Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES Aula 03 continuação

Introdução à Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis

Departamento de Engenharia Civil – Centro Tecnológico - UFES

Aula 03

continuação



Cap. I: Conceitos Preliminares

I.1. O que é a Mecânica dos Corpos Sólidos Deformáveis

I.2. Elementos Básicos

I.2.1. Propriedades Geométricas das Seções Planas

I.2.2. Esforços nas Estruturas

I.2.3. Características Mecânicas dos Materiais

I.3. Problemas e Métodos





Conceito de Tensão

AF

Reduzindo os esforços distribuídos ao longo de uma área elementar a um ponto qualquer desta área:

Tensão Média:

Tensão num Ponto:

A

Fm

dA

dF

A

FA

0

lim :A área elementar

força elementar :F

:M

momento elementar

(desprezível)

A unidade de tensão é, portanto, unidade de “força / comprimento2 ”: N/m2, kN/cm2, MPa, GPa, etc.





A tensão num ponto pode ser decomposta em:

Tensão Normal z, na direção normal z e Tensão de Cisalhamento z, na direção tangencial (plano x-y, normal à direção z).

A Tensão de Cisalhamento z pode ser decomposta em duas componentes: zx, na direção x, e zy, na direção y.

z

z

x

y

z

Conceito de Tensão





A tensão de cisalhamento se opõe à força de atrito entre as moléculas do corpo, que impede a sua separação por deslizamento ou cisalhamento.

A tensão normal se opõe à força de coesão entre as moléculas do corpo, que impede a sua separação por afastamento ou esmagamento.

z

z

x

y

z

Conceito de Tensão





Por um ponto qualquer de um corpo pode-se passar infinitos planos. Logo, para cada ponto do corpo solicitado, existe um conjunto infinito de valores da tensão ou de suas componentes e . A este conjunto dá-se o nome de Estado de Tensão no Ponto.

z

z

x

y

z

Conceito de Tensão





O Estado de Tensão Num Ponto pode, no entanto, ser definido a partir do conhecimento das componentes e em apenas três planos ortogonais entre si que contenham o ponto.

Se dx, dy e dz são as distâncias infinitesimais entre planos paralelos que isolem um ponto P, o paralelepípedo resultante da interseção destes planos entre si pode ser utilizado para representar este ponto.

P x

y

z

dx

dz

dy

representação do ponto P

Conceito de Tensão





As componentes de tensão nas facetas deste paralelepípedo elementar são: x, xy, xz, y, yz, yx, z, zx e zy. As forças resultantes nes-tas facetas constituem um sistema em equilí-brio estático.

x

z

y

xyyx

yz

zy

zx xz

Em um plano inclinado em relação aos planos das facetas do paralelepípedo agem as compo-nentes n e n. Este plano também contém o ponto.

n

t

n

n

x

xy

xz zx z

zyyz

yx

y

Conceito de Tensão





n é a tensão normal e n a tensão de cisalha-mento neste plano (n é o eixo normal ao plano e t é um eixo tangente).A partir das condições de equilíbrio estático,

Fn = 0 e Ft = 0 obtém-se as componentes n e n em função de x, xy, xz, y, yz, yx, z, zx, zy e dos cossenos diretores da normal n.

n

t

n

n

x

xy

xz zx z

zyyz

yx

y

x

z

y

xyyx

yz

zy

zx xz

Conceito de Tensão





Assim, conhecendo-se as componentes de tensão em três planos arbitrários, ortogonais entre si, pode-se conhecer as componentes em qualquer outro plano que contenha o ponto, por meio de fórmulas de recorrência obtidas a partir das citadas condições de equilíbrio estático das forças elementares que atuam nas facetas do tetraedro infinitesimal indicado.

n

t

n

n

x

xy

xz zx z

zyyz

yx

y

x

z

y

xyyx

yz

zy

zx xz

Conceito de Tensão





Desta forma, o Estado de Tensão Num Ponto pode ser representado, como dito, pelas com-ponentes em três planos ortogonais arbitrá-rios: x, xy, xz, y, yz, yx, z, zx e zy.

