − 1 = 3x (1 + 2x2)(c) −8x < 3− 4x(d) −2x2 + 10x− 12 < 0(e)

1− x

2 + x≤ − 2

3x− 4(f) |x+ 7| ≥ 3(g)

x

|x− 2| > 2(h) |x− 3|+ |x+ 2| < 11

Exercício 2 Quantos números inteiros n existem tais que 3n− 1 ≤ 5n− 2 < 4?Exercício 3 Quantos números primos p existem tais que 0 ≤ 2p− 3 ≤ p+ 8?

Exercício 4 Mostre que se a e b forem dois números positivos satisfazendo

2a− a2

2+

b2

2= 2

então ou a+ b = 2 ou a− b = 2.

38

Exercício 5 É possível contruir um triângulo retângulo de área 7 e de perímetro12? Justifique matematicamente.

Exercício 6 Descreva os seguintes subconjuntos do plano em termos das suas co-ordenadas cartesianas.

(a) Semi-plano acima do eixo x.(b) Semi-plano à esquerda do eixo y.(c) Quadrado de lado 1 centrado na origem (com os lados paralelos aos eixos).(d) Reta vertical passando pelo ponto (2, 0).(e) Reta horizontal passando pelo ponto (−3,−5).(f) Reta horizontal passando pelo ponto (13,−5).(g) Faixa vertical contida entre o eixo y e a reta do item (d).(h) Circunferência de raio 1 centrada na origem.(i) Círculo (cheio) de raio 2 centrado em (1,−2).

Exercício 7 Determine as equações das retas que passam pelos pontos dados e re-conheça o coeficiente angular e o intercepto.

(a) (−2, 1) e (100, 1)(b) (1,−2) e (−1, 3)

Exercício 8 Determine quais das seguintes retas são paralelas ou perpendiculares:r : 2x + y − 1 = 0, s : x + 2y + 1 = 0, t : y = 2x − 3, u : 3x + 6y − 3 = 0. Emseguida, esboce as retas e verifique suas conclusões.

Exercício 9 Calcule a equação da reta r que passa pelo ponto (2,−1), cujo ângulocom o eixo horizontal é igual a 60.

Exercício 10 Determine o centro e o raio das seguintes circunferências:(a) x2 + y2 − x+ 3y − 2 = 0(b) x2 + y2 − 6y = 0

Exercício 11 Determine a equação cartesiana da circunferência definida pelos pon-tos A (1, 1), B (1,−2) e C (2, 3).

Exercício 12 Determine a interseção das circunferências

x2 + y2 − 8x− 2y + 7 = 0

x2 + y2 − 6x− 4y + 9 = 0

Determine também a equação cartesiana da reta que contém a corda comum àscircunferências dadas.

Exercício 13 Resolva:(a) sen x = 1

2

(b) sen x = sen2x(c) (cosx+ sen x)2 = 1

2

(d) e2x − 3ex + 2 = 0(e) ln x+ ln (x− 1) = 1

39

Exercício 14 Considere a reta r : y = x + 1, e os pontos P (1, 0), Q(t, 0), t > 1.Seja R a região delimitada pela reta r, pelo eixo x, e pelas retas verticais passandopor P e Q. Esboce R , e expresse a sua área A(t) em função de t.

Exercício 15 Encontre m e n inteiros tais que

m− n log3 2 = 10 log9 6.

Exercício 16 Calcule(a) e2 ln 3

(b) log10 25 + log10 4(c) (log2 3) (log3 4) (log4 5) ... (log31 32).

Exercício 17 Determine os domínios das seguintes funções:(a) f(x) = x

x

(b) f(x) = |x− 1|(c) f(x) =

x+ 1

x2 + 1(d) f(x) =

√x2 − 1

(e) f(x) =√2x− 1− x2

(f) f(x) =√sen x

(g) f(x) =1−√x2 + 1

Exercício 18 Dê uma função (e o seu domínio) cujo gráfico seja:(a) A reta horizontal que passa pelo ponto (−21, 1).(b) A parte inferior da circunferência de raio 9 centrado em (5,−4).(c) A parte da circunferência de raio 5 centrada na origem que fica estritamente

acima da reta de equação y = 3.(d) A parte da circunferência de raio 5 centrada na origem contida no quarto

quadrante.

Exercício 19 Esboce os gráficos das seguintes funções todas com domínio R e dê oconjunto imagem:

(a) f(x) = 1, se x ≤ 1; e f(x) = x2, se x > 1.(b) f(x) = − |x− 1|.(c) f(x) = ||x| − 1|.

Exercício 20 O gráfico de uma função f é dado a seguir:

40

Esboce os gráficos das seguintes funções:(a) y = f (x− 8)(b) y = −f (x)(c) y = 2− f (x)(d) y = 1

2f (x)− 1

(e) y = f−1 (x)

Exercício 21 Verifique quais das funções abaixo são pares ou ímpares (justificandoa sua resposta). Quando não for nem par nem ímpar, dê um contra-exemplo.

(a) f(x) =x

x3 − x5

(b) f(x) =√1− x2

(c) f(x) = x2sen x(d) f(x) = sen2x− cosx(e) f(x) = sen x+ cosx

(f) f(x) =1− e

1x

1 + e1x

Exercício 22 Use a tabela abaixo para calcular: f(g(1)), g(f(1)), f(f(1)), g(g(1)),(g f) (3) e (f g) (6).

Exercício 23 Dado o gráfico abaixo de f e g, obtenha: f(g(2)), g(f(0)), (f g) (0),(g f) (6), (g g) (−2) e (f f) (4).

41

Exercício 24 Dadas as funções f e g abaixo, obtenha f g e g f , bem como osseus domínios:

(a) f(x) = 3x+ 5 e g(x) = x2 + x.(b) f(x) =

√x+ 1 e g(x) = 4x− 3.

(c) f(x) = x+1

xe g(x) =

x+ 1

x+ 2.

(d) f(x) =

x+ 3, se x ≥ 0x2, se x < 0

e g(x) =

2x+ 1, se x ≥ 3x, se x < 3

Exercício 25 Dadas as funções f, g e h abaixo, obtenha f g h:(a) f(x) = 3x− 2, g(x) = sen x e h(x) = x2.(b) f(x) =

√x− 3, g(x) = x2 e h(x) = x3 + 2.

Exercício 26 Escreva as funções abaixo da forma f g h:(a)√

x− 1(b) 82 + |x|

Exercício 27 Se f(x) = x + 4 e h(x) = 4x − 1, encontre uma função g tal queg f = h e mostre que f−1 g−1 = h−1.

Exercício 28 Se f0(x) =x

x+ 1e fn+1(x) = (f0 fn) (x), mostre que fn(x) =

x

(n+ 1)x+ 1, para todo n ∈ N.

Exercício 29 Encontre as funções exponenciais do tipo f(x) = Cbx para cada umdos gráficos abaixo:

(a) (b)

Exercício 30 Encontre, caso exista, a função inversa f−1 das funções f abaixo eesboce os seus gráficos:

(a) f(x) = x3 + 2(b) f(x) =

√−1− x

(c) f(x) = lnx+√x2 + 1

(d) f(x) =x+ 1

2x+ 1

Exercício 31 Use os gráficos das funções abaixo para esboçar suas funções inversas:

42

Exercício 32 A população de uma certa espécie num meio ambiente limitado compopulação inicial 100 e com capacidade apenas para 1.000 é descrita pela dinânicano tempo t como

P (t) =100.000

100 + 900e−t

onde t ≥ 0 é medido em anos.(a) Esboce o gráfico da função P (t) e verifique a presença de possíveis assíntotas.(b) Quanto tempo levará para que a população atinja 900 espécies?(c) Obtenha a função inversa de P (t) e explique o seu significado.(d) Use a função inversa para calcular o tempo em que a população atingirá 900

espécies e compare o resultado com o obtido em (b).

Exercício 33 A fórmula C = 59(F − 32), onde F ≥ −459, 67, expressa a temper-

atura em graus Celsius como função da temperatura em Fahrenheit. Encontre afórmula da função inversa e interprete-a. Qual o domínio da função inversa?

Exercício 34 Na Teoria da Relatividade, a massa de uma partícula com velocidadev é dada por

m = f(v) =m0

1− v2

c2

onde m0 é a massa da partícula em repouso e c é a velocidade da luz no vácuo.Encontre a função inversa de f e explique o seu sentido.

Exercício 35 Determine se as funções abaixo são injetoras:(a)

(b)

43

(c) (d)

(e) (f)

Exercício 36 Seja f(x) =

3x+ 3, se − 1 ≤ x < 0−32x+ 3, se 0 ≤ x ≤ 2 . Pede-se:

(a) Construa o gráfico de y = f(x).(b) Construa o gráfico de y = f(x) + 2.(c) Construa o gráfico de y = f(x)− 3.(d) Construa o gráfico de y = 2f(x).(e) Construa o gráfico de y = 1

2f(x).

(f) Construa o gráfico de y = −f(x).(g) Construa o gráfico de y = f(x+ 2).(h) Construa o gráfico de y = f(x− 2).(i) Construa o gráfico de y = f(2x).(j) Construa o gráfico de y = f(1

2x).

(k) Construa o gráfico de y = −12f(3(x− 1)).

44

Capítulo 2

Limites

Nesse capítulo começaremos o estudo do conceito fundamental do Cálculo: limite.Esse conceito é chave para a construção do conceito de derivada de uma função eseus desdobramentos importantes em ciência.

2.1 Caso I: limx→a f(x) = l com a ∈ R e l ∈ RDefinição 19 Diremos que uma função f(x) tem limite l quando x tende para a,se é possível tornar f(x) arbitrariamente próxima de l para valores de x = a, mastão próximos de a por valores menores do que a (a−) quanto por valores maiores doque a (a+). Usamos a seguinte notação

limx→a

f(x) = l

e os limites laterais são grafados da forma

limx→a−

f(x) e limx→a+

f(x).

Portanto, o limite de uma função quando x tende para a existe se e somente se

limx→a−

f(x) = limx→a+

f(x) = l.

Exemplo 56 Seja a função f de gráfico

Calcule limx→0− f(x) e limx→0+ f(x) e verifique se existe limx→0 f(x).

45

Exemplo 57 Seja agora o gráfico da função g(x) dado por

(a) Calcule limx→2− g(x) e limx→2+ g(x) e verifique se existe limx→2 g(x).(b) Calcule limx→5− g(x) e limx→5+ g(x) e verifique se existe limx→5 g(x).

Exemplo 58 Seja a função g de gráfico abaixo

(a) Calcule limt→0− g(t) e limt→0+ g(t) e verifique se existe limt→0 g(t).(b) Calcule limt→2− g(t) e limt→2+ g(t) e verifique se existe limt→2 g(t).(c) Calcule limt→4− g(t) e limt→4+ g(t) e verifique se existe limt→4 g(t).

Exemplo 59 Infira o valor de limx→3x2 − 3xx2 − 9 a partir de valores de x = 2, 9, 2, 99,

2, 9999 e x = 3, 1, 3, 01, 3, 0001.

Exemplo 60 Calcule limx→2+ arc tg

1

x− 2

e limx→2− arc tg

1

x− 2

e verifique

se existe limx→2 arc tg

1

x− 2

.

Exemplo 61 Calcule limx→1x3 − 1√x− 1.

46

Exemplo 62 Calcule limx→0

√x2 + 9− 3

x2.

Exemplo 63 Seja ·f(x) =

√x− 4, se x > 4

8− 2x, se x < 4

Calcule, caso exista, limx→4 f(x).

Exemplo 64 Calcule limx→5x2 − 6x+ 5

x− 5 , caso exista.

Exemplo 65 Calcule limx→−12x2 + 3x+ 1

x2 − 2x− 3 , caso exista.

Exemplo 66 Calcule limx→2x2 − 4x+ 4x4 − 3x2 − 4 , caso exista.

Exemplo 67 Calcule limx→0

1

t− 1

t2 + t

, caso exista.

Exemplo 68 Calcule limx→2

√6− x− 2√3− x− 1 , caso exista.

Exemplo 69 Calcule limx→83√x− 2x− 8 , caso exista.

2.1.1 Propriedades dos Limites

Sejam duas funções f(x) e g(x), tais que limx→a f(x) e limx→a g(x) existam. Entãoverificam-se as seguintes propriedades:

• limx→a [f(x)± g(x)] = limx→a f(x)± limx→a g(x);

• limx→a cf(x) = c limx→a f(x), com c uma constante real;

• limx→a [f(x) · g(x)] = limx→a f(x) · limx→a g(x);

• limx→af(x)

g(x)=limx→a f(x)

limx→a g(x)se limx→a g(x) = 0;

• limx→a [f(x)]n = [limx→a f(x)]n;

• limx→a nf(x) = n

limx→a f(x), onde n é um inteiro positivo (se n é par, então

devemos ter limx→a f(x) > 0);

• Se f(x) é uma função polinomial ou uma função racional e a é um ponto dodomínio de f , então limx→a f(x) = f(a);

• Se f(x) ≤ g(x) quando x está próximo de a e os limites limx→a f(x) e limx→a g(x)existem, então limx→a f(x) ≤ limx→a g(x);

47

• (Teorema Sanduíche) Se f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) quando x está próximo de a elimx→a f(x) = limx→a h(x) = l, então limx→a g(x) = l.

Exemplo 70 Sejam as funções f e g no gráfico abaixo

Pede-se:(a) limx→−2 [−2f(x) + 5g(x)](b) limx→1 [f(x)g(x)](c) limx→−2 [f(x)/g(x)]

Exemplo 71 Calcule limx→−1 (5x3 − 3x2 + x− 6).

Exemplo 72 Mostre que limx→0 x2sen1x

= 0, pelo Teorema Sanduíche.

Exemplo 73 Mostre que limx→0sen (x)

x= 1, pelo Teorema Sanduíche.

Exemplo 74 Mostre que limx→0arc tg (x)

x= 1.

Exemplo 75 Mostre que limh→0cosh− 1

h= 0.

2.2 Caso II: limx→a f(x) = l com a ∈ R e l = ±∞Definição 20 Diremos que uma função f(x) tem limite l = +∞ quando x tendepara a, se é possível tornar a imagem de f(x) arbitrariamente grande e positiva paravalores de x = a, mas tão próximos de a por valores menores do que a (a−) quantopor valores maiores do que a (a+). Usamos a seguinte notação

limx→a

f(x) = +∞.

