Mecânica Dos Sólidos Deformáveis - Marco Lúcio Bittencourt e Wallace Gusmão Ferreira

Meca^nica dos Solidos Deformaveis

Prof. Dr. Marco Lucio Bittencourt Eng. Wallace Gusm~ao Ferreira

1 de Junho de 2001

Conteudo

1 Solidos 3

1.1 Introduc~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Denic~ao da Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Deformac~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Movimento de Corpo Rgido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5 Trabalho Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.6 Princpio dos Trabalhos Virtuais (PTV) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.7 Lei de Hooke Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.8 Aplicac~ao da Equac~ao Constitutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.9 Formulac~ao Empregando Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.9.1 Corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.9.2 Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.9.3 Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.9.4 Deformac~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.9.5 Movimentos de Corpo Rgido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.9.6 Trabalho Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.9.7 Aplicac~ao do PTV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.9.8 Aplicac~ao da Equac~ao Constitutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2 Casos Particulares 35

2.1 Barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.1.1 Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.1.2 Deformac~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35


2.1.4 PTV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36


2.2 Flex~ao Pura em Vigas Prismaticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2.1 Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2.2 Deformac~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38


2.2.4 PTV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39


2.3 Torc~ao de Eixos Circulares Prismaticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1

2.3.1 Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.3.2 Deformac~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41


2.3.4 PTV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42


2.4 Estado Plano de Tens~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.5 Estado Plano de Deformac~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3 Soluc~ao Aproximada 46

3.1 Forma Forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2 Forma Fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.3 Aproximac~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4 Aplicac~oes 53

4.1 Metodos Analticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.1.1 Equac~oes de Compatibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.1.2 Barra - Soluc~ao 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.1.3 Torc~ao de Eixos Circulares Prismaticos - Soluc~ao 3D . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.1.4 Viga - Soluc~ao 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.2 Metodos Numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.2.1 Estudo de Casos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Bibliograa 72

2

Captulo 1

Solidos

1.1 Introduc~ao

O proposito deste texto e a apresentac~ao de uma metodologia para o tratamento e analise

de tens~oes e deformac~oes em corpos solidos. Inicialmente sera descrita a cinematica do problema,

pemitindo estabelecer o conceito geral de deformac~ao. Atraves do conceito de Trabalho Interno e da

aplicac~ao do Princ

ipio dos Trabalhos Virtuais ser~ao deduzidas as equac~oes diferenciais para o equil

ibrio

tridimensional, apos a introduc~ao do conceito de tens~ao. Finalmente ser~ao deduzidas as equac~oes de

Navier, atraves das aplicac~ao do modelo consitutivo (relac~oes entre tens~ao e deformac~oes em func~ao do

tipo de material), nesse caso a lei de Hooke, para materiais elasticos, homoge^neos e isotropicos. A m

de permitir uma notac~ao mais compacta e generalizada para a formulac~ao dos modelos, as equac~oes

ser~ao reescritas utilizando o conceito matematico de tensores, seguindo-se os mesmos passos descritos

anteriormente.

Com o intuito de exemplicar e aplicar os resultados obtidos com a formulac~ao geral para a

analise de tens~oes e deformac~oes em solidos tridimensionais, ser~ao formulados os modelos unidimen-

sionais de problemas de barra, viga , torc~ao e estados planos (tens~ao e deformac~ao), deduzidos do

modelo mais geral, levando-se em conta as hipoteses cinematicas simplicadoras para cada caso.

A formulac~ao apresentada sera baseada na meca^nica dos meios cont

inuos que e o ramo da

meca^nica que trata do estudo de tens~oes em solidos, l

iquidos e gases, bem como a deformac~ao e o

uxo desses materiais. O termo cont

inuo aqui utilizado signica que s~ao desconsiderados os efeitos

decorrentes da estrutura molecular da materia, imaginando-a como sendo isenta de vazios e descon-

tinuidades. Do ponto de vista matematico isso implica em dizer que as func~oes empregadas na mod-

elagem devem ser suaves e possuir derivadas cont

inuas em todo o dom

inio analizado.

O conceito de contnuo permite o uso de artifcios matematicos do calculo diferencial, possibil-

itando o estudo de distribuic~oes complexas e n~ao uniformes de tens~ao e deformac~ao dos corpos e, ao

mesmo tempo, denir modelos fsicos considerados aceitaveis na descric~ao do comportamento materia

como um todo. Esta metodologia permite que ramos da meca^nica como elasticidade, plasticidade e

meca^nica dos fuidos establecam previs~oes quantitativas bastante razoaveis para uma larga faixa de

problemas de analise de tens~oes, deformac~oes e uxo material no campo da engenharia.

Considerando-se que atualmente o uso de ferramentas computacionais e uma realidade cada vez

mais presente no cotidiano da engenharia, para a soluc~ao de problemas envolvendo grande complexi-

dade, como a soluc~ao anal

itica de equac~oes diferenciais, sera apresentada uma proposta de aproximac~ao

da soluc~ao das equac~oes de equil

ibrio, permitindo o uso de ferramentas numericas, como o ja consagra-

do Metodo dos Elementos Finitos (MEF), entre outros. De forma simplicada, o metodo utilizado

consiste em, partindo-se da forma forte das equac~oes diferenciais, atraves da integrac~ao por partes

deve-se obter uma forma fraca para o modelo, ou seja, a reduc~ao da ordem de diferenciabilidade das

func~oes incognitas, permitindo a obtenc~ao de uma solucao aproximada, atraves de modelos discretos,

3

mais faceis de serem implementados computacionalmente. Ao nal ser~ao demonstrados alguns exem-

plos de aplicac~ao das soluc~oes, de forma anal

itica, utilizando o equacionamento desenvolvido e de

forma numerica, utilizando o programa de elementos nitos ANSYS.

1.2 Denic~ao da Cinematica

Considere um corpo tridimensional B e um sistema de refere^ncia cartesiano ilustrados na Figura

1.1. Seja P

1

um ponto qualquer do corpo B com coordenadas (x; y; z) segundo o sistema de refere^ncia

adotado, denotando-se P

1

(x; y; z). Sendo fe

x

; e

y

; e

z

g uma base ortonormal do sistema de refere^ncia,

o vetor posic~ao r

P

1

do ponto P

1

e denido como

r

P

1

= xe

x

+ ye

y

+ ze

z

.

Suponha agora que o corpo B sofra um deslocamento. Neste caso, o ponto P

1

assume a posic~ao nal

P

0

1

(x

0

; y

0

; z

0

) e o respectivo vetor posic~ao e dado por

r

P

0

1

= x

0

e

x

+ y

0

e

y

+ z

0

e

z

.

Figura 1.1: Cinematica de um Corpo Solido

Dene-se o vetor deslocamento u do ponto P

1

como a diferenca entre as suas posic~oes nal

(x

0

; y

0

; z

0

) e inicial (x; y; z), ou seja,

u = r

P

0

1

r

P

1

= (x

0

x)e

x

+ (y

0

y)e

y

+ (z

0

z)e

z

. (1.1)

Observa-se que u = (x

0

x), v = (y

0

y) e w = (z

0

z) s~ao, respectivamente, as componentes do

vetor deslocamento u nas direc~oes x, y e z. Logo, a express~ao anterior pode ser reescrita como

u = ue

x

+ ve

y

+ we

z

, (1.2)

ou em forma matricial,

u =

8

>

:

u

v

w

9

>

=

>

;

. (1.3)

Devido a hipotese de meio contnuo, o corpo B possui innitos pontos. Cada um destes pontos

apresenta um vetor deslocamento u quando o corpo se desloca. Logo, a cinematica de um corpo

solido e descrita por innitos vetores deslocamentos do tipo (1.3). Estes innitos vetores denem um

campo vetorial de deslocamento u(x; y; z). Assim, ao se substituir as coordenadas (x; y; z) de um

ponto arbitrario P

1

, u(x; y; z) fornece o respectivo vetor de deslocamentos u do ponto de acordo com

4

(1.3). Assim, a cinematica de um corpo solido e dada pelo campo vetorial de deslocamentos

u(x; y; z)= u(x; y; z)e

x

+ v(x; y; z)e

y

+ w(x; y; z)e

z

=

8

>

:

u(x; y; z)

v(x; y; z)

w(x; y; z)

9

>

=

>

;

. (1.4)

1.3 Deformac~ao

Deseja-se agora caracterizar a variac~ao de dista^ncia entre dois pontos arbitrarios do corpo solido

antes e depois da ac~ao de deslocamento. Isto permitira denir o que se entende por deformac~ao do

corpo solido. Considere os pontos arbitrarios P

1

(x; y; z) e P

2

(x +x; y + y; z +z) ilustrados na

Figura 1.2 e seus respectivos vetores posic~ao

r

P

1

= xe

x

+ ye

y

+ ze

z

e (1.5)

r

P

2

= (x+x)e

x

+ (y +y)e

y

+ (z +z)e

z

. (1.6)

De acordo com a Figura 1.2, a dista^ncia d entre os pontos P

1

e P

2

e dada pela diferenca entre

o seus vetores posic~ao, ou seja,

d = r

P

2

r

P

1

= xe

x

+ye

y

+ze

z

.

Apos a ac~ao de deslocamento do corpo de acordo com a cinematica (1.4), os pontos P

1

e P

2

assumem,

respectivamente, as posic~oes nais P

0

1

(x

0

; y

0

; z

0

) e P

0

2

(x

0

+ x

0

; y

0

+ y

0

; z

0

+ z

0

) com os seguintes

vetores posic~ao

r

P

0

1

= x

0

e

x

+ y

0

e

y

+ z

0

e

z

e (1.7)

r

P

0

2

= (x

0

+x

0

)e

x

+ (y

0

+y

0

)e

y

+ (z

0

+z

0

)e

z

. (1.8)

Portanto, a dista^ncia d

0

entre os pontos P

1

e P

2

apos o deslocamento do corpo e dada por

d

0

= r

P

0

2

r

P

0

1

= x

0

e

x

+y

0

e

y

+z

0

e

z

.

