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Instituto Politécnico Nacional

Centro de Investigación en Ciencia

Aplicada y Tecnología Avanzada Unidad

Legaría

Discurso escolar de las distribuciones de variables

aleatorias discretas en libros de texto

Tesis que para obtener el grado de

Maestro en Ciencias en Matemática Educativa

Presenta

Juan Ignacio Guízar Ruiz

Director de tesis

Dr. Alejandro Miguel Rosas Mendoza

México D.F., Enero 2016

iii

Autorización de uso de obra

Instituto Politécnico Nacional

P r e s e n t e

Bajo protesta de decir verdad el que suscribe Juan Ignacio Guízar Ruiz (se

anexa copia simple de identificación oficial), manifiesto ser autor y titular de los

derechos morales y patrimoniales de la obra titulada Discurso escolar de las

distribuciones de variables aleatorias discretas en libros de texto, en adelante

“La Tesis” y de la cual se adjunta copia, por lo que por medio del presente y con

fundamento en el artículo 27 fracción II, inciso b) de la Ley Federal del Derecho

de Autor, otorgo a el Instituto Politécnico Nacional, en adelante El IPN,

autorización no exclusiva para comunicar y exhibir públicamente total o

parcialmente en medios digitales “La Tesis” por un periodo de 10 años contado

a partir de la fecha de la presente autorización, dicho periodo se renovará

automáticamente en caso de no dar aviso a “El IPN” de su terminación.

En virtud de lo anterior, “El IPN” deberá reconocer en todo momento mi calidad

de autor de “La Tesis”.

Adicionalmente, y en mi calidad de autor y titular de los derechos morales y

patrimoniales de “La Tesis”, manifiesto que la misma es original y que la presente

autorización no contraviene ninguna otorgada por el suscrito respecto de “La

Tesis”, por lo que deslindo de toda responsabilidad a El IPN en caso de que el

contenido de “La Tesis” o la autorización concedida afecte o viole derechos

autorales, industriales, secretos industriales, convenios o contratos de

confidencialidad o en general cualquier derecho de propiedad intelectual de

terceros y asumo las consecuencias legales y económicas de cualquier demanda

o reclamación que puedan derivarse del caso.

México, D.F., 25 de enero de 2016.

Atentamente

____________________________

Ing. Juan Ignacio Guízar Ruiz

iv

RESUMEN

La presente tesis tiene por objetivo analizar el discurso escolar de los libros de texto concerniente a las distribuciones de variables aleatorias discretas, para ello se llevan a cabo tres tipos de análisis, el análisis a priori, el análisis cuantitativo y por último el análisis empleando el marco teórico de la teoría Ontosemiótica. El análisis se realizó sobre 13 libros de texto utilizados en diferentes cursos.

v

ABSTRACT

This thesis aims to analyze the speech school textbooks concerning the distributions of discrete random variables. In order to do it, we carried out three types of analysis, the first one is an "a priori" analysis, the second is a quantitative analysis and finally an analysis using the "ontosemiotic" theory. The analysis was performed on 13 textbooks used in different courses.

vi

DEDICATORIAS/AGRADECIMIENTOS

A mis padres por ser la fuente de mi inspiración….

vii

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1. Tipos de libros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

Figura 2. Distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Figura 3. Recursos tecnológicos empleados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 1. Libros seleccionados para la investigación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Tabla 2. Libros clasificados por tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Tabla 3. Análisis del contenido del texto L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20







Tabla 10. Análisis del contenido del texto L8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56

Tabla 11. Análisis del contenido del texto L9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63

Tabla 12. Análisis del contenido del texto L10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69


Tabla 14. Análisis del contenido del texto L12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78


Tabla 16. Libros de texto analizados y las distribuciones incluidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

viii

GLOSARIO

Discurso Matemático Escolar: El discurso matemático escolar es una noción teórica que se

refiere a la manera en cómo se interpreta, usa y se comparte en situación escolar aquella

matemática que la definimos como ‘escolar’.

Enfoque Ontosemiótico: El Enfoque Ontosemiótico (EOS) es un marco teórico que ha

surgido en el seno de la Didáctica de las Matemáticas, con el propósito de articular diferentes

puntos de vista y nociones teóricas sobre el conocimiento matemático, su enseñanza y

aprendizaje.

Ontosemiótico: El término Ontosemiótico se usa como clave del Conocimiento y la Instrucción

Matemática (EOS), aproximación teórica de la investigación en educación matemática que

considera la noción de objeto y función semiótica como centrales para describir el

conocimiento matemático desde el punto de vista institucional y personal.

Transposición Didáctica: Es la transformación de un contenido de saber preciso en una

versión didáctica de ese objeto de saber.

ix

ÍNDICE

Capítulo 1. Antecedentes

1.1 Contexto escolar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Motivación de la Investigación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.3 Estado del arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Capítulo 2. Marco Teórico.

2.1 La teoría Ontosemiótica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2 El problema de investigación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2.1 Justificación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2.2 La pregunta de investigación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Capítulo 3. Búsqueda.

3.1 Metodología de búsqueda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.2 Búsqueda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.3 Resumen de libros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.4 Una clasificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.5 Metodología de análisis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

Capítulo 4. Análisis.

4.1 Análisis a-priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.1.1 Con respecto a las distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.1.2 Con respecto al enfoque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.1.3 Conclusión del análisis a priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.2 Análisis cuantitativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4.2.1 Análisis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4.2.2 Conclusiones del análisis cuantitativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.3 Análisis Ontosemiótico 4.3.1 Análisis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.3.1.1 Campo de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.3.1.2 Lenguaje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.3.1.3 Procedimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.3.1.4 Conceptos-Definiciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

x

4.3.1.5 Proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.3.1.6 Argumentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.3.2 Conclusiones del análisis ontosemiótico . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Capítulo 5. Conclusiones

5.1 Conclusiones finales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 5.2 Propuesta pedagógica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 5.3 Otros temas de interés que pueden ser considerados en

investigaciones posteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Referencias Bibliográficas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

1

Capítulo 1. Antecedentes

1.1 Contexto escolar

La presente investigación queda enmarcada en el nivel superior pues se analizará el discurso

matemático escolar vigente referente a las distribuciones de variables aleatorias discretas en

los libros de texto de Probabilidad y Estadística para ingeniería y ciencias. El estudio se hará

principalmente sobre libros utilizados en carreras de ingeniería.

1.2 Motivación de la investigación

El tema de la Probabilidad es un tema tan fascinante como curioso pues sus orígenes se

remontan a una necesidad puramente lúdica, cuando pioneros de esta área como Pascal,

Huygens, Fermat, Laplace eran consultados para revelar estrategias ganadoras a sus

solicitantes. Muchos años tuvieron que pasar para que Kolmogorov propusiera el modelo

axiomático que se utiliza hoy en día donde se propone una función (la cual cumple 3 axiomas)

que mide la “facilidad” con la que ocurre un evento. Dicho modelo pasó por un proceso de

refinamiento hasta ser aceptado por la comunidad de matemáticos y para posteriormente ser

descontextualizado, despersonalizado, destemporalizado. Dicha presentación axiomática de los

saberes constituidos en probabilidad tiene como ventaja el hecho de que permite al profesor

presentar estos contenidos de una forma ordenada y a su vez amalgamar un máximo de saberes

en un mínimo de tiempo complementando estos con ejemplos y resolución de problemas que

utilicen como herramienta los conocimientos dados anteriormente en forma axiomática, sin

embargo es ésta presentación misma de los saberes tiene como consecuencia que se eliminen

aspectos importantes en la construcción del conocimiento mismo en esta área pues queda

desprovista de un contexto temporal, de la motivación que dio origen a los conceptos y

definiciones, de las discusiones que se presentaron para instituir los conocimientos, de las

conjeturas refutadas a la luz de las demostraciones, de las dificultades presentadas al resolver

problemas, etc. Por último para hacer más fácil la enseñanza de estos conocimientos se aíslan y

se descontextualizan muchos elementos de la teoría lo cual tiene como consecuencia que al

alumno mucho del contenido presentado le parezca ajeno y carente de toda lógica y sentido

común.

Como matemático también sufrí lo mencionado anteriormente al llevar mis primeros cursos de

probabilidad pues no vislumbraba la motivación que había dado lugar al modelo con el cual

trabajábamos hasta llevar cursos más avanzados como teoría de la medida y en posgrado cursos

de procesos estocásticos lo cual me dio un panorama más amplio acerca de dichas motivaciones

para la presentación del modelo aunque quizás aún adolecía de ejemplos más concretos dónde

poder aplicar la teoría tan abstracta vista en todos mis cursos.

En mi relativamente corta experiencia como profesor de matemáticas (alrededor de 5 años y

contando) he impartido cursos de Cálculo Diferencial e Integral, Ecuaciones Diferenciales,

2

Estadística, Probabilidad, Diseño de Experimentos, Álgebra Lineal, Matemáticas Avanzadas, etc.

todos estos cursos a nivel licenciatura e impartidos para estudiantes de ingeniería y aunque es

amplia la gama de materias me sigue atrayendo más la Probabilidad sin embargo la mayor parte

del contenido de Probabilidad es presentado en la materia de Estadística en la mayoría de los

cursos relegando el papel de la Probabilidad aun escenario secundario dónde su utilidad radica

en ser una herramienta de uso común en la Estadística despojándola de su valor real y

significado. Lo anterior en el contexto referente a la estructura de los cursos en sí, no al discurso

matemático presentado en los libros de texto, lo cual es el tema que atañe en la presente tesis.

En sí los temas que se revisan de probabilidad en un curso de Estadística en ingeniería abarcan

prácticamente desde una introducción dada en términos de teoría de conjuntos, conteo de

puntos muestrales, pasando por probabilidad con conjuntos, teorema de Bayes, distribuciones

discretas y continuas hasta distribuciones de muestreo el cual es tema central para la

Estadística Inferencial. Ante una gama tan amplia de temas voy a centrar el estudio en las

distribuciones de probabilidad tratando aspectos relacionados con el Discurso Matemático

Escolar en los libros de texto con el objeto de indagar ¿cómo se presentan estos contenidos?

¿Qué características tienen en común? ¿Cómo ha cambiado a lo largo de algunos años? Etc.

Considerando todo lo anterior, los motivos que me inducen a realizar esta investigación pueden

resumirse en 3 aspectos:

El gusto personal por esta área de las matemáticas que trata con fenómenos donde

interviene el azar llamada Probabilidad.

La curiosidad personal (motivada por mi práctica docente) de indagar sobre la situación

actual del Discurso Matemático Escolar presentado en los libros de texto.

El deseo personal de mejorar en mi práctica docente diaria como consecuencia de

conocer el Discurso Matemático Escolar vigente en los libros de texto para así poder

hacer una mejor presentación de los contenidos actuales de tal manera que el alumno

pueda sentir más cercanos los conceptos a su realidad actual y en consecuencia

producir aprendizaje significativo.

1.3 Estado del Arte

En Ruíz (2006) se aborda el estudio de un concepto fundamental en teoría de Probabilidad y en

la Estadística Inferencial, el concepto de variable aleatoria. En dicho trabajo de tesis se destaca

el hecho de que han sido pocas las investigaciones respecto al estudio de la didáctica de este

concepto. Este trabajo entre otras cosas se centró en establecer bases sobre las cuales se pueda

apoyar el estudio de la didáctica de la variable aleatoria a nivel universitario haciendo uso de la

Ingeniería Didáctica como herramienta metodológica. Se realizaron dos análisis, el análisis

cognitivo y el análisis epistemológico sustentados en la Teoría de Situaciones Didácticas, desde

la vertiente cognitiva, se trabajó en una entrevista clínica a dos estudiantes recién ingresadas

al nivel universitario y desde la perspectiva epistemológica se enfocó al análisis desde la

disciplina que le da sustento al concepto (la probabilidad) y al análisis del contexto de su

emergencia histórica.

3

El estudio permitió observar la complejidad epistémica del concepto de variable aleatoria. Los

estudiantes vincularon la idea de variable aleatoria con conceptos probabilísticos complejos, la

relacionaron con un proceso de modelación y la relacionaron con herramientas

determinísticas. La complejidad epistémica de la variable aleatoria se ve reflejada en las

dificultades y los aciertos de las estudiantes al resolver el problema, pero también en el

contexto y los problemas históricos que lo hicieron surgir como concepto matemático. El

análisis cognitivo proporcionó elementos y vertientes sobre las cuales se puede profundizar en

el análisis epistemológico.

En Alvarado y Batanero (2008) se hace una revisión de cómo los libros de texto de ingeniería

(en Chile) presentan el Teorema Central del Límite mediante el seguimiento de un modelo

teórico sobre el significado de un objeto matemático.

El modelo con el que se trabaja en este artículo es el modelo de la teoría de los significados

institucionales y personales de los objetos matemáticos (Godino y Batanero, 2003) donde las

matemáticas se asumen como una actividad humana implicada en la solución de cierta clase de

situaciones problemáticas de la cual surgen y evolucionan los objetos matemáticos.

Con esta investigación se quiere indagar sobre una hipótesis la cual plantea que es complejo el

significado del teorema central del límite presentado en los libros de texto de estadística

aplicada a la ingeniería y se encontrarán una variedad de enfoques y aproximaciones.

En el artículo se concluye que los libros de texto de Estadística para ingeniería muestran una

gran riqueza en cuanto al lenguaje y herramientas de resolución de problemas, conceptos

asociados, propiedades, tipos de argumentos. Como consecuencia de esta investigación se

pretende a futuro diseñar futuras propuestas de enseñanza.

4

Capítulo 2. Marco Teórico 2.1 Teoría Ontosemiótica

La perspectiva didáctica que se empleará está basada en el modelo teórico denominado

“enfoque ontosemiótico” propuesto por Godino y sus colaboradores (Godino, 2002; Godino y

Batanero, 2003; Godino, Batanero y Font 2007; Godino, Contreras y Font 2006). Este enfoque

teórico proporciona una perspectiva pragmático-antropológica sobre el conocimiento

matemático y propone tres dimensiones en el análisis de la enseñanza y el aprendizaje de las

matemáticas: epistemológica, cognitiva e instruccional. Cada una de ellas se aborda con

herramientas agrupadas en tres modelos teóricos: teoría de los significados institucionales y

personales de los objetos matemáticos, teoría de las funciones semióticas y teoría de las

configuraciones didácticas. Se pretende elaborar un modelo de los procesos de comprensión de

las matemáticas que tenga en cuenta los factores institucionales y socioculturales implicados

en los mismos. Se considerará para el análisis del teorema central del límite la siguiente

tipología de objetos matemáticos primarios, denominada “elementos del significado” y que a su

vez se organizan en sistemas conceptuales, teorías, etc.

Situaciones-problemas: Situaciones fenomenológicas que originan actividades

matemáticas (situaciones-problemas, aplicaciones) de donde surge el objeto; a veces

las podemos categorizar en “tipos” o “campos” de problema. Por ejemplo,

Lenguaje: Representaciones materiales utilizadas en la actividad matemática. Las

notaciones, gráficos, palabras y otras representaciones del objeto que se pueden usar

para referirnos a él. El lenguaje es esencial en la teoría del aprendizaje debido a su

función comunicativa e instrumental, que modifica el propio sujeto que los utiliza como

mediadores.

Procedimientos: Modos de actuar ante situaciones o tareas (algoritmos, operaciones,

reglas de cálculo). Cuando un sujeto se enfrenta a un problema y trata de resolverlo o

comunicar la solución a otras personas, validar y generalizar la solución a otros

contextos y problemas, etc., realiza distintos tipos de acciones que se llegan a

algoritmizar.

Conceptos-definición: (introducidos mediante definiciones o descripciones, por

ejemplo: media, distribución muestral,...). El caso que aborda este trabajo, y puesto que

el objeto a estudiar es un teorema considerará sus diversos enunciados en esta

categoría, ya que se dan las descripciones del objeto. Se podrían también incluir en esta

categoría las definiciones de objetos ligados al teorema, como “distribución muestral”,

“muestra”, etc. Pero, por limitar la investigación, ésta no se centra específicamente en

ellas, aunque es posible en un momento dado referirse a alguno.

5

Proposiciones: Se tratarán específicamente en este trabajo las propiedades asociadas

al teorema central del límite y objetos relacionados, que no se limitan a descripciones

de dichos objetos sino los ponen en relación. Aparte del propio teorema (que se ha

incluido en la categoría anterior), aparecerán propiedades tales como las referidas a la

media o varianza de la suma de variables aleatorias o la corrección de continuidad.

Argumentos: Finalmente, todas estas acciones y objetos se ligan entre sí mediante

argumentos o razonamientos que se usan para comprobar las soluciones de los

problemas o explicar a otro la solución. La forma usual de demostración en matemáticas

es la deductiva, que es la más extendida en los libros universitarios. Este tipo de

argumentación se completa o sustituye por otras como la búsqueda de contraejemplos,

generalización, análisis y síntesis, simulaciones con ordenador, demostraciones, etc.

2.2 El problema de Investigación

2.2.1 Justificación.

La presente investigación pretende hacer un análisis de los libros de texto universitarios de

Probabilidad y Estadística, en el contexto de las variables aleatorias discretas. Se ha escogido

hacer este análisis dentro del contexto de las variables aleatorias discretas por muchas razones

entre las cuales destacan la simplicidad que presenta la génesis de estas distribuciones pues se

pueden deducir de problemas muy cercanos a nuestra experiencia cotidiana (salvo la

distribución de Poisson cuya génesis no es trivial), la importancia del papel que juegan en

relación con las distribuciones continuas y por último cómo punto de referencia para realizar

el análisis de estos textos pues hacer un análisis de todas las obras sería una tarea titánica.

2.2.2 La pregunta de investigación

Entre las distribuciones discretas clásicas se encuentran comúnmente en los libros de texto

están:

Distribución de Bernoulli.

Distribución Binomial.

Distribución Hipergeométrica.

Distribución Geométrica.

Distribución Binomial Negativa.

Distribución de Poisson.

Con estos dos análisis y en referencia a las distribuciones de las variables aleatorias citadas se

pretende responder lo siguiente:

En relación a los temas, ¿qué se presenta? ¿cómo se presenta?

¿Qué es lo que se enseña?

6

¿Cómo se enseña?

¿Cuál es el enfoque actual de la enseñanza en este tema, es de corte teórico,

práctico, etc.?

Es decir se pretende analizar la forma en la que son presentadas estas distribuciones en libros

de texto actuales y cuál es el enfoque y la importancia que se les da y qué papel juegan en los

libros de texto de Estadística.

7

Capítulo 3. Metodología

3.1 Metodología de búsqueda

Los libros seleccionados para realizar el análisis son principalmente libros de Probabilidad y

Estadística y algunos libros de Probabilidad (exclusivamente), se seleccionaron en base a los

siguientes factores:

Año de edición de la obra (últimos 15 años aproximadamente).

Lugar de edición (México principalmente).

Contexto de la obra (Principalmente libros para ingeniería y ciencias).

Tipo de libro (Estadística, Probabilidad y Estadística, Estadística).

Repercusión del libro (Aquí se consideraron libros que son más comúnmente utilizados

en carreras de ingeniería y de las principales editoriales que tienen presencia en

México, Pearson, Mc Graw Hill, Cengage Learning, etc.)

En resumen las obras a consultar son textos de Probabilidad, Estadística, Probabilidad y

Estadística en un contexto de ingeniería y que son de reciente edición para las principales

editoriales en México y que son utilizados como libros base en las carreras de ingenierías en

instituciones como el IPN (Instituto Politécnico Nacional), institutos tecnológicos y

universidades tecnológicas.

3.2 Búsqueda

Para realizar el trabajo de búsqueda de estos libros se revisaron sitios web de las principales

casas editoriales que venden libros de este tipo en México, algunas de estas editoriales son

Pearson, Cengage Learning, Limusa, Fondo de Cultura Económica, etc.

