Introdução à Eletrodinâmica Clássica - Ricardo Luiz

Introducao a Eletrodinamica Classica

Ricardo Luiz VianaDepartamento de Fısica

Universidade Federal do ParanaCuritiba, Parana, Brasil

9 de outubro de 2012

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Sumario

1 Equacoes de Maxwell 91.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Sistemas de unidades eletromagneticas . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.1 A constante eletrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.2 A constante eletromagnetica . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3 Equacoes de Maxwell na forma integral . . . . . . . . . . . . . . 151.3.1 Lei de Gauss eletrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.2 Lei de Gauss magnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3.3 Lei de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3.4 Lei de Ampere-Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.3.5 Teoremas de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.4 Ondas eletromagneticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.4.1 Ondas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.4.2 Polarizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.5 Conservacao de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.6 Conservacao de energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.6.1 Energia em ondas eletromagneticas . . . . . . . . . . . . . 401.7 Conservacao do Momentum Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.7.1 Balanco de momentum linear . . . . . . . . . . . . . . . . 401.7.2 Propriedades do tensor das tensoes de Maxwell . . . . . . 431.7.3 Pressao de radiacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.7.4 Pressao da radiacao solar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.7.5 Radiacao em equilıbrio numa cavidade . . . . . . . . . . . 47

1.8 Conservacao do Momentum Angular . . . . . . . . . . . . . . . . 481.8.1 Balanco de momentum angular . . . . . . . . . . . . . . . 481.8.2 O paradoxo do disco de Feynman . . . . . . . . . . . . . . 50

1.9 Potenciais eletromagneticos e transformacoes de gauge . . . . . . 531.10 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2 Campos Estaticos 572.1 Eletrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.2 Funcao de Green sem condicoes de contorno . . . . . . . . . . . . 59

2.2.1 Potencial eletrostatico de um anel carregado . . . . . . . 612.3 Funcao de Green com condicoes de contorno . . . . . . . . . . . . 622.4 Metodo das imagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.4.1 Problema de Dirichlet para uma superfıcie plana . . . . . 642.4.2 Problema de Dirichlet para uma superfıcie esferica . . . . 66

2.5 Expansao em autofuncoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3

4 SUMARIO

2.5.1 Problema de Dirichlet sobre uma superfıcie esferica . . . . 702.5.2 Funcao de Green radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.5.3 Problemas interior e exterior . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2.6 Momentos da densidade de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.6.1 Momento de dipolo eletrico . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.6.2 Momento de quadrupolo eletrico . . . . . . . . . . . . . . 75

2.7 Expansao do Potencial em Multipolos . . . . . . . . . . . . . . . 772.7.1 Termo de monopolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.7.2 Termo de dipolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.7.3 Termo de quadrupolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

2.8 Expansao em Multipolos do Campo Eletrico . . . . . . . . . . . . 812.8.1 Linhas de forca do Campo dipolar . . . . . . . . . . . . . 82

2.9 Energia eletrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832.9.1 Raio classico do eletron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

2.10 Distribuicao de carga interagindo com um campo eletrico externo 842.10.1 Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

2.11 Magnetostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862.11.1 A equacao de Poisson vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2.12 Expansao do potencial vetor em Harmonicos Esfericos . . . . . . 872.13 Momentos da distribuicao de correntes . . . . . . . . . . . . . . . 912.14 Expansao do potencial vetor em multipolos . . . . . . . . . . . . 932.15 Razao Giromagnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 942.16 Solucoes numericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

2.16.1 Diferencas finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952.16.2 Discretizacao da equacao de Poisson bidimensional . . . . 962.16.3 Condicoes de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 972.16.4 Sistema linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 982.16.5 Um exemplo “simples” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

2.17 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3 Campos de Radiacao 1073.1 A equacao de onda inomogenea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.2 Potenciais retardados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

3.2.1 Obtencao dos potenciais segundo Landau e Lifshitz . . . . 1083.2.2 Interpretacao fısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113.2.3 Funcao de Green da equacao de onda . . . . . . . . . . . 112

3.3 Radiacao de sistemas de cargas e correntes localizados . . . . . . 1163.4 Expansao do potencial vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

3.4.1 Zona proxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1183.4.2 Zona distante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

3.5 Potencia irradiada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1193.6 Radiacao de dipolo eletrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

3.6.1 Potencial vetor retardado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213.6.2 Campos eletromagneticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1223.6.3 Potencia irradiada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233.6.4 Dipolo de Hertz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

3.7 Radiacao de dipolo magnetico e quadrupolo eletrico . . . . . . . 1253.7.1 Potencial vetor retardado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1253.7.2 Termo de dipolo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . 1253.7.3 Potencia irradiada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

SUMARIO 5

3.7.4 Espira circular de corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1263.7.5 Termo de quadrupolo eletico . . . . . . . . . . . . . . . . 1273.7.6 Potencia Irradiada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1293.7.7 Dois dipolos de Hertz oscilando em oposicao de fase . . . 130

3.8 Antenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1313.8.1 Antena linear com alimentacao central . . . . . . . . . . . 1323.8.2 Potencia Irradiada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1333.8.3 Redes de antenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1353.8.4 Diretividade de antenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

3.9 Teoria da Difracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1383.9.1 Princıpio de Huyghens-Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . 1393.9.2 Teoria escalar da difracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1393.9.3 Funcao de Green da equacao de Helmholtz . . . . . . . . 1413.9.4 A integral de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1443.9.5 Difracao de Fraunhofer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1463.9.6 Difracao por uma abertura retangular . . . . . . . . . . . 1463.9.7 Difracao por uma abertura circular . . . . . . . . . . . . . 147

3.10 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

4 Equacoes de Maxwell em Meios Materiais 1494.1 Condutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

4.1.1 Eletrostatica de condutores . . . . . . . . . . . . . . . . . 1504.1.2 Condutividade eletrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1504.1.3 Teoria microscopica dos condutores . . . . . . . . . . . . . 152

4.2 Dieletricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1534.2.1 Polarizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1534.2.2 Corrente de polarizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1554.2.3 Deslocamento eletrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1554.2.4 Constante dieletrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1564.2.5 Capacitor de placas paralelas preenchidas com um dieletrico1574.2.6 Teoria microscopica dos dieletricos . . . . . . . . . . . . . 158

4.3 Meios Magneticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1634.3.1 Magnetizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1634.3.2 Intensidade magnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1644.3.3 Permeabilidade magnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1654.3.4 Solenoide cilındrico com nucleo magnetico . . . . . . . . . 1664.3.5 Materiais ferromagneticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1674.3.6 Teoria microscopica do magnetismo . . . . . . . . . . . . 169

4.4 Condicoes de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1774.4.1 Caixa de pılulas gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1774.4.2 Espira amperiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1784.4.3 Condicoes de contorno envolvendo condutores . . . . . . . 179

4.5 Energia eletromagnetica em meios materiais . . . . . . . . . . . . 1794.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

5 Dinamica Relativıstica 1855.1 Postulados da relatividade restrita . . . . . . . . . . . . . . . . . 1855.2 Transformacoes de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1865.3 Consequencias das transformacoes de Lorentz . . . . . . . . . . . 189

5.3.1 Dilatacao do tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

6 SUMARIO

5.3.2 Contracao dos comprimentos . . . . . . . . . . . . . . . . 1905.4 Transformacao das velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1905.5 Vetores e tensores no espaco de Minkowski . . . . . . . . . . . . . 192

5.5.1 Quadrivetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1925.5.2 Analise vetorial no espaco de Minkowski . . . . . . . . . . 1935.5.3 Quadritensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1945.5.4 Pseudo-vetores e pseudo-tensores no espaco de Minkowski 195

5.6 Mecanica relativıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1965.6.1 Quadrivelocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1965.6.2 Quadriaceleracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1975.6.3 Quadrimomentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1985.6.4 Transformacoes de Lorentz para o quadrimomentum . . . 1995.6.5 Forca de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2005.6.6 Momentum angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2015.6.7 Formalismos Lagrangeano e Hamiltoniano . . . . . . . . . 202

5.7 Partıculas carregadas num campo eletromagnetico . . . . . . . . 2045.7.1 Momentum generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2045.7.2 Formalismos Lagrangeano e Hamiltoniano . . . . . . . . . 2055.7.3 Movimento num campo eletrico constante e uniforme . . . 2065.7.4 Movimento num campo magnetico constante e uniforme . 2075.7.5 Movimento em campos eletricos e magneticos constantes

e uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2105.7.6 Invariantes adiabaticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2115.7.7 Movimento num campo magnetico nao-uniforme . . . . . 2125.7.8 Movimento de uma partıcula em giracao sob a acao de

uma onda eletrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2165.8 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

6 Eletrodinamica Relativıstica 2276.1 Quadripotencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2276.2 Transformacoes de Lorentz para o quadripotencial . . . . . . . . 2296.3 Tensor do Campo Eletromagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . 2306.4 Forma covariante da equacao de movimento . . . . . . . . . . . . 2326.5 Transformacoes de Lorentz para os campos eletromagneticos . . . 233

6.5.1 Consequencias das transformacoes para os campos . . . . 2346.6 Campos produzidos por uma partıcula carregada em movimento

uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2356.7 Tensor dual do campo eletromagnetico . . . . . . . . . . . . . . . 2376.8 Invariantes de Lorentz dos campos . . . . . . . . . . . . . . . . . 2386.9 Quadricorrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2396.10 Forma covariante das Equacoes de Maxwell . . . . . . . . . . . . 240

6.10.1 Equacoes de Maxwell homogeneas . . . . . . . . . . . . . 2406.10.2 Equacoes de Maxwell inomogeneas . . . . . . . . . . . . . 241

6.11 Tensor de Energia-Momentum para o Campo Eletromagnetico . 2426.12 Equacoes de balanco de energia e momentum linear . . . . . . . . 2456.13 Forma covariante dos potenciais retardados . . . . . . . . . . . . 2466.14 Teoria classica do campo eletromagnetico . . . . . . . . . . . . . 246

6.14.1 Formulacao Lagrangeana para campos classicos . . . . . . 2466.14.2 Campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2486.14.3 Equacao de Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

SUMARIO 7

6.15 Lagrangeana do campo eletromagnetico . . . . . . . . . . . . . . 2506.16 Leis de Conservacao na Teoria de Campos . . . . . . . . . . . . . 251

6.16.1 Simetrias na teoria de campos . . . . . . . . . . . . . . . . 2516.16.2 Teorema de Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2526.16.3 Tensor de energia-momentum . . . . . . . . . . . . . . . . 2536.16.4 Transformacoes de Lorentz infinitesimais . . . . . . . . . . 2546.16.5 Campo eletromagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

6.17 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

7 Radiacao de cargas aceleradas 2597.1 Potenciais de Lienard-Wiechert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2597.2 Campos de Lienard-Wiechert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

7.2.1 Alguns resultados preliminares . . . . . . . . . . . . . . . 2617.2.2 Campo Magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2627.2.3 Campo Eletrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

7.3 Potencia irradiada por uma carga acelerada . . . . . . . . . . . . 2657.3.1 Formulas de Lienard e Larmor . . . . . . . . . . . . . . . 2667.3.2 Formula de Schwinger-Larmor . . . . . . . . . . . . . . . 267

7.4 Aceleradores lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2687.4.1 Potencia irradiada e sua distribuicao espacial . . . . . . . 2687.4.2 Relacao custo-benefıcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

7.5 Aceleradores circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2707.5.1 Potencia irradiada e sua distribuicao espacial . . . . . . . 2707.5.2 Relacao custo-benefıcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

7.6 Espalhamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2737.6.1 Espalhamento Thomson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2737.6.2 Espalhamento Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

7.7 Reacao de radiacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2777.7.1 Amortecimento radiativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2787.7.2 Equacao de Abraham-Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . 2797.7.3 Movimento sob a acao de uma forca central . . . . . . . . 2807.7.4 Solucao formal da equacao de Abraham-Lorentz . . . . . 281

Apendices 284

A Vetores e tensores no espaco Euclidiano 285A.1 Algebra vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

A.1.1 Convencao de soma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285A.1.2 Delta de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285A.1.3 Sımbolo de Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286A.1.4 Identidades vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

A.2 Analise vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288A.2.1 O operador nabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288A.2.2 Simetria e antisimetria dos ındices . . . . . . . . . . . . . 288A.2.3 Outras identidades vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . 289A.2.4 Teoremas da analise vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

A.3 Algebra tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291A.3.1 Vetores e pseudo-vetores no espaco Euclidiano . . . . . . 291A.3.2 Tensores no espaco Euclidiano . . . . . . . . . . . . . . . 292A.3.3 Produtos entre vetores e tensores . . . . . . . . . . . . . . 292

8 SUMARIO

A.3.4 Produto diadico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293A.4 Analise tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

B Complementos matematicos 295B.1 Funcoes Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

B.1.1 Funcao Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295B.1.2 Polinomios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295B.1.3 Polinomios de Legendre Associados . . . . . . . . . . . . . 297B.1.4 Harmonicos Esfericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297B.1.5 Funcoes cilındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

B.2 Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

Capıtulo 1

Equacoes de Maxwell

1.1 Introducao

O escoces James Clerk Maxwell (1831-1879), alem de ter sido um dos criadoresda Mecanica Estatıstica, foi responsavel pela criacao de uma teoria unificadapara a eletricidade e o magnetismo. Maxwell comecou a estudar os trabalhos deFaraday em 1855, quando ainda era estudante na Universidade de Cambridge,publicando seu primeiro trabalho em 1856, que propoe uma teoria dos camposeletrico e magnetico baseadas em analogias com a hidrodinamica [1].

Entre 1861 e 1862, quando ja era professor no King’s College (Londres),Maxwell publicou um segundo trabalho, em quatro partes, no PhilosophicalMagazine [2]. Nesta serie de trabalhos, Maxwell propoe um modelo de partıculaseletricas e vortices no eter, que era considerado a epoca um meio elasticonecessario para a transmissao das interacoes eletricas e magneticas. Um dosconceitos novos introduzidos por Maxwell nestes trabalhos era a chamada cor-rente de deslocamento, proporcional a variacao temporal do campo eletrico, eque deveria ser adicionada a corrente eletrica de conducao na Lei de Amperepara que o princıpio de conservacao de carga fosse respeitado.

No modelo mecanico que Maxwell concebeu para o campo eletromagneticono eter, os tubos de linhas de forca magnetica eram concebidos como celulastubulares cheias de um fluido em rotacao em torno das linhas de forca. Paraque tubos adjacentes pudessem girar no mesmo sentido, Maxwell imaginou aexistencia de “rolamentos” esfericos, responsaveis pelas forcas eletricas, e cu-jos deslocamentos corresponderiam a correntes eletricas (daı o nome dado porMaxwell a corrente de deslocamento, e que e usado ate os dias de hoje) [Fig.1.1]. Maxwell chegou as suas equacoes aplicando a mecanica dos meios contınuosa este modelo de vortices para o eter celular.

Um resultado importante desse artigo de 1861 (Parte III) e a hipotese de queo eter permitiria a propagacao de vibracoes transversais com a mesma velocidadeda luz c. Na epoca de Maxwell o valor de c era conhecido por meio de observacoesastronomicas dos satelites de Jupiter (metodo de Romer) e por experiencias delaboratorio. Fizeau, em 1848, usando uma roda dentada em rotacao rapida eum espelho, obteve c = 3, 14× 108m/s. Foucault, em 1850, usando um espelhogirante e outro fixo chegou a c = 2, 98× 108m/s.

Experiencias eletromagneticas realizadas em 1855 por Kohlrausch e Weber

9

10 CAPITULO 1. EQUACOES DE MAXWELL

linhas de forçamagnetica

de eter

rolamentos esfericos(deslocamento eletrico)

vortices moleculares

Figura 1.1: Modelo de vortices para o eter proposto por Maxwell.

determinaram o valor 3, 107×108 para a razao entre a unidade eletromagneticaabsoluta de carga e a unidade eletrostatica absoluta de carga. Alem disso, adimensao desta razao e a mesma de velocidade. Em linguagem moderna, estaigualdade e escrita como (no Sistema Internacional de Unidades)

c =1

√ε0µ0

, (1.1)

onde ε0 e µ0 sao, respectivamente, a permissividade eletrica e a permeabilidademagnetica do vacuo. Apesar dessa impressionante coincidencia, ninguem, antesde Maxwell, parece ter tido a ideia de conectar os dois resultados. Em finsde 1861, enquanto trabalhava na parte III do seu artigo, Maxwell, retornandode sua fazenda na Escocia para Londres, leu o trabalho de Kohlrauch e Weber,converteu o resultado num formato compatıvel com seu trabalho, e concluiu quea luz seria uma onda eletromagnetica, resultante das vibracoes do eter, como sefosse uma onda mecanica.

Maxwell publicou em 1865 um novo trabalho [3], no qual estruturou de formamais geral sua teoria unificada dos campos eletrico e magnetico, sem o compli-cado modelo mecanico de vortices no eter, usado anteriormente. Maxwell passaa aceitar que a energia reside no campo eletromagnetico, e nao nas supostaspropriedades elasticas do eter. Alem disso, nesse trabalho ele deduz a equacaodas ondas eletromagneticas.

Em 1871, Maxwell tornou-se professor em Cambridge e o primeiro diretordo Laboratorio Cavendish de fısica experimental, que criou e existe ate hoje.Dois anos depois, ele publicou um livro trazendo um apanhado dos seus tra-balhos sobre Eletromagnetismo [4]. Originalmente Maxwell havia escrito umconjunto de vinte equacoes com vinte incognitas, incluindo algumas equacoesque atualmente sao consideradas auxiliares, como a lei de Ohm e a equacao decontinuidade de carga. Na forma original, Maxwell havia escrito uma equacaopara cada componente [Tabela 1.1]. As equacoes de Maxwell foram escritas pelaprimeira vez na forma vetorial em que as conhecemos atualmente em 1884 porOliver Heaviside.

Nos seus primeiros anos de existencia, a teoria de Maxwell ainda era poucoentendida e ate mesmo vista com certa desconfianca, principalmente pois algu-mas das suas predicoes ainda nao haviam sido verificadas experimentalmente.Quem mostrou a existencia das ondas eletromagneticas, que Maxwell interpre-tava como as vibracoes transversais do eter propagando-se a velocidade da luz,

1.1. INTRODUCAO 11

Forma original das equacoes Forma atual das equacoes Forma atual das equacoesnos artigos de Maxwell em componentes em notacao vetorial

p′ = p+ dfdt J1 = j1 +

dD1

dt

q′ = q + dgdt J2 = j2 +

dD2

dt J = j+ dDdt

r′ = r + dhdt J3 = j3 +

dD3

dt

µα = dHdy − dG

dz µH1 = ∂A3

dy − ∂A2

dz

µβ = dFdz − dH

dx µH2 = ∂A1

dz − ∂A3

dx µH = ∇×A

µγ = dGdx − dF

dy µH3 = ∂A2

dx − ∂A1

dy

dγdy − dβ

dz = 4πp′ ∂H3

dy − ∂H2

dz = 4πJ1dαdz − dγ

dx = 4πq′ ∂H1

dz − ∂H3

dx = 4πJ2 ∇×H = Jdβdx − dα

dy = 4πr′ ∂H2

dx − ∂H1

dy = 4πJ3

P = µ(γ dydt − β dzdt

)− dF

dt − dΨdx E1 = µ(H3v2 −H2v3)− dA1

dt − dϕdx

Q = µ(αdzdt − γ dxdt

)− dG

dt − dΨdy E2 = µ(H1v3 −H3v1)− dA2

dt − dϕdy E = µ(v ×H)− ∂A

∂t −∇ϕR = µ

(β dxdt − αdydt

)− dH

dt − dΨdz E3 = µ(H2v1 −H1v2)− dA3

dt − dϕdz

P = kf εE1 = D1

Q = kg εE2 = D2 εE = DR = kh εE3 = D3

P = −ζp σE1 = j1Q = −ζq σE2 = j2 εE = jR = −ζr σE3 = j3

e+ dfdx + dg

dy + dhdz = 0 ρ+ ∂D1

dx + ∂D2

dy + ∂D3

dz = 0 ρ = ∇ ·D

dedt +

dpdx + dq

dy + drdz = 0 ∂ρ

∂t +∂j1dx + ∂j2

dy + ∂j3dz = 0 −∂ρ

∂t = ∇ · j

Tabela 1.1: Formas original e atual das equacoes de Maxwell [5]


foi Heinrich Hertz. Em 1886, Hertz obteve oscilacoes eletromagneticas com altafrequencia, usando um circuito alimentado por uma faısca, e usando como de-tector uma espira com um pequeno espaco, onde uma outra faısca era geradaquando excitada por uma onda eletromagnetica. Com esse equipamento Hertzdemonstrou em 1888 que as ondas eletromagneticas propagam-se com a veloci-dade da luz, como previsto pela teoria de Maxwell, com as todas as propriedadesondulatorias (reflexao, refracao, polarizacao, etc.). A descoberta de Hertz foirapidamente aplicada na transmissao de sinais a longa distancia (telegrafia semfio).

1.2 Sistemas de unidades eletromagneticas

Ha tres sistemas de unidades eletromagneticas usadas em livros-texto, anaisde conferencias e revistas cientıficas, cada um dos quais com suas vantagens edefeitos.

O Sistema Internacional (SI), tambem conhecido como MKSA, foi pro-posto originalmente por Giovanni Giorgi em 1901 e adotado oficialmente em1960. O SI e bastante empregado em engenharia e certas areas da fısica ex-perimental, sendo usado na maioria dos livros-texto de graduacao em Fısica eEngenharia, como [6, 7, 8] e mesmo alguns de pos-graduacao [9] Em particu-lar, quando desejamos fazer calculos numericos em eletromagnetismo, esse e omelhor sistema para se trabalhar;

O Sistema Gaussiano, pertencente ao CGS (centımetro-grama-segundo),e esteticamente mais despojado que o SI, pela ausencia de fatores como ε0 e µ0

(fatores estes que sao incorporados nas definicoes das grandezas), e a presencafrequente de fatores 4π e a velocidade da luz no vacuo (c). Muitos livros-texto de pos-graduacao [10, 11] e artigos da literatura (sobretudo em FısicaQuantica e Astrofısica) empregam esse sistema, razao pela qual deve tambem serconhecido por estudantes de pos-graduacao. Observamos uma clara tendenciaem direcao ao uso do SI, refletida no fato de que a segunda edicao do livrodo Jackson [12] emprega somente o sistema Gaussiano, ao passo que a terceiraedicao [13] usa, nos primeiros capıtulos, o SI, e na segunda parte, o Gaussiano.O Sistema Gaussiano, no entanto, nao e muito pratico para calculos numericos.Por exemplo, um dos poucos livros-texto elementares sobre Eletromagnetismoe o segundo volume do Curso de Fısica de Berkeley [14].

O Sistema de Heaviside-Lorentz e uma versao racionalizada do sistemaCGS-Gaussiano, ou seja, nao tem fatores 4π. Esse sistema e ainda mais despo-jado do que o Gaussiano, e e bastante empregado em teoria quantica de campos[15] e gravitacao. Com frequencia escolhem-se unidades nesse sistema tais quec = 1. Os calculos numericos neste sistema sao, tambem, bastante trabalhosos.

1.2.1 A constante eletrostatica

Em aplicacoes na Mecanica, a diferenca entre o MKS e o CGS e quase triv-ial, implicando apenas em alterar potencias de dez. No eletromagnetismo, noentanto, essa distincao e acentuada, pois grandezas como carga e corrente temdimensoes (nao so unidades!) diferentes nos dois sistemas. A lei de Coulomb dizque a forca eletrostatica entre duas cargas puntiformes q1 e q2 e proporcionalao produto das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distancia r

1.2. SISTEMAS DE UNIDADES ELETROMAGNETICAS 13

que as separa:

FE = kq1q2r2

, (1.2)

onde k (constante eletrostatica) e um coeficiente cujo valor depende do sistemade unidades empregado.

No sistema Gaussiano adotamos, como unidade de carga eletrica, o stat-coulomb (tambem chamado esu), tal que tenhamos k = 1 e a Lei de Coulombassume a forma simples

FE =q1q2r2

. (1.3)

Duas cargas de 1 statcoulomb cada, separadas por 1 cm, atraem-se ou repelem-secom uma forca de 1 dyn.

No sistema SI a unidade de carga e o coulomb (C) e escolhemos

k =1

4πε0= 8, 99× 109

N.m2

C2, (1.4)

escrita em termos da constante ε0 (dita permissividade do vacuo) cujo valor eε0 = 8, 854187817× 10−12C2/N.m2, tal que

FE =1

4πε0

q1q2r2

, (1.5)

ou seja, existe uma forca de 1 newton entre duas cargas de 1 coulomb cada,separadas por 1 metro.

Observe que, enquanto k = 1 e adimensional no sistema Gaussiano, k e umaconstante dimensional no sistema SI. Portanto, no Gaussiano a carga eletricatem dimensoes M1/2L3/2T−1, ao passo que no SI nao se pode expressar a cargaunicamente em termos de massa, comprimento e tempo, e somos obrigados adefinir uma nova grandeza fundamental, que vem a ser a corrente eletrica (porisso, o SI e tambem chamado MKSA).

Quando comparamos quantidades de carga de um mesmo corpo, podemosdizer que 1 coulomb “equivale” (mas nao e “igual a”) a 2, 997 × 109 stat-coulombs, ja que as duas unidades referem-se a grandezas com dimensoes difer-entes. Logo nao podemos converter unidades aqui, como fazemos em Mecanica,onde (1m/100 cm) = 1, por exemplo. Finalmente, no sistema de Heaviside-Lorentz nos usamos k = 1/4π. A unidade de carga (sem nome especıfico)equivale a 1/3, 545 do statcoulomb (observe que

√4π ≈ 3, 545).

No entanto, do ponto de vista experimental, a definicao da unidade de cargaem termos da forca eletrica e de difıcil realizacao. E mais conveniente definira carga em termos da corrente I = dq/dt, e esta ultima em termos da forcamagnetica de atracao ou repulsao entre condutores. Considerando dois fioslongos retilıneos e paralelos entre si, conduzindo correntes eletricas I1 e I2 eseparados por uma distancia r, a forca magnetica por unidade de comprimentodos fios e

FBL

= 2ξI1I2r, (1.6)

onde ξ e uma constante que tambem depende do sistema de unidades. Porrazoes dimensionais, a relacao entre as constantes k e ξ e

k

ξ= c2, (1.7)


onde c = 2, 99792458× 108m/s e a velocidade da luz no vacuo.No sistema gaussiano temos, portanto, que ξ = 1/c2, logo

FBL

=2

c2I1I2r, (1.8)

tal que a unidade de corrente, o statampere, seja definido como a corrente que,presente em dois fios longos paralelos e separados por uma distancia r = 1cm,resulta numa forca por unidade de comprimento FB/L de modulo 1dyn/cm.Logo 1 statcoulomb e a carga que passa por um fio conduzindo uma corrente de1 statampere durante um segundo.

No sistema SI ξ e dado por

ξ =µ0

4π= 10−7T.m

A, (1.9)

escrita em termos de uma nova constante µ0 (chamada permeabilidade do vacuo),cujo valor (exato) e µ0 = 4π × 10−7N/A2. Usando (1.7) temos a relacao entreas constantes do sistema SI e a velocidade da luz

c =1

√ε0µ0

. (1.10)

A forca magnetica no sistema SI e

FBL

=µ0

2π

I1I2r, (1.11)

tal que 1 ampere e a corrente que, presente em dois fios separados por r = 1m,resulta numa forca por unidade de comprimento igual a 2× 10−7N/m. Define-se secundariamente o coulomb como a carga eletrica que passa, por segundo,atraves de um fio conduzindo uma corrente de um ampere. 1 statampere equivalea 3, 34×10−10 ampere. No sistema de Heaviside-Lorentz ξ = 1/4πc2, e a unidadede corrente [I] (sem nome especıfico) e tal que [I]/c = 2, 821A.

1.2.2 A constante eletromagnetica

Ha uma segunda constante, que denotaremos por g, que e necessaria para definiras unidades eletromagneticas, e que representa a intensidade relativa dos camposeletrico e magnetico. O campo eletrico E e definido em termos da forca eletricapor unidade de carga

E =1

qFE (1.12)

As unidades de campo eletrico sao usualmente escritas em termos do potencialeletrico ϕ correspondente (lembre que E = ϕd para um campo uniforme). Porexemplo, no sistema gaussiano a unidade de potencial e o statvolt e a unidadede E e o statvolt/cm. No SI a unidade de potencial e o volt (V), tal que 1statvolt equivale a 2, 998× 104V .

O campo magnetico B pode ser, por sua vez, definido por meio da forcamagnetica FB sobre uma partıcula carregada com velocidade v por meio daforca de Lorentz, que se escreve em geral como

FB = qgv ×B, (1.13)

1.3. EQUACOES DE MAXWELL NA FORMA INTEGRAL 15

tal que a forca total que age sobre uma partıcula e

F = q(E+ gv ×B), (1.14)

e que, quando acoplada a segunda lei de Newton F = mr, fornece a equacao demovimento da partıcula no campo eletromagnetico.

No sistema gaussiano usamos g = 1/c, e a forca magnetica e

FB =q

cv ×B, (1.15)

e a unidade do campo magnetico e o gauss G. No sistema SI temos g = 1 e

FB = qv ×B, (1.16)

sendo o tesla T a unidade de campo magnetico (1T equivale a 104G). Resu-mindo o que vimos, a Tabela 1.2 mostra os valores das constantes k e g para ostres sistemas de unidades que tratamos aqui.

Sistema SI Gaussiano Heaviside-de Unidades (MKSA) (CGS) Lorentz

k 14πε0

= µ0c2

4π 1 14π

g 1 1c

1c

Tabela 1.2: Constantes dos sistemas de unidades mais utilizados.

1.3 Equacoes de Maxwell na forma integral

Neste capıtulo vamos abordar apenas as equacoes de Maxwell no vacuo, istoe, na ausencia de meios materiais (dieletricos e/ou magneticos). Entao estare-mos interessados em situacoes onde as fontes de campos eletromagneticas sejamdistribuicoes de cargas e correntes eletricas.

1.3.1 Lei de Gauss eletrica

Forma integral

Da lei de Coulomb (1.2) e da definicao (1.12), o campo eletrico gerado por umacarga puntiforme q a uma distancia r e

E(r) = kq

r2r = k

q

r2r

r. (1.17)

O elemento de fluxo eletrico nesse ponto sera

dΦE = E · dA = E · n dA = EdA cos θ = kq

r2dA cos θ, (1.18)


dA

Eθ

dA cos θ

q

Ωd

r

V

S

l

d

h

E

A

base 1 base 2

lateral

E = 0(a) (b)

Figura 1.2: (a) Angulo solido subtendido por um elemento de area da superfıcie;(b) Lei de Gauss eletrica aplicada a um capacitor de placas paralelas.

onde dA = (dA)n e um elemento de area vetorial, orientada pelo versor nperpendicular a superfıcie S [Fig. 1.2] e que faz um angulo θ com o campoeletrico. Por convencao, o versor n sempre aponta para fora da superfıcie S emcada ponto desta.

A projecao do elemento de area dA perpendicularmente ao vetor posicao rsubtende um elemento de angulo solido [Fig. 1.2]

dΩ =dA⊥

r2=dA cos θ

r2, (1.19)

tal que (1.18) pode ser reescrita simplesmente como dΦE = kqdΩ.Integrando ao longo de toda a superfıcie S que envolve a carta q, o fluxo

eletrico total e

ΦE =

∮S

E · dA = kq

∮dΩ︸︷︷︸

=4π

, (1.20)

levando a Lei de Gauss eletrica: o fluxo eletrico atraves de uma superfıcie fechadaS e proporcional a carga eletrica lıquida q envolvida por S:∮

S

E · dA = 4πkq. (1.21)

Essa forma e dita integral pois aplica-se a regioes limitadas do espaco (ou, jo-gando S para o infinito, para todo o espaco).

Capacitor de placas paralelas

Como um exemplo elementar de aplicacao da lei de Gauss eletrica vamos con-siderar um capacitor de placas paralelas, consistindo em duas placas condutorasquadradas de lado `, separadas por uma distancia d, e sem meio material entreelas [Fig. 1.2(b)]. Dentro das placas metalicas sabemos que o campo eletrico enulo. Ja, se as placas forem muito extensas, ou seja, se ` d, podemos usar aaproximacao de placas infinitas e considerar o campo eletrico E entre as placascomo uniforme e apontando numa direcao perpendicular as placas.

Nas faces internas da placa havera cargas de mesmo modulo q e sinais opos-tos. Se A = `2 e a area das placas, a densidade superficial de carga pode ser


considerada uniforme sobre elas σ = dq/dA = q/A. Vamos considerar uma su-perfıcie fechada S na forma de um cilindro de altura h (tao pequena quanto sequeira) no qual as bases sao paralelas as placas e uma base esta dentro e outrafora do capacitor. Aplicando a lei de Gauss eletrica a superfıcie S temos∮

S

E · dA =

∫EdA = EA = 4πkq = 4πk(σA)

E = 4πkσ = 4πkq

A. (1.22)

O campo eletrico fora regiao entre as placas e igual a zero nesta aproximacao.

Forma diferencial

Usando o teorema do divergente em (1.21), transformamos a integral sobre asuperfıcie fechada S numa integral de volume do divergente de E sobre a regiaoV limitada por S. Da mesma forma, escrevemos a carga lıquida q, envolvidapor S, como a integral de uma densidade volumetrica de carga ρ(r) ao longodessa mesma regiao ∮

S

E · dA =

∫V

∇ ·E dV = 4πk

∫V

ρ dV,∫V

(∇ ·E− 4πkρ) dV = 0.

Se a integral acima e nula para um volume V arbitrario, entao o integrandodeve ser identicamente nulo para qualquer ponto desse volume, logo

∇ ·E = 4πkρ. (1.23)

e a forma diferencial da Lei de Gauss eletrica (vale ponto a ponto no espaco).

Distribuicoes singulares de carga eletrica

Sistemas de cargas puntiformes equivalem a densidades de carga singulares, queenvolvem o uso de distribuicoes:

ρ(r) =∑a

qaδ(r− ra), (1.24)

onde definimos as funcoes delta tridimensionais como [veja a Eq. (B.100) eseguintes]

δ(r− ra) = δ(x− xa)δ(y − ya)δ(z − za), (1.25)

sendo r : (x, y, z) e ra : (xa, ya, za).Usando as propriedades da funcao delta unidimensional, (B.84)-(B.86), temos

que∫V

dV δ(r− ra) =

∫ +∞

−∞dxδ(x− xa)︸︷︷︸

=1

∫ +∞

−∞dxδ(y − ya)︸︷︷︸

=1

∫ +∞

−∞dxδ(z − za)︸︷︷︸=1

= 1.

(1.26)


−

+++ +

+

+

+

+

+

+

+ ++

+

+

+

+

++

+

+

+

+

+

+ +

+

+

+

+

+

+ ++

+

+

+

+

++

+

+

+

+

+

+−

−

−

−

−

−− −

−

−

−

−

−−

(a) (b) (d)(c)

eletrometro eletrometro eletrometro eletrometro

++

++

Figura 1.3: (a)-(d) Um teste experimental simples da lei de Gauss. Nao estasendo mostrado o orifıcio por onde penetra a esfera carregada.

de forma que, integrando (1.24) sobre um volume V que envolve todo o sistematemos ∫

V

ρdV =∑a

qa

∫V

dV δ(r− ra) =∑a

qa, (1.27)

que e a carga lıquida envolvida pela superfıcie (“gaussiana”) S.

A validade da lei de Gauss e a massa do foton

Sabemos que o campo eletrico e nulo no interior de um condutor isolado. Umaprevisao classica da Lei de Gauss eletrica, nesse caso, e que qualquer excessode carga que este condutor venha a adquirir estara distribuido na superfıcie docondutor. A verificacao experimental desta importante propriedade pode serusada como um teste para a validade da lei de Gauss. De fato, desde os temposde Faraday experiencias tem sido feitas para tentar detectar um campo eletricodentro de um condutor isolado.

Por exemplo, uma bola metalica positivamente carregada e pendurada porum fio isolante e baixada atraves de uma pequena abertura para dentro de umcondutor oco, descarregado e isolado [Fig. 1.3(a)]. A bola positivamente car-regada induz uma carga negativa na parede interna do condutor oco, deixandouma carga positiva de mesmo valor distribuida na parede externa [Fig. 1.3(b)].A presenca de uma carga positiva na parede externa e indicada por um eletrometro.A bola e baixada ate tocar a superfıcie interna do condutor oco e ser neutral-izada [Fig. 1.3(c)]. Quando a bola e removida, a leitura no eletrometro deve sera mesma pois a carga na superfıcie externa nao se alterou [Fig. 1.3(d)].

Se aplicarmos outra carga positiva a bola metalica e colocarmos a mesma dolado de fora do condutor oco, ela sera repelida pelo condutor, implicando em queE e nao-nulo fora do mesmo. Ja se a bola for baixada novamente para dentro docondutor oco carregado, nao e detectada forca eletrica alguma, mostrando queE = 0 dentro do condutor, em conformidade com a predicao da lei de Gausseletrica.

Para descrever o resultado dessas experiencias representamos a lei de Coulombna forma

FE = kqq′

r2+δ, (1.28)

onde a ausencia de campo no interior do condutor corresponde ao caso δ = 0(veja tambem o problema 2). Cavendish em 1773, por exemplo, e Coulomb


em 1785, obtiveram, como incerteza experimental, δ = 0, 02 e 0, 04, respec-tivamente. O proprio Maxwell, em 1873, fez medidas mais precisas obtendoδ = 4, 9 × 10−5. Plimpton e Lawton, em 1936, obtiveram δ = 1 × 10−9 [16].Uma versao sofisticada dessa experiencia foi realizada em 1971 por Williams ecolaboradores, que obtiveram uma incerteza δ = 2, 7× 10−16 [17].

Por que tentar verificar com tanta precisao a Lei de Gauss eletrica? Sabemos,da teoria quantica, que as interacoes eletromagneticas sao mediadas pelos fotons,que sao partıculas de spin igual a 1 e sem massa de repouso (mγ = 0). E possıvelmostrar, no entanto, que se os fotons tiverem uma massa de repousomγ , mesmoque muito pequena, havera uma violacao na lei de Coulomb (δ 6= 0). Fotonsmassivos podem ser descritos pelo campo de Proca φ, tal que a lei de Gausseletrica passaria a ser escrita (no sistema Gaussiano) como

∇ ·E = 4πρ− µ2φ, (1.29)

onde

µ =mγc

~, (1.30)

sendo ~ = h/2π a constante de Planck. O resultado de Williams e colaboradores,por exemplo, implica em µ2 = 1, 04×10−19cm−2, ou seja, numa massa do foton(caso ela exista) menor que mγ = 1, 6× 10−47g. Esse valor e 10−20 vezes menordo que a massa de repouso do eletron! Para todos os efeitos, portanto, podemossupor fotons sem massa, de tal sorte que a lei de Gauss eletrica e exata, dentrodos limites experimentais.

1.3.2 Lei de Gauss magnetica

Formas integral e diferencial

Em analogia ao raciocınio feito para o campo eletrico, a integral do fluxomagnetico ΦB sobre uma superfıcie fechada S deveria ser proporcional a “cargamagnetica lıquida” envolvida por S. No entanto, ate hoje nao foram observadastais cargas magneticas isoladamente: as estruturas mais simples sao os dipolosmagneticos (imas), dos quais nao se pode extrair os polos. Por esse motivoa lei de Gauss magnetica e expressa simplesmente como a nulidade do fluxomagnetico atraves de uma superfıcie fechada.

ΦB =

∮S

B · dA = 0. (1.31)

E frequente o uso do termo “densidade de fluxo magnetico” para distinguir ocampo magnetico B da intensidade magnetica H. Essa distincao, no entanto, soe importante para meios materiais: no vacuo os dois vetores sao proporcionais.A unidade de fluxo magnetico no SI e o weber (Wb), de forma que a unidadedo campo magnetico e, as vezes, referida como 1T = 1Wb/m2.

Aplicando o mesmo raciocınio para a integral de superfıcie do campo magneticoem (1.31), obtemos a forma diferencial da lei de Gauss magnetica

∇ ·B = 0. (1.32)


campo verticallinhas de força docampo magnetico

corrente de plasma

primario do transformador

bobinas do campotoroidal ´

´

(a)(b)

(c)

superficies de seçao toroidal~´

bobinas de

Figura 1.4: Configuracao de correntes que gera linhas de campo magneticohelicoidais, e que ocorre em sistemas de confinamento magnetico de plasmas.

Um contra-exemplo

Costuma-se afirmar que a inexistencia de monopolos magneticos implica em queas linhas de forca do campo magnetico sejam sempre fechadas. No entanto, epossıvel encontrar situacoes para as quais as linhas de campo magnetica nuncase fecham sobre si proprias. Um exemplo e o campo magnetico produzido poruma corrente na forma de um anel, o qual e tambem o eixo de um solenoidetoroidal. Esta configuracao ocorre, por exemplo, em um tokamak, que e umsistema de confinamento magnetico de plasmas de fusao [Fig. 1.4(a)] [18].

O campo magnetico toroidal produzido por esse solenoide tem linhas de forcana forma de cırculos concentricos. O campo magnetico poloidal produzido pelacorrente tem linhas de forca tambem circulares. O campo resultante destes doistem linhas de forca helicoidais, que jazem sobre superfıcies toroidais, aproxi-madamente coaxiais com o anel condutor.

Se interceptarmos as superfıcies toroidais com um plano, as intersecoes dassuperfıcies toroidais sao cırculos concentricos com a intersecao do anel condutorcom uma superfıcie de secao toroidal. Se uma dada linha de forca executa mvoltas na direcao maior do toroide e n voltas na direcao menor, antes de sefechar sobre si propria, veremos m pontos na superfıcie de secao [Fig. 1.4(b)].Dizemos que o numero de rotacao, sendo a razao entre dois inteiros m e n, eracional.

Ha, porem, superfıcies para as quais o numero de rotacao e irracional, ouseja, nao pode ser escrita na formam/n. Para tais superfıcies as linhas de camponunca se fecham sobre si mesmas, cobrindo densamente (ou ergodicamente) assuperfıcies toroidais. Na superfıcie de secao, veremos um conjunto contınuo depontos ao longo do cırculo correspondente [Fig. 1.4(c)].

Monopolos magneticos

Embora nao tenham sido detectados experimentalmente ate o momento, ahipotetica existencia de monopolos magneticos isolados foi estudada por Diracem 1931 [19]. Nesse trabalho, Dirac mostrou que a existencia dos monopolosmagneticos explica a quantizacao da carga eletrica. Mais precisamente, se g for


a intensidade da “carga magnetica” do monopolo, a sua carga eletrica sera dada(no sistema Gaussiano) por

q = n~c2g, (n = 0,±1,±2, . . .) (1.33)

onde ~ = h/2π e a constante de Planck.

Substituindo a carga do eletron q = e em (1.33) e fazendo n = 1 encontramosa unidade fundamental da “carga magnetica”:

g =~c2e

=137

2e. (1.34)

Supondo, ainda, para a interacao entre duas “cargas magneticas”, a mesma leiCoulombiana de forca valida para cargas eletricas (no sistema Gaussiano), arazao entre estas forcas seria

FBFE

=e2/r2

g2/r2=

g2

e2=

(137

2

)2

≈ 4, 692× 103 (1.35)

Admitindo a existencia de monopolos magneticos, devemos supor que, talcomo para cargas eletricas, as cargas magneticas devam satisfazer a um princıpiode conservacao. Em consequencia, os monopolos so podem ser criados aos pares,ou seja, um par monopolo-antimonopolo, assim como tambem aniquilados aospares [11]. Um par monopolo-antimonopolo poderia, em tese, ser produzidonuma colisao entre partıculas de altas energias, como entre fotons e protons. Deacordo com as teorias unificadas de partıculas elementares, a massa de repousode um monopolo deveria ser da ordem de 1014GeV/c2, que excede em variasordens de grandeza a energia disponıvel nos mais poderosos aceleradores departıculas. Por exemplo, o LHC (Large Hadron Collider) tem um limite de10TeV/c2 = 104GeV/c2. Logo, a busca pelos monopolos tem se concentradoem raios cosmicos de altas energias que atingem a Terra.

Em 1975 uma experiencia feita com emulsoes nucleares colocadas em umbalao a grandes altitudes, para tentar detectar a producao de monopolos devidoa raios cosmicos, registrou um evento com as caracterısticas previstas por Dirac,para um monopolo com carga g = ~c/e [20]. Em 1982 uma outra experienciatambem revelou indıcios da producao de monopolos com carga magnetica g =~c/2e [21]. No entanto, e um consenso que as poucas evidencias experimentaisdisponıveis nao sao conclusivas, ou seja, nao e possıvel afirmar que os monopolosrealmente existem.

A existencia de monopolos magneticos, mesmo que venham a ser confirmadapor experimentos futuros, nao implicara em grandes alteracoes na eletrodinamicaclassica . Essencialmente, o que ocorrera e que devemos substituir a lei de Gaussmagnetica (1.31) por uma forma que contenha a densidade de carga magnetica,assim como incluir na lei de Ampere-Maxwell um termo envolvendo uma cor-rente magnetica associada ao fluxo de monopolos. Desta forma as equacoesde Maxwell seriam escritas de forma completamente simetrica, o que tem umgrande apelo estetico em termos da teoria eletromagnetica.


1.3.3 Lei de Faraday

Formas integral e diferencial

A lei de Faraday aparece na formulacao matematica da famosa experiencia doima-espira. Quando um ima e aproximado de uma espira aparece uma correnteinduzida, o que provoca uma leitura no galvanometro. Se o ima esta paradoem relacao a espira, nao se registra corrente induzida na espira. Ja se o imae afastado da espira a corrente e induzida no sentido oposto. Desta forma seobserva que: (i) o movimento relativo entre o ima e a espira induz uma forcaeletromotriz na espira; (ii) o sentido da forca eletromotriz induzida e tal quese opoe a causa que a produziu (no caso, o movimento do ima em relacaoa espira). A segunda conclusao, que decorre do princıpio de conservacao daenergia, e conhecida como Lei de Lenz.

O fluxo magnetico atraves da superfıcie aberta S, limitada pela espira, e

ΦB =

∫S

B · dA. (1.36)

Vamos considerar o ima em movimento e a espira em repouso, em relacao aoreferencial do laboratorio. A forca eletromotriz induzida na espira C e definidacomo

E =

∮C

E · ds, (1.37)

onde E e o campo eletrico induzido e ds o elemento de deslocamento veto-rial. Na verdade, a espira nem precisa existir materialmente, basta que C sejaum caminho fechado (“espira amperiana”). Se houver, de fato, uma espira deresistencia eletrica R, a corrente induzida sera I = E/R.

A lei de Faraday, na sua forma integral, diz que a forca eletromotriz induzidana espira e proporcional a taxa de variacao com o tempo do fluxo magneticoatraves da espira C, ou seja∮

C

E · ds = −g dΦBdt

= −g ddt

∫S

B · dA, (1.38)

onde g e a segunda constante que identifica o sistema de unidades (g = 1/c noGaussiano e g = 1 no SI), e o sinal negativo vem da Lei de Lenz. Como, noreferencial do laboratorio, a espira esta em repouso, temos que∮

C

E · ds = −g∫S

∂B

∂t· dA. (1.39)

Usando o Teorema de Stokes em (1.38), transformamos a integral da cir-culacao do campo eletrico E ao longo de um caminho fechado C na integralde superfıcie do rotacional de E ao longo da superfıcie aberta S, limitada pelocaminho C. Supondo, ainda, que a superfıcie S nao se altere com o passar dotempo, entao∮

C

E · ds =∫S

(∇×E) · dA = −g ∂∂t

∫S

B · dA = −g∫S

∂B

∂t· dA,∫

S

(∇×E+ g

∂B

∂t

)· dA = 0.


Se a integral acima e nula para uma superfıcie S aberta arbitraria, o inte-grando deve ser identicamente nulo para qualquer ponto dessa superfıcie:

∇×E = −g ∂B∂t. (1.40)

Forca eletromotriz de movimento

Na interacao entre um campo magnetico de um ima e uma espira de corrente, amovimentacao do ima leva a um fluxo magnetico que atravessa a espira, e comotal a uma forca eletromotriz e uma corrente induzidas. Se o ima estiver emrepouso, e movimentarmos a espira no campo magnetico produzido pelo ima,obteremos essencialmente o mesmo resultado. A conclusao imediata que cheg-amos e a de que o fenomeno da inducao eletromagnetica depende da velocidaderelativa entre o ima e a espira. No entanto, ha uma diferenca fundamental entreos dois casos, que e a existencia de uma forca magnetica sobre os eletrons noreferencial do laboratorio (onde o ima esta em repouso) e a nao existencia dessaforca magnetica no referencial da propria espira (onde ela esta obviamente emrepouso).

Para simplificar a descricao, vamos supor a existencia de um campo magneticouniforme B (o “ima“) e de um segmento de fio de comprimento ` (a ”espira”),imerso neste campo e dotado de uma velocidade v perpendicular ao seu com-primento, em relacao ao referencial do laboratorio. Os portadores de cargasdo fio sofrem, portanto, a acao de uma forca magnetica proporcional a v ×B,e que as leva a concentrar-se nas extremidades opostas do fio, provocando as-sim um campo eletrico dentro do fio devido a separacao de cargas. No estadoestacionario as cargas nao mais se deslocam, porque a forca magnetica e con-trabalancada pela forca eletrica existente dentro do fio. Da igualdade de forcasqE = qvB temos que E = vB. Como B e v sao supostas constantes, temos umcampo eletrostatico E, de forma que a diferenca de potencial entre as extremi-dades a e b do fio e chamada forca eletromotriz de movimento

V ≡ ∆ϕ = −∫ b

a

E · ds = E` = B`v = B · `× v. (1.41)

Observe que, na descricao do referencial do laboratorio, os campos envolvidossao estaticos, ou seja, nao se aplica aqui a Lei de Faraday. No entanto, vamosconsiderar agora o o referencial que se movimenta junto com a espira, tal quea velocidade da espira neste referencial seja nula. Neste caso nao ha forcamagnetica, apenas forcas eletricas. No estado estacionario, portanto, o campoeletrico E1 gerado pela separacao de cargas deve ser contrabalancado por outrocampo eletrico E2, que neste caso deve ser induzido pela variacao de um fluxomagnetico atraves de um retangulo aba′b′. Os lados ab e a′b′ representam o fioem dois instantes de tempo diferentes t e t+∆t, de modo que os lados aa′ e bb′

tenham comprimento x = v∆t. O fluxo magnetico atraves desse retangulo e

Φ =

∫S

B · dA = B(`x), (1.42)

de modo que a forca eletromotriz induzida e, pela Lei de Faraday,

E = −dΦdt

= −B`dxdt

= B`v = V (1.43)


mostrando que a forca eletromotriz de movimento e igual a forca eletromotrizinduzida na lei de Faraday, em que pese os mecanismos fısicos serem diferentesnos dois casos.

Eletromagnetismo e relatividade

Essa assimetria entre as descricoes do movimento do ima e da espira nos doisreferenciais (do laboratorio e da propria espira) nao passou desapercebida peloperito do escritorio de patentes de Berna, o jovem fısico A. Einstein. No primeiroparagrafor do seu primeiro artigo sobre a relatividade, publicado no Annalender Physik no annus mirabilis de 1905, Einstein ja coloca este problema comouma motivacao do seu trabalho [?]:

“It is known that Maxwell’s electrodynamics – as usually under-stood at the present time – when applied to moving bodies, leads toasymmetries which do not appear to be inherent in the phenomena.Take, for example, the reciprocal electrodynamic action of a magnetand a conductor. The observable phenomenon here depends only onthe relative motion of the conductor and the magnet, whereas thecustomary view draws a sharp distinction between the two cases inwhich either the one or the other of these bodies is in motion. Forif the magnet is in motion and the conductor at rest, there arisesin the neighbourhood of the magnet an electric field with a certaindefinite energy, producing a current at the places where parts ofthe conductor are situated. But if the magnet is stationary and theconductor in motion, no electric field arises in the neighbourhoodof the magnet. In the conductor, however, we find an electromotiveforce, to which in itself there is no corresponding energy, but whichgives rise – assuming equality of relative motion in the two casesdiscussed – to electric currents of the same path and intensity asthose produced by the electric forces in the former case.”

Aos nossos olhos “modernos” a igualdade entre a fem de movimento e a feminduzida e algo evidente, tendo em vista o princıpio da relatividade: as leis daFısica (eletromagnetismo incluido) devem ser as mesmas para dois referenci-ais inerciais (em movimento relativo uniforme). Logo, o que importa (para aproducao da corrente induzida) e o movimento relativo entre o ima e a espira.No entanto, para tentar entender a situacao em 1905 devemos recordar que amecanica e a eletrodinamica apresentavam propriedades distintas do ponto devista do movimento relativo entre dois referenciais. Na mecanica, gracas aoprincıpio da relatividade galileano, nao havia um referencial absoluto, de modoque nenhuma experiencia poderia distinguir entre um referencial em repousoe outro em movimento uniforme. No entanto, na teoria de Maxwell-Lorentz,havia um referencial absoluto para os fenomenos eletromagneticos (incluida alei de Faraday), e que era o eter (luminıfero). Portanto, no ambito da teoria deMaxwell-Lorentz (pre-relativıstica) a igualdade entre a fem de movimento e afem induzida e uma simples coincidencia!

Como Einstein resolveu essa questao e uma prova da sua audacia intelec-tual: se os fenomenos da eletrodinamica parecem so depender do movimentorelativo entre os referenciais, entao nao ha necessidade de um referencial abso-luto: o eter, portanto, nao deve existir. Uma confirmacao paralela desse fato


e, naturalmente, o resultado negativo da experiencia de Michelson e Morley,que provou a inexistencia de um meio material com as propriedades atribuidasao eter. Assim, Einstein estendeu o princıpio da relatividade de Galileo, antesrestrito a mecanica, a todos os fenomenos fısicos, incluindo os eletromagneticose oticos. Nas palavras de Einstein:

“Examples of this sort, together with the unsuccessful attempts todiscover any motion of the earth relatively to the ‘light medium,’suggest that the phenomena of electrodynamics as well as of me-chanics possess no properties corresponding to the idea of absoluterest. They suggest rather that, as has already been shown to thefirst order of small quantities, the same laws of electrodynamics andoptics will be valid for all frames of reference for which the equationsof mechanics hold good.1 We will raise this conjecture (the purportof which will hereafter be called the ‘Principle of Relativity’) to thestatus of a postulate, and also introduce another postulate, which isonly apparently irreconcilable with the former, namely, that light isalways propagated in empty space with a definite velocity c whichis independent of the state of motion of the emitting body. Thesetwo postulates suffice for the attainment of a simple and consistenttheory of the electrodynamics of moving bodies based on Maxwell’stheory for stationary bodies. The introduction of a ‘luminiferousether’ will prove to be superfluous inasmuch as the view here to bedeveloped will not require an ‘absolutely stationary space’ providedwith special properties, nor assign a velocity-vector to a point of theempty space in which electromagnetic processes take place.“

No entanto, a simples rejeicao da existencia do eter como referencial absolutoda eletrodinamica nao e algo tao simples como poderia parecer a princıpio.Como veremos no capıtulo 5, ha uma incompatibilidade entre a equacao de ondaeletromagnetica e a mecanica Newtoniana (a primeira nao e invariante sob umatransformacao galileana de referenciais). Logo, para que possamos prescindir daexistencia do eter, e estender o princıpio da relatividade a todos os fenomenosfısicos - incluindo a propagacao da luz - e necessario fazer uma reelaboracaocrıtica da propria mecanica, alterando os proprios conceitos basicos de espaco,tempo, e simultaneidade. Ainda nas palavras de Einstein:

”The theory to be developed is based–like all electrodynamics– onthe kinematics of the rigid body, since the assertions of any such the-ory have to do with the relationships between rigid bodies (systemsof co-ordinates), clocks, and electromagnetic processes. Insufficientconsideration of this circumstance lies at the root of the difficultieswhich the electrodynamics of moving bodies at present encounters.”

Dessa necessidade conceitual Einstein extraiu o princıpio da constancia davelocidade da luz em todos os referenciais inerciais, o que motivou o desen-volvimento de uma nova cinematica e de uma nova dinamica compatıveis comestes dois novos postulados. E muito interessante ver que a mecanica teve de seradaptada em funcao da eletrodinamica, e nao o contrario, em que pese o sucessoestrondoso da Mecanica Newtoniana em todas as aplicacoes onde as velocidadesenvolvidas fossem muito menores do que a velocidade da luz. Na verdade, a


I

dl

rP

dB

θ

I

Ι

r

B(r)(a) (b)

C

Figura 1.5: (a) Lei de Biot-Savart. (b) Campo magnetico de um fio retilıneoinfinito.

eletrodinamica ja nasceu compatıvel com a teoria da relatividade, mesmo semo saber! Por esse motivo, um tratamento fısico e matematico da eletrodinamicadeve necessariamente incluir um estudo da relatividade especia, o que sera feitonos Capıtulos 5 e 6.

1.3.4 Lei de Ampere-Maxwell

Lei de Biot-Savart

Biot, Savart e Ampere realizaram, entre 1820 e 1825, uma serie de experimentospara a determinacao das forcas magneticas entre circuitos de corrente eletrica.Da analise dos resultados destes experimentos decorrem a lei de Biot-Savart,que relaciona o campo magnetico a corrente que o produz. Chamando d` oelemento de comprimento de um fio conduzindo uma corrente I, o elemento decampo magnetico produzido na posicao r [medida a partir de ds, cf. Fig. 1.5(a)]e dado por

dB =k

gc2Id`× r

r3. (1.44)

Como r = rr, integrando (1.44) para um segmento de fio temos

B =kI

gc2

∫fio

d`× r

r2. (1.45)

Na pratica, a determinacao de campos magneticos produzidos por configuracoesde corrente predeterminadas pode ser feita de maneira mais simples pelo uso daLei circuital de Ampere, quando houver simetrias no problema que justifiquemo seu uso.

Lei circuital de Ampere

Vamos considerar uma espira de corrente conduzindo uma corrente I, e queproduz um campo magnetico B num ponto de observacao P . A espira subtendeum angulo solido Ω no ponto P . Se deslocarmos o ponto de observacao poruma distancia infinitesimal ds o angulo solido varia de uma quantidade δΩ[Fig. 1.6(a)]. No entanto, a mesma variacao poderia ser obtida se, ao inves de


− ds

dlr

P

r

Ω

dA

dA

r

rn

^

^^

θ

θ

Ω

P

d

(a) (b)

ds

Figura 1.6: (a) Angulo solido subtendido por uma espira de corrente; (b) Ele-mento de angulo solido subtendido por uma area elementar.

deslocarmos P , nos deslocassemos a espira de corrente como um todo por umadistancia −ds.

Neste ultimo caso, a mudanca δΩ no angulo solido pode ser encarada comoa superposicao de todas as mudancas infinitesimais causadas pelo deslocamentode cada elemento de corrente Id` da espira por uma distancia−ds. Neste caso, oelemento de corrente varre um paralelogramo elementar de area dA = −ds×d`.

Seja r o vetor que liga o elemento de corrente Id` ao ponto de observacao P .O elemento de angulo solido subtendido pelo paralelogramo elementar de areadA = dAn e [Fig. 1.6(b)]

dΩ =dA cos θ

r2=dA

r2(r · n) = 1

r2(−ds)× d` · r =

1

r2(−ds · d`× r). (1.46)

Integrando sobre toda a espira de corrente, ou seja, em relacao ao infinitesimod`, a variacao no angulo solido e dada por

δΩ =

∮dΩ = −ds ·

∮d`× r

r2. (1.47)

Usando, agora, a Lei de Biot-Savart (1.45), podemos reescrever esta expressaoem termos do campo magnetico medido no ponto de observacao:

δΩ = −gc2

kIds ·B(r), (1.48)

ou seja,

B(r) · ds = − kI

gc2δΩ (1.49)

onde o sinal negativo indica que δΩ e positivo para o mesmo lado da espirade onde aparentemente “saem” as linhas de forca do campo magnetico (o poloNorte da espira, pela convencao usual).


(a) (b)ds

B(r)C

S

C

S

P

Q

d Ω

δΩ2π

0

δΩ2π

−2π−2π

percursoem C

percursoem C

P P P PQ

I I

espira de corrente

Figura 1.7: (a) Espira de corrente nao intercepta a superfıcie aberta S; (b)Espira intercepta a superfıcie S. Abaixo indicamos esquematicamente as re-spectivas variacoes no angulo solido ao cabo de uma volta ao longo de C.

Vamos, agora, considerar um caminho fechado C, que delimita uma su-perfıcie aberta S, e calcularemos a variacao do angulo solido δΩ a medida emque percorremos este caminho. A integral de caminho da quantidade B(r) · dsao longo de C sera, portanto∮

C

B(r) · ds = − kI

gc2

∮δΩ (1.50)

Ha duas situacoes possıveis [22, 23]: (i) a espira de corrente nao intercepta asuperfıcie aberta S [Fig. 1.7(a)]: a variacao do angulo solido δΩ passa porvalores positivos e negativos, mas como C e um percurso fechado os pontosinicial e final sao iguais, de modo que a variacao total no angulo solido e nula:∮δΩ = 0, e ∮

C

B(r) · ds = 0; (1.51)

(ii) a espira de corrente intercepta a superfıcie aberta S [Fig. 1.7(b)]: existeum ponto Q (a intersecao entre a espira e a superfıcie S) no qual a variacao doangulo solido δΩ salta abruptamente de −2π a +2π, de tal sorte que a variacaode angulo solido apos um percurso completo em C sera

∮δΩ = −2π−2π = −4π,

e portanto ∮C

B(r) · ds = 4πk

gc2I. (1.52)

Se houver N intersecoes entre a espira de corrente e a superfıcie aberta S,havera tambem N saltos no angulo solido, e a variacao total apos um percursocompleto sera −4πN . Podemos incorporar todos estes resultados numa unica


expressao: ∮C

B · ds = 4πk

gc2I, (1.53)

onde I e a corrente total que intercepta a superfıcie limitada pela curva C,

Campo magnetico de um fio infinito e de um solenoide infinito

Uma aplicacao elementar da lei circuital de Ampere consiste na determinacao docampo magnetico produzido por um fio retilıneo infinitamente longo conduzindouma corrente I. Por simetria, o campo magnetico deve ser tangencial a cırculosde raio r concentricos ao fio e seu modulo pode depender apenas de r. Usando,pois, um destes cırculos como caminhos fechados para (2.199) teremos∮

C

B · ds = B(r)(2πr) =4πk

gc2I,

o que fornece a expresao bem conhecida:

B(r) =2k

gc2I

r. (1.54)

Outra aplicacao importante consiste num solenoide cilındrico de raio a ecomprimento L, infinitamente grande, no qual sao enroladas N espiras de formacompacta (para evitar perda de fluxo magnetico), percorridas por uma correnteeletrica I. A densidade de espiras e, portanto, n = I/L (numero de espiraspor unidade de comprimento). Na aproximacao de solenoide infinito o campomagnetico no seu interior e uniforme, e fora do solenoide o campo e nulo. Nosempregamos em (2.199) um caminho retangular de lados ` (paralelo ao eixo dosolenoide) e h (perpendicular ao eixo), levando a∮

C

B · ds = B` =4πk

gc2(n`)I,

B =4πknI

gc2. (1.55)

Densidade de corrente

Escrevemos a corrente eletrica lıquida I atravessando uma superfıcie aberta Scomo a integral de uma densidade superficial de corrente J(r), tal que

I =

∫S

J · dA. (1.56)

De fato, imaginando um elemento de volume cilındrico, de comprimento ds earea da base dA, a integral volumetrica de J e∫

JdV =

∫ds

∫JdA =

∫Ids (1.57)

de modo que, para correntes filamentares basta substituirmos JdV pelo elementode corrente Ids nas formulas. Na lei de Biot-Savart (1.45), por exemplo, teremos

B =kI

gc2

∫dV

J(r)× r

r2. (1.58)


S

S’

C

capacitor

II

Figura 1.8: Corrente de deslocamento num circuito contendo um capacitor deplacas paralelas.

Para um sistema de cargas puntiformes qa, situadas nas posicoes ra e comvelocidades va, a densidade de corrente e singular e pode ser escrita usandofuncoes delta de Dirac como

J(r) =∑a

qavaδ(r− ra). (1.59)

Este tipo de descricao e adequado quando falamos em sistemas do tipo feixesde partıculas carregadas, como eletrons, protons, ıons pesados, etc.

Forma diferencial da Lei circuital de Ampere

Usamos o Teorema de Stokes em (2.199) para transformar a integral de caminhoao longo da curva fechada C numa integral de superfıcie atraves da superfıcieaberta S delimitada por C. Usando (1.56) e supondo que a superfıcie S nao sealtera com o tempo temos∮

C

B · ds =∫S

(∇×B) · dA =4πk

gc2

∫S

J · dA+1

gc2

∫S

∂E

∂t· dA,∫

S

(∇×B− 4πk

gc2J− 1

gc2∂E

∂t

)· dA = 0.

Se a integral acima e nula em S, assim tambem o integrando em cada pontode S, resultando na forma diferencial da Lei circuital de Ampere

∇×B =4πk

gc2J. (1.60)

Corrente de deslocamento de Maxwell

Maxwell percebeu que a lei de Ampere, na forma (1.60), viola o princıpio deconservacao de carga quando aplicada a correntes eletricas nao-estacionarias.Como um exemplo, consideramos um capacitor de placas paralelas sendo car-regado por uma bateria [Fig. 1.8]. Num certo instante de tempo (da ordem daconstante de tempo do circuito) a corrente que alimenta as placas do capacitore I.


Vamos aplicar a lei circuital de Ampere (2.199) ao percurso fechado C queenvolve uma superfıcie circular aberta S que e interceptada pela corrente deconducao I: ∮

C

B · ds = 4πk

gc2I. (1.61)

Entretanto, se aplicarmos a lei circuital de Ampere a superfıcie aberta S′, quepassa por entre as placas do capacitor e tambem e limitada pelo caminhofechado C, teremos ∮

C

B · ds = 0, (1.62)

pois nao ha corrente de conducao entre as placas do capacitor. Como explicaressa discrepancia? Nao estaria havendo uma violacao da lei de conservacao decarga, aplicada ao circuito como um todo (dentro e fora das placas)?

Segundo Maxwell, a solucao desse problema consiste em introduzirmos uma“corrente de deslocamento” Id que, ao inves de descrever um movimento real decargas (como na corrente de conducao), esta relacionada a variacao temporaldo campo eletrico entre as placas do capacitor. A quantidade Id deve ter asmesmas dimensoes de I, ou seja Ampere (no SI) ou statampere (no Gaussiano).

No exemplo do capacitor de placas paralelas, se estas tiverem area A ea distancia entre elas for suficientemente pequena para que as placas sejamtratadas como sendo infinitamente extensas, a lei de Gauss nos fornece o campoeletrico entre as placas a partir de (1.22):

E(t) = 4πkq(t)

A, (1.63)

onde I = dq/dt e a taxa com que a carga nas placas do capacitor esta aumen-tando ou diminuindo. A taxa de variacao temporal do campo eletrico entre asplacas sera, pois

dE

dt=

4πk

A

dq

dt=

4πkI

A. (1.64)

Supondo que haja conservacao de carga em todo o circuito, a corrente dedeslocamento entre as placas ID deve ser igual a corrente de conducao I foradas placas, ou seja,

Id = I =A

4πk

dE

dt. (1.65)

Em geral, definimos uma densidade de corrente de deslocamento como sendo

Jd ≡ 1

4πk

∂E

∂t. (1.66)

Maxwell, no contexto da sua teoria do campo eletromagnetico, associou o campoeletrico ao deslocamento sem atrito de rolamentos entre os vortices do eter.Por esse motivo, por razoes historicas, esse termo ate hoje e conhecido comodensidade de corrente de deslocamento, ainda que nao envolva deslocamentoalgum de cargas.

Maxwell entao propos que a lei circuital de Ampere fosse modificada napresenca de correntes nao-estacionarias, pela inclusao da densidade de correntede deslocamento a densidade de corrente de conducao J em (1.60):

∇×B =4πk

gc2(J+ Jd). (1.67)


Tabela 1.3: As equacoes de Maxwell no vacuo (sistema generico de unidades)

Nome Forma integral Forma diferencial

Lei deGauss

∮SE · dA = 4πkq ∇ ·E = 0

eletricaLei deGauss

∮SB · dA = 0 ∇ ·B = 0

magneticaLeide

∮CE · ds = −g ∂∂t

∫SB · dA ∇×E = −g ∂B∂t

FaradayLeide

∮CB · ds = 4πk

gc2 I +1gc2

∂∂t

∫SE · dA ∇×B = 4πk

gc2 J+ 1gc2

∂E∂t

Ampere-Maxwell

Substituindo (B.71) temos

∇×B− 1

gc2∂E

∂t=

4πk

gc2J. (1.68)

que e a lei de Ampere-Maxwell.Integrando (1.68) numa superfıcie aberta e fixa S e aplicando o teorema de

Stokes a primeira integral obtemos a respectiva forma integral∮C

B · ds = 4πk

gc2I +

1

gc2∂

∂t

∫S

E · dA, (1.69)

onde o termo correspondente a corrente de deslocamento e proporcional a taxade variacao com o tempo do fluxo eletrico pela superfıcie S,∮

C

B · ds = 4πk

gc2I +

1

gc2∂ΦE∂t

. (1.70)

As quatro equacoes de Maxwell, nas suas formas integral e diferencial, saoapresentadas na Tabela 1.3 no sistema de unidades generico que adotamos nestelivro.

Nas Tabelas 1.4 e 1.5 mostramos as formas integral e diferencial, respectiva-mente, nos tres sistemas de unidades mais comumente empregados na literatura.

1.3.5 Teoremas de Helmholtz

Por que sao necessarias quatro equacoes de Maxwell, e por que elas envolvemo divergente e o rotacional dos campos eletrico e magnetico? A resposta a essaquestao e dada por dois teoremas devidos a Helmholtz, na sua investigacao sobrevortices em fluidos. O primeiro teorema diz que qualquer campo vetorial quese anule numa dada fronteira (e que pode ser jogada para o infinito no caso doespaco como um todo) pode ser escrito como a soma de dois termos: um termosolenoidal (isto e, cujo divergente e nulo) e outro irrotacional (cujo rotacional ezero).

1.4. ONDAS ELETROMAGNETICAS 33

Tabela 1.4: Forma integral das equacoes de Maxwell

SI (MKSA) Gaussiano (CGS) Heaviside-Lorentz

Lei deGauss

∮SE · dA = q

ε0

∮SE · dA = 4πq

∮SE · dA = q

eletricaLei deGauss

∮SB · dA = 0

∮SB · dA = 0

∮SB · dA = 0

magneticaLeide

∮CE · ds =

∮CE · ds =

∮CE · ds =

Faraday − ∂∂t

∫SB · dA − 1

c∂∂t

∫SB · dA −1

c∂∂t

∫SB · dA

Lei deAmpere

∮CB · ds = µ0I+

∮CB · ds = 4πI

c +∮CB · ds = I

c+Maxwell 1

c2∂∂t

∫SE · dA 1

c∂∂t

∫SE · dA 1

c∂∂t

∫SE · dA

Seja Z(r) um campo vetorial arbitrario. Uma identidade vetorial e

−∇2Z = −∇(∇ · Z) +∇× (∇× Z). (1.71)

Considerando o campo vetorial dado por

V = −∇2Z,

e os camposU = ∇ · Z, W = ∇× Z,

entao a identidade (1.71) leva a

V = −∇U +∇×W. (1.72)

que e o primeiro teorema de Helmholtz, ja que ∇U e irrotacional (pois ∇ ×(∇U) = 0) e ∇×W e solenoidal (uma vez que ∇ · (∇×W) = 0).

O segundo teorema de Helmholtz afirma que, se um campo vetorial anula-seno infinito, ele e determinado conhecendo-se o seu divergente e seu rotacional. Ademonstracao desse teorema e mais complicada, e pode ser encontrada em [24].Portanto, se na eletrodinamica classica desejamos conhecer os campos eletricoe magnetico em todos os pontos do espaco, isso e possıvel especificando - pormeio das equacoes de Maxwell - os seus divergentes (leis de Gauss eletrica emagnetica) e rotacionais (leis de Faraday e Ampere-Maxwell).

1.4 Ondas eletromagneticas

Das solucoes possıveis para as equacoes de Maxwell, as mais simples fisicamentesao as que envolvem campos eletricos e magneticos independentes do tempo.


Tabela 1.5: Forma diferencial das equacoes de Maxwell

SI (MKSA) Gaussiano (CGS) Heaviside-Lorentz

Lei deGauss ∇ ·E = ρ

ε0∇ ·E = 4πρ ∇ ·E = ρ

eletricaLei deGauss ∇ ·B = 0 ∇ ·B = 0 ∇ ·B = 0

magneticaLeide ∇×E = −∂B

∂t ∇×E = − 1c∂B∂t ∇×E = −1

c∂B∂t

FaradayLei de

Ampere- ∇×B = µ0J+ µ0ε0∂E∂t ∇×B = 4π

c J+ 1c∂E∂t ∇×B = 1

c J+ 1c∂E∂t

MaxwellForcade F = q(E+ v ×B) F = q

(E+ 1

cv ×B)

F = q(E+ 1

cv ×B)

Lorentz

Esse estudo, devido a sua complexidade, sera deixado para o proximo capıtulo.Vamos, neste capıtulo, tratar das solucoes dependentes do tempo. As solucoesmais simples dessa categoria, e que fisicamente sao muito importantes, sao asondas eletromagneticas planas no vacuo.

1.4.1 Ondas planas

Vamos considerar as equacoes de Maxwell na forma diferencial no vacuo, e naausencia de fontes (cargas e/ou correntes):

∇ ·E = 0, (1.73)

∇ ·B = 0, (1.74)

∇×E = −g ∂B∂t, (1.75)

∇×B =1

gc2∂E

∂t. (1.76)

Tomando o rotacional de (1.76) e usando (1.74) e (4.5), obtemos a equacaode onda para o campo magnetico

∇2B− 1

c2∂2B

∂t2= 0, (1.77)

onde usamos que∇×(∇×B) = ∇(∇·B)−∇·∇B. Repetindo esse procedimentopara (4.5) chegamos similarmente a equacao de onda para o campo eletrico

∇2E− 1

c2∂2E

∂t2= 0. (1.78)


As equacoes (1.77) e (1.78) admitem solucoes do tipo ondas planas, paraas quais as frentes de onda sao planos paralelos entre si e perpendiculares auma direcao determinada pelo chamado vetor de propagacao K. Duas frentesde onda estao separadas por um comprimento de onda λ, tal que o modulo dovetor de propagacao (tambem chamado numero de onda) e

K = |K| = 2π

λ, (1.79)

e o versor associado a direcao de propagacao e escrito como K = K/K. Asondas planas sao, tambem, caracterizadas por uma frequencia ν, relacionada afrequencia angular ω por ω = 2πν, e cujo valor individualiza o tipo de ondadentro do espectro eletromagnetico. A velocidade de fase das ondas e dada pelarelacao elementar

ω

K= λν. (1.80)

E conveniente empregar uma notacao complexa para escrever as ondas planas:

E(r, t) = ReE0e

i(k·r−ωt), (1.81)

B(r, t) = ReB0e

i(k·r−ωt), (1.82)

onde E0 = E0E0 e B0 = B0B0, sendo E0 e B0 os chamados versores de polar-izacao dos campos eletrico e magnetico da onda, respectivamente. Frequente-mente, por economia de notacao, nos omitimos a prescricao Re nas equacoes,mas devemos sempre ter em mente que quantidades fısicamente relevantes saosempre reais, e portanto no final dos calculos, se necessario, devemos tomar aparte real do resultado.

E facil mostrar, a partir de (1.81), as seguintes relacoes

∇ ·E = ik ·E, (1.83)

∇2E = −k2E, (1.84)

∇×E = ik×E, (1.85)

∂E

∂t= −iωE, (1.86)

∂2E

∂t2= −ω2E, (1.87)

com expressoes analogas para o campo magnetico.Substituindo (1.84) e (1.87) na equacao de onda (1.78), concluimos que a

velocidade de fase das ondas eletromagneticas e igual a velocidade da luz novacuo

c =ω

K. (1.88)

Alem disso, substituindo (1.83) e (1.85) na lei de Gauss (1.73) e na lei deAmpere-Maxwell (4.5), respectivamente, obtemos que

K · E0 = 0, (1.89)

K× E0 =gcB0

E0B0, (1.90)


e, similarmente, para o campo magnetico

K · B0 = 0, (1.91)

K× B0 = − E0

gcB0E0. (1.92)

Essas relacoes mostram que as ondas eletromagneticas sao transversais, poisos campos eletrico e magnetico sao ambos perpendiculares a direcao de propagacao.Alem disso, os campos eletrico e magnetico sao tambem perpendiculares entresi.

