Mecânica dos Sólidos Aula1

Docente: Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008

Mecânica dos Sólidos1ªAula

1

Docente

Nome do Docente da Turma 2M7: Prof. Lúcia M.J.S. DinisSecção de Mecânica Aplicada, DemegiEdifício L, Gabinete 309 Rua Roberto Frias, 4200-465, Porto, PortugalTelefone: 225081593 ou Secretária 225081597E-mail: [email protected]://www.fe.up.pt/~ldinis/Horário de Atendimento de Alunos: Todos os dias das 10h às 12 h.



2

Parte 0 da Aula

01. Apresentação e Objectivos da Disciplina

02. Fases de um Projecto

03. Problema Uniaxial. Conceito de Tensão e Deformação

04. Materiais Dúcteis e Materiais Frágeis

05. Condições de Equilíbrio Estático dum Sistema de Forças

06. Programa Geral da Disciplina

07. Avaliação e Bibliografia Recomendada



3

Sumário e Objectivosda Aula

Sumário: 0)Apresentação e breve referência aos objectivos da disciplina, ao conteúdo da disciplina, textos de apoio e métodos de avaliação. 1) Conceito de Tensão. Componentes Cartesianas da Tensão, Tensor das Tensões. Tensão numa faceta com orientação arbitrária.Objectivos da Aula: Percepção dos objectivos a atingir para a disciplina Mecânica dos Sólidos. Saber definir Tensão e construir o Tensor das Tensões e representa-lo graficamente. Saber determinar as componentes do Vector Tensão numa faceta com orientação arbitrária.



4

Bicicleta



5

CCÁÁLCULO NUMLCULO NUMÉÉRICORICO



6

Designação da Disciplina: Mecânica dos Sólidos

Para efeitos de pesquisa Bibliográfica e informações na Internet o conteúdo associado a esta disciplina pode aparecer com outras designações nomeadamente as duas seguintes: Mecânica dos Materiais e Resistência dos Materiais.Com esta designação pretende referir-se a Ciência que estuda o processo de Deformação dos Sólidos quando sujeitos a Acções Externas, entendendo-se por Deformação ( para Leigos) é a mudança de dimensão e/ou forma de um sólido



7

Objectivos Genéricos a Atingir com a Disciplina

-Apreensão da Linguagem e dos Conceitos Fundamentais que lhe permitirão entender a actuação do engenheiro no âmbito do projecto no que diz respeito ao projecto das componentes resistentes.

-Entender porque é que as coisas não caem nem se desintegram em serviço.

-Apreensão dos Conceitos Fundamentais da Mecânica dos Sólidos com ênfase no estudo das Peças Lineares isostáticas com vista à determinação da sua capacidade resistente em serviço. A introdução dos conhecimentos necessários à posterior aprendizagem da análise e dimensionamento de Estruturas e Sólidos sujeitos a Acções Externas e ao peso próprio. Familiarização com as grandezas utilizadas na análise do comportamento elástico de sólidos e estruturas.



8

Enquadramento da Disciplina no Contexto da MIEM

O curso de Mecânica dos Sólidos pode considerar-se o primeiro passo para aprendizagem de alguns conceitos base para efeitos da iniciação ao “ Projecto de Máquinas e Estruturas”.

O Tipo de Problemas mais frequentes no projecto são:

a) Verificação do Dimensionamento.

b) Dimensionamento.

Exemplos de produtos: Automóveis, aviões, Máquinas, Estruturas Metálicas, Reservatórios, etc



9

Dimensionamento e Verificação de Dimensionamento

a) Definida a forma de um elemento estrutural, as solicitações a que o mesmo está sujeito e os materiais utilizados na construção, verificar a estabilidade desse elemento. É um problema de verificação de dimensionamento.

b) Conhecidas as solicitações exteriores e a função a desempenhar pelo elemento estrutural , definir a forma e dimensões, bem como as características mecânicas do Material a utilizar. É um problema de Dimensionamento.



10

Fases de um Projecto

Definição das Necessidades

Escolha da Forma

Escolha dos Materiais

Fixação das Dimensões

Análise Económica



11

Exemplos de Aplicação da Mecânica dos Sólidos(I)

Ponte MetálicaAutomóvel



12

Exemplos de Aplicação da Mecânica dos Sólidos(II)

Biomecânica



13

Exemplos de Aplicação da Mecânica dos Sólidos(III)



14

Exemplos de Aplicação da Mecânica dos Sólidos(IV)

Estruturas Voadoras

Estruturas de aviões, avionetas, ultra-leves, etc



15

Exemplos de Aplicação da Mecânica dos Sólidos(V)

Estruturas de navios, barcos, equipamentos flutuantes



16

Exemplos de Aplicação da Mecânica dos Sólidos(VI)