Muchos de los libros encontrados pertenecen a mi biblioteca personal, otros son prestados de

bibliotecas y de amigos y otros forman parte de ciertos sitios web de las editoriales que

permiten ver el contenido de dichas obras.

Por otro lado la experiencia docente que he adquirido al trabajar en Universidades

Tecnológicas, Institutos Tecnológicos e Instituto Politécnico Nacional (IPN) me permitió tener

conocimiento de los libros mayormente utilizados en las carreras de ingeniería para impartir

materias relacionadas con la Estadística.

El periodo de tiempo de búsqueda de libros llevó aproximadamente las tres primeras semanas

del mes de Diciembre de 2014. La cantidad de libros consultados fue muy amplia y en este

proceso se descartaron obras enfocadas a carreras de corte económico administrativo y libros

clásicos de inferencia estadística utilizados en carreras de matemáticas y ciencias, es decir

libros muchos más formales. Lo anterior debido a que el objetivo de este trabajo es entre otras

8

cosas es conocer el discurso matemático escolar de los libros de texto que son comúnmente

utilizados en carreras de ingeniería, más específicamente en el tema de distribuciones de

variables aleatorias discretas.

3.3 Resumen de libros

Los libros seleccionados para realizar la investigación se enumeran a continuación. Dicha

numeración será utilizada para hacer referencia cuando se comparen y resuman algunos

resultados productos del análisis a realizar.

Tabla 1. Libros seleccionados para la investigación

Etiqueta Referencia

L1 A. Johnson, R. (2011). Probabilidad y estadística para ingenieros. México

D.F: Pearson.

L2 C. Montgomery, D., & C. Runger, G. (2008). Probabilidad y estadística

aplicadas a la ingeniería. México D.F: Limusa Wiley.

L3 Clifford Blair, R., & A. Taylor, R. (2008). Bioestadística. México D.F: Pearson.

L4 Devore, J. L. (2008). Probabilidad y Estadística para ingenierías y ciencias.

Ciudad de México: Cengage Learning.

L5 E. Walpole, R., H. Myers, R., & L. Myers, S. (2012). Probabilidad y estadística

para ingeniería y ciencias. México D.F: Pearson.

L6 F. Triola, M. (2013). Estadística. México D.F: Pearson.

L7 García Álvarez, M. (2005). Introducción a la teoría de probabilidad. México

D.F: Fondo de Cultura Económica.

L8 Mendenhall, W., Beaver, R. J., & Beaver, B. M. (2010). Introducción a la

Probabilidad y Estadística. Ciudad de México: Cengage Learning.

L9 Navidi, W. (2006). Estadística para ingenieros y científicos. Ciudad de

México: Mc Graw Hill.

L10 Ross, S. M. (2006). A first course in probability. Boston: Pearson.

L11 Sotomayor, G. V. (2005). Estadística con excel. Ciudad de México: Trillas.

L12 Spiegel, M. R., & Stephens, L. J. (2009). Estadística. Ciudad de México:

Schaum.

L13 Wackerly, D. D., Mendenhall, W., & Scheafer, R. L. (2010). Estadística

Matemática con Aplicaciones. Ciudad de México: Cengage Learning.

9

3.4 Una Clasificación

A continuación se realiza una primera clasificación de las referencias (utilizando ya las

etiquetas respectivas) acerca del tipo de libro a tratar. Cada uno de estos libros cae en los

siguientes rubros:

Libros de Probabilidad.

Libros de Estadística Matemática.

Libros de Estadística con Aplicaciones a la Ingeniería.

Libros de Estadística enfocados a ejercicios.

Lo anterior se resume en la siguiente tabla.

Tabla 2. Libros clasificados por tipo

Tipo de libro. Etiqueta

T1 Libros de Estadística Matemática.

L13

T2 Libros de Estadística (Probabilidad y Estadística) con

aplicaciones a la ingeniería.

L1, L2, L3, L4, L5, L6, L8, L9,

L11.

T3 Libros de Estadística enfocados a ejercicios.

L12

T4 Libros de Probabilidad L7, L10

O bien se puede resumir con el presente gráfico.

10

Figura 1. Tipos de libros

Claramente se puede apreciar que la mayoría de la bibliografía seleccionada para el análisis cae

en el rubro de libros de Estadística para aplicaciones a la ingeniería, siendo las referencias que

más abundan y las más utilizadas como texto de apoyo para cursos de Estadística.

3.5 Metodología de Análisis

El análisis a realizar de los libros una vez que estos han sido seleccionados comprende 3 etapas:

El análisis a priori.

El análisis cuantitativo.

El análisis mediante el enfoque ontosemiótico.

En el análisis a priori lo que se pretende es hacer una descripción de lo que desde el punto de

vista de mi experiencia como docente y estudiante de Probabilidad y Estadística de lo que

considero podría llegar a encontrar en relación con las distribuciones de variables aleatorias

discretas en textos universitarios. La idea es que este primer análisis me permita contrastarlo

con los otros dos que se realizarán posteriormente, es decir este análisis me sirve como punto

de partida, de referencia y contraste para lo que van a arrojar los dos análisis posteriores (sobre

todo el tercero).

Los resultados obtenidos sirven de base para el posterior análisis.

11

El análisis cuantitativo constituye el primer análisis tomando en cuenta la revisión de los

libros. Es una revisión superficial y rápida del contenido de los libros en referencia a los

elementos más importantes que caracterizan a una variable aleatoria discreta y su distribución.

Se toman en cuenta elementos como son: las variables aleatorias a considerar, su génesis,

problemas teóricos, problemas prácticos, esperanza matemática, varianza, función generadora

de momentos, etc.

Los resultados obtenidos son resumidos en tablas que de manera visual dan información de

que elementos forman parte del contenido de cada obra haciendo referencia a las etiquetas

asignadas.

El análisis ontosemiótico es un análisis más profundo del contenido que presenta cada obra.

Mediante este análisis se pretende responder parte de las preguntas que dieron lugar a esta investigación, ¿Qué se presenta? ¿Cómo se presenta? ¿Qué se enseña? ¿Cómo se enseña? ¿Cuál

es el enfoque actual? etc. en referencia a temas relacionados con Distribuciones de Variables

Aleatorias Discretas.

De igual manera los resultados obtenidos son presentados en tablas y gráficos los cuales

pueden dar información resumida de forma visual.

Se considerará para el análisis de las distribuciones de variables aleatorias discretas la

siguiente tipología de objetos matemáticos primarios, denominada “elementos del significado”

y que a su vez se organizan en sistemas conceptuales, teorías, etc.

Situaciones-problemas Lenguaje Procedimientos Conceptos-definición Proposiciones Argumentos

12

Capítulo 4. Análisis y resultados 4.1 Análisis a priori

Este primer análisis se hace tomando como punto de referencia la experiencia personal del

autor adquirida como estudiante de licenciatura y posgrado en matemáticas así como docente

que ha impartido la asignatura por lo cual está familiarizado con distintos tipo de bibliografía

referentes a temas de probabilidad (no necesariamente la misma que se analizará). La idea aquí

es realizar un análisis preliminar a la luz de las experiencias personales.

En este apartado se describen algunos elementos importantes relacionados con las variables

aleatorias y sus distribuciones que esperaría encontrar en un libro de texto de estadística así

como también algunas particularidades en el enfoque, lo anterior para sentar las bases del

siguiente análisis.

4.1.1 Con respecto a las Distribuciones

En primer lugar quiero citar las distribuciones de variables aleatorias discretas más comunes

por la gran cantidad de problemas que pueden modelar y su utilidad, dichas distribuciones son

las siguientes:







En el caso multivariado, tenemos:

Distribución Multinomial.

Distribución Hipergeométrica Multivariada.

Estas distribuciones constituyen la gama de distribuciones discretas más importantes y que

uno esperaría encontrar en un libro de Estadística (al menos la del caso de una variable).

Cabe resaltar que las distribuciones discretas son presentadas de muchas maneras entre ellas

destacan:

Mediante fórmula.

Mediante tablas.

Mediante un histograma de probabilidades.

13

Otro aspecto a considerar en este análisis son aquellos elementos (medidas, funciones, etc.) que

caracterizan a las distribuciones, entre ellos destaco:

La esperanza.

La varianza.

Los momentos.

La función de masa de probabilidad. (F.M.P)

La función de distribución acumulativa. (F.D.A)

La función generadora de momentos.

Cabe resaltar que los libros suelen tratar estas distribuciones no de manera aislada sino que

las relacionan con otras distribuciones discretas o continuas. Entre estas relaciones destacan:

Relación de la Distribución Bernoulli con la Distribución Binomial.

Relación de la Distribución de la Binomial con la Distribución Hipergeométrica.

Relación de la Distribución Binomial con la Distribución Normal.

Relación de la Distribución de Poisson con la Binomial.

4.1.2 Con respecto al enfoque

Con respecto al enfoque quiero destacar dos aspectos el primero tiene que ver con el uso de

recursos que utilizan los autores en sus obras para la solución de ejercicios, entre ellos destaco:

Recursos teóricos empleados.

Tablas para el cálculo de percentiles y áreas.

Uso de software.

Por último, el segundo elemento a recalcar es el tipo de ejemplos o ejercicios que trata la obra

en referencia a las Distribuciones de Variables Aleatorias Discretas. Con referencia a los tipos

de ejercicios se considerará la siguiente clasificación:

Ejercicios teóricos.

Ejercicios prácticos puramente algebraicos.

Ejercicios de aplicación.

4.1.3 Conclusiones del análisis a priori

En base al análisis preliminar hecho se puede construir un marco en el cual se pueda realizar el

segundo análisis, el cual tiene por objetivo hacer una revisión superficial del contenido de las

obras a analizar en el contexto de las distribuciones de probabilidad que involucra cada obra.

El marco o formato para vaciar la información encontrada por cada obra es el siguiente.

14

Distribuciones de probabilidad presentadas. Aquí la idea es enlistar las distribuciones de

probabilidad que se presentan en cada obra. Estas serán numeradas como distribución 1 (D1),

distribución 2 (D2), etc.

Descripción de las distribuciones. Para cada distribución, considerar los siguientes

elementos:

Distribución Di. Aquí se pone el nombre de la distribución.

Di.1 Génesis de la distribución. Se describe si se realiza la deducción de la función de masa de

probabilidad correspondiente y a grandes rasgos como se hace.

Di.2 Presentación de la distribución. Se refiere a la forma en la cual es presentada la

distribución en sí, si es mediante tabla, fórmula, histograma, etc.

Di.3 Caracterización de la distribución. Aquí se revisa que otros elementos que caracterizan

a la distribución son considerados, como son la media, la varianza, los momentos, etc.

Di.4 Ejemplos y ejercicios. Se revisan el tipo de ejemplos y ejercicios que son considerados en

la obra y con respecto a la distribución.

Di.5 Áreas de aplicación. En este apartado se describe si la obra hace referencia a las áreas de

aplicación que puede tener la distribución de probabilidad correspondiente.

Di.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. Se pretende revisar que

relaciones importantes se dan entre distribuciones.

Uso de herramientas tecnológicas y otros recursos. Se revisarán los recursos empleados

para tratar los ejercicios, como pueden ser el uso de tablas de las distribuciones, el uso de

software, etc.

Observaciones. Por último se describirán aquellos elementos que no hayan sido considerados

en el análisis a priori pero que a medida que se revisen las obras puedan aparecer y resulten de

interés.

A fin de poder resumir la información recabada y de tener un manejo más eficiente de los

resultados vamos a asignar etiquetas (al igual que se hizo con los libros) a cada una de las

distribuciones que se esperan encontrar, si se encuentra alguna otra distribución que no esté

en esta lista se pondrá al final. Las etiquetas son las siguientes:

15

D1. Distribución Bernoulli.

D2. Distribución Binomial.

D3. Distribución Geométrica.

D4. Distribución Binomial Negativa.

D5. Distribución Hipergeométrica.

D6. Distribución de Poisson.

D7. Distribución Uniforme Discreta.

D8. Distribución Multinomial.

D9. Distribución Hipergeométrica Multivariada.

4.2 Análisis Cuantitativo del contenido

4.2.1 Análisis

En este segundo análisis se pretende elaborar una descripción del contenido de las obras

tomando en cuenta las referencias del análisis preliminar. Es esta sección si se hace una revisión

exhaustiva de las obras para detallar si cuenta o no con los elementos descritos en la sección

anterior, así como también tomar en cuenta elementos nuevos encontrados los cuales no fueron

considerados en el análisis a priori. Al final se realizará un resumen de lo encontrado mediante

tablas y gráficos, esto con la finalidad de tener un medio visual de presentar la información que

me permita transmitir los resultados de manera rápida. Los detalles de este segundo análisis se

presentan de manera individual para cada libro en el orden en el que aparecen las referencias

en la tabla 1.

L1 A. Johnson, R. (2011). Probabilidad y estadística para ingenieros. México

D.F: Pearson.

Distribuciones de probabilidad presentadas. Las distribuciones estudiadas en ese libro son

las siguientes:







Descripción de las distribuciones.

Distribución Binomial (D2)

16

D2.1 Génesis de la distribución. A partir de un ejemplo concreto se deduce la función de masa

de probabilidad para esta distribución y posteriormente se analiza la situación general para

llegar a la fórmula correspondiente.

D2.2 Presentación de la distribución. La distribución de probabilidad es presentada

inicialmente mediante una fórmula sin embargo también se realizan diversos histogramas con

valores dados de los parámetros 𝑛 y 𝑝.

D2.3 Caracterización de la distribución. La media y la varianza de la distribución son

presentadas como resultados y también se incluyen detalles de las demostraciones. También

se función la función de distribución acumulativa la cual es utilizada para calcular

probabilidades acumulativas y esto se hace con el uso de tablas al final del libro.

Al analizar los histogramas correspondientes en ciertos problemas se aborda el concepto de

sesgo para esta distribución.

D2.4 Ejemplos y ejercicios. Se tratan al inicio algunos ejemplos donde se debe identificar si

ciertos casos corresponden a procesos que involucran ensayos de Bernoulli independientes.

Los ejemplos y los ejercicios tratados para esta distribución comprenden ejercicios donde se

realizan cálculos operativos simples para encontrar probabilidades puntuales o bien para

determinar probabilidades acumulativas, aquí se hace uso de tablas las cuales calculan esta

suma. Los ejercicios en su mayoría vienen de un contexto de aplicación lo cual nos da una idea

de las áreas de aplicación de la distribución. También se tratan ejercicios de corte teórico.

D2.5 Áreas de aplicación. Al inicio se reseña brevemente las situaciones en la cual se es

conveniente emplear esta distribución para modelar ciertas situaciones en la cuales se

involucren ensayos de Bernoulli independientes.

D2.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. Se menciona la relación que

guarda esta distribución con la distribución Hipergeométrica y con la distribución de Poisson,

en el sentido de cómo estas pueden ser formas límites de la distribución Binomial.

Distribución Geométrica (D3).

D3.1 Génesis de la distribución. Se describe de manera muy breve como se obtienen la

función de masa de probabilidad para esta distribución no sin antes mencionar la relación que

guarda con la distribución binomial.

D3.2 Presentación de la distribución. La distribución es presentada directamente mediante

fórmula.

17

D3.3 Caracterización de la distribución. Sólo se menciona la media de esta distribución pero

no la varianza. Este resultado es presentado sin demostración sin embargo se deja como

ejercicio al lector.

D3.4 Ejemplos y ejercicios. Sólo se realiza un ejemplo muy sencillo para esta distribución el

cual involucra cierto contexto, es decir el ejercicio no es meramente operativo. Los ejercicios

son variados desde demostraciones hasta ejercicios aplicados que hacen uso de esta

distribución para calcular probabilidades.

D3.5 Áreas de aplicación. Se mencionan de manera muy sucinta las áreas de aplicación de esta

distribución aunque por el hecho de involucrarse directamente con la distribución binomial se

infieren las áreas de aplicación de esta distribución. Por otro lado los ejercicios aplicados en la

sección de ejercicios de manera implícita dan cuenta de las áreas de aplicación.

Di.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. Se menciona al inicio la relación

que guarda esta distribución con la distribución binomial.

Distribución Binomial Negativa (D4).

D4.1 Génesis de la distribución. Se describe brevemente la forma de obtener la función de

masa de probabilidad para esta distribución.

D4.2 Presentación de la distribución. La distribución es presentada mediante una fórmula.

D4.3 Caracterización de la distribución. No mencionan más elementos para esta

distribución.

D4.4 Ejemplos y ejercicios. No se trata ningún ejemplo para esta distribución aunque en

sentido estricto el ejemplo de la distribución geométrica es un ejemplo también de la

distribución binomial negativa por ser esta la generalización de la primera. Los ejercicios son

la mayoría de tipo aplicado.

D4.5 Áreas de aplicación. No se mencionan explícitamente, aunque se da a entender que son

áreas de aplicación similares a las de la distribución geométrica y la binomial.

D4.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. No se menciona directamente.

Distribución Hipergeométrica (D5).

D5.1 Génesis de la distribución. Mediante la abstracción de un problema relacionado con la

extracción sin reemplazo de objetos se deduce la función de masa de probabilidad

correspondiente.

18


una fórmula.

D5.3 Caracterización de la distribución. La media y la varianza son presentadas como

resultados y las demostraciones se omiten pues son dejadas como ejercicios para el lector.

D5.4 Ejemplos y ejercicios. Los ejemplos revisados para esta distribución son aplicados donde

se realizan simples cálculos de probabilidades puntuales o bien de sumas de probabilidades

puntuales.

Los ejercicios de la sección comprenden ejercicios puramente operativos, de aplicación así

como ejercicios teóricos los cuales comprenden demostraciones de la media o la varianza para

esta distribución por citar un ejemplo.

D5.5 Áreas de aplicación. Al final se menciona brevemente el campo de aplicación de esta

distribución, los cuales son similares a los de la distribución binomial, haciendo una clara

distinción entre el tipo de muestreo empleado.

D5.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. Desde el inicio del tratamiento

de esta distribución se compara con la distribución binomial por estar estas relacionadas con

el problema de la selección de elementos de una urna. La diferencia esencialmente radica en

cómo se realiza la extracción, ya sea con reemplazo o bien sin reemplazo. De hecho se realizan

ejercicios para comparar en forma numérica los resultados que se obtienen utilizando una u

otra distribución.

Distribución de Poisson (D6)

D6.1 Génesis de la distribución. Se presenta directamente la función de masa de probabilidad

para una variable aleatoria con distribución de Poisson y posteriormente se da detalle del por

qué la distribución de Poisson es una forma límite de la distribución binomial, es decir bajo qué

condiciones puede obtenerse la distribución de Poisson a partir de la distribución binomial.

D6.2 Presentación de la distribución. La distribución de Poisson es presentada mediante una

fórmula y también se realizan algunos histogramas de probabilidad para esta distribución para

ciertos valores específicos del parámetro 𝜆 de la distribución.

D6.3 Caracterización de la distribución. Se da a conocer la media y la varianza para esta

distribución. La demostración de estos resultados se omite. Se trata también la función de

distribución acumulativa la cual es utilizada para describir sumas de probabilidades puntuales.

D6.4 Ejemplos y ejercicios. Los ejemplos y ejercicios tratados comprenden ejercicios

puramente operativos, otros de corte teórico y algunos donde se trata esta distribución como

forma límite de la distribución binomial.

19

D6.5 Áreas de aplicación. Las áreas de aplicación de esta distribución que se mencionan son

aquellas relacionadas con el conteo de resultados que no tienen una cota superior natural.

D6.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. Se menciona a detalle la relación

que guarda esta distribución con la distribución binomial, de hecho la introducción de la

distribución de Poisson es realizada como forma límite de la distribución binomial.

