3

2. Integral de Linha

Definição: Seja C uma curva parametrizada por ; , z t t a b . Seja f uma função contínua em .

Definimos

b

C a

f z dz f z t z t dt .

As propriedades são as mesma da integral de linha de funções reais de 2 variáveis (funções escalares). Observações:

1) Se C é a curva C percorrida em sentido contrário, então C C

f z dz f z dz

.

2) A integral de linha independe da parametrização usada.

Exemplos:

1) Calcule C

dz

z, sendo : 3C z .

Solução:

2) Calcule Re C

z dz , sendo C :

Solução:

Vamos supor C orientada no sentido anti-horário.

Parametrização de C :

3 ; 0, 2itz t e t .

Então,

3 itz t ie .

Logo,

2 2

0 0

3 d 2 .

3

it

it

C

dz e idt i t i

z e

1 : ; 0, 1 .0

x tC t

y

; 0, 1z t t t

Então,

1z t .

Portanto,

1

1

0

1Re 1 .

2C

z dz t dt

2

1: ; 0, 1

xC t

y t

1 ; 0, 1z t ti t . Então, z t i .

4

3) Calcule Re C

z dz , sendo C o segmento de reta que vai de 0, 0 a 1, 1 .

Solução:

Observação: Observe que os resultados (exemplos 2 e 3) são diferentes, apesar dos pontos inicial e

terminal serem os mesmos em cada caso.

4) Calcule Im C

z dz , sendo C :

Solução:

Portanto, 2

1

0

Re 1 .C

z dz i dt i

Logo,

1 2

1Re Re Re .

2C C C

z dz z dz z dz i

Parametrização:

; 0, 1z t t ti t .

1z t i .

Logo,

11 2

0 0

1 1Re 1 1

2 2 2 2C

t i iz dz i t dt i

.

1

1

: segmento de reta que liga 0, 2 a 2, 0 .

: 0, 2 2, 0

2 2 2 ; 0, 1

2 2 .

C

C z t t

z t t t i t

z t i

Portanto,

1

1 1

0 0

Im 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2C

z dz t i dt i t dt i .

2

2

: semi-circunferência com centro 1, 0 e raio 1.

: 1 1 cos sen ; 0,

sen cos .

it

C

C z t e t i t t

z t t i t

5

Portanto,

2

2

0 0 0

Im sen sen cos sen sen cos 2

C

z dz t t i t dt t dt t t dt

.

Logo,

1 2

Im Im Im 2 22

C C C

z dz z dz z dz i

.

5) Calcule C

f z dz , sendo 22f z x y i x e C o segmento de reta de zero a 1 i .

Solução:

: ; 0 1C z t t t i t .

Então,

, com

1

z t x t y t i x t t y t

z t i

.

Portanto,

12

0

1

2

0

2 1

1 2

1 5 .

6 6

C

f z dz x t y t i x t t dt

i t t t i dt

i

3. Conjuntos simplesmente conexos (s.c.)

Um subconjunto D do plano complexo é s.c. quando qualquer curva fechada totalmente contida em D

contém em seu interior somente pontos de D . (O interior da curva fechada está contido em D ).

4. Teorema Integral de Cauchy (TIC)

Seja f uma função analítica numa região s.c. D . Então 0C

f z dz para toda curva fechada C

contida em D .

Consequência: Se f é analítica no conjunto s.c. D e 1 2, z z D então C

f z dz tem o mesmo valor,

qualquer que seja a curva C contida em D e que liga 1z a 2z .

1 2 1 2

1 2

0

C C C C

C C

f z dz f z dz f z dz

f z dz f z dz

6

Exemplos:

1) Calcule z

C

e dz , sendo : 0C z a .

Solução:

Primeiramente, verificamos se f é analítica:

cos sen cos sen

cos

C.R.: é analítica, , .

sen

z x i y x x x

x

x

f z e e e y i y e y e y i

u ve y

x yf x y

u ve y

y x

Como zf z e é analítica em , a integral vale 0 (zero).

2) Calcule 2 2 2

C

dz

z z , sendo : 1C z .

Solução:

Primeiramente, temos que verificar se 2

1

2 2f z

z z

é analítica em e seu interior.

2 2 2 0 1z z z i . Estes pontos estão no exterior do círculo 1z D é s.c.

Logo, 2

02 2

C

dz

z z

.

3) Calcule 2

C

dz

z, sendo : 1C z .

Solução:

Não podemos usar o TIC, visto que D não é s.c. Neste caso, precisamos calcular:

2 2

2

2 00 0

: ; 0 2

0.

it it

itit it

it

C z t e t z t i e

i edt i e dt e

e

Exercícios (para casa):

1) Calcule 2

3

3

z

C

zedz

z , sendo 5

: 4

C z . Resposta: 0 (zero)

2) Calcule tg C

z dz , sendo : 1C z . Resposta: 0 (zero)

Teorema I: Seja f analítica no conjunto s.c. D e 1 2, z z D . Se g é uma primitiva de f , então

2 1 C

f z dz g z g z ,

sendo C qualquer curva contida em D que liga 1z a 2z .

7

Exemplo: A função 2f z z é analítica em . Então, 2

1

3 32 2 1

3

z

z

z zz dz

, quaisquer que sejam

1 2, z z e que

seja o caminho de 1z a

2z .

Exercícios:

1) Calcule z

C

e dz

, sendo C :

Solução:

Comoa função zf z e é analítica em (VERIFIQUE!), basta encontrar uma primitiva de f :

2

21 1 1

i

iz z i

iC

ie dz e e e

.

2) Calcule cos 2

C

zdz

, sendo C o segmento de reta de 0 a 2i .

Solução:

Comoa função cos2

zf z

é analítica em (VERIFIQUE!), basta encontrar uma primitiva de f :

22 2

0

1cos 2sen 2sen 2

2 2 2 2

i i i ii

C

z z e edz i e

i e

.

Teorema II: Sejam 1C e 2C curvas fechadas simples tal que 2C esteja contida no interior de 1C e ambas com a

mesma orientação. Se f é analítica em todos os pontos de 1C e de 2C e também na região

compreendida entre 1C e 2C , então

1 2

C C

f z dz f z dz .

Exemplo: Calcule 23

C

dz

z , sendo C o quadrado de vértices 1, , 1i e i , neste sentido.

Solução:

Pelo Teorema II podemos tomar, por exemplo, a circunferência

2 : 2C z , orientada no sentido anti-horário.

2 : 2 ; 0 2 ; 2i iC z t e z t ie . Logo,

22 2

2 2

00 0

1 2 1 0

3 3 4 6 6

ii i

i

C

dz ie id e d e

z e

.