Raciocínio Lógico | 2

Índice

AULA 1 Frases, proposições e sentenças 3

AULA 2 Conectivos lógicos e tabelas-verdade 5

AULA 3 Negação de proposições 8

AULA 4 Tautologia, contradição, contingência e equivalência 11

AULA 5 Argumentação lógica 14

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AULA 1

Frases

Frase é todo enunciado que tem sentido. As frases podem ser declarativas, interrogativas, imperativas, exclamativas ou optativas. Declarativas

São frases que expressam uma afirmação ou uma negação, declarando ou informando algo. Exemplos:

O Brasil vai sediar os Jogos Olímpicos em 2016.

O número 4 é primo.

Fernando não passou no concurso.

Interrogativas São frases utilizadas para fazer uma

pergunta, empregadas quando se deseja obter alguma informação. A interrogação pode ser direta ou indireta. Exemplos:

Que dia é hoje?

Você é solteira?

Desejo saber se você aceita um copo de suco.

Imperativas São frases utilizadas para incentivar alguém

a fazer ou deixar de fazer algo, ou seja, transmitem um pedido ou ordem. Podem ser afirmativas ou negativas. Exemplos:

Estude matemática para o concurso.

Comece a trabalhar.

Não perturbe! Exclamativas

São frases que expressam sentimentos. Na

escrita, levam o ponto de exclamação Exemplos:

Que prova difícil!

Estou muito cansado hoje!

É uma delícia esse bolo! Optativas

São frases usadas para exprimir um desejo. Exemplos:

Deus te acompanhe!

Bons ventos o levem!

Vá em paz!

Proposições Proposições são frases que podem ser

classificadas em verdadeiras ou falsas, não podendo ser verdadeiras e falsas simultâneamente. Apenas frases declarativas podem representar proposições. As proposições geralmente são representadas por letras maiúsculas. Exemplos:

P: O número 4 é par.

Q: Santa Catarina é um Estado da Região Sudeste.

R: Daniela é atriz. As proposições podem ser simples ou

compostas. A proposição simples é aquela que vêm sozinha, desacompanhada de outras proposições, como as proposições P, Q e R do exemplo anterior. Já a proposição composta, é formada por duas ou mais proposições simples que são ligadas por meio de algumas expressões chamadas de conectivos lógicos. Exemplos:

João é médico e Pedro é dentista.

Luís é baiano ou Luís é paulista.

Se Renata nasceu em Santa Catarina então Renata é brasileira. Observe que no primeiro exemplo podemos

extrair a proposição João é médico e também a proposição Pedro é dentista, que são ligadas pelo conectivo “e”, formando uma só sentença, o que ocorre também no segundo exemplo com o conectivo “ou”, e no terceiro exemplo com o conectivo “se então”. Na próxima aula veremos todos os conectivos detalhadamente.

Sentenças Paradoxais São declarações aparentemente verdadeiras que lavam a uma contradição lógica ou a uma contradição em relação a intuição comum. Não podem ser classificadas em verdadeiras ou falsas, ou seja, não são proposições. Exemplo:

Essa frase é uma mentira.

Só sei que nada sei. Abertas

São sentenças que possuem algum grau de indeterminação, não podemos classificar em verdadeiras ou falsas, também não são proposições. Exemplos:

x + 3 = 7.

Ele é presidente do país.

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Fechadas São sentenças que não possuem grau de

indeterminação, podem ser classificadas em verdadeiras ou falsas, e portanto são proposições. Exemplos:

2 + 6 = 12.

A Chapecoense foi campeã brasileira de futebol da primeira divisão.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1 a 3 - Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das afirmações. 1 - ( ) (TRT – CESPE) A sequência de frases a seguir contém exatamente duas proposições. A sede do TRT/ES localiza-se no município de Cariacica. Por que existem juízes substitutos? Ele é um advogado talentoso. 2 - ( ) (BB – CESPE) Na lista de frases apresentadas a seguir, há exatamente três proposições. "A frase dentro destas aspas é uma mentira." A expressão X + Y é positiva.

O valor de √4 + 3 = 7. Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira. O que é isto? 3 - ( ) (BB – CESPE) Há duas proposições no seguinte conjunto de sentenças: (I) O BB foi criado em 1980. (II) Faça seu trabalho corretamente. (III) Manuela tem mais de 40 anos de idade.

EXERCÍCIOS

1 - Assinale as sentenças abaixo que são proposições:

a) O Chile e o Brasil. b) Emerson é professor. c) Ela é professora. d) O Brasil foi campeão de futebol em 1982. e) Que legal!

f) 5 ∙ 4 = 20 g) 4 ∙ 2 + 1 > 4 h) (-2)3 > 4 i) O Brasil perdeu o título j) X + Y é maior do que 7. k) Que horas são? l) Aquela mulher é linda. m) O Brasil ganhou 5 medalhas de ouro em Atlanta n) - 4 - 3 = 7 o) 4 ∙ 2 + 1 < 9 p) (-2)3 < 4

2 – Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F). ( ) (STJ – CESPE) Nas sentenças abaixo, apenas A e D são proposições. A: 12 é menor que 6. B: Para qual time você torce? C: x + 3 > 10. D: Existe vida após a morte.

