Informatica_-_Matemarica_-_Revisado_-_16-12-10

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UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASILUNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA

LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

Informática Aplicada à Educação Matemática

Salvador2010


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ELABORAÇÃOAdriano Pedreira CattaiGilclécio Dantas Santos

PROJETO GRÁFICONilton Rezende

DIAGRAMAÇÃOFernando Luiz de Souza Junior

COLABORADORES DESTA EDIÇÃOEditora da Universidade do Estado da Bahia - EDUNEB

DiretoraMaria Nadja Nunes Bittencourt

Assessora EditorialCarla Cristiani Honorato

ColaboradoresSidney Santos Silva

Teodomiro A. de SouzaJoão Victor Souza Dourado

Fernando Luiz de Souza JuniorDébora Alves Souza

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP). Catalogação na Fonte

BIBLIOTECA DO NÚCLEO DE EDUCAÇÃO À DISTÂNCIA – UNEB

Cattai, Adriano Pedreira; Santos, Giclécio Dantas. Informática aplicada à educação - Licenciatura em Matemática /

Adriano Pedreira Cattai; Giclécio Dantas Santos. Salvador: UNEB / GEAD, 2010.

100 p. 1. Informática - educacão 2. software educativos 3. Winplot I. Título.

II. Universidade Aberta do Brasil. III. UNEB / GEAD CDD: 512.94

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PRESIDENTE DA REPÚBLICALuis Inácio Lula da Silva

MINISTRO DA EDUCAÇÃOFernando Haddad

SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIACarlos Eduardo Bielschowsky

DIRETOR DO DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIAHélio Chaves Filho

SISTEMA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASILDIRETOR DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA DA CAPES

Celso Costa

COORD. GERAL DE ARTICULAÇÃO ACADÊMICA DA CAPESNara Maria Pimentel

GOVERNO DO ESTADO DA BAHIAGOVERNADORJaques Wagner

VICE-GOVERNADOREdmundo Pereira Santos

SECRETÁRIO DA EDUCAÇÃOOsvaldo Barreto Filho

UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA - UNEBREITOR

Lourisvaldo Valentim da Silva

VICE-REITORAAmélia Tereza Maraux

PRÓ-REITOR DE ENSINO DE GRADUAÇÃOJosé Bites de Carvalho

COORDENADOR UAB/UNEBSilvar Ferreira Ribeiro

COORDENADOR UAB/UNEB ADJUNTOJader Cristiano Magalhães de Albuquerque

COORDENADOR DO CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICADaniel Cerqueira Góes

COORDENADOR DE TUTORIA DO CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICAArmando Luiz Andrade Peixoto

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Caro Cursista,

Estamos começando uma nova etapa de trabalho e, para auxiliá-lo no desenvolvimento da sua aprendizagem, estruturamos este material didático que atenderá ao Curso de Licenciatura em Matemática na modalidade à distância.

O componente curricular que agora lhe apresentamos foi preparado por profissionais habilitados, especialistas da área, pesquisadores, docentes que tiveram a preocupação em alinhar conhecimento teórico-prático de maneira contextualizada, fazendo uso de uma linguagem motivacional, capaz de aprofundar o conhecimento prévio dos envolvidos com a disciplina em questão. Cabe salientar, porém, que esse não deve ser o único material a ser utilizado na disciplina, além dele, o Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA), as atividades propostas pelo Professor Formador e pelo Tutor, as atividades complementares, os horários destinados aos estudos individuais, tudo isso somado compõe os estudos relacionados a EAD.

É importante também que vocês estejam sempre atentos as caixas de diálogos e ícones específicos que aparecem durante todo o texto apresentando informações complementares ao conteúdo. A idéia é mediar junto ao leitor, uma forma de dialogar questões para o aprofundamento dos assuntos, a fim de que o mesmo se torne interlocutor ativo desse material.

São objetivos dos ícones em destaque:

Você sabia? – convida-o a conhecer outros aspectos daquele tema/conteúdo. São curiosidades ou informações relevantes que podem ser associadas à discussão proposta;

Saiba mais – apresenta notas ou aprofundamento da argumentação em desenvolvimento no texto, trazendo conceitos, fatos, biografias, enfim, elementos que o auxiliem a compreender melhor o conteúdo abordado;

Indicação de leituras – neste campo, você encontrará sugestão de livros, sites, vídeos. A partir deles, você poderá aprofundar seu estudo, conhecer melhor determinadas perspectivas teóricas ou outros olhares e interpretações sobre aquele tema;

Sugestões de atividades – consistem em indicações de atividades para você realizar autonomamente em seu processo de auto-estudo. Estas atividades podem (ou não) vir a ser aproveitadas pelo professor-formador como instrumentos de avaliação, mas o objetivo primeiro delas é provocá-lo, desafiá-lo em seu processo de auto-aprendizagem.

Sua postura será essencial para o aproveitamento completo desta disciplina. Contamos com seu empenho e entusiasmo para, juntos, desenvolvermos uma prática pedagógica significativa.

COORDENAÇÃO DE MATERIAL DIDÁTICOGestão dos Projetos e Atividades de Educação à Distância - GEAD

?? VOCÊ SABIA?

??? ??? SAIBA MAIS

INDICAÇÃO DE LEITURA

SUGESTÃO DE ATIVIDADE

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APRESENTAÇÃO

As tecnologias da informação e da comunicação caracterizam a realidade contemporânea e, de alguma maneira, influenciam a vida cotidiana de professores e estudantes, assim como das instituições de formação.

A introdução do computador na Educação (Informática na Educação) tem provocado uma verdadeira revolução na nossa concepção de ensino e de aprendizagem. A quantidade de programas educacionais e as diferentes modalidades de uso do computador mostram que esta tecnologia pode ser bastante útil no processo de ensino e aprendizagem.

Analisar o uso da Informática em Educação, em particular, na Educação Matemática, significa não apenas desenvolver um estudo sobre a realidade específica representada pelo contexto onde se pretende introduzir o uso das tecnologias em atividades de ensino, mas, sobretudo, identificar grandes temas, aos quais seja possível extrair importantes elementos para a compreensão da complexa relação que envolve a Informática e a Educação Matemática.

Muitos educadores – em especial matemáticos – percebem por meio de diversas pesquisas ou experimentos, as grandes vantagens que a Informática proporciona para o ensino e aprendizagem da matemática. O computador, pelas suas potencialidades de cálculo, visualização, modelação e geração de micromundos, é um instrumento poderoso que atualmente dispõem os educadores matemáticos, permitindo, assim, aos estudantes, o acesso de mais ferramentas capazes de auxiliá-los na construção do conhecimento.

Escrevemos este texto, para atender às necessidades da disciplina Informática Aplicada a Educação Matemática, do curso de Licenciatura em Matemática da UNEB/EAD, servindo como um referencial básico. Nele, apresentamos uma breve descrição dos diversos tipos de softwares (novos ambientes de aprendizagem), bem como os fatores que devemos analisar sobre qualidade de um software; desenvolvimento de Sequências Didáticas a serem utilizadas em aulas de Matemática com o apoio computacional.

Por fim, apresentamos o Geogebra e o Winplot. Para o primeiro sugerimos algumas atividades para o uso em sala de aula e, para o segundo, deixamos a indicação para um maior aprofundamento.

Bons estudos!

Os Autores

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SUMÁRIO

1. TIPOS DE SOFTWARES EDUCATIVOS 13

1.1. Jogos Educativos 14

1.2. Exercício e Prática 16

1.3. Tutoriais 16

1.4. Simulação e Modelagem 17

1.5. Programação 17

1.6. Micromundos 18

1.6.1. Exemplos de Micromundos 18

1.7. Sistemas de Autoria 20

1.8. Tutoramento Inteligente 21

1.9. Sistemas de Computação Algébrica 21

1.9.1. Exemplos de Softwares CAS 22

1.10. Planilhas Eletrônicas 23

2. FATORES DE QUALIDADE DE UM SOFTWARE 25

2.1. Normas ISO 25

2.2. Questões a considerar antes de usar um Software Educativo 27

3. SEQUÊNCIAS DIDÁTICAS 29

3.1. Elementos de uma Sequência Didática 30

4. SOFTWARES EDUCATIVOS MATEMÁTICOS 31

4.1. Software de Geometria Dinâmica 31

4.1.1. Geogebra 32

5. UTILIZANDO O GEOGEBRA COMO FERRAMENTA DE ENSINO 52

5.1. Construções Geométricas (Elementares) com o Geogebra 52

5.2. Uma Sugestão para o Estudo de Funções 61

5.3. Um pouco de Cálculo Diferencial e Integral com o Geogebra 82

6. WINPLOT: UM FREEWARE MATEMÁTICO BASTANTE INTERESSANTE 92

7. REFERÊNCIAS 98


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ICA1. TIPOS DE SOFTWARES EDUCATIVOS

Para classificar as modalidades de software educacional, a forma que mais se utilizou foi proposta por Taylor, em 1980. O autor afirma que o computador em educação poderia ser utilizado como Ferramenta, Tutor ou Tutelado. Como Ferramenta, o computador seria utilizado para adquirir e manipular informações. Na modalidade de Tutor, o computador desempenharia o papel de professor, orientando o estudante para aquisição de um novo conhecimento e, como Tutelado, os estudantes ensinariam oao computador.

Os diversos tipos de softwares usados na Educação são classificados segundo a utilização, a função e os fundamentos educativos, que classificamos, em algumas categorias, de acordo com seus objetivos pedagógicos: Jogos, Exercícios e Práticas, Tutoriais, Simulação e Modelagem, Programação, Micromundos, Sistemas de Autoria, Sistemas Algébricos, Planilhas Eletrônicas e Multimídia e Internet.

A tabela abaixo traz uma síntese, conforme objetivo pedagógico, de qual tipo de software escolher.

Função Exemplos de software relacionados com a função

Promover a Motivação Jogos

Despertar estímulos novos

Programas que “imitam” o mundo real: versões informáticas de jogos de resolução de problemas; jogos de aventuras que representam atividades do mundo real, por exemplo, escavações arqueológicas; simulações de fenômenos científicos, condução de automóveis etc.

Ativar a resposta dos estudantes Programas que colocam problemas novos aos estudantes

Proporcionar Informação

Exercícios, programas de aprendizagem dirigida, programas de manipulação de informação e linguagens de consulta.

Estimular a prática Exercícios

Estabelecer a sucessão de estudanteagens

Programas tutoriais

Proporcionar recursos Programas que carecem de modos previamente definidos de utilização.

Tabela 1.1: Resumo dos critérios para escolha de um software conforme objetivo pedagógico (Bastista, 2004)


Um texto sobre os diversos tipos de ambientes computacionais utilizados no ensino, de Rosana Giaretta Sguerra Miskulin.

Disponível em: http://www.cempem.fae.unicamp.br/lapemmec/softwares.htm Acesso em 20/05/2010

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Vejamos, por categoria, como eles se caracterizam, e exemplos.

1.1. Jogos Educativos

Os jogos devem ser fonte de recreação com vista à aquisição de um determinado tipo de aprendizagem. Em geral, envolvem elementos de desafio ou competição e correspondem a certo nível de desenvolvimento cognitivo.

Com este tipo de software, os estudantes aprendem a negociar, a persuadir, a cooperar, a respeitar a inteligência dos adversários, a projetar consequências de longo prazo em um cenário e a ver o todo mais do que as partes. Porém, um grande problema enfrentado ao se utilizarem os jogos é que a competição, muitas vezes, pode desviar a atenção do estudante do conteúdo envolvido no jogo. Consequentemente, o objetivo passa a ser, unicamente, vencer o jogo, e o lado pedagógico fica em segundo plano.

A utilização de jogos educativos em conjunto com a aplicação de modelos de avaliação modernos tende a proporcionar ao estudante uma maneira lúdica de aprender. Conforme Silveira (1998, p.02):

[...] os jogos podem ser empregados em uma variedade de propósitos dentro do contexto de aprendizado. Um dos usos básicos e muito importante é a possibilidade de construir-se a autoconfiança. Outro é o incremento da motivação. [...] um método eficaz que possibilita uma prática significativa daquilo que está sendo aprendido. Até mesmo o mais simplório dos jogos pode ser empregado para proporcionar informações factuais e praticar habilidades, conferindo destreza e competência.

Ainda, segundo Silveira (1998, p. 02),

“os jogos educativos podem despertar no aluno: motivação, estímulo, curiosidade, interesse em aprender [...] o aluno constrói seu conhecimento de maneira lúdica e prazerosa”.

Como exemplo de jogo, citamos o Mr. Math 2000, desenvolvido no GEIAAM – UFSC (Grupo de Estudos de Informática Aplicada à Aprendizagem Matemática da Universidade Federal de Santa Catarina). Fonte: http://www.mtm.ufsc.br/geiaam/

O protótipo Mr. Math 2000 pode ser utilizado como uma ferramenta para o estudante desenvolver a sua capacidade de raciocínio em resolução de problemas, em nível fundamental. Também servirá para o professor diagnosticar os tópicos onde deve ocorrer uma revisão do conteúdo. O público alvo deste modelo é constituído por estudantes que estão completando o ensino fundamental e os que estão iniciando o ensino médio. Isto não quer dizer que outros indivíduos não possam utilizá-lo, mas os iniciantes do ensino fundamental podem encontrar certas dificuldades, em virtude dos tópicos aqui abordados não terem sido ainda estudados por eles.

Usuários que já concluíram o ensino fundamental serão bem aceitos, pois, dos tópicos já trabalhados, poderão fazer uma análise de seus conhecimentos matemáticos. A aventura contemplada pelo protótipo é do gênero futurista. O objetivo do jogo é reconquistar a terra, pois esta foi invadida por alienígenas, e a única maneira de (recuperá-la em parte) ou toda é encontrar uma pessoa que seja submetida a um teste determinado pelo alienígena mestre.

Este teste envolve resoluções de problemas matemáticos, já que estes consideram a MATEMÁTICA uma grande potência de inteligência. Resolvendo corretamente os problemas propostos durante a aventura, o usuário conseguirá encontrar as peças necessárias para a construção de um robô capaz de expulsar os alienígenas e retomar a terra ou parte desta. Os problemas matemáticos estão inseridos em vários contextos, podendo abranger áreas como física e geografia, entre outras.

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Outro exemplo de jogo é o famoso Tangran, muito utilizado em aulas de Geometria. O Tangram é um Puzzle (quebra-cabeça) chinês antigo. O nome significa “Tábua das 7 sabedorias”. Ele é composto de sete peças (chamadas de tans) que podem ser posicionadas de maneira a formar um quadrado: 05 triângulos; 01 quadrado e 01 paralelogramo.

