Integração por substituição (mudança de variável)wix-anyfile.s3.amazonaws.com/D8vzrSwJRSe4u1xbuzsu_3 Integrais II... · Vamos aplicar este teorema para resolver o exemplo anterior

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IV. Técnicas de integração

Quando o integral (definido ou indefinido) não é imediato ou quase imediato, recorremos a

outras técnicas de integração.

Integração por substituição (mudança de variável)

Seja uma primitiva da função e uma função derivável tal que , , . Podemos então considerar a função composta , , . Aplicando a Regra da Cadeia

logo,

, .

Para simplificar esta expressão podemos considerar e portanto (consultar guião M@t b_Complementos de Derivação).

Substituindo na igualdade anterior

, .

De seguida vamos resolver o exemplo da página 15 do Guião integrais ‐ Parte I, utilizando,

agora, o método de integração por substituição.

Exemplo

Calcule o integral 3 1 5 .

3 1 5 3 1 5

Fazendo 1 5

então

Integrais

Parte II

Recorde que:

Se é uma primitiva de temos

Passos auxiliares:

. Considera‐se a mudança de variável: 1 5

. 1 5 10

. Calcular o integral em ordem a

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10 .

Para aplicar a fórmula é necessário introduzir o factor 10 no integrando, pelo que se

multiplicará o integral por ,

3 1 5 10 1 5 1 5 10

310

310 1

5 1

310 4

5

38

.

Repare que após a mudança de variável e a resolução do integral obtemos uma função na variável , que não é a variável inicial da função que estamos a integrar. É por isso necessário voltar a efectuar uma mudança de variável.

Como 1 5 ,

3 1 5381 5 , .

O Método de Integração por Substituição ou também designado por Mudança de Variável é dado por

Para aplicarmos este método é necessário efectuarmos os seguintes passos:

I. Substitui‐se a variável dada por outra variável (função de substituição) ;

II. Substitui‐se por dado que ;

III. Integra‐se a função obtida em ordem à nova variável ;

IV. Volta‐se à variável original substituindo por .

, .

Fazendo e substituindo por , obtemos

Sendo uma primitiva de .

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Exemplo 1:

Calcule .

ln ln

1

Fazendo ln

então

1.

ln1

2

Como ln ,

2, .

Exemplo 2: Calcule, por mudança de variável, o integral definido

. ./

Calculemos o integral indefinido . , utilizando a mudança de variável:

. Então

. Substituindo vem:

. , .

.

Sendo uma função contínua no intervalo , , o cálculo do integral definido de em , efectua‐se, calculando o integral indefinido e no final aplicando o 1º Teorema Fundamental do Cálculo.

Cálculos auxiliares:

. Considera‐se a mudança de variável: ln

. ln

. Calcular o integral em ordem a

. Depois de calculado o integral, substitui‐se novamente, desta vez por

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Substituindo novamente, desta vez por :

. 7

, .

Assim, dado que o domínio da expressão integranda é ,

.

.

7

/ .

Como alternativa à resolução apresentada, poderíamos ter utilizado o Teorema da Mudança de Variável.

Vamos aplicar este teorema para resolver o exemplo anterior. Utilizando a mudança de variável , e substituindo

0 0 0 0 e 1

. 7

17

,

Teorema da Mudança de Variável

Sejam e funções reais de variável real, e uma função derivável, contínua e invertível em , , com derivada contínua em , ,

onde . Com a aplicação deste teorema não é necessário voltar à variável original após integração, no entanto, é necessário alterar os extremos de integração.

e

Atenção:

Quando usamos o método de substituição no cálculo de um integral definido

, temos que ter o cuidado de

efectuar a substituição dos extremos de integração na primitiva da função, depois desta estar na variável inicial.

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Exercícios

1. Calcule: 1.1.

√;

1.2. ;

1.3. √

. 1.4. 1.5. √3 7

1.6. √√

1.7.

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Tal como não é verdade que

não é verdade que ,

.

Vamos trocar o papel das funções. Façamos:

e Temos que

Aplicando a fórmula de integração por partes vem:

=

Como podemos observar, neste caso é imediato resolver o integral.

