Introduçãotavares/projectos/Estagios/... · 2018. 4. 10. · Introdução A análise de movimento de corpos deformáveis é um problema com interesse crescente dado o enorme potencial

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Introdução A análise de movimento de corpos deformáveis é um problema com interesse crescente dado o enorme potencial de aplicação existente na área de imagem biomédica. Assim, este trabalho, que tem como objectivo principal a análise de deformações de objectos visíveis, surge no âmbito de uma bolsa de iniciação à investigação atribuída pelo INEB – Instituto de Engenharia Biomédica. O trabalho desenvolvido assenta na tese de doutoramento – Análise de movimento de corpos deformáveis usando visão computacional - do professor João Tavares, docente no departamento de Mecânica da Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto. Na referida tese, o autor apresenta metodologias que permitem, a partir de uma sequência temporal de imagens, que contém um dado objecto, determinar as correspondências existentes entre ambas as imagens e as deformações inerentes às mesmas. Os métodos formulados pelo autor na tese, dada como referência, foram desenvolvidos em ambiente MatLab. A escolha desta ferramenta assentou basicamente no facto de ser um software bastante acessível em termos de programação, dado que se trata de uma linguagem matricial, como também no facto de ser uma ferramenta bem testada a nível computacional.

_______________________________________________________________________Análise de Deformações de Objectos Visíveis 1

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Problema Proposto Pretendia-se, com este trabalho, analisar as deformações de objectos visíveis. Para tal considerou-se, como já foi referido, os métodos desenvolvidos e descritos na tese mencionada anteriormente. O principal método implementado foi o método que recorre à modelização dos objectos por elementos finitos. A ideia base deste método consiste na atribuição de características físicas ao objecto em estudo de forma a modelizar este último por elementos finitos de um dado material. Após a modelização física do objecto, pretende-se estabelecer as correspondências nodais entre as representações do objecto em imagens consecutivas e determinar as deformações existentes.


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Objectivos Um dos objectivos principais deste trabalho é a implementação, em MatLab, das metodologias, previamente desenvolvidas pelo autor da tese já mencionada, para a determinação das correspondências entre os dois objectos e medição da deformação local e global entre os mesmos. O método dos elementos finitos desenvolvido pelo autor da tese dada como referência apresenta, em algumas situações, uma certa instabilidade. Assim sendo, um outro objectivo deste trabalho é a verificação dos resultados obtidos na tese adoptada. A fim de dar continuidade ao estudo efectuado, pretende-se encontrar uma justificação para a instabilidade mencionada, assim como, apresentar uma possível solução de forma a garantir a estabilidade desejada do referido método.


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Metodologia adoptada Considere-se uma sequência temporal de imagens que retratam o mesmo objecto. Depois de discretizar as referidas imagens, pretende-se determinar as correspondências existentes entre os pontos que as compõe e, consequentemente, calcular as deformações inerentes aos mesmos. A fim de atingir o propósito anterior, vários métodos foram considerados e implementados:

• Método da distância mínima Este método baseia-se, basicamente, no principio da distância mínima percorrida pelos pontos dos objectos em questão. Desta forma, o método recebe como entrada dois conjuntos de pontos: um de dimensão e outro de dimensão , respeitantes às imagens e , respectivamente.

m ntX 1+tX

A primeira etapa deste método consiste na definição da matriz de proximidade G , onde representa a atracção entre o ponto da imagem e o ponto jiG i tX j da imagem , dada por : 1+tX

,,...,1,,...,1,2

2

2 njmieGjid

ji ===−

σ onde

2

1,,2

+−= tjtiji XXd representa o quadrado da distância euclidiana entre dois pontos e o parâmetro σ controla o grau de iteração entre os dois conjuntos. A segunda etapa baseia-se na decomposição da matriz em valores singulares através de:

G

UDTG =

onde T é uma matriz ortogonal de dimensões mm × , U é uma matriz ortogonal de dimensões e é uma matriz de dimensões nn × D nm × com elementos não diagonais nulos. A terceira e última etapa consiste na determinação da matriz de correlação P dada por:

UETP = onde a matriz E é obtida por substituição dos elementos diagonais de por 1 de forma a desprezar os vectores singulares em excesso da matriz de maiores dimensões.