Figura 1.2: As peças do Tangran.

Fonte: própria

Além do quadrado, diversas outras formas podem ser obtidas, sempre observando duas regras:

− todas as peças devem ser usadas;− não é permitido sobrepor as peças.

Baixe o freeware Tanzzle e crie diversos desenhos:http://www.tanzzle.com/TZL.html

Figura 1.3: Tela de exibição do Tanzzle

Fonte: http://www.tanzzle.com/TZL.html


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1.2. Exercício e Prática

Enfatizam a apresentação das lições ou exercícios. A ação do estudante se restringe a virar a página de um livro eletrônico ou realizar exercícios, cujo resultado pode ser avaliado pelo próprio computador. As atividades exigem apenas o fazer, o memorizar informação, não importando a compreensão do que se está fazendo. Esses tipos de softwares são fáceis de serem desenvolvidos e utilizados: não inserem conteúdos novos, isto é, o conteúdo já é conhecido pelos estudantes, porém estes não os dominam por completo.

Uma das vantagens em se trabalhar com software deste tipo é que ele se adapta ao ritmo do estudante e proporciona uma correção imediata às respostas inseridas.

Exibimos dois exemplos para softwares desta natureza, o ParaWorld e o Polly 2000, ambos do GEIAAM.

O ParaWorld tem como objetivo construir uma ferramenta que auxilie professor e estudante no ensino do conteúdo “parábola”. Nele se encontra toda a teoria referente ao ensino de parábola, desde motivação, definição, construção até suas equações mais comuns. É possível, ainda, desafiar conhecimentos adquiridos com os exercícios propostos que incluem problemas do cotidiano. Ele é um freeware!

O Polly 2000 consiste em uma nova versão do Poli 1.0, que possui a finalidade de auxiliar o estudante na classificação de triângulos e quadriláteros, com uma filosofia diferente da versão anterior. É também um freeware.

Figura 1.4: Ícone do software ParaWorld

Fonte: http://www.mtm.ufsc.br/geiaam/

Onde encontrar ParaWorld e o Polly 2000: http://www.mtm.ufsc.br/geiaam/

1.3. Tutoriais

Caracterizam-se por transmitir informações pedagogicamente organizadas, como se fossem um livro animado, um vídeo interativo ou um professor eletrônico. A informação é apresentada ao estudante seguindo uma sequência, e o estudante pode escolher a informação que desejar. A informação que está disponível é definida e organizada previamente, assim o computador assume o papel de uma máquina de ensinar. A interação entre o estudante e o computador consiste na leitura da tela ou escuta da informação fornecida, avanço pelo material, apertando a tecla “Enter” ou usando o “mouse” para escolher a informação.

Eles são utilizados, geralmente, para introduzir novos conceitos, apresentar a aquisição de conceitos, princípios e/ou generalizações. Servem como apoio ou reforço para aulas, para preparação ou revisão de conteúdos, entre outros.

Esse programa só permite ao agente de aprendizagem verificar o produto final e não os processos utilizados para alcançá-lo. A sua limitação se encontra justamente em não possibilitar a verificação se a informação processada passou a ser conhecimento agregado aos esquemas mentais. (VALENTE, 1994 apud BATISTA, 2004).

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Como exemplo, podemos citar o IEDer e o ApliDer, ambos do GEIAMM – UFSC. O IEDer é um software que tem por objetivo servir como instrumento para auxiliar o na aprendizagem do conteúdo Derivada. Através da interação com o mesmo, o estudante terá uma introdução ao estudo de Derivada. IEDer significa um sistema de Introdução ao Estudo da Derivada. Já o ApliDer tem por objetivo auxiliar na Resolução de Problemas de Aplicações da Derivada. Os dois são freewares.

Onde encontrar IEDer e o ApliDer:http://www.mtm.ufsc.br/geiaam/

1.4. Simulação e Modelagem

A simulação envolve a criação de modelos dinâmicos e simplificados do mundo real. Softwares desta natureza constituem o ponto forte do computador na escola, pois permitem a exploração de situações fictícias, e com certo grau de risco, como:

− manipulação de substância química ou objetos perigosos.− de experimentos que são muito complicados, como simuladores de vôo.− de experimentos caros ou que levam muito tempo para se processarem, como o crescimento de uma planta.− de situações impossíveis de serem obtidas, como viagens na História.

Na modelagem, o modelo do fenômeno é criado pelo estudante que utiliza recursos de um sistema computacional para implementar esse modelo no computador, utilizando-o como se fosse uma simulação. Esse tipo de software exige certo grau de envolvimento na definição e representação computacional do fenômeno.

Quando se utilizam simuladores no processo ensino-aprendizagem, destacamos uma vantagem: é que eles oferecem a possibilidade de o estudante desenvolver hipóteses, testá-las, analisar resultados e refinar os conceitos. Mas é importante ressaltar que devem ser utilizados após a aprendizagem de conceitos e princípios básicos do tema em questão, pois a simulação não cria por si mesma a melhor situação de aprendizado.

Em geral, é complicado desenvolver um software de simulação, já que requer grande poder computacional, recursos gráficos e sonoros, de modo a tornar a situação problema o mais perto do real.

1.5. Programação

Estes softwares permitem que pessoas, professores ou estudantes criem seus próprios protótipos de programas, sem que tenham que possuir conhecimentos avançados de programação.

Ao programar o computador utilizando conceitos e estratégias, este pode ser visto como uma ferramenta para resolver problemas. A realização de um programa exige que o usuário processe a informação, transformando-a em conhecimento.

O programa representa a ideia do sujeito e existe uma correspondência direta entre cada comando e o comportamento do computador. As características disponíveis no processo de programação ajudam o a encontrar erros, e ao professor compreender o processo pelo qual o estudante construiu conceitos e estratégias envolvidas no programa.


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1.6. Micromundos

O conceito de micromundo pode ser empregado em diversos ambientes, mas trataremos da utilização deste conceito em ambientes informáticos. Os softwares atuais permitem o desenvolvimento de micromundos que são, no nosso entender, os principais representantes da categoria de AIA – Ambientes Interativos de Aprendizagem.

No micromundo, não há um direcionamento, como acontece nos softtwares tipo tutoriais, mas uma livre exploração do software. Nele, a ênfase é na construção de conhecimento, já que o próprio estudante, através de experimentos que ele conduzirá no micromundo, forjará um certo tipo de conhecimento. Um micromundo é caracterizado como sendo constituído de:

− um ambiente de objetos e de relações.− um conjunto de operadores susceptíveis de operar sobre esses objetos. Criam-se, assim, novos objetos e

novas relações.

A ideia básica sobre o uso de um micromundo, no aprendizado de Matemática, é a de encorajar o estudante a explorar o ambiente que está acessível através de alguma interface e que envolve um modelo de domínio de conhecimento matemático.

A utilização de micromundos pode melhorar o desenvolvimento das estratégias utilizadas pelo estudante na resolução de alguma tarefa e contribuir na construção de significados, envolvendo relações entre objetos matemáticos e suas representações.

1.6.1. Exemplos de Micromundos

Apresentaremos, aqui, dois micromundos que são softwares de Geometria Dinâmica, o Cabri-Géomètre II e o Régua e Compasso. Posteriormente, voltaremos a tratar, com mais detalhes, sobre softwares dessa natureza.

Por Geometria Dinâmica (GD) devemos entender a Geometria proporcionada por programas gráficos que, numa área de desenho, permitem construções geométricas a partir de objetos-base, que atualizam, automaticamente, as construções, sempre que o usuário alterar um dos objetos-base. Pode-se, por exemplo, a partir de dois pontos A e B , construir a mediatriz do segmento AB . Assim, sempre que o ponto A ou B for movido na área de desenho, o programa redesenha automaticamente a mediatriz (normalmente de forma contínua, dando a impressão de movimento).

Na ilustração abaixo, o ponto B foi mantido fixo e o ponto A foi movido. Veja que a mediatriz (em vermelho) foi redesenhada em uma nova posição.

Figura 1.5: A mediatriz de um segmentoFonte: criação própria

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Vejamos os exemplos:

Cabri-Géomètre II: Caderno de Rascunho Interativo para Geometria

CAhier = caderno BRouillon = rascunho Interactif = interativo

Figura 1.6: Ícone do CabriFonte: www.cabri.com

Proposto para o ensino da Geometria Euclidiana Plana, é um software didático desenvolvido por Jean-Marie Laborde e Franck Bellemain no laboratório do Instituto de Informática e Matemática Aplicada da Universidade Joseph Fourier de Grenoble, França, em colaboração com o CNRS (Centro Nacional de Pesquisas Científicas) e Texas Instrumentos.

Com apenas alguns cliques, pode-se marcar pontos na tela, traçar retas e circunferências, transportar distâncias, construir retas paralelas, perpendiculares, entre outras. Todos os diagramas típicos de um texto de Geometria Plana podem ser feitos com precisão e rapidez, utilizando apenas o mouse. Mas, ao contrário dos desenhos feitos com régua e compasso no mundo real, as construções geométricas virtuais produzidas com o Cabri não ficam eternamente estáticas: elas se mexem sob o nosso comando.

Mais precisamente, os pontos geométricos iniciais de uma construção podem ser arrastados com o mouse, sem destruir as relações matemáticas que vigoram entre eles e os demais objetos. Dessa maneira, pode-se estudar uma mesma construção para diferentes configurações de pontos – sem que seja necessário repetir a construção.

Esta é a principal característica dos programas de Geometria Dinâmica. Os usos e implicações desta tecnologia para o ensino e a pesquisa matemática são temas de artigos de muitos pesquisadores.

Características do Cabri-Géomètre II

− geometria dinâmica;− construtivista;− trabalhar conceitos;− software aberto;− construção de figuras geométricas;− explorar propriedades dos objetos e suas relações;− comprovar experimentalmente;− formulação de hipóteses e conjecturas;− históricos das construções;− criação de macros.


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O Cabri-Géomètre II permite ao professor criar livremente atividades para suas aulas, por isso é caracterizado como um software aberto. Ele pode ser utilizado desde o primário até a Universidade, em diversas áreas como Matemática, Física e Desenho Artístico, por exemplo.

O Cabri-Géomètre II não é free. É representado no Brasil pela PROEM na PUC/SP. Você pode consultar o site http://www.cabri.com.br/ para encontrar exemplos de utilização do Cabri em sala de aula, fazer uma cópia do manual e baixar a versão demo do programa.

Régua e Compasso: C.a.R (Compass and Ruler)

Uma maneira rápida de apresentar o C.a.R, pelo menos para uma parte do público brasileiro, é dizer que se trata de um software da categoria do Cabri.

C.a.R é uma abreviação de Compass and Ruler, que significa Régua e Compasso. Como o nome sugere, este software contém ferramentas para construções geométricas (planas) com régua e compasso. O software Régua e Compasso (C.a.R.), desenvolvido pelo professor René Grothmann da Universidade Católica de Berlim, na Alemanha, é um software de geometria dinâmica plana gratuito

Figura 1.7: Ícone do C.a.R.

Fonte: http://zirkel.sourceforge.net/

Ele está escrito na linguagem Java, tem código aberto e roda em qualquer plataforma (Windows, Linux, Macintosh etc).

Acesse o endereço da web, abaixo, para baixar os arquivos de instalação, bem como fazer exercícios on-line e ter acesso a um excelente tutorial desenvolvido pelo Prof. Humberto José Bortolossi, da Universidade Federal Fluminense.

Humberto José Bortolossi & CaR:www.professores.uff.br/hjbortol/car/

1.7. Sistemas de Autoria

Um software para ser caracterizado como programa de autoria ou sistema de autoria ele precisa dispor de ferramentas como sons, imagens, vídeo e animação, que permitem o desenvolvimento de projetos multimídia. Com um bom software de autoria o usuário, professor ou aluno, pode, sem necessariamente ter conhecimento em programação, criar, apresentar aulas, apostilas eletrônicas e outros tipos de softwares educacionais como exercício e prática, tutoriais e jogos.

Com estes tipos de softwares, alunos e professores podem criar seus próprios conteúdos, não precisando mais se adaptar aos produtos fechados. Com isso, eles passam de expectadores a criadores, que é muito mais estimulante. A relação ensino-aprendizagem fica mais dinâmica, com professores e alunos trabalhando juntos durante o processo de criação do projeto multimídia. Dessa forma, o aluno desenvolve sua autonomia, organizando as informações, podendo o professor assumir o papel de orientador dentro do processo de confecção dos projetos

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Um exemplo bem conhecido é o PowerPoint da Microsoft. Este é um sistema de autoria utilizado para efetuar apresentações gráficas atrativas no Sistema Operacional Windows.

Figura 1.8: Microsoft PowerPoint

Fonte: http://office.microsoft.com/

Para criar apresentações gráficas em PowerPoint, ele dispõe de processamento de textos, estrutura de tópicos, esquemas automáticos, modelos, desenhos, assistentes, gráficos e vários tipos de ferramentas para expressar ideias nas apresentações. Ele é basicamente usado para apresentações e aulas expositivas.

Outro exemplo bem mais sofisticado é o Adobe Flash (antigo Macromedia Flash), ou simplesmente Flash. Ele é um programa gráfico vetorial utilizado para se criar animações interativas que funcionam embutidas num navegador web.

Figura 1.9: Adobe Flash

Fonte: http://www.adobe.com/

Os arquivos executáveis gerados pelo Flash, chamados de “SWF” (Shockwave Flash File), podem ser visualizados em uma página web usando um navegador web ou utilizando-se o Flash Player. Os arquivos feitos em Flash são comumente utilizados para propaganda animada (banners) em páginas da web, mas não se limitando a isso, pois há também em abundância vários jogos, tutorias, exercício e prática e apresentações dos mais variados tipos utilizando tecnologia Flash, na internet.

1.8. Tutoramento Inteligente

O Tutoramento Inteligente – ITS (Intelligent Tutoring Systems), definido por alguns autores, aborda questões relacionadas ao que ensinar e como ensinar, de forma a adaptar o ensino de um dado conteúdo às necessidades do estudante, proporcionando um aprendizado individualizado.

Através da análise de informações relevantes sobre as atividades do estudante que está sendo tutorado, o Tutor Inteligente possibilita apresentar o conhecimento de maneira compreensiva e autônoma. Assim, com o SATI – Sistema de Autoria e Tutor Inteligente, o professor poderá disponibilizar os conteúdos para o desenvolvimento de aulas, ou para a revisão dos conteúdos já ministrados, através das informações disponibilizadas dos conteúdos de acordo com suas dúvidas e interesses, pois o ambiente oferece ao usuário livre mobilidade.