Repare que:

Nestes casos apenas precisamos de uma primitiva e não da família de primitivas. Por uma questão de simplificação consideramos sempre 0.

2 ,

2.Integração por partes Este método é baseado na regra da derivada do produto. Dadas duas funções reais de variável real e , deriváveis, temos que:

logo,

.

Este método é aplicável sempre que estamos perante um produto de funções e se conhece uma primitiva de pelo menos um dos factores.

Exemplo:

Calcule o integral indefinido . A função a primitivar é um produto de dois factores (método de integração por partes).

Como sabemos integrar qualquer das funções, aparentemente, a escolha é indiferente.

Façamos

e

Aplicando a fórmula de integração por

partes vem:

.

Integração por partes

Sejam e duas funções reais de variável real, deriváveis, então

Nota:

pode ser uma qualquer primitiva de ′.

O problema complicou‐se, obtendo‐se uma nova primitiva produto da exponencial por um polinómio do 2º grau.

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Exemplo:

Calcule o integral definido .

Note que , e é continua em . Vimos no exemplo anterior que

.

Logo,

3 1

22.

Exemplo:

Calcule o integral indefinido .


2

2

2

212

2

212 2

, . 2

2 4, .

Se conhecermos a primitiva de ambos os factores, devemos escolher para derivar aquele que mais simplifica por derivação.

.

O integral definido da função no intervalo , , sendo esta contínua nesse intervalo, é dado por:

Em geral, como escolher e ?

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Exemplo:

Calcule o integral indefinido .

1


1

, .

Exemplo:

Calcule o integral .

Na primeira parte do guião resolvemos este integral recorrendo às fórmulas trigonométricas. No entanto, este integral também pode ser resolvido utilizando o método de integração por partes. Repare que:

.

Aplicando o método de integração por partes vem:


Se o integrante for uma única função, que não sabemos integrar mas que se simplifica por derivação (como

o caso do logaritmo e das funções trigonométricas inversas), escreve‐se 1 e escolhe‐se obviamente a função para derivar e a função constante, 1, para integrar.

Se só um dos dois factores admite uma primitiva imediata, escolhemos esse para primitivar e o outro para derivar. Por exemplo, as funções trigonométricas inversas (arcsen, arcos, arctg) e as logarítmicas não admitem uma primitiva imediata logo, devem ser escolhidas para derivar. Os polinómios devem ser escolhidos para derivar quando não é imediata a integração do outro factor.

Neste caso temos apenas uma função que não sabemos integrar, contudo esta primitiva calcula‐se usando o método de integração por partes uma vez que podemos considerar

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1

1

2

2

, .

Exercícios

1. Calcule:

a. ;

b. ;

c. ;

d. √ ;

e. ;

f. .

Pela aplicação sucessiva da regra de integração por partes, pode aparecer no segundo membro um integral igual ao que se pretende calcular. Isola‐se então esse integral e resolve‐se a equação.

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3. Integração de funções racionais

Chama‐se função racional a qualquer função da forma , onde e são

polinómios em e 0. O cálculo da primitiva de algumas funções racionais é imediato ou quase imediato. Nestes casos incluem‐se as funções cujas primitivas são funções logarítmicas ou trigonométricas inversas. Vejamos alguns exemplos.

3 1

| | , .

112

21

12

| 1| , .

11

, .

Podemos ainda ter outra situação, como por exemplo:

11

1, .

Existem no entanto outras funções racionais em que estas regras não se aplicam. Neste caso, duas situações podem acontecer:

Exemplo:

5 72 3

Exemplos:

1

3 4 42 3

I. o grau do polinómio do numerador é menor do que o grau do polinómio do denominador;

II. o grau do polinómio do numerador é maior ou igual do que o grau do polinómio do denominador.

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Quando nos encontramos na situação II, vamos simplificar a fracção racional aplicando o algoritmo da divisão aos polinómios.

A aplicação do algoritmo a divisão à nossa função racional (quando o grau do numerador é maior ou igual ao grau do denominador) permite‐nos escrevê‐la como a soma de um polinómio com uma função racional cujo grau do numerador é menor que o grau do denominador. Por vezes esta decomposição basta para resolver o integral.