E0 × B0 = K. (1.93)

Comparando (1.90) e (1.92) resulta, pois, que os modulos das amplitudesdos campos eletrico e magnetico estao relacionados por

E0 = gcB0. (1.94)

Como os campos eletrico e magnetico oscilam com a mesma frequencia e estaosempre em fase, essa relacao vale nao apenas para as amplitudes como tambempara os valores instantaneos dos campos. Podemos ver que a constante eletro-magnetica g e proporcional a razao entre os campos eletrico e magnetico a cadainstante:

g =1

c

E

B. (1.95)

E costume dizer que, numa onda eletromagnetica, o campo magnetico e “de-sprezıvel” em relacao ao campo eletrico, pois (no sistema SI) B0 = E0/c e, comoc e muito grande, entao B0 E0. Isto nao e correto, entretanto! Para ilustraresse fato, lembramos que, no sistema gaussiano, por exemplo, onde g = 1/c,temos que E0 = B0. Logo e ilusorio comparar diretamente os campos eletricoe magnetico, ja que suas dimensoes sao diferentes, dependendo do sistema deunidades usado. O que se pode, no entanto, e comparar a magnitude das forcaseletrica e magnetica sobre uma partıcula carregada em movimento, ja que adimensao das forca e a mesma.

A razao entre as forcas magnetica e eletrica sobre uma partıcula de carga qe velocidade v e

FM

FE∼ gqvB

qE=gqvB

qgcB=v

c. (1.96)

Se a velocidade da partıcula carregada e pequena em comparacao com a veloci-dade da luz no vacuo (v c), a forca magnetica e muito menor que a forcaeletrica devido a uma onda eletromagnetica que incide sobre a partıcula. Parapartıculas relativısticas, no entanto, isso nao e necessariamente verdade.

1.4.2 Polarizacao

Para uma onda eletromagnetica plano-polarizada o campo eletrico E = E0E0

jaz sobre um plano fixo, que contem os vetores E0 e K. Para descrever um es-tado mais geral de polarizacao, no entanto, precisamos de duas solucoes linear-mente independentes da equacao de onda, com as mesmas frequencias e vetoresde propagacao. Vamos escreve-las na seguinte forma complexa (omitindo, porsimplicidade, a prescricao Re):

E1(r, t) = e1E10ei(K·r−ωt), (1.97)

E2(r, t) = e2E20ei(K·r−ωt), (1.98)


onde os dois versores e1 e e2 podem ser considerados ortogonais, e E10 e E20

sao as respectivas amplitudes.Se as duas solucoes (5.180)-(1.98) tiverem as mesmas fases, a sua super-

posicao e dita uma onda eletromagnetica linearmente polarizada:

E = E1 +E2 = (e1E10 + e2E20)ei(K·r−ωt), (1.99)

e o plano de polarizacao faz um angulo θ com a direcao e1, dado por

tan θ =E2

E1=E20

E10. (1.100)

Caso as solucoes (5.180)-(1.98) estiverem defasadas de ±π/2, podemos terduas situacoes possıveis:

• Onda circularmente polarizada: se E10 = E20 ≡ E0;

• Onda elipticamente polarizada: se E10 6= E20;

Vamos considerar o caso de polarizacao circular, para o qual as solucoes daequacao de onda sejam

E1(r, t) = e1E0ei(K·r−ωt), (1.101)

E2(r, t) = e2E0ei(K·r−ωt±π/2), (1.102)

cuja superposicao e

E = E1 +E2 = (e1 ± ie2E0)ei(K·r−ωt). (1.103)

Escolhendo, sem perda de generalidade, as direcoes e1, e2 e K como os eixosx, y e z, respectivamente, teremos

E = (x± iyE0)[cos(Kz − ωt) + i sin(Kz − ωt)]

= E0 [x cos(Kz − ωt)∓ y sin(Kz − ωt)]

= i [x sin(Kz − ωt)± y cos(Kz − ωt)] (1.104)

(1.105)

Tomando a parte real, a razao entre as componentes y e x do campo eletricofornece o angulo que o plano de polarizacao da onda faz com o eixo x:

tan θ =EyEx

=∓E0 sin(Kz − ωt)

E0 cos(Kz − ωt)= ∓ tan(Kz − ωt) (1.106)

donde o plano de polarizacao faz um angulo que depende do tempo:

θ(t) = ∓(Kz − ωt) = ∓Kz ± ωt (1.107)

Os sinais superiores em (1.107) representam um plano de polarizacao girandono sentido anti-horario (ω positivo), que e chamada uma onda levogira. Ja ossinais inferiores descrevem um plano de polarizacao girando no sentido horario(ω negativo), dita uma onda dextrogira. Para ambos os casos o modulo docampo eletrico resultante e constante:

E2 = E2x + E2

y = E20 [sin

2(Kz − ωt) + cos2(Kz − ωt)] = E20 (1.108)


Podemos visualizar esta situacao como sendo um campo eletrico girando comvelocidade angular ±ω, conforme seja uma onda levogira ou dextrogira, mas talque a ponta do vetor campo descreva um cırculo. Numa onda elipticamente po-larizada, por outro lado, o plano de polarizacao tambem pode girar nos sentidoshorario e anti-horario, mas o modulo do campo resultante nao e mais constante,e sim dado pela expressao

E2 = E2x + E2

y = E210 cos

2(Kz − ωt) + E220 sin

2(Kz − ωt)] (1.109)

Alem disso, podemos ver imediatamente que

E2x

E210

+E2y

E220

= cos2(Kz − ωt) + sin2(Kz − ωt) = 1 (1.110)

que e a equacao de uma elipse de semi-eixos E10 e E20. Dessa forma, a ponta dovetor campo eletrico descreve uma elipse a medida em que o plano de polarizacaoda onda gira.

1.5 Conservacao de carga

Um dos princıpios mais fundamentais da Fısica e o da conservacao da cargaeletrica. Vamos considerar uma regiao de volume V limitada por uma superfıciefechada S. De (1.56) sabemos que a corrente lıquida que passa por essa regiao e

I = −∮S

J · dA, (1.111)

onde o sinal negativo corresponde ao fato que o elemento de area vetorial dAaponta, por convencao, para fora da regiao. Usando o teorema do divergentetemos que

I = −∫V

dV∇ · J. (1.112)

O princıpio de conservacao de carga impoe que qualquer mudanca na cargaenvolvida por S seja devido a um fluxo lıquido de cargas atraves da superfıcieS. Por exemplo, se a carga q aumenta dentro de S, e por que houve um fluxolıquido de fora para dentro de cargas, ou seja, uma corrente lıquida para dentro.Dessa forma

dq

dt=

d

dt

∫V

dV ρ =

∫V

dV∂ρ

∂t−∫V

dV∇ · J. (1.113)

onde supoe-se que a fronteira S nao se altere com o tempo. Passando tudo parao lado esquerdo ∫

V

dV

[∂ρ

∂t+∇ · J

]= 0. (1.114)

Como a integral e nula para um volume arbitrario, o integrando deve seridenticamente nulo:

∂ρ

∂t+∇ · J = 0, (1.115)

conhecida como equacao da continuidade.

1.6. CONSERVACAO DE ENERGIA 39

1.6 Conservacao de energia

Fazendo o produto interno do campo eletrico com a lei de Ampere-Maxwell(1.68); do campo magnetico com a lei de Faraday (1.40) e subtraindo membroa membro chegamos a

E · (∇×B)−B · (∇×E) =4πk

gc2E · J+

1

gc2E · ∂E

∂t+ gB · ∂B

∂t.

O lado esquerdo da expressao acima e, a menos do sinal, o divergente deE×B, de modo que

∇ · (E×B) =4πk

gc2E · J+

1

2gc2∂

∂t

(E2 + g2c2B2

). (1.116)

Definindo o vetor de Poynting

S ≡ gc2

4πkE×B. (1.117)

e a densidade de energia eletromagnetica

u ≡ 1

8πk

(E2 + g2c2B2

). (1.118)

podemos reescrever (1.116) na forma de uma equacao local de conservacao daenergia, tambem conhecida como teorema de Poynting:

∂u

∂t+∇ · S = −J ·E. (1.119)

Integrando os termos do teorema de Poynting numa regiao de volume Vtemos ∫

V

dV∂u

∂t+

∮S

S ·A = −∫V

dV J ·E (1.120)

∂

∂t

∫V

udV = (1.121)

onde usamos o teorema do divergente. Definindo UEM =∫VudV a energia

eletromagnetica envolvida pelo volume V , temos uma equacao global para aconservacao de energia

dUEMdt

= −∮S

S · dA−∫V

dV J ·E, (1.122)

cuja interpretacao fısica e a seguinte: um aumento (diminuicao) da energiaeletromagnetica armazenada nos campos existentes no interior de uma regiao Vdo espaco pode ser motivada por dois fatores.

O primeiro fator e a existencia de um influxo (efluxo) de energia atravesda superfıcie S (que envolve V ), de forma que o vetor de Poynting representaa densidade de fluxo de energia. O segundo fator, em condutores, representaa dissipacao de energia no interior de V devido ao efeito Joule (transformacaoirreversıvel de energia eletrica em calor). Em consequencia, podemos associaro termo devido ao efeito Joule, que e uma diminuicao da energia do campo


eletromagnetico, a um aumento da energia nao-eletromagnetica, que chamare-mos UMEC , tal que, para um sistema de partıculas carregadas

dUEMdt

=

∫V

dV J ·E, (1.123)

tal que a conservacao de energia global para um sistema de partıculas e camposseja:

dU

dt=dUEMdt

+dUMEC

dt= −

∮S

S · dA. (1.124)

1.6.1 Energia em ondas eletromagneticas

Para ondas eletromagneticas na forma (1.78) e (1.77) a densidade de energia(1.118) e

u =1

8πk

(E2

0 cos2(k · r− ωt) + g2c2B2

0 cos2(k · r− ωt)

)=

1

4πkE2

0 cos2(k · r− ωt) (1.125)

onde usamos (1.94). A frequencia de uma onda eletromagnetica e tipicamentemuito alta (da ordem de kHz para ondas de radio, que sao as de menor frequencia),de forma que a energia varia tao rapidamente com o tempo que e mais interes-sante trabalharmos com o seu valor medio:

u =ω

2π

∫ ω/2π

0

dtu(t). (1.126)

Aplicando (1.125) em (1.126) temos

u =1

2πkE2

0. (1.127)

onde usamos que cos2 f(t) = 1/2 para uma funcao f arbitraria.O vetor de Poynting para uma onda eletromagnetica e obtido inserindo (1.78)

e (1.77) em (1.117). Usando (1.94) e a condicao de transversalidade (1.93)obtemos

S =c

4πkE2

0 cos2(k · r− ωt)k, (1.128)

de modo que, em qualquer instante de tempo vale a relacao

S = cuk. (1.129)

Em particular, tomando o valor medio, temos que

S =c

8πkE2

0k. (1.130)

1.7 Conservacao do Momentum Linear

1.7.1 Balanco de momentum linear

Os campos eletromagneticos tem momentum linear. Para obter uma equacaode balanco, que caracterize a conservacao do momentum linear em um sistema

1.7. CONSERVACAO DO MOMENTUM LINEAR 41

que contenha cargas, correntes e campos eletromagneticos, vamos comecar pelaforca de Lorentz sobre uma partıcula com carga q e velocidade v, dada por:

F = q(E+ gv ×B). (1.131)

Em geral, estamos interessados em sistemas onde haja uma distribuicao (volumetrica)de carga ρ(r, t) e (superficial) de corrente J(r, t), para as quais (1.131) da a forcapor unidade de volume, desde que facamos as seguintes substituicoes: dq → ρdVe

vdq = (Idt)v = Id`→ J(dAd`) = JdV, (1.132)

ou seja, a forca resultante sobre uma distribuicao de cargas em movimento numvolume V sera

F =

∫V

dV (ρE+ gJ×B). (1.133)

O momentum linear mecanico das cargas do sistema e

PMEC =∑a

mava →∫V

dV ρm(r)v, (1.134)

ondema e va sao as massas e velocidades, respectivamente, das partıculas do sis-tema. Ja ρm = dm/dV e a densidade de massa para uma distribuicao contınua.

Pela segunda lei de Newton

dPMEC

dt= F =

∫V

dV (ρE+ gJ×B). (1.135)

Usando a lei de Gauss eletrica (1.73) e a lei de Ampere-Maxwell (1.76) paraeliminar as cargas e correntes em favor dos campos eletrico e magnetico, respec-tivamente,

dPMEC

dt=

∫V

dV

[1

4πk(∇ ·E)E+

g2c2

4πk(∇×B)B−

g2c2

4πk(∇ ·B)B− g

4πk

∂E

∂t×B

], (1.136)

onde incluimos um termo nulo em vista da lei de Gauss magnetica (1.74). Us-ando a lei de Faraday (4.5) e a identidade

∂

∂t(E×B) =

∂E

∂t×B+E× ∂B

∂t, (1.137)

rearranjamos os termos em (1.135) de modo que ela seja reescrita como

dPMEC

dt+

d

dt

∫V

dV

(S

c2

)=

∫V

dV

[1

4πk(∇ ·E)E

− 1

4πkE× (∇×E) +

g2c2

4πk(∇ ·B)B− g2c2

4πkB× (∇×B)

].

Definimos a densidade de momentum linear do campo eletromagnetico como

pEM ≡ S

c2=

g

4πkE×B, (1.138)


tal que o segundo termo do primeiro membro da igualdade acima e o propriomomentum do campo

PEM =

∫V

dV pEM , (1.139)

que torna-se uma equacao de balanco global para o momentum do sistema

d

dt(PMEC +PEM ) =

∫V

dV f , (1.140)

onde temos uma forca por unidade de volume expressa como

f ≡ 1

4πk[(∇ ·E)E−E× (∇×E)] +

g2c2

4πk[(∇ ·B)B−B× (∇×B)]

≡ 1

4πk

(fE + g2c2fB

). (1.141)

A i-esima componente de fE e calculada usando a metodologia exposta noApendice A:

fEi = (∇ ·E)Ei − [E× (∇×E)]i= (∂jEj)Ei − εjkiEj(∇×E)k= ∂jEjEi − εjkiEjε`mk∂Èm

= ∂jEjEi − (δjmδi` − δj`δim)Ej∂Èm

= ∂jEjEi − Ej∂jEi − Ej∂iEj

= ∂j(EiEj)− Ej∂jEi − Ej∂iEj + Ej∂jEi. (1.142)

Por outro lado,

∂j

(1

2E2δij

)=

1

2∂iE

2 =1

2∂i(EjEj) = Ej∂iEj .

Logo

fEi = ∂j

(EiEj −

1

2E2δij

),

com uma expressao similar para fB , bastando trocar E por B. Resulta, pois,que cada componente de (1.141) pode ser escrita como

fi =∂σij∂xj

= ∂jσij , (1.143)

onde definimos o tensor das tensoes de Maxwell, denotado por σ, e que e umtensor de segunda ordem com nove componentes (i, j = 1, 2, 3) dadas por

σij ≡1

4πk

(EiEj + g2c2BiBj

)− uδij , (1.144)

em termos da densidade de energia eletromagnetica (1.118).Substituindo (6.46) na i-esima componente de (1.140) temos a integral no

volume do i-esimo componente do divergente do tensor tensao

d

dt(PMEC +PEM )i =

∫V

dV fi =

∫V

dV ∂jσij =

∫V

dV (∇ · σ)i (1.145)


Usando o teorema do divergente obtemos uma integral de superfıcie no segundomembro

d

dt(PMEC +PEM ) =

∫V

dV∇ · σ =

∮S

σ · dA, (1.146)

onde σ · dA = σ · ndA = σijnjdA, sendo n : (n1, n2, n3) e o versor normal asuperfıcie S em cada ponto desta. De (1.145) obtemos, finalmente, uma equacaolocal de balanco do momentum linear do sistema

∂

∂t(pMEC + pEM ) = ∇ · σ, (1.147)

onde pMEC e a densidade de momentum linear mecanico.

1.7.2 Propriedades do tensor das tensoes de Maxwell

A componente σij do tensor das tensoes de Maxwell e a i-esima componentedo fluxo de momentum por unidade de area perpendicular ao eixo xj . As com-ponentes diagonais σ11, σ22, σ33 representam pressoes, ou tensoes normais a su-perfıcie perpendicular ao eixo xi. As formas explıcitas destas componentes, emcoordenadas cartesianas, sao as seguintes

σxx =1

8πk

[(E2x − E2

y − E2z

)+ g2c2

(B2x −B2

y −B2z

)], (1.148)

σyy =1

8πk

[(−E2

x + E2y − E2

z

)+ g2c2

(−B2

x +B2y −B2

z

)], (1.149)

σzz =1

8πk

[(−E2

x − E2y + E2

z

)+ g2c2

(−B2

x −B2y +B2

z

)]. (1.150)

Ja as componentes nao-diagonais sao tensoes de cizalhamento, pois corre-spondem a componentes da forca que sao paralelas a superfıcie na qual atua.Pela definicao (1.144) verificamos imediatamente que o tensor tensao de Maxwelle simetrico, ou seja σij = σji, de modo que apenas seis componentes sao indepen-dentes: tres pressoes e tres tensoes de cizalhamento. As suas formas explıcitassao:

σxy =1

4πk

(ExEy + g2c2BxBy

)= σyx (1.151)

σxz =1

4πk

(ExEz + g2c2BxBz

)= σzx (1.152)

σyz =1

4πk

(EyEz + g2c2ByBz

)= σzy. (1.153)

Como um exemplo simples, vamos considerar um capacitor de placas par-alelas muito extensas de area A, separadas por uma distancia ` ao longo do eixox. Sabemos que o campo eletrico dessa configuracao e dado por (1.22):

E = Exx =

4πk qA x se 0 < x < `

0 se x > òux < 0., (1.154)

onde q e a carga nas placas. Como B = 0, as componentes cartesianas do tensordas tensoes de Maxwell serao

(σij) =E2x

8πk

1 0 00 −1 00 0 −1

. (1.155)


A densidade de forca sobre a superfıcie cujo vetor normal e n e f = σ · n ou,em componentes fi = σijnj . As componentes cartesianas da densidade de forcasobre a placa situada em x = 0, para a qual n = x, sao

f1 = σ1jnj = σxx, f2 = σ2jnj = 0, f3 = σ3jnj = 0, (1.156)

Como a placa tem area A, a forca resultante sobre ela sera

F = f1Ax =A

8πk

(4πkq

A

)2

x =2πkq2

Ax. (1.157)

Analogamente, a forca sobre a placa situada em x = `, onde o vetor normal en = −x, e dada por

F′ = −2πkq2

Ax, (1.158)

de modo que as placas se atraem mutuamente, resultado que obviamente podeser obtido por meios elementares.

Um outro exemplo consiste num solenoide cilındrico de raio a e comprimentoL, suposto infinitamente grande, onde sao enroladas n espiras por unidade decomprimento, pelas quais passa uma corrente eletrica I. O eixo do solenoide eo eixo z. O campo magnetico deste sistema e [Eq. (4.105]:

B = Bz z =

4πknIgc2 z se 0 < r < a

0 se r > a.. (1.159)

Uma escolha natural seria o uso de coordenadas cilındricas, no entanto paraisso precisarıamos determinar primeiro os componentes do tensor das tensoesde Maxwell na base ortonormal do sistema cilındrico

r = cos θx+ sin θy (1.160)

θ = − sin θx+ cos θy (1.161)

z = z, (1.162)

o que vem a ser, em geral, trabalhoso. Podemos economizar esse trabalhoalgebrico trabalhando com coordenadas retangulares. No caso de (1.159), comoE = 0, as componentes cartesianas do tensor das tensoes de Maxwell serao

(σij) =g2c2B2

z

8πk

−1 0 00 −1 00 0 1

.. (1.163)

A superfıcie lateral do solenoide tem vetor normal n = r. Usando (1.161)as componentes da normal sao n1 = − cos θ, n2 = − sin θ e n3 = 0. As com-ponentes cartesianas da densidade de forca sobre a lateral serao, pois, dadaspor

f1 = −σxx cos θ, f2 = −σyy sin θ, f3 = 0. (1.164)

o que leva a um vetor na direcao radial, pois

f = f1x+ f2y =g2c2B2

z

8πk(cos θx+ sin θy)︸︷︷︸

=r

=2πkn2I2

c2r. (1.165)


Logo, como a superfıcie lateral tem area A = (2πa)L, a forca por unidade decomprimento sera expansiva:

F

L=

4π2kn2I2a

c2r. (1.166)

E possıvel, ainda, calcular a forca magnetica sobre as “tampinhas” inferior(situada em z = 0) e superior (em z = L), para as quais os vetores normais sao,respectivamente z e −z. Um calculo analogo ao anterior mostra que as forcassao atrativas, e de modulo

2π2ka2n2I2

c2. (1.167)

No entanto, este resultado e um tanto duvidoso, pois nas “tampinhas” dosolenoide os efeitos de borda nao sao negligenciaveis, e a aproximacao de campouniforme que fizemos pode ser bastante ruim.

1.7.3 Pressao de radiacao

Ondas eletromagneticas carregam momentum linear e, portanto, podem exercerforcas sobre superfıcies que interceptam. Ha varios exemplos fısicos interessantesrelacionados a pressao de radiacao. Quando um cometa aproxima-se do Sol, porexemplo, a superfıcie de seu nucleo e aquecida e materiais volateis evaporam-se.As pequenas partıculas carregadas pelos vapores formam a chamada “cauda depoeira” do cometa. A pressao da radiacao Solar (bem como o vento solar) acel-eram as partıculas da cauda a diferentes velocidades, de acordo com o tamanhoe a massa das partıculas. Por esse motivo, as partıculas da cauda de poeirasao aceleradas lentamente e as trajetorias tendem a se curvar. De modo maisgeral, a pressao de radiacao solar e responsavel por varios efeitos astronomicosimportantes, como os efeitos Yarkowsky e Poynting-Robertson.

Para uma onda eletromagnetica plana o valor medio do vetor de Poynting(densidade do fluxo de energia na direcao de propagacao) e dado por (??). Adensidade media de momentum linear correspondente, conforme (1.138), sera

pEM =1

c2S =

E20

8πkck. (1.168)

Quando uma onda plana que incide de maneira oblıqua (a direcao de propagacaofazendo um angulo θ com a normal) sobre uma superfıcie perfeitamente refletora,a variacao de momentum linear por unidade de volume na direcao perpendiculara superfıcie e

(∆pEM )⊥ = pEM cos θ − (−pEM cos θ) = 2pEM , (1.169)

sendo que na direcao paralela a superfıcie nao ha variacao

(∆pEM )‖ = pEM sin θ − pEM sin θ) = 0. (1.170)

Se a parece nao for perfeitamente refletora, mas tiver um coeficiente derefletividade R para a superfıcie, a variacao da densidade media do momentumlinear sera

(∆pEM )⊥ = (1 +R)pEM cos θ, (1.171)


onde, para R = 0 a onda e totalmente absorvida, enquanto para R = 1 elae totalmente refletida, o que naturalmente proporciona o maior valor possıvelpara a transferencia de momentum, dado por (1.170).

A pressao de radiacao P e a forca normal por unidade de area da superfıcie,ou seja

P =1

A

(∆PEM )⊥∆t

= c(∆PEM )⊥

∆V= c(∆pEM )⊥ (1.172)

pois ∆V = (c∆t)A e (∆PEM )⊥ = (∆pEM )⊥∆V . Substituindo (1.168) e (1.171)teremos uma expressao bastante geral para a pressao de radiacao sobre umasuperfıcie parcialmente refletora, com incidencia oblıqua:

P = (1 +R)E2

0

8πkcos θ. (1.173)

Para incidencia normal e refletividade perfeita a pressao de radiacao assume seumaximo valor:

Pmax = 2cpEM =E2

0

4πk. (1.174)

1.7.4 Pressao da radiacao solar

O valor medio do valor de Poynting representa a intensidade da radiacao inci-dente normalmente a uma superfıcie, ou seja, a potencia incidente por unidadede area:

I =∣∣S∣∣ . (1.175)

A chamada “constante solar” e a intensidade da radiacao solar na superfıcie daTerra, cujo valor (no SI) e I0 = 1368W/m2. Considerando o Sol como umafonte puntiforme de ondas esfericas irradiando com uma potencia media W , aintensidade a uma distancia radial r sera

I =W

4πr2, (1.176)

de modo que, na Terra (situada a uma distancia r0 de uma unidade astronomicado Sol), a constante solar sera

I0 =W

4πr20. (1.177)

Dividindo as duas expressoes acima chega-se a relacao bem conhecida (Lei deLambert):

I = I0

(r0r

)2. (1.178)

Supondo incidencia normal e refletividade perfeita a pressao da radiacaosolar e dada por (1.174). De (1.168), podemos exprimir a pressao de radiacaoem funcao da intensidade como

P =2I

c. (1.179)

Usando, agora, a expressao (1.178), segue que a pressao de radiacao solar emfuncao da distancia r e

P = P0

(r0r

)2, (1.180)


onde a pressao de radiacao na Terra e obtida a partir da constante solar como

P0 =2I0c

= 9, 12× 10−6Pa. (1.181)

que e uma pressao muito baixa, nove ordens de grandeza menor que a pressaoatmosferica! Mesmo em Mercurio, que e o planeta mais proximo ao Sol, parao qual r = 0, 46r0, a pressao de radiacao e da ordem de 9, 12 × 10−6Pa. Adiminuta magnitude dessa pressao explica o fato desse efeito, previsto pela teoriade Maxwell, ter sido experimentalmente verificado apenas em 1901, com ostrabalhos de Nichols e Hull [25] 1.

A despeito disso, tem-se especulado que a pressao da radiacao solar poderiaser usada como uma forma de propulsao para sondas espaciais, uma vez quea pressao, mesmo pequena, poderia dar origem a uma aceleracao cumulativaconsideravel a longo prazo. A ideia basica e usar uma “vela” solar refletiva, cujaorientacao poderia ser alterada para aproveitar a pressao da radiacao solar, eleve o suficiente para dar origem a uma aceleracao razoavel.

A Agencia Japonesa de Exploracao Aeroespacial (JAXA) lancou, em 21de maio de 2010, a sonda IKAROS (Interplanetary Kite-craft Accelerated byRadiation Of the Sun), programada para chegar a Venus em seis meses, e depoisao Sol (apos tres anos) 2. O sistema de propulsao solar da sonda consiste numa“vela” retangular de area 200m2 e espessura 0, 30mm. Considerando a pressaode radiacao na terra como tendo o valor (1.181), a forca sobre a “vela” sera daordem de 3, 6× 10−3N .

A “vela”, nesta sonda, e feita de polimida, um material refletor muito leve(densidade de 1430kg/m3), o que da uma massa de cerca de 85 kg, apenas. Aaceleracao correspondente devido a pressao solar sera, portanto, da ordem dea = 4, 2×10−5m/s2. Para um calculo grosseiro, que ignore o aumento da pressaode radiacao com a aproximacao ao sol, mantida essa aceleracao constante, emum mes a velocidade da sonda seria de 100m/s. Na verdade, esse valor e bemmaior, inclusive por que a “vela” solar pode girar em torno de uma das diagonaispara aproveitar melhor a intensidade da radiacao solar no seu percurso.

1.7.5 Radiacao em equilıbrio numa cavidade

Vamos considerar a radiacao em equilıbrio termodinamico numa cavidade (comoum corpo negro, por exemplo), que e refletida de forma aleatoria nas paredesem todas as direcoes possıveis. O tempo decorrido entre duas reflexoes de umaonda na mesma parede da cavidade e

∆t =2L

c cos θ

onde L e o comprimento da cavidade. A pressao da radiacao na cavidade e dadapor (1.172) como

P =c

2cos θ(∆pEM )⊥, (1.182)

1Nao confundir com o famoso radiometro de Crookes, que funciona devido a um efeitotermico, e nao a pressao de radiacao propriamente dita!

2Maiores informacoes podem ser obtidas no site especıfico da JAXA: http://www.jaxa.jp/projects/sat/ikaros/index_e.html


onde usamos ∆V = LA. De (??) temos que

P =1 +R2c

S cos2 θ. (1.183)

Levando-se em conta que, numa cavidade, as ondas refletem-se na superfıciesob todos os possıveis angulos de incidencia θ, e necessario fazer uma mediasobre todos os angulos solidos

< cos2 θ >=

∫dΩcos2 θ∫

dΩ=

1

3. (1.184)

que, ao ser aplicada em (1.183), leva a

P =1 +R

6u. (1.185)

Supondo refletividade perfeita teremos, entao, que

P =u

3, (1.186)

onde tanto a pressao como a energia referem-se a seus valores medios sobre todasas orientacoes no espaco.

Essa expressao tem uma interessante interpretacao termodinamica. Pode-mos encarar a radiacao eletromagnetica no interior da cavidade como um “gas”de fotons em equilıbrio, exercendo a pressao (1.186) sobre as paredes da cavi-dade. A energia interna desse “gas” sera U = uV , o que leva a seguinte equacaode estado

PV =1

3U. (1.187)

Por outro lado, em processos adiabaticos, para os quais vale a lei de PoissonPV γ = const., onde γ e a razao entre os calores especıficos a pressao e volumeconstantes, temos a relacao termodinamica

PV = (γ − 1)U, (1.188)

que, quando comparada a (1.187), fornece o valor γ = 4/3 para o gas de fotons.Essa equacao de estado e bastante usada em Astrofısica, sobretudo no estudodo equilıbrio de estrelas.

1.8 Conservacao do Momentum Angular

1.8.1 Balanco de momentum angular

O campo eletromagnetico tem momentum angular. Em analogia com o momen-tum angular de uma partıcula L = r× p, onde p = mv e o momentum linear,definimos a densidade de momentum angular do campo eletromagnetico pelaexpressao

ÈM = r× pEM , (1.189)

onde pEM e a densidade de momentum linear do campo eletromagnetico, talque o momentum angular eletromagnetico sera a integral de volume

LEM =

∫dV ÈM . (1.190)

1.8. CONSERVACAO DO MOMENTUM ANGULAR 49

Com essa definicao, e em combinacao com partıculas carregadas, podemosaplicar a lei de conservacao do momentum angular num contexto onde hapartıculas e campos.

O torque mecanico devido a forca de Lorentz sobre uma partıcula com cargaq, posicao r e velocidade v e dado por

N = r× q[E(r) + gv ×B(r)], (1.191)

de modo que, para uma distribuicao de partıculas carregadas em movimento,ao fazermos a substituicao habitual vdq → JdV , temos o torque

N =

∫V

dV r× (ρE+ gJ×B) . (1.192)

O momentum angular mecanico do sistema e

LMEC =∑a

mara × va =

∫dV ρmr× v, (1.193)

onde ρm e a densidade de massa do sistema de partıculas:

ρm =∑a

maδ(r− ra), (1.194)

tal que a segunda lei de Newton para a rotacao implica em que dLMEC = N.Fazendo o produto vetorial de r com (1.146) temos uma equacao de balanco

para o momentum angular do sistema formado pelas partıculas carregadas e oscampos eletromagneticos:

d

dt(LMEC + LEM ) =

∫V

dV r× (∇ · σ). (1.195)

Introduzimos, agora, o tensor fluxo de momentum angular

M = −r× σ, (1.196)

que e um tensor de terceira ordem, com componentes

Mijk = σijxk − σikxj , (1.197)

e que e assimetrico nos ındices j e k, o que pode ser facilmente comprovado.Dessa forma, para um dado i,Mijk tem apenas tres componentes independentes(tres elementos diagonais sao nulos e outros tres sao o negativo dos nao-nulos).Considerando que i varia de 1 a 3, o tensor Mijk tem nove componentes inde-pendentes, ao todo. Por esse motivo, podemos escrever Mijk como um tensorde segunda ordem M, com componentes

Mk` = −εijkxiσj`. (1.198)

O divergente deste tensor e um vetor, cuja k-esima componente e

(∇ ·M)k = ∂`Mk` = −∂ell(εijkxiσj`)

= −εijk

∂`xi︸︷︷︸=δi`

σj` + xi∂ellσj`

= − ε`jkσj`︸︷︷︸

=0

−εkijxi(∇ · σ)j = [r× (∇ · σ)]k,


Figura 1.9: O paradoxo do disco de Feynman (ilustracao extraida das FeynmanLectures in Physics).

onde usamos o fato de que ε`jk e antisimetrico na troca de j por k, ao passo queo tensor das tensoes de Maxwell e simetrico por essa mesma troca. No ApendiceI, vimos que o produto de um tensor simetrico por um antisimetrico na trocados mesmos ındices e identicamente nulo. Concluimos, pois, que

∇ ·M = −r× (∇ · σ). (1.199)

Substituindo (1.199) em (1.140) temos a integral de volume

d

dt(LMEC + LEM ) = −

∫V

dV∇ ·M =

∮S

M · dA, (1.200)

onde usamos o teorema do divergente. Concluimos, pois, queMk`n` e o fluxo dak-esima componente do momentum angular total pela superfıcie S. A equacaode balanco de momentum linear para o sistema tem a forma local

∂

∂t(`MEC + ÈM ) = −r× (∇ · σ) = −∇ ·M. (1.201)

1.8.2 O paradoxo do disco de Feynman

Richard Feynman [[26], Vol. II, Sec. 17-4] descreve a seguinte experiencia [Fig.1.9]: um disco fino e circular de plastico pode girar em torno de um eixo sematrito. Um solenoide e concentrico com o eixo de rotalcao, e conduz uma correnteestacionaria gracas a uma bateria (tambem montada no disco). Perto da beiradado disco ha um certo numero de esferas metalicas uniformemente espacadase isoladas umas das outras. Cada uma dessas esferas esta carregada com amesma carga. Nessa situacao, o disco encontra-se em repouso. Suponha, agora,que a corrente no solenoide seja interrompida, sem qualquer outra intervencaoexterior. Como resultado, o disco comeca a girar. O “paradoxo” e: de ondeveio o momentum angular do disco? Nao estaria havendo uma violacao da leide conservacao do momentum angular?

Para explicar esse “paradoxo”, podemos usar duas interpretacoes comple-mentares. Antes da interrupcao, havia um campo magnetico aproximadamenteuniforme dentro do solenoide e paralelo ao eixo de rotacao do disco. Quando acorrente no solenoide e interrompida o fluxo magnetico cai a zero. Pela Lei de

1.8. CONSERVACAO DO MOMENTUM ANGULAR 51

a

z−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

I

I

Figura 1.10: Versao esquematica do paradoxo do disco

Faraday, o fluxo magnetico variavel no tempo induz um campo eletrico fora dosolenoide, que atua sobre as esferas carregadas produzindo forcas eletricas tan-genciais, e portanto um torque que faz o disco girar. A segunda interpretacao,mais no espırito do paradoxo, e a de que, antes da corrente no solenoide ser in-terrompida, havia um campo magnetico dentro do solenoide, bem como camposeletricos produzidos pelas esferas carregadas. Esse campo eletromagnetico devepossuir um momentum angular. Apos a interrupcao da corrente o momentume conservado, de modo que parte dele e transferido para o disco na forma demomentum angular “mecanico”.

Uma versao simplificada do paradoxo do disco

Vamos, aqui, considerar uma versao mais simplificada desse sistema, propostapor Belcher e McDonald [27]: um fio infinitamente longo e retilıneo tem densi-dade linear de carga −λ ao longo do eixo z. Ha uma casca cilındrica isolante deraio a e momento de inercia I0 por unidade de comprimento, que e concentricacom o fio e pode girar livremente (sem atritos) em torno do eixo z [Fig. 1.10].A densidade superficial de carga sobre a casca cilındrica e σ = +λ/2πa, e estauniformemente distribuida ao longo da casca. Ha, ainda, um solenoide enroladona casca, e que produz um campo magnetico “externo” B = Bextz. Assimcomo no disco de Feynman, o solenoide e alimentado por uma corrente eletricaconstante, e a casca encontra-se em repouso.

No instante t = 0 a corrente no solenoide e interrompida, caindo exponen-cialmente com o tempo dependendo da constante de tempo do circuito (RL) noqual ele esta ligado. Durante um intervalo de tempo t a/c o fluxo magneticono solenoide cai a zero, e a casca comeca a girar em torno do eixo. Para encon-trar a velocidade angular ω final do disco vamos resolver inicialmente pela Leide Faraday, e posteriormente empregando o conceito de momentum angular docampo eletromagnetico.

Solucao via Lei de Faraday

Pela simetria do problema, sendo o campo magnetico B = (0, 0, Bz(t)), ocampo eletrico induzido tera direcao tangencial a cırculos concentricos: E =(0, Eφ(r, t), 0). Usando a lei de Faraday na forma integral (1.38) obtemos ocampo eletrico induzido

Eφ(r) = −gr2

∂Bz∂t

. (1.202)


A forca eletrica atua sobre todos os pontos de uma casca cilındrica de alturah e raio a, possuindo uma carga q = σ(2πah), o que da origem a um torque porunidade de comprimento

Nφ = 2πa2σEφ(a) = −λa2g

2

∂Bz∂t

. (1.203)

Pela segunda lei de Newton para a rotacao, temos que

Nφ =dLMEC

dt= I0

dω

dt, (1.204)

onde LMEC = Iω e o momentum angular (mecanico) da casca por unidade decomprimento.

Combinando (1.203) e (1.204), a velocidade angular final sera dada por

ω =

∫ ∞

0

dω

dtdt = −λa

2g

2I0

∫ ∞

0

dt∂Bz∂t

= −λa2g

2I0[Bz(∞)−Bz(0)] . (1.205)

Idenficamos Bz(0) = Bext como o campo magnetico existente no solenoide antesda corrente ter sido desligada. Ja Bz(∞) = Bf e o campo magnetico final, pois,devido a rotacao da casca cilındrica carregada, aparece tambem um campomagnetico, o qual persiste mesmo apos a corrente no solenoide ter desaparecido.

Solucao via momentum angular do campo eletromagnetico

Pela conservacao do momentum angular do sistema campo + casca, o momen-tum angular inicial do sistema e inteiramente de natureza eletromagnetica. Omomentum angular eletromagnetico por unidade de comprimento sera

LEM =1

h

∫dV ÈM = 2π

∫ ∞

0

rdrÈM =g

2k

∫ ∞

0

rdr[r× (E×B)], (1.206)

onde usamos (1.138).Antes da corrente ser desligada, o campo magnetico e uniforme no interior

do cilindro devido ao solenoide: B = Bextz. Ja o campo eletrico e devido ascargas estaticas tanto do fio como da casca, e pode ser encontrado de formasimples por meio da lei de Gauss eletrica, com o seguinte resultado

E =

− 2kλ

r r se r < a;0 se r > a.

(1.207)

tal que, substituindo em (1.206) temos o momentum angular inicial (por unidadede comprimento)

(Lem)i =1

2gλBexta

2z. (1.208)

Agora vamos analisar o sistema apos a corrente no solenoide ter sido inter-rompida. Nesse caso, vimos que o cilindro comeca a girar em torno do eixoz, o que gera uma corrente azimutal, cuja densidade (corrente por unidade decomprimento) e

Jφ =q/T

h=

2πaσ

T, (1.209)

1.9. POTENCIAIS ELETROMAGNETICOS E TRANSFORMACOES DE GAUGE53

onde T = 2π/ω e o perıodo das revolucoes do cilindro, considerando a velocidadeangular final (e, portanto, constante) ω dada por (5.302).

Para encontrar o campo magnetico produzido pela corrente devido a rotacaoda casca, usamos a lei de Ampere (sem a corrente de deslocamento, ja que ocampo eletrico continua sendo estatico). O resultado e aquilo que chamamosha pouco de campo magnetico final, pois persiste mesmo apos desaparecer acorrente no solenoide:

Bf =2kλω

gc2. (1.210)

Para encontrar o momentum angular do campo eletromagnetico apos a correnteter sido desligada, aproveitamos a expressao (1.208), apenas trocando o campoproduzido pelo solenoide Bext pelo campo magnetico final Bf obtido acima. Oresultado e

(LEM )f =1

2gλBfa

2z =kλ2a2ω

c2z. (1.211)

Considerando, agora, o momentum angular mecanico associado a rotacaodo disco LMEC = I0ωz, a conservacao do momentum angular total do sistemafornece:

(LEM )i = LMEC + (LEM )f

1

2gλBexta

2 =

(I0 +

kλ2a2

c2

)ω

ω =gλa2Bext

I + kλ2a2/c2≈ gλa2Bext

2I0

(1− kλ2a2

c2I0

), (1.212)

que concorda com (5.302).

1.9 Potenciais eletromagneticos e transformacoesde gauge

Nos partimos das duas equacoes de Maxwell que sao homogeneas: a lei deFaraday e a lei de Gauss magnetica:

∇×E+ g∂B

∂t= 0, (1.213)

∇ ·B = 0. (1.214)

Introduzimos um potencial escalar ϕ(r, t) e um potencial vetorial A(r, t) pormeio das seguintes definicoes

E = −∇ϕ− g∂A

∂t, (1.215)

B = ∇×A. (1.216)

Substituindo (1.215) e (1.216) em (1.213) e (1.214) podemos verificar que asequacoes de Maxwell homogeneas sao identicamente satisfeitas dessa forma.Para campos independentes do tempo, (1.215) e (1.216) podem ser consider-adas consequencias imediatas do primeiro teorema de Helmholtz, ja que ∇ϕ eum campo irrotacional e ∇×A e um campo solenoidal.


E importante destacar que os potenciais escalar e vetorial nao determinamunivocamente os campos eletrico e magnetico. Seja χ(r, t) uma funcao arbitrariada posicao e do tempo. Podemos fazer as seguintes transformacoes de gauge(ou de “calibre”) sobre os potenciais

A → A′ = A−∇χ, (1.217)

ϕ→ ϕ′ = ϕ+ g∂χ

∂t, (1.218)

Para verificar esse fato, por exemplo, subsituimos (1.217) em (1.216)

B′ = ∇×A′ = ∇× (A−∇χ) = ∇×A+∇×∇χ = B,

e analogamente para (1.215). Dessa forma, dados os potenciais ϕ eA, os camposeletrico e magnetico (que sao as quantidades fisicamente mensuraveis) sao deter-minados a menos da escolha de um gauge χ(r, t). Escolhido esse gauge de umaforma conveniente, podemos trabalhar com os potenciais, o que e matematica-mente mais simples pois, em lugar de seis campos escalares (tres componentes decada vetor de campo) nos trabalhamos com apenas quatro (tres para o potencialvetorial e um para o potencial escalar).

Supondo que o potencial vetor A anule-se no infinito, o segundo teorema deHelmholtz nos informa que, para determinar A, precisamos conhecer seu diver-gente e seu rotacional. Como, da lei de Gauss magnetica (∇ ·B = 0) sabemosque B = ∇×A, entao tudo o que conhecemos sobre A e seu rotacional. Logo,estamos livres para escolher da forma que melhor nos convier o seu divergente,o que equivale a escolha de um gauge.

Na eletrodinamica classica dois gauges sao tradicionalmente usados paradeterminarmos completamente o potencial vetor: (i) o Gauge de Coulomb:

∇ ·A = 0; (1.219)

e (ii) o Gauge de Lorenz 3

g∇ ·A+1

c2∂ϕ

∂t= 0. (1.220)

O gauge de Coulomb e mais utilizado em eletrostatica e magnetostatica, aopasso que o gauge de Lorenz e utilizado quando os campos dependem do tempo.Alem disso, o gauge de Lorenz e invariante relativisticamente, ao passo que ode Coulomb nao o e, como veremos a frente.

1.10 Problemas

1. Uma casca esferica nao-condutora tem raios interno e externo iguais a ae b, respectivamente. A densidade volumetrica de carga na casca e dadapor ρ(r) = ρ0/r, onde ρ0 e uma constante. Ha uma carga puntiforme q naorigem. (a) Determine o valor de ρ0 para que o campo eletrico no interiorda casca tenha modulo constante. (b) Quanto vale esse campo?

3Embora costume-se atribuir indevidamente essa expressao a Hendrik Lorentz, ela e origi-nalmente devida a Ludvig Lorenz (1867).

1.10. PROBLEMAS 55

2. Suponha que o campo eletrico de uma carga puntual q seja E = qr/r2+δ,onde δ 1, ao inves de E = qr/r2. (a) Calcule o divergente e o rotacionalde E para r 6= 0. Ache o potencial eletrico gerado por uma carga puntual.(b) Duas cascas esfericas condutoras e concentricas de raios a e b < asao ligadas por um fio condutor muito fino. Sendo Qa a carga na cascaexterna, determine a carga Qb na casca interna, em funcao de Qa, a, b,e δ. Discuta como esse resultado pode ser usado como um teste sensıvelpara determinar experimentalmente a validade da lei de Gauss eletrica.

3. Uma coluna cilındrica de plasma (gas ionizado condutor) de raio a temuma densidade de corrente paralela ao seu eixo de simetria, e varia com oraio r de acordo com a expressao

J(r) = J0

(1− r2

a2

)γz,

onde J0 e γ 6= −1 sao constantes. (a) Qual a corrente total de plasmana coluna? (b) Usando a Lei de Ampere, calcule o campo magnetico emtodos os pontos no interior da coluna.

4. Uma barra condutora de comprimento `, massa m e resistencia eletrica Rdesliza sem atrito por um trilho condutor de resistencia desprezıvel. Ostrilhos sao conectados formando um caminho fechado pela barra deslizante.O plano do trilho faz um angulo θ com a horizontal e ha um campomagnetico uniforme B vertical em toda a regiao. (a) Usando a lei deFaraday, ache a forca eletromotriz induzida agindo entre as extremidadesda barra; (b) Calcule a velocidade terminal da barra. Dica: imponhaque a perda de energia potencial gravitacional da barra iguale a energiadissipada por efeito Joule na mesma.

5. Um anel circular de diametro D e feito de fio condutor de diametro d,condutividade σ e densidade de massa µ. O anel cai de uma altura h aolongo de uma direcao paralela ao eixo z do anel. Ha um campo magneticoinomogeneo Bz(z) = B0(1 + bz), onde B0 e b sao constantes. Suponhaque o anel permaneca, durante a queda, sempre paralelo ao plano xy.(a) Usando a lei de Faraday, ache a forca eletromotriz induzida no aneldurante a queda; (b) Desprezando a resistencia do ar, calcule a velocidadeterminal do anel em sua queda.

6. Um capacitor tem duas placas circulares paralelas de raio R e separadaspor uma distancia h. O capacitor e carregado ao ser ligada a um circuito,e carga nas suas placas aumenta (em modulo) a uma taxa dQ/dt. (a)Determine o vetor de Poynting; (b) Ache a taxa com que a energia fluipara o capacitor.

7. Duas placas condutoras paralelas e muito extensas, separadas por umadistancia d, formam um capacitor com ar entre as placas. Se a carga nasplacas for igual a Q, e a area das placas A, (a) ache as componentes dotensor das tensoes de Maxwell; (b) Calcule a forca de atracao entre asplacas.

8. Considere um solenoide muito longo ao longo do eixo z, de raio a e com-primento `, contendo N espiras pelas quais passa uma corrente eletrica


constante I. (a) Ache as componentes do tensor das tensoes de Maxwell;(b) Calcule a forca exercida pelo campo magnetico sobre as paredes lat-erais do solenoide.

9. Considere uma esfera macica de raio R e carga Q uniformemente dis-tribuida. Seu hemisferio superior tem como superfıcie de contorno umacasca hemisferica e um disco circular. (a) Obtenha as componentes dotensor das tensoes de Maxwell sobre a casca hemisferica; (b) Calcule aforca resultante sobre a casca hemisferica; (c) Repita os itens (a) e (b)para o disco circular.

10. Considere um campo eletrico uniforme E = (E sin θ,E cos θ, 0), agindosobre uma superfıcie no plano xz, e fazendo um angulo θ com o eixo y.(a) Obtenha os componentes do tensor das tensoes de Maxwell; (b) Acheas componentes da forca eletrica por unidade de area sobre a superfıcie, eo angulo que a forca faz com o eixo y.

11. Considere um sistema formado por duas cascas cilındricas condutoras deraios a e b (b > a) com cargas +Q e −Q, respectivamente, e um solenoidemuito longo de raio R (a < R < b) e comprimento y coaxial as duascascas, com n espiras por unidade de comprimento conduzindo uma cor-rente I. (a) Determine o momentum angular do campo eletromagnetico;(b) Supondo que a corrente no solenoide varie de acordo com a expressaoI(t) = I0e

−t/τ , onde I0 e τ sao constantes, obtenha o campo eletrico in-duzido nas cascas cilındricas; (c) Calcule o momentum angular mecanicodo sistema depois que a corrente no solenoide tenha caido a zero, e veri-fique o princıpio de conservacao do momentum angular no sistema.

12. Um fio retilıneo infinito transporta uma corrente estatica I0 que foi ligadaabruptamente em t = 0: I(t) = I0H(t), onde H(t) e a funcao degrauunitario (de Heaviside). (a) Obtenha o potencial vetor retardado; (b)Obtenha os campos eletrico e magnetico; (c) Estude o caso t→ ∞.

Capıtulo 2

Campos Estaticos

Quando os campos eletromagneticos sao estaticos (independem do tempo) asequacoes de Maxwell assumem formas mais simples, e suas solucoes podemser estudadas no ambito da Eletrostatica e da Magnetostatica, que abordare-mos neste capıtulo. Nossa exposicao fara uso intensivo de conceitos da FısicaMatematica, tais como as funcoes de Green e as expansoes em harmonicosesfericos. No Apendice B pode ser encontrado um resumo das notacoes eformulas usadas neste e em outros capıtulos do livro.

2.1 Eletrostatica

A Eletrostatica considera a existencia de campos eletricos independentes dotempo e a ausencia de campos magneticos. A lei de Faraday, na sua formadiferencial, implica que

∇×E(r) = 0. (2.1)

Sabemos, por outro lado, que o rotacional do gradiente de uma funcao e identica-mente nulo, ou seja, podemos escrever o campo eletrico como menos o gradientede um potencial eletrico ϕ(r):

E(r) = −∇ϕ(r). (2.2)

Substituindo essa expressao na lei de Gauss eletrica obtemos a chamadaequacao de Poisson

∇2ϕ = −4πkρ(r), (2.3)

que e uma equacao diferencial parcial inomogenea, ou seja, que tem um termode fonte proporcional a densidade de carga eletrica ρ.

Vamos supor inicialmente que nao haja superfıcies de contorno, de modoque desejamos resolver a equacao para todos os pontos do espaco. Nesse caso econveniente impor a seguinte condicao de contorno no infinito

ϕ(r) → 0, |r| → ∞. (2.4)

Podemos resolver a equacao de Poisson pelo metodo da funcao de Green, noqual substituimos a fonte extensa ρ(r) por uma fonte puntiforme do tipo funcaodelta de Dirac

ρ(r) =1

4πkδ(r− r′), (2.5)

57

58 CAPITULO 2. CAMPOS ESTATICOS

que equivale a uma carga puntual de modulo igual a 1/4πk localizada no pontor = r′.

A solucao da equacao de Poisson (2.3) nesse caso, e chamada de funcao deGreen, e denotada por G(r, r′):

∇2G(r, r′) = −δ(r− r′), (2.6)

sujeita a mesma condicao (2.4)

G(r, r′) → 0, |r| → ∞. (2.7)

Na teoria das distribuicoes prova-se que

∇2

(1

|r− r′|

)= −4πδ(r− r′), (2.8)

Substituindo (2.8) em (2.6) obtemos a funcao de Green para a equacao de Pois-son no espaco livre

G(r, r′) =1

4π

1

|r− r′|. (2.9)

A rigor, essa expressao e valida a menos de uma constante de integracao.Porem, fisicamente essa constante e irrelevante, pois sabemos que o potencialeletrostatico e sempre definido a menos de uma constante.

Conhecida a funcao de Green, se nao houver superfıcies de contorno, o po-tencial na presenca de uma distribuicao extensa de carga ρ(r) sera dado por

ϕ(r) = 4πk

∫V

dV ′G(r, r′)ρ(r′) = k

∫V

dV ′ ρ(r′)

|r− r′|(2.10)

que e a solucao geral da equacao de Poisson. No capıtulo III vamos considerar asolucao da equacao de Poisson em situacoes envolvendo superfıcies de contorno,o que introduz complicacoes matematicas adicionais.

Um sistema de N cargas puntiformes estaticas qa (a = 1, 2, . . . N) podeser representado por uma densidade de cargas singular, ou seja, uma soma defuncoes delta centradas nas posicoes ra das cargas:

ρ(r) =

N∑a=1

qaδ(r− ra). (2.11)

Supondo que nao haja superfıcies de contorno, o potencial em todos os pon-tos do espaco devido as cargas puntiformes e dado pela solucao da equacao dePoisson (2.10), com o termo de fonte dado por (2.11):

ϕ(r) = k

∫V

dV ′ ρ(r′)

|r− r′|

= k∑a

qa

∫V

dV ′ δ(r− ra)

|r− r′|

= k∑a

qa|r− ra|

. (2.12)

2.2. FUNCAO DE GREEN SEM CONDICOES DE CONTORNO 59

r

P

r − r’

q

r’

x

y

z

φ

θ

θ

γ

’

φ’

0

Figura 2.1: Coordenadas esfericas correspondentes as posicoes do ponto de ob-servacao e da carga puntiforme.

O campo eletrico produzido por este sistema e dado por (2.2):

E(r) = −k∑a

qa∇1

|r− ra|

= k∑a

qa∇r− ra

|r− ra|3. (2.13)

2.2 Funcao de Green para a Equacao de Laplace-Poisson sem condicoes de contorno

E conveniente, num grande numero de problemas em Eletrostatica, trabal-har com a expansao da funcao de Green da equacao de Laplace-Poisson emharmonicos esfericos. Lembremos que a funcao de Green G(r, r′) e a solucaoda equacao de Laplace-Poisson num ponto de observacao dado r, e devido auma carga puntiforme q/k situada no ponto r′. Usamos coordenadas esfericas(r, θ, φ) para o ponto de observacao, e (r′, θ′, φ′) para a carga puntiforme (vejaFig. 2.4). Seja γ o angulo entre os vetores r e r′. Da lei dos cossenos

|r− r′| =(r2 − 2rr′ cos γ + r′2

)1/2, (2.14)

onde, da trigonometria esferica, temos a seguinte relacao entre os angulos

cos γ = cos θ cos θ′ + sin θ sin θ′ cos(φ− φ′). (2.15)

Substituindo (2.14) em (2.9) teremos a funcao de Green (na ausencia de su-perfıcies de contorno) escrita como

G(r, r′) =1

4π

1√r2 − 2rr′ cos γ + r′2

. (2.16)


O ponto de observacao pode estar evidentemente em qualquer ponto doespaco. Temos, entao, que considerar separadamente duas possibilidades: r > r′

e r < r′. Isto parece (e e) um tanto incomodo, mas uma forma de diminuir otrabalho e definir

r> = maxr, r′, r< = minr, r′, (2.17)

bem como a razaot =

r<r>

(2.18)

que e, por construcao, sempre menor do que um. Entao t = r′/r se r > r′ out = r/r′ se r < r′.

Levando essa notacao conveniente para o denominador de (2.16) temos

G(r, r′) =1

4π

1

r>

1√1− 2zt+ t2

, (2.19)

onde fizemos z = cos γ, de modo que |z| < 1. Como tambem |t| < 1 a ultimafracao em (2.46) e a funcao geratriz dos polinomios de Legendre:

1√1− 2zt+ t2

=

∞∑`=0

P`(z)t`, (2.20)

que, quando levada em (2.46), fornece a expansao

G(r, r′) =1

4π

∞∑`=0

r`<r`+1>

P`(cos γ). (2.21)

Neste ponto introduzimos os harmonicos esfericos, que sao definidos como

Y m` (θ, φ) =

√2`+ 1

4π

(`−m)!

(`+m)!Pm` (cos θ)eimφ, (2.22)

onde ` = 0, 1, 2, · · · e, para cada valor de `, m = −`,−`+ 1, · · · , 0, · · · , `+ 1, `,e Pm` (z) e um polinomio de Legendre associado.

Pm` (z) = (−1)m(1− z2)

m/2 dm

dzmP`(z). (2.23)

Usando o teorema de adicao para os harmonicos esfericos:

P`(cos γ) =4π

2`+ 1

k∑m=−k

Y ∗m` (θ′, φ′)Y m` (θ, φ), (2.24)

obtemos a expansao da funcao de Green em harmonicos esfericos:

G(r, r′) =∞∑`=0

∑m=−`

1

2`+ 1

r`<r`+1>

Y ∗m` (θ′, φ′)Y m` (θ, φ), (2.25)

Se tivermos problemas com simetria azimutal, ou seja, nao ha dependenciadas quantidades fısicas nos angulos azimutais φ ou φ′, entao temos m = 0 em

2.2. FUNCAO DE GREEN SEM CONDICOES DE CONTORNO 61

(B.23), e os polinomios de Legendre associados reduzem-se aos polinomios deLegendre comuns. Dessa forma o harmonico esferico torna-se

Y 0` (θ) =

√2`+ 1

4πP`(cos θ). (2.26)

e, substituindo-se em (B.33), temos que

P`(cos γ) = P`(cos θ′)P`(cos θ). (2.27)

tal que a funcao de Green, nesse caso particular, seja

G(r, r′) =1

4π

∞∑`=0

r`<r`+1>

P`(cos θ′)P`(cos θ). (2.28)

A solucao da equacao nao-homogenea (2.10) sera, portanto

ϕ(r) = k∞∑`=0

P`(cos θ)

∫V

dV ′ρ(r′)r`<r`+1>

P`(cos θ′) (2.29)

2.2.1 Potencial eletrostatico de um anel carregado

Vamos considerar, como um exemplo do metodo da funcao de Green, o potencialeletrostatico criado por um anel de raio R com uma carga total q distribuidauniformemente em sua extensao. A densidade de cargas correspondente a essadistribuicao e singular, ou seja, pode ser expressa por meio de funcoes delta

ρ(r′) =q

2πR2δ(r′ −R)δ(cos θ′), (2.30)

o que pode ser facilmente provado integrando-se a densidade de carga sobre todoo espaco, tal que

∫Vρ(r′)dV ′ = q.

Calcularemos o potencial nos pontos onde r > r′, tal que r< = r′ e r> = r(fica como exercıcio o calculo para r < r′). Substituindo (2.30) em (2.133) temos

ϕ(r) = k∞∑`=0

P`(cos θ)

∫V

dV ′ρ(r′)r′`

r`+1P`(cos θ

′)

= kq

2πR2

∞∑`=0

P`(cos θ)1

r`+1

∫ 2π

0

dφ′︸︷︷︸=2π

×

∫ +1

−1

d(cos θ′)δ(cos θ′)P`(cos θ′)︸︷︷︸

=P`(0)

∫ ∞

0

dr′r′2δ(r′ −R)r′

`

︸︷︷︸=R`+2

= kq∞∑`=0

P`(0)P`(cos θ)R`

r`+1(2.31)

onde usamos a propriedade de filtragem da funcao delta para resolver as inte-grais.


Usando a propriedade (B.16), resulta que a somatoria em (2.31) deve serfeita apenas sobre os valores pares de `, ou entao sobre os valores inteiros de n:

ϕ(r) =kq

R

∞∑n=0

(−1)n(2n− 1)!!

2nn!

(R

r

)2n+1

P2n(cos θ), (2.32)

e que e uma serie rapidamente convergente. Os seus tres primeiros termos sao

ϕ(r, θ) = kq

[1

r− 1

4

R2

r3(3 cos2 θ − 1) +

3

64

R4

r5(35 cos4 θ − 30 cos2 θ + 3) + · · ·

],

e que identificamos como os termos de monopolo, quadrupolo, etc. como vere-mos adiante neste capıtulo.

2.3 Funcao de Green para a equacao de Laplace-Poisson com superfıcies de contorno

Em geral os problemas de eletrostatica envolvendo solucoes Φ(r) da equacaode Laplace-Poisson envolvem uma ou mais superfıcies de contorno S, nas quaisdevem estar satisfeitas condicoes de contorno apropriadas:

• Dirichlet: especificamos Φ em todos os pontos de S;

• Neumann: especificamos a derivada normal de Φ (igual a componentenormal do campo eletrico) em todos os pontos de S;

En =∂Φ

∂n= ∇Φ · n

onde n e um vetor unitario perpendicular a S em cada ponto. Se S foruma superfıcie fechada, n aponta para fora de S, por convencao.

Pode-se mostrar que, existindo uma solucao compatıvel com qualquer uma dascondicoes de contorno, ela sera unica. Alem disso, nao pode haver condicoesde contorno mistas, ou seja, nao podemos especificar Dirichlet em parte dasuperfıcie S e Neumann no restante dela. Finalmente, se jogarmos a superfıcieS para o infinito, deveremos recuperar os resultados da secao anterior, quesupoem o espaco livre de superfıcies de contorno.

Desejamos, agora, determinar a funcao de Green da equacao de Laplace-Poisson

∇2Φ(r) = −4πkρ(r), (2.33)

para a qual a funcao de Green satisfaz

∇2G(r, r′) = −δ(r− r′). (2.34)

Sejam duas fontes puntiformes diferentes, situadas em r′1 e r′2, tais que

∇2G(r, r′1) = −δ(r− r′1) (2.35)

∇2G(r, r′2) = −δ(r− r′2). (2.36)

2.3. FUNCAO DE GREEN COM CONDICOES DE CONTORNO 63

Multiplicando (2.35) por G(r, r′2), (2.36) por G(r, r′1), subtraindo os resultados

membro-a-membro e integrando em dV obtemos∫V

dV[∇2G(r, r′1)G(r, r

′2)−G(r, r′1)∇2G(r, r′2)

]=

= −∫V

dV δ(r− r′1)G(r, r′2) +

∫V

dV δ(r− r′2)G(r, r′1)

= −G(r′1, r′2) +G(r′2, r′1). (2.37)

Usamos, agora, o teorema de Green no espaco: sejam u(r) e v(r duas funcoesdefinidas numa regiao V delimitada pela superfıcie fechada S. Entao:∫

V

dV (u∇2v − v∇2u) =

∮S

dA

(u∂v

∂n− v

∂u

∂n

), (2.38)

onde (∂u/∂n) = ∇u · n e a derivada normal de u. Fazendo u = G(r, r′2) ev = G(r, r′1) em (2.37) temos que

−G(r′1, r′2) +G(r′2, r′1) =

=

∮dA · [∇G(r, r′1)G(r, r′2)−G(r, r′1)∇G(r, r′2)] . (2.39)

A funcao de Green deve satisfazer as mesmas condicoes de contorno que aEquacao de Laplace-Poisson. Temos, pois, duas situacoes possıveis:

• Dirichlet: G(r, r′) = 0, se r indica um ponto da superfıcie S;

• Neumann: ∇G(r, r′) · n = 0, se r e um ponto de S;

Para ambos os tipos de condicoes de contorno a integral de superfıcie em (2.39)e identicamente nula, de modo que resulta G(r′1, r

′2) = G(r′2, r

′1), cuja gener-

alizacao leva ao teorema de reciprocidade para as funcoes de Green:

G(r, r′) = G(r′, r). (2.40)

Fisicamente, este teorema significa que a fonte puntiforme pode trocar de lugarcom o ponto de observacao sem alterar a solucao da equacao de Laplace-Poisson.

Vamos, agora, obter esta solucao de maneira formal. Multiplicando (2.33)por G(r, r′), (2.34) por ϕ(r), subtraindo os resultados membro-a-membro e in-tegrando em dV obtemos∫

V

dV[∇2ϕ(r)G(r, r′)− ϕ(r)∇2G(r, r′)

]=

= −4πk

∫V

dV ρ(r)G(r, r′) +

∫V

dV δ(r− r′)ϕ(r)

Aplicando o teorema de Green (2.38) no primeiro membro da equacao acima,obtemos

ϕ(r′) = 4πk

∫V

dV ρ(r)G(r, r′) +

+

∮dA · [∇ϕ(r)G(r, r′)− ϕ(r)∇G(r, r′)] (2.41)


Trocando r por r′ e vice-versa, e ainda usando a propriedade de simetria (??)chegamos a solucao formal da equacao inomogenea:

ϕ(r) = 4πk

∫V

dV ′ρ(r′)G(r, r′) +

+

∮dA′ · [∇′ϕ(r′)G(r, r′)− ϕ(r′)∇G(r, r′)] (2.42)

Mesmo com o auxılio desta importante expressao, e preciso que tenhamoscuidado no seu uso pois, dependendo do tipo de condicao de contorno, a propriafuncao de Green sera diferente. A determinacao da funcao de Green na presencade superfıcies de contorno e um problema bastante difıcil, de maneira geral, edo qual nos ocuparemos na proxima secao. Vamos considerar uma condicaode contorno de Dirichlet, para a qual a funcao de Green e suposta conhecida.Impondo, para a funcao de Green, que G(r, r′) = 0 se r′ esta em S, a solucaogeral (2.42) e escrita como

ϕ(r) = 4πk

∫V

dV ′G(r, r′)ρ(r′)−∮S

dA′ · ∇G(r, r′)ϕ(r′). (2.43)

O caso de condicoes de contorno de Neumann fica como exercıcio.

2.4 Funcao de Green com superfıcies de con-torno: Metodo das imagens

O metodo das imagens e especialmente util quando temos condicoes de contornosobre uma superfıcie, e consiste em trabalhar com uma fonte real do tipo funcao-delta e uma fonte virtual, ou imagem, tambem representada por uma funcaodelta, de modo que a superposicao linear das solucoes devidas a ambas produzo valor desejado sobre a superfıcie de contorno. Vamos ilustrar o uso do metododas imagens resolvendo dois problemas especificos.

2.4.1 Problema de Dirichlet para uma superfıcie plana

Inicialmente iremos obter a funcao de Green para um problema de Dirichletsobre uma superfıcie plana. Obteremos a funcao de Green determinando opotencial criado por uma carga puntiforme na presenca de um plano infinitoaterrado (isto e, mantido sob potencial zero).

Funcao de Green

Vamos supor uma carga puntiforme q mantida a distancia d de um plano infinitocondutor e aterrado (ou seja, no potencial zero), suposto ser o plano x− y, talque a carga tenha coordenadas (0, 0, d) [Fig. 2.2]. Devemos resolver a equacaode Laplace-Poisson no semi-espaco infinito z > 0 para uma carga puntiforme qna posicao r′ = dz com as condicoes de contorno

ϕ(x, y, z = 0) = 0, ϕ(|r| → ∞) = 0 (2.44)

Nos introduzimos uma carga imagem q′ situada a uma posicao r′′ = z′′zno semi-eixo z negativo, sem quaisquer outros condutores presentes, tal que o

2.4. METODO DAS IMAGENS 65

x

y

zr’ q’r’’q’’

z = dz = −d

Figura 2.2: Carga puntiforme e sua imagem diante de uma placa condutoraplana aterrada.

potencial no plano z = 0 seja igual a zero. Por simetria, concluimos imediata-mente que q′′ = −q′ e z′′ = −d, de forma que a solucao da equacao de Poissone a superposicao linear dos potenciais gerados tanto pela carga real como pelacarga imagem:

ϕ(x, y, z) = kq

1√x2 + y2 + (z − d)

2− 1√

x2 + y2 + (z + d)2

(2.45)

e que naturalmente satisfaz (2.44).

Nesse caso a funcao de Green sera o potencial correspondente a combinacaode uma carga real q = 1/4πk situada na posicao r′ = (x′, y′, z′) e uma cargaimagem q = −1/4πk localizada em r′ = (x′, y′, z′):

G(x, y, z;x′, y′, z′) =1

4π

1√(x− x′)

2+ (y − y′)

2+ (z − z′)

2−

1√(x− x′)

2+ (y − y′)

2+ (z + z′)

2

, (2.46)

e que satisfaz a condicao de contorno (2.44), pois G(x, y, z = 0;x′, y′, z′) = 0.Alem disso, a funcao de Green e, de fato, simetrica, mediante as trocas x→ x′,y → y′, e z → z′, como prescrito em (2.40).

A solucao geral da equacao de Poisson, quando z > 0, para condicoes decontorno de Dirichlet homogeneas (??), e dada por (2.43) como

ϕ(r) = 4πk

∫V

dV ′G(r, r′)ρ(r′), (2.47)


a

r

P

r − r’

q

r’

q’r’’

x

y

z

Figura 2.3: Carga puntiforme na presenca de uma casca esferica condutoraaterrada.

tal que, substituindo (2.46), tenhamos

ϕ(x, y, z) = k

∫ ∞

∞dx′∫ ∞

∞dy′∫ ∞

0

dz′ρ(x′, y′, z′)×(2.48)

(2.49) 1√(x− x′)

2+ (y − y′)

2+ (z − z′)

2− 1√

(x− x′)2+ (y − y′)

2+ (z + z′)

2

,(2.50)

para uma distribuicao de carga arbitraria ρ(r′) colocada em frente a um planocondutor aterrado.

2.4.2 Problema de Dirichlet para uma superfıcie esferica

Nosso segundo exemplo sera um problema de Dirichlet sobre uma casca esferica.Determinaremos a funcao de Green achando o potencial criado por uma cargapuntiforme na presenca de uma casca esferica aterrada.

Funcao de Green

Um exemplo mais complexo consiste numa carga puntiforme situada em r′,externamente a uma casca esferica de raio a [Fig. 2.3]. O ponto de observacao,onde se quer conhecer o potencial eletrostatico, e localizado pelo vetor posicaor.

Um problema importante e o caso da casca esferica estar aterrada, o quefornece uma condicao de contorno de Dirichlet ϕ(r = a) = 0. A carga imagem,situada em r′′, deve estar, por simetria, na mesma direcao do vetor r′, de modoque o potencial no ponto de observacao devido as cargas real e imagem e dado


por:

ϕ(r) = k

(q

|r− r′|− q′

|r− r′′|

). (2.51)

Escolhendo r = rn, r′ = r′n′, e r′′ = r′′n′ temos

ϕ(r) = k

q

r∣∣∣n− r′

r n′∣∣∣ + q′

r′′∣∣∣ rr′′ n− n′

∣∣∣ . (2.52)

Aplicando a condicao de contorno sobre a esfera carregada obtemos a condicao

q

a∣∣∣n− r′

a n′∣∣∣ = −q′

r′′∣∣∣n′ − a

r′′ n∣∣∣ , (2.53)

que e verificada, para quaisquer valores de n · n′, se

r′

a=

a

r′′, q′ = − a

r′q. (2.54)

Desta forma, a funcao de Green de Dirichlet para o problema sera dadapelo potencial (2.52) no caso de uma carga real q = 1/4πk, e satisfazendo ascondicoes (2.54):

G(r, r′) =1

4π

1

|r− r′|− a

r′∣∣∣r− a2

r′2r′∣∣∣ . (2.55)

que e mais util, na pratica, quando expressa em coordenadas esfericas: P :(r, θ, φ) e P ′ : (r′, θ′, φ′) para o ponto de observacao e a posicao da carga real,respectivamente, sendo γ o angulo entre r e r′ [Fig. 2.4].

Usando a lei dos cossenos

|r− r′| =[r2 − 2rr′ cos γ + r′

2]1/2

, (2.56)∣∣∣∣r− a2

r′2r′∣∣∣∣ =

[r2 − 2

r

r′a2 cos γ +

a4

r′2

]1/2, (2.57)

tal que a funcao de Green, em coordenadas esfericas, e dada por

G(r, r′) =1

4π

1

(r2 − 2rr′ cos γ + r′2)1/2

− 1(r2r′2

a2 + a2 − 2rr′ cos γ)1/2

.

=1

4π

[1

r2 + r′2 − 2rr′ cos γ1/2− a

r2r′2 + a4 − 2a2rr′ cos γ1/2

](2.58)

com a qual podemos verificar diretamente a propriedade de simetria G(r, r′) =G(r′, r). Alem disso, sobre a esfera (r = a) a funcao de Green anula-se identica-mente, em conformidade com a condicao de contorno que supusemos. O anguloentre os vetores r e r′ e dado por

cos γ = cos θ cos θ′ + sin θ sin θ′ cos(φ− φ′). (2.59)


a

r

P

r − r’

q

r’

x

y

z

φ

θ

θ

γ

’

φ’

0

Figura 2.4: Coordenadas esfericas correspondentes as posicoes do ponto de ob-servacao e da carga puntiforme.

Para uso posterior, registramos tambem a derivada radial da funcao de Green(2.58), a saber:

∂G

∂r′=

1

4π

[−r′ + r cos γ

r2 + r′2 − 2rr′ cos γ3/2+

ar(rr′ − a2 cos γ)

r2r′2 + a4 − 2a2rr′ cos γ3/2

](2.60)

Solucao da equacao de Poisson

Alem do caso de uma casca esferica aterrada, um outro problema de Dirichletque pode ser resolvido usando a funcao de Green (2.58) e o de uma casca esfericaisolada de raio a, onde o potencial e uma funcao conhecida dos angulos: ϕ(r =a) = f(θ, φ). Consideramos que haja uma distribuicao volumetrica de cargade densidade ρ(r). A solucao geral da equacao de Poisson para o problema deDirichlet e dada por (2.43)

ϕ(r) = 4πk

∫V

dV ′G(r, r′)ρ(r′)−∮S

dA · ∇′G(r, r′ = a)f(θ′, φ′), (2.61)

onde S e a casca esferica de raio a.

Para encontrar o potencial em todos os pontos do espaco devemos dividir oproblema em duas partes: um problema interior a esfera, ou seja, achar ϕ(r)para r < a; e um problema exterior, onde r > a. No caso do problem interior ovolume V de integracao e a parte do espaco interna a esfera. Entao o elementode area vetorial, que sempre aponta para fora de S, sera n = r, de modo que aderivada normal da funcao de Green sobre a superfıcie S sera, portanto

∇′G(r, r′ = a) · dA′ =

(∂G

∂r′

)r′=a

dA′ (2.62)


onde dA′ = a2dΩ′, e dΩ′ = dφ′ sin θ′dθ′ e o elemento de angulo solido subtendidopelo elemento de area. Entao

ϕ(r) = 4πk

∫V

dV ′G(r, r′)ρ(r′)− a2∫ 2π

0

dφ′∫ π

0

dθ′ sin θ′f(θ′, φ′)

(∂G

∂r′

)r′=a

.

(2.63)Usando (2.60) obtemos(

∂G

∂r′

)r′=a

=1

4π

−a+ r2/a

r2 + a2 − 2ar cos γ3/2(2.64)

e, finalmente, a solucao

ϕ(r) = 4πk

∫V

dV ′G(r, r′)ρ(r′)−

− a

4π

∫ 2π

0

dφ′∫ π

0

dθ′ sin θ′(a2 − r2)f(θ′, φ′)

r2 + a2 − 2ar cos γ(θ′, φ′)3/2

(2.65)

onde a dependencia angular esta implıcita em (2.59). O ultimo termo destaexpressao e comumente chamado formula de Poisson.

O problema de Dirichlet exterior e atacado de forma semelhante. Agora,porem, o volume V de integracao e esterior a esfera, tal que o elemento de areavetorial sera n = −r, o que introduz um sinal negativo na derivada normal dafuncao de Green sobre a superfıcie S, dada por (2.62). Por simplicidade, vamossupor que nao haja densidade de carga ρ = 0, de modo que o potencial e dadoem todos os pontos do espaco apenas pela integral de Poisson:

ϕ(r) = ∓ a

4π

∫ 2π

0

dφ′∫ π

0

dθ′ sin θ′(a2 − r2)f(θ′, φ′)

r2 + a2 − 2ar cos γ(θ′, φ′)3/2

(2.66)

onde o sinal superior (negativo) refere-se ao problema interior, enquanto o sinalinferior (positivo) ao problema exterior.

Calotas hemisfericas sob potenciais diferentes

A integral de Poisson (2.66) so possui solucao analıtica em alguns casos sim-ples. Um exemplo e uma casca esferica feita de duas calotas hemisfericas compotenciais +Φ e −Φ, ou seja, quando

f(θ, φ) =

Φ se 0 ≤ θ < π/2,

−Φ se π/2 < θ ≤ π,(2.67)

de modo que

ϕ(r) = ∓aΦ4π

(a2 − r2)(A+ B), (2.68)

onde definimos as seguintes integrais

A =

∫ 2π

0

dφ′∫ π/2

0

dθ′ sin θ′

r2 + a2 − 2ar cos γ3/2(2.69)

B = −∫ 2π

0

dφ′∫ π

π/2

dθ′ sin θ′

r2 + a2 − 2ar cos γ3/2(2.70)


Os calculos simplificam-se bastante se desejamos calcular o potencial nospontos sobre o eixo z, para os quais r = z, θ = 0, de modo que cos γ = cos θ′.Neste caso some a dependencia no angulo φ, e recaimos em integrais elementares(a substituicao u = z2 + a2 − 2az cos θ′ deve ajudar):

A = 2π

∫ π/2

0

dθ′ sin θ′

z2 + a2 − 2az cos θ′3/2= −2π

az

1√z2 + a2

− 1√(z − a)

2

B = −2π

∫ π

π/2

dθ′ sin θ′

z2 + a2 − 2az cos γ3/2= −2π

az

(1√z + a

− 1√z2 + a2

).

2.5 Funcao de Green com superfıcies de con-torno: o metodo da expansao em autofuncoes

Ummetodo poderoso para determinar a funcao de Green da equacao de Laplace-Poisson e o uso de expansoes em autofuncoes. No caso de problemas de contornocom simetria esferica, temos expansoes em harmonicos esfericos. Podemos en-carar, entao, essa situacao como a generalizacao dos resultados anteriormentededuzidos sem superfıcies de contorno (isto e, para o espaco livre). Para termosum parametro de comparacao abordaremos o mesmo problema anteriormentetratado pelo metodo das imagens, ou seja, um problema de Dirichlet sobre umasuperfıcie esferica.