D


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Determinada a matriz de correlação, dado que o elemento indica a força de atracção entre os pontos i da imagem e

jiPt j da imagem 1+t , é determinada a

correspondência entre os pontos das duas imagens. Esta última é dada como forte caso seja máximo na sua linha e na sua coluna. jiP tiX ,

t

Dcoemco • AutobreDprcodamOvare

_____Análi

Objecto
G U P
1, +tjX

T1+t

Correspondências entre

pontos

Decomposição em valores e vectores

singulares

Análise Espacial Cruzada

Objecto

Figura 1. – Etapas do método de mapeamento segundo distância mínima

ado que este método não apresenta resultados fiáveis, uma vez que não toma em nsideração a informação acerca da forma, da posição e da orientação dos objectos questão, o autor considerou um outro método, mais robusto, que entra em linha de

nta com os referidos aspectos:

Método da distância mínima tendo em conta a descrição modal da forma

integração da informação sobre a estrutura de cada objecto é feita através da ilização da análise modal da forma, uma vez que os modos codificam a forma do jecto. Assim, o método em questão tem como entrada os conjuntos de pontos que presentam cada imagem. ado que este método analisa individualmente as imagens do objecto representado, o imeiro passo consiste na determinação da matriz de proximidade, H , para cada njunto de pontos dado. Esta determinação é feita de forma análoga à determinação matriz de proximidade dada no método anterior, considerando agora as distâncias ínimas entre os pontos de cada imagem. segundo passo deste método acenta na decomposição da matriz de proximidade em lores e vectores próprios, ou seja, a matriz de proximidade admite a seguinte presentação matricial:

TVDVH =

__________________________________________________________________se de Deformações de Objectos Visíveis 5

________________________________________________________________________

onde a matriz é uma matriz diagonal que contem os valores próprios dispostos por ordem decrescente e V é uma matriz ortogonal onde cada coluna representa o vector próprio associado a cada valor próprio.

D

Determinados os vectores próprios de ambas as imagens, a finalização do método ocorre após a determinação da matriz de correlação, Z , entre os dois conjuntos de vectores característica. Na a construção desta matriz deve-se ter em conta três aspectos:

1. Devido ao facto do número de pontos de cada imagem poder ser diferente deve-se considerar, no máximo, },min{ nmk = modos.

2. A fim se considerar que as imagens se encontram representadas no mesmo

sistema de coordenadas globais, para que seja possível a comparação entre ambas, o sinal dos vectores próprios associados à imagem deve ser corrigido face ao sinal dos vectores próprios associados à imagem .

1+tX

tX

3. A determinação da correspondência entre dois pontos é efectuada considerando o seguinte critério: o ponto j da imagem admite uma correspondência com o ponto da imagem se for mínimo na sua linha e na sua coluna.

1+ti t jiZ

V tiX , tH t

Z

t

V 1, +tjX 1+tH 1+t

1+t

Objecto

Objecto


próprios

Correcção de sinal e correspondência entre os pontos

Análise espacial


próprios

Análise espacial

Figura 2. – Etapas do método de mapeamento baseado na descrição modal da forma

Como a descrição da forma do objecto não é suficiente para o caracterizar, o autor considerou um último método que permite ter em conta as características físicas do referido objecto. Assim, apresentou o seguinte método:


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• Método dos elementos finitos Devido à introdução de características físicas, este método é o mais fiável, pois o objecto representado é definido de uma forma mais específica e detalhada. A determinação das correspondências entre os pontos das imagens consideradas é feita através de uma modelização física dos objectos por elementos finitos e utiliza-se a análise modal para a decisão dos emparelhamentos. Assim sendo, a explicação deste método acenta, basicamente, na construção do modelo físico do problema, uma vez a utilização da análise modal foi explicada no método anterior. Deste modo, para a construção do modelo físico são atribuídos aos objectos um determinado material virtual caracterizado pelos seguintes parâmetros: densidade, ρ , coeficiente de Poisson, υ , e módulo de Young, Ε , que conjuntamente com os conjuntos de pontos, que definem as imagens, formam a entrada deste método. A construção do modelo físico é feita através da determinação das matrizes de massa, M , e de rigidez, K , dos objectos representados nas imagens consideradas. Esta construção pode variar, uma vez que se pode considerar o objecto como um único elemento finito ou se pode subdividir o objecto em vários elementos finitos.