Exemplo:

Calcule

1.

A função integranda é uma função racional cujo grau do numerador é maior que o grau do

denominador. Vamos por isso aplicar o algoritmo da divisão.

Algoritmo da divisão

|

Assim,

11

1 1

11

1

3, .

4 1

Então


.

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Vamos decompor o polinómio 2 3. Calculemos os zeros do polinómio.

Aplicando a fórmula resolvente:

Logo 2 3 1 3

2 3 0

2 2 4 1 32 1

2 √4 122

1 3.

encontra‐se na situação I, visto que ao efectuar o algoritmo da divisão o grau do

polinómio é sempre menor do que o grau do polinómio .

Exemplo: Calcule

3 4 42 3

.


|

3 4 42 3

15 72 3

2

Decomposição em Fracções Parciais

A resolução do integral de uma fracção racional quando o grau do numerador é menor que o grau do denominador é efectuada usando o método das fracções parciais.

Este processo consiste em separar uma dada fracção numa soma de fracções com denominadores mais simples. Para tal, temos que factorizar o denominador.

3 3 2 4 4 2 2 3 1

5 7 2 2 3

Então

Factorizar o denominador

Factorizar um polinómio é decompô‐lo num produto de polinómios de grau inferior.

Ver mais Guião 2 do M@tb.

Não é um integral imediato/quase imediato.

5 72 3

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Para obter a decomposição em fracções parciais seguimos os seguintes passos.

Exprimir o denominador como produto de factores e/ou factores irredutíveis do tipo .

Caso existam factores repetidos, agrupamo‐los de modo que se expresse como o

produto de factores diferentes da forma e/ou , onde , .

Aplicam‐se as seguintes regras:

Regra 1:

A cada factor da forma , 1, corresponde na decomposição

às seguintes de fracções parciais:

onde cada é um número real.

,

Qualquer expressão racional (tal que o grau de é inferior ao grau de ) pode

escrever‐se como soma de expressões racionais cujos denominadores envolvam potências de polinómios de grau 1 ou de grau 2 sem raízes reais, então

onde

onde , e , , onde é irredutível (polinómio de grau dois que não admite raízes reais).

A soma designa‐se por decomposição em fracções parciais de e cada

é uma fracção parcial.

Passo 1

Passo 2

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Voltando ao último exemplo, pretendemos calcular , para isso vamos escrever a

fracção como soma de fracções mais simples, utilizando o método de decomposição em

fracções parciais.

Temos que 5 71 3 1

33

1

5 71 3

3 1

1 3.

Logo 5 7 1 3

7

57 3

32.

A este método chama‐se Método dos Coeficientes Indeteteminados. Por este ser um sistema de equações lineares, pode ser resolvido pelo Método de Eliminação

de Gauss‐Jordan ou regra de Cramer. O cálculo das constantes e pode ainda ser feito tomando‐se valores de que anulem os

respectivos coeficientes, que neste caso são 1 e 3. 1. Fazendo 1 na igualdade 5 7 1 3 , temos

5 1 7 1 1 1 3

12 4124

3. 2. Fazendo 3 na igualdade 5 7 1 3 , temos

5 3 7 3 1 3 3

8 4 2.

Regra 2:

A cada factor da forma , onde n 1 e é irredutível, corresponde na

decomposição , às seguintes fracções parciais,

onde, para cada , e são números reais.

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Esta regra é compensatória quando os valores de que anulem os coeficientes não são repetidos.

Determinados A e B tem‐se 5 71 3

31

23.

Logo 5 72 3

31

23

311 2

13 3 ln| 1| 2 ln| 3| , .

Assim, voltando ao cálculo do integral da página 12, temos

3 4 4

2 3 15 72 3

2 3 ln| 1| 2 ln| 3| , .

Exemplo:

Calcule .

A função integranda é uma função racional cujo grau do numerador é menor que o grau do

denominador. Então vamos exprimir o denominador como um produto de factores de grau 1 e/ou grau 2 sem raízes reais.