Da condição de equilíbrio de momentos em torno do eixo x indicado, tem-se:

Mx = 0 (yzdxdz)dy – (zydxdy)dz = 0

x

z

y

xyyx

yz

zy

zx xz

x

y

z dx

dy

dz

Conceito de Tensão





Logo, yz = zy .

Analogamente,

xy = yx e zx = xz.

Teorema: “Em planos ortogonais, as tensões de cisalhamento são iguais e formam binários em sentidos opostos”

x

z

y

xyyx

yz

zy

zx xz

x

y

z dx

dy

dz

Assim, são seis as componentes que definem o Estado de Tensão Num Ponto: x, y, z, xy, yz, e zx.

x

y

xy

yx

x

y

Conceito de Tensão





Logo, yz = zy .

Analogamente,

xy = yx e zx = xz.

Teorema: “Em planos ortogonais, as tensões de cisalhamento são iguais e formam binários em sentidos opostos”

x

z

y

xyyx

yz

zy

zx xz

x

y

z dx

dy

dz

Convenção de Sinais:

x

y

xy

yx

x

y

x+ x_ xy+ xy_

Conceito de Tensão





Se z,zx ezy são as componentes de tensão num ponto qualquer do plano x-y, os esforços elementares correspondentes são:

.dAdN z,dAdV zxx e dAdV zyy

z

zxx

y

z

zy

dN

xdVx

y

z

ydV

Relações entre Esforços Internos e Tensões

Conceito de Tensão

Integrando estes esforços elementares:

dANA

z Azxx dAV A

zyy dAV

esforço cortante na direção x

esforço normalesforço cortante na direção y





z

zxx

y

z

zy

dN

xdVx

y

z

ydV

Os momentos elementares em torno dos eixos de referência são:

y

x

xy

dA

dxdydA

,dAyydNdM zx e dAxxdNdM zy dAydAxydVxdVdMdT zxzyxyz

Relações entre Esforços Internos e Tensões

Conceito de Tensão

Integrando estes momentos elementares:

dAyMA

zx A

zy dAxM

A

zxzy dAyxT

momentos fletores em torno de x e de y

momento torsor

dT

xdM

ydM

dNxdV

x

y

z

ydV

xy





Conceito de Deformação

Sejam AB e AC dois segmentos de reta defi-nindo um plano do corpo e formando um ân-gulo entre si.

A

B

C

plano indeformado

A’

B’

C’

’

plano deformado

O corpo se deforma após a ação dos esforços e, consequentemente, os pontos A, B e C se deslocam para as posições A’, B’ e C’, respec-tivamente.





A

B

C

plano indeformado

A’

B’

C’

’

plano deformado

Deformação Linear Média:

,C'A' e AC e

B'A' e AB Se

ttt

sss

t

t

AC

ACCA

s

s

AB

ABBAACAB mm

e






A

B

C

plano indeformado

A’

B’

C’

’

plano deformado

Se é o eixo orientado que define a direção do segmento AB e o eixo orientado que define a direção do segmento AC,

Deformação Linear de um Ponto:

ABmAB

0

lim

e ACmAC

0

lim

O conceito de deformação linear de um ponto pressupõe a direção na qual é medida.






A

B

C

plano indeformado

A’

B’

C’

’

plano deformado

é a deformação linear do ponto A na direção e é a deformação linear do ponto A na direção .

Deformação Linear é uma grandeza adimensional. Pode ser expressa em %.






A

B

C

plano indeformado

A’

B’

C’

’

plano deformado

Deformação Angular Média:

,C''AB' e CAB Se

CABCABABCm






A

B

C

plano indeformado

A’

B’

C’

’

plano deformado

Se é o eixo orientado que define a direção do segmento AB e o eixo orientado que define a direção do segmento AC,

Deformação Angular de um Ponto:

ABCm

ACAB

00

lim

O conceito de deformação angular de um ponto pressupõe o plano na qual é medida.






A

B

C

plano indeformado

A’

B’

C’

’

plano deformado

é a deformação angular do ponto A no plano

Deformação Angular é uma grandeza adimensional. Deve ser expressa em rd.