2.5.1 Problema de Dirichlet sobre uma superfıcie esferica

Consideremos a equacao de Laplace-Poisson

∇2Φ(r) = −4πkρ(r), (2.71)

cuja funcao de Green correspondente satisfaz

∇2G(r, r′) = −δ(r− r′). (2.72)

e impomos as seguintes condicoes de contorno de Dirichlet

ϕ(r = a) = f(θ, φ), G(r = a, r′) = 0. (2.73)

Duas propriedades importantes dos harmonicos esfericos sao a condicao deortonormalidade∫ 2π

0

dφ

∫ π

0

sin θdθY ∗m′

`′ (θ, φ)Y m` (θ, φ) = δ`,`′δm,m′ , (2.74)

e a condicao de completeza

∞∑`=0

∑m=−`

Y ∗m` (θ′, φ′)Y m` (θ, φ) = δ(φ− φ′)δ(cos θ − cos θ′). (2.75)

Ambas nos garantem que os harmonicos esfericos Y m` ∞`=0, −` ≤ m ≤ m,formam um conjunto completo e ortonormal de funcoes de base. Neste caso

2.5. EXPANSAO EM AUTOFUNCOES 71

uma funcao arbitraria dos angulos θ e φ sobre a superfıcie esferica pode serexpandida como uma superposicao linear dos harmonicos esfericos. Isto vale,em particular, para a propria funcao de Green, que escreveremos na seguinteforma

G(r, r′) =1

4π

∞∑`=0

∑m=−`

g`(r, r′)Y ∗m

` (θ′, φ′)Y m` (θ, φ), (2.76)

onde g`(r, r′) sao coeficientes a determinar, denominados funcao de Green radial.

2.5.2 Funcao de Green radial

Usaremos, aqui, a seguinte representacao da funcao delta em coordenadas esfericas

δ(r− r′) =1

r2δ(r − r′)δ(cos θ − cos θ′)δ(φ− φ′) (2.77)

=1

r2δ(r − r′)

∞∑`=0

∑m=−`

Y ∗m` (θ′, φ′)Y m` (θ, φ) (2.78)

onde usamos a condicao de completeza (2.75). Tambem sera necessaria a ex-pressao do operador Laplaciano em coordenadas esfericas, a qual escreveremosna seguinte forma

∇2G =1

r

∂2(rG)

∂r2+

1

r2L2[G], (2.79)

onde definimos o operador de momentum angular como na mecanica quantica:

L2[G] =1

sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂G

∂θ

)+

1

sin2 θ

∂2G

∂φ2, (2.80)

que recebe este nome devido a seguinte propriedade familiar [exercıcio]:

L2[Y m` ] = −`(`+ 1)Y m` . (2.81)

Substituindo (2.76), (2.78), (2.81) e (2.79) em (2.72), e agrupando os termossemelhantes obteremos∑

`,m

Y ∗m` Y

m`

1

r

d2(rg`)

dr2− `(`+ 1)

r2g` +

4π

r2δ(r − r′)

= 0 (2.82)

Para valores arbitrarios de ` e m o termo entre chaves deve anular-se identica-mente, de modo que os coeficientes g` devem ser as solucoes da seguinte equacaodiferencial inomogenea

1

r

d2(rg`)

dr2− `(`+ 1)

r2g` = −4π

r2δ(r − r′). (2.83)

Se r 6= r′ a funcao delta anula-se em (2.83), que torna-se assim uma equacaohomogenea. Pode-se mostrar facilmente que r` e r−`−1 sao duas solucoes lin-earmente independentes, de modo que, levando em conta a presenca da funcaodelta, obtemos as seguintes solucoes:

g`(r, r′) =

Ar` +Br−(`+1) se r < r′,

A′r` +B′r−(`+1) se r > r′,(2.84)


onde A, B, A′ e B′ sao constantes de integracao, cujo valor depende tantode condicoes de contorno como de condicoes impostas sobre a descontinuidadeprovocada pela funcao delta de Dirac. A condicao de contorno de Dirichletg`(r = a, r′) = 0 implica em B′ = −a2`+1A′. Alem disso, se exigimos que asolucao seja regular (finita) na origem entao devemos impor que B = 0. Logo

g`(r, r′) =

Ar` se r < r′,

A′(r` − a2`+1

r′`+1

)se r > r′,

(2.85)

Impondo, agora, que as solucoes sejam contınuas no ponto r = r′ onde eaplicada a funcao delta, temos a condicao

g`(r = r′ − 0, r′) = g`(r = r′ + 0, r′) (2.86)

que, em vista de (2.85), fornece

Ar′`= A′

(r′` − a2`+1

r′`+1

). (2.87)

A derivada das solucoes, no entanto, e descontınua no ponto r = r′. Paracalcular o salto da derivada nos multiplicamos (2.83) por r e integramos noentorno de r = r′:∫ r′+ε

r′−εdrd2(rg`)

dr2−∫ r′+ε

r′−εdr`(`+ 1)

r2g` = −4π

∫ r′+ε

r′−ε

dr

r2δ(r − r′)

d

dr(rg`)

∣∣∣∣r′+εr′−ε

−∫ r′+ε

r′−εdr`(`+ 1)

r2= −4π

r2

Tomando o limite ε → 0 a integral acima anula-se devido ao teorema do valormedio do calculo integral. O salto da derivada sera, portanto, dado por

(rg`)′(r = r′ + 0, r′)− (rg`)

′(r = r′ + 0, r′) = −4π

r2(2.88)

Aplicando esta condicao na solucao (2.85) chegamos a seguinte relacao

A′[(`+ 1)r′

` − a2`+1

r′`+1

]−A(`+ 1)r′

`= −4π

r2, (2.89)

a qual, juntamente com (2.87) forma um sistema simples de equacoes cujasolucao e

A = − 4π

2`+ 1

(r′`

a2`+1− 1

r′`+1

), (2.90)

A′ = − 4π

2`+ 1

r′`

a2`+1, (2.91)

de forma que a funcao de Green radial procurada e

g`(r, r′) =

− 4π2`+1

(r′`

a2`+1 − 1r′`+1

)r` se r < r′,

− 4π2`+1

(r`

a2`+1 − 1r`+1

)r′`

se r > r′,(2.92)

e que podem ser coletivamente escrita, com o auxılio de (2.17), como

g`(r, r′) = − 4π

2`+ 1

(r<

`

a2`+1− 1

r>`+1

)r`<. (2.93)

2.5. EXPANSAO EM AUTOFUNCOES 73

2.5.3 Problemas interior e exterior

A expansao em harmonicos esfericos da funcao de Green (2.76) para o problemade Dirichlet sobre a esfera de raio a sera

G(r, r′) =∑`,m

(1

r>`+1− r<

`

a2`+1

)Y ∗m

` (θ′, φ′)Y m` (θ, φ). (2.94)

Se jogarmos a superfıcie esferica para o infinito, fazendo a→ ∞ esta expressaoreduz-se a (2.16), que e a expansao valida no espaco livre, e que foi obtidaanteriormente por um outro metodo.

A solucao geral da equacao de Laplace-Poisson sera, de (2.63)

ϕ(r) = 4πk

∫V

dV ′G(r, r′)ρ(r′)∓ a2∫ 2π

0

dφ′∫ π

0

dθ′ sin θ′f(θ′, φ′)

(∂G

∂r′

)r′=a

.

(2.95)onde o sinal superior (negativo) refere-se ao problema interior a esfera, para oqual r < a, e o sinal inferior (negativo) ao problema exterior (r > a). Ha, noentanto, uma sutil diferenca para com o tratamento dado anteriormente paraeste problema, via metodo das imagens: a derivada normal da funcao de Greenna superfıcie e diferente para os dois casos.

Para o problema interior, por exemplo, como r < r′ = a, entao r> = r′ er< = r, de modo que(

∂G

∂r′

)r′=a

= −∑`,m

r`

a`+2Y ∗m

` (θ′, φ′)Y m` (θ, φ), (2.96)

ao passo que, para o problema exterior r> = r e r< = r′, e a derivada normal ecompletamente diferente da anterior:(

∂G

∂r′

)r′=a

= −∑`,m

`

2`+ 1

(a`−1

r`+1− r`

a`+2

)Y ∗m

` (θ′, φ′)Y m` (θ, φ), (2.97)

Por simplicidade, consideramos o caso em que nao haja densidade de cargano espaco, de tal sorte que o potencial depende apenas do termo de superfıcie:

ϕ(r) =

∑`,m

(ra

)`Y m` (θ, φ)J`,m se r < a,∑

`,m`

2`+1

[(ar

)`+1 −(ra

)`]Y m` (θ, φ)J`,m se r > a,

(2.98)

onde definimos a integral

J`,m =

∫ 2π

0

dφ′∫ π

0

dθ′ sin θ′f(θ′, φ′)Y ∗m` (θ′, φ′). (2.99)

Calotas hemisfericas sob potenciais diferentes

Vamos revisitar o mesmo problema tratado anteriormente pelo metodo das im-agens, que e o de uma casca esferica feita de duas calotas hemisfericas compotenciais +Φ e −Φ, para o qual

f(θ, φ) =

Φ se 0 ≤ θ < π/2,

−Φ se π/2 < θ ≤ π.(2.100)


Este e um problema com simetria azimutal, ou seja, nao ha dependencia noangulo φ. Neste caso sobrevivem apenas os termos para os quais m = 0, ondeo harmonico esferico correspondente torna-se proporcional a um polinomio deLegendre:

Y 0` (θ) =

√2`+ 1

4πP`(cos θ). (2.101)

Neste caso a integral (2.99) e

J`,0 = 2π

√2`+ 1

4π

∫ π

0

dθ′ sin θ′f(θ′, φ′)P`(cos θ′) = 2πΦ

√2`+ 1

4π(I1 − I2),

(2.102)onde

I1 =

∫ π/2

0

dθ′ sin θ′P`(cos θ′), I2 =

∫ π

π/2

dθ′ sin θ′P`(cos θ′) (2.103)

Fazendo a substituicao de variavel θ′′ = π − θ′, concluimos que I2 = I1quando P` for uma funcao par de seu argumento (` e par), e I2 = −I1 quando P`for funcao ımpar (` e ımpar). No primeiro caso a integral J`,0 e nula, enquantono segundo caso

J`,0 = 2πΦ

√2`+ 1

4πI1, (è ımpar). (2.104)

Mudando a variavel para z = cos θ′ obtemos uma integral conhecida [vide Eq.(B.17)]

I1 =

∫ 1

0

dzP`(z) = (−1)(`−1)/2 (`− 2)!!

(`+ 1)!!. (2.105)

Dessa forma os problemas interior e exterior tem solucao analıtica em ter-mos de uma serie infinita de polinomios de Legendre (que converge, gracas apropriedade de completeza dos harmonicos esfericos):

ϕ(r) = Φ

∑ìmpar c`

(ra

)`P`(cos θ) se r < a,∑

`,m d`

[(ar

)`+1 −(ra

)`]P`(cos θ) se r > a,

(2.106)

onde

c` = (−1)(`−1)/2

(2`+ 1)(`− 2)!!

(`+ 1)!!(2.107)

d` = (−1)(`−1)/2 `√

2`+ 1

(`− 2)!!

(`+ 1)!!. (2.108)

2.6 Momentos da densidade de carga

Dada uma distribuicao de carga ρ(r) podemos construir varios momentos quesao utilizados nas expansoes em multipolos da Eletrostatica. O mais simplesdos momentos e a propria carga eletrica

q =

∫dV ρ(r). (2.109)

2.6. MOMENTOS DA DENSIDADE DE CARGA 75

Para um sistema de cargas puntiformes a densidade de carga e singular

ρ(r) =N∑a=1

qaδ(r− ra), (2.110)

de modo que a carga total do sistema e simplesmente q =∑a qa.

2.6.1 Momento de dipolo eletrico

O momento de dipolo eletrico de uma distribuicao de carga e definido como

p =

∫dV rρ(r), (2.111)

de modo que, para um sistema de cargas descrito por (2.110), temos que

p =∑a

qara. (2.112)

Se a carga total do sistema for nula o momento de dipolo eletrico nao depende daescolha da origem do sistema de coordenadas. De fato, fazendo uma translacaoda origem por um vetor constante δr as posicoes das cargas sao alteradas parar′a = ra+ δr. Substituindo em (2.112) e impondo que q = 0 resulta em p′ = p.

Se ha cargas positivas q+a e negativas q−a no sistema, situadas respecti-vamente nas posicoes r+a e r−a , o momento de dipolo sera

p =∑a

q+a r+a q

−a r

−a . (2.113)

Definindo os centros de carga positiva e negativa do sistema a partir dos seusrespectivos vetores de posicao

R+ =

∑a q

+a r

+a∑

a q+a

, R− =

∑a q

−a r

−a∑

a q−a

, (2.114)

reescrevemos (2.113) como

p = R+∑a

q+a −R−∑a

q−a . (2.115)

Numa molecula com numero atomico total Z temos∑a q

+a =

∑a q

−a = Ze,

onde e = 1, 609 × 10−19C e a carga eletrica elementar (no SI), o momento dedipolo eletrico sera, pois p = ZeR+−, onde R+− e o vetor que vai do centro decarga negativa para o centro de carga positiva. Como a carga total da moleculae nula, o momento de dipolo assim definido nao depende da escolha da origemdo sistema de coordenadas.

2.6.2 Momento de quadrupolo eletrico

O tensor momento de quadrupolo eletrico de uma distribuicao de carga Q temcomponentes cartesianas dadas por (i, j = 1, 2, 3 = x, y, z):

Qij =

∫dV ρ(r)(3xixj − r2δij), (2.116)


onde r2 = xixi = x2+ y2+ z2 e δij e a delta de Kronecker. Para um sistema decargas puntiformes cuja densidade de carga e dada por (2.110), as componentesdo tensor momento de quadrupolo sao

Qij =∑

qa(3xaixaj − r2aδij), (2.117)

onde r2a = xaixai = x2a + y2a + z2a.Duas propriedades matematicas importantes do tensor momento de quadrupolo

eletrico sao: (i) simetria, ou seja, Qji = Qij ; (ii) traco nulo:

TrQ = Qii =

∫dV ρ(r(3xixi︸︷︷︸

=r2

−r2 δii︸︷︷︸=3

) = 0. (2.118)

Em consequencia, uma das componentes diagonais pode ser escrita em funcaodas outras duas, ja que

Qxx +Qyy +Qzz = 0. (2.119)

Devido, ainda, a simetria, o tensor momento de quadrupolo eletrico tem apenas(3− 1) + 3 = 5 componentes independentes:

Qxx =

∫dV ρ(r)(2x2 − y2 − z2), (2.120)

Qyy =

∫dV ρ(r)(−x2 + 2y2 − z2), (2.121)

Qzz =

∫dV ρ(r)(−x2 − y2 + 2z2), (2.122)

Qxy = 3

∫dV ρ(r)xy = Qyx, (2.123)

Qxz = 3

∫dV ρ(r)xz = Qzx, (2.124)

Qyz = 3

∫dV ρ(r)yz = Qzy. (2.125)

Sabemos, da Algebra Linear, que um tensor simetrico pode ser diagonal-izado, ou seja, podemos encontrar uma transformacao linear de variaveis talque o tensor so tenha elementos diagonais. Os autovalores do tensor Q, quedenotaremos por Q, sao as solucoes da equacao secular det(Qij −Qδij) = 0, ou∣∣∣∣∣∣

Qxx −Q Qxy QxzQxy Qyy −Q QyzQxz Qyz Qzz −Q

∣∣∣∣∣∣ = 0, (2.126)

que resulta numa equacao do terceiro grau. Se as raizes desta equacao foremreais e distintos (Q1, Q2, Q3), o tensor tera a forma diagonal

(Qij) =

Q1 0 00 Q2 00 0 Q3

(2.127)

Os autovetores do tensor Q relativos aos autovalores (Q1, Q2, Q3) definem,no espaco tridimensional, os eixos principais do tensor. Se a distribuicao de

2.7. EXPANSAO DO POTENCIAL EM MULTIPOLOS 77

cargas for simetrica em relacao a algum eixo, por exemplo o eixo z, este seraum dos eixos principais do tensor, relativo ao autovalor Q3 = Qz. Os outrosdois eixos devem ser ortogonais ao eixo z, por exemplo os proprios eixos x e y.Neste caso Q2 = Q3 ou Qy = Qx. Impondo, ainda, a condicao de traco nulo(6.124), resulta que Qx = Qy = −Qz/2 e

(Qij) = Qz

−1/2 0 00 −1/2 00 0 1

, (2.128)

onde Qz e chamado de momento de quadrupolo da distribuicao.

Momento de quadrupolo de um elipsoide carregado

Como um exemplo de aplicacao vamos determinar o tensor momento de quadrupoloeletrico de uma distribuicao de cargas na forma de um elipsoide de semi-eixos(a = b 6= c), e cuja equacao cartesiana e

x2

a2+y2

a2+z2

c2= 1. (2.129)

O volume do elipsoide e (4/3)πa2c, de modo que a carga total, supondo umadensidade uniforme, e

q =4

3ρπa4c. (2.130)

O elipsoide e um exemplo de distribuicao simetrica em relacao ao eixo z, logoseu tensor momento de quadrupolo eletrico e dado por (2.128), e precisamos poiscalcular apenas um dos elementos, a saber

Qzz = ρ

∫dV (−x2 − y2 + 2z2) = ρπ

∫ c

−cdzs2(−s2 + 2z2), (2.131)

onde dividimos o elipsoide em fatias infinitesimais de espessura dz e raio s2 =x2 + y2. A relacao entre s e z e dada por (2.129)

s2 = a2(1− z2

c2

),

que, substituida em (2.131) leva, apos uma integracao elementar, ao resultado

Qz =2

5q(c2 − 2a2). (2.132)

Se os tres semi-eixos do elipsoide fossem iguais (uma esfera carregada), o mo-mento de quadrupolo seria nulo. Para um elipsoide prolato ((a = b < c)) omomento de quadrupolo e positivo; para um elipsoide oblato (a = b > c) omomento e negativo.

2.7 Expansao do Potencial em Multipolos

Na presenca de uma densidade de carga qualquer ρ(r), vimos que a equacao dePoisson admite como solucao, na ausencia de superfıcies de contorno, a seguintesolucao geral

ϕ(r) = 4πk

∫V

dV ′G(r, r′)ρ(r′), (2.133)


onde G(r, r′) e a funcao de Green dada por (2.9). Usando a expansao da funcaode Green em harmonicos esfericos (2.25) obtemos uma expansao similar para opotencial

ϕ(r) = k∞∑`=0

∑m=−`

1

2`+ 1

∫dV ′ρ(r′)

r`<r`+1>

Y ∗m` (θ′, φ′)Y m` (θ, φ). (2.134)

Normalmente estaremos interessados em pontos fora da distribuicao de carga(de fato, muito longe dela!), de modo que r< = r e r> = r, e portanto

ϕ(r) = k∑`

∑m

4π

2`+ 1

Y m` (θ, φ)

r`+1

∫dV ′(r′)

`ρ(r′)Y ∗m

` (θ′, φ′)

= k∑`,m

4π

2`+ 1qm`

Y m` (θ, φ)

r`+1. (2.135)

onde definimos o momento de multipolo de ordem 2` como

qm` =

∫dV ′(r′)

`ρ(r′)Y ∗m

` (θ′, φ′). (2.136)

A expansao do potencial eletrostatico em multipolos pode ser reescrita daseguinte maneira:

ϕ(r) =∞∑`=0

ϕ`(r), (2.137)

onde o termo de ordem ` e

ϕ`(r) = k∑m=−`

4π

2`+ 1qm`

Y m` (θ, φ)

r`+1. (2.138)

Na sequencia, vamos considerar esta expansao para ` indo de zero ate dois, porserem os casos de maior interesse imediato. As expressoes para os harmonicosesfericos respectivos podem ser encontradas na Tabela B.1.4 do Apendice B.

2.7.1 Termo de monopolo

Quando ` = 0 so precisamos considerar m = 0, e o momento de monopolocorrespondente e proporcional a carga total do sistema:

q00 =

∫dV ′ρ(r′)Y ∗0

0 =1√4πq. (2.139)

Ja o termo correspondente do potencial e simplesmente

ϕ0 = kq

r. (2.140)

2.7. EXPANSAO DO POTENCIAL EM MULTIPOLOS 79

2.7.2 Termo de dipolo

O caso ` = 1 implica em m = −1, 0, 1. Comecando por m = 1 teremos

q11 =

∫dV ′r′ρ(r′)Y ∗1

1(θ′, φ′)

= −√

3

8π

∫dV ′r′ρ(r′) sin θ′e−iφ

′

= −√

3

8π

∫dV ′ρ(r′)r′ sin θ′(cosφ′ − i sinφ′)

= −√

3

8π

∫dV ′ρ(r′)(x′ − iy′) (2.141)

onde usamos as relacoes entre coordenadas esfericas e cartesianas

x = r sin θ cosφ, (2.142)

y = r sin θ sinφ, (2.143)

z = r cos θ. (2.144)

Os termos no integrando sao as componentes x e y do momento de dipoloeletrico (??):

q11 = −√

3

8π(px − ipy). (2.145)

De modo analogo podemos mostrar que

q−11 = −

√3

8π(px + ipy), (2.146)

q01 = −√

3

4πpz. (2.147)

O termo do potencial correspondente ao dipolo sera dado por (2.138)

ϕ1(r) =4πk

3

1

r2(q−11 Y −1

1 (θ phi) + q01Y01 (θ phi) + q11Y

11 (θ phi)

)=

k

r2[(px + ipy) sin θe

−iφ + (px − ipy) sin θeiφ + 2pz cos θ

](2.148)

=k

r2

px sin θ cosφ︸︷︷︸=x/r

+py sin θ sinφ︸︷︷︸=y/r

+pz cos θ︸︷︷︸=z/r

=

k

r3p · r. (2.149)


2.7.3 Termo de quadrupolo

O caso ` = 2 implica em tomarmos m = 0,±1,±2. O momento para m = 2 e

q22 =

∫dV ′r′2ρ(r′)Y ∗2

2(θ′, φ′)

=1

4

√15

2π

∫dV ′r′2ρ(r′) sin2 θ′e−2iφ′

=1

4

√15

2π

∫dV ′ρ(r′)[r′ sin θ′(cosφ′ − i sinφ)]

2

=1

4

√15

2π

∫dV ′ρ(r′)(x′ − iy′)

2(2.150)

Como

(x′ − iy′)2= x′2 − 2ix′y′ − y′2 =

1

3(3x′2 − 3y′2 − 6ix′y′+z′2 − z′2)

onde somamos e subtraimos os termos sublinhados, podemos exprimir o inte-grando em (2.150) em termos de uma combinacao linear de componentes dotensor de quadrupolo eletrico (3.151):

q22 =1

12

√15

2π(Qxx − 2iQxy −Qyy). (2.151)

De forma similar obtemos

q−22 =

1

12

√15

2π(Qxx + 2iQxy −Qyy), (2.152)

sendo que, em geralq−m` = (−1)

mq∗m` . (2.153)

Os outros momentos sao obtidos de forma analoga, com os seguintes resul-tados

q12 = −1

3

√15

8π(Qxz − iQyz) (2.154)

q−12 =

1

3

√15

8π(Qxz + iQyz) (2.155)

q02 =1

2

√5

4πQzz. (2.156)

O termo de quadrupolo do potencial e, entao,

ϕ2(r) =4πk

5

1

r3(q−22 Y −2

2 + q−12 Y −1

2 + q02Y02 + q12Y

12 + q22Y

22

)=

k

2r5(x2Qxx − y2Qxx + 4(xyQxy + xzQxz + yzQyz)−

−x2Qyy + y2Qyy + z2Qzz + (z2 − x2 − y2)Qzz)

=k

2r5(x2Qxx + y2Qyy + z2Qzz2(xyQxy + xzQxz + yzQyz)

),

2.8. EXPANSAO EM MULTIPOLOS DO CAMPO ELETRICO 81

onde, no termo sublinhado, nos fizemos uso da condicao de traco nulo (6.124)do tensor de quadrupolo eletrico. Usando a convencao de soma duas vezes, aexpressao acima pode ser reescrita de forma bem mais compacta como

ϕ2(r) =k

2r5xixjQij , (2.157)

lembrando que o tensor e, tambem, simetrico.

E instrutivo verificar a forma desse termo quando a distribuicao de cargasfor simetrica em relacao ao eixo z, caso em que o tensor e diagonalizado naforma 2.128:

ϕ2(r) =kQz4r5

(2z2 − x2 − y2) =

=kQz4r5

(3z2 − r2)

=kQz4r3

(3 cos2 θ − 1), (2.158)

onde o termo entre parentesis e o polinomio de Legendre de ordem ` = 2.

2.8 Expansao em Multipolos do Campo Eletrico

Como o campo eletrico e menos o gradiente do potencial (2.137), as suas com-ponentes em coordenadas esfericas sao

Er = −∂ϕ∂r

= 4πk∑`,m

`+ 1

2`+ 1

1

r`+2qm` Y

m` (θ, φ), (2.159)

Eθ = −1

r

∂ϕ

∂θ= −4πk

∑`,m

1

2`+ 1

1

r`+2qm`

∂Y m`∂θ

, (2.160)

Eφ = − 1

r sin θ

∂ϕ

∂φ= −4πk

∑`,m

im

2`+ 1

1

r`+2qm`

Y m`sin θ

, (2.161)

ja que Y m` ∼ exp(imφ).

Pela sua importancia em aplicacoes eletrostaticas, e interessante tratarmoso caso de simetria azimutal, ou seja, onde a distribuicao de carga nao dependedo angulo φ. Neste caso nos limitamos a m = 0, tal que os harmonicos esfericosassumem a forma

Y 0` (θ) =

√2`+ 1

4πP`(cos θ), (2.162)

cujas derivadas sao obtidas usando a regra da cadeia

∂Y 0`

∂θ= −

√2`+ 1

4πsin θP ′

`(cos θ), (2.163)

onde o primo denota derivacao em relacao ao argumento (que no caso e cos θ).


Alem disso, as expressoes para os momentos de multipolo sao particular-mente simples, a saber:

q00 =

√1

4πq, (2.164)

q01 =

√3

4πpz, (2.165)

q02 =

√5

16πQz, (2.166)

e assim por diante. Para a componente radial (2.159) obtemos

Er = k√4π

∞∑`=0

`+ 1√2`+ 1

1

r`+2q0`P`(θ),

=kq

r2+

2kpzr3

cos θ +3kQz4

(3 cos2 θ − 1) + . . . . (2.167)

A derivada dos polinomios de Legendre pode ser calculada, para ` generico,usando a identidade (??), dando

P ′`(cos θ) =

`

sin2 θ[P`−1(cos θ)− cos θP`(cos θ)] , (2.168)

com a qual encontramos uma expansao da componente polar (2.160) em termosunicamente de polinomios de Legendre:

Eθ = k√4π

∞∑`=0

`√2`+ 1

1

r`+2q0`

[P`−1(cos θ)− cos θP`(cos θ)

sin θ

]=

kpzr3

sin θ +3kQz2

sin θ cos θ . . . . (2.169)

Finalmente, como a componente azimutal do campo e proporcional ao ındicem, no caso de simetria azimutal Eφ = 0.

O termo de dipolo da expansao do potencial em multipolos tambem podeser escrito de uma forma vetorial tomando diretamente o gradiente de (3.158):

E = −k∇(p · rr3

)= − k

r3∇(p · r)− k(p · r)∇

(1

r3

)

= − k

r3

(p · ∇)r︸︷︷︸=p

+(r · ∇)p︸︷︷︸=0

+p× (∇× r)︸︷︷︸=0

+r× (∇× p)︸︷︷︸=0

+3k

r4(p · r)r

=k

r3[3r(p · r)− p] . (2.170)

2.8.1 Linhas de forca do Campo dipolar

O campo eletrico e tangente a uma linha de forca em todos os seus pontos. Sedr denota o elemento de deslocamento, a equacao de uma linha de forca e

E(r)× dr = 0. (2.171)

2.9. ENERGIA ELETROSTATICA 83

Em coordenadas cartesianas, essa expressao pode ser escrita na forma

dx

Ex=dy

Ey=dz

Ez. (2.172)

Ja em coordenadas polares planas, a equacao diferencial das linhas de forca e

dr

Er=rdθ

Eθ. (2.173)

Se consideramos o campo de um dipolo, cujas componentes sao

Er(r, θ) = k2pzr3

cos θ, (2.174)

Eθ(r, θ) = kpzr3

sin θ, (2.175)

a equacao das linhas de forca sera

dr

dθ=rErEθ

= 2r cot θ, (2.176)

que pode ser integrada imediatamente, dando como resultado

r

r0=

(sin θ

sin θ0

)2

, (2.177)

onde (r0, θ0) sao constantes de integracao. Cada linha de forca corresponde auma escolha particular destas constantes. Por exemplo, se r0 = 1 e θ0 = π/2 aequacao da linha de forca e r = sin2 θ, e assim por diante.

2.9 Energia eletrostatica

No Capıtulo I vimos que a densidade de energia do campo eletromagnetico edada por

u =1

8πk(E2 + c2g2B2). (2.178)

No caso eletrostatico B = 0 e a energia eletrostatica contida num volume V e

U =1

8πk

∫V

dVE ·E. (2.179)

Como E = −∇ϕ entao

U = − 1

8πk

∫V

dVE ·∇ϕ = − 1

8πk

∫V

dV∇· (Eϕ)+ 1

8πk

∫V

dV ϕ∇ ·E︸︷︷︸=4πkρ

. (2.180)

Usando o teorema do divergente na primeira integral

U = − 1

8πk

∮S

(Eϕ) · dA+1

2

∫V

dV ϕρ (2.181)

onde S e a superfıcie que limita V . Jogando a superfıcie para o infinito, ondesupostamente o campo eletrico se anula, temos a seguinte formula para energiaeletrostatica do sistema

U =1

2

∫V

dV ϕ(r)ρ(r). (2.182)


Para um sistema de cargas puntiformes, onde a densidade de carga e singulare dada por (2.110), essa expressao torna-se

U =1

2

∑a

qaϕ(ra). (2.183)

2.9.1 Raio classico do eletron

Se houver apenas uma carga no sistema, a energia associada a seu proprio campoeletrostatico (ou auto-energia) e

U =1

2qϕ =

kq2

2r. (2.184)

Exatamente na posicao da carga, que e suposta puntiforme, essa auto-energia einfinita.

Como lidar com este problema e uma questao que certamente ultrapassao limite de aplicabilidade da eletrodinamica classica. Se formos diminuindo adistancia a carga, a auto-energia torna-se da ordem da energia de repouso dapartıcula (mc2). Essa distancia crıtica e chamada raio classico da partıcula, e edada por

R0 =kq2

mc2(2.185)

Para o eletron, por exemplo, esse raio classico e R0 = 2, 818 × 10−13cm. Adistancias da ordem ou menores que essa precisamos levar em conta efeitosquanticos, o que e feito pela Eletrodinamica Quantica. No entanto, mesmonesse ambito, o fato das auto-energias serem infinitas e um problema de grandecomplexidade, sendo contornado por um procedimento denominado renormal-izacao.

Logo, descontando as auto-energias das partıculas, a energia eletrostatica deum sistema de partıculas puntiformes e

U =1

2

∑a

qaϕ′(ra) =

k

2

∑a

∑b6=a

qaqb|rb − ra|

, (2.186)

ondeϕ′(ra) = k

∑b6=a

qb|rb − ra|

(2.187)

e o potencial sobre a carga qa devido a todas as outras cargas do sistema menosela propria. Para um dipolo eletrico, por exemplo, onde ha duas cargas ±qseparadas de uma distancia d, a energia e −kq2/d.

2.10 Distribuicao de carga interagindo com umcampo eletrico externo

Vamos considerar um sistema de cargas puntiformes que interagem com umcampo eletrico externo E(r) = −∇ϕ(r). Nos desconsideramos as interacoesmutuas entre as cargas, de modo que a energia eletrostatica para este caso esimplesmente

U =∑

qaϕ(ra), (2.188)

2.10. DISTRIBUICAO DE CARGA INTERAGINDO COMUMCAMPO ELETRICO EXTERNO85

onde ϕ(ra) e o potencial na posicao da a-esima carga. Se houver uma dis-tribuicao contınua de carga, a expressao equivalente e

U =

∫V

dV ϕ(r)ρ(r). (2.189)

Supondo um ponto de referencia no interior da distribuicao de carga (quepode ser jogado para a origem), o potencial nas vizinhancas desse ponto podeser escrito como uma serie de Taylor:

ϕ(x, y, z) = ϕ(0) + xi∂iϕ(0) +1

2xixj∂ijϕ(0) + . . .

= ϕ(0)− xiEi(0)−1

2xixj∂iEj(0) + . . . . (2.190)

Como o campo eletrico e considerado externo, as suas fontes estao fora dadistribuicao de cargas (podem ser as placas distantes de um capacitor, porexemplo). Neste caso, pela Lei de Gauss eletrica, ∇ · E(0) = 0. Somando otermo identicamente nulo (r2/6)∇ ·E(0) em (2.190), temos

ϕ(r) = ϕ(0)− r ·E(0)− 1

2xixj∂iEj(0) +

1

6r2∂iEi(0) + · · ·

= ϕ(0)− r ·E(0)− 1

2xixj∂iEj(0) +

1

6r2δij∂iEj(0) + · · ·

= ϕ(0)− r ·E(0)− 1

6(3xixj − r2δij)∂iEj(0) + · · · (2.191)

Substituindo (2.191) em (2.189) teremos uma expansao em multipolos daenergia do sistema

U =

∫dV ρ(r)︸︷︷︸=q

ϕ(0)−∫dV ρ(r)r︸︷︷︸=p

·E(0)−1

6

∫dV ρ(r)(3xixj − r2δij)︸︷︷︸

=Qij

∂iEj(0)+· · ·

(2.192)onde usamos as expressoes para os momentos da densidade de carga. Chegamos,assim, aos seguintes termos

U = qϕ(0)− p ·E(0)− 1

6Qij∂iEj(0) + . . . (2.193)

cuja interpretacao e bem conhecida: a carga total (q) interage com o potencial,o campo eletrico com o momento de dipolo eletrico (p) e o gradiente do campocom o tensor de quadrupolo eletrico (Qij).

2.10.1 Aplicacoes

Vamos considerar algumas aplicacoes importantes desta expressao da energiaeletrostatica de um sistema. Primeiramente, seja uma carga puntiforme q noponto r1 e um dipolo de momento p no ponto r2. O campo produzido pelacarga na posicao do dipolo e

E(r2) = kqr2 − r1

|r2 − r1|3, (2.194)


de modo que a energia de interacao entre a carga e o dipolo e o segundo termoda expressao (2.193), a saber

U = −p ·E(r2) = −kqp · (r2 − r1)

|r2 − r1|3, (2.195)

Uma segunda aplicacao e a interacao mutua entre dois dipolos eletricos p1

e p2, situados nos pontos r1 e r2, respectivamente. O campo produzido pelodipolo 1 na posicao do dipolo 2 e dado por (2.170):

E(r2) = k3n(p1 · n)− p1

|r2 − r1|3, (2.196)

onde

n =r2 − r1|r2 − r1|

, (2.197)

e o vetor unitario na direcao que liga os dois dipolos.A energia de interacao mutua entre os dois dipolos e dada pela expressao

U = −p2 ·E(r2) = k(p1 · p2)− 3(p1 · n)(p2 · n)

|r2 − r1|3. (2.198)

2.11 Magnetostatica

2.11.1 A equacao de Poisson vetorial

Amagnetostatica e definida pela presenca de um campo magnetico independentedo tempo e a ausencia de campo eletrico. Isto implica na ausencia da correntede deslocamento na Lei de Ampere-Maxwell que, entao, reduz-se a Lei Circuitalde Ampere

∇×B =4πk

gc2J. (2.199)

Alem disso, temos a Lei de Gauss Magnetica

∇ ·B = 0, (2.200)

que e identicamente satisfeita se

B = ∇×A, (2.201)

onde A e o potencial vetor.Substituindo (A.30) em (2.199) temos

∇× (∇×A) = ∇(∇ ·A)−∇2A =4πk

gc2J. (2.202)

Usando o gauge de Coulomb (∇·A = 0) chegamos a equacao de Poisson vetorial

∇2A = −4πk

gc2J. (2.203)

O laplaciano de uma funcao vetorial, como A(r), so tem uma forma partic-ularmente simples em coordenadas cartesianas:

∇2A = (∇2Ax)x+ (∇2Ay)y + (∇2Az)z. (2.204)

2.12. EXPANSAO DO POTENCIAL VETOR EMHARMONICOS ESFERICOS87

Em coordenadas curvilıneas esse operador ja nao e mais tao simples, pois osversores, sendo tambem funcoes das posicoes, devem ser diferenciados quandoforem afetados pelo operador∇. Por exemplo, em coordenadas esfericas teremosa expressao bastante complicada:

∇2A = r

[∇2Ar −

2

r2Ar −

2

r2 sin θ

∂

∂θ(sin θAθ)−

2

r2 sin θ

∂Aφ∂θ

]+

= θ

[∇2Aθ +

2

r2∂Ar∂θ

− 1

r2 sin2 θAθ −

2 cos θ

r2 sin2 θ

∂Aφ∂φ

]+

= φ

[∇2Aφ −

2

r2 sin θAφ +

2

r2 sin2 θ

∂

∂φAr +

2 cos θ

r2 sin2 θ

∂Aθ∂φ

].(2.205)

Logo, quando tratarmos de coordenadas cilındricas, esfericas, etc. e re-comendavel fazermos a conversao para coordenadas cartesianas. Nestas ultimas,a equacao de Poisson vetorial (2.203) pode ser desdobrada em tres equacoes dePoisson escalares:

∇2Ax = −4πk

gc2Jx, (2.206)

∇2Ay = −4πk

gc2Jy, (2.207)

∇2Az = −4πk

gc2Jz. (2.208)

Cada uma destas equacoes tem a forma da equacao de Poisson da elet-rostatica (2.3), onde o termo de fonte e proporcional a respectiva componenteda densidade de corrente. Sendo a funcao de Green a mesma do caso elet-rostatico [Eq. (2.9)], se nao houver superfıcies de contorno, a componente i dopotencial vetor sera dada por

Ai(r) =4πk

gc2

∫dV ′G(r, r′)Ji(r

′), (i = 1, 2, 3),

=k

gc2

∫dV ′ Ji(r

′)

|r− r′|, (2.209)

as quais, reunidas, podem ser escritas vetorialmente como

A(r) =k

gc2

∫dV ′ J(r′)

|r− r′|. (2.210)

E importante frisar que as integrais em (2.209) referem-se exclusivamentea coordenadas retangulares. Caso tenhamos que usa-las num problema queenvolva outros sistemas de coordenadas, devemos transformar as componentespara cartesianas.

2.12 Expansao do potencial vetor em HarmonicosEsfericos

Podemos aplicar na expressao (2.210) a expansao da funcao de Green em harmonicosesfericos (2.25):

A(r) =4πk

gc2

∑`,m

1

2`+ 1Y m` (θ, φ)

∫dV ′J(r)

r`<r`+1>

Y ∗m` (θ′, φ′), (2.211)


onde r< = min(r, r′) e r> = max(r, r′).

Essa expansao tem, na magnetostatica, uma importancia comparavel aquelada eletrostatica, no sentido de poder ser usada para resolver um grande numerode problemas, especialmente quando ha simetria azimutal. Vamos, na sequencia,abordar dois destes problemas classicos.

Espira circular de corrente

Uma espira circular muito fina de raio a, com centro na origem e jazendo sobreo plano xy, e conduzindo uma corrente I, pode ser descrita por uma densidadesuperficial de corrente singular

J(r) =I

aδ(cos θ)δ(r − a)φ. (2.212)

Como vimos na secao anterior, e mais conveniente realizarmos calculos usandocoordenadas cartesianas retangulares, para as quais

φ = − sinφx+ cosφy. (2.213)

Devido a simetria azimutal, podemos escolher o ponto de observacao emφ = 0 sem perda de generalidade. Substituindo (2.212) em (2.211) temos entao

A(r) =4πkI

gc2a

∑`,m

1

2`+ 1Y m` (θ, φ = 0)

×[x

∫ 2π

0

dφ′ sinφ′∫ 1

−1

d(cos θ′)δ(cos θ′)Y ∗m` (θ′, φ′)

∫ ∞

0

dr′r′2 r`<r`+1>

δ(r′ − a)

y

∫ 2π

0

dφ′ cosφ′∫ 1

−1

d(cos θ′)δ(cos θ′)Y ∗m` (θ′, φ′)︸︷︷︸=Ym

` (θ′=π/2,φ′)

∫ ∞

0

dr′r′2 r`<r`+1>

δ(r′ − a)︸︷︷︸=a2r`</r

`+1>

=

4πkIa

gc2

∑`,m

1

2`+ 1Y m` (θ, φ = 0)

r`<r`+1>

(2.214)

×[x

∫ 2π

0

dφ′Imeiφ′Y ∗m` (θ′ = π/2, φ′) + y

∫ 2π

0

dφ′Reeiφ′Y ∗m` (θ′ = π/2, φ′)

]onde, agora, r< = min(r, a) e r> = max(r, a).

Como Y m` ∼ eimφ, a presenca do fator eiφ nas integrais implica em que temosde reter apenas os termos com m = 1 das expansoes em harmonicos esfericos.Isto descarta, ainda, tambem o termo ` = 0, de modo que a somatoria comecaem ` = 1. Entao

A(r) =4πkIa

gc2

∞∑`=1

1

2`+ 1Y m` (θ, φ = 0)

r`<r`+1>

(2.215)

×[xIm

∫ 2π

0

dφ′eiφ′Y ∗1`(θ′ = π/2, φ′) + yRe

∫ 2π

0

dφ′eiφ′Y ∗1`(θ′ = π/2, φ′)

]

2.12. EXPANSAO DO POTENCIAL VETOR EMHARMONICOS ESFERICOS89

Pela definicao de harmonico esferico (B.23) segue que

Y ∗1`(θ

′ = π/2, φ′) =

√2`+ 1

4π

(`− 1)!

(`+ 1)!P 1` (0)e

−iφ′, (2.216)

Y 1` (θ, φ = 0) =

√2`+ 1

4π

(`− 1)!

(`+ 1)!P 1` (cos θ), (2.217)

onde o polinomio de Legendre associado correspondente e escrito em termos daderivada do polinomio de Legendre como

P 1` (cos θ) = −(1− cos2 θ)

1/2 d

dzP`(z) = − sin θP ′

`(cos θ) (2.218)

Substituindo (B.24) e (2.217) em (2.215) resulta que a integral na parteimaginaria e nula, enquanto a integral na parte real e igual a 2π, donde

A(r) =2πkIa

gc2y

∞∑`=1

1

`(`+ 1)

r`<r`+1>

P 1` (0)P

1` (cos θ) (2.219)

Usando a expressao (B.21) temos que `(`+1) = (2n+1)(2n+2). Finalmente,como supomos que o observador esteja no plano xz (ou φ = 0), isto significa que

y = φ para este ponto em particular. Entao o potencial vetor (2.220) torna-se

A(r) =2πkIa

gc2φ

∞∑n=0

anr2n+1<

r2n+2>

P 12n+1(cos θ) (2.220)

onde definimos os coeficientes

an =(−1)

n+1

(2n+ 1)(2n+ 2)

Γ(n+ 3/2)

Γ(n+ 1)Γ(3/2)=

(−1)n(2n− 1)!!

2n+1(n+ 1)!(2.221)

Conhecendo o potencial vetor podemos determinar as componentes do campomagnetico gerado pela espira circular de corrente em qualquer ponto do espacocomo uma expansao em harmonicos esfericos

B = ∇×A = r1

r sin θ

∂

∂θ(sin θAφ)− θ

1

r

∂

∂r(rAφ) (2.222)

Usando a identidade (B.15), a componente radial do campo magnetico e

Br(r, θ) =4πkIa

gc21

r

∞∑n=0

cnr2n+1<

r2n+2>

P2n+1(cos θ). (2.223)

onde

cn =(−1)

n(2n− 1)!!

2n+1n!(2.224)

Ja a componente polar do campo magnetico depende da relacao entre a e r.Por exemplo, se r < a, entao r< = r, r> = a e

Bθ(r, θ) =πkIa2

gc2

∞∑n=0

bn1

a3

( ra

)2nP 12n+1(cos θ). (2.225)


onde

bn =(−1)

n(2n+ 1)!!

2n(n+ 1)!

2n+ 2

2n+ 1. (2.226)

Por outro lado, se r > a, entao r< = a, r> = r e

Bθ(r, θ) = −2πkIa2

gc2

∞∑n=0

an1

r3

(ar

)2nP 12n+1(cos θ). (2.227)

Casca esferica carregada girante

Um problema classico e o de determinar o campo magnetico produzido por umacasca esferica de raio a com uma carga q uniformemente distribuida por suasuperfıcie, e que gira com velocidade angular ω constante em torno do eixo z.Considerando a velocidade azimutal v = ωr sin θφ, a densidade superficial decorrente sera singular sera

J(r) = σωr sin θδ(r − a)φ. (2.228)

onde σ = q/πa2 e a densidade superficial de carga.

A diferenca com o caso anterior e que, aqui, a corrente eletrica esta dis-tribuida de maneira nao-uniforme pela superfıcie da esfera. No entanto, emambos os problemas temos simetria azimutal, de modo que podemos utilizar aexpressao (2.214) para o potencial vetor

A(r) =4πkσω

gc2

∑`,m

1

2`+ 1Y m` (θ, φ)

× −[x

∫dΩ′ sin θ′Y ∗m` (θ′, φ′)

∫ ∞

0

dr′r′3 r`<r`+1>

δ(r′ − a) (2.229)

y

∫dΩ′ sin θ′Y ∗m` (θ′, φ′)

∫ ∞

0

dr′r′3 r`<r`+1>

δ(r′ − a)︸︷︷︸=a3r`</r

`+1>

onde dΩ′ = dφ′dθ′ sin θ′ e r< = min(r, a) e r> = max(r, a).

Sabemos que

Y 11 (θ, φ) = −

√3

8πsin θe−iφ, (2.230)

donde

sin θ′ sinφ′ = −√

8π

3Im[Y 1

1 (θ′, phi′)], (2.231)

sin θ′ cosφ′ = −√

8π

3Re[Y 1

1 (θ′, phi′)], (2.232)

2.13. MOMENTOS DA DISTRIBUICAO DE CORRENTES 91

que, em substituidos em (2.229), levam a

A(r) =

√8π

3

4πkσωa3

gc2

∑`,m

1

2`+ 1Y m` (θ, φ)

r`<r`+1>

(2.233)

×

x ∫ dΩ′Im[Y 11 (θ

′, phi′)]Y ∗m` (θ′, φ′)︸︷︷︸=I

−y

∫dΩ′Re[Y 1

1 (θ′, phi′)]Y ∗m` (θ′, φ′)︸︷︷︸=II

Usando as relacoes de ortonormalidade (2.74) para os harmonicos esfericos,

encontramos

I =1

2i

[∫dΩ′Y ∗m

` Y11 −

∫dΩ′Y ∗m

` Y∗11

]=

1

2iδ`,1 (δm,1 + δm,−1) ,(2.234)

II =1

2i

[∫dΩ′Y ∗m

` Y11 +

∫dΩ′Y ∗m

` Y∗11

]=

1

2iδ`,1 (δm,1 − δm,−1) ,(2.235)

que filtra as duas somatorias de modo a reter apenas termos com ` = 1 em = ±1. Apos uma algebra tediosa, mas elementar, obtemos o potencial vetor

A(r) =4πkσωa3

3gc2φr<r2>

sin θ. (2.236)

O campo magnetico produzido pela esfera girante e

B = ∇×A =

B0

a2 (cos θr− sin θθ), se r < a,B0a2r3 (2 cos θr+ sin θθ), se r > a,

(2.237)

onde

B0 =8πkσωa3

3gc2. (2.238)

2.13 Momentos da distribuicao de correntes

Na magnetostatica lidamos com distribuicoes de correntes estacionarias, paraas quais a densidade superficial de corrente nao depende do tempo: J = J(r).Como a densidade de carga tambem nao depende do tempo ∂ρ/∂t = 0, daequacao de continuidade vista no Capıtulo I (e que representa fisicamente oprincıpio de conservacao da carga eletrica), temos que

∇ · J = 0 (2.239)

Seja uma distribuicao de correntes J(r) localizada no espaco, ou seja, ocupaum volume finito. Entao, se f(r) e g(r) sao funcoes arbitrarias, considere aintegral ∫

dV gJ · ∇f =

∫dV gJi∂if (2.240)

No caso unidimensional podemos integrar por partes∫ +∞

−∞g(x)Jx∂xf(x)dx = gJxf |∞−∞︸︷︷︸

=0

−∫ +∞

−∞f(x)∂x(gJx)dx, (2.241)


onde usamos que a densidade de corrente anula-se no infinito, por hipotese. Nocaso tridimensional temos portanto que∫

dV gJ · ∇f = −∫dV f∇ · (gJ) = −

∫dV f(g∇ · J+ J · ∇g), (2.242)

o que conduz a seguinte identidade∫dV (fJ · ∇g + gJ · ∇f + fg∇ · J) = 0. (2.243)

e que, no caso da magnetostatica, onde vale (2.239), reduz-se a∫dV (fJ · ∇g + gJ · ∇f) = 0. (2.244)

Com essa relacao geral podemos determinar os dois primeiros momentos dadistribuicao de correntes. Escolhendo f = 1 e g = x′i em (2.244) temos que oprimeiro momento e identicamente nulo:∫

dV J(r) = 0, (2.245)

que fisicamente refere-se ao termo de monopolo magnetico, que nao existe (Leide Gauss Magnetica).

O segundo momento da distribuicao de correntes e o momento de dipolomagnetico, definido como

m(r) =g

2

∫dV r× J(r), (2.246)

Para um sistema de partıculas de carga qa, situadas nas posicoes ra e comvelocidades va, a densidade de corrente e singular:

J(r) =∑a

qavaδ(r− ra). (2.247)

Substituindo (2.247) em (2.246) e integrando sobre as funcoes delta obtemosimediatamente

m =g

2

∑a

qara × va. (2.248)

E mais comum, no entanto, termos correntes filamentares, para as quais valea substituicao JdV → Ids, onde Ids e o elemento de corrente. Considerandouma espira fechada e plana de corrente C, a expressao geral (2.246) se particu-lariza como

m =gI

2

∮C

r× ds. (2.249)

Sabemos que dA = |r×ds|/2 e o elemento de area subtendido pelo elemento decorrente em relacao a origem. Entao chegamos ao resultado elementar

|m| = gI1

2

∣∣∣∣∮C

r× ds

∣∣∣∣ = gIA (2.250)

onde A e a area limitada pela espira C.

2.14. EXPANSAO DO POTENCIAL VETOR EM MULTIPOLOS 93

E possıvel definir, ainda, momentos de ordem superior, como o tensor mo-mento de quadrupolo magnetico, cujas componentes sao dadas por

mij =2

3

∫dV (r× J)irj , (2.251)

embora nos nos limitemos, aqui, a trabalhar com o primeiro momento apenas.A razao, essencialmente, e que a influencia do termo de dipolo magnetico eda ordem do termo de quadrupolo eletrico (o que sera visto quantitativamenteno tratamento dos campos de radiacao), ao passo que o termo de quadrupolomagnetico e da ordem do termo de octopolo eletrico, e assim por diante.

2.14 Expansao do potencial vetor em multipolos

Vamos considerar o potencial vetor gerado por uma dada distribuicao de cor-rentes como uma expansao em multipolos, no mesmo espırito do que fizemosanteriormente no caso eletrostatico. Partimos da expressao geral (2.210)

A(r) =k

gc2

∫dV ′ J(r′)

|r− r′|. (2.252)

Sendo a distribuicao localizada no espaco, para pontos afastados da mesmapodemos expandir o denominador em uma serie de potencias da razao r′/r,para r′ r. Essa expansao e

1

|r− r′|≈ 1

r+

r · r′

r3+ . . . (2.253)

Substituindo (2.253) na i-esima componente de (2.252) teremos

Ai(r) =k

gc2

[∫dV ′Ji(r

′) +r

r3·∫dV ′Ji(r

′)r′ + . . .

](2.254)

De (2.245) a primeira integral acima e sempre nula (termo de monopolo). Paracalcular a segunda integral, fazemos uso da relacao geral (2.244) com f = x′i eg = x′j (e a integral e feita nas coordenadas com linha)∫

dV ′(x′i J · ∇′x′j︸︷︷︸=Jj

+x′j J · ∇′x′i︸︷︷︸=Ji

) =

∫dV ′(x′iJj + x′jJi) = 0. (2.255)

A segunda integral pode ser escrita como uma soma de componentes

xj

∫dV ′Ji(r

′)x′j =1

2xj

∫dV ′Ji(r

′)x′j −1

2xj

∫dV ′Jj(r

′)x′i

= −1

2

∫dV ′[r× (r′ × J)]i,

onde usamos (2.255) e a formula do duplo produto vetorial

r× (r′ × J) = (r · J)r′ − (r · r′)J. (2.256)


Usando a definicao geral do momento de dipolo magnetico (2.246) a segundaintegral sera reescrita como

r ·∫dV ′Ji(r

′)r′ =1

g(m× r)i, (2.257)

donde o potencial vetor (2.254), na aproximacao de dipolo magnetico, pode serescrita na seguinte formal

Ai(r) =k

g2c2m× r

r3(2.258)

Para encontrar o campo magnetico correspondente nos aplicamos o rota-cional nesta expressao

B =k

g2c2∇×

(m× r

r3

)= − k

g2c2∇×

[m×∇

(1

r

)](2.259)

Como o momento de dipolo magnetico nao depende do ponto de observacao

∇×[m×∇

(1

r

)]= m ∇2 1

r︸︷︷︸=−4πδ(r)=0

−(m · ∇)r

r3, (2.260)

de forma que

B = − k

g2c2

1

r3(m · ∇)r︸︷︷︸

=m

+r

(m · ∇ 1

r3

)︸︷︷︸

=−3r/r5

=

k

g2c2

(3r(m · r)

r5− m

r3

)(2.261)

2.15 Razao Giromagnetica

O momentum angular de um sistema de partıculas de massas ma, situadas nasposicoes ra e com velocidades va, e definido como

L =∑a

La =∑a

ma(ra × va). (2.262)

Comparando com a expressao correspondente do momento de dipolo magnetico(2.246) chegamos a relacao

m =∑a

gqa2ma

La. (2.263)

Supondo que as partıculas tenham a mesma razao qa/ma = q/m, comonum feixe de partıculas identicas, ou ainda para um corpo rıgido (subdivididoem elementos de massa e carga), teremos a seguinte relacao entre o momentomagnetico e o momento angular

m =gq

2mL (2.264)

2.16. SOLUCOES NUMERICAS 95

A chamada razao giromagnetica desse sistema e definida como

γL =m

L=

gq

2m(2.265)

e vale inclusive na escala atomica, para o movimento orbital de um eletron.No entanto esta relacao falha quando tentamos aplica-la ao spin de partıculas

elementares como o eletron. Neste caso, o momentum angular refere-se ao spin,e a razao giromagnetica do eletron e gL vezes o valor classico γL = eg/2me.Experimentalmente sabe-se que o fator gL e ligeiramente superior a 2. De fato,a eletrodinamica quantica preve que seu valor e dado pela expansao

ge = 2(1 +

α

2π+ . . .

)= 2, 00231904 . . . (2.266)

onde α ≈ 1/137 e a constante de estrutura fina.

2.16 Solucoes numericas

Solucoes analıticas da equacao de Laplace-Poisson sao relativamente raras, eestao restritas aquelas geometrias onde podemos encontrar analiticamente aut-ofuncoes do laplaciano. Na maioria dos problemas de contorno somos pratica-mente forcados a empregar tecnicas numericas para a solucao do problema decontorno

∇2ϕ(r) = −4πkρ(r), (2.267)

com condicoes de contorno de Dirichlet e/ou Neumann sobre uma superfıcie decontorno S. Ha diversos metodos numericos de solucoes de equacoes diferenciaisparciais elıpticas do tipo (2.267), e a literatura a respeito e particularmenteextensa. Nao vamos entrar em grandes detalhes, portanto, e nos limitaremos aapresentar as ideias basicas do metodo mais simples de solucao numerica, quee a discretizacao do espaco (metodo das diferencas finitas).

2.16.1 Diferencas finitas

O ponto central deste metodo de solucao e discretizar as derivadas espaciaisexistentes no laplaciano em (2.267). Vamos iniciar a analise pelo caso unidi-mensional, para o qual o laplaciano reduz-se a derivada segunda ϕxx(x), ondeusamos a notacao de Leibniz para derivadas parciais. Expandindo em serie deTaylor o potencial ϕ(x) na vizinhanca de um ponto x generico temos

ϕ(x+δx) = ϕ(x)+δxϕx(x)+1

2!(δx)

2ϕxx(x)+

1

3!(δx)

3ϕxxx(x)+o(δx)

4(2.268)

para δx x, onde a notacao o(δx)4indica que foram negligenciados os termos

cuja ordem e igual ou maior que (δx)4.

Negligenciando os termos de ordem (δx)2ou superior temos, assim,

ϕ(x+ δx)− ϕ(x) + δxϕx(x) + o(δx)2, (2.269)

tal que, dividindo-se por δx, tenhamos uma aproximacao de primeira ordempara a derivada (tambem chamada “diferenca finita para frente”)

ϕx(x) =ϕ(x+ δx)− ϕ(x)

δx+ o(δx). (2.270)


Observe que o erro de truncamento, aqui, e de primeira ordem em δx.Usando (2.268) podemos escrever

ϕ(x+ δx)− ϕ(x− δx) = 2δxϕx(x) + o(δx)3, (2.271)

que leva-nos a uma aproximacao de segunda ordem para a mesma derivada(“diferenca finita central”):

ϕx(x) =ϕ(x+ δx)− ϕ(x− δx)

2δx+ o(δx)

2. (2.272)

que cujo erro de truncamento, agora, e de segunda ordem, de forma que estaaproximacao e mais precisa do que (2.270).

Para encontrar uma aproximacao semelhante para a derivada segunda, nosusamos novamente (2.268) para escrever

ϕ(x+ δx) + ϕ(x− δx) = 2ϕ(x) + (δx)2ϕxx(x) + o(δx)

4, (2.273)

de modo que, ao dividir-se por (δx)2, temos uma diferenca finita central de

segunda ordem para a derivada segunda:

ϕxx(x) =ϕ(x+ δx)− 2ϕ(x) + ϕ(x− δx)

(δx)2 + o(δx)

2. (2.274)

2.16.2 Discretizacao da equacao de Poisson bidimensional

Vamos considerar, agora, o caso bidimensional, para o qual a equacao (2.267) e

ϕxx(x, y) + ϕyy(x, y) = −4πkρ(x, y), (2.275)

Aplicando (2.274) as derivadas segundas teremos, ate segunda ordem nos re-spectivos incrementos, as seguintes diferencas finitas centrais

ϕxx(x, y) =ϕ(x+ δx, y)− 2ϕ(x, y) + ϕ(x− δx, y)

(δx)2 , (2.276)

ϕyy(x, y) =ϕ(x, y + δy)− 2ϕ(x, y) + ϕ(x, y − δy)

(δy)2 , (2.277)

Na pratica, a implementacao do metodo de diferencas finitas consiste emsobrepor uma malha de pontos a regiao do plano na qual se quer determinar asolucao. Supondo, por simplicidade, que esta regiao seja um retangulo a ≤ x ≤ be c ≤ y ≤ d, nos o subdividimos em celulas retangulares de lados δx e δy, demodo que a malha tem (m+1) pontos na direcao x e (n+1) na direcao y, numtotal de (m+ 1)(n+ 1) pontos, tais que

δx =b− a

m, δy =

d− c

n, (2.278)

Os pontos da malha podem ser identificados, assim, pelas seguintes relacoes:

xi = a+ iδx, (i = 0, 1, 2, . . .m), (2.279)

yj = c+ jδy, (j = 0, 1, 2, . . . n), (2.280)


Usaremos a seguinte notacao para indicar a localizacao dos pontos sobre amalha: ϕij = ϕ(xi, yj), de modo que (2.276)-(2.277) sao reescritas como

ϕxx(x, y) =ϕi+1,j − 2ϕij + ϕi−1,j

(δx)2 , (2.281)

ϕyy(x, y) =ϕi,j+1 − 2ϕij + ϕi,j−1

(δy)2 , (2.282)

Supondo, por simplicidade, uma malha quadrada: δx = δy = h, temos aseguinte forma em diferencas finitas para o laplaciano (em duas dimensoes):

∇2ϕ =varphii+1,j + ϕi−1,j + ϕi,j+1 + ϕi,j−1 − 4ϕij

h2. (2.283)

Desta forma, definindo

f(x, y) = −4πkρ(x, y), (2.284)

a forma discretizada da equacao de Poisson (2.275) e

ϕi+1,j + ϕi−1,j + ϕi,j+1 + ϕi,j−1 − 4ϕij = h2f(xi, yj). (2.285)

que e, as vezes, chamada de “stencil”. Como i, j = 0, 1, . . . N terıamos, emprincıpio, (N + 1)

2destas equacoes. No entanto, nos temos de descontar as

bordas da malha, por estarem vinculadas as condicoes de contorno do problema.Entao temos, na verdade (N − 1)

2destas equacoes: i, j = 1, 2, . . . N − 1.

2.16.3 Condicoes de contorno

A especificacao das condicoes de contorno e feita de diferentes formas, conformeo tipo de condicao. Se forem de Dirichlet, sao especificados os valores de ϕno contorno. No exemplo que estamos abordando, de uma regiao retangulara ≤ x ≤ b e c ≤ y ≤ d, especificamos os valores do potencial nos quatro ladosdo quadrado. Por exemplo, se ϕ(x, y = c) = 0, com a ≤ x ≤ b, teremos

ϕ00 = ϕ10 = ϕ20 = . . . = ϕN,0 = 0

Caso especifiquemos os valores do potencial no contorno por meio de umadada funcao, como ϕ(x = b, y) = y, com (c ≤ y ≤ d), teremos de (2.280) que

ϕN0 = y0 = c, ϕN1 = y1 = c+ h, . . . ϕNN = y1 = c+Nh = d,

para uma malha quadrada onde h = (d− c)/N .As condicoes de contorno de Neumann sao um pouco mais difıceis de imple-

mentar por envolverem o valor da derivada normal do potencial (∂ϕ/∂n) noscontornos, que deve ser adequadamente discretizada. Por construcao, e evi-dente que a diferenca finita nao pode ser central, mas deve obedecer o propriotracado da malha. Por exemplo, se especificamos a derivada normal sobre olado superior do quadrado, a diferenca finita correspondente deve ser

ϕy(x, y = d) =ϕ(x, y = d)− ϕ(x, y = d− h)

h=ϕiN − ϕi,N−1

h(2.286)


Portanto, caso a condicao seja ϕy(x, y = d) = 0 com a ≤ x ≤ b, teremos

ϕy(x1N ) =ϕ1N − ϕ1,N−1

h= 0,

ϕy(x2N ) =ϕ2N − ϕ2,N−1

h= 0,

......

ϕy(xNN ) =ϕNN − ϕN,N−1

h= 0.

que pode ser interpretada como um conjunto de equacoes lineares envolvendoos pontos do contorno e seus vizinhos adjacentes.

O mesmo raciocınio vale se a derivada no contorno for especificada por meiode uma funcao dada. Por exemplo, se impomos que ϕy(x, y = d) = x2 coma ≤ x ≤ b, teremos

ϕ1N − ϕ1,N−1

h= x21 = a2,

ϕ2N − ϕ2,N−1

h= x22 = (a+ h)

2,

......

ϕNN − ϕN,N−1

h= x2N = (a+Nh)

2= b2,

e assim por diante.

2.16.4 Sistema linear

Desta forma, a discretizacao de um problema de contorno para a equacao dePoisson, no caso de um contorno retangular (e uma malha tambem retangular)envolve (N−1)2 equacoes do tipo stencil (2.285) mais 2(N+1)+2(N−1) = 4N

equacoes especificando as condicoes de contorno, num total de (N − 1)2+4N =

(N + 1)2equacoes lineares para as incognitas ϕij . Este sistema de equacoes

lineares e inomogeneo devido aos valores indicados para o termo de fonte F (x, y).

Como ha tambem (N + 1)2incognitas ϕij este sistema de equacoes lineares

pode ser escrito numa forma matricial

A ·Φ = B (2.287)

onde A e uma matriz (N + 1)2 × (N + 1)

2de inteiros, com (N + 1)

4elementos

portanto. Ja Φ e um vetor com (N + 1)2elementos representando os pontos da

malha 1:Φ = (ϕ00, ϕ10, . . . ϕN0, ϕ01, ϕ11, . . . ϕNN )

T(2.288)

e B e um vetor de mesma dimensao com os elementos independentes.Formalmente, a solucao da equacao matricial (2.287) e simplesmente

Φ = A−1 ·B, (2.289)

o que implica ter de inverter uma matriz com (N + 1)4elementos. A princıpio,

mesmo para valores modestos de N , este sistema linear representa um problema

1O superescrito T indica matriz transposta.


formidavel do ponto de vista computacional. Por exemplo, uma rede com apenasN = 100 pontos necessitaria a inversao de uma matriz com 104 elementos.

Para N pequeno, essa inversao pode ser feita pela tecnica de eliminacaogaussiana, que consiste em aplicar operacoes elementares sobre as linhas damatriz (combinacoes lineares de linhas, em geral), de modo a reduzi-la a umaforma triangular superior ou triangular inferior. Em qualquer uma delas, haum elemento (chamado pivo da matriz) que e automaticamente conhecido, deforma que os demais seguem por um simples processo iterativo. Em termoscomputacionais, o numero de operacoes aritmeticas necessarias a inversao deuma matriz de ordem M por eliminacao gaussiana e da ordem de M3, ondeM = (N + 1)

2. Por isso, mesmo que N seja muito pequeno, como N = 3, ja

teremos da ordem de 412 operacoes! Certamente nao e um metodo muito praticopara valores maiores de N .

No entanto, e facil ver que a matriz dos coeficientes A tera a maioria dosseus elementos iguais a zero. Na verdade, como a discretizacao de uma derivadasegunda envolve apenas os pontos a direita e a esquerda de cada ponto damalha, A tera, alem dos elementos diagonais, as duas bandas diagonais superiore inferior e relativamente pontos elementos nao-nulos fora destas (provenientesdas condicoes de contorno e termos independentes). Matrizes deste tipo saochamadas esparsas, e sua inversao pode ser feita usando metodos mais rapidose eficientes que a eliminacao gaussiana. Tais metodos sao iterativos, tais comoo metodo do gradiente conjugado e metodo generalizado residual mınimo, paraos quais o numero de operacoes aritmeticas aumenta com a ordem M da matrizesparsa.

2.16.5 Um exemplo “simples”

Para ilustrar a aplicacao destas regras de discretizacao a um problema de con-torno bidimensional, vamos considerar um exemplo proposto por Hunt [?], paraseguinte regiao quadrada: 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1, e o termo de fonte ef(x, y) = 2y. As condicoes de contorno nos lados do quadrado sao as seguintes:

ϕ(x, y = 0) = 0, (0 ≤ x ≤ 1), (Dirichlet) (2.290)

ϕ(x = 0, y) = 0, (0 ≤ y ≤ 1), (Dirichlet) (2.291)

ϕ(x = 1, y) = y, (0 ≤ y ≤ 1), (Dirichlet) (2.292)

ϕy(x, y = 1) = x2, (0 ≤ x ≤ 1), (Neumann). (2.293)

Para que o problema seja simples o suficiente para que possamos escrever ex-plicitamente as equacoes do sistema linear, e forcoso que N seja muito pequeno.Vamos tomar N = 3, de modo que o passo da malha e h = 1/3. Logo

xi = i/3, yj = j/3, (i, y = 0, 1, 2, 3).


Para os quatro pontos internos da malha as equacoes do stencil (2.285) fornecem

ϕ21 + ϕ01 + ϕ12 + ϕ10 − 4ϕ11 =2

27, (2.294)

ϕ31 + ϕ11 + ϕ22 + ϕ20 − 4ϕ21 =2

27, (2.295)

ϕ22 + ϕ02 + ϕ13 + ϕ11 − 4ϕ12 =4

27, (2.296)

ϕ32 + ϕ12 + ϕ23 + ϕ21 − 4ϕ22 =4

27, (2.297)

Ja as quatro condicoes de contorno (2.290)-(2.293) sao implementadas dire-tamente como

ϕ00 = ϕ10 = ϕ20 = ϕ30 = 0, (2.298)

ϕ01 = ϕ02 = ϕ03 = 0, (2.299)

ϕ31 = 1/3, ϕ32 = 2/3, ϕ33 = 1, (2.300)

ϕ13 − ϕ12 = 1/27, ϕ23 − ϕ22 = 4/27, ϕ33 = 1, (2.301)

O conjunto completo de 4 equacoes do stencil mais as 12 condicoes de con-torno podem ser escritas na forma matricial (2.287):

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 1 −4 1 0 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 −4 1 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 0 1 −4 1 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 −4 1 0 1 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

ϕ00

ϕ10

ϕ20

ϕ30

ϕ01

ϕ11

ϕ21

ϕ31

ϕ02

ϕ12

ϕ22

ϕ32

ϕ03

ϕ13

ϕ23

ϕ33

=

000002272271304274272301274271

.

(2.302)

Por eliminacao gaussiana obtemos (rapidamente, neste caso!) a seguinte

2.17. PROBLEMAS 101

solucao

Φ =

0000012742713022782723019491

. (2.303)

2.17 Problemas

1. Considere a equacao de Poisson para o semi-espaco z > 0, onde o potenciale nulo no plano z = 0. A funcao de Green para este problema pode serencontrada pelo metodo das imagens: alem da carga puntiforme q situadaa distancia z′, acrescentamos sua carga “imagem” −q, situada a distancia−z′, de modo que o potencial resultante em z = 0 seja nulo.

(a) Escreva a funcao de Green em coordenadas cartesianas;

(b) Suponha, agora, o seguinte problema: o potencial no plano z = 0 eigual a uma constante V apenas num cırculo de raio a centrado na origem,e e nulo fora desse cırculo. Mostre que o potencial em todos os pontos dosemi-espaco z > 0 e dado por

ϕ(ρ, φ, z) =V z

2π

∫ 2π

0

dφ′∫ a

0

ρ′dρ′

[ρ2 + ρ′2 + z2 − 2ρρ′ cos(φ− φ′)]3/2

(c) Ache o potencial em todos os pontos do eixo do cırculo.

(d) Encontre uma expressao aproximada para o potencial a grandes distanciasdo cırculo, ou seja, quando ρ2 + z2 a2.

2. Mostre que L[Y m` ] = −`(`+1)Y m` , onde o operador de momentum angulare

L[ . ] = 1

sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂

∂θ

)+

1

sin2 θ

∂2

∂2φ.

3. A parte radial da funcao de Green da equacao de Laplace-Poisson emcoordenadas esfericas satisfaz a equacao diferencial

1

r

d2

dr2[rg`(r, r

′)]− `(`+ 1)

r2g`(r, r

′) = −4π

r2δ(r − r′).


(a) Considerando as condicoes de contorno: g`(a, r′) = g`(b, r

′) = 0,mostre que a solucao dessa equacao e

g`(r, r′) =

A(r` − a2`+1

r`+1

)se r < r′

B(

1r`+1 − r`

b2`+1

)se r > r′

(b) Aplicando a continuidade da funcao de Green em r = r′ e calculandoo salto da sua derivada em r = r′ mostre que

A =4π

2`+ 1

[1−

(ab

)2`+1]−1

(1

r′`+1− r′

`

b2`+1

),

B =4π

2`+ 1

[1−

(ab

)2`+1]−1(

r′` − a2`+1

r′`+1

).

4. Considere um anel circular de raio R e carga total Q, no interior de umacasca esferica concentrica de raio b com o seguinte potencial:

ϕ(b, θ, φ) =

+V se 0 ≤ θ < π/2−V se π/2 < θ ≤ π

(a) Resolva o problema interior (para r < b) da equacao de Poisson emostre que ϕ(r) = I1 + I2, onde

I1 =kQ

2

∞∑n=0

(−1)n(2n− 1)!!

2nn!f(r)P2n(cos θ),

onde definimos

f(r) =

r2n(

1R2n+1 − R2n

b4n+1

)se 0 < r < R

R2n(

1r2n+1 − r2n

b4n+1

)se R < r < b

e

I2 = V

∞∑` impar

(2`+ 1)Γ(3/2)

Γ(3+`2

)Γ(1− `

2

)(rb

)`P`(cos θ)

(b) Resolva o problema exterior (para r > b) da equacao de Poisson emostre que ϕ(r) = J1 + J2, onde

J1 =kQ

2R2

∞∑n=0

(−1)n(2n− 1)!!

2nn!

1

r`+1

(R` − b2`+1

R`+1

)P2n(cos θ),

onde

J2 = V∞∑

` impar

(2`+ 1)Γ(3/2)

Γ(3+`2

)Γ(1− `

2

)( br

)`+1

P`(cos θ)

2.17. PROBLEMAS 103

5. Uma linha de cargas com carga total Q, e comprimento 2b ao longo doeixo z, ocupa o diametro de uma casca esferica condutora aterrada.

(a) Mostre que a densidade de carga e

ρ(r) =Q

2b

1

2πr2[δ(cos θ′ − 1) + δ(cos θ′ + 1)].

(b) Usando a expansao da funcao de Green em harmonicos esfericos mostreque o potencial em todos os pontos do espaco e

ϕ(r) =kQ

b

ln

(b

r

)+

∞∑j=1

4j + 1

2j(2j + 1)

[1−

(rb

)2j]P2j(cos θ)

.

6. A parte radial da funcao de Green da equacao de Laplace-Poisson emcoordenadas cilındricas satisfaz a equacao diferencial[

d2

dρ2+

1

ρ

d

dρ−(m2

ρ2+ k2

)]gm(ρ, ρ′) = −1

ρδ(ρ− ρ′).

(a) Mostre que

gm(ρ, ρ′) =

ψ1(kρ)ψ2(kρ

′) se ρ < ρ′

ψ1(kρ′)ψ2(kρ) se ρ > ρ′

onde ψ1,2 sao combinacoes lineares de funcoes de Bessel modificadas Im eKm.

(b) Calcule o salto da derivada da funcao de Green radial em ρ = ρ′ emostre que o Wronskiano das solucoes ψ1,2 e −1/kρ′.

(c) Impondo que a funcao de Green seja regular na origem e se anule noinfinito, mostre que

gm(ρ, ρ′) =

Im(kρ)Km(kρ′) se ρ < ρ′

Im(kρ′)Km(kρ) se ρ > ρ′

7. Considere a expansao da funcao de Green da equacao de Laplace-Poissonem funcoes cilındricas

1

|r− r′|=

2

π

∞∑m=−∞

∫ ∞

0

dkeim(φ−φ′) cos[k(z − z′)]Im(kρ<)Km(kρ>),

onde ρ< = minρ, ρ′ e ρ> = maxρ, ρ′.(a) Mostre que, se r′ = 0 entao

1√ρ2 + z2

=2

π

∫ ∞

0

dk cos(kz)K0(kρ),

(b) Mostre que, se r′ 6= 0 mas pertencer ao plano z = 0, entao

K0(kR) = I0(kρ<)K0(kρ>)+2

∞∑m=1

∫ ∞

0

dk cos[m(φ−φ′)]Im(kρ<)Km(kρ>),


onde

R2 ≡ ρ2 + ρ′2 − 2ρρ′ cos(φ− φ′).

(c) Usando o resultado do ıtem (b) e as formas assintoticas das funcoescilındricas, mostre que a funcao de Green no plano z = 0 e dada por

G(r, r′) = − 1

2πln

(1

R2

)= − 1

πln

(1

ρ>

)− 1

π

∞∑m=1

1

m

(ρ<ρ>

)mcos[m(φ−φ′)].

8. O campo eletrico produzido por um momento de dipolo p e dado por

E(r) = k3(r · p)− p

r3.

(a) Obtenha as componentes do campo eletrico no plano xz;

(b) Esboce as linhas de campo eletrico. Calcule os angulos para os quaisas componentes do campo se anulam no plano xz.

9. Considere quatro cargas puntiformes fixas nos vertices de um quadradode lado ` situado no plano y = 0: q1 = −q em (x, z) = (0, 0); q2 = +qem (x, z) = (`, 0); q3 = +q em (x, z) = (0, `); q4 = −q em (x, z) = (`, `).Obtenha o tensor de quadrupolo eletrico.

10. Quatro cargas puntiformes estao fixas ao longo do eixo z nos seguintespontos: q1 = +q em z = ` + δ; q2 = −q em z = ` − δ; q3 = −q emz = −` + δ; q4 = +q em z = −` − δ. Obtenha o tensor de quadrupoloeletrico.

11. Considere um elipsoide macico com uma carga total q uniformemente dis-tribuida. A superfıcie do elipsoide satisfaz a equacao

x2 + y2

b2+z2

a2= 1

Obtenha o tensor de quadrupolo eletrico.

