insper 2010

1CPV ibmecnov2009

CPV conquista 140 vagas no insper

Prova REsolvida – Insper – 01/Novembro/2009

Análise quAntitAtivA

27. Ográficoabaixorepresentaasnotasdeumgrupodealunosemumaprovadematemática. Aalturadecadabarracorrespondeàquantidadedealunosqueobteveanotaindicadanabasedarespectivabarra.

Numaprovadeportuguês,amédiadosmesmosalunosfoiumpontomaiordoqueamédianessaprovadematemática. Dosgráficosaseguir,aquelequepoderepresentarasnotasdeportuguêsé

a) b) c)

d) e)

Resolução:

Amédiadosalunosnaprovadematemáticafoide:

4 0 5 5 0 10 6 0 40 7 0 25 8 0 15 9 0 5

1006 5

, , , , , ,,

. . . . . .+ + + + + = .Portantoamédianaprovadeportuguêsdeveser7,5.

NaalternativaCtemos:

5 0 5 6 0 10 7 0 40 8 0 25 9 0 15 10 5

1007 5

, , , , ,,

. . . . . .+ + + + + = Alternativa C

Insper – 01/11/2009 Seu pé direito nas melhores Faculdades

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28. Numcertodiadeinverno,exatamenteàs4h40min,horárioemqueabreumadeterminadaestaçãodometrôdeSãoPaulo,chegaumúnicopassageiroparaacessarometrôporestaestação.Opróximopassageirochegasozinho48mindepois,eopassageiroseguintechegatambémsolitário16minapósosegundo.Eassimsucessivamente,ospassageiroschegamumaum,sempreumtempodepoisdoanteriorigualaumterçodotempoentreesteeaquelequeoantecedeu.Emalgummomento,ointervalodetempoentredoispassageirosconsecutivosserátãocurto,queestarãochegandopraticamentejuntos.Ohoráriolimiteparaqueistoaconteçaé

a) 5h08min b) 5h30min. c)5h52min. d) 6h14min. e) 6h36min.

Resolução:

Asequência48,16, 163,...éumaprogressãogeométricainfinitaderazão 1

3cujasomavaleS=

48

11

3-

=72.

Sendoassim,ohoráriolimiteaconteceráàs4h40min+72min=5h52min. Alternativa C

29. Paradiminuirasenchentes,aprefeituradeumacidadeiráampliarosacessosdaáguadachuvaaosistemasubterrâneodeescoamentoquejáexistenaregião.Paraisso,serãoinstaladosralosdeformacircularvazadospordiversosorifíciostambémdeformacircular.Trêsprojetosparaosralosforamapresentados:

Projeto A:ralosderaioR,comnorifíciosderaio4r; Projeto B:ralosderaioR,com4norifíciosderaior; Projeto C:ralosderaio2R,com2norifíciosderaio2r;

sendoRernúmerosreaisenuminteiropositivotaisquequalquerumdosprojetosA, B ouCéfisicamentepossível.Se SA, SB e SC representam, respectivamente, as áreas totais abertas para passagem da água nos ralos dos projetosA,BeC,então

a) SA>SB=SC. b) SA=SC>SB. c)SA>SC>SB. d) SA>SB>SC. e) SA=SB=SC.

Resolução:

Temos:

SA=np (4r)2=16npr2

SB=4np (r)2=4npr2

SC=2np (2r)2=8npr2

Portanto,SA>SB>SC.Alternativa C

30. Sejama, b,KeRnúmerosmaioresdoque1,sendoa ¹beK¹ R.

Opontodeencontrodosgráficosdasfunçõesf(x)=Kaxeg(x)=Rbxtemabscissaiguala

a) log ba

K

R b)

K

Rb a/ c) b

a

K

R

d) K R

b a

--

e) aK bR

b a

++

Resolução:

Temos f(x)=g(x)ÛKax=Rbx Û b

a

K

R

x = Ûx= log b

a

K

R

Alternativa A

Seu pé direito nas melhores Faculdades Insper – 01/11/2009

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31. Considerearegiãodoplanocartesianodelimitadapelográficodafunçãof(x)=2x−2−2,pelográficodafunçãog(x)=log2(x)epeloeixoOx.