Por um ponto qualquer de um corpo pode-se passar infinitos planos. Logo, para cada ponto do corpo solicitado, existe um conjunto infini-to de valores das deformações e . A este conjunto dá-se o nome de Estado de Defor-mação no Ponto.

A

B

C

plano indeformado

A’

B’

C’

’

plano deformado






Analogamente ao Estado de Tensão, o Estado de Deformação Num Ponto também pode ser definido a partir do conhecimento das deformações e em apenas três planos ortogonais entre si que contenham o ponto.

Representado o ponto pelo paralelepípedo elementar, as deformações em suas facetas são: x, y, z, xy, yz e zx.

x

z

y

xyxy

yz

yz

zx zx






x: deformação linear na direção x, y: deformação linear na direção y, z: deformação linear na direção z, xy: deformação angular no plano x-y, yz : deformação angular no plano y-z, zx : deformação angular no plano z-x.

x

z

y

xyxy

yz

yz

zx zx






A

A’

plano deformadoDecompondo este deslocamento em direções x, y e z tri-ortogonaias arbitrárias:

Seja o deslocamento do ponto A após a deformação do corpo solicitado.

AA'

u: deslocamento do ponto A na direção x

v: deslocamento do ponto A na direção y

w: deslocamento do ponto A na direção zA

A’

z

x

y

uv

w

Relações entre Deslocamentos e Deformações






Supondo um ponto B sobre o eixo x, após a deforma-ção, este ponto se deslocará para uma posição B’.

A

A’

z

x

y

uv

w

: projeção do ponto A’ no plano x-y'xyA

'xyB : projeção do ponto B’ no plano x-y

A’xy

A

y

BBx

'xyB

'xyA

u

v By

Bxx

'

xA '

xB

A

A’

plano deformado







xB: coordenada do ponto B segundo o eixo x

A

A’

z

x

y

uv

w

A’xy

u: deslocamento do ponto A na direção x

xB = u + u : deslocamento do ponto B na direção x

A

y

BBx

'xyB

'xyA

u

v By

Bxx

'

xA '

xB

A

A’

plano deformado







Por definição, a deformação linear média do segmento AB é:

A

A’

z

x

y

uv

w

A’xy

B

B

B

BBBxxm x

ux

x

xuxx

AB

ABBAAB

BBm x

u

x

uuuAB

uuxB A

y

BBx

'xyB

'xyA

u

v By

Bxx

'

xA '

xB

A

A’

plano deformado







Assim, a deformação linear do ponto A na direção x é:

A

A’

z

x

y

uv

w

A’xy

A

y

BBx

'xyB

'xyA

u

v By

Bxx

'

xA '

xB

x

u

x

u

Bxm

ABx

BAB

00limlim

,x

ux

e

y

vy

.

z

wz

Logo,

uuxB

A

A’

plano deformado







A

A’

z

x

y

uv

w

A’xy

Supondo um ponto C sobre o eixo y, após a deforma-ção, este ponto se deslocará para uma posição C’.

: projeção do ponto C’ no plano x-y'xyC

A

y

BBx

'xyB

'xyA

u

v By

Bxx

'

xA '

xB uuxB

'xyC

C

'yC

Cy

Cyx

y

'yA

Cx

A

A’

plano deformado







A

A’

z

x

y

uv

w

A’xy

A

y

BBx

'xyB

'xyA

u

v By

Bxx

'

xA '

xB

yC: coordenada do ponto C segundo o eixo y

v: deslocamento do ponto A na direção y

yC = v + v : deslocamento do ponto C na direção y

uuxB

'xyC

C

'yC

Cy

Cyx

y

'yA

Cx

A

A’

plano deformado







A

A’

z

x

y

uv

w

A’xy

uuxB

Por definição, a deformação angular média do plano ABC é:

yxxyxyxym CABCABABC

ˆˆ

vvyC A

y

BBx

'xyB

'xyA

u

v By

Bxx

'

xA '

xB

vy

u

ux

v

vyy

ux

uxx

vy

CBcC

C

BB

BmABC

'xyC

C

'yC

Cy

Cyx

y

'yA

Cx

A

A’

plano deformado







A

A’