Distribución de Multinomial (D8)

D8.1 Génesis de la distribución. No se menciona como se deduce la función de masa de

probabilidad multivariada.

D8.2 Presentación de la distribución. Se presenta la distribución directamente mediante

fórmula.

D8.3 Caracterización de la distribución. No se mencionan otros elementos de interés.

D8.4 Ejemplos y ejercicios. Sólo se trata un ejemplo para esta distribución el cual es aplicado.

Los ejercicios son de tipo aplicado y teórico.

D8.5 Áreas de aplicación. No se mencionan directamente.

D8.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. Se menciona que esta

distribución es una generalización de la distribución binomial.

Uso de herramientas tecnológicas y otros recursos. Se hace uso de software (Minitab®) para

el cálculo de probabilidades puntuales y acumulativas en la sección de ejercicios. También se

hace uso de tablas de las distribuciones

Observaciones. Este libro hace uso de herramientas tecnológicas como el Minitab y el software

R, además de tablas para el cálculo de probabilidades. Se da más relevancia a la distribución

binomial, Hipergeométrica y Poisson que a las demás en el sentido de que su tratamiento es

más completo.

20

Tabla 3. Análisis del contenido del texto L1

L1 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10

Génesis Sí

No

enco

ntrad

a

X X X X X N

o en

con

trada

No

enco

ntrad

a

No X

Presentación Fórmula X X X X X X

Tabla

Histograma X X

Caracterización Media y Varianza X X X X

Momentos

F.D.A X X X

Percentiles

Ejemplos y ejercicios Teóricos X X X X X X

Aplicados X X X X X X

Operativos X X X X X X

Áreas de aplicación Sí X X X X X X

No

Relación con otras distribuciones 𝐷𝑖~𝐷𝑗 𝐷2~𝐷 𝐷3~𝐷2 𝐷4~𝐷2 𝐷5~𝐷2 𝐷6~𝐷2 𝐷8~𝐷2

Uso de herramientas Software X X X

Tablas X

Applet

21

L2 C. Montgomery, D., & C. Runger, G. (2008). Probabilidad y estadística

aplicadas a la ingeniería. México D.F: Limusa Wiley.

Distribuciones de probabilidad presentadas.

Las distribuciones discretas de probabilidad presentadas en este libro, en las cuales se excluyen

casos multivariados, son las siguientes:








elementos:


D2.1 Génesis de la distribución. Esta distribución es presentada mediante una serie de

ejemplos de situaciones comunes que hacen uso de una variable aleatoria que mide o cuenta

resultados de cierto tipo en un experimento, más específicamente la variable aleatoria mide la

cantidad de ensayos que cumplen con cierto criterio especificado. Se hace un ejemplo de una

situación donde se emplee esta variable en específico y luego se hace el cálculo de probabilidad

para ciertos valores de 𝑥. Este ejemplo sirve de base para hacer la deducción de la función de

masa de probabilidad de este caso particular y posteriormente a este ejemplo introducir de

manera más formal la distribución de probabilidades para la variable aleatoria correspondiente


Cabe resaltar que la distribución también es presentada mediante un histograma con diferentes

valores de los parámetros 𝑛 y 𝑝.

D2.3 Caracterización de la distribución. La media y la varianza de variable aleatoria con

distribución binomial son presentadas mediante un teorema el cual no se demuestra.

D2.4 Ejemplos y ejercicios. Los ejemplos presentados para esta distribución son aplicados y

en ellos se calculan probabilidades y en otros piden calcular la media y la varianza.

22

Los ejercicios de esta sección son en su mayoría aplicados y otros de carácter puramente

algebraicos u operativos.

D2.5 Áreas de aplicación. Se hace una descripción breve de las aplicaciones que pude tener

esta distribución para modelar ciertas situaciones donde se aplique un muestreo donde la

población es grande comparada con el tamaño de la muestra. Los ejercicios de esta sección

también dan cuenta de las áreas de aplicación de esta distribución.

D2.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. Se menciona la relación de esta

distribución con otras distribuciones como la normal, la Poisson y la Hipergeométrica.

Distribución Geométrica (D3)

D3.1 Génesis de la distribución. La deducción de la función de masa de probabilidad para esta

distribución se desprende como consecuencia inmediata de su íntima relación con la

distribución binomial negativa por ser un caso particular.

D3.2 Presentación de la distribución. La distribución geométrica es presentada formalmente

mediante fórmula y también se presenta mediante un histograma para un ejemplo en concreto.

D3.3 Caracterización de la distribución. Se establecen los valores de la media y la varianza

para esta distribución mediante un teorema cuya demostración es dejada como ejercicio.

D3.4 Ejemplos y ejercicios. Se revisan el tipo de ejemplos y ejercicios que son considerados

en la obra y con respecto a la distribución.

D3.5 Áreas de aplicación. Con respecto a los ejemplos mostrados en el libro, estos son de

aplicación. Los ejercicios para esta sección comprenden problemas teóricos, prácticos y

puramente operativos.

Una propiedad importante para esta distribución tratada en este libro es la propiedad de falta

de memoria.

D3.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. La distribución geométrica

considerada tomando en cuenta la estrecha relación que guarda con la distribución binomial,

estas características son resaltadas en un ejemplo práctico donde se contrastan las diferencias

entre una variable aleatoria con distribución binomial y una con distribución geométrica.

Distribución Binomial Negativa (D4)

D4.1 Génesis de la distribución. La deducción de la función de masa de probabilidad es

realizada mediante un ejemplo particular el cual luego se generaliza.

23

D4.2 Presentación de la distribución. Como una generalización es la distribución geométrica

es presentada posteriormente la distribución binomial negativa. Esta es presentada

directamente mediante fórmula y posteriormente se realiza un histograma para un ejemplo en

concreto con distintos valores del parámetro 𝑝.

Cabe resaltar que también es presentada la variable aleatoria con distribución binomial

negativa como una suma de variables aleatorias con distribución geométrica esto como

consecuencia inmediata de la propiedad de falta de memoria de la variable aleatoria

geométrica.

D4.3 Caracterización de la distribución. La esperanza y la varianza de una variable aleatoria

con distribución binomial negativa son presentadas mediante un teorema.

D4.4 Ejemplos y ejercicios. Los ejemplos que se tratan para esta distribución son aplicados

los cuales son utilizados como ejemplos particulares de cómo obtener la función de masa de

probabilidad en general y como ver a una variable aleatoria binomial negativa como suma de

geométricas.

Los ejercicios para esta distribución son operativos y otros de carácter aplicado.

D4.5 Áreas de aplicación. Las áreas de aplicación para esta distribución se mencionan

brevemente y son similares a las presentadas para la distribución binomial. Los ejercicios de la

sección también dan muestra de las áreas de aplicación respectivas.

D4.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. Se menciona la relación obvia de

esta distribución con la distribución geométrica y la binomial.

Distribución Hipergeométrica (D5)

D5.1 Génesis de la distribución. La deducción de la función de masa de probabilidad es

realizada mediante el análisis de un caso particular.

D5.2 Presentación de la distribución. La distribución es presentada mediante fórmula y

también mediante un histograma en un ejemplo en particular para distintos valores de los

parámetros 𝑁, 𝑛 y 𝑘.

D5.3 Caracterización de la distribución. La media y la varianza de la variable aleatoria

Hipergeométrica es presentada mediante un teorema y la demostración dejada como ejercicio.

Cabe resaltar que es aquí, en el análisis de estas dos expresiones (de la media y la varianza)

cuando se establece la relación que guarda en cuanto a una aproximación con las expresiones

para media y varianza de una variable aleatoria con distribución binomial.

24

D5.4 Ejemplos y ejercicios. Los ejemplos tratados con respecto a esta distribución

comprenden ejercicios operativos y otros aplicados donde se comparan resultados empleando

las distribuciones binomial e Hipergeométrica a pesar de que el muestreo haya sido realizado

sin reemplazo.

Los ejercicios para esta sección comprenden desde ejercicios puramente operativos, hasta

ejercicios teóricos como demostrar la esperanza y la varianza para una variable aleatoria con

distribución Hipergeométrica.

D5.5 Áreas de aplicación. Las áreas de aplicación de esta distribución son similares a las de la

distribución binomial.

D5.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. La distribución Hipergeométrica

es comparada con la distribución binomial, pues se pone de manifiesto la estrecha relación que

guardan cuando se realiza un muestreo con reemplazo y cuando este es realizado sin

reemplazo. Un ejemplo es analizado para motivar el uso de esta distribución cuando se

seleccionan muestras al azar sin reemplazo.

Distribución Poisson (D6)

D6.1 Génesis de la distribución. Se omite.

D6.2 Presentación de la distribución. La distribución de Poisson es introducida directamente

mediante un ejemplo, considerando a esta como una forma límite de la distribución binomial.

Posteriormente es presentada la distribución mediante una fórmula y se realizan histogramas

para esta variable aleatoria utilizando distintos valores del parámetro lambda.

D6.3 Caracterización de la distribución. Son presentadas también mediante un teorema la

media y la varianza de esta distribución.

D6.4 Ejemplos y ejercicios. Los ejemplos tratados para esta distribución son de corte aplicado.

Los ejercicios son aplicados y otros puramente algebraicos.

D6.5 Áreas de aplicación. Se mencionan las áreas de aplicación para esta distribución entre

las cuales están áreas similares a las de la binomial.

D6.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. Como ya se mencionó, en esta

obra se establece bajo qué condiciones la distribución de Poisson es una forma límite de la

distribución binomial.

25

Distribución Uniforme Discreta (D7)


D7.2 Presentación de la distribución. La primera distribución que se trata en L2, es la

distribución uniforme discreta, la cual se considera la distribución más simple de todas. Es

presentada inmediatamente mediante una fórmula, posteriormente se realizar un problema

aplicado como ejemplo. Cabe resaltar que la función de masa de probabilidad también es

descrita mediante un histograma para este ejemplo.

D7.3 Caracterización de la distribución. Otro elemento que se considera para esta

distribución es la esperanza de la variable aleatoria, la cual se demuestra y es dejado como

ejercicio la desviación estándar. Posteriormente se enuncian formalmente estos resultados.

D7.4 Ejemplos y ejercicios. Los problemas presentados para esta distribución son variados,

incluyendo ejercicios meramente operativos, aplicados y teóricos.

D7.5 Áreas de aplicación. No se mencionan.

D7.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. No se menciona.

Uso de herramientas tecnológicas y otros recursos. No se hace uso de ningún recurso

tecnológico, ni siquiera el uso de tablas para el cálculo de sumas de probabilidades.

Observaciones. Lo fuerte de esta obra es la riqueza que presenta en cuanto a las aplicaciones

a la ingeniería de todas las distribuciones presentadas.

26


L2 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10

Génesis Sí

No

enco

ntrad

a

X X X X

No

enco

ntrad

a

No

enco

ntrad

a

No

enco

ntrad

a

No X X


Tabla

Histograma X X X X X X

Caracterización Media y Varianza X X X X

Momentos

F.D.A

Percentiles

Ejemplos y ejercicios Teóricos X X X

Aplicados X X X X X X

Operativos X X X X X X

Áreas de aplicación Sí X X X X X

No X

Relación con otras

distribuciones

𝐷𝑖~𝐷𝑗 𝐷5~𝐷2 𝐷6~𝐷2

Uso de herramientas Software

Tablas

Applet

27

L3 Clifford Blair, R., & A. Taylor, R. (2008). Bioestadística. México D.F: Pearson.

Distribuciones de probabilidad presentadas. La única distribución de probabilidad discreta

que se menciona en esta fuente es la distribución binomial.



D2.1 Génesis de la distribución. No se describe.


una fórmula y en el tratamiento de los ejemplos se realizan histogramas y tablas para distintos

valores de los parámetros 𝑛 y 𝑝.

D2.3 Caracterización de la distribución. No se menciona nada al respecto.

D2.4 Ejemplos y ejercicios. Los ejemplos y ejercicios tratados para esta distribución son en su

mayoría de tipo operativos y algunos otros desarrollados en un contexto de aplicación.

D2.5 Áreas de aplicación. Las áreas de aplicación de esta distribución y que son mencionadas

en este libro están relacionadas con algunos métodos de inferencia estadística como las pruebas

de hipótesis y la construcción de intervalos de confianza.


Uso de herramientas tecnológicas y otros recursos. No se menciona alguno.

Observaciones. En este libro no se tratan las distribuciones de probabilidad discretas como

tal, de hecho el uso de la distribución binomial es motivado de la necesidad de determinar la

distribución de probabilidades de cierto estimador puntual llamado p gorro (�̂�).

28


L3 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10

Génesis Sí

No

enco

ntrad

a

No

enco

ntrad

a

No

enco

ntrad

a

No

enco

ntrad

a

No

enco

ntrad

a

No

enco

ntrad

a

No

enco

ntrad

a

No

enco

ntrad

a

No

enco

ntrad

a

No X

Presentación Fórmula X

Tabla X

Histograma X

Caracterización Media y Varianza

Momentos

F.D.A

Percentiles

Ejemplos y ejercicios Teóricos

Aplicados X

Operativos X

Áreas de aplicación Sí X

No

Relación con otras

distribuciones

𝐷𝑖~𝐷𝑗


Tablas

Applet

29

L4 Devore, J. L. (2008). Probabilidad y Estadística para ingenierías y ciencias.



En L4 se tratan las siguientes distribuciones:








D2.1 Génesis de la distribución. La primera distribución tratada es la distribución binomial.

Se empieza definiendo lo que constituye un experimento binomial, se identifican las

características de una variable aleatoria binomial y su relación con las técnicas de muestreo,

posteriormente se realizan cálculos específicos de probabilidades para una variable aleatoria

binomial y después se generaliza para obtener la función de masa de probabilidad.

D2.2 Presentación de la distribución. La distribución de probabilidad para esta variable

aleatoria se presenta por medio de fórmula y también mediante una tabla para un valor fijo de

los parámetros 𝑛 y 𝑝.

D2.3 Caracterización de la distribución. La media y la varianza para esta distribución se

presentan mediante un teorema el cual no se demuestra. También se trata la función de

distribución acumulativa como tal.

D2.4 Ejemplos y ejercicios. Los primeros ejercicios que se revisan acerca de esta distribución

están relacionados con la identificación de experimentos binomiales en ciertas situaciones

descritas y con el tratamiento de problemas que implican un muestreo sin reemplazo pero que

bajo ciertas condiciones pueden ser tratados como experimentos binomiales.

Se realizan ejemplos aplicadas para estas distribución dónde se tienen que calcular

probabilidades puntuales y sumas de estas probabilidades. Para el cálculo de algunas sumas se

utilizan tablas y se hace menciona el uso de software como Minitab o R sin embargo no se da

detalle de como emplear dicho software. También se realizan cálculos de media y varianza.

30

Los ejercicios a resolver comprenden de tipo operativo, aplicados y teóricos donde se pide

realizar ciertas demostraciones.

D2.5 Áreas de aplicación. Las áreas de aplicación no se mencionan de manera explícita sin

embargo los ejercicios aplicados dan cuenta de ello.

D2.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. Se menciona la relación entre

esta variable aleatoria y la distribución Hipergeométrica y binomial negativa.


D3.1 Génesis de la distribución. Se menciona a partir de la distribución binomial negativa.

D3.2 Presentación de la distribución. Sólo se presenta mediante fórmula.

D3.3 Caracterización de la distribución. Los aspectos mencionados son referentes más bien

a la distribución binomial negativa.

D3.4 Ejemplos y ejercicios. Sólo se trata un ejemplo para esta distribución.

D3.5 Áreas de aplicación. Se dan a conocer de manera implícita en los ejercicios.

D3.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. Sólo se destaca la relación obvia

con la distribución binomial negativa.


D4.1 Génesis de la distribución. Se inicia el estudio de esta distribución identificando las

características de un experimento hipergeométrico, posteriormente se procede a la deducción

a partir de una situación general de la función de masa de probabilidad para esta distribución.

D4.2 Presentación de la distribución. La distribución es presentada formalmente mediante

una preposición en forma de fórmula y los ejercicios que se resuelven para esta distribución

utilizan esta presentación de la función de masa de probabilidad.

D4.3 Caracterización de la distribución. Otros elementos presentados para esta distribución

son la función de distribución acumulativa con la cual se pueden calcular sumas de

probabilidades puntuales. También se trata la media y la varianza y las demostraciones de estos

resultados se omiten.

D4.4 Ejemplos y ejercicios. Los ejemplos que se revisan para esta distribución son en su

mayoría de tipo aplicado en los cuales se realizan cálculo de probabilidades puntuales y sumas

de estas probabilidades así como también cálculos relacionados con la media y la varianza.

31

Los ejercicios de la sección comprenden una gama más amplia pues también incluyen

problemas teóricos además de operativos y aplicados.

D4.5 Áreas de aplicación. Las áreas de aplicación no se mencionan de manera explícita sin

embargo los problemas aplicados describen a detalle las áreas de aplicación para esta

distribución.

D4.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. Al inicio del tratamiento para esta

distribución se destacan las similitudes y diferencias con la distribución binomial.


D5.1 Génesis de la distribución. Se inicia el estudio de esta distribución de probabilidad

destacando la relación que guarda una variable aleatoria que presenta esta distribución y una

con distribución binomial. Posteriormente se detalla que características tiene un experimento

hipergeométrico, que mide la variable aleatoria involucrada y cuáles son los parámetros que se

toman en cuenta en la distribución Hipergeométrica.

Se realiza un problema en el cual se debe calcular una probabilidad puntual, este problema da

la pauta para plantear una situación más general y hacer la deducción de la función de masa de

probabilidad para esta distribución la cual es presentada formalmente mediante una

preposición.

D5.2 Presentación de la distribución. Como ya se mencionó antes la distribución es

presentada de manera forma como una preposición mediante fórmula. En los problemas

subsecuentes sólo se le da tratamiento bajo este esquema.

D5.3 Caracterización de la distribución. Otros elementos que se presentan para esta

distribución aparte de la función de masa de probabilidad es la función de distribución

acumulativa y la media y la varianza, dicho resultado es presentado mediante un teorema el

cual no se demuestra de manera formal si no que se hace una comparación con la distribución

binomial y de ahí se obtiene el resultado.

D5.4 Ejemplos y ejercicios. Los ejemplos referentes a esta distribución comprenden en su

mayoría ejercicios de aplicación donde se calculan probabilidades puntuales, sumas y cálculo

de medias y varianzas.

Se menciona el uso de tablas y software como Minitab y R sin embargo el libro no trae tablas

para esta distribución ni tampoco da detalles de instrucciones con el software.

Los ejercicios de la sección además del tipo de ejercicios citados anteriormente comprenden

ejercicios teóricos.

32

D5.5 Áreas de aplicación. Las áreas de aplicación no son mencionadas de manera explícita sin

embargo los ejercicios aplicados que corresponden a esta distribución dan cuenta de ellos. Las

áreas de aplicación son similares a las de la distribución binomial.

D5.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. Cómo ya se mencionó antes al

inicio del estudio de esta distribución se menciona la relación estrecha que guarda esta

distribución con la distribución binomial.


D6.1 Génesis de la distribución. La distribución es presentada directamente mediante una

proposición y sin la definición de un proceso “simple” como se hizo con las demás

distribuciones sin embargo se menciona como puede obtener a partir de la distribución

binomial.


también se realizan algunos histogramas y tablas para esta distribución.

D6.3 Caracterización de la distribución. Se menciona además de la función de masa de

probabilidad, la función de distribución acumulativa, la media y la varianza para esta

distribución, este último resultado no se demuestra de manera formal sino que surge a partir

de considerar la distribución de Poisson como forma límite de la distribución binomial.

D6.4 Ejemplos y ejercicios. Los ejemplos son muy variados y comprende ejercicios operativos

y aplicados donde se realizan cálculos de probabilidades puntuales y de sumas de estas

probabilidades con ayuda de tablas.