Por outro lado, diremos que uma função f(x) tem limite l = −∞ quando x tendepara a, se é possível tornar a imagem de f(x) arbitrariamente grande e negativa

48

para valores de x = a, mas tão próximos de a por valores menores do que a (a−)quanto por valores maiores do que a (a+). Usamos a seguinte notação

limx→a

f(x) = −∞.

Assim limx→a f(x) = +∞, se e somente se limx→a− f(x) = limx→a+ f(x) = +∞; elimx→a f(x) = −∞, se e somente se limx→a− f(x) = limx→a+ f(x) = −∞.

Definição 21 A reta x = a é chamada de assíntota vertical da curva y = f(x)se

limx→a−

f(x) = ±∞ ou limx→a+

f(x) = ±∞.

Exemplo 76 Seja o gráfico da função f(x) =1

x2dado abaixo

Verifique se existe limx→0 f(x) e encontre as assíntotas verticais.

Exemplo 77 Seja a função g de gráfico abaixo

Verifique se existem limx→−3 g(x), limx→−1 g(x) e limx→2 g(x) e encontre as as-síntotas verticais.

Exemplo 78 Seja f(x) =1

x− 2 . Calcule limx→2− f(x) e limx→2+ f(x), e encontre

as assíntotas verticais.

49

Exemplo 79 Infira o valor de limx→−3x2 − 3xx2 − 9 a partir de valores de x = −2, 9,

−2, 99, −2, 9999 e x = −3, 1, −3, 01, −3, 0001, e encontre as assíntotas verticais.

Exemplo 80 Calcule limx→0+ e1/x e limx→0− e1/x.

2.3 Caso III: limx→a f(x) = l com a = ±∞ e l ∈R∪−∞,+∞

Definição 22 Diremos que uma função f(x) tem limite l quando x tende para a =+∞, se é possível tornar f(x) arbitrariamente próxima de l para valores de x cadavez maiores e positivos. Usamos a seguinte notação

limx→+∞

f(x) = l.

Da mesma forma, diremos que uma função f(x) tem limite l quando x tende paraa = −∞, se é possível tornar f(x) arbitrariamente próxima de l para valores de xcada vez maiores em magnitude e negativos. Usamos a seguinte notação

limx→−∞

f(x) = l.

Definição 23 A reta y = l é chamada de assíntota horizontal da curva y = f(x)se

limx→+∞

f(x) = l ou limx→−∞

f(x) = l.

Exemplo 81 Calcule limx→+∞ (x2 + 2x7) e limx→−∞ (x2 + 2x7), caso existam.

Exemplo 82 Calcule limx→+∞1

xe limx→−∞

1

x, caso existam.

Exemplo 83 Calcule limx→+∞2x2 + 3x+ 1

−x2 − 2x+ 3 e limx→−∞2x2 + 3x+ 1

−x2 − 2x+ 3 , caso exis-

tam.

Exemplo 84 Calcule limx→+∞

√2x2 + 1

3x− 5 , caso exista.

Exemplo 85 Calcule limx→+∞√

x2 + 1− x, caso exista.

Exemplo 86 Calcule limx→+∞x2 + x

3− xe limx→−∞

x2 + x

3− x, caso existam.

Exemplo 87 Calcule limx→+∞ [ln (2 + x)− ln (1 + x)], caso exista.

Exemplo 88 Calcule limx→+∞ [e−x + 2 cos (3x)], caso exista.

Exemplo 89 Calcule limx→+∞ (2− e−x) e limx→−∞ (2− e−x), caso exista.

50

2.4 O limite e = limx→∞1 + 1

x

x= limx→0 (1 + x)

1

x

Um dos limites fundamentais é o que define o número de Euler de que já falamosanteriormente. Ele pode ser obtido como o limite da função f(x) =

1 + 1

x

xquando

x tende ao infinito, ou, equivalentemente, o limite da função f(x) = (1 + x)1x quando

x tende a zero. A tabela abaixo mostra algumas aproximações do primeiro caso:

x 10 100 1.000 10.0001 + 1

x

x2, 59374... 2, 70481... 2, 71692... 2, 71814...

Assim temos o seguinte resultado:

limx→∞

1 +

1

x

x= lim

x→0(1 + x)

1x = e.

Observe que em quaisquer dos casos a base da função f(x) tende a 1, enquantoque o expoente tende a infinito. Pode-se mostrar que se f(x) = [u(x)]v(x), tal quelimx→a u(x) = 1 = 1 e limx→a v(x) = ±∞ e u(x) é uma função não constante, então

limx→a

[u(x)]v(x) = eλ

ondeλ = lim

x→a[u(x)− 1] v(x).

Exemplo 90 Calcule limx→∞1 + 2

3x

5x.

Exemplo 91 Calcule limx→2 (5− 2x)−3

x−2 .

Exemplo 92 Calcule limx→01− x

7

− 23x .

Exemplo 93 Calcule limx→0 (1− sen (3x))2/x.

Exemplo 94 Mostre que limx→0ex − 1

x= 1.

Exemplo 95 Mostre que limx→0ax − 1

x= ln a.

2.5 Continuidade

Continuidade é o conceito fundamental do Cálculo.

Definição 24 Seja a um ponto do domínio de uma função f. A função f é dita(i) contínua à direita em a se limx→a+ f(x) = f(a);(ii) contínua à esquerda em a se limx→a− f(x) = f(a).(iii) Se limx→a− f(x) = limx→a+ f(x) = f(a), diremos que f é contínua em a,

caso contrário diremos que f é descontínua em a.(iv) Diremos que f é uma função contínua, se ela for contínua em todos os

pontos de seu domínio.

51

Observação 51 Em resumo: para que a função seja contínua em um ponto a de-vemos satisfazer às três condições abaixo:

(1) f(a) está definida (isto é, a é um ponto do domínio de f);(2) limx→a f(x) existe;(3) limx→a f(x) = f(a).

Exemplo 96 Seja a função de gráfico abaixo

Verifique os pontos de descontinuidade de f , justificando o porquê.

Exemplo 97 Analise os pontos de descontinuidade, caso existam, da função

f(x) =

x

3+

x

2 |x|, se x = 0

1

2, se x = 0

Exemplo 98 Considere

f(x) =

x− x

|x|, se x = 0

−1, se x = 0

Dê o domínio de f, assim como o conjunto em que f é contínua. Existe a possibilidadede modificar a imagem dos pontos de descontinuidade de forma a tornar a funçãocontínua?

Exemplo 99 Estudo a continuidade da função

f(x) =

x2 − 3x+ 2x− 2 , se x = 2

0, se x = 2

Como f pode ser modificada para ser contínua em toda a reta?

52

Exemplo 100 Ache o valor da constante β para que a função a seguir seja contínuaem toda a reta:

f(x) =

x2 − (β + 1) x+ β

x− 1 , se x = 1

5 + β, se x = 1

2.5.1 Propriedades da Continuidade

Sejam duas funções f(x) e g(x), contínuas em a e seja c uma constante, então asseguintes funções são também contínuas em a:

• f(x)± g(x);

• cf(x);

• f(x) · g(x);

• f(x)

g(x)se g(a) = 0.

• Se f(x) é contínua em b e limx→a g(x) = b, então

limx→a

(f g) (x) = limx→a

f (g(x)) = f(b).

Em outras palavraslimx→a

f (g(x)) = flimx→a

g(x).

• Se g é contínua em a e f é contínua em g(a), então a função composta f g écontínua em a.

Além disso temos os seguintes fatos:

• Todo polinômio é contínuo em toda parte, isto é, é contínuo em (−∞,∞).

• Toda função racional é contínua nos pontos em que está definida, isto é, écontínua em seu domínio.

• Toda função trigonométrica é contínua nos pontos em que está definida, istoé, é contínua em seu domínio.

• Toda função trigonométrica inversa é contínua nos pontos em que está definida,isto é, é contínua em seu domínio.

• Toda função exponencial é contínua nos pontos em que está definida, isto é, écontínua em seu domínio.

• Toda função logarítmica é contínua nos pontos em que está definida, isto é, écontínua em seu domínio.

53

Exemplo 101 Verifique os pontos de continuidade de f(x) =x3 + 2x2 − 15− 3x e calcule

limx→−1x3 + 2x2 − 15− 3x .

Exemplo 102 Verifique os pontos de continuidade de f(x) =lnx+ arc tg x

x2 − 1 .

Exemplo 103 Calcule limx→1 arc sen

1−√x1− x

.

Exemplo 104 Verifique os pontos de continuidade de f(x) = sen (x2).

Exemplo 105 Verifique os pontos de continuidade de f(x) = ln (1 + cosx).

2.6 Teorema do Valor Intermediário

Funções contínuas possuem propriedades muito particulares. Considere por exemplouma função contínua num intervalo fechado, f : [a, b]→ R. Então, ao x variar entrea e b, o gráfico de f corta qualquer reta horizontal intermediária, de altura h entref(a) e f(b), pelo menos uma vez:

É isso o que nos informa o Teorema do Valor Intermediário a seguir:

Teorema 1 (Teorema do Valor Intermediário) Seja f : [a, b]→ R uma funçãocontínua, tal quef(a) < f(b). Então para todo h ∈ [f(a), f(b)], existe c ∈ [a, b] talque f(c) = h. Uma afirmação equivalente vale quando f(a) > f(b).

Exemplo 106 Seja f : [−1, 1] → R, definida como f(x) = 12− x2 − x5. Prove,

utilizando o Teorema do Valor Intermediário, que existe uma raiz real da equaçãox5 + x2 = 1

2em [0, 1].

54

2.7 Exercícios

Exercício 37 Calcule limx→−∞2x5 − 3x3 + 2x2 − 13x5 − 4x+ 1 .

Exercício 38 Calcule limx→∞3x2 + 2x+ 1

x√2x2 + 1

.

Exercício 39 Calcule limx→∞√

x2 + 1534− x.

Exercício 40 Calcule limx→1

√x2 + 3− 2x− 1 .

Exercício 41 Calcule limx→3

√4− x− 1√12− x− 3.

Exercício 42 Calcule limx→2

√x+ 2−

√2x

x2 − 2x .

Exercício 43 Calcule limx→−1

√x2 + 3

x2 + 2x+ 1.

Exercício 44 Calcule limx→∞2x2 − 3x− 4√

x4 + 1.

Exercício 45 Calcule limx→−∞2x+ 1√x2 + 4

.

Exercício 46 Calcule limx→∞ sen

πx+ 5√4x2 + 1

.

Exercício 47 Calcule limx→−∞√

x2 + x+ 1 + x.

Exercício 48 Calcule limx→0

x2sen

1

x

sen x.

Exercício 49 Calcule limx→0ex

2tg x

exx.

Exercício 50 Calcule limx→1sen (x− 1)x2 − 1 .

Exercício 51 Calcule limx→∞

√x+ 5√x+ 5

.

Exercício 52 Calcule limx→1 cos(x− 1)2 sen

1

x3 − 1

.

55

Exercício 53 Seja g(x) =x2 + x− 6|x− 2| .

(a) Calcule limx→2− g(x) e limx→2+ g(x), e verifique se existe limx→2 g(x).(b) Calcule limx→−∞ g(x) e limx→∞ g(x).(c) Esboce o gráfico de g.

Exercício 54 Seja g(x) =2xx

3

.

(a) Calcule limx→0− g(x) e limx→0+ g(x), e verifique se existe limx→0 g(x).(b) Calcule limx→−∞ g(x) e limx→∞ g(x).(c) Esboce o gráfico de g.

Exercício 55 Encontre limx→∞ f(x), se, para todo x > 1, temos

10ex − 212ex

< f(x) <5√x√

x− 1 .

Exercício 56 Se limx→a f(x) = 4, limx→a g(x) = −2 e limx→a h(x) = 0, calcule osseguintes limites:

(a) limx→a [f(x)− g(x)];

(b) limx→af(x)

g(x);

(c) limx→a [g(x)]2;

(d) limx→ah(x)

f(x);

(e) limx→a1

(f(x) + g(x))2.

Exercício 57 Se limx→a [f(x) + g(x)] = 2 e limx→a [f(x)− g(x)] = 1, calculelimx→a [f(x)g(x)].

Exercício 58 Um tanque contém 5000 litros de água pura. Água salobra, contendo30 g de sal por litro de água, é bombeada para o tanque, a uma taxa de 25 l/min.

(a) Mostre que a concentração de sal no tanque após t minutos (em g/l) e dada

por C(t) =30t

200 + t.

(b) O que acontece com a concentração quando t→∞?

Exercício 59 Seja

g(x) =

x, se x < 13, se x = 12− x2, se 1 < x ≤ 2x− 3, se x > 2

Esboce o gráfico de g e obtenha caso exista, justificando:(a) limx→1 g(x);(b) g(1);(c) limx→2 g(x).

56

Exercício 60 Seja o gráfico da função abaixo

(a) Obtenha os pontos de descontinuidade da função.(b) Obtenha os intervalos em que a função é contínua.(c) Para cada ponto reconhecido em (a), caracterize se a função é contínua pela

direita, pela esquerda ou nenhum dos dois casos.

Exercício 61 Esboce gráficos quaisquer de funções contínuas em toda parte, excetonas descontinuidades exigidas abaixo:

(a) Descontínua em 2, mas contínua à direita em 2.(b) Descontínua em −1 e 4, mas contínua à esquerda em −1 e à direita em 4.(c) Descontinuidade removível em 3 e descontinuidade com salto em 5.(d) Descontínua tanto à direita quanto à esquerda em −2 e contínua somente à

esquerda em 2.

Exercício 62 Seja f(x) = 1/x e g(x) = 1/x2.(a) Obtenha f g.(b) f g é contínua em toda parte? Justifique matematicamente.

Exercício 63 Existe um número real a tal que o limite da função

g(x) =3x2 + ax+ a+ 3

x2 + x− 2exista quando x tende para −2? Se sim, encontre o valor de a e limx→−2 g(x).

Exercício 64 Sabendo que a função real

f(x) =

x4 − 1x2 − 1, se x < −1ax2 + b, se − 1 ≤ x ≤ 22x− 5, se x > 2

é contínua em R, determine os valores das constantes reais a e b.