1.9. Sistemas de Computação Algébrica

Um Sistema de Computação Algébrica (ou Sistema de Álgebra Computacional) (em inglês: CAS – Computer Algebra System) é um programa de software que facilita o cálculo na matemática simbólica. Programas desta


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natureza permitem aos seus usuários fazerem cálculos não somente com números, mas também com símbolos, fórmulas, expressões, equações e assim por diante.

Normalmente, os Sistemas de Computação Algébrica incluem:

− precisão aritmética arbitrária, possibilitando, por exemplo, a avaliação de π (pi) a 10.000 dígitos;− motor de manipulação simbólica para simplificar expressões algébricas, para diferenciar e para integrar

funções e resolver equações;− facilidades gráficas, para produzir gráficos de funções, normalmente a duas ou a três dimensões;− um subsistema de álgebra linear, para permitir cálculo de matrizes e resolver sistemas de equações lineares;− uma linguagem de programação de alto nível, permitindo aos utilizadores implementar os seus próprios

algoritmos;− um sistema de composição para expressões matemáticas.

Em geral, os softwares de computação algébrica não são desenvolvidos propriamente para o processo de ensino-aprendizagem. Para sua utilização no ensino é necessária a implementação de propostas pedagógicas. No entanto, estes softwares são muitos utilizados, pois, com eles, pode-se usar essa capacidade simbólica para obter soluções analíticas exatas para muitos problemas matemáticos, por exemplo, diferenciação, integração, sistemas de equações, expansão de funções em séries, problemas em Álgebra Linear etc.

Sistemas de Computação Algébrica são poderosas ferramentas para matemáticos, físicos, químicos, engenheiros, enfim para todos aqueles que necessitam de respostas rápidas e precisas para determinados problemas matemáticos. Eles proporcionam um completo ambiente matemático para a manipulação de expressões algébricas, simbólicas, precisão numérica arbitrária, gráficos em 2D e 3D e programação.

Estes tipos de softwares são utilizados por educadores, cientistas, engenheiros, pesquisadores e estudantes de ciências físicas, gerentes de negócios e economistas no mundo inteiro. Contudo, há um ponto fraco a se considerar: a inexistência de interatividade do usuário com o software, ou seja, quando há um erro por parte do usuário, normalmente, o software não emite mensagem clara, comunicando-o.

1.9.1. Exemplos de Softwares CAS

Maple

O Maple é um sistema de computação algébrica desenvolvido por Waterloo Maple Inc. (Ontário, Canadá). É comercializado pela Maplesoft (http://www.maplesoft.com/), uma companhia canadense também baseada em Waterloo, Ontário. A Maplesoft é o principal fornecedor de ferramentas de software de alto desempenho para engenharia, ciência e matemática. Sua suíte de produtos reflete a filosofia que, dado grandes ferramentas, as pessoas podem fazer grandes coisas.

Figura 1.10: Maplesoft

Fonte: http://www.maplesoft.com/

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A Maplesoft comercializa o Maple em versão profissional e versão estudantil. A diferença de preços é substancial. Edições estudantis recentes (a partir da versão 6) não contêm limitações computacionais, mas trazem menos documentação impressa. Atualmente o Maple está na versão 14. O link abaixo fornece um breve histórico do Maple:

http://www.maplesoft.com/products/maple/history/

Maxima

Figura 1.11: Maxima

Fonte: http://maxima.sourceforge.net/

Maxima é um sistema para a manipulação de expressões simbólicas e numéricas, incluindo diferenciação, integração, séries de Taylor, transformadas de Laplace, equações diferenciais ordinárias, sistemas de equações lineares, polinômios, conjuntos, listas, vetores, matrizes e tensores.

Ele produz resultados numéricos de alta precisão usando frações exatas, inteiros de precisão arbitrária, e de precisão variável de números de ponto flutuante. Maxima pode traçar funções e dados em duas e três dimensões.

Por ser um software livre, seu código-fonte pode ser compilado em muitos sistemas, incluindo Windows, Linux e MacOS X. O código fonte para todos os sistemas e os binários pré-compilados para Windows e Linux estão disponíveis no gerenciador de arquivos SourceForge.

Maxima é um descendente de Macsyma, o legendário sistema de álgebra de computador desenvolvido no final dos anos 1960 no Massachusetts Institute of Technology. É o único sistema com base em que o esforço ainda publicamente disponíveis e com uma comunidade de usuários ativos, graças à sua natureza de código aberto. Macsyma foi revolucionário no seu dia, e muitos dos sistemas, tais como Maple e Mathematica, foram inspirados por ela.

O ramo Maxima do Macsyma foi mantido por William Schelter de 1982 até seu falecimento em 2001. Em 1998 ele obteve permissão para liberar o código-fonte sob a GNU General Public License (GPL). Foi o seu esforço e habilidade que têm feito a sobrevivência do Maxima possível, e estamos muito gratos a ele por ter voluntariado seu tempo e conhecimento especializado para manter o código original DOE Macsyma vivo e bem. Desde o seu falecimento de um grupo de usuários e desenvolvedores formou para trazer ao Maxima para um público mais vasto.

O endereço para da web para baixar o instalador do Maxima é:

http://maxima.sourceforge.net/

1.10. Planilhas Eletrônicas

As planilhas eletrônicas são geralmente utilizadas por empresas para fazer planejamento financeiro, controle de despesas e faturas, orçamentos e previsões para usar projetos futuros.


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O software Microsoft Excel é um exemplo de uma planilha eletrônica. Ele é um processador de números que analisa dados em planilhas, gráficos e mapas.

Figura 1.12: Microsoft Excel

Fonte: http://office.microsoft.com/

Seus recursos incluem uma interface intuitiva e capacitadas ferramentas de cálculo e de construção de gráficos que, juntamente com marketing agressivo, tornaram o Excel um dos mais populares aplicativos de computador até hoje.

O Excel não guarda na sua concepção a especificidade de ser um ambiente de aprendizagem. Pode constituir-se numa fonte significativa para a apropriação de, por exemplo, conceitos algébricos não só elementares, como também alguns mais sofisticados.

A título de ilustração, vamos considerar o problema de encontrar aproximações das raízes da equação polinomial 3 22 1 0x x x− + − = . Uma técnica usualmente empregada consiste em usar um processo interativo que produz,

sucessivamente, intervalos cada vez menores, de forma a encontrar que em cada um deles se verifique a mudança de sinal do polinômio. É possível prosseguir esse processo até se obter um valor com grau desejado de precisão.

A figura 1.13, abaixo, apresenta a resolução dessa equação polinomial empregando a planilha eletrônica Excel. São utilizados valores inteiros (incremento igual 1) para determinar os extremos dos intervalos de mudança de sinal.

A seguir, pode-se usar essa informação para determinar um novo ponto inicial e um novo incremento. Neste caso particular, o próximo passo seria utilizar 1,0, como ponto inicial e 0,1, como incremento, ou seja, particionar o intervalo ( )1,2 da seguinte forma:

1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0< < < < < < < < < < .

Figura 1.13: Resolvendo equação algébrica com o ExcelFonte: criação própria

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2. FATORES DE QUALIDADE DE UM SOFTWARE

A exemplo da seleção de livros-texto, o professor deve avaliar e selecionar software educacionais adequados ao programa e à sua metodologia de ensino. A primeira tarefa do professor que se propõe a analisar um software educativo é identificar a concepção teórica de aprendizagem que o orienta, pois um software, para ser educativo, deve ser pensado segundo uma teoria sobre como o sujeito aprende, como se apropria do conhecimento e o constrói.

Os softwares educacionais também necessitam de avaliação quanto a sua qualidade, uma vez que nem sempre possuem características adequadas, tanto no que se refere a aspectos técnicos, quanto a aspectos pedagógicos. Diversos softwares educacionais são colocados à disposição do professor e estudantes a cada ano, mas muitos são de má qualidade ou de uso inadequado.

Faremos, neste capítulo, uma breve discussão sobre a questão de levantar características (e subcaracterísticas) de um software educacional que achamos relevantes na avaliação da qualidade de um software.

2.1. Normas ISO

ISO é a sigla da Organização Internacional de Normalização (International Organization for Standardization), com sede em Genebra, Suíça, e que cuida da normalização em nível mundial. Esta organização cria normas nos mais diferentes segmentos, variando de normas e especificações de produtos e matérias-primas em todas as áreas (existem normas, por exemplo, para classificação de hotéis, café, usinas nucleares etc).

Os padrões da ISO estabelecem especificações técnicas, regras e critérios e definem características para garantir que produtos, serviços ou processos sejam adequados a seus propósitos.

ISO/IEC 9126/NBR 13596: Tecnologia de informação – Avaliação de produto de software – Características de qualidade e diretrizes para seu uso.

O padrão ISO/IEC 9126 representa a atual padronização mundial para a qualidade de software. É baseada em três níveis: Características, Subcaracterísticas e Métricas. Cada característica é refinada em um conjunto de subcaracterísticas e cada subcaracterística é avaliada por um conjunto de métricas.

Qualidade é um termo que pode ter diferentes interpretações. Existem muitas definições de qualidade de software propostas na literatura sob diferentes pontos de vistas. Conforme ISO 9126, Qualidade de um Software é a totalidade das características de um produto de software que lhe confere a capacidade de satisfazer às necessidades explícitas e implícitas.

Avaliar a qualidade de produto de um software vai muito além da preocupação com defeitos de funcionamento. Diversas características devem ser analisadas, tais como, as consideradas na versão brasileira da ISO 9126, a norma NBR 13596, visando a avaliação da qualidade interna e externa de produtos de software.

De acordo com a norma, foram definidas seis características de qualidade de um software.

− Funcionabilidade: satisfaz as necessidades?

Conjunto de atributos que evidenciam a existência de um conjunto de funções e suas propriedades especificadas. As funções são as que satisfazem as necessidades explícitas e implícitas.

− Confiabilidade: é imune a falhas?


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Conjunto de atributos que evidenciam a capacidade do software de manter seu nível de desempenho sob condições estabelecidas durante um período de tempo estabelecido.

− Usabilidade: é fácil de usar?

Conjunto de atributos que evidenciam o esforço necessário para se poder utilizar o software, bem como o julgamento individual desse uso por um conjunto explícito ou implícito de usuários.

− Eficiência: é rápido e “enxuto”?

Conjunto de atributos que evidenciam o relacionamento entre o nível de desempenho do software e a quantidade de recursos usados sob condições estabelecidas.

− Manutenibilidade: é fácil de modificar?

Conjunto de atributos que evidenciam o esforço necessário para fazer modificações especificadas no software.

− Portabilidade: é fácil de usar em outro ambiente?

Conjunto de atributos que evidenciam a capacidade do software de ser transferido de um ambiente para outro.

Cada uma destas características é, ainda, dividida em subcaracterísticas, que apresentamos resumidamente, de maneira simples, através de questões-chave, conforme tabela a seguir.

Característica Subcaracterística Questão-chave para a subcaracterística

Funcionabilidade

Adequação Propõe-se a fazer o que é apropriado?

Acurácia Faz o que foi proposto de forma correta?

Interoperabilidade Interage com os sistemas específicos?

Conformidade Está de acordo com as normas, leis etc?

Segurança de acesso Evita acesso não autorizado aos dados?

Confiabilidade

Maturidade Com que frequência apresenta falhas?

Tolerância a falhas Ocorrendo falhas, como ele reage?

Recuperabilidade É capaz de recuperar dados em caso de falha?

Usabilidade

Inteligibilidade É fácil de entender o conceito e a aplicação?

Apreensibilidade É fácil de aprender a usar?

Operacionabilidade É fácil de operar e controlar?

EficiênciaTempo

Qual o tempo de resposta?Qual é a velocidade de execução?

RecursosQuantos recursos usa?Durante quanto tempo?

Manutenibilidade

Analisabilidade É fácil de encontrar uma falha quando ocorre?

Modificabilidade É fácil de modificar e adaptar?

Estabilidade Há risco de efeitos quando se faz alterações?

Testabilidade É fácil de testar quando se faz modificações?

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Portabilidade

Adaptabilidade É fácil de se adaptar a outros ambientes?

Capacidade de instalar É fácil de instalar?

Conformidade Está de acordo com padrões de portabilidade?

Capacidade para substituir É fácil de usar para substituir outro?

Tabela 2.1: Características e Subcaraterísticas para Qualidade de Software

Fonte: Batista, 2004, p. 48

A norma NBR 13.596 não define como dar “nota’’ a um software em cada um dos itens. Para isso devem ser criados níveis de pontuação em cada uma das subcaracterísticas.

É importante saber, também, que cada uma das diferentes características de qualidade varia dependendo do tipo do software; por exemplo, em softwares interativos, a característica usabilidade é de maior importância.

O que devemos considerar, também, ao analisar softwares educativos, além das características citadas na norma, são questões específicas sobre aprendizado, pois não basta o software ter uma interface amigável, ela tem que ser apropriada para uma perspectiva educacional.

2.2. Questões a considerar antes de usar um Software Educativo

O conjunto de softwares educativos disponíveis constitui uma biblioteca eletrônica à disposição do professor, bem como do estudante. Cada um deles deverá ser utilizado de acordo com o saber matemático em discussão. Nesse contexto, o professor, antes de utilizar um software em sala de aula, deve, antes de usar um software educativo, considerar algumas questões, tais como:

− qual saber ou conhecimento queremos ensinar?− Qual software podemos utilizar?− O software a ser utilizado permite:

• a construção de situações nas quais as variáveis são controláveis?• A identificação e interpretação dos erros e as condições de seu aparecimento?• A construção de modelo provisor de processos errôneos?• A construção de situações nas quais esses processos seriam desequilibrados?• O alcance dos objetivos didáticos procurados pelo professor?

− Quais são:

• os entraves que o software impõe ao usuário?• Os componentes que ele proporciona e o ensino e a aprendizagem que ele produz?• Os impactos que o ensino e a aprendizagem sofrem com um software educacional na transferência do

conhecimento construído em sala de aula?• Os efeitos da transposição informática do saber matemático sobre o conhecimento construído pelo

estudante na interação com o dispositivo informático?

− Que tipo de ajuda o software oferece ao estudante na resolução de problemas e qual o papel destinado ao professor na construção de situações didáticas?


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1. Um texto sobre a avaliação de software educativo: reflexões para uma análise criteriosa, de Fábia Magali Santos Vieira.

