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Universidade de Caxias do Sul Introdução à Mecânica dos Sólidos

Professor Vagner Grison

1. Esforços mecânicos

Materiais sólidos tendem a deformar (ou eventualmente romper) quando submetidos a solicitações mecânicas. A Resistência dos Materiais é um ramo da Engenharia que tem como objetivo o estudo do comportamento de elementos construtivos sujeitos a esforços, de forma que eles possam ser adequadamente dimensionados para suportá-los nas condições previstas de utilização.

A Figura 1 ilustra formas gráficas simplificadas dos tipos de esforços mais comuns a que são submetidos os elementos construtivos.

Figura 1 – Esquema gráfico simplificado dos principais esforços mecânicos.

(a) Tração: a força atuante tende a provocar um alongamento do elemento na direção da mesma. (b) Compressão: a força atuante tende a produzir uma redução de tamanho do elemento na direção da mesma. (c) Flexão: a força atuante provoca uma deformação do eixo perpendicular à mesma. d) Torção: as forças atuam em um plano perpendicular ao eixo de tal forma que cada seção transversal do objeto sob ação do esforço tende a girar em relação às outras. (e) Flambagem: é um esforço de compressão em uma barra de seção transversal pequena em relação ao comprimento, que tende a produzir uma curvatura na barra. (f) Cisalhamento: forças atuantes tendem a produzir um efeito de corte, isto é, um deslocamento linear entre seções transversais.

Em muitas situações práticas ocorre uma combinação de dois ou mais tipos de esforços. Em alguns casos há um tipo predominante e os demais podem ser desprezados, mas há outros casos em que eles precisam ser considerados conjuntamente. 2. Tensões

A força por unidade de área ou a intensidade das forças distribuídas numa certa seção transversal é chamada tensão atuante, nesta seção, e é indicada pela letra grega σ (sigma). Assim, a tensão em uma barra de seção transversal A, sujeita a uma força axial F, conforme a figura 2, é obtida dividindo-se o módulo F da força pela área A.

2

A unidade de tensão tem a mesma dimensão da pressão mecânica, assim, no Sistema Internacional, a unidade básica é o pascal (Pa) e no Sistema Inglês é o (psi).

Por convenção, esforços de tração geram tensões positivas, enquanto esforços de compressão geram tensões negativas.

A

F=σ (3)

Figura 2 – Barra sob ação de um esforço de tração.

Exemplo: Supondo que a barra da figura 2, está carregada axialmente por uma força

F de intensidade igual a 20 kN e possui um diâmetro igual a 15 mm. Qual é a tensão resultante?

3. Tensões Normais

É importante notar que a determinação da tensão de uma determinada seção

dividindo-se a força aplicada pela sua área nos fornece um valor médio das tensões. Para definir a tensão em um dado ponto Q da seção transversal, devemos considerar

uma pequena área ∆A, conforme ilustrado na figura 3.

Figura 3 – Tensão no ponto Q. Dividindo-se a intensidade de ∆F por ∆A, obtém-se o valor médio da tensão em ∆A.

Fazendo, então, ∆A tender a zero, obtém-se a tensão no ponto Q.

A

F

A ∆

∆=

→∆ 0limσ (1)

Da equação 1 deduzimos que a intensidade da resultante das forças internas

distribuidas é dada pela equação 2.

∫ ∫=A

dAdF .σ (2)

P’ F

σ = F/A

F

∆F F’ Q

∆A

3

4. Tensões de cisalhamento Quando duas forças F e F’são aplicadas a uma barra AB, na direção transversal à

barra, ocorre uma tensão de cisalhamento, como apresentado na figura 4. Pode-se concluir que existem forças internas, ao longo da seção C que se igualam à força cortante F. Dividindo a força constante F pela área da seção transversal A, obtém-se a tensão média de cisalhamento na seção, normalmente indicada pela letra grega τ (tau).

A

F=τ (3)

Figura 4 – barra de seção quadrada sob ação de esforço cortante. Diferentemente das tensões normais, a distribuição de tensões de cisalhamento na

seção transversal não pode ser assumida como uniforme, uma vez que ocorrem valores muito diferentes entre a superfície e o interior da peça.

5. Tensões de esmagamento Os parafusos, pinos e rebites provocam tensões de esmagamento nas barras que

estão ligando, ao longo da superfície de contato. A figura 5 apresenta um exemplo em que o pino exerce uma força F sobre a placa. A força F representa a resultante das forças elementares que se distribuem ao longo da superfície interna do semicilindro de diâmetro d e comprimento t. Obtém-se a tensão de esmagamento σe dividindo-se a força F pela área do retangulo que representa a projeção do rebite sobre a seção da chapa.

dt

F

A

F

.==σ (4)

Figura 5 – Representação de um carregamento de esmagamento.

F

F’

B A

Corte C-C

C

t d

P

4

6. Tensões em um plano oblíquo ao eixo Quando se consideram planos que não são perpendiculares ao eixo da peça pode-se

verificar que forças axiais podem gerar, ao mesmo tempo, tensões normais e de cisalhamento, como ilustrado na figura 6.

Figura 6 – Decomposição de forças em um plano oblíquo ao eixo. Uma vez que o plano forma um ângulo θ com o plano normal, a força P deve ser

decomposta em suas componentes normal F e tangencial V.

F = P.cosθ V = P.senθ (5)

Com isso é possível calcular as tensões normais à seção devido à componente F e as tensões de cisalhamento devido à componente V, em relação à área Aθ.

θ

σA

F=

θ

τA

V= (6)

Chamando de Ao a área da seção normal ao eixo, temos que Ao=Aθ.cosθ. Assim, substituindo a equação 5 na 6 chegamos à seguinte expressão.

θσ 2cos.oA

P= θθτ sin.cos.

oA

P= (7)

Assim, pode-se observar que a máxima tensão normal ocorre para θ =0 e é nula para

θ =90° e a tensão de cisalhamento é máxima quando θ =45° e é nula quando θ =0 e θ =90°. 7. Componentes de tensões Na prática, a maior parte das peças de estruturas e componentes de máquinas se

encontra sob ação de carregamentos mais complexos. Assim, analisando um corpo sob ação de várias forças pode-se estudar as condições de tensões de um certo ponto Q no interior do corpo, como apresentado na figura 7, o qual também deve satisfazer às equações 8 e 9.

ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣFz = 0 (8) ΣMx = 0 ΣMy = 0 ΣMz = 0 (9)

P P’ P

F

V

θ

Ao Aθ

5

Figura 7 – Componente de tensões. 8. Coeficiente de Segurança Dentro das aplicações de engenharia, a determinação de tensões não é o objetivo

final, mas um passo necessário na análise e projeto estrutural. Para isso, é necessário ter o conhecimento de como o material a ser utilizado se comporta sob ação de carregamentos conhecidos. Estas informações podem ser obtidas de maneira experimental através da aplicação de cargas controladas em amostras do material de interesse.

Um componente estrutural deve ser projetado de tal forma que o carregamento máximo por ele suportado seja consideravelmente maior que o carregamento, sob o qual este componente estará sujeito em condições normais de utilização. Este carregamento menor é chamado de carregamento admissível ou carga de projeto. A relação entre o carregamento último e o carregamento admissível é chamada de coeficiente de segurança e pode ser expresso pela equação 10.

CS = carregamento último / carregamento admissível (10) Em muitos casos existe uma corresondência linear entre a carga aplicada e a tensão

provocada pela carga. Assim o coeficiente de segurança também pode ser expresso conforme a equação 11.

CS = tensão última / tensão admissível (11) Na maioria das aplicações, os coeficientes de segurança são definidos por

especificações de projeto e normas escritas por comitês de normalização de nível internacional. Além disso, a escolha do coeficiente de segurança adequado para as diferentes aplicações práticas requer uma análise cuidadosa, que leve em consideração muitos fatores, como, por exemplo:

- Modificações que ocorrem nas propriedades mecânicas do material.

- Frequência com que a carga é aplicada ao longo da vida do componente.

- Possíveis alterações futuras no tipo de carregamento aplicado.

- Modo de ruptura que pode ocorrer.

- Precisão dos métodos utilizados e análises realizadas.

- Deterioração futura devido à falta de manutenção.

- A importância do componente para a integridade da estrutura.

τyz

τzy

τxy

τzx τxz

τyx

σy

σx

σz

y

x

z

6

9. Deformação

Além da tensão, outro importante aspecto da análise e projeto de estruturas se

relaciona com as deformações causadas pela aplicação das cargas a uma estrutura. É

importante evitar que as deformações se tornem tão grandes a ponto de impedir que a

estrutura venha a cumprir os fins aos quais estava destinada. Através da análise das

deformações pode-se também determinar as tensões.

9.1 Deformação Específica

Considerando uma barra de comprimento L e seção transversal uniforme, e

chamando-se de δ sua deformação sob uma carga axial P, como ilustrado na figura 8, pode-

se definir a deforamação específica normal ε da barra como sendo a deformação por unidade

de comprimento, como expresso pela equação 12.

oL

δε = (12)

Figura 8 – Deformação normal de uma barra sob carregamento axial.

9.2 Diagrama de Tensão-Deformação

O diagrama que representa as relações entre tensões e deformações específicas de

um certo material é uma característica importante deste material. Para a obtenção do

diagrama tensão-deformação de certo material, normalmente se faz um ensaio de tração em

uma amostra do material. Nesse ensaio se usa um corpo de prova padrão, cujas

extremidades são ligadas à máquina que realiza o ensaio. A área da seção transversal da

parte cilíndrica central do corpo de prova é medida cuidadosamente e duas marcas são

Lo

δ

P

L

7

desenhadas a uma distância Lo. O corpo de prova é, então instalado na máquina de teste que

aplica uma carga de tração P crescente à amostra. À medida que aumenta o valor de P, a

distância L entre as duas marcas também aumenta. Assim, são registradas as alterações dos

valores de L, P e em alguns casos o diâmetro da seção transversal do corpo de prova. Para

cada par de valores lidos de P e δ = L – Lo, calcula-se a tensão dividindo-se a força aplicada

pela área da seção transversal inicial Ao do corpo de prova. Calcula-se também a deformação

específica ε dividindo-se o alongameto δ pelo comprimento inicial Lo entre as duas marcas.

Os diagramas gerados a partir deste procedimento estão ilustrados na figura 9.

Materiais dúcteis, que compreendem o aço estrutural e outros metais, se

caracterizam por apresentarem escoamento a temperaturas normais. O corpo de prova é

submetido a um carregamento crescente, e seu comprimento aumenta, de início,

lentamente, sempre proporcional ao carregamento. Desse modo, a parte inicial do diagrama

tensão-deformação é uma linha reta com grande coeficiente angular. Entretanto, quando é

atingido um valor crítico de tensão σe, o corpo de prova sofre uma longa deformação, com

pouco aumento da carga aplicada. Essa deformação é causada por deslizamento relativo de

camadas do material de superfícies oblíquas.