12. O momento multipolar de orem 2` para um sistema de cargas puntiformese dado por

Q(`)m =

∑a

√4π

2`+ 1qar

àY

m` (θa, φa),

onde m = −`,−` + 1, . . . , ` − 1, `. Obtenha as formas explıcitas de Q(`)m

nos casos ` = 1 e ` = 2.

13. Uma espira circular de raio a esta sobre o plano z = 0 com centro naorigem, e conduz uma corrente eletrica I constante.

(a) Mostre que a densidade superficial de corrente e

J(r) =I

aδ(cos θ)δ(r − a)φ

2.17. PROBLEMAS 105

(b) Mostre que o potencial vetor num ponto qualquer do espaco e A =(0, 0, Aφ), onde

Aφ(r, θ) =k

gc24Ia√

a2 + r2 + 2ar sin θ

[(2− κ2)K(κ)− 2E(κ)

κ2

]onde K e E sao as integrais elıpticas completas de primeira e segundaespecies, respectivamente, e

κ2 =4ar sin θ

a2 + r2 + 2ar sin θ,

(c) Use aproximacoes em serie para K e E no caso κ 1 e obtenhaexpressoes aproximadas para Br(r, θ) e Bθ(r, θ);

(d) Obtenha expressoes aproximadas para Br(r, θ) e Bθ(r, θ) proximo aoeixo da espira, onde θ 1.

14. Uma esfera macica de raio a tem massa M e carga Q uniformemente dis-tribuidas, e gira com velocidade angular constante ω em torno do eixoz. Determine o momentum angular, o momento de dipolo magnetico,e a razao giromagnetica da esfera. Calcule os componentes do campomagnetico para todos os pontos do espaco, tanto interna como externa-mente a esfera.

15. Repita o problema anterior supondo que, ao inves de uma esfera macica,tenhamos uma casca esferica fina de mesmo raio, massa e carga.

16. (a) Encontre o potencial (em coordenadas cilındricas) devido a uma linhainfinita de cargas;

(b) Use o metodo das imagens para encontrar a funcao de Green para umcilindro condutor infinitamente extenso de raio b sujeito a um potencialconstante V :

G(ρ, φ; ρ′, φ′) = ln

ρ2ρ′

2+ b4 + 2b2ρρ′ cos(φ− φ′)

b2[ρ2 + ρ′2 − 2ρρ′ cos(φ− φ′)]

.

(c) Porque nao e possıvel, para este problema, impor simultaneamente queϕ(b) = 0 e ϕ(ρ→ ∞) = 0?


Capıtulo 3

Campos de Radiacao

No Capıtulo I abordamos as solucoes das equacoes de Maxwell na forma deondas planas, para as quais nao foi necessario considerar as fontes dos camposeletromagneticos, e a equacao de onda era homogenea. Neste capıtulo, vamosconsiderar o problema mais complexo da emissao de ondas eletromagneticas. Hadois fatores novos, agora: (i) devemos incluir as fontes de campo eletromagnetico(cargas aceleradas e correntes nao-estacionarias), (ii) frentes de onda esferica.

3.1 A equacao de onda inomogenea

Partimos das equacoes de Maxwell inomogeneas: a lei de Ampere-Maxwell e aLei de Gauss eletrica

∇×B− 1

gc2∂E

∂t=

4πk

gc2J, (3.1)

∇ ·E = 4πkρ, (3.2)

Substituindo (1.215) e (1.216) nelas, obtemos

∇× (∇×A)− 1

gc2∂

∂t

(−∇ϕ− g

∂A

∂t

)=

4πk

gc2J, (3.3)

∇ ·(−∇ϕ− g

∂A

∂t

)= 4πkρ (3.4)

Usando algumas identidades de algebra vetorial chegamos as seguintes equacoes

∇(∇ ·A+

1

gc2∂ϕ

∂t

)−∇2A+

1

c2∂2A

∂t2=

4πk

gc2J, (3.5)

−∇2ϕ+1

c2∂2ϕ

∂t2− ∂

∂t

(1

c2∂ϕ

∂t+ g∇ ·A

)= 4πkρ (3.6)

Os termos entre parenteses nas equacoes acima podem ser convenientementeanulados se escolhermos o gauge de Lorenz (1.220), de modo que restam-nos aschamadas equacoes de onda inomogeneas para os potenciais escalar e vetorial

∇2A− 1

c2∂2A

∂t2= −4πk

gc2J, (3.7)

107

108 CAPITULO 3. CAMPOS DE RADIACAO

∇2ϕ− 1

c2∂2ϕ

∂t2= −4πkρ. (3.8)

Costuma-se definir o operador d’Alembertiano

= ∇2 − 1

c2∂2

∂t2, (3.9)

com o qual podemos reescrever as equacoes de onda inomogeneas como

A = −4πk

gc2J, (3.10)

ϕ = −4πkρ. (3.11)

Aplicando as transformacoes de gauge (1.217) e (1.218) temos

g∇ ·A+1

c2∂ϕ

∂t= g∇ · (A′ +∇χ) + 1

c2∂

∂t

(ϕ′ − g

∂χ

∂t

)= (3.12)

g∇ ·A′ +1

c2∂ϕ′

∂t+ g∇2χ− g

1

c2∂2χ

∂t2(3.13)

tal que, para que a condicao de Lorenz (1.220) seja satisfeita para os potenciais(A′, ϕ′), devemos escolher χ como solucao da equacao de onda inomogenea

χ = ∇ ·A′ − 1

gc2∂ϕ′

∂t(3.14)

onde supomos o lado direito como um termo de fonte conhecido a priori.

3.2 Potenciais retardados

Estamos interessados, agora, em saber qual a solucao da equacao de onda eletro-magnetica inomogenea, isto e, com fontes (distribuicoes de cargas e/ou cor-rentes) que podem depender tanto da posicao espacial como tambem do tempo.Este e o caso da radiacao eletromagnetica emitida por um dipolo oscilante, poruma antena, e outros sistemas radiantes. Vamos demonstrar nesta secao que assolucoes das equacoes de onda inomogeneas para os potenciais escalar e vetorsao os chamados potenciais retardados:

ϕ(r, t) = k

∫dV ′

ρ(r′, t− |r−r′|

c

)|r− r′|

, (3.15)

A(r, t) =k

gc2

∫dV ′

J(r′, t− |r−r′|

c

)|r− r′|

. (3.16)

3.2.1 Obtencao dos potenciais segundo Landau e Lifshitz

Landau e Lifshitz propoem, em seu livro Teoria de Campo, uma abordagemdiferente e engenhosa. Vamos tratar inicialmente a equacao de onda escalar

3.2. POTENCIAIS RETARDADOS 109

(3.8), que e semelhante as tres componentes escalares da equacao de onda ve-torial (3.7). Partimos do seguinte resultado: a solucao geral da equacao in-omogenea (3.8) e igual a solucao geral da equacao homogenea correspondente,a saber

∇2ϕ− 1

c2∂2ϕ

∂t2= 0, (3.17)

mais uma solucao particular da equacao inomogenea (3.8). Para encontrar essaultima, usamos o princıpio da superposicao: dividimos a distribuicao de cargaem elementos de volume dV e determinamos o potencial produzido pelo elementode carga associada dq(t) = ρ(r, t)dV . O potencial resultante sera a superposicao(integral) das contribuicoes devidas a cada elemento de carga.

Colocaremos inicialmente a origem do sistema de coordenadas em um desteselemento de volume, de modo que a densidade de carga seja

ρ(r) = dq(t)δ(r) (3.18)

de modo que a equacao inomogenea (3.8) e

∇2ϕ− 1

c2∂2ϕ

∂t2= −4πkdq(t)δ(r). (3.19)

Para todos os pontos do espaco, com excecao da origem, a equacao acimae identica a equacao homogenea (3.17). Supondo simetria esferica, temos queϕ(r, t) = ϕ(r, t), tal que a equacao e mais simples

1

r2∂

∂r

(r2∂ϕ

∂r

)− 1

c2∂2ϕ

∂t2= 0. (3.20)

Introduzindo a funcao auxiliar F (r, t) por meio de

ϕ(r, t) = kF (r, t)

r, (3.21)

a equacao (3.20) torna-se

∂2F

dr2− 1

c2∂2F

∂t2= 0, (3.22)

que e, essencialmente, uma equacao de onda unidimensional (na direcao radial).Ha uma solucao elegante dessa equacao, devida a d’Alembert: introduzindo

as variaveisξ = t− r

c, η = t+

r

c, (3.23)

a equacao (3.22) assume uma forma particularmente simples

∂2F

∂ξ∂η= 0, (3.24)

cuja solucao geral pode ser expressa como

F (ξ, η) = F−(ξ) + F+(η), (3.25)

onde F+ e F− sao funcoes arbitrarias (desde que diferenciaveis, naturalmente)dos seus argumentos. Retornando as variaveis originais (3.23)

F (r, t) = F−

(t− r

c

)+ F+

(t+

r

c

), (3.26)


Como desejamos uma solucao particular, podemos escolher apenas uma dasfuncoes F±. Por motivos que ficarao mais claros no decorrer desta secao, es-colheremos F+ = 0, de modo que a solucao particular procurada tera a forma(6.41):

ϕ(r, t) = kF−(t− r

c

)r

. (3.27)

Ja que a funcao F− e arbitraria, podemos escolhe-la de sorte a obtermos ovalor correto para o potencial na origem r = 0. Em outras palavras, escolhemosF− tal que a equacao inomogenea (3.19) seja satisfeita tambem na origem. Noprimeiro membro de (3.19) ha um termo que contem derivadas nas coordenadasespaciais e outro que contem derivadas temporais. A solucao deve se anularno infinito, por hipotese, entao deve ser uma potencia negativa da distancia aorigem r, como 1/rn. Se nos derivamos s vezes em relacao as coordenadas, obte-mos uma dependencia radial da forma 1/rn+s. Como a parte espacial contemderivadas de segunda ordem, o termo correspondente sera da forma 1/rn+2. Poroutro lado, o termo que contem derivadas temporais nao muda a dependenciacom r. Portanto, apos calcular os dois termos do primeiro membro de (3.19),temos um termo da forma 1/rn+2 e outro da forma 1/rn.

Quando r tende a zero, o termo de potencia n+ 2 no denominador e muitomaior do que aquele de potencia 1/rn, de modo que podemos desprezar esseultimo, frente ao primeiro. Nesse limite, a equacao inomogenea (3.19) seranossa velha conhecida equacao de Poisson

∇2ϕ = −4πkdq(t)δ(r), (3.28)

com a diferenca de que, agora, a carga dq depende do tempo. A solucao de (3.28)que e compatıvel com (3.27) quando r → 0, e obtida escolhendo-se F−(t) =dq(t), tal que

dϕ(r, t) = kdq(t− r

c

)r

. (3.29)

Agora estamos em condicoes de generalizar. Colocando o elemento de cargano ponto r′, teremos

dϕ(r, t) = kdq(t− |r−r′|

c

)|r− r′|

. (3.30)

Considerando uma distribuicao de carga limitada pelo volume V , superpomostodas as contribuicoes dos elementos de carga dq(t) = ρ(t)dV , apos o que cheg-amos ao potencial escalar retardado no ponto de observacao r:

ϕ(r, t) = k

∫dV ′

ρ(r′, t− |r−r′|

c

)|r− r′|

, (3.31)

Essa solucao pode ser adaptada para cada componente da equacao inomogeneado potencial vetor (3.10), desde que substituamos ϕ por Ai, e o termo de fonte4πkρ por (4πk/gc2)Ji. Assim procedendo, chegamos imediatamente ao poten-cial vetor retardado

A(r, t) =k

gc2

∫d3r′

J(r′, t− |r−r′|

c

)|r− r′|

. (3.32)


3.2.2 Interpretacao fısica

Podemos interpretar fisicamente os potenciais retardados

ϕ(r, t) = k

∫dV ′

ρ(r′, t− |r−r′|

c

)|r− r′|

, (3.33)

A(r, t) =k

gc2

∫dV ′

J(r′, t− |r−r′|

c

)|r− r′|

. (3.34)

da seguinte forma: o potencial (escalar ou vetor) no ponto de observacao, iden-tificado pelo vetor posicao r : (x, y, z), e obtido integrando sobre todas as con-tribuicoes infinitesimais da distribuicao de carga ρ(r, t).

Consideremos um elemento de carga ρdV ′, centrado no ponto identificadopelo vetor posicao r′ : (x′, y′, z′) (variavel de integracao). O potencial devido aesse elemento de carga deve levar em conta a velocidade finita de propagacaodas interacoes, que e a velocidade da luz no vacuo c. Entao, o potencial medidoem r e no instante t depende do elemento de carga na posicao r′, mas no “temporetardado”

t′ = t− |r− r′|c

, (3.35)

pois |r− r′| e o intervalo de tempo que leva a interacao eletromagnetica para sepropagar do elemento de carga ate o ponto de observacao.

Para concluir essa discussao, vamos comparar o potencial devido a umadistribuicao estacionaria de carga ρ(r), dado pela Lei de Coulomb (ou melhor,pela equacao de Poisson) como

ϕ(r) = k

∫V

dV ′ ρ(r′)

|r− r′|, (3.36)

com o potencial retardado devido a uma distribuicao de carga dependente dotempo (3.15):

φ(r, t) = k

∫V

dV ′ρ(r′, t− |r−r′|

c

)|r− r′|

. (3.37)

Muito embora (3.36) e (3.37) sejam muito parecidas, seu significado fısicoe bastante diferente. Podemos imaginar que todas as cargas do Universo estaocontinuamente “calculando” a integral em (3.37), assim como a integral similarpara o potencial vetor. Apos determinar os potenciais, a carga “encontra” oscampos E e B aplicando (1.215) e (1.216), respectivamente. Com tais camposa carga “usando” a forca de Lorentz “escreve e resolve” a sua propria equacaode movimento, com a qual pode “saber” sua posicao e velocidade num instanteimediatamente posterior.

A questao chave e que a informacao recebida pela carga do restante do Uni-verso e transportada por ondas eletromagneticas esfericas que se propagam comuma velocidade finita c no vacuo. Portanto essa informacao e forcosamentedesatualizada. Ja na lei de Coulomb (3.36) as interacoes propagam-se infini-tamente rapido, e a informacao correspondente recebida pela carga e sempreatualizada.

A desatualizacao provocada pelo retardamento |r− r′|/c e essencialmente amesma que verificamos quando observamos estrelas distantes no ceu. A imagem


que vemos e, na verdade, o retrato de um passado mais ou menos remoto e,acima de tudo, diferente para cada estrela! Por exemplo, a luz recebida dasgalaxias mais distantes conhecidas foi emitida quando o Universo tinha cerca deum terco da presente idade. Ja a luz que percebemos hoje de uma estrela comoProxima Centauri foi emitida ha apenas 4,2 anos.

O que uma carga “faz”, dada a desatualizacao inerente da informacao queela recebe das outras cargas do Universo? Ela simplesmente usa a informacaomais recente que ela possui sobre as cargas distantes. Assim, ao inves de usar adensidade de carga atual ρ(r, t) para “calcular” o potencial, ela usa tal densidade

no tempo descontando o retardamento ρ(r, t − |r−r′|c ), levando ao potencial

retardado (3.37).

3.2.3 Funcao de Green da equacao de onda

O metodo proposto por Landau e Lifshitz para a obtencao dos potenciais re-tardados e bastante elegante e conciso. No entanto, este resultado pode serderivado de forma mais rigorosa a partir da funcao de Green das equacoes deonda inomogeneas (??) e (??) [28]. A funcao de Green para estas equacoes podeser escrita como G(r, t; r′, t′), satisfazendo equacoes inomogeneas onde o termode fonte e substituido por funcoes delta de Dirac nas posicoes e nos tempos

∇2G− 1

c2∂2G

∂t2= −δ(r− r′)δ(t− t′), (3.38)

e onde vamos considerar condicoes de contorno para o espaco livre

G(r, t; r′, t′) <∞, (|r| → ∞). (3.39)

bem como uma condicao de causalidade

G(r, t; r′, t′) = 0, (t < t′). (3.40)

que reflete a velocidade finita de propagacao das interacoes: a informacao geradano instante t′ pela fonte puntiforme situada em r′ (“causa”) so chega ao pontode observacao (“efeito”) depois de um certo retardamento, ou seja, para t < t′

nao ha contribuicao nenhuma da fonte puntiforme.Para simplificar a notacao definiremos

R : (X,Y, Z) ≡ |r− r′|, τ ≡ t− t′, (3.41)

tal que (3.38) fique

∇2RG(R, τ)−

1

c2∂2G(R, τ)

∂τ2= −δ(R)δ(τ), (3.42)

onde ∇R e o gradiente para o qual as derivadas parciais sao calculadas emrelacao as componentes do vetor R.

Podemos resolver (3.38) usando transformadas de Fourier tanto na posicaocomo no tempo (ou seja, em D = 4 dimensoes):

GF (K, ω) = FG(R, τ) ≡ 1

(2π)2

∫d3R

∫ +∞

−∞dτG(R, τ)ei(K·R+ωτ), (3.43)


onde K : (Kx,Ky,Kz) e o vetor de onda. Da definicao da transformada deFourier decorre que

F∇2RG(R, τ) = −K2GF (K, ω), (3.44)

F∂2G(R, τ)

∂τ2

= −ω2GF (K, ω), (3.45)

Aplicando transformadas de Fourier em todos os termos de (3.42), obtemos(−K2 +

ω2

c2

)GF = − 1

(2π)2

∫d3Rδ(R)ei(K·R)︸︷︷︸

=1

∫ +∞

−∞dτδ(τ)eiωτ︸︷︷︸=1

,

de modo que encontramos a funcao de Green no espaco-(K, ω):

GF (K, ω) =c2

(2π)2

−1

ω2 − c2K2, (3.46)

Para obter a funcao de Green no espaco-(R, τ) temos de fazer a transformadade Fourier inversa,

G(R, τ) = F−1GF (K, ω) ≡ 1

(2π)2

∫d3K

∫ +∞

−∞dωGF (K, ω)e

−i(K·R+ωτ)(3.47)

=c2

(2π)4

∫d3K

∫ +∞

−∞dωe−i(K·R+ωτ)

ω2 − c2K2=

c2

(2π)4

∫d3Ke−i(K·R)I(K),(3.48)

onde, usando o teorema dos resıduos, podemos calcular a integral

I(k) =∫ +∞

−∞dω

e−iωτ

ω2 − c2K2= −2π

sin(cKτ)

cK(3.49)

Substituindo (3.49) em (??) temos

G(R, τ) =c2

(2π)3

∫d3Ke−i(K·R) sin(cKτ)

cK(3.50)

Para efetuar a integracao no espaco-(K), alinhamos (sem perda de generalidade)o vetor R ao longo do eixo Kz, de modo a podermos usar coordenadas esfericasneste espaco: (K, θ, φ). Nesse caso

G(R, τ) =c2

(2π)3

∫ 2π

0

dφ︸︷︷︸=2π

∫ +1

−1

d(cos θ)e−iKR cos θ︸︷︷︸=2 sin(KR)/KR

∫ ∞

0

K2dKsin(cKτ)

cK

=c

4π2R

∫ ∞

0

2 sin(cKτ) sin(KR)dK

=c

4π2R

∫ ∞

0

[cos(cKτ −KR)− cos(cKτ +KR)] dK (3.51)

Usando a representacao integral da funcao delta de Dirac

δ(x) =1

2π

∫ +∞

−∞eiKxdK =

1

π

∫ ∞

0

cos(Kx)dK, (3.52)


podemos exprimir as integrais em (3.51) em termos de funcoes delta, do formaque a funcao de Green da equacao de onda seja

G(R, τ) =c

4π

[δ(cτ −R)

R− δ(cτ +R)

R

]. (3.53)

Mas, como τ > 0 e R > 0, entao nao se pode ter cτ+R = 0; logo δ(cτ+R) =0. Usando a propriedade de escala da funcao delta

δ(cτ −R) =1

cδ

(τ − R

c

)ou, retornando as variaveis originais, temos a funcao de Green

G(r, t; r′, t′) =1

4π

δ(t− t′ − |r−r′|

c

)|r− r′|

, (3.54)

onde supomos τ > 0 ou t > t′. Por outro lado, de acordo com a condicaode causalidade G = 0 se t < t′. Logo, usamos a funcao degrau unitario paraescrever

G(r, t; r′, t′) =1

4π

δ(t− t′ − |r−r′|

c

)|r− r′|

H(t− t′) (3.55)

Conhecida a funcao de Green, a solucao da equacao de onda inomogenea(3.8) e

ϕ(r, t) = 4π

∫d3r′

∫ +∞

−∞dt′G(r, t; r′, t′)ρ(r′, t′)

=

∫d3r′

∫ +∞

−∞dt′δ(t− t′ − |r−r′|

c

)|r− r′|

H(t− t′)︸︷︷︸=1, se t′<t

ρ(r′, t′)

=

∫d3r′

|r− r′|

∫ t

−∞dt′δ

(t− t′ − |r− r′|

c

)ρ(r′, t′),

que leva-nos ao potencial escalar retardado

ϕ(r, t) =

∫d3r′

ρ(r′, t = t− |r−r′|

c

)|r− r′|

, (3.56)

e, de maneira analoga, as tres componentes do potencial vetor retardado:

A(r, t) =4π

c

∫d3r′

∫ +∞

−∞dt′G(r, t; r′, t′)J(r′, t′)

=1

c

∫d3r′

J(r′, t′ = t− |r−r′|c )

|r− r′|. (3.57)

Finalmente, a solucao do tipo potencial avancado foi excluida pela condicao decausalidade imposta sobre a funcao de Green. Tais solucoes sao descartadaspor nao satisfazerem as condicoes de contorno correspondentes a emissao deradiacao eletromagnetica.


Im

C

Re

C1C

2

−Ω

ω

ω

−ω +ω2 1

Ω

Ω

ε ε

Figura 3.1: Contornos de integracao no plano ω-complexo para calculo da funcaode Green da equacao de onda.

Calculo da integral no plano complexo

O calculo da integral (3.49) no plano ω-complexo tem algumas sutilezas quejustificam sua apresentacao a parte. Temos que

I(K) = limΩ→∞

∫ Ω

−Ω

dωf(ω) (3.58)

onde o integrando

f(ω) =e−iωτ

ω2 − c2K2(3.59)

tem singularidades (polos sımples) nos pontos ω1 = cK e ω2 = −cK, ao longodo eixo real. Temos de contornar esses polos usando semi-circunferencias de raioε, denotadas por C1 e C2, respectivamente. No final faremos ε tender a zero.

Vamos considerar um caminho fechado no plano ω-complexo

C = [−Ω, ω2 − ε] ∪ C2 ∪ [ω2 + ε, ω1 − ε] ∪ C1 ∪ [ω1 + ε,Ω] ∪ CΩ,

onde CΩ e uma semi-circunferencia de raio Ω. Pela condicao de causalidade(3.40), sabemos que G = 0 se t < t′ ou τ < 0. Logo, temos de fechar umcaminho de integracao pelo semi-eixo imaginario negativo, pois a integral sodeve ser nao-nula para τ > 0. Como ver-se-a mais a frente, o lema de Jordanexige que −ωτ > 0, de modo que necessariamente devemos ter ω < 0. Portanto∮

C

f(ω)dω =

∫ ω2−ε

−Ω

+

∫C2

+

∫ ω1−ε

ω2+ε

+

∫C1

+

∫ Ω

ω1+ε

+

∫CΩ

f(ω)dω. (3.60)

Supondo que −ωτ > 0, o lema de Jordan nos assegura que

limΩ→∞

∫CΩ

f(ω)dω = 0, (3.61)

pois

max |f(ω)| = 1

Ω2 − c2K2→ 0, seΩ → ∞.


Nos contornamos os polos usando semi-circunferencias fechadas pelo semi-plano ω > 0. No entanto, vimos que ω < 0 para que a funcao de Green sejanao-nula. Logo as contribuicoes de C1 e C2 a integral sao identicamente nulas.Por outro lado, pelo teorema dos resıduos∮

C

f(ω)dω = −2πi [Res(ω1) + Res(ω2)] (3.62)

onde

Res(ω1) = limω→ω1

(ω − ω1)f(ω) =e−iω1τ

ω1 − ω2, (3.63)

e similarmente para ω2, de forma que (3.62) seja∮C

f(ω)dω = −2πsin(cKτ)

cK(3.64)

Tomando os limites Ω → ∞ e ε → 0 em (3.60), e usando (3.61) concluimosque

I(K) = −2πsin(cKτ)

cK(3.65)

3.3 Radiacao de sistemas de cargas e correnteslocalizados

Os potenciais retardados

ϕ(r, t) = k

∫dV ′

ρ(r′, t− |r−r′|

c

)|r− r′|

, (3.66)

A(r, t) =k

gc2

∫dV ′

J(r′, t− |r−r′|

c

)|r− r′|

. (3.67)

formam a base do tratamento da radiacao eletromagnetica produzida por sis-temas de cargas e correntes localizadas, como antenas e outros emissores, bemcomo tambem de partıculas carregadas em movimento acelerado. Deixaremos oestudo destas ultimas para o Capıtulo VI, apos termos estudado a formulacaorelativıstica da Eletrodinamica. No presente capıtulo trataremos, portanto, ex-clusivamente de sistemas de cargas e correntes eletricas localizadas no espaco evariando harmonicamente com o tempo com uma dada frequencia ω:

ρ(r, t) = ρ(r)eiωt, (3.68)

J(r, t) = J(r)eiωt, (3.69)

Substituindo (3.68) e (3.69) em (3.66) e (3.67), respectivamente, temos

ϕ(r, t) = k

∫dV ′ ρ (r

′)

|r− r′|ei(ω/c)|r−r′|e−iωt, (3.70)

A(r, t) =k

gc2

∫dV ′ J (r′)

|r− r′|ei(ω/c)|r−r′|e−iωt, (3.71)

3.4. EXPANSAO DO POTENCIAL VETOR 117

que tambem oscilam harmonicamente com a mesma frequencia das cargas ecorrentes. Portanto nosso tratamento sera focado na parte espacial destes po-tenciais (e consequentemente dos campos a partir deles obtidos):

ϕ(r, t) = ϕ(r)eiωt, (3.72)

A(r, t) = A(r)eiωt, (3.73)

onde

ϕ(r) = k

∫dV ′ρ(r′)

eiK|r−r′|

|r− r′|, (3.74)

A(r) =k

gc2

∫dV ′J(r′)

eiK|r−r′|

|r− r′|(3.75)

onde K = ω/c e o numero de onda, ou seja, o modulo do vetor de propagacaok.

As partes espaciais dos campos eletromagneticos produzidos pelas distribuicoesde carga e/ou corrente sao dados da forma habitual, como

B(r) = ∇×A(r), (3.76)

E(r) = −∇ϕ(r)− g∂A(r)

∂t. (3.77)

De maneira geral, nos procuramos calcular o potencial vetor retardado (3.75),com o qual determinamos o campo magnetico correspondente (3.76). Para acharo campo eletrico, no entanto, preferiremos empregar a Lei de Ampere-Maxwell.

Fora das distribuicoes de carga e corrente (lembrando que elas sao localizadasespacialmente) as fontes de campo (ρ e J serao nulas. Entao

∇×B(r, t) =1

gc2∂E(r, t)

∂t, (3.78)

Como supomos uma dependencia temporal da forma e−iωt para os campos,temos que

∂E

∂t= −iωE

de forma que a parte espacial do campo eletrico sera dada em funcao do rota-cional do campo magnetico:

E(r) =i

Kgc∇×B. (3.79)

3.4 Expansao do potencial vetor

Seja ` a dimensao caracterıstica da distribuicao de cargas e/ou correntes. Quandoafirmamos que estas estao espacialmente localizadas queremos dizer que ` econsideravelmente menor do que o comprimento de onda das ondas esfericasenvolvidas λ = 2π/K. Ja quanto a localizacao r ndo ponto de observacao emrelacao a fontes podemos ter tres situacoes qualitativamente diferentes:

• Zona proxima (` r λ),

• Zona intermediaria (` r ∼ λ),

• Zona distante (` λ r).


3.4.1 Zona proxima

Na zona proxima r 2π/K ou Kr 1, de modo que eiK|r−r′| ≈ 1 em (3.76)e o potencial vetor retardado sera simplesmente

A(r) ≈ k

gc2

∫dV ′ J(r′)

|r− r′|, (3.80)

que e a mesma expressao vista no Capıtulo II para a magnetostatica. Lamostramos tambem que o campo magnetico correspondente e dado pela Leide Biot-Savart como

B(r) ≈ k

gc2

∫dV ′J(r

′)× (r− r′)

|r− r′|, (3.81)

Observe, no entanto, que ha aqui uma diferenca fundamental. Agora ocampo magnetico depende do tempo na forma B(r, t) = B(r)e−iωt, de modoque apenas a parte espacial e semelhante ao caso magnetostatico. Por essemotivo e comum nos chamarmos tais campos de quase-estacionarios. Mesmoassim, a parte espacial do campo cai com o inverso do quadrado da distancia,como na magnetostatica.

Um raciocınio similar nos leva a concluir que o potencial escalar retardadosera semelhante ao visto na eletrostatica (Lei de Coulomb):

ϕ(r) ≈ k

∫dV ′ ρ(r

′)

|r− r′|, (3.82)

cujo campo eletricoE = −∇ϕ(r) + iωgA(r), (3.83)

tambem caira com 1/r2.

3.4.2 Zona distante

Na zona distante temos que Kr 1. Como, ainda, r′ e, no maximo, igual adimensao da fonte `, podemos impor ` r ou tambem r′ r. Desta formapodemos fazer uma expansao em potencias da raz“ao r′/r, desprezando termosde ordem superior quando for conveniente (teorema binomial). Escrevendo r =rn temos, por exemplo, que

|r− r′|2 = r2 − 2rn · r′ + r′2 ≈ r2

(1− 2

r′

rn · r′

)(3.84)

assim como

|r− r′|±1=≈ r±1

(1∓ r′

rn · r′

)(3.85)

de modo queeiK|r−r′|

|r− r′|≈ 1

reiKr

(1− r′

r n·r′)=eiK(r−n·r′

r. (3.86)

Os potenciais retardados (3.74) e (3.75) ficarao, na zona distante, dados por

ϕ(r) = keiKr

r

∫dV ′ρ(r′)e−iKn·r′ , (3.87)

A(r) =k

gc2eiKr

r

∫dV ′J(r′)e−iKn·r′ . (3.88)

3.5. POTENCIA IRRADIADA 119

Algumas conclusoes bastante gerais podem ser inferidas pela analise dasexpressoes acima. Uma vez dadas as distribuicoes de cargas e/ou correntes,os potenciais retardados compoe-se de um fator eiKr/r multiplicado por umaintegral que so depende dos angulos que localizam o ponto de observacao noespaco. Considerando, ainda, a dependencia harmonica com o tempo, temosque os potenciais retardados tem, na zona distante, a forma geral de ondasesfericas ei(Kr−ωt)/r propagando-se com velocidade de fase c = ω/K na direcaode r crescente (ondas emergentes). A dependencia angular e representada pelaintegral angular, que modula a amplitude da onda esferica, e sera diferenteconforme a especie de fonte de carga e/ou correntes que vamos analisar nestecapıtulo.

Outra conclusao importante e que, devido ao fator eiKr/r, os potenciaisretardados e os campos de radiacao correspondentes, caem com 1/r. Na zonaproxima r e relativamente pequeno, de modo que os campos quase-estacionarios(∼ 1/r2) predominam sobre os campos de radiacao. A coisa se inverte nazona distante: os campos quase-estacionarios caem rapidamente com r e saopraticamente nulos, ao passo que os campos de radiacao predominam. Nao ea toa que a zona distante tambem e chamada de zona de radiacao, ou zona deonda.

Sabemos que, a grandes distancias, ondas esfericas sao praticamente planas,de modo que na zona distante podemos usar algumas das propriedades ja vistasno Capıtulo I para ondas planas, agora no contexto dos campos de radiacao. Oscampos eletrico e magnetico sao perpendiculares entre si e tambem a direcao depropagacao, a qual e determinada pelo vetor unitario n. Alem disso, os camposeletrico e magnetico estao vinculados pela seguinte relacao

E = gcB× n. (3.89)

No estudo que procederemos consideraremos uma expansao de multipolosdas distribuicoes de cargas e/ou correntes. Se as dimensoes da fonte foremmuito pequenas em relacao ao comprimento de onda ` λ podemos expandiro potencial vetor retardado (3.88) em uma serie de potencias

A(r) ≈ k

gc2eiKr

r

∫dV ′J(r′) [1− iKn · r′ + · · · ] . (3.90)

3.5 Potencia irradiada

As ondas esfericas descritas na secao anterior transportam energia da fonteate o observador. Vamos quantificar a quantidade de energia irradiada bemcomo sua dependencia angular. No capıtulo I vimos que a densidade de energiaeletromagnetica e dada por

u =1

8πk(E2 + g2c2B2) (3.91)

assim como a densidade de fluxo de energia por uma superfıcie e dada pelo vetorde Poynting

S =gc2

4πkE×B (3.92)

A componente normal do vetor de Poynting sera, portanto, a potencia irra-diada por unidade de area perpendicular a esta normal. Seja, pois, o elemento


de area dA centrado no observador e que subtende um elemento de angulo solidodΩ = dA/r2 a partir da fonte. Entao o elemento de potencia irradiada sera

dP = (S · n)dA, (3.93)

tal que a potencia por unidade de angulo solido sera

dP

dΩ= r2(S · n). (3.94)

Os campos quase-estacionarios produzidos por cargas e correntes sao taisque

E ∼ 1

r2, B ∼ 1

r2, S ∼ EB ∼ 1

r4,

de modo que a potencia por unidade de angulo solido anula-se na zona distante,pois

dP

dΩ∼ Sr2 ∼ 1

r2→ 0, (r → ∞).

confirmando nossa observacao precedente de que tais campos so sao relevantesna zona proxima. Ja os campos de radiacao tem as seguintes caracterısticas

E ∼ 1

r, B ∼ 1

r, S ∼ 1

r2,

tal que a potencia por unidade de angulo solido nao se anula na zona distante,ja que

dP

dΩ∼ r2

r2∼ 1, (r → ∞).

Essa e a base do procedimento que consiste em, na zona distante, desprezartermos de ordem 1/r2 ou superior no calculo dos campos de radiacao, retendoapenas os termos de ordem 1/r.

Vamos considerar, agora, a dependencia temporal da potencia irradiada.Como ω e tipicamente muito grande para ondas eletromagneticas, os camposde radiacao oscilam muito rapidamente com o tempo. Nesse caso estamos maisinteressados no valor medio das quantidades, assim como fizemos no CapıtuloI. Em particular, podemos utilizar as seguintes medias:

sinωt = cosωt = 0, sin2 ωt = cos2 ωt =1

2. (3.95)

Alem disso, como usamos a notacao complexa para os campos eletromagneticos,devemos tomar as partes reais para que quantidades fısicas mensuraveis comoa potencia irradiada sejam numeros reais. Logo, o valor medio do vetor dePoynting (3.92) sera

S =gc2

4πk(ReE)× (ReB). (3.96)

Usando propriedades elementares dos numeros complexos e as medias (3.95)pode-se mostrar que (lista)

S =gc2

8πkRe(E×B∗). (3.97)

3.6. RADIACAO DE DIPOLO ELETRICO 121

Usando, agora, que na zona de radiacao vale a relacao (3.89),

E×B∗ = gc(B× n)×B∗ = gcB ·B∗, (3.98)

uma vez que B · n = 0 (o campo magnetico e perpendicular a direcao depropagacao), o valor medio do vetor de Poynting e

S =g2c3

8πkB×B∗n. (3.99)

ja que o modulo quadrado do campo e sempre real.Desta forma chegamos a uma expressao bastante util para a potencia media

irradiada por unidade de angulo solido (por simplicidade dispensaremos o usoda barra para denotar media temporal):

dP

dΩ= r2

g2c3

8πk|B|2 (3.100)

3.6 Radiacao de dipolo eletrico

3.6.1 Potencial vetor retardado

Partimos da expansao (3.90) para o potencial vetor retardado na zona distante,retendo apenas o termo de ordem mais baixa, que e uma constante:

A(r) =k

gc2eiKr

r

∫dV ′J(r′) (3.101)

Usando integracao por partes e o fato da distribuicao de correntes se anularno infinito (lembre que sempre supomos que ela e espacialmente localizada),pode-se mostrar que (lista)∫

dV ′J(r′) = −∫dV ′r′(∇′ · J(r′)) (3.102)

Da equacao de continuidade vista no Capıtulo I (conservacao local de cargaeletrica), temos que

∂ρ(r′, t)

∂t+∇′ · J(r′, t) = 0 (3.103)

Como ρ depende do tempo na forma e−iωt, resulta que

∇′ · J = iωρ (3.104)

que, em substituida em (3.103), leva-nos a∫dV ′J(r′) = −iω

∫dV ′r′ρ(r′) = −iωp, (3.105)

onde identificamos o momento de dipolo eletrico da distribuicao de cargas ecorrentes. Por esse motivo, o termo que retivemos na expansao (3.101) leva-nosao potencial retardado na aproximacao de dipolo eletrico

A(r) = − iωkgc2

peiKr

r(3.106)


3.6.2 Campos eletromagneticos

Encontramos o campo magnetico na aproximacao de dipolo eletrico tomando orotacional de (3.106)

B = − iωkgc2

∇(eiKr

r

)× p

= − iωkgc2

iKeiKr

r

(1− 1

iKr

)n× p

=kK2

gcn× p

eiKr

r

(1− 1

iKr

). (3.107)

Para determinar o campo eletrico nos lancamos mao da Lei de Ampere-Maxwell (3.79)

E(r) =i

Kgc∇×B

= ikK

∇× (n× p)

[eiKr

r

(1− 1

iKr

)]+

+∇[eiKr

r

(1− 1

iKr

)]× (n× p)

. (3.108)

Como, na zona distante, podemos supor simetria esferica (radial) nos cam-pos, vale a seguinte identidade para uma funcao arbitraria r da variavel radial:

∇ · [rf(r)] = 2

rf(r) +

df

dr, (3.109)

onde r = n. Em particular, se f = 1, temos que nabla · r = 2/r. Outraidentidade util, para este tipo de situacao, e

(A · ∇)r =1

r[A− (A · r)r]. (3.110)

onde A e um vetor arbitrario. Gracas a estes dois resultados, podemos calcularo seguinte termo

∇× (n× p) = −1

r[p+ (p · n)r]. (3.111)

que, incluida em (3.108), fornece

E = ikK

−1

r[p+ (p · n)r]

[eiKr

r

(1− 1

iKr

)]eiKr

r

(iK − 2

r+

2

iKr

)n× (n× p)

= ikK

eiKr

r

iKn× (n× p) + [3(p · n)r− p]

(1− 1

iKr

).(3.112)

Das relacoes (3.107) e (3.112) seguem algumas conclusoes importantes: (i)o campo magnetico e perpendicular a direcao de propagacao, ja que B · n = 0;(ii) o campo eletrico tem componentes perpendicular e paralela a direcao depropagacao, em geral. Na zona distante (Kr 1), no entanto, os termos que

3.6. RADIACAO DE DIPOLO ELETRICO 123

caem com 1/r2, etc. sao desprezıveis, e o campo eletrico tem apenas componenteperpendicular a direcao de propagacao:

B ≈ kK2

gcn× p

eiKr

r(3.113)

E ≈ kK2 eiKr

rn× (n× p) = gcB× n, (3.114)

em conformidade, alias, com (3.89): para a zona distante os campos eletrico emagnetico formam um triedro trirretangulo com a direcao de propagacao.

3.6.3 Potencia irradiada

A potencia media irradiada, na aproximacao de dipolo eletrico, por unidade deangulo solido, pode ser obtida pela formula geral (3.100)

dW

dΩ= r2

g2c3

8πk|B|2 =

ckK4

8π|n× p|2. (3.115)

Supondo o dipolo alinhado com o eixo z, entao |n× p| = p sin θ, e

dW

dΩ=ckK4

8πp2 sin2 θ. (3.116)

A distribuicao espacial da energia irradiada apresenta um mınimo em θ = 0, π,ou seja, ao longo da direcao do dipolo eletrico. Ja o maximo da irradiacao eobtido para θ = π/2, ou seja, ao longo do plano mediador do dipolo. Lembrandoque ha uma simetria azimutal, o padrao espacial tem a forma de uma rosquinhaneste plano mediador.

Para determinar a potencia total irradiada nos integramos (3.116) sobretodas as direcoes do espaco:

W =

∮dW

dΩdΩ =

ckK4

8πp2∫ 2π

0

dφ

∫ π

0

dθ sin3 θ, (3.117)

que leva a importante expressao

W =1

3ckK4p2 =

k

3c3ω4p2 (3.118)

3.6.4 Dipolo de Hertz

O chamado dipolo oscilante de Hertz foi historicamente o primeiro sistema ondefoi estudada sistematicamente a emissao e recepcao de radiacao eletromagnetica.Nas experiencias de Hertz, um circuito oscilante com uma frequencia ω alimen-tava uma pequena antena consistindo em duas esferas metalicas separadas poruma distancia d, muito menor do que o comprimento de onda da radiacao emi-tida (por este motivo e uma antena ”curta“). Hertz observava a emissao deondas pelo aparecimento de faiscas entre estas esferas, assim como sua deteccaopor uma antena semelhante era detectada pelo aparecimento de faiscas con-comitantes (como as faiscas eram muito debeis, as experiencias de Hertz eramrealizadas em obscuridade total).


Sendo d λ podemos determinar os campos de radiacao gerados pelo dipolooscilante de Hertz na aproximacao de dipolo eletrico. Se q(t) = q0e

−iωt repre-senta a carga instantanea nas esferas metalicas o momento de dipolo sera

p(t) = q0de−iωtz (3.119)

A carga nas esferas provem da corrente alternada I(t) = I0e−iωt criada no

circuito alimentador do dipolo, de forma que

I =dq

dt= −iωq0e−iωt, (3.120)

ou seja q0 = I0/(−iω), de modo que p2 = p∗p = p20 = q20d2 = I20d

2/ω2.A potencia irradiada pelo dipolo de Hertz, por unidade de angulo solido, e

dada por (3.116)

dW

dΩ=ckK4

8π(q0d)

2sin2 θ =

ckK4

8π

I20d2

ω2sin2 θ =

kK2

8πcI20d

2 sin2 θ (3.121)

e a potencia total irradiada, por (3.118):

W =k

3c3ω2d2I20 =

kK2

3cd2I20 (3.122)

Para termos uma ideia da ordem de grandeza da energia irradiada e conve-niente comparar a potencia perdida pelo circuito oscilante na forma de radiacaoeletromagnetica com a potencia media dissipada via efeito Joule nos condu-tores, cuja resistencia ohmica total e Rohm. Por estarmos tratando de correntesalternadas temos que a potencia dissipada por efeito Joule e

Pohm = RohmI2 = RohmI20 cos

2(ωt)︸︷︷︸=1/2

=1

2RohmI

20 (3.123)

Por analogia, podemos definir uma resistencia de radiacao para a potenciadissipada por irradiacao:

Rrad =W

I20/2. (3.124)

No caso do dipolo oscilante de Hertz, usando (3.122) temos imediatamente

Rrad =2kω2d2

3c3. (3.125)

Lembrando que o numero de onda da radiacao e relacionado ao comprimentode onda λ por

K =ω

c=

2π

λ(3.126)

temos que a resistencia de radiacao pode ser escrita como

Rrad =8kπ2

3c

(d

λ

)2

. (3.127)

Podemos obter, no sistema internacional, uma formula pratica:

Rrad =8π2

3

(9× 109

3× 108

)(d

λ

)2

≈ (789Ω)

(d

λ

)2

(3.128)

3.7. RADIACAO DE DIPOLOMAGNETICO E QUADRUPOLO ELETRICO125

Como um exemplo ilustrativo, consideremos uma pequena antena d = 1cm detelefonia celular (λ = 30cm). Como d λ, podemos aplicar a aproximacaode dipolo eletrico, para a qual a resistencia de radiacao e Rrad = 0, 87Ω, e quee certamente bem maior do que a resistencia ohmica do circuito ao qual estaligado. Logo a perda de energia por irradiacao em dipolos de Hertz e um efeitobem mais importante que a propria dissipacao de energia em calor por efeitoJoule. Por outro lado, como veremos mais tarde no estudo de antenas ”longas“,a resistencia de radiacao de um dipolo de Hertz e bem menor do que para umaantena onde d e da ordem de λ (e onde nao vale nossa aproximacao de dipoloeletrico).

3.7 Radiacao de dipolo magnetico e quadrupoloeletrico

3.7.1 Potencial vetor retardado

Os casos de dipolo magnetico e quadrupolo eletrico sao obtidos a partir dotermo seguinte ao de dipolo eletrico na expansao (3.90) para o potencial vetorretardado na zona distante:

A(r) =k

gc2eiKr

r

∫dV ′J(r′)(−iKn · r′) (3.129)

Abrindo o duplo produto vetorial r′ × J× n obtemos

(n · r′)J =1

2[(n · r′)J+ (n · J)r′] + 1

2(r′ × J)× n (3.130)

3.7.2 Termo de dipolo magnetico

Inicialmente vamos explorar a ultima parcela em (3.130) que, ao ser inserida em(3.131), leva ao potencial vetor

A(r) =k

gc2−iK2

eiKr

r

(∫dV ′(r′ × J)

)× n (3.131)

Usando a definicao de momento de dipolo magnetico vista no Cap. II, temos

A(r) = − k

gc2iK(m× n)

eiKr

r= − iωk

g2c3(m× n)

eiKr

r. (3.132)

Comparando (3.132) com a expressao correspondente para o termo de dipoloeletrico (3.106) concluimos que e possıvel adaptar os resultados da secao anteriorpara o caso de dipolo magnetico fazendo a seguinte substituicao:

p → m

gc× n. (3.133)

Por exemplo, os campos eletromagneticos na zona distante podem ser obtidosusando (3.133) em (3.113) e (3.114):

B ≈ kK2

g2c2(m× n)× n

eiKr

r(3.134)

E ≈ −kK2

gc

eiKr

r(n×m). (3.135)


3.7.3 Potencia irradiada

A potencia media irradiada por unidade de angulo solido e obtida substituindo-se (3.134) em (3.100):

dW

dΩ=g2c3

8πk

k2K4

g4c4|m× n)× n|2. (3.136)

Supondo novamente o dipolo alinhado com o eixo z

dW

dΩ=

kK4

8πg2cm2 sin2 θ. (3.137)

que tem a mesma geometria do caso do dipolo eletrico. O que muda, em termosquantitativos, e a potencia irradiada em cada direcao, assim como a potenciatotal:

W =1

3gc2kK4m2 =

k

3g2c3ω4m2 (3.138)

3.7.4 Espira circular de corrente

Uma espira circular de raio a conduzindo uma corrente oscilante I(t) pode serimaginada como uma antena ”curta“ (se o diametro d = 2a λ). Se a espiraestiver no plano xy entao o seu momento de dipolo magnetico e

m(t) = gIAz = g(πa2)I0e−iωtz (3.139)

donde (3.138) da a potencia total irradiada:

W =1

3

kω4

c5I20π

2a4 (3.140)

Assim como anteriormente, nos podemos determinar a resistencia de ra-diacao desta espira de corrente usando (3.124):

Rrad =kω2π2d4

24c5=

2kπ6

3c

(d

λ

)4

. (3.141)

onde d = 2a e o ”tamanho“ da antena. No SI temos

Rrad =≈ (19200Ω)

(d

λ

)4

(3.142)

Comparando com a resistencia de radiacao de um dipolo oscilante de Hertzde mesmo tamanho d (3.128) temos que

Rdip.magn.Rdip.elet.

∼(d

λ

)2

1, (3.143)

se d λ. Dada uma certa potencia de entrada no circuito, quanto maior aresistencia de radiacao, maior sera a potencia irradiada, o que nos permite com-parar a eficiencia de irradiacao de um dipolo eletrico com um dipolo magneticode mesma dimensao e alimentados por uma mesma corrente. Um dipolo magneticoe um irradiador menos eficiente que um dipolo eletrico pois sua resistencia deradiacao e muito menor, para d e λ dados, do que para o dipolo de Hertz.


3.7.5 Termo de quadrupolo eletico

Para chegar ao termo de quadrupolo eletrico precisaremos considerar as parcelasrestantes no termo (3.131) da expansao do potencial vetor, a saber

A(r) =k

gc2−iK2

eiKr

r

∫dV ′[(n · r′)J+ (n · J)r′] (3.144)

Usando a convencao de soma para ındices repetidos,∫dV ′[(n · r′)J+ (n · J)r′] =

∫dV ′[(n · r′)eiJi + (n · J)eix′i]

= ei

∫dV ′[δij(n · r′) + x′inj ]Jj

= ei

∫dV ′[∂′jx

′i(n · r′)Jj + ∂′j(n · r′)x′iJj ]

= ei

∫dV ′∂′j [(n · r′)x′i]Jj ≡ eiIi

Por outro lado, fazendo uma integracao por partes temos

Ii =∫V

dV ′∂′j [(n · r′)x′i]Jj =

termo de superfıcie−∫V

dV ′∂′jJj(n · r′)x′i,

onde o termo de superfıcie e uma integral ao longo da superfıcie S que envolveo volume de integracao V . Se este for tomado como sendo todo o espaco, entaoS e ”jogado para o infinito“, e o termo de superfıcie anular-se-a se tambem adensidade de corrente anula-se, o que e sempre verdade, tendo em vista que adistribuicao de corrente e suposta espacialmente localizada. Logo∫

dV ′[(n · r′)J+ (n · J)r′] = −∫dV ′∂′jJj(n · r′)eix′i =

∫dV ′∇′ · J(n · r′)r′.

(3.145)O divergente de J(r′) pode ser obtido a partir da equacao de continuidade

(conservacao da carga eletrica)

∇′ · J(r′, t) + ∂

∂tρ(r′, t) = 0. (3.146)

Supondo uma dependencia da forma e−iωt para as densidades de carga e correntetemos que

∇′ · J(r′) = iωρ(r′), (3.147)

que, ao ser substituida em (3.145), resulta em∫dV ′[(n · r′)J+ (n · J)r′] = icK

∫dV ′ρ(r′)(n · r′)r′. (3.148)

Com este resultado, o potencial vetor na aproximacao de quadrupolo eletrico(3.144) sera dado por

A(r) = −kK2

2gc

eiKr

r

∫dV ′ρ(r′)(n · r′)r′ ≡ −kK

2

2gc

eiKr

rΞ (3.149)


Para encontrar os campos eletromagneticos na zona de radiacao correspon-dentes a (3.149) efetuamos seu rotacional:

B = ∇×A = −kK2

2gc∇(eiKr

r

)×Ξ

= −kK2

2gc

[eiKrn

(− 1

r2+iK

r

)]×Ξ

≈ − ikK3

2gc

eiKr

rn×Ξ, (3.150)

onde so retivemos o termo que nao se anula na zona de radiacao.

No Capıtulo II [vide Eq. (3.151) nos definimos o tensor de quadrupoloeletrico como tendo as seguintes componentes

Qij =

∫dV ′ρ(r′)(3x′ix

′j − r′2δij), (3.151)

onde r′2 = x′ix′i. Definiremos, ainda, o seguinte vetor dependente da direcao de

observacao, de componentes

Qi = Qijnj

=

∫dV ′ρ(r′)(3x′ix

′jnj − r′2δijnj)

=

∫dV ′ρ(r′)(3x′i(r

′ · n)− r′2ni), (3.152)

ou tambem

Q = Q · n =

∫dV ′ρ(r′)(3r′(r′ · n)− r′2n), (3.153)

de forma que

n×Q = 3n×∫dV ′ρ(r′)r′(r′ · n) = 3n×Ξ. (3.154)

Substituindo (B.54) em (3.150) o campo magnetico na zona de radiacao sera

B = − ikK3

6gc

eiKr

rn×Q. (3.155)

O campo eletrico na zona de radiacao e obtido diretamente a partir da relacao

E = gcB× n = − ikK3

6

eiKr

r(n×Q)× n

= − ikK3

6

eiKr

r[Q− (n ·Q)n] (3.156)


3.7.6 Potencia Irradiada

A potencia media irradiada, na aproximacao de quadrupolo eletrico, por unidadede angulo solido, e dada por (3.100) e (3.155)

dW

dΩ= r2

g2c3

8πk|B|2

=k2K6c

288π(n×Q)∗ · (n×Q)

=k2K6c

288π[(n · n)(Q∗ ·Q)− (n ·Q)(n ·Q∗)]

=k2K6c

288π[(Q∗ ·Q)− |n ·Q|2], (3.157)

onde

Q∗ ·Q = Q∗iQi = Q∗

ijQiknjnk (3.158)

|n ·Q|2 = Q∗jnjQknk = Q∗

j`Qkmnjnkn`nm (3.159)

No Capıtulo II vimos que, quando o eixo z e o eixo de simetria da distribuicaode cargas, o tensor de quadrupolo eletrico correspondente pode ser escrito numaforma diagonal [vide Eq. (2.128]

(Qij) = Q

−1/2 0 00 −1/2 00 0 1

, (3.160)

onde o momento de quadrupolo da distribuicao e

Q = Qzz =

∫dV ′ρ(r′)(3z′2 − r′2). (3.161)

Neste caso particular (que, nao obstante, e muito importante nas aplicacoes)podemos obter formas explıcitas para os termos (3.158) e (3.159):

Q∗ ·Q = Q211n

21 +Q2

22n22 +Q2

33n23 =

Q2

4(n21 + n22 + 4n23), (3.162)

|n ·Q|2 = (Q11n21 +Q22n

22 +Q33n

23)

2=Q2

4(n21 + n22 − 2n23)

2(3.163)

As componentes de uma direcao arbitraria no espaco, em coordenadas esfericas,sao dadas por

n1 = nx = sin θ cosφ, (3.164)

n2 = ny = sin θ sinφ, (3.165)

n3 = nz = cos θ, (3.166)

que, ao serem inseridas em (3.162) e (3.163) nos dao, apos uma algebra simples,os seguintes resultados

Q∗ ·Q =Q2

4(3 cos2 θ + 1), (3.167)

|n ·Q|2 =Q2

4(2 cos2 θ − sin2 θ)

2(3.168)


os quais, por sua vez, podem ser substituidos em (3.157), dando

dW

dΩ=kK6Q2c

128πsin2 θ cos2 θ (3.169)

A distribuicao espacial da energia irradiada apresenta mınimos em θ = 0, π/2,e maximos em θ = π/4, 3π/4, ilustrados pela roseta no diagrama polar.

A potencia total irradiada neste caso particular e facilmente obtida inte-grando (3.169) sobre todas as direcoes do espaco:

P =

∫ 2π

0

dφ

∫ π

0

dθ sin θdW

dΩ=kK6Q2c

240(3.170)

Ja a potencia total no caso geral (3.157) e mais complicada de determinar,pois envolve uma integracao espacial de produtos de componentes cartesianas:

P =

∮dΩ

dW

dΩ=k2K6c

288π

[∮dΩQ∗ ·Q−

∮dΩ|n ·Q|2

], (3.171)

onde ∮dΩQ∗ ·Q = Q∗

ijQik

∮dΩnjnk (3.172)∮

dΩ|n ·Q|2 = Q∗j`Qkm

∮dΩnjnkn`nm (3.173)

Usando as seguintes relacoes∮dΩninj =

4π

3δij , (3.174)∮

dΩninjnkn` =4π

15(δijδk`+ δikδj` + δi`δjk) (3.175)

temos que, apos uma algebra tediosa envolvendo trocas de ındices∮dΩQ∗ ·Q =

4π

3|Qij |2, (3.176)∮

dΩ|n ·Q|2 =8π

15|Qjk|2, (3.177)

onde usamos a simetria do tensor de quadrupolo eletrico (Qkj = Qjk) e o fatodeste ter traco nulo: Qkk = 0 (com k somando de 1 a 3). Substituindo estesresultados em (3.171) teremos

P =kK6c

360|Qij |2, (3.178)

da qual (3.171) e, evidentemente, um caso particular.

3.7.7 Dois dipolos de Hertz oscilando em oposicao de fase

Um sistema simples para estudar a radiacao de quadrupolo eletrico consiste emdois dipolos de Hertz oscilando com a mesma frequencia ω mas em oposicao defase, de modo que o dipolo eletrico do sistema e nulo. Sejam as quatro cargas

3.8. ANTENAS 131

do sistema: q1 = q em z1 = d + (ε/2); q2 = −q em z2 = d − (ε/2); q3 = −qem z3 = −d + (ε/2); e q4 = q em z4 = −d − (ε/2). O sistema e trivialmentesimetrico em relacao ao eixo z, de modo que o seu tensor de quadrupolo eletricotem a forma (3.160), onde o momento de quadrupolo e

Q =

∫dV ′ρ(r′)(3z′2 − z′2) = 2

∫dV ′ρ(r′)z′2

= 2

∫dV ′z′2

∑a

qaδ(r′ − ra) = 2

∑a

qaz2a

= 2(q1z21 + q2z

22 + q3z

23 + q4z

24) = 8qdε.

Supomos que ambos os dipolos sejam alimentados por uma corrente alter-nada de amplitude I0 e frequencia ω, de modo que as cargas sejam dadas porq(t) = (I0/− iω)e−iωt, e o momento de quadrupolo correspondente seja

Q(t) = − i8I0dεω

e−iωt (3.179)

que nos permite obter a potencia total irradiada (3.170):

P =kK6Q∗Qc

240=

4

15kcK6

ω2d2ε2I20 . (3.180)

A resistencia de radiacao referente a esse sistema e dada por

Rrad =P

I20/2=

128π4

15

k

c

d2ε2

λ4(3.181)

onde usamos que λ = 2π/K e o comprimento de onda irradiado. No sistema SIuma formula pratica e

Rrad ≈ (25.000Ω)

(dε

λ2

)2

, (3.182)

que e da mesma ordem de grandeza da radiacao de dipolo magnetico. Comoum exemplo, supondo que λ = 30cm e d = ε = 1cm, a resistencia de radiacao ede 0, 03Ω, aproximadamente.

3.8 Antenas

Antenas sao sistemas irradiantes cujas dimensoes sao da ordem do comprimentode onda λ da radiacao emitida. Nao podemos, entao, usar a expansao em serie(3.90) para o potencial vetor. Temos, pois, de empregar a expressao exata(3.88):

A(r) =k

gc2eiKr

r

∫dV ′J(r′)e−iKn·r′ . (3.183)

Se a antena tem comprimento d, entao max r′ = d e, na zona de radiacao, temosque r d.

Ha alguns casos especiais onde e possıvel obter expressoes fechadas para aintegral em (3.183): antenas lineares com alimentacao central e com alimentacaonas pontas, redes de antenas, etc. Veremos alguns desses casos em nosso curso.


3.8.1 Antena linear com alimentacao central

Seja uma antena de comprimento d ao longo do eixo z, alimentada em seu centro(na origem) por uma corrente senoidal

J(r) =

I sin

(K d

2 −K|z|)δ(x)δ(y)z, se |z| ≤ d

2 ,

0, se |z| > d2 ,

(3.184)

Substituindo (3.184) em (??) o potencial vetor no ponto de observacao e

A(r) = zkI

gc2eiKr

r

∫ d/2

−d/2dz′e−iKz

′ cos θ sin

(Kd

2−K|z′|

)(3.185)

A integral acima pode ser feita analiticamente:∫ d/2

−d/2dz′e−iKz

′ cos θ sin

(Kd

2−K|z′|

)=

2

K sin2 θ

[cos

(Kd

2cos θ

)− cos

(Kd

2

)],

(3.186)de forma que

A(r) = z2kI

gc2K

eiKr

r

1

sin2 θ

[cos

(Kd

2cos θ

)− cos

(Kd

2

)]≡ z

2kI

gc2K

eiKr

rf(θ).

(3.187)O campo magnetico e dado pelo rotacional do potencial vetor

B =2kI

gc2K∇(eiKr

rf(θ)

)× z ≡ 2kI

gc2Ψ× z (3.188)

onde

Ψ = ∇(eiKr

Krf(θ)

)= Ψr r+Ψθθ +Ψφφ (3.189)

com

Ψr =∂Ψ

∂r= f(θ)

d

dr

(eiKr

Kr

)(3.190)

Ψθ =1

r

∂Ψ

∂θ=

1

r

df

dθ

(eiKr

Kr

)(3.191)

Ψφ =1

r sin θ

∂Ψ

∂φ= 0, (3.192)

devido a simetria azimutal do sistema.Substituindo (3.190)-(3.192) em (3.189), e usando as relacoes vetoriais

r× z = −φ sin θ, θ × z = −φ cos θ, φ× z = x cosφ+ y sinφ, (3.193)

resulta que (3.188), na zona de radiacao, reduz-se a

B ≈ −iφ2kI

gc2sin θf(θ)

eiKr

r(3.194)

onde desprezamos termos que caem com 1/r2 , como de habito.

3.8. ANTENAS 133

3.8.2 Potencia Irradiada

A potencia media irradiada por unidade de angulo solido, e dada por (3.100)

dP

dΩ= r2

g2c3

8πkB∗ ·B =

kI2

2πcsin2 θf2(θ)

=kI2

2πc

[cos(Kd2 cos θ

)− cos

(Kd2

)sin θ

]2(3.195)

Podemos considerar alguns casos particulares desta expressao.

Limite de antena linear curta

Uma antena linear curta e tal que d λ = 2π/K, ou Kd 1. Expandindo oscossenos de (3.195) em serie de McLaurin

cos

(Kd

2cos θ

)≈ 1− 1

2

(Kd

2

)2

cos2 θ

de forma que a distribuicao espacial da potencia media irradiada, conforme dadapor (??), reduz-se a

dP

dΩ=kI2(K2d2)

2

128πcsin2 θ =

kI20 (K2d2)

2

32πcsin2 θ, (3.196)

onde definimos a corrente de pico na antena como

I0 =IKd

2. (3.197)

A expressao (3.196) e similar aquela obtida para o dipolo oscilante de Hertz

dP

dΩ=ckK4

8πp2 sin2 θ, (3.198)

De fato, integrando a potencia media irradiada (3.196) em todas as direcoes doespaco temos

P =

∮dΩ

dW

dΩ= k

ω2I20d2

12c3, (3.199)

que corresponde a uma resistencia de radiacao de

Rrad =P

I20/2=

2π2

3

k

c

(d

λ

)2

≈ (197Ω)

(d

λ

)2

(3.200)

comparavel, portanto, ao resultado anteriormente obtido para o dipolo de Hertz[vide Eq. 3.128].

Antenas de meia-onda

Um caso particular bastante importante e o de antenas para as quais o tamanhoe exatamente igual a metade do comprimento de onda: d = λ/2, ou Kd = π,para as quais a formula geral (3.195) torna-se

dW

dΩ=kI2

2πc

[cos(π2 cos θ

)− cos

(π2

)sin θ

]2=kI2

2πc

cos2(π2 cos θ

)sin2 θ

(3.201)


Na Figura ??(a) comparamos a distribuicao espacial da radiacao de uma antenade meia-onda com uma antena curta do tipo dipolo de Hertz. Podemos ver queos lobos espaciais sao parecidos, sendo que a antena meia-onda tem uma ligeiradiminuicao de intensidade para θ da ordem de π/4.

A potencia total irradiada, por integracao sobre todos os angulos solidos,leva a

P =kI2

c

∫ π

0

dθcos2

(π2 cos θ

)sin2 θ

, (3.202)

A integral em θ nao tem solucao analıtica, mas pode ser facilmente efetuadanumericamente, dando o valor 1, 2188, de forma que

P = 1, 2188kI2

c, (3.203)

correspondendo a uma resistencia de radiacao de

Rrad = 2, 4376k

c= 73Ω, (3.204)

independentemente do tamanho da antena ou do comprimento de onda empre-gado.

Duas observacoes fazem-se importantes nesse ponto da discussao. A primeirae que a resistencia de radiacao de uma antena meia-onda e tipicamente bemmaior do que para um dipolo de Hertz. No exemplo que vimos anteriormente,de uma antena de telefone celular (λ = 30cm), a aproximacao de dipolo de Hertz(antena curta com d = 1cm) fornece Rrad = 0, 87Ω, enquanto se for usada umaantena meia-onda com d = 15cm, a resistencia cresce para 73Ω, duas ordens degrandeza portanto. Como, quanto maior a resistencia de radiacao, melhor e aeficiencia da antena em converter energia fornecida em radiacao, uma antenameia-onda e uma opcao melhor do que o dipolo de Hertz. Outra vantagem daantena de meia-onda e que sua resistencia de radiacao e proxima a impedenciade cabos coaxiais padrao RG-6 (75Ω), o que permite um excelente casamentode impedancias, com pouca perda de energia por ondas refletidas na juncaocabo-antena.

Antenas de onda inteira

Quando o tamanho da antena e igual ao comprimento de onda: d = λ, ouKd = 2π, a eq. (3.195) leva a

dP

dΩ=kI2

2πc

[1 + cos(π cos θ)

sin θ

]2(3.205)

Na Figura ??(b) comparamos a distribuicao espacial da radiacao de uma antenade onda inteira com uma antena de meia-onda. Observamos que os lobos espa-ciais para a antena de onda inteira sao mais intensos e mais estreitos, fazendocom que haja uma colimacao melhor da radiacao emitida.

A potencia total irradiada pode ser tambem obtida por integracao numerica:

P =kI2

c

∫ π

0

dθ

[1 + cos(π cos θ)

sin θ

]2= 9999

kI2

c, (3.206)

3.8. ANTENAS 135

correspondendo a uma resistencia de radiacao tambem constante

Rrad = 2x9999k

c= 199Ω, (3.207)

3.8.3 Redes de antenas

Usam-se tambem redes de antenas paralelas e separadas por uma distanciaconstante. Seja uma rede com N antenas de meia-onda de comprimento d,paralelas entre si e em fase mutuamente, separadas por uma distancia ∆. Entaopodemos descrever a i-esima antena como tendo a posicao xi = i∆, com i =0, 1, 2, · · ·N − 1, e orientada ao longo do eixo z. Neste caso, o potencial vetorgerado pela i-esima antena e dado por (3.208) no caso Kd = π:

Ai(r) = z2kI

gc2K

eiKri

ri

1

sin2 θicos(π2cos θi

)(3.208)

onde cada antena esta localizada a uma distancia diferente do observador, dondeos valores de (ri, θi, φi) sao, em geral, diferentes.

Pelo princıpio de superposicao, o potencial vetor gerado pela rede de antenassera a soma vetorial dos N potenciais dados por (??). Como os valores de(ri, θi, φi) diferem para cada antena, o resultado sera um padrao de interferencia,similar ao de uma rede de difracao constituida de fendas igualmente espacadas.Nessa analise, e conveniente usar a aproximacao da otica geometrica, na qualtrabalhamos com os ”raios“ perpendiculares as frentes de onda. A diferenca decaminho percorrida pelos ”raios“ produzidos por duas antenas adjacentes e

ri − ri+1 ≈ ∆cosφ sin θ (3.209)

onde φ = φ0 e θ = θ0 referem-se a antena com i = 0, situada exatamente sobre oeixo z. A diferenca de fase α correspondente e obtida multiplicando-se o numerode onda K = 2π/λ pela diferenca de caminho:

α = K∆cosφ sin θ (3.210)

de modo que as N ondas geradas pelas antenas da rede atingem o observadorcom defasagem constante:

A0(r) ,

A1(r) = A0eiα,

A2(r) = A0e2iα,

......

AN−1(r) = A0e(N−1)iα,

onde

A0(r) = z2kI

gc2K

eiKr

r

1

sin2 θcos(π2cos θ

)(3.211)

O potencial vetor resultante sera

A(r) =

N−1∑i=0

Ai(r) = A0

(1 + eiα + · · ·+ e(N−1)iα

)(3.212)


O termo entre parenteses acima e a soma dos N termos de uma progressaogeometrica de razao eiα e primeiro termo igual a 1. Por uma formula damatematica basica, ele vale

(eiα)N − 1

eiα − 1= ei(N−1)α/2 sin

(Nα2

)sin(α2

) (3.213)

tal que

A(r) = A0ei(N−1)α/2 sin

(Nα2

)sin(α2

) . (3.214)

Para determinar a distribuicao angular da radiacao emitida pela rede deantenas, usamos a formula geral (3.100), aqui reescrita na seguinte forma

dP

dΩ= r2

g2c3

8πk|A|2 sin2 θ

=kI2

2πc

cos2(π2 cos θ

)sin2 θ

sin2(Nα2

)sin2

(α2

) , (3.215)

onde o fator dependente de θ refere-se a contribuicao de cada antena de meia-onda pertencente a rede, ao passo que o fator dependente de α representa acontribuicao da defasagem de cada antena.

Este ultimo fator pode ser analisada separadamente. A funcao

f2(α) ≡sin2

(Nα2

)sin2

(α2

) , (3.216)

tem zeros nos pontos

αn =2nπ

N, (n = 0,±1,±2, . . .). (3.217)

Os maximos principais correspondem aos pontos α = 0, 2π, 4π, etc.. Quandon = 0, usando a regra de l’Hospital, pode-se mostrar facilmente que

limα→0

f2(α) = N2, (3.218)

que vale, tambem, para todos os maximos principais. Os demais maximos saoditos secundarios.

De (3.210) o valor maximo de α e K∆ = 2π∆/λ. Logo, se a distancia entreas antenas da rede ∆ e menor do que o comprimento de onda λ irradiado, ovalor maximo de α e menor do que 2π. Logo, no domınio −π < α < π so ha ummaximo principal. Por exemplo, no caso de ∆ = λ/2, a dependencia angularda potencia irradiada e ilustrada na Figura ??, para o plano θ = π/2 (no qual,como vimos anteriormente, a potencia e maxima para antenas de meia-onda).

Para uma unica antena de meia-onda (N = 1), a potencia irradiada naodepende do angulo azimutal φ. No entanto, ja para N = 2 antenas, ha dois lobosna potencia para as posicoes φ = ±π/2, correspondendo aos maximos principais.Os maximos secundarios so comecam a ser notados a partir de N = 3 antenas,mas os maximos principais continuam a estar centrados no plano φ = ±π/2,com um aumento na intensidade em relacao aos casos anteriores.

3.8. ANTENAS 137

Podemos estimar a largura dos lobos correspondentes ao maximo principal,como funcao do numero de antenas na rede. Considerando o primeiro mınimoquando α = 3π/2N , podemos estimar a largura do maximo principal comoδα = 3π/N . De (3.210), no plano θ = π/2 teremos α = K∆cosφ, cuja variacaoe

|δα| = −K∆sinφδφ.

No plano φ = ±π/2, essa variacao, em modulo, e δα = K∆δφ. Isolando avariacao no angulo azimutal

δφ =3π/N

K∆=

3λ

2N∆≈ λ

N∆. (3.219)

Logo, quanto maior for o numero de antenas N , menor sera a largura do lobuloem termos do angulo φ.

3.8.4 Diretividade de antenas

No estudo das ondas sonoras, que sao longitudinais, e comum idealizarmos umemissor isotropico, ou seja, que emite ondas com as mesmas intensidades emtodas as direcoes do espaco. Usando argumentos bastante gerais de naturezatopologica, pode-se mostrar que o mesmo nao e verdade para ondas eletro-magneticas, devido a sua transversalidade. Nao ha como emitir radiacao eletro-magnetica de forma isotropica no espaco. De fato, em todos os casos que anal-isamos no decorrer deste capıtulo, pode-se observar uma distribuicao espacialda potencia irradiada. Por exemplo, para o dipolo de Hertz (e a antena meia-onda), o padrao de irradiacao e parecido: ambas nao irradiam na direcao do seucomprimento, e irradiam a maxima potencia em direcoes perpendiculares a ele.

Para estudar esta anisotropia nos idealizamos um radiador isotropico hipoteticode ondas eletromagneticas. A diretividade de uma antena mede o quao inten-samente ela irradia em sua direcao preferencial, em relacao a este radiadorhipotetico, tendo sido ambos alimentados com a mesma potencia de entrada.Para o radiador isotropico todas as direcoes espaciais sao identicas, de modo quea potencia media irradiada por unidade de angulo solido e W/4π. Dessa forma,a diretividade G de uma antena e a razao entre a maxima potencia irradiadapor unidade de angulo solido e a mesma quantidade, avaliada para o hipoteticoradiador isotropico:

G =(dW/dΩ)max

W/4π. (3.220)

Uma antena de alta diretividade tem uma potencia irradiada mais intensanuma dada direcao do espaco do que em outras. Essa direcao pode ser determi-nada eletronicamente por goniometria. Se temos duas ou mais medicoes destanatureza, podemos inferir a posicao da antena por triangulacao. Este procedi-mento tem sido empregado na localizacao de navios e avioes desde os primordiosda radiotransmissao.

Vamos analisar alguns exemplos. Para o dipolo de Hertz a potencia irradiadapelo dipolo de Hertz, por unidade de angulo solido, dada por (3.121), dependede sin2 θ, de forma que seu valor maximo e obtido para θ = π/2:(

dP

dΩ

)max

=kK2

8πcI20d

2 (3.221)


Substituindo juntamente com a potencia total irradiada, dada por (3.122), temos

G =(kK2/8πc)I20d

2

(kK2/12πc)d2I20=

3

2= 1, 5, (3.222)

ou seja, o dipolo de Hertz emite radiacao uma vez e meia mais direcionalmentedo que um radiador isotropico alimentado pela mesma potencia.

Para uma antena de meia-onda a potencia por angulo solido e dada por(3.201), cujo valor maximo e tambem obtido para θ = π/2. O fator angular,neste caso, e igual a 1, de modo que(

dP

dΩ

)max

=kI2

2πc(3.223)

Usando (3.203) a diretividade da antena de meia-onda sera, portanto,

G =kK2/2πc

1, 2188kI2/4πc=

2

1, 2188= 1, 64, (3.224)

ligeiramente melhor do que o dipolo de Hertz, portanto, em termos de diretivi-dade da radiacao emitida.

Para obter diretividades maiores, podemos usar redes de antenas de meia-onda. Como ilustrado na Figura ??, quanto maior o numero N de antenasna rede, mais colimados sao os maximos principais na direcao φ = ±π/2 per-tencente ao plano θ = π/2, o que e tambem confirmado pela eq. (3.219), queinforma-nos a largura angular dos lobos como λ/N∆, ou seja, diminui com onumero de antenas da rede.

A diretividade de uma rede de antenas e maior do que para uma unica antenade meia-onda por um fator

2π

δφ=

2πN∆

λ

Assim, para redes com N antenas de meia-onda a diretividade e diretamenteproporcional a N :

G =2πN∆

λ× 1, 64 ≈ 10, 30

N∆

λ

Como um exemplo, considere uma rede com N antenas separadas de ∆ = λ/2.A diretividade sera aproximadamente 5N .

3.9 Teoria da Difracao

O fenomeno da difracao e bem conhecido da Fısica Elementar, e envolve o desvioda propagacao retilınea da luz (ou outras faixas de radiacao eletromagnetica)devido a sua natureza ondulatoria. Como a teoria da difracao envolve necessari-amente consideracoes sobre ondas esfericas, e natural que estudemos a difracaocomo uma parte da teoria mais geral de campos de radiacao. Na verdade, sobum determinado ponto de vista, a difracao por uma abertura, ou obstaculo,pode ser encarada como uma especie de producao de radiacao, algo como ovisto anteriormente para antenas e outros sistemas.

3.9. TEORIA DA DIFRACAO 139

3.9.1 Princıpio de Huyghens-Fresnel

Nos tratamentos elementares da difracao, o ponto de partida e o chamadoprincıpio de Huyghens: todo ponto de uma frente de onda primaria funcionacomo uma fonte de ”ondaletas“ esfericas secundarias, tal que a frente de ondaprimaria, em um tempo posterior, e a envoltoria destas ondaletas. Alem disso,as ondaletas tem velocidade e frequencia iguais a onda primaria em cada pontodo espaco.

Para avaliar qualitativamente a utilidade deste princıpio, consideremos umaonda eletromagnetica plana de comprimento λ incidindo em uma tela opaca, quepossui uma pequena abertura de largura d. Se d λ, observamos praticamenteuma unica onda esferica emanando da abertura, o que se explica pelo Princıpiode Huyghens admitindo que a abertura deixa passar praticamente uma unicaondaleta esferica.

No entanto, se d for da ordem ou maior que o comprimento de onda λ(que e o caso na pratica mais interessante) observaremos, para esta experiencia,que trechos de frentes de onda esfericas concentram-se na regiao em frente aabertura. Note que o princıpio de Huyghens nao explica este fato. Outro fatonao-explicado e o porque das ondas difratadas serem produzidas apenas numsentido, e nao no sentido oposto, como seria de se esperar pela simetria doproblema.

Por outro lado, a existencia de regioes sem ondas difratadas pode ser facil-mente explicado devido as ondas difratadas interferirem destrutivamente nasregioes mais laterais a abertura. Fresnel incorporou esta explicacao no princıpiode Huyghens: todos os pontos nao-obstruidos de uma frente de onda, em umdado instante de tempo, funcionam como uma fonte de ondaletas esfericas se-cundarias de mesma frequencia que a fonte. A amplitude da onda difratadae a superposicao das ondaletas, levando-se em conta suas amplitudes e fasesrelativas. Em outras palavras, a amplitude da onda difratada e um padrao deinterferencia entre as ondaletas esfericas.