Disponível em http://edutec.net/Textos/Alia/MISC/edmagali2.htmAcesso em 20/05/2010.2. Um artigo que apresenta um instrumento para avaliar a qualidade de um produto de software educacional de

Matemática apontando alguns aspectos técnicos e educacionais que devem ser considerados para o julgamento dessa qualidade. Das professoras Ana Paula Gladcheff, Edna Maura Zuffi Dilma Menezes da Silva.

Disponível em http://www.ime.usp.br/dcc/posgrad/teses/anapaula/artigoWIE.PDF. Acesso em 20/05/2010.

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3. SEQUÊNCIAS DIDÁTICAS

Como sabemos, nosso propósito é estudar matemática e proporcionar ambientes de aprendizagem com apoio computacional para nossos estudantes. Sem muito esforço, percebemos, rapidamente, que a preparação de aulas com apoio computacional exige do professor, em especial de matemática, mais reflexão e também mais tempo do que na preparação das aulas tradicionais. Um pré-requisito para o sucesso é que o professor esteja convencido de que a ferramenta, o recurso didático a ser utilizado, trará benefícios ao processo ensino-aprendizagem.

Como vimos, na escolha de um software, por exemplo, é necessário que sejam analisadas suas limitações e seu potencial, de forma a dar ao professor autonomia em decidir qual a abordagem com que vai trabalhar para atingir seus objetivos.

Assim que o professor decidir usar recursos computacionais em sala de aula, é importante algumas reflexões que propiciem a convicção de que os recursos escolhidos são adequados. A seguir, é preciso definir os objetivos que devem ser alcançados ao término da aula. O professor pode usar a aula com computador, por exemplo, para motivar e/ou introduzir um novo conteúdo, revisar um conteúdo ou fixar um conteúdo.

Após a definição dos objetivos, o professor deve planejar a sua aula, em que uma boa técnica é questionar se:

−os estudantes vão usar lápis e papel em paralelo?− É necessária uma preparação anterior?− Como será a participação do professor durante a aula?− Os estudantes têm os pré-requisitos relativos ao conteúdo? Ao uso do computador? Ao uso do software?− Como vão ser identificados os erros dos estudantes?

Note que estas e outras questões, ao serem respondidas, norteiam o planejamento da aula com computador. Ao preparar a aula, deve-se lembrar dos seguintes e básicos detalhes:

− a sala ambiente (laboratório) deve se adequar à quantidade de estudantes;− o software escolhido deve estar instalado e em condições de uso;− material de apoio (roteiros ou sequências de atividades, listas de exercícios etc) necessário no decorrer da

aula deve estar preparado.

No decorrer da aula, o professor deve observar cuidadosa e rigorosamente todos os detalhes, para que possa fazer uma avaliação não somente dos estudantes, mas sim da metodologia escolhida; e é no decorrer da aula que surgem os indicadores de sucesso ou não das atividades propostas. Na hora de avaliar, o professor deve listar os indicadores de sucesso (por exemplo, participação e satisfação dos estudantes) e os problemas, para responder à seguinte questão:

os objetivos foram atingidos?Sim: significa que a escolha dos procedimentos para a aula foi adequada.

Não: o professor deve refletir para encontrar as causa do insucesso e corrigi-las.

A metodologia utilizada produz um ciclo de atividades a serem desenvolvidas pelo professor. Essas atividades propiciam um apoio pedagógico fundamental para o ensino e a aprendizagem dos estudantes e, previamente definidas, são apresentadas aos estudantes sob a forma do que chamamos de sequências didáticas.


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Uma sequência didática, também chamada de sequência de ensino, é um conjunto de atividades, propostas pelo professor, para alcançar objetivos definidos anteriormente.

Henriques (2001) define como um esquema experimental de situações problemas desenvolvidos por sessões de ensino a partir de um estudo preliminar, caracterizando os objetivos específicos de cada problema, a análise matemática e a análise didática relativas às atividades propostas.

Na elaboração de uma sequência didática é importante que se promovam situações de ensino nas quais os estudantes possam utilizar os conhecimentos anteriores para buscar a solução de um problema e/ou exercício proposto. Também é interessante que o estudante seja confrontado com obstáculos que possam lhe fazer refletir e construir novos conhecimentos e lhe permitam perceber as limitações da máquina.

Para isso, uma sequência didática deve conter alguns elementos, como descreveremos a seguir.

3.1. Elementos de uma Sequência Didática

É altamente recomendável que uma sequência didática contenha os seguinte elementos:

− objetivos: deve ficar claro aos estudantes os objetivos a serem alcançados;− atividades propostas: são as atividades a serem desenvolvidas no laboratório de informática com a presença

do professor;− atividades extraclasse: são exercícios e/ou situações-problemas dentro do conteúdo estudado a serem

desenvolvidos pelos estudantes sem a presença do professor;− análise crítica da aula: é um registro da aula feita após seu término pelo professor e pelos estudantes, que

fornece ao professor um feedback para a avaliação e re-alimentação da mesma. Aqui o professor deve fazer a análise matemática e a análise didática.

• Análise Matemática: destaca as resoluções possíveis, a forma de controle e os resultados esperados;• Análise Didática: preocupa-se com as variáveis didáticas 1d e situações, pré-requisitos e com a

competência.

Conforme objetivos a serem alcançados, as sequências didáticas podem ter características diferentes. Vejamos algumas abaixo:

− as sequências didáticas cujo(s) objetivo(s) contempla(m) o motivar e o introduzir novos conteúdos. Nelas, são propostas situações cujas análises devem conduzir o estudante a novos conceitos e/ou possíveis generalizações;

− os objetivos são os de reforçar e fixar conteúdos previamente explorados. As atividades propostas aos estudantes são constituídas de exercícios e análises de situações envolvendo conteúdos já trabalhados em sala de aula.

− o objetivo é revisar conteúdos. Em geral, no laboratório computacional, os estudantes resolvem e comparam exercícios previamente resolvidos no ambiente lápis/papel.

1 Variáveis didáticas são elementos matemáticos que estão à disposição do professor e que permitem a análise de situações durante uma investigação.

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4. SOFTWARES EDUCATIVOS MATEMÁTICOS

Veremos um tipo de software educativo matemático capaz de auxiliar na aprendizagem dos diversos conteúdos da Matemática, como, por exemplo: Geometria Plana, Geometria Analítica e o Estudo das Funções.

Muitos softwares são lançados no mercado. São muitos softwares, e é impossível listarmos todos aqui. O que segue é uma sugestão nossa, e cabe ao professor pesquisar outros softwares, investigar suas potencialidades e características, conforme objetivos da aula e o saber matemático que se pretende ensinar.

Estudaremos uma classe de softwares fundamental quando o assunto é o uso da informática no ensino da matemática, a saber, os assim denominados softwares de geometria dinâmica.

4.1. Software de Geometria Dinâmica

Por Geometria Dinâmica (GD) entende-se a Geometria proporcionada por programas gráficos que, numa área de desenho, permitem construções geométricas a partir de objetos-base que atualizam automaticamente as construções, sempre que o usuário alterar um dos objetos-base Pode-se aplicá-la em programas desta natureza. Por exemplo, podemos deslocar o vértice de um ângulo inscrito num círculo e observar, de maneira contínua, a conservação do ângulo, conforme figura abaixo.

Figura 4.1: O ângulos inscritos na Geometria Dinâmica

Fonte: criação própria

Um software de geometria dinâmica é um ambiente que permite simular construções geométricas no computador. Diferentemente do que ocorre com a régua e o compasso tradicionais, as construções feitas com este tipo de software são dinâmicas e interativas, o que faz do programa um excelente laboratório de aprendizagem da geometria.

O estudante (ou o professor) pode testar suas conjecturas através de exemplos e contra-exemplos que ele pode

facilmente gerar. Uma vez feita a construção, pontos, retas e círculos podem ser deslocados na tela mantendo-se as relações geométricas (pertinência, paralelismo etc) previamente estabelecidas, permitindo assim que o estudante (ou o professor), ao invés de gastar o seu tempo com detalhes de construção repetitivos, se concentre na associação existente entre os objetos. Assim, ele possibilita ao estudante, a partir de uma única construção, efetuar um número arbitrário de testes para procurar ou verificar uma conjectura, o que seria virtualmente impossível com lápis e papel e, por isso, podemos dizer que é “1-construção” e “n-testes”.


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Podemos usar o Teorema de Pitágoras para ilustrar como uma pesquisa pode ser catalizada pela Geometria Dinâmica:

O estudante pode construir um triângulo retângulo, tomar algumas medidas e alterar a posição dos vértices e, por si próprio, eventualmente, observar que o quadrado da hipotenusa sempre coincidirá com a soma dos quadrados dos catetos.

Vários softwares de geometria dinâmica estão disponíveis no mercado: Cabri-Géomètre, Geometry Sketchpad, Cinderella, Régua e Compasso, Geogebra, iGeom etc. Apesar de algumas diferenças, o princípio de funcionamento é o mesmo para todos eles, de modo que as atividades desenvolvidas com um podem, facilmente, ser adaptadas para qualquer outro.

Em nossa disciplina, usaremos o software “GeoGebra”, desenvolvido por Markus Hohenwarter. O GeoGebra é um software gratuito de matemática dinâmica que reúne recursos de geometria, álgebra e cálculo. É gratuito, você pode usá-lo e distribuí-lo para seus estudantes sem pagar nada por isto. Ele roda em qualquer plataforma (Microsoft Windows, Linux, Macintosh, etc).

Aprender a usar o software é apenas o começo. Espera-se que você, ao longo do curso, ganhe a habilidade de decidir criticamente quando e como usá-lo em seus estudos individuais e, principalmente, quando e como usá-lo com seus estudantes na sala de aula. A seguir, daremos um maior detalhamento sobre este software.


Na Home Page do professor Humberto José Bortolossi, da Universidade Federal Fluminense, há um excelente tutorial para aprender a usar o Geogebra, bem como sua descrição de arquivos de instalação; biblioteca; galeria etc. Disponível em http://www.professores.uff.br/hjbortol/geogebra/Acesso em 26/05/2010.

4.1.1. Geogebra

O GeoGebra é um software de matemática dinâmica gratuito e multiplataforma para todos os níveis de ensino, que combina geometria, álgebra, tabelas, gráficos, estatística e cálculo em um único sistema. Algumas vantagens de usar o GeoGebra:

− gráficos, álgebra e tabelas estão interconectados e possuem características dinâmicas.− interface amigável, com vários recursos sofisticados.− ferramenta de produção de aplicativos interativos em páginas WEB.− disponível em vários idiomas para milhões de usuários em torno do mundo.− software gratuito e de código aberto.

Por um lado, o GeoGebra possui todas as ferramentas tradicionais de um software de geometria dinâmica: pontos, segmentos, retas e seções cônicas. Por outro, equações e coordenadas podem ser inseridas diretamente.

Assim, o GeoGebra tem a vantagem didática de apresentar, ao mesmo tempo, duas representações diferentes de um mesmo objeto que interagem entre si: sua representação geométrica e sua representação algébrica.

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Como ilustração, consideremos uma circunferência de centro ( )2,2A que passe pelo ponto ( )0,2B . Sua equação pode ser dada por ( ) ( )2 22 2 4x y− + − = .

Veja que, na figura abaixo, numa janela, temos o desenho da circunferência e, na outra, as informações algébricas da mesma.

Figura 4.2: As duas janelas do GeogebraFonte: criação própria

Agora, pegando o mouse e mudando o ponto ( )2,2A , clicando e arrastando, por exemplo, para a posição ( )1,0 , o programa desenhará uma nova circunferência e atualizará os dados na janela de álgebra, como mostra o resultado na figura abaixo.

Figura 4.3: As duas janelas do GeogebraFonte: criação própria


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Instalando o GeoGebra

Bem, o primeiro passo é instalar o programa em seu computador. Para isso, visite o site do GeoGebra (www.geogebra.at) e, clicando em Download, escolha entre Baixar, Instalações ou Portátel, conforme descrição abaixo:

− baixar

• Na opção WebStar é possível instalar e executar o GeoGebra em seu computador. Um ícone será criado na área de trabalho de seu computador para o uso offline também;

• Na opção Applet Start o Geogebra será aberto em um applet GeoGebra completamente funcional em seu navegador. Nada será instalado em seu computador.

− Instalações (Programas Instaladores do GeoGebra): é possível baixar e instalar o GeoGebra em seu computador, usando um dos dos arquivos de instalação, entre a opção para Windows, para Mac OS X ou para Linux. Você pode copiar, distribuir e transmitir o GeoGebra para fins não comerciais.

− Portável: a vesão portável do GeoGebra roda em qualquer computador sem a necessidade de instalação. Baixe um dos pacotes, conforme seu sistema operacional, e o descompacte em seu Pen Drive. Você pode copiar, distribuir e transmitir o GeoGebra para fins não comerciais.

Figura 4.4: Página de Downlod do GeogebraFonte: http://www.geogebra.org/cms/pt_BR/download

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Escolhido a opção, por exemplo, baixando o arquivo GeoGebra-Windows-Installer-3-2-41-0.exe, ao executar aparecerá a seguinte tela:

Figura 4.5: Instalando o GeogebraFonte: Própria

Clique em Próximo e depois em Eu Concordo para aceitar os termos de acordo. Feito isso, na próxima tela tem a opção Standard (padrão) ou Custom (para usuários avançados). Aconselha-se a opção Custom. Em seguida, é só ir clicando em Próximo até aparecer a opção Instalar. Ao término, aparecerá a seguinte tela:

Figura 4.6: Instalando o GeogebraFonte: Própria


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Finalmente, clique em Terminar, com a opção Executar Geogebra ativada, e o programa se iniciará, conforme ilustra a figura abaixo:

Figura 4.7: Tela início do GeogebraFonte: Própria

Uma vez instalado o programa, passamos a conhecê-lo. Abaixo apresentaremos telas que apresentarão o programa referente à versão 3.2.41.0 de 26 de março de 2010, como ilustra a figura abaixo.

Figura 4.8: Tela Sobre/Licença do GeogebraFonte: Própria

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Conhecendo o GeoGebra

O GeoGebra possui cinco grandes áreas de trabalho, a saber.