Quando o carregamento atinge um certo valor máximo, o diâmetro do corpo começa

a diminuir, devido à perda de resistência local. Esse fenômeno é conhecido como estricção.

Após ter começado a estricção, um carregamento mais baixo é suficiente para manter o

corpo de prova se deformando até que ocorra a sua ruptura. Assim, a tensão σu

correspondente à máxima carga aplicada ao material é conhecida como tensão última e a

tensão σr correspondente ao ponto de ruptura é chamada tensão de ruptura.

Materiais frágeis, como ferro fundido e vidro são caracterizados por uma ruptura que

ocorre sem nenhuma mudança sensível no modo de deformação do material. Assim, nestes

casos não existe diferença entre tensão última e tensão de ruptura. Sua deformação até a

ruptura é muito menor do que a dos materiais dúcteis, além de não apresentar o fenômeno

de estricção antes do rompimento. Materiais frágeis também não apresentam caracterizado

o trecho horizontal que definiria a sua tensão de escoamento.

Materiais que não apresentam um patamar bem definido de tensão de escoamento

tem este valor definido a partir de um método específico para a obtenção da tensão de

escoamento convencional. Ela é obtida tomando-se no eixo das abscissas a deformação

específica ε = 0,2% (ou 0,002), e por esse ponto, traçando-se uma reta paralela ao trecho

linear inicial do diagrama. Assim, a tensão de escoamento corresponde ao ponto de

intersecção dessa reta com a curva do diagrama.

8

Figura 9 – Diagramas tensão-deformação.

9.3 Lei de Hooke – Módulo de Elasticidade

As estruturas correntes são projetadas de modo a sofrerem apenas pequenas

deformações, que não ultrapassem os valores do diagrama tensão-deformação

correspondentes ao trecho reto inicial. Neste trecho a tensão é diretamente proporcional a

deformação específica, como está expresso pela equação 13:

σ = E . ε (13)

Esta relação é conhecida como Lei de Hooke e se deve ao matemático inglês Robert

Hooke (1635-1703). O coeficiente E é chamado de módulo de elasticidade ou módulo de

Young (cientista inglês, 1773-1829). Como a deformação específica é uma grandeza

adimensional, o módulo E é expresso na mesma unidade de σ, Pascal no Sistema

Internacional ou psi no Sistema Inglês de unidades.

Algumas propriedades físicas dos materiais estruturais, como resistência,

ductibilidade, resistência à corrosão, entre outros, podem ser modificadas por tratamentos

térmicos, pela presença de ligas metálicas ou pelo próprio processo utilizado na sua

manufatura. Isto não ocorre para o Módulo de Elasticidade. Uma característica importante

dos materiais diz respeito à invariabilidade do seu Módulo de Elasticidade. A figura 10

apresenta o diagrama tensão-deformação do ferro puro e de outros três tipos de aço, os

quais diferem em suas tensões de escoamento, tensões máximas e deformação específica

máxima, porém, na região elástica possuem a mesma taxa de deformação em função da

tensão.

Escoamento Recuperação Estricção

0,0012 0,02 0,2 0,25

Ruptura

σr

420 MPa σmáx

250 MPa σe

(a) Aço com baixo teor de carbono (dúctil)

ε

Ruptura 1500 MPa σr=σmáx

(b) Aço temperado (frágil)

ε

9

Figura 10 – Diagrama tensão-deformação para aços com diferentes tratamentos térmicos

9.4 Comportamento Elástico e Comportamento Plástico dos Materiais

Um material tem comportamento elástico quando as deformações causadas por um

carregamento desaparecem com a retirada do carregamento. O maior valor de tensão para o

qual o material ainda apresenta comportamento elástico é chamado de limite de

elasticidade e coincide com o valor da tensão de escoamento σe.

Se o material atingir ou ultrapassar o escoamento e se deformar, quando a carga é

retirada as tensões e deformações decrescem de maneira linear, ao longo de uma linha reta

paralela à reta da curva de carregamento. O fato de εεεε não retornar ao ponto zero indica que

o material sofreu uma deformação permanente ou plástica. Para a maioria dos materiais a

deformação plástica depende da tensão máxima aplicada (deformação lenta) e do tempo de

carregamento (fluência). A figura 11 ilustra o efeito da deformação permanente.

Figura 11 – Deformação permanente e carregamento posterior.

σ

ε

σ

ε

Aço temperado

Aço com alto teor de carbono

Aço com baixo teor de carbono

Ferro puro

10

9.5 Deformações de Barras Sujeitas a Cargas Axiais

Uma barra homogênea de comprimento L e seção transversal uniforme de área A

sujeita à força axial centrada P, como apresentada na figura 8, cujo limite de elasticidade

não é ultrapassado, pode-se utilizar a equação 13 para determinar a sua deformação

específica. Assim, substituindo a equação 13 na equação 12 obtém-se a expressão 14.

EA

LPL

E ⋅

⋅=⋅=

σδ (14)

A equação 14 é válida para barras homogêneas com seção transversal uniforme e com

carga aplicada nas extremidades. Se as forças são aplicadas em outros pontos e / ou a barra

consiste de várias partes com diferentes seções transversais, ou composta de diferentes

materiais, é necessário dividi-la em segmentos que satisfaçam individualmente as condições

de aplicação da equação 14. Neste caso a expressão fica conforme a equação 15.

∑⋅

⋅=

i ii

ii

EA

LPδ (15)

9.6 Problemas Estaticamente Indeterminados

Em muitos problemas de engenharia as forças internas não podem ser determinadas

apenas com os recursos da estática. Na maior parte desses problemas, as próprias reações,

que são forças externas, não podem ser determinadas simplesmente desenhando o diagrama

de corpo livre da peça e estudando suas equações de equilíbrio. Essas equações devem ser

complementadas por outras relações envolvendo deformações, que podem ser obtidas

considerando as condições geométricas do problema. Tais problemas são conhecidos como

estaticamente indeterminados, pois a estática não é suficiente para determinar as reações e

esforços internos.

Exemplo: Uma barra de comprimento L e área da seção transversal A1, com módulo

de elasticidade E1, foi colocada dentro de um tubo de mesmo comprimento, mas área de

seção transversal A2 e módulo de elasticidade E2. Qual é a deformação da barra e do tubo,

quando uma força axial P é aplicada por meio de uma placa Rígida?

Chamando de P1 e P2, respectivamente, as forças axiais na barra e no tubo, são

desenhados os diagramas de corpo livre dos três elementos.

11

Figura 12 – Exemplo de problema estaticamente indeterminado.

Desta análise é possível chegar a algumas conclusões, tais como:

P1 + P2 = P (16)

δ1 = δ2 (17)

Da equação 17 obtemos a expressão 18.

22

2

11

1

.. EA

P

EA

P= (18)

Substituindo a equação 16 na 18, então obtemos os seguintes resultados.

2211

111 ..

..

EAEA

PEAP

+= (19)

2211

222 ..

..

EAEA

PEAP

+= (20)

Com isso, é possível determinar as forças P1 e P2 e, na seqüência as deformações.

P Barra (A1, E1)

Tubo (A2, E2)

L Placa Rígida

P2’ P2 P1

’ P1

P

P1

P2

12

9.7 Problemas Envolvendo Variação de Temperatura

Considerando uma barra homogênea e de seção transversal uniforme, apoiada em

uma superfície lisa horizontal. Um aumento de temperatura da barra com valor de ∆T,

percebe-se uma variação dimensional igual a δT proporcional a variação da temperatura.

δT = α . (∆T) . L (21)

Sendo, α uma constante característica do material conhecida como coeficiente de

dilatação térmica. Uma vez que L e δT são expressos em unidades de comprimento, α

representa uma quantidade por grau Celsius ou por grau Fahrenheit.

9.8 Coeficiente de Poisson

Uma barra sob ação de um carregamento axial, como apresentado na figura 13, sofre

uma deformação ao longo do seu eixo axial. Nesta mesma condição pode-se observar que nas

faces perpendiculares aos eixos y e z temos σy = σz = 0. Este fato pode nos levar a imaginar

que as deformações específicas εy e εz são também iguais a zero. Isto, entretanto não ocorre.

Em todos os materiais, o alongamento produzido por uma força na direção desta força é

acompanhado por uma contração em qualquer direção transversal.

Figura 13 – Barra sob tração e componentes de tensão.

Assumindo que o material em estudo é homogêneo e isotrópico define-se que a sua

deformação específica deve ser a mesma para qualquer direção transversal, assim εy = εz.

Este valor é chamado de deformação específica transversal. O valor absoluto da relação

entre a deformação específica transversal e a deformação específica longitudinal é chamado

de Coeficiente de Poisson (ν).

x

z

x

y

ε

ε

ε

εν −=−= (22)

y z

x

P

σy=0

σz=0

σx=P/A

13

Com isso, substituindo a equação 22 na equação 13 obtemos as relações que

descrevem totalmente as condições de deformações específicas sob carga axial paralela ao

eixo x.

E

x

x

σε =

E

x

zy

σνεε

⋅−== (23)

9.9 Estados Múltiplos de Carregamento – Generalização da Lei de Hooke

Ao considerar elementos estruturais sujeitos à ação de carregamentos que atuam nas

direções dos três eixos coordenados será possível verificar tensões σx, σy e σz, todas

diferentes de zero, o que caracteriza o estado múltiplo de carregamento ou carregamento

multiaxial.

Considerando um cubo elementar sob ação de carregamento multiaxial, em que se

adota para suas dimensões arestas de comprimento unitário. Ocorrerão, neste caso,

deformações que o tornarão um paralelepípedo retângulo com lados 1+εx, 1+εy e 1+εz.

Figura 14 – Elemento sob carregamento multiaxial e deformações.

Para escrever as expressões das componentes de deformação em função das

componentes de tensão deve-se considerar separadamente o efeito provocado por cada

componente de tensão e superpor os resultados. Este método é conhecido como princípio da

superposição, que afirma que o efeito provocado em uma estrutura por determinado

carregamento combinado pode ser obtido determinando-se separadamente os efeitos dos

vários carregamentos e combinando-se os resultados obtidos. Duas condições devem ser

respeitadas na aplicação deste princípio:

1- Cada efeito é diretamente proporcional à carga que o produziu.

2- Deformação causada é pequena e não afeta as condições de aplicação das demais.

Com base nas equações 23 e utilizando o princípio da superposição para cada

carregamento obtêm-se as expressões 24 que exprimem a generalização da Lei de Hooke

para carregamentos multiaxiais.

y z

x

1

1

1

σy

σz σx

1+εx

1+εy

1+εz

14

EEE

zyx

x

σνσνσε

⋅−

⋅−+=

EEE

zyx

y

σνσσνε

⋅−+

⋅−= (24)

EEE

zyx

z

σσνσνε +

⋅−

⋅−=

9.10 Deformação de Cisalhamento

As equações 24 foram deduzidas assumindo-se que não havia tensões de cisalhamento

envolvidas. De qualquer forma, as tensões de cisalhamento não têm nenhum efeito direto

nas deformações específicas, e enquanto as deformações permanecerem pequenas, não vão

influenciar a dedução nem a validade das equações 24. As tensões de cisalhamento tenderão

a deformar o cubo elementar em um paralelepípedo oblíquo.