Los ejercicios son aún más variados pues también se incluyen de tipo teórico además de los ya

usuales ejercicios aplicados y operativos.

D6.5 Áreas de aplicación. Se menciona la importancia de esta distribución para resolver

problemas que involucren el conteo de resultados por unidades de tiempo, longitud, volumen,

etc.

D6.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. Se describe la relación que

guarda la distribución de Poisson con la distribución binomial en el sentido de ser la primera

una forma límite de la segunda bajo ciertas condiciones.

Uso de herramientas tecnológicas y otros recursos. Se menciona el uso de software como

Minitab y R sin embargo en las secciones relacionadas con las distribuciones se da detalle del

uso de estos. Se hace uso de las tablas del apéndice para realizar cálculos de sumas de

probabilidades para las distribuciones binomial y Poisson.

33

Observaciones. En el caso de la distribución geométrica no se trata como tal a parte sino que

se menciona como caso particular de la distribución binomial negativa.

34


L4 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10

Génesis Sí

No

enco

ntrad

a

X X X X

No

enco

ntrad

a

No

enco

ntrad

a

No

enco

ntrad

a

No

enco

ntrad

a

No X

Presentación Fórmula X X X X X

Tabla X

Histograma X

Caracterización Media y

Varianza X X X X X

Momentos

F.D.A X X X X X

Percentiles

Ejemplos y ejercicios Teóricos X X X X X

Aplicados X X X X X

Operativos X X X X X


No

Relación con otras

distribuciones

𝐷𝑖~𝐷𝑗 𝐷2~𝐷3 𝐷3~𝐷4 𝐷4~𝐷2 𝐷5~𝐷2 𝐷6~𝐷2


Tablas X X

Applet

35

L5 E. Walpole, R., H. Myers, R., & L. Myers, S. (2012). Probabilidad y

estadística para ingeniería y ciencias. México D.F: Pearson.


Las distribuciones discretas de probabilidad presentadas en este libro, en las cuales se incluyen

casos multivariados, son las siguientes:



D.4 Distribución Binomial Negativa.

D.5 Distribución Hipergeométrica.

D.6 Distribución de Poisson.

D.7 Distribución Uniforme Discreta.

D.8 Distribución Multinomial.

D.9 Distribución Hipergeométrica Multivariada.



D2.1 Génesis de la distribución. Para esta distribución se describe brevemente como se

obtiene la función de masa de probabilidad.

D2.2 Presentación de la distribución. Esta distribución se introduce mediante un breve

contexto de aplicación, después se describe el proceso de Bernoulli, el cual sirve para delimitar

el papel que desempeña la variable aleatoria (definir lo que la variable aleatoria está midiendo),

lo cual viene a ser reafirmado con un breve ejemplo de lanzamiento sucesivo de monedas.

Posteriormente se da la definición de lo que es la distribución binomial no sin antes realizar

una breve explicación de cómo se obtienen la función de masa de probabilidad. La distribución

es presentada mediante una fórmula la cual incluye la función de masa de probabilidad y los

posibles valores para la variable aleatoria. Se realiza la demostración de que si se suma la

función sobre todos los posibles valores de que puede tomar la variable aleatoria esta da como

resultado 1, lo cual reafirma que se trata en efecto de una función de masa de probabilidad.

D2.3 Caracterización de la distribución. No se menciona como tal la función de distribución

acumulativa sin embargo se hace referencia a las sumas binomiales del tipo 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥), las cuales

se realizan mediante el uso de tablas del apéndice del libro.

36

Se demuestra cual es la media y la varianza de una variable aleatoria con distribución binomial

con parámetros n y p, mediante propiedades del operador esperanza y utilizando directamente

la definición de esperanza y varianza de una variables aleatoria (lo cual es más difícil de

realizar).

D2.4 Ejemplos y ejercicios. En cuanto a los ejemplos tratados en esta sección todos son

aplicaciones que hacen uso de la distribución binomial destacando el hecho de que se calculan

probabilidades del tipo:

Puntual (𝑃(𝑋 = 𝑥))

Menor o menor igual (𝑃(𝑋 ≤ 𝑥))

Mayor o mayor igual (𝑃(𝑋 ≥ 𝑥))

En esta última se utilizan complementos.

Con respecto a los ejercicios de esta sección son del mismo tipo que los ejemplos presentados.

D2.5 Áreas de aplicación. Por último se hace una breve reseña destacando las áreas de

aplicación donde tiene sentido el uso de la distribución binomial para modelar situaciones en

el ámbito científico e industrial, lo cual ya había sido puesto de manifiesto en los ejemplos de la

sección.

D2.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. Se menciona la importancia de

esta distribución y su relación con la distribución normal.


D3.1 Génesis de la distribución. Para la distribución binomial negativa se presenta la

deducción de la función de masa de probabilidad y la distribución geométrica es un caso

particular por lo cual se omite su deducción.

D3.2 Presentación de la distribución. La distribución geométrica es presentada como un caso

particular de la distribución binomial negativa, tomando el parámetro 𝑘 de la distribución

binomial negativa el valor de 1. Una vez hecha esta aclaración se presenta la distribución

geométrica mediante una fórmula.

D3.3 Caracterización de la distribución. La media y la varianza de la distribución geométrica

son presentados mediante un teorema y no se demuestran.

37

D3.4 Ejemplos y ejercicios. Los ejemplos y los ejercicios para esta distribución son de tipo

operativo y otros tratan algunas aplicaciones sencillas con respecto a esta distribución.

D3.5 Áreas de aplicación. Se menciona brevemente las áreas de aplicación que tiene esta

distribución.

D3.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. Se deja entrever que esta

distribución está relacionada con la distribución binomial pues ciertas condiciones del

experimento binomial son las mismas para este caso. Otra relación obvia es la relación que

guarda con la distribución binomial negativa por ser esta un caso particular.


D4.1 Génesis de la distribución. Para esta distribución se realiza la deducción de la función

de masa de probabilidad.

D4.2 Presentación de la distribución. La distribución binomial negativa es presentada de la

siguiente manera, primero se hace una breve introducción acerca de lo que es un experimento

binomial negativo y haciendo una analogía con los experimentos binomiales. Después se define

lo que mide la variable aleatoria, seguido de la deducción de la función de masa de probabilidad

para posteriormente presentar formalmente la distribución de probabilidades mediante una

fórmula.

D4.3 Caracterización de la distribución. No se presentan otros elementos que caractericen a

la distribución como la media, la varianza, etc.

D4.4 Ejemplos y ejercicios. Se trata un solo ejemplo de esta distribución y es un ejemplo de

una aplicación donde se calculan probabilidades del tipo 𝑃(𝑋 ≥ 𝑥) y de tipo puntual 𝑃(𝑋 = 𝑥).

Los ejercicios relacionados con esta sección son también de aplicaciones.

D4.5 Áreas de aplicación. Al inicio de la sección se da parte de las áreas de aplicación que

involucra a esta distribución las cuales son muy similares a las de la distribución binomial.

D4.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. Esta distribución está

íntimamente relacionada con la distribución binomial y de lo cual se da detalle en este libro.


D5.1 Génesis de la distribución. Antes de presentar la distribución como tal, se explican las

características que tiene un experimento hipergeométrico y lo que mide la variable aleatoria,

en base a esto se deduce la función de masa de probabilidad para la variable aleatoria.

38


una fórmula.

D5.3 Caracterización de la distribución. Mediante un teorema se presentan la media y la

varianza de una variable aleatoria con esa distribución. Las demostraciones de estos dos

resultados se encuentran en el apéndice del libro.

D5.4 Ejemplos y ejercicios. Con respecto a los ejemplos que presenta L5 para esta sección son

todos referentes a aplicaciones, destacando el uso para planes de muestreo. Las probabilidades

que se calculan en los ejemplos son de tipo puntual es decir, del tipo 𝑃(𝑋 = 𝑥). También se

hacen ejemplos donde se calcula la media y la varianza. Cabe resaltar que se utiliza aquí el

teorema de Chebishev.

Los ejercicios de esta sección son todos referentes a aplicaciones.

D5.5 Áreas de aplicación. Se inicia la discusión haciendo una comparación con la distribución

binomial, destacando la similitud que pueden tener ambas dentro de su campo de aplicación y

en qué radica su diferencia

D5.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. Al final de la sección se detalla

más específicamente bajo qué condiciones se puede aproximar la distribución binomial a la

Hipergeométrica.


D6.1 Génesis de la distribución. Con respecto a la distribución de Poisson se inicia su estudio

en L5 con la definición de lo que es un experimento de Poisson y lo que es un Proceso de Poisson.

No se deduce la función de masa de probabilidad para esta distribución por considerar que esta

fuera del alcance de L5 sin embargo se menciona que se deriva de las tres propiedades que

cumple el proceso de Poisson.


mediante un histograma de probabilidades el cual se grafica para cierto valor del parámetro 𝜆t

de la distribución.

D6.3 Caracterización de la distribución. La media y la varianza para una variable aleatoria

de Poisson es presentado mediante un teorema el cual se demuestra en la apéndice del libro.

No se menciona la función de distribución acumulativa como tal pero se menciona la sumas de

Poisson, la cuales pueden se calculadas mediante el uso de tablas.

39

D6.4 Ejemplos y ejercicios. Los ejemplos, son todos de aplicación donde calculan

probabilidades de tipo puntual 𝑃(𝑋 = 𝑥), y del tipo 𝑃(𝑋 > 𝑥), donde forzosamente tiene que

utilizar el complemento, 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) por el rango de valores que toma la variable aleatoria

(cero, uno, dos, hasta infinito). Los ejercicios de esta distribución son todos de tipo prácticos.

D6.5 Áreas de aplicación. Cuando se describe el proceso de Poisson son mencionadas las áreas

de aplicación para esta distribución.

D6.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. Otra relación importante que se

destaca en L5 acerca de esta distribución es la relación que guarda esta distribución con la

binomial, dónde mediante un teorema son presentadas las condiciones que debe cumplir la

distribución binomial para que pueda ser utilizada como aproximación de la distribución de

Poisson, es decir bajo qué condiciones se puede emplear una distribución por otra, en este caso

la distribución de Poisson para problemas que involucren la distribución binomial. Lo anterior

es puesto en práctica mediante dos ejemplos.

Distribución Uniforme Discreta (D7)

D7.1 Génesis de la distribución. No hay argumentos relacionados con la génesis de esta

distribución.


fórmula y en un contexto de ejercicio.

D7.3 Caracterización de la distribución. La media y la varianza de la distribución son dejadas

como ejercicios pero no se presentan como tal.

D7.4 Ejemplos y ejercicios. Sólo se mencionan dos ejercicios, uno en el cual se define la

distribución y se pide calcular la media y la varianza de la variable aleatoria con esa distribución

y otro de corte aplicado donde para resolver el problema hay que hacer uso de la distribución

uniforme discreta



Distribución Multinomial (D8).

D8.1 Génesis de la distribución. Se inicia el tratamiento de esta distribución describiendo lo

que es un experimento multinomial y comparándolo con uno binomial posteriormente se

presenta brevemente la forma en la cual se obtiene la función de masa de probabilidad

multivariada tomando en cuenta que se trata de la generalización de la distribución binomial.

40


D8.3 Caracterización de la distribución. Para este caso no aplica, la media, la varianza, etc.

D8.4 Ejemplos y ejercicios. Los ejemplos y ejercicios presentados son principalmente de

aplicación.

D8.5 Áreas de aplicación. Las áreas de aplicación de esta distribución son similares a las áreas

de aplicación de la distribución binomial.

D8.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. A parte de la relación obvia que

existe con la distribución binomial por ser esta una generalización no se menciona alguna otra.

Distribución Hipergeométrica Multivariada (D9).

D9.1 Génesis de la distribución. Se describe la forma en la cual se obtiene la función de masa

de probabilidad multivariada tomando en cuenta que se trata de la generalización de la

distribución Hipergeométrica.

D9.2 Presentación de la distribución. La función de masa de probabilidad multivariada es

presentada directamente mediante fórmula.

D9.3 Caracterización de la distribución. Para este caso no aplica, media, varianza, etc.

D9.4 Ejemplos y ejercicios. Los ejercicios tratados para esta distribución son todos de

aplicación.

D9.5 Áreas de aplicación. Las áreas de aplicación de esta distribución son similares a las áreas

de aplicación de la distribución Hipergeométrica.

D9.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. Sólo se menciona la relación

obvia que existe entre esta distribución y la distribución Hipergeométrica.

Uso de herramientas tecnológicas y otros recursos. Para el tratamiento de las distribuciones

en el libro no se utiliza software sin embargo se trabajan con tablas en el cálculo de sumas de

probabilidades las cuales vienen en el apéndice de la obra.

Observaciones. La distribución de Poisson es la única distribución que es también presentada

mediante un histograma de probabilidades, pues se mencionan algunos ejemplos de esta

distribución para distintos valores de la media.

En resumen, lo encontrado en L5 en relación a las distribuciones de probabilidad para variables

aleatorias discretas se presenta en la siguiente tabla.

41


L5 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10

Génesis Sí

No

enco

ntrad

a

X X X X X X

No

enco

ntrad

a

No

Presentación Fórmula X X X X X X X X

Tabla

Histograma X


Varianza X X X X X

Momentos

F.D.A X

Percentiles

Ejemplos y

ejercicios

Teóricos X

Aplicados X X X X X X X X

Operativos X

Áreas de aplicación Sí X X X X X X X

No

Relación con otras

distribuciones

𝐷𝑖~𝐷𝑗 𝐷2~𝐷1 𝐷3~𝐷4 𝐷4~𝐷3 𝐷5~𝐷2 𝐷6~𝐷2 𝐷8~𝐷2 𝐷9~𝐷5

Uso de

herramientas

Software

Tablas X X

Applet

42

L6 F. Triola, M. (2013). Estadística. México D.F: Pearson.


Las distribuciones que se tratan en L6 son las siguientes:







Distribución Binomial (D2).

D2.1 Génesis de la distribución. La primera distribución en ser tratada en L6 es la distribución

binomial, la cual es presentada mediante una definición en la cual detallan las características

del proceso (experimento) que genera variables aleatorias con esta distribución.

Posteriormente se hacen algunas aclaraciones con respecto a las condiciones de independencia

en el proceso de extracción. Al final de la sección se hace la deducción de la función de masa de

probabilidad.

D2.2 Presentación de la distribución. La distribución en si es presentada mediante una

fórmula en la cual se detallan sus elementos. Cabe resaltar que también es presentada mediante

tablas para valores en específico de los parámetros 𝑛 y 𝑝 , donde para ello se hace uso de

software, entre ellos está el STATSISK, MINITAB, Excel y TI-83/84 Plus y también se hacen uso

de tablas las cuales se encuentran en el apéndice.

D2.3 Caracterización de la distribución. Algunos de los elementos que se revisan para esta

distribución en específico son la media, la varianza y la desviación estándar. Las expresiones

son presentadas y no se incluyen demostraciones de estas.

D2.4 Ejemplos y ejercicios. Los ejemplos que proporciona el libro para esta distribución van

desde problemas puramente operativos hasta problemas que involucran un contexto de

aplicación de la distribución binomial. Cabe resaltar que para la solución de estos problemas se

hace uso de herramientas tecnológicas como programas de cómputo, calculadoras y otros

recursos como tablas, las cuales vienen en el apéndice del libro.

Los ejercicios son de la misma naturaleza que los ejemplos tratados en el libro.

43

D2.5 Áreas de aplicación. Una de las fortalezas de esta referencia es la gama tan amplia de

aplicaciones que involucra en sus problemas. Se ponen de manifiesto áreas de aplicación como

son problemas relacionados con el juego, con medicina, encuestas, mejorad de la calidad, etc.

D2.6 Relación de la distribución con otras distribuciones.

Una de las relaciones que se trata aquí es la relación entre la distribución binomial y la

distribución Hipergeométrica, sobre todo en problemas que involucran muestreo con

reemplazo o bien sin reemplazo.




una fórmula.

D3.3 Caracterización de la distribución. No se presentan más elementos que la función de

masa de probabilidad.

D3.4 Ejemplos y ejercicios. No hay ejemplos para esta distribución. Los ejercicios son variados

y van desde la aplicación de la distribución para el cálculo de probabilidades directamente hasta

problemas que involucran un contexto de práctico.

D3.5 Áreas de aplicación. Se mencionan las mismas que para la distribución binomial

tomando en cuenta las condiciones de la distribución geométrica.

D3.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. De manera implícita se describe

la relación que guarda esta distribución con la distribución binomial


D5.1 Génesis de la distribución. No se detalla.


una fórmula e introducida en un problema el cual viene como ejercicio.

D5.3 Caracterización de la distribución. No se mencionan otros elementos más que la

función de masa de probabilidad para esta distribución.

D5.4 Ejemplos y ejercicios. No vienen ejemplos para esta distribución. Los ejercicios son de

tipo operativo con un contexto aplicado.

44

D5.5 Áreas de aplicación. Se mencionan las mismas áreas de aplicación que la distribución

binomial tomando en cuenta las características de esta distribución.

D5.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. De manera implícita se menciona

la relación de esta distribución con la distribución binomial sobre todo en problemas

relacionados con el muestreo.



D6.2 Presentación de la distribución. La distribución es presentada mediante fórmula no sin

antes introducirla mediante un breve contexto en el cual se detallan las áreas de aplicación que

pueden ser modeladas con esta distribución, entre las cuales destacan el decaimiento

radioactivo, la llegada de personas a una cola de servicio, etc.

D6.3 Caracterización de la distribución. Se menciona la media y la varianza de esta

distribución. Se omiten las demostraciones y los detalles de estos resultados.

D6.4 Ejemplos y ejercicios. Los ejemplos y los ejercicios para esta distribución comprenden

ejercicios operativos y ejercicios aplicados a situaciones prácticas. También se hacen ejercicios

dónde se aproxima la distribución binomial mediante la distribución de Poisson.

D6.5 Áreas de aplicación. Las áreas de aplicación para esta distribución son muy variadas y

se da detalle de esto en la sección de ejercicios.

D6.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. Se trata a detalle las condiciones

bajo las cuales se pude aproximar la distribución binomial por medio de la distribución de

Poisson.



D8.2 Presentación de la distribución. Se presenta directamente mediante fórmula y a partir

de un problema que viene como ejercicio en este libro.

D8.3 Caracterización de la distribución. No se mencionan otros elementos que caractericen

a la función de masa de probabilidad multivariada como pueden ser marginales u objetos de

ese estilo.

D8.4 Ejemplos y ejercicios. No se trata ningún ejemplo de esta distribución. Los ejercicios son

de tipo operativo enmarcados en un contexto de aplicación.

45

D8.5 Áreas de aplicación. Las áreas de aplicación son las mismas que tiene la distribución

binomial tomando en cuenta que esta distribución es una extensión de la primera en el sentido

de que es más general.

D8.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. Se da detalle de la relación que

guarda esta distribución son la distribución binomial.

Uso de herramientas tecnológicas y otros recursos. Se hace uso de software, entre ellos está

el STATSISK, MINITAB, Excel y TI-83/84 Plus y también se hacen uso de tablas las cuales se

encuentran en el apéndice.

Observaciones. Este libro no da tanta importancia a ejercicios de corte teórico sin embargo la

gama de ejemplos y aplicaciones que les da a las distribuciones es digno de resaltarse pues se

puede ver con claridad el uso de estas distribuciones en la vida práctica lo cual es motivante

para el lector.

46


L6 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10

Génesis Sí X

No X X X X


Tabla X

Histograma


Varianza X X

Momentos

F.D.A

Percentiles


Aplicados X X X X X



No

Relación con otras

distribuciones

𝐷𝑖~𝐷𝑗 𝐷2~𝐷5 𝐷3~𝐷2 𝐷5~𝐷2 𝐷6~𝐷2 𝐷2~𝐷8

Uso de herramientas Software X

Tablas X

Applet

47

L7 García Álvarez, M. (2005). Introducción a la teoría de probabilidad. México

D.F: Fondo de Cultura Económica.