− Menu principal (1)

Figura 4.9: Menu Principal do GeogebraFonte: www.professores.uff.br/hjbortol

− Barra de Ferramentas (2)

Figura 4.10: Barra de Ferramentas do GeogebraFonte: www.professores.uff.br/hjbortol


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− Janela de Álgebra (3)

Figura 4.11: Janela de Algebra do GeogebraFonte: www.professores.uff.br/hjbortol

− Janela de Visualização Geométrica (4)

Figura 4.12: Janela Geométrica do GeogebraFonte: www.professores.uff.br/hjbortol

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− Campo de Entrada ou Linha de Comandos (5)

Figura 4.13: Campo de Entrada do GeogebraFonte: www.professores.uff.br/hjbortol

Com a ajuda do mouse e com os botões da barra de ferramentas, é possível construir figuras sobre a janela de geometria dinâmica. Assim, as coordenadas e equações aparecem na janela de álgebra. Na linha de comandos (campo de entrada), podemos introduzir diretamente as coordenadas, as condições, comandos, e as expressões que definem as funções que, logo em seguida, são representados na janela de geometria, ao acionar-se a tecla Enter.

É possível ativar/desativar, conforme conveniência, a janela de álgebra, a janela de geometria dinâmica, os eixos, a malha, a linha de comandos etc., como ilustra a figura abaixo.

Figura 4.14: Tela exibir/ocultar alguma janela do Geogebra Fonte: criação própria


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A Barra de Ferramentas do GeoGebra

A barra de ferramentas do GeoGebra está dividida em onze janelas, como mostra a figura abaixo.

Figura 4.15: A barra de ferramentas do GeogebraFonte: criação própria

Vejamos os botões que cada janela possui. Para abrir cada janela, basta clicar na setinha, no canto inferior direito, de cada ícone na barra de ferramentas.

− Caixa de Ferramentas Ponteiro

− Caixa de Ferramentas Ponteiro

Figura 4.16: Caixa de Ferramentas PonteiroFonte: criação própria

− Caixa de Ferramentas Pontos

Figura 4.17: Caixa de Ferramentas PontosFonte: criação própria

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− Caixa de Ferramentas Retas (1)

Figura 4.18: Caixa de Ferramentas RetasFonte: criação própria

− Caixa de Ferramentas Retas (2)

Figura 4.19: Caixa de Ferramentas RetasFonte: criação própria


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− Caixa de Ferramentas Polígonos

Figura 4.20: Caixa de Ferramentas PolígonosFonte: criação própria

− Caixa de Ferramentas Curvas: círculos e arcos

Figura 4.21: Caixa de Ferramentas Curvas: círculos e arcosFonte: própria

− Caixa de Ferramentas Curvas: cônicas

Figura 4.22: Caixa de Ferramentas Curvas: cônicasFonte: própria

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− Caixa de Ferramentas Medir

Figura 4.23: Caixa de Ferramentas MedirFonte: própria

− Caixa de Ferramentas Transformar

Figura 4.24: Caixa de Ferramentas TransformarFonte: criação própria

− Caixa de Ferramentas Inserir Objetos

Figura 4.25: Caixa de Ferramentas Inserir ObjetosFonte: criação própria


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− Caixa de Ferramentas Exibir/Mostrar

Figura 4.26: Caixa de Ferramentas Exibir/MostrarFonte: criação própria

Algumas Vantagens do Geogebra

Além de ser gratuito de código aberto, podemos listar outras vantagens na utilização deste software, a saber:

− seletores: pode-se construir, por exemplo, o gráfico da função 2( ) ( )f x x a b= − + , em que os valores

de a e de b são dados nos seletores, podendo assim o estudante interagir, modificando estes valores e

percebendo o movimento no plano da função 2( )f x x= . Abaixo, ilustrações de como construir seletores.

• Ativando a ferramenta Seletor

Figura 4.27: Inserindo seletor no GeogebraFonte: criação própria

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• Construindo o primeiro seletor, denotando-o por a. Depois, repita o processo e construa outra seletor, agora com nome de b.

Figura 4.28: Rotulando um SeletorFonte: criação própria

• Digite, no campo de entrada, (x-a)^2+b, para que o GeoGebra construa a função 2( ) ( )f x x a b= − + . Não se esqueça de teclar Enter, após a digitação.

Figura 4.29: Seletores no GeogebraFonte: criação própria


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• Surgirá o esboço gráfico da função, como figura abaixo.

Figura 4.30: Gráfico da função, no Geogebra, com seletoresFonte: criação própria

• Com o mouse, altere os valores para os seletores de a e de b. A figura abaixo ilustra uma nova construção, feita pelo Geogebra, quando os valores de a e b foram alterados.

Figura 4.31: Novo gráfico para novos valores do seletoresFonte: criação própria

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− Expressões em LaTeX: pode-se inserir expressões digitando em LaTeX, como, por exemplo, digitando

f(x)=\frac{1}{x-1}, a visualização é ( ) 11

f xx

=−

. As figuras abaixo ilustram como inserir textos com

escrita em LaTeX.

• Inserindo um texto:

Figura 4.32: Inserindo texto no GeogebraFonte: criação própria

• Digitando a expressão em LaTeX. Não se esqueça de marcar Fórmula LaTeX, na janela Texto.

Figura 4.33: Escrevendo em Latex no GeogebraFonte: criação própria


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• Visualizando

Figura 4.34: Expressão em Latex no GeogebraFonte: criação própria

??? ??? SAIBA MAIS

O Wiki do TeX-BR é um repositório de conhecimento sobre o TeX, o LaTeX e assuntos relacionados, que qualquer um pode editar, para tomar conhecimento sobre a linguagem de macros LaTeX: o que é, como usar e onde encontrar.

http://www.tex-br.org/ Acesso em 27/05/2010.

− Textos Dinâmicos: o Geogebra permite inserir textos que, quando um parâmetro é modificado, o texto também é modificado. Vejamos um exemplo.

• Crie dois seletores, digamos “a” e “b”;• No campo de entrada, digite: f(x) = (x-a)^2 + b. Aperte enter e edite as opções de gráfico do gráfico

da função f;

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Figura 4.35: Textos dinâmicos no GeogebraFonte: criação própria

• ative a ferramenta “Inserir Texto”. Faremos um texto em que aparecerá uma mensagem fixa com outra que varia. A parte fixa deverá ficar entre aspas. O sinal + liga a parte fixa com a arte variável e a parte variável ficará, preferencialmente, entre parênteses. Digite assim:

“f(x) = (x-a)^2 + b = (x-(“ + a + “))^2 + (“ + b + “)”

Figura 4.36: Inserindo textos dinâmicos no GeogebraFonte: criação própria


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• Altere com o mouse os valores de “a” e/ou “b” e veja o resultado.

− Figuras de Fundo: é possível inserir uma figura servindo de imagem de fundo. Veja as ilustrações abaixo de como fazer isso.

• Ativando o botão Incluir Imagem:

Figura 4.37: Inserindo figura de fundo no GeogebraFonte: criação própria

• Escolhendo a imagem para ser inserida. Busque em alguma pasta do computador.

Figura 4.38: Escolhendo imagem para inserir no GeogentaFonte: criação própria

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• Você pode redimensionar e reposicionar a figura de fundo.

Figura 4.39: Figura de fundo no GeogebraFonte: criação própria


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5. UTILIZANDO O GEOGEBRA COMO FERRAMENTA DE ENSINO

Aprender a usar o software é apenas o começo. Espera-se que, na medida em que o professor vai se familiarizando com os diversos tipos de softwares, o mesmo tenha a habilidade de decidir criticamente quando e como usá-lo em seus estudos individuais e, principalmente, quando e como usá-lo com seus estudantes.

Agora, veremos algumas indicações de como é possível utilizar o GeoGebra como uma ferramenta didática para o ensino da Matemática.

5.1. Construções Geométricas (Elementares) com o Geogebra

Trataremos, inicialmente, de problemas e exercícios ligados à Geometria Euclidiana Plana. Vamos nos concentrar em algumas construções elementares da geometria com o uso do software Geogebra, para irmos nos familiarizando com o software.

Primeiramente, veremos sequências de procedimentos capazes de construir triângulos com o uso do Geogebra, levando em conta o conceito e as propriedades específicas. Em seguida, exibiremos outras construções elementares, não fugindo do propósito que é a familiarização com o Geogebra. Claro que não esgotaremos todas as construções elementares, apenas exibiremos algumas, conforme nosso propósito.

Triângulo Equilátero

− Construa o segmento AB:

• na terceira caixa de ferramentas, ative a função “Segmento definido por dois pontos” e, então, clique na área de desenho em dois locais distintos;

(a) Ativando a ferramenta segmentoFonte: criação própria

(b) Construindo o segmentoFonte: criação própria

Figura 5.1 Construindo segmento no Geogebra

− Construa a circunferência com centro no ponto A passando em B;

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• Na sexta caixa de ferramentas, ative a primeira função, como na figura abaixo.

Figura 5.2: Ativando a ferramenta círcucloFonte: criação própria

• Com a ferramenta ativa, clique no ponto A e depois no B. Assim a circunferência será construída.

Figura 5.3: Círculo construído no GeogebraFonte: criação própria

− Sobre a circunferência, crie o ponto C e construa os segmentos AC e BC;

Figura 5.4: Construindo o triângulo ABCFonte: criação própria


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− Na oitava caixa de ferramentas, ative a função “Distância, comprimento ou perímetro” e meça os segmentos AB, AC e BC.

Figura 5.5: Ativando a ferramenta medirFonte: criação própria

• O triângulo é equilátero?

− Construa a circunferência com centro no ponto B, passando em A.− Movimente o ponto C, de modo que o triângulo ABC seja equilátero. Em seguida, movimento o ponto A ou o

ponto B e verifique se o triângulo ainda é equilátero.− Identifique o ponto D de interseção entre as circunferências. Movimente os pontos A ou B.

Figura 5.6: Construindo outro círculoFonte: criação própria

− Qual a diferença entre determinar o triângulo ABC e determinar o triângulo ABD?

Triângulo Isósceles

− Construa o segmento de reta AB e Identifique o ponto médio C deste segmento;

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• Na segunda caixa de ferramenta, ative a função “Ponto Médio” e então clique no segmento AB

(a) Ativando a função ponto médioFonte: criação própria

(b) Criando o ponto médio do segmentoFonte: criação própria

Figura 5.7: Ponto Médio do Segmento

− Trace a reta perpendicular ao segmento AB que passa em C;

• Na quarta caixa de ferramenta, ative a função “Reta Perpendicular”, em seguida clique no ponto C e depois no segmento AB.

Figura 5.8: Ativando a ferramenta Reta PerpendicularFonte: criação própria

− Marque um ponto D sobre a perpendicular e trace os segmentos AD e BD.− Meça os segmentos AD e BD;

Figura 5.9: Medidas dos segmentosFonte: criação própria

− Movimente os pontos A, B e/ou D. O que podemos afirmar sobre as distâncias AD e BD?


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?? VOCÊ SABIA?

Pontos Notáveis do Triângulo1. Ortocentro: dá-se o nome de ortocentro ao ponto de interseção das retas suportes das alturas de um

triângulo.


Utilize o Geogebra para identificar este ponto e analisar a seguinte afirmação:

“O ortocentro pertence à região interna do triângulo, se o triângulo for acutângulo.”

Para tanto, siga da seguinte forma:

(a) construa um triângulo ABC qualquer;

(b) construa as retas perpendiculares aos lados desse triângulo que passa em cada vértice oposto ao lado;

(c) identifique o ponto de interseção entre essas retas;

(d) altere a posição dos vértices e constate a afirmação acima;

(e) a partir desta construção, responda:

(e1) quando o triângulo for retângulo, onde estará localizado o ortocentro?

(e2) Quando o triângulo for obtusângulo, onde estará localizado o ortocentro?

?? VOCÊ SABIA?

2. Incentro: dá-se o nome de incentro ao ponto de interseção das bissetrizes dos ângulos internos de um

triângulo. Este ponto é útil para desenhar o círculo inscrito a um triângulo, pois ele é o centro desste círculo.

Assim, com o Goegebra, construa um triângulo qualquer e desenhe o círculo inscrito a esse triângulo.

3. Circuncentro: dá-se o nome de circuncentro ao ponto de interseção das mediatrizes dos lados de um

triângulo. . Este ponto é útil para desenhar o círculo que circunscreve um triângulo, pois ele é o centro desse

círculo. Assim, com o Goegebra, construa um triângulo qualquer, localize o circuncentro e trace o círculo que

circunscreve esse triângulo.

4. Baricentro: dá-se o nome de baricentro ao ponto de interseção das medianas de um triângulo. Este ponto

divide toda mediana a que pertence em dois segmentos numa razão 1 para 2. Constate, com o auxílio do

Geogebra, essa propriedade.

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Pontos Notáveis do Triângulo e a Reta de Euler Construa, no Geogebra, os quatro pontos notáveis de um triângulo (numa mesma figura). Construa uma reta

que passa pelo ortocentro e pelo circuncentro. Feito isso, responda:(a) o baricentro pertence a esta reta?(b) Se o triângulo for equilátero, qual a relação entre os quatro pontos notáveis do triângulo? E se o triângulo

for isóscele?A reta de Euler: um dos resultados mais curiosos da geometria plana elementar é o fato de que, para qualquer

triângulo, o ortocentro H, o baricentro G e o circuncentro O estão sobre a mesma linha reta.


É ou não é um paralelogramo?

1. Construa no Geogebra um triângulo ABC qualquer. Sobre os lados AB e AC construa, respectivamente,

triângulos equiláteros PAB e RCA “para fora” do triângulo ABC. Sobre o lado BC, construa o triângulo equilátero

QCB “para dentro” do triângulo ABC. Por fim, trace os segmentos PQ e QR. Responda:

(1.1) que propriedade marcante o quadrilátero PQRA possui?

2. Construa no Geogebra um quadrilátero ABCD qualquer e, em seguida, marque os pontos médios X, Y, W e

Z dos segmentos AB, BC, DC e DA, respectivamente.

(2.1) Que propriedade marcante o quadrilátero XYWZ possui?


Teorema de Napoleão Construa, no Geogebra, um triângulo qualquer. Em cada lado desse triângulo forme um triângulo equilátero,

contudo marcando o baricentro de cada triângulo eqüilátero. Construa o triângulo formado por esses baricentros. Responda:

esse novo triângulo é equilátero?

Teorema de Thébault Construa, no Geogebra, um paralelogramo. Em cada lado desse polígono forme um quadrado, contudo

marcando o baricentro de cada quadrado. Construa o quadrilátero formado por esses baricentros. Responda:esse quadrilátero é um quadrado?Se no lugar de paralelogramo fizéssemos essa construção com um quadrilátero qualquer, poderíamos concluir

algo sobre o novo quadrilátero, ou seja, o Teorema de Napoleão se estenderia para um quadrilátero qualquer?


