Mecânica dos Sólidos Aula 14

Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008

Mecânica dos Sólidos14ªAula

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Sumário e Objectivos

Sumário: Tensões Tangenciais Resultantes do Esforço Transverso em Secções Rectangulares, em I e em T.

Objectivos da Aula: Ser capaz de determinar a forma como se distribuem as tensões tangenciais para algumas formas das secções. Ser capaz de utilizar a fórmula de Jouravsky.



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Ponte



3

Corpo Humano



4

Barcos



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Distribuição de Tensões Resultantes do Esforço Transverso

TdxdM

=Equação de Equilíbrio de Momentos



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Tensões Axiais ou Longitudinais



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Forças Resultantes das Tensões Axiais

As tensões xσ distribuem-se na secção recta como se representa na figura 15.2 e variam entre xσ e x xd+σ σ no troço prismático da viga de comprimento infinitesimal dx, sendo os momentos resultantes das distribuições de tensões M eM+dM. Seccionando a viga pelo plano bdgh as forças axiais resultantes das tensõessão AF e A AdF F+ , no troço prismático abcdefgh, podem ser calculadas a partir dastensões do seguinte modo

z abeg abegzA x

abeg abeg z z z

MS SMMdA ydAFI I I

= = − = − = −σ∫ ∫

onde abegS representa o momento estático da área abeg em relação ao eixo dos zz

( ) cdfhz cdfhz z zA A xx

cdfh cdfh z z z

M dMd )(Md SSMM Md d )dA ydA(F FI I I

++++ = + =− =− =−σ σ∫ ∫



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Equilíbrio de Forças na Direcção Longitudinal

No troço prismático abcdefgh, de comprimento infinitesimal dx, actuam as forçasaxiais AF e A AdF F+ e um esforço interno, com a direcção do eixo dos xx, designado por esforço rasante ou de escorregamento, HF que resulta das tensões

yxτ distribuídas na secção de corte bdgh que fica a uma distância 1y do eixo dos zz, estas forças têm todas a direcção do eixo dos xx e devem estar em equilíbrio comoresulta da consideração da equação de equilíbrio estático de forças segundo xx, ouseja ( )∑ x A H A A

H A

= + - + d = 0F F F F Fou

= dF F

Az

dMd = SFI yx

z

dM S=τdx bI

y xz

T S=τb I

Fórmula de Jouravsky

(1855)

Sendo FH = τxy bdx



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Fórmula de Jouravsky

No caso de existirem esforços transversos segundo os eixos dos yy e dos zz a fórmula de Jouravsky pode ser escrita para cada um dos planos de solicitação com a seguinte forma

y zyx

z

STbI

=τz y

yxy

STh I

=τ

Nestas expressões os momentos de inércia zI e yI são momentos de inércia de toda a secção e os momentos estáticos zS e yS são momentos estáticos de uma das partes em que a secção ficou dividida pelo plano de corte, considerado ao nível e com a orientação em que se pretendem as tensões de corte na secção.



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Exemplo 14.1

Considere a viga encastrada sujeita a uma carga pontual, P, na extremidade livre, como se representa na figura. A secção recta da viga é uma secção rectangular de dimensões b×h. Determine uma expressão para efeitos de cálculo das tensões de corte na secção recta A-A da viga. Faça um gráfico representativo do andamento das tensões de corte ao longo do eixo dos yy.

A

A



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Exemplo 14.1- Resolução

O esforço transverso, T, é constante e igual a P. Nestas condições a tensão de corte é definida pela fórmula

xyPSIb

=τ1

h 2

yS bydy= ∫com

1

h/2 222

xy 1y

P P hy y2 2I 2I

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞= = −τ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

O valor da tensão de corte máximo ocorre para 1 0y = que corresponde ao eixo neutro da secção e é

2 2

m ax 3

P 12 P 3Ph h22 I 8b 2 Ah

⎛ ⎞= = =τ ⎜ ⎟⎝ ⎠



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Exemplo 13.1- Resolução



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Correcção à Tensão de Corte

O valor da tensão máxima necessita em geral de sofrer uma correcção que depende do valor do coeficiente de Poisson, ν, pelo facto de não ser constante a tensão tangencial em toda a profundidade da secção, ou seja segundo o eixo dos zz para as tensões xyτ . Só no caso de ν ser igual a zero a que a fórmula acabada de deduzir para a tensão tangencial máxima se aplica sem correcção. A correcção a efectuar ao valor máximo obtido é dada pelo factor, α, ou seja

max3P2A

= ατ2

2 n 1 2

2 4 1h1hb1 3 cosh nn b

∞

=

⎡ ⎤⎢ ⎥ν ⎛ ⎞ ⎢ ⎥α = + − ∑⎜ ⎟+ ν ⎛ ⎞⎝ ⎠ π⎢ ⎥π⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

Com



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Exemplo 14.2

b

L

P

x

y Secção Recta

h

e

y

z

Considere a viga encastrada sujeita a uma carga pontual, P, na extremidade livre, como se representa na figura. A secção recta da viga é em I como se representa na referida figura, as espessura da alma e do banzo são iguais e designadas por e. Determine a forma como evolui a tensão de corte, na Secção da viga. Faça um esquema representativo da evolução das tensões na Secção.