En L7 se tratan las siguientes distribuciones:








elementos:

Distribución D2. Distribución Binomial.

D2.1 Génesis de la distribución. La función de masa de probabilidad es presentada

inmediatamente a manera de fórmula y más adelante se da detalle de cómo se obtiene dicha

expresión.

D2.2 Presentación de la distribución. La distribución es presentada inicialmente a manera

de fórmula y también se presentan histogramas de probabilidades dibujados sobre una

distribución continua cuya diferencia radica en utilizar la función gamma en lugar de la

expresión de combinatoria usual.

D2.3 Caracterización de la distribución. Se demuestran los resultados concernientes a la

media y la varianza para dicha distribución además se tratan otros problemas teóricos

relacionados con convergencia en probabilidad y con respecto a la monotonía de la

distribución.

D2.4 Ejemplos y ejercicios. Se tratan dos ejemplos relacionados con esta distribución en un

breve contexto de aplicación. Se tratan otros problemas teóricos interesantes relacionados con

convergencia. Los ejercicios de la sección compren problemas teóricos y de aplicación.

D2.5 Áreas de aplicación. Se da detalle del contexto histórico en el cual se desarrolló esta

distribución y se menciona los problemas que involucran variables aleatorias con distribución

binomial.


48

Distribución D3. Distribución Geométrica.

D3.1 Génesis de la distribución. Inicialmente es presentada la fórmula de la función de masa

de probabilidad y posteriormente se detalla el por qué esta distribución recibe este nombre y

cómo se obtiene la fórmula.

D3.2 Presentación de la distribución. La distribución es presentada a manera de fórmula y

se grafican histogramas de probabilidad sobre una distribución continua, es decir se varía el

valor de 𝑥 sobre un intervalo de números reales en vez de valores enteros.

D3.3 Caracterización de la distribución. No se mencionan otros elementos.

D3.4 Ejemplos y ejercicios. Se revisan dos ejemplos uno de clásico de corte aplicado y otro de

tipo teórico a manera de proposición.

D3.5 Áreas de aplicación. No se mencionan de manera explícita sin embargo los ejemplos dan

cuenta las aplicaciones para dicha distribución.


Distribución D4. Binomial Negativa.

D4.1 Génesis de la distribución. Se presenta inmediatamente la fórmula de la función de masa

de probabilidad, se indica el por qué esta distribución recibe este nombre y se detalla cómo se

obtiene dicha expresión.

D4.2 Presentación de la distribución. La distribución es presentada inicialmente mediante

fórmula pero también mediante histograma de probabilidades graficado sobre una función

continua que no es otra que la misma función de masa de probabilidad de esta distribución pero

intercambiando el coeficiente de combinatoria por la función gamma correspondiente.

D4.3 Caracterización de la distribución. Sólo se menciona una propiedad relacionada con la

monotonía de la función de masa de probabilidad.

D4.4 Ejemplos y ejercicios. Los ejercicios relacionados con esta distribución son aplicados. Se

tratan problemas relacionados con apuestas. En la sección de ejercicios hay de corte teórico y

aplicado.

D4.5 Áreas de aplicación. No se mencionan de manera explícita las áreas de aplicación pero si

la situación general que involucra dicha distribución.

49

D4.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. Se describe cómo puede

obtenerse esta distribución a partir de la distribución binomial.

Distribución D5. Distribución Hipergeométrica.


para esta distribución y se da el argumento (nada sencillo) del por qué esta distribución recibe

este nombre. Posteriormente se explica cómo se obtiene la expresión para la función de masa

de probabilidad.


también mediante histograma de probabilidades el cual es graficado sobre una función

continua como se ha hecho en los casos anteriores.

D5.3 Caracterización de la distribución. Se analizan algunos resultados relacionados con la

monotonía y límites relacionados con esta distribución.

D5.4 Ejemplos y ejercicios. Los ejemplos presentados para esta distribución son ejemplos

clásicos de situaciones donde se emplea la distribución Hipergeométrica, es decir en problemas

de muestreo sin reposición (sin reemplazo). Los ejercicios de la sección incluyen ejercicios de

aplicación y teóricos.

D5.5 Áreas de aplicación. Se menciona el contexto histórico en el que se desarrolló dicha

distribución y las situaciones específicas en las que se presenta.


guarda esta distribución con la distribución binomial y bajo qué condiciones estas

distribuciones son prácticamente iguales.

Distribución D6. Distribución de Poisson.


y se da detalles de cómo puede obtenerse a partir de la distribución binomial y de la distribución

binomial negativa.


también mediante histograma.

50

D6.3 Caracterización de la distribución. Aquí se revisa que otros elementos que caracterizan

a la distribución son considerados, como son la media, la varianza, los momentos, etc.

D6.4 Ejemplos y ejercicios. Se revisan ejemplos de tipo aplicado y algunos de corte teórico.

Los ejercicios de la sección son del mismo tipo.

D6.5 Áreas de aplicación. Se menciona que la distribución de Poisson se aplica de manera

importante para el estudio de eventos que ocurren aleatoriamente en el tiempo.


guarda esta distribución con la distribución binomial negativa, dicho resultado se establece

mediante un teorema. Algo similar se establece con relación a la distribución binomial.

Distribución D7. Distribución Uniforme discreta.


y se hace referencia al por qué de la estructura tan simple de dicha distribución.

D7.2 Presentación de la distribución. La distribución es presentada solamente mediante

fórmula.

D7.3 Caracterización de la distribución. No se mencionan otros elementos.

D7.4 Ejemplos y ejercicios. Los ejemplos para esta distribución están relacionados con

obtener probabilidades de dos variables aleatorias con la misma distribución uniforme.

D7.5 Áreas de aplicación. Las áreas de aplicación comprenden problemas que involucran

probabilidades de varias variables aleatorias.


Uso de herramientas tecnológicas y otros recursos. No se menciona.

Observaciones. Se mencionan también las distribuciones truncadas es decir aquellas en que

se omiten ciertos valores para la variable aleatoria. Por tratarse de un libro de probabilidad se

da mayor realce a resultados teóricos por encima de problemas aplicados sin embargo en la

sección de ejercicios se tratan problemas en este contexto.

51


L7 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10

Génesis Sí

No

enco

ntrad

a

X X X X X X

No

enco

ntrad

a

No

enco

ntrad

a

No

enco

ntrad

a

No


Tabla

Histograma X X X X X X

Caracterización Media y Varianza X

Momentos

F.D.A

Percentiles

Ejemplos y ejercicios Teóricos X X X X

Aplicados X X X X

Operativos

Áreas de aplicación Sí X X X X X X

No

Relación con otras

distribuciones

𝐷𝑖~𝐷𝑗 𝐷4~𝐷2 𝐷5~𝐷2 𝐷6~𝐷2

𝐷6~𝐷4


Tablas

Applet

52

L8 Mendenhall, W., Beaver, R. J., & Beaver, B. M. (2010). Introducción a la

Probabilidad y Estadística. Ciudad de México: Cengage Learning.


A continuación se hace una lista de las distribuciones que se estudian en L8:






D2.1 Génesis de la distribución. La deducción de la función de masa de probabilidad se omite

como tal y se trabaja con problemas muy específicos donde calculan 𝑃(𝑋 = 𝑥) tomando en

cuenta las propiedades de un experimento binomial. Posteriormente se presenta la distribución

y se calcula directamente usando la función de masa de probabilidad.


una fórmula y también se presentan ejemplos donde se construye el histograma de

probabilidades para valores específicos de los parámetros 𝑛 y 𝑝 . Con la construcción del

histograma se analiza el sesgo. Otra forma en la que es presentada la distribución es mediante

una tabla la cual tiene como información los posibles valores que puede tomar la variable

aleatoria y la probabilidad de que tome esos valores. En los ejemplos se varía el parámetro 𝑝 y

se construye la tabla para los mismo valores de 𝑥.

D2.3 Caracterización de la distribución. Entre los elementos que se destacan para esta

distribución de probabilidades están la media y la varianza de la variable aleatoria, la cual es

presentada mediante un teorema donde se omite la demostración. También se abordan

discusiones con respecto al sesgo de la distribución el cual es determinado mediante la

construcción del histograma. Por último también se aborda la función de distribución

acumulativa la cual es descrita mediante una tabla.

D2.4 Ejemplos y ejercicios. Los primeros ejemplos tratados en esta obra comprenden

ejercicios en los cuales se pide identificar si la variable aleatoria cumple con las características

que tiene un experimento binomial. Una vez presentada la distribución de probabilidades de

manera más formal se realizan ejercicios donde se calculan probabilidades de manera directa,

es decir son ejercicios donde se realizan cálculos operativos. En otros ejemplos presentados, se

53

tratan aplicaciones, donde se pide calcular media, varianza, se construyen histogramas, se

trabaja con tablas que dan como información la probabilidades acumulativas para calcular

probabilidades del estilo 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥).

La sección de ejercicios provee de problemas similares a los ejemplos, destacando la gama de

aplicaciones que comprende.

D2.5 Áreas de aplicación. Desde el inicio del tratamiento de esta distribución se recalca la

importancia que tienen para modelar fenómenos con ciertas características particulares, en

especial aquellos fenómenos que involucren el parámetro proporción (𝑝).

En los ejercicios de la sección se puede dar cuenta de las aplicaciones que tiene esta distribución

en diversas áreas, entre las cuales sobresalen aquellas donde se realiza un muestreo con

reemplazo o aquellas donde el tamaño de muestra sea pequeño comparado con el tamaño de la

población.

D2.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. Directamente no se menciona de

la relación de esta distribución con otras distribuciones de probabilidad. Aunque en el

tratamiento de la distribución Hipergeométrica y Poisson sí.


D5.1 Génesis de la distribución. La distribución Hipergeométrica es presentada mediante una

situación que involucra selección de elementos en una urna sin embargo no se realiza una

deducción de la función de masa de probabilidad.

D5.2 Presentación de la distribución. La distribución Hipergeométrica es únicamente

presentada mediante fórmula, de la cual como ya se dijo antes no se realiza una deducción sino

simplemente se menciona el esquema más usual del cual es derivada dicha distribución.

D5.3 Caracterización de la distribución. Aunado a la presentación de la función de masa de

probabilidad se da a conocer la media y la varianza para esta distribución.

D5.4 Ejemplos y ejercicios. Los ejemplos para esta distribución son pocos y son de tipo

operativo donde se calculan probabilidades puntuales o bien sumas de estas probabilidades,

así como también se hace el cálculo de media y varianza para un caso en específico proveniente

de una aplicación.

En los ejercicios de esta sección se manifiesta la variedad de aplicaciones y usos que puede

tener esta distribución. Los ejercicios son de tipo operativo o bien de tipo aplicado.

54

D5.5 Áreas de aplicación. Desde el inicio se destaca la similitud de esta distribución con la

distribución binomial en el sentido de la gama de problemas que se pueden modelar y resolver

utilizando esta distribución.

D5.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. Al inicio de esta sección se hace

un tenue comparativo de experimentos donde la distribución binomial y la Hipergeométrica

tienen cabida y cuál es la sutil diferencia entre ambas, destacando la relación cercana que

guardan.


D6.1 Génesis de la distribución. En esta obra se omite la deducción de la función de masa de

probabilidad para la distribución de Poisson. Sólo se mencionan algunos ejemplos que pueden

ser modelados por esta distribución, los cuales en general tienen que ver con conteo de

resultados en cierto intervalo de tiempo.

D6.2 Presentación de la distribución. La distribución de Poisson es presentada directamente

mediante una fórmula así como también mediante tablas de probabilidades individuales y

acumulativas. También se hacen uso de histogramas para ciertos casos particulares del

parámetro (𝜇) involucrado en esta distribución.

D6.3 Caracterización de la distribución. La media y la varianza de esta distribución son

presentados directamente junto a la función de masa de probabilidad. Otro elemento

importante que se considera es la función de distribución acumulativa la cual es presentada

mediante una tabla para ejemplos en particular.

D6.4 Ejemplos y ejercicios. Los ejercicios que son tomados de ejemplos en esta obra son muy

diversos, empezando desde los más sencillos, donde se tienen que realizar el cálculo de

probabilidades puntuales o bien de sumas de estas probabilidades del tipo 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) o bien

utilizar complementos para calcular 𝑃(𝑋 > 𝑥) , hasta ejercicios más complejos donde se

trabajan aplicaciones o bien donde se tiene que utilizar esta distribución como forma

aproximada de la distribución binomial.

Los ejercicios tratados para esta distribución son similares a los que vienen de ejemplo para

esta sección. No hay ejercicios teóricos o demostrativos.

D6.5 Áreas de aplicación. Esta distribución es puesta en contexto desde el inicio de tu

tratamiento dando diversos ejemplos de procesos que involucran variables aleatorias que

pueden ser modeladas mediante la distribución de Poisson. En la sección de ejercicios también

se da cuenta de ello pues involucran una serie de problemas donde es apropiado el uso de la

distribución de Poisson.

55

D6.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. Para esta distribución se

establecen las condiciones bajo las cuales se puede hacer una aproximación para la distribución

binomial mediante la distribución de Poisson y para reafirmar esto se realizan algunos

ejemplos.

Uso de herramientas tecnológicas y otros recursos. Entre los recursos tecnológicos

empleados en esta obra destaca el uso de software como Minitab, el uso de tablas situadas en

el apéndice del libro así como también el uso de Applets para la solución de ciertos problemas.

Observaciones. El tratamiento que se les da a las 3 distribuciones tratadas en este libro es

introductorio sin embargo la gama de recursos y tipo de ejercicios de la cual se hace recurso

enriquece y facilita la comprensión de estos temas.

Lo encontrado en esta obra se resume a continuación en la siguiente tabla.

56


L8 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10

Génesis Sí

No

enco

ntrad

a

No

enco

ntrad

a

No

enco

ntrad

a

No

enco

ntrad

a

No

enco

ntrad

a

No

enco

ntrad

a

No

enco

ntrad

a

No X X X

Presentación Fórmula X X X

Tabla X X

Histograma X X


Varianza X X X

Momentos

F.D.A X X

Percentiles


Aplicados X X X

Operativos X X X

Áreas de aplicación Sí X X X

No

Relación con otras

distribuciones

𝐷𝑖~𝐷𝑗 𝐷5~𝐷2 𝐷6~𝐷2

Uso de herramientas Software X X

Tablas X X

Applet X X

57

L9 Navidi, W. (2006). Estadística para ingenieros y científicos. Ciudad de

México: Mc Graw Hill.


En L9 se estudian las siguientes distribuciones de probabilidad discretas:









Distribución Bernoulli (D1)

D1.1 Génesis de la distribución. Se inicia el tratamiento de esta distribución describiendo lo

que es un ensayo de Bernoulli y posteriormente haciendo la deducción de la función de masa

de probabilidad la cual es demasiado sencilla.

D1.2 Presentación de la distribución. La distribución de probabilidad es presentada

mediante fórmula y también mediante histograma.

D1.3 Caracterización de la distribución. Otros elementos descriptivos para esta distribución

que son tratadas aquí son la media y la varianza. Dichos resultados son demostrados.

D1.4 Ejemplos y ejercicios. Los ejemplos estudiados para esta distribución son bastante

simples e incluyen problemas sencillos de aplicación en los cuales se realizan cálculos de

probabilidades puntuales y de media y varianza para esta variable aleatoria.

Los problemas de la sección de ejercicios además de tratar los tipos antes mencionados

incluyen ejercicios teóricos.

D1.5 Áreas de aplicación. No se mencionan de manera explícita las área de aplicación para

esta distribución sin embargo los ejercicios de aplicación dan cuenta de ello.

58


guarda esta distribución con la distribución binomial por ser esta última la generalización de la

primera.


D2.1 Génesis de la distribución. Inicialmente se describe lo que es llamado comúnmente

experimento binomial o proceso de Bernoulli el cual determina a una variable aleatoria

binomial, posteriormente se realiza el cálculo de probabilidades para un ejemplo en concreto y

se generaliza el resultado para obtener finalmente la función de masa de probabilidad para esta

distribución.

D2.2 Presentación de la distribución. La distribución de probabilidades es presentada

mediante una fórmula y también es estudiada mediante un histograma de probabilidades para

distintos valores de los parámetros 𝑛 y 𝑝.

D2.3 Caracterización de la distribución. Otros elementos característicos de la distribución

que son estudiados son la media y la varianza. Estos resultados son presentados sin

demostración.

Cabe resaltar que también se presenta un estimador del parámetro 𝑝 poblacional en términos

de una variable aleatoria binomial. También se calcula la media y la varianza de este estimador.

D2.4 Ejemplos y ejercicios. Los ejercicios referentes a esta distribución comprenden los

clásicos ejercicios de aplicación donde se realizan cálculos simples de probabilidades

puntuales, sumas de probabilidades y cálculos de media y varianza para esta distribución.

Los ejercicios comprenden además de los ejercicios antes mencionados ejercicios teóricos.

D2.5 Áreas de aplicación. Principalmente las áreas mencionadas para esta distribución son

aquellas que tienen que ver con problemas de planes de muestreo.

D2.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. Una relación importante que se

menciona entre la distribución Bernoulli y la distribución binomial es que una variable aleatoria

con distribución binomial puede considerarse como la suma de 𝑛 variables aleatorias con

distribución Bernoulli.


D3.1 Génesis de la distribución. Se describe muy brevemente la variable aleatoria

involucrada y se trata un ejemplo. Posteriormente se generaliza esta idea y se presenta la

función de masa de probabilidad.

59

D3.2 Presentación de la distribución. La distribución se presentan directamente mediante

una fórmula y con esta se trabajan los ejemplos y ejercicios.

D3.3 Caracterización de la distribución. Se menciona la media y la varianza para esta

distribución sin embargo no se da información sobre las demostraciones de estos resultados.

D3.4 Ejemplos y ejercicios. Se tratan solamente dos ejemplos para esta distribución en un

breve contexto de aplicación en los cuales se deben calcular probabilidades puntuales de la

variable aleatoria en cuestión.

D3.5 Áreas de aplicación. No se mencionan áreas de aplicación de manera abierta o explícita

sin embargo los ejercicios a resolver son de carácter aplicado lo cual da cuenta de ello.

D3.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. Sé menciona la relación de esta

variable aleatoria con la distribución binomial negativa.


D4.1 Génesis de la distribución. Se menciona que esta distribución es una extensión de la

distribución geométrica. El método para generar la función de masa de probabilidad para ésta

variable aleatoria es el mismo que se ha usado anteriormente, es decir se procede en base a un

ejemplo muy particular y posteriormente se generaliza la situación y se deduce la función de

masa de probabilidad.

D4.2 Presentación de la distribución. La forma en la que es presentada la distribución es

como en casos anteriores a manera de fórmula.

D4.3 Caracterización de la distribución. A parte de la función de masa de probabilidad para

esta variable aleatoria se estudia la media y la varianza. La media y la varianza son obtenidas

tomando en cuenta los resultados para la distribución geométrica, pues se demuestra que una

variable aleatoria con distribución binomial negativa puede verse como la suma de variables

aleatorias independientes con distribución geométrica.

D4.4 Ejemplos y ejercicios. Se revisan pocos ejercicios para esta distribución. Los ejercicios y

ejemplos son simples en los cuales se calculan probabilidades puntuales y otras veces la media

y la varianza para una variable aleatoria con esta distribución de probabilidad.

D4.5 Áreas de aplicación. Cómo en los casos anteriores no se describe de manera explícita que

aplicaciones tiene esta distribución pero los ejercicios de aplicación brindan de alguna manera

esta información.

D4.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. Cabe resaltar que se describe a la

variable aleatoria binomial negativa como una suma de variables aleatorias geométricas.