Projecto de Estruturas de Máquinas



17

Conceito de Tensão e Deformação

σ

ε

Região Elástica

Região Plástica

Fractura

F

F



18

Conceito de Extensão

L0 -Comprimento inicial

L - Comprimento Final

x

L0

L

Barra TraccionadaPP

PP

o

o

L LL−

ε =

Deformação usual em Engenharia- Extensão Deformação natural

oL LL−

ε =



19

Conceito de TensãoProblema Axial

Ã

A

P P

Secção A -A

a

b

P σσ

σ = P/A

Secção A-A

Grandezas

Força

TensãoAP dA= σ∫



20

Secção InclinadaProblema Uniaxial

x

y

x´

A´ = A/cos α

y´

O

y´ x´

xP´

P´´

P

P´ = P cos αP´´ = P sen α

Secção Inclinada

n

PA

PA

PAσ

αα

α=′′

= =cos/ cos

cos2

t

PA

PsenA

pA

senσα

αα α= −

′ ′′

= − = −/ cos

cos

Tensão Normal

Tensão Tangencial



21

Materiais Dúcteis e Frágeis

σ

εMaterial Dúctil

σ

εMaterial Frágil



22

Condições de Equilíbrio Estático

1F 2F3Fz

y

z

P4F

iFnF

1 00P

FM

⎧ =∑⎪⎨

=∑⎪⎩



23

Resumo do Conteúdo de Resistência dos Materiais (I)

1ªParte ElasticidadeCapítulo 0: Introdução. Capítulo 1: Tensor das Tensões. Conceito de Tensão, Componentes Cartesianas, Equações de Equilíbrio, Tensões Principais, Mudança de Eixos, Estado Bidimensional de Tensão e Circulo de Mohr para o caso Bidimensional. Capítulo 2: Tensor das Deformações. Conceitos de Deformação, Deformações Principais, Equações de Compatibilidade e Circulo de Mohr. Capítulo 3: Relações Tensões - Deformações. Lei de HookeGeneralizada, Constantes Elásticas do Material. Critérios de Resistência. Critério de von Mises e Critério de Tresca.



24

Resumo do Conteúdo de Mecânica dos Sólidos (II)

2ªParte Peças Lineares.Capítulo 4: Torção de Veios. Veios de secção Circular,

Veios de forma arbitrária, Analogia de Membrana e Energia de Deformação em Torção.Capítulo 5: Flexão de Vigas. Esforços. Momentos Flectores e Esforços Transversos. Distribuição de Tensões Axiais e de Corte. Tensores das Tensões e Deformações num ponto da Viga. Capítulo 6: Cálculo da Deformada(Deflexão) , Métodos Analíticos.



25

Metodologia de Ensino

Aulas teórico-práticas: exposição da matéria com utilização de Acetatos e eventualmente do quadro, formulação e resolução de problemas - tipo no final de cada assuntoA sequência Histórica do conhecimento não é necessariamente respeitada por se tratarem de conhecimentos que podem ser considerados clássicos e para estes conhecimentos se privilegiar uma das sequências lógicas.



26

Avaliação

Um Exame Final com consulta de 1 (um Livro) - Escala 0-20 Valores.Assiduidade e Participação activa nas aulas (Bónus até20%) Nota Final: A classificação final máxima, por via exclusiva da frequência e dos exames escritos, fica limitada a 17 (dezassete) valores, sendo necessária a realização de uma prova oral suplementar para o aluno poder ter acesso a uma classificação superior.



27

Conhecimentos Prévios Necessários

Mecânica I: Estática e Geometria das MassasAnálise Matemática: Derivadas, Integrais e Equações DiferenciaisÁlgebra Linear: Operações com Vectores e Matrizes, Cálculo de Valores Próprios e Vectores PrópriosProgramação: Vantagem em Conhecer Matlab e MapleAnálise Numérica



28

Bibliografia

Bibliografia Recomendada

- J. F. Silva Gomes, Mecânica dos Sólidos, Editora Inegi- V. Dias da Silva, Mecânica e Resistência dos Materiais, Ediliber Editora, 1995.- Carlos Moura Branco, Mecânica dos Materiais, Teoria e Aplicação, McGraw-Hill, 1989.

- J. W. Dally and William F. Riley, Experimental Stress Analysis, McGraw-Hill, 1991.- S. P. Timoshenko and J. N. Goodier, Theory of Elasticity, McGraw-Hill, 1982.- C. Wang, "Applied Elasticity", McGraw-Hill, New York, 1953.- A. C. Ugural e S. K. Fenster, "Advanced Strength and Applied Elasticity", Elsevier North-Holland Publishing Co., New York, 1977.- Egor P. Popov, Engineering Mechanics of Solids, Prentice Hall, 1990.-T. J. Lardner and R. R. Archer, Mechanics of Solids, An Introduction, McGraw-Hill, 1994.-Timoshenko/Gere, Mecânica dos Sólidos, Vol1 e Vol 2, Livros Técnicos e Científicos- Charles Massonnet, Resistance des Matériaus, Dunod, Paris, 1968.- F. P. Beer and E. R. Johnston, Jr., Resistência dos Materiais, McGraw-Hill, 1989.