Considera-se inicialmente um cubo elementar de lado unitário, sujeito apenas às

tensões de cisalhamento τxy e τyx. O elemento se deforma assumindo a forma de um

rombóide de lado unitário. Dois dos ângulos formados pelas quatro faces do cubo que estão

sob tensão se reduzem do valor de π/2 para π/2 – γxy, enquanto os outros dois aumentam

para o valor de π/2 + γxy, como ilustrado na figura 15.

Figura 15 – Elemento sob ação de tensões de cisalhamento.

O pequeno ângulo γxy (expresso em radianos) define a distorção do cubo e é chamado

de deformação de cisalhamento correspondente às direções x e y. Quando a deformação

provoca uma redução no ângulo formado pelas faces orientadas segundo os eixos x e y,

respectivamente, a deformação é convencionada positiva.

Marcando em um gráfico os valores τxy e os valores correspondentes de γxy, obtém-se

o diagrama tensão-deformação de cisalhamento do material em questão. Isso pode ser

y z

x

1

1

1

τyx

τxy

π/2−γxy

π/2+γxy

15

conseguido realizando um teste de torção. Todavia, valores tais como tensão de escoamento

e tensão máxima de um certo material, dão em torno da metade dos valores obtidos em

ensaios de tração do mesmo material. Como no caso das tensões e deformações específicas

normais, a parte inicial do diagrama tensão-deformação no cisalhamento é uma linha reta.

Para os valores de tensão que não excedem o limite de proporcionalidade no cisalhamento

pode-se escrever a seguinte relação.

τxy = G . γxy (25)

Essa relação é a Lei de Hooke para tensões e deformações de cisalhamento e a

constante G é chamada de módulo de elasticidade transversal do material. O módulo de

elasticidade transversal, que é expresso em Pascal, é menor que a metade, mas maior que

um terço do módulo de elasticidade E deste material.

Considerando, agora, o cubo elementar sob ação das tensões de cisalhamento τyz e

τzx, as deformações de cisalhamento correspondentes γyz e γzx são obtidas da mesma

maneira, assim a equação 24 pode ser complementada pelas equações 26.

γxy = τxy / G γyz = τyz / G γzx = τzx / G (26)

9.11 Relações entre E, νννν e G

É possível que se obtenha a expressão que representa a relação entre as

propriedades: módulo de elasticidade, coeficiente de Poisson e módulo de elasticidade

transversal através de algumas deduções matemáticas baseadas no caso do cubo elementar

sob ação de carregamento axial conforme apresentado na figura 16.

Figura 16 – Deformação de um elemento sob ação de carregamento axial.

Com base na figura 15,após o carregamento, pode-se definir que β = π/4 – γm/2, e sua

tangente pode ser representada, após algumas manipulações matemáticas, pela equação 27.

1

1

1

π/4

1

1 1+εx

1−ν.εx

β

16

21

21

tanm

m

γ

γ

β

+

−

= (27)

Além disso, da figura 16 pode-se determinar a equação 28.

x

x

ε

ενβ

+

⋅−=

1

1tan (28)

Igualando as equações 27 e 28, considerando que εx << 1 se obtém a equação 29.

γm = (1 + ν) . εx (29)

Esta é a relação entre a deformação de cisalhamento máxima γm e a deformação

específica axial εx.

Para obter uma relação entre as constantes E, ν e G, temos que, segundo a Lei de

Hooke, γm = τm / G e εx = σx / E, e assim, pode-se reescrever a equação 29.

τm/G = (1 + ν) . σx/E (30)

Assim, resolvendo para G e considerando que σx = P/A e que τm = P/2A, temos, então

que σm = 2.τm, e podemos escrever a equação 31 que exprime o módulo de elasticidade

transversal G em função do módulo de elasticidade E e do coeficiente de Poisson ν.

( )ν+⋅

=12

EG (31)

9.12 Princípio de Saint-Venant

Quando é aplicado um carregamento uniformemente distribuído em uma barra de

seção transversal uniforme obtém-se uma tensão e uma deformação também uniformes de

acordo com a relação σ = E.ε. Quando há a aplicação de um carregamento concentrado, bem

no centro da seção transversal de uma barra, por exemplo, ocorrem grandes valores de

tensões e deformações nas vizinhanças do ponto de aplicação da força e quase nenhum nas

bordas da extremidade da barra. À medida que são analisados elementos mais afastados das

17

extremidades da barra percebe-se uma equalização das deformações, conduzindo a uma

distribuição mais uniforme de tensões e deformações específicas ao longo da seção

transversal. Nestas regiões mais afastadas das extremidades da barra pode-se assumir, então

que a tensão média é definida por σ = P/A. Em outras palavras, com exceção dos pontos na

vizinhança do ponto de aplicação da força, a distribuição de tensões pode ser adotada

independentemente do modo como se aplica o carregamento. Este resultado, que não se

aplica somente a carregamento axial, mas a qualquer tipo de carregamento, é conhecido

como princípio de Saint-Venant.

O princípio de Saint-Venant torna possível substituir um certo carregamento por

outro mais simples, por ocasião de calcular as tensões em uma determinada peça. Dois

pontos importantes, entretanto devem ser obedecidos na sua aplicação:

1- O carregamento real e o carregamento usado na determinação das tensões devem

ser estaticamente equivalentes;

2- A determinação das tensões nas proximidades dos pontos de aplicação das forças

deve ser realizada por meio de métodos matemáticos avançados ou métodos experimentais.

18

10. Torção

Uma barra cilíndrica fixa em uma extremidade é submetida a um esforço de torção

por um conjugado de torque T na outra extremidade, como apresentado na figura 10.1.

Figura 10.1 – Representação de uma barra cilíndrica sob um carregamento de torção.

Esta solicitação é uma torção uniforme quando se considera homogêneo o material

da barra. Em outras palavras isto quer dizer que todos os pontos de cada circunferência de

qualquer seção transversal têm o mesmo deslocamento rotacional.

10.1 Deformações torcionais e a fórmula da torção

Um plano que passa pelo eixo do cilindro sofre uma deformação tal que o ângulo

φ sobre uma circunferência é função da distância x entre este círculo e a extremidade

engastada. A simples dedução ou observação prática revelam que o ângulo φ aumenta com o

aumento de x. Para determinar a relação entre ambos, importante em muitos casos práticos,

é necessário em primeiro lugar um estudo das tensões em cada plano de seção transversal.

Considerando uma porção elementar da barra, de comprimento dx, o processo de torção

pode ser entendido como o cisalhamento de dois planos próximos, conforme a figura 10.2.

Plano não deformado

Plano deformado

φ (x)

19

Figura 10.2 – Seção transversal infinitesimal sob esforço de torção.

A observação prática demonstra que o ângulo de distorção γ de uma superfície

elementar varia linearmente com o raio, atingindo o valor máximo γmax na borda, conforme a

equação 32.

γ = (r/R) γmax (32)

Considerando que as deformações ocorrem dentro do limite de proporcionalidade e

os ângulos são proporcionais aos raios, as tensões de cisalhamento τ também serão. A figura

10.3 ilustra a distribuição de tensões ao longo de uma seção transversal circular.

τ = (r/R) τmax (33)

Figura 10.3 – Distribuição das tensões de cisalhamento devido à torção.

O torque T pode ser obtido pela integração do produto das forças elementares dF devido ao cisalhamento pela distância (raio) até o centro O, conforme a equação 34.

T = ∫ r dF (34)

Uma vez que dF = τ dA, onde dA são as áreas elementares, substituindo na equação 34 pode-se escrever a 35.

T = ∫ r τ dA (35)

Assim, substituindo τ da equação 35 de acordo com a igualdade 33.

20

T = ∫ r (r/R) τmax dA = ( τmax / R) ∫ r2 dA (36)

A integral no segundo membro da expressão, ∫ r2 dA, representa o momento polar de inércia J da seção transversal em relação ao seu centro O. Desta forma fica definida a relação entre torque e tensão máxima conforme as equações 37 e 38.

R

JT

⋅= maxτ

(37)

J

RT ⋅=maxτ (38)

Outro aspecto que vale mencionar é o fato das tensões de cisalhamento ocorrerem sempre em pares perpendiculares. Assim, em um corte hipotético de um eixo cilíndrico conforme Figura 10.4, há tensões ao longo do eixo, de mesmos valores das tensões na seção transversal.

Figura 10.4 – Pares de tensão de cisalhamento em um eixo circular sob torção.

10.2 Ângulo de torção

Tomando um eixo circular de comprimento L e raio R, torcido em um ângulo de torção φ, marca-se na sua superfície um elemento de área formado por dois círculos adjacentes e duas geratrizes muito próximas. Antes da atuação de qualquer esforço, o elemento se apresenta como indicado na figura 10.5a. Após a aplicação de um momento torçor o elemento se transforma em um losango de acordo com a figura 10.5b. Neste caso, dois lados do elemento são formados por círculos, que permanecem inalterados. Assim, a deformação de cisalhamento γ deve ser igual ao ângulo formado pelas linhas AB e A’B.

A figura 10.5b mostra que quando γ é pequeno, pode-se expressar o comprimento do arco AA’ por AA’=L.γ . Ao mesmo tempo, na seção transversal extrema temos que AA’=R.φ. Desta forma, igualando se obtém a equação 39.

L

R φγ

⋅=max (39)

21

Figura 10.5 – Ângulo de torção e ângulo de cisalhamento.

Considerando que a tensão aplicada não exceda o regime elástico do material em nenhum ponto do eixo é possível aplicar a Lei de Hooke escrevendo τmax = γmax . G. Assim, substituindo os valores da equação 38 é possível escrever a equação 40.

GJ

RT

⋅

⋅=maxγ (40)

Finalmente, Igualando as equações 39 e 40 obtemos a expressão 41.

GJ

LT

⋅

⋅=φ (41)

10.3 Elementos estaticamente indeterminados

Existem situações em que não é possível determinar os esforços internos de torção apenas com o uso da estática, como, por exemplo, fazendo uso de um diagrama de corpo livre da parte de um eixo localizada a esquerda ou à direita de uma determinada seção, a qual são somados os momentos aplicados de forma que o resultado seja igual a zero. Nestes casos, mesmo esforços externos de torção provenientes dos apoios se tornam impossíveis de calcular com as equações da estática. As equações de equilíbrio devem, portanto, ser complementadas por outras relações, que levem em conta as deformações do eixo e as restrições da geometria do problema. Eixos nessa situação são chamados estaticamente indeterminados devido à impossibilidade de serem resolvidos pela estática.

10.4 Transmissão de potência

As principais especificações a serem consideradas no projeto de eixos de transmissão são a potência a ser transmitida e a velocidade de rotação do eixo. O projetista deverá selecionar materiais e dimensões adequadas, de modo que a máxima tensão de cisalhamento admissível não seja excedida quando o eixo transmitir a potência requerida na velocidade especificada.