z

x

y

uv

w

A’xy

uuxB vvyC

A

y

BBx

'xyB

'xyA

u

v By

Bxx

'

xA '

xB

vy

u

ux

v

vyy

ux

uxx

vy

CBcC

C

BB

BmABC

'xyC

C

'yC

Cy

Cyx

y

'yA

Cx

ACAB

ABCm

C

m

B

C

C

B

Bm

yuxv

yv

yu

xu

xv

1111

A

A’

plano deformado







A

A’

z

x

y

uv

w

A’xy

uuxB vvyC

A

y

BBx

'xyB

'xyA

u

v By

Bxx

'

xA '

xB

'xyC

C

'yC

Cy

Cyx

y

'yA

Cx

ACAB

ABCm

C

m

B

C

C

B

Bm

yuxv

yv

yu

xu

xv

1111

,111 Como ACAB mm

CBm y

u

x

vABC

A

A’

plano deformado







A

A’

z

x

y

uv

w

A’xy

uuxB vvyC

A

y

BBx

'xyB

'xyA

u

v By

Bxx

'

xA '

xB

'xyC

C

'yC

Cy

Cyx

y

'yA

Cx

Assim, a deformação angular do ponto A no plano xy é:

y

u

x

v

y

u

x

v

CByx

m

ACAB

xy

C

BABC

00

00

limlim

,y

u

x

vxy

Logo, e z

v

y

wyz

.x

w

z

uzx

A

A’

plano deformado







A

A’

z

x

y

uv

w

A’xy

Finalmente, as relações entre deslocamentos e deformações são:

y

u

x

vxy

z

v

y

wyz

x

w

z

uzx

x

ux

y

vy

z

wz

deformações lineares

deformações angulares

A

A’

plano deformado







Estados de Tensão:

x

z

y

x

y

z dx

dy

dz

Estado Triplo ou Triaxial

x

y

z dx

dy

dz

Estado Triaxial Uniforme

zyx

Casos Particulares de Estados de Tensão e de Deformação





Estados de Tensão:

Estado Plano

x

y

xyyx

x

y

z dx

dy

dz

x

y

xyyx

x

y

dx

dy

notação alternativa






Estados de Tensão:

Estado Duplo ou Biaxial

x

y

x

y

dx

dy

x

y

dx

dy

Estado Biaxial Uniforme

yx






Estados de Tensão:

Estado Simples

x

x

y

dx

dy

xyyx

x

y

dx

dy

Estado de Cisalhamento Puro

yxxy






Estados de Deformação:

x

z

y

x

y

z dx

dy

dz

Estado Triplo ou Triaxial

x

y

z dx

dy

dz

Estado Triaxial Uniforme

zyx







Estado Plano

x

y

xyyx

x

y

z dx

dy

dz

x

y

xyyx

x

y

dx

dy

notação alternativa







Estado Duplo ou Biaxial

x

y

x

y

dx

dy

x

y

dx

dy

Estado Biaxial Uniforme

yx







Estado Simples

x

x

y

dx

dy

xyyx

x

y

dx

dy

Estado de Cisalhamento Puro

yxxy






Relações entre Tensões e Deformações

Lei de Hooke:

Às tensões normais correspondem deformações lineares

xxxx

xy

xz

“As tensões são proporcionais às deformações até um certo limite”

dx

x

y

dy

elemento indeformado

dxdx x

dydy y

elemento deformado

Às tensões tangenciais correspondem deformações angulares

xyxy yx

xy

elemento deformado

1

221 xy

dx

x

y

dy







Lei de Hooke:

xx


dx

x

y

dy


dxdx x

dydy y

elemento deformado

Constantes de Proporcionalidade:

Ex

x

Ex

zy

E: Módulo de Young ou Módulo de Deformação Longitudinal

: Coeficiente de Poisson






Lei de Hooke:


yx

xy

elemento deformado

1

221 xy

dx

x

y

dy



Gxy

xy

G: Módulo de Deformação Transversal






Lei de Hooke:



E e G são também chamados de Módulos de Elasticidade Longitudinal e Transversal, respectivamente, porque a Lei de Hooke só é válida no regime elástico.