29

Parte I

1. ANÁLISE DE TENSÕES

1.1. Conceito de Tensão

1.2. Componentes Cartesianas da Tensão

1.3. Tensão numa Faceta com Orientação Arbitrária



30

Conceito de Tensão

Flim AA 0

Δσ =

ΔΔ →

AF

0Ayx

xΔΔ

Δ=τ lim

A

F

0Ayy

y

Δ

Δ

Δ=σ lim

AF

0Ayz

zΔΔ

Δ=τ lim

ΔA

ΔFΔF

O

xy

z

FxΔFyΔ

FzΔ

Tensão

Componentes da Tensão σ numa faceta perpendicular a y



31

Tensor das Tensões-1

yy yx yz; ;σ τ τ

xx xy xz; ;σ τ τ

zz zx zy; ;σ τ τ

Plano perpendicular ao Eixo dos xx:

Plano perpendicular ao Eixo dos zz:

yyσ Tensão Normal

yx yz;τ τ Tensões Tangenciais ou de Corte

Plano perpendicular ao Eixo dos yy:



32

Tensor das Tensões –2

yyσ

xy

zxxσ

zzσ

yzτ

zyτ

xyτ yxτ

zxτ

xzτ

xx xy xz 11 12 13

ij yx yy yz ij 21 22 23

zx zy zz 31 32 33

ou⎡ ⎤ ⎡ ⎤σ τ τ σ σ σ⎢ ⎥ ⎢ ⎥σ = = =σ τ σ τ σ σ σ σ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥τ τ σ σ σ σ⎣ ⎦⎣ ⎦

O modo como se representam as tensões é tal que o primeiro índice representa a direcção da normal ao plano de intercepção e o segundo índice indica a direcção de actuação da tensão

Tensor das Tensões

Convenção de sinais: As tensões são consideradas Positivas se têm o sentido considerado positivo nas facetas do paralelepípedo mais próximas do observador e nas outras facetas são consideradas positivas se têm o sentido contrário. As Tensões representadas nas figuras estão a ser consideradas positivas.



33

Estado Uni axial de Tensão

0 00 0 00 0 0

σ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

0 0 00 00 0 0

⎡ ⎤⎢ ⎥σ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

0 0 00 0 00 0

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥σ⎣ ⎦

ou ou

σ

σ

Tensor das Tensões no sistema de Eixos Oxyz



34

Corte Puro

x

y

O

y

z

x

z

y x

z

xy

yx

0 00 0

0 0 0

⎡ ⎤τ⎢ ⎥τ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

yz

zy

0 0 00 00 0

⎡ ⎤⎢ ⎥

τ⎢ ⎥⎢ ⎥τ⎣ ⎦

xz

zx

0 00 0 0

0 0

⎡ ⎤τ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥τ⎣ ⎦



35

Estado Plano de Tensão

x

y

x

y

z

yyσ

yyσ

xxσ

xxσ

xyτxyτ

yxτyxτ

xx xyxx xy

yx yyyx yy

00 ou

0 0 0

⎡ ⎤σ τ⎡ ⎤σ τ⎢ ⎥τ σ ⎢ ⎥⎢ ⎥ τ σ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦



36

Unidades

Unidade S.I. S. Métrico U.K.Comprimento metro(m) metro(m) polegada(in)Tempo segundo (s) segundo(s) segundo(s)Massa Kilograma(Kg) Kilograma(Kg) Libra Massa (lb)Força Newton(N) Kilogramo(Kg) Libra Peso (lb)Tensão Pascal(Pa) Kg/m2 lb/in2

T G M k m μ n p

1210 910 610 310 −310 −610 −910 −1210



37

Tensões numa Faceta com Orientação Arbitrária



38

Equilíbrio Segundo yy

Designando a área ABC por dS e designando as áreas OBC, OAC e OAB por , e respectivamente, estas áreas podem ser calculadas a partir da área dS considerando as componentes, {l,m,n}, da normal à faceta ABC, ou seja