60


D5.1 Génesis de la distribución. Se describen las características que tiene una variable

aleatoria con distribución Hipergeométrica y las similitudes con la distribución binomial. Para

realizar la deducción de la función de masa de probabilidad para este caso se realiza el cálculo

de cierta probabilidad puntual la cual es calculada en términos de combinatorias.

Posteriormente se describe una situación más general y se utilizan las mismas ideas para

determinar la función de masa de probabilidad.

D5.2 Presentación de la distribución. La distribución es presentada por medio de la función

de masa de probabilidad y ésta presentación es la única tratada en los problemas.

D5.3 Caracterización de la distribución. Otros elementos además de la función de masa de

probabilidad que son estudiados para esta distribución son la media y la varianza. Estos dos

resultados se incluyen sin demostración.

D5.4 Ejemplos y ejercicios. Los ejemplos resueltos para esta distribución comprenden

ejercicios operativos en cierto contexto de aplicación. Son ejercicios bastante sencillos en

dificultad donde sólo se aplica la fórmula. De igual manera se realizan algunos similares donde

se calcula la media y la varianza para una variable aleatoria con esta distribución.

Los ejercicios a resolver son similares. No se incluyen ejercicios teóricos.

D5.5 Áreas de aplicación. No se menciona como tal las áreas de aplicación sin embargo los

ejercicios dan muestra de éstas áreas de aplicación. Las áreas de aplicación son similares a las

de la distribución binomial.

D5.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. Se realiza una comparación de

esta distribución con la distribución binomial. Se describe bajo qué condiciones la distribución

binomial puede ser una buena aproximación de la distribución Hipergeométrica.


D6.1 Génesis de la distribución. La deducción de la función de masa de probabilidad para esta

distribución no se detalla sin embargo a grandes rasgos se explica cómo puede deducirse a

partir de la función de masa de probabilidad de una variable aleatoria con distribución

binomial.

D6.2 Presentación de la distribución. Se menciona que a partir de la distribución binomial

puede obtenerse una nueva distribución la cual es la distribución de Poisson y esta se presenta

directamente mediante una fórmula.

61

También se trata a manera de histograma y se hace una comparación de la distribución

binominal y la aproximación mediante la distribución de Poisson.

D6.3 Caracterización de la distribución. La media y la varianza se presentan como resultados

que posteriormente son demostrados a detalle.

D6.4 Ejemplos y ejercicios. Los ejemplos revisados incluyen problemas de aplicación donde

se realizan cálculo de probabilidades puntuales, sumas de estas probabilidades, y cálculos de

media y varianza. También se realizan algunos ejemplos donde se tratan problemas de

estimación del parámetro 𝜆 para esta distribución.

Los ejercicios para esta distribución son del mismo tipo que los ejemplos.

D6.5 Áreas de aplicación. Se mencionan muchas áreas de aplicación para esta distribución, entre los ejemplos está el número de visitas a un sitio web, el número de accidentes de tráfico en una intersección y el número de árboles en una sección del bosque, etc.

D6.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. Cómo ya se mencionó antes la

distribución binomial y la distribución de Poisson están íntimamente ligadas pues se pueden

realizar aproximaciones de la distribución binomial mediante la distribución de Poisson.

Distribución Multinomial (D8)

D8.1 Génesis de la distribución. Se hace una analogía con la distribución binomial para

resaltar sus similitudes y diferencias, a partir de esto se deduce la función de masa de

probabilidad multivariada.

D8.2 Presentación de la distribución. Se presenta la distribución directamente mediante

fórmula.

D8.3 Caracterización de la distribución. No se mencionan otros elementos a parte de la

función de masa de probabilidad multivariada.

D8.4 Ejemplos y ejercicios. Los ejemplos y los ejercicios son operativos con un breve contexto

de aplicación.

D8.5 Áreas de aplicación. Las áreas de aplicación no se mencionan explícitamente pero se

menciona que esta distribución es una generalización de la distribución binomial por lo que las

áreas de aplicación son similares.

D8.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. Se describe la relación obvia que

guarda esta distribución con la distribución binomial por ser la primera una generalización de

la segunda.

62

Uso de herramientas tecnológicas y otros recursos. El libro contiene sólo tablas de la

distribución binomial para calcular sumas de probabilidades sin embargo no se mencionan en

la sección de ejercicios.

Observaciones. Parte importante del enfoque del libro es el hecho de que vincula la mayoría

de las distribuciones. Se le da tratamiento preponderante a la distribución binomial y Poisson.

63


L9 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10

Génesis Sí X X X X X X

No

enco

ntrad

a

X

No

enco

ntrad

a

No

enco

ntrad

a

No

Presentación Fórmula X X X X X X X

Tabla

Histograma X X


Varianza X X X X X X

Momentos

F.D.A

Percentiles

Ejemplos y ejercicios Teóricos X X X

Aplicados X X X X X

Operativos X X X X X X X

Áreas de aplicación Sí X X X X X X X

No

Relación con otras

distribuciones

𝐷𝑖~𝐷𝑗 𝐷1~𝐷2 𝐷2~𝐷1 𝐷3~𝐷4 𝐷4~𝐷3 𝐷5~𝐷2 𝐷6~𝐷2 𝐷8~𝐷2


Tablas X

Applet

64

L10 Ross, S. M. (2006). A first course in probability. Boston: Pearson.


A continuación enlisto las distribuciones encontradas en L10:







D10. Distribución Hipergeométrica Negativa.


Distribución D1. Distribución Bernoulli.

D1.1 Génesis de la distribución. Se describe el proceso que da lugar a esta variable aleatoria

y a partir de esto se presenta la distribución.

D1.2 Presentación de la distribución. La distribución es presentada mediante tabla

básicamente pues se presentan los dos valores que puede tomar la variable aleatoria, así como

la probabilidad de que tome estos valores.

D1.3 Caracterización de la distribución. Esta distribución es tratada más bien como

preámbulo para el tratamiento de la distribución binomial la cual es una generalización de esta

primera.

D1.4 Ejemplos y ejercicios. No hay, no se trata ninguno.

D1.5 Áreas de aplicación. No se mencionan de manera explícita.

D1.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. Se menciona la relación trivial

que tiene esta distribución con la distribución binomial.

Distribución D2. Distribución Binomial.

D2.1 Génesis de la distribución. Se presenta primero la función de masa de probabilidad de

esta distribución y se da detalle del por qué la función de masa de probabilidad presenta esta

65

estructura haciendo referencia a la independencia de los evento y al número de formas de

seleccionar 𝑖 éxitos en 𝑛 ensayos.

D2.2 Presentación de la distribución. Esta distribución es presentada inicialmente mediante

fórmula pero también se presenta mediante tabla, indicando todos los posibles valores que

puede tomar la variable aleatoria así como la probabilidad de que la variable aleatoria tome

esos valores. Otra forma en la que es abordada esta distribución es a manera de histograma

para ciertos valores de los parámetros 𝑛 y 𝑝 de esta distribución.

D2.3 Caracterización de la distribución. Se obtiene la media y la varianza para una variable

aleatoria con distribución binomial con parámetros 𝑛 y 𝑝 mediante el cálculo directo de la

expresión 𝐸[𝑋𝑘]. Se mencionan algunas otras propiedades de esta distribución relacionadas

con la monotonía.

D2.4 Ejemplos y ejercicios. Básicamente los ejemplos y ejercicios tratados para esta

distribución comprenden problemas aplicados y ejercicios teóricos. También se incluyen

ejercicios puramente operativos.

D2.5 Áreas de aplicación. No se detalla específicamente qué áreas de aplicación están

relacionadas con esta distribución sin embargo el tipo de ejemplos, ejercicios y problemas

tratados dan cuenta de ello de manera implícita.


obvia de esta distribución con la distribución Bernoulli.

Distribución D3. Distribución Geométrica.

D3.1 Génesis de la distribución. Se presenta la función de masa de probabilidad y se describe

a grandes rasgos como se obtiene.

D3.2 Presentación de la distribución. Se presenta y se trata esta distribución sólo a manera

de fórmula.

D3.3 Caracterización de la distribución. Se realiza la demostración de la media y la varianza

para esta distribución.

D3.4 Ejemplos y ejercicios. Los ejemplos presentados para esta distribución son pocos y la

mayoría son teóricos. Los ejercicios para esta distribución incluyen una gama amplia, pasando

por ejercicios teóricos, aplicados y puramente operativos.

D3.5 Áreas de aplicación. No se menciona de manera explícita.

66

D3.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. No se menciona más que la

relación obvia con la distribución binomial negativa.

Distribución D4. Distribución Binomial Negativa.

D4.1 Génesis de la distribución. Se presenta la función de masa de probabilidad para esta

distribución y a continuación se detalla a grandes rasgos como se obtiene esta función.

D4.2 Presentación de la distribución. La distribución es presentada y utilizada en términos

de fórmula, no se emplean tablas ni histogramas para darles uso.

D4.3 Caracterización de la distribución. Se demuestran resultados relacionados con la media

y la varianza de una variable aleatoria con esta distribución, para realizar dicha demostración

se hace uso de los resultados ya obtenidos para la distribución geométrica.

D4.4 Ejemplos y ejercicios. Los ejemplos revisados para esta distribución son todos de corte

teórico, además de interesantes. Los ejercicios abarcan una gama amplia desde ejercicios

puramente operativos hasta ejercicios en un breve contexto de aplicación, además de ejercicios

teóricos interesantes.

D4.5 Áreas de aplicación. No se menciona de manera explícita sin embargo los ejercicios de la

sección dan idea de las áreas de aplicación.

D4.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. Una importante relación que se

menciona para esta distribución es que una variable aleatoria con distribución binomial

negativa puede ser vista como una suma de variables aleatorias con distribución geométrica.

Distribución D5. Distribución Hipergeométrica.

D5.1 Génesis de la distribución. Se presenta primero la función de masa de probabilidad para

esta distribución y después se describe brevemente como se obtiene.

D5.2 Presentación de la distribución. La única presentación de la distribución es a manera

de fórmula, no se presentan tablas ni histogramas para esta distribución.

D5.3 Caracterización de la distribución. Se demuestran resultados relacionados con la media

y la varianza para una variable aleatoria con esta distribución.

D5.4 Ejemplos y ejercicios. Los ejemplos tratados en la sección para esta distribución son

todos teóricos. Los ejercicios son de varios tipos, desde puramente operativos, pasando por

aplicaciones hasta ejercicios teóricos.

67

D5.5 Áreas de aplicación. No se mencionan de manera explícita las áreas de aplicación para

esta distribución sin embargo la amplia gama de ejercicios tratados dan idea de cuáles son éstas

áreas.

D5.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. Se menciona como está

relacionada esta distribución con la distribución binomial.

Distribución D6. Distribución de Poisson.

D6.1 Génesis de la distribución. La distribución es presentada directamente mediante

fórmula sin embargo se describe su obtención a partir de la distribución binomial en el caso de

que 𝑛 sea muy grande y 𝑝 sea muy pequeña.

D6.2 Presentación de la distribución. La distribución es presentada y tratada siempre en los

problemas mediante fórmula. No se presentan histogramas. En este caso las tablas no son

prácticas por el rango de variación en teoría infinito para los valores que puede tomar la

variable aleatoria.

D6.3 Caracterización de la distribución. Se demuestran la media y la varianza de la variable

aleatoria.

D6.4 Ejemplos y ejercicios. Se presentan una gama amplia de ejemplos sobre todo de corte

teórico bastante interesantes. También se tratan algunos ejercicios de aplicación para esta

distribución. En relación a los ejercicios para esta distribución se incluyen ejercicios puramente

operativos, ejercicios de aplicación y teóricos.

D6.5 Áreas de aplicación. Se dan muchos ejemplos de las áreas de aplicación para esta

distribución, se mencionan sobre todo los que involucran al proceso de Poisson, como son el

número de personas en una comunidad que sobreviven a los 100 años, el número de clientes

que entran a una oficina postal en un día determinado, etc.

D6.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. Se menciona la relación existente

de esta distribución con la distribución binomial y cómo puede aproximarse esta última

distribución con la primera.

Distribución D10. Hipergeométrica Negativa.

D10.1 Génesis de la distribución. No se menciona como se obtiene la función de masa de

probabilidad.

D10.2 Presentación de la distribución. Se presenta directamente mediante fórmula.

68

D10.3 Caracterización de la distribución. Se presenta la media y la varianza para una variable

aleatoria con esta distribución

D10.4 Ejemplos y ejercicios. No se trata ninguno.



Uso de herramientas tecnológicas y otros recursos. Se utiliza en algunos casos una

calculadora la cual realiza cálculos de probabilidades puntuales para distintas distribuciones.

Observaciones. Se menciona de manera muy breve otra distribución, la distribución Zeta. Esta

distribución no es comúnmente tratada en los libros de probabilidad y estadística.

Cabe resaltar que los ejercicios proporcionados por este libro son más orientados a lo teórico

quizá por tratarse de un libro de probabilidad. Los ejercicios son bastante interesantes. Otros

apartados en la sección de ejercicios incluyen ejercicios de tipo operativo y con breves

contextos de aplicación.

69


L10 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10

Génesis Sí X X X X X X

No

enco

ntrad

a

No

enco

ntrad

a

No

enco

ntrad

a

No X


Tabla X

Histograma X

Caracterización Media y Varianza X X X X X

Momentos

F.D.A.

Percentiles


Aplicados X X X X X



No

Relación con otras

distribuciones

𝐷𝑖~𝐷𝑗 𝐷1~𝐷2

𝐷2~𝐷1 𝐷3~𝐷4 𝐷4~𝐷3 𝐷5~𝐷2 𝐷6~𝐷2

Uso de herramientas Software X X X X X

Tablas

Applet

70

L11 Sotomayor, G. V. (2005). Estadística con excel. Ciudad de México: Trillas.


Las distribuciones de probabilidad que presenta L11 son las siguientes:








D2.1 Génesis de la distribución. Se describe brevemente el contexto en el que se involucra a

esta distribución, y se da cuenta de la naturaleza del experimento aleatorio involucrado,

resaltando el hecho de que esta distribución involucra experimentos donde se realiza un

muestreo con reemplazo. Posteriormente se da la distribución aunque no se precisa la forma

en la que se obtiene dicha expresión.


fórmula describiendo todos sus elementos (parámetros involucrados, notaciones, símbolos,

etc).

Otra forma en la que es presentada esta distribución es mediante un histograma de

probabilidades el cual se realiza para ciertos valores de los parámetros 𝑛 y 𝑝 de la distribución.

D2.3 Caracterización de la distribución. Se da la expresión para calcular la moda de los datos

los cuales tienen distribución binomial y se realiza un ejercicio para determinarla. Otros

elementos que se tratan para esta distribución son la media, la varianza y el sesgo. Cabe resaltar

que estas expresiones se dan sin demostración, es decir sólo son presentadas como resultados.

D2.4 Ejemplos y ejercicios. Los ejemplos revisados para esta distribución incluyen problemas

básicamente operativos dónde se debe calcular la moda para ciertos valores con distribución

binomial algunos otros ejercicios donde se deben de realizar sumas de probabilidades

puntuales, es decir se debe de calcular el acumulados, así como también se incluyen ejercicios

donde se pide calcular probabilidades puntuales mediante la utilización de las diferencias de

sumas acumuladas. Los cálculos anteriores son realizados con ayuda de software,

específicamente el Excel.

71

En otra sección más amplia de ejemplos se incluyen ejercicios más complejos en cuanto a

dificultad los cuales requieren un poco más de análisis para ser resueltos. Esta última sección

de ejercicios da una idea más amplia de las áreas de aplicación de esta distribución.

En cuanto a los ejercicios de la sección para resolver se incluyen ejercicios de todo tipo,

ejercicios puramente operativos, ejercicios para resolver con ayuda de software, ejercicios

aplicados y ejercicios teóricos.

D2.5 Áreas de aplicación. Se mencionan como área de aplicación aquellas que involucran

experimentos dicotómicos y aquellas donde se realiza un muestreo con reemplazo. De manera

implícita los ejercicios dan cuenta de las áreas de aplicación de esta distribución.

D2.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. No se menciona de manera

explícita la relación de esta distribución con otras distribuciones.


D3.1 Génesis de la distribución. No se realiza la deducción de la función de masa de

probabilidad sin embargo se presenta y se detallan sus elementos más importantes, es decir se

describen los parámetros y se da el rango de variación para la variable aleatoria.

D3.2 Presentación de la distribución. Se refiere a la forma en la cual es presentada la

distribución en sí, si es mediante tabla, fórmula, histograma, etc.

D3.3 Caracterización de la distribución. Algunos elementos importantes que se consideran

de esta distribución son la media, la varianza, los momentos, la moda. Todos son presentados

directamente mediante la expresión correspondiente pero sin demostración. Cabe resaltar que

se presenta la función de distribución acumulada para esta distribución.

D3.4 Ejemplos y ejercicios. Con respecto a los ejemplos tratados para esta distribución se

incluyen ejercicios donde se realiza el cálculo de probabilidades puntuales en un contexto de

aplicación sencilla y ejercicios que se resuelven con ayuda de software (Excel). La sección de

ejercicios es muy variada, incluye ejercicios sencillos donde se realizan simples cálculos de

probabilidades puntuales, donde se realizan sumas de estas probabilidades puntuales, estos en

un contexto de aplicación sencilla y en contextos más complejos. También se incluyen varios

ejercicios de corte teórico.

D3.5 Áreas de aplicación. No se mencionan las áreas de aplicación de esta distribución de

manera explícita sin embargo se describe bajo qué circunstancias se emplea.

D3.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. No se mencionan relación de esta

distribución con otras más que la relación obvia que existe con la distribución binomial

negativa.

72


D4.1 Génesis de la distribución. No se realiza la deducción de la función de masa de

probabilidad sin embargo se presenta la distribución y se describen los elementos que la

integran.

D4.2 Presentación de la distribución. La distribución es presentada inicialmente mediante

una fórmula y posteriormente también se realizan tablas e histogramas para casos particulares

de esta distribución.

D4.3 Caracterización de la distribución. Algunos elementos importantes que se consideran

de esta distribución son la media, la varianza, los momentos, la moda. Todos son presentados

directamente mediante la expresión correspondiente pero sin demostración.

D4.4 Ejemplos y ejercicios. Con respecto a los ejemplos tratados para esta distribución se

incluyen ejercicios donde se realiza el cálculo de probabilidades puntuales en un contexto de

aplicación sencilla y ejercicios que se resuelven con ayuda de software (Excel). La sección de

ejercicios es muy variada, incluye ejercicios sencillos donde se realizan simples cálculos de

probabilidades puntuales, donde se realizan sumas de estas probabilidades puntuales, estos en

un contexto de aplicación sencilla y en contextos más complejos. También se incluyen varios

ejercicios de corte teórico.

D4.5 Áreas de aplicación. No se mencionan abiertamente las áreas de aplicación de esta

distribución sin embargo los ejercicios para esta distribución dan cuenta de ello.

D4.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. No se menciona la relación que

tiene con otras distribuciones más que la relación obvia que tiene con la distribución

geométrica.


D5.1 Génesis de la distribución. Se describe esta distribución haciendo referencia al muestreo

sin reposición y haciendo un contraste con la distribución binomial la cual involucra el

muestreo con reposición. Finalmente se presenta la distribución sin dar tantos detalles de su

construcción.


fórmula y se describen los parámetros que involucra dicha distribución así como el rango de

valores que puede tomar la variable aleatoria.

D5.3 Caracterización de la distribución. Para esta distribución se dan las expresiones de la

media y la varianza (sin demostración) y se comparan con las de la distribución binomial.

También se trata la moda para esta distribución aunque no se menciona como se obtiene dicha

73

expresión. Se menciona también la cantidad llamada “factor de corrección” utilizada

ampliamente en teoría del muestreo.