3.9.2 Teoria escalar da difracao

Em meados do seculo XIX, Kirchhoff tentou dar uma roupagem matematicapara a teoria de difracao, traduzindo em termos da teoria ondulatoria o princıpiode Huyghens-Fresnel. Sua teoria, em que pese algumas inconsistencias matematicas,leva a resultados fisicamente corretos. Somente no final do seculo XIX Rayleighe Sommerfeld resolveram as inconsistencias matematicas da teoria de Kirchhoff,sendo este o tratamento padrao que abordamos neste curso.

O problema central da teoria da difracao pode ser enunciado como segue:seja uma fonte puntiforme F de radiacao monocromatica, que e interceptadapor uma tela opaca, na qual ha uma abertura pela qual passa a radiacao, a quale detectada por um observador O (um ”anteparo“) localizado no lado da telaoposto a fonte.

Nos trabalharemos com uma funcao escalar complexa ψ(r, t), que pode serqualquer uma das componentes cartesianas do campo eletrico ou do campomagnetico da onda. Ignorando efeitos de polarizacao, portanto, a intensidadeda radiacao e simplesmente |ψ|2 = ψ∗ψ. Para pontos fora da fonte, o campo


escalar satisfaz a equacao de onda homogenea:

∇2ψ − 1

c2∂2ψ

∂t2= 0 (3.225)

Supondo que a fonte emita radiacao de frequencia ω podemos fazer a seguinteseparacao de variaveis:

ψ(r, t) = ψ(r)e−iωt, (3.226)

onde ω = cK, sendo K o numero de onda associado.Substituindo (3.226) em (3.225) temos a equacao de Helmholtz:

∇2ψ(r) +K2ψ(r) = 0. (3.227)

Considerando a tela como sendo o plano z = 0, nos impomos a seguinte condicaode contorno de Dirichlet homogenea para os pontos sobre a tela:

ψ(x, y, z = 0) = 0. (3.228)

Vamos considerar neste problema uma superfıcie fechada S consistindo deduas partes: um segmento S′ do plano que contem a tela (e a abertura) e umasuperfıcie hemisferica SR de raio R do lado da tela onde esta o observador. Asuperfıcie S limita um volume V . O raio do hemisferio, para todos os efeitos,sera tomado como infinito, de modo que o volume abrange todo o semi-espacoa esquerda da tela (z > 0).

A funcao de Green G(r, r′) da equacao de Helmholtz (3.227) satisfaz aseguinte equacao

∇2G(r, r′) +K2G(r, r′) = −δ(r− r′), (3.229)

satisfazendo a mesma condicao de contorno que o campo escalar (para pontosr′ pertencentes a tela S′):

G(x, y, z;x′, y′, z′ = 0) = 0. (3.230)

Vamos partir do teorema de Green no espaco (2.38), onde u(r′) e v(r′ saofuncoes definidas na regiao V delimitada pela superfıcie S:∫

V

dV ′(u∇′2v − v∇′2u) =

∮S

dA′ · (u∇′v − v∇′u) , (3.231)

onde ∇′ e o operador del aplicado as coordenadas com linha. Somando e sub-traindo K2uv no primeiro membro de (3.231) teremos∫

V

dV ′ [u(∇′2 +K2)v − v(∇′2 +K2)u]= (3.232)∮

S

dA′ · (u∇′v − v∇′u) ,

Fazendo u = ψ(r′) e e v = G(r, r′) em (3.232), usando (3.227), (3.229) e(3.230) obteremos

∫V

dV ′

ψ (∇′2 +K2)G︸︷︷︸=−δ(r−r′)

−G (∇′2 +K2)ψ︸︷︷︸=0

=

∮S

dA′ ·

ψ∇′G−G(r, r︸︷︷︸=0

∈ S)∇′ψ

,


de modo que, usando a propriedade da filtragem da funcao delta de Dirac, temosa chamada integral de Kirchhoff:

ψ(r) = −∮S

ψ(r′)∇′G(r, r′) · dA′. (3.233)

3.9.3 Funcao de Green da equacao de Helmholtz

No espaco livre

Seja a equacao de Helmholtz homogenea

∇2ψ(r) +K2ψ(r) = 0 (3.234)

Na ausencia de superfıcies de contorno (espaco livre), a unica condicao adicionalque deve ser imposta as solucoes da equacao de Helmholtz e a que elas devemrepresentar ondas emergentes (que partem da fonte em direcao ao infinito) enao ondas convergentes (que partiriam do infinito em relacao a fonte).

Matematicamente, essa condicao adicional e dita condicao de radiacao deSommerfeld. Para um espaco D-dimensional ela e escrita como

lim|r|→∞

|r|D−1

2

[∂ψ

∂|r|− iKψ

]= 0, (3.235)

No caso tridimensional (D = 3), a condicao de radiacao de Sommerfeld reduz-sea

limr→∞

r

[∂ψ

∂r− iKψ

]= 0, (3.236)

Desta forma, a funcao de Green da equacao de Helmholtz e a solucao de

∇2G(r, r′) +K2G(r, r′) = −δ(r− r′), (3.237)

satisfazendo a condicao de radiacao de Sommerfeld:

limr→∞

r

[∂G

∂r− iKG

]= 0, (3.238)

Definimos as transformadas direta e inversa de Fourier (tridimensionais) dafuncao de Green como

GF (q, r′) = FG(r, r′) =

1

(2π)3/2

∫d3rG(r, r′)eiq·r, (3.239)

G(r, r′) = F−1GF (p, r′) =1

(2π)3/2

∫d3qGF (p, r

′)e−iq·r, (3.240)

satisfazendo as seguintes propriedades bem conhecidas:

F∇G(r, r′) = −iqGF (p, r′), (3.241)

F∇2G(r, r′) = −q2GF (p, r′). (3.242)

que sao as generalizacoes tridimensionais das propriedades (B.78) e (B.79) doApendice.


Aplicando transformadas de Fourier a todos os termos de (3.237) e usando(3.242) teremos

−q2GF (q, r′) +K2(q, r′) = −Fδ(r− r′ = − 1

(2π)3/2

eiq·r′,

donde obtemos a transformada de Fourier da funcao de Green:

GF (q, r′) = − 1

(2π)3/2

∫d3q

eiq·r′

K2 − q2(3.243)

Agora aplicamos a transformada inversa de Fourier para voltar para o espacoreal:

G(r, r′) =1

(2π)3

∫d3q

e−iq·(r−r′)

K2 − q2. (3.244)

Para efetuar essa integracao no espaco-q nos alinhamos o eixo qz com ovetor r− r′ e definimos as coordenadas q-esfericas (q, ϑ, ϕ), tal que o elementode volume seja

d3q = q2dqdϕ sinϑdϑ,

e o produto interno,

q · (r− r′) = q|r− r′| cosϑ

de forma que

G(r, r′) =1

(2π)3

∫ 2π

0

dϕ

∫ 1

−1

d(cosϑ)

∫ ∞

0

q2dqe−iq|r−r′| cosϑ

K2 − q2.

= − 1

(2π)3

∫ ∞

0

q2dq

K2 − q2

∫ 1

−1

d(cosϑ)

∫ ∞

0

q2dqe−iq|r−r′| cosϑ(3.245)

Fazendo a mudanca de variavel ξ = iq|r−r′| cosϑ a integral em ϑ e elementare resulta

2

q|r− r′|sin[q|r− r′|]

de modo que (3.245) e

G(r, r′) =1

2π2|r− r′|

∫ ∞

0

q2dq

q2 −K2sin[q|r− r′|] (3.246)

Novas mudancas de variavel:

κ = q|r− r′|, σ = K|r− r′|

deixam (3.246) na forma

G(r, r′) =1

4π2|r− r′|

∫ ∞

−∞

κdκ sinκ

κ2 − σ2, (3.247)

onde tambem usamos o fato do integrando ser uma funcao par de seu argumentopara alterar os limites de integracao.


A integral impropria acima pode ser efetuada no plano complexo de κ, jaque ela pode ser escrita como [?]:

I =1

2i(I1 − I2) =

1

2ilimR→∞

∫ R

−R

κdκeiκ

κ2 − σ2−∫ R

−R

κdκe−iκ

κ2 − σ2

, (3.248)

O integrando de I1, denotado

f(κ) =κeiκ

κ2 − σ2

tem dois polos simples no eixo real: κ = ±σ, que devem ser contornados porcima e por baixo, respectivamente, usando semi-cırculos C1 e C2 de raio ε comoindicado na Figura 3.1(a). Alem disso, fechamos um caminho por meio de umsemi-cırculo CR de raio R no semi-plano superior, de modo que∮

f(κ)dκ =

∫ −σ−ε

−R+

∫ σ−ε

−σ+ε+

∫ R

−σ+ε

f(κ)dκ+∫

C1

+

∫C2

f(κ)dκ+

∫CR

f(κ)dκ. (3.249)

Pelo teorema dos resıduos∮f(κ)dκ = 2πiResf(σ) = 2πi lim

κ→σ(κ− σ)

κeiκ

(κ+ σ)(κ− σ)= πieiσ. (3.250)

Fazendo, agora, os limites ε → 0 e R → ∞ na expressao (3.249) temos, usandoo lema de Jordan, que a integral no semi-cırculo CR se anula e I1 = πieiσ

(entendida como o valor principal de Cauchy, em vista das singularidades aolongo do caminho de integracao).

A integral I2 e tratada de forma semelhante, porem, como o integrandocontem, agora, a exponencial e−iκ, devemos fechar o caminho por um semi-cırculo no semi-plano inferior [Fig. 3.1(b)]. Pelo teorema dos resıduos, como aintegral fechada e percorrida no sentido horario, seu valor e

−2πiResf(−σ) = −πieiσ. (3.251)

tal que, nos limites ε→ 0 e R→ ∞, encontramos I2 = −πieiσ que, em (3.248),fornece I = πeiσ. Logo, a funcao de Green (??) fica

G(r, r′) =1

4π

1

|r− r′|eik|r−r′|. (3.252)

E facil verificar que essa funcao de Green satisfaz a condicoes de contornodo tipo onda emergente (3.236):

limr→∞

r

[∂G

∂r− ikG

]=

1

4πlimr→∞

r

[− ike

ikr

r+eikr

r2+ikeikr

r

]= 0.

Por outro lado, se tivessemos escolhido outra forma de desviar dos polos no eixoreal, como o indicado na Figura 3.1(c), terıamos um termo e−iσ alem (ou nolugar) de eiσ. A funcao de Green corresponderia, nesse caso, a uma onda esfericaconvergente e−ikr/r, em desacordo com a condicao de contorno de Sommerfeld(3.236).


Com condicoes de contorno de Dirichlet

Para resolver a equacao de Helmholtz com condicoes de contorno de Dirichletsobre a tela S, em z = 0, nos fechamos uma regiao V a direita da tela, constituidapor um hemisferio de raio R, que sera feito tao grande quanto se queira, e dapropria tela S. A condicao de contorno sera, portanto

G(r, r′) = 0, comr′ ∈ S

A funcao de Green para este problema, ou seja, a solucao de

∇2G(r, r′) +K2G(r, r′) = −δ(r− r′),

dentro da regiao V , pode ser encontrada pelo metodo das imagens, da mesmaforma que procedemos para resolver a equacao de Poisson com uma superfıcieplana infinita, no Cap. II.

Consideramos, pois, uma fonte puntiforme ”real“ a direita da tela S, naposicao r′ = (x′, y′, z′), e uma fonte puntiforme ”imagem“ a esquerda de S, naposicao r′′ = (x′′ = x′, y′′ = y′, z′′ = −z′). Para cada uma das fontes a funcaode Green e dada por (3.252), de modo que a funcao de Green do problema seraa combinacao linear das duas contribuicoes:

G(r, r′) = Greal + CGimagem =1

4π

1

|r− r′|eik|r−r′| +

C

4π

1

|r− r′′|eik|r−r′′|.

(3.253)onde C e um coeficiente cujo valor deve ser ajustado mediante a aplicacao dascondicoes de contorno em z = 0. Impondo que G(x, y, z = 0;x′, y′, z′) = e facilver que C = −1. Abrindo a notacao vetorial obtemos

G(x, y, z;x′, y′, z′) =1

4π

eiK[(x−x′)2+(y−y′)2+(z−z′)2]1/2√(x− x′)

2+ (y − y′)

2+ (z − z′)

2

= − 1

4π

eiK[(x−x′)2+(y−y′)2+(z+z′)2]1/2√

(x− x′)2+ (y − y′)

2+ (z + z′)

2. (3.254)

3.9.4 A integral de Kirchhoff

O problema da difracao por uma fenda situada na tela z = 0 reduz-se, entao,ao calculo da integral de Kirchhoff (3.233), onde a funcao de Green e dada por(3.254), e onde S e a superfıcie fechada formada pela tela, pelo hemisferio deraio R e pela abertura. Devido a condicao de contorno de Dirichlet, ψ deveanular-se na tela. Alem disso, nao e difıcil mostrar que, como tanto ψ comoa funcao de Green caem com 1/r, no hemisferio de raio R a contribuicao dohemisferio anula-se quando R tende a infinito. Sobra, na integral de Kirchhoff,apenas a superfıcie correspondente a abertura propriamente dita.

Para calcular a integral que resta,

ψ(r) = −∫abertura

ψ(r′)∇′G(r, r′) · n′dA′. (3.255)

Vamos empregar a aproximacao de Kirchhoff: o valor de ψ na abertura e omesmo que terıamos se a tela nao estivesse la. Esta e uma aproximacao um tanto


grosseira, e portanto fornece apenas a correcao de ordem mais baixa sobre osresultados da otica geometrica. A aproximacao de Kirchhoff equivale a supor queo comprimento de onda λ seja muito pequeno, quando comparado as dimensoesda abertura.

Nestas condicoes, vamos considerar um ponto sobre a abertura, localizadopelo vetor r′. A fonte e localizada pelo vetor r0, a esquerda da tela, enquanto oobservador esta localizado por r, e a direita da tela. Vamos considerar o versornormal n′ = −z, que aponta para fora de S, ou seja, para a regiao onde a fonteesta. Para uma fonte puntiforme em r0 o campo escalar no ponto r′ da aberturae a propria funcao de Green correspondente ao espaco livre

ψ(r′) = G(r′, r0) =1

4π

eiK|r′−r0|

|r′ − r0|(3.256)

ao passo que a funcao de Green e dada por (3.253). A sua derivada normal e

∇′G · n′ = −∇′G · z′ = −∂G∂z′

.

Entao a integral de Kirchhoff (3.255), na aproximacao de Kirchhoff, e

ψ(r) =

∫abertura

ψ(z′ = 0)∂G

∂z′

∣∣∣∣z′=0

dA′. (3.257)

Se a largura da abertura for a, entao |r′| ∼ a e a aproximacao de Kirchhoffimplica que

λ =2π

K a, ⇒ K|r− r′| 1, K|r− r′′| 1,

A derivada normal de (3.253) e uma expressao complicada, devido a aprox-imacao de Kirchhoff, os termos que contem iK dominam sobre os demais. Oresultado e que, na posicao da tela, a derivada normal da funcao de Green e

∂G

∂z′

∣∣∣∣z′=0

≈ − iKz4π

eiK|r−r′|

|r− r′|2eiK|r−r′′|.

|r− r′′|2

(3.258)

Como |r−r′| = |r−r′′| em z = 0 (o que pode ser visto abrindo em componentes,como em (3.254), temos que

∂G

∂z′

∣∣∣∣z′=0

≈ −2iKz

4π

eiK|r−r′|

|r− r′|2

que, ao ser subsituida juntamente com (3.256) em (3.257) leva-nos a

ψ(r) = − iK2π

∫abertura

dA′zeiK|r−r′|

|r− r′|2eiK|r′−r0|

|r0 − r′|. (3.259)

Finalmente, sendo cos θ′ = z/|r− r′|, podemos escrever a integral de Kirchhoffcomo

ψ(r) = − iK2π

∫abertura

dA′ eiK|r−r′|

|r− r′|eiK|r0−r′|

|r0 − r′|. (3.260)


3.9.5 Difracao de Fraunhofer

O estudo classico da difracao categoriza dois tipos de situacao: (i) difracao deFresnel, onde tanto a fonte como o observador estao suficientemente proximosa abertura para que tenhamos de tratar as ondas como esfericas; (ii) difracaode Fraunhofer, onde a fonte e o observador estao tao distantes da abertura quepodemos tratar as ondas como sendo aproximadamente planas (raios luminosossao paralelos). Por simplicidade, nos limitaremos ao estudo da difracao deFraunhofer, para o qual |r0| = r0 a e |r| = r a.

Introduzindo versores apropriados

r0 = −r0n0, r = rn

e usando o teorema binomial, podemos aproximar os denominadores da integralde Kirchhoff como

|r0 − r′| ≈ r0 + n0 · r′, |r− r′| ≈ r − n · r′,

de forma que

eiK|r−r′|

|r− r′|eiK|r0−r′|

|r0 − r′|≈ eiK|r−r′|

r0 + n0 · r′eiK|r0−r′|

r − n · r′≈ 1

r0reiK(r+r0)eiK(n0−n′)·r′ ,

Alem disso, se r a, cos θ′ ≈ 1, uma vez que os raios luminosos sao aprox-imadamente paralelos. Portanto (3.260) fica

ψ(r) = − iK2π

≈ eiK(r+r0)

r0r

∫abertura

dA′eiK(n0−n′)·r′ , (3.261)

Considerando ondas planas incidentes com vetor de propagacao Kinc = Kn0

e ondas planas difratadas com Kdif = Kn, e definindo o vetor q = Kinc−Kdif

resulta que a integral de Kirchhoff, no caso de difracao de Fraunhofer, e

ψ(r) = − iK2π

≈ eiK(r+r0)

r0r

∫abertura

dA′eiq·r′, (3.262)

que e o ponto de partida para o estudo de situacoes praticas.

3.9.6 Difracao por uma abertura retangular

Vamos considerar uma abertura retangular, de lados a e b, para a qual −a ≤x ≤ a e −b ≤ y ≤ b, e o vetor de difracao e q = qxx + qyy. A integral em(3.262) e∫

abertura

dA′eiq·r′=

∫ a

−adx′eiqxx

′∫ b

−bdy′eiqyy

′= 4ab

sin qxa

qxa

sin qyb

qyb

logo

ψ(r) = −2iKab

π

eiK(r+r0)

r0r

sin qxa

qxa

sin qyb

qyb. (3.263)

Lembrando que o campo escalar ψ pode representar uma das componentesdo campo eletrico, a intensidade do padrao de difracao observado sera

I(r) = |ψ(r)|2 = ψ∗ψ, (3.264)


ou seja

I = I0

(sin qxa

qxa

)2(sin qyb

qyb

)2

(3.265)

onde I0 = 4K2a2b2/π2r2r20 e a intensidade do maximo central, que ocorre paraqx = 0 e qy = 0. Os mınimos de difracao (linhas nodais) sao dados por

qxa = mπ, qyb = nπ, (m,n = ±1,±2,±3, . . .)

Um caso particular importante e o de uma fenda unica de largura 2a, paraa qual a altura (y) e infinitamente grande. Supondo um angulo de incidenciaθinc e um angulo de difracao θdif , a componente x do vetor de difracao e

qx = K sin θinc −K sin θdif =2π

λ(sin θinc − sin θdif ).

Os mınimos de difracao estao en qx = mπ/a, portanto

2a(sin θinc − sin θdif ) = mλ,

que, naturalmente, pode tambem ser obtida por meios elementares, computandoa diferenca de caminho otico percorrido por dois raios que sao difratados nasbordas da abertura, e aplicando a condicao de interferencia destrutiva das re-spectivas ondas.

3.9.7 Difracao por uma abertura circular

Vamos considerar uma abertura circular de raio a, para a qual usaremos coorde-nadas polares (r, φ) cuja origem coincide com o centro da abertura. Alinhandoo vetor de difracao q com o eixo x, teremos q ·r′ = qr′ cosφ′. Entao (3.262) fica

ψ(r) = − iK2π

eiK(r+r0)

r0r

∫ a

0

r′dr′∫ 2π

0

dφeiqr′ cosφ′

= −iK eiK(r+r0)

r0r

∫ a

0

r′dr′J0(qr′), (3.266)

onde usamos B.54 para obter a funcao de Bessel de ordem 0. A integral acimapode ser feita usando (B.55), com o seguinte resultados

ψ(r) = −iKa2 eiK(r+r0)

r0r

J1(qa)

qa(3.267)

A intensidade do padrao de difracao observado sera

I = I0

[J1(qa)

qa

]2(3.268)

onde I0 = K2a4/r2r20. O maximo central e caracterizado por q = 0. Se qa 1,usando a forma assintotica da funcao de Bessel (B.43)

J1(qa) ≈1

Γ(2)

(qa2

)2=qa

2


donde a intensidade do maximo central e I0/4.O maximo central e um disco (chamado disco de Airy) cujo raio e a posicao

do primeiro mınimo. Os mınimos de difracao sao zeros xn da funcao de BesselJ1(xn). Da tabela (B.1.5) do Apendice, o primeiro zero nao-nulo (que corre-sponde tambem ao primeiro mınimo) ocorre para x1 = 3, 8317. Para encontrara posicao angular dos mınimos de difracao, vamos considerar incidencia normalθinc = 0 de modo que o vetor de difracao tem modulo

q = Kinc −Kdif = K sin θdif

Para o primeiro mınimo teremos

qa = 3, 8317 = Ka sin θdif

que pode ser escrita como

sin θdif =3, 83

π

(λ

2a

)≈ 1, 22

(λ

2a

).

Como λ a, por hipotese, λ/2a 1 e podemos aproximar o seno do angulode difracao pelo proprio angulo (em radianos), o que da a posicao angular doprimeiro mınimo, que e tambem o raio do disco de Airy:

θdif = 1, 22

(λ

d

).

onde d = 2a e o diametro da abertura. Esta importante condicao leva ao famosocriterio de Rayleigh para resolucao das imagens conjugadas por um instrumentootico.

3.10 Problemas

1. Considere a difracao de Fraunhofer por uma abertura em forma de cruz,conforme a figura. Obtenha a intensidade da figura de difracao correspon-dente.

Capıtulo 4

Equacoes de Maxwell emMeios Materiais

A eletrodinamica dos meios contınuos e o estudo dos campos eletromagneticosno espaco ocupado pela materia. Um meio contınuo e aquele para o qual oselementos de volume sao pequenos o suficiente para que possamos trata-losmatematicamente como diferenciais (dV ), mas grandes os suficiente para queainda contenham um numero apreciavelmente grande de atomos ou moleculas.

Na eletrodinamica dos meios contınuos nos investigamos quantidades fısicasmedias, onde as medias sao tomadas sobre elementos de volume do meio ma-terial. Nesse processo, ignoramos flutuacoes macroscopicas que decorrem daestrutura atomico-molecular da materia, um enfoque iniciado por H. Lorentz navirada do seculo XIX. Por exemplo, dentro da materia ha um campo eletricomicroscopico e agindo sobre os atomos ou moleculas, e que depende de umaforma complicada do tipo de rede cristalina, das flutuacoes termicas, etc. Ja ocampo eletrico macroscopico E sera uma media deste campo microscopico paraum elemento de volume do meio material: E = e.

Neste capıtulo vamos abordar alguns tipos de meios materiais mais comuns esuas propriedades eletromagneticas. Comecaremos pelos meios mais conhecidos,como

• condutores

• isolantes ou dieletricos

• meios magneticos ou permeaveis

e mencionaremos, ao longo desta segunda parte de nosso curso, outros meios,como supercondutores e fluidos magneticos (plasmas).

4.1 Condutores

Condutores sao meios materiais que permitem um fluxo lıquido de cargas livres,tambem chamados “portadores de carga”. Em metais, os portadores de cargasao eletrons livres, pertencentes as camadas de valencia dos atomos na redecristalina. Por razoes historicas, no entanto, convenciona-se que os portadores de

149

150 CAPITULO 4. EQUACOES DE MAXWELL EM MEIOS MATERIAIS

carga sejam positivos (o sentido real e oposto ao convencional). Ja em solucoeseletrolıticas, ha tanto ıons positivos como negativos, cada qual com seu fluxo decarga.

4.1.1 Eletrostatica de condutores

A propriedade fundamental dos condutores e que o campo eletrico e nulo nointerior de um condutor em equilıbrio eletrostatico. De fato, se o campo eletriconao fosse nulo, os portadores de carga, ao sofrer a forca eletrica correspondentea esse campo, apresentariam um fluxo lıquido de cargas, ou seja, haveria umacorrente eletrica. Como isto contraria a nossa hipotese inicial, de equilıbrioeletrostatico, entao necessariamente E = 0 dentro do condutor.

Ha varias consequencias importantes desse fato. Aplicando a lei de Gausseletrica (na forma integral) concluimos, por exemplo, que toda a carga em ex-cesso em um condutor isolado deve estar distribuida pela sua superfıcie externa.Esse resultado vale mesmo que haja cavidades no interior do condutor. Alemdisso, como E = −∇ϕ = 0 no interior do condutor, entao o potencial eletricoϕ e constante em todos os pontos do condutor, incluindo sua superfıcie (que euma equipotencial).

O potencial nao pode ter extremos (maximos ou mınimos) em pontos quenao pertencam a fronteira de uma regiao onde exista um campo eletrostatico.Pode-se mostrar isto por reducao ao absurdo: imagine um ponto P interno (ouseja, fora da fronteira) onde o potencial tenha um extremo. Envolvemos P poruma superfıcie fechada S tal que ∇ϕ seja negativo (ou positivo) em todos ospontos de S, tais que

∮S∇ϕ ·dA seja negativo (ou positivo). Usando o teorema

do divergente ∮S

∇ϕ · dA =

∫V

dV∇ · (∇ϕ) =∫V

dV∇2ϕ = 0, (4.1)

gracas a equacao de Laplace (??). Mas isto esta em contradicao com a hipoteseinicial CQD. Uma consequencia imediata desse resultado e o Teorema de Earn-shaw: uma carga q introduzida num campo eletrostatico nao pode estar emequilıbrio estavel, pois nao ha ponto onde sua energia potencial eletrica qϕ sejaum mınimo.

4.1.2 Condutividade eletrica

Na presenca de um campo eletrico dentro do condutor, aparece uma correnteestacionaria, correspondendo a um fluxo lıquido de portadores de carga numcerto sentido. Supondo varios tipos de portadores com cargas qa e velocidadesva, com uma densidade na (numero de portadores por unidade de volume), adensidade de corrente total sera

J =∑a

qanava. (4.2)

A intensidade de corrente lıquida e a integral

I =

∫S

J · dA (4.3)

4.1. CONDUTORES 151

Tabela 4.1: Condutividade eletrica (a 20oC) de alguns materiais

Material σ[Ω.m] Material σ[Ω.m]

Prata 6, 30× 107 Ouro 4, 10× 107

Cobre 5, 96× 107 Alumınio 3, 5× 107

Tungstenio 1, 79× 107 Ferro 4, 55× 106

Platina 9, 43× 106 Manganina 2, 07× 106

Constantan 2, 04× 106 Nicromo 9, 09× 105

Mercurio 1, 02× 106 Carbono (amorfo) 1, 25− 2, 0× 103

Germanio 2, 17 Agua do mar 4, 8

Agua potavel 5× 10−4 − 5× 10−2 Agua deionizada 5, 5× 10−6

Silıcio 1, 56× 10−3 GaAs 5× 10−8 − 103

Vidro 10−11 − 10−15 Quartzo (fundido) 1, 3× 10−18

Ar 3− 8× 10−15 Teflon 10−25 − 10−23

ao longo de uma superfıcie aberta S que intercepte o condutor.Para correntes estacionarias limitadas a uma regiao de volume V a carga

media total deve manter-se constante. Pela equacao de continuidade (1.115)temos que, uma vez que ∂ρ/∂t = 0, entao

∇ · J = 0. (4.4)

O campo eletrico e constante dentro de um condutor por onde flui uma cor-rente estacionaria. Logo, pela Lei de Ampere, o campo magnetico produzidotambem sera constante. Da lei de Faraday (??) temos a mesma condicao elet-rostatica

∇×E = 0, (4.5)

aplicada a correntes estacionarias, portanto podemos continuar usando o poten-cial eletrico no estudo de circuitos, como e de praxe.

Ha uma relacao constitutiva entre a densidade de corrente e o campo eletrico,dependente do meio material considerado. Para meios materiais homogeneosisotropicos a relacao entre J e E e linear (lei de Ohm):

J = σE, (4.6)

onde σ e a condutividade eletrica do material [Tabela 4.1]. Condutores metalicostem condutividades da ordem de 106 − 107Ω.m. Em isolantes (dieletricos) elae baixıssima, da ordem de 10−11 a 10−25Ω.m. O inverso da condutividade e aresistividade (1/σ) do material.

Se o condutor nao for isotropico, a relacao constitutiva sera: J = σ ·E que,em componentes, e

Ji =2∑j=1

σijEj , (4.7)

onde σ = (σij) e o tensor de condutividade eletrica. Pela termodinamica dosprocessos irreversıveis pode-se mostrar que esse tensor e simetrico: σji = σij .Tipicamente a presenca de um campo magnetico B leva a uma anisotropia


do tensor de condutividade, como em plasmas magnetizados. Nesses casos, arelacao de reciprocidade de Onsager preve que

σij(B) = σji(−B). (4.8)

4.1.3 Teoria microscopica dos condutores

Um modelo simples para a conducao eletrica foi proposto por Drude em 1900.Considerando eletrons livres num condutor metalico como portadores de carga−e e massa Me, sob a influencia de um campo eletrico E, a equacao de movi-mento e

Medv

dt= −eE, (4.9)

cuja solucao e

v(t) =−eG

E(1− e−Gt/Me

)=

−eG

E(1− e−t/τ

), (4.10)

onde supomos v(0) = 0 e definimos um tempo de relaxacao

τ =m

G. (4.11)

Apos um tempo da ordem de τ o eletron adquire uma velocidade constante

vd =−eG

E =−eτMe

E (4.12)

denominada velocidade de deriva, e que resulta do equilıbrio entre a forca eletrica−eE e uma forca de arrasto −Gv devida as colisoes entre os eletrons e os ıonsda rede cristalina. Assim τ pode ser interpretado como o tempo medio entreduas colisoes entre os eletrons e os ıons da rede.

Apos uma colisao com um ıon da rede, o eletron livre e atirado numa direcaoaleatoria, de modo que uma sequencia de colisoes e semelhante a um processoestocastico ilustrado pelo “passeio do bebado”: o deslocamento do eletron enulo, em media. O livre caminho medio ` do eletron e definido como a distanciamedia percorrida entre duas colisoes sucessivas, ou seja

` = vT τ, (4.13)

onde definimos a velocidade termica dos eletrons

vT =

√3kBT

Me, (4.14)

onde kB e a constante de Boltzmann. No entanto, sob a aplicacao de um campoexterno, ha uma deriva lenta desse movimento aleatorio no sentido oposto ao docampo eletrico aplicado. Essa deriva tem velocidade vd dada por (4.12). Comoveremos, vd vT .

Em havendo apenas um tipo de portador de carga (eletrons livres, no caso),a densidade de corrente e dada por

J = −nevd, (4.15)

4.2. DIELETRICOS 153

onde n e o numero de eletrons por unidade de volume. Usando (4.12) temosque

J =ne2τ

MeE (4.16)

que, comparado com a lei de Ohm (4.170), leva a seguinte previsao para acondutividade eletrica do metal

σ =ne2τ

Me. (4.17)

Como um exemplo, consideramos o Cobre, para o qual a configuracao eletronicae [Ar]3d104s1, ou seja, ele tem um eletron de conducao. A temperatura ambiente(20oC) a velocidade termica dos eletrons e, de (4.14) igual a 1, 15 × 105m/s.Supondo que o livre caminho medio seja da ordem de algumas centenas deAngstrons (∼ 10−8m), o tempo de relaxacao sera 8, 7× 10−19s.

Cada atomo de Cu contribui com um eletron para a ligacao metalica. Onumero de eletrons de conducao por unidade de volume sera

n =NAρmM

= 8, 47× 1028eletrons/m3 (4.18)

onde NA = 6, 02× 1023atomos/mol e o numero de Avogadro, ρm = 8, 94g/cm3

e M = 63, 5g sao, respectivamente, a densidade e a massa atomica do Cobre.Substituindo estes valores numericos em (4.17) temos, para a condutividade doCobre, o valor de 2, 07× 108Ω.m, que e comparavel ao valor experimental (videTabela 4.1). Supondo um campo eletrico E ∼ 1V/m no interior do condutor,a velocidade de deriva e, de (4.12), igual a 0, 015m/s, que e 107 menor que avelocidade termica!

Um resultado da Mecanica Quantica afirma que, num cristal perfeito compotencial periodico, a onda de materia dos eletrons nao e espalhada pelos ıons darede, o que geraria uma condutividade infinita. De fato, a condutividade finitanos metais resulta de dois fatores: (i) impurezas e imperfeicoes geometricas(como contornos de grao em policristais); (ii) movimento termico dos ıons darede cristalina (dependente da temperatura T ).

4.2 Dieletricos

4.2.1 Polarizacao

Meios dieletricos nao conduzem eletricidade e sao eletricamente neutros. Noentanto, eles respondem a campos eletricos atraves do surgimento de cargasligadas, ou cargas de polarizacao.

Classificamos as moleculas em polares e apolares. As moleculas polares temmomentos de dipolo eletrico permanentes, devido a geometria dos seus orbitais.Como exemplo, a molecula de agua tem um momento de dipolo p permanentede modulo 6, 2 × 10−30C.m ao longo da bissetriz do angulo de 105o formadoentre as duas ligacoes O −H. Podemos identificar nessa molecula um “centrode carga positiva” q = +10e e um “centro de carga positiva” q = −10e separadaspor uma distancia d = p/10e = 3, 9 × 10−12m = 0, 0039nm. Lembrando queo raio de Bohr e 0, 5nm, vemos que a separacao de cargas e pequena, mesmoem termos atomicos. Usualmente o momento de dipolo eletrico de moleculas


Tabela 4.2: Momento de dipolo eletrico para algumas moleculas

Material p[debye] Material p[debye]

H20 1, 85 HF 1, 91HCl 1, 08 HBr 0, 80HI 0, 42 CO 0, 12CO2 0 NH3 1, 47PH3 0, 58 AsH3 0, 20CH4 0 NaCl 9, 00

polares e expresso em debyes (1debye = 3, 33×10−30C.m). A tabela 4.2 contemvalores de p para algumas moleculas.

Moleculas apolares nao tem momentos de dipolo eletrico permanentes, comoo CO2 e o CH4. Quando sujeitas a um campo eletrico externo, no entanto,tais moleculas podem ganhar um momento de dipolo eletrico induzido p = qd,devido a separacao que ocorre entre os centros de carga positiva e negativa damolecula.

A polarizacao de um meio e o momento de dipolo eletrico total por unidadede volume. Supondo, por simplicidade, que todas as N moleculas do dieletricosejam da mesma especie e tenham momentos de dipolo (permanentes ou in-duzidos) iguais a p, entao o momento de dipolo total sera Np, de modo que apolarizacao e

P =Np

V= np, (4.19)

onde n = N/V e o numero de moleculas por unidade de volume.Um campo de polarizacao inomogeneo provoca o aparecimento de uma den-

sidade de cargas ligadas (ou de polarizacao) no meio. Colocando um volume dereferencia V que intercepte a superfıcie de uma lamina dieletrica, vemos que hauma carga lıquida de polarizacao, o que provoca o aparecimento de uma den-sidade de cargas (ligadas) nas superfıcies da lamina. Ja no interior da lamina,um volume de referencia nao registra carga lıquida.

De forma geral, a carga lıquida no volume de referencia V pode ser escritacomo ρPV , onde ρP e uma densidade volumetrica de carga ligada. Consideremosum elemento de volume dV = r ·dA colado a superfıcie S que limita do volumede referencia. Sendo n o numero de centros de carga (positivos ou negativos)por unidade de volume, havera ndV = nr · dA centros de carga neste elementode volume. Sendo q a carga de um centro de carga, a carga total ligada e obtidapor integracao∫

ρP dV = −∮S

qnr·dA = −∮S

np·dA = −∮S

P·dA = −∫V

∇·PdV, (4.20)

onde usamos o teorema do divergente. Comparando os integrandos temos que

ρP = −∇ ·P, (4.21)

tal que a carga eletrica total seja a soma das cargas livres mais as cargas depolarizacao, ou seja

ρT = ρ+ ρP = ρ−∇ ·P. (4.22)


4.2.2 Corrente de polarizacao

Em meios dieletricos pode aparecer uma corrente ligada a aparente conveccaode cargas ligadas, quando a polarizacao depende do tempo. Isto pode ocorrer,por exemplo, devido a interacao de cargas com ondas eletromagneticas. A po-larizacao de um dieletrico surge devido ao movimento de separacao dos centrosde carga nas moleculas. Uma variacao temporal da polarizacao implica numamudanca neste movimento, o que pode ser interpretado como uma corrente,ainda que as cargas sejam ligadas.

A carga ligada lıquida dentro de um volume V e dada por (4.20). Derivandoem relacao ao tempo obtemos a corrente (efetiva) de polarizacao do meio:

Ip = −dqpdt

=∂

∂t

∫V

∇ ·PdV =

∫V

∇ · ∂P∂tdV. (4.23)

Definindo uma densidade de corrente de polarizacao

Jp =∂P

∂t, (4.24)

temos, de fato ∫V

∇ · ∂P∂tdV =

∫V

∇ · JpdV =

∮S

Jp · dA = Ip. (4.25)

4.2.3 Deslocamento eletrico

A lei de Gauss eletrica, no vacuo, e

∇ ·E = 4πkρ, (4.26)

onde ρ e a densidade de cargas livres. Num meio dieletrico, nos simplesmentesubstituimos ρ pela densidade de carga total (4.22), para levar em conta ascargas ligadas:

∇ ·E = 4πkρT = 4πk (ρ−∇ ·P) . (4.27)

Introduzimos, agora, a permissividade eletrica do vacuo εvac, cujos valoressao, nos sistemas de unidades mais importantes

• εvac = ε0 = 8, 854187817× 10−12C2/N.m2 no sistema SI;

• εvac = 1 no Gaussiano.

Multiplicando os dois membros de (5.21) por εvac e definindo o vetor deslo-camento eletrico como

D = εvac (E+ 4πkP) , (4.28)

a lei de Gauss eletrica e escrita na forma

∇ ·D = 4πkεvacρ. (4.29)

No sistema SI as duas expressoes acima assumem as seguintes formas:

D = ε0E+P, (4.30)

∇ ·D = ρ, (4.31)


enquanto, no sistema Gaussiano, temos

D = E+ 4πP, (4.32)

∇ ·D = 4πρ. (4.33)

Observe que o deslocamento eletrico nao tem um significado fısico especıfico:ele e introduzido simplesmente como uma quantidade auxiliar, que nos permitecalcular os campos no interior dos dieletricos sem precisar conhecer a priori adistribuicao das cargas de polarizacao. Entretanto, o uso do vetor D so e consis-tente se conhecermos tambem, de forma independente, uma relacao constitutivaque vincule E e D para um dado meio dieletrico.

4.2.4 Constante dieletrica

Existe uma relacao constitutiva entre a polarizacao e o campo eletrico aplicadoa um dieletrico. Para meios isotropicos e campos suficientemente fracos, estasduas quantidades sao linearmente proporcionais:

P = εvacχeE, (4.34)

onde χe e a susceptibilidade eletrica do meio. Para o vacuo nao ha polarizacaoe χe = 0. Uma relacao constitutiva semelhante existe entre o deslocamentoeletrico e o campo eletrico:

D = εE = εvacκE, (4.35)

onde introduzimos a permissividade eletrica do meio por

ε = εvacκ. (4.36)

e κ e chamada permissividade relativa ou ainda constante dieletrica (adimen-sional). Para o vacuo ε = εvac ou, ainda, κ = 1. Para todos os meios materiais,pode-se mostrar que κ > 1.

Uma relacao util entre a polarizacao e o campo eletrico e obtida comparando(B.71) e (4.35), o que fornece

P =

(κ− 1

4πk

)E. (4.37)

Finalmente, substituindo (4.34) em (B.71) e comparando com (4.35) temos umarelacao entre as constantes

κ = 1 + 4πkεvacχe. (4.38)

Na tabela 4.3 mostramos os valores de κ para alguns dieletricos.Para dieletricos anisotropicos, a relacao constitutiva macroscopica e substi-

tuida por uma expressao tensorial: D = ε ·E ou, em componentes,

Di =2∑j=1

εijEj , (4.39)

onde ε = (εij) e o tensor dieletrico.


Tabela 4.3: Constantes dieletricas para alguns materiais.

Material κ Material κ

Ar (1 atm) 1, 00059 NaCl 3− 15Teflon 2, 1 Grafite 10− 15

Polietileno 2, 25 Silıcio 11, 68Polimida 3, 4 Amonia (20oC) 17

Polipropileno 2, 2− 2, 36 Metanol 30

Papel 3, 85 Agua (20oC) 80, 1Vidro (pirex) 3, 7− 10 TiO2 86− 173Borracha 7 TiSr 810Diamante 5, 5− 10 TiBa (20oC) 1250Madeira 2, 5− 8, 0 TiBa (120oC) 10000

As definicoes anteriores sao, no SI

P = ε0χeE, (4.40)

D = εE = ε0κE, (4.41)

ε = ε0κ, (4.42)

κ = 1 + χe, (4.43)

ao passo que, no gaussiano, temos

P = χeE, (4.44)

D = εE = κE, (4.45)

ε = κ, (4.46)

κ = 1 + 4πχe. (4.47)

4.2.5 Capacitor de placas paralelas preenchidas com umdieletrico

Como uma ilustracao elementar das formulas anteriores, vamos considerar umcapacitor de placas extensas e paralelas de area A, separadas por uma distanciad e preenchidas com um dieletrico de constante κ. O capacitor e sujeito auma diferenca de potencial ∆ϕ. Sem o dieletrico, na aproximacao de placasinfinitas, o campo eletrico no interior das placas e uniforme, com modulo iguala E = ∆ϕ/d; e e nulo fora das placas.

Na presenca do dieletrico usamos a lei de Gauss na forma (1.21). Integrandonuma “caixa de pılulas gaussiana” de area da base A e espessura h, temos que:∫

V

∇ ·DdV =

∮S

D · dA = 4πkεvac

∫V

ρdV

DA = 4πkεvacσA

onde σ e a densidade de carga livre nas placas do capacitor. Resulta que odeslocamento eletrico entre as placas e

D = 4πkεvacσ, (4.48)


donde o campo eletrico e

E =D

ε=

4πkσ

κ, (4.49)

menor do que o campo eletrico com ar entre as placas (κ ≈ 1) por um fatorκ > 1.

A polarizacao na lamina dieletrica entre as placas e, de (B.71),

P =1

4πk

(D

εvac− E

)= σ

(1− 1

κ

). (4.50)

Como as cargas ligadas estao nas superfıcies da lamina dieletrica, ha uma den-sidade superficial de cargas de polarizacao σP . De (4.21), a carga total depolarizacao e∫

V

ρP dV = −∫V

∇ ·PdV = −∮S

P · dA =

∮S

σP dA

donde temos uma expressao geral para a densidade superficial de cargas depolarizacao:

σP = −P · n, (4.51)

onde dA = (dA)n. No caso do capacitor de placas paralelas, a densidade decarga de polarizacao sera

σP = −σ(1− 1

κ

). (4.52)

A interpretacao desse resultado e simples: o campo eletrico aplicado entreas placas E0 provoca a polarizacao das moleculas do dieletrico e uma cargasuperficial de sinal oposto a carga da placa adjacente do capacitor. Estas cargassuperficiais provocam, por sua vez, um campo

Ep = E0 − E = 4πkσ − 4πkσ

κ= 4πkσ

(1− 1

κ

)= −4πkσP ,

em conformidade com (4.52).

4.2.6 Teoria microscopica dos dieletricos

Polarizabilidade molecular

Um campo eletrico externo provoca dois efeitos em moleculas de um dieletrico,conforme o seu tipo:

• Moleculas apolares: um campo externo induz um momento de dipoloeletrico na molecula;

• Moleculas polares: na ausencia do campo externo as moleculas tem ori-entacoes aleatorias e a polarizacao resultante e nula. Na presenca de umcampo externo as moleculas tendem a se alinhar ao campo, provocando oaparecimento de uma polarizacao resultante.


Vamos considerar inicialmente o caso de moleculas apolares. Supondo queuma molecula esfericamente simetrica seja representada por uma esfera condu-tora de raio a, na presenca de um campo externo uniforme E0 aparecera ummomento de dipolo induzido [veja o Problema 1]:

p =a3

kE0. (4.53)

Definimos a polarizabilidade molecular α como a razao entre o momento dedipolo induzido e o campo eletrico externo:

p = εvacαE0. (4.54)

Comparando com (4.53) temos que, para o nosso modelo simples

α =a3

kεvac. (4.55)

onde a e da ordem do raio de Bohr. No sistema gaussiano, por exemplo, α =a3 ∼ 1, 48 × 10−25cm3, que e comparavel com o valor experimental de 4, 5 ×10−24cm3 para o atomo de hidrogenio.

De (4.54) e (4.19) temos que a polarizacao e P = nαεvacE. Comparandocom a relacao constitutiva (4.34) a susceptibilidade eletrica e proporcional apolarizabilidade molecular

χe = nα. (4.56)

Para um mol de moleculas nas CNTP, n = 2, 68 × 1019cm−1 (numero deLoschmidt), de forma que, para o hidrogenio χe = 0, 00012, ou uma constantedieletrica κ = 1 + 4πχe = 1, 0015.

Efeito da temperatura

E um fato conhecido que a energia potencial de um dipolo eletrico p0 na pre-senca de um campo eletrico externo E e dada por U = −p0 · E. Essa energiae mınima quando o dipolo esta alinhado com o campo eletrico, o que configurauma situacao de equilıbrio estavel. Se o alinhamento com o campo fosse perfeitoa polarizacao do dieletrico seria simplesmente P = np0. No entanto, devido aagitacao termica das moleculas, ha um alinhamento apenas parcial dos momen-tos de dipolo .

Da Mecanica Estatıstica, a probabilidade de encontramos uma molecula comenergia potencial U num sistema em equilıbrio termico a temperatura T e dadapelo fator de Boltzmann

F = e−U/kBT (4.57)

onde kB = 1, 38×10−23J/K = 1, 38×10−16erg/K e a constante de Boltzmann.Supondo que o campo eletrico esteja na direcao z temos que U = −p0E cos θ e

F = exp

(p0E

kBTcos θ

)≈ 1 +

p0E

kBTcos θ, (4.58)

onde supomos que a energia potencial eletrica seja muito menor do que a energiatermica kBT (essa hipotese e boa para altas temperaturas).


O numero de moleculas por unidade de volume para as quais a direcao domomento de dipolo esta dentro de um elemento de angulo solido dΩ = sin θdθdφe

dn = CFdΩ, (4.59)

onde C e uma constante cujo valor e tal que n =∮dn seja o numero de moleculas

por unidade de volume. Usando (4.58) uma integracao direta fornece C = n/4π.Como a polarizacao e paralela ao campo eletrico (para um meio isotropico),

so e necessario considerar as componentes de p0 na direcao z. As componentesperpendiculares a z se cancelam mutuamente. Temos entao que a polarizacao e

P =

∫p‖dn = p0

∫cos θdn. (4.60)

Usando (4.58) e (4.59) uma nova integracao da uma relacao (aproximada) entrea polarizacao e a temperatura

P ≈ n

(p20

3kBT

)E, (4.61)

mostrando que a polarizacao diminui com o aumento da temperatura, comoesperado. Um calculo mais preciso, levando em conta uma temperatura T qual-quer, tambem conduz a este resultado no limite de altas temperaturas [videproblema 4].

Campo eletrico sobre uma molecula

Num dieletrico solido ou lıquido, o campo eletrico E que age sobre uma moleculanao e igual ao campo externo aplicado E0 devido a influencia das demaismoleculas do meio, tanto proximas como distantes. Vamos escrever essa in-fluencia como

E = E0 +EP + e, (4.62)

onde EP e o campo provocado por moleculas distantes, e e e o campo mi-croscopico medio provocado por moleculas proximas.

Para efeitos de calculo, supomos que as moleculas distantes estejam fora deuma cavidade esferica de raio a no interior do dieletrico, em cujo centro estaa molecula sobre a qual desejamos encontrar o campo eletrico efetivo E. Asmoleculas proximas estao contidas nessa cavidade.a) Influencia das moleculas distantes

O efeito das moleculas distantes (fora da cavidade esferica) sera representadopor uma densidade superficial de cargas de polarizacao nas paredes da cavidade.De (4.51), supondo o vetor de polarizacao na direcao z,

σP = −P · n = −P cos(π − θ) = P cos θ. (4.63)

Por simetria, as componentes perpendiculares ao eixo z se anulam, bastandoconsiderar as componentes paralelas. O campo no centro da cavidade, devido aessa distribuicao de carga, sera [veja o Problema 3]:

EP =4πk

3P (4.64)

b) Influencia das moleculas proximas


O efeito das moleculas proximas (dentro da cavidade) sera considerado somando-se o campo microscopico produzido por moleculas aleatoriamente orientadas nointerior da cavidade. O campo eletrico produzido por uma unica molecula situ-ada na origem, com momento de dipolo pa, calculado no ponto r do interior dacavidade, e dado por (3.114). De forma simetrica, podemos imaginar que esseresultado vale tambem para calcular o campo na origem, devido a uma moleculalocalizada no ponto ra:

e(0) = k3ra(pa · ra)− pa

r3a. (4.65)

Se o numero dessas moleculas for suficientemente grande, podemos com-putar o campo microscopico medio (a media e sobre as posicoes espaciais dasmoleculas):

e(0) = k3ra(pa · ra)− pa

r3a

Vamos tomar, por exemplo, a componente z dessa expressao:

ez(0) = k

paz

1

r3a− 3pax

xazar5a

+ payyazar5a

+ pazz2ar5a

(4.66)

onde pa : (pax, pay, paz) e ra : (xa, ya, za).Devido a distribuicao aleatoria das orientacoes moleculares, podemos con-

cluir que as posicoes medias sao iguais a zero,

xa = ya = za = xaya = yaza = xaza = 0.

ainda que as variancias nao sejam nulas (x2a 6= 0, etc.). Pela isotropia da situacaotemos que

x2a = y2a = z2a =1

3r2a,

donde concluimos que ez(0) = 0. Esse resultado vale para as outras com-ponentes, donde e(0) = 0, ou seja, o campo microscopico medio devido asmoleculas proximas e nulo. Esse resultado tambem pode ser demonstrado paramoleculas nos vertices de uma rede cristalina cubica.

Substituindo este ultimo resultado, bem como (4.64), em (4.62), temos queo campo eletrico sentido por uma molecula no interior de um dieletrico e

E = E0 +4πk

3P. (4.67)

Relacao de Clausius-Mossotti

Substituindo o campo efetivo (4.67) na relacao (4.54), a polarizacao e

P = nαεvac

(E0 +

4πk

3P

). (4.68)

Em 1 mol da substancia ha NA = 6, 02 × 1023 moleculas (numero de Avo-gadro), correspondendo a massa molecular M. Em N moles havera, portanto,


NNA = nV moleculas correspondendo a massa m da substancia. Logo, onumero de moleculas por unidade de volume sera

n =mNAMV

. (4.69)

Exprimindo em termos da densidade de massa

ρm =m

V=nMNA

. (4.70)

Isolando n e substituindo em (5.23) obtemos

P =NAρmM

αεvac

(E0 +

4πk

3P

).

Colocando P em evidencia resulta

P =(NAρmαεvac/M)

1− 4πk3

NAρmαεvac

ME0.

Por outro lado, de (4.37)

P =

(κ− 1

4πk

)E0.

Comparando as duas expressoes anteriores obtemos, apos um pouco de algebra,a relacao de Clausius-Mossotti

4πk

3

NAρmαεvacM

=κ− 1

κ+ 2. (4.71)

que e uma equacao de estado para dieletricos: ela relaciona a constante dieletricado meio a sua densidade de massa. Usando (4.69) ela pode ser reescrita emtermos da densidade de partıculas como

4πk

3nαεvac =

κ− 1

κ+ 2. (4.72)

Para gases diluidos, onde κ difere apenas ligeiramente de 1, o lado direitoda relacao de Clausius-Mossotti pode ser escrito como (κ− 1)/3, de modo queuma forma aproximada desta relacao e

4πknαεvac ≈ κ− 1. (4.73)

Como uma correcao no modelo, podemos tambem adicionar o efeito da ori-entacao das moleculas polares na direcao de um campo eletrico externo, contrao efeito da agitacao termica. De (4.61) e (4.37)

P =np203kBT

E0 =

(κ− 1

4πk

)E0. (4.74)

Incluindo esse resultado na equacao aproximada de Clausius-Mossotti (4.73),valida para gases diluidos, temos

κ− 1

4πk= nα+

np203kBT

, (4.75)

onde o primeiro termo representa a distorcao da molecula (apolar) devido aocampo, provocando um momento de dipolo induzido, e o segundo termo rep-resenta o alinhamento parcial desses momentos induzidos na direcao do campoexterno.

4.3. MEIOS MAGNETICOS 163

4.3 Meios Magneticos

4.3.1 Magnetizacao

A origem do magnetismo nos meios materiais e a presenca de momentos dedipolo microscopicos, que podem ser tanto de origem orbital (devido ao movi-mento das partıculas) como intrınseca (devido ao spin das partıculas). Sem en-trar ainda em consideracoes mais aprofundadas sobre a origem destes momentosmagneticos, vamos supor, como na fısica classica, que a origem do magnetismoesta em espiras microscopicas de corrente. O momento de dipolo magneticodevido a uma espira de area A, conduzindo uma corrente I, e um vetor perpen-dicular ao plano da espira, cujo modulo e dado por (??) como m = gIA.

A magnetizacao de um meio material e o momento de dipolo magnetico totalpor unidade de volume. Se houver apenas um tipo de atomos, e se todos elesestiverem alinhados, a magnetizacao e

M = nm, (4.76)

onde n e o numero de atomos por unidade de volume em e o momento magneticode cada um deles. Caso os momentos magneticos nao estejam totalmente al-inhados (devido a agitacao termica, por exemplo), a magnetizacao e n vezes omomento magnetico medio.

Uma magnetizacao espacialmente inomogenea provoca o aparecimento deuma densidade de corrente de magnetizacao Jm. O potencial vetor criado porum momento magnetico m situado na origem e dado por (??). Se ha n mo-mentos magneticos por unidade de volume a contribuicao deste para o potencialvetor sera

dA(r) =k

g2c2∇(1

r

)×MdV, (4.77)

que pode ser generalizada, se o elemento de volume estiver localizado no pontor′, como

A(r) =k

g2c2

∫V

d3r′∇(

1

|r− r′|

)×M(r′). (4.78)

Trocando as coordenadas do gradiente ve-se que

∇(

1

|r− r′|

)= −∇′

(1

|r− r′|

)(4.79)

de modo que

A(r) =k

g2c2

∫V

d3r′∇′ ×(

M(r′)

|r− r′|

)+

∫V

d3r′∇′ ×M(r′)

|r− r′|

. (4.80)

Usando uma variacao do teorema de Stokes a primeira integral pode serescrita como ∮

S

n× M

|r− r′|dA′.

onde S e a superfıcie que envolve V . Jogando S para o infinito a integral vai azero, de modo que

A(r) =k

g2c2

∫V

d3r′∇′ ×M(r′)

|r− r′|. (4.81)


Comparando com a expressao para o potencial vetor gerado por uma densi-dade de corrente de conducao (??) concluimos que e possıvel definir uma den-sidade de corrente (efetiva) de magnetizacao

Jm(r) =1

g∇×M(r), (4.82)

tal que

A(r) =k

g2c2

∫V

d3r′Jm(r′)

|r− r′|. (4.83)

4.3.2 Intensidade magnetica

Partindo da lei de Ampere-Maxwell no vacuo (1.68

∇×B− 1

gc2∂E

∂t=

4πk

gc2J, (4.84)

podemos adapta-la para a descricao de meios materiais (dieletricos e magneticos)substituindo J por uma corrente total, que consiste das correntes de conducao,magnetizacao e polarizacao, esta ultima dada por (4.24):

Jt = J+ Jm + Jp = J+1

g∇×M(r) +

∂P

∂t. (4.85)

Introduzimos, agora, a permeabilidade magnetica do vacuo µvac que, nossistemas de unidades mais importantes, e dada por

• SI: µvac = µ0 = 1c2ε0

= 4π × 10−7T.m/A;

• Gaussiano: µvac = 1

e, com essa nova constante, definimos o vetor intensidade magnetica

H =1

µvac

(B− 4πk

g2c2M

). (4.86)

Dessa forma, substituindo (4.85) em (4.84) obtemos a lei de Ampere-Maxwellem meios materiais:

µvac∇×H− 1

gc2εvac

∂D

∂t=

4πk

gc2J. (4.87)

No SI, as expressoes para a intensidade magnetica e a Lei de Ampere-Maxwellsao, respectivamente

H =1

µ0B−M, (4.88)

∇×H− ∂D

∂t= J, (4.89)

enquanto, no sistema gaussiano, temos

H = B− 4πM, (4.90)

∇×H− 1

c

∂D

∂t=

4π

cJ. (4.91)


Tabela 4.4: Susceptibilidade magnetica de alguns materiais (quantidade adi-mensional no SI).

Paramagneticos DiamagneticosMaterial χm Material χm

Cesio 5, 1× 10−5 Bismuto −1, 66× 10−4

Alumınio 2, 3× 10−5 Cobre −0, 98× 10−5

Tungstenio 6, 8× 10−5 Diamante −2, 2× 10−5

Oxigenio (1 atm) 2, 09× 10−6 Hidrogenio (1 atm) −2, 1× 10−9

Lıtio 1, 4× 10−5 Nitrogenio (1 atm) −5, 0× 10−9

Magnesio 1, 2× 10−5 Mercurio −2, 9× 10−5

Sodio 0, 72× 10−5 Chumbo −1, 8× 10−5

Assim como D, a intensidade magnetica H nao tem um significado fısicoparticular. Ela e introduzida para que possamos calcular os campos magneticosna presenca de meios materiais sem precisar conhecer de antemao a distribuicaode correntes de magnetizacao. Esse procedimento, entretanto, so e consistentese conhecermos uma relacao constitutiva que vincule B e H.

4.3.3 Permeabilidade magnetica

Em materiais nao-ferromagneticos e isotropicos, a relacao constitutiva entre Me H e linear:

M = χmH, (4.92)

onde χm e a susceptibilidade magnetica 1 O sinal da susceptibilidade varia deacordo com o tipo de material:

• Materiais paramagneticos: χm e positivo. O campo magnetico dentro domeio e reforcado pela presenca de momentos magneticos alinhados com ocampo.

• Materiais diamagneticos: χm e negativo. O campo magnetico dentro domeio e enfraquecido pela presenca de momentos magneticos que estaoanti-alinhados com o campo.

Em geral, para meios para e diamagneticos a susceptibilidade, em modulo, esempre muito baixa, da ordem de 10−5−10−8. Na tabela 4.4 mostramos valoresde χm para alguns materiais nao-ferromagneticos 2.

A relacao constitutiva e tambem linear entre os vetores B e H:

B = µH = µvacκmH, (4.93)

onde µ e a permeabilidade do meio, dada por

µ = µvacκm, (4.94)

1Ha diversas maneiras, na literatura, de definir a susceptibilidade magnetica. O leitor deveestar atento a isso quando for utilizar valores numericos de tabelas.

2Nos tabulamos a chamada susceptibilidade magnetica volumetrica. Existem, ainda, assusceptibilidades molares e de massa.


onde tambem definimos a permeabilidade relativa κm. No vacuo, como M = 0,teremos χm = 0 e κm = 1, de modo que B = µvacH simplesmente. Emmeios paramagneticos (diamagneticos) a permeabilidade relativa e ligeiramentemaior (menor) que 1: em diversas situacoes nos inclusive podemos negligenciara magnetizacao do meio frente a outros efeitos.

Substituindo (4.92) em (4.86) e comparando com (4.93) temos uma relacaoentre a permeabilidade e a susceptibilidade magnetica

κm = 1 +4πk

µvacg2c2χm. (4.95)

Para referencia, vamos apresentar estas relacoes nos sistemas SI:

M = χmH, (4.96)

B = µH = µ0κmH, (4.97)

µ = µ0κm, (4.98)

κm = 1 + χm. (4.99)

Destas ultimas relacoes, observe que χm, assim como κm, sao quantidades adi-mensionais.

No sistema Gaussiano estas relacoes sao

M = χmH, (4.100)

B = µH = κmH, (4.101)

µ = κm, (4.102)

κm = 1 + 4πχm. (4.103)

4.3.4 Solenoide cilındrico com nucleo magnetico

Um solenoide muito longo de comprimento ` tem nc espiras por unidade de com-primento, conduzindo uma corrente I. Na aproximacao de solenoide infinito comenrolamento compacto (sem nucleo magnetico), sabemos que o campo magneticoe uniforme no seu interior e nulo no exterior. Considerando a presenca de umnucleo magnetico (mas nao ferromagnetico), podemos aplicar a lei de Ampere-Maxwell (4.87) a um percurso fechado retangular de comprimento ` e largurah.

Supondo a inexistencia de campos eletricos D = 0 e usando o Teorema deStokes,

µvac

∫S

∇×H · dA =4πk

gc2

∫S

J · dA

µvac

∮C

H · ds =4πk

gc2(nc`)I

µvacH` =

onde supomos, por simetria, que a intensidade magnetica dentro do solenoideH seja paralela ao eixo do solenoide. Resulta que ela e igual a

H =4πk

µvacgc2ncI. (4.104)


O campo magnetico dentro do solenoide sera, de (4.93),

B = κm4πk

gc2nI, (4.105)

ou seja, sera maior ou menor do que o campo sem o nucleo magnetico por umfator κm. Se o nucleo for paramagnetico, o campo sera ligeiramente maior doque no vacuo (pois κm & 1); enquanto que, se for diamagnetico, o campo seraligeiramente menor do que no vacuo (ja que κm . 1). A magnetizacao nointerior do solenoide sera dada por (4.86) como

M =g2c2

4πk(B− µvacH) (4.106)

= gncI(κm − 1),

podendo ser positiva ou negativa, caso o nucleo seja para ou diamagnetico,respectivamente.

Na pratica, os nucleos magneticos sao feitos de materiais ferromagneticos.Como veremos na proxima secao, eles nao obedecem a uma relacao linear entreB e H, como no caso de para e diamagneticos. No entanto, podemos imaginarque uma relacao deste tipo exista localmente, ou seja, a susceptibilidade relativa

κm =µ

µvac

nao e mais uma constante, mas dependera do campo magnetico B. Num meioferromagnetico, como o Ferro, o valor de κm pode variar desde 100 ate 105

dependendo da intensidade magnetica (portanto da corrente I no solenoide). Dequalquer forma, para um nucleo ferromagnetico o campo sera algumas ordensde grandeza maior do que para nucleo de ar, devido a forte magnetizacao quemateriais deste tipo apresentam.

4.3.5 Materiais ferromagneticos

Meios ferromagneticos possuem uma magnetizacao permanente, bem como umaalta permeabilidade magnetica. No entanto, a relacao constitutiva entre B e He nao-linear

B = F(H), (4.107)

e tambem exibe um efeito de memoria, ou seja, o valor de B depende da historiapregressa das suas variacoes, que e possıvel obter a partir da curva de magne-tizacao ilustrada pela Fig. 4.1.

Saturacao

Numa experiencia como a do solenoide com nucleo ferromagnetico, a intensidademagnetica dentro do material H e, de (4.104), proporcional a corrente I. Jao campo magnetico B no interior do solenoide pode ser medido a partir dofluxo magnetico correspondente (ΦB = BS, onde S e a area da secao reta dosolenoide) usando, por exemplo, ummagnetometro de deflexao. Uma alternativae usar um solenoide toroidal com nucleo ferromagnetico (anel de Rowland) comdois enrolamentos: um deles prove a corrente I que gera H, e outro serve paramedir o fluxo magnetico e, consequentemente, B.


Figura 4.1: Curva de histerese de um meio ferromagnetico.

Na primeira etapa da experiencia (linha tracejada na Fig. 4.1) H e aumen-tado desde zero ate um certo valor maximo. Nesse trecho da curva a relacaoentre B e H e unıvoca, porem nao-linear. Dessa forma, podemos definir umapermeabilidade relativa local

κm,loc =1

µvac

dB

dH, (4.108)

que, geometricamente, e a inclinacao em cada ponto dessa curva. Essa perme-abilidade relativa local depende da intensidade magnetica. Para H = 0 ela temum valor inicial κm,inic que aumenta rapidamente ate chegar a um valor maximoκm,max, depois diminui na medida em que H continua crescendo. No chamadoponto de saturacao a magnetizacao dentro do meio atinge o seu valor maximo,que vamos denotar por Ms. Os valores de B e H no ponto de saturacao seraodenotados por Bs e Hs, respectivamente. De (4.86), a relacao entre eles sera

Hs =1

µvac

(Bs −

4πk

g2c2Ms

). (4.109)

Apos o ponto de saturacao, a magnetizacao nao aumenta mais, mas o campo Bcontinua aumentando pois H esta crescendo (junto com a corrente no solenoide)

B = µvacH+4πk

g2c2Ms, (H > Hs). (4.110)

Na tabela 4.5 mostramos os valores inicial e maximo da permeabilidade rel-ativa para uma serie de materiais ferromagneticos de interesse pratico. Tais ma-teriais, quando usados como nucleos de solenoides, podem intensificar o campomagnetico no seu interior por um fator que varia de 100 ate 106, o que ex-cede tremendamente o resultado obtido em comparacao com meios para e dia-magneticos.

Histerese

Passando, agora, para o trecho a e b da curva de magnetizacao [Fig. 4.1].Diminuindo o valor da corrente no solenoide, o campo magnetico B nao diminui


Tabela 4.5: Permeabilidades relativas inicial e maxima, coercividades e re-manencias de alguns materiais ferromagneticos.

Material κm,inic κm,max Hc [A.m] Br [T]

Ferro (99, 8% puro) 150 5× 103 80 1, 3Ferro (99, 95% puro) 104 2× 105 4 1, 3

78 Permalloy 8× 103 105 4 0, 7Super Permalloy 105 106 0, 2 0, 7

Cobalto (99% puro) 70 250 800 0, 5Nıquel (99% puro) 110 600 60 0, 4

Aco (0.9% C) 50 100 6000 1, 3Aco (30% Co) 50 100 19000 9, 5

5 Alnico 4 45800 12, 5Ferrite (po) 50 100 37000 0, 6

ao longo do mesmo trajeto quando do seu aumento: efeito de histerese. Umaconsequencia e que, quando a corrente no solenoide e igual a zero, ainda queH = 0 ha um campo magnetico residual chamado remanencia do material, edenotado Br. De (4.86) temos que a magnetizacao no ponto de remanencia e

Mr =g2c2

4πkBr. (4.111)

Nesse ponto podemos dizer que o nucleo do solenoide foi “imantado”: ele tornou-se um ima permanente. Materiais ferromagneticos usados em imas permanentestem remanencias relativamente altas, da ordem de alguns Tesla [vide Tabela 4.5].

Invertendo o sentido da corrente no solenoide tambem e revertido o sentidoda intensidade magnetica no seu nucleo [trecho b-c na Fig. 4.1]. O campomagnetico no nucleo diminui ate chegar a zero, o que e obtido quando a inten-sidade magnetica e igual a um valor denominado coercividade do material Hc.Fazendo B = 0 em (4.86), a magnetizacao no ponto de coercividade e

Mc = −µvacg2c2

4πkHc. (4.112)

A coercividade pode ser interpretada como a intensidade magnetica necessariapara desmagnetizar um ima permanente. Logo, materiais para uso em imaspermanentes devem term coercividades baixas [vide Tabela 4.5]. Aumentandoainda mais a corrente no solenoide no sentido oposto atingimos novamente umasaturacao, com magnetizacao −Ms. Fazendo o percurso inverso o efeito dehisterese faz com que haja um ciclo completo ate voltarmos ao ponto a.

4.3.6 Teoria microscopica do magnetismo

Classicamente nao ha uma magnetizacao resultante quando um sistema magneticoesta em equilıbrio termico, ou seja, o valor medio da magnetizacao e nulo numsistema classico. Uma explicacao heurıstica para isso vem do fato que uma forcamagnetica FB = qgv ×B nao realiza trabalho, e portanto nao altera a energiade uma partıcula. Como a distribuicao de velocidades (Maxwell-Boltzmann)


depende somente da temperatura do sistema, esta nao e alterada pelas forcasmagneticas. Esse resultado, conhecido como teorema de Bohr-van Leeuwen,implica em que a teoria quantica e necessaria para explicar o aparecimento domagnetismo (veja tambem o problema 5).

Razao giromagnetica

Num modelo classico, as correntes atomicas (supondo que a orbita esteja noplano z = 0, o raio e ρ = x2 + y2) estao associadas a um momento magneticodado por (??) m` = gIAz. Supondo um eletron de carga −e, massa Me evelocidade orbital v, a intensidade de corrente associada ao movimento orbitale

I =−eT

=−e

2πρ/v

Como A = πρ2 e o momentum angular orbital e L = Mevρ, o momentomagnetico orbital e

m` = γL, (4.113)

onde definimos a razao giromagnetica

γ = − eg

2Me= −µB

~. (4.114)

e usamos tambem o chamado magneton de Bohr:

µB =eg~2Me

, (4.115)

onde ~ = h/2π = 1, 054 × 10−34J.s e a constante de Planck reduzida. NoSI, µB = 9, 274 × 10−24J/T . O magneton de Bohr e uma unidade pratica demomentos magneticos atomicos.

Um momento magnetico colocado num campo magnetico externo B = Bzsofre, classicamente, um torque

N = m` ×B, (4.116)

cujo modulo, em vista de (4.113), e N = γLB sin θ, onde θ e o angulo (polar)entre L e o eixo z. Esse torque provoca a precessao do momento magnetico e,consequentemente, do momentum angular, em torno do eixo z (na verdade, emtorno da direcao do campo magnetico).

Da segunda lei de Newton para a rotacao,

N =dL

dt= L⊥

dφ

dt= L sin θω,

donde a velocidade angular (frequencia) de precessao e

ω =egB

2Me, (4.117)

um resultado que pode ser tambem obtido, de forma mais geral, a partir doteorema de Larmor visto em Eletro I.


Diamagnetismo

Como a velocidade orbital do eletron e v = ωρ, de (5.217) concluimos que omomentum angular e

L =Meωρ2

enquanto que, de (4.113) e (5.31), obtemos o momento magnetico orbital doeletron:

m` = −e2g2ρ2

4MeB. (4.118)

Considerando, agora, um atomo com Z eletrons, o momento magnetico totale obtido a partir da media dos momentos magneticos eletronicos:

m = Zm` = −Ze2g2B

4Meρ2, (4.119)

onde ρ2 = x2 + y2. Supondo simetria esferica (isotropia) para o atomo temos

x2 = y2 = z2 =1

3r2,

onde r2 = x2 + y2 + z2 = ρ2 + z2, donde ρ2 = (2/3)r2, e

m = −Ze2g2B

6Mer2, (4.120)

que e identico ao resultado usando a Mecanica Quantica.

O sinal negativo em (4.120) e uma consequencia da lei de Lenz: se o campomagnetico B varia, a corrente atomica produz um fluxo magnetico que tende ase opor a essa variacao. Logo m e anti-paralelo ao campo B. A magnetizacaoresultante e negativa, dada por

M = nm = −Zne2g2B

6Mer2, (4.121)

e faz com que o campo no interior do material seja mais fraco do que aquele semo material. Concluimos que o diamagnetismo e um fenomeno que ocorre virtual-mente em todos os meios materiais. Em meios para e ferromagneticos, porem,os efeitos sobrepujam e mascaram o efeito diamagnetico, o qual e usualmentemuito pequeno (veja o problema 9).

Como estamos analisando o problema a nıvel microscopico, podemos escreverB = µvacH, como no vacuo. De (4.92), a susceptibilidade diamagnetica e dadapor

χm = −Zne2g2B

6Mer2. (4.122)

conhecida como formula de Langevin. Como um exemplo, vamos considerar oHidrogenio (Z = 1). Para 1 mol, n e o numero de Loschmidt e, usando comoestimativa grosseira de r o raio de Bohr a0 obtemos, no sistema SI, o valorχm = −4, 4× 10−10, comparavel ao valor experimental (vide Tabela 4.4).


Spin

Um eletron isolado tem nao so um momentum angular orbital, mas tambemum momentum angular de spin S, que nao tem analogo classico. O momentomagnetico de spin e tambem proporcional ao spin, na forma

ms = geγS, (4.123)

onde introduzimos o fator-g do eletron que, da Eletrodinamica Quantica, e dadopor

ge = 2(1 +

α

2π+ . . .

)= 2, 002319304617 ≈ 2, (4.124)

onde α = 1/137 e a constante de estrutura fina.Somando as duas contribuicoes, orbital e de spin, o momento magnetico

total de um eletron isolado e

m = m` +ms = γ(L+ 2S). (4.125)

e e interessante trabalhar com o chamado momentum angular total

J = L+ S. (4.126)

Assim como no caso puramente orbital, ao ser colocado num campo magneticoexternoB, o momentum angular total do eletron precessiona em torno do campomagnetico. Ha uma energia potencial de interacao dada por

U = −m ·B =µB~

(L+ 2S) ·B. (4.127)

O momentum angular de um eletron e quantizado: seu modulo e dado por

L = ~√`(`+ 1), (4.128)

onde ` = 0, 1, 2, . . . e o numero quantico orbital. A projecao do momentumangular ao longo da direcao z do campo magnetico e tambem quantizada:

Lz = ~m`, (4.129)

onde m` = −`,−`+1, · · · , `−1, ` [Fig. ??(b)]. Analogamente, o spin do eletrontambem e quantizado: S = ~

√s(s+ 1), onde s = 1/2. Entao S =

√3/2~. A

projecao de S ao longo do eixo z e quantizada como Sz = ms~, com ms =−1/2, 1/2. O modulo e a componente-z do momentum angular total satisfazemas relacoes de quantizacao:

J = ~√j(j + 1), Jz = mj~, (4.130)

onde mj = m` +ms, e o numero quantico j satisfaz a desigualdade triangular|`− s| ≤ j ≤ `+ s. Para o spin do eletron temos que j = `± 1/2.

Com essas consideracoes, a Mecanica Quantica mostra que podemos escrevera energia magnetica (4.127) como

U = gLµBmjB, (4.131)

onde definimos o fator g de Lande (veja o Problema 8):

gL = 1 +j(j + 1)− `(`+ 1) + s(s+ 1)

2j(j + 1). (4.132)


Alternativamente, podemos dizer que o momento magnetico de um eletronem um atomo e dado por

m = gLγJ = −gLµB~

J. (4.133)

Como, para um dado valor do numero quantico j, temos mj = −j,−j+1, · · · j−1, j, ha 2j + 1 valores de mj possıveis, e portanto 2j + 1 nıveis de energiaigualmente espacados de gLµBB.

Paramagnetismo

Atomos com camadas e subcamadas eletronicas totalmente preenchidas temL = 0, S = 0 e J = 0, donde eles nao tem momentos de dipolo magneticolıquidos, e portanto nao exibem paramagnetismo (somente diamagnetismo).Num atomo paramagnetico ha um momento angular total nao-nulo J e ummomento magnetico dado por (4.133). A energia de interacao magnetica e dadapor (4.131), que pode ser reescrita como

U = −m ·B =gLµB~

J ·B =gLµB~

JB cos θ, (4.134)

onde θ e o angulo entre J e a direcao z (do campo magnetico).Se houvesse perfeito alinhamento entre os atomos, entao poderıamos escr-

ever a magnetizacao como M = nm. Nessa situacao os momentos magneticosindividuais, e a magnetizacao, estariam apontando na mesma direcao do campomagnetico, e o campo no interior do meio seria reforcado. No entanto, devido aagitacao termica, ha somente um alinhamento parcial dos momentos magneticoscom o campo magnetico, para uma temperatura T .

Nos fizemos um calculo parecido na secao sobre teoria microscopica dosdieletricos. A energia potencial tem a mesma forma de (4.134), desde quefacamos as seguintes substituicoes:

p0 → m =gLµB~

J, E → B, P → M. (4.135)

Supondo aqui, como la, que a energia magnetica de interacao U e muito menordo que a energia termica kBT dos atomos, a magnetizacao pode ser obtida apartir de (4.61) como

M ≈ n

(m2

3kBT

)B. (4.136)

Assim como no caso diamagnetico, supomos que B = µvacH, tal que (4.92)forneca-nos a dependencia da susceptibilidade paramagnetica com a temper-atura,

χm =nµvacm

2

3kBT=C

T, (4.137)

conhecida como lei de Curie. A constante de Curie e dada por

C =nµvacm

2

3kB=nµvacg

2Lµ

2BJ

2

3kB~2. (4.138)

onde usamos (4.135). Finalmente, levando em conta a expressao quantica(6.153), a constante de Curie e

C =nµvacg

2Lµ

2Bj(j + 1)

3kB=np2Bµ

2Bµvac

3kB, (4.139)


onde o chamado numero efetivo de magnetons de Bohr e definido como

pB = gL√j(j + 1). (4.140)

A lei de Curie e valida para temperaturas altas, onde pudemos expandir o fatorde Boltzmann em serie de potencias. Para temperaturas muito baixas, umcalculo mais preciso, usando a mecanica estatıstica, leva a formula de Curie-Brillouin.