57

Exercício 65 Determine o valor de A para que a função f(x) seja contínua, com

f(x) =

A (x− 2) , se x ≤ 0

−exex + 1

, se x > 0

Exercício 66 Ache os valores dos parâmetros A e B para que a função f sejacontínua em x = 1, onde f é definida por

f(x) =

(x− 1)2 sen

1x−1+A, se x > 1

2, se x = 1x2 − (B + 1)x+B

x− 1 , se x < 1

Exercício 67 Determine o valor de c para que a função f : (−∞, 2)→ R definidaabaixo seja contínua em x = 0. Justi que sua resposta.

f(x) =

x+ c, se x ≤ 02 + x

2− x

1x

, se 0 < x < 2

Exercício 68 (a) Calcule o seguinte limite

limx→0

√x2 + 9−

√x+ 9

5x.

(b) Seja a um número diferente de zero. Calcule o seguinte limite

limx→0

sen(3x)

ax.

(c) Determine valores de a e b de modo a que a função f seja contínua em x = 0,onde

f(x) =

√x2 + 9−

√x+ 9

5x, se x > 0

sen(3x)

ax, se x < 0

b, se x = 0

Exercício 69 Determine o valor de b para que a função f : R→ R definida abaixoseja contínua. Justifique sua resposta.

f(x) =

(1 + sen (2x))3/x , se x > 0b, se x ≤ 0

Exercício 70 Sejam a e b números reais e a função f : R→ R definida por

f(x) =

x+ a, se x ≤ 0sen x

x, se 0 < x < π

b, se x ≥ π

Determine a e b para que f seja contínua. Justifique suas respostas.

58

Exercício 71 Considere a função f(x) =2− x

x3. Determine:

(a) O domínio de f.(b) As assíntotas horizontais e verticais de f.

Exercício 72 Considere a função f(x) =x2/3

(x− 6)2/3. Determine:

(a) O domínio de f.(b) As assíntotas horizontais e verticais de f.

Exercício 73 Considere a função f(x) =x2

x2 − 1 . Determine:

(a) O domínio de f.(b) As assíntotas horizontais e verticais de f.

Exercício 74 Considere a função f(x) =

√x2 + 3

x2 + 2x+ 1. Determine:

(a) O domínio de f.(b) As assíntotas horizontais e verticais de f.

Exercício 75 Aplique o Teorema do Valor Intermediário para provar que a equaçãox3 − 4x + 1 = 0 tem três raízes reais distintas e localize os intervalos onde elasocorrem.

Exercício 76 Suponha que g seja uma função contínua em [−2, 3], e que, alémdisso, g(−2) = 1

2, g(−1) = −1, g(0) = 2, g(1) = 2, g(2) = −2 e g(3) = 4. Qual e o

número mínimo de zeros da função g no intervalo considerado?

59

Capítulo 3

Derivada

Nosso objetivo neste capítulo é apresentar a definição de derivada de uma função eseu significado geométrico, além de algumas regras que auxiliam o seu cálculo emgeral e a derivada das funções elementares. Começaremos, então, por sua definição.

3.1 Derivada

Definição 25 A derivada de uma função f : I → R em relação à variável x ∈ I éa função f ′(x) dada por

f ′(x) = limh→0

f(x+ h)− f(x)

h.

A derivada está definida em todo ponto x onde o limite exista. Diz-se, nessecaso, que a função f(x) é derivável em x.

Observação 52 Na notação de Leibniz, a derivada de uma função y = f(x) tam-

bém é indicada pord

dxf(x),

df(x)

dxou

dy

dx. Na notação de Newton, temos y = f(x).

Na notação de Lagrange, temos y′ = f ′(x). Na notação de Cauchy, temos Dy =Df(x). Neste curso, faremos uso primordialmente da notação Leibniziana.

Observação 53 A derivada de uma função f(x) em um ponto x0 pode ser expressatambém como

f ′(x0) = limh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h

= limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0.

Observação 54 Quando x ∈ I é uma extremidade do intervalo I, o limite quedefine f ′(x) é, na verdade, apenas um limite lateral e a derivada coincide com o queserá chamado de "derivada lateral"mais adiante.

Exemplo 107 Calcular a função derivada das seguintes funções:(a) f(x) = c, ∀x ∈ R, com c uma constante.(b) f(x) = −3x2 + 5x− 3, ∀x ∈ R.(c) f(x) = 2 |x| − 3, ∀x ∈ R.

60

Uma importante propriedade da derivada é dada a seguir:

Proposição 5 Se uma função f(x) é derivável num ponto x0 do seu domínio entãof(x) é contínua em x0, ou seja, limx→x0 f(x) = f(x0).

Observação 55 A partir da proposição anterior, verificamos que se uma funçãoé descontínua em um ponto, nesse ponto ela não é derivável. Portanto, a con-tinuidade da função num determinado ponto é condição necessária para que ela sejaderivável nesse ponto. Porém, esta não é uma condição suficiente. Uma funçãopode ser contínua mas não derivável num ponto. O exemplo clássico disso é afunção f(x) = 2 |x| − 3 do exemplo anterior, não derivável em x0 = 0. Vejamos osexemplos abaixo de funções não deriváveis no ponto x0 = a.

Exemplo 108 Considere a função

f(x) =

x2, se x ≤ 1x+ 1, se x > 1

Verifique se f(x) é derivável em x0 = 1.

3.2 Interpretação Geométrica da Derivada

A derivada de uma função num dado ponto, quando existe, tem um significadogeométrico importante.

Dada a função f(x), o quociente

∆y

∆x=

f(x)− f(x0)

x− x0

com x = x0 é chamado de taxa de variação média da função f(x) no intervalodeterminado por x0 e x.

Consideremos o gráfico de uma função f(x) definida em [a, b] onde é contínua.Vamos supor que f também é derivável em x0.

Veja a figura a seguir:

61

Observe que o quociente ∆y∆x

é igual a tg α , o coeficiente angular da reta secantepassando nos pontos P (x0, f(x0)) e Q(x, f(x)), onde α é o ângulo de inclinação dareta. Tome o limite do quociente ∆y

∆xquando x → x0. Este limite existe pois f é

derivável em x0. Observe que nesse limite a reta secante tende para a reta tangenteao gráfico da função f(x), no ponto P (x0, f(x0)). Podemos concluir que a derivadade uma função f(x) em um ponto x0, quando existe, coincide com o coeficienteangular da reta tangente ao gráfico da função no ponto de abcissa x0. Vejamoscomo calcular a equação dessa reta tangente:

A equação de uma reta não vertical passando em um ponto (x0, y0) é

y − y0 = m(x− x0)

onde m é o coeficiente angular da reta. Se f(x) é uma função derivável em x0 segueda interpretação geométrica da derivada que a reta tangente ao gráfico de f(x) noponto (x0, f(x0)) tem coeficiente angular m = f ′(x0). Portanto, a equação da retatangente é

y − y0 = f ′(x0)(x− x0).

Exemplo 109 Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) =x2 no ponto (2, 4).

Como se vê, a derivada de uma função f(x) num dado ponto representa ocoeficiente angular da reta tangente à curva nesse ponto. Assim, se a derivadaf ′(x0) > 0, temos que a função é estritamente crescente nesse ponto; se a derivadaf ′(x0) < 0, temos que a função é estritamente decrescente nesse ponto, e se aderivada f ′(x0) = 0, temos que a função muda o comportamento nesse ponto (decrescente para decrescente, ou de decrescente para crescente). A partir disso é pos-sível esboçar o gráfico da derivada de uma função de uma função dada. Vejamosum exemplo: Suponha a seguinte função dada pelo gráfico abaixo

62

Podemos, assim fazer a seguinte relação entre a função e sua função derivada,observando os intervalos de crescimento, decrescimento e os pontos em que a retatangente é paralela ao eixo −→ox (isto é, tem coeficiente angular nulo).

Exemplo 110 Uma partícula começa a se mover para a direita ao longo da retahorizontal e o gráfico da função que expressa sua posição em função do tempo t édado abaixo:

63

(a) Quando a partícula se move para a direita? Quando ela se move para aesquerda? E quando ela fica parada?

(b) Desenhe o gráfico da função v(t) dada pela velocidade instantânea no tempot.

Exemplo 111 Seja f(x) = x3 − x para todo x real.(a) Encontre as raízes da função.(b) Calcule limx→∞ f(x) e limx→−∞ f(x).(c) Encontre, pela definição, a função derivada f ′(x).(d) Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento da função, bem como

os pontos nos quais a reta tangente é horizontal.(e) Esboce no mesmo plano cartesiano os gráficos das funções f(x) e f ′(x).

3.3 Derivadas Laterais

Se I é um intervalo aberto contido no domínio de uma função, então a derivadadesta função num ponto de I, quando existe, está definida em termos de um limitebilateral. A existência do limite bilateral depende da existência dos limites lateraise de que estes limites sejam iguais. Os limites laterais associados ao limite

limh→0

f(x+ h)− f(x)

h

são chamados de derivadas laterais. Eles serão relevantes para se determinar pontosonde a função não é derivável e no tratamento da derivada nos extremos de umintervalo.

Definição 26 Dada a função f : I → R, a derivada à direita de x0 ∈ I é o númeroreal indicado como f ′+(x0) e dado pelo limite lateral à direita

f ′+(x0) = limx→x+0

f(x)− f(x0)

x− x0= lim

h→0+f(x0 + h)− f(x0)

h,

quando este existir.

64

Por outro lado, a derivada à esquerda de x0 ∈ I é o número real indicado comof ′−(x0) e dado pelo limite lateral à esquerda

f ′−(x0) = limx→x−0

f(x)− f(x0)

x− x0= lim

h→0−f(x0 + h)− f(x0)

h,

quando existir.

Exemplo 112 Calcule as derivadas laterais da função f : (−∞, 6]→ R

f(x) =

x2 − 8, se x ≤ 34− x, se 3 < x ≤ 6

nos pontos x0 = 3 e x0 = 6.

3.4 Regras de Derivação

O cálculo da derivada de uma função pela definição, dependendo da função, pode serbastante tedioso e às vezes complicado. Contudo, com base na definição de derivada,é possível obter várias regras que facilitam muito o trabalho. São as chamadas regrasde derivação para soma, produto e quociente de funções. Elas são importantes nocálculo de derivadas de qualquer função.

Proposição 6 Sejam f e g duas funções definidas no mesmo intervalo I e de-riváveis em x ∈ I. Então,

(i) se h(x) = αf(x), com α uma constante, temos h′(x) = αf ′(x);(ii) se h(x) = f(x)± g(x), temos h′(x) = f ′(x)± g′(x);(iii) se h(x) = αf(x) ± βg(x), com α e β constantes, temos h′(x) = αf ′(x) ±

βg′(x);(iv) se h(x) = f(x)g(x), temos h′(x) = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x);

(v) se h(x) =f(x)

g(x), temos h′(x) =

f ′(x)g(x)− f(x)g′(x)

[g(x)]2.

Exemplo 113 Se f é derivável em a, calcule

limx→a

af(x)− xf(a)

x− a.

Exemplo 114 Seja h(x) =1− x

2 + xpara todo x = −2.

(a) Encontre, pela definição, h′(x).

(b) Encontre h′(x) agora por meio da razão h′(x) =f ′(x)g(x)− f(x)g′(x)

[g(x)]2e

verifique a equivalência dos resultados.

65

3.5 Derivadas de Ordem Superior

Se f é uma função derivável, então vimos que f ′ é também uma função, e comotal poderá também ser derivável. Sua derivada será grafada como f ′′ = (f ′)′. Essanova função é chamada de derivada segunda (ou derivada de segunda ordem), poisé a derivada da derivada. Na notação Leibniziana, temos

d

dx

dy

dx

=

d2y

dx2.

Observação 56 Em geral, podemos interpretar a derivada segunda como uma taxainstantânea da taxa instantânea de mudança. O exemplo mais familiar é o conceitode aceleração, definida como: Se s = s(t) é a posição de um objeto que se move emlinha reta, sabemos que sua derivada primeira representa sua velocidade no tempot, isto é, v(t) = s′(t) = ds

dt.

A taxa instantânea de mudança da velocidade com respeito ao tempo é chamadade aceleração do objeto no tempo t, dada por a(t). Assim a função a(t) é a derivadada função velocidade, e portanto é a derivada segunda da função posição, ou seja,

a(t) = v′(t) = s′′(t).

Na notação de Leibniz temos

a =dv

dt=

d2s

dt2.

A derivada terceira da função f é a derivada da derivada segunda, isto é, f ′′′ =(f ′′)′, ou equivalentemente, em termos notacionais,

y′′′ = f ′′′(x) =d

dx

d2y

dx2

=

d3y

dx3.

A taxa instantânea da aceleração é um arranco (chamado jerk em inglês).Derivadas de mais altas ordens podem ser definidas de forma equivalente, isto

é, a derivada n-ésima de f , denotada em geral por f (n), para n ≥ 4, é obtidaderivando-se n vezes a função f .

Exemplo 115 Seja f(x) = x3 − x para todo x real. Encontre f ′′, f ′′′ e f (4).

3.6 Derivadas de Funções Elementares

Nesta seção veremos como derivar funções constantes, polinomiais, potências, expo-nenciais, logarítimicas e trigonométricas.

Derivada da Função Constante

d

dx(c) = 0

66

Derivada da Função Potência

d

dx(xα) = αxα−1

Exemplo 116 Derive as seguintes funções:(a) f(x) = 8x3 − 3x2 + 5x+ 2(b) f(x) =

1

x2+

23√x2

(c) f(x) =x7 +

3

x

− 3√x+

1

2x2− 2

Derivada da Função Exponencial

d

dx(ax) = ax ln a

d

dx(ex) = ex

Exemplo 117 Derive as seguintes funções:(a) f(x) = 8x33x + x2e−x

(b) f(x) =2x + 3x

1− ex

Derivada da Função Logarítmica

d

dx(loga x) =

1

x ln a

d

dx(ln x) =

1

x

Exemplo 118 Derive as seguintes funções:

(a) f(x) = log3 7√x+

e−x

ln x3(b) f(x) = (2x + 3x3) ln 4x2

67

Derivada das Funções Trigonométricas

d

dx(sen x) = cosx

d

dx(cosx) = − sen x

d

dx(tg x) = sec2 x

d

dx(secx) = secx tg x

d

dx(cotg x) = − cossec2x

d

dx(cossec x) = −cossec x cotg x

Exemplo 119 Derive a função f(x) =secx

1 + tg xe reconheça os pontos do domínio

de f cuja tangente é horizontal.