Elemento isoparamétrico de Sclaroff Na técnica de modelização de Sclaroff, considera-se o objecto como um único elemento finito. A forma de definir as matrizes de massa e de rigidez depende de dimensão em que se está a representar o objecto. No caso da representação ser bidimensional, a matriz de massa é definida através de:

=

aa

aa

MM

M0

0

onde 112 −−= GGGM aa ρπσ e G representa a matriz de proximidade definida nos métodos anteriores. Quanto à matriz de rigidez, esta é dada por:

=

2221

1211

KKKK

K

onde os elementos das submatrizes que a compõe têm a forma:

klklkl

lkjlik gyxaaK

ij

+−

+= ∑ 2

22

.11 4

ˆˆ2

1σξξβπ


________________________________________________________________________

klklkl

lkjlik g

xyaaK

ij

+−

+= ∑ 2

22

.22 4

ˆˆ2

1σξξβπ

∑+−=

lkklklkljlik gyxaaK

ij,

212 ˆˆ4

)(σ

ξαπβ

em que , lkkl xxx −=ˆ lkkl yyy −=ˆ e são elementos da matriz G . Note-se ainda que .

ija 1−

2112 KK =Se a representação do objecto for tridimensional, então a matriz de massa apresenta a seguinte forma

=

aa

aa

aa

MM

MM

000000

onde 11323

−−= GGGM aa σρπ e G representa a matriz de proximidade definida nos métodos anteriores. A matriz de rigidez é, neste caso, dada por:

=

333231

232221

131211

KKKKKKKKK

K

onde, considerando lkkl xxx −=ˆ , lkkl yyy −=ˆ , lkkl zzz −=ˆ e entradas da

matriz G , os elementos das submatrizes diagonais que a compõe têm a forma: ija

1−

klklklkl

lkjlik g

zyxaaK

ij

++−

+= ∑ 2

222

.

23

11 4)ˆˆ(ˆ

21

σξξαβπ

klklklkl

lkjlik g

zxyaaK

ij

++−

+= ∑ 2

222

.

23

22 4)ˆˆ(ˆ

21

σξξαβπ

klklklkl

lkjlik g

yxzaaK

ij

++−

+= ∑ 2

222

.

23

33 4)ˆˆ(ˆ

21

σξξαβπ

Note-se, mais uma vez, que 2112 KK = , 3113 KK = e que 3223 KK = . Assim, tem-se que os elementos destas submatrizes apresentam o seguinte aspecto:

∑+−=

lkklklkljlik gyxaaK

ij,

23

12 ˆˆ4

)(σ

ξαβπ


________________________________________________________________________

∑+−=

lkklklkljlik gzxaaK

ij,

23

13 ˆˆ4

)(σ

ξαβπ

e

∑+−=

lkklklkljlik gzyaaK

ij,

23

23 ˆˆ4

)(σ

ξαβπ .

Determinadas as matrizes de massa e de rigidez, são calculados os valores e vectores próprios do problema generalizado, KM 1− , seguindo-se a determinação das correspondências utilizando a análise modal da forma.

Elementos axiais lineares Neste método particular, considera-se uma subdivisão do sistema global onde está representado o objecto. Esta subdivisão origina os elementos axiais lineares, que correspondem a um certo número de ligações entre os pontos que constituem a imagem. A ideia base da construção das matrizes de massa e de rigidez globais é a seguinte:

1. Dado que a subdivisão do sistema global origina o aparecimento dos elemento axiais lineares, para cada elemento finito e determina-se as matrizes de massa e rigidez locais correspondentes.

2. Através de uma transformação de coordenadas, é possível definir as

matrizes de massa e de rigidez globais, multiplicando as matrizes locais pela matriz de transformação e pela sua transposta à direita e à esquerda, respectivamente.

3. Obtidas as matrizes globais do elemento finito , obtém-se as matrizes

globais expandidas, que se determinam a partir das primeiras considerando as posições que definem o elemento finito em questão.

e

4. Considerando a soma de todas as matrizes globais expandidas calculadas

para todos os elementos finitos definidos, obtém-se as matrizes de massa e de rigidez globais pretendidas.

A forma como se define as matrizes de massa e de rigidez locais depende, mais uma vez, da dimensão da representação do objecto considerado.