Figura 1.2: Deformac~ao de um Corpo Solido

A partir da Figura 1.2 e adotando procedimento analogo ao utilizado na obtenc~ao da equac~ao

(1.4), tem-se que os vetores deslocamento dos pontos P

1

e P

2

entre as congurac~oes inicial e nal s~ao

dados, respectivamente, por

u(x) = r

P

0

1

r

P

1

= u(x)e

x

+ v(x)e

y

+ w(x)e

z

,

u(x

0

) = r

P

0

2

r

P

2

= u(x

0

)e

x

+ v(x

0

)e

y

+ w(x

0

)e

z

,

sendo x = (x; y; z) e x

0

= (x+ d) = (x+x; y +y; z +z).

5

A partir destas express~oes, pode-se escrever os vetores posic~ao dos pontos P

0

1

e P

0

2

em func~ao de

seus vetores deslocamento, ou seja,

r

P

0

1

= r

P

1

+ u(x) = [x+ u(x)] e

x

+ [y + v(x)] e

y

+ [z + w(x)] e

z

,

r

P

0

2

= r

P

2

+ u(x

0

) =

x+x+ u(x

0

)

e

x

+

y +y + v(x

0

)

e

y

+

z +z + w(x

0

)

e

z

.

Portanto, expressa-se d

0

como

d

0

= r

P

0

2

r

P

0

1

= (x+u)e

x

+ (y +v)e

y

+ (z +w)e

z

, (1.9)

sendo a diferenca dos deslocamentos entre os pontos P

1

e P

2

nas direc~oes x, y e z dados por

u = u(x

0

) u(x) = u(x+x; y +y; z +z) u(x; y; z),

v = v(x

0

) v(x) = v(x+x; y +y; z +z) v(x; y; z),

w = w(x

0

) w(x) = w(x+x; y +y; z +z) w(x; y; z).

Finalmente, a variac~ao de dista^ncia d e dada por

d = d

0

d =ue

x

+ve

y

+we

z

: (1.10)

Considere-se agora os elementos tridimensionais ilustrados na Figura 1.3 cujas diagonais s~ao

dadas, respectivamente, por d e d

0

. O elemento n~ao-deformado e um cubo de dimens~oes x, y e

z e suas arestas s~ao linhas retas formando a^ngulos retos entre si. Apos o deslocamento, este cubo

se deforma para uma nova congurac~ao entre os pontos P

0

1

e P

0

2

com dimens~oes x

0

, y

0

e z. As

arestas se alongam e os a^ngulos entre as arestas deixam de ser retos apresentando distorc~oes. Deseja-se

caracterizar estes alongamentos e distorc~oes denindo a deformac~ao em cada ponto do corpo solido.

Para facilitar a apresentac~ao, consideram-se os planos xy, xz e yz individualmente.

(a) Forma Inicial (b) Forma Deformado

Figura 1.3: Elementos Diferenciais

As Figuras 1.4a e 1.4b ilustram as projec~oes dos elementos n~ao-deformado e deformado no plano

xy com os respectivos deslocamentos u e v dos pontos P

1

e P

2

e as distorc~oes

1

e

2

. Analisa-se

inicialmente apenas o caso em que ocorre somente alongamentos do elemento nas direc~oes x e y, con-

forme ilustrado na Figura 1.4a. O alongamento na direc~ao x sera dado pela variac~ao de comprimento

x

0

x dividido pelo comprimento inicial x, ou seja,

x

0

x

x

.

Por sua vez, a partir da Figura 1.4a, tem-se que x

0

= x+u. Logo,

x

0

x

x

=

x+ux

x

=

u

x

. (1.11)

Fazendo x pequeno, tem-se que o ponto P

1

se aproxima de P

2

e dene-se a deformac~ao especca

longitudinal do ponto P

1

na direc~ao x como o limite para x tendendo a zero, ou seja,

"

xx

(x; y; z) = lim

x!0

u

x

= lim

x!0

u(x+x; y +y; z +z) u(x; y; z)

x

. (1.12)

6

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

Figura 1.4: Deformac~oes do elemento diferencial

O limite anterior e a propria denic~ao de derivada parcial pois o deslocamento u depende das coorde-

nadas (x; y; z) de cada ponto. Portanto,

"

xx

(x; y; z) =

@u(x; y; z)

@x

. (1.13)

Este mesmo procedimento pode ser repetido para se obter a deformac~ao especca longitudinal

de P

1

na direc~ao y, ou seja,

"

yy

(x; y; z) = lim

y!0

v

x

= lim

y!0

v(x+x; y +y; z +z) v(x; y; z)

y

. (1.14)

Portanto,

"

yy

(x; y; z) =

@v(x; y; z)

@y

. (1.15)

De maneira analoga, conforme a Figura 1.4c, analisando somente a direc~ao para a y onde ocorre

7

apenas uma distorc~ao

1

, a seguinte relac~ao trigonometrica e valida

tan

1

=

v

x

. (1.16)

Tomando-se x pequeno, tem-se que a tangente de

1

e aproximadamente igual a

1

, ou seja, tan

1

1

. Logo, a seguinte relac~ao e valida

1

= lim

x!0

v

x

= lim

x!0

v(x+x; y +y; z +z) v(x; y; z)

x

=

@v(x; y; z)

@x

. (1.17)

Considerando agora apenas uma distorc~ao

2

, conforme Figura 1.4d, nesse caso,

tan

2

=

u

y

.

Tomando-se agora y pequeno, tem-se que tan

2

2

e portanto

2

= lim

y!0

u

y

= lim

y!0

u(x+x; y +y; z +z) u(x; y; z)

y

=

@u(x; y; z)

@y

. (1.18)

A distorc~ao total no plano xy, denotada como

xy

(x; y; z), e dada pela soma de

1

e

2

, ou seja,

xy

(x; y; z) =

1

+

2

=

@v(x; y; z)

@x

+

@u(x; y; z)

@y

. (1.19)

Analogamente para o plano xz, Figura 1.4e, com os respectivos deslocamentos u e w dos pontos

P

1

e P

2

e as distorc~oes

3

e

4

, efetua-se o mesmo procedimento anterior, determinando-se a deformac~ao

espec

ica longitudinal do ponto P

1

na direc~ao z como

"

zz

(x; y; z) =

@w(x; y; z)

@z

(1.20)

e a distorc~ao

xz

(x; y; z) no plano xz

xz

(x; y; z) =

3

+

4

=

@u(x; y; z)

@z

+

@w(x; y; z)

@x

. (1.21)

Finalmente, tomando-se o plano yz,Figura 1.4f, tem-se a distorc~ao

yz

(x; y; z) dada por

yz

(x; y; z) =

5

+

6

=

@v(x; y; z)

@z

+

@w(x; y; z)

@y

: (1.22)

As componentes de deformac~ao anteriores podem se reorganizadas numa forma matricial da

seguinte maneira

8

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

:

"

xx

(x; y; z)

"

yy

(x; y; z)

"

zz

(x; y; z)

xy

(x; y; z)

xz

(x; y; z)

yz

(x; y; z)

9

>

>

>

>

>

>

>

=

>

>

>

>

>

>

>

;

=

2

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

4

@

@x

0 0

0

@

@y

0

0 0

@

@z

@

@y

@

@x

0

@

@z

0

@

@x

0

@

@z

@

@y

3

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

5

8

>

:

u(x; y; z)

v(x; y; z)

w(x; y; z)

9

>

=

>

;

, (1.23)

ou ainda

f"g = [L]fug,

sendo [L] um operador diferencial.

Assim, tem-se que o estado de deformac~ao em cada ponto de um corpo solido e caracterizado

por 6 componentes de deformac~ao. Observa-se que as componentes de deformac~ao especcas "

xx

,

"

yy

e "

zz

s~ao quantidades adimensionais, as quais estabelecem uma relac~ao de variac~ao especca das

componentes de deslocamento ao longo de uma determinada direc~ao. Por sua vez, as distorc~oes

xy

,

xz

e

yz

representam deformac~oes angulares e s~ao dadas em radianos.

Finalmente, deve-se ressaltar que a deduc~ao anterior, assim como a Meca^nica do Contnuo, esta

8

totalmente baseada na ideia de diferencial. A partir da Figura 1.2, comparou-se a cinematica relativa

de dois pontos arbitrarios P

1

e P

2

do corpo solido. A dista^ncia d entre estes pontos pode ser feita t~ao

pequena quanto se queira, de tal forma que pode-se falar do estado de deformac~ao em P

1

.

1.4 Movimento de Corpo Rgido

Se as normas dos vetores d e d

0

ilustrados na Figura 1.2s~ao iguais ent~ao o corpo solido sofreu um

deslocamento r

igido. Dene-se corpo r

igido como aquele em que a dista^ncia entre dois pontos quaisquer

permanece constante para qualquer ac~ao de movimento. Isto implica que todas as componentes de

deformac~ao em cada ponto do corpo s~ao nulas, ou seja,

8

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

:

"

xx

(x; y; z) =

@u(x; y; z)

@x

= 0

"

yy

(x; y; z) =

@v(x; y; z)

@y

= 0

"

zz

(x; y; z) =

@w(x; y; z)

@z

= 0

xy

(x; y; z) =

@v(x; y; z)

@x

+

@u(x; y; z)

@y

= 0

xz

(x; y; z) =

@u(x; y; z)

@z

+

@w(x; y; z)

@x

= 0

yz

(x; y; z) =

@v(x; y; z)

@z

+

@w(x; y; z)

@y

= 0

. (1.24)

Se a cinematica u(x; y; z) = fu(x; y; z) v(x; y; z) w(x; y; z)g

T

e tal que as componentes de

deslocamento u; v e w s~ao constantes para todos os pontos de B, ent~ao tem-se apenas uma translac~ao

rgida. Nesse caso, as condic~oes anteriores s~ao satisfeitas.