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Exemplo 14.2-Resolução

O esforço Transverso é constante e igual P. Para valores de 1y compreendidos entre h/2 e h/2+e, ou seja no banzo, as tensões tangenciais xyτ são

xyPSIb

=τ sendo1

h 2 e

yS bydy

+

= ∫1

h/2 e 222

xy 1P P hy e y

2 2I 2Iy

+ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞= = + −τ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Para valores de 1y compreendidos entre 0 e h/2, ou seja na alma, as tensões tangenciais xyτ são

xyPSIe

=τ sendo1

h 2S e yd y

y= ∫

1

h/2 h/2 e 2 2 22 22

xy 1h/2y

P Pb P Pbh h hy y ey2 2 2 2 2I Ie 2I 2Ie

+ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = − + + −τ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦



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b 2max

P he e2I

= +⎡ ⎤τ ⎣ ⎦No Banzo [ ]2

amax

P Pbh h e22I 2I

⎛ ⎞== + +τ ⎜ ⎟⎝ ⎠

Na Alma



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Exemplo 14.3

Uma viga em madeira, com 6 m de comprimento, estásimplesmente apoiada nas extremidades e suporta uma carga de 15kN/m, incluindo o peso próprio. A secção recta da viga é constituída de vários elementos, conforme ilustrado na figura (dimensões em mm). O momento de Inércia da Secção é Iz=2.368×109 mm4. Determinar:

a) A tensão máxima de flexão ( Tensão Axial).

b) A tensão τxy ao nível do eixo dos zz.

c) A Tensão de corte horizontal sobre a secção a-a, da aba superior da viga



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Exemplo 14.3

d) O espaçamento máximo entre os “tacos” B supondo que cada um deles pode suportar um esforço de corte de 4kN.

e) Idem para os pregos c, supondo que cada um pode suportar um esforço de 6kN. z

y

50 50 100 50 50

5050

500

a

a

Bc



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Exemplo 14.2-Resoluçãoa)Tensão Axial ou de Flexão

15kN/m

A B

RA=45kN

6m

45kN

45kNMmax=67.5kNm

M(x)=45x-15x2/2

RB=45kN

3max

max 1 3

67.5 10 0.25 7.132.368 10z

M y MPaI −

× ×σ = − = ± = ±

×



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b)Tensão de Corte ao nível do eixo dos zz

Momento Estático da área acima do eixo dos zz:

S=(100×200) ×100+2×(50×50) ×175+(300×50) ×225=

=6.25×106mm3=6.25×10-3m3

3 3

3

45 10 6.25 10 1.192.368 10 0.1z

T Sxy I b MPa

−×

−

× × ×τ = = =

× ×



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Exemplo 14. 3-Resolução

c) Tensão de Corte em a-a

z

S=(50×100) ×200=1×106mm3=1×10-3m3

3 3

3

45 10 1 10 0.382.368 10 0.05xz

z

T S MPaI b

−

−

× × × ×τ = = =

× ×



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Exemplo 13. 3-Resolução

d) Espaçamento dos Tacos

S=2×(50×50) ×175+(300×50) ×225=

=4,25×106mm3=4.25×10-3m3

O esforço Rasante na Secção é: R=T×S/Iz=(45×103×4.25×10-3)/2.368×10-3

=80760N/mO espaçamento é menor ou igual a 4000/R=0.05m ou seja o número de tacos por metro é 1/0.05= 20 tacos



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Problemas Propostos

1. Considere a viga AB representada na figura constituída por três peças coladas entre si, como se representa. Determine a tensão de corte média nas juntas coladas da secção c-c.



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Problemas Propostos

2. Considere uma viga cuja secção recta tem a forma representada na figura. No caso das tensões normais máximas admissíveis serem à tracção 150MPa e à compressão 300MPa e a tensão de corte admissível ser de 100MPa, determine o momento máximo que a viga pode suportar e o esforço de corte máximo que a viga pode suportar.

10cm

30cm

5cm

22.5cm



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Problemas Propostos

3. Considere a viga representada na figura e despreze o efeito do peso próprio. Determine a tensão de corte na ligação entre as duas componentes do T e comente o resultado obtido.



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Problemas Propostos (cont.)

Direcção da Solicitação



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Problemas Propostos

4. Considere a Viga Plana Isostática representada na figura, cuja secção recta também se representa e despreze o peso da viga para efeitos dos cálculos subsequentes.

Determine a Tensão de Corte a uma distância de y=0mm do eixo neutro no caso de θ ser 0º , na secção que em que o esforço transverso for máximo.



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Problemas Propostos (cont.)

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