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Se a representação do objecto for bidimensional, então

=

2010020110200102

6

2)( laM e ρ e

−

−

Ε=

0000010100000101

)(

laK e

onde é o comprimento e é a área do elemento finito . A matriz de transformação que envia o sistema de coordenadas locais no sistema de coordenadas globais é dada por:

l a e

−

−=

)cos()sin(00)sin()cos(00

00)cos()sin(00)sin()cos(

θθθθ

θθθθ

TG .

No caso da representação ser tridimensional, as matrizes de massa e rigidez locais apresentam a forma seguinte:

=

200100020010002001100200010020001002

6

2)( laM e ρ e

−

−

Ε=

000000000000001001000000000000001001

)(

laK e .

Quanto à matriz de transformação, esta é dada por:

=

0

0

00

TGTG

TG

onde TG é definida pela relação: 0

−

−=

1000)cos()sin(0)sin()cos(

.)cos(0)sin(

010)sin(0)cos(

22

22

11

11

0 θθθθ

θθ

θθTG


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em que 1θ e 2θ definem os ângulos de rotação que transformam o sistema local no sistema global. De forma análoga ao método do elemento finito de Sclaroff, após a determinação das matrizes de massa e rigidez globais, encontram-se as correspondências utilizando a análise modal da forma. Construção do Modelo físico

V tiX , tH t

Z

t

V 1, +tjX 1+tH 1+t

1+t

Objecto

Objecto


Próprios

Correcção de sinal e correspondência entre os pontos

Matrizes de massa

e de rigidez


próprios

_________________Análise de Deformaç

Matrizes de massa

e de rigidez

Figura 3. – Etapas do método de mapeamento baseado na modelização física

______________________________________________________ões de Objectos Visíveis 11

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Resultados e Conclusões Depois de implementada, em MatLab, a metodologia adoptada descrita anteriormente, pode-se afirmar que obtiveram-se resultados satisfatórios na medida em que permitiram alcançar os objectivos propostos. A fim de ilustrar tal afirmação, considere-se o seguinte exemplo composto pelos seguintes conjuntos de pontos, em que ambos definem um pentágono:

=

8316313214313299867252117

tX e

=+

59140112157142120107685885

1tX

Os resultados apresentados, de seguida, são relativos, apenas, aos resultados obtidos usando a modelização por elementos finitos, uma vez que este método é o mais importante para o estudo em questão. Como este método tem como entradas os conjuntos de pontos e os parâmetros que definem as características físicas dos objectos, escolheu-se

00243.045.0;12.1 =Ε== eυρ .

Método de Sclaroff Os resultados seguintes foram obtidos considerando diferentes valores para σ . Considerando σ como 10% do valor da distância média entre os pontos de cada imagem, obteve-se o seguinte gráfico de correspondências

70 80 90 100 110 120 130 140 150 160

60

70

80

90

100

110

120

130

140

Coordenada x

Coo

rden

ada

y


________________________________________________________________________

Como se pode verificar todos os pontos de tem correspondência com os pontos de , mas estas não são aceitáveis pois estão trocadas.

1+tX

tX Considerando agora que σ toma o valor de 25% da distância média entre os pontos de cada imagem, obteve-se:

70 80 90 100 110 120 130 140 150 160

60

70

80

90

100

110

120

130

140

Coordenada x

Coo

rden

ada

y

Por observação do gráfico anterior, pode-se afirmar que todos os pontos de admitem correspondências com os pontos de e que estas são consideradas como correctas.

tX

1+tX

Por último, considerando σ como 50% do valor da distância média entre os pontos de cada imagem, o gráfico obtido foi:

70 80 90 100 110 120 130 140 150 160

60

70

80

90

100

110

120

130

140

Coordenada x

Coo

rden

ada

y

Facilmente verifica-se que as correspondências encontradas estão correctas mas que nem todos os pontos admitem emparelhamentos.


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A fim de justificar as situações anteriores, considere-se os seguintes quadros que contêm os valores próprios referentes a cada imagem associados aos valores de σ escolhidos.