Se agora o corpo apresenta rotac~oes

x

,

y

e

z

constantes em torno dos eixos x, y e z respecti-

vamente, o vetor deslocamento e dado por

u(x; y; z) = r = det

2

6

4

e

x

e

y

e

z

x y z

x

y

z

3

7

5

= (y

z

z

y

)e

x

+(z

x

x

z

)e

y

+(x

y

y

x

)e

z

,(1.25)

sendo (

y

z

z

y) = u, (

z

x

x

z) = v e (

x

y

y

z) = w. Novamente, o deslocamento anterior

implica que as componentes de deformac~ao sejam nulas.

Dessa forma, um deslocamento rgido geral e dado pela soma de uma translac~ao e uma rotac~ao

rgida da seguinte forma

u(x; y; z) = u

0

+ r =

8

>

:

u

0

v

0

w

0

9

>

=

>

;

+

8

>

:

(y

z

z

y

)

(z

x

x

z

)

(x

y

y

x

)

9

>

=

>

;

; (1.26)

sendo u

0

, v

0

, w

0

,

x

,

y

e

z

constantes para todos os pontos do corpo B:

1.5 Trabalho Interno

No caso de corpos deformaveis, emprega-se o conceito de trabalho interno para se determinar os

esforcos internos associados as deformac~oes decorrentes das ac~oes cinematicas impostas ao corpo. O

trabalho interno associa as deformac~oes um conjunto de esforcos internos compat

iveis com as proprias

componentes de deformac~ao e com a cinematica do problema.

Assim, associado as componentes de deformac~ao normal "

xx

, "

yy

e "

zz

em cada ponto do corpo,

tem-se as respectivas tens~oes normais

xx

,

yy

e

zz

. Da mesma maneira, associadas as distorc~oes

xy

,

xz

e

yz

, tem-se as respectivas componentes de tens~ao cisalhante

xy

,

xz

e

yz

. O trabalho interno

9

para um elemento diferencial de volume dV do corpo solido e dado por

dT

i

= [

xx

"

xx

+

yy

"

yy

+

zz

"

zz

+

xy

xy

+

xz

xz

+

yz

yz

] .

O sinal e introduzido apenas por convenie^ncia quando da aplicac~ao do Princpio dos Trabalhos

Virtuais.

O trabalho interno total e obtido atraves da soma do trabalho de cada elemento diferencial, ou

seja, atraves da integral de volume

T

i

=

Z

V

"

xx

(x; y; z)"

xx

(x; y; z) +

yy

(x; y; z)"

yy

(x; y; z) +

zz

(x; y; z)"

zz

(x; y; z)

+

xy

(x; y; z)

xy

(x; y; z) +

xz

(x; y; z)

xz

(x; y; z) +

yz

(x; y; z)

yz

(x; y; z)

#

dV .(1.27)

Fazendo uma analise dimensional do primeiro termo no integrando da express~ao anterior, sabe-se

que a unidade resultante deve ser igual a trabalho interno, ou seja,

[

xx

(x; y; z)"

xx

(x; y; z)dV ] =

N

m

2

m

m

[m

3

] = [Nm] . (1.28)

Logo, associada a deformac~ao "

xx

(x; y; z), que e um numero adimensional por denic~ao, deve existir

uma func~ao contnua

xx

(x; y; z); representando os esforcos internos normais na direc~ao x, com di-

mens~ao

N

m

2

. Assim, ao se realizar a integrac~ao no volume do corpo V , expresso em [m

3

], obte^m-se

unidades de trabalho ou energia [Nm]. A func~ao

xx

(x; y; z) e denominada componente de tens~ao

normal na direc~ao x.

Substituindo as componentes de deformac~ao na express~ao do trabalho, tem-se que

T

i

=

Z

V

2

6

6

6

6

6

6

4

xx

(x; y; z)

@u(x; y; z)

@x

+

yy

(x; y; z)

@v(x; y; z)

@y

+

zz

(x; y; z)

@w(x; y; z)

@z

+

xy

(x; y; z)

@v(x; y; z)

@x

+

@u(x; y; z)

@y

+

xz

(x; y; z)

@u(x; y; z)

@z

+

@w(x; y; z)

@x

+

yz

(x; y; z)

@v(x; y; z)

@z

+

@w(x; y; z)

@y

3

7

7

7

7

7

7

5

dV (1.29)

As tens~oes normais representadas por

xx

,

yy

e

zz

na equac~ao (??) s~ao responsaveis pelo

alongamento do corpo nas direc~oes x, y e z respectivamente. Por sua vez, as tens~oes de cisalhamento

xy

,

xz

e

yz

s~ao responsaveis pelas distorc~oes nos planos xy, xz e yz respectivamente.

Em geral, deseja-se obter uma express~ao em termos das componentes do deslocamento do corpo

e n~ao de suas derivadas, como aparecem na equac~ao (??) para o trabalho interno. Considerando

que as componentes de tens~ao e de deslocamento presentes na equac~ao (??) s~ao contnuas em todo

o domnio do corpo, pode-se realizar o procedimento de integrac~ao por partes de forma a reduzir a

sua ordem de diferenciac~ao nas componentes de deslocamento. De uma forma geral, a integrac~ao por

partes para func~oes contnuas quaisquer f e g dependentes de x, y e z e denida como

8

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

:

Z

V

f(x; y; z)

@g(x; y; z)

@x

dV =

Z

V

@f(x; y; z)

@x

g(x; y; z)dV +

Z

S

f(x; y; z)g(x; y; z)n

x

dS

Z

V

f(x; y; z)

@g(x; y; z)

@y

dV =

Z

V

@f(x; y; z)

@y

g(x; y; z)dV +

Z

S


y

dS

Z

V

f(x; y; z)

@g(x; y; z)

@z

dV =

Z

V

@f(x; y; z)

@z

g(x; y; z)dV +

Z

S


z

dS

,(1.30)

sendo f(x; y; z) e g(x; y; z) func~oes escalares e contnuas no domnio V e n

x

, n

y

e n

z

s~ao as componentes

do vetor n =n

x

e

x

+ n

y

e

y

+ n

z

e

z

normal a superfcie S (contorno de V ), ver Figura 1.5.

Aplicando esse conceito para cada integral de volume na express~ao do trabalho interno (??),

10

Figura 1.5: Integrac~ao por partes tridimensional

tem-se que

8

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

:

Z

V

xx

@u

@x

dV =

Z

V

@

xx

@x

udV

Z

S

xx

un

x

dS

Z

V

yy

@v

@y

dV =

Z

V

@

yy

@y

vdV

Z

S

yy

vn

y

dS

Z

V

zz

@w

@z

dV =

Z

V

@

zz

@w

wdV

Z

S

zz

wn

z

dS

Z

V

xy

(

@u

@y

+

@v

@x

)dV =

Z

V

@

xy

@y

udV

Z

S

xy

un

y

dS +

Z

V

@

xy

@x

vdV

Z

S

xy

vn

x

dS

Z

V

xz

(

@u

@z

+

@w

@x

)dV =

Z

V

@

xy

@z

udV

Z

S

xz

un

z

dS +

Z

V

@

xz

@x

wdV

Z

S

xz

wn

x

dS

Z

V

yz

(

@v

@z

+

@w

@y

)dV =

Z

V

@

yz

@z

vdV

Z

S

yz

vn

z

dS +

Z

V

@

yz

@y

wdV

Z

S

yz

wn

y

dS

.(1.31)

Substituindo as express~oes anteriores na equac~ao (??) e reagrupando os termos, obtem-se

T

i

= T

V

i

+ T

S

i

, (1.32)

sendo

T

V

i

=

Z

V

@

xx

@x

+

@

xy

@y

+

@

xz

@z

u+

@

xy

@x

+

@

yy

@y

+

@

yz

@z

v (1.33)

+

@

xz

@x

+

@

yz

@y

+

@

zz

@w

w

dV (1.34)

e

T

S

i

=

Z

S

[(

xx

n

x

+

xy

n

y

+

xz

n

z

)u+ (

xy

n

x

+

yy

n

y

+

yz

n

z

) v (1.35)

+ (

xz

n

x

+

yz

n

y

+

zz

n

z

)w] dS. (1.36)

Fazendo uma analise dimensional dos integrandos das express~oes de T

V

i

e T

S

i

, observa-se que

@

xx

@x

=

N

m

2

1

m

=

N

m

3

, (1.37)

[

xx

n

x

] =

N

m

2

: (1.38)

Logo, o termo

@

xx

@x

representa uma densidade de forca interna por unidade de volume do solido,

conhecida tambem como forca interna de corpo. Ja o termo [

xx

n

x

] representa a carga interna dis-

tribuda na superfcie do solido, tambem conhecida como forca interna de superfcie. Assim, T

V

i

e T

S

i

representam o trabalho interno, respectivamente, das forcas internas de volume e superfcie do corpo.

11

1.6 Princpio dos Trabalhos Virtuais (PTV)

Os objetivos do PTV s~ao estabelecer os esforcos externos compatveis com os esforcos internos

e determinar uma express~ao local para o equilbrio entre estes esforcos. Este princpio estabelece que,

se o corpo esta em equilbrio, os trabalhos externo e interno s~ao os mesmos para qualquer ac~ao virtual

de movimento

u^(x; y; z) =

8

>

:

u^(x; y; z)

v^(x; y; z)

w^(x; y; z)

9

>

=

>

;

, (1.39)

aplicada sobre o corpo, a partir de sua congurac~ao deformada. O termo ac~ao virtual signica que o

princpio e valido para toda e qualquer ac~ao hipotetica de movimento, pequena ou grande, desde que

compatvel com a cinematica do problema.