Factorizando o denominador escrevemos

1 .

Como o factor aparece repetido,

1 .

Neste caso, como os factores são todos da forma , aplicamos a regra 1.

0.

0 1 0

1 0 0 1 0

0 0 1

1 1

Vamos decompor o polinómio . Calculemos os zeros do polinómio.

Colocando em evidência o termo em ,

Aplicando a lei do anulamento do produto:

Logo

Passo 2

Passo 1

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Portanto, temos uma decomposição da forma

2 1 2 11 1

,

onde , e são constantes a determinar.

Para determinar essas constantes utilizamos o Método dos Coeficientes Indeterminados:

2 1

1 1

2 11

1 11

logo 2 1 1 1

2 1

201

113.

Assim

2 11

1 1 31.

Temos portanto

2 11

1 1 31

| |1

3 | 1| , .

Já estudamos os casos em que a factorização de resulta num produto de polinómios de

grau 1. Vamos agora analisar situações em que na factorização de estão presentes polinómios irredutíveis de grau 2.

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Exemplo:

Calcule .

é uma função racional, em que o grau do

polinómio numerador é menor que o grau do polinómio denominador.

Passo 1 Decompor o polinómio num produto de polinómios de grau 1 e/ou em polinómios de grau dois irredutíveis (polinómio de grau dois sem raízes reais) Agrupar os factores repetidos, se existirem.

Passo 2

Escrever a função como soma de fracções parciais (neste caso, são duas).

Determinar as incógnitas

Calcular cada uma das primitivas

1

3 11

11

3 11

11

3 11 1

3 10

31

131

3 11

1 1 31

Método dos Coeficientes Indeterminados.

Assim

3 11

1 31

| |1

311

| |12

21

3 | |12ln| 1| 3 , .

3 1 3 12 1 2 1

Regra 1 Regra 2

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Regra 1 Regra 2

Exemplo

Calcule .

A função integranda é uma função racional cujo grau do numerador é menor que grau do denominador.

Factorizando o denominador escrevemos

2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 ,

logo

3

2 2 23

1 1 2 2 2 2 2 2.

Analisando os factores repetidos, agrupam‐se de modo a que se expresse como o produto de factores diferentes da forma e/ou , onde , logo,

3

2 2 23

1 2 2

Neste caso, temos a decomposição da forma

32 2 2 1 1 2 2 2 2

onde , 1, 2, 1, 2, 1e são constantes a determinar. Após determinar as incógnitas, temos que integrar cada uma das parcelas.

Polinómio Parcelas

1 1 1

2 2 2 2 2 2

Passo 2

Passo 1

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No cálculo de integrais de funções racionais aplicamos normalmente as seguintes regras:

, , .

| | , .

, .

Exercícios

1. Calcule:

a. ;

b. ;

c. ;

d. ;

e. .

Resumo:

Considere a função racional , com 0.

Se o grau de for maior ou igual ao grau de efectua‐se a divisão dos polinómios, aplicando‐se posteriormente, se necessário, o processo de decomposição de fracções parciais.

Se o grau de for menor ao grau de utiliza‐se, se necessário, o processo de decomposição em fracções parciais.

Processo de decomposição em fracções parciais

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4. Outras mudanças de variável

Uma das principais dificuldades na integração por substituição reside na escolha da mudança

de variável. Quando as funções a integrar têm determinadas características, podem ser utilizadas

mudanças de variável aconselhadas, como apresentamos a seguir. Muitas destas mudanças de variável produzem o integral de uma função racional.

Exemplo

Calcule √√

.

√ 1√ 2

/ 1/ 2

Como o menor múltiplo comum dos índices das raízes, 2,4 4, efectuamos a substituição:

4 .

Assim temos

√ 1√ 2

/ 1/ 2

412 4 4

2 .

/ , / , …

Para calcular o integral de funções que resultam de operações racionais

de expressões do tipo

deve‐se calcular o mínimo múltiplo comum entre , ….

. . , , … .

Então a mudança de variável aconselhada é

.

Após esta mudança de variável temos o integral de uma função racional.