Exemplo 120 Um objeto preso à extremidade de uma mola é esticado para 4 cmde sua posição de repouso e em t = 0 é liberado conforme a figura abaixo:

Sua posição no tempo t é dada por s = s(t) = 4 cos t. Obtenha a velocidade e aaceleração do objeto no tempo t.

Exemplo 121 Seja f(x) = cosx. Encontre f (27)(x).

3.7 Derivada da Função Composta

Sejam u uma função derivável no ponto x e f uma função derivável no ponto g(x).Então, se existir a composta h = f g ela será derivável no ponto x e teremos

h′(x) = f ′(g(x))g′(x).

Portanto, a derivada da composta é igual à derivada da função f , calculada emg(x), vezes a derivada de g, calculada em x.

Esse resultado é também chamado de Regra da Cadeia.

68

Na notação de Leibniz temos, se y = f(u) e u = g(x), então temos

dy

dx=

dy

du

du

dx.

Exemplo 122 Calcular a derivada de h(x) = (2x3 + 4x+ 1)5, x ∈ R.

Exemplo 123 Calcular a derivada de h(x) = cos(−2x2 − x), x ∈ R.

Exemplo 124 Calcular a derivada de h(x) = x3esen(−2x), x ∈ R.

Exemplo 125 Calcular a derivada de h(x) = ln(1− 2x), x ∈ (−∞, 1/2).

Exemplo 126 Seja g(x) = ecx + f(x) e h(x) = ekxf(x) com f(0) = 3, f ′(0) = 5 ef ′′(0) = −2.

(a) Encontre g′(0) e g′′(0) em termos de c.(b) Encontre a equação da reta tangente à curva h(x) no ponto x = 0, em termos

de k.

Assim temos as seguintes regras de derivação para funções não elementares con-struídas a partir de uma função u = u(x):

• d

dx(uα) = αuα−1u′

• d

dx(au) = au · ln a · u′

• d

dx(eu) = eu · u′

• d

dx(loga u) =

u′

u ln a

• d

dx(lnu) =

u′

u

• d

dx(sen u) = cosu · u′

• d

dx(cosu) = −sen u · u′

• d

dx(tg u) = sec2 u · u′

• d

dx(secu) = secu·tg u · u′

• d

dx(cotg u) = − cossec2u · u′

• d

dx(cossec u) = −cossec u·cotg u · u′

69

3.8 Derivada da Função Inversa

Seja y = f(x) uma função que admite inversa e é derivável no intervalo I e tal quef ′(x) = 0, ∀x ∈ I. Então, a função inversa f−1(y) é derivável em todo y ∈ f(I) e

(f−1)′(y) =1

f ′(x),

onde a derivada f ′(x) deve ser calculada em x = f−1(y), ou seja,

(f−1)′(y) =1

f ′(f−1(y)).

Observação 57 Na notação de Leibniz temos

dx

dy=1dydx

=

dy

dx

−1

Exemplo 127 Seja f : (0,∞)→ (0,∞), y = f(x) = x3.(a) Calcule dy

dx.

(b) Encontre a função inversa x = f−1(y) e calcule dxdy.

(c) Calcule agora dxdy

por meio da igualdade dxdy= 1

dy

dx

e compare o resultado com

o obtido em (b).

3.8.1 Derivadas das Funções Trigonométricas Inversas

As derivadas podem ser obtidas normalmente pela derivada da função inversa dis-cutida anteriormente. Elas são:

Derivada das Funções Trigonométricas Inversas Elementares

d

dx(sen−1 x) =

1√1− x2

d

dx(cos−1 x) = − 1√

1− x2

d

dx(tg−1 x) =

1

1 + x2d

dx(sec−1 x) =

1

x√x2 − 1

d

dx(cotg−1x) = − 1

1 + x2d

dx(cossec−1x) = − 1

x√x2 − 1

Derivada das Funções Trigonométricas Inversas Compostas

d

dx(sen−1 u) =

u′√1− u2

d

dx(cos−1 u) = − u′√

1− u2

d

dx(tg−1 u) =

u′

1 + u2d

dx(sec−1 u) =

u′

u√u2 − 1

d

dx(cotg−1u) = − u′

1 + u2d

dx(cossec−1u) = − u′

u√u2 − 1

70

3.9 Derivação Implícita

Até aqui estudamos as funções em que a variável dependente y é dada explicita-mente em termos da variável independente x através de uma relação y = f(x). Porexemplo, a função quadrática

y = 3x2 − 5x+ 2, para x ∈ R.

Há funções, contudo, que são definidas implicitamente através de uma equaçãoda forma F (x, y) = 0 envolvendo as variáveis x e y.

Um exemplo simples é a equação da circunferência de raio 1 dada como x2+y2−1 = 0. Nesse caso é possível resolver a equação em y e obtém-se as funções:

y =√1− x2, se − 1 ≤ x ≤ 1 ou y = −

√1− x2, se − 1 ≤ x ≤ 1.

No entanto, há equações mais complicadas onde a resolução explícita de y emtermos de x não é simples ou possível como é o caso da equação

2xy2 + cos(xy) + 1 = 0.

O objetivo da regra de derivação implícita é o de calcular a derivada da y, comofunção de x, quando y é dada implicitamente.

A regra consiste em derivar os dois membros da equação em relação a x usandoa regra da cadeia quando preciso e, em seguida, isolar o termo dy

dx.

Exemplo 128 Calcule dydx

para a equação x2+y2−25 = 0, dada pela circunferênciade centro na origem e raio 5 e obtenha a equação da reta tangente a ela no ponto(3, 4).

Exemplo 129 A figura abaixo representa o chamado Folium de Descartes é é car-acterizado pela equação x3 + y3 = 6xy.

(a) Encontredy

dx.

(b) Encontre a equação da reta tangente ao Folium de Descartes no ponto (3, 3).

Exemplo 130 Calcule dydx

para a equação 2xy2 + cos(xy) + 1 = 0.

71

3.10 Intervalos de Crescimento e de Decrescimento

Vimos no Capítulo 1 que, dado I um intervalo do domínio da função f ,(i) f é dita estritamente crescente em I, se para todo x1 < x2 em I, temos

f(x1) < f(x2); e(ii) f é dita estritamente decrescente em I, se para todo x1 < x2 em I, temos

f(x1) > f(x2).A seguinte proposição estabelece um critério para se determinar onde uma função

é crescente ou decrescente:

Proposição 7 Seja f(x) uma função derivável no intervalo (a, b).(a) Se f ′(x) = 0, para todo x ∈ (a, b), então f(x) é constante em (a, b).(b) Se f ′(x) > 0, para todo x ∈ (a, b), então f(x) é estritamente crescente em

(a, b).(c) Se f ′(x) < 0, para todo x ∈ (a, b), então f(x) é estritamente decrescente em

(a, b).

Exemplo 131 Estude os intervalos de crescimento e decrescimento de f(x) = x3−3x2 para todo x real.

3.11 Máximos e Mínimos

O tratamento teórico da obtenção de máximos e mínimos possibilita resolver váriosproblemas concretos de otimização. Basicamente, se tratará de definir uma funçãoassociada a uma situação concreta, e de encontrar os maiores e menores valorestomados por ela. Primeiro, definiremos o que significa “maior/menor valor”, nosentido global e local. Em seguida veremos como a derivada aparece na procuradesses valores.

Para estudarmos os pontos de máximo e mínimos locais, necessitamos da definiçãode ponto crítico.

Definição 27 Dada a função f(x), um ponto x0 ∈ D(f) é chamado de ponto

crítico da função quando:(i) f não é derivável em x0; ou(ii) f é derivável em x0 e f ′(x0) = 0.

Definição 28 Considere uma função f : I → R.(i) Um ponto x0 ∈ I é chamado de máximo global de f se f(x) ≤ f(x0) para

todo x ∈ I. Diremos então que f atinge o seu valor máximo em x0.(ii) Um ponto x0 ∈ I é chamado de mínimo global de f se f(x) ≥ f(x0) para

todo x ∈ I. Diremos então que f atinge o seu valor mínimo em x0.

Um problema de otimização consiste em achar um extremo (isto é, um mínimoou um máximo) global de uma função dada.

Exemplo 132 Seja a função f(x) = x2, em I = [−1, 2]. Encontre o seu mínimo emáximo globais, caso existam.

72

Exemplo 133 Seja a função f(x) = x2, em I = (−1, 2). Encontre o seu mínimo emáximo globais, caso existam.

Exemplo 134 Seja a função f(x) =1

1− xem I = [0, 1). Encontre o seu mínimo

e máximo globais, caso existam.

Exemplo 135 Seja a função f(x) =

x, se 0 ≤ x < 10, se x = 1x− 2, se 1 < x ≤ 2

. Verifique que a

função é limitada, mas não possui extremos globais.

O seguinte resultado garante que se a função é contínua e o intervalo fechado,então sempre existem extremos globais.

Proposição 8 Sejam a < b, e f uma função contínua em [a, b]. Então f possuimínimo e máximo globais em [a, b].

Definição 29 Considere uma função f : I → R.(i) Um ponto x0 ∈ I é chamado de máximo local de f se existir um intervalo

aberto B ∋ x0, tal que f(x) ≤ f(x0) para todo x ∈ B.(ii) Um ponto x0 ∈ I é chamado de mínimo local de f se existir um intervalo

aberto B ∋ x0, tal que f(x) ≥ f(x0) para todo x ∈ B.

A figura a seguir mostra uma função com máximo global em x1 e máximo localem x2:

Observe que um ponto de máximo (resp. mínimo) global, quando pertencenteao interior do domínio, é local ao mesmo tempo. Vejamos agora como que extremoslocais podem ser

encontrados usando derivada.

73

Proposição 9 Seja f uma função com um máximo (resp. mínimo) local em x0. Sef é derivável em x, então f ′(x0) = 0.

A seguir apresentaremos uma condição suficiente para a existência de máximo emínimos.

Proposição 10 Seja f : I → R uma função derivável em I exceto, talvez, numponto crítico x0 ∈ I. Se existir a < x0 e x0 < b tal que

(a) f ′(x) > 0, ∀x ∈ (a, x0), e f ′(x) < 0, ∀x ∈ (x0, b), então f tem um máximolocal em x0; ou

(b) f ′(x) < 0, ∀x ∈ (a, x0), e f ′(x) > 0, ∀x ∈ (x0, b), então f tem um mínimolocal em x0.

Exemplo 136 Seja f(x) = 3

(x− 1)2 para todo x real.

(a) Obtenha f ′(x) e verifique que a função é derivável em todos os pontos, excetoem x0 = 1.

(b) Mostre que f(x) é estritamente decrescente em (−∞, 1) e estritamente cres-cente em (1,∞) e que x0 = 1 é ponto de mínimo absoluto da função.

Um outro critério para determinar extremos de uma função se por meio dasegunda derivada.

Proposição 11 Seja f : I → R uma função derivável em todo x ∈ I sendo I umintervalo aberto e x0 ∈ I um ponto crítico de f . Se existir f ′′(x0), e:

(i) f ′′(x0) < 0 então x0 é ponto de máximo local;(ii) f ′′(x0) > 0 então x0 é ponto de mínimo local.

Exemplo 137 Determine os pontos de máximos e mínimos locais da função f(x) =2x4 + 8

3x3 − 8x2, para todo x real e esboçe o gráfico da função.

Observação 58 Quando f ′′(x0) = 0, com x0 ∈ I um ponto crítico de f , entãonada se pode afirmar, pois o ponto pode ser de sela ou um máximo ou mínimo.Devemos estudar a variação de sinal de f ′(x) numa vizinhança de x0 e verificar sepassa de negativa a positiva (ponto de mínimo), ou de positiva a negativa (pontode máximo), ou finalmente se não muda de sinal (ponto de sela. Vejamos os doisexemplos a seguir.

Exemplo 138 Seja f(x) = 3x3 + 1 para todo x real. Verifique x = 0 é um pontocrítico de f , que f ′′(0) = 0, e finalmente que x = 0 é um ponto de sela.

Exemplo 139 Seja f(x) = 2x4 − 2 para todo x real. Verifique x = 0 é um pontocrítico de f , que f ′′(0) = 0, e finalmente que x = 0 é um ponto de mínimo.

74

3.12 Concavidade e Pontos de Inflexão

Definição 30 Seja f : I → R uma função contínua no intervalo I e derivável emx0 ∈ I. Diz-se que o gráfico da f(x) tem concavidade positiva (negativa) em x0quando existe uma vizinhança V deste ponto, isto é, um intervalo aberto contido nointervalo I e que contém x0, tal que para todo x ∈ V o gráfico da função está acima(abaixo) da reta tangente ao ponto da curva com abcissa x0.

Um critério para se determinar a concavidade de uma função é dado pela seguinteproposição:

Proposição 12 Seja f uma função derivável até segunda ordem no intervalo I esuponha que em x0 ∈ I, f ′′(x0) = 0. Nesse caso,

(i) se f ′′(x0) > 0, o gráfico da f tem concavidade positiva (para cima) em x0;(ii) se f ′′(x0) < 0, o gráfico da f tem concavidade negativa (para baixo) em x0.

Definição 31 Um ponto do domínio de uma função f, no qual f é contínua, échamado de ponto de inflexão quando neste ponto a função muda de concavi-dade.

Exemplo 140 Analisar a concavidade das funções:(a) f(x) = 3x2 − 2x+ 1, para x ∈ R.(b) f(x) = x3 − 3x+ 6, para x ∈ R.

Proposição 13 Seja f uma função derivável até segunda ordem num intervalo I esuponha que x0 ∈ I é a abcissa de um ponto de inflexão do gráfico da f. Então,f ′′(x0) = 0.

Observação 59 A proposição anterior dá uma condição necessária porém não su-ficiente para que x0 seja um ponto de inflexão da f. Não basta que f ′′(x0) = 0 emalgum x0 para que (x0, f(x0)) seja um ponto de inflexão.

Exemplo 141 Seja a função f(x) = x4, x ∈ [−1, 1].(a) Verifique a existência de pontos críticos de f.(b) Verifique que f ′′(0) = 0, mas x0 = 0 não é ponto de inflexão de f.

Exemplo 142 Seja a função f(x) = 3√x, x ∈ R.