Afiguraquemelhorrepresentaoformatodestaregiãoé

a)

b)

c)

d)

e)

Resolução:

Construindoosgráficos,observamosqueexistemduasregiõespossíveis:

Mas, numa prova de testes, as alternativas fazem parte doenunciado.Portanto,aregiãodescritaéa1.

Alternativa A

y

x2 3 4 5 6

–1

–2

2

1

2

f(x) = 2x–2 – 2

g(x) = log2(x)


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32. Considereaseguintefunção:

f x

x se x

se x

x se x

( ) =< <≤ ≤

− ≤ ≤

2 0 2

4 2 10

4 36 10 12

Colocando-se num mesmo plano a reta deequação y = 0,6x + 1,4 e o gráfico de f(x),formam-sedoistriângulos.

Adiferençaentreaáreadomaiortriânguloeaáreadomenortriânguloéiguala:

a) 6. b) 7. c) 8. d) 9. e) 10.

Resolução:

Temosque 2x=0,6x+1,4Þ(1;2)

f(x)=y Þ 4=0,6x+1,4Þ 13

34;

4x–36=0,6x+1,4Þ(11;8)

SB=10

13

38 4

2

17

34

2

−

−( )

=.

\SB=34

3

SA=

13

32 4 2

2

7

32

2

−

−( )

=.

\SA=7

3

SB–SA=34

3

7

3- \SB–SA= 27

3=9

Alternativa D

33. Nafigura,tem-seasseguintesmedidas:

· m(OP)=4cos15ºcm

· m(OQ)=4cos30ºcm

· m(OR)=4cos45ºcm

· m(OS)=m(OT)=4cos60ºcm

· m(Ð POQ)=15º

· m(Ð QOR)=30º

· m(Ð ROS)=45º

· m(Ð SOT)=60º

Nessas condições, a área do polígonoOPQRST,emcm2,éiguala:

a) 1+ 2 +2 3 . b) 2+2 3 + 6 . c) 2+2 2 + 3 . d) 2+ 3 +2 6 . e) 3+2 3 + 6 .

Resolução:

Temosque

m(OQ)=4 3

2=2 3

m(OR)=42

2 =2 2

m(OS)=4. 1

2=2

m(OT)=2

Então SOTS=2 2 60

2

2 23

2

23

. .sen º = =

SORS=2 2 2 45

22

. . sen º =

SOQR=2 2 2 3 30

26

. . sen º =

SOPQ=2 3 4 15 15

2

. .cos º ºsen \SOPQ=2 3 .2sen15ºcos15º

sen30º SOPQ= 3

EntãoaáreadopolígonoOPQRSTéS=2+2 3 + 6

Alternativa B

15º

30º

45º60º

4 cos 60º

4 cos

45º

4 co

s 30º

4 co

s 15º

12

10

8

6

4

2

0 1 2 3 4 5 86 97 10 11 12

A

B

13

3

y = 0,6x + 1,4

f(x)

x


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34. Paraconstruirumaavenida,aprefeituradeumacidadeprecisarádesapropriaralgumaspropriedadesdeumadeterminadaquadradacidade.Paraidentificaroqueprecisaráserdesapropriado,aspropriedadesforamrepresentadasnumplanocartesianoconformemostraafigura.Seguemabaixoaspropriedadesjuntamentecompontos,cujossegmentosqueosunemformamospolígonosquerepresentamassuasrespectivasplantas.