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Triângulo Retângulo de Hipotenusa dada

Dado um segmento AB, vamos ver como obter todos os triângulos retângulos cuja hipotenusa seja o segmento AB.

− Construa o segmento de reta AB e marque o ponto médio C deste segmento.− Construa a circunferência com centro no ponto C, passando em A. Crie o ponto D sobre a circunferência.

Figura 5.10: Ponto sobre a circunferênciaFonte: criação própria

− Determine os segmentos AD e BD. Marque o ângulo ADB.

• Na nona caixa de ferramentas, ative a função “Ângulo”. Clique, nesta ordem, nos pontos A, D e B.

(a) Ferramenta ânguloFonte: criação própria

(b) Medindo ÂnguloFonte: criação própria

Figura 5.11: Medindo ângulo no Geogebra

− Movimente o ponto D. O que se pode dizer sobre a natureza do triângulo ADB?

Quadrado tendo como lado o segmento AB

− Construa o segmento de reta AB.− Construa duas circunferências:

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• uma com centro em A, passando em B;• outra com centro em B, passando em A.

− Trace as perpendiculares ao segmento AB passando nas extremidades A e B.− Identifique os pontos C e D, interseção entre as retas e as circunferências.

Figura 5.12: Construindo o quadradoFonte: criação própria

− Determine o polígono ABCD:

• na quinta caixa de ferramentas, ative a função “Polígono” e depois clique nos pontos A, B, D e C, nesta ordem:

Figura 5.13: Construindo o polígonoFonte: criação própria

− Marque os ângulos internos do polígono.− Movimente os pontos A e/ou B. O que acontece com as medidas dos lados desse polígono? E com as

medidas dos ângulos?


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O teorema de PitágorasEste teorema diz que, em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma

dos quadrados das medidas dos catetos. Em símbolos, se representa a medida da hipotenusa e e representam a medida dos catetos, então

2 2 2a b c= +

Podemos usar o Geogebra para ilustrar, geometricamente, essa relação. Para tanto, construa, no Geogebra, faça como indicado:

1. construa um triângulo qualquer e marque o ângulo cujo vértice seja o ponto A;2. em cada lado do triângulo, construa o quadrado cujo lado coincida com o lado do triângulo;3. na oitava caixa de ferramenta, ative a opção Área e clique em cada quadrado;4. certificado de que a hipotenusa está representada pela letra a e os catetos pelas letras b e c, insira os

seguintes textos (ative Fórmula LaTeX):

“a^2=(“+a+”)^2=”+a^2“b^2+c^2=(“+b+”)^2+(“+c+”)^2 =”+(b^2+c^2)

5. varie a posição do ponto A e perceba quando haverá igualdade entre os textos acima.

O teorema de Pitágoras segundo Euclides:No livro I dos Elementos, Euclides apresenta uma demonstração (proposição 47) para o teorema de Pitágoras

fundamentado na seguinte afirmação:

“A área de um triângulo é igual à metade da área de um paralelogramo com a mesma base e a mesma altura.”

Figura 5.14: Teorema de Pitágoras segundo EuclidesFonte: criação própria

Use o Geogebra para fazer a construção indicada na figura acima e provar o teorema de Pitágoras, segundo Euclides.

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5.2. Uma Sugestão para o Estudo de Funções

No que segue, sugerimos uma proposta de abordagem para o estudo de funções, baseado nas seguintes palavras-chave: motivação, contextualização e representação gráfica. Dividimos em etapas, a saber.

− Etapa 01: exploração de gráficos da vida cotidiana. Nesta etapa podem ser exploradas questões como:

• quais as grandezas envolvidas?• Quais são as variáveis?• Uma variável depende da outra?• Existem padrões de regularidade?

− Etapa 02: análise gráfica. É interessante, aqui, explorar aspectos gerais do estudo de funções, como domínio, imagem, crescimento, decrescimento, raízes, máximo, mínimos etc. Esta etapa pode ser finalizada numa aula expositiva dialogada em que, com a participação dos estudantes, o professor formaliza os conceitos novos trabalhados.

− Etapa 03: introdução das funções de primeiro grau, quadrática e modular. É importante explicar, aqui, algumas situações práticas (sempre que possível) onde as mesmas são utilizadas.

− Etapa 04: análise gráfica explorando deslocamentos horizontais e verticais, reflexões, simetria, etc. É interessante propor, nesta etapa, atividades que levem o estudante a inferir resultados mais gerais. É importante, também, que sejam propostas situações nas quais o estudante faça conversões entre os registros de representação gráfica e analítica.

− Etapa 05: análise de algumas situações genéricas. Nesta fase, é interessante trabalhar com questões mais genéricas, continuando a desenvolver atividades que envolvem a representação gráfica e analítica com a

conversão de uma para outra. Pode-se, ainda, explorar as limitações da representação gráfica para obter

resultados exatos ou que nem existem. Por exemplo, quais são os zeros das funções 2( ) 2 2f x x x= + − e 2( ) 1f x x= + ?

− Etapa 06: introdução das demais funções elementares, utilizando todo o embasamento obtido nas etapas anteriores.

Notemos que esta proposta pode ser aplicada, mesmo sem a presença de um computador. Neste caso, podem ser usados cartazes, transparências etc. Não há dúvida de que o potencial gráfico dos softwares de geometria dinâmica enriquecerá muito a atividade.

Vejamos, via exemplos, como podemos efetivar o GeoGebra para o estudo de funções. Inicialmente, vejamos o conceito de função e, então, fazer sua representação geométrica.

O conceito de função, junto com sua representação gráfica, é uma ferramenta poderosa na modelagem de problemas. Na busca do entendimento de fenômenos dos mais variados, este conceito se faz presente. Pode-se dizer que, desde muito cedo, acompanha a trajetória do estudante, procurando explicar ou modelar diversos fenômenos que o rodeiam. Podemos, assim, definir função:


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Definição [Função]: sejam X e Y subconjuntos não vazios de � . Uma função :f X Y→ é uma relação em

que, para cada elemento x X∈ , está associado um único elemento ( )y f x Y= ∈ . O conjunto X é o domínio de f e o conjunto Y é o contra domínio de f .

Como queremos representar gráficos de função no Geogebra, precisamos da seguinte definição:

o gráfico de uma função real : [ , ]f a b ⊂ →� � é o subconjunto do plano numérico 2� definido por:

2( ) {( , ) ; ( ), [ , ]}G f x y y f x para todo x a b= ∈ = ∈� .

Desse modo, podemos visualizar o gráfico da função f como uma “linha” formada pelos pontos de coordenadas ( , ( ))P x f x para todo [ , ]x a b∈ .

Use o GeoGebra para Mostrar ao Estudante: o gráfico de uma função

Podemos utilizar a dinâmica do GeoGebra para mostrar ao estudante como desenhar o gráfico de uma função

no plano, a partir do conceito de gráfico. Por exemplo, vejamos para a função ( ) 2f x x= .

− Localize um ponto A no eixo das abscissas.

Figura 5.15: Um ponto sobre o eixo das abscissasFonte: criação própria

− Digite no campo de entrada (x(A), x(A)*x(A)).− Com o botão direito do mouse, clique no ponto B e ative a opção “Habilitar Rastro”.− Construa os seguintes segmentos digitando no campo de entrada:

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• segmento[A,B];• segmento[B,(0,y(B))]

− Finalmente, mova com o mouse o ponto A .

Figura 5.16: Gráfico da função no GeogebraFonte: criação própria

Essa construção nos permite mostrar ao estudante que o gráfico de uma função é um conjunto de pontos no plano, em que, para cada ponto, a ordenada é obtida/determinada pela lei da função. No exemplo acima, cada ponto do gráfico tem a forma ( )2,x x .

Faça o mesmo para a função ( ) ( )senf x x= . Repita o processo, fazendo a adaptação para (x(A), sin(x(A))), ao invés de (x(A), (x(A)*x(A)).

Figura 5.17: Gráfico da função senoFonte: criação própria


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Use o GeoGebra para Mostrar ao Estudante: o gráfico da função afim é uma reta

Vamos, primeiramente, mostrar, analiticamente, que o gráfico da função afim ( )f x ax b= + é uma reta. De

fato, basta mostrar que três pontos quaisquer, 1 1 1( , )P x ax b+ , 2 2 2( , )P x ax b+ e 3 3 3( , )P x ax b+ , desse gráfico

são colineares. Para isso, é necessário e suficiente que

1 3 1 2 2 3 1 2 3( , ) ( , ) ( , ), d P P d P P d P P para x x x= + < <

Figura 5.18: Trás pontos colinearesFonte: criação própria

Calculando a distância entre os pontos, obtemos

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

21 2 2 1

22 3 3 2

21 3 3 1

, 1

, 1

, 1

d P P x x a

d P P x x a

d P P x x a

= − +

= − +

= − +

Perceba que a soma ( ) ( )1 2 2 3, ,d P P d P P+ é igual ( )1 3,d P P , como queríamos.

Por outro lado, do ponto de vista geométrico, temos:

− o parâmetro b é a ordenada do ponto onde a reta r , que é o gráfico da função afim, corta o eixo das ordenadas, pois ( )0f b= ;

− o parâmetro a é a inclinação, ou coeficiente angular, da reta, em relação ao eixo das abscissas. De fato, considerando dois pontos quaisquer 1 2x x< , tem-se:

( ) ( ) ( )2 1

2 1

tanf x f x

ax x

α−

= =−

,

em que α é o ângulo formado pela reta e o eixo das abscissas.

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Figura 5.19: Gráfico da função a fim


Pelo exposto, dados 1 2x x< , temos

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 12 1 2 1

2 1

f x f xa f x f x a x x

x x−

= ⇔ − = −−

.

Podemos, assim, concluir que:

− ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 20 0a f x f x f x f x> ⇒ − > ⇔ <

− ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 20 0a f x f x f x f x< ⇒ − < ⇔ >

− ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 20 0a f x f x f x f x b= ⇒ − = ⇔ = =

Acabamos de estudar, por completo, a “natureza” da função afim: a forma do seu gráfico; monotonicidade e o significado dos coeficientes a e b . Agora, veremos como usar o GeoGebra para visualizar esses fatos:

− localize um ponto A no eixo coordenado x ;− crie os seletores a e b (um de cada vez), clicando na sexta caixa de ferramentas do GeoGebra;− digite, no campo de entrada, (x(A), a*x(A)+b);− dê um duplo clique no ponto B, que surgiu na tela clique em Propriedades, e então mude a cor para vermelho,

por exemplo;− digite, no campo de entrada, f(x)=a*x+b, para que o GeoGebra exiba o gráfico de ( )f x ax b= + ;− altere, com mouse, os valores dos seletores a e b para perceber as alterações que estes coeficientes

proporcionam ao gráfico. Página 65.

(a função é crescente);

(a função é decrescente);

(a função é constante).


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Figura 5.20: Gráfico da função aa fim no GeogebraFonte: criação própria

O GeoGebra e as Transformações Elementares

Vamos usar o GeoGebra para entender como gráficos de funções podem ser transformados a partir de uma soma ou um produto por uma constante. É o que chamamos de transformações elementares, que são: translação, dilatação e contração, tanto vertical quanto horizontal, e reflexão em ralação aos eixos coordenados. Definiremos cada transformação elementar e ilustraremos como fazer no GeoGebra, via exemplos.

Definição [Translação Vertical de Função]. Considere uma função :g →� � e o número real positivo

0h > . A função :f →� � , obtida da função g através de uma translação vertical para cima (resp. baixo), é

definida pela regra ( ) ( )f x g x h= + (resp. ( ) ( )f x g x h= − ).

Desse modo, o gráfico da função f é obtido do gráfico da função g através de uma translação vertical para cima de h unidades ou o gráfico da função f é obtido do gráfico da função g através de uma translação vertical para baixo de h unidades. Veja ilustração abaixo.

Figura 5.21: Translação Vertical de funçõesFonte: criação própria

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Abaixo, veja como proceder no Geogebra para mostrar o efeito gráfico provocado por uma translação vertical no gráfico de uma função.

− Crie o seletor “a”.− Digite, no campo de entrada, g(x) = x*x.− Clique, com o botão direito, no gráfico da função e então mude o estilo de linha, para tracejado, por exemplo.

Veja figura abaixo:

Figura 5.22: Criando o seletor para a translaçãoFonte: criação própria

− Digite, no campo de entrada, f(x) = g(x) + a. Você pode editar as propriedades do gráfico desta nova função, mudando cor e/ou espessura.

− Altere, com mouse, o valor do seletor “a”, colocando-o em zero, como ilustra a figura abaixo:

Figura 5.23: Construindo a função para transladarFonte: criação própria


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− Agora, com o mouse, altere o valor do seletor “a”, variando para valores positivos e negativos. Veja ilustrações abaixo.

(a) (b)

(c) (d)

Figura 5.24: Visualizando a translação vertical do gráfico da função


Definição [Translação Horizontal de Função]. Considere uma função :g →� � e o número real positivo.

A função :f →� � , obtida da função g através de uma translação horizontal à direita (resp. à esquerda), é

definida pela regra ( ) ( )f x g x h= − (resp. ( ) ( )f x g x h= + ).

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Desse modo, o gráfico da função f é obtido do gráfico da função g através de uma translação horizontal à direita de h unidades ou o gráfico da função f é obtido do gráfico da função g através de uma translação horizontal à esquerda de h unidades. Veja ilustração abaixo.

Figura 5.25: Translação Horizontal de funçõesFonte: criação própria

Passaremos a exibir um procedimento de como fazer esse movimento usando o Geogebra:

− crie o seletor “a” e digite, no campo de entrada, g(x) = x*x;− clique, com o botão direito, no gráfico da função e então mude o estilo de linha, para tracejado, por exemplo.

Veja figura abaixo:

Figura 5.26: Criando o seletor para a translaçãoFonte: criação própria


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− Coloque o seletor a com valor zero. Em seguida, digite, no campo de entrada, f(x) = g(x-a). Você pode editar as propriedades do gráfico desta nova função, mudando cor e/ou espessura.

Figura 5.27: Construindo a função para transladarFonte: criação própria

− Agora, com o mouse, altere o valor do seletor “a”, variando para valores positivos e negativos. Veja ilustrações abaixo:

(a) (b)

(c) (d)

Figura 5.28: Visualizando a translação horizontal do gráfico da funçãoFonte: criação própria

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Abaixo, apresentamos as definições para as outras transformações elementares. Em seguida, deixamos a indicação de como ilustrar, fazendo o uso do Geogebra.