Para avaliar intuitivamente o peso de um corpo qualquer a partir de sua congurac~ao de

equilbrio, imp~oe-se uma ac~ao de movimento u^(x; y; z) para retirar o corpo do seu estado de equilbrio.

Dessa forma, pelo PTV pode-se concluir que, o trabalho das forcas externas necessario para fazer com

que o corpo abandone sua congurac~ao de equilbrio e igual a energia potencial gravitacional (trabalho

das forcas internas, nesse caso o peso) armazenada no corpo na nova congurac~ao de equilbrio. De

maneira simplicada, ergue-se o corpo ate uma altura generica h, realizando um trabalho externo

T

e

. Aplicando o PTV e possvel concluir que T

e

= Ph, sendo P o peso do corpo em quest~ao.

E

importante salientar que, o peso P do corpo e sempre possvel de ser determinado, independentemente

do valor de numerico de h, por isso que a ac~ao de movimento u^(x; y; z); que levou o corpo da sua

congurac~ao original de equilbrio ate a altura h e denida como virtual.

Dene-se o PTV como

T

e

+ T

i

= 0, (1.40)

sendo T

e

e T

i

os trabalhos das forcas externas e internas agindo sobre o corpo. Substituindo o resultado

da equac~ao (??) em (1.40), obtem-se

T

e

= T

i

= T

V

i

T

S

i

. (1.41)

Para que ocorra equilbrio, e preciso que haja em contrapartida aos esforcos internos, esforcos

externos de volume e superfcie, de tal forma que,

T

V

e

+ T

S

e

= T

V

i

T

S

i

, (1.42)

sendo T

V

e

e T

S

e

, respectivamente, o trabalho externo das forcas de corpo e de superfcie necessarios

para garantir o equilbrio.

Denindo b(x; y; z) como sendo a densidade das forcas externas por unidade de volume e t(x; y; z)

como a forca externa distribuda na superfcie do solido, tem-se

T

e

= T

V

e

+ T

S

e

(1.43)

=

Z

V

b

T

(x; y; z)u^(x; y; z)dV +

Z

S

t

T

(x; y; z)u^(x; y; z)dS (1.44)

=

Z

V

(b

x

u^+ b

y

v^ + b

z

w^)dV +

Z

S

(t

x

u^+ t

y

v^ + t

z

w^)dS. (1.45)

Para que haja equilbrio entre os trabalhos dos esforcos externos e internos e preciso que para

qualquer ac~ao virtual u^(x; y; z)

T

V

e

= T

V

i

, (1.46)

T

S

e

= T

S

i

. (1.47)

12

Substituindo as express~oes dos trabalhos das forcas de volume e superf

icie da equac~ao (1.45) em

(1.46) e (1.47) e agrupando os termos das integrais de volume e de superf

icie tem-se que

Z

V

@

xx

@x

+

@

xy

@y

+

@

xz

@z

+ b

x

u^+

@

xy

@x

+

@

yy

@y

+

@

yz

@z

+ b

y

v^

+

@

xz

@x

+

@

yz

@y

+

@

zz

@w

+ b

z

w^

dV = 0

(1.48)

e

Z

S

[(

xx

n

x

+

xy

n

y

+

xz

n

z

t

x

) u^+ (

xy

n

x

+

yy

n

y

+

yz

n

z

t

y

) v^

+(

xz

n

x

+

yz

n

y

+

zz

n

z

t

z

) w^] dS = 0

(1.49)

Como u^(x; y; z) = fu^(x; y; z) v^(x; y; z) w^(x; y; z)g

T

e uma ac~ao de deslocamento virtual arbi-

traria compatvel com a cinematica do problema, pode-se concluir que as equac~oes (??) e (1.49) ser~ao

satisfeitas somente quando as equac~oes diferenciais

8

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

:

@

xx

@x

+

@

xy

@y

+

@

xz

@z

+ b

x

= 0

@

xy

@x

+

@

yy

@y

+

@

yz

@z

+ b

y

= 0

@

xz

@x

+

@

yz

@y

+

@

zz

@w

+ b

z

= 0

(1.50)

e as condic~oes de contorno

8

>

:

xx

n

x

+

xy

n

y

+

xz

n

z

t

x

= 0

xy

n

x

+

yy

n

y

+

yz

n

z

t

y

= 0

xz

n

x

+

yz

n

y

+

zz

n

z

t

z

= 0

, (1.51)

forem satisfeitas simultaneamente. O conjunto de equac~oes em (1.50) dene o sistema de equac~oes

diferenciais de equilbrio entre as forcas de volume externas e internas valido em todo o domnio do

corpo solido. O conjundo de equac~oes em (1.51) dene as condic~oes de contorno na superfcie do

solido.

Os sistemas de equac~oes em (1.50) e (1.51) denem o Problema de Valor de Contorno (PVC) para

o equlbrio de solidos em tre^s dimens~oes. Nenhuma hipotese simplicadora foi introduzida, alem da

continuidade das ac~oes cinematicamente possveis e de pequenas deformac~oes. Assim, esta formulac~ao

e valida para qualquer meio contnuo independentemente do tipo de material com o qual o meio e

formado.

1.7 Lei de Hooke Generalizada

Ate o momento, foram estabelecidos os conceitos de deformac~ao e tens~ao aplicaveis a qualquer

material em equilbrio que satisfaca as hipoteses de meio contnuo. Agora ser~ao denidas equac~oes,

caracterizando o comportamento de um determinado tipo de material e suas respostas dado um car-

regamento aplicado. Tais equac~oes s~ao denominadas equac~oes constitutivas, pois descrevem o com-

portamento do material em decorre^ncia de sua constituic~ao interna. As equac~oes constitutivas corre-

spondem a formulac~ao matematica do modelo de comportamento de um material idealizado, visando

aproximar as observac~oes experimentais do comportamento do material em uma determinada faixa de

aplicac~ao.

Nesse contexto, dene-se o solido elastico, linear, homoge^neo e isotropico, que obedece o modelo

constitutivo conhecido como Lei de Hooke. Por elastico deve-se entender que o material retorna a sua

forma inicial, ou seja, n~ao existem deformac~oes permanentes apos cessar o carregamento. Linear

signica que a relac~ao entre as tens~oes e deformac~oes e uma func~ao linear. Assim, um aumento no

valor das tens~oes provoca um aumento proporcional no valor das deformac~oes. Homoge^neo indica

que o as propriedades do material s~ao iguais para todos os pontos do corpo. Isotropico signica que

13

as propriedades meca^nicas medidas ao longo de uma direc~ao s~ao iguais quando medidas em todas as

outras direc~oes. Um exemplo de materiais que obedecem esta lei para uma faixa denida como faixa

elastica, s~ao os materiais metalicos (aco, alumnio, cobre, etc.) a temperatura ambiente.

Observa-se, atraves de experimentos que, quando esses materiais s~ao solicitados uniaxialmente,

ou seja, tens~oes normais em uma unica direc~ao, existe uma faixa onde a relac~ao tens~ao versus defor-

mac~ao apresenta um comportamento linear elastico denido como

xx

= E"

xx

) "

xx

=

xx

E

, (1.52)

sendo E denido como Modulo de Elasticidade Longitudinal ou Modulo de Young, representando o

comportamento elastico do material, quando submetido a um carregamento uniaxial.

Percebe-se tambem que tais materiais s~ao isotropicos, na maioria dos casos, apresentando o

mesmo comportamento em todas as direc~oes. Logo,

yy

= E"

yy

) "

yy

=

yy

E

, (1.53)

zz

= E"

zz

) "

zz

=

zz

E

. (1.54)

No caso de um carregamento unixial, observam-se deformac~oes nas direc~oes perpendiculares ao

carregamento. Considerando um alongamento "

xx

do corpo na direc~ao x, vericam-se encurtamentos

do corpo nas direc~oes perpendiculares (neste caso y e z), os quais s~ao proporcionais ao alongamento

na direc~ao x. Por exemplo, para o caso de uma barra tracionada na direc~ao longitudinal, ocorre uma

reduc~ao do dia^metro. O inverso ocorre no caso de compress~ao. Assim, no caso de um carregamento

na direc~ao x, tem-se que

"

yy

= "

zz

= v"

xx

) "

yy

= "

zz

=

v

E

xx

. (1.55)

Analogamente para as outras direc~oes, considerando a isotropia do material

"

xx

= "

zz

= v"

yy

) "

xx

= "

zz

=

v

E

yy

, (1.56)

"

xx

= "

yy

= v"

zz

) "

xx

= "

yy

=

v

E

zz

. (1.57)

A propriedade v e denominada Coeciente de Poisson. Um valor tpico para o aco e v = 0; 33. O

sinal de nas equac~oes (1.55) (1.56) e (1.57) e empregado apenas para representar o feno^meno fsico

observado.