A potência transmitida por um eixo se relaciona com o torque aplicado e com a velocidade angular (ω) em radianos por segundo, de acordo com a expressão 42.

P = T . ω (42)

Sabendo que ω = 2πf, onde f é a freqüência do movimento de rotação, isto é, o número de revoluções por segundo, pode-se escrever a equação 42 conforme a 43.

P = T .2.π.f (43)

(a) (b)

22

Expressando a freqüência f em Hz e o torque em N.m, a potência será expressa em N.m/s, isto é, em watts (W).

11. Flexão

Uma barra submetida à ação de dois conjugados iguais e de sentidos contrários M e M’, que atuam em um mesmo plano longitudinal, está sujeita a flexão pura. Assim, os esforços internos gerados em uma seção transversal da barra serão equivalentes a um conjugado.

Figura 11.1 – Barra prismática sob ação de um esforço de flexão pura.

O momento M desse conjugado é chamado de momento fletor da seção. Como convenção adota-se como positivo o momento M que flexiona a barra conforme a figura 11.1 e como negativo um momento fletor no sentido inverso.

Inicialmente, serão considerados apenas casos de flexão pura, como o apresentado na figura 11.1. Estes casos não são muito comuns nas aplicações práticas, porém, os resultados obtidos a partir desta análise podem ser aplicados no estudo de outros tipos de solicitações como o caso de cargas transversais e o caso de cargas normais excêntricas.

Figura 11.2 – Viga sob ação de um carregamento transversal.

Para o caso apresentado na figura 11.2, fazendo uma análise dos esforços a partir do diagrama de corpo livre é possível obter o diagrama de esforços cisalhantes (Q) e de momentos fletores (M), como apresentados na figura 11.3, os quais representam o comportamento dos diferentes esforços ao longo do comprimento da viga em questão.

Figura 11.3 – Diagramas de esforços cisalhantes e momentos fletores.

V M

30kN 36kNm

A B C D A B C D

A D

30 kN 30 kN 1,2m 1,2m

A

30 kN

M

B C

V

M M’ M

x

y

z

23

Considerando, novamente o caso da viga sob ação de um momento fletor como apresentado na figura 11.1, observa-se que ocorrem tensões de compressão na região superior da seção transversal da viga e tensões de tração na região inferior. Este é um comportamento típico de uma viga sendo solicitada por um momento fletor de qualquer espécie. O ponto onde as tensões são nulas é chamado de linha neutra ou superfície neutra, que coincide com o baricentro da seção transversal. Considerando que o momento fletor tem valor tal que as tensões normais se mantém abaixo do limite de proporcionalidade e do limite de elasticidade do material e a lei de Hooke pode ser aplicada para o estado uniaxial de tensões é possível determinar a tensão e a deformação ao longo da seção transversal da viga de acordo com as equações 43 e 44.

máximoxc

yσσ ⋅−= (43)

máximoxc

yεε ⋅−= (44)

Estas expressões demonstram que, no regime elástico, a tensão normal varia linearmente com a distância à superfície neutra como ilustrado na figura 11.4.

Figura 11.4 – Comportamento da tensão normal em vigas sob esforços de flexão.

Uma vez que ao longo da superfície neutra da viga não ocorrem tensões e deformações é possível afirmar que o comprimento L da viga ao longo desta superfície não se altera, podendo ser determinado pela equação 45. A figura 11.5 ilustra a deformação de uma viga sob ação de um carregamento de flexão pura.

θρ ⋅=L (45)

Figura 11.5 – Elementos de uma viga sob carregamento de flexão pura.

Y

X

θ

ρ

y

Superfície Neutra

L

Superfície qualquer

Superfície Neutra

y

c

σσσσmáx

σσσσx

24

O comprimento L’ de um arco localizado a uma distância y acima da superfície neutra pode ser obtido segundo a expressão 46.

( ) θρ ⋅−= yL (46)

Sabendo que a superfície localizada na região superior à superfície neutra está sob compressão pode-se determinar a deformação gerada de acordo com a equação 47.

( ) θρθρδ ⋅−⋅−=−= yLL'

θδ ⋅−= y (47)

Com isso é possível determinar a deformação específica longitudinal εx.

θρ

θδε

.

.y

Lx

−==

ρε

yx

−= (48)

Considerando que c seja o ponto da seção transversal da viga mais distante da superfície neutra é possível determinar a deformação específica máxima de acordo com a equação 49.

ρ

εc

=max (49)

Considerando que as solicitações não ultrapassem o regime elástico do material, sabe-se que σmax = εmax . E, assim, substituindo na equação 49 obtém-se a expressão 50.

ρ

σ c

E=max (50)

Substituindo a equação 43 na relação que define o momento fletor M = ∫(-y.σx)dA é possível obter a equação 51 a qual fornece a tensão máxima numa viga sob esforços de flexão.

I

cM ⋅=maxσ ou

W

M=maxσ (51)

A tensão máxima que ocorre em uma viga sob flexão ocorrerá, portanto no ponto mais distante da superfície neutra (c). Com isso, é possível determinar uma relação que ocorre entre o momento de inércia e a distância c, a qual depende exclusivamente da geometria da seção transversal, chamada de módulo resistente W, conforme a equação 52. Esta relação mostra que a tensão máxima é inversamente proporcional ao módulo resistente, de modo que uma viga deve ser projetada com o maior valor de W possível, nas condições de cada problema.

Desta forma, a determinação da tensão normal a uma distância y da superfície neutra atuante em uma viga com momento de inércia I e sob ação de uma solicitação de flexão M é dada pela equação 52, a qual é obtida através da substituição da equação 43 na equação 51.

25

I

yMx

⋅−=σ (52)

Além disso, substituindo a equação 51 na 50 é possível obter uma relação entre a curvatura gerada na barra devido ao momento M aplicado, conforme a equação 53.

IE

M

⋅=

ρ

1 (53)

11.1 Equação da Linha Elástica

A curvatura de uma viga sob ação de um carregamento de flexão pode ser definida pela segunda derivada da função y(x) que a curva representa, segundo a expressão 54.

2

21

dx

yd=

ρ (54)

Substituindo o valor da curvatura da equação 54 na 53, chega-se a expressão 55.

2

2

.

)(

dx

yd

IE

xM= (55)

A equação encontrada é uma equação diferencial linear de segunda ordem. Esta equação rege o comportamento da linha elástica. O produto E.I é chamado de rigidez flexional. No caso de vigas prismáticas (com seção transversal constante ao longo do comprimento da viga) a rigidez flexional é constante. Nestes casos é possível multiplicar os dois membros da equação 55 por E.I e integrar a variável x, obtendo o ângulo de rotação θ(x) em radianos, que a tangente à curva elástica no ponto Q forma com a horizontal, conforme está ilustrado na figura 11.6.

∫ +=x

CdxxMdx

dyIE

0

1)(. (56)

Sendo C1 uma constante de integração. Uma vez que o ângulo θ que ocorre nas vigas sob flexão no regime elástico é muito

pequeno é possível escrever a equação 57.

)(tan xdx

dyθθ ≅= (57)

Assim, substituindo a equação 57 na 56 é possível reescrevê-la de acordo com a 58.

∫ +=x

CdxxMxIE0

1)()(.. θ (58)

26

Integrando os dois membros da equação 58 obtemos a expressão 59 que representa a deflexão da viga.

∫∫ ++=xx

CxCdxxMdxyIE0

21

0

)(.. (59)

Sendo C2 uma segunda constante de integração. Assim, a menos que as constantes de integração C1 e C2 ainda estejam

indeterminadas a equação 59 define a flecha y da viga em qualquer ponto Q conforme está ilustrado na figura 11.6.

Figura 11.6 – Representação gráfica da flecha e rotação de uma viga sob flexão.

12. Cisalhamento Transversal

O exemplo mais comum de carregamento transversal ocorre quando uma barra horizontal, chamada viga, é submetida a um carregamento vertical. As cargas podem ser concentradas (P), distribuídas (w) ou uma combinação das duas, como na figura 12.1.

Figura 12.1 – Carregamento transversal combinado e as reações internas da viga.

Assim, percebe-se que as forças internas que atuam em AC devem ser equivalentes a uma força cortante V e a um momento M. Como convenção, adota-se como positivo o sinal da força cortante quando ela está direcionada de acordo com a figura 12.1.

Considera-se que a distribuição de tensões normais em uma certa seção transversal não fica afetada pelas deformações provocadas pelas tensões de cisalhamento. De acordo com essa hipótese, a distribuição de tensões normais em uma certa seção transversal deve ser a mesma quando a viga está submetida à carga transversal P ou quando ela está sob a ação do conjugado M de momento M = P.x. De fato os dois carregamentos levam ao mesmo

X

Y

θ(x)

y(x)

x

Q

A D

P w

A

P

M

B C

V

w

27

momento fletor na seção estudada e, apesar dos valores diferentes da força cortante (V = P no primeiro caso e V = 0 no segundo), considera-se a mesma distribuição de tensões normais. Enquanto as tensões não ultrapassam o limite de proporcionalidade, é possível, portanto, determinar as tensões normais de acordo com a equação 51, mesmo para carregamentos transversais.

Adotando como origem do sistema de eixos coordenados o centróide da seção transversal da extremidade livre da viga, conforme a figura 12.2, de modo que a abscissa indica a distância de qualquer ponto até a carga P, e a ordenada, à distância de qualquer ponto da viga até a superfície neutra, é possível escrever a equação 60.

Figura 12.2 – Viga em balanço sob ação de carregamento transversal na extremidade livre.

I

yxP

I

yMx

..−=

⋅−=σ (60)

O cisalhamento longitudinal em uma barra submetida a um carregamento transversal pode ser verificado se for utilizada uma viga em balanço composta de várias placas sobrepostas, ligadas a mesma extremidade fixa, como está ilustrado na figura 12.3. Quando a força transversal P é aplicada à extremidade livre da viga, ocorre o deslizamento de uma placa em relação à outra. Em uma viga feita de material homogêneo e coesivo, o deslizamento não ocorre, mas surge uma tendência a esse deslizamento, o que mostra a existência de tensões atuando em planos horizontais na direção longitudinal, juntamente com as tensões atuantes nos planos verticais transversais.

Figura 12.3 – Viga composta de placas sobrepostas sob carregamento transversal.

Para determinar a tensão de cisalhamento no plano horizontal, considera-se a viga em balanço da figura 12.2 que suporta a força P em sua extremidade livre. Assim, secciona-se a viga pela seção horizontal A’C’ que passa a uma distância y1 acima da linha neutra e pela seção vertical CC’ que passa a uma distância x da extremidade livre da viga, obtendo a porção ACC’A. As forças que atuam nessa porção da viga são indicadas na figura 12.4. Elas incluem uma parte P’ da força P aplicada à viga, a força cortante V’ na seção CC’, e os

A

P

A

P

M V

C B

L x

P

28

esforços normais σxdA que agem também nessa seção e a resultante das forças horizontais provenientes da tensão de cisalhamento na face inferior do corpo livre, chamado de H. Portanto, fazendo uso da equação 60 é obtida a relação 61, para este caso.

dAI

yxPdA

x

..−=σ (61)

Figura 12.4 – Estudo das forças atuantes em uma seção de uma viga em balanço.

