Matemática – Ensino Médio

Prof. Ilydio Pereira de Sá

Instituto de Aplicação Fernando Rodrigues da

Silveira (CAp/UERJ)

Propriedades dos Determinantes

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OBSERVAÇÃO:

As propriedades dos determinantes, que discutiremos a seguir, são válidas para determinantes associados à matrizes quadradas de ordem n. No entanto, nos exemplos e demonstrações que se seguem, utilizaremos matrizes quadradas de ordem  2  e 3, para facilitar a compreensão.

PROPRIEDADE 1: FILA NULA

Se TODOS os elementos de uma fila (linha ou coluna) de uma matriz quadrada forem iguais a ZERO, o determinante dessa matriz também será igual a ZERO.

EXEMPLO:

A=

PROPRIEDADE 2: FILAS IGUAIS

Se os elementos correspondentes de duas filas (linhas ou colunas) de uma matriz quadrada forem iguais, o determinante dessa matriz será igual a ZERO.

EXEMPLO:

A=

A primeira e a terceira linhas são iguais!!

PROPRIEDADE 3: MULTIPLICAÇÃO DE UMA FILA POR UM NÚMERO REAL

Se todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) de uma matriz quadrada forem multiplicados por um mesmo número real k, então o determinante dessa matriz também ficará multiplicado por k.

EXEMPLO:

A= verifique que det (A) = 16

Se multiplicarmos, por exemplo, a primeira linha da matriz por 2, o determinante da nova matriz será igual a 16 x 2 = 32.

B= verifique que det (B) = 32

PROPRIEDADE 4: FILAS PROPORCIONAIS

Se os elementos correspondentes de duas filas (linhas ou colunas) de uma matriz quadrada forem proporcionais, o determinante dessa matriz será igual a ZERO.

EXEMPLO:

A= Observe que essa propriedade nada mais é do que uma consequência das duas propriedades anteriores. Veja:

Det (A) = 2 . Det. = 2 . 0 = 0

PROPRIEDADE 5: MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ POR UM NÚMERO REAL

Se uma matriz quadrada de ordem n for multiplicada por um número real k, então o determinante dessa matriz ficará multiplicado por kn, ou seja, det (k.A) = kn . A.

Observe que essa propriedade equivale a multiplicar por k as n linhas da matriz inicial.

EXEMPLO:

A= verifique que det. (A) = -2

2.A= verifique que det (2A) = -16

Det (2A) = 2.2.2. (-2) ou 23 . (-2) = -16

PROPRIEDADE 6: DETERMINANTE DA TRANSPOSTA

O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante de sua transposta At, ou seja, det (A) = det (At).

PROPRIEDADE 7: TROCA DE FILAS PARALELAS

Se trocarmos a posição de duas filas (linhas ou colunas) paralelas de uma matriz quadrada, o determinante da nova matriz obtida é o simétrico da matriz original.

EXEMPLOS:

PROPRIEDADE 8: DETERMINANTE DE UMA

MATRIZ TRIANGULAR

O determinante de uma matriz triangular é igual ao PRODUTO dos elementos de sua diagonal principal.

EXEMPLO:

A= (A) = 9, que é o produto dos elementos da diagonal principal.

PROPRIEDADE 9: TEOREMA DE BINET

O determinante de um produto de matrizes quadradas, de mesma ordem, é igual ao produto dos determinantes dessas matrizes, ou seja, sejam A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem, então det (A . B) = det (A) . det (B)

PROPRIEDADE 10: DETERMINANTE DA

INVERSA DE UMA MATRIZO determinante da inversa de uma matriz quadrada A é igual ao inverso do determinante dessa matriz A, ou seja, det (A-1) =

(OBS: dessa propriedade concluímos que, se uma matriz é invertível, então det (A) 0).

Verifique que essa propriedade é uma consequência do Teorema de Binet combinado com a definição de matriz inversa, ou seja:

A . A-1 = I (identidade) , logo, aplicando o teorema de Binet, teremos:

Det (A) . Det (A-1) = Det (I). Sabemos que o det (I) = 1, logo,

Det (A) . Det (A-1) = 1 ou que Det (A-1) =

PROPRIEDADE 11: FILA COMO SOMA DE DUAS OU MAIS PARCELAS

Se uma matriz quadrada A tem todos os elementos de uma de suas filas (f) igual à uma soma de duas parcelas, então podemos calcular o determinante dessa matriz A através da soma dos determinantes associados a duas outras matrizes.

Em cada uma dessas novas matrizes, cada elemento correspondente à fila f ficará substituído por uma das suas parcelas iniciais.

det

PROPRIEDADE 12: TEOREMA DE JACOBI

Se substituirmos uma fila qualquer (linha ou coluna) de uma matriz quadrada A pela soma dessa fila com outra que lhe seja paralela, multiplicada por um número real não nulo (combinação linear), o determinante dessa matriz permanecerá o mesmo.

Como consequência do Teorema de Jacobi, podemos inferir que, se uma matriz quadrada tiver uma de suas filas como combinação linear de outras duas, o determinante dessa matriz será nulo.

Exemplo: Verifique, pela propriedade anterior, que o determinante associado à matriz A será igual a zero.

A =

Observe que a terceira linha é uma combinação linear das duas primeiras, ou seja, ela é igual à primeira linha multiplicada por 2 e somada com a segunda linha. (L3 = 2. L1 + L2)

PROPRIEDADE 13: DETERMINANTE ESPECIAL DE VANDERMONDE

Trata-se de um caso muito particular de determinante de uma matriz quadrada de ordem n, onde todas as suas linhas são constituídas pelas potências de 0 a (n – 1) de n números reais, que são as bases dessa matriz de Vandermonde.