Definição [Dilatação/Contração Vertical de Função]. Considere uma função :g →� � e o número real positivo a . A função :f →� � , obtida da função g pela regra ( ) ( )f x a g x= ⋅ , é uma dilatação vertical se

1a > e uma contração vertical se 0 1a< < .

Desse modo, o gráfico da função f é obtido do gráfico da função g através de uma dilatação vertical, em relação ao eixo das ordenadas, de um fator 1a > ou o gráfico de f é obtido do gráfico da função g através de uma dilatação vertical, em relação ao eixo das ordenadas, de um fator ( )0 1a a< < .

Ilustraremos a dilatação e a contração da função seno. Por ser uma função limitada, isto é, ( )1 sen 1x− < < , poderemos perceber, nitidamente, o efeito gráfico produzido no gráfico. Segue a indicação:

Contração

− crie o seletor “a”, atribuindo valor mínimo 0 e valor máximo 1, como na figura abaixo:

Figura 5.29: Criando o seletor para a contraçãoFonte: criação própria

− digite, no campo de entrada, g(x) = sin(x). Edite o estilo do gráfico indo em propriedades;− no campo de entrada, digite f(x) = a*g(x);

Altere, com o mouse, o seletor “a”.

(a) (b)


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(c) (d)

Figura 5.30: Visualizando a contração vertical no gráfico da funçãoFonte: criação própria

− Dilatação

• No mesmo arquivo, dê um duplo clique no seletor “a” e altere os valores de mínimo e de máximo, por exemplo, 1 e 5, respectivamente, como na figura abaixo:

Figura 5.31: Editando seletorFonte: criação própria

(a) (b)

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• Altere, com o mouse, o seletor “a” e perceba a dilatação do gráfico.

(c) (d)

Figura 5.32: Visualizando a dilatação vertical no gráfico da funçãoFonte: criação própria

Definição [Dilatação/Contração Horizontal de Função]. Considere uma função :g →� � e o número real positivo a . A função :f →� � , obtida da função g pela regra ( ) ( )f x g a x= ⋅ , é uma dilatação horizontal se

1a > e uma contração horizontal se 0 1a< < .

Desse modo, o gráfico da função f é obtido do gráfico da função g através de uma dilatação horizontal, em relação ao eixo das abscissas, de um fator 1a > ou o gráfico de f é obtido do gráfico da função g através de uma dilatação vertical, em relação ao eixo das abscissas, de um fator ( )0 1a a< < .

Segue a indicação, abaixo, tomando a função seno como exemplo:

− contração

• crie o seletor “a”, atribuindo valor mínimo 0 e valor máximo 1;• digite,nocampodeentrada,g(x)=função[sin(x),0,2*π].Editeasopçõesdográfico;• novamente,nocampodeentrada,digitef(x)=função[g(a*x),0,2*π].Editeasopçõesdográfico;• altere, com o mouse, o seletor “a”.

(a) (b)


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w

(c) (d)

Figura 5.33: Visualizando a contração horizontal no gráfico da funçãoFonte: criação própria

− Dilatação

• No mesmo arquivo, dê um duplo clique no seletor “a” , altere os valores de mínimo e de máximo, por exemplo, 1 e 5, respectivamente;

• altere, com o mouse, o seletor “a” e perceba a dilatação do gráfico.

Definição. Considere uma função :g →� � . A função :f →� � , obtida da função g pela regra

( ) ( )f x g x= − , é uma reflexão em relação ao eixo OX .

Desse modo, o gráfico da função f é obtido do gráfico da função g através de uma reflexão (simetria), em torno do eixo coordenado OX .

Vejamos como ilustrar usando o Geogebra.

− Crie o seletor “a”, atribuindo valor mínimo -1 e valor máximo 1, com incremento 2. Conforme figura abaixo:

Figura 5.34: Criando seletor para a reflexãoFonte: criação própria

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− Digite,nocampodeentrada,g(x)=função[sin(x),0,2*π].Editeasopçõesdográfico;− novamente,nocampodeentrada,digitef(x)=função[a*g(x),0,2*π].Editeasopçõesdográfico;− altere, com o mouse, o seletor “a”. Perceba que o seletor “a” assume, apenas, -1 ou 1. Veja figura abaixo:

(a) (b)

Figura 5.35: Visualizando a reflexão em torno do eixo OXFonte: criação própria

− Definição. Considere uma função :g →� � . A função :f →� � , obtida da função g pela regra ( ) ( )f x g x= − , é uma reflexão em relação ao eixo Oy .

Desse modo, o gráfico da função f é obtido do gráfico da função g através de uma reflexão (simetria) em torno do eixo coordenado OY .

Vejamos como ilustrar, usando o Geogebra.

− Crie o seletor “a”, atribuindo valor mínimo -1 e valor máximo 1, com incremento 2.− Digite, no campo de entrada, g(x)= (x-2)^2. Edite as opções do gráfico, deixando seu gráfico tracejado.− Novamente, no campo de entrada, digite f(x)= g(a*x). Edite as opções do gráfico.− Altere, com o mouse, o seletor “a”. Perceba que o seletor “a” assume, apenas, -1 ou 1. Veja ilustração

abaixo.

(a) (b)

Figura 5.36: Visualizando a reflexão em torno do eixo OXFonte: criação própria


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O Geogebra e as Funções Quadráticas

Com o uso do Geogebra, analisaremos as propriedades geométricas das funções quadráticas 2:f x ax bx c+ +a . Essas funções estão presentes em muitos problemas do nosso cotidiano, e muitos

problemas geométricos são descritos por uma função quadrática. Utilizaremos a forma canônica da função quadrática para fazer esboço gráfico, com uso das transformações elementares, a partir da função quadrática básica 2:g x xa . Esse resultado é muito importante na análise das propriedades da função quadrática, bem como para mostrar que seu gráfico é uma parábola. Finalmente, faremos uma pequena introdução ao estudo da função derivada de uma função quadrática.

Para iniciarmos, precisamos da definição de função quadrática e a proposição que a represente na sua forma canônica.

Definição [Função Quadrática]. Uma função :f →� � chama-se função quadrática quando existem

constantes , ,a b c∈ � , com 0a ≠ , tais que ( ) 2f x ax bx c= + + para todo x∈ � .

Proposição. Toda função quadrática 2:f x ax bx c+ +a pode ser escrita da seguinte forma:

2( ) ( )f x a x k h= − + , em que 2bka

= − e 24

4ac bh

a−

= , denominada Forma Canônica do Trinômio.

Prova: completando o quadrado em ( ) 2f x ax bx c= + + , obtemos

( ) 2 2

2 22

2

2 2

4 4

4 ,2 4

bf x ax bx c a x x ca

b b ba x x ca a a

b ac ba xa a

= + + = + +

= + + − +

− = + +

o que completa a demonstração.

Por exemplo, para a função ( ) 22 8 2f x x x= + + , podemos completar o quadrado:

( ) ( ) ( )22 2 2( ) 2 8 2 2 4 1 2 4 4 4 1 2 2 6f x x x x x x x x= + + = + + = + + − + = + −

ou escrever 2( ) ( )f x a x k h= − + , em que 8 2

2 2k = − = −

⋅,

24 2 2 8 64 2

h ⋅ ⋅ −= = −

⋅ e 2a = . Assim, podemos

exibir o gráfico de ( ) 22 8 2f x x x= + + , com as transformações elementares, a partir do gráfico de ( ) 2g x x= ,

fazendo ( ) ( )f x a g x k h= ⋅ − + , ou seja, ( ) ( ) ( )22 2 6 2 2 6f x g x x= ⋅ + − = + − .

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Faremos isso com o Geogebra:

− crie os seletores “a”, “k” e “h”;− digite, no campo de entrada, g(x)=x^2. Edite as opções de gráfico, em propriedades, e deixe seu gráfico

tracejado;

Figura 5.37: Seletores para a função quadráticaFonte: criação própria

− Digite, no campo de entrada:

• f(x)=a*g(x-k)+h;• V=(k,h);• Segmento[(0,y(V)),V];• Segmento[(x(V),0),V].

− Altere os valores dos seletores para os desejados: a=2, k=-2 e h = -6.

Figura 5.38: Variando os seletoresFonte: criação própria


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Figura 5.39: Variando os seletoresFonte: criação própria

Figura 5.40: Variando os seltoresFonte: criação própria

Algebricamente, mostra-se que o gráfico de ( ) 2f x x= é uma parábola, a partir da definição de parábola, a saber:

A parábola é o lugar geométrico dos pontos do plano que distam igualmente de um ponto fixo F, denominado foco, e de uma reta dada, denominada diretriz.

Mais ainda, mostra-se que o gráfico da função ( ) ( )2f x a x k h= − + é uma parábola de vértice ( ),V k h , com eixo focal paralelo ao eixo das ordenadas com concavidade voltada para cima (resp. baixo), quando 0a > (resp. 0a < ), como ilustrou o exemplo acima.

Agora, considerando ( ) 2f x ax bx c= + + , faremos uma construção no Geogebra capaz de analisar o comportamento do gráfico desta função, conforme o sinal de cada coeficiente. Vejamos:

− crie, no Geogebra, os seletores “a”, “b” e “c”;

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− digite no campo de entrada:

• f(x) = a*x^2+b*x+c;• V=(-b/(2*a), (4*a*c-b*b)/(4*a));• Segmento[(0,y(V)),V];• Segmento[(x(V),0),V].

− altere, com o mouse, os valores de a, b e c, para “verificar” as seguintes propriedades:

• Coeficiente a: A concavidade do gráfico da função é voltada para cima (resp. baixo), quando 0a > (resp. 0a < );

Figura 5.41: Sinal (positivo) do coeficiente “a” da função quadráticaFonte: criação própria

Figura 5.42: Sinal (negativo) do coeficiente “a” da função quadráticaFonte: criação própria


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• Coeficiente b: este coeficiente está relacionado com a posição do vértice em relação à origem do sistema, mais precisamente com a abscissa do vértice. Vejamos:

− se 0b = , então 0Vx = . Assim, o vértice está sobre o eixo Oy ;

Figura 5.43: Sinal (nulo) do coeficiente “b” da função quadráticaFonte: criação própria

− se os coeficientes “a” e “b” discordarem em sinal, então 0Vx > e, assim, o vértice estará à direita da origem;

Figura 5.44: Os coeficientes “a” e “b” da função quadrática discordam em sinalFonte: criação própria

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− se os coeficientes “a” e “b” concordarem em sinal, então 0Vx < e, assim, o vértice estará à esquerda da origem.

Figura 5.45: Os coeficientes “a” e “b” da função quadrática concordam em sinalFonte: criação própria

• Coeficiente c: como ( ) 20 0 0f a b c c= ⋅ + ⋅ + = e o ponto ( )0,c , do gráfico de f, está sobre o eixo Oy , chegamos à conclusão de que c é a ordenada do ponto em que o gráfico intercepta o eixo Oy .

Você seria capaz de conjecturar algo sobre o coeficiente “b” e o ramo da parábola que intercepta o eixo Oy , em termos da monotonicidade (crescente ou decrescente)? Use o Geogebra e a construção acima para fazer conjecturas.

A Parábola como Lugar Geométrico

Iremos, a partir de um ponto fixo e uma reta dada, localizar o lugar geométrico, os pontos do plano que são equidistantes a este ponto e à reta dada. Para tanto, siga o procedimento abaixo:

− crie um ponto F (foco) e uma reta (diretriz) que não contenha F;− sobre a reta, crie um ponto D e determine o ponto médio M do segmento DF;− trace a mediatriz de DF e a reta perpendicular à diretriz, passando por D;− identifique o ponto de interseção entre a reta perpendicular e a mediatriz;− clique em P com o botão direito do mouse e habilite o rastro deste ponto;− mova o ponto D e perceba P riscando a parábola;− ou digite, no campo de entrada, LugarGeométrico[P, D];− gráfico da página 81.


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Figura 5.46: A parábola como lugar geométricoFonte: criação própria

5.3. Um pouco de Cálculo Diferencial e Integral com o Geogebra

Vamos usar o Geogebra para fazer algumas construções que ajudam a inserir/reforçar conceitos do cálculo diferencial e integral.

Começamos com o problema da reta tangente ao gráfico de uma função “suave” num ponto dado.

O problema da reta Tangente

− Digite no campo de entrada f(x) =x^2 e, sobre o gráfico de f, crie dois pontos distintos: P e Q;

Figura 5.47: Pontos sobre o gráfico da funçãoFonte: criação própria

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• digite, no campo de entrada:

♦ s:Reta[P, Q]♦ t:Tangente[P, f]♦ i=Inclinação[t]

Figura 5.48: Reta secante ao gráfico da funçãoFonte: criação própria

♦ R=(x(Q), y(P))♦ Segmento[P, R]♦ Segmento[R, Q]♦ A=PontoMédio[P, R]♦ B=PontoMédio[Q, R]

Figura 5.49: Reta tangente ao gráfico da funçãoFonte: criação própria


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− Agora, vamos inserir três textos em LaTeX. Ative a ferramenta “Inserir Textos”, na penúltima caixa de ferramentas, e insira uma de cada vez, conforme indicação abaixo:

• \Delta y

Figura 5.50: inserindo texto em LátexFonte: criação própria

• \Delta x• “\frac{\Delta y}{\Delta x} \approx” + ((y(Q) - y(P)) / (x(Q) - x(P)))

Figura 5.51: inserindo texto em Latex, dinâmicoFonte: criação própria

• edite as propriedades dos textos inseridos;

♦ y∆ : clique com o botão direito sobre o texto e na opção “Posição”, defina o ponto B como a posição. Depois oculte o ponto B;

♦ x∆ : clique com o botão direito sobre o texto e na opção “Posição”, defina o ponto A como a posição. Depois oculte o ponto A;

♦ gráfico da página 84.

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Figura 5.52: a reta tangente e a reta secante ao gráfico da funçãoFonte: criação própria

Terminamos nossa construção. Agora, mude a posição do ponto Q, de modo que este ponto tenda ao ponto P.

Perceba que, à medida que Q está muito próximo de P, o quociente yx

∆∆

está próximo do valor i ,que é a inclinação

da reta tangente.

Figura 5.53: Variando a posição do ponto QFonte: criação própria


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Figura 5.54: A reta secante tendendo à reta tangenteFonte: criação própria

O Sinal da Primeira Derivada

Vamos ilustrar, com auxílio do Geogebra, a interpretação geométrica do sinal de primeira derivada, que diz, que, para uma função f derivável em ( ),a b , temos:

− se ( ) ( )' 0, ,f x x a b> ∀ ∈ , então f é crescente em ( ),a b ;

− se ( ) ( )' 0, ,f x x a b< ∀ ∈ , então f é decrescente em ( ),a b .