De acordo com a condição de equilíbrio ΣFx = 0, para o corpo livre ACC’A é possível escrever a expressão 62.

0..

=− ∫ dAI

yxPH (62)

Dessa equação, explicitando o valor de H, e sabendo que x é constante ao longo da seção transversal, é possível escrever a equação 63.

∫=

==

cy

yyydA

I

xPH

1

. (63)

Por definição, a integral da equação 63 representa o momento estático (Q) da área que fica acima da linha y = y1 em relação à linha neutra. Com isso, é possível reescrever essa expressão conforme a equação 64.

xI

QPH ⋅

⋅= (64)

A

P

C B x

A’ C’

X

Y Y

L.N.

C’

C y1

c

A

P’

C B x

A’

X

Y

C’

H

V’

σσσσxdA

29

A equação 64 demonstra que a força horizontal H é proporcional ao comprimento x da seção considerada. Daí decorre que, para um certo valor de y1, o esforço cisalhante horizontal por unidade de comprimento, H/x é constante e igual a P.Q/I. A este esforço horizontal por unidade de comprimento é atribuído o nome de fluxo de cisalhamento o qual é expresso por q, conforme a equação 65.

I

QPq

⋅= (65)

No caso de uma viga submetida a vários carregamentos, concentrados ou distribuídos, é possível aplicar o princípio da superposição para determinar o fluxo de cisalhamento q, assim é possível substituir a força P pela soma das forças exercidas na viga, as quais se resumem à força cisalhante V que age na seção considerada. Com isso chega-se a equação 66.

I

QVq

⋅= (66)

Para a determinação da tensão de cisalhamento τxy em uma viga, é considerada uma viga com plano de simetria vertical, submetida a um carregamento distribuído ou concentrado que atua neste plano. Sabe-se que o fluxo de cisalhamento q, para uma viga cuja seção está suportando uma força cortante V, pode ser calculado conforme a equação 66. Assim, a força horizontal ∆H que é exercida em um comprimento ∆x da seção horizontal que passa por C’ conforme apresentado na figura 12.5 pode ser expresso de acordo com a equação 67.

xI

QVxqH ∆⋅

⋅=∆⋅=∆ (67)

Figura 12.5 – Esforços de cisalhamento em uma seção de viga sob carregamento transversal.

Desta forma, se dividirmos a equação 67 pela área ∆A = t . ∆x, obtém-se a tensão média de cisalhamento τxy, sendo que t representa a largura da seção horizontal considerada. Com isso, é possível obter a equação 68.

xt

x

I

QV

A

Hmédio

∆⋅

∆⋅

⋅=

∆

∆=τ

tI

QVmédio

⋅

⋅=τ (68)

t

∆H

C’

∆x

∆A

30

É importante ressaltar que nas faces superior e inferior da viga τxy = 0, uma vez que não há forças atuantes nessas faces. Por outro lado, não é possível determinar que τmédio será máximo ao longo da linha neutra, pois a tensão média depende também da largura t da seção. Além disso, ocorre que a tensão de cisalhamento não é constante ao longo da espessura da viga, sendo máxima nas bordas e mínima no centro, como ilustrado na figura 12.6. Quando a largura da viga se mantém pequena em relação à altura da seção, as tensões de cisalhamento variam muito pouco ao longo da linha C1’C2’. Nestes casos a equação 68 pode ser usada para calcular a tensão de cisalhamento em qualquer ponto ao longo de C1’C2’. A tabela 12.1 apresenta a relação entre a tensão de cisalhamento máxima, tensão de cisalhamento mínima e tensão de cisalhamento média para diferentes relações entre a base b e a altura h de uma viga.

Tabela 12.1 – Tensões de cisalhamento para diferentes relações de base e altura de vigas.

b/h 0,25 0,5 1 2 4 6 10 20 50

τmáx/τméd 1,008 1,033 1,126 1,396 1,988 2,582 3,770 6,740 15,650

τmin/τméd 0,996 0,983 0,940 0,856 0,805 0,800 0,800 0,800 0,800

Figura 12.6 – Distribuição das tensões de cisalhamento na seção transversal de uma viga.

13. Carregamentos Combinados

Inicialmente aprendemos a determinar as tensões causadas por uma carga axial centrada. Após, analisamos a distribuição de tensões em barras cilíndricas sujeitas a conjugados de torção, tensões causadas por conjugados de flexão e, por fim as tensões provocadas por carregamento transversal. Como veremos, é possível combinar o conhecimento adquirido para a determinação das tensões em barras delgadas de estruturas ou componentes de máquinas sob condições bem gerais de carregamento.

Consideremos, por exemplo, a barra de eixo curvado e seção transversal circular ABDE, que está submetida à ação de várias forças, apresentada na figura 13.1.

L.N.

b

h

τxy = 0

τyx = 0

τmáx

31

Figura 13.1 – Barra curvada sob ação de carregamentos distintos.

Para determinar as tensões produzidas em um certo ponto K pelas forças aplicadas, deve-se seccionar a barra neste ponto e determinar o sistema de forças e momentos no centróide da seção C, necessário para manter o equilíbrio da porção ABK. Esse sistema representa os esforços internos na seção. Em geral, ele consiste de três componentes de forças e de três vetores que representam conjugados, os quais se adota como sendo dirigidos como indica a figura 13.2.

Figura 13.2 – Sistema de esforços internos na seção C.

Neste caso, a força P é uma força axial, que produz tensões normais na seção. Os conjugados My e Mz provocam flexão na barra e também produzem tensões normais na seção. Assim, a tensão normal σx no ponto K é a soma das tensões produzidas pela força e conjugados indicados na figura 13.3a. Por outro lado, o conjugado de torção T e as forças cortantes Vy e Vz provocam tensões de cisalhamento na seção e, portanto, as componentes τxy e τxz da tensão de cisalhamento em K podem ser calculadas somado as componentes de tensão que correspondem a cada um dos esforços indicados na figura 13.3b.

A

B

D

E

F1

F2

F3

F4

F5

K

A

B

F1

F2

K

y

x z

My

Vy

Mz

T

P

Vz

C

32

(a) (b)

Figura 13.3 – Componentes de tensão normal e de cisalhamento.

Os resultados obtidos são válidos dentro das condições de aplicabilidade do Princípio da Superposição e do Princípio de Saint-Venant. Isto significa que as tensões encontradas não podem exceder o limite de proporcionalidade do material, que a deformação provocada por um certo carregamento não deve afetar a determinação das tensões devidas a outro carregamento, e que a seção em estudo não deve estar muito próxima de um ponto de aplicação de cargas. Pela primeira das restrições expostas, fica claro que o método apresentado não pode ser aplicado em casos de deformação plástica.

14. Estado Plano de Tensões

Nesta seção serão discutidas as transformações de tensões para casos de tensões planas, isto é, para situações em que duas das faces do cubo elementar se encontram isentas de tensões. Adotando-se o eixo z perpendicular a estas faces, ocorre que σz = τzx = τzy = 0, e as únicas componentes de tensão que permanecem são σx, σy e τxy, como apresentado na figura 14.1. Esta situação ocorre, por exemplo, em uma placa fina submetida a forças atuando no plano médio da sua espessura. Também ocorre na superfície livre de um elemento estrutural qualquer, ou seja, em qualquer ponto da superfície deste elemento ou componente, que não está sujeito a aplicação de uma força externa.

Figura 14.1 – Elemento de tensão no estado plano de tensões.

Considerando o elemento ilustrado na figura 14.1, no estado plano de tensões, sob ação das tensões normais e de cisalhamento σx, σy e τxy, deseja-se determinar as componentes de tensão σx’, σy’ e τx’y’, referentes ao cubo elementar que foi rodado de um ângulo θ em torno do eixo z, expressando essas componentes em função de σx, σy, τxy e θ.

Para se determinar a tensão normal σx’, e a tensão de cisalhamento τx’y’, que atuam na face perpendicular ao eixo x’, deve-se considerar o prisma elementar de faces perpendiculares aos eixos x, y e x’ conforme ilustrado na figura 14.2a. Chamando de ∆A a

K

My

Mz

P C

K

Vy

T Vz

C

P σx

τxy

τxz

σσσσx

σσσσy ττττyx

ττττxy

33

área da face inclinada, calculam-se as áreas das faces horizontal e vertical por ∆A.cosθ e ∆A.senθ, respectivamente. Com isso, as forças elementares que atuam nessas faces são aquelas ilustradas na figura 14.2b. Por tratar-se de um estado plano de tensões não existem forças atuando nas faces triangulares do prisma elementar. Assim, calculando as componentes dessas forças em relação aos eixos x’ e y’ temos as seguintes equações de equilíbrio.

ΣFx’ = 0

σx’ ∆A −σx( ∆A cosθ )cosθ −τxy( ∆A cosθ )senθ −σy( ∆A senθ )senθ − τxy( ∆A senθ )cosθ = 0

ΣFy’ = 0

τx’y’ ∆A +σx( ∆A cosθ )senθ −τxy( ∆A cosθ )cosθ −σy( ∆A senθ )cosθ + τxy( ∆A senθ )senθ = 0

Figura 14.2 – Prisma elementar e tensões correspondentes às faces.

Isolando a variável σx’ da primeira equação e a variável τx’y’ da segunda chega-se as expressões 69 e 70, respectivamente.

σx’ = σx cos2θ +σy sen2θ + 2τxy senθ cosθ (69)

τx’y’ = −(σx − σy) cosθ senθ + τxy (cos2θ − sen2θ ) (70)

Utilizando as relações trigonométricas abaixo.

sen2θ = 2 senθ cosθ cos2θ = cos2θ – sen2θ (71)

cos2θ = (1 + cos2θ )/2 sen2θ = (1 − cos2θ )/2 (72)

θθθθ

y y'

x

x'

∆∆∆∆A

∆∆∆∆Asenθθθθ

∆∆∆∆Acosθθθθ

z

θθθθ

y y'

x

x'

σσσσy(∆∆∆∆A senθ θ θ θ )

σσσσx(∆∆∆∆A cosθ θ θ θ )

ττττxy(∆∆∆∆A senθ θ θ θ )

ττττxy(∆∆∆∆A cosθ θ θ θ )

ττττx’y’∆∆∆∆A σσσσx’∆∆∆∆A

(a) (b)

34

É possível reescrever a equação 69 como apresentado na equação 73.

θτθ

σθ

σσ 2sin2

2cos1

2

2cos1' xyyxx

+−

++

=

θτθσσσσ

σ 2sin2cos22' xy

yxyx

x +−

++

= (73)

Da mesma forma, utilizando as relações 71 é possível reescrever a equação 70 conforme a equação 74.