Para carregamentos triaxiais (tens~oe normais nas direc~oes x, y e z; simultaneamente) observa-se

que existe uma sobreposic~ao dos efeitos dos carregamentos em cada direc~ao. Portanto, superpondo os

efeitos vem que

"

xx

=

xx

E

v

E

yy

v

E

zz

=

1

E

[

xx

v(

yy

+

zz

)], (1.58)

"

yy

=

yy

E

v

E

xx

v

E

zz

=

1

E

[

yy

v(

xx

+

zz

)], (1.59)

"

zz

=

zz

E

v

E

yy

v

E

xx

=

1

E

[

zz

v(

yy

+

xx

)]. (1.60)

Considerando agora o caso de cisalhamento puro do material, verica-se que

xy

= G

xy

=

E

2(1 + v)

xy

)

xy

=

2(1 + v)

E

xy

, (1.61)

xz

= G

xz

=

E

2(1 + v)

xz

)

xz

=

2(1 + v)

E

xz

, (1.62)

yz

= G

yz

=

E

2(1 + v)

yz

)

yz

=

2(1 + v)

E

yz

. (1.63)

O termo G e denominado Modulo de Elasticidade Transversal. A Figura 1.1 iustra os tipos de car-

regamentos atuante em um corpo solido.

14

(a) (b)

(c) (d)

(e)

Figura 1.6: Carregmentos atuando sobre um corpo tridimensional

Deve-se observar, atraves das equac~oes (1.61) (1.62) e (1.63), que os efeitos do cisalhamento em

um determinado plano n~ao provocam distorc~oes nos outros planos. Desta forma,

xy

;

xz

e

yz

s~ao

independentes (desacoplados).

Pode-se escrever as relac~oes anteriores na forma matricial

8

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

:

"

xx

"

yy

"

zz

xy

xz

yz

9

>

>

>

>

>

>

>

=

>

>

>

>

>

>

>

;

=

1

E

2

6

6

6

6

6

6

6

4

1 v v 0 0 0

v 1 v 0 0 0

v v 1 0 0 0

0 0 0 2(1 + v) 0 0

0 0 0 0 2(1 + v) 0

0 0 0 0 0 2(1 + v)

3

7

7

7

7

7

7

7

5

8

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

:

xx

yy

zz

xy

xz

yz

9

>

>

>

>

>

>

>

=

>

>

>

>

>

>

>

;

; (1.64)

ou seja,

f"g = [C]fg:

A matriz [C] pode ser invertida, permitindo expressar as componentes de tens~ao em func~ao das

15

componentes de deformac~ao

8

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

:

xx

yy

zz

xy

xz

yz

9

>

>

>

>

>

>

>

=

>

>

>

>

>

>

>

;

=

E

(1+v)(12v)

2

6

6

6

6

6

6

6

4

1 v v v 0 0 0

v 1 v v 0 0 0

v v 1 v 0 0 0

0 0 0

12v

2

0 0

0 0 0 0

12v

2

0

0 0 0 0 0

12v

2

3

7

7

7

7

7

7

7

5

8

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

:

"

xx

"

yy

"

zz

xy

xz

yz

9

>

>

>

>

>

>

>

=

>

>

>

>

>

>

>

;

, (1.65)

ou em forma compacta

fg = [D]f"g.

Expandindo a express~ao para

xx

, tem-se que

xx

=

E

(1 + v)(1 2v)

"

xx

+

Ev

(1 + v)(1 2v)

("

yy

+ "

zz

). (1.66)

Somando e subtraindo o termo

Ev

(1 + v)(1 2v)

"

xx

do lado direito da equac~ao (??) e rearranjando,

obtem-se

xx

=

E

(1 + v)

"

xx

+

Ev

(1 + v)(1 2v)

("

xx

+ "

yy

+ "

zz

) = 2"

xx

+ e, (1.67)

sendo e os coecientes de Lame dados por

=

E

2(1 + v)

, (1.68)

=

Ev

(1 + v)(1 2v)

. (1.69)

O termo e representa a dilatac~ao do corpo, ou seja,

e = "

xx

+ "

yy

+ "

zz

:

Efetuando o mesmo procedimento para as demais componentes de tens~ao normal, tem-se ao nal

as express~oes da Lei de Hooke generalizada para um material elastico, linear, homoge^neo e isotropico

8

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

:

xx

= 2"

xx

+ e

yy

= 2"

zz

+ e

zz

= 2"

zz

+ e

xy

=

xy

xz

=

xz

yz

=

yz

. (1.70)

1.8 Aplicac~ao da Equac~ao Constitutiva

As express~oes anteriores fornecem para um solido elastico, linear, homoge^neo e isotropico as

componentes de tens~ao em cada ponto do corpo em func~ao das respectivas componentes de deformac~ao.

Substituindo estas relac~oes nas equac~oes de equil

ibrio (1.50) obte^m-se as condic~oes de equil

ibrio em

termos das componentes de deslocamento.

Para a primeira equac~ao de (1.50) vem que

@

@x

(2"

xx

+ e) +

@

@y

(

xy

) +

@

@z

(

xz

) + b

x

= 0

@e

@x

+ 2

@"

xx

@x

+

@

@y

(

@u

@y

+

@v

@x

) +

@

@z

(

@u

@z

+

@w

@x

) + b

x

= 0. (1.71)

Observa-se que

@

@y

(

@u

@y

+

@v

@x

) =

@

2

u

@y

2

+

@

@x

(

@v

@y

) =

@

2

u

@y

2

+

@"

yy

@x

, (1.72)

16

@@z

(

@u

@z

+

@w

@x

) =

@

2

u

@z

2

+

@

@x

(

@w

@z

) =

@

2

u

@y

2

+

@"

zz

@x

. (1.73)

Substituindo estas relac~oes em (1.71), tem-se que

@e

@x

+ 2

@"

xx

@x

+

@

@y

(

@

2

u

@y

2

+

@"

yy

@x

) +

@

@z

(

@

2

u

@y

2

+

@"

zz

@x

) + b

x

= 0. (1.74)

Lembrando-se que e = "

xx

+ "

yy

+ "

zz

e

@"

xx

@x

=

@

2

u

@x

2

e reagrupando os termos

(+ )

@e

@x

+ (

@

2

@x

2

+

@

2

@y

2

+

@

2

@z

2

)u+ b

x

= 0. (1.75)

Efetuando o mesmo procedimento para as duas outras equac~oes em (1.50), obte^m-se ao nal as

Equac~oes de Navier em termos das componentes de deslocamento e da dilatac~ao e, ou seja,

8

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

:

(+ )

@e

@x

+ (

@

2

@x

2

+

@

2

@y

2

+

@

2

@z

2

)u+ b

x

= 0

(+ )

@e

@y

+ (

@

2

@x

2

+

@

2

@y

2

+

@

2

@z

2

)v + b

y

= 0

(+ )

@e

@z

+ (

@

2

@x

2

+

@

2

@y

2

+

@

2

@z

2

)w + b

z

= 0

. (1.76)

Observa-se que enquanto as equac~oes de equilbrio (1.50) s~ao validas para qualquer meio contnuo

tridimensional em pequenas deformac~oes, as equac~oes de Navier fornecem o equilbrio em termos de

deslocamentos apenas para um material que obedece a lei de Hooke.

E importante salientar que a soluc~ao analtica do sistema de equac~oes em (1.76) pode ser obtida

apenas em alguns casos muito particulares. No caso de n~ao existir uma soluc~ao fechada para um dado

problema, aplicam-se tecnicas de soluc~ao numerica como o Metodo dos Elementos Finitos (MEF).

1.9 Formulac~ao Empregando Tensores

A formulac~ao empregada ate agora utilizou numeros escalares e vetores como entes matematicos

basicos. Um outro conceito matematico de grande importa^ncia no estudo de problemas de Meca^nica

e o tensor. O seu uso permite apresentar de forma compacta e elegante a formulac~ao de varios

problemas. Uma outra vantagem e que as equac~oes expressas na forma tensorial s~ao independentes do

sistema de coordenadas empregado. Assim, e poss

ivel concentrar-se apenas nos conceitos envolvidos

nas equac~oes sem se preocupar com detalhes desnecessarios sob o ponto de vista da apresentac~ao de

uma formulac~ao. Estes detalhes ser~ao importantes apenas quando se adota um sistema de coordenadas

espec

ico para o estudo de um problema.

Na verdade, o conceito de tensor representa uma generalizac~ao.de escalares e vetores, pois estes

podem ser denidos, respectivamente, como tensores de ordens zero e um. Os tensores de segunda

ordem s~ao usados extensivamente em Meca^nica, podendo-se citar os tensores de deformac~ao, de tens~ao

e de inercia. Por sua vez, tensores de quarta ordem s~ao empregados para a representac~ao de equac~oes

constitutivas de materiais.

A seguir, formula-se o problema de corpos solidos introduzindo o conceito de tensor. Para tanto

ser~ao seguidos os mesmos passos utilizados anteriormente. Antes disso porem, torna-se importante

apresentar uma denic~ao para um corpo.

1.9.1 Corpo

O espaco geometrico em considerac~ao no estudo da Meca^nica do Cont

inuo e o espaco euclidiano

tridimensional E . Os elementos de E s~ao denominados pontos.

Todo corpo tem como caracterstica fsica principal o fato de ocupar regi~oes do espaco euclidiano

17

tridimensional. Assim, um corpo qualquer pode ocupar diferentes regi~oes em tempos distintos. Embora

nenhuma destas regi~oes possa ser associada ao corpo, torna-se conveniente selecionar uma delas,

denominada congurac~ao de refere^ncia B, identicando pontos do corpo com as suas posic~oes em B.

Desta maneira, um corpo B passa a ser uma regi~ao regular de E , sendo os pontos de B denominados

pontos materiais. Qualquer subregi~ao regular limitada de B e chamada parte, a qual e indicada por P.

Os contornos do corpo B e da parte P s~ao indicados, respectivamente, por @B e @P. Estes conceitos

est~ao ilustrados na Figura 1.7.

Como um corpo pode ocupar diferentes regi~oes ao longo de um movimento, torna-se necessario

a introduc~ao de um para^metro t 2 [t

0

; t

f

], designando uma certa congurac~ao B

t

do corpo. Observa-se

que em varios problemas t n~ao representa necessariamente o tempo.