D5.4 Ejemplos y ejercicios. Se realizan ejemplos operativos donde se hacen simples cálculos

de probabilidades puntuales. También se hacen ejercicios donde se trabajan ambos esquemas

de extracción, con reposición y sin reposición y se comparan resultados.

Los ejercicios de esta distribución son básicamente ejercicios de aplicación donde se realizan

cálculos puntuales de probabilidades así como sumas de estas probabilidades puntuales. En

algunos ejercicios se pide calcular la media, moda, varianza, etc.

Se dan las instrucciones para hacer los cálculos respectivos mediante una hoja de cálculo de

Excel.

D5.5 Áreas de aplicación. La principal área de aplicación mencionada para esta distribución

la constituye el esquema clásico de muestreo donde la extracción se realiza sin reposición.


existe entre esta distribución y la distribución binomial en el sentido de que ésta distribución

es prácticamente igual a la distribución binomial si a medida de que 𝑁 es mucho mayor que 𝑛.


D6.1 Génesis de la distribución. No se dan detalles de la deducción de la función de masa de

probabilidad para una variable aleatoria con distribución de Poisson, sólo se mencionan

ejemplos de sucesos o eventos de Poisson.

D6.2 Presentación de la distribución. La distribución es presentada directamente y sin más

detalles mediante fórmula dando cuenta del parámetro de la distribución y del rango de valores

para la variable aleatoria. También se realizan tablas e histogramas para esta distribución.

D6.3 Caracterización de la distribución. Con respecto a esta distribución se da la expresión

para la media, la varianza y la moda. Estas expresiones se dan sin demostración. Otra propiedad

importante que se destaca es en qué sentido puede aproximarse la distribución binomial y la

distribución Hipergeométrica a la Poisson.

D6.4 Ejemplos y ejercicios. Se realizan ejemplos operativos donde se aproxima la distribución

binomial mediante la distribución de Poisson y otros con ayuda de software donde se calculan

probabilidades puntuales y sumas de estas probabilidades puntuales con ayuda de la hoja de

cálculo de Excel.

En los ejercicios de la sección se tratan también ejercicios de corte teórico, por ejemplo en los

cuales se deben determinar el sesgo y la curtosis.

74

D6.5 Áreas de aplicación. Se mencionan cómo ejemplos donde interviene esta distribución

aquellos que están relacionados con el flujo de sucesos de Poisson. Algunos ejemplos concretos

mencionados son el número de llamadas telefónicas que recibe una persona por unidad de

tiempo, el número de clientes que visita una tienda en cierta unidad de tiempo, etc.

D6.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. Se menciona en qué sentido la

distribución binomial y la distribución Hipergeométrica tienen como forma límite a la

distribución de Poisson.

Uso de herramientas tecnológicas y otros recursos. Se utiliza el Excel para generar tablas, e

histogramas de esta distribución.

Observaciones. Uno de los aspectos más importantes de este libro es la gran variedad de

ejemplos y ejercicios que contiene los que van desde ejercicios bastante sencillos hasta

ejercicios más complejos los cuales pueden ser puramente algebraicos u operativos hasta

ejercicios que involucran un contexto de aplicación. Este libro (en comparación con los otros

revisados) es de los pocos que involucra sesgo, curtosis, momentos, moda para las

distribuciones.

75


L11 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10

Génesis Sí

No

enco

ntrad

a

No

enco

ntrad

a

No

enco

ntrad

a

No

enco

ntrad

a

No

enco

ntrad

a

No X X X X X


Tabla X X X

Histograma X X X X

Caracterización Media y Varianza X X X X X

Momentos X X X

F.D.A.

Percentiles


Aplicados X X X X X



No

Relación con otras distribuciones 𝐷𝑖~𝐷𝑗 𝐷2~𝐷6

𝐷3~𝐷4 𝐷4~𝐷3 𝐷5~𝐷2 𝐷6~𝐷2


Tablas

Applet

76

L12 Spiegel, M. R., & Stephens, L. J. (2009). Estadística. Ciudad de México:

Schaum.


Las distribuciones encontradas en L12 fueron las siguientes:






D2.1 Génesis de la distribución. Con respecto a esta distribución no se trata nada relacionado

con la deducción de la función de masa de probabilidad.


una fórmula.

D2.3 Caracterización de la distribución. Junta a la distribución es presentada la media, la

varianza, el sesgo y la curtosis por medio de una fórmula y sin contexto alguno.

D2.4 Ejemplos y ejercicios. Los ejemplos revisados para esta distribución comprenden

únicamente ejercicios de tipo operativo.

Los ejercicios en su mayoría son también de tipo operativo y algunos problemas de aplicación.

D2.5 Áreas de aplicación. Como tal el libro no menciona abiertamente cuales son las áreas de

aplicación de estas distribuciones, quizá por el hecho de que es un libro enfocado más a la

realización de ejercicios.

D2.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. En este libro se estudia la relación

que guarda la distribución binomial con la normal y bajo qué condiciones se puede utilizar la

distribución normal para aproximar la distribución binomial.


D6.1 Génesis de la distribución. No se presenta nada relacionado con la deducción dela

función de masa de probabilidad para la distribución de Poisson.

77

D6.2 Presentación de la distribución. La distribución es presentada únicamente mediante

una fórmula.

D6.3 Caracterización de la distribución. Para esta distribución además de la función de masa

de probabilidad son también presentadas la media, la varianza, la curtosis y el sesgo.

D6.4 Ejemplos y ejercicios. Tanto ejemplos como ejercicios en su mayoría son puramente

operativos aunque también se tratan algunos problemas de aplicación.

D6.5 Áreas de aplicación. No se mencionan las áreas de aplicación de esta distribución.

D6.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. Para esta distribución se dan a

conocer las condiciones bajo las cuales se puede aproximar la distribución de Poisson a la

binomial.

Distribución Multinomial (D8)

D8.1 Génesis de la distribución. No se describe como se obtiene esta distribución sino más

bien es presentada directamente.

D8.2 Presentación de la distribución. La distribución multivariada correspondiente es

presentada directamente mediante una fórmula.

D8.3 Caracterización de la distribución. No hay más información de esta distribución.

D8.4 Ejemplos y ejercicios. Los ejemplos y ejercicios para esta distribución son en su mayoría

operativos y se tratan algunos aplicados.

D8.5 Áreas de aplicación. No se da parte de las áreas de aplicación de esta distribución.

D8.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. No se menciona alguna otra

relación de esta distribución con las demás distribuciones.

Uso de herramientas tecnológicas y otros recursos. Como apoyo para la realización de

cálculos en los ejercicios es utilizado el Excel y el Minitab.

Observaciones. Este libro sólo contiene 3 distribuciones de probabilidad discretas y estas se

vinculan muy de cerca con la distribución normal. La mayoría de los ejercicios son operativos.

78


L12 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10

Génesis Sí

No

enco

ntrad

a

No

enco

ntrad

a

No

enco

ntrad

a

No

enco

ntrad

a

N

o en

con

trada

No

enco

ntrad

a

No X X X

Presentación Fórmula X X X

Tabla

Histograma

Caracterización Media y Varianza X X

Momentos X X

F.D.A

Percentiles


Aplicados X X X

Operativos X X X

Áreas de aplicación Sí

No

Relación con otras

distribuciones

𝐷𝑖~𝐷𝑗 𝐷2~𝐷6

𝐷2~𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙

𝐷6~𝐷2

Uso de herramientas Software X X X

Tablas

Applet

79

L13 Wackerly, D. D., Mendenhall, W., & Scheafer, R. L. (2010). Estadística

Matemática con Aplicaciones. Ciudad de México: Cengage Learning.


Las distribuciones presentadas aquí son las siguientes:








D2.1 Génesis de la distribución. Se realiza la deducción de función de masa de probabilidad

tomando en cuenta la suma de todos los puntos muestrales asociados al evento determinado

por el valor que toma la variable aleatoria correspondiente.

D2.2 Presentación de la distribución. La distribución es presentada mediante una fórmula

sin embargo también se construyen histogramas para describirla tomando diferentes valores

de los parámetros 𝑛 y 𝑝.

D2.3 Caracterización de la distribución. Mediante un teorema (el cual se demuestra) son

presentadas la esperanza y la varianza de la variable aleatoria con distribución binomial.

D2.4 Ejemplos y ejercicios. Los primeros ejemplos tratados corresponden a ejercicios

referentes a la identificación de situaciones que involucren experimentos binomiales. Los

demás ejemplos de esta sección son problemas relacionados con el cálculo de probabilidades

puntuales o bien de sumas de probabilidades los cuales describen alguna situación práctica.

Los ejercicios de la sección son variados, hay ejercicios meramente operativos, ejercicios

aplicados y otros de corte teórico en los cuales se pide demostrar algún resultado relacionado

con la distribución binomial.

Cabe resaltar que en algunos ejercicios se propone el uso de software, como R o S-Plus.

D2.5 Áreas de aplicación. Al inicio de la sección se detallan las características de un

experimento binomial y por lo tanto se describen aquellas situaciones que pueden ser

80

modeladas bajo este esquema. Los ejercicios y los ejemplos referentes a esta distribución

también dan muestra de las áreas de aplicación de la distribución aunque en forma implícita.


guarda esta distribución con la distribución geométrica, más específicamente con los

experimentos binomiales.


D3.1 Génesis de la distribución. Se deduce la función de masa de probabilidad para esta

distribución utilizando un método análogo al utilizado en la deducción de la distribución

binomial.

D3.2 Presentación de la distribución. La distribución se presenta mediante una fórmula y

también es tratada mediante histogramas para distintos valores del parámetro 𝑝.

D3.3 Caracterización de la distribución. La media y la varianza para esta distribución de

probabilidades son presentadas mediante un teorema donde se demuestran estos resultados.

D3.4 Ejemplos y ejercicios. Los ejemplos tratados corresponden a problemas aplicados donde

se calculan sumas de probabilidades puntuales, así como también problemas que involucran el

cálculo de la media y la varianza de la distribución en un contexto de aplicación.

Los ejercicios van más allá incluyendo problemas en los cuales se pide demostrar algún

resultado que involucra a tal distribución.

En los ejemplos también se recomiendo el uso de paquetes como el R o el S-Plus para el cálculo

de probabilidades individuales y suma de estas.

D3.5 Áreas de aplicación. Se da cuenta de las áreas de aplicación para esta distribución entre

las cuales destacan el modelado de distribuciones de tiempos de espera. Los ejercicios y los

ejemplos de esta distribución también de manera implícita determinan las áreas de aplicación

de la distribución geométrica.

D3.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. Como ya se mencionó antes se da

detalle de la relación que guarda esta distribución con la distribución binomial.


D4.1 Génesis de la distribución. Se deduce la función de masa de probabilidad para esta

distribución utilizando las mismas ideas que las dos distribuciones anteriores.

81

D4.2 Presentación de la distribución. Una vez hecha la deducción de la función de masa de

probabilidad se presenta la distribución mediante fórmula.

D4.3 Caracterización de la distribución. La media y la varianza para esta distribución es

presentada mediante un teorema el cual se demuestra.

D4.4 Ejemplos y ejercicios. Sólo se revisan dos ejercicios para esta distribución los cuales

tienen un contexto aplicado en los cuales se realizan cálculos de probabilidades puntuales y de

le media y la varianza.

Se recomienda el uso de software para esta distribución, entre los cuales destaca el R o el S-

Plus.

D4.5 Áreas de aplicación. Las áreas de aplicación para esta distribución son similares a las de

la distribución binomial y a la geométrica.


obvia con la distribución geométrica.


D5.1 Génesis de la distribución. La función de masa de probabilidad se obtiene haciendo uso

de argumentos de combinatoria o bien utilizando el mismo método que se utilizó para la

deducción de la función de masa de probabilidad para las distribuciones anteriores.

D5.2 Presentación de la distribución. Esta se presenta mediante fórmula directamente y

posterior a la deducción de la función de masa de probabilidad correspondiente.

D5.3 Caracterización de la distribución. La media y la varianza se presentan mediante un

teorema y el argumento para demostrar estos resultados se basa en la comparación de esta

distribución con la distribución binomial.

D5.4 Ejemplos y ejercicios. Los ejemplos tratados para esta distribución comprenden

problemas aplicados donde se calculan probabilidades puntuales o bien sumas de estas

probabilidades. Los ejercicios de la sección, además de ejercicios operativos y aplicados

comprenden ejercicios teóricos.

D5.5 Áreas de aplicación. Las áreas de aplicación para esta distribución no son mencionadas

de manera explícita pero los ejercicios aplicados dan cuenta de esto.

D5.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. Se menciona la relación

importante de esta distribución con la distribución binomial destacando el hecho de que la

82

distribución Hipergeométrica converge a la distribución binomial cuando el parámetro 𝑁 de la

distribución tiende a infinito.


D6.1 Génesis de la distribución. La función de masa de probabilidad se deduce a partir de una

situación particular en la cual inicialmente se utiliza la distribución binomial, es decir la

distribución binomial converge a la distribución de Poisson bajo ciertas condiciones.


fórmula una vez que es obtenida la función de masa de probabilidad.

D6.3 Caracterización de la distribución. Se estudia la media y la varianza para esta

distribución. Estos resultados se demuestran. También se menciona la función generadora de

momentos para esta distribución.

D6.4 Ejemplos y ejercicios. Los ejemplos tratados son aplicados además de incluir problemas

donde se comparan resultados obtenidos con la distribución binomial y con la Poisson. Se

recomiendo el uso de tablas para algunos cálculos así como el uso de software.

Los ejercicios para esta distribución comprenden ejercicios aplicados, operativos y de corte

teórico donde se pide demostrar algunos resultados.

D6.5 Áreas de aplicación. Las áreas de aplicación mencionadas para esta distribución son muy

diversas, entre ellas se mencionan aquellas situaciones que involucren conteo de resultados por

unidad de tiempo, longitud, volumen, etc.

D6.6 Relación de la distribución con otras distribuciones. Como ya se mencionó antes se

describe la relación que guarda esta distribución con la distribución binomial, siendo la primera

una forma límite de la binomial.

Uso de herramientas tecnológicas y otros recursos. Se hace énfasis en el uso de software,

como el R o el S-Plus para el cálculo de probabilidades para todas las distribuciones tratadas.

También se recomiendo el uso rudimentario de las tablas para algunas distribuciones de

probabilidad como la binomial y la Poisson, las cuales vienen en el apéndice del libro.

Observaciones. Este es un libro de estadística matemática por lo cual en la sección de ejercicios

se tratan problemas en los cuales se piden demostrar ciertos resultados relacionados con las

distribuciones de probabilidad vistas sin dejar de lado una gama importantes de ejercicios de

tipo aplicado.

83


L13 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10

Génesis Sí

No

enco

ntrad

a

X X X X X

No

enco

ntrad

a

No

enco

ntrad

a

No

enco

ntrad

a

No

enco

ntrad

a

No

Presentación Fórmula X X X X

Tabla

Histograma X


Varianza X X X X X

Momentos X

F.D.A

Percentiles


Aplicados X X X X X



No

Relación con otras

distribuciones

𝐷𝑖~𝐷𝑗 𝐷2~𝐷3 𝐷3~𝐷2 𝐷4~𝐷3

𝐷5~𝐷2 𝐷6~𝐷2


Tablas X X X

Applet

84

4.2.2 Conclusiones del análisis cuantitativo.

En relación a las distribuciones encontradas en los libros revisados se puede resumir la

información en la siguiente tabla tomando en cuenta las etiquetas respectivas de libros y

distribuciones asignadas.

Tabla 16. Libros de texto analizados y las distribuciones incluidas

DISTRIBUCIONES

D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10

LIB

RO

S

L1 X X X X X X

L2 X X X X X X

L3 X

L4 X X X X X

L5 X X X X X X X X

L6 X X X X X

L7 X X X X X X

L8 X X X

L9 X X X X X X X

L10 X X X X X X X

L11 X X X X X

L12 X X X

L13 X X X X X

85

Figura 2. Distribuciones

La información contenida en la tabla 16 se puede resumir de manera visual mediante el gráfico

de barras presentado en la figura 2. Éste gráfico muestra claramente que las distribuciones

Binomial, de Poisson, Geométrica, Binomial Negativa e Hipergeométrica son las distribuciones

más comunes empleadas en los libros de texto (al menos en los seleccionados para esta

investigación) siendo la distribución Binomial la más importante por el hecho de aparecer en

todas las fuentes consultadas.

Las distribuciones discretas se pueden obtener de manera muy sencilla a partir del estudio del

proceso que da lugar a las variables aleatorias. La mayoría de los libros estudiados aquí

mencionan la forma en que se obtienen dichas distribuciones para posteriormente presentar la

distribución en forma de fórmula.

Con respecto a los ejercicios la mayoría es de corte aplicado lo cual es consecuencia del mayor

número de libros seleccionados los cuales son del tipo “Estadística Aplicada a la Ingeniería”,

como se muestra en la figura 1.

86

La mayor parte de los libros trata como elementos que caracterizan a las distribuciones a la

media y la varianza, algunas veces se presentan incluso como teoremas con demostración

incluida.

Básicamente los libros revisados dan cuenta de la importancia de la distribución Binomial en el

sentido de las relaciones que guarda con las demás distribuciones, entre estas relaciones se

encontraron la relación:

Bernoulli-Binomial.

Poisson-Binomial.

Hipergeométrica-Binomial.

Las áreas de aplicación en algunos libros son mencionadas de manera explícita y en otros sólo

se mencionan las características generales que tiene la variable aleatoria lo cual de manera

implícita da cuenta de las aplicaciones que puede tener la distribución involucrada.

Con respecto a los recursos tecnológicos empleados para el tratamiento de las distribuciones

en los libros de texto consultados podemos citar los siguientes 4 tipos:

Software o paquetes estadísticos (Minitab, R/S-Plus, Excel, Statsisk)

Calculadoras.

Tablas.

Applets.

La figura 3 da la información descriptiva de la frecuencia con la que se utiliza cada uno de los

tipos de recursos mencionados antes.

87

Figura 3. Recursos tecnológicos empleados

El gráfico de la figura 3 nos muestra que la mayoría de los libros revisados aún hacen uso de las

tablas para realizar el cálculo de sumas de probabilidades puntuales para las distribuciones

(distribución acumulada), sin embargo también han incorporado el uso de software para

realizar dichos cálculos lo cual se traduce en cálculos más precisos y mayor practicidad. Cuando

se trabaja con distribuciones continuas la ventaja en los cálculos que presenta el uso de

software sobre las tablas se hace más evidente, un ejemplo claro es el cálculo de percentiles, en

este caso se requiere comúnmente el uso de interpolación sobre los valores presentados en la

tabla para obtener ciertos valores requeridos, en tanto que con el software es relativamente

sencillo realizar éstos cálculos.

88

4.3 Análisis Ontosemiótico.

4.3.1 Análisis.

Hasta el momento se han realizado dos análisis, el análisis a priori en el cual se hace un recuento

de los posibles elementos a encontrar relacionados con las distribuciones discretas esto en base

a la experiencia docente adquirida, posteriormente se realiza un segundo análisis en el cual se

revisa de manera superficial el contenido de los libros seleccionados, se resume la información

y se da detalle de los encontrado, por último se procesa la información encontrada y se destacan

aquellos rasgos de mayor relevancia como son el uso de tablas por encima del uso de software,

las distribuciones más comúnmente tratadas, etc.

El siguiente análisis constituye un análisis más profundo de los libros de texto, la idea aquí es

dar mayor detalle, orden y profundidad a lo que ya se ha revisado superficialmente. Este última

análisis se hará tomando en cuenta el marco teórico del enfoque ontosemiótico.

Básicamente se revisarán los siguientes elementos:

Situaciones problemas.

Lenguaje.

Procedimientos.