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|

42 4 2 5 10 20

40 2

4 2 5 10 20 4012

45

24

53

102

20 40ln| 2|

45

2203

20 80 160ln| 2| , .

Para voltamos à variável original, neste caso , temos que:

√

√ 1√ 1

4 √

52 √

20 √3

20 √ 80√ 160ln √ 2

4 √5

220 √

320√ 80√ 160ln √ 2 , .

5 3

240

Então

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Exemplo

Calcule√

.

Calculemos o integral indefinido

11 √1

1

1 / 1 / .

Como o menor múltiplo comum dos índices das raízes é 2,3 6, efectuamos a substituição:

1 .

Assim temos

1 6 .

1

1 1

16

6 61

.

/

,/

, …

Para calcular o integral de funções que resultam de operações racionais de

expressões do tipo

deve‐se calcular o mínimo múltiplo comum entre , ….

. . , , … .


.

Após esta mudança de variável temos o integral de uma função racional.

M@tplus Integrais

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|

Voltando ao cálculo do integral:

61

6 111

6 111

62

ln| 1| , .

Para voltarmos à variável original, neste caso , temos que:

√1

11 √1

6√12 √1 ln √1 1 , .

E assim, como a função √

é contínua no intervalo 3,5 ,

11 √1

6√12 √1 ln √1 1

6√62 √6 ln √6 1 6

√42 √4 ln √4 1 .



, , … , , …

deve‐se calcular o máximo divisor comum entre , ….

. . , , … .


.

61 6 6

6 1 6 1

11 .

Então

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Exemplo

Calcule .

Como o 1,2 1 , efectuamos a substituição: .

Assim temos .

Logo,

ln 1

.

1

1.1

1

1

11

1

| 1| | | | 1|+c

| |1

2 | 1| , .


1| |

12 | 1|

12 | 1| , .

Recorde:

ln ,

1.

Repare que no integral não é possível

colocar em evidencia o factor e portanto não podemos substituir o por .

Nesta situação resolvemos em ordem a ,

ou seja,

e assim,

Deste modo já é possível substituir no integral

por e por .

1

1 1 .

11 1

11

1 11

1 1 1 001

111.

11

1 1 11.

11

1 1 11

| |1

| 1| , .

Calculo auxiliar

A função integranda é uma função racional cujo grau do

numerador é menor que o grau do denominador.

Neste caso, como os factores são todos da forma , aplicamos a regra 1.

Portanto, temos uma decomposição da forma

,

onde , e são constantes a determinar. Para determinar essas constantes utilizamos o Método dos Coeficientes Indeterminados:

logo

Assim

Temos portanto

Passo 1

Passo 2

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Exemplo Calcule

.

Como o 2,4 2, efectuamos a substituição:

22

. Estamos na mesma situação que no exemplo anterior, uma vez que não podemos substituir

no integral .

Assim,

2 22,

logo,

2.

2 4

22 2

2 2 2

2.


|



ln , ln , … , , …

deve‐se calcular o máximo divisor comum entre , ….

. . , , … .


.

Recorde:

21

2 2

Então

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2

12

2

12

2

212

2 | 2 | , .

Para voltarmos à variável original, neste caso , temos que:

2 .

24

2 2 | 2 2 | , .

[PISK] Chama‐se binómio diferencial à expressão

em que , , , , , são constantes.

O integral do binómio diferencial pode ser reduzido, se , , forem números racionais, ao integral duma função racional nos

seguintes três casos:

1) é um número inteiro, isto é, ;

2) é um número inteiro;

3) é um número inteiro.

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Em qualquer um dos casos referidos, devemos proceder, inicialmente, à mudança de

variável seguinte:

dzzn

dxzx nn 111 1 , −== .

Desta resulta o seguinte:

( ) ( ) dzbzazn

dxbxax pqpnm +=+ ∫∫1

onde 11−

+=

nmq .