O cálculo do determinante de Vandermonde pode ser feito, de forma prática, efetuando-se os produtos das diferenças entre os termos da base e os termos antecedentes da segunda linha da matriz, ou seja:

D = (b – a).(c – a) ... (l – a). (c – b). ....(k – b). (l – b). ..(k – c). (l – c)...(l – k)

Exemplo: Calcule o determinante associado à matriz:

Pelo que vimos, trata-se de uma matriz de Vandermonde, logo, podemos calcular o seu determinante pela regra prática, ou seja:

Det. (D) = (3 – 5) . (2 – 5). (2 – 3). (4 – 5). (4 – 3). (4 – 2) =

= (-2) . (-3). (-1) . (-1) . (1) . (2) = 12

MENOR COMPLEMENTAR E COFATOR DE UM ELEMENTO DE UMA MATRIZ QUADRADA

O menor complementar de um elemento aij de uma matriz quadrada A é igual ao determinante da matriz que se obtém quando suprimimos a linha i e a coluna j, desse elemento. Representaremos o menor complementar do elemento aij por Dij.

Por exemplo, na matriz A, mostrada acima, o menor complementar do elemento a23 = 7 será igual a:

O cofator (Cij) de um elemento aij de uma matriz quadrada A é igual ao produto do menor complementar por (-1)i+j, ou seja: Cij= (-1)i+j x Dij

Definições: A matriz formada pelos cofatores de TODOS os elementos de uma matriz quadrada é denominada de Matriz Cofatora e a transposta da matriz Cofatora é denominada de Matriz Adjunta (Adj (A)).

Exemplo: Obtenha a matriz cofatora e a matriz adjunta da matriz A mostrada acima.

Solução:

Primeiramente teremos que obter os cofatores dos elementos dessa matriz.

C11 = (-1)2. C12 = (-1)3. 1 C13 = (-1)4.

C21 = (-1)3. 9 C22 = (-1)4. 3 C23 = (-1)5. 0

C31 = (-1)4. 21 C32 = (-1)5. 4 C33 = (-1)6. 9

Logo, a matriz cofatora de A, será:

Cof (A )=(−42 −1 18−9 3 021 −4 −9)

Dessa forma, como a matriz adjunta é a transposta da matriz cofatora, teremos:

Adj ( A )=(−42 −9 21−1 3 −418 0 −9 )

IMPORTANTE:Regra Prática para a determinação da inversa de uma

matriz quadrada

Uma forma alternativa para obtermos a inversa de uma matriz quadrada e sem a necessidade de resolvermos um sistema com muitas incógnitas é usar a seguinte relação:

A-1 =

No exercício anterior, determinamos a matriz adjunta da matriz A.

Adj ( A )=(−42 −9 21−1 3 −418 0 −9 )

Se calcularmos o determinante da matriz A, teremos:

Det (A) = 42 + 18 – 42 – 45 = -27

=

A inversa da matriz A será obtida dividindo-se todos os elementos da matriz adjunta pelo determinante de A.

Como exercício, sugiro que você faça agora a multiplicação da matriz A pela matriz e verifique se esse produto será igual à matriz identidade.

TEOREMA DE LAPLACE

O determinante de uma matriz quadrada é igual à soma dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna) pelos seus respectivos cofatores.

A vantagem do uso do teorema de Laplace é que ele é geral e permite sempre o cálculo do determinante através do uso de uma matriz de menor ordem.

Por exemplo, se desejarmos calcular o determinante da matriz A, mostrada no exercício anterior, usando o teorema de Laplace, teremos:

TEOREMA DE LAPLACE

Para facilitar, vamos trabalhar apenas com a segunda linha da matriz pois ela inclui um elemento igual a zero.

De acordo com o teorema de Laplace, teremos:Det (A) = 3.(-1)2+1. + 0 + 7.(-1)2+3.=

Det (A) = -27 + 0 = -27

REGRA PRÁTICA DE CHIÓ

Trata-se de um método prático que utilizamos para reduzir a ordem de uma matriz quadrada, sem alterar o valor de seu determinante. Usamos esse método quando o primeiro elemento da matriz (a11) é igual a 1.

Nos casos em que esse primeiro elemento não é igual a 1, podemos usar as propriedades estudadas, como o teorema de Jacobi, para tornar esse elemento igual a 1.

A regra prática deve obedecer aos seguintes passos:

1. Suprimimos a primeira linha e a primeira coluna da matriz dada.

2. De cada elemento restante na matriz, subtraímos o produto dos dois elementos suprimidos que estavam na mesma linha e coluna do elemento em questão.

3. A nova matriz obtida por esse processo, que terá ordem n – 1, tem o seu determinante igual ao da matriz inicial e, como tem menor ordem, poderá ser calculado pelos métodos tradicionais, como a regra de Sarrus.

Exemplo: Calcular o determinante associado à matriz A, quadrada, de 4ª ordem:

Seguindo o roteiro, como temos o primeiro elemento igual a 1, podemos aplicar a regra de Chió e transformar essa matriz de ordem 4, numa outra, de ordem 3, e que terá o mesmo determinante.

Vamos eliminar a primeira linha e a primeira coluna dessa matriz.

De cada um dos elementos que sobraram, vamos subtrair o PRODUTO dos elementos eliminados que estejam na mesma linha e na mesma coluna do elemento restante.

Iremos obter uma nova matriz, que será:

Agora, temos uma matriz de ordem 3 e que possui o mesmo determinante da matriz inicial (de ordem 4). Podemos calcular esse determinante por Sarrus (faça os cálculos). Você deverá obter o resultado igual a 64 (verifique!)