Conceptos-definición.

Proposiciones.

Argumentos.

4.3.1.1 Campos de problemas Iniciamos este análisis con los campos de problemas que involucran las diferentes distribuciones de probabilidad encontradas en los libros de texto, cabe resaltar que se consideran todos aquellos campos de problemas que son los más representativos, es decir los que aparecen con mayor frecuencia en los libros de texto. CP1. Determinar el rango de una variable aleatoria general. Dado un problema aplicado que involucre una variable aleatoria, determinar el rango de la variable aleatoria, es decir los posibles valores que la variable aleatoria puede tomar. CP2. Determinar la función de masa de probabilidad de una variable aleatoria. Una vez definida la variable aleatoria involucrada en un experimento se pretende caracterizarla mediante su función de masa de probabilidad. CP3. Cálculo de probabilidades dada la función de masa de probabilidad. En este caso se trata de realizar el cálculo de probabilidades para cierta variable aleatoria teniendo como información la función de masa de probabilidad.

89

CP4. Dada cierta función demostrar que es una función de masa de probabilidad. De lo que se trata aquí es dada cierta función demostrar que la función satisface las propiedades de una función de masa de probabilidad. CP5. Dada la función de distribución acumulada determinar la función de masa de probabilidad. Este problema consiste en que dada la función de distribución acumulada de una variable aleatoria discreta se debe determinar la función de masa de probabilidad. CP6. Determinar la función de distribución acumulada para cierta variable aleatoria. Una vez definida cierta variable aleatoria en el contexto de un problema se pretende determinar la función de distribución acumulada para esta variable aleatoria. CP7. Cálculo de probabilidades a partir de la función de distribución acumulada. A partir de la función de distribución acumulada se pretende el cálculo de ciertas probabilidades. CP8. Dada la función de masa de probabilidad de una variable aleatoria determinar la media y la varianza. En este caso se pretende realizar los cálculos correspondientes para determinar la media y la varianza de cierta variable aleatoria a partir de su función de masa de probabilidad. CP9. Dada una variable aleatoria con distribución “famosa” demostrar la expresión general para la media y la varianza. En este problema lo que se pretende es obtener la media y la varianza de una variable aleatoria con alguna de las distribuciones comunes estudiadas, como puede ser Bernoulli, Binomial, etc. CP10. Determinar la media y la varianza de una variable aleatoria que es el múltiplo de otra con distribución conocida. Aquí se pretende determinar la media y la varianza de una variable aleatoria a partir del conocimiento de la distribución de otra. CP11. Dada la descripción de una variable aleatoria, justificar si cierta distribución es un modelo razonable. En este caso se trabaja en un escenario aplicado, se describe la variable aleatoria y se pretende verificar la alguna distribución es un modelo razonable en el sentido de cumplir los supuestos requeridos. CP12. Determinar la distribución de la variable aleatoria involucrada en determinada situación y a partir de ello realizar el cálculo de probabilidades. Aquí se pretende determinar la distribución de la variable aleatoria involucrada (en este caso se refiere más específicamente las distribuciones estudiadas, como pueden ser Binomial, de Poisson, etc) juntos con sus parámetros y posteriormente realizar el cálculo de probabilidades. CP13. Determinar el valor de una constante para el cual cierta expresión es una función de masa de probabilidad. En este caso se debe determinar el valor de la constante que hace de la expresión (la cual depende de la constante obviamente) una función de masa de probabilidad. CP14. Aproximación de una distribución a otra. En muchos de los casos tratados en los libros de texto seleccionados se plantean problemas los cuales se pueden resolver utilizando una distribución u otra bajo ciertas condiciones particulares.

90

4.3.1.2 Lenguaje El lenguaje matemático utilizado es el segundo elemento de significado, considerando las palabras, notaciones y todas las representaciones materiales del objeto abstracto y sus propiedades, así como los utilizados para describir los problemas y operar con sus datos (Godino, 2002). Se diferencian tres tipos (Ortiz, 1999): L1. Términos y expresiones verbales. Un primer tipo son las palabras y frases que se usan para describir los conceptos, sus operaciones y transformaciones. Se diferencian tres categorías de palabras usadas en la enseñanza de las matemáticas:

Palabras o expresiones matemáticas específicas que, normalmente, no forman parte del lenguaje cotidiano. Por ejemplo: Distribución, teorema, función generadora de momentos, función de masa de probabilidad, función de distribución acumulada, Media y Varianza, etc.

Palabras que aparecen en las matemáticas y en el lenguaje ordinario, aunque no siempre

con el mismo significado en los dos contextos. Por ejemplo: Suficientemente grande, simulación manipulable, contraejemplo, muestra grande, generalización, bajo ciertas condiciones, variable aleatoria, etc.

Palabras que tienen significados iguales o muy próximos en ambos contextos. Por ejemplo: Central, muestra, caso particular.

L2. Notaciones y símbolos. Las notaciones simbólicas permiten realizar operaciones con los conceptos, trabajando a un alto nivel de complejidad. L3. Representaciones gráficas. Uno de los elementos característicos de la estadística son los gráficos. Básicamente los elementos gráficos relacionados con las distribuciones que se encontraron en los libros revisados son los siguientes:

Tablas que representan las distribuciones. Histogramas. Gráfica de la función de masa de probabilidad. Gráfica de la función de distribución acumulada.

L4. Simulaciones. La simulación es una representación en el sentido que sustituye un experimento estocástico por otro y su empleo es especialmente útil en la enseñanza de conceptos en el campo de las distribuciones en el muestreo. Dentro del tipo de simulaciones encontradas destacan las siguientes:

La generación de números aleatorios con cierta distribución para construir histogramas.

La generación de números aleatorios con la misma distribución y diferentes parámetros para comparar sus histogramas.

La generación de números aleatorios con diferente distribución para comprar histogramas.

La generación de números aleatorios con cierta distribución y ver el comportamiento del histograma para tamaños de muestra grande.

91

4.3.1.3 Procedimientos (PR) Los procedimientos están íntimamente ligados con las situaciones-problemas relacionadas con las distribuciones que se hallaron anteriormente, entre estos procedimientos para resolver situaciones problemas destacan: PR1. Cálculo de probabilidades puntuales realizadas a partir de la función de masa de probabilidad. Se refiere a la realización de cálculos hechos manualmente a partir de la función de masa de probabilidad, lo cual básicamente consiste en sustituir los datos pertinentes en la fórmula y realizar las cuentas. PR2. Cálculo de suma de probabilidades puntuales a partir de la función de masa de probabilidad. Se refiere a la realización de cálculos hechos manualmente a partir de la función de masa de probabilidad, lo cual básicamente consiste en sustituir los datos pertinentes en la fórmula, realizar las cuentas y al final sumar. PR3. Cálculo de probabilidades puntuales realizadas a partir de la función de distribución acumulada. La idea aquí es utilizar la función de distribución acumulada evaluada en ciertos puntos y tomar las diferencia adecuadas para encontrar las probabilidades puntuales. PR4. Cálculo de suma de probabilidades puntuales a partir de la función de distribución acumulada. Dada la función de distribución acumulada se pretende evaluar de manera puntual esta función para obtener el resultado deseado. PR5. Cálculo de suma de probabilidades puntuales a partir de la función de distribución acumulada y con ayuda de tablas. En este apartado se trabaja con apoyo de las tablas que generalmente vienen en el apéndice de algunos libros con el fin de obtener la suma deseada. PR6. Cálculo de suma de probabilidades puntuales a partir de la función de distribución acumulada y con ayuda de software. En este caso se realizan los cálculos mediante el uso de software. PR7. Determinación del rango de una variable aleatoria mediante el empleo de tablas. Se emplean tablas para hacer un recuento de todos los casos que abarca la variable aleatoria y realizar un conteo para obtener así el rango de valores deseado. PR8. Cálculo de probabilidades de una variable aleatoria mediante la aproximación a otra distribución. La idea aquí es aproximar las probabilidades de cierta variable aleatoria mediante el uso de otra distribución. Un ejemplo concreto es el del uso de la distribución Hipergeométrica para obtener probabilidades relacionadas con una variable aleatoria con distribución Binomial cuando el tamaño de muestra es muy grande en comparación con el número de elementos muestreados. PR9. Cálculo de probabilidades de una variable aleatoria mediante el uso de la función de masa de probabilidad y con apoyo de calculadora científica. Para esta situación se trabaja con el uso de la calculadora científica para obtener las probabilidades que se requieren.

92

4.3.1. 4 Conceptos-Definición (CD) CD1. Definición de función de masa de probabilidad. Esta definición es la más comúnmente encontrada en los libros de texto revisados. Cabe resaltar que la forma más común en la que se presenta esta función es a manera de expresión matemática. También se puede encontrar a manera de tabla e histograma. CD2. Definición de función de distribución acumulada. A partir de la definición de masa de probabilidad se define la función de distribución acumulada la cual al igual que la primera juega un papel importante en el cálculo de probabilidades. A partir de esta función se generan las tablas correspondientes que vienen en el apéndice de la mayoría de los libros revisados. CD3. Definición de variable aleatoria discreta. Una de las primeras definiciones encontradas en los libros de texto es la de variable aleatoria discreta, haciendo una clara diferencia con las continuas mediante el rango de valores que tomada cada una de éstas. Algunos libros dan realce a esta definición y otros la mencionan de manera muy sucinta CD4. Caracterización de una variable aleatoria en base a sus propiedades. Se refiere al hecho de describir a detalle las cuales son las características propias de la variable aleatoria en cuestión. CD5. Definición de función generadora de momentos. La función generadora de momentos tiene especial importancia para resultados teóricos, entre ellos destaca el uso de esta distribución para obtener la distribución de una función variables aleatorias. CD6. Definición de las distribuciones comunes o más empleadas. En este caso se refiere a las definiciones de las distribuciones que más comúnmente se emplean en los libros como son la Binomial, de Poisson, etc. CD7. Teoremas o resultados relacionados con la media y la varianza de distribuciones comunes o conocidas. Para cada distribución se enuncia generalmente a manera de teorema las expresiones de la media y la varianza para cada variable aleatoria con distribución común. 4.3.1.5 Proposiciones (PP) Algunas propiedades encontradas relacionadas con las distribuciones estudiadas son las siguientes: PP1. Propiedades asociadas a la función de masa de probabilidad. Estas 3 propiedades son las que caracterizan a una función de masa de probabilidad para una variable aleatoria. PP2. Propiedades asociadas a la función de distribución acumulada. Estas propiedades son las que caracterizan a una función de distribución acumulada para una variable aleatoria. PP3. Una variable aleatoria Binomial se puede expresar como la suma de 𝒏 variables aleatorias de tipo Bernoulli. Una importante relación que hay entre las variables aleatorias de tipo Bernoulli y una variable aleatoria Binomial es que la suma de estas primeras da origen a una variable aleatoria Binomial.

93

PP4. Una variable aleatoria Binomial Negativa se puede expresar como la suma de 𝒏 variables aleatorias de tipo Geométrica. Una importante relación que hay entre las variables aleatorias de tipo Geométrica y una variable aleatoria Binomial es que la suma de estas primeras da origen a una variable aleatoria Binomial Negativa. PP5. Propiedad de corrección para poblaciones finitas. Esta propiedad básicamente permite comparar las probabilidades, media y varianza de una variable aleatoria con distribución Hipergeométrica y una con distribución Binomial. PP6. Distribución de Poisson como forma límite de la Distribución Binomial. Esta propiedad menciona bajo que hipótesis la distribución Binomial da origen a la distribución de Poisson. 4.3.1.6 Argumentos (A) Todos los enunciados, propiedades, problemas y algoritmos anteriores se ligan entre sí mediante argumentos o razonamientos que se usan para comprobar las soluciones de los problemas o demostrar las propiedades y relaciones. Los argumentos encontrados son los siguientes: A1. Demostraciones formales algebraicas y/o deductivas. Entre los argumentos dados para resolver ciertos problemas se encuentran las demostraciones formales, las cuáles son las más comúnmente usadas. A2. Realización de cálculo de probabilidades puntuales con afán de generalizar. En la deducción de las funciones de masa de probabilidad de las distribuciones estudiadas (Binomial, Geométrica, etc.) se trabaja mediante el cálculo de probabilidades para ciertos valores de la variable aleatoria y después se generaliza. A3. Revisión exhaustiva de propiedades. Por citar un ejemplo, en el caso de pretender demostrar que cierta función es una función de masa de probabilidad se deben de revisar una a una las propiedades que ésta debe cumplir. A4. Comparación de distribuciones de probabilidad mediante tablas y gráficos. En algunos casos se pretende comparar dos o más distribuciones de probabilidad a fin de constatar que tan buena aproximación es una de la otra y esto se hace mediante el uso de tablas e histogramas. A5. Revisión exhaustiva de características. En algunos problemas se pretende que dada cierta variable aleatoria se determine si el suponer cierta distribución es un buen modelo para describir el comportamiento de cierto proceso con lo cual no queda otra que revisar a detalle las características de la variable aleatoria involucrada.

94

4.3.2 Conclusiones del Análisis Ontosemiótico Este último análisis de cuenta con mayor profundidad y orden del discurso referente a las distribuciones de probabilidad en los libros de texto de ingeniería desde elementos relacionados con los campos de problemas hasta los argumentos empleados para la solución de estos campos de problemas.

95

Capítulo 5. Conclusiones 5.1 Conclusiones finales Durante este investigación se realizaron 3 tipos de análisis, el análisis a priori, el análisis cuantitativo de los contenidos y el análisis mediante el marco teórico ontosemiótico. La idea de realizar estos análisis a distintos niveles de profundidad es dar cuenta el discurso y contenido de los libros de texto en materia de las distribuciones discretas de probabilidad. Habiendo realizado el análisis podemos concluir lo siguiente:

¿Qué es lo que se presenta y cómo se presenta?

En relación al contenido que se presentase agrega lo siguiente, los libros de generalmente inician con el paso de la probabilidad de conjuntos al enfoque de las variables aleatorias, una vez hecho este cambio en el enfoque definen la función de masa de probabilidad y la función de distribución acumulada, posteriormente se tratan elemento como la media y la varianza de una variable aleatoria y en menor medida se menciona la función generadora de momentos. Básicamente la distribución más tratada en los libros de texto revisados es la distribución binomial, acompañada comúnmente con otras distribuciones como la de Poisson, Hipergeométrica, Geométrica y Binomial Negativa. Los casos multivariados como son el caso de la Multinomial e Hipergeométrica Multivariada se tratan en menor medida en los libros de texto. Para cada una de estas distribuciones se presenta la función de masa de probabilidad con sus respectivos parámetros. Se complementa la caracterización de la distribución agregando otros elementos como son la media y la varianza. Las distribuciones generalmente son presentadas mediante la expresión matemática y en menor medida a manera de histogramas o tablas. Las distribuciones guardan cierta relación entre sí y estas relaciones se destacan en algunos libros de texto y otros las tratan de manera aislada.

¿Qué se enseña y cómo se enseña? A la luz de los resultados arrojados por el análisis ontosemiótico considero que los libros de texto abusan de los ejercicios operativos en los cuales se debe de realizar sólo cálculo u operaciones aritméticas una vez que se ha podido identificar la variable aleatoria y la distribución involucrada en el problema. Aunque se tomen en cuenta algunas relaciones importantes entre las distribuciones pocas veces se explotan estas propiedades para proponer ejercicios donde puedan ser aplicadas bajo ciertas condiciones específicas adecuadas. Hasta la fecha sigue dominante el uso de tablas por encima del uso de software para realizar cálculos de probabilidades puntuales. Considero que el uso de software proporciona muchas ventajas como por ejemplo la rapidez con la que se obtienen los cálculos, la exactitud y precisión, la elaboración de gráficos de mayor calidad, etc.

¿Cuál es el enfoque dominante en los libros de texto con respecto a este tópico? Generalmente abundan más en el mercado libros de probabilidad y estadística con un enfoque ingenieril, los cuales dan mayor énfasis y relevancia a las aplicaciones por encima de libros de texto de la misma área con otro enfoque.

96

5.2 Propuesta Pedagógica A la luz de los resultados obtenidos en los análisis realizados en esta tesis se propone el siguiente esquema para tratar el contenido de las distribuciones de variables aleatorias discretas en los libros de texto.

Definiciones generales. Los elementos que considero más relevantes y que son

necesarios para el estudio de las distribuciones son los siguientes:

Variable Aleatoria Discreta. Función de masa de probabilidad. Función de distribución acumulada. Función generadora de momentos. Media y varianza de una variable aleatoria.

Estos conceptos se tratarán de manera general y con cierto contexto de aplicación motivando las definiciones empleadas.

Principales Distribuciones. Una vez analizado y empleado los conceptos anteriores para casos generales de variables aleatorias se pretende el estudio de las distribuciones de las variables aleatorias más comúnmente tratadas, tomando en cuenta los casos de una dimensión y las generalizaciones a cosas de más dimensiones.

Caso unidimensional.







Distribución Uniforme Discreta.

Caso multidimensional.

Distribución Multinomial.

Distribución Hipergeométrica Multivariada.

Elementos a presentar relacionados con las distribuciones. Para cada distribución

se deberán atender los siguientes elementos de importancia a fin de caracterizar a la

distribución, estos elementos son:

Caracterización de la variable aleatoria.

Presentación de la función de masa de probabilidad.

Presentación de la media y la varianza de cada variable aleatoria.

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Relaciones importantes entre las variables aleatorias. Otro aspecto importante a

tratar relacionado con las distribuciones son las relaciones que guardan entre sí, entre

esas relaciones sería importante considerar al menos las siguientes:

Relaciones de aproximación o formas límites.

Relaciones de funcionales de variables aleatorias.

El enfoque de los ejercicios. En cuanto a la selección de ejercicios considero que estos

en menor medida se deben realizar ejercicios operativos. De preferencia siempre los

ejercicios deben darse en un contexto de aplicación con el afán de motivar las

definiciones a las que se dará lugar en el desarrollo de la teoría. El uso de ejercicios

puramente teóricos son importantes para el desarrollo de la capacidad de abstracción

del alumno.

Con respecto al uso de herramientas tecnológicas. Con respecto al uso de

herramientas tecnológicas se recomienda el uso de software. Un candidato idóneo para

esta tarea es el R, el cual es un software estadístico que goza de gran fama y es muy

utilizado hoy en día por la comunidad de investigadores por ser un software robusto,

en otras características importantes a resaltar. El software puede utilizarse con los

siguientes fines:

Cálculo de probabilidades puntuales. (Uso de la función de masa de probabilidad)

Cálculo de sumas de probabilidades. (Uso de la función de distribución acumulada)

Generación de histogramas de probabilidad.

Generación de números aleatorios con cierta distribución.

5.3 Otros temas de interés que pueden ser considerados en investigaciones posteriores

El uso de tablas frente al uso de software. Un tema interesante a abordar posteriormente es el contraste en el uso de tablas frente al uso de software en cursos de probabilidad y estadísticas para carreras de ingeniería. Considero que hoy en día el uso de tablas es ya obsoleto pues quizá hace en los años 80’s o antes era de gran apoyo pero hoy en día con el avance tecnológico y las ventajas que puede proporcionar un paquete estadístico como el R (el cual es libre y puede servir para este propósito) ya no tiene cabida por lo cual se podría documentar que ventajas proporciona el uso de esta herramienta (el software) en el aprendizaje significativo de los estudiantes.

Elaboración de una secuencia didáctica. La idea aquí es elaborar una secuencia

didáctica atendiendo la guía propuesta en las conclusiones en el contexto educativo del IPN, es decir en el contexto educativo en el que se desarrollan los estudiantes de ingeniería.

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Extender la propuesta anterior a las distribuciones continuas. En este estudio se pretende abordar el estudio de las distribuciones continuas y elaborar una propuesta pedagógica análoga a la realizada con las distribuciones discretas.

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