O paramagnetismo eletronico e encontrado em diversos materiais, dentre osquais vamos examinar duas categorias.

I. Atomos e moleculas com um numero ımpar de eletrons: o spin totalnao pode ser zero (spins emparelhados num orbital tem s = 0). Um exemplo eo atomo de Sodio (Z = 11), cuja configuracao eletronica e: 1s22s22p63s1, entaoas camadas 1 e 2 estao fechadas (spin total zero) e a camada de valencia (` = 0por ser orbital do tipo-S) tem um eletron desemparelhado, com s = 1/2. Entaoj = |0 ± 1/2| = 1/2 e mj = ±1/2, logo ha dois estados de energia. Como ofator-g de Lande, por (4.132), e gL = 2, a energia de cada estado e dada por(4.134) como U = ±µBB. O numero efetivo de magnetons de Bohr e pB =

√3.

Para estimar o numero de atomos de sodio por unidade de volume n usamos arelacao n = NAρm

M = 2, 53×1028atomos/m3, ondeNA = 6, 02×1023 atomos/mole o numero de Avogadro, ρm = 0, 968g/cm3 e a densidade e M = 23g/mole a massa molecular do Sodio. A constante de Curie e, de (4.139), igual a0, 198. A susceptibilidade paramagnetica do sodio, a T = 20oC, sera entaoχm = 6, 75 × 10−4. E importante lembrar que neste, assim como em outroscasos, o valor experimental da susceptibilidade (no caso, 0, 72× 10−5, refere-seas duas contribuicoes: dia e paramagnetica. Outros sistemas que se enquadramnessa categoria sao: NO gasoso, radicais livres organicos (como trifenilmetilC(C6H5)3), centros-F de cor em haletos alcalinos, etc.

II. Atomos e moleculas com uma subcamada interna parcialmentepreenchida: nesses atomos ha eletrons desemparelhados em orbitais internos(portanto que interagem muito pouco com o restante da rede cristalina, e quepodem ser considerados isoladamente) que possuem tanto S quanto L diferentesde zero. Um exemplo sao os ıons de terras raras, como o Ce3+, com Z = 58eletrons. A configuracao eletronica dele e [Xe]4f15s25p6, de modo que ha umsubnıvel interno (4f) parcialmente preenchido com apenas um eletron, logos = 1/2 e ` = 3. Como j = |`± s|, ha duas alternativas para j, a saber, j = 7/2ou j = 5/2. Pela terceira regra de Hund, quando uma sub-camada esta menosdo que meio-preenchida, como e o caso de 4f , usamos o valor j = |`− s| = 5/2.

Usando (4.132) o fator-g de Lande, para o Ce3+, e gL = 6/7, de modo que onumero efetivo de magnetons de Bohr e, de (4.140), pB = 2, 53, que concordamuito bem com o valor experimental de 2, 4 (de acordo com C. Kittel, Introducaoa Fısica do Estado Solido). O numero de ıons de cerio por metro cubico n en = 2, 91 × 1025ions/m3 (usando ρm = 6, 770g/cm3 e M = 140g/mol), desorte que, subsituindo em (4.139) temos, para a constante de Curie, o valor4, 86 × 10−4, fornecendo uma susceptibilidade paramagnetica de 1, 66 × 10−6.Outros sistemas nessa categoria sao elementos de transicao (como Mn2+), ıonsisoeletronicos em elementos de transicao (como Gd3+), actinıdeos (como U4+),etc.


Tabela 4.6: Temperaturas de Curie de alguns materiais ferromagneticos.

Material Θ(K) Material Θ(K)

Fe 1043 Co 1388Ni 627 Gd 293Dy 85 CrBr3 37

Au2MnAl 200 Cu2MnAl 630Cu2MnI 500 EuO 77EuS 16, 5 MnAs 316MnBi 670 GdCl3 2, 2Fe2B 1015 MnB 578

Ferromagnetismo

A existencia de uma magnetizacao permanente em meios ferromagneticos e ob-servada para temperaturas T menores que a chamada temperatura de Curie Θ,que varia de material para material [vide Tabela 4.6]. Se T > Θ o materialtorna-se paramagnetico, e sua susceptibilidade magnetica satisfaz a chamada leide Curie-Weiss

χm =C

T −Θ, (T > Θ), (4.141)

de modo que, se T tende a Θ por valores superiores, a susceptibilidade magneticatende a infinito. Logo, para T < Θ, de (4.92) concluimos que pode haver M 6= 0mesmo que H = 0.

Para explicar o aparecimento de uma magnetizacao permanente, Weiss propos,em 1907, que a intensidade magnetica efetiva que atua em cada atomo tem umacontribuicao, conhecida como campo molecular que e (na aproximacao de campomedio) proporcional a magnetizacao do meio:

Hef = H+ λM, (4.142)

onde λ e uma constante independente da temperatura.Quando T > Θ, o meio torna-se paramagnetico, de modo que podemos usar

a lei de Curie na forma (4.139). De (4.92), e substituindo H pelo campo efetivo(4.142), chegamos a seguinte expressao para a magnetizacao

M =C

T − CλH. (4.143)

Interpretando o fator de proporcionalidade em (4.143) como a susceptibilidademagnetica do meio, chegamos a lei de Curie-Weiss (4.141), onde a temperaturade Curie e Θ = Cλ.

Qual a natureza do campo molecular na hipotese de Weiss? Nao pode serdevida a interacoes magneticas entre os momentos de dipolo! Para entendermosesse fato, observamos (a partir dos dados experimentais para C e Θ) que ocampo molecular µvacλM deve ter modulo da ordem de 103T . Por outro lado,o campo magnetico devido a um momento de dipolo igual a um magneton deBohr a distancia de, por exemplo, a = 3× 10−10, deve ser, de (3.113),

B ∼ k

g2c2m

r3=µ0

4π

µBa3

= 0, 03T,


ou seja, cinco ordens de grandeza menor do que o campo molecular. Logo ainteracao entre os momentos de dipolo nao pode ser de natureza magnetica(classica).

De fato, apenas em 1927 Heisenberg pode explicar a natureza do campomolecular a partir de uma teoria quantica. O ferromagnetismo se origina deuma interacao quantica entre os spins dos eletrons. A energia potencial deinteracao entre os eletrons de spins Si e Sj e dada por

U = −2JSi · Sj, (4.144)

onde J e a chamada integral de troca, relacionada com a superposicao dasdistribuicoes de carga dos atomos i e j.

Fisicamente, o modelo de Heisenberg e uma aplicacao do princıpio da ex-clusao de Pauli: dois eletrons nao podem ocupar o mesmo estado quantico. Emconsequencia, considerando a posicao e o spin como graus de liberdade distin-tos, dois eletrons proximos entre si devem ter spins anti-paralelos. No entantoa interacao pura e simples entre dois eletrons daria origem, nesse raciocınio,nao ao ferro mas ao anti-ferromagnetismo (magnetizacao total igual a zero). Naverdade, para entender a interacao de Heisenberg precisamos distinguir entreos eletrons magneticos (em camadas internas parcialmente preenchidas) e oseletrons de conducao (em camadas externas e fracamente ligadas ao atomo).Os eletrons magneticos interagem tal que os eletrons de conducao servem comointermediarios.

Para explicar esse efeito, supomos dois atomos A e B. Um eletron magneticode A com spin ↑ tende a orientar o spin de um eletron de conducao de Acomo ↓, ou antiparalelamente ao seu. Esse eletron de conducao pode deslocar-se livremente ate o atomo B, interagindo com um eletron magnetico de B eorientando-o antiparalelamente a seu spin ↓, logo o eletron magnetico de B temspin ↑. Ha, pois, uma interacao efetiva entre os eletrons magneticos de A e B,e que tende a alinha-los (↑↑), tendo os eletrons de conducao como mediadoresda interacao.

Como, quando T > Θ, o meio e paramagnetico, podemos usar a previsaoteorica (4.139) para a constante de Curie correspondente, usando j = s:

C =nµvacg

2Lµ

2Bs(s+ 1)

3kB. (4.145)

de modo que a constante do campo molecular de Weiss e

λ =Θ

C=

3kBΘ

nµvacg2Lµ2Bs(s+ 1)

. (4.146)

Vamos considerar, a guisa de exemplo, o Ferro, para o qual Θ = 1043K [Tab.4.6]. A configuracao eletronica do Ferro e [Ar]3d64s2. A subcamada interna 3desta parcialmente preenchida. Pela primeira regra de Hund, os spins dos eletronsestao dispostos como ↑↓↑ ↑ ↑ ↑ , o que daria, em princıpio, quatro eletrons magneticos.No entanto, devido a ligacao metalica, dois destes eletrons estao participandoda ligacao e nao tem momento magnetico associado (“quenching” dos eletrons).Logo, efetivamente, apenas dois eletrons desta subcamada sao magneticos, dondes = 1/2 + 1/2 = 1. Para eletrons isolados, o fator-g e aproximadamente 2.

O numero de atomos de Ferro por metro cubico n e n = 8, 49×1028atomos/m3

(usando ρm = 7, 874g/cm3 e M = 55, 84g/mol), de sorte que, subsituindo em

4.4. CONDICOES DE CONTORNO 177

(4.146) obtemos λ = 589. Pela curva de magnetizacao do Ferro e (4.109), esti-mamos sua magnetizacao de saturacao em

Ms =Bsµ0

−Hs = 1, 11× 106, (4.147)

o que da um campo molecular µ0λMs = 821T , em concordancia com os valoresestimados para o Ferro (da ordem de 103T ).

Para concluir, sabemos que ha magnetizacao permanente para o Ferro mesmoabaixo da temperatura de Curie. Como isso e possıvel? A resposta esta na ex-istencia de domınios, para os quais ha um momento magnetico medio resultante.Com a aplicacao de um campo externo, as paredes desses domınios movem-see os domınios crescem ate um certo valor determinado pela competicao entreenergia magnetica (que cresce com o volume do domınio) e da energia associadaas paredes dos domınios (que cresce com a area). As rotacoes das paredes dosdomınios sao acompanhadas de dissipacao de energia e, portanto, sao processosirreversıveis, que levam a remanencia, histerese e outras caracterısticas da curvade magnetizacao.

Podemos resumir as equacoes de Maxwell em meios materiais na Tabela (4.7)nos tres sistemas de unidades mais comuns. Vamos, neste capıtulo, abordar asoluc ao de alguns problemas de contorno em meios materiais.

4.4 Condicoes de contorno

4.4.1 Caixa de pılulas gaussiana

Seja uma caixa de pılulas gaussiana de altura h e area da base S, intercep-tando a interface entre dois meios materiais, com constantes dieletricas (κ1, κ2)e magneticas (κm1, κm2). Aplicando a lei de Gauss eletrica na forma integral eo teorema do divergente∫

V

∇ ·DdV =

∮S

D · dA = 4πkεvacσS,

onde admitimos a existencia de uma densidade de carga superficial (livre) σ nainterface. Logo∫

2

D2 · dA2 +

∫lateral

D · dA+

∫1

D1 · dA1 = 4πkεvacσS.

Fazendo h → 0 a contribuicao da area lateral se anula e, como dA1 =−dAn = −dA2, temos que

(D2 −D1) · nS = 4πkεvacσS.

ou seja, as componentes normais de D sao descontınuas, seu salto sendo pro-porcional a densidade de carga livre na interface:

D2n −D1n = 4πkεvacσ. (4.148)

Fazendo um raciocınio analogo para a lei de Gauss magnetica, temos a con-tinuidade das componentes normais de B, ou seja

B2n −B1n = 0. (4.149)


4.4.2 Espira amperiana

Seja uma espira amperiana retangular de altura h e largura `, interceptandoa interface entre dois meios materiais, com constantes dieletricas (κ1, κ2) emagneticas (κm1, κm2). Aplicando a lei de Faraday na forma integral e o teo-rema de Stokes ∫

S

(∇×E) · dA =

∮C

E · ds = −g∫S

∂B

∂t· dA∫

2

E2 · ds2 +

∫lateral

E · ds+∫1

E1 · ds1 =

Fazendo h→ 0 a integral ao longo das laterais da espira tende a zero. Alemdisso, supondo que ∂B/∂t seja finito em S, a area de S tambem tende a zero,assim como a integral do lado direito. Introduzimos um triedro de versores nainterface: n e o versor normal, t o versor tangencial, e t× n o versor na direcaodos lados da espira. Temos, assim, que

ds2 = (t× n)ds2 = −ds1,

de modo que(E2 −E1) · (t× n)` = 0,

e que pode ser reescrita como

n× (E2 −E1) = 0. (4.150)

Definindo a componente tangencial do campo eletrico como Et = n×E essacondicao de contorno e simplesmente

E2t − E1t = 0. (4.151)

Aplicando, agora, a lei de Ampere-Maxwell a essa espira temos

µvac

∫S

(∇×H) · dA =4πk

gc2

∫S

J · dA+1

gc2εvac

∂D

∂t

Usando o teorema de Stokes, e admitindo a existencia de uma densidade decorrente (livre) J = K/δ fluindo exatamente sobre a interface S, temos

µvac

∮C

H · ds = 4πk

gc2

∫S

K

δ· dA+

1

gc2εvac

∂D

∂t

A integral fechada e similar aquela vista anteriormente para a lei de Faraday.Tomando o limite h→ 0 a integral de ∂D/∂t tambem se anula, de modo que

µvac(H2 −H1) · (t× n)` =4πk

gc2

∫S

K

δ· tdA =

4πk

gc2K

δ· t(δ`)

dando

µvacn× (H2 −H1) =4πk

gc2K, (4.152)

ou, ainda, representando a descontinuidade da componente tangencial de Hdevido a uma densidade de corrente na interface

µvac(H2t −H1t) =4πk

gc2Kt. (4.153)

4.5. ENERGIA ELETROMAGNETICA EM MEIOS MATERIAIS 179

Para referencia posterior, escreveremos as quatro condicoes de contorno nosistema SI:

D2n −D1n = σ, (4.154)

B2n −B1n = 0, (4.155)

E2t − E1t = 0, (4.156)

H2t −H1t = Kt, (4.157)

e no Gaussiano

D2n −D1n = 4πσ, (4.158)

B2n −B1n = 0, (4.159)

E2t − E1t = 0, (4.160)

H2t −H1t =4π

cKt. (4.161)

4.4.3 Condicoes de contorno envolvendo condutores

Em qualquer uma das condicoes de contorno acima, se um dos meios for o vacuoentao Dn = εvacEn e Dt = εvacEt; assim como Hn = Bn/µvac e Ht = Bt/µvac.Ja, para um condutor, sabemos que D = E = 0 em seu interior. Logo, se houveruma interface dieletrico-condutor a condicao de contorno (4.148) fica

εvacE2n − 0 = 4πkεvacσ

onde σ refere-se a carga (livre) em excesso do condutor que, sabemos, concentra-se em sua superfıcie externa.

Logo, usando E = −∇ϕ no dieletrico, temos

E2n = −∂ϕ2

∂n= 4πkσ, (4.162)

de modo que a carga total na interface e (removendo os ındices por simplicidade)

q =

∫S

σdA = − 1

4πk

∫S

∂ϕ2

∂ndA = − 1

4πk

∫S

∇ϕ · dA. (4.163)

Aplicando a continuidade da componente tangencial do campo eletrico, E2t =0, ou seja, o campo eletrico deve ser normal a interface (superfıcie do condutor)em cada ponto.

4.5 Energia eletromagnetica em meios materiais

Nesta secao vamos reobter o teorema de Poynting, visto no Cap. I para cam-pos eletromagneticos no vacuo, agora do ponto de vista de meios materiais(dieletricos e magneticos). O teorema de Poynting, sabemos, representa matem-aticamente o princıpio de conservacao de energia. Inicialmente fazemos o pro-duto da intensidade magnetica H com a lei de Faraday:

H · (∇×E) = −gH · ∂B∂t, (4.164)


e o produto do campo eletrico E com a lei de Ampere-Maxwell:

µvacE · (∇×H) = − 1

εvacgc2E · ∂D

∂t+

4πk

gc2E · J. (4.165)

Subtraindo (4.165) de (4.164), membro a membro,

H · (∇×E)− µvacE · (∇×H) = −gH · ∂B∂t

− (4.166)

= − 1

εvacµvacgc2E · ∂D

∂t+

4πk

µvacgc2E · J.

O primeiro membro da expressao acima e igual, gracas a uma identidade vetorial,a ∇ · (E × H). No segundo membro podemos usar as relacoes constitutivasD = εE e B = µH, validas para meios isotropicos e lineares, para mostrar asseguintes relacoes 3

E · ∂D∂t

=1

2ε∂

∂t(E ·E) =

∂

∂t

(1

2E ·D

),

H · ∂B∂t

=1

2µ∂

∂t(H ·H) =

∂

∂t

(1

2H ·B

).

Reunindo estas informacoes em (4.166), ela pode ser reescrita na forma doteorema de Poynting:

∂u

∂t+∇ · S = −J ·E, (4.167)

onde o vetor de Poynting (densidade de fluxo de energia) e definido como

S =µvacgc

2

4πkE×H, (4.168)

e a densidade de energia eletromagnetica e

u =1

8πk

(1

εvacE ·D+ µvacg

2c2H ·B). (4.169)

No vacuo (κ = 1, κm = 1) estas expressoes reduzem-se a (1.117) e (1.118), comodeduzido no Cap. 1.

O termo proporcional a J · E representa a dissipacao de energia eletro-magnetica em calor via efeito Joule. Se o meio for um condutor ohmico decondutividade eletrica σ, entao

J = σE, (4.170)

o termo relativo ao efeito Joule sera −σ∫VE2dV < 0.

4.6 Problemas

1. Considere uma esfera condutora de raio a num campo eletrico externouniforme E0 na direcao z.

3A rigor tais suposicoes, apesar de convenientes, nao sao realmente necessarias para estademonstracao. Como mostrado em [6], pg. ???, ela vale tambem para meios anisotropicos.

4.6. PROBLEMAS 181

(a) Resolva a equacao de Laplace (em coordenadas esfericas) para esteproblema e mostre que o potencial eletrico fora da esfera e dado por

ϕ(r, θ) = −E0 cos θ

(r − a3

r2

),

(b) Mostre que o campo induz um momento de dipolo eletrico na esferadado por

p =a3

kE0.

2. Um modelo dinamico para a polarizabilidade molecular consiste num os-cilador harmonico de massa m e constante de mola k (forca restauradorae Hookeana), tal que a frequencia natural e ω2

0 = k/m. A molecula temcarga e e sofre a acao de uma forca eletrica devido a um campo eletricoexterno dependente do tempo E0e

−iωt, onde ω e a frequencia da radiacaoincidente.

(a) Mostre que a polarizabilidade molecular e, neste caso, dada por

α =e2

mω2εvac

(b) Estime o valor de α considerando radiacao no espectro visıvel, e com-pare com o valor obtido pelo modelo estatico.

3. Considere uma cavidade esferica de raio a num meio dieletrico onde hauma densidade superficial de carga σP = P cos θ, onde P = P z. Mostre,por integracao direta, que o campo eletrico no centro da cavidade, e

EP =4πk

3P.

4. Para investigar de forma mais precisa o efeito da agitacao termica sobre apolarizacao devemos empregar tecnicas da Mecanica Estatıstica. A funcaode particao do problema e

Z =

∫ π

0

dθ sin θF

(a) Faca a integral acima e obtenha

Z =2

χsinhχ.

(b) Mostre que o valor medio do momento de dipolo na direcao paralelaao campo pode ser escrito como

p0∂ lnZ

∂χ,

onde χ = p0E/kBT .


(c) Usando os resultados anteriores mostre que o valor e igual a p0L(χ),onde

L(χ) = − 1

χ+ cothχ

e a funcao de Langevin. Mostre que, se a energia potencial e muito menorque a energia termica, esse resultado concorda com o obtido em sala deaula (4.61).

5. Considere a hamiltoniana classica de um eletron de massa Me e carga enum campo eletromagnetico constante caracterizado pelos potencial es-calar ϕ e vetor A (vista em Eletro I):

H =1

2Me(p− egA(r))

2+ eϕ(r),

Mostre que a funcao de particao (na estatıstica de Maxwell-Boltzmann)

Zcl =

∫d3p

∫d3re−H/kBT

nao depende do campo magnetico (teorema de Bohr-van Leeuwen).

6. Quantize a hamiltoniana do problema anterior (trocando p por −i~∇) emostre que o operador hamiltoniano, no gauge onde A = (1/2)B × r, edado por

H =1

2Mep2 + eϕ(r) + HDIA + HPARA,

onde os termos dia e paramagneticos sao dados, respectivamente, por

HDIA =e2g2B2

8Me(x2 + y2),

HPARA = − eg

2Me(B · r× p).

7. Mostre, usando o hamiltoniano diamagnetico do problema anterior, que omomento magnetico de um atomo com Z eletrons e identico ao resultadoclassico (4.120). Use simetria esferica e teoria de perturbacoes em primeiraordem para a correcao na energia.

8. A maneira mais precisa de se chegar a expressao (4.132) para o fator-gde Lande e a partir da adicao de momenta angulares no caso do chamado“acoplamento LS (ou Russell-Saunders)”. No entanto, ha um argumentomais simples, que utiliza apenas ideias geometricas, para chegar a esta ex-pressao. Podemos imaginar que os vetores L e S precessionam em relacaoa J, o qual, por sua vez, precessiona em relacao a B. Podemos usara direcao de J como um eixo coordenado em rotacao e substituir, em(4.127), os vetores L e S pelas respectivas projecoes em relacao a direcaode J:

LJ =L · JJ2

J, SJ =S · JJ2

J.

Mostre, usando as relacoes de quantizacao para os momenta angulares, aformula (4.132) para o fator-g de Lande.

4.6. PROBLEMAS 183

9. Mostre que, para o hidrogenio, a razao entre as susceptibilidades para ediamagnetica e da ordem de

13, 6eV

kBT≈ 500

a temperatura ambiente, de modo que a susceptibilidade diamagnetica edesprezıvel frente a paramagnetica.


Tabela 4.7: Equacoes de Maxwell em meios materiais:

Sistemade Generico SI (MKSA) Gaussiano (CGS)

unidades

Lei deGauss ∇ ·D = 4πkεvacρ ∇ ·D = ρ ∇ ·D = 4πρeletrica

Deslocamentoeletrico D = εvac(E+ 4πkP) D = ε0E+P D = E+ 4πP

Relacaoconstitutiva P = εvacχeE P = ε0χeE P = χeEmicroscopica

Relacaoconstitutiva D = εvacκE D = ε0κE D = κEmacroscopica

Lei deGauss ∇ ·B = 0 ∇ ·B = 0 ∇ ·B = 0

magnetica

Leide ∇×E = −g ∂B∂t ∇×E = −∂B

∂t ∇×E = − 1c∂B∂t

Faraday

Lei deAmpere- µvac∇×H = 4πk

gc2 J+ 1εvacgc2

∂D∂t ∇×H = J+ ∂D

∂t ∇×H = 4πc J+ 1

c∂D∂t

MaxwellIntensidademagnetica µvacH = B− 4πk

g2c2M H = 1µ0B−M H = B− 4πM

Relacaoconstitutiva M = χmH M = χmH M = χmHmicroscopica

Relacaoconstitutiva B = µvacκmH B = µ0κmH B = κmHmacroscopica

Capıtulo 5

Dinamica Relativıstica

5.1 Postulados da relatividade restrita

A nao-existencia do eter implica na ausencia de um referencial absoluto, tantopara a mecanica Newtoniana como para a eletrodinamica (Equacoes de Maxwell).A resolucao deste conflito implica necessariamente em alguma alteracao pro-funda nas bases conceituais da Fısica. Einstein, em 1905, teve a ousadia depropor que o princıpio da relatividade poderia ser aplicado a Mecanica e aEletrodinamica, mas as proprias leis da Mecanica deveriam sofrer modificacoes,especialmente quando as velocidades envolvidas estejam proximas a velocidadeda luz no vacuo.

Esta ideia levou Einstein a estender o princıpio da relatividade galileana, pos-tulando que as leis da Fısica (mecanica, eletrodinamica, otica, termodinamica,etc.) tem as mesmas formas em todos os referenciais inerciais. Considerandoas equacoes de Maxwell como essencialmente corretas, Einstein ousadamentepropos que as leis da Mecanica deveriam ser corrigidas, pela redefinicao dasmedidas de posicao, tempo, massa, etc. Essa ousadia distingue Einstein deoutros contemporaneos, como Lorentz e Poincare, que tinham tambem umacompreensao clara dos problemas conceituais ocasionados pela nao-existenciado eter, mas nao foram longe o suficiente para perceber que o problema estavana entao “intocavel” Mecanica Newtoniana.

Alem de estender o postulado da relatividade a todas as leis da Fısica, in-cluindo a eletrodinamica, Einstein postulou que as interacoes entre partıculaspropagam-se com uma velocidade maxima igual a c. Como resultado dos doispostulados, a velocidade da luz c deve ser a mesma em todos os referenciaisinerciais.

Vamos considerar dois referenciais inerciais K e K ′, movendo-se com veloci-dade relativa V ao longo da direcao x. No referencial K enviarmos um pulsoluminoso no instante t1 a partir do ponto (x1, y1, z1), que chega num ponto(x2, y2, z2) num instante t2. A distancia percorrida pelo pulso e dada por

c(t2 − t1) =

√(x2 − x1)

2+ (y2 − y1)

2+ (z2 − z1)

2

de modo que

(x2 − x1)2+ (y2 − y1)

2+ (z2 − z1)

2 − c2(t2 − t1)2= 0. (5.1)

185

186 CAPITULO 5. DINAMICA RELATIVISTICA

No referencial K ′, a velocidade da luz tambem deve ser igual a c. Logo,sendo os eventos neste referencial descritos por (x′1, y

′1, z

′1, t

′1) e (x′2, y

′2, z

′2, t

′2),

teremos

(x′2 − x′1)2+ (y′2 − y′1)

2+ (z′2 − z′1)

2 − c2(t′2 − t′1)2= 0. (5.2)

De modo geral, definimos o intervalo entre os eventos (x1, y1, z1, t1) e (x2, y2, z2, t2)como

s12 =

√c2(t2 − t1)

2 − (x2 − x1)2+ (y2 − y1)

2+ (z2 − z1)

2. (5.3)

Considerando que os dois eventos difiram, tanto no espaco como no tempo, dequantidades infinitesimais, temos o respectivo intervalo elementar

ds2 = c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2 = 0. (5.4)

De acordo com (5.2) se o intervalo entre dois eventos for zero num referencialinercial, ele tambem sera nulo em todos os outros referenciais inerciais, ou seja,se ds2 = 0 entao ds′2 = 0. Como os intervalos ds2 e ds′2 sao infinitesimais demesma ordem, eles devem ser proporcionais:

ds2 = ads′2, (5.5)

onde o coeficiente de proporcionalidade a depende somente do valor absolutoda velocidade relativa entre os referenciais inerciais. Devido a homogeneidadedo espaco e do tempo, a nao pode depender de x, y, z ou t. Alem disso, devidoa isotropia do espaco, a nao pode depender da direcao da velocidade relativaentre os referenciais.

Para determinar o valor de a, vamos considerar tres referenciais inerciais K,K1, e K2, sendo V1, V2 e V12 as velocidades relativas entre K e K1, K e K2, eK1 e K2, respectivamente. Teremos, portanto

ds2 = a(V1)ds21, ds2 = a(V2)ds

22, ds21 = a(V12)ds

22, (5.6)

que levam a relacao

a(V12) =a(V1)

a(V2). (5.7)

Como V12 depende, em geral, dos modulos de V1 e V2, bem como do anguloentre elas, concluimos que a so pode ser uma constante (independente das ve-locidades) que, sem perda de generalidade, e igual a 1. Resulta, pois, que ospostulados da relatividade de Einstein implicam em que o intervalo entre doiseventos e o mesmo em todos os referenciais inerciais; ou ainda a invariancia dointervalo ds2 = ds′2 sob uma transformacao das coordenadas e tempo:

c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2 = c2dt′2 − dx′2 − dy′2 − dz′2. (5.8)

5.2 Transformacoes de Lorentz

Introduzindo as coordenadas de Minkowski

x0 = ct, x1 = x, x2 = y, x3 = z, (5.9)

5.2. TRANSFORMACOES DE LORENTZ 187

podemos escrever o intervalo elementar (5.4) como

ds2 = dx0dx0 − dx1dx1 − dx2dx2 − dx3dx3. (5.10)

As coordenadas de Minkowski identificam um evento num espaco quadridi-mensional nao-Euclidiano chamado espaco-tempo ou espaco de Minkowski. Va-mos introduzir o tensor metrico deste espaco g, de componentes:

(gµν) =

+1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

(5.11)

de modo que (5.10) seja reescrita na forma

ds2 =3∑

ν=0

gµνdxµdxν → gµνdx

µdxν . (5.12)

onde introduzimos a convencao de soma de Einstein: dois ındices repetidos (umsuperior e outro inferior) somam de 0 a 3.

E facil constatar que as transformacoes de Galileo (??)-(??) nao satisfazem(??), ou seja, nao mantem invariante o intervalo ds2. E necessario adaptar astransformacoes entre posicoes e tempo para dois referenciais inerciais de modoque (??) seja verificada. Vamos, agora, determinar a transformacao entre ascoordenadas de Minkowski de um mesmo evento descrito em dois referenciaisinerciais xα e x′β tal que o intervalo elementar seja invariante: ds2 = ds′2.

Vamos denotar por Λαβ os elementos da matriz de transformacao Λ entre ascoordenadas de um evento em dois referenciais (ja empregando a convencao desoma no ındice β):

x′µ = Λµνxν . (5.13)

Substituindo (5.13) em (5.12) temos

ds′2 = gµνdx′µdx′ν = gµνΛ

µαΛ

νβdx

αdxβ = ds2 = gαβdxαdxβ , (5.14)

ou sejagαβ = gµνΛ

µαΛ

νβ . (5.15)

que pode ser escrita, numa forma simbolica, como

g = ΛTgΛ, (5.16)

onde T significa o transposto da respectiva matriz.Tomando o determinante desta expressao temos

detg = −1 = detΛT detg detΛ == −(detΛ)2, (5.17)

donde detΛ = ±1. As transformacoes Λ para as quais detΛ = +1 sao di-tas proprias, e sera nelas que estaremos particularmente interessados nestemomento. No entanto, ha transformacoes, ditas improprias, para as quaisdetΛ = −1, e que tambem sao importantes. Um exemplo e a reflexao espacial

x′0 = x0, x′1 = −x1, x′2 = x2, x′3 = x3, (5.18)


que pode ser expressa na forma geral (5.13), com a matriz correspondente

(Λνµ) =

+1 0 0 00 −1 0 00 0 +1 00 0 0 +1

(5.19)

cujo determinante e, de fato, −1.Vamos considerar, agora, as transformacoes de Lorentz proprias. Con-

siderando dois referenciais K e K ′ que se movem ao longo da direcao comumx, nao havera alteracao nos valores das coordenadas y e z, perpendiculares adirecao do movimento. Logo x2 = x′2 e x3 = x′3. Isto reduz a matriz detransformacao Λ a

(Λνµ) =

Λ00 Λ0

1 0 0Λ10 Λ1

1 0 00 0 1 00 0 0 1

. (5.20)

Aplicando a condicao (5.15) a esta matriz temos algumas relacoes entre osseus elementos, a saber

(Λ00)

2 − (Λ10)

2= 1, (5.21)

(Λ01)

2 − (Λ11)

2= −1, (5.22)

Λ00Λ

01 − Λ1

0Λ11 = 0 (5.23)

Definimos duas grandezas φ e ψ atraves de

λ01 = − sinhφ, Λ10 = − sinhψ. (5.24)

que, substituindas em (5.21) e (5.22), resultam em

(Λ00)

2= 1 + sinh2 ψ, (5.25)

(Λ11)

2= 1 + sinh2 φ, (5.26)

as quais, usadas em (5.23), levam a identidade tanhψ = tanhφ, ou ainda queφ = ψ. Logo, a matriz da transformacao (5.20) fica

(Λνµ) =

coshψ − sinhψ 0 0− sinhψ coshψ 0 0

0 0 1 00 0 0 1

. (5.27)

Para determinar a quantidade ψ nos analisamos o movimento da origem doreferencial K ′, que e dado por

x′1 = 0 = Λ10x

0 + Λ11x

1 = −ct sinhψ + V t coshψ, (5.28)

de onde tiramos que

tanhψ =V

c= β, (5.29)

ou seja,

coshψ =1√

1− V 2

c2

, sinhψ = − V/c√1− V 2

c2

. (5.30)

5.3. CONSEQUENCIAS DAS TRANSFORMACOES DE LORENTZ 189

Introduzindo o fator de Lorentz

γ =1√

1− V 2

c2

. (5.31)

a matriz (5.27) e escrita como

(Λνµ) =

γ −βγ 0 0

−βγ γ 0 00 0 1 00 0 0 1

. (5.32)

As transformacoes (de Lorentz) entre as coordenadas do espaco de Minkowskique torna invariante o intervalo sao, portanto

x′1 = γ(x1 − V t), (5.33)

x′2 = x2, (5.34)

x′3 = x3, (5.35)

t′ = γ(t− x1V/c2). (5.36)

Para obter as transformacoes inversas basta trocar V por −V (o que deixa ofator de Lorentz γ inalterado) e as coordenadas com linha por coordenadas semlinha e vice-versa:

x1 = γ(x′1 + V t′), (5.37)

x2 = x′2, (5.38)

x3 = x′3, (5.39)

t = γ(t′ + x′1V/c2). (5.40)

que, simbolicamente, implica em Λ−1(V) = Λ(−V).No caso de velocidades pequenas em relacao a velocidade da luz (V c)

o fator de Lorentz e praticamente igual a um, e as transformacoes de Lorentz(5.33)-(5.36) reduzem-se as transformacoes de Galileo (??)-(??):

x′1 = x1 − V t, (5.41)

x′2 = x2, (5.42)

x′3 = x3, (5.43)

t′ = t. (5.44)

5.3 Consequencias das transformacoes de Lorentz

5.3.1 Dilatacao do tempo

Um referencial proprio (ou referencial co-movel, ou ainda referencial de Lorentz)e um referencial que se move com um objeto de velocidade V . Considerando o“boost” de Lorentz descrito pelas transformacoes (5.33)-(5.36), um relogio emrepouso no referencial K ′ mede um tempo τ = t′ denominado tempo proprio,tal que

dx′1 = 0 = γ(dx1 − V dt), (5.45)

dt′ = γ(dt− dx1V/c2), (5.46)


donde

dτ = dt′ =dt

γ=ds

c, (5.47)

onde usamos (5.4).Integrando (5.47), o tempo proprio e

τ =

∫ t2

t1

dt

γ=

∫ t2

t1

dt

√1− V 2

c2. (5.48)

Como γ > 1, em geral, dτ < dt, ou seja, os intervalos de tempo proprio(medidos por um relogio em repouso em relacao ao objeto) sao sempre menoresque os intervalos medidos por um relogio em movimento em relacao ao objeto.Em outras palavras, o relogio no referencial proprio “anda mais devagar” que orelogio no referencial do laboratorio (dilatacao do tempo).

5.3.2 Contracao dos comprimentos

Considere um bastao em repouso no referencial K, paralelamente ao eixo x.Neste sistema o seu comprimento sera ò = ∆x = x1A − x1B (chamado com-primento proprio, pois e medido num referencial onde o objeto esta em re-pouso). Com relacao ao referencial K ′, o comprimento do bastao no tempo t′

sera ` = ∆x′ = x′1A − x′1B .Usando (5.37) temos, para cada extremidade do bastao, que

x1A = γ(x′1A + V t′), x1B = γ(x′1B + V t′), (5.49)

de modo que

` =`0γ. (5.50)

Como γ > 1 para V > c, entao ` < `0: o comprimento medido por um obser-vador em movimento sera sempre menor do que o comprimento proprio. Esta ejustamente a contracao de Lorentz-Fitzgerald, proposta inicialmente como umahipotese ad hoc, e que na relatividade especial e uma mera consequencia dastransformacoes de Lorentz.

Considerando um paralelepıpedo cujas arestas sejam paralelas aos eixos dosreferenciais, de (5.38) e (5.39) apenas a aresta paralela ao movimento sofrecontracao, de modo que o volume contrai-se de acordo com uma equacao semel-hante:

V =V0γ, (5.51)

onde V0 e V sao os volumes medidos nos referenciais K e K ′, respectivamente.

5.4 Transformacao das velocidades

Diferenciando as transformacoes de Lorentz inversas

dx1 = γ(dx′1 + V dt′), (5.52)

dx2 = dx′2, (5.53)

dx3 = dx′3, (5.54)

dt = γ(dt′ + dx′1V/c2). (5.55)

5.4. TRANSFORMACAO DAS VELOCIDADES 191

podemos relacionar a velocidade de uma partıcula no referencial K

v =dr

dt, (5.56)

com a velocidade medida no referencial K ′, movendo-se com velocidade V con-stante em relacao a K:

v′ =dr′

dt′. (5.57)

Uma algebra simples conduz as expressoes para a transformacao relativısticadas velocidades

v1 =v′1 + V

1 + v′1V/c2, (5.58)

v2 =v′2√1− V 2/c2

1 + v′1V/c2, (5.59)

v3 =v′3√1− V 2/c2

1 + v′1V/c2. (5.60)

No limite V c, estas expressoes reduzem-se as transformacoes Galileanasclassicas (??)-(??).

v1 = v′1 + V, (5.61)

v2 = v′2, (5.62)

v3 = v′3. (5.63)

Que estas ultimas violam o princıpio da Relatividade de Einstein pode ser ver-ificado imaginando um foton com velocidade v′1 = c no referencial K ′. No ref-erencial K ′, pela expressao Galileana (5.61) a velocidade seria v1 = c+ V > c.Ja, usando a expressao relativıstica (5.58), a velocidade em K sera

v1 =c+ V

1 + cV/c2= c,

em conformidade com a constancia da velocidade da luz em ambos os referen-ciais.

E possıvel, ainda, deduzir a formula de Fresnel sem recorrer a hipotese doarrasto do eter. Seja x′1 = c/n a velocidade da luz em relacao a um referencialK ′ em relacao ao qual o meio (de ındice de refracao n) esta em repouso. Estemeio pode ser um fluido com velocidade constante u, donde V = u e a velocidadede K ′ em relacao a K. Usando (5.61), a velocidade da luz no referencial dolaboratorio K e

v =cn + u

1 + cu/nc2.

Supondo u c, o teorema binomial fornece diretamente a formula de Fresnel(??):

v =c

n+ u

(1− 1

n2

).


5.5 Vetores e tensores no espaco de Minkowski

5.5.1 Quadrivetores

Um quadrivetor e um conjunto de quatro quantidades (A0, A1, A2, A3) que setransforma como as coordenadas de Minkowski (x0, x1, x2, x3) sob um “boost”:

A′µ = ΛµνAν . (5.64)

onde Λ e a matriz de uma transformacao de Lorentz propria. Para uma matrizde transformacao do tipo (6.13), as equacoes de transformacao para o quadriv-etor sao as seguintes:

A′1 = γ(A1 −A0V/c), (5.65)

A′2 = A2, (5.66)

A′3 = A3, (5.67)

A′0 = γ(A0 −A1V/c). (5.68)

No espaco de Minkowski trabalhamos com dois tipos de componentes dequadrivetores: as componentes contravariantes Aµ (ındice em cima) e covari-antes Aµ (ındice em baixo). Nos rebaixamos ındices usando o tensor metricocovariante g = (gµν) dado por (5.11):

Aµ = gµνAν , (5.69)

de modo que

A0 = A0, A1 = −A1, A2 = −A2, A3 = −A3. (5.70)

Usualmente representamos como Aµ = (A0,A), e Aµ = (A0,−A). Em particu-lar, temos xµ = (ct, r), e xµ = (ct,−r), para o quadrivetor posicao.

Empregaremos tambem o tensor metrico contravariante, definido como amatriz inversa g−1 = (gµν), tal que

gµνgνα = δαµ =

1, se µ = α

0, se µ 6= α(5.71)

chamado delta de Kronecker, de forma que δµµ = 4. Uma propriedade importantee

δνµAµ = Aν . (5.72)

Podemos verificar que

(gµν) =

+1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

(5.73)

e tambem que ele pode ser usado para levantar ındices, via

Aµ = gµνAν . (5.74)

5.5. VETORES E TENSORES NO ESPACO DE MINKOWSKI 193

Ja vimos como se transforma um quadrivetor contravariante. E um quadriv-etor covariante? Usando (5.74) e (5.95) temos

A′µ = gµνA

′ν = gµνΛναA

α = gµνΛναg

αβAβ = ΛβµAβ (5.75)

onde definimos a matrizΛβµ = gµνΛ

ναg

αβ . (5.76)

A matriz Λ e inversa de Λ pois

ΛβµΛνβ = gµγΛ

γαg

αβΛνβ = gµγgγν = δνµ (5.77)

onde usamos (5.15). Como as matrizes Λ e Λ sao simetricas, podemos reescreveressa expressao como

ΛαµΛνα = δνµ, (5.78)

de tal forma que Λ(V) = Λ−1(V) = Λ(−V).O modulo quadrado de um quadrivetor, definido como

AµAµ = AµAµ = (A0)

2 − (A1)2 − (A2)

2 − (A3)2

(5.79)

e um invariante de Lorentz, pois, de (5.75),

A′µA′µ = ΛµαA

αΛβµAβ = δβαAαAβ = AβAβ . (5.80)

O intervalo ds2 = xµxµ e o modulo quadrado da 4-posicao e, portanto, e uminvariante de Lorentz. De modo geral, o produto escalar de dois quadrivetores,AµBµ = AµB

µ, e um invariante de Lorentz.

5.5.2 Analise vetorial no espaco de Minkowski

A derivada de uma funcao escalar das coordenadas de Minkowski, ϕ(xµ) emrelacao as coordenadas contravariantes

∂ϕ

∂xµ=

(1

c

∂ϕ

∂t,∇ϕ

)≡ ∂µϕ (5.81)

transforma-se como um quadrivetor covariante pois, da definicao de diferencialtotal

dϕ =∂ϕ

∂xµdxµ = ∂µdx

µ. (5.82)

De modo analogo, a derivada em relacao as coordenadas covariantes

∂ϕ

∂xµ=

(1

c

∂ϕ

∂t,−∇ϕ

)≡ ∂µϕ (5.83)

transforma-se como um quadrivetor contravariante, ja que dϕ e um quadriescalar(invariante de Lorentz):

dϕ =∂ϕ

∂xµdxµ = ∂µdxµ = ∂µdx

µ. (5.84)

O quadridivergente de um quadrivetor Aµ = Aµ(xµ) e, pois, definido comoo seguinte quadriescalar

∂Aµ

∂xµ= ∂µAµ = ∂µA

µ =1

c

∂A0

∂t+∇ ·A. (5.85)


que e invariante de Lorentz

∂µAµ = ∂′µA′µ, (5.86)

onde ∂′µrepresenta o quadrigradiente em relacao as coordenadas transformadas

pela matriz Λ.Finalmente, o d’Alembertiano e definido como

= ∂2ϕ = ∂µ∂µϕ = ∂µ∂µϕ =

1

c2∂2ϕ

∂t2−∇2ϕ. (5.87)

Como o d’Alembertiano e um quadriescalar, concluimos imediatamente que aequacao das ondas eletromagneticas

1

c2∂2ϕ

∂t2−∇2ϕ = 0 (5.88)

e invariante sob uma transformacao de Lorentz:

1

c2∂2ϕ

∂t2−∇2ϕ =

1

c2∂′2ϕ

∂t′2−∇′2ϕ, (5.89)

em conformidade com o Princıpio da Relatividade de Einstein.

5.5.3 Quadritensores

Um quadritensor de segunda ordem, no espaco de Minkowski, e um conjuntode 16 quantidades T = (Tµν), com µ e ν variando de 0 ate 3, que, sob umatransformacao de Lorentz, transforma-se como o produto de dois quadrivetores.

T ′µν = ΛµαΛνβT

αβ , (5.90)

tendo como transformada inversa

Tµν = ΛµαΛνβT

′αβ . (5.91)

Por exemplo,

T ′00 = Λ00Λ

00T

00 + Λ01Λ

00T

10 + Λ00Λ

01T

01 + Λ01Λ

01T

11 =

= γ2(T 00 + T 11)− γ2β(T 01 + T 10),

e assim por diante. As 16 componentes contravariantes de um tensor podem serarranjadas na forma de uma matriz 4× 4:

(Tµν) =

T 00 T 01 T 02 T 03

T 10 T 11 T 12 T 13

T 20 T 21 T 22 T 23

T 30 T 31 T 32 T 33

, (5.92)

onde T 00 e um 3-escalar, T 0i e T0i sao componentes de 3-vetores, e T ij formamum 3-tensor Cartesiano.

Os componentes covariantes podem ser obtidos a partir da aplicacao dotensor metrico, como

Tµν = gµαgνβTαβ . (5.93)

5.5. VETORES E TENSORES NO ESPACO DE MINKOWSKI 195

Nesse caso T00 = T 00, T01 = −T 01, etc. Vimos que os quadrivetores contravari-antes se transformam segundo a matrizΛ e os quadrivetores covariantes segundoΛ. Dessa forma, temos para as componentes covariantes

T ′µν = ΛαµΛ

βνTαβ , Tµν = ΛαµΛ

βνTαβ . (5.94)

Um tensor T e simetrico se Tµν = T νµ, e anti-simetrico se Tµν = −T νµ.Qualquer tensor T pode ser decomposto numa parte simetrica S = (T+TT )/2e numa parte anti-simetrica A = (T−TT )/2, tal que T = S+A.

5.5.4 Pseudo-vetores e pseudo-tensores no espaco de Minkowski

No espaco de Minkowski, vimos que um quadrivetor e um conjunto de 4 quanti-dades Aµ, µ = 0, 1, 2, 3, que transformam-se de acordo com a seguinte prescricao

A′µ = ΛµνAν , (5.95)

onde Λ e uma transformacao de Lorentz. Do ponto de vista geometrico, umatransformacao de Lorentz representa uma rotacao no espaco de Minkowski.Nao e, porem, uma rotacao Euclidiana, visto que o angulo de rotacao e ima-ginario. Podemos realizar tambem reflexoes no espaco de Minkowski, combi-nando uma transformacao de Lorentz com uma inversao de paridade. Se asquantidades Aµ trocarem de sinal mediante esta reflexao, elas configuram umpseudo-quadrivetor.

Uma inversao de paridade no espaco de Minkowski poderia ser, por exemplo,

(x0, x1, x2, x3) → (x′0, x′1, x′2, x′3) = (x0,−x1,−x2,−x3)

ou ainda xµ → x′µ = Λµνxν , onde

(Λµν ) =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

. (5.96)

e uma rotacao impropria no espaco de Minkowski, pois detΛ = −1.De forma analoga, um quadritensor de segunda ordem consiste em 16 quan-

tidades Tµν , µ, ν = 0, 1, 2, 3, que transformam-se segundo

T ′µν = ΛµαΛνβT

αβ . (5.97)

Se as quantidades ganharem um sinal negativo na transformacao, entao trata-sede um pseudo-tensor. Um importante pseudo-tensor totalmente anti-simetricode quarta ordem e definido por

εµναβ =

+1, se(µ, ν, α, β)estao em permutacao par dos ındices(0, 1, 2, 3),−1, se(µ, ν, α, β)estao em permutacao ımpar dos ındices(0, 1, 2, 3),0, se ha dois ou mais ındices repetidos.

(5.98)Eis algumas das suas aplicacoes mais importantes: (i) SeAµν e um quadriten-

sor anti-simetrico podemos formar, a partir de εµναβ , um pseudo-tensor chamadotensor dual:

A∗µν =1

2εµναβAαβ , (5.99)


(ii) Podemos construir um pseudo-tensor anti-simetrico de ordem 3 associado aum quadrivetor

A∗µνα = εµναβAβ . (5.100)

(iii) O determinante de um tensor de segunda ordem e dado por

detA =1

24εµνσλεαβγκAµαAνβAσγAλκ. (5.101)

Outras identidades envolvendo o tensor completamente anti-simetrico dequarta ordem εµνσλ sao

εµνσλεαβγκ =

∣∣∣∣∣∣∣∣δµα δµβ δµγ δµκδνα δνβ δνγ δνκδσα δσβ δσγ δσκδλα δλβ δλγ δλκ

∣∣∣∣∣∣∣∣ (5.102)

εµνσλεαβγλ = −

∣∣∣∣∣∣δµα δµβ δµγδνα δνβ δνγδσα δσβ δσγ

∣∣∣∣∣∣ (5.103)

εµνσλεαβσλ = −2(δµαδνβ − δµβδ

να) (5.104)

εµνσλεανσλ = −6δµα (5.105)

εµνσλεµνσλ = −24. (5.106)

5.6 Mecanica relativıstica

5.6.1 Quadrivelocidade

Inspirados na definicao nao-relativıstica da velocidade

v =dr

dt, vi =

dxi

dt, (i = 1, 2, 3), (5.107)

definimos, na Relatividade Especial, a quadrivelocidade de uma partıcula como

uµ =dxµ

dτ, (5.108)

onde, segundo (5.47), o tempo proprio e tal que

dτ =ds

c=dt

γ= dt

√1− v2

c2. (5.109)

Como ds e um quadriescalar e a velocidade da luz c e a mesma para todos osreferenciais inerciais, o intervalo de tempo proprio dτ e tambem um invariante deLorentz. Logo, como xµ e um quadrivetor, assim tambem o e a quadrivelocidade.

Um evento e caracterizado por um ponto no espaco de Minkowski, de coorde-nadas (x0, x1, x2, x3) = (ct, x, y, z). A evolucao temporal do sistema correspondea uma curva no espaco-tempo denominada linha de universo. O intervalo ds eum elemento de comprimento desta linha. Como uµ = c(dxµ/ds), a quadrive-locidade e tangente a linha de universo em cada ponto.

5.6. MECANICA RELATIVISTICA 197

As componentes contravariantes da quadrivelocidade sao

u0 =dx0

dτ= c

dt

dτ= cγ, (5.110)

ui =dxi

dτ=dxi

dt

dt

dτ= γvi, (i = 1, 2, 3), (5.111)

que escrevemos, simbolicamente, como

uµ = γ(c,v), (5.112)

tal que as componentes covariantes correspondentes sao

uµ = γ(c,−v). (5.113)

O produto interno da quadrivelocidade e dado por

uµuµ = u0u

0 + uiui = (γc)

2 − γ2v · v = γ2c2(1− v2

c2

)= c2 (5.114)

5.6.2 Quadriaceleracao

Sendo a aceleracao, na cinematica nao-relativıstica, definida como

a =dv

dt, ai =

dvi

dt=d2xi

dt2, (i = 1, 2, 3), (5.115)

podemos definir a quadriaceleracao como

wµ =duµ

dτ=d2xµ

dτ2. (5.116)

Uma formula util e a derivada temporal do fator de Lorentz

dγ

dt=

d

dt

(1− v · v

c2

)−1/2

=1

2

(1− v · v

c2

)−3/2 2

c2v · dv

dt

=γ3

c2v · a, (5.117)

com a qual obtemos as componentes contravariantes da quadriaceleracao como

w0 =du0

dτ= c

dγ

dt

dt

dτ=γ4

cv · a, (5.118)

wi =dui

dτ=d(γvi)

dt

dt

dτ= γ

(dγ

dtvi + γ

dvi

dt

)= γ2

(ai +

γ2

c2(v · a)vi

), (5.119)

ou, de forma compacta

wµ = γ2(γ2

cv · a,a+

γ2

c2(v · a)v

). (5.120)

Por outro lado, uma identidade do calculo vetorial nos fornece que

(v · a)v = v × (v × a) + (v · v)a, (5.121)


que, ao ser substituida em (5.120), apos alguns calculos simples leva-nos a umaexpressao alternativa para a quadriaceleracao:

wµ = γ4(1

cv · a,a+

1

c2v × (v × a)

). (5.122)

Derivando (5.125) em relacao ao tempo proprio temos que

d

dτ(uµu

µ) = wµuµ + wµuµ = 2wµuµ = 0 (5.123)

donde

uµwµ = 0, (5.124)

que interpretamos como o fato da quadriaceleracao ser sempre perpendicular aquadrivelocidade em cada ponto da linha de universo.

O produto interno da quadrivelocidade e dado por

uµuµ = u0u

0 + uiui = (γc)

2 − γ2v · v = γ2c2(1− v2

c2

)= c2 (5.125)

5.6.3 Quadrimomentum

A massa de repouso m de uma partıcula e um invariante de Lorentz, de formaque podemos definir um quadrivetor momentum (ou quadrimomentum) como

pµ = muµ. (5.126)

As componentes contravariantes do quadrimomentum sao

p0 = mu0 = mcγ, (5.127)

pi = mui = γmvi, (i = 1, 2, 3). (5.128)

A energia de uma partıcula (livre) e

E = γmc2. (5.129)

Se v = 0 entao γ = 1 e E = mc2 e a chamada energia de repouso da partıcula.Para velocidades muito menores que a velocidade da luz (v c), podemos usaro teorema binomial no fator de Lorentz e obter

E = mc2(1− v2

c2

)−1/2

≈ mc2(1 +

v2

2c2

), (5.130)

de modo que

E −mc2 ≈ 1

2mv2, (5.131)

e a energia cinetica da partıcula na mecanica nao-relativıstica.Comparando (5.126) e (5.129) temos a relacao entre o quadrimomentum e a

energia

pµ =Eγc2

uµ (5.132)


de tal forma que

p0 =Ec, pi =

Ec2vi (5.133)

O momentum relativıstico de uma partıcula e dado, portanto, pela relacao

p = γmv =v

c2E , (5.134)

tal que

pµ =

(Ec,p

), (5.135)

e as componentes covariantes correspondentes sao

pµ =

(Ec,−p

), (5.136)

Multiplicando (5.125) por m2 obtemos a importante relacao

pµpµ = m2c2, (5.137)

que, desenvolvida, leva a uma celebre relacao momentum-energia

p0p0 + pip

i =E2

c2− p2 = m2c2,

E2 = p2c2 +m2c4. (5.138)

5.6.4 Transformacoes de Lorentz para o quadrimomentum

Se pµ e um quadrivetor no referencial K entao, no referencial K ′ o quadrivetorcorrespondente e dado por uma transformacao de Lorentz (5.95)

p′µ = Λµνpν . (5.139)

Usando a matriz da transformacao (6.13) obtemos as seguintes relacoes entre ascomponentes contravariantes em ambos os referenciais

p′0

= Λ00p

0 + Λ01p

1 (5.140)

p′1

= Λ10p

0 + Λ11p

1 (5.141)

p′2

= Λ22p

2 (5.142)

p′3

= Λ33p

3 (5.143)

ou, em vista de (5.135), as transformacoes de Lorentz para energia e momentumsao:

E ′ = γ(E − vp′x) (5.144)

p′x = γ(p′x +

v

c2E ′)

(5.145)

p′y = py (5.146)

p′z = pz. (5.147)

Logo, na Relatividade, nao tem sentido falarmos separadamente da con-servacao de momentum e energia, ja que os valores destas grandezas dependem


do referencial adotado. No entanto, como m2c4 e um invariante de Lorentz,a relacao (5.138), quando aplicada a dois referenciais inerciais, conduz a umaquantidade invariante envolvendo energia e momentum, a saber:

E2 − p2c2 = E ′2 − p′2c2. (5.148)

Em problemas de colisao de partıculas K e o referencial do laboratorio, eK ′ e o referencial do centro de massa, no qual o momentum total do sistema enulo. Fazendo p′ = pCM = 0 o invariante (5.148) se escreve como

E ′ = ECM = E2 − p2c2. (5.149)

Por exemplo, no espalhamento proton-proton pode haver producao de antiprotons,no processo

p+ p→ p+ p+ p+ p,

onde o antiproton tem a mesma massa de repouso e a carga oposta a do proton.Observe que, devido a conservacao de carga, num processo deste tipo neces-sariamente e formado um par proton-antiproton. Logo, para haver producaode antiprotons, a energia mınima necessaria no referencial do centro de massae ECM = 4mc2, onde m = 938MeV/c2 e a massa de repouso do proton. De(5.149) isso implica em que, no referencial do laboratorio, tenhamos

E2 − p2c2 = 16m2c4.

Como, no referencial do laboratorio, um dos protons e o alvo em repouso(p = 0 e E = mc2) e outro e um proton de um feixe incidente (pinc e Einc),temos que

(E2inc +mc2)

2 − p2incc2 = 16m2c4.

Usando novamente (5.138) temos

p2incc2 = E2

inc −m2c4,

de modo que, eliminando pinc das duas igualdades anteriores obtemos Einc =7mc2 = 6, 566GeV para a energia mınima dos protons incidentes tal que possahaver producao de antiprotons em aceleradores de altas energia, como sıncrotrons.

5.6.5 Forca de Minkowski

A segunda lei de Newton nos diz que a forca sobre uma partıcula e

f =dp

dt, f i =

dpi

dt, (i = 1, 2, 3). (5.150)

onde p = γmv e o momentum relativıstico da partıcula. Por analogia, definimoso quadrivetor forca de Minkowski como

Kµ =dpµ

dτ= m

duµ

dτ= mwµ. (5.151)

tal que, de (5.124), concluimos que uµKµ = 0.


As componentes contravariantes da forca de Minkowski sao, de (5.120),dadas por

K0 = mw0 =mγ4

cv · a, (5.152)

Ki = mwi = mγ4ai +

1

c2[v × (v × a)]

i

, (5.153)

ou, ainda,

Kµ = mγ4(1

cv · a,a+

1

c2v × (v × a)

). (5.154)

De (5.150) e (5.117) obtemos

f = = md

dt(γv) = m

(dγ

dtv + γ

dv

dt

)= γm

(a+

γ2

c2(v · a)v

). (5.155)

Por outro lado, em vista de (5.121), podemos escrever o vetor forca como

f = mγ3[a+

1

c2v × (v × a)

], (5.156)

de modo que as componentes espaciais da forca de Minkowski sejam Ki = γf i.Alem disso, como v × (v × a) · v = (v × a) · (v × v) = 0, decorre que

f · v = mγ3a · v.

Logo, a componente temporal da forca de Minkowski e proporcional a potenciaK0 = (γ/c)f · v. Resumindo, ao inves de (5.154), pode ser mais vantajosotrabalhar com

Kµ = γ

(1

cf · v, f

). (5.157)

5.6.6 Momentum angular

Recordamos que, na mecanica Newtoniana o momentum angular de uma partıculae

L = r× p (5.158)

ou, em componentes cartesianas,

Li = εijkxjpk, (5.159)

onde εijk e o sımbolo de Levi-Civita (vide Apendice).Na relatividade e conveniente definir um quadritensor momentum angular

que, para uma partıcula, e

Mµν = xµpν − xνpµ, (5.160)

onde pµ e o quadrimomentum. Por definicao, este tensor e anti-simetrico, ouseja, Mνµ = −Mµν , de modo que seus elementos diagonais sao nulos. Paraencontrar os componentes espaciais, vamos tomar µ = 2 e ν = 3, por exemplo:

M23 = x2p3 − x3p2 = ypz − zpy = Lx. (5.161)


Analogamente M13 = −Ly e M12 = −Lz. Para as componentes espaco-temporais tomamos µ = 0 e ν = 1:

M01 = x0p1 − x1p0 = ctpx − xEc= cRx, (5.162)

onde definimos, como Landau e Lifshitz, o vetor

R = tp− Ec2

r, (5.163)

e, de forma similar, M02 = cRy e M03 = cRz.O tensor momentum angular tera, pois, as seguintes componentes contravari-

antes:

(Mµν) =

0 cRx cRy cRz

−cRx 0 Lz −Ly−cRy −Lz 0 Lx−cRz Ly −Lx 0

. (5.164)

Para obter as transformacoes de Lorentz do momentum angular usamoso fato de que Mµν e um quadritensor para escrever suas componentes numreferencial K ′ em termos das componentes num referencial K, como

M ′µν = ΛµαΛνβM

αβ , (5.165)

de modo que, por exemplo

M ′12 = Λ1αΛ

2βM

αβ

= Λ10Λ

22M

02 + Λ11Λ

22M

12

L′z = −γβcRy + γLz = γ(Lz − vRy),

e, analogamente,

L′x = −γβcRy + γLz = γ(Lz − vRy), (5.166)

L′y = −γβcRy + γLz = γ(Lz − vRy), (5.167)

5.6.7 Formalismos Lagrangeano e Hamiltoniano

A dinamica de uma partıcula relativıstica pode ser descrita a partir dos formal-ismos Lagrangeano e Hamiltoniano, que permitem-nos evitar o conceito de forcae trabalhar diretamente com a energia potencial, o que e vantajoso em teoriasclassicas de campo, especialmente a Eletrodinamica Classica. No formalismoLagrangeano trabalhamos com as coordenadas generalizadas q = (q1, q2, q3) eas velocidades generalizadas q = (q1, q2, q3) como variaveis independentes. Osistema e descrito por meio de uma Lagrangeana L(q, q.

A partir da Lagrangeana, podemos escrever a chamada integral de acao dosistema mecanico na forma

S =

∫ tb

ta

L(q, q)dt, (5.168)

onde ta e tb sao dois instantes de tempo fixos, e a integral e feita ao longo deuma trajetoria qualquer entre estes instantes de tempo.


Pelo princıpio de Hamilton, de todas as infinitas trajetorias que pode ter osistema entre os instantes fixos ta e tb, a unica que o sistema realmente executae aquela que torna a acao S um extremo. Como a acao e um funcional nasvariaveis q e q, o calculo variacional nos diz que a trajetoria do sistema e umasolucao da respectiva equacao de Euler-Lagrange

d

dt

∂L

∂qi− ∂L

∂qi= 0, (i = 1, 2, 3). (5.169)

O momentum canonicamente conjugado a coordenada generalizada qi e definidocomo

pi =∂L

∂qi, (i = 1, 2, 3). (5.170)

No formalismo Hamiltoniano nos trabalhamos com as coordenadas gener-alizadas q e os respectivos momenta conjugados p = (p1, p2.p3). O sistema edescrito por uma Hamiltoniana, que e obtida a partir da Lagrangeana por meiode uma transformacao de Legendre

H =3∑i=1

∂L

∂qiqi − L, (5.171)

sendo que escrevemos H em termos das coordenadas e respectivos momentaconjugados.

As equacoes de movimento no formalismo Hamiltoniano sao as equacoescanonicas de Hamilton:

dpidt

= −∂H∂qi

, (5.172)

dqidt

=∂H

∂pi, (5.173)

Partıculas Livres

Partıculas livres nao estao sujeitas a forcas, de modo que f = dp/dt = 0, ouseja, o momentum p e uma constante do movimento. De (5.172), para umapartıcula livre

dpidt

= 0 = −∂H∂qi

, (5.174)

ou seja, a Lagrangeana nao depende das coordenadas q da partıcula, logo sopodera depender dos seus momenta. Vamos usar daqui para a frente as coor-denadas cartesianas q = r = (x1, x2, x3) e as respectivas velocidades q = v =(v1, v2, v3).

Para partıculas relativısticas sabemos que p = γmv logo, usando (5.170)temos que

∂L

∂vi= γmvi =

mvi√1− v2

c2

, (5.175)

cuja solucao e

L = −mc2

γ= −mc2

√1− v2

c2, (5.176)


como pode ser verificado diretamente para cada componente da velocidade.A Hamiltoniana da partıcula livre e dada pela transformacao de Legendre

(5.171) como

H = p · v − L = γmv · v +mc2

γ, (5.177)

ou seja, ela e igual a propria energia relativıstica

H = γmc2 = E . (5.178)

Escrevendo a hamiltoniana em termos do momentum, temos

H =√m2c4 + p2c2. (5.179)

5.7 Partıculas carregadas num campo eletromagnetico

5.7.1 Momentum generalizado

Como vimos no Capıtulo I, podemos escrever os campos eletromagneticos emtermos dos potenciais escalar ϕ(r, t) e vetor A(r, t) como

E = −∇ϕ− g∂A

∂t, (5.180)

B = ∇×A, (5.181)

tal que a forca de Lorentz sobre uma partıcula de carga q seja

f = q(E+ gv ×B). (5.182)

Substituindo (5.180) e (5.181) em (5.182) e

f = q

[−∇ϕ− g

∂A

∂t+ gv × (∇×A)

]. (5.183)

A derivada total do potencial vetor em relacao ao tempo e

dA

dt=

∂A

∂x

dx

dt+∂A

∂y

dy

dt+∂A

∂z

dz

dt+∂A

∂t

=∂A

∂xvx +

∂A

∂yvy +

∂A

∂zvz +

∂A

∂t

= (v · ∇)A+∂A

∂t, (5.184)

de forma que (5.183) e reescrita como

f = q

[−∇ϕ− g

dA

dt+ g(v · ∇)A+ gv × (∇×A)

]. (5.185)

Por outro lado, como v nao depende de r, uma identidade vetorial conhecidanos diz que

∇(A · v) = (A · ∇)v︸︷︷︸=0

+(v · ∇)A+ v × (∇×A) +A× (∇× v)︸︷︷︸=0

, (5.186)

5.7. PARTICULAS CARREGADAS NUMCAMPO ELETROMAGNETICO205

que, em substituida em (5.185), fornece

f + qgdA

dt= q∇ (v ·A− ϕ) . (5.187)

Da segunda lei de Newton (5.150), e possıvel reescrever (5.187) numa formamais conveniente

d

dt(p+ qgA) = q∇ (v ·A− ϕ) . (5.188)

Definindo o momentum generalizado

P ≡ p+ qgA, (5.189)

teremos a equacao de movimento para partıculas carregadas em campos eletro-magneticos:

dP

dt= q∇ (v ·A− ϕ) . (5.190)

5.7.2 Formalismos Lagrangeano e Hamiltoniano

Na presenca de campos eletromagneticos a Lagrangeana do sistema pode serescrita como L = L0 + Lint, onde L0 = −mc2/γ e o termo correspondente apartıcula livre, e Lint corresponde a interacao entre a partıcula de os camposeletromagneticos, cuja equacao de movimento e (5.190). Por outro lado, noformalismo Lagrangeano essa mesma equacao tem a forma (5.169)

d

dt

∂

∂vi(L0 + Lint)−

∂

∂xi(L0 + Lint) = 0, (5.191)

Como L0 nao depende das coordenadas xi, e escrevendo Pi para o momentumcanonicamente conjugado a coordenada xi, temos que

d

dt

∂

∂vi(L0 + Lint)−

∂Lint∂xi

=dPidt

− ∂Lint∂xi

= 0 (5.192)

onde usamos (5.170).Se identificarmos o momentum generalizado P = p + qgA como o momen-

tum canonicamente conjugado na presenca de campos eletromagneticos, essaexpressao e justamente a equacao de movimento (5.190) em componentes. Logoa Lagrangeana de interacao e dada por

Lint = qgA · v − qϕ. (5.193)

A Hamiltoniana de uma partıcula relativıstica em campos eletromagneticose obtida a partir de uma transformada de Legendre (5.171):

H = v ·P− L = v · (p+ qgA)− L. (5.194)

Substituindo (5.176) e (5.193) obtemos, apos alguns rearranjos

H = γmc2 + qϕ. (5.195)

Usualmente expressamos a Hamiltoniana em termos do momentum canoni-camente conjugado (5.189). Quadrando a expressao (5.195) obtemos(

H − qϕ

c

)2

= γ2m2c2 = γ2m2

(v2 +

c2

γ2

). (5.196)


Como p2 = γ2m2v2, substituindo (5.189) no termo p2 e isolando H obteremosa Hamiltoniana na forma canonica

H(P, r) =

√m2c4 + c2[P− qgA(r)]

2+ qϕ(r). (5.197)

5.7.3 Movimento num campo eletrico constante e uniforme

Se o campo eletrico for constante (nao depende do tempo) podemos escreve-lounicamente em termos do potencial escalar E = −∇ϕ. Se o campo eletrico for,alem disso, uniforme (nao depende da posicao), podemos deriva-lo a partir doseguinte potencial escalar ϕ = −E · r. Na ausencia de campo magnetico A enulo, e portanto o momentum generalizado coincide com o momentum (P = p).A equacao de movimento (5.190) para uma partıcula de carga q e massa derepouso m, num campo eletrico constante e uniforme E = Ex sera, pois, emcomponentes cartesianas

dpxdt

= qE,dpydt

= 0,dpzdt

= 0. (5.198)

Supondo, como condicoes iniciais para o momentum

px(0) = 0, py(0) = p0, pz(0) = 0, (5.199)

podemos resolver imediatamente (5.198), obtendo

px(t) = γmvx = qEt, py(t) = γmvy = p0, pz(t) = γmvz = 0, (5.200)

onde o fator de Lorentz e

γ =

(1−

v2x + v2yc2

)−1/2

. (5.201)

Chamaremos de energia cinetica, Ec, a energia de uma partıcula na ausenciade campos (ou seja, a energia total menos a energia potencial), de modo que

Ec = E − qϕ = γmc2 (5.202)

ja que a energia potencial de uma carga q num campo eletrico e qϕ. Temos,portanto, a relacao

E2c = p2c2 +m2c4 (5.203)

= (p2x + p2y) +m2c4

=[(qEt)

2+ p20

]c2 +m2c4, (5.204)

onde usamos (5.200). Chamando E0 a energia cinetica no instante inicial t = 0temos que

E20 = p20c

2 +m2c4, (5.205)

de modo que (5.204) resulta em

E2c = (qEt)

2c2 + E2

0 . (5.206)


De (5.202) e (5.206) temos que

vx =dx

dt=pxc

2

Ec=

qEtc2√(qEt)

2c2 + E2

0

, (5.207)

que pode ser integrada facilmente

x(t) =

√(qcEt)

2+ E2

0

qE. (5.208)

Procedendo de forma analoga para vy e vz obteremos

y(t) =p0c

qEsinh−1

(cqEt

E0

). (5.209)

e z(t) = z0 = const., donde o movimento ocorre exclusivamente no plano xy.Eliminando o tempo t das equacoes (5.208) e (5.209) chegaremos a equacao

da trajetoria da partıcula, que e

x =E0qE

cosh

(qEy

p0c

), (5.210)

e que pode ser identificada como a equacao de uma catenaria. No limite nao-relativıstico (v c), onde podemos identificar p0 ≈ mv0 e E0 ≈ mc2, expandi-mos o cosseno hiperbolico em serie de MacLaurin para obter

x =qE

2mv20y2 +

mc2

qE, (5.211)

e que e a equacao de uma parabola.

5.7.4 Movimento num campo magnetico constante e uni-forme

Um campo magnetico constante e uniforme B pode ser escrito em termos deum potencial vetor dado por

A =1

2B× r. (5.212)

ja que

∇×A =1

2∇× (B× r) =

1

2

(r · ∇)B︸︷︷︸=0

−r(∇ ·B︸︷︷︸=0

)− (B · ∇)r︸︷︷︸=B

+B(∇ · r︸︷︷︸=3

)

= B.

Note que, devido as transformacoes de gauge, essa escolha nao e unica (e, asvezes, denominada gauge axial). Ha uma infinidade de outras formas que resul-tam no mesmo campo magnetico. Por exemplo, se B = Bz e costume escolhero gauge de Landau

A = −Byx. (5.213)


Para obter a equacao de movimento, nesse caso, e mais conveniente escrever-mos diretamente a segunda lei de Newton para a partıcula sob uma forca pura-mente magnetica

dp

dt= f = qgv ×B. (5.214)

Sabemos que, como a forca magnetica e ortogonal ao plano que contem os vetoresv e B, o produto interno f · v e nulo, portanto a forca magnetica nao realizatrabalho sobre a partıcula. Logo, sua energia cinetica nao sera alterada pelapresenca do campo magnetico, e podemos escrever Ec = E , donde podemos usar(5.134) para escrever

p =v

cEc. (5.215)

onde Ec e uma constante do movimento.Substituindo (5.215) em (5.214) temos

Ecc2dv

dt= qgv ×B. (5.216)

Definindo a chamada frequencia ciclotronica (ou frequencia de Larmor)

Ω ≡ qgc2B

Ec, (5.217)

e sendo B o vetor unitario ao longo da direcao do campo magnetico, a equacaode movimento e reescrita como

dv

dt= Ωv × B. (5.218)

Supondo B = Bz, a equacao vetorial desdobra-se em tres equacoes escalares:

dvxdt

= Ωvy, (5.219)

dvydt

= −Ωvx, (5.220)

dvzdt

= 0, (5.221)

de modo que vz = v0z = const. e as duas outras equacoes tem solucoes simples,a saber:

vx(t) = v0⊥ cos(Ωt+ α), (5.222)

vy(t) = −v0⊥ sin(Ωt+ α), (5.223)

vz(t) = v0‖, (5.224)

onde v0⊥, v0‖ e α sao constantes de integracao, a serem fixadas pelas condicoesiniciais do problema. Podemos escolher o tempo inicial de tal forma que aconstante de fase α seja identicamente nula.

Integrando as relacoes (5.222) e (5.223) temos as coordenadas da partıculacomo funcao do tempo:

x(t) = x0 + ρL sin(Ωt), (5.225)

y(t) = y0 + ρL cos(Ωt), (5.226)

z(t) = z0 + v0zt, (5.227)


onde definimos o raio de Larmor, ou raio de cıclotron

ρL ≡ v0⊥Ω

=v0⊥Ecgqc2B

. (5.228)

A interpretacao das equacoes (5.225)-(5.242) e bem conhecida: a partıculatem uma trajetoria helicoidal, que consiste na superposicao de um movimentocircular uniforme no plano xy (perpendicular ao campo magnetico) com veloci-dade constante v0⊥ e um movimento retilıneo uniforme na direcao do campomagnetico com velocidade v0‖, tambem constante. Este movimento e chamadode giracao: o centro do movimento circular e denominado centro de guia, comcoordenadas (x0, y0), sendo que ρL e o raio do movimento circular. Para umcampo magnetico uniforme o centro de guia desloca-se com velocidade constanteao longo das linhas de forca do campo magnetico, e a giracao e um cırculo noplano xy cuja equacao e

(x− x0)2+ (y − y0)

2= ρ2L.

Seja v a velocidade da partıcula ao longo da trajetoria helicoidal. O angulode passo φ e definido de tal forma que as componentes da velocidade nas direcoesperpendicular e paralela ao campo magnetico sejam

v0⊥ = v sinφ, v0‖ = v cosφ. (5.229)

O passo da helice λ e a distancia percorrida ao longo da direcao do campomagnetico apos um perıodo do movimento circular 2π/Ω. De (5.229) temos que

λ =2πv0‖

Ω=

2πv0Ω

sinφ. (5.230)

No caso nao-relativıstico, quando v c, temos que Ec ≈ mc2, de modo queo movimento tem as mesmas caracterısticas do caso geral, mas a frequencia e oraio de Larmor sao dados, respectivamente, por

Ω =qgB

m, ρL =

mv0⊥qgB

. (5.231)

Observe que ha uma diferenca sutil entre a frequencia de Larmor nos casosrelativıstico e nao-relativıstico. Neste ultimo caso a frequencia nao depende davelocidade, portanto da energia da partıcula. Ja no caso relativıstico, comoEc = γmc2 temos que a frequencia de Larmor diminui com a velocidade dapartıcula, pois

ΩREL =qgc2B

γmc2=

1

γ

qgB

m=

(1− v2

c2

)1/2

ΩNR.

Nos primeiros cıclotrons construidos por E. Lawrence e outros a partir de 1932,a energia final da partıcula nao era muito alta, de tal modo que frequenciado oscilador eletrico era mantida igual a frequencia de Larmor da partıcula(condicao de ressonancia). Na medida em que os cıclotrons foram aumentandode tamanho, e maiores energias finais eram possıveis para as partıculas, ja nao sepodia ignorar a variacao da frequencia de Larmor com a velocidade da partıcula.Para continuar obedecendo a condicao de ressonancia, a frequencia do osciladoreletrico teve de ser ajustada para sincronizar com a frequencia de Larmor a umadada energia. Por isso os novos aceleradores passaram a ser conhecidos comosincro-cıclotrons, como proposto por E. McMillan em 1952.