(a) Verifique que a função é estritamente crescente e não possui extremos.(b) Verifique f ′′ não está definida em x0 = 0, mas x0 = 0 é ponto de inflexão da

curva.

3.13 Diferencial

Seja f(x) uma função contínua e derivável em x0 ∈ I. Da interpretação geométricada derivada, sabemos que f ′(x0) é o coeficiente angular da reta tangente ao gráficode f , no ponto (x0, f(x0)).

75

Seja dx um acréscimo a x0 e defina dy =tgα.dx. Como tg α = f ′(x0), então

dy = f ′(x0).dx

O número dy é chamado de diferencial da função y = f(x), no ponto x = x0.Vamos denotar por ∆y o acréscimo sofrido por f quando se dá um acréscimo dx

a x0, ou seja,∆y = f(x0 + dx)− f(x0)

Se o acréscimo dx for suficientemente pequeno, podemos esperar que a diferença∆y − dy seja também pequena e podemos aproximar ∆y pela diferencial dy, sendody = f ′(x0)dx, ou seja

f(x0 + dx) ≈ f(x0) + f ′(x0)dx.

Para entender melhor esse resultado, chame x0 + dx de x na equação anterior.Em seguida, faça dx = x− x0. Obtemos que

f(x) ≈ f(x0) + f ′(x0) (x− x0) .

A equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (x0, f(x0)) é y = f(x0) +f ′(x0) (x− x0) onde (x, y) são as coordenadas de um ponto da reta. Comparandoessa expresão com a expressão anterior segue que o gráfico da função f(x), para xpróximo de x0, pode ser aproximado por uma linha reta (ou uma função afim).

Exemplo 143 Calcule um valor aproximado para o acréscimo ∆y da função y = x2

no intervalo de x = 1 a 1 + dx = 1, 001, e compare-o com o valor real.

Exemplo 144 O raio r de uma esfera está variando, com o tempo, a uma taxaconstante de 5 m/s. Com que taxa estará variando o volume da esfera no instanteem que o raio mede 2 m?

76

3.14 Teoremas de Rolle e do Valor Médio

3.14.1 Teorema de Rolle

Proposição 14 Seja f : [a, b]→ R uma função contínua. Se f é derivável em (a, b)e f(a) = f(b), então existe pelo menos um x0 ∈ (a, b) onde f ′(x0) = 0.

O teorema de Rolle garante a existência de pelo menos um x0 ∈ (a, b) ondef ′(x0) = 0. Mas pode haver mais de um ponto no intervalo com esta propriedade.Confira o exemplo a seguir.

Exemplo 145 O polinômio f(x) = x3−4x é uma função contínua e derivável paratodo x ∈ R, e f(2) = f(−2) = 0. O Teorema de Rolle, então, garante a existênciade um x0 ∈ (−2, 2) onde f ′(x0) = 0. Encontre esse(s) ponto(s).

Observação 60 O teorema de Rolle tem uma interpretação geométrica simples queé a seguinte: Lembre-se que a derivada de uma função num ponto x0 é igual aocoeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto (x0, f(x0)). Sef ′(x0) = 0, isso significa que a reta tangente no ponto (x0, f(x0)) é paralela ao eixox.

3.14.2 Teorema do Valor Médio

Proposição 15 Seja f : [a, b] → R uma função contínua. Se f é derivável em(a, b), existe x0 ∈ (a, b) tal que

f ′(x0) =f(b)− f(a)

b− a.

Observação 61 Quando f(a) = f(b), o Teorema do Valor Médio implica f ′(x0) =0 para algum x0 ∈ (a, b), que é o resultado do Teorema de Rolle.

Observação 62 O Teorema do Valor Médio tem uma interpretação física que é aseguinte: Se f(t) descreve a posição de um móvel no intervalo de tempo [a, b], entãoem algum instante t0 ∈ (a, b), a velocidade instantânea do móvel em t0 é igual àvelocidade média do móvel no intervalo [a, b]. Isso significa que, se um carro viaja àvelocidade média de 60 km/h, então, pelo menos em um momento durante a viagem,a velocidade (instantânea) do carro foi precisamente 60 km/h.

Observação 63 Geometricamente, o teorema afirma que existe pelo menos uma co-ordenada x0 ∈ (a, b) tal que a reta tangente ao gráfico da função no ponto (x0, f(x0))é paralela à reta que passa pelos pontos (a, f(a)) e (b, f(b)), como indica a figura aseguir:

77

Exemplo 146 Verifique se as condições do Teorema do Valor Médio são satisfeitaspela função f(x) = x3 + 3x2 − 5 em [−1, 2]. Determine os pontos desse intervaloonde se verifica a afirmação do teorema.

3.15 Problemas de Maximização e Minimização

O cálculo da derivada tem aplicação concreta em problemas onde precisa-se determi-nar quando uma determinada função tem seu valor máximo ou mínimo. Esta funçãopode descrever diversas estruturas, tais como o volume de uma caixa, a velocidadede um móvel, etc. Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 147 Pretende-se fazer uma caixa de papelão a partir de uma lâmina re-tangular de 1 metro de largura e 2 metros de comprimento, recortando-se quadradosiguais em cada canto da lâmina para obter os lados da caixa, como mostra a figura.Qual o comprimento dos lados dos quadrados para que o volume da caixa seja máx-imo?

Exemplo 148 Dentre os retângulos contidos debaixo da parábola y = 1−x2, com olado inferior no eixo x, qual é que tem maior área? Considere a família dos retân-gulos inscritos debaixo da parábola:

78

Exemplo 149 Uma corda de tamanho L é cortada em dois pedaços. Com o primeiropedaço, faz-se um quadrado, e com o segundo, um círculo. Como que a corda deveser cortada para que a área total (quadrado + círculo) seja máxima? mínima?

3.16 Regra de L’Hôpital

A seguir apresentamos algumas regras para o cálculo de limites associados a inde-terminações do tipo 0/0, ±∞/±∞, 0.±∞, ±∞∓∞, 1±∞, ∞0 e 00 . Estas regrasbaseiam-se no cálculo da derivada e são chamadas de regras de L´Hôpital.

3.16.1 Indeterminações do Tipo 0/0 e ±∞/±∞

Considere o limite limx→af(x)

g(x), tais que

(a) limx→a f(x) = 0 e limx→a g(x) = 0 ou(b) limx→a f(x) = ±∞ e limx→a g(x) = ±∞.Nesses casos, pode-se provar que

limx→a

f(x)

g(x)= lim

x→a

f ′(x)

g′(x).

Se a indeterminação persistir, então seguimos adiante com

limx→a

f(x)

g(x)= lim

x→a

f ′′(x)

g′′(x)

e assim até que a indeterminação desapareça. A regra, é claro, pressupõe que asfunções f e g são deriváveis.

Exemplo 150 Calcule os limites abaixo:

(a) limx→0sen(6x)

4x.

(b) limx→∞x2

e2x.

(c) limx→1sen(x3 − 1)

x2 − 1 .

(d) limx→2(x2 − 3)cossec(2x−4).

79

3.16.2 Indeterminações do Tipo 0.±∞Ocorre quando se considera limites da forma limx→a f(x)g(x), tais que limx→a f(x) =0 e limx→a g(x) = ±∞. A ideia é reescrever os limite como

limx→a

f(x)g(x) = limx→a

f(x)1

g(x)

ou

limx→a

f(x)g(x) = limx→a

g(x)1

f(x)

para recair nas indeterminações 0/0 e ±∞/ ±∞ do caso anterior e resolver comoantes.

Exemplo 151 Calcular limx→π/2(1−2x

π)tg x.

3.16.3 Indeterminações do Tipo ±∞∓∞Ocorrem no cálculo do limite limx→a [f(x) + g(x)], tais que limx→a f(x) = ±∞ elimx→a g(x) = ∓∞. Uma possibilidade é reescrever os limite como

limx→a

[f(x) + g(x)] = limx→a

f(x)

1 +

g(x)

f(x)

para recair no caso 0.±∞ anterior e repetir a heurística.

Exemplo 152 Calcule limx→1

2

x2 − 1 −1

x− 1

.

3.16.4 Indeterminações do Tipo 1±∞ , ∞0 e 00

As indeterminações do tipo 1±∞ , ∞0 e 00 ocorrem nas situações em que temoslimx→a [f(x)]

g(x), com(a) limx→a f(x) = 1 e limx→a g(x) = ±∞ ou(b) limx→a f(x) =∞ e limx→a g(x) = 0 ou(c) limx→a f(x) = 0 e limx→a g(x) = 0.O caso (a) já foi discutido antes. De qualquer forma em quaisquer desses três

casos a estratégia é tomar

limx→a

[f(x)]g(x) = limx→a

eln[f(x)]g(x)

= limx→a

eg(x) ln[f(x)]

= elimx→a g(x) ln[f(x)]

Exemplo 153 Calcule limx→0 xx.

Exemplo 154 Calcule limx→∞ (2x+ 1)13x .

80

3.17 Exercícios

Exercício 77 Associe os gráficos das funções de (a) a (d) com os gráficos de suasderivadas de (I) a (IV).

Exercício 78 Sejam os gráficos abaixo de funções. Estabeleça os pontos em que afunção não é derivável explicando claramente o porquê.

(a) (b)

(c) (d)

81

Exercício 79 Use as regras de derivação para calcular as derivadas das seguintesfunções. Quando for possível, simplifique a expressão obtida.

(i) y = 2x3 − 4x7(ii) y = 1 + 7

√x3 − 1√

x5− 2x−3

(iii) y = (x2 + 1) sen x cosx(iv) y = (2x2 + x)

8

(v) y =x

x+√9 + x2

(vi) y = sen (sen 2x)− cos√2 + 3x2

(vii) y = −3eex2

(viii) y = ln1 + cosx

sen x

(ix) y = (sen x)x

(x) y = x√x

(xi) y = cos (arcsen x)(xii) y = arcsen (cosx)

Exercício 80 A exponencial na base e permite definir três funções fundamentaischamadas respectivamente seno hiperbólico, cosseno hiperbólico, tangente hiper-

bólica, cotangente hiperbólica, secante hiperbólica e cossecante hiperbólica,definidas como

senh x =ex − e−x

2, cosh x =

ex + e−x

2, tgh x =

ex − e−x

ex + e−x,

cotgh x =ex + e−x

ex − e−x, sech x =

2

ex + e−x, e cossech x =

2

ex − e−x.

Pede-se:(a) Mostre que cosh2x− senh2x = 1.(b) Mostre que cosh x é uma função par, e que senh x e tgh x são ímpares.(c) Mostre que (senh x)′ = cosh x.(d) Mostre que (cosh x)′ = senh x.

(e) Mostre que (tgh x)′ = 1− tgh2 x =1

cosh2x= sech2x.

Exercício 81 Use a derivação implícita para encontrar à reta tangente à curva noponto dado:

(a) ysen 2x = x cos 2y, P (π/2, π/4).

(b) x2 + y2 = (2x2 + 2y2 − x)2, P (0, 1/2) (cardióide)

82

(c) 2 (x2 + y2)2= 25 (x2 − y2), P (3, 1) (lemniscata)

(d) y2 (y2 − 4) = x2 (x2 − 5), P (0,−2) (curva do Diabo)

Exercício 82 Encontre as coordenadas de todos os pontos da curva y = 2x4+6x3+72x2 − 5x + 3

2, nos quais a reta tangente à curva é paralela à reta tangente à curva

no ponto (−1, 6). Encontre também as equações dessas retas tangentes.

Exercício 83 O gráfico a seguir representa à curva de equação y =(ln x) 2

x, para

x > 0.

(a) Encontre o valor de a.

(b) Encontredy

dx.

Exercício 84 Seja f(x) = ax2 + bx+ c, com a, b e c constantes reais. Mostre quepara todo x1 = x2 temos

f (x2)− f (x1)

x2 − x1=

f ′ (x2) + f ′ (x1)

2.

83

Exercício 85 O deslocamento em metros de uma partícula t segundos após passarpela origem é dado pela expressão

s(t) = ln2− e−t

para t ≥ 0.(a) Encontre a expressão v(t) para a velocidade da partícula no instante t.(b) Encontre a expressão a(t) para a aceleração da partícula no instante t.(c) Obtenha a aceleração da partícula no instante t = 0.

Exercício 86 Considere a curva de equação y2 − 2xy = 5 − ex. Sabendo-se que oponto A = (0, a) pertence à curva. Pede-se:

(a) Calcular o valor de a.

(b) Mostrar quedy

dx=2y − ex

2(y − x).

(c) Encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto A.(d) Encontrar a equação da reta normal à curva no ponto A.

Exercício 87 A população de bactérias (em 1.000) no tempo t em horas é modeladapela função

P (t) = 10 + et − 3tpara t ≥ 0.

(a) EncontredP

dte explique o seu significado.

(b) Encontre o tempo em que a taxa de crescimento da população de bactérias éde seis milhões por hora.

(c) Encontred2P

dt2e explique o seu significado.

(d) Encontre o número mínimo de bactérias da população, justificando sua re-sposta.

Exercício 88 O raio de uma circunferência cresce a uma taxa de 1, 2 cm por min-uto. Obtenha a taxa de crescimento da área da circunferência quando o raio é 25cm.

Exercício 89 O volume de um cubo está crescendo a uma velocidade de 24 cm3/s.Qual a taxa de crescimento dos lados do cubo quando o volume é 1.000 cm3?

Exercício 90 Uma esfera sólida está se dissolvendo uniformemente de tal formaque seu raio decresce a uma velocidade de 2% de seu comprimento por segundo.Com que taxa percentual o volume da esfera decresce?

Exercício 91 Um container na forma de um cone circular invertido cujo raio dabase mede 10 cm e cuja altura mede 50 cm recebe água a uma velocidade de 5cm3/min. Encontre a taxa de crescimento do nível de água quando a água atinge aaltura de 10 cm.

84

Exercício 92 Considere as funções f , g : R→ R, f(x) = 2x3 − 4x2 + 6x e g(x) =5x2 − 6x+ 1.

(a) Mostre que a equação f(x) = g(x) possui ao menos uma raiz no intervalo[0, 3];

(b) Mostre que a equação f(x) = g(x) possui somente uma raiz no intervalo[0, 3];

(c) Mostre que a equação f(x) = g(x) não possui raiz fora do intervalo [0, 3].

