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8/16/2019 MECÂNICA DOS SÓLIDOS - TORÇÃO
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Quarta Edição
Ferdinand P. Beer
E. Russell Johnston, Jr.John T. DeWolf
CAPÍTULO
8/16/2019 MECÂNICA DOS SÓLIDOS - TORÇÃO
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MEC NICA DOS S LIDOS
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Prof. Dr. Rogério C. Lopes
3 - 2
Sumário
Introdução
Momentos Torçores em Eixos Circulares
Torque Líquido devido a Tensões
Internas
Componente do Esforço Cortante AxialDeformações de Eixos
Deformações de Cisalhamento
Tensões na Região Elástica
Tensões NormaisTipos de Ruptura Torsional
Problema Resolvido 3.1
Ângulo de Torção na Região Elástica
Eixos Estaticamente IndeterminadosProblema Resolvido 3.4
Dimens. de Eixos de Transmissão
Concentração de Tensões
Deformações PlásticasMateriais Elasto-Plásticos
Tensões Residuais
Exemplo 3.08/3.09
Torção de Membros Não-CircularesEixos com Seção-Vazada de Paredes
Finas
Exemplo 3.10
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3 - 3
Torção em Eixos Circulares
Interessado em tensões edeformações de eixos circularessubmetido a momentos torçores.
Gerador cria um torque T igual e desentido contrário.
Eixo transmite o Torque para oGerador.
Turbina exerce Torque no eixo.
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3 - 4
Torque resultante devido a Tensões Internas
dAdF T
A resultante interna da tensão decisalhamento é um torque interno, igual eoposto ao torque aplicado.
Apesar do torque devido a tensão decisalhamento ser conhecido, a distribuição dastensões não é conhecida.
Diferentemente da tensão normal devido a forçasaxiais, a distribuição da tensão de cisalhamentocausada por forças torçores não pode serassumida uniforme.
A distribuição da tensão de cisalhamento éestaticamente indeterminada temos que
considerar a deformação do eixo.
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3 - 5
Componente Axial da Tensão de Cisalhamento.
O Torque aplicado no eixo produz tensõesde cisalhamento nas faces perpendicularesao eixo da barra circular.
A existência das tensões de cisalhamento édemonstrada considerando a barra circularconstituida de várias lâminas finas.
As condições de equilibrio requerem a
existência de tensões iguais nas faces de doisplanos contendo o eixo da barra circular.
As lâminas escorregam uma em relação aoutra quando um torque de mesmaintensidade e sentidos opostos são aplicadosnas extremidades da peça.
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3 - 6
Observa-se que o ângulo de torção da peça éproporcional ao torque aplicado e ao seucomprimento.
L
T
Deformação de Eixo.
Quando submetida a torção, cada seçãotransversal da barra circular permanece plana econservam a sua forma. (barras circulares)
Seções transversais de eixos não-circularessão deformadas quando submetidas atorção.
Seções transversais de eixos circulares maciçosou vazados permanecem planas e inderforma-das porque o eixo circular é axisimétrico.
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3 - 7
Deformação de Eixo Circular.
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3 - 8
Deformação de Eixo Circular.
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3 - 9
Deformação de Cisalhamento.
Considerando uma seção interna do eixo.Aplicando-se um momento de torção, oelemento no interior do cilindro se transformaem um losango.
Deformação de cisalhamento é proporcional ae
maxmax e c L
c
L L ou
Assim sendo têm-se que
Como as extremidades do elementopermanecem planas, a deformação decisalhamento é igual ao ângulo de torção.
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3 - 10
Tensões no Regime Elástico
J c
dAc
dAT max2max
Lembrar que a soma dos momentos da dis-tribuição de tensões internas é igual ao tor-que na seção considerada do eixo circular,
421 c J
41
422
1 cc J
e max J
T
J
Tc
Os resultados são conhecidos como asfórmulas de torção elástica,
Multiplicando-se a equação anterior pelo
módulo de cisalhamento G teremos:maxG
cG
maxc
Da Lei de Hooke G , ou
A tensão de cisalhamento varia linearmentecom a posição radial na seção.
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3 - 11
Tensões Normais
Elementos com faces paralela e perpendicularao eixo da barra circular estão submetidos ape-nas a tensões de cisalhamento. Tensões nor-mais, de cisalhamento ou a combinação delaspodem ser encontradas em outras orientações.
max0
0max45
0max0max
22
245cos2
o A
A
A
F
A AF
Considerando 1 elemento a 45o ao eixo da barra,
Elemento a encontra-se em cortante puro.
Note-se que todas as tensões para os elementosa e c tem a mesma magnitude.
Elemento c está submetido a tensões detração nas duas faces e tensões de compressãonas outras duas.