θτθσσ

τ 2cos2sin2'' xy

yx

yx +−

= (74)

Para determinar a expressão da componente σy, deve-se substituir na equação 73 o ângulo θ por θ + 90°, que é o ângulo formado pelos eixos y’ e x’. Uma vez que cos(2θ + 180°) = − cos2θ e sen(2θ + 180°) = − sen2θ, obtém-se a equação 75.

θτθσσσσ

σ 2sin2cos22' xy

yxyx

y −−

−+

= (75)

Assim, somando membro a membro as equações 73 e 75 verifica-se o seguinte.

yxyx σσσσ +=+ '' (76)

Uma vez que σz = σz’ = 0, verifica-se que a soma das tensões normais em um elemento submetido a um estado plano de tensões independe da orientação desse elemento.

14.1 Tensões Principais e Tensão de Cisalhamento Máxima

As equações 73 e 74 obtidas anteriormente são as equações paramétricas de uma circunferência. Isso quer dizer que se for adotado um sistema de eixos coordenados e for marcado um ponto M de abscissa σx

, e ordenada τx’y’ para qualquer valor do parâmetro θ, vamos sempre obter um ponto que se encontra em uma circunferência. Esta propriedade pode ser demonstrada eliminando θ entre as equações 73 e 74. Para isso, é transportado o primeiro membro da equação 73, elevando ao quadrado os dois membros da equação. Em seguida, é elevado ao quadrado os dois membros da equação 74, somando membro a membro as duas expressões obtidas. Dessa forma chega-se à equação 77.

2

2

2''

2

' 22 xy

yx

yx

yx

x τσσ

τσσ

σ +

−=+

+− (77)

Com isso é possível determinar que:

2yx

médio

σσσ

+= 2

2

2 xy

yxR τ

σσ+

−= (78)

35

Desta forma é possível reescrever a identidade de acordo com a equação 79.

( ) 22''

2' Ryxmédiox =+− τσσ (79)

A equação 79 é a equação de uma circunferência de raio R com centro no ponto C de abscissa σmédia e ordenada zero como ilustrado na figura 14.3a. Como a circunferência é simétrica em relação ao eixo horizontal fica claro que o mesmo resultado seria obtido se o ponto marcado fosse N de abscissa σx’ e ordenada −τx’y’, como ilustrado na figura 14.3b.

Figura 14.3 – Circunferência característica do estado plano de tensões.

Da figura 14.3 é possível observar que σmáximo = σmédio + R e que σmínimo = σmédio - R. Com os valores de σmédio e R dados pela equação 78 é possível escrever a expressão 80.

2

2

minmax, 22 xy

yxyxτ

σσσσσ +

−±

+= (80)

Os pontos A e B em que a circunferência intercepta o eixo horizontal tem um interesse especial, já que correspondem ao máximo e mínimo valor da tensão normal σx, respectivamente. Ao mesmo tempo, os dois pontos correspondem a um valor nulo da tensão de cisalhamento τx’y’. Desse modo, o valor θp do parâmetro θ que corresponde aos pontos A e B pode ser obtido da equação 74, fazendo τx’y’ = 0, tendo como resultado a equação 81.

yx

xy

pσσ

τθ

−

⋅=

22tan (81)

Essa equação define dois valores para 2θp com diferença de 180° ou dois valores de θp com diferença de 90°. Qualquer desses valores pode ser usado na determinação da orientação do cubo elementar correspondente, conforme ilustrado na figura 14.4. As faces do cubo elementar obtido dessa maneira definem os planos chamados de planos principais

ττττx’y’

σσσσx’

R

D

E

B A C

M

σσσσmáximo

σσσσx’

σσσσmínimo

σσσσmédio

ττττx’y’ ττ ττ máxim

o

O

(a)

2θθθθ

ττττx’y’

σσσσx’

R

C

N σσσσmédio

−−−−ττττx’y’

σσσσx’

O

(b)

2θθθθ

36

no ponto Q. Da mesma forma, as tensões normais σmáximo e σmínimo que agem nesses planos são chamadas de tensões principais no ponto Q.

Figura 14.4 – Faces do cubo elementar alinhadas com os planos principais.

De maneira análoga verifica-se que os pontos D e E localizados no diâmetro vertical do círculo correspondem ao maior valor da tensão de cisalhamento τx’y’ e tem a mesma abscissa σmédio = (σx + σy)/2, e os valores θc do parâmetro θ que correspondem a esses pontos podem ser obtidos fazendo σx’ = (σx + σy)/2 na equação 73 e, assim obtendo a expressão 82.

xy

yx

cτ

σσθ

⋅

−−=

22tan (82)

Essa equação define dois valores de 2θc com diferença de 180°, (ou dois valores de θc com diferença de 90°). Estes valores podem ser utilizados para a deteminação da orientação do elemento que corresponde à tensão de cisalhamento máxima conforme ilustrado na figura 14.5.

Figura 14.5 – Faces do cubo elementar alinhadas com os planos que correspondem à τmáximo.

Comparando as equações 81 e 82, percebe-se que a tan2θc é o inverso negativo da tan2θp. Isto quer dizer que os ângulos 2θc e 2θp tem diferença de 90° e, portanto, os ângulos θc e θp estão separados de 45°. Logo os planos de máxima tensão de cisalhamento formam ângulos de 45° com os planos principais.

σmáximo σmínimo

σmínimo σmáximo

Q x

y

x’ y'

θθθθp

θθθθp

σmédio σmédio

σmédio σmédio

Q x

y

x’

y'

θθθθc

θθθθc

ττττmáximo

ττττmáximo

37

14.2 Círculo de Mohr

A circunferência gerada anteriormente, a qual foi utilizada para a dedução de algumas relações básicas para a transformação de tensões, foi apresentada pela primeira vez pelo engenheiro alemão Otto Mohr (1835 – 1918), sendo conhecida como círculo de Mohr para o estado plano de tensões. Assim, o círculo de Mohr oferece um método alternativo para a solução de problemas de transformação de tensões do estado plano de tensões baseando-se em relações geométricas simples.

A construção do círculo de Mohr utiliza para as tensões normais a convenção usual de sinais, em que a tensão de tração é positiva, ficando posicionada à direita do eixo das ordenadas, e a tensão de compressão é negativa ficando à esquerda. As tensões de cisalhamento devem ser analisadas considerando separadamente cada face do elemento usado na definição dos componentes de tensão. Assim, quando a tensão de cisalhamento em uma certa face tende a girar o elemento no sentido horário, o ponto que corresponde a essa face no círculo de Mohr fica acima do eixo das abscissas e vice-versa como mostra a figura 14.6.

Figura 14.6 – Convenção de sinais para construção do círculo de Mohr.

14.3 Critérios de Ruptura para Materiais Dúcteis

Elementos estruturais são projetados de modo que o material que os compõem, sendo material dúctil, não venha a escoar pela ação dos carregamentos esperados. Quando o elemento está sob ação de estado uniaxial de tensão, o valor da tensão normal σx que vai provocar escoamento do material pode ser obtido diretamente de um ensaio de tração executado em um corpo de prova do mesmo material, já que os dois estão sujeitos ao mesmo estado de tensões. Assim, mesmo não levando em conta os mecanismos reais que levam o material ao escoamento, é possível estabelecer que a peça estrutural está segura enquanto σx < σe, sendo σe a tensão de escoamento do material no teste de tração.

Por outro lado, quando o elemento estrutural está submetido ao estado plano de tensões, é conveniente a utilização de um dos métodos apresentados anteriormente para a determinação das tensões principais máxima σa e mínima σb em um certo ponto. Nestes casos não é possível predizer diretamente do ensaio de tração se o material que compõe o elemetno estrutural em estudo vai se romper ou não. É necessário, antes disso, estabelecer algum critério que leve em conta o real mecanismo de ruptura do material, que permita comparar os efeitos dos dois estados de tensões a que está sujeito o material.

Um dos critérios utilizados para materiais dúcteis é o critério da máxima tensão de cisalhamento. Este critério se baseia no fato de que o escoamento dos materiais dúcteis é causado por deslizamento do material ao longo de superfícies oblíquas, devido, principalmente a tensões de cisalhamento. Por este critério, um elemento estrutural é

σσσσ

ττττ σσσσ

ττττ

Sentido Horário - Acima

σσσσ

ττττ σσσσ ττττ

Sentido Anti-Horário - Abaixo

38

considerado seguro enquanto a tensão máxima de cisalhamento τmáximo não exceder a tensão de cisalhamento corespondente a um corpo de prova do mesmo material, que escoa em ensaio de tração. Como já foi visto anteriormente, em caso de carga axial centrada, a tensão de cisalhamento é igual à metade do valor da tensão normal correspondente. Sendo assim, a tensão de cisalhamento máxima em um corpo de prova em ensaio de tração é σe/2, no instante em que o material inicia o escoamento. Além disso, foi observado anteriormente que para o estado plano de tensões, o valor da tensão de cisalhamento máximo τmáximo é igual a |σmáximo – σmínimo|/2. Desse modo, se as tensões principais σa e σb tem o mesmo sinal, devem respeitar as inequações 83.

ea σσ < eb σσ < (83)

Se as tensões principais σa e σb tem sinais contrários devem então respeitar a inequação 84.

eba σσσ <− (84)

Estas relações podem ser representadas graficamente como apresentado na figura 14.7. Qualquer estado de tensão é representado nesta figura por um ponto de coordenadas σa e σb, que são as tensões principais desse estado de tensões. Assim, se o ponto ficar localizado dentro da área indicada, o elemento estrutural está em condições de segurança, caso contrário o elemento sofrerá escoamento. O hexágono que fica associado ao início do escoamento no material é chamado hexágono de Tresca (Eng. Henri E. Tresca 1814-1885).

Figura 14.7 – Hexágono de Tresca.

Outro critério utilizado para materiais dúcteis é o critério da máxima energia de distorção, também conhecido como critério de von Mises (especialista em matemática aplicada Richard von Mises 1883-1953). Por esse critério, um componente estrutural estará em condições de segurança enquanto o maior valor de energia de distorção por unidade de volume do material permanecer abaixo da energia de distorção por unidade de volume necessária para provocar o escoamento no corpo de prova de mesmo material submetido a ensaio de tração. Essa energia para um material isotrópico em estado plano de tensões é definido segundo a equação 85.

( )22

6

1bbaad

Gu σσσσ +−= (85)

σa

σb

σe

σe

σe

σe O

39

Sendo σa e σb as tensões principais e G o módulo de elasticidade transversal. No caso particular de um corpo de prova em ensaio de tração que esteja começando a escoar, temos σa = σe e σb = 0, ficando (ud)e = σe

2 / 6G. Assim, o critério da máxima energia de distorção indica que o elemento estrutural está seguro enquanto ud < (ud)e, como definido pela equação 86.

( ) 222ebbaa

σσσσσ <+− (86)

Essa expressão define a elipse representada na figura 14.8 e, da mesma forma que no método anterior, considera segura os pontos coordenados formados pelas tensões principais σa e σb que ficam localizados dentro da área limitada pela elipse.