5.7.5 Movimento em campos eletricos e magneticos con-stantes e uniformes

Seja um campo eletrico constante e uniforme E = (0, Ey, Ez) e um campomagnetico, tambem constante e uniforme B = (0, 0, B). Vamos considerar, porsimplicidade, apenas o caso nao-relativıstico, onde p = mv. A equacao demovimento e

mdv

dt= q[E+ gv ×B], (5.232)

que, em componentes cartesianas, desdobra-se no sistema de equacoes diferen-ciais

dvxdt

= Ωvy, (5.233)

dvydt

= ξ − ωvx, (5.234)

dvzdt

= η. (5.235)

e definimos

ξ ≡ qEym

, η ≡ qEzm

. (5.236)

Escolhendo o tempo inicial de tal forma que a fase α da giracao seja identi-camente nula, podemos escrever a solucao deste sistema como

vx(t) = v01 cos(Ωt) +ξ

η, (5.237)

vy(t) = −v01 sin(Ωt), (5.238)

vz(t) = v02 + ηt. (5.239)

onde v01 e v02 sao constantes de integracao.Supondo v0 na direcao x, e x(t = 0) = y(t = 0) = z(t = 0) = 0 obtemos,

por integracao,

x(t) =v01Ω

sin(ωt) +ξt

η, (5.240)

y(t) =v01Ω

(cos(ωt)− 1), (5.241)

z(t) = v02t+ηt2

2. (5.242)

Podemos interpretar o movimento descrito pelas equacoes horarias acima daseguinte forma: na ausencia do campo eletrico temos simplesmente uma giracaono plano xy com raio de Larmor ρL = v01/Ω, na qual o centro de guia estaem repouso. A presenca do campo eletrico faz com que esta giracao sofra umaderiva na direcao x positiva: o centro de guia desloca-se com uma velocidadeconstante de deriva

vd =ξ

η=EygB

, (5.243)

de forma que a projecao do movimento no plano xy seja uma cicloide, se v01 =−η, uma epicicloide se v01 > −η, e uma hipocicloide se v01 > −η. Alem disso, nadirecao paralela ao campo magnetico ha um movimento retilıneo uniformemente


variado com aceleracao η. Como resultado o centro de guia e acelerado ao longodas linhas de campo magnetico, ao mesmo tempo que sofre uma deriva nadirecao perpendicular.

De modo geral, se E e B tem direcoes arbitrarias no espaco, o efeito docampo eletrico sera o de fazer o movimento de giracao sofrer uma deriva cujavelocidade e

vd =1

g

E×B

B2, (5.244)

razao pela qual este e conhecido por deriva E x B na literatura de Fısica dePlasmas.

5.7.6 Invariantes adiabaticos

Na famosa conferencia Solvay de 1911, realizada em Bruxelas, e que reuniu osmaiores nomes da Fısica de entao, um dos temas centrais era a quantizacao daradiacao, recentemente proposta por M. Planck. H. Lorentz, que era o chairmanda conferencia, colocou a seguinte questao: considerando um pendulo de massam suspenso por um fio de comprimento `, para pequenas oscilacoes de pequenaamplitude podemos supor que este e um oscilador harmonico e usar a hipotesede Planck para dizer que a energia do pendulo e quantizada,

E = n~ω, (5.245)

onde n e um numero quantico (inteiro), ~ = h/2π a constante de Planck e afrequencia angular das pequenas oscilacoes e dada por

ω =

√g

`, (5.246)

onde g e a aceleracao da gravidade.Agora supomos que o fio do pendulo seja lentamente encurtado, de modo que

a frequencia aumente tambem lentamente. Logo, como a energia do pendulo estamudando, tambem o numero quantico deveria mudar. No entanto, Lorentz argu-mentou que isso levaria a um paradoxo, pois a frequencia nao e alta o suficientepara induzir uma transicao entre estados com numeros quanticos diferentes.

Einstein, tambem presente a conferencia, respondeu que, embora para umlento encurtamento do fio tanto a energia E como a frequencia ω do pendulo mu-dassem, a razao entre eles, E/ω deveria ser (aproximadamente) constante. Emoutras palavras, E/ω e um invariante adiabatico, pois permanece aproximada-mente constante durante um tempo T muito maior do que o perıodo do sistema(T 1/2πω). Se T fosse infinito, a razao seria uma constante do movimento,e nao simplesmente um invariante adiabatico.

Para o pendulo, o invariante adiabatico e a chamada integral de acao:

I =1

2π

∮pθdθ =

Eω, (5.247)

onde pθ e o momentum canonicamente conjugado a coordenada angular θ, ea integral estende-se sobre um ciclo completo de oscilacao. Este raciocınio foiestendido por Sommerfeld como uma regra de quantizacao para um sistemamecanico periodico: a integral de acao deve ter valores multiplos da constantede Planck: I = n~, onde n = 1, 2, . . . e o respectivo numero quantico.


De modo geral, num sistema periodico onde a frequencia muda muito lenta-mente em relacao a uma escala de tempo tıpica do sistema, a integral de acao

I =1

2π

∮p · dq, (5.248)

e um invariante adiabatico, onde q e uma coordenada generalizada, e p o mo-mentum canonicamente conjugado a ela. Esta definicao sera utilizada a seguir,na analise da giracao num campo magnetico nao-uniforme.

5.7.7 Movimento num campo magnetico nao-uniforme

Vamos considerar novamente o movimento nao-relativıstico de uma partıculacarregada num campo magnetico uniforme e na ausencia de campo eletrico:sabemos que a partıcula executa uma giracao com frequencia Ω = qgB

m e raioρL = v⊥/Ω em um plano perpendicular ao campo magnetico B. Agora vamossupor uma orbita fechada e circular C neste plano: a coordenada generalizadae a distancia s medida sobre essa orbita, de modo que dq → ds, e o momentumcanonicamente conjugado e a componente perpendicular ao campo do momen-tum generalizado p → P⊥. Nessas condicoes o invariante adiabatico e

I =1

2π

∮C

P⊥ · ds = 1

2π

∮C

(p⊥ + qgA) · ds, (5.249)

onde a integral e realizada sobre C.Como p⊥ e paralelo a ds em cada ponto de C, e usando o teorema de Stokes

I =1

2π

∮C

p⊥ds+qg

2π

∫S

∇×A︸︷︷︸=B

·dA, (5.250)

onde S e uma superfıcie aberta limitada por C. De (5.215) temos que

p⊥ =v0⊥c

Ec = const. (5.251)

ja que a energia cinetica da partıcula e uma constante do movimento. Entao

I =p⊥2π

∮C

ds︸︷︷︸=2πρL

+qg

2π

∫S

B · dA, (5.252)

ja que C e um cırculo de raio de Larmor

ρL =v⊥Ω

=v⊥Ecqgc2B

=p⊥qgB

. (5.253)

Se o campo B fosse uniforme a integral de superfıcie acima, que e o fluxomagnetico pela superfıcie S, seria exatamente igual a B(πρ2L) e I seria umaconstante do movimento. No entanto, se B nao for uniforme, podemos usar esseresultado de forma aproximada, e I passa a ser um invariante adiabatico. Paraque essa aproximacao seja valida, o campo magnetico deve variar “lentamente”ao longo da giracao da partıcula. Em termos mais precisos, se ` e a distanciaao longo da qual B varie de forma significativa, para que I seja um invariante


adiabatico ` λ, onde λ e o passo da trajetoria helicoidal da partıcula. Nessascondicoes, temos

I = p⊥ρL +1

2qgBρ2L =

3

2

p2⊥qgB

, (5.254)

onde usamos (5.253).O invariante adiabatico (5.254) pode ser escrito em termos do momento de

dipolo magnetico associado a giracao, o qual e definido como

|m| = gIA =1

2

mv2⊥B

=qg

3mI, (5.255)

onde I = q/T = qΩ/2π e a intensidade de corrente eletrica associada a orbitada partıcula, e A = πρ2L a area envolvida pela giracao.

Espelho magnetico

Suponha um campo magnetico nao-uniforme como o da figura abaixo, onde adistancia ` para a qual o campo muda apreciavelmente e muito maior do que opasso λ do movimento helicoidal das partıculas. Vamos considerar duas regioes:uma campo magnetico relativamente fraco B1 e outra de campo relativamenteforte B2. De (5.255) podemos escrever o raio de Larmor em funcao do momentomagnetico como

ρL =1

qg

√2m|m|B

. (5.256)

Como o momento magnetico e um invariante ao longo da trajetoria da partıcula,na medida em que ela trafega em direcao a regiao de campo forte, temos que

B1ρL,1 = B2ρL,2 (5.257)

de sorte que, se B2 > B1, entao ρL,2 < ρL,1, ou seja, o raio de Larmor e menornas regioes de campo mais forte. A trajetoria da partıcula sera uma helice comraio que diminui a medida em que a partıcula penetra em regioes de campo maisforte.

Podemos, pois, nos perguntar se havera um limite onde esse raio vai a zero.De fato, esse limite existe e provoca a reflexao da partıcula em pontos onde ocampo magnetico e suficientemente intenso, o que chamamos de efeito espelhomagnetico.

Para entender quantitativamente esse efeito, observamos que a invariancia(adiabatica) do momento magnetico implica que a razao

mv2⊥/2

B(5.258)

e (aproximadamente) constante ao longo das orbitas, ao mesmo tempo que aenergia cinetica das partıculas tambem permanece (exatamente) constante:

Ec =m

2

(v2⊥ + v2‖

)= inv. (5.259)

de modo que, para as regioes 1 e 2 da figura temos

v2⊥,1B1

=v2⊥,2B2

. (5.260)


Se B2 > B1, entao v⊥,2 > v⊥,1: a velocidade perpendicular da partıcula e maiornas regioes de campo mais forte (onde o raio tambem e menor).

Por outro lado, pela constancia da energia cinetica

v21 = v2⊥,1 + v2‖,1 = v2⊥,2 + v2‖,2, (5.261)

portanto v‖,2 < v‖,1: a velocidade paralela da partıcula e menor nas regioes decampo mais forte. Se o campo e forte o suficiente a velocidade paralela podechegar a zero, e a partıcula e refletida nesse ponto.

No ponto de reflexao v‖,2 = 0 e, de (5.261), v2⊥,2 = v21 . Em vista de (5.260)temos a seguinte condicao para reflexao da partıcula na regiao de campo forte

B2

B1=

(v⊥,2v⊥,1

)2

=

(v1v⊥,1

)2

=1

sinφ, (5.262)

ja que v⊥,1 = v1 sinφ, onde φ e o angulo de passo da helice no ponto 1.

Garrafas magneticas

Uma garrafa magnetica e um dispositivo de confinamento de partıculas car-regadas no campo magnetico nao-uniforme produzido por duas bobinas coaxi-ais. O campo magnetico maximo e obtido na regiao das bobinas, ao passo queo campo mınimo a meia-distancia entre elas. A chamada razao de espelho edefinida como o quociente entre eles:

Rm =BmaxBmin

, (5.263)

Uma partıcula de um plasma contido dentro da garrafa ira ser sucessivamenterefletida nas regioes de campo forte. Para achar a condicao de confinamento,supomos que as regioes 1 e 2 sejam as de campo mınimo e maximo, respectiva-mente, de forma que (5.262) leva a seguinte relacao:

sin2 φm =1

Rm, (5.264)

onde φm e o angulo de passo crıtico na regiao de campo mınimo e Rm a razaodo espelho. Se o angulo de passo de uma partıcula na regiao de campo mınimofor maior que o angulo crıtico (5.264) ela sera refletida, caso contrario nao serarefletida e perder-se-a.

Uma maneira conveniente de descrever esta condicao e, no espaco das veloci-dades da partıcula (v⊥,x, v⊥,y, v‖) descrever um cone de perda de abertura φmem torno da direcao paralela ao campo magnetico. As partıculas cujas veloci-dades (no ponto de campo fraco) estiverem dentro do cone de perda nao irao serrefletidas, e portanto escaparao para fora da garrafa. Observe que a aberturado cone de perda so depende das caracterısticas da garrafa, sendo o mesmo paratodas as partıculas do plasma, independentemente da sua carga, ou massa.

Movimento de partıculas no campo magnetico terrestre

Um exemplo importante de campo magnetico nao-uniforme e o campo magneticoTerrestre. Em regioes nao muito distantes da Terra (menos que 10 raios Ter-restres) o campo geomagnetico pode ser aproximado pelo campo de um dipolo


magnetico alinhado com o eixo magnetico (no sentido negativo):

B(r, θ) =k

g2c2|mT |r3

(2 cos θr+ sin θθ), (5.265)

onde |mT | = 8, 02×1022A.m2 (no SI). (r, θ, φ) sao coordenadas esfericas tendo zao longo do eixo magnetico. Comumente usa-se a latitude ϑ = π/2− θ, medidaa partir do Equador.

No Problema ?? voce devera mostra que a equacao das linhas de campomagnetico e

r = rEQ sin2 θ = rEQ cos2 ϑ, (5.266)

onde rEQ e a distancia radial no plano equatorial ϑ = 0. Supondo um raio Ter-restre uniforme RT = 6, 37×106m, costuma-se definir o parametro adimensionalL = rEQ/RT .

Tomando o modulo quadrado de (5.265) e substituindo (5.266), o campomagnetico terrestre a uma posicao (r, θ), ou (L, ϑ) por comodidade, e dado por

B(L, ϑ) =BTL3

√1 + 3 sin2 ϑ

cos6 ϑ, (5.267)

onde (usando o SI para calculos numericos, como de habito)

BT =k

g2c2|mT |R3T

=µ0|mT |4πR3

T

= 3, 11× 10−5T = 0, 311G (5.268)

e o modulo do campo magnetico no plano equatorial e na superfıcie da Terra.Vamos considerar protons (q = e = 1, 6× 10−19C) e eletrons (q = −e) cujas

velocidades, no plano equatorial tem componentes paralela e perpendicular aocampo geomagnetico denotadas por v‖,1 e v⊥,1, tal que o seu modulo seja

v21 = v2‖,1 + v2⊥,2, (5.269)

e o angulo de passo correspondente e tanφ = v‖,1/v⊥,1, e o passo λ = 2πv‖,1/Ω.O campo, nesse plano, e dado por (5.267 como

B1 = B(L, ϑ = 0) =BTL3

. (5.270)

Para campos magneticos da ordem de BT o passo para protons e eletrons emuito menor do que a distancia ` para a qual B varia significativamente, dondepodemos supor que a quantidade (5.254)

I =3

2

p2⊥qgB

, (5.271)

e um invariante adiabatico para as partıculas. As partıculas espiralam ao longodas linhas do campo geomagnetico ate serem refletidas, nas proximidades dospolos magneticos, quando o campo e suficientemente forte.

Na regiao onde as partıculas sao refletidas temos que a latitude e ϑm, tal quev‖,2 = 0, e B2 = B(L, ϑm) podemos aplicar a condicao (5.262) para o angulo depasso da partıcula φEQ no plano equatorial de modo que ela seja refletida:

1

sinφEQ=B2

B1=

√1 + 3 sin2 ϑmcos6 ϑm

. (5.272)


Esta relacao mostra que a latitude do ponto em que a partıcula e refletida sodepende do angulo de passo no equador, e nao do raio da linha de campo noqual ela e aprisionada.

Se o angulo de passo no equador φEQ e baixo, o valor de ϑm dado por (5.272)e grande, ou seja, a partıcula e refletida em altas latitudes, ou seja, proximoaos polos magneticos. Todavia, se φEQ e pequeno demais, o ponto de reflexaopode penetrar a atmosfera, e as partıculas sao perdidas por meio de colisoescom partıculas neutras. Neste processo e emitida luz, dando origem as aurorasboreais e austrais.

As partıculas sao refletidas sucessivas vezes e viajam de um polo a outroformando os chamados cinturoes de radiacao de Van Allen, descobertos em 1957a partir das medidas feitas pelo primeiro satelite artificial americano, o ExplorerI. Ha dois cinturoes de radiacao: o cinturao interno estende-se de 1 a 3 raiosterrestres (no plano equatorial) e consiste basicamente de protons com energiasda ordem de 10MeV ou maiores. Estes protons provem do decaimento deneutrons emitidos quando os atomos da atmosfera Terrestre sao bombardeadospor raios cosmicos de alta energia. Estes protons sao confinados por perıodosque podem ir de algumas horas ate dez anos. O cinturao externo estende-se de3 a 9 raios Terrestres (no plano equatorial) e consiste basicamente de eletronscom energias menores do que 10MeV . Estes eletrons provem da magnetosferaexterior.

5.7.8 Movimento de uma partıcula em giracao sob a acaode uma onda eletrostatica

Um exemplo de aplicacao do formalismo Hamiltoniano para a descricao do movi-mento de partıculas carregadas em campos eletromagneticos e o estudo de umapartıcula em giracao num campo magnetico uniforme sendo influenciada poruma onda eletrostatica. Ondas eletrostaticas (isto e, sem campo magnetico as-sociado) sao muito comuns em Fısica de Plasmas, devido a efeitos coletivos dosmovimentos de eletrons e ıons positivos. As ondas eletrostaticas, ao contrariodas ondas eletromagneticas, sao longitudinais. Deste modo podemos trabalharapenas com o potencial escalar ϕ da onda, e com o potencial vetor A associadocom o campo magnetico uniforme.

Usualmente tratamos a giracao como o problema nao-perturbado, cuja hamil-toniana e dada por

H0(P, r) =

√m2c4 + c2[P− qgA(r)]

2. (5.273)

Supondo, por simplicidade, que as velocidades nao sejam relativısticas, e ad-mitindo que B = B0z, o potencial vetor associado, que e A = −B0yx, temos ahamiltoniana

H0(P, r) =1

2m

(P 2 − 2qgB0yPx + q2g2B2

0y2)

=1

2m

(P 2x + P 2

y + P 2z − 2mΩyPx +m2Ω2y2

), (5.274)

em termos da frequencia ciclotronica das partıculas.A influencia da onda eletrostatica e tratada como uma perturbacao hamilto-

niana sobre o movimento de giracao descrito pela hamiltoniana (5.276. O campo


eletrico da onda e escrito em termos de um potencial ϕ tal que E = −∇ϕ. Va-mos supor que uma onda eletrostatica plana de amplitude E0 e frequencia ω,propagando-se ao longo de uma direcao k = (0, k⊥, kz):

E = E0 sin(k · r− ωt) = E0 sin(kzz + k⊥y − ωt), (5.275)

de modo que a hamiltoniana associada a perturbacao da onda e escrita

H1(r, t) = −qϕ0 sin(kzz + k⊥y − ωt), (5.276)

onde ϕ0 e um potencial constante. A Hamiltoniana total do sistema e H =H0 +H1.

E mais conveniente trabalhar com as coordenadas do centro de guia e respec-tivos momenta conjugados. No entanto, e bom lembrar que uma transformacaoarbitraria de coordenadas e momenta pode nao preservar a forma canonica dasequacoes do movimento derivadas de uma dada hamiltoniana. Para garantirque a forma seja preservada, e necessario que esta transformacao seja canonica,ou seja, ela deve ser obtida por meio de uma funcao geratriz.

Da Mecanica Classica, sabemos que ha quatro tipos de funcao geratriz. Porexemplo, mantendo a coordenada z inalterada e mudando das coordenadas e mo-menta velhos (Px, Py;x, y) para as coordenadas e momenta novos (PΦ, PY ; Φ, Y )podemos usar a funcao geratriz de primeira especie

F1(x, y; Φ, Y ) = mΩ

[1

2(y − Y )

2cotΦ− xY

], (5.277)

tal que as equacoes que transformam variaveis novas em velhas sejam

Px =∂F1

∂x= −mΩY, (5.278)

Py =∂F1

∂y= mΩ(y − Y ) cotΦ, (5.279)

PΦ = −∂F1

∂Φ=

1

2mΩ(y − Y )

2csc2 Φ, (5.280)

PY = −∂F1

∂Y= mΩ [(y − Y ) cotΦ + x] . (5.281)

A funcao geratriz nao depende do tempo, entao a nova Hamiltoniana e obtidasubstituindo as variaveis velhas pelas novas pelo uso de (5.278)-(5.281), o quefornece, para a parte nao-perturbada

H0 =mΩ2

2

(y − Y

sinΦ

)2

+P 2z

2m(5.282)

As novas variaveis X e Y sao as coordenadas do centro de guia no planoperpendicular ao campo magnetico. Se ρL e o raio de Larmor e Φ e o angulode giracao nesse plano, temos portanto

x = X + ρL cosΦ, (5.283)

y = Y − ρL sinΦ. (5.284)


Dessa forma os novos e velhos momenta sao dados por

Px = −mΩ(y + ρL sinΦ), (5.285)

Py = mΩρL cosΦ, (5.286)

PΦ =1

2mΩρ2L, (5.287)

PY = mΩX. (5.288)

Usando as equacoes anteriores para escrever (5.274) teremos, para a partenao-perturbada

H0 =mρ2L2

ρ2 +P 2z

2m=

1

2mP 2z +ΩPΦ, (5.289)

ja que o raio de Larmor ρL depende de Pφ pois

ρL =

√2PφmΩ

. (5.290)

A parte da hamiltoniana referente a perturbacao causada na giracao pelaonda eletrostatica sera obtida de (5.276) como

H1 = −qϕ0 sin(kzz + k⊥Y − k⊥ρL(PΦ) sinΦ− ωt). (5.291)

Observe que a nova hamiltoniana H0 +H1 nao depende do momentum PY ,conjugado a Y . Logo, da respectiva equacao canonica

dY

dt=

H∂PY

= 0, (5.292)

ou seja, a nova coordenada Y e uma constante do movimento. Logo o termok⊥Y em (5.291) e uma constante de fase. Ela e, portanto, irrelevante e pode sereliminada fazendo um deslocamento trivial do tempo inicial t→ t′ = t−k⊥Y/ω.Por simplicidade de notacao, vamos continuar denotando o tempo por t.

Neste ponto podemos fazer uma segunda transformacao canonica, das variaveisantigas (Pz; z) para as variaveis novas (Pψ;ψ), por meio da funcao geratriz desegunda especie

F2(Pz, Pψ; z, ψ) = (kzz − ωt)Pψ + PΦΦ (5.293)

cujas equacoes de transformacao sao

Pz =∂F2

∂z= kzPψ, (5.294)

ψ =∂F2

∂Pψ= kzz − ωt, (5.295)

H′ = H+∂F2

∂t= H− ωPψ. (5.296)

De (5.295) o significado fısico desta nova transformacao canonica e simples:nos passamos para um referencial que se desloca juntamente com a onda, comfase constante ψ = kzz − ωt. A Hamiltoniana nestas novas variaveis sera

H =1

2mk2zP

2ψ − ωPψ +ΩPΦ − qϕ0 sin[ψ − k⊥ρL(PΦ) sinΦ]. (5.297)


O termo perturbador na hamiltoniana (5.297) e bastante complicado. Noentanto, ele pode ser escrito como uma expansao em funcoes trigonometricascujos coeficientes sao funcoes de Bessel de primeira especie do argumento, pelouso da identidade de Jacobi-Anger

eiz sinΦ =+∞∑

m=−∞Jm(z)eimΦ, (5.298)

onde Jm e a funcao de Bessel de ordem inteira m. Multiplicando ambos os ladospor e−ψ e trocando Φ por −Φ teremos

ei(ψ−z sinΦ) =+∞∑

m=−∞Jm(z)ei(ψ−mΦ). (5.299)

Igualando as partes imaginarias de ambos os membros teremos, finalmente

sin(ψ − z sinΦ) =

+∞∑m=−∞

Jm(z) sin(ψ −mΦ), (5.300)

que, ao ser inserida em (5.297) fornece

H =1

2mk2zP

2ψ − ωPψ +ΩPΦ − qϕ0

+∞∑m=−∞

Jm [k⊥ρL(PΦ)] sin(ψ −mΦ).

(5.301)As frequencias caracterısticas do movimento das partıculas sao obtidas a

partir das equacoes canonicas para a parte nao-perturbada da Hamiltonianaacima

ωΦ =dΦ

dt=

∂H0

∂PΦ= Ω, (5.302)

ωψ =dψ

dt=

∂H0

∂Pψ=k2zmPψ − ω. (5.303)

A parte perturbada da Hamiltoniana (5.301) contem termos do tipo sin(ψ −mΦ), de modo que podemos identificar ressonancias entre a frequencia da ondaperturbadora e diversos harmonicos da frequencia de giracao (nao-perturbada).Numa ressonancia a fase ψ −mΦ e constante, logo

d

dt(ψ −mΦ) = ωψ −mΩ = 0,

k2zmPψ − ω −mΩ = 0. (5.304)

No caso de onda propagando-se perpendicularmente ao campo magneticotemos kz = 0, de forma que a condicao de ressonancia (5.304) reduz-se a

ω +mΩ = 0. (5.305)

No caso mais geral de propagacao oblıqua ao campo podemos resolver (5.304)para o momentum conjugado a ψ na ressonancia

Pψ =m

k2z(ω +mΩ). (5.306)


E possıvel continuar a analise deste problema usando a Teoria Canonica dePerturbacoes, a fim de estudar os varios casos dentro e fora das ressonancias.Este estudo, no entanto, esta fora do escopo deste curso. Todavia, a hamil-toniana (5.301) tambem pode ser estudada de um ponto de vista mais direto:integrando numericamente as equacoes canonicas para ψ e Φ e os respectivosmomenta conjugados. Como, neste caso, o espaco de fase e quadridimensional,mesmo um estudo numerico do comportamento das trajetorias e, em geral, umproblema nao-trivial, inclusive pela possıvel ocorrencia de caos determinısticoquando a amplitude da onda perturbada ϕ0 e grande o suficiente. Este tambemtorna-se um problema fora da alcada de nosso estudo atual.

5.8 Problemas

1. Mostre que a equacao de onda

∇2ϕ− 1

c2∂2ϕ

∂t2= 0

nao e invariante sob uma transformacao de Galileo, mas e invariante sobuma transformacao de Lorentz.

2. A formula classica de aberracao da luz pode ser deduzida a partir daadicao relativista de velocidades. Suponha que os raios luminosos estejaminclinados de um angulo θ em relacao a horizontal num dado referencialK, e de um angulo θ′ em relacao a horizontal num referencial K ′ quemove-se com velocidade constante v em relacao a K. Mostre, entao, que

(a) sin θ − sin θ′ = −β sin θ′ cos θ′ + o(β2)

(b) ∆θ ≈ β sin θ′;

3. Uma expedicao e enviada para um planeta situado a 40 anos-luz da Terra.Deseja-se que os astronautas nao envelhecam mais do que 30 anos du-rante a viagem de ida. Neste problema ignore todos os aspectos ligados aaceleracao da nave espacial.

(a) A que velocidade a nave espacial deve deslocar-se, em relacao a Terra,tal que os astronautas envelhecam 30 anos durante a viagem de ida?

(b) Qual sera a distancia percorrida na viagem de ida, medida pelos as-tronautas da nave?

(c) Os astronautas enviam um pulso eletromagnetico para a Terra a cadaano de viagem, de acordo com os relogios da nave. Qual sera o intervaloentre dois pulsos sucessivos, de acordo com os relogios na Terra?

(d) Da mesma forma, o centro de controle na Terra emite um pulso eletro-magnetico para a nave a cada ano, de acordo com os relogios na Terra.Qual o intervalo entre dois pulsos, medido pelo relogio da nave?

(e) Na metade do caminho para o planeta, dois dos astronautas ficam comsaudades de casa e voltam para a Terra usando o modulo de servico danave. De acordo com os astronautas que permaneceram na nave, o moduloviaja a uma velocidade de 5c/6 em relacao a Terra. Ache o intervalo totalde tempo que os dois astronautas saudosos terao ficado fora da Terra, deacordo com os relogios na Terra.

5.8. PROBLEMAS 221

4. Numa experiencia de fısica de altas energia, um eletron move-se com ve-locidade 4c/5 e colide com um eletron em repouso. A ideia e que os doiseletrons aniquilam-se mutuamente, criando uma nova partıcula.

(a) Qual a energia total, emMev, no referencial do laboratorio, do sistemaantes da colisao?

(b) Qual a energia total no referencial do centro de massa do sistema?

(c) Qual e a massa de repouso da partıcula criada por essa colisao?

(d) Imagine, agora, que a experiencia e modificada tal que os eletronstenham, antes da colisao, velocidades iguais e opostas no referencial dolaboratorio. Se a energia no referencial do laboratorio for a mesma calcu-lada no ıtem (a), quais os modulos das velocidades dos eletrons?

(e) Para a modificacao da experiencia descrita no ıtem (d), qual a massade repouso da partıcula criada pela colisao? Por que esse novo arranjo emelhor que o anterior?

5. Suponha que uma colisao de alta energia ocorra na atmosfera superiorda Terra, produzindo uma partıcula exotica X. A partıcula X esta emrepouso no referencial do laboratorio na Terra, mas e instavel e rapida-mente decai em um neutrino e um muon. Considere a massa de repousodo neutrino igual a zero e do muon igual a 100MeV/c2

(a) Se o muon produzido no decaimento tem uma velocidade de√15c/4

(no referencial do laboratorio), qual e a massa de repouso da partıcula X?

(b) Qual o momentum linear do neutrino produzido pelo decaimento dapartıcula X?

(c) Imagine que a partıcula X decai a uma altura de 10km, e que o muone produzido com uma velocidade direcionada verticalmente para a Terra.A vida media do muon no referencial em que este esta em repouso e de2, 0µs. Qual e a probabilidade de que o muon atinja a superfıcie da Terraantes de se desintegrar?

6. Uma barra fina de comprimento 0, 80m, quando medida por um obser-vador em repouso em relacao a ela, desliza ao longo da superfıcie de umaplaca fotografica com velocidade 0, 80c numa direcao paralela a seu com-primento. Um flash luminoso, de duracao desprezıvel, ilumina a placa sobincidencia normal. Qual o comprimento da fotografia da barra de acordocom um observador que move-se juntamente com a barra?

7. Raios gama de altas energia provenientes de galaxias distantes nao saodetectados na Terra pois sao absorvidos no espaco inter-galactico por meiode eventos do tipo producao de pares: os fotons de raios gama interagemcom fotons da radiacao de fundo do Universo (na faixa de frequencia demicroondas). A aniquilacao dos fotons leva a criacao de pares eletron-positron. Supondo que a energia tıpica de um foton de microondas seja5, 0×10−4eV , acima de que energia dos raios gama esse efeito de producaode pares torna-se importante?

8. Uma regua tem comprimento 1, 00m medido por um observador em re-pouso em relacao a ela. A regua esta no plano xy e faz um angulo


θ = arcsin(3/5) com o eixo x. Se a regua move-se com velocidade con-stante v paralela ao eixo x:

(a) Qual o valor de v se a regua faz um angulo de 450 com o eixo x emrelacao a um observador em repouso no laboratorio?

(b) Qual o comprimento da regua neste referencial?

9. Uma tecnologia futurista consiste na propulsao de um foguete pela emissaode luz. Um foguete com massa de repouso M0 = 3, 0 × 106kg (como oSaturno V, que levou as naves Apolo para a Lua!) usa essa tecnologiapara atingir uma velocidade 0, 5c numa missao interestelar.

(a) Determine a massa de repouso final do foguete, supondo que toda amassa perdida na propulsao tenha sido integralmente convertida em luz;

(b) Ache a energia total dos fotons emitidos. Discuta fisicamente a viabil-idade dessa tecnologia.

10. Uma espaconave viaja entre a Terra e Marte em uma linha reta comvelocidade 0, 8c quando a distancia entre os dois planetas e de 2, 4×1011m.Essa distancia e medida em um referencial K onde o Sol, a Terra e Marteestao em repouso, ou seja, nos negligenciamos quaisquer movimentos dosplanetas em relacao aos outros e ao Sol durante o tempo da viagem.

(a) No referencial K quanto tempo dura a viagem da Terra ate Marte?

(b) No referencial K ′, em relacao ao qual a espaconave esta em repouso,qual e a velocidade da Terra e de Marte?

(c) No referencial K ′ qual a distancia entre a Terra e Marte?

(d) No referencial K ′ quanto tempo dura a viagem?

11. Eletrons e protons sao acelerados por uma diferenca de potencial de 109V .Considerando as massas de repouso do eletron e do proton iguais, respec-tivamente, a 0, 511MeV/c2 e 938MeV/c2, responda:

(a) Quais os momenta das partıculas?

(b) Qual a energia total das partıculas?

12. Um referencial K ′ move-se com uma velocidade v em relacao a um ref-erencial K. Um K ′ uma partıcula tem velocidade u′ e uma aceleracaoa′. Ache as transformacoes de Lorentz para as aceleracoes e mostre que,no referencial K, as componentes da aceleracao nas direcoes paralela eperpendicular a v sao :

a‖ =

(1− v2

c2

)3/2(1− v·u′

c2

)3 a′‖,

a⊥ =

(1− v2

c2

)(1− v·u′

c2

)3 [a′⊥ +v

c2× (a′ × v′)

].

5.8. PROBLEMAS 223

13. Mostre que duas transformacoes de Lorentz sucessivas na mesma direcao,com, velocidades v1 e v2 sao equivalentes a uma unica transformacao deLorentz com velocidade

v =v1 + v21 + v1v2

c2.

14. Uma espaconave deixa o planeta Terra no ano 2100. Um, de um par degemeos nascidos em 2080, permanece na Terra, enquanto o outro viaja naespaconave. Esta e construida de tal forma que tem uma aceleracao iguala g = 9, 81m/s2 no referencial em que esta em repouso (essa providenciafaz com que os astronautas sintam-se mais confortaveis na espaconave!).A espaconave acelera em linha reta por cinco anos (de acordo com seusproprios relogios), desacelera por mais cinco anos (a mesma taxa), dameia-volta, acelera por cinco anos, desacelera por mais cinco, e chegafinalmente a Terra. O irmao gemeo que ficou dentro da espaconave tem40 anos de idade quando retorna a Terra.

(a) Em que ano esta a Terra quando do retorno da espaconave?

(b) O quao longe da Terra a espaconave viajou?

15. Mostre as seguintes identidades envolvendo o tensor completamente anti-simetrico de quarta ordem εµνσλ:

(a)

εµνσλεαβγκ =

∣∣∣∣∣∣∣∣δµα δµβ δµγ δµκδνα δνβ δνγ δνκδσα δσβ δσγ δσκδλα δλβ δλγ δλκ

∣∣∣∣∣∣∣∣(b)

εµνσλεαβγλ = −

∣∣∣∣∣∣δµα δµβ δµγδνα δνβ δνγδσα δσβ δσγ

∣∣∣∣∣∣(c)

εµνσλεαβσλ = −2(δµαδνβ − δµβδ

να)

(d) εµνσλεανσλ = −6δµα

(e) εµνσλεµνσλ = −24

16. Na relatividade especial o valor da razao forca/aceleracao nao e sempreconstante, mas sim depende da direcao da forca f em relacao a velocidadev da partıcula. Mostre que, no caso em que a forca e perpendicular avelocidade, esta so muda de direcao, nao de modulo, tal que

f = γma,

onde m e a massa de repouso da partıcula. Caso a forca seja paralela avelocidade, esta altera seu modulo, mas nao sua direcao, mostre que

f = γ3ma;


Em geral, quando a forca e oblıqua a velocidade, podemos decompor aaceleracao em componentes paralela e perpendicular a forca, de modo que

f = γma⊥ + γ3ma‖.

17. Seja L o momentum angular de um sistema de partıculas no referencial Kdo laboratorio, e L(0) o momentum angular no referencial K0 que se movecom uma velocidade v constante em relacao a K. Escolhendo o centro

de inercia do sistema na origem do referencial K0, mostre que Lx = L(0)x ,

Ly = γL(0)y , e Lz = γL

(0)z .

18. Um fio retilıneo muito longo esta em repouso num certo referencial inercialK ′, com uma densidade linear de carga uniforme λ0. O referencial K ′

(assim como o fio) move-se com uma velocidade v paralela a direcao do fioem relacao ao referencial do laboratorio K. (a) Escreva os campos eletricoe magnetico em coordenadas cilındricas no referencial K ′; (b) Usando astransformacoes de Lorentz para os campos eletrico e magnetico, determinesuas componentes no referencial K; (c) Obtenha as densidades de cargae corrente associadas com o fio nos referenciais K e K ′; (d) A partirdas densidades de carga e corrente no referencial K calcule diretamenteos campos eletrico e magnetico neste referencial. Compare seu resultadocom o do ıtem (b).

19. Num certo referencial um campo eletrico estatico e uniforme E0 e paraleloao eixo x, e um campo magnetico estatico e uniforme B0 = 2E0 esta noplano xy, fazendo um angulo θ com o eixo x. Ache a velocidade relativade um referencial inercial no qual os campos eletrico e magnetico sejamparalelos. Obtenha os campos nesse referencial nos limites θ 1 e θ →π/2.

20. Um eletron parte do repouso em t = 0 numa regiao de campo eletricouniforme E = E0z, e sem campo magnetico. (a) Escreva as equacoesde movimento para as quatro componentes da quadrivelocidade, comofuncao do tempo proprio τ ; (b) Resolva as equacoes de movimento paraas condicoes iniciais dadas; (c) O eletron acelera ate atingir uma energiaE = 10mc2. Quanto tempo isso leva no referencial do laboratorio? (d)Qual a distancia percorrida pelo eletron ate atingir essa energia? (e) Se ocampo eletrico for E0 = 1, 00kV/m de valores numericos (no sistema SI)aos resultados dos ıtens (c) e (d).

21. O positron e a anti-partıcula do eletron, com carga q = +e e massa derepouso m = 0, 511MeV/c2. Considere um positron movendo-se com ve-locidade constante ao longo do eixo x, quando passa nas proximidades deum atomo neutro, com parametro de impacto b = 1, 0µm. (a) Se o positronmove-se com baixa velocidade (v = 0, 01c), calcule os valores maximos dosmodulos dos campos eletrico e magnetico na posicao do atomo, e no ref-erencial do laboratorio (respostas no sistema SI); (b) Idem para positronsde altas energias, com E = 511MeV ; (c) Qual a energia do positron enecessaria para criar um campo magnetico maximo de modulo 1, 0T sobreo atomo?

5.8. PROBLEMAS 225

22. Uma partıcula carregada encontra-se instantaneamente no plano equato-rial do campo magnetico terrestre a uma distancia R do centro da Terra.O vetor velocidade da partıcula v faz um angulo α com o plano equato-rial, tal que tanα = v‖/v⊥. Suponha que o campo magnetico terrestreseja dado pela seguinte expressao

B(r, θ) =M

r3(z− 3 cos θr),

onde z esta direcionado ao longo do eixo magnetico, e θ e o angulo entrer e z (M e uma constante positiva). Mostre que a equacao das linhas deforca do campo magnetico e r = R sin2 θ


Capıtulo 6

EletrodinamicaRelativıstica

A discussao que fizemos da experiencia do ima-espira e da Lei de Faraday, noslevou a uma das principais motivacoes que levaram Einstein ao desenvolvimentoda Teoria da Relatividade especial. A mecanica Newtoniana, nesse novo con-texto, tem de sofrer modificacoes radicais em seus conceitos basicos, quando asvelocidades envolvidas sao altas (compatıveis com a velocidade da luz no vacuo),o que ocorre tipicamente em partıculas de altas energias. A eletrodinamica, poroutro lado, ja nasceu compatıvel com a relatividade (desde que o conceito deeter seja devidamente abolido). No entanto, na sua formulacao original, a teoriade Maxwell-Lorentz nao e manifestamente covariante, ou seja, a sua compatibil-idade com a relatividade nao e aparente do ponto de vista matematico. Para quepossamos ter essa propriedade, e tambem necessario descrever a eletrodinamicanuma linguagem covariante, usando quadrivetores e quadritensores no espacode Minkowski.

6.1 Quadripotencial

Nos definimos as componentes contravariantes do quadrivetor potencial como

Aµ = (ϕ, cgA), (6.1)

ou seja, A0 = ϕ (potencial escalar) e as componentes espaciais coincidem comas componentes do potencial vetor A. As componentes covariantes sao

Aµ = (ϕ,−cgA). (6.2)

Vimos, no Capıtulo I, que os potenciais determinam os campos eletromagneticos

E = −∇ϕ− g∂A

∂t, (6.3)

B = −∇×A, (6.4)

a menos de transformacoes de gauge da forma

A′ = A−∇χ(r, t), (6.5)

ϕ′ = ϕ+ g∂

∂tχ(r, t), (6.6)

227

228 CAPITULO 6. ELETRODINAMICA RELATIVISTICA

onde χ e uma funcao arbitraria das coordenadas e do tempo. Em termos doquadripotencial (6.2) a transformacao de gauge se escreve em termos de umquadrigradiente:

A′µ = Aµ + cg∂µχ(x

µ), (6.7)

como pode ser facilmente verificado pelas componentes covariantes.No capıtulo II vimos que a Lagrangeana de uma partıcula num campo eletro-

magnetico e dada por [cf. Eq. 5.193]

L = L0 + Lint = −mc2

γ+ qgA · v − qϕ. (6.8)

A respectiva integral de acao e dada por (5.168) como

S =

∫ tb

ta

Ldt =

∫ tb

ta

dt

[−mc

2

γ+ qgA · v − qϕ

], (6.9)

onde ta e tb sao instantes fixos de tempo. Como vdt = dr o termo correspon-dente a interacao entre as partıculas e os campos pode ser escrito como

−qc(cϕdt− cgA · dr) = −q

cAµdx

µ,

Alem disso dt/γ = ds (elemento de comprimento no espaco de Minkowski),de forma que a acao de uma partıcula num campo e

S =

∫ 2

1

(−mcds− q

cAµdx

µ). (6.10)

onde a integral se estende ao longo da linha de universo entre dois eventos fixos1 e 2. Sabemos que ds e um invariante de Lorentz, assim como o quadriescalarAµdx

µ; logo a propria acao e Lorentz-invariante. Alem disso, a acao e invariantesob uma transformacao de gauge (??):

−qc

∫ 2

1

A′µdx

µ = −qc

∫ 2

1

Aµdxµ +

∫ 2

1

∂µχdxµ

= −q

c

∫ 2

1

Aµdxµ +

∫ 2

1

dχ

= −q

c

∫ 2

1

Aµdxµ,

supondo que a funcao χ se anule nos pontos fixos.Como a acao de uma partıcula num campo eletromagnetico e um invariante

de gauge, tambem as equacoes de movimento (que provem, em ultima analise,da variacao da acao entre dois pontos fixos) o sera. Isto reforca nossa intuicao deque todas as quantidades fisicamente relevantes devem ser invariantes de gauge.

Ja que campos magneticos, por exemplo, sao definidos pelos potenciaiseletromagneticos a menos de transformacoes de gauge, temos a liberdade deescolher um gauge que mais convenha a nossos propositos. Na eletrostatica, porexemplo, e conveniente adotar o gauge de Coulomb ∇·A = 0, mas essa condicaonao e invariante de Lorentz. Uma generalizacao seria o quadridivergente

∂µAµ = ∂0A

0 + ∂iAi =

1

c

∂A

∂t−∇ ·A = 0, (6.11)

que e, como o leitor certamente se recorda do Capıtulo I, a condicao de gauge deLorentz. Dessa forma o gauge de Lorentz e a generalizacao covariante do gaugede Coulomb e, portanto, e apropriado para campos que dependem do tempo.

6.2. TRANSFORMACOES DE LORENTZ PARAOQUADRIPOTENCIAL229

6.2 Transformacoes de Lorentz para o quadripo-tencial

Se o quadripotencial Aµ e um quadrivetor no referencial K entao, no referencialK ′ o quadrivetor correspondente e dado por uma transformacao de Lorentz(5.95)

A′µ = ΛµνAν . (6.12)

onde

(Λνµ) =

γ −βγ 0 0

−βγ γ 0 00 0 1 00 0 0 1

. (6.13)

e a matriz de transformacao de Lorentz. Abrindo em componentes a relacao(6.12) chegamos as seguintes relacoes entre as componentes contravariantes doquadripotencial para dois referenciais em movimento relativo uniforme

A′0 = Λ00A

0 + Λ01A

1 (6.14)

A′1 = Λ10A

0 + Λ11A

1 (6.15)

A′2 = Λ22A

2 (6.16)

A′3 = Λ33A

3 (6.17)

Substituindo (6.1) temos as transformacoes de Lorentz para os potenciaisescalar e vetor:

ϕ′ = γ(ϕ− βcgAx) (6.18)

A′x = γ

(A′x −

β

cgϕ′)

(6.19)

A′y = Ay (6.20)

A′z = Az. (6.21)

onde

γ =1√

1− β2=

(1− v2

c2

)−1/2

. (6.22)

As transformacoes inversas sao facilmente obtidas trocando v por −v, ouβ → −β, o que mantem o fator de Lorentz γ inalterado:

ϕ = γ(ϕ′ + βcgA′x) (6.23)

Ax = γ

(A′x +

β

cgϕ′)

(6.24)

Ay = A′y (6.25)

Az = A′z. (6.26)

Para concluir, usando o quadrimomentum pµ e o quadripotencial Aµ, epossıvel definir um quadrimomentum generalizado como

Pµ = pµ +q

cAµ. (6.27)


As componentes espaciais deste quadrivetor,

P i = pi +q

cAi (6.28)

correspondem ao momentum generalizado, canonicamente conjugado a posicaona presenca de campos eletromagneticos. Ja a componente temporal

P 0 = p0 +q

cA0 =

Ecc

+q

cϕ, (6.29)

e a energia total (cinetica mais potencial eletrica) dividida pela velocidade daluz. Lembremos que o potencial vetor nao aparece nessa expressao pois o campomagnetico nao realiza trabalho sobre uma partıcula carregada.

Chamando a energia total

E = Ec + qϕ, (6.30)

podemos escrever simbolicamente

Pµ =

(Ec,p+ qgA

), Pµ =

(Ec,−p− qgA

). (6.31)

6.3 Tensor do Campo Eletromagnetico

Na formulacao covariante da teoria eletromagnetica os campos E eB sao obtidosa partir do quadripotencial Aµ = (ϕ,A), onde

E = −∇ϕ− g∂A

∂t, (6.32)

B = ∇×A. (6.33)

O potencial vetor A e um vetor polar, assim como o campo eletrico, mas ocampo magnetico e um vetor axial (pseudo-vetor), ou seja, ele muda de sinal sefizermos uma inversao de paridade das coordenadas (em geral, uma reflexao).

Pseudo-vetores sao escolhidos de acordo com uma convencao de sentido:o produto externo e obtido a partir da “regra da mao direita”, ou “regra doparafuso”. Ela existe porque a maioria das pessoas e destra. Caso fosse ocontrario, certamente a regra seria outra! O emprego de convencoes como essana Fısica e perfeitamente aceitavel, desde que reconhecamos que sao convencoes(portanto sujeitas a mudancas, se necessario) e sejamos consistentes no seu uso.

Chegamos, entao, a uma conclusao muito importante: as leis da Fısica naopodem misturar vetores e pseudo-vetores, caso contrario elas dependeriam denossas convencoes de sentido. No caso da Eletrodinamica essa exigencia coloca-nos um problema fundamental: como podemos reunir o campo eletrico e ocampo magnetico numa uica quantidade que nao dependa de uma convencao desentido? Alem disso, como fazer isso numa teoria covariante?

A resposta esta em usar, para representar o campo magnetico, um tensoranti-simetrico Bjk, tal que as componentes do campo magnetico sejam dadaspor

Bi =1

2εijkBjk, (6.34)

6.3. TENSOR DO CAMPO ELETROMAGNETICO 231

onde εijk e o sımbolo de Levi-Civita, e Bkj = −Bjk, donde as componentesdiagonais sao nulas: B11 = B22 = B33 = 0, e ha apenas tres componentesindependentes nao-nulas:

Bx = B1 =1

2ε1jkBjk =

1

2ε123︸︷︷︸=1

B23+1

2ε132︸︷︷︸=−1

B32 =1

2(B23−B32) = B23, (6.35)

e, analogamente, By = −B13 e Bz = B12.As componentes do tensor do vetor campo magnetico sao combinadas com

as componentes do campo eletrico na forma de um quadritensor anti-simetricochamado tensor do campo eletromagnetico, e definido como

Fµν = ∂µAν − ∂νAµ, (6.36)

tal queFµν = −Fνµ (6.37)

como pode ser facilmente verificado trocando os ındices µ por ν e vice-versa.Decorre, entao, que as suas componentes diagonais sao sempre nulas: F00 =F11 = F22 = F33 = 0.

Sobram 16 − 4 = 12 componentes nao-nulas mas, devido a anti-simetria,apenas a metade dos componentes (6) e independente. E sao, justamente, astres componentes do campo eletrico mais as tres do campo magnetico. De fato,podemos verificar explicitamente que

F01 = ∂0A1 − ∂1A0 = −cgc

∂Ax∂t

− ∂ϕ

∂x= Ex, (6.38)

F12 = ∂1A2 − ∂2A1 = −cg ∂Ay∂x

+ cg∂Ax∂y

= −cgBz, (6.39)

etc., onde usamos (6.3) e (6.4). Fazendo o mesmo para os demais elementostemos

(Fµν) =

0 Ex Ey Ez

−Ex 0 −cgBz cgBy−Ey cgBz 0 −cgBx−Ez −cgBy cgBx 0

, (6.40)

ou, da mesma maneira, tal que

F0i = Ei, (i = 1, 2, 3), (6.41)

Fij = −cgBij , (i, j = 1, 2, 3). (6.42)

.As componentes contravariantes do tensor do campo eletromagnetico podem

ser obtidas aplicando-se o tensor metrico

Fµν = gµαgνβFαβ , (6.43)

de tal forma que

(Fµν) =

0 −Ex −Ey −Ez

Ex 0 −cgBz cgByEy cgBz 0 −cgBxEz −cgBy cgBx 0

. (6.44)


6.4 Forma covariante da equacao de movimento

A forca de Lorentz sobre uma partıcula de carga q e velocidade v num campoeletromagnetico e dada por

f = q(E+ gv ×B), (6.45)

onde usamos a letra f minuscula para a forca, ao inves da sua densidadevolumetrica, como fizemos no Capıtulo I. As suas componentes sao, portanto

fi = q(Ei + gεijkvjBk

= qEi +1

2qgεijkεk`mB`m

= qEi +1

2qg(δi`δjm − δimδj`)B`m

= qEi +1

2qg(vmBim − v`Bì

= qEi +1

2qg2vmBim = q(Ei + gvjBij), (6.46)

onde usamos (6.34) para substituir o campo magnetico pelo seu tensor anti-simetrico associado, e usamos a relacao (??) do Apendice I, substituindo m porj no ultimo termo, por serem ındices mudos.

Usando, agora, (6.41) e (6.42) podemos reescrever as componentes da forcade Lorentz em termos das componentes do quadri-tensor do campo eletro-magnetico:

fi = q

(F0i −

1

cvjBij

). (6.47)

Lembrando, agora, das componentes contravariantes da quadrivelocidade: u0 =

γc e uj = γvj , (j = 1, 2, 3), onde γ = (1− v2/c2)−1/2

temos entao que

fi =q

γc

(F0iu

0 − Fijuj)= − q

γcFiνu

ν , (6.48)

onde a somatoria em ν vai de 0 a 3, pela convencao de Einstein.

Nos definimos, no Capıtulo I, a forca de Minkowski sobre a partıcula comosendo um quadrivetor Kµ = dpµ/dτ , onde pµ = muµ e o quadrimomentum e τo tempo proprio, com as seguintes componentes covariantes:

K0 =γ

cf · v, Ki = −γfi, (i = 1, 2, 3). (6.49)

Comparando (6.48) com (6.49) observamos que aquela pode ser expressa como

Ki =q

γcFiνu

ν , (i = 1, 2, 3). (6.50)

Falta verificar ainda a componente temporal da forca de Minkowski, que eigual a potencia associada a forca de Lorentz:

K0 =γq

c(E+ gv ×B) · v =

γq

cE · v, (6.51)

6.5. TRANSFORMACOES DE LORENTZ PARAOS CAMPOS ELETROMAGNETICOS233

ja que a forca magnetica nao realiza trabalho. Substituindo (6.41) e a respectivacomponente da quadrivelocidade

K0 =q

cF0ju

j =q

cF0νu

ν , (6.52)

uma vez que F00 = 0. Reunindo (6.50) e (6.52) numa unica expressao chegamosa forma covariante da equacao de movimento:

Kµ =dpµ

dτ= m

duµdτ

=q

cFµνu

ν . (6.53)

No Capıtulo II vimos que a forca de Minkowski e sempre perpendicular alinha de universo, logo subsiste a condicao

Kµuµ = Fµνu

µuν = 0. (6.54)

6.5 Transformacoes de Lorentz para os camposeletromagneticos

Como Fµν e um quadritensor, as suas componentes num referencial K ′ emmovimento relativo uniforme sao dadas pela expressao geral

F ′µν = ΛµαΛνβF

αβ , (6.55)

onde, por haver dois ındices repetidos, trata-se de uma somatoria dupla (naqual, felizmente, a maioria dos termos e nula). Por exemplo

F ′01 = Λ0αΛ

1βF

αβ = Λ00Λ

11F

01 + Λ01Λ

10F

10

= E′x = −γ2Ex + γ2β2Ex = −γ2 (1− β2)︸︷︷︸

=1/γ2

Ex = −Ex, (6.56)

F ′12 = Λ1αΛ

2βF

αβ = Λ10Λ

22F

02 + Λ01Λ

22F

12

−cgB′z = −γβEy − γcgBz

B′z = γ

(Bz −

β

cgEy

), (6.57)

e assim por diante.Repetindo o procedimento para as demais quatro componentes nao-nulas do

tensor do campo eletromagnetico temos as transformacoes de Lorentz para oscampos:

E′x = Ex, (6.58)

E′y = γ (Ey − βcgBz) , (6.59)

E′z = γ (Ez + βcgBy) , (6.60)

B′x = Bx, (6.61)

B′y = γ

(By +

β

cgEz

), (6.62)

B′z = γ

(Bz −

β

cgEy

). (6.63)


que podem ser escritas de forma vetorial como

E′ = E+ gv ×B, (6.64)

B′ = B− 1

gc2v ×E. (6.65)

As transformacoes inversas, obtidas trocando-se β por −β, sao:

Ex = E′x, (6.66)

Ey = γ(E′y + βcgB′

z

), (6.67)

Ez = γ(E′z − βcgB′

y

), (6.68)

Bx = B′x, (6.69)

By = γ

(B′y −

β

cgE′z

), (6.70)

Bz = γ

(B′z +

β

cgE′y

). (6.71)

ou, ainda

E = E′ − gv ×B′, (6.72)

B = B′ +1

gc2v ×E′. (6.73)

6.5.1 Consequencias das transformacoes para os campos

Ha varias consequencias importantes destas transformacoes dos campos. Vamossupor uma partıcula carregada em movimento com uma velocidade constantev. No referencial K ′, que se movimenta junto com a partıcula, esta esta emrepouso relativo. Logo so ha um campo eletrico E′ (dado pela Lei de Coulomb)e nao ha campo magnetico (B′ = 0).

De (6.72) temos que E = E′, ou seja, no referencial do laboratorio K, ocampo eletrico e o mesmo do que no referencial da partıcula (e tambem seradado pela lei de Coulomb). Usando (6.73), no referencial do laboratorio o campomagnetico sera

B =1

gc2v ×E,

que ja que a partıcula esta em movimento em relacao a K.De modo analogo, supondo que o campo eletrico seja nulo no referencial

proprio K ′, ou E′ = 0, de (6.73) temos que B = B′, ou seja, o campo magneticoe identico em ambos os referenciais. O campo eletrico no referencial do labo-ratorio sera, de (6.72), dado por

E = −gv ×B,

de modo que a forca de Lorentz sobre a partıcula seja nula

F = q(E+ gv ×B) = 0,

no referencial do laboratorio.

6.6. CAMPOS PRODUZIDOS POR UMA PARTICULA CARREGADA EMMOVIMENTOUNIFORME235

6.6 Campos produzidos por uma partıcula car-regada em movimento uniforme

Uma aplicacao importante das transformacoes de Lorentz dos campos consistenuma partıcula de carga q movendo-se ao longo do eixo x com velocidade vconstante. Sem perda de generalidade vamos supor que o ponto de observacaoesta a uma distancia b da trajetoria da partıcula, nas coordenadas (x, y, z) =(0, b, 0) no referencial do laboratorioK. A partıcula esta na origem do referencialproprio K ′ com velocidade v.

No referencial proprio o campo eletrico e dado pela lei de Coulomb

E′ = kq

r′2n, (6.74)

onde n e um vetor unitario na direcao que une a carga ao observador. No ref-erencial K ′ as coordenadas do ponto de observacao sao (x′, y′, z′) = (−vt′, b, 0),de modo que a distancia entre a carga e o observador e

r′2 = b2 + (V t′)2.

Da transformacao de Lorentz para o tempo, para x = 0,

t′ = γ(t− vx

c2) = γt,

tal que x′ = −γvt, e r′2 = b2 + (γV t)2, bem como

n = −γvtr′

x+b

r′y.

Substituindo tudo em (6.74) temos as tres componentes do campo eletricono referencial proprio:

E′x = − kqγvt

(b2 + γ2v2t2)3/2

, (6.75)

E′y =

kqb

(b2 + γ2v2t2)3/2

, (6.76)

E′z = 0. (6.77)

assim como o campo magnetico e nulo: B′x = B′

y = B′z = 0 por estar a partıcula

em repouso nesse referencial.As componentes deos campos E e B no referencial do laboratorio seguem

por aplicacao direta das equacoes de transformacao inversa (6.66)-(6.71):

Ex = − kqγvt

(b2 + γ2v2t2)3/2

, (6.78)

Ey =kqγb

(b2 + γ2v2t2)3/2

, (6.79)

Ez = 0, (6.80)

Bx = 0, (6.81)

By = 0, (6.82)

Bz =kqγβb

cg(b2 + γ2v2t2)3/2

. (6.83)


Observe que, mesmo para velocidades nao-relativısticas (v c), podemoster um campo magnetico no referencial de laboratorio, dado pelo limite de (??)com γ → 1

Bz ≈kqβb

cg(b2 + v2t2)3/2

≈ k

gc2qv

b3, (6.84)

que e justamente o resultado fornecido pela Lei de Biot-Savart.Vamos, agora, estudar a distribuicao espacial do campo eletrico produzido

pela partıcula a tempo fixo no referencial do laboratorio. Se a partıcula estivesseem repouso, como sabemos da Fısica Basica, as linhas de forca do campo eletricotem simetria radial e estao uniformemente distribuidas em todas as direcoes doespaco. Ja no caso de uma carga em movimento uniforme, de (6.78) e (6.79)temos que

EyEx

= − b

vt= tanψ

onde definimos o angulo ψ de tal modo que b = r sinψ e vt = −r cosψ. Paraum t fixo, portanto, as linhas de forca do campo eletrico continuam radiais. Noentanto, elas nao estao mais uniformemente distribuidas , como podemos verescrevendo Ex e Ey em funcao do angulo ψ:

Ex =kqγr cosψ

r3γ3(1− β2 sin2 ψ)3/2

=kq(1− β2) cosψ

r2(1− β2 sin2 ψ)3/2

(6.85)

Ey =kqγr sinψ

r3γ3(1− β2 sin2 ψ)3/2

=kq(1− β2) sinψ

r2(1− β2 sin2 ψ)3/2

. (6.86)

Na direcao do movimento da partıcula ψ = 0, e o campo eletrico so temcomponente Ex = kq/γ2r2. Podemos interpretar isso, de uma forma grosseira,como se as linhas de forca do campo eletrico tivessem sido contraidas na direcaodo movimento. Ja na direcao ortogonal ao movimento ψ = π/2, e o campoeletrico so tem componente Ey = kγq/r2, de forma que ele e intensificado nessadirecao: e como se as linhas de forca tenham sido concentradas nas proximidadesde um plano perpendicular ao movimento. Como consequencia, as linhas deforca estao distribuidas anisotropicamente. De (6.85) e (6.86) o modulo docampo eletrico produzido pela partıcula e

E =kq

r21− β2

(1− β2 sin2 ψ)3/2

=kq

r2fβ(ψ), (6.87)

onde

fβ(ψ) =1− β2

(1− β2 sin2 ψ)3/2

, (6.88)

um resultado que ja era conhecido de Oliver Heaviside em 1888.Se a partıcula esta em repouso (β = 0) entao, como f0(ψ) = 1 a expressao

(6.87) reduz-se a lei de Coulomb. Para β 6= 0, a funcao fβ(ψ) varia desde ummınimo em ψ = 0, onde fmin = f(0) = 1/γ2, ate um maximo em ψ = π, ondefmax = f(π) = γ. De fato, na direcao perpendicular ao movimento o campoe intensificado por um fator γ, ao passo que na direcao do movimento ele econtraido por um fator γ2. Uma esfera que se contrai e estica segundo essastaxas sofre uma contracao lıquida de γ/γ2 = γ, exatamente o fator previsto

6.7. TENSOR DUAL DO CAMPO ELETROMAGNETICO 237

pela contracao de Lorentz-Fitzgerald! De fato, esse resultado inspirou Lorentze Fitzgerald que, independentemente, tentaram reconciliar o resultado negativoda experiencia de Michelson-Morley com a existencia do eter fazendo a suposicao“ad hoc” que os eletrons da materia sofressem tal contracao.

6.7 Tensor dual do campo eletromagnetico

O tensor do campo eletromagnetico, sendo anti-simetrico, tem, associado a ele,um tensor dual dado por (5.99)

F ∗µν =1

2εµναβFαβ , (6.89)

onde εµναβ e o pseudo-tensor completamente anti-simetrico de quarta ordem,cujas propriedades foram definidas no Capıtulo II. Em particular ε0123 = +1,assim como para um numero par de transposicoes de ındices; e ele troca de sinalquando fazemos um numero ımpar de transposicoes de ındices. Para dois oumais ındices iguais ε = 0.

As componentes do tensor dual do campo eletromagnetico sao obtidas des-dobrando a dupla somatoria em (6.89). As componentes diagonais sao auto-maticamente nulas pois

F ∗µµ =1

2εµµαβ︸︷︷︸

=0

Fαβ = 0.

enquanto que as demais sao, por exemplo

F ∗01 =1

2ε01αβFαβ =

1

2

ε0123︸︷︷︸=1

F23 + ε0132︸︷︷︸=−1

F32

=

1

2(F23 − F32) = F23 = −cgBx, (6.90)

F ∗12 =1

2ε12αβFαβ =

1

2

ε1203︸︷︷︸=1

F03 + ε1230︸︷︷︸=−1

F30

=

1

2(F03 − F30) = F03 = −Ez, (6.91)

e assim por diante, de modo que

(F ∗µν) =

0 −cgBx −cgBy −cgBz

cgBx 0 −Ez EycgBy Ez 0 −ExcgBz −Ey Ex 0

, (6.92)

As componentes covariantes do tensor dual do campo eletromagnetico podemser encontradas usando o tensor metrico

F ∗µν = gµαgνβF

αβ , (6.93)


fornecendo

(F ∗µν) =

0 −cgBx −cgBy −cgBz

cgBx 0 −Ez EycgBy Ez 0 −ExcgBz −Ey Ex 0

. (6.94)

6.8 Invariantes de Lorentz dos campos

Para construirmos quadriescalares a partir do tensor do campo eletromagneticoe seu dual devemos fazer contracoes de dois ındices. Ha evidentemente infini-tas formas de fazer isso. No entanto, por varios motivos apenas duas dessascontracoes fornecem invariantes de Lorentz que sao independentes entre si. Oprimeiro invariante e o quadriescalar

FµνFµν = FµνFµν (6.95)

que, em se abrindo as duas somatorias, nos fornece um total de 16 termos, dosquais os nao-nulos sao 16− 4 = 12 e, devido a anti-simetria, somente 12/2 = 6sao independentes:

FµνFµν = 2F01F

01 + 2F02F02 + 2F03F

03 + 2F12F12 + 2F13F

13 + 2F23F23

= 2(−E2x − E2

y − E2z + c2g2B2

x + c2g2B2y + c2g2B2

z)

= −2(E2 − c2g2B2). (6.96)

ou seja, a quantidade E2 − c2g2B2 e um invariante de Lorentz:

E′2 − c2g2B′2 = E2 − c2g2B2. (6.97)

Outro quadriescalar pode ser construido contraindo o tensor do campo eletro-magnetico com o seu dual:

F ∗µνFµν = F ∗µνF

µν , (6.98)

que, aberto o somatorio duplo, fornece 4cgE · B, ou seja, a quantidade E · Btambem e um invariante de Lorentz:

E′ ·B′ = E ·B. (6.99)

Como uma aplicacao imediata destes dois invariantes, observamos que, numaonda eletromagnetica plana os campos sao perpendiculares entre si E · B = 0no referencial do laboratorio. De (6.99), segue que eles tambem o serao noreferencial proprio. Alem disso, sabemos que a razao entre os modulos doscampos no referencial do laboratorio e E/B = cg, de forma que o invarianteE2− c2g2B2 e nulo. De (6.97), no referencial proprio tambem teremos E′/B′ =cg. Logo, a onda eletromagnetica tem exatamente as mesmas propriedades nosdois referenciais.

Esta e uma consequencia notavel do princıpio da relatividade, que afirmaser a velocidade destas ondas igual em ambos os referenciais. Na verdade, apropria onda e vista da mesma forma por eles. De acordo com suas memorias,Einstein aos 16 anos, imaginou o seguinte gedankenexperiment (experiencia de

6.9. QUADRICORRENTE 239

pensamento): o que aconteceria se alguem “cavalgasse” uma onda luminosa. Emrelacao a este observador os campos estariam em repouso, mas espacialmenteoscilantes, o que contradiz a ideia de uma onda eletromagnetica. E provavelque essa ideia tenha sido uma das sementes da teoria que Einstein desenvolveriaanos mais tarde.

Em geral, podemos sempre encontrar um referencial inercial para o qualos campos E e B tenham os valores que desejarmos, desde que observemosa invariancia das quantidades E2 − c2g2B2 e E · B. Por exemplo, existe umreferencial inercial para o qual os campos eletrico e magnetico sejam paralelos.Neste referencial

E ·B = EB = E′ ·B′.

Isolando B e substituindo em (6.97) chega-se a seguinte equacao biquadraticaem E:

E4 − E2(E′2 − c2g2B′2)− c2g2(E′ ·B′)2= 0.

6.9 Quadricorrente

As fontes do campo eletromagnetico no vacuo (cargas livres e correntes eletricas)sao descritas, na formulacao covariante da Eletrodinamica Classica, pelo quadriv-etor quadricorrente, definido como

jµ = ρdxµ

dt, (6.100)

onde ρ e a densidade de carga eletrica. As componentes contravariantes daquadricorrente sao

j0 = ρdx0

dt= ρc, (6.101)

ji = ρdxi

dt= ρvi = Ji, (6.102)

ou, simbolicamente, jµ = (cρ,J), onde J e a densidade superficial de corrente.E importante observar que, embora a densidade de carga nao seja um in-

variante de Lorentz, a carga da partıcula o e. Entao, multiplicando o elementode carga pelo elemento de quadriposicao temos um quadrivetor:

dqdxµ = ρdV dxµ =1

cρdxµ

dt(cdt)dV =

1

cjµd4x (6.103)

onde dΩ = dx0dx1dx2dx3 = (cdt)dV , que e o elemento de volume no espaco deMinkowski, e um quadriescalar.

Pela definicao de quadricorrente podemos escrever a equacao de continuidadedo Capıtulo I, que exprime matematicamente o princıpio de conservacao de cargaeletrica, como

∂ρ

∂t+∇ · J =

1

c

∂(ρc)

∂t+∂Ji∂xi

= ∂0j0 + ∂ij

i = 0 (6.104)

isto e, a quadricorrente e conservada (seu quadridivergente e nulo)

∂µjµ = 0. (6.105)


Finalmente, a quadricorrente pode ser usada para reescrever a acao classicareferente a interacao entre partıculas carregadas e campos eletromagneticos.Considerando um sistema de partıculas de cargas qa e massas de repouso ma,situadas nas posicoes ra temos, de 6.10) a acao

S =

∫(−∑a

macds−1

c

∑a

qaAµdxµ). (6.106)

Multiplicando o lado direito pelo fator

1 =

∫dV δ(r− ra)

e considerando a densidade de carga de um sistema de partıculas como umadistribuicao singular

ρ(r) =∑a

qaδ(r− ra), (6.107)

temos que

S =

∫(−∑a

macds−1

cρAµdx

µdV ). (6.108)

Usando (6.103) teremos, entao, que a acao classica de um sistema de partıculasinteragindo com campos eletromagneticos e dada por

S = −∫ ∑

a

macds−1

c2

∫d4xjµAµ. (6.109)

6.10 Forma covariante das Equacoes de Maxwell

6.10.1 Equacoes de Maxwell homogeneas

Sao as equacoes sem fontes, a saber, a lei de Gauss magnetica

∇ ·B = 0, (6.110)

e a lei de Faraday

∇×E+ g∂B

∂t= 0. (6.111)

O tensor do campo magnetico Fµν satisfaz identicamente a identidade deBianchi:

∂αFβγ + ∂βFγα + ∂γFαβ = 0 (6.112)

para cada tripla de valores de (α, β, γ), quando cada um deles varia de 0 ate3. E facil ver que os termos na identidade de Bianchi constituem permutacoescıclicas (pares) dos ındices (α, β, γ).

A identidade de Bianchi pode ser verificada diretamente substituindo adefinicao (6.36) em (6.112):

∂αFβγ+∂βFγα+∂γFαβ = ∂α(∂βAγ−∂γAβ)+∂β(∂γAα−∂αAγ)+∂γ(∂αAβ−∂βAα) = 0,

onde usamos a relacao de Schwartz

∂α∂β = ∂2α,β = ∂β∂α. (6.113)

6.10. FORMA COVARIANTE DAS EQUACOES DE MAXWELL 241

Vamos mostrar que as duas equacoes de Maxwell homogeneas sao equiva-lentes a identidade de Bianchi (6.112). Escolhendo a tripla (α, β, γ) = (1, 2, 3)teremos

∂1F23 + ∂2F31 + ∂3F12 = 0

−cg ∂Bx∂x

− cg∂By∂y

− cg∂Bz∂z

= 0

−cg∇ ·B = 0.

que e a lei de Gauss magnetica (6.110).Escolhendo a tripla (α, β, γ) = (0, 1, 2) teremos

∂0F12 + ∂1F20 + ∂2F01 = 01

c

∂

∂t(−cgBz)−

∂Ey∂x

+∂Ex∂y

= 0

−g ∂Bz∂t

− (∇×E)z = 0.

que e a componente z da lei de Faraday (6.111). Analogamente, as triplas(0, 3, 1) e (0, 2, 3) fornecem as componentes y e x de (6.111), respectivamente.

Ao inves de usar a identidade de Bianchi, e comum escrevermos as equacoesde Maxwell homogeneas em termos do tensor dual do campo eletromagnetico.Multiplicamos a identidade de Bianchi (6.112) pelo pseudo-tensor εµαβγ :

εµαβγ(∂αFβγ + ∂βFγα + ∂γFαβ) = 0

εµαβγ∂αFβγ + εµαβγ∂βFγα︸︷︷︸=I

+ εµαβγ∂γFαβ︸︷︷︸=II

= 0

Trocando β por α, γ por β e α por γ no termo I, e trocando γ por α, α porβ e β por γ no termo II, podemos colocar em evidencia a derivada do tensor docampo

(εµαβγ + εµγαβ + εµβγα)∂αFβγ = 0

(εµαβγ + εµαβγ + εµαβγ)∂αFβγ = 0

3εµαβγ∂αFβγ = 0

6∂αF∗µα = 0

de modo que, por uma nova troca de ındices (α→ β e µ→ α), escrevemos

∂βF∗αβ = 0. (6.114)

6.10.2 Equacoes de Maxwell inomogeneas

Sao as equacoes com fontes, a saber, a lei de Gauss eletrica

∇ ·E = 4πkρ, (6.115)

e a lei de Ampere-Maxwell

∇×B− 1

gc2∂E

∂t=

4πk

gc2J. (6.116)


Vamos demonstrar que estas equacoes podem ser escritas em conjunto na forma

∂βFαβ = −4πk

cjα. (6.117)

Abrindo a somatoria implıcita na repeticao do ındice β temos

∂0Fα0 + ∂1F

α1 + ∂2Fα2 + ∂3F

α3 = −4πk

cjα.

Para α = 0 temos

∂0F00 + ∂1F

01 + ∂2F02 + ∂3F

03 = −4πk

cj0

∂Ex∂x

+∂Ex∂x

+∂Ex∂x

=4πk

ccρ,

∇ ·E = 4πkρ,

que e a Lei de Gauss Eletrica (6.115).Para α = 1 temos

∂0F10 + ∂1F

11 + ∂2F12 + ∂3F

13 = −4πk

cj1

−1

c

∂Ex∂t

+ cg∂Bz∂y

− cg∂By∂z

=4πk

cJx,

−1

c

∂Ex∂t

+ cg(∇×B)x =4πk

cJx,

que e a componente x da Lei de Ampere-Maxwell (6.116).

6.11 Tensor de Energia-Momentum para o CampoEletromagnetico

Da equacao de Maxwell homogenea, na forma da identidade de Bianchi (6.112),

∂βFγα = −∂αFβγ − ∂γFαβ , (6.118)

logo podemos escrever

Fαβ∂βFγα = Fαβ(−∂αFβγ − ∂γFαβ),

= −Fαβ∂αFβγ − Fαβ∂γFαβ ,

= −F βα∂βFαγ − Fαβ∂γFαβ ,

= −Fαβ∂βFγα − Fαβ∂γFαβ ,

onde, no termo sublinhado, nos trocamos β por α e vice-versa, e usamos aanti-simetria do tensor do campo eletromagnetico. Passando um dos termos dosegundo para o primeiro membro

Fαβ∂βFγα + Fαβ∂βFγα = 2Fαβ∂βFγα = −Fαβ∂γFαβ ,

Fαβ∂βFγα = −1

2Fαβ∂γFαβ .

6.11. TENSORDE ENERGIA-MOMENTUMPARAOCAMPO ELETROMAGNETICO243

Calculando, agora

∂γ(FαβFαβ) = Fαβ∂γFαβ + Fαβ∂γF

αβ

= Fαβ∂γFαβ + Fαβ∂γFαβ = 2Fαβ∂γFαβ ,

donde

Fαβ∂γFαβ =1

2∂γ(F

αβFαβ), (6.119)

que, ao ser substituida em (6.119), resulta em

Fαβ∂βFγα = −1

4∂γ(F

αβFαβ). (6.120)

Pre-multiplicando a equacao de Maxwell inomogenea (6.117) por Fγα, esubstituindo posteriormente (6.118), obtemos

Fγα∂βFαβ = −4πk

cFγαj

α,

∂β(FγαFαβ)− Fαβ∂βF

γα = −4πk

cFγαj

α. (6.121)

Substituindo (6.119) em (6.121) e

∂β(FγαFαβ) +

1

4∂γ(F

αβFαβ) = −4πk

cFγαj

α,

∂β(FγαFαβ) +

1

4δβγ∂β(F

αδFαδ) =

∂β

(FγαF

αβ +1

4δβγF

αδFαδ

)=

onde substituimos β por δ no termo sublinhado e trocamos o ındice γ por β nosımbolo de derivada pela multiplicacao pela delta de Kronecker apropriada.

Essa expressao pode ser escrita na forma

∂βTβγ = −1

cFγαj

α, (6.122)

onde definimos o tensor de energia-momentum do campo eletromagnetico

T βγ =1

4πk

(FγαF

αβ +1

4δβγF

αδFαδ

). (6.123)

O tensor de energia-momentum tem duas propriedades importantes, quepodem ser facilmente verificadas pelo leitor como exercıcio: (i) ele e simetrico(T βγ = T γβ ); (ii) ele tem traco nulo

T γγ = T 00 + T 1

1 + T 22 + T 3

3 = 0. (6.124)

De (6.96) sabemos que

FαδFαδ = −2(E2 − c2g2B2). (6.125)

logo

T βγ =1

4πk

[FγαF

αβ − 1

2δβγ (E

2 − c2g2B2)

]. (6.126)


Para γ = β = 0 temos

T 00 =

1

4πk

[F0αF

α0 − 1

2(E2 − c2g2B2)

]=

=1

4πk

[F00F

00 + F01F10 + F02F

20 + F03F30 − 1

2(E2 − c2g2B2)

]=

=1

4πk

[E2x + E2

y + E2z −

1

2(E2 − c2g2B2)

]=

=1

8πk(E2 − c2g2B2) = u, (6.127)

que e a densidade de energia do campo eletromagnetico, como definimos noCapıtulo I.

No caso γ = 0, β = 1 temos

T 10 =

1

4πk

[F0αF

α1]=

=1

4πk

[F00F

01 + F01F11 + F02F

21 + F03F31]=

=cg

4πk[EyBz − EzBy] =

=cg

4πk(E×B)x =

1

cSx = T 0

1 , (6.128)

que e a componente x do vetor de Poynting (cf. Cap. I) que, como sabemos,e a densidade de fluxo de energia ao longo da direcao x. De forma analoga, oselementos T 2

0 e T 30 sao as componentes y e z, respectivamente, de S/c.