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3 - 12
Tipos de Ruptura Torsional
Materiais dúteis geralmente serompem por cisalhamento. Materiaisfrágeis são menos resistente a traçãoque ao cisalhamento.
Quando uma espécie dútil é subme-tido à torção, a ruptura ocorre em umplano de cisalhamento máximo, i.e.,plano perpendicular ao eixo longit.
Quando uma espécie frágil é subme-
tida à torção, a ruptura ocorre emplanos perpendiculares à direção naqual a tração é máxima, i.e., osplanos formam ângulo de 45o com oeixo longitudinal da barra circular.
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3 - 13
Ruptura Torsional
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3 - 14
Eixo BC é vazado com diâmetros internoe externo de 90 e 120 mm, respectivamen-te. Eixos AB e CDsão sólidos de diâmetro
d . Para o carregamento indicadodetermine (a) a tensão de cisalhamentomáxima e mínima no eixo BC , (b) o diâ-metro d dos eixos AB e CDse a tensão decisalhamento admissível do material é de65 MPa.
Problema Resolvido 3.1
SOLUÇÃO:Passando uma seção transversalno eixo AB e BC e fazendo umaanálise estática encontraremos osmomentos torçores.
Sendo dado a tensão decisalhamento admissível e o
torque aplicado, inverte-se afórmula de torção elástica paraencontrar o diâmetro solicitado.
Aplica-se as fórmulas de torçãoelástica para encontrar a tensãomáxima e mínima no eixo BC.
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3 - 15
SOLUÇÃO:
Passando uma seção transversal noeixo AB e BC e fazendo uma análiseestática encontraremos os momentostorçores.
CD AB
AB x
T T
T M
mkN6
mkN60
mkN20
mkN14mkN60
BC
BC x
T
T M
Problema Resolvido 3.1
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3 - 16
Aplica-se as fórmulas de torção
elástica para encontrar a tensãomáxima e mínima no eixo BC.
46
4441
42
m1092.13
045.0060.022
cc J
MPa2.86
m1092.13
m060.0mkN20
46
2
2max J
cT BC
MPa7.64
mm60
mm45
MPa2.86
min
min
2
1
max
min
c
c
MPa7.64
MPa2.86
min
max
Sendo dado a tensão de cisalhamento
admissí vel e o torque aplicado, inverte-se afórmula de torção elástica para encontrar o
diâmetro solicitado.
m109.38
mkN665
3
32
42
max
c
c MPa
c
Tc
J
Tc
mm8.772cd
Problema Resolvido 3.1
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3 - 17
Angulo de Torção na Região ElásticaLembrando que o ângulo de torção e a defor-
mação máxima de cisalhamento são relacionadaspor:
L
cmax
Na região elástica a deformação e a tensão decisalhamento são relacionadas pela lei de Hookepor:
JG
Tc
Gmaxmax
Igualando as expressões da deformação de cisa-lhamento e resolvendo para o ângulo de torção,
JG
TL
Se os torçores ou a seção transversal do eixo mu-darem ao longo do comprimento, o ângulo de tor-ção é a soma das rotações dos diversos segmentos
i ii
ii
G J
LT
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3 - 18
Convenção de Sinal Regra da Mão DireitaA convenção de sinal é arbitrária; na figura abaixo é ilustrada uma convenção
denominada de positiva mas nada impede de chamarmos de sentido negativodesde que a coerência seja mantida durante a solução de um mesmo exercício.
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3 - 19
Convenção de Sinal Regra da Mão DireitaConsiderando a convenção abaixo podemos assumir que o momento torçor de
80 N-m, 60 N-m e 10 N-m são positivos enquanto que o momento torçor de150 N-m é negativo.
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3 - 20
Dada as dimensões do eixo e o torque aplicado,determinar os momentos torçores reativos nosapoios A e B.
Eixos Estaticamente Indeterminados
Da análise de um corpo-livre do eixo,
mas que não é suficiente para encontrar as reações.O problema é estaticamente indeterminado.
ftlb90 B A T T
ftlb9012
21 A A T
J L
J LT
Substituindo na equação original de equilibrio,
A B B A T
J L
J LT
G J
LT
G J
LT
12
21
2
2
1
121 0
Dividindo-se o eixo em dois segmentos que
terão de ter deformações compatíveis,
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3 - 21
Dada as dimensões do eixo e o torque aplicado,
determinar os momentos torçores reativos nosapoios A e B. Lembre-se que o ângulo de torçãoem qualquer apoio engastado é nulo.
Eixos Estaticamente Indeterminados Solução Alternativa
Da análise de um corpo-livre do eixo,
mas que não é suficiente para encontrar as reações.O problema é estaticamente indeterminado.