Exercício 93 Dada a função f(x) =(x+ 1)2

x2 + 1. Pede-se:

(a) Encontre as assíntotas verticais e as assíntotas horizontais do gráfico de f,caso existam.

(b) Determine os intervalos onde f é crescente e aqueles onde f é decrescente.(c) Obtenha os valores máximos locais e os valores mínimos locais de f, caso

existam.(d) Determine os pontos do gráfico de f onde a concavidade é para cima e aqueles

onde esta é para baixo.(e) Esboce o gráfico de f a partir dos resultados anteriores.

Exercício 94 Dada a função f(x) =16x2 − 67x+ 16(8x− 1) (x− 8) . Pede-se:

(a) Estabeleça o domínio da função f.(b) Encontre as assíntotas verticais e as assíntotas horizontais do gráfico de f,

caso existam.(b) Determine os intervalos onde f é crescente e aqueles onde f é decrescente.(c) Obtenha os valores máximos locais e os valores mínimos locais de f, caso

existam.(d) Determine os pontos de inflexão do gráfico de f e os intervalos onde a con-

cavidade é para cima e aqueles onde esta é para baixo.(e) Esboce o gráfico de f a partir dos resultados anteriores.

Exercício 95 Em cada um dos casos a seguir, mostre que a afirmação do Teoremade Rolle é verificada, achando explicitamente o ponto x0.

(a) f(x) = x2 + x, a = −2 e b = 1.(b) f(x) = x4 + x, a = −1 e b = 0.

85

Exercício 96 Considere os pontos A = (1, 3), B = (8, 4). Determine o ponto C doeixo x, tal que o perímetro do triângulo ABC seja mínimo.

Exercício 97 Qual é o triângulo isósceles de maior área que pode ser inscrito dentrode uma circunferência de raio r?

Exercício 98 Calcule os limites abaixo:(i) limx→0

tgx− x

x3.

(ii) limx→2x2 − x− 23x2 − 5x− 2 .

(iii) limx→0ln 1

1+x

sen x.

(iv) limx→01 + sen x− cosx

tg x.

(v) limx→0ln (1 + x)− ln(1− x)

sen x.

(vi) limx→0+ (1 + x)lnx.

(vii) limx→∞ (ex + x2)1x .

(viii) limx→0+√1 + x

1x .

(ix) limx→0+ xxx

.(x) limx→0 (sen x)sen x.

86

Capítulo 4

Integral

4.1 Introdução

O problema original e fundamental do cálculo integral era de calcular comprimentos,áreas, e volumes de objetos geométricos no plano ou no espaço, em particular deobjetos mais gerais do que aqueles considerados em geometria elementar que sãoretângulos, triângulos, círculos (no plano), ou paralelepípedos, cones, esferas (noespaço).

O maior avanço no cálculo integral veio com os trabalhos de Newton e Leibnizno fim do século XVI, em que a noção de derivada tem papel fundamental. Osmétodos desenvolvidos por Newton e Leibniz tornaram a integral uma ferramentacom inúmeras aplicações, bem além da geometria, em todas as áreas da ciência e daengenharia.

Nesse capítulo introduziremos a noção de integral para uma função f de umavariável real x.

4.2 Conceito de Área

A integral está ligada ao problema de determinar a área de uma figura plana qual-quer.

Para isso, motivaremos o entendimento do cálculo de área, usando o método doretângulo, de uma região R compreendida entre o gráfico de uma função f(x) comvalores positivos, o eixo x, em um intervalo fechado [a, b] conforme figura a seguir.

Talvez o primeiro contato que você tenha com o conceito de área seja a fórmula A =

87

b.h, que dá a área A de um retângulo como o produto da base b pela altura h. Logoa seguir você tem a área de um triângulo que é igual à metade do produto da basepela altura. Isto decorre do fato de que qualquer triângulo pode ser decomposto emdois triângulos retângulos, e todo triângulo equivale exatamente a meio retângulo,conforme figura a seguir:

Dada a fórmula A =bh

2para a área de um triângulo, pode-se, encontrar a área de

qualquer polígono. A razão é que qualquer figura poligonal pode ser subdivididaem triângulos que não se superpõem, a área do polígono é então a soma das áreasdesses triângulos. Essa abordagem de área remonta ao Egito e à Babilônia de muitosmilênios atrás.

Os problemas de calcular a área não apresentam grande dificuldade se a figuraplana for um retângulo, um paralelogramo ou um triângulo.

A área de uma figura plana qualquer pode ser calculada aproximando a figura porpolígonos cujas áreas possam ser calculadas pelos métodos da geometria elementar.

Isto nos motiva a considerar agora o problema de calcular a área de uma região Rdo plano, limitada por duas retas verticais x = a e x = b, pelo eixo x e pelo gráficode uma função f(x) limitada e não negativa no intervalo fechado [a, b], conformefigura abaixo:

4.3 A Integral de Riemann

De modo geral, a área da região R delimitada pelo gráfico de uma função f : [a, b]→R pode ser definida via um processo de limite, da seguinte forma:

88

Vamos fazer uma partição P do intervalo [a, b] , isto é, vamos dividir o intervalo[a, b] em n subintervalos, por meio dos pontos x0, x1, x2, ..., xn, escolhidos arbitrari-amente da seguinte maneira: a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b, conforme a figura aseguir:

O comprimento do i-ésimo subintervalo, [xi−1, xi], é dado por xi = xi − xi−1.Vamos construir retângulos de base xi = xi − xi−1 e altura f(ci) onde ci é umponto do intervalo [xi−1, xi].

Da figura acima, temos:

• x1 = x1 − x0 é a base e f(c1) é a altura do primeiro retângulo;

• x2 = x2 − x1 é a base e f(c2) é a altura do segundo retângulo;...

• xi = xi − xi−1 é a base e f(ci) é a altura do i-ésimo retângulo;...

• xn = xn − xn−1 é a base e f(cn) é a altura do n-ésimo retângulo.

Logo, a área de cada retângulo será:

• x1× f(c1) é a área do primeiro retângulo;

• x2 × f(c2) é a área do segundo retângulo;...

• xi × f(ci) é a área do i-ésimo retângulo;...

• xn × f(cn) é a área do n-ésimo retângulo.

89

Assim a soma das áreas dos n retângulos, denotada por Sn, será

Sn = x1 × f(c1) +x2 × f(c2) + ...+xi × f(ci) + ...+xn × f(cn)

=n

i=1

f(ci)xi

Essa soma é chamada Soma de Riemann da função f relativa à partição P .Quando n cresce, é “razoável” esperar que a soma das áreas dos retângulos tenda àárea A sob a curva. Deste modo, definimos a medida da área A da região R comosendo

A = limn→∞

Sn = limn→∞

n

i=1

f(ci)xi,

se esse limite existir. E então se diz que a região R é mensurável.A integral está associada ao limite apresentado acima. Neste momento apre-

sentaremos a definição da integral que nasceu com a formulação dos problemas deáreas e citaremos as suas propriedades. Conforme terminologia introduzida anteri-ormente, temos a seguinte definição.

Definição 32 Seja f(x) uma função limitada definida no intervalo fechado [a, b]e seja P uma partição qualquer de [a, b]. A integral de f(x) no intervalo [a, b],denotada por

baf(x)dx, é dada por

b

a

f(x)dx = limn→∞

n

i=1

f(ci)xi

desde que o limite do segundo membro exista.

Observação 64 Na notação baf(x)dx, f(x) é chamada função integrando e

é

o símbolo da integral. Os números a e b são chamados limites de integração (a =limite inferior e b = limite superior).

Observação 65 É importante lembrar que baf(x)dx é um número, não uma função:

a variável x que aparece em baf(x)dx é usada somente para indicar que f está sendo

integrada, com a sua variável varrendo o intervalo [a, b]. Logo, seria equivalente es-crever essa integral

baf(t)dt,

baf(z)dz, etc, ou simplesmente

bafdx.

Observação 66 A definição de integrabilidade faz sentido mesmo se f não é posi-tiva. Neste caso, o termo f(ci)xi da soma de Riemann não pode ser mais inter-pretado como a área do i-ésimo retângulo, e

baf(x)dx não possui necessariamente

uma interpretação geométrica.

4.4 Propriedades da Integral

As propriedades da integral são dadas por:

90

• Se a função f(x) é integrável no intervalo fechado [a, b] e se k é uma constantereal qualquer, então b

a

kf(x)dx = k

b

a

f(x)dx.

• Se as funções f(x) e g(x) são integráveis no intervalo fechado [a, b] então f(x)±g(x) é integrável em [a, b] e

b

a

[f(x)± g(x)] dx =

b

a

f(x)dx± b

a

g(x)dx.

• Se a < c < b e a função f(x) é integrável em [a, c] e em [c, b], então f(x) éintegrável em [a, b] e

b

a

f(x)dx =

c

a

f(x)dx+

b

c

f(x)dx.

• Se a função f(x) é integrável e se f(x) ≥ 0 para todo x em [a, b], então b

a

f(x)dx ≥ 0.

• Se as funções f(x) e g(x) são integráveis no intervalo fechado [a, b] e f(x) ≥g(x) para todo x em [a, b], então

b

a

f(x)dx ≥ b

a

g(x)dx.

• Se a função f(x) é integrável no intervalo fechado [a, b] então |f(x)| é integrávelem [a, b] e

b

a

f(x)dx

≤ b

a

|f(x)| dx.

Calcular uma integral através do limite das Somas de Riemann é geralmente umatarefa árdua. Por isso nosso próximo objetivo é estabelecer o chamado TeoremaFundamental do Cálculo, o qual nos permite calcular muitas integrais de formasurpreendentemente fácil.

4.5 Primitivas

No estudo da derivada tínhamos uma função e obtivemos, a partir dela, uma outra,a que chamamos de derivada. Agora faremos o caminho inverso, isto é, dada aderivada, vamos encontrar ou determinar uma função original que chamaremos prim-itiva.

Você deve observar que é importante conhecer bem as regras de derivação eas derivadas de várias funções, estudadas no capítulo anterior, para determinarprimitivas.

O que acabamos de mencionar nos motiva a seguinte definição.

91

Definição 33 Uma função F (x) é chamada uma primitiva da função f(x) em umintervalo I, se para todo x ∈ I, tem-se F ′(x) = f(x).

Exemplo 155 Mostre que a função F (x) =x5

5+c é a primitiva de f(x) = x4, para

todo c ∈ R.

Exemplo 156 Mostre que a função F (x) = −e−3x

3+c é a primitiva de f(x) = e−3x,

para todo c ∈ R.

Exemplo 157 Mostre que a função F (x) =√x+ c é a primitiva de f(x) =

1

2√x,

para todo c ∈ R.

Observação 67 Seja I um intervalo em R. Se F : I → R é uma primitiva def : I → R, então para qualquer constante real k, a função G(x) dada por G(x) =F (x) + k é também uma primitiva de f(x). Se F,G : I → R são primitivas def : I → R, então existe uma constante real k tal que G(x) = F (x) + k , para todox ∈ I .

Exemplo 158 Encontre as primitivas de f(x) = cosx.

Exemplo 159 Encontre a primitiva F (x) de f(x) = cosx − sen x, de tal formaque F (0) = 0.

4.6 Teorema Fundamental do Cálculo

Este teorema permite calcular a integral de uma função utilizando uma primitiva damesma, e por isso, é a chave para calcular integrais. Ele diz que, conhecendo umafunção primitiva de uma função f(x) integrável no intervalo fechado [a, b], podemoscalcular a sua integral.

As considerações acima motivam o teorema a seguir.

Teorema 2 Se a função f(x) é integrável no intervalo fechado [a, b] e se F (x) éuma função primitiva de f(x) neste intervalo, então

b

a

f(x)dx = F (b)− F (a).

Costuma-se representar F (x)|ba = F (b)− F (a).

Observação 68 O Teorema Fundamental do Cálculo não só torna o cálculo de inte-grais mais simples, como também contém em si a relação entre a derivada, o limitee a integral. Isto porque o Teorema Fundamental afirma que o valor da integral, baf(x)dx, pode ser calculado com o auxílio de uma função F tal que a derivada de

F seja igual a f , possibilitando encontrar o valor de uma integral utilizando umaprimitiva da função integrando.

92

Observação 69 A partir do Teorema Fundamental do Cálculo, temos que:(i) aaf(x)dx = F (a)− F (a) = 0;

(ii) baf(x)dx = −

abf(x)dx.

Exemplo 160 Determine 20xdx.

Exemplo 161 Determine 31(x2 + 4) dx.

Exemplo 162 Calcular a integral 40f(x)dx onde

f(x) =

x2, se 0 ≤ x ≤ 22x, se 2 < x ≤ 4

4.7 Integral Indefinida

Sabemos que a derivada é um dos conceitos mais importantes do Cálculo. Outroconceito também muito importante é o de Integral.

Existe uma estreita relação entre estas duas idéias. Assim, nesta seção, seráapresentada a definição de integral indefinida e explicada sua relação com a derivada.

Definição 34 Define-se a integral indefinidaf(x)dx = F (x) + C, para qualquer

constante C real e F (x) a primitiva de f(x).

Observação 70 Assim, enquanto baf(x)dx é um número,

f(x)dx é uma função

de x.

Observação 71 Observe que

d

dx

f(x)dx =

d

dx[F (x) + C] = F ′(x) = f(x).

Observe também que

d

dx

x

a

f(t)dt =d

dx[F (x)− F (a)] = F ′(x) = f(x) e

d

dx

b

x

f(t)dt =d

dx[F (b)− F (x)] = −F ′(x) = −f(x).

Exemplo 163 Mostre quecosxdx = sen x+ C.

Exemplo 164 Mostre que 1

1 + x2dx = arctg x+ C.

4.7.1 Propriedades da Integral Indefinida

Sejam f(x) e g(x) funções reais integráveis definidas no mesmo domínio e k umaconstante real. Então verificam-se as seguintes propriedades:

•kf(x)dx = k

f(x)dx.

•[f(x)± g(x)] dx =

f(x)dx±

g(x)dx.

93

4.8 Integrais de Funções Elementares

Nesta seção apresentaremos a tabela de integrais imediatas para que, aplicando aspropriedades da integral indefinida, você possa calcular uma integral imediata deuma função.

kdx = kx+ Cdx = x+ C

xαdx =

xα+1

α+1+ C, se α = −1

1xdx = ln |x|+ C

Exemplo 165 Calcule:

(a) √

x− 8x+ 3x− 2x3

dx.