Figura 1.7: Denic~ao de Corpo

1.9.2 Vetores

Intuitivamente, observa-se que a soma de dois pontos n~ao possui nenhum signicado. Entretanto,

a diferenca entre dois pontos x e y e denida como sendo um vetor, ou seja,

v = y x x;y 2 E : (1.77)

Pode-se ent~ao colocar a seguinte importante observac~ao. Um vetor e denido formalmente como

a diferenca de pontos de E . Apenas quando se adota um sistema de coordenadas, pode-se falar das

componentes de um vetor, assim como da sua direc~ao e sentido.

O conjunto de vetores obtidos pela diferenca de pontos de E forma na verdade um espaco de

vetores ou espaco vetorial V. Observa-se ainda que a soma entre um ponto x e um vetor v dene um

novo ponto y, isto e,

y = x+ v x 2 E ; v 2 V . (1.78)

Um sistema de coordendas consiste de uma base ortonormal fe

1

; e

2

; e

3

g e um ponto arbitrario

o de E denominado origem. A partir da, as coordenadas de qualquer ponto x passam a ser dadas

pelo vetor posic~ao r = x o em relac~ao a origem o. Estes conceitos est~ao ilustrados na Figura 1.8

A seguir apresenta-se a formulac~ao de solido introduzindo o conceito de tensor. Apesar de uma

das vantagens de se empregar tensores e obter express~oes gerais para qualquer sistema de coordenadas,

utilizam-se a seguir coordenadas cartesianas (x; y; z) para manter compatibilidade com a notac~ao

empregada na primeira parte deste captulo.

18

(a) (b)

Figura 1.8: Denic~ao de Vetores e Sistemas de Refere^ncia

1.9.3 Cinematica

Como visto na Sec~ao 1.2, a cinematica de um corpo solido e descrita por um campo vetorial u,

o qual para cada ponto do corpo, com coordenadas (x; y; z), fornece as componentes de deslocamento

u, v e w nas direc~oes e

x

, e

y

e e

z

, respectivamente. Logo, a cinematica de um solido tridimensional em

termos de deslocamento pode ser denotada como

u(x; y; z) =

8

>

:

u(x; y; z)

v(x; y; z)

w(x; y; z)

9

>

=

>

;

. (1.79)

1.9.4 Deformac~ao

Seja f(x) uma func~ao da variavel x: Assim, para cada valor de x, f(x) fornece um numero real

ou escalar. Por exemplo, f(x) pode representar o deslocamento axial num problema de barra, ou

ainda o deslocamento transversal num problema de ex~ao de vigas. Pode-se expandir a func~ao f na

vizinhanca de x utilizando a serie de Taylor, ou seja,

f(y) = f(x) +

df(x)

dx

d+

1

2

d

2

f(x)

dx

2

d

2

+ : : :+

1

n!

d

(n)

f(x)

dx

(n)

d

n

+

1

(n+ 1)!

d

n+1

(1.80)

= f(x) +

df(x)

dx

d+O(d

2

), (1.81)

sendo d = (y x) e O(d

2

) um termo de ordem d

2

: Isso signica que quando y se aproxima de x, ou

seja, d = (y x) vai para zero, d

2

tende a zero mais rapidamente. Logo,

lim

y!x

d

2

y x

= lim

y!x

(y x)

2

y x

= lim

y!x

(y x) = 0. (1.82)

Suponha agora que f e uma func~ao que fornece valores escalares, mas depende das variaveis

x; y e z. Pode-se dizer que f depende do vetor posic~ao x = (x; y; z) de um ponto do corpo solido,

denotando-se como f = f(x; y; z) = f(x). Utilizando-se a serie de Taylor, pode-se expandir f em

torno de x da seguinte maneira

f(y) = f(x) +rf

T

(x)d+O(kdk

2

), (1.83)

sendo d =(y x) o vetor diferenca entre as posic~oes y = (x

0

; y

0

; z

0

) e x =(x; y; z). A norma euclidiana

de d e indicada por kdk e kdk

2

= (x

0

x)

2

+ (y

0

y)

2

+ (z

0

z)

2

. Assim, O(kdk

2

) e um termo de

ordem kdk

2

.

19

Como f e agora uma func~ao de 3 variavies, a primeira derivada

df

dx

em (1.81) e substituda pelo

vetor gradiente de f , ou seja

frf(x)g =

8

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

:

@f(x)

@x

@f(x)

@y

@f(x)

@z

9

>

>

>

>

>

>

=

>

>

>

>

>

>

;

. (1.84)

Por sua vez, o termo O(kdk

2

) signica que o mesmo vai para zero mais rapidamente do que a

norma kdk quando y tende a x; isto e,

lim

y!x

kdk

2

ky xk

= lim

y!x

ky xk

2

ky xk

= lim

y!x

ky xk = 0. (1.85)

Seja f agora uma func~ao vetorial dependente das variaveis x; y e z, ou seja, f = f(x; y; z) = f(x):

Desta maneira, f tem componentes nas direc~oes x, y e z: Logo

ff(x)g =

8

>

:

f

x

(x)

f

y

(x)

f

z

(x)

9

>

=

>

;

. (1.86)

Expandindo f em torno do ponto x, tem-se que

f(y) = f(x) +rf(x)d+O(kdk

2

). (1.87)

Nesse caso, o gradiente de f(x) e dado por

rf(x) =

@f(x)

@x

@f(x)

@y

@f(x)

@z

. (1.88)

Por sua vez como f e uma func~ao vetorial, cada um dos compnentes do lado direito da equac~ao

(??) e um vetor analogo ao da equac~ao (1.84). Expandindo cada um dos componentes vem que

[rf(x)] =

2

6

6

6

6

6

6

4

@f

x

(x)

@x

@f

x

(x)

@y

@f

x

(x)

@z

@f

y

(x)

@x

@f

y

(x)

@y

@f

y

(x)

@z

@f

z

(x)

@x

@f

z

(x)

@y

@f

z

(x)

@z

3

7

7

7

7

7

7

5

, (1.89)

Assim, o gradiente de uma func~ao vetorial f dependente do vetor posic~ao x = (x; y; z) e uma matriz de

ordem 3. Na verdade a equac~ao (1.89) e a representac~ao matricial do tensor rf(x) segundo o sistema

cartesiano. Observe que ao se multiplicar a representac~ao matricial do tensor rf dada em (1.89) por

um vetor v com componentes cartesianas (v

x

; v

y

; v

z

), tem-se como resultado um outro vetor, ou seja,

2

6

6

6

6

6

6

4

@f

x

@x

@f

x

@y

@f

x

@z

@f

y

@x

@f

y

@y

@f

y

@z

@f

z

@x

@f

z

@y

@f

z

@z

3

7

7

7

7

7

7

5

8

>

:

v

x

v

y

v

z

9

>

=

>

;

=

8

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

:

@f

x

@x

v

x

+

@f

x

@y

v

y

+

@f

x

@z

v

z

@f

y

@x

v

x

+

@f

y

@y

v

y

+

@f

y

@z

v

z

@f

z

@x

v

x

+

@f

z

@y

v

y

+

@f

z

@z

v

z

9

>

>

>

>

>

>

=

>

>

>

>

>

>

;

.

Torna-se importante aqui estabelecer o conceito de tensor. De forma analoga ao caso de vetores,

tem-se uma denic~ao formal do conceito de tensor. Apenas quando se utiliza um sistema de coorde-

nadas, pode-se falar das componentes de um tensor. Assim, formalmente, dene-se um tensor T como

uma transformac~ao linear do espaco vetorial V em V denotando-se como

Tu = v. (1.90)

Isto implica que ao se aplicar o tensor T num vetor qualquer u, tem-se como resultado o vetor v.

Como a tranformac~ao e linear, as seguintes propriedades s~ao validas

T(u+ v) = Tu+Tv, (1.91)

20

T(u) = (Tu), (1.92)

sendo um numero escalar.

As equac~oes (1.90) e (1.92) denem um tensor. Utilizando um sistema de coordenadas com uma

base fe

1

; e

2

; e

3

g, denem-se as componentes de T como

T

ij

= e

i

Te

j

.

Desta maneira, em termos de componentes as equac~oes (1.90) e (1.92) s~ao dadas, respectiva-

mente, por

2

6

4

T

11

T

12

T

13

T

21

T

22

T

23

T

31

T

32

T

33

3

7

5

8

>

:

u

1

u

2

u

3

9

>

=

>

;

=

8

>

:

v

1

v

2

v

3

9

>

=

>

;

,

2

6

4

T

11

T

12

T

13

T

21

T

22

T

23

T

31

T

32

T

33

3

7

5

0

B

@

8

>

:

u

1

u

2

u

3

9

>

=

>

;

+

8

>

:

v

1

v

2

v

3

9

>

=

>

;

1

C

A

=

2

6

4

T

11

T

12

T

13

T

21

T

22

T

23

T

31

T

32

T

33

3

7

5

8

>

:

v

1

v

2

v

3

9

>

=

>

;

+

2

6

4

T

11

T

12

T

13

T

21

T

22

T

23

T

31

T

32

T

33

3

7

5

8

>

:

u

1

u

2

u

3

9

>

=

>

;

,

2

6

4

T

11

T

12

T

13

T

21

T

22

T

23

T

31

T

32

T

33

3

7

5

0

B

@

8

>

:

u

1

u

2

u

3

9

>

=

>

;

1

C

A

=

0

B

@

2

6

4

T

11

T

12

T

13

T

21

T

22

T

23

T

31

T

32

T

33

3

7

5

8

>

:

u

1

u

2

u

3

9

>

=

>

;

1

C

A

.