0T T T B A
00 T T J L
J LT
A B
B A
A
Substituindo na equação original de equilibrio,
00
21 0 T J L
J L
T G J
LT
G J
LT
A B
B A
B
B
B B
A
A
Liberando o apoio engastado B , e aplicandoa superposição de efeitos teremos
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3 - 22
Problema Resolvido 3.4
Dois eixos de aço são conectados porengrenagens. Sabendo que p/ cadaeixo G = 11.2 x 106 psi e que a tensão
admissível de cisalhamento é 8 ksi,determine (a) o maior torque T 0 quepode ser aplicado na extremidade doeixo AB, (b) o correspondente ângulode rotação da extremidade A do eixo
AB.
SOLUÇÃO:Fazer uma análise de equilibrioestático nos dois eixos para encontrara relação entre T CD and T 0 .
Encontrar o ângulo de torçãocorrespondente para cada eixo e a
rotação angular resultante daextremidade A.
Encontrar o máximo torque admis-sível em cada eixo escolher o menor
Uma análise cinemática p/ relacionar
os ângulos de torção das engrenagens.
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3 - 23
SOLUÇÃO:
Fazendo uma análise de equilibrioestático nos dois eixos para encontrara relação entre T CD e T 0 .
0
0
8.2
in.45.20
in.875.00
T T
T F M
T F M
CD
CDC
B
Análise cinemática p/ relacionar osângulos de torção das engrenagens.
C B
C C B
C B
C C B B
r
r
r r
8.2
in.875.0
in.45.2
Problema Resolvido 3.4
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3 - 24
Cálculo do máximo torque T 0
admissível em cada eixo escolhero menor.
in.lb561
in.5.0
in.5.08.28000
in.lb663
in.375.0
in.375.08000
0
42
0max
0
4
2
0max
T
T psi
J
cT
T
T psi
J
cT
CD
CD
AB
AB
inlb5610T
Cálculo do ângulo de torção correspondente para
cada eixo e a rotação angular resultante daextremidade A.
oo /
oo
o
642
/
o
642
/
2.2226.8
26.895.28.28.2
95.2rad514.0
psi102.11in.5.0
.in24in.lb5618.2
2.22rad387.0
psi102.11in.375.0
.in24in.lb561
B A B A
C B
CD
CD DC
AB
AB B A
G J
LT
G J
LT
o48.10 A
Problema Resolvido 3.4
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3 - 25
Dimensionamento de Eixos de Transmissão
As principais especificações doEixo de Transmissão são:
Potência a ser transmitida. Velocidade de rotação.
Determinação do torque a ser aplicado aoeixo em função da potência e da velocidade
f
PPT
fT T P
2
2
Cálculo da seção transversal para nãoexceder a máxima tensão decisalhamento admissível,
vazadoeixo2
sólido eixo2
max
41
42
22
max
3
max
T cc
cc
J
T cc J
J
Tc
No dimensionamento do eixo oEngenheiro tem que escolhermaterial e dimensões adequadaspara atender as especificações doEixo de Transmissão de modoque a máxima tensão de
cisalhamento admissível não sejaexcedida.
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3 - 26
Concentração de Tensões
Na derivação da formula de torção,
assumiu-se um eixo circular de seçãotransversal uniforme e submetido a tor-ques através de chapas extremas rígidas.
J
Tcmax
J
TcK max
Experimentalmente e numéricamente de-
termina-se os fatores de concentração K
O uso de flanges, engrenagens e poliasligadas ao eixo por guias recortadas edescontinuidade da seção transversal podemcausar concentração de tensões
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3 - 27
Deformações Plásticas
Com a consideração de material elástico linear,
J
Tcmax
cc
d d T 0
2
022
A integral dos momentos causados pela distribuição
interna das tensões é igual ao torque no eixo e naseção considerada,
Deformação de cisalhamento varia linearmenteindependente das propriedades do material. O usoda curva tensão de cisalhamento-deformaçãopermite a determinação da distribuição da tensão.
Se a tensão de escoamento é excedida ou o materialtem uma curva tensão de cisalhamento-deformaçãonão linear, a equação acima não pode ser usada.
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3 - 28
, o torque aproxima-se do valor limite,0Y
plástico torque T T Y P 34
Material Elasto-Plástico
Com o aumento do torque, uma região plástica( ) forma em volta do núcleo elást. ( )Y Y
Y
3
3
41
34
3
3
413
32 11
cT
ccT Y
Y Y
Y
3
3
41
34 1 Y Y T T
Y L
Y
No ponto de máximo torque elástico,
Y Y Y cc
J T
321
c
L Y Y
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3 - 29
Tensões Residuais
Regiões plásticas formam em um eixo quandosubmetido a um torque suficientemente grande.