A1:(0,0);(2,0);(2,2);(0,2). A2:(2,0);(4,0);(4,4);(0,4);(0,2);(2,2). A3:(4,0);(6,0);(6,4);(4,4). A4:(0,4);(4,4);(4,6);(0,6). A5:(0,6);(4,6);(4,8);(0,8). A6:(6,0);(8,0);(8,4);(6,4). A7:(8,0);(10,0);(10,4);(8,4). A8:(4,4);(6,4);(6,8);(4,8). A9:(6,4);(10,4);(10,8);(8,8);(8,6);(6,6). A10:(6,6);(8,6);(8,8);(6,8). A11:(10,0);(12,0);(12,8);(10,8).

Aavenidaseráafaixaformadapelasretasdeequações9x−20y+40=0e9x−20y=0. Umapropriedadeseráinteiramentedesapropriadaseaavenidapassarporqualquertrechodesuaplanta.

Secadaunidadedesteplanocartesianoequivaleadezmetros,aáreatotaldaspropriedadesdestaquadraqueprecisarãoserdesapropriadaséiguala

a) 6000metrosquadrados. b) 7600metrosquadrados. c) 9200metrosquadrados. d) 10800metrosquadrados. e) 12400metrosquadrados.

Resolução:

Naequação9x–20y+40=0 se x=0,entãoy=2

x=12,entãoy=37

5

Naequação9x–20y=0 se x=0,entãoy=0

x=12,entãoy=32

5

AáreatotaléST=120.80=9600m2

AáreanãodesapropriadaéS1+S2+S3=2000m2

AáreadesapropriadaéSD=9600–2000\

SD=7600m2

Alternativa B

S1

S2

S3

2 4 6 8 10 12

2

4

6

8

32

5

37

5


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35. OpontoQdafiguraindicaaposiçãodeumaviãoquevoadePparaR,noinstanteemqueliberaumacaixacomsuprimentosquedeverácairnopontoO.Cadaunidadedoplanocartesianocorrespondeaumquilômetro.Acaixadescrevenoaratrajetóriadeumaparábola,comvérticesobreopontoQ,nosistemadecoordenadasapresentado.

SealgunsinstantesapósolançamentoacaixapassarpelopontoS indicadonafigura,é correto afirmarque

a) irácairumquilômetroparaaesquerdadopontoO. b) irácairmeioquilômetroparaaesquerdadopontoO. c) iráatingirexatamenteopontoO. d) irácairmeioquilômetroparaadireitadopontoO. e) irácairumquilômetroparaadireitadopontoO.

Resolução:

A questão mostra, no plano cartesiano, uma parábola com vértice no pontoQ(4;9)quepassaporS(3;8).

Seja y=ax2+bx+c(I)

com4=-ba2

\ b=–8a(II)

Substituindo(II)em(I),temosy=ax2–8ax+c

Comoaparábolapassapor Sepor Q,temos:

9=16a–32a+cÞ 9=–16a+c

8=9a–24a+c Þ 8=–15a+c

Portanto:a=–1ec=–7

Logo:y=–x2+8x–7

cujasraízessão:x=1ex=7.

Logo,acaixairácair1kmàdireitadopontoO.Alternativa E


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36. Numshowdepatinaçãonogelo,ocasalqueseapresentaestáinicialmentesobreopontoAindicadonafigura.AmbospartemdeAaomesmotempo,orapazsobrearetadeequaçãoy=1+0,5xeamoçasobrearetadeequaçãoy=1+2x,osdoisnosentidodosvalorespositivosdexey. Comvelocidademaior,orapazsedeslocasobrearetaatéchegarnopontodetangênciadesuatrajetóriacomacircunferênciadeequação(x−5)2+(y−6)2=5.Apartirdaí,elepassaapatinarsobreoperímetrodestacircunferência,acaminhodopontoemquesuanovatrajetóriatangenciaaretasobreaqualpatinaasuaparceira,ondeambosseencontramnovamente.

Nesteplanocartesiano,adistânciaquefoipercorridapelamoçanestaperformancefoi

a) 2 3 . b) 2 5 . c) 3 5 . d) 2 6 . e) 3 6 .