A cinematica de um corpo solido tambem e descrita por uma func~ao vetorial u dependente do

vetor posic~ao x = (x; y; z) como indicado em (1.79). Expandindo u(x) na vizinhanca de x de forma

analoga a equac~ao (1.87) vem que

u(y) = u(x) +ru(x)d+O(kdk

2

), (1.93)

sendo ru(x) o gradiente do campo de deslocamentos calculado em x , cuja representac~ao no sistema

cartesiano e dada por

[ru(x)] =

2

6

6

6

6

6

6

4

@u(x)

@x

@u(x)

@y

@u(x)

@z

@v(x)

@x

@v(x)

@y

@v(x)

@z

@w(x)

@x

@w(x)

@y

@w(x)

@z

3

7

7

7

7

7

7

5

. (1.94)

Como d = y x; tem-se que y = x+ d. Logo, a express~ao (1.93) pode ser reescrita como

u(x+ d) = u(x) +ru(x)d+O(kdk

2

). (1.95)

Observe que o tensor gradiente do campo de deformac~ao pode ser escrito como

ru(x) =

1

2

ru(x) +

1

2

ru(x)

=

1

2

ru(x) +

1

2

ru

T

(x) +

1

2

ru(x)

1

2

ru

T

(x) (1.96)

=

1

2

[ru(x) +ru

T

(x)] +

1

2

[ru(x)ru

T

(x)]. (1.97)

21

Neste caso, ru

T

(x) e o tensor transposto de ru(x). Para se obter a representac~ao matricial de

ru

T

(x) no sistema cartesiano, basta trocar as linhas pelas colunas em (1.94), ou seja,

[ru

T

(x)] =

2

6

6

6

6

6

6

4

@u(x)

@x

@v(x)

@x

@w(x)

@x

@u(x)

@y

@v(x)

@y

@w(x)

@y

@u(x)

@z

@v(x)

@z

@w(x)

@z

3

7

7

7

7

7

7

5

. (1.98)

Denem-se os tensores de deformac~ao E e rotac~ao innitesimais, respectivamente, como

E(x) =

1

2

[ru(x) +ru

T

(x)], (1.99)

(x) =

1

2

[ru(x)ru

T

(x)]. (1.100)

A representac~ao matricial do tensor de pequenas deformac~oes E no sistema cartesiano e obtida

substituindo (1.94) e (1.98) em (1.99). Efetuando as operac~oes indicadas vem que

[E(x)] =

2

6

6

6

6

6

6

4

@u(x)

@x

1

2

@v(x)

@x

+

@u(x)

@y

1

2

@w(x)

@x

+

@u(x)

@z

1

2

@u(x)

@y

+

@v(x)

@x

@v(x)

@y

1

2

@w(x)

@y

+

@v(x)

@z

1

2

@u(x)

@z

+

@w(x)

@x

1

2

@v(x)

@z

+

@w(x)

@y

@w(x)

@x

3

7

7

7

7

7

7

5

. (1.101)

Observa-se que as componentes cartesianas de E(x) apresentam uma relac~ao direta com as

componentes de deformac~ao deduzidas anteriormente na Sec~ao ??. Logo, pode-se reescrever (1.101)

como

[E(x)] =

2

6

4

"

xx

(x)

1

2

xy

(x)

1

2

xz

(x)

1

2

xy

(x) "

yy

(x)

1

2

yz

(x)

1

2

xz

(x)

1

2

yz

(x) "

zz

(x)

3

7

5

. (1.102)

E comum escrever o tensor de deformac~ao innitesimal da seguinte maneira

[E(x)] =

2

6

4

"

xx

(x)

xy

(x)

xz

(x)

yx

(x) "

yy

(x)

yz

(x)

zx

(x)

zy

(x) "

zz

(x)

3

7

5

. (1.103)

As componentes da diagonal principal "

xx

(x); "

yy

(x) e "

zz

(x) representam as deformac~oes especcas

nas direc~oes x; y e z calculadas no ponto x. As componentes fora da diagonal principal s~ao as compo-

nentes de deformac~ao cisalhante ou distorc~ao. O tensor E e simetrico pois

xy

(x) =

yx

(x),

xz

(x) =

zx

(x),

yz

(x) =

zy

(x) . (1.104)

Em geral, a simetria de um tensor T e denida como

T = T

T

. (1.105)

Em termos de componentes, isto implica que

T

12

= T

21

, T

13

= T

31

, T

23

= T

32

, (1.106)

ou de forma geral

T

ij

= T

ji

, i; j = 1; 2; 3 . (1.107)

Lembre-se que a primeira letra em

xy

indica o plano x, enquanto o subscrito y indica a direc~ao

da deformac~ao. Analogamente, para

xz

e

yz

(veja Figura 1.4). Observe que as distorc~oes totais

xy

,

xz

e

yz

nos planos xy, xz e yz dadas em (1.23) s~ao duas vezes as respectivas distorc~oes

xy

,

xz

e

yz

, ou seja,

xy

(x) =2

xy

(x),

xz

(x) =2

xz

(x),

yz

(x) =2

yz

(x) . (1.108)

22

Analogamente, obtem-se as componentes do tensor de rotac~ao innitesimal (x) substituindo

(1.94) e (1.98) em (1.100). Logo

[(x)] =

2

6

6

6

6

6

6

4

0

1

2

@u(x)

@y

@v(x)

@x

1

2

@u(x)

@z

@w(x)

@x

1

2

@u(x)

@y

@v(x)

@x

0

1

2

@v(x)

@z

@w(x)

@y

1

2

@u(x)

@z

@w(x)

@x

1

2

@v(x)

@z

@w(x)

@y

0

3

7

7

7

7

7

7

5

. (1.109)

Pode-se escrever o tensor (x) da seguinte maneira

[(x)] =

8

>

:

0

z

(x)

y

(x)

z

(x) 0

x

(x)

y

(x)

x

(x) 0

9

>

=

>

;

, (1.110)

pois

x

(x);

y

(x) e

z

(x) indicam as rotac~oes innitesimais de cada ponto x em torno dos eixos

cartesianos x; y e z respectivamente.

Para vericar que isto e verdadeiro, considere o elemento diferencial de um meio solido sofrendo

uma distorc~ao

1

no plano xy, conforme mostrado na Figura 1.9a. Observe que a diagonal do elemento

apresenta uma rotac~ao

1

em torno do eixo z no sentido anti-horario. Dos a^ngulos indicados na Figura

1.9a, as seguintes relac~oes s~ao validas

2 = 2+

1

) = a+

1

2

1

, (1.111)

+

1

= a+

1

. (1.112)

Substituindo () (1.112) vem que

a+

1

2

1

+

1

= a+

1

)

1

=

1

2

1

. (1.113)

Considerando agora que o elemento sofra uma distorc~ao

2

, mostrada na Figura 1.9b, tem-se

que a diagonal do elemento apresenta uma rotac~ao

2

em torno de z no sentido horario e, portanto,

de valor negativo. Da Figura 1.9b

2 = 2+

2

) = a+

1

2

2

, (1.114)

2

= a+

2

, (1.115)

e substituindo (1.114) em (1.115)

2

=

1

2

2

. (1.116)

Para o caso geral, onde o elemento sofre uma distorc~ao total

1

+

2

(ver Figura 1.9c), a diagonal

apresenta uma rotac~ao rgida local

z

(x) dada por

z

(x) =

1

+

2

. (1.117)

Substituindo (1.113) e (1.116) em (??) e lembrando que

2

=

@v

@x

e

2

=

@u

@y

vem que

z

(x) =

1

2

@v(x)

@x

@u(x)

@y

. (1.118)

Analogamente, para os demais planos (ver Figuras 1.9d e 1.9e), tem-se que

x

(x) =

1

2

@v(x)

@z

@w(x)

@y

, (1.119)

y

(x) =

1

2

@u(x)

@z

@w(x)

@x

. (1.120)

23

(a) (b)

(c) (d)

(e)

Figura 1.9: Rotac~oes de Corpo Rgido

Observe ainda de (1.110) que o tensor (x) e anti-simetrico. De forma geral, um tensor T e

anti-simetrico se

T = T

T

. (1.121)

Em termos de componentes, isto implica que

T

12

= T

21

, T

13

= T

31

, T

23

= T

32

, (1.122)

T

11

= T

22

= T

33

= 0, (1.123)

ou de forma geral, para i; j = 1; 2; 3

T

ij

= T

ji

, i 6= j ; (1.124)

T

ij

= 0 i = j . (1.125)

Substituindo (1.99) e (1.100) em (1.97) tem-se que

ru(x) = E(x) +(x), (1.126)

24

ou seja, o tensor gradiente de deslocamento e dado pela soma de um tensor simetrico E(x) e um tensor

anti-simetrico (x): Esta decomposic~ao e valida para qualquer tensor A. Logo,

A = A

S

+A

A

, (1.127)

sendo as partes simetrica A

S

e anti-simetrica A

A

de A dadas, respectivamente, por

A

S

=

1

2

(A+A

T

), (1.128)

A

A

=

1

2

(AA

T

). (1.129)

Diz-se assim que E e representam, respectivamente, as partes simetrica e anti-simetrica do

gradiente de u, denotando-as da seguinte forma

E(x) = r

S

u(x), (1.130)

(x) = r

A

u(x). (1.131)

Substituindo agora (1.126) em (1.95) vem que

u(x+ d) = u(x) +E(x)d+(x)d+O(kdk

2

). (1.132)

Esta relac~ao e bastante importante, pois mostra que o campo de deslocamnentos de um meio

contnuo tridimensional contem uma parcela relativa a deformac~ao innitesimal, dada pelo tensor E,

e outra compreendendo uma rotac~ao inntesimal, dada pelo tensor . Logo, apenas as componentes

de deformac~ao em E n~ao s~ao sucientes para levar um corpo da sua congurac~ao original ate a sua

congurac~ao deformada. Uma rotac~ao rgida innitesimal ocorre na vizinhanca de cada ponto do

corpo.