Lei de Hooke:

Princípio da Superposição dos Efeitos (PSE):


“Se é válida a Lei de Hooke, os efeitos de um sistema de ações sobre um corpo sólido correspondem às somas dos efeitos de cada ação se-paradamente”






Lei Generalizada de Hooke:

x

z

y

xyyx

yz

zy

zx xz

x

y

z dx

dy

dz

zyx

x EE

Utilizando o PSE, as somas das defor-mações decorrentes de cada componen-te de tensão, no ca-so geral de Estado de Tensão em um ponto, serão:

xzy

y EE

yxz

z EE

Gxy

xy

Gyz

yz

Gzx

zx






Lei Generalizada de Hooke:

x

z

y

xyyx

yz

zy

zx xz

x

y

z dx

dy

dz

zy

xx

1

1Resolvendo para obter as tensões :

xyxy G

xz

yy

1

1

yx

zz

1

1

yzyz G

zxzx G

211

E e G são as Constantes de Lamé






Observações:

Estado Simples de Tensão

x

x

y

dx

dy x

z

y

x

y

z dx

dy

dz

Estado Triplo de Deformação

A um estado simples de tensão corresponde um

estado triplo de deformação

E

E

xzy

xx






Observações:

Estado Simples de Deformação

x

x

y

dx

dy xz

y

x

y

z dx

dy

dz

Estado Triplo de Tensão

A um estado simples de deformação corresponde

um estado triplo de tensão

1x

zy

xx






Energia Potencial de Deformação: Os esforços externos provocam deslocamentos e, portanto,

realizam TRABALHO.KUW

onde W é o trabalho realizado pelos esforços, U é a energia potencial do corpo deformado e K é a energia cinética da velocidade da massa do corpo.

0KComo os esforços são aplicados lentamente, e .UW






Energia Potencial de Deformação:

Seja dw a variação do deslocamento na direção z. O trabalho realizado pelo esforço N é dUN = Ndw.

wkN z

2

2wkwdwkU zwzN

dw

dz

N N

O esforço N é proporcional ao deslocamento w.

2

NwU N

wdwkdU zN







Seja dw a variação do deslocamento na direção z. O trabalho realizado pelo esforço N é dUN = Ndw.

dw

dz

N N


dwdNdU .2

1

2

NwU N

é a variação da energia que se acumula no corpo durante o processo de deformação.







Seja dw a variação do deslocamento na direção z. O trabalho realizado pelo esforço N é dU = Ndw.

dw

dz

N N


dwdNdU .2

1

dzdAdU zz .2

1 zzdV

dU 2

1

x

x

dV

dU







Como a energia é uma grandeza escalar,

zxzxyzyzxyxyzzyyxxdV

dU 2

1

é a energia potencial de deformação acumulada em um elemento de volume infinitesimal dV=dx.dy.dz.







Seja o estado de cisalhamento puro. Em um plano inclinado de 45º, tem-se:

xyyx

x

y

dx

dy45

45

02

2

2

220 45

dAdAF xyn xy 45

02

2

2

2

2

2

2

20 45

dAdAdAF xyxyt 045

dA2

2dA







Repetindo o raciocínio para um plano perpendicular ao plano inclinado considerado (-45º):

xyyx

x

y

dx

dy

45

45

xy 45 e 045

Logo, são equivalentes os seguintes estados de tensão:

xy xy

45º

cisalhamento puro biaxial

xyyx

x

y

dx

dy







A energia potencial de deformação unitária para o estado de cisalhamento puro é:

GdV

dU xyxyxy 22

12

Para o estado biaxial é:

yxxy

yyxxdV

dU

22

1

1

EEExyyx

x

1EEE

xyxyy







A energia potencial de deformação unitária para o estado de cisalhamento puro é:

GdV

dU xyxyxy 22

12

Para o estado biaxial é:

yxxy

yyxxdV

dU

22

1

1

2

EdV

dU xy

Igualando as duas expressões: 12

EG







Em suma, as constantes de Lamé podem ser escritas em função do Módulo de Elasticidade e do Coeficiente de Poisson como:

211

E

12

EGe



Fim da Aula 03

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