GABARITO

1) b) d) f) g) h) m) n) o) p) 2-V)

ANOTAÇÕES

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AULA 2

Conectivos lógicos

São expressões usadas para ligar duas ou mais proposições simples, formando as proposições compostas. Veremos agora cada um deles, construindo suas respectivas tabela-verdade, determinando o valor lógico das proposições. Conjunção (e) ˄

Conjunção é toda proposição composta formada por proposições simples que estejam ligadas pelo conectivo “e”. Sejam P e Q as proposições a seguir:

P: Fernando fala inglês.

Q: Fernando fala espanhol. A conjunção P e Q (Fernando fala inglês e

espanhol), pode ser representada simbolicamente como P ˄ Q.

Quais serão os valores lógicos dessa conjunção? Se Fernando fala inglês e espanhol, significa que ele fala os dois idiomas, fala inglês e fala espanhol, assim a conjunção só será verdadeira se as duas proposições forem verdadeiras, caso contrário será falsa. A tabela-verdade a seguir nos mostra todos os possíveis resultados para uma conjunção formada por duas proposições, de acordo com seus possíveis valores lógicos:

P Q P ˄ Q

V V V

V F F

F V F

F F F

Número de linhas da tabela-verdade

Toda tabela verdade terá 2n linhas, onde n é o número de proposições simples que estamos analisando.

Disjunção inclusiva (ou) ˅

Disjunção inclusiva é toda proposição composta formada por proposições simples que estejam ligadas pelo conectivo “ou”. Sejam P e Q as proposições a seguir:

P: Fernando fala inglês.

Q: Fernando fala espanhol. A disjunção inclusiva P ou Q (Fernando fala

inglês ou espanhol), pode ser representada simbolicamente como P ˅ Q. Ela nos indica que Fernando pode falar apenas inglês, apenas

espanhol, ou os dois idiomas, inglês e espanhol. Dessa maneira, o valor lógico da disjunção inclusiva só será falso se todas as proposições forem falsas, caso contrário será verdadeiro.

A tabela-verdade a seguir nos mostra todos os possiveis resultados para uma disjunção inclusiva formada por duas proposições, de acordo com seus possíveis valores lógicos:

P Q P ˅ Q

V V V

V F V

F V V

F F F

Disjunção exclusiva (ou, ou) ˅

A disjunção exclusiva é semelhante a disjunção inclusiva, mas com uma pequena diferença. Na disjunção exclusiva, não existe a possibilidade de ocorrer as duas situações, elas são excludentes, ocorrendo uma, a outra necessariamente não ocorrerá, e ainda não existe a possibilidade de ambas não ocorrerem. Observe o exemplo a seguir:

Ou Maria faz uma viagem ou Maria troca de carro. Vemos duas situações distintas, “Maria faz

uma viagem”, e “Maria troca de carro”, siginifica que ela tem que fazer apenas uma dessas coisas, não pode fazer as duas e nem deixar de fazer ambas. Seja P uma das proposições e Q a outra, a disjunção exclusiva ou P ou Q, representada simbolicamente por P ˅ Q será verdadeira sempre que uma das proposições for verdadeira e a outra falsa, e só será falsa quando ambas forem verdadeiras ou ambas forem falsas. Observe a tabela-verdade para a disjunção exclusiva de duas proposições, de acordo com seus possíveis valores lógicos:

P Q P ˅ Q

V V F

V F V

F V V

F F F

Condicional (se, então) →

Denominamos de condicional a proposição composta formada por duas proposições simples que estejam ligadas pelo conectivo se, então ou por uma de suas formas equivalentes. Veja o seguinte exemplo:

Se João nasceu em Santa Catarina, então João é brasileiro. Abrindo a proposição composta nas

proposições simples componentes, temos a

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proposição “João nasceu no Brasil” e a proposição “João é brasileiro”, vamos identificar a primeira por P e a segunda por Q. A proposição P, que é anunciada pelo uso da conjunção se, é denominada condição ou antecedente enquanto a proposição Q, apontada pelo advérbio então, é denominada conclusão ou consequente. A condicional se P, então Q, simbolicamente P ⟶ Q, só terá valor lógico falso se a primeira proposição for verdadeira e a segunda for falsa, caso contrário a condicional é sempre verdadeira. Em outras palavras, a única coisa que não pode acontecer é uma condição verdadeira implicar uma conclusão falsa.

