Intervalos de confiança simultâneos (Método de Bonferroni) Universidade do Estado do Rio de Janeiro Prof. José Francisco Moreira Pessanha [email protected]

Intervalos de confiança simultâneos (Método de Bonferroni)

Universidade do Estado do Rio de Janeiro

Prof. José Francisco Moreira Pessanha

[email protected]/jfmpessa

Intervalos simultâneos

Considere o caso especial em que X~Np(,) onde

p

3

2

1

pp

33

22

11

As variáveis são independentes

Para cada média pode ser especificado um intervalo t com 1- de confiança, por exemplo, 95%:

n

stx

n

stx ii

niiii

ni 22 11 i=1,p

n = tamanho da amostra aleatóriaxi = média amostral da i-ésima variávelsii = variância amostral da i-ésima variável


Considerando cada intervalo individualmente

122 11 n

stx

n

stxP ii

niiii

ni i=1,p

Neste caso foi assumido que as variáveis são independentes, por isso o produto de probabilidades

verdadeiro serintervalo ésimo-i conter intervalo PP i

Considerando os intervalos simultaneamente

11111 p

i

P

P

sverdadeiro sejamintervalos os todos

contenham intervalos os todos

No caso de p=6 variáveis, para =0,05 (5%) tem-se que (1- )6 = 0,74 < 0,95, ou seja, o grau de confiança simultâneo é menor que 95%


A partir de uma região com (1-)x100% de confiança podem ser obtidos intervalos para as médias 1,2,...,p e suas infinitas combinações lineares aT = a11+a22+...+app. Estes intervalos são denominados por intervalos simultâneos ou intervalos T2:

Estes intervalos são mais largos que os intervalos t, de tal forma que quando considerados simultaneamente a probabilidade de que todos os intervalos contenham as respectivas médias seja (1-)x100%, igual ao grau da região de confiança.

n

SaaF

pn

npXaa

n

SaaF

pn

npXa

T

pnpTT

T

pnpT

,,

11

n = tamanho da amostra aleatóriap = número de variáveisa = vetor de constantes que definem uma combinação linear de médiasX = vetor de médias amostraisS = matriz de covariância amostral

T2


Os intervalos simultâneos são projeções da região de confiança.

0.52 0.54 0.56 0.58 0.60

0.5

80

.60

0.6

20

.64

V1

V1

Região de confiança

de 95%

Intervalo de confiança simultâneo de 95% para 1

Intervalo de confiança

simultâneo de 95% para 2

Note que os intervalos simultâneos para 1 e 2 definem uma região retangular maior que a região com 95% de confiança, logo a região retangular, definida pelos dois intervalos T2, tem um grau de confiança maior que 95%.

A probabilidade que os dois intervalos T2 contenham as respectivas médias é superior a 95%

Isso só foi possível pois os intervalos T2 são maiores que o intervalo t

Método de Bonferroni

Freqüentemente estamos interessados em fazer inferência sobre um reduzido conjunto de médias ou de combinações lineares de médias.

Não estamos interessados em todas as infinitas combinações lineares das médias.

Neste caso podemos desenvolver intervalos simultâneos mais curtos (mais precisos) que os intervalos T2.

Este método alternativo é conhecido como método de Bonferroni e baseia-se na desigualdade de mesmo nome.


Considere que o objetivo seja inferir sobre m combinações lineares das médias:

Seja ICi o intervalo com 1-i de confiança para a i-ésima combinação (i=1,m)

pmpmTm

ppT

ppT

aaa

aaa

aaa

11

21212

11111

i

Ti

P

aP

1verdadeiro serIC

combinação vardeira a conter IC

i

i


Considerando todos os intervalos simultaneamente:

falso serIC um menos pelosverdadeiro sejamIC os todos ii PP 1

m

i

PP1

1 falso serICsverdadeiro sejamIC os todos ii

m

i

PP1

11 verdadeiro serICsverdadeiro sejamIC os todos ii

m

i

P1

11 ii -1sverdadeiro sejamIC os todos

m

i

P1

1 ii sverdadeiro sejamIC os todos

Estas desigualdade é um caso especial da desigualdade de Bonferroni


Vamos desenvolver os intervalos simultâneos para o conjunto restrito de p médias i , i=1,p.

Estes intervalos são construídos com base no intervalo t:

n

stx

n

stx ii

iniiii

ini 22 11

Na ausência de algum conhecimento sobre a importância de cada média, faz-se:

i=1,p

pi

1111 pp

Pp

i

iii respectiva a contenha IC todo

verdadeira a conhtenha IC todosverdadeiro sejamIC os todos iii PP

p termos

Implica no mesmo nível de confiança para todos os intervalos


1ii respectiva a contenha IC todoP

Então, os seguinte intervalos de confiança têm um grau de confiança simultâneo maior ou igual a 1-:

n

s

ptx

n

s

ptx nn

11111

1111 22

n

s

ptx

n

s

ptx nn

22122

2212 22

n

s

ptx

n

s

ptx pp

npppp

np

22 11

...