(b) 21

√x− 8x+ 3

x− 2x3

dx.

axdx =

ax

ln a+ C, para a > 0 e a = 1

exdx = ex + C

Exemplo 166 Calcule:

(a) 3ex − 2x + 1

x2

dx.

(b) 21

3ex − 2x + 1

x2

dx.

cosxdx = sen x+ C

sen xdx = − cos x+ C

94

sec2 xdx = tg x+ C

cossec2xdx = −cotg x+ C

secx.tg xdx = secx+ C

cossecx.cotg xdx = −cossec x+ C

tg xdx = ln |sec x|+ C

= − ln |cosx|+ C

cotg xdx = − ln |cossec x|+ C

= ln |sen x|+ C

secxdx = ln |secx+ tg x|+ C

cossecxdx = ln |cossecx− cotg x|+ C

Exemplo 167 Calcule:(a)(7x4 + sec2 x) dx.

(b) π/40(7x4 + sec2 x) dx.

1

a2 + x2dx = 1

aarctg x

a+ C

1√a2 − x2

dx = arcsen xa+ C

95

1

x√x2 − a2

dx = 1aarcsec x

a+ C

1

a2 − x2dx = 1

2aln

x+ a

x− a

+ C

1

x2 − a2dx = 1

2aln

x− a

x+ a

+ C

Exemplo 168 Calcule:

(a) 1

2 + x2dx.

(b) 1−1

1

2 + x2dx.

4.9 Integração por Substituição

Veremos nesta seção uma técnica utilizada com o objetivo de desenvolver o cálculode integrais de funções que possuem primitivas. A esta técnica damos o nome deintegração por substituição ou mudança de variável.

Proposição 16 Suponha que u seja derivável em [a, b], f uma função para a quala composta f u está definida, f e f(u(x))u′(x) integráveis, e F uma primitiva def . Então b

a

f(u(x))u′(x)dx = F (u(b))− F (u(a)).

Além disso f(u(x))u′(x)dx = F (u(x)) + C.

Exemplo 169 Calcular(i)2 (x2 + 5)

10xdx.

(ii) 102 (x2 + 5)

10xdx.

(iii) 3x2

1 + x3dx.

(iv) 207x

2xdx.

(v) 1

16 + 9x2dx.

(vi)e−5x

2xdx.

96

(vii)x cos(−3x2)dx.

(viii) x+ 1√

1− x2dx.

(ix) 1

x2 + 2x+ 2dx.

(x)sen2xdx. (Dica: lembre-se de que sen2x =

1− cos(2x)2

.)

(xi) ln x3

2xdx.

(xii) √

x

1 +√xdx.

(xiii) dx√

x− x2.

(xiv)tg2xdx.

4.10 Integração por Partes

Vimos que o método de integração por substituição decorreu da regra da cadeia.Vejamos agora qual método pode ser obtido a partir da regra de derivação de umproduto.

Sejam u(x) e v(x) duas funções diferenciáveis. Sabemos que

du(x)

dx= u′(x) e

dv(x)

dx= v′(x)

e com isso temosdu(x) = u′(x)dx e dv(x) = v′(x)dx.

Assim temos

d

dx[u(x)v(x)] = u′(x)v(x) + u(x)v′(x)

d

dx[u(x)v(x)] dx =

u′(x)v(x)dx+

u(x)v′(x)dx

u(x)v(x) =

u′(x)v(x)dx+

u(x)v′(x)dx

e assim u(x)v′(x)dx = u(x)v(x)−

u′(x)v(x)dx

ou equivalentemente

u(x)dv(x) = u(x)v(x)−

v(x)du(x)

ou finalmente, numa notação sintética, temos a chamada fórmula de integraçãopor partes:

udv = uv −

vdu.

97

Observação 72 A fórmula de integração por partes possui uma forma definida tam-bém, dada por

b

a

u(x)v′(x)dx = u(x)v(x)|ba − b

a

u′(x)v(x)dx

= u(b)v(b)− u(a)v(a)− b

a

u′(x)v(x)dx

Exemplo 170 Calcule as integrais abaixo:(i)xe2xdx.

(ii)x ln xdx.

(iii)ln xdx.

(iv)x2exdx.

(v)sen (x) cos (3x) dx.

(vi)e−xsen xdx.

(vii)x ln (1 + x) dx.

(viii) 30e√x+1dx.

(ix)x (ln x)2 dx.

(x)sen (ln x) dx.

4.11 Integração de Funções Racionais

Nesta seção estudaremos métodos para calcular primitivas da forma

P (x)

Q(x)dx,

em que P (x) eQ(x) são polinômios em x. Lembramos que um polinômio em x é umasoma finita de potências inteiras e não negativas de x: a0 + a1x+ a2x

2 + ...+ anxn,

em que os ai são constantes. Por exemplo, x3−x+1 é um polinômio, mas x2/3+√x

não é. Lembramos que o grau de um polinômio a0+a1x+a2x2+ ...+anx

n é o maioríndice i tal que ai = 0.

A primeira etapa tem como objetivo simplificar a expressãoP (x)

Q(x)para ser in-

tegrada.Estratégia 1: Se o grau de P for maior ou igual ao grau de Q, dividimos P por

Q.

Exemplo 171 Calcular x2

x2 + 1dx.

Exemplo 172 Calcular x3

x2 + 1dx.

98

Em geral, quando grau(P ) ≥ grau(Q), a divisão de P porQ dá R(x)+P (x)

Q(x)com

R(x) um polinômio de grau grau(P )− grau(Q) e grau(P ) < grau(Q). A primitivado primeiro polimômio R(x) é imediata, e o próximo passo é de estudar a primitiva

da razãoP (x)

Q(x). Portanto, é preciso agora desenvolver técnicas para calcular primi-

tivas de frações de polinômios, em que o grau do numerador é estritamente menorque o grau do denominador. Algumas já são imediatas ou obtidas por substituição,tais como:

1

x3dx = − 1

2x2+ C,

1

x2 + 1dx = arctg x+ C,

x

x2 + 1dx =

1

2lnx2 + 1

+ C.

O objetivo será de sempre decompor a fraçãoP (x)

Q(x)numa soma de frações ele-

mentares desse tipo. O método geral, descrito abaixo em exemplos simples, podeser resumido da seguinte maneira:Estratégia 2: Fatoramos completamente o polinômio Q, escrevendo-o como

um produto de fatores (possivelmente repetidos). Em seguida, procuramos uma

decomposição deP (x)

Q(x)em frações parciais.

Exemplo 173 Calcular 1

x2 − 1dx.

Exemplo 174 Calcular 1

x3 + xdx.

Exemplo 175 Calcular 1

x2 + 2x+ 3dx.

Exemplo 176 Calcular 1

x3 + 2x2 + xdx.

Exemplo 177 Calcular 1

x4 + 4x2dx.

4.12 Cálculo de Área entre Duas Curvas

Nesta seção abordaremos uma das aplicações da integral definida.Começaremos com a aplicação que motivou a definição deste importante conceito

matemático — a determinação da área de uma região R do plano. Outras aplicaçõesda integral definida, tais como, calcular volumes, comprimento de gráficos, áreas

99

de superfícies de sólidos de revolução, momentos e centro de massa, etc., serãoestudados no Cálculo II.

Vamos considerar sempre a região que está entre os gráficos de duas funções.Suponhamos então que f(x) e g(x) sejam funções contínuas no intervalo fechado

[a, b] e que f(x) ≥ g(x) para todo x em [a, b]. Então a área da região limitada acimapor y = f(x), abaixo por y = g(x) à esquerda pela reta x = a e à direita pela retax = b, conforme ilustra a figura a seguir, é

A =

b

a

[f(x)− g(x)] dx.

Quando a região não for tão simples como a da figura acima, é necessário umareflexão cuidadosa para determinar o integrando e os limites de integração. Segueabaixo um procedimento sistemático que podemos seguir para estabelecer a fórmula,utilizando os seguintes passos:Passo 1. Construa os gráficos das funções para estabelecer a região e determinar

qual curva limita acima e qual limita abaixo.Passo 2. Determine os limites de integração. Os limites a e b serão as abscissas

x dos dois pontos de interseção das curvas y = f(x) e y = g(x). Para tanto iguala-sef(x) e g(x), ou seja, faz-se f(x) = g(x) e resolve-se a equação resultante em relaçãoa x.Passo 3. Calcule a integral definida para encontrar a área entre as duas curvas.

Exemplo 178 Determinar a área limitada pelas curvas f(x) = x+ 6 e g(x) = x2.

Exemplo 179 Determinar a área da região limitada por f(x) = 8−x2 e g(x) = x2.

Exemplo 180 O gráfico abaixo representa as curvas velocidade versus tempo paradois carros de corrida, movendo-se em pista reta, partindo do repouso alinhado. Oque representa a área entre as curvas no intervalo 0 ≤ t ≤ T?

100

Consideremos agora a área da figura plana limitada pelo gráfico de f(x), pelasretas x = a e x = b e o eixo x, onde f(x) é uma função contínua sendo f(x) ≤ 0 ,para todo x em [a, b], conforme a figura abaixo.

O cálculo da área A é dado por

A =

b

a

f(x)dx

,

ou seja, basta você calcular a integral definida e considerar o módulo ou valor abso-luto da integral definida encontrada.

Exemplo 181 Determinar a área limitada pela curva y = f(x) = x2 − 5x, o eixox e as retas x = 1 e x = 3.

Exemplo 182 Encontrar a área da região limitada pela curva y = f(x) = sen x epelo eixo x de 0 a 2π.

101

4.13 Comprimento de Arcos

O procedimento usado na definição da integral de Riemann (cortar, somar, tomar umlimite) pode ser útil em outras situações. Veremos agora como utilizar as integraispara calcular quantidades geométricas associadas a funções. Começaremos com ocomprimento de arco.

Vimos acima que a integral de Riemann permite calcular a área debaixo do gráficode uma função f : [a, b]→ R. Mostraremos agora como calcular o comprimento dográfico, via uma outra integral formada a partir da função.

Procederemos seguindo a mesma ideia, aproximando o comprimento por umasoma. Escolhamos uma subdivisão do intervalo [a, b] por intervalos [xi, xi+1]:

Aproximaremos o comprimento do gráfico da função, em cada intervalo [xi, xi+1],pelo comprimento do segmento que liga (xi, f(xi)) a (xi+1, f(xi+1)), dado por

(xi+1 − xi)

2 + (f(xi+1)− f(xi))2 =

(∆xi)

2 + (∆f(xi))2

=

(∆xi)2

!

1 +

∆f(xi)

∆xi

2"

= ∆xi

#

1 +

∆f(xi)

∆xi

2

O comprimento L do arco da curva em [a, b] é dado por

L = limn→∞

n−1

i=0

#

1 +

∆f(xi)

∆xi

2

∆xi = b

a

1 + [f ′(x)]2dx

pois quando n→∞, temos que ∆xi → 0. Assim temos

L =

b

a

1 + [f ′(x)]2dx.

102

Exemplo 183 Calcule o comprimento do gráfico da curva y =2x√x

3, entre x = 0

e x = 1.

Exemplo 184 Calcule o comprimento do gráfico da função exponencial f(x) = ex

, entre x = 0 e x = 1. (Dica:faça a substituição u =√1 + e2x.)

Exemplo 185 Mostre que o perímetro de uma circunferência de raio r é dado por2πr.

4.14 Sólidos de Revolução

Nesta seção usaremos a integral para calcular o volume de um tipo particular deregião do espaço, chamada de sólidos de revolução. (Em Cálculo de Várias Variáveis,volumes de regiões mais gerais serão calculados usando integral tripla.)

Considere uma função positiva no intervalo [a, b], f : [a, b]→ R+. Seja R a regiãodelimitada pelo gráfico de f , pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b:

Sabemos que a área de R é dada pela integral de Riemann baf(x)dx.

Consideremos agora o sólido S obtido girando a região R em torno do eixo x,como na figura abaixo:

103

Sólidos que podem ser gerados dessa maneira, girando uma região em torno deum eixo, são chamados de sólidos de revolução.

Como calcular o volume do sólido assim formado? Uma maneira interessante édecompor o sólido S em cilindros raio f(xi) e altura ∆xi e aproximar o volume dosólido cada vez mais pela soma dos volumes dos cilindros quando a altura ∆xi → 0como uma união de fatias verticais, centradas no eixo x:

Cada fatia é obtida girando um retângulo cujo tamanho é determinado pelafunção f . Para ser mais preciso, escolhemos pontos no intervalo [a, b], a = x0 <x1 < x2 < ... < xn = b, e a cada intervalo [xi−1, xi] associamos o retângulo cuja basetem tamanho xi − xi−1 e cuja altura é de f(xi). Ao girar em torno do eixo x, cadaum desses retângulos gera uma fatia cilíndrica Fi, como na figura abaixo:

Mas, como a fatia Fi é um cilindro deitado de raio f(xi) e de altura ∆xi =xi − xi−1, o seu volume é dado por V (Fi) = π [f(xi)]

2∆xi . Logo, o volume dosólido S pode ser aproximado pela soma dos volumes das fatias, que é uma soma deRiemann, isto é,

n

i=1

V (Fi) =n

i=1

π [f(xi)]2∆xi

104

Quando o número de retângulos n →∞ e que todos ∆xi → 0, esta soma converge(quando [f(x)]2 for contínua, por exemplo) para a uma integral de Riemann quepermite (em princípio) calcular o volume exato do sólido S, ou seja,

V = limn→∞

n

i=1

V (Fi) = limn→∞

n

i=1

π [f(xi)]2∆xi =

b

a

π [f(x)]2 dx.

Assim, o volume do sólido de revolução limitado em [a, b] e gerado pela rotação emtorno do eixo x é dado por

V =

b

a

π [f(x)]2 dx.

Exemplo 186 A figura abaixo representa a região R delimitada pela curva y =senx, pelo eixo x, e pelas duas retas verticais x = 0 e x = π. Calcule o volume dosólido S obtido girando R em torno do eixo x.

Exemplo 187 Seja r > 0 fixo e R a região delimitada pela semi-circunferênciay =

√r2 − x2 entre x = −r e x = r, conforme a figura abaixo. O sólido S obtido

girando R em torno do eixo x é uma esfera de raio r centrada na origem. Mostreque o volume da esfera é dado por 4

3πr3.