A segunda mudança de variável aconselhada depende do caso em nos encontramos,

assim,

1) se p é um número inteiro, e sendo q o número racional srq = , devemos efectuar a

substituição

stz = ;

2) se n

m 1+ é um número inteiro e sendo p o número racional

μλ

=p , devemos

efectuar a substituição

μtbza =+ ;

3) se pn

m+

+1 é um número inteiro, isto é, pq + é inteiro, façamos primeiro a

seguinte modificação

( ) dzzbzazdzbzaz

ppqpq ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=+ ∫∫ + ,

e, de seguida, consideremos a substituição

μtzbza

=+

(μλ

=p ).

Exemplo 1

Calcule .

11

; 1; 3

1ª mudança de variável

, logo

Como , mas 0 ,

encontramo‐nos no 2º caso.

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( )

( )

( )

( ) ( )

( ) Cxxxx

Ctttt

Ctttt

dttt

t

dttt

t

dtt

t

tdttt

dzzz

dzzzz

dxxx

+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

++

−++++

+=

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

++=

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−++=

+−

+−

++=

+−++=

−=

−=

+=

+=

+

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

−

−

−−

−

1111ln

211

31

32

11ln

21

332

1ln211ln

21

332

121

1211

32

)1)(1(11

32

132

2131

131

311

1

3

33

3

3

3

2

2

2

4

212 v.m. ª2

23

1

32 v.m. ª1

31

23

23

23

31

23

Exemplo 2

Calcule √

.

√11

Note que 12

4

−tt

é uma função racional à variável


11

1 1

2

2

224

24

+−

++−

−

tt

tttt|t

Decompondo em fracções simples….

21 e

21

)1()1(111)1)(1(

1

−==⇒

−++=⇒+

+−

=+−

BA

tBtAt

Bt

Att

Para voltar à variável :

311 xzt +=+=

; 2; 2

1ª mudança de variável

, logo

Como , , mas

0 , encontramo‐nos no 3º

caso.

1 2ª mudança de variável

‐1, logo 2

M@tplus Integrais

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( )

( )

( )

( )

( ) ( )

C

xx

xx

xx

Cttt

Cttt

dttt

dttt

dtt

t

dtt

ttt

dzz

zz

dzz

zzz

dzzz

dzzzz

dxxx

+

++

−+

−+

−=

++−

−−=

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−+−=

+−

+−

+−=

+−+−=

−−=

−

−−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

+=

+=

+=

+

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

−

−

−

−−

−−

11

11

ln211

11ln

21

1ln211ln

21

121

1211

)1)(1(11

1

121

21

121

121

121

211

1

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2 v.m. ª2

21

1

21

21

21

23

21

23

21

21

1 v.m. ª1

21

22

1

Note que 12

2

−tt

é uma função racional à variável


1 1 1

1 2

22

+−

−

tt|t

Decompondo em fracções simples….

21 e

21

)1()1(111)1)(1(

1

−==⇒

−++=⇒+

+−

=+−

BA

tBtAt

Bt

Att

Para voltar à variável :

2

211x

xz

zt +=

+=

1

1 1 1 1

1 2

2ª mudança de variável (após a modificação efectuada)

Logo,

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Na tabela seguinte temos um resumo de cada uma das mudanças de variável anteriores.

Expressão Substituição a efectuar Cálculo do integral Para voltar à variável inicial

·

| | 1 ·

Simplificar usando a relação trigonométrica

1

·

| | 1 ·


1

·

| | 1 ·


1

Para calcular o integral de funções que envolvem expressões radicais do tipo

Efectuamos respectivamente a mudança de variável (substituição trigonométrica)

, .

Estas mudanças de variável também se aplicam se no lugar de estiver uma função linear

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Exemplo

Calcule √9 .

1. Função irracional quadrática incompleta da forma √ . Substituição: 3 3 cos .

2. Substituindo, integra‐se a função obtida em ordem à nova variável .

9 9 3 · 3 cos 9 9 · 3 cos

9 1 · 3 cos 3 3 √ · cos

9 · cos 9 9

92

194

2 292

94

292

942

92

92

, .

3. Como . No nosso caso

• 3 , ,

3,

2,2

• Para calcular cos usamos a relação trigonométrica

1

1 1

1

1 , ,

1 √

1 22

9

Substituindo

Como , , estamos no 1º ou 4º

quadrante onde o cosseno é positivo.