σ 10% da distância média entre os

pontos de cada imagem 25% da distância média entre os

pontos de cada imagem 50% da distância média entre os

pontos de cada imagem Valores próprios

de tXValores próprios

de 1+tXValores próprios


de 1+tXValores próprios


de 1+tX0.00978497030475 0.00978771691284 0.00978798522099 0.00978799053679 0.00978799237397 0.00978799999766 0.00978800298779 0.00978800773303 0.00978827604701 0.00979102190746

0.00937042400633 0.00937164786879 0.00937173150340 0.00937181757019 0.00937186635255 0.00937186662302 0.00937191550467 0.00937200151184 0.00937208514878 0.00937330883671

0.00260881792107 0.00307971874459 0.00314228508926 0.00339970201302 0.00342332289832 0.00438150590477 0.00453903856020 0.00465581085914 0.00477023549511 0.00525028813314

0.00260044278112 0.00275470589291 0.00297394726726 0.00323994543034 0.00333519696493 0.00414764772271 0.00435906520823 0.00454526244189 0.00472523436811 0.00489367857951

0.00096335579504 0.00125803891454 0.00127045225998 0.00198410864777 0.00211250296389 0.00285950301716 0.00305147954972 0.00312216547396 0.00317089971990 0.00333442523434

0.000916852801510.001201505455190.001224972113680.001940755142070.001987365600620.002882396836020.002920298022800.002980533838090.003034745939440.00306892741784

Tendo em conta as correspondências encontradas e os valores apresentados no quadro anterior pode-se concluir que: • Quanto maior for a proximidade dos valores próprios de zero menor é o número

total de correspondências encontradas pelo método. • Quanto maior for a diferença entre o maior e o menor valor próprio maior é o

número de correspondências aceitáveis, considerando o conjunto total de correspondências.

Uma vez que os pontos, que constituem as imagens, têm igual peso na definição do objecto, então para garantir a estabilidade do método dos elementos finitos considerando o elemento isoparamétrico de Sclaroff deve-se considerar um valor de σ suficiente para impedir a proximidade dos valores próprios de zero e entre si. Outra forma de garantir a estabilidade desejada é a atribuição de diferentes pesos aos pontos que constituem as imagens, pois existem nodos com um papel dominante na definição dos objectos.


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Método dos elementos axiais lineares. Neste caso, considerou-se sempre que a área dos elementos axiais era unitária. Considerou-se também diferentes números de ligações entre os pontos, assim como diferentes tipos de contorno. Escolhendo o contorno como aberto e supondo apenas uma ligação entre os pontos, obteve-se o seguinte gráfico de correspondências:

70 80 90 100 110 120 130 140 150 160

60

70

80

90

100

110

120

130

140

Coordenada x

Coo

rden

ada

y

Facilmente se verifica que, para além de não existir correspondências para todos os pontos, estas não estão correctas pois estão trocadas. Considerando agora duas ligações entre os pontos, obteve-se:

70 80 90 100 110 120 130 140 150 160

60

70

80

90

100

110

120

130

140

Coordenada x

Coo

rden

ada

y

Por observação do gráfico anterior, verifica-se que todos os pontos admitem correspondências e que estas estão correctas.


________________________________________________________________________

Tomando agora o contorno como fechado, o gráfico das correspondências considerando uma ligação é:

70 80 90 100 110 120 130 140 150 160

60

70

80

90

100

110

120

130

140

Coordenada x

Coo

rden

ada

y

Note-se que existem apenas duas correspondências, sendo estas determinadas correctamente. Por último considerando agora duas ligações entre os pontos de cada imagem tem-se que todos os pontos admitem correspondências, embora todas elas erradas, como pode confirmar o gráfico:

70 80 90 100 110 120 130 140 150 160

60

70

80

90

100

110

120

130

140

Coordenada x

Coo

rden

ada

y


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Observando os gráficos anteriores e considerando os resultados apresentados no quadro que se segue pode-se retirar algumas conclusões relativamente à acção dos valores próprios sobre a estabilidade do método dos elementos axiais lineares.