Figura 14.8 – Elipse definida por meio do critério de von Mises.

14.4 Critérios de Ruptura para Materiais Frágeis

Materiais frágeis se caracterizam pelo fato de apresentarem uma ruptura brusca, sem que o corrra escoamento anterior ao instante de ruptura. Assim como no caso anterior, quando um elemento estrutural está sob um carregamento uniaxial de tensão, pode-se definir como sendo sua tensão limite a mesma tensão de ruptura verificada para o mesmo material em um ensaio de tração. Quando o elemento se encontra no estado plano de tensões é necessário determinar as tensões principais σa e σb e aplicar um critério de ruptura para materiais frágeis.

Um dos critérios utilizados para materiais frágeis é o critério da máxima tensão normal, o qual define que um componente estrutural se rompe quando a máxima tensão normal atuante atinge o valor da tensão de ruptura do material σr, obtida por meio de ensaio de tração em um corpo de prova do mesmo material. Assim, o componente estrutural se encontrará em situação de segurança enquanto os valores absolutos das tensões principais σa e σb forem ambos menores que σr, como definido nas inequações 87.

ra σσ < rb σσ < (87)

O critério da máxima tensão normal pode ser expresso graficamente como indica a figura 14.9. Portanto, os pontos coordenados definidos pelas tensões principais σa e σb que estiverem contidos na área definida estarão em situação de segurança.

σa

σb

σe

σe

σe

σe O

σa

σb

σe

σe

σe

σe O

40

Figura 14.9 – Área definida pelo critério da máxima tensão normal.

15. Flambagem de Colunas

Suponha que deva ser dimensionada uma coluna AB de comprimento L que vai suportar uma carga de compressão P como ilustrado na figura 15.1a. A coluna está ligada em suas extremidades por meio de pinos, sendo, então articulada nas extremidades, e a carga P é, supostamente centrada. Daí pode-se concluir que a coluna estará bem dimensionada se a área A da seção transversal for dimensionada de tal forma que o valor σ = P / A da tensão em qualquer seção transversal fique abaixo da tensão admissível σadm do material utilizado, e que a deformação δ = PL / AE se mantenha dentro de especificações recomendadas. No entanto, pode ocorrer um fenômeno conhecido como flambagem quando a força P é aplicada. Neste caso, ao invés de permanecer com seu eixo retilíneo, a coluna se torna subitamente bastante encurvada como ilustrado na figura 15.1b.

Figura 15.1 – Flambagem de coluna com extremidades articuladas.

σb

σa σr

σr

σr

σr O

P

A

B

L

P

A

B

(a) (b)

41

De forma simplificada pode-se analisar o problema de flambagem considerando um modelo que consiste em duas barras rígidas, ligadas em C por um pino e uma mola de torção de constante K, como ilustrado na figura 15.2a.

Figura 15.2 – Modelo simplificado para análise do comportamento da flambagem de colunas.

Se as duas barras e as duas forças P e P’ estão perfeitamente alinhadas, o sistema permanece em equilíbrio enquanto não ocorrerem perturbações (15.2a). Porém, se o ponto C for, ligeiramente deslocado para a esquerda, de forma que cada barra forme com a vertical um pequeno ângulo ∆θ, indicado na figura 15.2b, o sistema tanto pode voltar à sua posição de equilíbrio (sistema estável) como pode continuar se movendo para fora dessa posição (sistema instável).

Para determinar se o sistema formado pelas duas barras é estável ou instável é necessário considerar as forças que agem na barra AC como ilustrado na figura 15.3.

Figura 15.3 – Diagrama de corpo livre da barra AC.

P

A

B

C

constante

K

L/2

L/2

A

B

C

P

P’

2∆θ

∆θ

∆θ

(a) (b)

A

C

P

P’

∆θ

M

L/2

42

Os esforços nessa barra se constituem de dois conjugados. O conjugado formado pelas forças P e P’, de momento igual a P(L/2)sen∆θ, que tende a afastar a barra da vertical, e o conjugado M exercido pela mola, que tende a levar a barra de volta à sua posição vertical. Como o ângulo de deflexão da mola é de 2∆θ, o conjugado M tem momento de valor M = K(2∆θ). Se a intensidade do segundo conjugado for maior que a do primeiro o sistema tende a retornar à posição de equilíbrio original. Se o primeiro conjugado for maior que o segundo, o sistema se torna instável. O valor da carga para o qual os dois conjugados se equilibram é chamado de carga crítica e é designado por Pcr conforme a equação 88.

( ) )2(sin2 θθ ∆=∆ KLPcr

(88)

Considerando uma deflexão pequena é possível fazer sen∆θ ≈ ∆θ, assim ficando.

LKPcr

4= (89)

Assim, fica claro que o sistema é estável para P < Pcr, ou seja, para valores do carregamento menores que o valor crítico, e instável para P > Pcr.

15.1 Fórmula de Euler

Uma coluna pode ser considerada como uma viga colocada em posição vertical e submetida a uma força axial. Assim, é chamado de x a distância da extremidade A da coluna até um ponto Q de sua linha elástica, e de y a deflexão desse ponto, como apresentado na figura 15.4a. Segue daí que o eixo x é vertical com orientação de cima para baixo e que o eixo y é horizontal e orientado da esquerda para a direita.

Figura 15.4 – Flambagem de uma coluna articulada nas extremidades.

Considerando o equilíbrio da parte AQ (figura 15.4b), percebe-se que o momento fletor em Q é M = -P.y. Substituindo este valor de M na equação 55 chega-se a equação 90.

yEI

P

IE

xM

dx

yd−==

.

)(2

2

(90)

P

A

B (a)

P’

Q

y

x

[x = 0, y = 0]

[x = L, y = 0]

P

A

(b)

P’

Q

y

x

M

43

Fazendo,

IE

Pp

.2 = (91)

É possível reescrever a equação 90 e obter a expressão 92.

022

2

=+ ypdx

yd (92)

Esta é a mesma equação diferencial que descreve o movimento harmônico simples, exceto pela variável independente, que, neste caso é a coordenada x e não o tempo t. Assim, a solução geral da equação 92 é dada pela equação 93.

y = A.sen(px) + B.cos(px) (93)

Pelas condições de contorno que devem ser satisfeitas nos pontos A e B da coluna, conforme indicado na figura 15.4a, fazendo inicialmente x = 0 e y = 0 na equação 93 é determinado B = 0. A seguir, substituindo x = L e y = 0 é obtida a expressão A.sen(pL) = 0. Esta equação é satisfeita para A = 0 ou para sen(pL) = 0. Se a primeira das equações for tomada, a equação 93 reduz-se a y = 0, o que significa que a coluna tem seu eixo reto. Para que a segunda equação seja satisfeita define-se que (pL) = nπ ou, substituindo p pelo valor dado na equação 91 e isolando P é possível obter a equação 94.

2

22

L

EInP

π= (94)

O menor valor de P definido pela equação 94 corresponde a n = 1, com isso é definido o valor crítico da carga P, conforme apresentado na equação 95, também conhecida como fórmula de Euler (matemático suíço Leonhard Euler 1707-1783).

2

2

L

EIPcr

π= (95)

Levando a expressão 95 à equação 91 e daí levando o valor de p obtido à equação 93, considerando que B = 0, pode-se determinar a equação da linha elástica depois que a coluna flamba, de acordo com a equação 96.

⋅=

L

xAy

πsin (96)

O valor da tensão que corresponde à carga crítica é chamado de tensão crítica. Recorrendo à equação 95 e fazendo I = A.r2, onde A é a área da seção transversal e r é o raio de giração definido no anexo A.1, é possível obter a relação 97.

2

2

2

22

)/( rL

E

AL

EAr

A

Pcr

cr

cr

πσ

πσ =⇒== (97)

A relação L/r é chamada de índice de esbeltez da coluna.

44

A equação 97 mostra que a tensão crítica é proporcional ao módulo de elasticidade do material e inversamente proporcional ao quadrado do índice de esbeltez da coluna. Um gráfico de σcr em função de L/r está apresentado na figura 15.5 para um aço estrutural com E = 200 GPa e σe = 250 MPa.

Figura 15.5 – Gráfico da tensão crítica de flambagem em função do índice de esbeltez.

A fórmula de Euler 95 foi deduzida anteriormente para uma coluna com as duas extremidades articuladas. Para outros tipos de vínculo nas extremidades da coluna deve ser verificado o comportamento da deformação e as novas condições de contorno tornando possível a determinação das respectivas fórmulas de Euler.

No caso de uma coluna com uma extremidade livre A, onde se aplica a força P, e a outra extremidade B engastada, como ilustrado na figura 15.6a, é possível observar que a coluna se comporta como uma metade de uma coluna com as extremidades articuladas. Neste caso a carga crítica fica igual a determinada anteriormente, porém considerando um comprimento para a coluna igual ao dobro do comprimento L real. Assim, diz-se que o comprimento efetivo de flambagem Le da coluna da figura 15.6 é igual a 2L e, portanto a fórmula de Euler pode ser reescrita conforme a equação 98.

Figura 15.6 – Flambagem de uma coluna com uma extremidade livre e outra engastada.

250

300

200

100

200 100 89

σcr

σe

σ (MPa)

(L/r)

P

A

(a)

L

B

P

A

A’ (b)

P’

B Le = 2L

45

2

2

e

crL

EIP

π= (98)

Da mesma forma pode-se determinar a tensão crítica, conforme a equação 99.

2

2

)/( rL

E

e

cr

πσ = (99)

A grandeza Le/r é chamada de índice efetivo de esbeltez da coluna.

A figura 15.7 apresenta o comprimento efetivo de flambagem para colunas com outras condições de extremidade.

Figura 15.7 – Comprimento efetivo de colunas com outras condições de extremidade.

15.2 Fórmula da Secante

Quando a carga aplicada na coluna não é centrada, havendo uma excentricidade e, como ilustrado na figura 15.8, a chamada fórmula da secante deve ser usada. A sua dedução é semelhante a da fórmula de Euler, havendo apenas um termo a mais na expressão do momento referente à excentricidade (MA = P.e), além do momento devido a flambagem da coluna (P.y). Assim, substituindo ambos momentos na equação da linha elástica e fazendo as devidas operações matemáticas chega-se a deflexão ymáx, conforme a equação 100.

−

= 1

2secmax

L

EI

Pey (100)

P

A

B

Le = 0,7L

(a) Articulada-engastada (b) Biengastada

P

A

B

Le = 0,5L

46

Figura 15.8 – Flambagem de coluna com extremidades articuladas e carga exêntrica.

A expressão 100 mostra que y assume um valor infinito quando,

22

π=

L

EI

P (101)

Embora a deflexão realmente não atinja um valor infinito ela se torna inaceitavelmente grande. Assim, a carga P não deve atingir o valor crítico que satisfaz a equação 101 e, com isso é possível obter a expressão 102 da carga crítica.