3

√93

Em alternativa, repare que:

se tivermos o triângulo rectângulo, em que um dos ângulos tem amplitude , o cateto oposto a esse ângulo mede e a hipotenusa do triângulo mede 3, temos, pelo Teorema de Pitágoras, que o

cateto adjacente ao ângulo é igual a √9 .

Temos então que

e que

9

3

Cateto adjacente

Cateto oposto

Hipotenusa

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Assim

9 92 3

92 3

√93

92 3

√99

, .

Exemplo

Calcule √

.

Comecemos por transformar 3 2 numa diferença de quadrados. Como o coeficiente de é negativo, teremos que colocá‐lo em evidência e seguir o processo descrito ao lado para transformar 3 2 na diferença , em que é uma função linear de .

3 2 3 2

3 2

3

4 1

2 1

Seja 1 e 2. Como 1, temos

e 2 3 e portanto,

2√3 2

1 24 1

3√2

√23

1√2

12

2 4 31

√2

12 4

12 1

3 2

4 3 2

, .

2 4 .

Passos:

1. Identificar .

2. Considerar . 3. Somar e subtrair a

o valor obtido no passo

anterior, ou seja, . 4. Escrever na forma

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2√3 2

4 1 31

2

3 2 31

2, .

Na tabela seguinte temos um resumo da mudança de variável anterior.

Expressão Substituição a efectuar Utilizar Para voltar à variável inicial

2 2

21

2 21 2

21 2

2 2

21

1 21 2

11

2

Exemplo:

Calcule o integral .

1. É uma função que envolve funções trigonométricas.

2. Comecemos por fazer a mudança de variável.

Tal como referido anteriormente:

22

1, cos

11

e 2

1dt.

Qualquer função trigonométrica , , , … pode exprimir‐se à custa

das funções e .

Para calcular o integral de funções que envolvam a funções e ,

efectuamos a mudança de variável

.

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Calculando o integral por mudança de variável:

11

1 21

1 11

2

1

1 21

1 11

2

1

2 11

11

21

12

1

1 2

1

| 1| , .


2

11 2 2

1

2 2, .

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Exercícios

1. Calcule:

a. √ √

√ ;

b. √

;

c.

√ ;

d. √

;

e.

;

f. √7 5 ;

g. ; (Sugestão: Faça 1.)

h. ;

i. ( ) dxxx∫ +3 235 1 ;

j. ( )∫+ 2

322 1 xx

dx;

k. ∫⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+14

143

xx

dx;

l. dxx

x∫

+3 41.

2. Num certo subúrbio de uma metrópole, a concentração de Ozono no ar, , é de 0, 25 partes por milhão ( ) às 7 . De acordo com o serviço de meteorologia, a concentração de Ozono t horas mais tarde varia à razão de

0,24 0,03√36 16

/

Determine a função que devolve a concentração de Ozono horas após as sete da manhã.

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Bibliografia [LH] Larson, R., Hostetler, R. e Edwards, B., Cálculo, Mc Graw Hill, 2006.

[ELL] Lima, L. E.; Curso de Análise, Vol.2, Projecto Euclides, Nona Edição, 1999.

[CUV] Malta I., Pesco, S., Lopes,H.; Cálculo a uma variável, Vol. II, Derivada e Integral; Editora PUC Rio, 2002.

[CGA] Swokowski; Cálculo com Geometria Analítica, Vol.1 , Makron Books, 1991. [MA] Harshbarger, R. J. , Reynolds, J. J. , Matemática Aplicada – Administração, Economia e Ciencias Sociais e Biológicas, Mc Graw Hill, 2006.

[PISK] Piskounov, N. ; Cálculo Diferencial e Integral, Vol. I e Vol. II, Ed. Lopes da Silva,

18ª edição.

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Integração por substituição (mudança de variável)wix-anyfile.s3.amazonaws.com/D8vzrSwJRSe4u1xbuzsu_3 Integrais II... · Vamos aplicar este teorema para resolver o exemplo anterior