Mecânica dos Sólidos Aula 11

Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008

Mecânica dos Sólidos11ªAula

1

Sumário e Objectivos

Sumário: Flexão Pura de Vigas. Tensões Axiais e Deformações Axiais numa viga simétrica em flexão pura. Eixo Neutro. Momento de Inércia.

Objectivos da Aula: No final da aula ser capaz de determinar a forma como se distribuem as tensões axiais em vigas planas e a grandeza das referidas tensões.



2

Exemplo de Estrutura



3

Exemplo de Estrutura de Veículo



4

Estrutura de Madeira



5

Estrutura de Bicicleta



6

Sistema de Eixos

x

y

z

y

Secção na Origem

O

Ox

–

Eixo da Viga



7

Vigas Flectidas



8

Fibra Flectida

→ →Δs 0 Δs 0

dθ Δθ 11k = = lim = lim =O´Dds Δs OC



9

Curvatura

As fibras da viga deformam-se e no processo de deformação passam de elementos lineares rectilíneos

a elementos lineares curvos

com um

certo raio de curvatura, no caso de se admitirem condições de flexão plana, o elemento linear inicial e o elemento linear deformado estão contidos num mesmo plano e a curva da fibra flectida é uma curva plana, nestas condições e de acordo com a figura anterior a curvatura da curva deformada

num ponto pode ser definida como sendo:

Δ= = =

Δs 0 Δs 0

d 11k lim lim =O´Dds Δs OCθ θ

que representa o inverso do raio de curvatura R=OC, ou seja a curvatura k é tal que k=1/R



10

Hipótese de Euler

–

Bernoulli (1705)

Secções rectas da viga permanecem planas e perpendiculares ao eixo flectido da viga.

Esta hipótese

é devida a Bernoulli

(1705) e é considerada fundamental no desenvolvimento da teoria das vigas à

flexão, válida no caso de se tratarem de vigas

finas. Nestas condições os segmentos inicialmente lineares e perpendiculares ao eixo da viga permanecem lineares e perpendiculares ao eixo flectido da viga.



11

Viga em Flexão Pura

R1

dsdk ==θ



12

Elemento na configuração Deformada e Inicial

u

As fibras a uma distância y do eixo da viga têm na configuração deformada um raio de curvatura R-y, como se representa na figura anterior. Nestas condições a diferença de comprimentos na configuração deformada, entre os segmentos g´h´ e e´f´ , designada por d , pode ser facilmente calculada, tendo em conta que o comprimento do segmento g´h´ é: ds´=(R-y)dθ, ou seja

d =(R-y)dθ-Rdθ=-ydθudu dθ= -y = -ykds ds

du dθ= -y = -ykdx dx

Ryykxx −=−=εDeformação:

ou



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Exemplo 10.1

Considere a viga representada na figura seguinte e sujeita a momentos nos extremos, M, cuja secção é rectangular com as dimensões indicadas na referida figura. No caso da deformação máxima admissível antes de ocorrer a cedência plástica ser de 2×

, determine o raio de curvatura da

superfície média flectida e a mudança de ângulo entre os extremos da viga deformada.

10 3−



14

Viga em Flexão Pura com Secção Rectangular



15

Exemplo10.1-

Resolução

Ryykxx −=−=ε mmyR xx 1020)102/(40/ 33 ×=×== −ε

Rs /1=ΔΔθTendo em conta que

1 1s 2 0.1radR 20

Δθ = Δ = =Obtém-se



16

Distribuição de Tensões e Condições de Equilíbrio

-1

xx xxE= =σ ε -Ekyxx = =εy-yk -R

As tensões estão distribuídas na secção e têm a direcção do eixo dos xx e devem estar em condições de equilíbrio estático, como não existem forças axiais aplicadas, só existem momentos, a resultante das tensões distribuídas na secção deve ser igual a zero, ou seja

0=∑F x 0=∫ dAA xxσ ∫ ∫ =−=−

A A

ydAEkEkydA 0ou ou

∫ ydA =

dAy

dAy = 0 y = 0ou seja a origem deve coincidir com o centro de gravidade da Secção



17

Distribuição de Tensões na Secção



18

Distribuição de Tensões e Condições de Equilíbrio

-2

0=−= ∫∑Braço

AForca

ÁreaTensãoz ydAEkyMMEquilíbrio de Momentos

Ou seja ∫=A

z dAyEkM 2

dAyIA

Z ∫= 2sendo IEkM zz =

IEMk

z

z=ou



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Relação Tensão – Momento Aplicado