Para ilustrar este fato considere a viga em balanco tratada como um corpo, conforme ilustrado

na Figura 1.10a. Suponha que a viga seja constru

ida de chapas unidas atraves de pinos. A Figura

1.10b ilustra a geometria deformada da viga conforme esperado. Removendo os pinos da parte

superior e etindo cada chapa separadamente, observa-se que, se a rotac~ao r

igida n~ao estiver presente,

a geometria deformada obtida n~ao e correta (ver Figura 1.10c), a menos que exista uma rotac~ao r

igida

dos pontos. Logo, este exemplo simples mostra que a parcela da rotac~ao innitesimal (1.132) esta

sempre presente quando um corpo sofre uma deformac~ao.

(a) (b) (c)

Figura 1.10: Interpretac~ao da rotac~ao rgida de uma viga.

Considerando agora que os pontos y = x+ d e x, ilustrados na Figura 1.11, estejam bem

proximos, tem-se que a norma do vetor d e bem pequena. Assim, na equac~ao (1.132), despreza-

se o termo O(kdk

2

) e obtem-se a seguinte express~ao para o campo de deslocamentos innitesimal na

vizinhanca de y = x+ d

u(x+ d) = u(x) +E(x)d+(x)d, (1.133)

ou ainda,

u(x+ d) = u(x) +ru(x)d. (1.134)

25

Pode-se utilizar a espress~ao anterior para mostrar que as componentes do tensor E est~ao real-

mente relacionadas ao caso de pequenas deformac~oes. Rescreve-se (1.134) como

u(x+ d) u(x) = ru(x)d. (1.135)

A partir da Figura 1.11, observa-se que

d

0

= d+ u(x+ d) u(x).

Substituindo (1.134) na express~ao anterior vem que

d

0

= d+ru(x)d =[I+ru(x)]d, (1.136)

sendo I o tensor identidade cuja representac~ao matricial e dada por

I =

2

6

4

1 0 0

0 1 0

0 0 1

3

7

5

. (1.137)

Denominando agora

F(x) = I+ru(x), (1.138)

como o tensor gradiente de deformac~ao, tem-se que (1.136) assume a seguinte forma

d

0

= F(x)d. (1.139)

Figura 1.11: Deformac~ao de um Corpo Solido

A equac~ao (1.139) permite determinar a dsista^ncia d

0

entre P

0

1

e P

0

2

apos a deformac~ao, atraves

do tensor F e da dista^ncia inicial d. Para se obter a deformac~ao do ponto P

1

, basta tomar a diferenca

entre os comprimentos dos vetores d

0

e d. Lembre-se que o comprimento kvk

2

de um vetor qualqer v

e obtido pelo produto escalar com ele mesmo, ou seja, kvk

2

= v v. Logo usando (1.139)

d = d

0

d

0

d d = F(x)d F(x)d d d. (1.140)

Dado um tensorA, tem-se que o transpostoA

T

deA e o unico tensor com a seguinte propriedade

u Av = A

T

u v, (1.141)

para quaisquer vetores u e v.

Com base nesse conceito, a express~ao (1.140)

d = F

T

(x)F(x)d d d d

= [F

T

(x)F(x) I]d d. (1.142)

Denominando

E

(x) =

1

2

[F

T

(x)F(x) I], (1.143)

26

como o tensor de deformc~ao de Cauchy-Green, a equac~ao (1.142) pode ser reescrita como

d =2E

(x)d d. (1.144)

Substituindo (1.138) em (1.143), vem que

E

(x) =

1

2

f[I+ru(x)]

T

[I+ru(x)] Ig. (1.145)

Dados dois tensores A e B; tem-se que

(A+B)

T

= A

T

+B

T

. (1.146)

Como I

T

= I, portanto

E

(x) =

1

2

f[I+ru

T

(x)][I+ru(x)] Ig

=

1

2

[I+ru(x)+ru

T

(x)+ru

T

(x)ru(x) I]

=

1

2

[ru(x)+ru

T

(x)] +

1

2

ru

T

(x)ru(x)

= E(x) +

1

2

ru

T

(x)ru(x). (1.147)

Com base na equac~ao (1.147), pode-se observar que o tensor de Cauchy-Green fornece uma

medida de deformac~ao geral, aplicavel tanto para pequenas quanto para grandes deformac~oes. No

entanto, para pequenas deformac~oes as normas de u e ru s~ao pequenas, ou seja, kuk < " e kruk < ";

com " da ordem de 10

4

por exemplo. Neste caso, o termo n~ao-linear

1

2

ru

T

(x)ru(x) torna-se

desprez

ivel e o tensor E

se reduz ao proprio tensor de deformac~ao innitesimal E.

1.9.5 Movimentos de Corpo Rgido

Como se sabe, um corpo tridimensional tem 6 movimentos r

igidos, correspondentes as 3 translac~oes

nas direc~oes x; y e z e 3 rotacoes em torno dos eixos x; y e z;conforme Figura 1.12. Deseja-se vericar

como as ac~oes r

igidas podem ser representadas utilizando os conceitos apresentados na sec~ao anterior.

Figura 1.12: Movimentos de Corpo Rgido

Uma deformac~ao e homge^nea se o gradiente do campo de deslocamento ru e constante para

todos os pontos x do corpo, indicando-se ru = ru

0

. Nesse caso, a express~ao (1.95) simplica-se para

u(x+ d) = u(x)+ru

0

d. (1.148)

Observa-se que o termo O(kdk

2

) e nulo pois sendo ru

0

constante, os demais termos da serie de Taylor

s~ao automaticamente iguais a zero.

27

Como exemplo de deformac~ao homoge^nea, tem-se uma translac~ao a partir de uma posic~ao.

Como todos os pontos do corpo sofrem um mesmo deslocamento,ver Figura 1.11, logo

u(x+ d) = u(x). (1.149)

Substituindo esta relac~ao em (1.148), tem-se que

ru

0

d = 0, (1.150)

Como d e a dista^ncia entre dois pontos arbitrarios do corpo, ent~ao a express~ao anterior e nula se

ru

0

= 0: (1.151)

Dessa forma, como o gradiente do campo de deslocamentos e nulo, tem-se que o campo de

deslocamentos u

0

para uma translac~ao e constante para todos os pontos do corpo, ou seja,

u(x) = u(x+ d) = u

0

=

8

>

:

u

0

v

0

w

0

9

>

=

>

;

, (1.152)

sendo u

0

; v

0

e w

0

as componentes de translac~ao nas direc~oes x; y e z: Como u

0

; v

0

e w

0

s~ao constantes,

as respectivas componentes do tensor de deformac~ao E s~ao nulas, o que caracteriza um movimento de

corpo rgido.

Considere agora uma rotac~ao r

igida do corpo em torno do ponto P

1

. Alem disso, suponha que

o sistema de refere^ncia cartesiano esteja centrado em P

1

, conforme ilustrado na Figura 1.13. Nesse

caso, o deslocamento u(x) do ponto P

1

na equac~ao (1.148) e nulo. Logo,

u(x+ d) = (ru)d. (1.153)

Figura 1.13: Rotac~ao Rgida Local

Como o movimento e rgido, a parte simetrica de ru, ou seja, o tensor de deformac~ao innites-

imal E e nulo. Portanto,

u(x+ d) = d. (1.154)

Associado a todo tensor anti-simetrico , existe um vetor axial !, tal que

v = ! v, (1.155)

para todo vetor v = fv

1

v

2

v

3

g

T

: Nesse caso, as componentes do vetor !; s~ao

x

;

y

e

z

; ou seja,

as rotac~oes rgidas em torno dos eixos x, y e z: Para vericar isto, basta expandir os dois lados, isto e,

v =

2

6

4

0

z

y

z

0

x

y

x

0

3

7

5

8

>

:

v

1

v

2

v

3

9

>

=

>

;

=

8

>

:

v

3

y

v

2

z

v

1

z

v

3

x

v

2

x

v

1

y

9

>

=

>

;

, (1.156)

28

! v =

2

6

4

e

x

e

y

e

z

!

1

!

2

!

3

v

1

v

2

v

3

3

7

5

8

>

:

v

1

v

2

v

3

9

>

=

>

;

=

8

>

:

v

3

!

2

v

2

!

3

v

1

!

3

v

3

!

1

v

2

!

1

v

1

!

2

9

>

=

>

;

. (1.157)

Portanto,

8

>

:

!

1

=

x

!

2

=

y

!

3

=

z

. (1.158)

Com base nesses resultados, pode-se escrever

u(x+ d) = ! d. (1.159)

Logo, um movimento geral de corpo rgido sera dado pela superposic~ao dos movimentos de translac~ao

e rotac~ao, expressos por (1.152) e (1.159). Assim uma ac~ao rgida geral pode ser escrita como

u(x) = u

0

+ ! d, (1.160)

como obtido anteriormente na Sec~ao 1.4.

1.9.6 Trabalho Interno

No caso geral de pequenas deformac~oes num solido, o estado de deformac~ao em cada ponto e

dado pelas 9 componentes indicadas em (1.103). Associadas as deformac~oes normais "

xx

(x), "

yy

(x) e

"

zz

(x), tem-se as respectivas componentes de tenss~ao normal

xx

(x),

yy

(x) e

zz

(x) representando,

respectivamente, o estado das forcas internas no ponto x nas direc~oes x; y e z. Da mesma maneira,

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Mecânica Dos Sólidos Deformáveis - Marco Lúcio Bittencourt e Wallace Gusmão Ferreira