Em uma T- curva, o descarregamento ao longo doeixo é linear e o ângulo de torção não volta a zero.
Quando o torque é removido, há uma redução datensão e da deformação em cada ponto ao longo deuma linha reta. O valor final da tensão não é zero.
Tensões Residuais com o principio da superposição.
0dA
J
Tcm
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3 - 30
Exemplo 3.08/3.09
Um eixo circular é submetido aotorque em c/ extremo.Assumindo que o eixo é feito de ma-terial elastoplástico come determine (a) o raiodo núcleo elástico, (b) o ângulo de
torção do eixo quando o torque éremovido (c) o ângulo de torçãopermanente e (d) a distribuição dastensões residuais.
MPa150Y
GPa77G
mkN6.4T
SOLUÇÃO:Resolver Eq. (3.32) para Y /c ecalcular o raio do núcleo elástico.
Encontra-se a distribuição da tensãoresidual por superposição das tensõesde torção e distorção do eixo
Eq. (3.16) calcula o ângulo para oqual o eixo destorce quando o torqueé removido. O ângulo permanente é adiferença dos ângulos de torção edistorção.
Eq.(3.36) calcula ângulo de torção.
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3 - 31
SOLUÇÃO:
Resolve Eq. (3.32) para Y /c ecalcula raio do núcleo elástico.
31
3413
3
41
34
Y
Y Y Y
T
T
ccT T
mkN68.3m1025
m10614Pa10150
m10614
m1025
3
496
49
3214
21
Y
Y Y
Y Y
T
c
J T
J
cT
c J
630.068.3
6.434
31
c
Y
mm8.15Y
Eq.(3.36) calcula ângulo de torção.
o33
3
49-
3
8.50rad103.148630.0
rad104.93
rad104.93
Pa1077m10614
m2.1mN1068.3
Y
Y Y
Y
Y Y
Y
JG
LT
cc
o50.8
Exemplo 3.08/3.09
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3 - 32
Eq. (3.16) calcula o ângulo parao qual o eixo destorce quando otorque é removido. O ângulopermanente é a diferença dosângulos de torção e distorção.
o
3
949
3
1.81
69.650.8
6.69rad108.116
Pa1077m1014.6
m2.1mN106.4
p
JG
TL
o81.1 p
Encontra-se a distribuição da tensãoresidual por superposição das tensõesde torção e distorção do eixo
MPa3.187
m10614
m1025mN106.449-
33
max J
Tc
Exemplo 3.08/3.09
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MEC NICA DOS S LIDOS
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Prof. Dr. Rogério C. Lopes
3 - 33
Torção de Membros de Seção não Circular
Para valores grandes de a/b, a tensão decisalhamento máxima e o ângulo detorção para outros tipos de seçõesabertas são os mesmos da seçãoretangular. Usar C1 = C2 = 0,33
Gabc
TL
abc
T 3
22
1max
Para seção-transver. retangular uniforme,
As fórmulas de torção anteriores sãoválidas para eixos de seção circular.
As seções transversais não-circulares deEixos não permanecem planas e astensões e deformações não variamlinearmente.
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Eixos de Seção Vazada de Paredes FinasSomando as forças na direção-x em AB,
tensão de cisalhamento varia inversamente
com a espessura
alhamento fluxodecisqt t t
xt xt F
B B A A
B B A A x 0
tA
T
qAdAqdM T
dAq pdsqdst pdF pdM
2
22
2
0
0
Cálculo do torque com a integral dos mo-mentos devido a tensão de cisalhamento
t
ds
G A
TL24
Ângulo de torção-Capítulo 10- Energia
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Exemplo 3.10
Um tubo de alumínio de seção retangularfabricado por extrusão é submetido a umtorque de 24 kip-in. Determinar a tensão decisalhamento em cada uma das quatro paredescom (a) espessura uniforme de 0.160 in. e (b)parede com espessura de 0.120 in. em AB e
AC e 0.200 in. em CDe BD.SOLUÇÃO:
Determine o fluxo de cisalhamento atra-vés das paredes, como se fosse um tubo.
Encontre as correspondentes tensõesde cisalhamento para cada espessura deparede.
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SOLUÇÃO:
Determine o fluxo de cisalhamentoatravés das paredes, como se fosseum tubo.
in.
kip335.1
in.986.82
in.-kip24
2
in.986.8in.34.2in.84.3
2
2
A
T q
A
Encontre as correspondentes
tensões de cisalhamento para cadaespessura de parede.
Com espessura de parede uniforme,
in.160.0
in.kip335.1
t
q
ksi34.8
Com espessura de parede var.,
in.120.0
in.kip335.1 AC AB
in.200.0
in.kip335.1CD BD
ksi13.11 BC AB
ksi68.6CD BC
Exemplo 3.10