Comparando intervalos simultâneos T2 e Bonferroni para as médias i , i=1,p

n

s

ptx

n

s

ptx ii

niiii

ni

22 11

n

sF

pn

npx

n

sF

pn

npx ii

pnpiiii

pnpi

,,

11

Intervalo simultâneo com correção de Bonferroni para as médias i , i=1,p

Intervalo simultâneo T2 para as médias i , i=1,p

ExemploO departamento de controle de qualidade de uma fábrica de fornos de microondas realiza medições do nível de radiação emitida por estes aparelhos para verificar se os fornos fabricados atendem as especificações do projeto e as normas de segurança. Desenhe a região com 95% de confiança para o vetor média.

Para atender esta finalidade, uma amostra de 42 fornos de microondas é selecionada e ensaios em laboratório são conduzidos para medir o nível de radiação emitida com a porta fechada e com a porta aberta. A seguir são apresentados as amostras coletadas.

Forno com a porta fechada (y1) = arquivo T4-1.dat0.15 0.09 0.18 0.10 0.05 0.12 0.08 0.05 0.08 0.10 0.07 0.02 0.01 0.100.10 0.10 0.02 0.10 0.01 0.40 0.10 0.05 0.03 0.05 0.15 0.10 0.15 0.090.08 0.18 0.10 0.20 0.11 0.30 0.02 0.20 0.20 0.30 0.30 0.40 0.30 0.05

Forno com a porta aberta (y2) = arquivo T4-5.dat0.30 0.09 0.30 0.10 0.10 0.12 0.09 0.10 0.09 0.10 0.07 0.05 0.01 0.450.12 0.20 0.04 0.10 0.01 0.60 0.12 0.10 0.05 0.05 0.15 0.30 0.15 0.090.09 0.28 0.10 0.10 0.10 0.30 0.12 0.25 0.20 0.40 0.33 0.32 0.12 0.12

Construa os intervalos simultâneos T2 e com correção de Bonferroni para as médias 1 e 2 com 95% de confiança.

Exemplo

y1=read.table("T4-1.dat")hist(y1[,1])

y2=read.table("T4-5.dat")hist(y2[,1])

Histogram of y2[, 1]

y2[, 1]

Fre

qu

en

cy

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

05

10

15

20

Histogram of y1[, 1]

y1[, 1]

Fre

qu

en

cy

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

05

10

15

Distribuições assimétricas. Violação da hipótese de normalidade. Variáveis devem ser transformadas

Exemplo

x1=y1^(1/4)hist(x1)

x2=y2^(1/4)hist(x2)

Histogram of x1

x1

Fre

qu

en

cy

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

02

46

81

0

Histogram of x2

x2

Fre

qu

en

cy

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

05

10

15

20

Distribuições simétricas. Hipótese de normalidade satisfeita.

Transformação das variáveis

Exemplo

Matriz de dados X=cbind(x1,x2)

xbarra=apply(X,2,mean)

S=var(X)

Vetor de médias amostraisxbarra V1 V1 0.5642575 0.6029812

Matriz de covariâncias amostraisS V1 V1V1 0.01435023 0.01171547V1 0.01171547 0.01454530

Caso bivariado p =2

Exemplo

n

sF

pn

npx

n

sF

pn

npx pnppnp

11,11

11,1 %5

1%5

1

n

sF

pn

npx

n

sF

pn

npx pnppnp

22,22

22,2 %5

1%5

1

42

0144,023,3

40

412564,0

42

0144,023,3

40

412564,0 1

612,0516,0 1

42

0146,023,3

40

412603,0

42

0146,023,3

40

412603,0 2

651,0555,0 2

Intervalos simultâneos T2 para 1 e 2

Exemplo

42

0144,0327,2564,0

42

0144,0327,2564,0 1

607,0521,0 1

42

0146,0327,2603,0

42

0146,0327,2603,0 2

646,0560,0 2

Intervalos simultâneos com correção de Bonferroni para 1 e 2

n

s

ptx

n

s

ptx nn

11111

1111 2

%5

2

%5

n

s

ptx

n

s

ptx nn

22122

2212 22

ExemploIntervalos simultâneos T2 para 1 e 2

612,0516,0 1 651,0555,0 2

Intervalos simultâneos com correção de Bonferroni para 1 e 2

607,0521,0 1 646,0560,0 2

Intervalos simultâneos com correção de Bonferroni para 1 e 2 menores que os intervalos T2

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