Resolução:

Nafigura:

opontoO(5;6)éocentrodatrajetóriacirculardescritapelorapaz;

opontoB(3;7),detangência,éaintersecçãoentreacircunferênciaeatrajetóriaretilíneadescritapelamoça,ondeirãoseencontrar.

OB= 5 (raiodacircunferência)

OA= ( ) ( )6 1 5 0 502 2− + − = .

NotriânguloAOB,porPitágoras,temos:

50 52 2 2( ) = ( ) + ( )AB

\AB=3 5

Alternativa C

moça

rapaz

O

B

A


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37. 2010 é um número composto pelo produto de quatronúmerosprimospositivosdistintos.Sejapomaiordestesprimosenomenorinteiromaiordoque2010quetambémédivisívelporp.

Sobren,écorreto afirmarque

a) éumnúmeropar. b) éumnúmeroprimo. c) éumnúmerocompostopeloprodutodeapenasdois

númerosprimosdistintos. d) éumnúmerocompostopeloprodutodeapenastrês

númerosprimosdistintos. e) éumnúmerocompostopeloprodutodeapenascinco

númerosprimosdistintos.

Resolução:

Temosque2010=2.3.5.67=30.67

sendop=67en=31.67

Portanto,nseráoprodutodedoisnúmerosprimodistintos.

Alternativa C

38. Nafiguraestãorepresentadasavistalateralesuperiordeumvaso.Asduascircunferênciasqueaparecemnavistasuperiorsãoconcêntricasetêmraiosiguaisa10cme15cm.

Seaalturadovasomede 52511

cm,ovolumedovasoestá

entre(adotep=22

7)

a) 5,00e8,00litros. b) 9,00e12,25litros. c) 15,00e33,75litros. d) 35,00e50,00litros. e) 67,50e80,00litros.

Resolução:

VM(volumemáximo)

Vm(volumemínimo)

V(volumedovaso)

VM=p152 . 52511

Þ VM=22

7 .225.

525

11=33750cm3

Vm=p .102 . 525

11 Þ Vm=

22

7 .100.

525

11=15000cm3

\Vm=15,00L

Portanto, 15,00 < V < 33,75

Alternativa C


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39. Em2010,Miguelnãopretendeperderumúnicojogodesábadodotimeparaoqualtorce.Elejácomeçouaseplanejarparaisso,estudandocalendário,meteorologia,etc.Observouque,em2010:

· oúnicodiadasemanaqueocorrerá53vezeséa6afeira; · otimedeMiguelirájogarem20sábados; · Ameteorologiaprevêquevaichoverem21sábadosnoano.

Cruzando as previsõesmeteorológicas com as datas dos jogos,Miguel percebeu também que deverá chover emapenasmetadedossábadosde2010emqueseutimenãoirájogar.Considerandoqueasprevisõesmeteorológicasseconfirmem,selecionandoaleatoriamenteumdosdiasdejogodotimedeMiguelem2010,aprobabilidadedenão chovernestediaéde

a) 25,0%. b) 37,5%. c) 50,0%. d) 62,5%. e) 75,0%.

Resolução: Asinformaçõespodemserreorganizadaseinterpretadasdaseguinteforma: (1)haveráexatamente52sábadosem2010. (2)desses52sábados,haveráexatamente20comjogosdotime(ouseja,haverá32semjogos). (3)haverá21sábadoscomchuva(ouseja,haverá31sábadossemchuva). Organizandoosdadosnumatabela,temos:

Sábados ComJogo SemJogo Total

ComChuva 21

SemChuva 31

Total 20 32 52

Ameteorologiadizque,dos32sábadossemjogos,metadedeles(16)serãochuvosos.

Assim,podemosatualizaratabela:

Sábados ComJogo SemJogo Total

ComChuva 5 16 21

SemChuva 15 16 31

Total 20 32 52

Dessemodo,nouniversodos20sábadoscomjogos,emapenas5choverá.

Assim,nosoutros15sábados,nãohaveráchuvaeaprobabilidadepedidaé 1520

.

Alternativa E

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