Contorno Aberto Contorno Fechado Uma ligação Duas ligações Uma ligação Duas ligações

Valores próprios de

tX


1+tX


tX


1+tX


tX


1+tX


tX


1+tX1.0e-003 * 0.0000000011 0.0000000015 0.0000000023 0.0000000031 0.0000000041 0.0000000074 0.2105939796 0.3011603229 0.3157049473 0.3662540900

1.0e-003 * 0.0000000002 0.0000000007 0.0000000013 0.0000000020 0.0000000034 0.0000000039 0.1968424016 0.2651779156 0.3106404029 0.3390294954

1.0e-003 * 0.0000000008 0.0000000014 0.0000000023 0.0211759596 0.0662372499 0.1172071595 0.1560596523 0.1632802209 0.1950487581 0.2068897747

1.0e-003 * 0.0000000007 0.0000000016 0.0000000026 0.0224085284 0.0598845449 0.1142360874 0.1319183075 0.1480228643 0.1797459744 0.1923460479

1.0e-003 * 0.0000000011 0.0000000016 0.0000000017 0.0000000032 0.0000000073 0.1641575177 0.2437610954 0.2612042114 0.2696598978 0.3270366846

1.0e-003 * 0.0000000008 0.0000000016 0.0000000018 0.0000000021 0.0000000038 0.1547900196 0.2355731544 0.2511289632 0.2656992647 0.2824051139

1.0e-003 * 0.0000000004 0.0000000010 0.0000000024 0.1053120537 0.1078036711 0.1113833325 0.1197646805 0.1298393716 0.1453855986 0.1742298569

1.0e-003 * 0.0000000007 0.0000000020 0.0000000022 0.0995392776 0.1001260602 0.1075693510 0.1142183690 0.1242775204 0.1277701034 0.1631061896

Verifica-se, de forma análoga ao método de Sclaroff, que: • Quanto maior o número de valores próprios considerados como zeros numéricos

menor é o número total de correspondências encontradas pelo método. • Quanto maior for a diferença entre o maior e o menor valor próprio maior é o

número de correspondências correctas, considerando o conjunto total de correspondências determinadas.

Neste caso, há ainda a registar as diferenças provocadas pelo tipo de contorno utilizado. Nota-se que existe uma diminuição do número de valores próprios considerados como zeros numéricos e uma diminuição da diferença entre o maior e o menor valor próprio quando se considera o contorno fechado face ao contorno aberto. Desta forma, dado que todos os pontos têm igual influência e peso na definição do objecto, para garantir a estabilidade do método dos elementos finitos considerando


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elementos axiais lineares deve-se ter em conta um número de ligações e um tipo de contorno capazes de impedir a proximidade dos valores próprios de zero e a proximidade entre si. A garantia da estabilidade do método pode também surgir, de forma análoga ao método de Sclaroff, da atribuição de diferentes pesos aos pontos que definem as imagens, atribuindo mais peso aos pontos chave.

Bibliografia Tavares, João Manuel Ribeiro da Silva Análise de Movimento de Corpos Deformáveis usando Visão Computacional Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto Julho de 2000 Shapiro, Larry Towards a Vision-Based Motion Framework Robotics Research Group, Department of Engineering Science Oxford University, 1992 Meirovitch, Leonard Elements of Vibration Analysis McGraw-Hill, 1986


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Anexos Encontra-se, nesta secção, uma breve explicação do modo de utilização do programa desenvolvido do decorrer deste trabalho. A utilização dos métodos através do MatLab pode ser feita considerando os seguintes passos:

1. Na folha de comandos do MatLab, importa-se do Excel os conjuntos de dados que representam os objectos em estudo através do comando xlsread(‘Dados’), obtendo-se, assim, as variáveis que correspondem aos pontos que contituem a primeira e a segunda imagem, respectivamente. Note-se que para fazer a importação destes dados deve-se estar na directoria onde estes se encontram.

1+tt XeX

2. Altera-se a directoria dos dados para a directoria que contem os programas que

permitem a execução dos métodos. Através das linhas de comando:

distancia_minima ),( 1+tt XXdistancia_Shapiro ),( 1+tt XXelemento_Sclaroff ( ), 1+tt XXelemento_Axial ),( 1+tt XX encontram-se as correspondências, as respectivas representações e as deformações existentes entre os dois conjuntos de dados considerados. Note-se que o nome das funções está directamente associado com o método escolhido pelo utilizador para a resolução do problema.

3. No decorrer da execução dos programas, o utilizador deve seguir as instruções do

programa de forma a escolher outros parâmetros essenciais para a resolução do problema em estudo.

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Introduçãotavares/projectos/Estagios/... · 2018. 4. 10. · Introdução A análise de movimento de corpos deformáveis é um problema com interesse crescente dado o enorme potencial