1dS 2dS 3dS

1

2

3

ldSdSmdSdSndSdS

===

y yy xy zydS mdS ldS ndST = + +σ τ τ

A equação de Equilíbrio de Forças Segundo yy é

Simplificando obtém-se y zyyyl m nT xy +σ= +τ τ



39

Tensão numa Faceta com Orientação Arbitrária

x xx yx zxT l m n= σ + τ + τ

y xy yy zyT l m n= τ + σ + τ

z xz yz zzT l m n= τ + τ + σ

ou{ } [ ]{ }T n= σ

T n= σ

sendo

{ }x

y

z

TT T

T

⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

[ ]xx xy xz

xy yy yz

xz yz zz

⎡ ⎤σ τ τ⎢ ⎥σ = τ σ τ⎢ ⎥⎢ ⎥τ τ σ⎣ ⎦

{ }l

n mn

⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭



40

Tensões Normais e Tangenciais ou Corte



41

Tensões Normais e Tangenciais ou Corte

2 2 2n x y z x y z xy xz yzT lT mT nT l m n 2lm 2ln 2mn= + + = σ + σ + σ + τ + τ + τ

Tensão Normal

Tensão Tangencial 2 2t nT T T= −

znst

ynst

xnst

TnTnT

TmTmTTlTlT

=+

=+=+ Versor da

Tensão Tangencial

x ns

t

y ns

t

z ns

t

T lTlT

T m Tm

TT n Tn

T

−=

−=

−=



42

Problema 1

Num plano perpendicular ao eixo dos yy a tensão resultante é T={0 10 5}MPa. Determine as componentes das tensões no referido plano.

{ }

{ }

{ }

yx 1

yy 2

yz 1

1T.e 0 10 5 0 0MPa

0

0T.e 0 10 5 1 10MPa

0

0T.e 0 10 5 0 5MPa

1

⎧ ⎫⎪ ⎪τ = = =⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭⎧ ⎫⎪ ⎪σ = = =⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

⎧ ⎫⎪ ⎪τ = = =⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭



43

Problema 1(cont)

xy

z T

σyy

τyz

τyx

{ }

{ }

{ }

yx 1

yy 2

yz 1

1T.e 0 10 5 0 0MPa

0

0T.e 0 10 5 1 10MPa

0

0T.e 0 10 5 0 5MPa

1

⎧ ⎫⎪ ⎪τ = = =⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭⎧ ⎫⎪ ⎪σ = = =⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

⎧ ⎫⎪ ⎪τ = = =⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭



44

Problema 2

O tensor das tensões num ponto é:

Desenhe um paralelepípedo

centrado no ponto e sobre cada

uma das faces represente as tensões que sobre ela actuam.

10 20 3020 20 30 MPa30 30 10

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦



45

Problema 2

y

x

z

10

2020 10

10

10

20302020

3030



46

Problema 3

3. O estado de tensão num ponto de um sólido é definido pelas seguintes componentes: 80 50 60

50 160 7560 75 100

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

a) Determine a componente normal e a componente de corte num plano cuja normal está inclinada de α = 68º e β = 35ºem relação aos eixos dos xx e dos yy respectivamente.b) Determine os cossenos directores da tensão de corte no plano considerado.



47

Problema 3

80 50 6050 160 7560 75 100

⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

σ

2 2

cos(68º ) 0.37 0.37cos(35º ) 0.82 0.82cos( ) 0.431 (0.37) (0.82)

⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪α⎩ ⎭ ⎩ ⎭− +⎪ ⎪⎩ ⎭

O Tensor das Tensões é:

O versor da normal:

T=σ.n 80 50 60 0.37 96.9950 160 75 0.82 117.2260 75 100 0.43 4.47

⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= − =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

Τ



48

Problema 3

Tn n

2 2t t n

T .n 134.3MPaT

T T T 71.63MPa

= σ = =

= σ = − =

x ns

t

y ns

t

z ns

t

T lT 96.99 0.37 134.3l 0.65T 71.63

T mT 117.22 0.82 134.3m 0.10T 71.63

T nT 4.47 0.43 134.3n 0.75T 71.63

− − ×= = =

− − ×= = =

− − ×= = = −



49

Problema 4

4. No ponto P = {1,1,1} de um corpo material para um plano de corte a cuja equação é x+y-z-1=0, a tensão resultante é :Determine no ponto P, as componentes normal e tangencial da tensão T.

T(P, n) {30,100, 10}= −



50

Problema 4

O versor da normal a um plano cuja equação éax+by+cz+d=0 é:

{ }

{ }2 2 2

2 2 2

n n

a, b,c consequente o versor da normal ao plano

a b c1,1, 1 1 1 1 referido no enunciado é: n= , ,

3 3 31 1 113

1 140e a tensão normal é: T T.n {30,100, 10} MPa3 313

+ +− ⎧ ⎫= −⎨ ⎬

⎩ ⎭+ +⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= σ = = − =⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪

−⎪ ⎪⎩ ⎭



51

Problema 4

A tensão tangencial é:

22 2

t n10 402140T T T 900 10000 100 MPa

3 3⎛ ⎞= − = + + − =⎜ ⎟⎝ ⎠



52

Problemas Propostos

Ver em conteúdos Capítulo I e resolver os problemas que têm a ver com o conteúdo da aula. Os Problemas iniciais.

Documents

Mecânica dos Sólidos Aula1