105

Exemplo 188 Considere a região R do primeiro quadrante, delimitada pelo gráficoda função f(x) = 1−x2. Considere os sólidos S1 e S2, obtidos rodando R em torno,respectivamente, do eixo x e y, conforme a figura a seguir.

Calcule os volumes dos sólidos S1 e S2.

Exemplo 189 Mostre que um cone reto de altura h e raio da base r tem volume

dado porπr2h

3.

4.15 Integrais Impróprias

A integral de Riemann foi definida naturalmente para uma função f : [a, b] → R

contínua, como um limite de somas de retângulos. Nesta seção estudaremos integraisde funções em intervalos infinitos, como, por exemplo, [0,∞) ou a reta inteira, ouem intervalos do tipo (a, b], em que a função pode possuir alguma descontinuidade(uma assíntota vertical, por exemplo) em a.

Tais integrais são chamadas de impróprias, e são muito usadas, em particularno estudo de séries e na resolução de equações diferenciais (transformada de Laplace,transformada de Fourier, etc).

4.15.1 Integrais Impróprias em Intervalos Infinitos

Consideremos para começar o problema de integrar uma função num intervalo in-finito, f : [a,∞) → R. Vemos imediatamente que não tem como definir somas deRiemann num intervalo infinito: qualquer subdivisão de [a,∞) contém um númeroinfinito de retângulos.

A estratégia é a seguinte: escolheremos um número L > a grande mas finito,calcularemos a integral de Riemann de f em [a,L], e em seguida tomaremos o limiteL→∞. Assim, temos

∞

a

f(x)dx = limL→∞

L

a

f(x)dx.

Se este limite existir e for finito diremos que a integral imprópria∞a

f(x)dxconverge; caso contrário ela diverge.

106

Integrais impróprias do tipo a−∞ f(x)dx são definidas de forma análoga, ou seja,

a

−∞f(x)dx = lim

L→−∞

a

L

f(x)dx.

Exemplo 190 Calcule∞0

e−xdx.

Exemplo 191 Calcule∞1

1

xdx.

Exemplo 192 Calcule∞1

1√x (x+ 1)

dx.

Exemplo 193 Calcule∞0

e−xsen xdx.

Exemplo 194 A função Gama Γ é uma das funções mais importantes na matemática,e foi introduzida por Euler em 1730, resultado de uma pesquisa sobre uma forma deinterpolação do fatorial de um número.Considere a função Gama, definida como

Γ (α) =

∞

0

xα−1e−xdx

para α > 0. Mostre queΓ (α+ 1) = αΓ (α)

e que para n ∈ N , temos

Γ (n+ 1) =

∞

0

xne−xdx = n!.

Integrais do tipo∞a

1

xpdx

Consideremos as funções f(x) =1

xp, onde p é um número positivo. Vemos que

quanto maior p, mais rápido1

xptende a zero, conforme a figura abaixo.

107

Logo, é razoável supor que para valores de p suficientemente grandes, a integralimprópria

∞a

1xpdx deve convergir. O seguinte resultado determina exatamente os

valores de p para os quais a integral converge ou diverge, e nos informa que o valorp = 1 é crítico:

Proposição 17 Seja a > 0. Então:(i)∞a

1xpdx <∞, se p > 1;

(ii)∞a

1xpdx =∞, se p ≤ 1.

Exemplo 195 Estude as seguintes integrais impróprias em função do parâmetro p:

(a)∞a

1

(√x)pdx, com a > 0;

(b)∞1

1

xp2−3dx;

(c)∞a

1

(ln x)2p xdx, com a > 0.

4.15.2 Integrais Impróprias em R

Integrais impróprias foram até agora definidas em intervalos semi-infinitos, da forma[a,∞) ou (−∞, a]. Veremos agora como integrar uma função no intervalo (−∞,∞).

Seja f : R→ R. Se existir um a ∈ R tal que as integrais impróprias∞a

f(x)dx e a−∞ f(x)dx existem e são finitas, então diz-se que a integral imprópria

∞−∞ f(x)dx

converge e o seu valor é dado por ∞

−∞f(x)dx =

a

−∞f(x)dx+

∞

a

f(x)dx.

Exemplo 196 Calcule∞−∞ e−|x|dx.

Exemplo 197 Calcule∞−∞

1

π (1 + x2)dx.

4.15.3 Integrais Impróprias em Intervalos Finitos

Consideremos agora o problema de integrar uma função num intervalo finito, porexemplo da forma (a, b]. Aqui, suporemos que f : (a, b]→ R é contínua, mas possuiuma descontinuidade, ou uma assíntota vertical em a.

A integral de f em (a, b] será definida de maneira análoga: escolhemos um ε > 0,calculamos a integral de Riemann de f em [a+ ε, b], e em seguida tomamos o limiteda integral quando ε→ 0+.

Seja f : (a, b]→ R uma função contínua. Se o limite

b

a+f(x)dx = lim

ε→0+

b

a+ε

f(x)dx

108

existir e for finito, diremos que a integral imprópria ba+

f(x)dx converge; caso con-trário, ela diverge.

Integrais impróprias para f : [a, b)→ R se definem da mesma maneira:

b−

a

f(x)dx = limε→0+

b−ε

a

f(x)dx.

Exemplo 198 Calcule 10+1√xdx.

Exemplo 199 Calcule 1−0

1√1− x

dx.

Exemplo 200 Calcule∞0+

1√ex − 1dx.

4.16 Exercícios

Exercício 99 Justifique as seguintes afirmações:

(i) Se f é par, então a−a f(x)dx = 2

a0f(x)dx.

(ii) Se f é ímpar, então a−a f(x)dx = 0.

Exercício 100 A função “área acumulada” é definida da seguinte maneira

I(x) =

x

a

f(t)dt

onde a é uma constante real fixada e x > a uma variável.Calcule as funções área associadas às funções f : [0, 1]→ R abaixo:

(i) f(x) = 0, se x ≤ 1

2

1, se x > 12

. Resp.: I(x) = 0, se x ≤ 12e I(x) = x− 1

2, se x > 1

2

(ii) f(x) = −x+ 1. Resp.: I(x) = −x2

2+ x

(iii) f(x) = 2x− 1. Resp.: I(x) = x2 − x

Exercício 101 Ache as primitivas das funções abaixo.

(i) f(x) = −2. Resp.: F (x) = −2x+ C

(ii) f(x) = x. Resp.: F (x) = x2

2+ C

(iii) f(x) = x2. Resp.: F (x) = x3

3+ C

(iv) f(x) = xn com n = −1. Resp.: F (x) = xn+1

n+1+ C

(v) f(x) =√1 + x. Resp.: F (x) = 2

3(1 + x)3/2 + C

(vi) f(x) =1

x3− cos (2x). Resp.: F (x) = − 1

2x2− sen (2x)

2+ C

109

(vii) f(x) = cos (2x). Resp.: F (x) = 12sen (2x) + C

(viii) f(x) = 1− e−x. Resp.: F (x) = x+ e−x + C

(ix) f(x) = 3xe−x2. Resp.: F (x) = −3

2e−x

2+ C

(x) f(x) = 2 + 2tg2x. Resp.: F (x) = 2tg x+ C

(xi) f(x) =1√1− x2

. Resp.: F (x) = arcsen x+ C, para −1 < x < 1.

Exercício 102 Mostre que (2x2 − 2x+ 1)e2x é primitiva da função 4x2e2x.

Exercício 103 Mostre que 20(x− 1)dx = 0 e interprete esse resultado geometrica-

mente.

Exercício 104 A seguinte conta está certa? Justifique.

2

−1

1

x2dx = −1

x

2

−1= −3

2

Exercício 105 Esboce e calcule a área da região delimitada pelas curvas abaixo.

(i) y = −2,x = 2, x = 4, y = 12x− 1. Resp.: 5

(ii) y = −2,x = 2, x = 4, y = 12(x− 2)2. Resp.: 16/3

(iii) y = x2 e y = − (x+ 1)2 + 1. Resp.: 1/3

(iv) y = 0, x = 1, x = e, y = 1/x. Resp.: 1

(v) y = −2 e y = 4 + x− x2. Resp.: 125/6

Exercício 106 Calcule a área da região finita delimitada pelo gráfico da funçãoy = ln x e pelas retas y = −1, y = 2, x = 0. Resp.: e2 − e−1

Exercício 107 Fixe α > 0. Considere fα(x) := α−2e−α (α2 − x2). Esboce fα(x)para diferentes valores de α (em particular para pequeno e grande). Determine ovalor de α que maximize a área delimitada pelo gráfico de f e pelo eixo x. Resp.: α−α fα(x)dx =

43αe−α, que é maximizada quando α = 1.

Exercício 108 Se α > 0, calcule In = α0x1/ndx. Calcule

limn→∞

In = limn→∞

α

0

x1/ndx,

e verifique se esse resultado é equivalente a α0

limn→∞ x1/n

dx.

110

Exercício 109 Calcule as integrais indefinidas abaixo.

(i)(x+ 1)7 dx. Resp.: 1

8(x+ 1)8 + C

(ii) 1

(2x+ 1)2dx. Resp.:

−12 (2x+ 1)

+ C

(iii)xsen (x2) dx. Resp.:

− cos (x2)2

+ C

(iv)sen x cosxdx. Resp.:

− cos2 x2

+ C ousen2x

2+ C

(v)cosx

√1 + sen xdx. Resp.: 2

3(1 + sen x)3/2 + C

(vi) 3x+ 51 + x2

dx. Resp.: 32ln (1 + x2) + 5arctg x+ C

(vii) 1

x2 + 2x+ 3dx. Resp.: 1√

2arctg

x+ 1√2

+ C

(viii)extg (ex) dx. Resp.: ln |sec (ex)|+ C ou − ln |cos (ex)|+ C

(ix) cos3 tsen4t

dt. Resp.: − 1

3sen3t+

1

sen t+ C

(x)sen3x cos3 xdx. Resp.:

sen4x

4− sen6x

6+ C

(xi) 2x3√

1− x2dx. Resp.: −2

√1− x2 + 2

3(1− x2)

3/2+ C

(xii)xsen xdx. Resp.: sen x− x cosx+ C

(xiii)x2e−3xdx. Resp.: −1

3e−3xx2 − 2

3x− 2

9

+ C

(xiv)x3 cos (x2) dx. Resp.:

x2sen (x2)

2+cos(x2)

2+ C

(xv)arctg xdx. Resp.: xarctg x− 1

2ln (1 + x2) + C

(xvi)arcsen xdx. Resp.: xarcsen x+

√1− x2 + C

(xvii) 1

cosxdx. (Dica: multiplique e divida por cos x). Resp.: 1

2ln

1 + sen x

1− sen x

+

C

(xviii) x

x2 + 4x+ 13dx. Resp.: 1

2ln (x2 + 4x+ 13)− 2

3arctg

13(x+ 2)

+ C

Exercício 110 Mostre, usando a integral para comprimento de arco, que o perímetrode uma circunferência de raio r é dado por 2πr.

Exercício 111 Quais dos seguintes corpos são sólidos de revolução? (Quando foro caso, explique como construí-lo.)

(i) A esfera de raio r.

(ii) O cilindro com base circular de raio r, e de altura h.

(iii) O cubo de lado L.

(iv) O cone de base circular de raio r e de altura h.

111

Exercício 112 Um vaso é obtido rodando a curva y = f(x) em torno do eixo x,onde

f(x) =

−x+ 3, se 0 ≤ x ≤ 2x− 1, se 2 < x ≤ 3

Calcule o volume do vaso. Resp.: 11π

Exercício 113 Considere a região finita R contida no primeiro quadrante, delimi-tada pelas curvas y = x2, y = x4.

(i) Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando R em torno do eixox. Resp.: 8π

45

(ii) Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando R em torno do eixoy. Resp.: π

6

Exercício 114 Mostre que o volume de um cone de base circular de raio r e dealtura h é igual a V = 1

3πr2h.

Exercício 115 Calcule o volume do sólido obtido girando a região R = (x, y) :1 ≤ x ≤ e, 0 ≤ y ≤ √x ln x em torno da reta y = 0. Resp.: π e

2−14

Exercício 116 Estude a convergência das seguintes integrais impróprias.

(i)∞3

dx

x− 2 . Resp.: divergente

(ii)∞2

x2dx. Resp.: divergente

(iii)∞3

dx

x7. Resp.: convergente de valor 1

6

(iv)∞0cosxdx. Resp.: divergente

(v)∞0

dx

1 + x2. Resp.: convergente de valor π

2

(vi)∞1

dx

x+ x2. Resp.: convergente de valor ln 2

Exercício 117 Se f : [0,∞) → R, a Transformada de Laplace de f(x) é afunção L(s) definida pela integral imprópria

L(s) = ∞

0

e−sxf(x)dx, para s ≥ 0.

Calcule as transformadas de Laplace das seguintes funções f(x):

(i) f(x) = k, com k uma constante. Resp.: L(s) = ks

(ii) f(x) = x. Resp.: L(s) = 1s2

(iii) f(x) = sen x. Resp.: L(s) = 11+s2

(iv) f(x) = e−αx. Resp.: L(s) = 1s+α

112

Exercício 118 Estude o comportamento e todas as estruturas relevantes da funçãof(x) :=

x

x2 + 1. Em seguida, calcule a área da região contida no semiespaço x ≥

0, delimitada pelo gráfico de f e pela sua assíntota horizontal. Resp.: A integralimprópria é divergente.

Exercício 119 Estude o comportamento e todas as estruturas relevantes da função

f(x) :=ex

ex + 1. Em seguida, calcule a área da região contida no semiespaço x ≥

0, delimitada pelo gráfico de f e pela sua assíntota horizontal. Resp.: A integralimprópria é convergente de valor ln 2.

Exercício 120 Em Teoria das Probabilidades, dizemos que uma variável aleatóriaX tem distribuição Cauchy Padrão, se sua função de densidade de X é dada por

f(x) =1

π (1 + x2)

para todo x ∈ R.(a) Mostre que X é simétrica em torno de 0, e esboce o seu gráfico.(b) Mostre que

∞−∞ f(x)dx = 1.

(c) A esperança matemática da variável aleatória, denotada por E(X), é definidacomo E(X) =

∞−∞ xf(x)dx. Mostre que essa integral não é convergente e, portanto,

a variável aleatória de Cauchy não possui esperança matemática.

113