EkyE xxxx −== εσIE

Mkz

z=

yI

Mz

zx −=σ Flexão no plano Oxy

zI

My

y=σx Flexão no plano Oxz



20

Momentos e Sistema de Eixos



21

Exemplo 12.2

Determine a tensão longitudinal ou axial máxima a que a viga está sujeita



22

Exemplo 12.2 -

Resolução

kNRekNR CA 1212 ==Reacções

xxM 122

2

+−= 4082

2

+−−= xxMMomentos

0<x<2 2<x<4

O momento máximo ocorre para x=2 e é M=22kN.m

MPammNyI

Mz

32.1/32.110)6(6.412501022 2

8

6

maxmax

max ±==×××

==σ

A tensão longitudinal máxima ocorre na secção que corresponde ao momento máximo e nas fibras mais afastadas do centro de gravidade, ou seja para x=2m e

y=250mm, sendo mmhbI Z

4833

10)6(6.4112

50040012

×=×

==



23

Exemplo 10.3

Considere a viga em consola representada na figura e admita que é construída utilizando um aço cujo peso específico é

de 77.0 kN/ . A viga está sujeita a uma carga concentrada na extremidade livre de 7kN. A secção da viga é uma

secção em I

como se representa na figura. Determine a tensão longitudinal máxima instalada na viga.

3m



24

Exemplo 10.3 -

Resolução

Considere-se o Princípio da Sobreposição de Efeitos e estude-se separadamente

o efeito do peso próprio e o efeito da carga concentrada na extremidade livre.

p=77.0×A=77.0×(0.008×0.14×2+0.184×0.006)= 0.2575kN/m

22

maxp 6L 0.2575 4.635kN.mM 2 2

= − = − = −Peso Próprio

1 13 3 2 7 4z 12 12

Teorema de Steiner

(6 ) 2 (140 ) 140 8 2.377184 8 96 10I mm⎡ ⎤= × + × + × × = ×⎣ ⎦

( ) max 1max max 51

z

4.635M 19.499MPay 102.377 10I−

−= = ± =σ

×



25

Exemplo 10.3 -

Resolução

O momento máximo resultante da carga concentrada ocorre no encastramento

M=PL=42kN.m

( ) maxmax max2

z

M 176.69MPayI

−−

= =± =σ×

15

4210

2.377 10

A tensão longitudinal total instalada é:

( ) ( )max max max1 2(19.499 176.69)MPa 196.2MPa= + = + =σ σ σ



26

Exemplo 10.4

Considere a viga simplesmente apoiada com um tramo em consola, sujeita a uma carga uniformemente distribuída, de secção em ⊥

como se

representa na figura. Um extensómetro localizado em B indica que este ponto está sujeito a uma extensão de compressão de 8×

. Determine a

intensidade da carga uniformemente distribuída. Considere o módulo de Young, E=210 GPa.

410−



27

Exemplo 10.4-Resolução

pRpR CA )6(26.0 )3(13.0 ==Reacções

pxxpM )3(13.02

2

+−=Momento em AC20.2M p 0.13(3) p 0.2 0.0067p

2= − × + × × = −

115142414)514414( ××+××=×+× y 1077 3−×== mmy

3 32 2

94 4

14 54 14I ( 14 4 ) ( 14 5 )5 412 123738 3.738 10mm m−

× ×= + × × + + × × =

= = ×9 4 6 2210 8 168 N/10 10 10 m−σ = − × × × = − ×

6 329

0.0067p168 N /10 7 10m 3.738 10−

−

−σ = − × = − × ×

× p 13.39kN / m=



28

Exemplo 10.5

Considere a viga simplesmente apoiada de secção tubular representada na figura, a viga está sujeita a uma carga distribuída como se representa na figura. A secção tem as dimensões representadas. Determine a intensidade da carga distribuída de tal modo que

as tensões longitudinais (axiais) máximas instaladas sejam de 150Mpa.