No Geogebra, proceda da seguinte forma:

− crie um ponto A sobre o eixo Ox ;− digite, no campo de entrada:

• f(x)=função[x^3/18-x^2/4+ 4,-4,7]• T=(x(A),f(x(A)))• t:Tangente[T, f]• a=Inclinação[t]• P=A+(0,a)• Segmento[A,P];

− insira o texto em LaTeX, digitando: f(x)=\frac{x^3}{18}-\frac{x^2}{4}+4;− gráfico da página 86

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Figura 5.55: O sinal de 1ª derivadaFonte: criação própria

− clique, com o botão direito, no ponto P e ative a opção “Habilitar Rastro”;− mova, com o mouse, o ponto A.

Figura 5.56: O gráfico da 1ª derivadaFonte: criação própria


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Perceba que, à medida que o ponto A é deslocado, o ponto P risca na tela o gráfico da derivada de f e, quando a função é crescente, os valores funcionais da derivada são positivos e, analogamente, quando a função é decrescente, os valores funcionais da derivada são negativos. Para finalizar, digite no campo de entrada f’=derivada[f] e verifique que o gráfico da primeira derivada é justamente o gráfico que o ponto P riscou.

Somas de Riemann

Usaremos agora o Geogebra para construir uma Soma de Riemann para uma dada função num intervalo. Vamos considerar a função do exemplo anterior. Assim devemos proceder:

− digite, no campo de entrada, f(x)=função[x^3/18-x^2/4+ 4,-4,7];− crie um seletor e nomeie por n, com mínimo 1, máximo 40 e incremento 1;

Figura 5.57: Criando seletor para a soma de RiemannFonte: criação própria

− digite, no campo de entrada, SomaInferior[f, -2, 5, n];

Figura 5.58: Criando uma soma Inferior no GeogebraFonte: criação própria

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− digite no campo de entrada, SomaSuperior[f,-2,5,n];

Figura 5.59: Criando uma soma Superior no GeogebraFonte: criação própria

− altere, com o mouse, os valores de n em perceba que, à medida que n se torna maior, os retângulos tendem a se encaixar sob o gráfico da função.

Figura5.60: Soma Superior e Soma Inferior no GeogebraFonte: criação própria

Criando um ambiente 3D no GeoGebra

Como todos nós sabemos, o GeoGebra (oficialmente até o momento) trabalha em um ambiente bidimensional. Entretanto, usando os conhecimentos de Geometria Analítica e Álgebra Linear, podemos projetar o espaço (três dimensões - 3D) sobre o plano (duas dimensões - 2D). Portanto, podemos criar no GeoGebra um ambiente 3D.


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Primeiro, vamos lembrar que a base canônica do espaço 3D é dada pelos vetores (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1). Precisamos, então, rotacionar essa base e, em seguida, projetá-la no plano (no nosso caso, o plano yz). Para criar cada um desses vetores no GeoGebra, digite no campo de entrada:

− E_1={{1}, {0}, {0}}− E_2={{0}, {1}, {0}}− E_3={{0}, {0}, {1}}

Crie três seletores, digamos a, b e c, que servirão para manipular os ângulos de rotação. Configure esses seletores para variarem no intervalo de -pi à pi. Em seguida, vamos criar as matrizes de rotação, digitando no campo de entrada:

− R_x={{1,0,0},{0,cos(a),-sin(a)},{0,sin(a),cos(a)}}− R_y={{cos(b),0,sin(b)},{0,1,0},{-sin(b),0,cos(b)}}− R_z={{cos(c),-sin(c),0},{sin(c),cos(c),0},{0,0,1}}− R_{xyz}=R_x*R_y*R_z

Agora, rotacionando cada vetor da base, digite no campo de entrada:

− e1=R_{xyz}*E_1− e2=R_{xyz}*E_2− e3=R_{xyz}*E_3

Nesse momento, a base canônica foi rotacionada, mas ela ainda está no 3D. Portanto, vamos projetá-la no plano yz. Digite no campo de entrada:

− e_1=(Elemento[Elemento[e1,2],1], Elemento[Elemento[e1,3],1])− e_2=(Elemento[Elemento[e2,2],1], Elemento[Elemento[e2,3],1])− e_3=(Elemento[Elemento[e3,2],1], Elemento[Elemento[e3,3],1])

Pronto! Ao fim desse passo, você deve ver na janela gráfica do GeoGebra os vetores e_1, e_2, e_3. Movimente os seletores a, b e c para realizar as rotações.

Vamos inserir um cubo unitário. Para facilitar o trabalho, vamos associar os vetores e_1, e_2 e e_3 aos pontos V_1, V_2 e V_3. Para isso, digite:

− V_1=e_1− V_2=e_2− V_3=e_3

Agora, vamos entrar com os oito vértices do cubo:

− C_1=0*V_1 + 0*V_2 + 0*V_3− C_2=1*V_1 + 0*V_2 + 0*V_3− C_3=1*V_1 + 1*V_2 + 0*V_3

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− C_4=0*V_1 + 1*V_2 + 0*V_3− C_5=0*V_1 + 0*V_2 + 1*V_3− C_6=1*V_1 + 0*V_2 + 1*V_3− C_7=1*V_1 + 1*V_2 + 1*V_3− C_8=0*V_1 + 1*V_2 + 1*V_3

Assim, você verá um cubo unitário na janela gráfica. Agora é só realizar as rotações ,como desejado.

Obviamente, você pode personalizar esse cubo como quiser. Para colorir suas faces, basta criar polígonos com os seus vértices e alterar a cor dos mesmos. Para criar os polígonos, use a ferramenta “Polígono” ou digite:

− Polígono[C_1, C_2, C_3, C_4]− Polígono[C_5, C_6, C_7, C_8]− Polígono[C_1, C_4, C_8, C_5]− Polígono[C_2, C_3, C_7, C_6]− Polígono[C_4, C_3, C_7, C_8]− Polígono[C_1, C_2, C_6, C_5]

Figura 5.61: Ambiente 3D no GeogebraFonte: criação própria


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6. WINPLOT: UM FREEWARE MATEMÁTICO BASTANTE INTERESSANTE

O Winplot é uma excelente ferramenta computacional para fazer gráficos 2D e 3D de maneira bastante simples e até intuitiva. A utilização desse software, podemos assim dizer, é motivado por ser:

− inteiramente gratuito. Foi desenvolvido pelo Professor Richard Parris, da Philips Exeter Academy, por volta de 1985.

− de simples utilização, pois os menus são bastante amigáveis, existe ajuda em todas partes do programa, que aceita as funções matemáticas de modo natural. Exemplo: 2xcos(Pi) = dobro do valor x multiplicado pelo cosseno de Pi;

− muito pequeno e portável, menos do que 1000K. Roda em sistemas Windows 95/98/ME/2K/XP/Vista/7;− sempre atualizado, uma vez que a ultima versão é de 27/05/2010. Disponível em http://math.exeter.edu/

rparris/winplot.html. Acesso em 30/05/2010.− Está também em português, cujo trabalho de tradução resultou da iniciativa e empenho do professor Adelmo

Ribeiro de Jesus.

Instalando o Winplot

Baixe o programa “wppr32z.exe” da internet. Salve-o em um diretório qualquer e, a partir do gerenciador de arquivos, dê um duplo clique no referido arquivo, começando o processo de descompactação do mesmo.

Figura 6.1: Descompactando o arquivo de instalaçãoFonte: criação própria

Escolha um diretório ou aceite a sugestão padrão c:\peanut. Em seguida, crie um atalho para o arquivo descompactado “wplotpr.exe”. Ao executar o programa, aparecerá a tela:

Figura 6.2: Janela inicial do WinplotFonte: criação própria

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Esta janela inicial, contém, apenas, duas opções:

− Janela: 08 opções

Figura 6.3: Janela do WinplotFonte: criação própria

− Ajuda: 03 opções

Figura 6.4: Ajuda do WinplotFonte: criação própria

Para utilizar o Winplot, é necessário conhecer as operações e funções dele. Vejamos a seguir.

Operação e Funções no Winplot

O Winplot foi criado para reconhecer a maioria das operações e funções elementares. Vejamos as mais usuais:

− Operações:

• a+b: adição entre os valores de a e b;• a-b: subtração entre os valores de a e b;• a*b = ab: multiplicação entre os valores de a e b;• a/b: divisão entre os valores de a e b;• a^b: a elevado a potência b.


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− Constantes:

• pi: 3,141592654;• e: 2,718281828;• deg = pi/180: fator de conversão de radianos para graus;• ninf: representa menos infinito;• pinf: representa mais infinito.

− Funções:

• abs(x): módulo de x;• sqrt(x): raiz quadrada de x;• log(x): logaritmo de x na base 10;• log(b,x) = ln(x)/ln(b): logaritmo de x na base b;• ln(x): logaritmo natural de x;• exp(x): exponencial de x.

− Trigonométricas:

• sin(x): seno de x;• cos(x): cosseno de x;• tan(x): tangente de x;• csc(x): cossecante de x;• sec(x): secante de x;• cot(x): cotangente de x;

− n!: n fatorial;− int(x): parte inteira do x;− frac(x) = x-int(x): parte fracionária do x;

− trigonométricas inversas:

• arcsin(x): arco seno de x;• arccos(x): arco cosseno de x;• arctan(x): arco tangente de x;• arccot(x): arco cotangente de x.

O Winplot apresenta todas as funções. Basta ir em “Janela→2-dim→Equação→Biblioteca...”, como ilustra a figura da página 94.

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Figura 6.5: A Biblioteca do WinplotFonte: criação própria

O professor Sérgio de Albuquerque Souza, da Universidade Federal da Paraíba, possui um excelente tutorial online e gratuito. Visite o endereço “http://www.mat.ufpb.br/sergio/winplot/” e tenha acesso a este tutorial. Lá você encontrará excelentes dicas. Consulte a seção de gráficos em 3D.

Por hora, vamos nos conter em fazer algumas construções no Winplot, imitando o que fizemos com o Geogebra. Vamos ilustrar as transformações nos gráficos de funções, em especial a translação horizontal e a vertical. Assim, poderemos medir a potencialidade de cada software e poder escolher, criticamente, quando e qual utilizar.

Na tela inicial do Winplot, em Janela, escolha a opção “2-dim (F2)”, aparecendo a tela que segue.

Figura 6.6: Construindo gráficos em 2D no WinplotFonte: criação própria


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Em seguida, escolha a opção “Explícita ... (F1)”. Digite a função (x-k)^2+h. Altere a espessura para 3, por exemplo. Clique em “ok”.

(a)inserindo a função

(b)gráfico da função

Figura 6.7: Gráfico de função explícita no WinplotFonte: criação própria

Note que, neste primeiro momento, o Winplot adotou 0k = e 0h = . Construindo assim a função ( ) 2f x x= . Como utilizamos os parâmetros k e h , vamos até eles e façamos alterações para que o Winplot

redesenhe o gráfico da função, fazendo o movimento. Para tanto, clique em “Anim” e, em seguida, em “Parâmetros A-W...”

Figura 6.8: Parâmetros para animação no WinplotFonte: criação própria

Assim, surgirá a seguinte janela:

Figura 6.9: Ajustando os parâmetros de animaçãoFonte: criação própria

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Altere o parâmetro para a letra desejada, saindo de A, indo para H. Mude o valor desse parâmetro e veja a transformação no gráfico.

Figura 6.10: Alterando o parâmetro hFonte: criação própria

Repita o processo para a letra K. Obtemos:

Figura 6.11: Alterando o parâmetro kFonte: criação própria


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7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ALMEIDA, Maria Elizabeth de. Informática e Formação de Professores. Brasília: MEC-SEED, 2000.

ARAÚJO, Carlos César de. Matemática para Gregos e Troianos. URL: http://www.gregosetroianos.mat.br/. Acessado em 20 de junho de 2010.

BALDIN, Yuriko Yamamoto e VILLAGRA, Guilhermos Antônio Lobos. Atividades com o Cabri-Géomètre II. São Carlos: EdUSFAR, 2002.

BATISTA, S. C. F. SoftMat: Um Instrumento em Prol de Posturas mais Conscientes na Seleção de Softwares para Matemática do Ensino Médio. Dissertação (Mestrado em Ciências de Engenharia). Campos dos Goytacazes, RJ, Universidade Estadual do Norte Fluminense – UENF (2004).

GLADCHEFF, Ana Paula; ZUFFI, Edna Maura & SILVA, Dilma Menezes da. Um Instrumento para Avaliação da Qualidade de Softwares Educacionais de Matemática para o Ensino Fundamental. VII WORKSHOP DE INFORMÁTICA NA ESCOLA, Fortaleza, 2001.

HENRIQUES, Afonso. Dinâmica dos Elementos da Geometria Plana em Ambiente Computacional. Ilhéus: EDITUS, 2001.

HENRIQUES, Afonso. Ensino e Aprendizagem da Geometria Métrica: Uma Seqüência Didática com Auxílio do Software Cabri-Géomètre II. Rio Claro: Dissertação de Mestrado, 1999.

HOHENWARTER, Markus & HOHENWARTER, Judith. GeoGebra Help 3.2. URL: http://www.geogebra.org/help/docuen/. Acessado em 20 de junho de 2010.

NÓBRIGA, Jorge Cássio Costa & ARAÚJO, Luís Cláudio Lopes de. APRENDENDO MATEMÁTICA COM O GEOGEBRA. São Paulo: Ed Exato, 2010.

SALES, Mary Valda Souza; ARAGÃO, Claudia; RAMOS, Paulo A. O. & VALENTE, Vânia Rita. Educação e Tecnologias da Informação e Comunicação. Salvador: UNEB/ EAD, 2010.

SILVEIRA, R. S; BARONE, D. A. C. Jogos Educativos computadorizados utilizando a abordagem de algoritmos genéticos. Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Instituto de Informática. Curso de Pós-Graduação em Ciências da Computação. 1998.

SOUZA, Sérgio de Albuquerque. Tutorial do Winplot, versão 1.0. URL: http://www.mat.ufpb.br/~sergio/winplot/winplot.html. Acessado em 20 de junho de 2010.

VALENTE, J. A. (Org.) O computador na sociedade do conhecimento. Campinas: UNICAMP/NIED, 1999.

VALENTE, J.A.; ALMEIDA, F.J. (1997). Visão analítica da informática na Educação no Brasil: a questão da formação do professor. Revista Brasileira de Informática na Educação, Florianópolis, n. 1, p. 45-60, 1997, set. 1997.

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