2

2

L

EIPcr

π= (102)

Esta expressão é identica à equação 95 deduzida para uma carga centrada. Agora, isolando as variáveis EI na equação 102 e substituindo na equação 100 é possível expressar a deflexão máxima em uma forma alternativa conforme a equação 103.

−= 1

2secmax

crP

Pey

π (103)

A tensão máxima σmáx ocorre na seção da coluna em que atua o maior momento fletor, isto é, na seção transversal dada pelo ponto C. Essa tensão é obtida pela soma da tensão normal devida à força axial e da tensão normal devido ao momento fletor que agem naquela seção, e, portanto, pode ser determinada pela equação 104.

A

B

P

L

P’

e

A

B

P

P’

MA = P.e

MB = P.e

(a)

B

C

A

ymáx

P

P’

MA = P.e

MB = P.e

A

P MA = P.e

P’ Mmáx

L/2

C

(b) (c) (d)

47

I

cM

A

P ⋅+= max

maxσ (104)

Onde c é o afastamento máximo da linha baricêntrica da coluna.

Com base no diagrama de corpo livre da parte AC da coluna apresentado na figura 15.8d é possível escrever a equação 105.

)( maxmaxmax eyPMyPMA

+=+⋅= (105)

Substituindo esta expressão na equação 104, lembrando que I = Ar2, obtém-se a 106.

⋅++=

2max

max

)(1

r

cey

A

Pσ (106)

Substituindo ymax pelo valor obtido na expressão 100 chega-se a equação 107.

+=

2sec1

2max

L

EI

P

r

ec

A

Pσ (107)

Uma outra forma pode ser obtida utilizando ymax obtido na equação 103 e substituindo na equação 106.

+=

crP

P

r

ec

A

P

2sec1

2max

πσ (108)

É importante ressaltar que a tensão σmax não varia linearmente com a carga P, de modo que não deve ser aplicado o princípio da superposição para a determinação das tensões provocadas por várias cargas aplicadas simultaneamente. É necessário, primeiramente determinar a resultante dos carregamentos, para depois aplicar as equações 107 ou 108 no cálculo das tensões. Pela mesma razão, qualquer coeficiente de segurança deve ser aplicado ao carregamento e não à tensão.

Na equação 107, fazendo I = Ar2 e resolvendo a equação resultante para a relação P/A é possível obter a equação 109.

+

=

r

L

EA

P

r

ecA

P

e

2

1sec1

2

maxσ (109)

Essa é a fórmula conhecida como fórmula da secante, a qual define uma força por unidade de área P/A que causa uma certa tensão σmax em uma coluna de índice de esbeltez conhecido Le/r, para um certo valor da relação ec/r2, onde e é a excentricidade da carga aplicada. Esta é uma equação transcendente, uma vez que P/A aparece nos dois membros, e deve ser resolvida por tentativas para que se obtenha o valor de P/A correspondente à coluna e ao carregamento dados.

48

A equação 109 foi utilizada para gerar as curvas indicadas na figura 15.9, relativas a uma coluna de aço com E = 200 GPa e σe = 250 MPa. A curva superior representa a curva de Euler para uma coluna com carregamento centrado. As demais curvas são para excentricidades crescentes de cima para baixo. Observa-se que para índices de esbeltez elevados, tanto o método de Euler como da secante conduzem para tensões críticas próximas.

Figura 15.9 – Carga por unidade de área que provoca escoamento em uma colna de aço.

50

100

150

200

250

300

50 100 150 200 0

12

=r

ec

02

=r

ec

0,1

0,2

0,4

0,6

0,8

Curva de Euler E = 200 GPa σσσσe = 250 MPa

Le / r

P/A

(M

Pa)

49

A.1 Momento de Inércia e Raio de Giração

Considera-se a área A situada no plano xy e o elemento de área dA de coordenadas x e y, conforme ilustrado na figura A.1.

Figura A.1 – Representação de uma área qualquer definida por coordenadas retangulares.

O momento de inércia da área A em relação ao eixo x e em relação à y são definidos, respectivamente, conforme as equações A.1 e A.2.

∫=A

xdAyI 2 A.1

∫=A

ydAxI 2 A.2

Essas integrais são chamadas de momentos de inércia retangulares, uma vez que são calculadas pelas coordenadas retangulares do elemento dA.

Da mesma forma, pode-se definir o momento de inércia polar da área A em relação ao ponto O, como ilustrado na figura A.2 e conforme a expressão A.3.

Figura A.2 – Representação de uma área qualquer definida por coordenadas polares.

∫=A

OdAJ 2ρ A.3

Resolvendo as integrais apresentadas nas equações A.1, A.2 e A.3 percebe-se que seus valores são sempre positivos. No Sistema Internacional de Unidades eles são usualmente expressos em m4 ou mm4.

Y

X A

dA

O x

y

Y

X A

dA

O

ρ

50

É possível estabelecer uma relação importante entre o momento de inércia polar JO de uma certa área e os momentos de inércia retangulares Ix e Iy dessa área, uma vez que ρ2 = x2 + y2, conforme a expressão A.4.

∫∫∫∫ +=+==AAAA

OdAxdAydAyxdAJ 22222 )(ρ

yxO IIJ += A.4

O raio de giração de uma área A em relação ao eixo x é definido pela grandeza rx que satisfaz a relação A.5.

ArIxx

⋅=2 A.5

Sendo Ix o momento de inércia de A em relação ao eixo x. Isolando rx na equação A.5 obtém-se a expressão A.6.

A

Ir x

x = A.6

De maneira análoga é possível definir o raio de giração em relação ao eixo y e em relação à origem O, de acordo com as equações A.7 e A.8.

A

Ir

y

y = A.7

A

Jr O

O = A.8

A.2 Teorema dos Eixos Paralelos

Considerando-se o momento de inércia Ix de uma área A em relação a um eixo arbitrário x, conforme apresentado na figura A.3 e chamando de y a distância de um elemento de área dA até esse eixo sabe-se que:

∫=A

xdAyI 2

Figura A.3 – Representação de uma área em relação a um eixo arbitrário.

X

A

dA

C x'

y

d

y'

51

O eixo centroidal x’ é o eixo paralelo a x que passa pelo centróide C da área em questão. A distância do elemento dA até esse eixo será chamada de y’, e com isso obtém-se a relação y = y’+d, onde d é a distância entre os dois eixos. Substituindo este valor de y na integral que representa Ix chega-se à expressão A.9.

∫ ∫ +==A A

xdAdydAyI 22 )'(

∫ ∫∫ ++=A AA

xdAddAyddAyI 22 '2' A.9

A primeira integral da equação A.9 representa o momento de inércia Īx da área em relação ao eixo centroidal x’. A segunda integral representa o momento estático Qx da área em relação ao eixo x’. Por definição, esse momento estático é nulo, uma vez que o eixo x’ passa pelo centróide C. Por fim, a última integral da expressão é igual à área total considerada. Sendo assim, pode-se definir o momento de inércia Ix de uma área arbitrária em relação a um eixo paralelo ao seu eixo centroidal de acordo com a equação A.10.

2' dAII

xx⋅+= A.10

Da mesma forma pode-se deduzir uma equação para o momento de inércia polar.

2dAJJCO

⋅+= A.11

A.3 Momento Estático e Centróide de uma Área

Considerando uma área A situada no plano xy e um elemento de área dA cujas coordenadas são definidas por x e y, como ilustrado na figura A.1, o momento estático desta área em relação ao eixo x pode ser determinado pela integral A.12.

dAyQA

x ∫= A.12

De maneira análoga, o momento estático da área A em relação ao eixo y é determinado pela integral A.13.

dAxQA

y ∫= A.13

Com isso é possível perceber que, dependendo da posição dos eixos coordenados, cada uma das integrais pode ser positiva, negativa ou nula. Os momentos estáticos Qx e Qy são usualmente expressos em m3 ou mm3, no Sistema Internacional de Unidades.

O centróide da área A é definido como o ponto C de coordenadas x e y, conforme a figura A.4, que satisfazem as relações A.14.

52

Figura A.4 – Representação de uma área e seu centróide.

xAdAxA

⋅=∫ yAdAyA

⋅=∫ A.14

Desta forma, comparando as equações A.12 e A.13 com as equações A.14, percebe-se que os momentos estáticos da área A podem ser expressos pelo produto da área através das coordenadas do seu centróide.

yAQx

⋅= A.15

xAQy ⋅= A.16

Assim, o momento estático da área em relação a um eixo que passa pelo seu centróide é igual a zero. Quando uma área possui um eixo de simetria o seu centróide está localizado sobre este eixo. Quando possui dois eixos de simetria, o centróide localiza-se no ponto de cruzamento dos eixos.

X

A

C

Y

y

x

53

A.4 Centróides e Áreas de Figuras Planas

Figuras Planas x y A

Retângulo

2

b 2

h hb.

Triângulo

- 3

h

2

.hb

Círculo

0 0 2.rπ

Semicírculo

0 π.3

.4 r

2

. 2rπ

Quadrante

π.3

.4 r

π.3

.4 r

4

. 2rπ

Elipse

0 0 ba..π

r C

x

y

r C x

y

b

h C

x

y

b

h C

x

r C x

y

C x

y

a

b

54

A.5 Momentos de Inércia de Figuras Planas

Figuras Planas

Ix Iy Jo

Retângulo

3

. 3hbI x =

12

. 3

'

hbI x = 3

.3 hbI y =

12

.3

'

hbI y = 12

).(. 22 hbhb +

Triângulo

12

. 3hbI x =

36

. 3

'

hbI x =

12

.3 hbI y =

36

.3

'

hbI y = -

Círculo

4

. 4

'

rI x

π=

4

. 4

'

rI y

π=

2

. 4rπ

Semicírculo

8

. 4rI x

π=

( )π

π

72

649 24

'

−=

rI

x

8

. 4

'

rI y

π=

4

. 4rπ

Quadrante

16

. 4rI x

π=

( )π

π

144

649 24

'

−=

rI

x

16

. 4r

I y

π=

( )π

π

144

649 24

'

−=

rI y

8

. 4rπ

Elipse

4

.. 3baπ

4

.. 3baπ 4

).(.. 22 baba +π

O x

y

a

b

b

h O

x

y

x'

y'

r O x'

y'

r C x

y'

O

b

h C

x

x'

y'

x'

r C

x

y

O

x'

y'

55

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BEER, Ferdinand Pierre. Resistência dos materiais. 3.ed. São Paulo: Makron Books, 1995.

HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 3.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2000.

HIGDON, Archie. Mecânica dos materiais. 3.ed. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1981.

POPOV, E. P. Introdução à mecânica dos sólidos. São Paulo: Edgard Blucher, 1998.

TIMOSHENKO, Stephen P. GERE, James M. Mecânica dos sólidos. Rio de Janeiro: LTC, 1998.

UNIVERSIDADE DE CAXIAS DO SUL CAMPUS UNIVERSITÁRIO DA REGIÃO DOS VINHEDOS

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA NATUREZA

INTRODUÇÃO À MECÂNICA DOS SÓLIDOS

Vagner Grison, Msc. Eng. Mec. 2009