29


pRpR

B

A

04.346.3

==Reacções



30


⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

3 32 4

z160× 15×15 270= +15×160× × 2 + × 2 = 146.7675e06142.5I mm12 12

z z6 -3z-6

z

M M- y 150× = ×150× =146.77kN.m10 10 M146.7675×10I= ⇒ ⇒xσ

Como o momento é 6.0p, conclui-se que a carga p é:p=24.46kN/m



31

Exemplo 10.6



32

Exemplo 10.6 Resolução



33




34




35




36




37




38

Problemas Propostos

1.

Considere vigas cujas secções têm a forma indicada nas figuras anexas e determine o momento máximo que as secções das vigas podem suportar no caso da tensão longitudinal ou axial

máxima

admissível ser de

165MPa.200mm

100mm

80mm

100mm

20mm20mm 20mm

80mm

40mm

150mm

40mm



39

Problemas Propostos

2.Considere a viga representada na figura, cuja secção é uma secção em T invertido, como se representa. O vão da viga é de 4 dm, o módulo de Young é 200GPa e as cargas aplicadas são em grandeza multiplos de P. No ponto A da viga foi medida a deformação de compressão instalada e verificou-se ser de 50× −310 , determine o valor da carga P aplicada. O eixo de flexão é horizontal para a secção da figura.

3P

100mm 100mm14mm

16mm

4mm

4mmP P

100mm 100mm

3mm

50mm

A

Extensómetro



40

Problemas Propostos

3. Pretende-se construir uma viga de secção quadrangular, como se representa na figura. Considerando duas posições possíveis para a secção da viga, as posições

representadas na figura, indique qual das secções permite maiores momentos no caso da flexão ocorrer no plano Oxy

e das tensões máximas na viga serem de igual valor nas duas secções.

y

z

y

a

az

a

a



41

Problemas Propostos

4. Considere a viga representada na figura cuja secção tem a forma de um T. O material da viga tem uma tensão de cedência à

tracção de 20MPa e uma tensão de cedência à

compressão de 40MPa. Determine a carga P (sentido positivo do eixo dos yy

ou sentido negativo do eixo dos yy) que pode ser aplicada no caso de se considerar um coeficiente de segurança de 1.5. O ponto de aplicação da carga é

o que se representa na figura

P

2m 1m

110mm

230mm

30mm

30mm



42

Problemas Propostos

5. Considere uma viga de Secção em I, como se representa na figura. Numa Secção da viga está

aplicado um momento de 100kNm, determine nessa secção a resultante das forças de tracção e compressão

150mm

40mm

120mm

30mm

100mm

30mm



43

Resolução do Problema 1ª) Determinação da posição

do centro de Gravidade200mm

100mm

80mm

100mm

20mm20mm y1

A1A2

y2 y3A3

1 1 2 2 3 3

1 2 3

4000 190 2000 130 8000 40 95.714314000

bA y A y A yy

A A A

mm

+ += =

+ +× + × + ×

= =



44

Resolução do Problema 1ª) Determinação do Momento de Inércia Iz 200mm

100mm

80mm

100mm

20mm20mm

3 32 2 71 1

1 1 1

3 32 2 62 2

2 2 2

3 32 23 3

3 3 3

200 95.7143 104.2857

200 20 200 20 94.2857 3.5693 1012 12

20 100 20 100 (130 95.7143) 4.0177 1012 12

100 80 80 100 (95.7143 40) 2.9099 1012 12

t

z c

z c

z c

y mm

b hI A y

b hI A y

b hI A y

= − =

×= + = + × × = ×

×= + = + × × − = ×

×= + = + × × − = × 7 4

6 41 2 3 68.8095 10z z z z

mm

I I I I mm= + + = ×



45

Resolução do Problema 1ª) Determinação da Tensão Axial

maxmax t max

z

3 66

6 6

max 3

5

M yI

104.2857 10 165 10 Pa

165 10M104.2857 10

1.0887 10 N.m

maxM68.8095 10

68.8095 10

−−

−

−

= =σ

± × = ××

× × ×∴ = =

×= ×



46

Resolução do Problema 1b) Determinação da posição

do centro de Gravidade

20mm

80mm

40mm

150mm

40mm

A Secção é simétrica portanto o centro de Gravidade fica no Centro da Secção.

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