Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Aula 02

Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis

Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES

Aula 02



Cap. I: Conceitos Preliminares

I.1. O que é a Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis

I.2. Elementos Básicos

I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas

I.2.2. Esforços nas Estruturas

I.2.3. Características Mecânicas dos Materiais

I.3. Problemas e Métodos





Seções Planas Usuais

Seções Maciças Seção Retangular b x h

b

hSeções sem vazios

cujas dimensões são da mesma

ordem de grandeza. Seção Circular dd






Seções Maciças Seções Compostas por Retângulos

Seções sem vazios cujas dimensões são da mesma

ordem de grandeza.






Seções Vazadas Seção Retangular Vazada b x h / b’ x h’

Seções com vazios cujas dimensões são da mesma

ordem de grandeza. Seção Circular Vazada de / di

b

hb’

h’

de

di






Seções Vazadas Seções Compostas por Retângulos

Seções com vazios cujas dimensões são da mesma

ordem de grandeza.






Perfis Abertos

Seções formadas por chapas finas

cuja linha média é uma linha aberta.

Perfis I ou H

As espessuras das chapas são muito inferiores às demais dimensões da seção.






Perfis Abertos



Perfis U ou C

simples enrijecido







Perfis Abertos



Perfis L ou Cantoneira

de abas iguais L a x a x t

de abas desiguais L a x b x ta

a

a

bt: espessura







Perfis Fechados


cuja linha média é uma linha fechada.

Tubo Retangular

Tubo Redondo ou Circular






Área de Superfície

Área [cm2]: medida da superfície

x yA

dydxdAA .

x

y

x dx

dyy

dydxdA .





Momentos de Superfície

x

y

x dx

dyy

dydxdA .

Seja uma força f distribuída na superfície da seção plana, variando linearmente com as distâncias dos pontos de aplicação aos eixos de referência da seção:

2 cmkNykxkf yx






x

y

x dx

dyy

dydxdA .

A força resultante na área elementar dA vale:

Os momentos da força dF em relação aos eixos x e y são:

kNdAykxkdF yx

cmkNdAykxkydM yxx .

cmkNdAykxkxdM yxy .






x

y

x dx

dyy

dydxdA .

A força resultante na superfície vale:

A yxA

dAykxkdFF

A Ayx dAykdAxkF ..

ou

xyyx SkSkF






x

y

x dx

dyy

dydxdA .

Os momentos de primeira ordem ou Momentos Estáticos [cm3] da superfície são:

x yAx dydxydAyS ...

x yAy dydxxdAxS ...






x

y

x dx

dyy

dydxdA .

Os momentos resultantes em relação ao eixos de referência da seção são:

A yxx dAykxkyM

.. 2

AyAxx dAykdAyxkM

xyxyxx IkIkM

e






x

y

x dx

dyy

dydxdA .

A yxy dAykxkxM

..2

AyAxy dAyxkdAxkM

xyyyxy IkIkM

Os momentos resultantes em relação ao eixos de referência da seção são:






x

y

x dx

dyy

dydxdA .

Os momentos de segunda ordem ou Momentos de Inércia [cm4] da superfície são:

x yAx dydxydAyI .22

x yAy dydxxdAxI .22

x yAxy dydxyxdAyxI .....

Momentos Axiais de Inércia:

Produto de Inércia:






Seja uma força f distribuída na superfície da seção plana, variando linearmente com a distância à origem dos eixos de referência:

2 cmkNkf p

A força resultante na área elementar dA vale:

kNdAkdF p .x

y

x dx

dyy

dydxdA .






O momento elementar da força dF em relação à origem dos eixos x e y é: cmkNdAkdFdM pp . . 2

O momento resultante é:

App dAkM 2

x

y

x dx

dyy

dydxdA .






O Momento Polar de Inércia [cm4] da superfície é:

x yAp dydxdAI .22

x

y

x dx

dyy

dydxdA .

22

Ap dAyxI

222 yx

yxp III






Seja uma superfície de área A e momento de inércia Ix

x

y

x dx

dyy

dydxdA .

x

y

xr

A

y

Seja outra superfície de mesmaárea A e mesmo momento de inércia

Ix, porém ‘concentrada’ a uma distância rx do

eixo x







x

y

x dx

dyy

dydxdA .

x

y

xr

A

y

ArdArdAyI xAxAx222






x

y

x dx

dyy

dydxdA .

ArdArdAyI xAxAx222

A

Ir x

x é o raio de giração da seção em relação ao eixo x







Analogamente,

A

Ir y

y é o raio de giração da seção em relação ao eixo y e

A

Ir p

o é o raio de giração polar da seção

222yxo rrr





Translação e Rotação de Eixos

Translação:

x1

y1

x1 dx

dyy1

dydxdA .

x2

y2

y2

x2

yo

xo A oAx dAyydAyS 122

oyyy 12

oxxx 12

AoAx dAydAyS 12

AySS oxx 12






Translação:

x1

y1

x1 dx

dyy1

dydxdA .

x2

y2

y2

x2

yo

xo

oyyy 12

oxxx 12

AySS oxx 12

AxSS oyy 12






Translação:

x1

y1

x1 dx

dyy1

dydxdA .

x2

y2

y2

x2

yo

xo A oAx dAyydAyI 2

1222

oyyy 12

oxxx 12

AoAoAx dAydAyydAyI 2

121 2

2

AySyII oxoxx2

1122






Translação:

x1

y1

x1 dx

dyy1

dydxdA .

x2

y2

y2

x2

yo

xo

oyyy 12

oxxx 12

AyxSySxII ooyoxoyxyx 111122

AySyII oxoxx2

1122

AxSxII oyoyy2

1122






Translação:

x1

y1

x1 dx

dyy1

dydxdA .

x2

y2

y2

x2

yo

xo

oyyy 12

oxxx 12

AyxSxSyII ooyoxopp22

11122

222 yxp III 111 yxp III






Centróide ou ‘Centro de Gravidade’ da Seção Plana (CG):

x1

y1

x1 dx

dyy1

dydxdA .

x2

y2

y2

x2

yo

xo

022 yx SSSeja

012

AySS oxx

A

Syy x

CGo1

A

Sxx y

CGo1

(x2,y2): eixos centraisCG (xCG)

(yCG)







Sejam xCG e yCG os eixos centrais. As coordenadas do CG são:

x

y

x dx

dyy

dydxdA .

xCG

yCG

CGx

CGyCG

A

Sy x

CG A

Sx y

CG

Notação alternativa:

A

Sy x

A

Sx y






AyIICGxx

2

AySyII CGxCGxxCG

22

AyS CGx AyII CGxxCG

2

x

y

x dx

dyy

dydxdA .

xCG

yCG

CGx

CGyCG

AySyII oxoxx2

1122







AyII CGxx CG

2

AxII CGyy CG

2

AyxII CGCGxyxy CGx

y

x dx

dyy

dydxdA .

xCG

yCG

CGx

CGyCG


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