Vamos entender com o exemplo. Se as duas proposições forem verdade, a condicional é verdade, já se for verdade que João nasceu em Santa Catarina mas for falso que é brasileiro, a condicional é falsa, é a única coisa que não pode acontecer, pois Santa Catarina é um Estado brasileiro. Caso a primeira proposição seja falsa, a condicional será sempre verdadeira, pois se for verdadeiro que ele é brasileiro, basta ter nascido em outro Estado do país, e se for falso que é brasileiro, basta ter nascido em qualquer outro país do mundo. Observe a tabela-verdade:

P Q P ⟶ Q

V V V

V F F

F V V

F F V

Bicondicional (se e somente se) ↔

Denominamos de bicondicional a proposição composta formada por duas proposições simples que estejam ligadas pelo conectivo se e somente se. Veja o seguinte exemplo:

João é meu tio se e somente se João é irmão de um de meus pais. As proposições são “João é meu tio” e “João

é irmão de um de meus pais”, as quais vamos representar respectivamente por P e Q. A bicondicional P se e somente se Q (João é meu tio se e somente se João é irmão de um de meus pais), que pode ser representada simbolicamente por P ↔ Q, indica que se uma coisa acontecer, a outra também acontece, já se uma não acontecer, a outra também não acontece. No exemplo, se João é meu tio, ele tem que ser irmão de um de meus pais, e vice-versa, já se não for meu tio, não é irmão de um de meus pais e vice-versa. Dessa maneira, a bicondicional terá valor lógico verdadeiro quando as duas proposições forem verdadeiras, ou quando as duas forem falsas, caso contrário

a bicondicional será falsa. Observe a tabela-verdade:

P Q P ↔ Q

V V V

V F F

F V F

F F V

Resumindo os conectivos e valores lógicos

das proposições, temos a tabela a seguir:

Conectivo Simbologia Verdadeiro Falso

E P ˄ Q P e Q são verdade

Nos demais casos

Ou P ˅ Q Nos demais

casos P e Q são

falsos

Ou, ou P ˅ Q P e Q tiverem valores lógicos

diferentes

P e Q tiverem valores lógicos

iguais

Se, então P ⟶ Q Nos demais

casos P é verdade e

Q é falso

Se e somente se

P ↔ Q P e Q tiverem valores lógicos

iguais

P e Q tiverem valores lógicos

diferentes

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1 – (CESGRANRIO) Considere verdadeira a proposição: “Marcela joga vôlei ou Rodrigo joga basquete”. Para que essa proposição passe a ser falsa: a) é suficiente que Marcela deixe de jogar vôlei. b) é suficiente que Rodrigo deixe de jogar basquete. c) é necessário que Marcela passe a jogar basquete. d) é necessário, mas não suficiente, que Rodrigo deixe de jogar basquete. e) é necessário que Marcela passe a jogar basquete e Rodrigo passe a jogar vôlei. 2 - (TJ-SE – CESPE – 2014) Considerando que P seja a proposição “Se os seres humanos soubessem se comportar, haveria menos conflitos entre os povos”, julgue os itens seguintes ( ) Se a proposição “Os seres humanos sabem se comportar” for falsa, então a proposição P será verdadeira, independentemente do valor lógico da proposição “Há menos conflitos entre os povos”.

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3 - (SEFAZ-SP) Assinale a opção verdadeira. a) 3 = 4 ou 3 + 4 = 9. b) Se 3 = 3, então 3 + 4 = 9. c) 3 = 4 e 3 + 4 = 9. d) Se 3 = 4, então 3 + 4 = 9. e) 3 = 3 se e somente se 3 + 4 = 9.

EXERCÍCIOS

1 - (MEC – CESPE – 2015) Considerando que as proposições lógicas sejam representadas por letras maiúsculas e utilizando os conectivos lógicos usuais, julgue o item a seguir a respeito de lógica proposicional. ( ) A sentença “A vida é curta e a morte é certa" pode ser simbolicamente representada pela expressão lógica P ∧ Q, em que P e Q são proposições adequadamente escolhidas. 2 - (TRT – FCC) Em lógica de programação, denomina-se ...... de duas proposições p e q a proposição representada por "p ou q" cujo valor lógico é a falsidade (F), quando os valores lógicos das proposições p e q são ambos falsos ou ambos verdadeiros, e o valor lógico é a verdade (V), nos demais casos. Preenche corretamente a lacuna acima: a) disjunção inclusiva b) proposição bicondicional c) negação d) disjunção exclusiva e) proposição bidirecional 3 - Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F): ( ) Londres é a capital da Inglaterra ou a torre Eiffel situa-se em Londres. 4 – (DATAPREV 2014) Observe a tabela-verdade a seguir.

Essa tabela-verdade representa o funcionamento de 2 sensores x e y em um equipamento, de tal forma que: V = VERDADEIRO, ou seja, o sensor está acionado. F = FALSO, ou seja, o sensor não está acionado. Assinale a alternativa que contém os valores CORRETOS para 1, 2, 3 e 4, considerando-se o Conectivo do tipo OU (x ∨ y). a) 1-V, 2-V, 3-V,4-F b) 1-F, 2-F, 3-F, 4-F c) 1-V, 2-F, 3-V, 4-F d)1-V, 2-V, 3-F, 4-F e) 1-V, 2-F, 3-F, 4-F 5 – Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F): ( ) (TRE-ES – CESPE) Se P e Q representam as proposições “Eu estudo bastante” e “Eu serei aprovado”, respectivamente, então, a

proposição P → Q representa a afirmação “Se eu estudar bastante, então serei aprovado”.

GABARITO

1-V) 2-d) 3-V) 4-a) 5-V)

ANOTAÇÕES