Passamos, agora, as componentes espaciais do tensor de energia-momentumdo campo. Quando γ = β = 1 temos

T 11 =

1

4πk

[F1αF

α1 − 1

2(E2 − c2g2B2)

]=

1

4πk

[F10F

01 + F11F11 + F12F

21 + F13F31 − 1

2(E2 − 2c2g2B2 + c2g2B2)

]=

1

4πk

[E2x − c2g2B2

z − c2g2B2y −

1

2(8πku− 2c2g2B2)

]=

1

4πk

[E2x + c2g2B2

x

]− 4πku

=1

4πk(E1E1 + c2g2B1B1)− uδ11 = σ11 (6.129)

onde definimos, no Capıtulo I, o tensor das tensoes de Maxwell como

σij =1

4πk(EiEj + c2g2BiBj)− uδij , (6.130)

que representa fisicamente a densidade de fluxo de momentum linear do campoeletromagnetico. As demais componentes espaciais do tensor de energia-momentumsao iguais as componentes do tensor das tensoes de Maxwell: T ji = σij , para

6.12. EQUACOES DE BALANCO DE ENERGIA EMOMENTUM LINEAR245

i, j = 1, 2, 3. Resumindo temos, entao, que

(T νµ ) =

0 Sx/c Sy/c Sz/c

Sx/c σxx σxy σxzSy/c σxy σyy σyzSz/c σxz σyz σzz

. (6.131)

6.12 Equacoes de balanco de energia e momen-tum linear

Iremos, agora, mostrar que (6.122) e uma equacao de balanco de momentum eenergia para o campo eletromagnetico. Abrindo a somatorias em β e α teremos

∂0T0γ + ∂1T

1γ + ∂2T

2γ + ∂3T

3γ = −1

c

(Fγ0j

0 + Fγ1j1 + Fγ2j

2 + Fγ3j3)

= −Fγ0ρ−1

c(Fγ1Jx + Fγ2Jy + Fγ3Jz) .

No caso γ = 0 temos

1

c

∂T 00

∂t+∂T 1

0

∂x+∂T 2

0

∂y+∂T 3

0

∂z= −F00ρ−

1

c(F01Jx + F02Jy + F03Jz)

1

c

[∂u

∂t+∂Sx∂x

+∂Sy∂y

+∂Sz∂z

]= −1

c(ExJx + EyJy + EzJz)

que leva ao teorema de Poynting (cf. Cap. I)

∂u

∂t+∇ · S = −E · J, (6.132)

que representa o balanco de energia eletromagnetica num sistema.

Para γ = 1,

1

c

∂T 01

∂t+∂T 1

1

∂x+∂T 2

1

∂y+∂T 3

1

∂z= −F10ρ−

1

c(F11Jx + F12Jy + F13Jz)

1

c2∂Sx∂t

+∂σ11∂x

+∂σ12∂y

+∂σ13∂z

= ρEx −1

c(−cgBzJy)

∂pEM,x

∂t+ (∇ · σ)x = ρEx + g(J×B)x = fx

onde pEM = S/c2 e a densidade de momentum linear do campo eletromagneticoe f = ρE + gJ ×B e a densidade de forca de Lorentz sobre o sistema. Esta e,entao, a componente x da equacao de balanco de momentum linear do sistema

∂pEM∂t

+∇ · σ = f , (6.133)

sendo que as componentes y e z sao obtidas para γ = 2 e 3, respectivamente.


6.13 Forma covariante dos potenciais retarda-dos

No capıtulo I obtivemos, no gauge de Lorentz, as equacoes de onda inomogeneas:

A = −4πk

gc2J, (6.134)

ϕ = −4πkρ. (6.135)

onde definimos o operador d’Alembertiano, que e invariante de Lorentz (por serum operador quadriescalar)

= ∇2 − 1

c2∂2

∂t2,

= ∂µ∂µ = ∂µ∂µ = ∂2. (6.136)

Podemos escrever as equacoes de onda inomogeneas numa forma covariante,usando o quadripotencial Aµ = (ϕ, cgA e a quadricorrente jµ = (cρ,J):

Aµ =4πk

cjµ. (6.137)

Os potenciais retardados

ϕ(r, t) = k

∫dV ′

ρ(r′, t− |r−r′|

c

)|r− r′|

, (6.138)

A(r, t) =k

gc2

∫dV ′

J(r′, t− |r−r′|

c

)|r− r′|

, (6.139)

sao solucoes da equacao de onda inomogenea, portanto podemos tambem obteruma forma covariante para eles, que vem a ser:

Aµ =k

c

∫dV ′

jµ(r′, t− |r−r′|

c

)|r− r′|

. (6.140)

6.14 Teoria classica do campo eletromagnetico

6.14.1 Formulacao Lagrangeana para campos classicos

O conceito classico de campo consiste num sistema dinamico com espaco e tempocontınuos, o que implica em um numero infinitamente grande de graus de liber-dade. Podemos obter uma formulacao lagrangeana para um campo fazendo atransicao de um sistema discreto para o contınuo. Para isso, consideramos umacadeia unidimensional de osciladores harmonicos acoplados consistindo de Npartıculas de massa m separadas por uma distancia ∆ e ligadas por molas deconstante elastica k, na situacao de equilıbrio.

Se deslocarmos as massas dessas posicoes de equilıbrio de uma distancia ηa,a = 1, 2, . . . N , as molas irao distender-se ou encolher-se, provocando o aparec-imento de forcas restauradoras entre as massas que podem ser consideradas

6.14. TEORIA CLASSICA DO CAMPO ELETROMAGNETICO 247

Hookeanas, ou seja, a forca entre duas massas e proporcional a deformacao rel-ativa ηa+1− ηa das mesmas. Na formulacao lagrangeana deste problema identi-ficamos ηa como as coordenadas generalizadas, e as suas derivadas temporais ηacomo as velocidades generalizadas. Dessa forma podemos obter a Lagrangeanado sistema como a energia cinetica menos a energia potencial elastica

L(ηa, ηa) =∑a

1

2mη2a −

1

2k(ηa+1 − ηa)

2

=∆

2

∑a

m

∆η2a − k∆

(ηa+1 − ηa

∆

)2

. (6.141)

Para tomar o limite do contınuo nos fazemos N → ∞ e, ao mesmo tempo,∆ → 0, o que permite-nos descrever, por exemplo, uma barra elastica de compri-mento finito como uma colecao de infinitos osciladores acoplados. Substituimos,assim, a somatoria sobre as partıculas

∑a por uma integral assim como

lim∆→0

ηa+1 − ηa∆

= lim∆→0

η(x+∆)− η(x)

∆=∂η

∂x, (6.142)

lim∆→0

m

∆= ρm (6.143)

lim∆→0

k∆ = Y (6.144)

onde ρm e a densidade de massa e Y e o modulo de elasticidade de Young dabarra. Aplicando estes limites a (6.141)

L =1

2

∫dx

[ρm

(∂η

∂t

)2

− Y

(∂η

∂x

)2]. (6.145)

Observe que x, agora, nao e uma coordenada generalizada, e sim um parametro,ou seja, umındice contınuo substuindo o ındice discreto a. Entao η(x, t) pode seridentificado como o campo elastico da barra, sendo uma funcao dos parametrosx e t. Esta discussao pode ser imediatamente generalizada para o caso tridimen-sional, no qual identificamos η(r, t) = η(x, y, z, t) como um campo escalar que euma funcao da posicao e do tempo. Nessas condicoes, ao inves da Lagrangeananos preferimos trabalhar com uma densidade de Lagrangeana L tal que

L =

∫dV L

(η,∂η

∂x,∂η

∂y,∂η

∂z,∂η

∂t

), (6.146)

sendo que, para o campo elastico da barra, temos

L =1

2

ρm

(∂η

∂t

)2

− Y

[(∂η

∂x

)2

+

(∂η

∂y

)2

+

(∂η

∂z

)2]

,

=1

2

[ρm

(∂η

∂t

)2

− Y (∇η)2]. (6.147)

Podemos definir uma acao classica para o campo, em analogia com o quefizemos para um sistema de partıculas

S =

∫ t2

t1

Ldt =

∫dtdV L, (6.148)


onde t1 e t2 sao dois instantes de tempo fixos, de modo que o princıpio de Hamil-ton para campos assegura-nos que a configuracao espaco-temporal do campoentre dois instantes fixos torna a acao um extremo δS = 0.

6.14.2 Campo escalar

Vamos explorar o princıpio de Hamilton para campos com o objetivo de deter-minar as “equacoes de movimento” do campo escalar de deformacoes da barraelastica. Para simplificar a notacao, usaremos L(η, η, ∂iη), com i = 1, 2, 3. Avariacao da acao implica numa variacao da Lagrangeana

δS =

∫ t2

t1

dt

∫dV δL, (6.149)

onde

δL =∂L∂η

δη +∂L∂η

δη +∂L

∂(∂iη)δ(∂iη), (6.150)

de modo que

δS =

∫ t2

t1

dt

∫dV

∂L∂η

δη +

∫dV

∫ t2

t1

dt∂L∂η

δη︸︷︷︸=I

+

∫ t2

t1

dt

∫dV

∂L∂(∂iη)

δ(∂iη)︸︷︷︸=J

(6.151)Integrando por partes os termos I e J :

I =∂L∂η

δη

∣∣∣∣t2t1︸︷︷︸

=0

−∫ t2

t1

dtδη∂

∂t

(∂L∂η

), (6.152)

pois δη(t1) = δη(t2) = 0 (extremos fixos). Na integral de volume usamos omesmo raciocınio, desta vez anulando a variacao do campo na superfıcie S queenvolve a regiao do espaco (e que, portanto, pode ser jogada para o infinito)

J =∂L

∂(∂iη)δη

∣∣∣∣S︸︷︷︸

=0

−∫dV δη∂i

(∂L

∂(∂iη)

). (6.153)

Substituindo (6.152) e (6.153) em (6.151) temos

δS =

∫ t2

t1

dt

∫dV δη

[∂L∂η

− ∂

∂t

(∂L∂η

)− ∂i

(∂L

∂(∂iη)

)]︸︷︷︸

=0

= 0, (6.154)

para δη arbitrario, o que conduz as equacoes de Euler-Lagrange para o campoescalar da barra:

∂L∂η

− ∂

∂t

(∂L∂η

)− ∂i

(∂L

∂(∂iη)

)= 0. (6.155)

No caso da barra elastica unidimensional, usando a densidade de Lagrangeana(6.147), a equacao de movimento e a equacao de onda tridimensional

ρm∂2η

∂t2+ Y∇2η = 0, (6.156)

com velocidade de fase vf =√Y/ρm.

6.14. TEORIA CLASSICA DO CAMPO ELETROMAGNETICO 249

6.14.3 Equacao de Klein-Gordon

A teoria de campo elastico para barra nao e (e nem precisa ser, de fato) rel-ativisticamente covariante. No entanto, as teorias de campo, tanto classicascomo quanticas, objetivam a descricao de fenomenos de altas energias, razaopela qual devemos descrever tais teorias de campo por meio de quantidadesque se transformam como quadriescalares, quadrivetores, quadritensores, etc.Vamos denotar genericamente um campo escalar por φ(xµ) = φ(x0, x1, x2, x3).

A acao invariante de Lorentz para o campo escalar deve ser uma integral noespaco de Minkowski

S =

∫dV

dx0

cL =

1

c

∫d4xL, (6.157)

onde a densidade de Lagrangeana e

L = L(φ, ∂µφ). (6.158)

A generalizacao do tratamento dado ao campo elastico para o tratamentocovariante de um campo escalar e feita realizando as seguintes substituicoes:

η(r, t) → φ(xµ),

∂L∂η

→ ∂L∂φ ,

∂

∂t

(∂L∂η

)− ∂i

(∂L

∂(∂iη)

)→ ∂µ

∂L∂(∂µφ)

,

tal que a equacao de Euler-Lagrange para um campo escalar real e, de (6.155),dada por

∂L∂φ

− ∂µ∂L

∂(∂µφ)= 0, (6.159)

e que e um invariante de Lorentz (ja que o ındice µ esta contraido, gerando umquadriescalar).

Um exemplo importante de uma teoria covariante para um campo escalarconsiste da chamada Lagrangeana de Klein-Gordon, da forma

L =1

2∂µ∂µφ− 1

2λ2φ2, (6.160)

onde φ e um campo escalar real e λ e uma constante, tambem real. Calculandocada derivada de (6.159) em separado

∂L∂φ

= −λ2φ, (6.161)

∂µ∂L

∂(∂µφ)=

1

2

∂

∂(∂µφ)(∂νφ∂νφ)

=1

2

[∂(∂νφ)

∂(∂µφ)∂νφ+ ∂νφ

∂(∂νφ)

∂(∂µφ)

]==

=1

2(δµν∂νφ+ ∂νφδµν ) =

1

2(∂µφ+ ∂µφ) = ∂µφ. (6.162)


Substituindo (6.161) e (6.162) na equacao de Euler-Lagrange (6.159) temos

−λ2φ− ∂µ(∂µφ) = 0. (6.163)

Usando o operador d’Alembertiano ∂2 = ∂µ∂µ reescrevemos essa expressao

como a equacao de Klein-Gordon

∂2φ+ λ2φ = 0. (6.164)

6.15 Lagrangeana do campo eletromagnetico

A descricao lagrangeana do campo eletromagnetico apresenta algumas com-plicacoes adicionais em relacao ao campo elastico da barra. Em primeiro lugar, ocampo eletromagnetico e vetorial, ao passo que o campo elastico e escalar. Alemdisso, a teoria para o campo eletromagnetico deve ser covariante, portanto temosde trabalhar com o quadripotencial Aα. A densidade de Lagrangeana para ocampo magnetico sera, portanto

L = L(Aβ , ∂αAβ). (6.165)

Podemos adaptar o tratamento dado ao campo escalar para o campo eletro-magnetico fazendo as seguintes substituicoes:

η(r, t) → Aβ(xα),

∂L∂η

→ ∂L∂Aβ

,

∂

∂t

(∂L∂η

)− ∂i

(∂L

∂(∂iη)

)→ ∂α

∂L∂(∂αAβ)

,

tal que a equacao de Euler-Lagrange para o campo eletromagnetico e, de (6.155),dada por

∂L∂Aβ

− ∂α∂L

∂(∂αAβ)= 0. (6.166)

As equacoes de Maxwell inomogeneas

∂βFαβ = −4πk

cjα, (6.167)

sao as equacoes do campo eletromagnetico, obtidas a partir da seguinte densi-dade de Lagrangeana

L = − 1

c2jαAα − 1

16πckFαβF

αβ , (6.168)

onde o primeiro termo ja havia sido escrito anteriormente como a Lagrangeanade interacao entre partıculas carregadas e campos, e o segundo termo representaa Lagrangeana do campo eletromagnetico “puro”. Vamos lembrar que FαβF

αβ

e um invariante de Lorentz, alem de ser invariante de gauge, como pode serfacilmente demonstrado. Em teoria de campos, e costumeiro usar o sistema deHeaviside-Lorentz de unidades, onde k = 1/4π, de modo que o coeficiente daLagrangeana e −1/4c. Como e tambem comum escolher as unidades de modoque c = 1, o coeficiente e simplesmente −1/4.

6.16. LEIS DE CONSERVACAO NA TEORIA DE CAMPOS 251

Para demonstrar que (??) equivalem as equacoes de Euler-Lagrange relativasa Lagrangeana (6.168), vamos calcular as seguines derivadas

∂L∂Aβ

= − 1

c2∂

∂Aβ(jαAα) = − 1

c2jµ∂Aα∂Aβ

= − 1

c2jµ∂Aα∂Aβ

= − 1

c2δβµj

µ = − 1

c2jβ ,

∂L∂(∂αAβ)

= − 1

16πck

∂

∂(∂αAβ)FµνF

µν = − 1

16πck

[∂Fµν

∂(∂αAβ)Fµν + Fµν

∂Fµν

∂(∂αAβ)

].

Fazendo separadamente

∂Fµν∂(∂αAβ)

=∂

∂(∂αAβ)(∂µAν − ∂νAµ) = δαµδ

βν − δαν δ

βµ ,

∂Fµν

∂(∂αAβ)=

∂

∂(∂αAβ)(∂µAν − ∂νAµ) = δαµδβν − δανδβµ,

e substituindo os resultados

∂L∂(∂αAβ)

= − 1

16πck

[(δαµδ

βν − δαν δ

βµ)F

µν + (δαµδβν − δανδβµ)Fµν]

= − 1

16πck

[(δαµδ

βν − δαν δ

βµ)F

µν + (δασ δβλ − δαλ δ

βσ)F

σλ]

= − 1

16πck

[(δαµδ

βν − δαν δ

βµ)F

µν + (δαµδβν − δαν δ

βµ)F

µν]

= − 1

8πck

[(δαµδ

βν − δαν δ

βµ)F

µν]

= − 1

8πck(Fαβ − F βα) = − 1

4πckFαβ (6.169)

onde trocamos σ por µ e λ por ν no termo sublinhado e usamos a anti-simetriado tensor do campo.

Agora podemos colocar as derivadas anteriormente computadas na equacaode Euler-Lagrange do campo eletromagnetico (6.166), o que fornece

− 1

4πck∂αF

αβ = − 1

c2jβ , (6.170)

que, trocando α por β e vice-versa, nos leva as equacoes de Maxwell inomogeneas(??). As equacoes de Maxwell homogeneas (∂βF

∗αβ = 0) sao, como vimos, umaidentidade algebrica satisfeita pelo tensor do campo eletromagnetico.

6.16 Leis de Conservacao na Teoria de Campos

6.16.1 Simetrias na teoria de campos

Vamos considerar inicialmente uma teoria de campos escalares φ(x) = φ(x0, x1, x2, x3)no espaco de Minkowski, caracterizada pela densidade de Lagrangeana L(φ, ∂µφ).Uma transformacao infinitesimal dos campos

φ(xµ) → φ′(xµ) = φ(xµ) + δφ(xµ), (6.171)

induz uma variacao tambem infinitesimal na Lagrangeana δL. A transformacao(6.171) e dita uma simetria se for possıvel mostrar, sem o uso das equacoes deEuler-Lagrange que existe um quadrivetor Λµ tal que

δL = ∂µΛµ. (6.172)


Uma simetria importante e uma translacao infinitesimal no espaco de Minkowski:

xµ → x′µ = xµ − εµ (6.173)

onde εµ e um quadrivetor infinitesimal. Ela pode corresponder tanto a umatranslacao temporal como a uma translacao espacial ou ambos.

Como εµ e “pequeno”, podemos fazer uma expansao em serie de potenciasde εµ, desprezando termos de ordem igual ou superior a dois:

φ′(x′µ) = φ′(xµ − εµ) = φ′(xµ)− εν∂νφ′ + · · ·

φ(xµ) = φ′(xµ)− εν∂ν(φ+ δφ)

= φ′(xµ)− εν∂νφ+ · · ·

de modo que a variacao infinitesimal no campo e dada por (6.171) como

δφ(xµ) = φ′(xµ)− φ(xµ) = εν∂νφ. (6.174)

Como um exemplo representativo, consideremos um campo de Klein-Gordon.descrito pela densidade de Lagrangeana (6.160)

L =1

2∂µ∂µφ− 1

2λ2φ2. (6.175)

Fazendo uma variacao infinitesimal da Lagrangeana teremos

δL =1

2[δ(∂µφ)∂µφ+ ∂µφδ(∂µφ)]− λ2φδφ

=1

2

[(∂µδφ)∂µφ+ ∂µφ(∂

µδφ)− λ2φδφ = ∂µφ(∂µδφ)− λ2φδφ

]= ∂µφ∂

µ(εν∂νφ)− λ2φδφ = εν∂νL,

que, quando comparada com (6.172), mostra que a translacao infinitesimal euma simetria do espaco de Minkowski para esta teoria de campo, sendo

Λν = ενL (6.176)

6.16.2 Teorema de Noether

O resultado da subsecao anterior foi generalizado pela matematica alema EmmyNoether na forma de um teorema: a cada simetria contınua (no espaco deMinkowski) corresponde uma corrente conservada Jµ (chamada corrente deNoether) que satisfaz uma lei de conservacao na forma covariante

∂µJµ = 0. (6.177)

Seja uma teoria de campos escalares onde a densidade de Lagrangeana eL(φ, ∂µφ). Fazendo uma variacao infinitesimal temos

δL =∂L∂φ

δφ+∂L

∂(∂µφ)∂µδφ (6.178)

Usando a equacao de Euler-Lagrange

∂L∂φ

= ∂µ∂L

∂(∂µφ)= 0, (6.179)


de modo que

δL = ∂µ

(∂L

∂(∂µφ)

)δφ+

∂L∂(∂µφ)

∂µδφ

= ∂µ

(∂L

∂(∂µφ)δφ

). (6.180)

Seja δφ uma transformacao de simetria. Entao, por (6.172), existe umquadrivetor Λµ tal que

δL = ∂µΛµ. (6.181)

Comparando (6.180) e (6.181) temos (teorema de Noether)

∂µ

(Λµ − ∂L

∂(∂µφ)δφ

)= 0, (6.182)

que e uma equacao de conservacao, pois representa o quadridivergente de umaquadricorrente conservada (tambem chamada corrente de Noether)

Jµ = Λµ − ∂L∂(∂µφ)

δφ. (6.183)

6.16.3 Tensor de energia-momentum

O teorema de Noether exprime matematicamente, para uma teoria de campos,a seguinte mensagem: a cada simetria do espaco de Minkowski ha uma quanti-dade conservada. No caso especıfico de homogeneidade do espaco e do tempo,sao conservados respectivamente o momentum linear e a energia. Numa teo-ria de campos, quando translacoes infinitesimais sao simetrias que conduzem auma corrente de Noether, tal corrente pode ser identificada como um tensor deenergia-momentum.

Por exemplo, para um campo escalar de Klein-Gordon, uma translacao in-finitesimal no espaco tempo levou a uma variacao no campo dada por (6.174)

δφ = εν∂νφ, (6.184)

levando a uma quantidade conservada dada por (6.176)

Λν = ενL. (6.185)

A corrente de Noether(6.183) associada sera

Jµ = εµL − ∂L∂(∂µφ)

εν∂νφ

= −εν[

∂L∂(∂µφ)

∂νφ− δµνL]= −ενΘµν , (6.186)

onde definimos o tensor de energia-momentum canonico como

Θµν =∂L

∂(∂µφ)∂νφ− δµνL. (6.187)

A lei de conservacao associada vem pelo teorema de Noether (6.182), ou seja

∂µΘµν = 0. (6.188)


6.16.4 Transformacoes de Lorentz infinitesimais

Uma outra simetria fundamental na Fısica e representada pelas transformacoesde Lorentz infinitesimais. Vimos, no Capıtulo II, que estas transformacoes saoequivalentes a rotacoes infinitesimais no espaco de Minkowski caracterizadaspor:

x′µ = xµ + xνωµν , (6.189)

onde ω e um quadritensor anti-simetrico: ωµν = −ωνµ.A rotacao infinitesimal (6.189) e um caso particular de transformacoes in-

finitesimais gerais, definidas como

xµ → x′µ = xµ + εµ(xµ), (6.190)

onde εµ(xµ) = xνωµν e um quadrivetor infinitesimal. Uma transformacao desse

tipo leva a uma variacao infinitesimal do campo dada pela generalizacao de(6.184):

δφ(xµ) = −εν(xµ)∂νφ(xµ) (6.191)

= −ωνµxµ∂νφ(xµ). (6.192)

Supondo que a densidade de Lagrangeana seja um invariante de Lorentz, suavariacao deve ser um quadriescalar, portanto a generalizacao de (6.185) sera

δL(xµ) = −εν(xµ)∂νL(xµ)= −ωνµxµ∂νL(xµ)− ωννL= −ωνµxµ∂νL(xµ)− ωνµδ

µνL

= −ωνµxµ∂νL(xµ)− ωνµ(∂νxµ)L

= ∂ν(−ωνµxµL) = ∂νΛν ,

onde, no termo sublinhado, usamos o fato de ω ser um tensor anti-simetrico,tal que seus elementos diagonais sao nulos (ωνν = 0); e definimos a quantidade

Λµ = −ωνµxµL (6.193)

com a qual podemos determinar a corrente de Noether (6.183)

Jµ = −ωµνxµL − ∂L∂(∂µφ)

(−ωβλxβ∂λφ). (6.194)

onde usamos (6.192).Como a corrente de Noether e conservada

∂µJµ = ∂µ

[−ωµνxνL+

∂L∂(∂µφ)

ωλβxβ∂λφ

](6.195)

0 = ωλβ∂µ

[−δµλδ

νβxνL+ xβ

∂L∂(∂µφ)

∂λφ

]0 = ωλβ∂µ

xβ

[−δµλL+

∂L∂(∂µφ)

∂λφ

]0 = ωλβ∂µ (xβΘ

µλ) (6.196)


onde o tensor de energia-momentum canonico e

Θµλ = −δµλL+∂L

∂(∂µφ)∂λφ. (6.197)

O termo que multiplica o tensor ω em (6.196) e um objeto com dois ındices(o terceiro esta contraido). As partes simetrica e anti-simetrica (nos ındices β eλ) deste tensor sao dadas, respectivamente, por

Sµβλ =1

2

(xβΘ

µλ + xλΘ

µβ

), (6.198)

Mµβλ =

1

2

(xβΘ

µλ − xλΘ

µβ

)(6.199)

de modo que (6.196) pode ser reescrita como

ωλβ∂µ

(Sµβλ +Mµ

βλ

)= 0. (6.200)

Como ω e anti-simetrico e ∂µSµβλ e simetrico nos ındices β e λ, seu produto

e identicamente nulo. Resta-nos, entao

ωλβ∂µMµβλ = 0. (6.201)

Para ωλβ nao-nulos temos portanto, necessariamente, que

∂µMµβλ = 0. (6.202)

6.16.5 Campo eletromagnetico

Anteriormente obtivemos o tensor de energia-momentum do campo eletromagneticoivre, cuja densidade de Lagrangeana e

L = − 1

16πckFαδF

αδ, (6.203)

por um calculo direto. No entanto, podemos tambem obter este tensor a partirdo teorema de Noether, de uma forma simples e elegante.

Uma translacao infinitesimal δxµ = εµ induz uma transformacao infinites-imal no quadripotencial, que e um caso particular da transformacao generica(6.191), de modo que

δAµ(xµ) = −ελ∂λAµ(xµ). (6.204)

Como esta translacao e uma simetria do sistema, a variacao correspondente naLagrangeana sera

δL == ∂λ(−ελL) = ∂λΛλ, (6.205)

de sorte que a corrente de Noether associada e dada por (6.183)

Jµ = −εµL+∂L

∂(∂µAν)ελ∂λAν (6.206)

= −ελδµλL − 1

4πckFµνελ∂λAν (6.207)

=1

cελΘµλ


onde usamos (6.169) e definimos o tensor de energia-momentum canonico parao campo eletromagnetico

Θµλ = − 1

4πkFµν∂λAν − cδµλL. (6.208)

Como a corrente de Noether e conservada (∂µJµ = 0) segue, portanto, a lei

de conservacao associada ao tensor de energia-momentum

∂µΘµλ = 0. (6.209)

Infelizmente o tensor de energia-momentum, em que pese levar a uma lei deconservacao fısica, nao e aceitavel por algumas razoes. Primeiramente ele naoe invariante de gauge (exercıcio), ainda que a lei de conservacao (6.209) o seja.Mas, como se nao bastasse, o tensor (6.208) nao e simetrico.

Para remediar estes problemas, Belinfante e Rosenfeld propuseram que otensor de energia-momentum (6.208) pode ser simetrizado. Partindo da variacaodo campo (6.204), somando e subtraindo o termo ελ∂λAν .

δAµ(xµ) = −ελ (∂λAν − ∂νAλ)︸︷︷︸

=Fλν

−ελ∂νAλ. (6.210)

Construindo novamente uma corrente de Noether como em (6.206)

Jµ = −εµL+1

4πckFµν

(−ελFλν − ελ∂νAλ

), (6.211)

que e conservada

∂µJµ = ελ∂mu

(− 1

4πckFµνFλν − δµλL

)− 1

4πckepsilonλ∂mu(F

µν∂νAλ)

0 = ελ∂µ

(1

cTµλ

)o que leva a conservacao do chamado tensor de Belinfante-Rosenfeld

Tµλ = − 1

4πkFµνFλν − cδµλL = Θµλ +

1

4πkFµν∂νAλ. (6.212)

Como tanto a Lagrangeana como o tensor do campo eletromagnetico saoinvariantes de gauge, o tensor de Belinfante-Rosenfeld tambem o e. O leitortambem pdoe mostrar que ele e simetrico, de modo que leva as mesmas quan-tidades fısicas que o tensor de energia-momentum anteriormente obtido. Defato, substituindo a Lagrangeana (6.203) em (6.212) e trocando λ por γ, µ porβ, e ν por α, o leitor verificara que o tensor de Belinfante-Rosenfeld coincidecom o tensor de energia momentum do campo eletromagnetico (6.123) obtidoanteriormente por meio direto.

6.17 Problemas

1. Abra em componentes a equacao de movimento de uma partıcula rela-tivıstica num campo eletromagnetico

mcduµds

=q

cFµβu

ν ,

obtenha as equacoes (uma escalar e outra vetorial) correspondentes.

6.17. PROBLEMAS 257

2. Muito embora F ∗µνFµν seja um invariante de Lorentz, ele nao e um bomcandidato para a densidade de Lagrangeana do campo eletromagnetico.Mostre que ele e um quadri-divergente, na forma

F ∗µνFµν = 2∂α(εµναβAβ∂µAν)

tal que, ao ser integrado em todo o espaco resulta, pelo teorema do di-vergente no espaco-tempo, numa integral de superfıcie de uma diferencialtotal: ∫

d4xF ∗µνFµν = 2

∫d(εµναβAβ∂µAν) = 0

que se anula se a “hiper-superfıcie” for jogada para o infinito. Entao asintegral de F ∗µνFµν nao pode ser a lagrangeana do campo, pois ela eidenticamente nula!

3. (a) E possıvel ter um campo eletromagnetico que seja puramente eletricoem um referencial inercial e puramente magnetico em outro? Por que?(b) Quais os criterios que devem ser impostos sobre os campos E e B taisque haja um referencial inercial no qual nao haja campo eletrico?

4. Considere transformacoes de Lorentz infinitesimais

x′µ= xµ + ωµνxν ,

onde ωµν e um tensor anti-simetrico, e um campo escalar φ(x), cuja den-sidade de lagrangeana e

L =1

2∂µφ∂µφ− λ2

2φ2.

(a) Mostre que tais transformacoes induzem uma variacao infinitesimal nadensidade de lagrangeana:

δL = ∂ν(−ωνµxµL).

(b) Mostre que a corrente de Noether associada e xβΘµλ, onde Θµλ e o

tensor de energia-momentum canonico. (c) Obtenha a forma explıcita dacorrente de Noether para o campo escalar. (d) Definindo o tensor mistode terceira ordem:

Mµβλ = xβΘ

µλ − xλΘ

µβ ,

mostre que a lei de conservacao correspondente a corrente de Noether,nesse caso, e

∂µMµβλ = 0.

5. Se o foton tivesse massa de repouso nao-nula mγ , a eletrodinamica seriadescrita pela lagrangiana de Proca, cuja densidade e

L = − 1

16πkcFµνFµν −

µ2

8πkcAµAµ − 1

c2jµAµ,

onde µ = mγc/~ e o inverso do comprimento de onda Compton do fotonmassivo. (a) Obtenha as equacoes de campo; (b) Escreva em compo-nentes temporais e espaciais as equacoes de campo; (c) Obtenha o tensorcanonico de energia-momentum; (d) Usando o procedimento de Belinfante-Rosenfeld, obtenha o tensor simetrico de energia momentum e encontresuas componentes;


Capıtulo 7

Radiacao de cargasaceleradas

No capıtulo 3 abordamos os campos de radiacao produzidos por distribuicoes decargas e/ou correntes dependentes do tempo. Para aquele estudo foi suficiente asuposicao de que as velocidades envolvidas eram pequenas em comparacao coma velocidade da luz, de modo que a aproximacao nao- relativıstica era semprejustificada. No entanto, para tratarmos os campos de radiacao produzidos porpartıculas carregadas e importante utilizar todo o ferramental da eletrodinamicarelativıstica, o que faremos neste capıtulo.

7.1 Potenciais de Lienard-Wiechert

Nos partimos dos potenciais retardados, que sao solucoes das equacoes de ondainomogeneas, como vimos no Capıtulo III:

ϕ(r, t) = k

∫dV ′

ρ(r′, t− |r−r′|

c

)|r− r′|

, (7.1)

A(r, t) =k

gc2

∫dV ′

J(r′, t− |r−r′|

c

)|r− r′|

. (7.2)

e que podem ser convenientemente reescritos como

ϕ(r, t) = k

∫dV ′

∫ +∞

−∞dt′δ

[t′ −

(t− |r− r′|

c

)]ρ (r′, t′)

|r− r′|, (7.3)

A(r, t) =k

gc2

∫dV ′

∫ +∞

−∞dt′δ

[t′ −

(t− |r− r′|

c

)]J (r′, t′)

|r− r′|. (7.4)

Vamos considerar o movimento de uma partıcula de carga q localizada pelovetor posicao rq(t) e com velocidade v(t) = drq(t)/dt. Esta partıcula corre-sponde a uma distribuicao singular de carga e corrente, a saber

ρ(r, t) = qδ(r− rq(t)), (7.5)

J(r, t) = qv(t)δ(r− rq(t)). (7.6)

259

260 CAPITULO 7. RADIACAO DE CARGAS ACELERADAS

Substituindo (7.5) e (7.6) em (7.3) e (7.4), respectivamente, obtemos

ϕ(r, t) = kq

∫ +∞

−∞dt′δ

(t− t′ − |r− rq(t

′)|c

)1

|r− rq(t′)|, (7.7)

A(r, t) =kq

gc2

∫ +∞

−∞dt′δ

(t− t′ − |r− rq(t

′)|c

)1

|r− rq(t′)|, (7.8)

onde usamos a propriedade de filtragem da funcao delta espacial, o que nosdeixa o integrando como uma funcao de r′ = rq(t

′), e tambem rearranjamos asparcelas dentro da funcao delta temporal, uma vez que e uma funcao par do seuargumento (δ(−u) = δ(u)).

Introduzimos a seguinte funcao

f(t′) = t− t′ − |r− rq(t′)|

c. (7.9)

Seja t0 um zero desta funcao, ou seja, f(t0) = 0. A equacao

t− t0 −|r− rq(t0)|

c= 0 (7.10)

determina implicitamente o valor de t0. Para que conhecessemos o valor det0 precisarıamos conhecer previamente rq(t0), ou seja, a propria trajetoria dapartıcula. No entanto, como veremos na sequencia, nao e necessario determinart0 para trabalhar com os potenciais e campos, desde que usemos algumas regrassimples da derivacao de funcoes implıcitas.

Supondo que t0 seja o unico zero de f(t′), podemos usar a seguinte formulavista na Teoria das Distribuicoes

δ[f(t′)] =1

|f ′(t0)|δ(t′ − t0), (7.11)

valida desde que t0 seja zero simples (f ′(t0) 6= 0). A derivada no denominadorpode ser calculada diretamente a partir de (7.9):

df

dt′= −1− 1

c

d

dt′|r− rq(t

′)|

= −1− 1

c

d

dt′

√[r− rq(t)] · [r− rq(t)]

= −1 +v(t′)

c· r− rq(t)

|r− rq(t′)|, (7.12)

que, em substituida em (7.11), da

δ[f(t′)] =1∣∣∣−1 + v(t′)

c · r−rq(t)|r−rq(t′)|

∣∣∣δ(t′ − t0) =1

1− v(t′)c · r−rq(t)

|r−rq(t′)|

δ(t′ − t0),

(7.13)ja que, como v < c, entao −1 + v/c < 0 e portanto | − 1 + v/c| = 1 − v/c nodenominador.

Colocando (7.13) em (7.7), e efetuando a integracao da funcao delta tempo-ral, obtemos

ϕ(r, t) = kq1

|r− rq(t0)| − 1cv(t0) · (r− rq(t0))

. (7.14)

7.2. CAMPOS DE LIENARD-WIECHERT 261

Analogamente, de (7.8), temos

A(r, t) =kq

gc2v(t0)

|r− rq(t0)| − 1cv(t0) · (r− rq(t0))

. (7.15)

As expressoes (7.14) e (7.15) sao chamadas de potenciais de Lienard-Wiechert,e formam a base da teoria de radiacao de partıculas carregadas.

Usaremos a seguinte notacao abreviada

R = |r− rq(t0)|, R = |R|, R =R

R, (7.16)

β =1

cv(t0), (7.17)

s = 1− R · β, (7.18)

sendo que t0 e a raiz da equacao

t0 = t− R(t0)

c, (7.19)

de modo que os potenciais de Lienard-Wiechert sao escritos de forma concisacomo

ϕ(r, t) = kq1

R− β ·R=kq

Rs, (7.20)

A(r, t) =kq

gc2β

R− β ·R=

kq

gc2β

Rs. (7.21)

7.2 Campos de Lienard-Wiechert

7.2.1 Alguns resultados preliminares

A principal dificuldade no calculo dos campos a partir dos potenciais de Lienard-Wiechert consiste em fazer as diferenciacoes implicitamente em relacao a t0.Para isso, alguns resultados preliminares sao particularmente uteis. Derivando(7.19) em relacao a xj (isto e, a j-esima componente do vetor posicao do obser-vador)

∂t0∂xj

= ∂jt0 = −1

c∂jR

= −1

c

r− rq(t0)

|r− rq(t0)|· (∂jr− ∂jrq(t0)) =

1

c

R

R·(ej −

∂t0xj

drq(t0)

dt

)= −1

cR · (ej − cβ∂jt0) .

Isolando ∂jt0 da expressao acima temos

∂jt0 = −1

c

R · ej1− R · β

= −1

c

R · ejs

. (7.22)


Na mesma linha de raciocınio, derivando (7.19) em relacao ao tempo t

∂t0∂t

= ∂tt0 = 1− 1

c

∂R

∂t=

1

2Rc

∂R2

∂t

= 1− R

Rc· ∂R∂t

= 1− R

Rc· ∂R∂t0

∂t0∂t

= 1 +R

c· ∂rq∂t0

∂t0∂t

= 1 +R

c· v∂t0

∂t(7.23)

Isolando ∂tt0 obtemos∂t0∂t

=1

1− R · β=

1

s. (7.24)

7.2.2 Campo Magnetico

Como B = ∇×A, a i-esima componente do campo magnetico e

Bi = εijk∂jAk (7.25)

onde, usando (7.21), a derivada do potencial vetor e

∂jAk =kq

gc2

(1

Rs∂jβk −

βkR2s

∂jR− βkRs2

∂js

)(7.26)

Vamos calcular cada termo dentro dos colchetes em separado. Sabendo-seque a aceleracao da partıcula carregada e

a =dv(t0)

dt0=d2rq(t0)

dt20(7.27)

e usando (7.22) temos, inicialmente, que

∂jβk =1

c∂jvk =

1

c

∂t0∂xj

dvkdt0

=1

c∂jt0ak = − 1

c2R · ejs

(7.28)

Usando novamente (??)

∂jR = ej − ∂jt0v = ej +R · ejs

β (7.29)

tal que

∂jR = R · ∂jR =R · ejs

(7.30)

∂jR = ∂j

(R

R

)=

1

R∂jR− R

R2∂jR =

=1

R

[ej +

R · ejs

(β − R)

](7.31)

de forma que

∂jβ = − 1

c2R · ejs

a, (7.32)

7.2. CAMPOS DE LIENARD-WIECHERT 263

e

∂js = −∂jR · β − R · ∂jβ

= − 1

R

[βj +

R · ejs

(β2 − R · β)

]+

R · ac2s

(R · ej). (7.33)

Substituindo estas contribuicoes em (7.26) chegamos a

∂jAk =kq

gc2

−R · ejRcs2

ak −vk

Rc2s3(R · a)(R · ej) (7.34)

− vkR2s2

[(1− β2)R · ej

s− βj

]

e com a qual conseguimos encontrar a i-esima componente de B, de acordocom (A.60). Apos algumas manipulacoes algebricas tediosas chegamos a umaexpressao vetorial

B =kq

gc2R×

−a[R · (R− β)] + (R · a)(R− β)

Rcs3− (1− β2)v

R2s3

(7.35)

onde um termo identicamente nulo foi adicionado, a saber

R× R(R · a) = 0.

Da formula do duplo produto vetorial podemos reescrever o campo magneticode Lienard-Wiechert da seguinte maneira

B =kq

gc2R×

R× [(R− β)× a]

Rcs3− (1− β2)v

R2s3

(7.36)

7.2.3 Campo Eletrico

O campo eletrico de Lienard-Wiechert e obtido a partir da expressao

E = −∇ϕ− g∂A

∂t(7.37)

onde os potenciais escalar e vetor sao dados, respectivamente, por (7.20) e (7.21).Tomando o gradiente do potencial escalar

∇ϕ = kqej∂j1

Rs,

= −kqej

[∂jR− β · ∂jR−R · ∂jβ

(R− β ·R)2

]

= −kqej

[1

(R− β ·R)2

R · ej

1− R · β− β ·

[ej + β

(R · ej

1− R · β

)]+

R · ac2

(R · ej

1− R · β

)]

=kq

R2s2ej

[(1− β2)R · ej

s− βj +

(R · a)(R · ej)c2s

](7.38)


e a derivada temporal do potencial vetor

∂A

∂t=

kq

gc2∂t

( vkRs

)ek (7.39)

=kq

gc2ek

[∂tvkRs

+ vk∂t

(1

Rs

)]Pela regra da cadeia e usando (7.24) e

∂tvk =∂t0∂t

dvkdt0

=1

sak,

ao passo que

∂t1

Rs= − 1

R2s2(∂tR− β · ∂tR−R · ∂tβ) . (7.40)

onde

∂tR =1

2R∂tR ·R = R · ∂tR.

Aplicando novamente a regra da cadeia

∂tR =∂t0∂t

dR

dt0= −1

s

drqdt0

= −v

s

de modo que

∂tR = −R · vs

,

e ainda

∂tβ − 1

c∂tvkek =

akcs

ek =a

cs.

Combinando estes resultados em (7.40)

∂t1

Rs= − 1

R2s2

[−R · v

s+

β · vs

− R · acs

].

Neste caso, a Eq. (7.40) fornece

∂A

∂t=

kp

gc2

[ a

Rs2+

v

R2s3

(R · v − β · v +R · a/c

)](7.41)

Substituindo (7.38) e (7.41) em (??) o campo eletrico sera, apos uma algebramacante porem elementar

E

kq=

(R− β)(1− β2)

R2s3+

(R− β)(R · a)− a(1− R · β)Rc2s3

(7.42)

O segundo termo do lado direito da relacao anterior pode ser colcoado naforma de um duplo produto vetorial, de modo que o campo eletrico de Lienard-Wiechert torna-se

E = kq

R× [(R− β)× a]

Rcs3+

(1− β2)(R− β)

R2s3

. (7.43)

7.3. POTENCIA IRRADIADA POR UMA CARGA ACELERADA 265

Comparando (7.43) com (7.36) chegamos a seguinte relacao de transversali-dade entre os campos magnetico e eletrico de Lienard-Wiechert

B =1

gc(R×E). (7.44)

Vamos interpretar fisicamente o campo de Lienard-Wiechert, ou seja, ocampo eletrico gerado por uma partıcula carregada sob movimento acelerado.Escrevemos (7.43) na forma E = Ecoul +Erad, onde

Ecoul = kq(R− β)(1− β2)

R2(1− R · β)3 , (7.45)

Erad = kqR× [(R− β)× a]

Rc2(1− R · β)3 (7.46)

O termo Ecoul cai com a distancia a partıcula como R−2, ou seja, ele e ocampo coulombiano produzido pela partıcula carregada, corrigido pelo efeitorelativıstico, como pode ser visto comparando-se com (6.87), que e o resul-tado obtido no Capıtulo 5 para uma partıcula carregada em movimento uni-forme. E interessante observar que o campo produzido, nesse caso, dependeapenas da posicao da partıcula no tempo presente t, e nao no tempo retardado

t′ = t − |r−r′|c . Mesmo que leve um tempo finito para a informacao sobre a

mudanca na posicao da partıcula propagar-se ate o observador, as linhas deforca continuam sendo radialmente simetricas, ainda que estejam concentradasna direcao perpendicular a direcao de movimento da partıcula. Logo nao hadescontinuidade nas linhas de forca do campo eletrico, e este termo portantonao esta associado de forma alguma a campos de radiacao. Na sequencia, vamosignorar sua existencia, ja que tais campos decaem rapidamente na zona distanteda partıcula.

Ja o termo Erad cai com 1/R e representa um campo de radiacao, que nao seanula na zona distante, e que depende tambem da aceleracao da partıcula. Aslinhas de forca do campo eletrico sofrem uma descontinuidade. De fato, e facilverificar que Erad · R = 0, de modo que o campo de radiacao e perpendicular aoraio vetor do observador. Esta e uma comprovacao de que os campos de radiacaoefetivamente propagam-se como ondas esfericas na zona distante. Como vimosno Capıtulo 3, a energia eletromagnetica propagada por tais ondas esfericas fazcom que as partıculas carregadas, quando aceleradas, irradiam energia em todasas direcoes espaciais.

7.3 Potencia irradiada por uma carga acelerada

Para quantificar a perda de energia por irradiacao usamos as mesmas formulasdesenvolvidas no Cap. 3 para a potencia irradiada por sistemas de cargas de-pendentes do tempo, e localizadas espacialmente. De (3.94) a potencia irradiadapor unidade de angulo solido na direcao do observador e dada por

dP

dΩ= R2(S · R). (7.47)


onde trocamos r por R e n por R para adaptar a notacao do Cap. 3 com ausada aqui, e

S =gc2

4πkE×B (7.48)

7.3.1 Formulas de Lienard e Larmor

Como estamos tratando de campos de radiacao, usamos (7.44)

B =1

gc(R×E). (7.49)

tal que

S =c

4πkE× (R×E) =

c

4πkE2R, (7.50)

ja que E · R = 0. Logo (7.47) a potencia irradiada sera

dP

dΩ=

c

4πkR2E2. (7.51)

Usando o termo de radiacao do campo de Lienard-Wiechert, dado por (7.46),obtemos a expressao geral

dP

dΩ=

kq2

4πc3|R× [(R− β)× a]|

2

(1− R · β)6 (7.52)

A potencia P = dE/dt e a taxa com que a energia irradiada pela partıculae captada pelo observador, ou seja, e calculada no referencial do laboratorio.No entanto, e mais interessante calcularmos a taxa com que a energia e perdidapela partıcula, ou seja, a potencia P0 = dE/dt0 no referencial proprio (no quala partıcula esteja em repouso), para o qual usamos o tempo retardado t0. Pelaregra da cadeia

P =dP

dt0

dt0dt

=1

1− R · βP0 (7.53)

onde usamos (7.24). Logo, a potencia irradiada por angulo solido, no referencialda partıcula, e

dP0

dΩ= (1− R · β)dP

dΩ=

kq2

4πc3|R× [(R− β)× a]|

2

(1− R · β)5 . (7.54)

Em princıpio, para encontrar a potencia total irradiada, bastaria integraressa expressao em todos os angulos solidos, como fizemos varias vezes no Cap.3. O resultado e conhecido como formula de Lienard

P0 =

∫dΩ

dP0

dΩ=

2

3

kq2

c3γ6[a2 − |β × a|2

]. (7.55)

No limite nao-relativıstico (v c) podemos supor que β → 0 e que γ → 1, demodo que a expressao reduz-se a famosa formula de Larmor

P =2kq2a2

3c3(7.56)

Note que, no limite nao-relativıstico, P ≈ P0, de modo que o resultado e omesmo nos dois referenciais.

7.3. POTENCIA IRRADIADA POR UMA CARGA ACELERADA 267

7.3.2 Formula de Schwinger-Larmor

Devido a forma de (7.54), os calculos envolvidos na deducao da formula deLienard sao extremamente complicados. Nos evitaremos esse procedimento,pois existe uma outra maneira de chegar a (7.55), bem menos trabalhosa, e queutiliza conceitos relativısticos. Partimos da premissa que a potencia irradiadapor uma partıcula relativıstica e um escalar (invariante) de Lorentz. Dessaforma, adaptamos a formula de Larmor (7.56), que e nao-relativıstica, a fim deconstruir um quadriescalar.

Como, na dinamica nao-relativıstica, p = mv, reescrevemos a formula deLarmor como

P =2kq2

3c3|v|2 =

2kq2

3m2c3

(dp

dt· dpdt

). (7.57)

No referencial da partıcula, devemos usar o tempo proprio τ , como vimos.Alem disso, podemos construir um quadri-escalar contraindo um quadri-vetorque, neste caso, e o quadrimomentum. Dessa forma, a generalizacao relativısticade (7.109) e

P = − 2kq2

3m2c3

(dpµdτ

dpµ

dτ

). (7.58)

dita formula de Schwinger-Larmor. Aqui m passa a ser a massa de repouso dapartıcula.

Inicialmente vamoas mostrar que, no limite nao-relativıstico, (7.58) reduz-sea formula de Larmor (7.109). Usando (5.135) e (5.136) temos que

−dpµdτ

dpµ

dτ=

(dp

dτ

)2

− 1

c2

(dEdτ

)2

.

ondedEdτ

=dEdp

dp

dτ.

Derivando a relacao momentum-energia (5.138) em relacao a p obtemos

dEdp

= cd

dp

√p2 +m2c2 =

pc2

E= βc (7.59)

ja que p/E = v/c2. EntaodEdτ

= βcdp

dτ.

e, como dτ = dt/γ, segue que

−dpµdτ

dpµ

dτ=

(dp

dτ

)2

− β2c2

c2

(dp

dτ

)2

=1

γ2

(dp

dτ

)2

=

(dp

dt

)2

,

como querıamos demonstrar.Falta, agora, mostrar que a formula de Lienard pode ser tambem obtida a

partir da formula de Schwinger-Larmor. Pela definicao de quadrimomentum(5.126) pµ = muµ, onde uµ = dxµ/dτ e a qudrivelocidade. Entao

dpµ

dτ= m

duµ

dτ= mwµ


onde wµ e a quadriaceleracao. Dessa forma

dpµdτ

dpµ

dτ= m2wµw

µ = m2(w20 − w2

i ).

e a formula de Schwinger-Larmor fica

P = −2kq2

3c3(w2

0 − w2i ). (7.60)

Usando as componentes da quadriaceleracao dadas por (5.120) temos

w20 =

γ8

c6(v · a)2 =

γ8

c4(β · a)2,

w2i =

∣∣∣∣γ2c2 a+γ2

c4(v · a)v

∣∣∣∣2=

γ2

c2a+

2γ6

c4(β · a)2 − γ8β2

c4(β · a)2.

Substituindo em (7.60) obtemos, apos alguma algebra

P =2kq2

3c3γ6[a2

γ2+ (β · a)2

](7.61)

Seja θ o angulo entre a velocidade e a aceleracao da partıcula. Entao

1 = sin2 θ + cos2 θ =|β × a|2

β2a2+

(β · a)2

β2a2,

de forma que podemos reescrever a formula de Schwinger-Larmor (7.61) como

P =2kq2

3c3γ6[a2 − |β × a|2

], (7.62)

que e a formula de Lienard (7.55).

7.4 Aceleradores lineares

7.4.1 Potencia irradiada e sua distribuicao espacial

No caso de aceleradores lineares os vetores v e a sao paralelos, de modo queβ×a = 0. Da formula de Lienard (7.55) a potencia total irradiada pela partıculae

P =2kq2

3c3γ6a2. (7.63)

que, naturalmente, reduz-se a formula de Larmor para baixas velocidades (poisγ → 1).

Para determinar a distribuicao espacial da radiacao emitida por uma partıculanum acelerador linear nos empregamos a expressao geral (7.52), que vale noreferencial do laboratorio (onde efetuamos possıveis medidas da potencia irra-diada), e que reduz-se a

dP

dΩ=

kq2

4πc3|R× (R× a)|

2

(1− R · β)6 . (7.64)

7.4. ACELERADORES LINEARES 269

Orientando o sistema de coordenadas de modo que o eixo z coincida com atrajetoria (retilınea) da partıcula, entao o angulo entre os vetores R e β e θ, deforma que

dP

dΩ=

kq2

4πc3|R× (R× a)|

2

(1− β cos θ)6 . (7.65)

ComoR× (R× a) = R(R · a)− a(R · R) = Ra cos θ − a

obtemos|R× (R× a)|

2= a2 sin2 θ

e a distribuicao angular da radiacao emitida num acelerador linear torna-se

dP

dΩ=

kq2

4πc3a2 sin2 θ

(1− β cos θ)6 =

kq2a2

4πc3fβ(θ) (7.66)

onde introduzimos a funcao de direcionalidade

fβ(θ) =sin2 θ

(1− β cos θ)6 . (7.67)

Para baixas velocidades β ≈ 0 e f0(θ) = sin2 θ, ou

dP

dΩ

kq2a2

4πc3sin2 θ, (7.68)

de modo que a potencia irradiada e nula ao longo da trajetoria e e maxima nasdirecoes perpendiculares a ela, formando lobulos devido a simetria azimutal.Quando as velocidades sao mais altas, como fβ(0) = 0 a potencia e semprenula ao longo da direcao do movimento, mas os maximos de irradiacao saomenores do que π/2: os dois lobulos aproximam-se da trajetoria e sao tanto maislongos quanto maior for a velocidade da partıcula. Por exemplo, se β = 0, 5, osmaximos ocorrem para θ ≈ 350, e o valor maximo da funcao de direcionalidadee f0, 5(35

0) = 7, 7. Se a partıcula tiver β = 0, 9, porem, os lobulos estao emθ ≈ 120, e o valor maximo sobe para 15000.

7.4.2 Relacao custo-benefıcio

Para acelerar uma partıcula carregada, como um eletron ou proton, devemosfornecer energia ao acelerador de partıculas, a uma taxa dE/dt. Esse aporteexterno de energia deve ao menos compensar a perda de energia por irradiacao,o restante sendo convertido em energia cinetica da partıcula. A relacao custo-benefıcio do acelerador Υ e a razao entre a potencia total irradiada pela partıculaacelerada e a taxa de aporte externo de energia ao acelerador:

Υ =P

dE/dt(7.69)

Lembramos que a formula de Schwinger-Larmor (7.58) pode ser escrita naforma

P =2kq2

3m2c3

(dp

dt

)2

. (7.70)


Usando (7.59) temos que

βc =dEdp

=dE/dxdp/dx

=dEdx

dx

dt

dt

dp

dondedEdx

=dp

dte (7.70) fica

P =2kq2

3m2c3

(dEdx

)2

. (7.71)

A razao custo-benefıcio sera, portanto

Υ =2kq2

3m2c31

v

dEdx

Para eletrons ultra-relativısticos β → 1 e portanto

Υ ≈ 2k

3

R0

mc2dEdx

onde usamos o raio classico do eletron

R0 =e2

mc2= 2, 818× 10−13cm. (7.72)

No sistema gaussiano chegamos, entao, a seguinte formula pratica

Υ = 3, 67× 10−13 dEdx

onde dE/dx deve ser dado emMeV/cm. Para o SLAC (Stanford Linear Acceler-ator Center) http://www-group.slac.stanford.edu/com/um , que e o maioracelerador linear de partıculas do mundo, com L = 3, 2km, e que pode acelerareletrons e positrons a uma energia da ordem de E = 50GeV . Neste caso

dEdx

∼ 50GeV

3, 2km≈ 0, 16

MeV

cm

e a razao custo-benefıcio, portanto, sera Υ ∼ 6 × 10−14, que e um valor muitopequeno. Logo, para aceleradores lineares a potencia perdida por irradiacaoe muito pequena em comparacao com a energia inserida no sistema. Sob esteponto de vista aceleradores lineares sao muito eficientes, mas tem um customuito mais alto, em funcao da necessidade de grandes dimensoes. Uma alterna-tiva mais barata, sob esse ponto de vista, seriam os aceleradores circulares, ondea partıcula ganha energia a cada volta, mas em compensacao, como veremos aseguir, as perdas por irradiacao sao bastante significativas.

7.5 Aceleradores circulares

7.5.1 Potencia irradiada e sua distribuicao espacial

Num acelerador circular a aceleracao (centrıpeta) e perpendicular a velocidadeem todos os pontos da trajetoria, de modo que a · v = 0. Podemos obterfacilmente a potencia total irradiada aplicando a formula de Lienard (7.55):

P =2

3

kq2

c3γ6(a2 − β2a2) =

2

3

kq2

c3γ4a2. (7.73)

7.5. ACELERADORES CIRCULARES 271

A distribuicao angular da radiacao emitida e um pouco mais complicada deachar, devido aos detalhes intrincados da geometria adotada. Partimos, comono caso linear, da formula geral

dP

dΩ=

kq2

4πc3|R× (R× a)|

2

(1− R · β)6 . (7.74)

Vamos escolher o sistema de coordenadas de modo que, num dado instantede tempo, a velocidade da partıcula coincida com o eixo y e sua aceleracaocom o eixo z. O raio vetor que vai ate o observador faz um angulo θ com avelocidade, como no caso linear, e sua projecao no plano xz faz um angulo φcom a aceleracao. Neste caso

R · a = a sin θ cosφ, R · β = β cos θ.

Introduzindo o vetor b = R− β, nos abrimos o numerador em (7.74) como

|R× (R× a)|2=[(R · a)b− (R · b)a

]2onde

b2 = b · b = 1− 2β cos θ + β2

alem de R · b = 1 − β cos θ e a · b = a sin θ cosφ, de modo que, apos algumaalgebra, temos que

|R× (R× a)|2= a2

[(1− β cos θ)

2 − (1− β2) sin2 θ cos2 φ]

que, ao ser substituida em (7.74) fornece

dP

dΩ=kq2a2

4πc3(1− β cos θ)

2 − (1− β2) sin2 θ cos2 φ

(1− β cos θ)6 =

kq2a2

4πc3fβ(θ, φ), (7.75)

onde a dependencia espacial e determinada por dois angulos:

fβ(θ, φ) =(1− β cos θ)

2 − (1− β2) sin2 θ cos2 φ

(1− β cos θ)6 . (7.76)

Para permitir uma visualizacao mais simples da distribuicao espacial daradiacao do acelerador circular, vamos considerar o plano xz, que contem avelocidade e a aceleracao da partıcula num dado instante, e para o qual φ = 0.Nesse caso a dependencia e so no angulo θ:

fβ(θ, φ = 0) =1 + β2 − 2β sin θ − sin2 θ

(1− β cos θ)6 . (7.77)

que tem um maximo em θ = 0, ou seja, na direcao da velocidade instantanea,seguido por dois mınimos adjacentes θ = ±θ. Esse maximo limitado representaum lobulo de largura 2θ na direcao do movimento da partıcula. Na verdade saodois lobulos, um ao longo da velocidade e outro, menor, na direcao oposta a davelocidade, como se fosse um rastro.

Assim como no caso da aceleracao linear, o tamanho do lobulo (maximoda funcao de diretividade) aumenta bastante com a velocidade da partıcula.


Por exemplo, para β = 0, 7, o lobulo frontal tem um tamanho da ordem 8, 0 eθ = 460. O lobulo dorsal tem um tamanho bem menor, e um formato de feijao.Ja para β = 0, 9 o lobulo dorsal e quase desprezıvel e o lobulo frontal representaum feixe colimado, pois θ = 260 e o maximo e da ordem de 1000.

Como o lobulo frontal acompanha a partıcula em seu movimento circular,para um observador estatico o que se mede e um feixe pulsado, com a mesmafrequencia do movimento da partıcula, conhecido por radiacao de sıncrotron, quefoi prevista teoricamente por Schott em 1912 e observada experimentalmentepela primeira vez por Elder e colaboradores em 1947 com o funcionamento dosprimeiros sıncrotrons.

7.5.2 Relacao custo-benefıcio

Podemos escrever a potencia total irradiada num acelerador circular como

P =2kq2

3c3γ4a2 (7.78)

onde a aceleracao centrıpeta de uma partıcula de velocidade v e raio de trajetoriaρ e a = v2/ρ. Para um eletron temos portanto

P =2ke2

3ρ2β4γ4. (7.79)

Supomos que a energia perdida na forma de radiacao por revolucao e rela-tivamente pequena, comparada a energia total da partıcula γmc2. Desta formapodemos ignorar a diminuicao do raio devido a perda de energia e trabalharcomo se a partıcula estivesse sempre em movimento circular uniforme. A en-ergia irradiada por revolucao e δE = PT , onde T = 2πρ/v e o perıodo domovimento circular. Logo

δE =4πk

3

c2β3γ4

ρ(7.80)

Para eletrons de alta energia β → 1 e γ = E/mc2, donde

δE =4πk

3

e2

(mc2)4

Eρ

(7.81)

Uma formula pratica, que fornece a energia perdida diretamente em MeV , e

δE = 8, 85× 10−2 [E(GeV )]4

ρ(m)

Vamos considerar um sıncrotron para o qual E = 0, 3GeV com ρ = 1m. Aenergia irradiada por revolucao sera δE = 7×10−4MeV = 0, 7keV , que e relati-vamente alta. Para manter uma partıcula em revolucao e necessario, portanto,um grande aporte de energia. Mas isto se refere a aceleradores de partıculasna fısica de altas energias. Usa-se tambem a radiacao de sıncrotron como umafonte bastante confiavel de fotons de alta energia para otica de raios-X. De fato,no exemplo que consideramos, o fator de Lorentz e γ = 587, signficando umavelocidade v = 0, 999998c. Os fotons dessa radiacao tem energia E = hν, ondeh e a constante de Planck, e o comprimento de onda associado a radiacao desıncrotron e

λ =hc

E= 4× 10−15m.

7.6. ESPALHAMENTO 273

7.6 Espalhamento

A interacao entre ondas eletromagneticas e a materia e um assunto bastante in-trincado, apresentando diversas particularidades, dependendo do tipo de meiomaterial existente, como condutor, dieletrico, etc. Do ponto de vista da teo-ria classica do eletron, podemos imaginar a interacao como proveniente de umforcamento periodico sobre um eletron que, como resultado, passa a execu-tar algum tipo de movimento tambem oscilatorio. Como tais movimentos saoacelerados, o eletron envolvido irradia novamente, ou re-irradia, energia. Esteprocesso e a base da explicacao que a eletrodinamica classica da aos diversosfenomenos de espalhamento de radiacao pela materia. Nos nos limitaremos aanalisar duas situacoes especıficas, pela sua importancia e pela ilustracao quefornecem das tecnicas mais gerais da teoria classica do eletron: os espalhamentosThomson e Rayleigh.

7.6.1 Espalhamento Thomson

Quando uma onda eletromagnetica indice sobre uma partıcula de carga q evelocidade v, os campos eletrico e magnetico da onda exercem forcas dadas por

F = FE + FB = qE+ qgv ×B. (7.82)

Para ondas eletromagneticas, como campos de radiacao, temos que

B =1

gcR×E → B =

E

gc

de modo que a razao entre as forcas magnetica e eletrica e

FBFE

∼ qE

qgvB=v

c= β.

Logo, para velocidades nao-relativısticas β 1 e FB FE : a forca magneticapode ser desprezada frente a forca eletrica.

Por este motivo basta-nos trabalhar com o campo eletrico da onda eletro-magnetica que, na notacao complexa, e

E = E0ei(K·r−ωt), (7.83)

onde subentendemos que se deve sempre tomar a parte real dos resultados fısicos.Na notacao usada no Cap. I, K e o vetor de propagacao e ω a frequencia angularda onda, tal que, no vacuo, a velocidade de fase das ondas eletromagneticas ec = ω/K, onde K = |K| = 2π/λ e o numero de onda e λ o comprimento deonda. Para uma onda linearmente polarizada, a amplitude e E0 = E0n, onde ne o vetor de polarizacao fixo.

No espalhamento Thomson supomos que as partıculas carregadas sejameletrons livres, ou seja, a sua equacao classica de movimento na direcao s e

ma = md2s

dt2= −eE. (7.84)

Como a aceleracao e colinear a velocidade neste caso, usamos a expressao (7.66)para a potencia irradiada por unidade de angulo solido

dP

dΩ=

ke2

4πc3a2 sin2 θ

(1− β cos θ)6 ≈ ke2

4πc3a2 sin2 θ (7.85)


onde fizemos a aproximacao de velocidades nao-relativısticas. Aqui, θ e o anguloentre a direcao do movimento e o raio vetor que vai ate o observador.

De (7.84) a aceleracao e proporcional ao campo eletrico, donde oscila coma mesma frequencia deste. Logo, em (7.87) devemos usar o valor medio daaceleracao ao quadrado, que e

a2 =e2

m2E2 =

e2

m2E2

0 cos2 ωt︸︷︷︸

=1/2

=e2

2m2E2

0 , (7.86)

donde

dP

dΩ=

ke4E20

8πm2c3sin2 θ. (7.87)

Quando se trata de processos de espalhamento, e costumeiro trabalharmoscom o conceito de secao de choque de espalhamento σ, e que e a area equivalenteda frente de onda incidente que transfere a mesma potencia para o eletronque aquela irradiada. A secao de choque diferencial e a secao de choque porunidade de angulo solido. Ambas sao calculadas pelas seguintes expressoes,respectivamente,

σ =P

S,→ dσ

dΩ=dP/dΩ

S, (7.88)

onde S e o valor medio do modulo do vetor de Poynting da onda incidente,ou seja, o fluxo medio de energia que incide sobre o eletron oscilante. Usando(7.50), esta quantidade e

S =c

4πkE2 =

c

4πkE2

0 cos2 ωt︸︷︷︸

=1/2

=c

8πkE2

0 . (7.89)

Substituindo (7.87) e (7.89) obtemos, assim, a secao de choque diferencialdo espalhamento Thomson

dσ

dΩ=

k2e4

m2c4sin2 θ, (7.90)

que, ao ser integrada em todas as direcoes do espaco, fornece a secao de choquetotal

σ =

∮dΩ

dσ

dΩ=

8π

3

k2e4

m2c4=

8π

3R2

0, (7.91)

ou seja, e uma constante. Substituindo o valor do raio classico do eletron,teremos σ = 0, 665 × 10−24cm2. E possıvel mostrar que esse resultado valemesmo que a radiacao incidente seja nao-polarizada: fazendo uma media sobredirecoes espaciais aleatorias de polarizacao o resultado continua sendo dado por(7.91). O espalhamento Compton corresponde ao caso onde a energia dos fotonsincidentes ~ω, onde ~ = h/2π, seja muito alta, ou seja, comparavel a energiade repouso do eletron mc2 = 0, 511MeV . Neste caso a expressao classica (7.90)precisa de correcoes, estudadas na eletrodinamica quantica (formula de Klein-Nishina).

7.6. ESPALHAMENTO 275

7.6.2 Espalhamento Rayleigh

Modelo de eletron harmonicamente ligado

E o espalhamento de radiacao eletromagnetica por eletrons ligados harmonica-mente. O conceito de eletron ligado harmonicamente e eminentemente classico,e trata o eletron como um oscilador harmonico linear, sob a acao de uma forcahookeana, ou uma energia potencial quadratica. Supondo que a energia poten-cial seja uma funcao U(s) arbitraria do deslocamento s do eletron em relacaoa uma posicao de equilıbrio estavel na origem, podemos expandi-la em serie deTaylor em torno do ponto de equilıbrio s = 0:

U(s) = U(0) + sU ′(0) +1

2s2U ′′(0) + . . . .

Como U(0) e uma constante, podemos faze-la igual a zero, sem perda de gen-eralidade. Se s = 0 e um ponto de equilibrio estavel, por hipotese, entao e ummınimo da energia potencial: U ′(0) = 0 e U ′′(0) > 0. Chamando K = U ′′(0)(a “constante elastica da mola”), em primeira aproximacao qualquer forma daenergia potencial reduz-se a forma Ks2/2, que pode ser obtida da lei de Hooke:Fhooke = −Ks. A frequencia natural deste sistema massa-mola e

ω0 =√Km. (7.92)

Alem disso, ha varios efeitos dissipativos que amortecem o movimento os-cilatorio do eletron, e que podem ser tratados fenomenologicamente como umaforca de atrito viscoso (proporcional a velocidade) −Γ0s, onde Γ0 > 0 e um co-eficiente de dissipacao. Incluindo a forca eletrica devida a onda eletromagneticaincidente, a equacao de movimento classica do eletron sera

md2s

dt2− Γ0s−Ks = −eE, (7.93)

que e a equacao de um oscilador harmonico amortecido e periodicamente forcado.Da mecanica classica, sabemos que, para uma equacao linear como essa, se oforcamento E = E0e

−iωt tem uma frequencia ω, a resposta do oscilador tambemtera essa mesma frequencia. Logo podemos esperar que s = s0e

−iωt, dondes = −iωs e s = −ω2s que, inseridas em (7.93), levam a

[−ω2 − iωγ0 + ω20 ]s = − e

mE

s = −eEm

1

−ω2 − iωγ0 + ω20

, (7.94)

onde γ0 = Γ0/m. A aceleracao do eletron sera, portanto

a = −ω2s =eE

m

ω2

ω20 − ω2 − iωγ0

. (7.95)

O valor medio quadratico desta expressao e

a2 =e2

m2

∣∣∣∣ ω2

ω20 − ω2 − iωγ0

∣∣∣∣2E2 =e2

m2

∣∣∣∣ ω2

ω20 − ω2 − iωγ0

∣∣∣∣2 12E20


onde o modulo quadrado e obtido multiplicando o numero complexo pelo seuconjugado:(

ω2

ω20 − ω2 − iωγ0

)(ω2

ω20 − ω2 + iωγ0

)=

ω4

(ω20 − ω2)

2+ (ωγ0)

2.

Secao de choque de espalhamento

Usando (7.87) podemos calcular a potencia (media) irradiada por unidade deangulo solido neste caso:

dP

dΩ=

ke2

4πc3a2 sin2 θ =

ke4E20

8πc3m2sin2 θ

ω4

(ω20 − ω2)

2+ (ωγ0)

2

=

(dP

dΩ

)thomson

ω4

(ω20 − ω2)

2+ (ωγ0)

2, (7.96)

onde comparamos com a mesma quantidade para o espalhamento Thomson(7.87). Em particular, dependencia angular e a mesma para ambas.

De (7.88) temos, finalmente, a secao de choque total de espalhamento Rayleigh

σrayleigh = σthomsonω4

(ω20 − ω2)

2+ (ωγ0)

2= σthomsonF (ω) (7.97)

onde σthomson e dada por (7.91), e definimos

F (ω) =ω4

(ω20 − ω2)

2+ (ωγ0)

2. (7.98)

A secao de choque do espalhamento Rayleigh e, portanto, influenciada forte-mente pela relacao entre as frequencias natural ω0 e da onda ω, atraves dafuncao F (ω). Vamos considerar dois casos do resultado geral (7.97). No casode espalhamento ressonante ω ≈ ω0, e a funcao F reduz-se a uma Lorentziana

F (ω = ω0) =

(ω0

γ0

)2

(7.99)

de modo que a secao de choque e uma constante:

σrayleigh = σthomson

(ω0

γ0

)2

σthomson (7.100)

caso γ0 ω0, o que e uma situacao tipicamente encontrada.Um caso muito importante consiste em ondas de frequencia muito menor do

que as frequencias naturais dos eletrons envolvidos no espalhamento: ω ω0.Podemos considerar estes eletrons como fortemente ligados, ja que a “constantede mola ” K = mω2

0 e relativamente alta· Expandindo (7.98), pelo teoremabinomial, obtemos F ≈ ω4/ω4

0 , de modo que

σrayleigh = σthomson

(ω

ω0

)4

σthomson (7.101)

7.7. REACAO DE RADIACAO 277

Explicacao de Rayleigh para o azul do ceu

A expressao (7.101) e a chave da explicacao de Lord Rayleigh para o azul do ceu.Na ausencia de atmosfera nao ha espalhamento da luz solar, e o firmamento eum fundo negro para as estrelas e corpos brilhantes, como as fotografias lunaresilustram bem. Na atmosfera terrestre, os eletrons dos atomos que a compoem(basicamente N2 e O2) espalham a luz solar incidente. Para os eletrons dessasmoleculas a frequencia natural esta na faixa do ultravioleta do espectro eletro-magnetico. Logo, para a luz visıvel ω ω0 e uma aproximacao bem satisfeitano caso do espalhamento Rayleigh de luz pela atmosfera.

A luz solar e branca, ou seja, policromatica, apresentando como limites oazul (λazul = 450nm) e o vermelho (λvermelho = 650nm). Logo, a radiacaosolar tem um banda de frequencias

ωvermelho < ω < ωazul

onde ω = 2πc/λ.Como a secao de choque total de espalhamento Rayleigh aumenta com a

quarta potencia da frequencia ω, as componentes de frequencias maiores (nocaso, o azul) sao bem mais espalhadas do que as componentes de frequenciasmenores (no caso, o vermelho). Usando (7.101) podemos estimar a razao entreas secoes de choque Rayleigh para estes limites do espectro visıvel:

σazulσvermelho

=

(ωazul

ωvermelho

)4

=

(λvermelhoλazul

)4

=

(650nm

450nm

)4

≈ 4, 3

ou seja, a componente azul e cerca de quatro vezes mais espalhada do que acomponente vermelha do visıvel. Por isso o ceu e azul: as outras cores saomascaradas pela predominancia da componente azul.

Sabemos, no entanto, que o por-do-sol, no entanto, e avermelhado. Istotem a haver com o comprimento da camada atmosferica percorrida pela luz emcada caso, e tambem com o fato de que, quanto mais espalhada for uma certacomponente, mais ela e subtraida do feixe original. Ao meio-dia, com o Sol apino, esta camada e relativamente curta, mas ao poente, com o Sol no horizonte,a camada atmosferica percorrida pela luz espalhada e bem maior. Nesse ultimocaso, a luz azul, mais espalhada, e tambem mais subtraida do feixe original, demodo que nos acabamos observando as componentes menos espalhadas, que saoas vermelhas.

7.7 Reacao de radiacao

A emissao de radiacao por uma partıcula carregada em movimento aceleradoprovoca uma perda de energia que podemos associar a uma forca, denomi-nada reacao de radiacao. Essa forca, por sua vez, leva a um amortecimentodo movimento da partıcula. Este ultimo e responsavel, em parte, pelo termofenomenologico de amortecimento dissipativo que incluimos anteriormente naequacao de movimento do eletron, considerado como um oscilador harmonico.A analise relativıstica deste problema e complicada e envolve questoes profun-das associadas a natureza do eletron, que nos levam aos limites de aplicabil-idade da eletrodinamica classica. Nos nos limitaremos, aqui, a uma analisenao-relativıstica e, portanto, aproximada do problema de amortecimento radia-tivo.


7.7.1 Amortecimento radiativo

Nos estimamos a reacao de radiacao determinando a taxa de perda de energiadErad/dt devido a emissao de radiacao. No caso nao-relativıstico, podemos usara formula de Larmor (7.56):

dEraddt

=2kq2a2

3c3(7.102)

de modo que, ao cabo de um tempo T a energia irradiada e, aproximadamente

Erad ≈2kq2a2T

3c3(7.103)

onde supomos que a aceleracao seja constante.Num acelerador de partıculas, por exemplo, ha um aporte externo de energia

por meio de uma forca constante F , que realiza um trabalho mecanico quepodemos estimar como

Eext = Fx = max ≈ 1

2mv2. (7.104)

Se a partıcula e acelerada por um tempo T , entao v ≈ aT e a energia cineticaadquirida sera

Ecin =1

2mv2 =

1

2ma2T 2. (7.105)

O preco que pagamos por essas aproximacoes todas e que a conta “nao fecha”no final: o princıpio de conservacao de energia impoe que

Eext = Ecin + Erad (7.106)

o que so e possıvel se Erad for desprezıvel: Erad Ecin. Consequentemente,o efeito de amortecimento do movimento devido a emissao de radiacao so eimportante se Erad & Ecin. Aplicando (7.103) e (7.105) teremos a condicao

T . 2kq2

3mc3.

Para eletrons definimos, pois, uma escala de tempo caracterıstica

τc =2ke2

3mc3=

2

3

R0

c= 6, 2× 10−24s (7.107)

onde R0 e o raio classico do eletron dado por (7.72). Assim, os efeitos doamortecimento radiativo so sao importantes para T . τc, ou seja, quando otempo de aceleracao da partıcula e pequeno, em comparacao com a escala detempo caracterıstica. Observe que τc e muito pequeno: e da ordem do tempoque a luz leva para percorrer a distancia de um raio classico do eletron! Apequenez do amortecimento radiativo ja foi antecipada no calculo mais cuida-doso (por relativıstico) que fizemos da relacao custo-benefıcio em aceleradoreslineares. No entanto, em geral o efeito do amortecimento radiativo nao podeser desprezado de todo. Considerando eletrons oscilando com uma frequenciaω = 2π/T (devido, por exemplo, a alguma forma de espalhamento), entao acondicao para que o amortecimento radiativo seja relevante e que

ω . 2π

τc∼ 1024s−1.


7.7.2 Equacao de Abraham-Lorentz

Vamos representar o efeito do amortecimento radiativo por uma forca de reacaode radiacao Frad que, ao ser adicionada a forca externa devido a onda eletro-magnetica Fext, conduz a equacao de movimento

mv = Fext + Frad. (7.108)

Algumas dos requisitos a serem satisfeitos pela forca de reacao de radiacaosao

1. deve anular-se quando a = 0 (ausencia de radiacao);

2. o sinal da carga nao deve importar (deve variar com q2);

3. deve depender da escala de tempo caracterıstica τc;

4. deve corresponder a uma potencia dada pela formula de Larmor (7.56)

O ultimo ıtem leva, portanto, a seguinte taxa de dissipacao de energia

dEdt

= −2kq2

3c3(v · v) = Frad · v (7.109)

Usandod

dt(v · v) = (v · v) + (v · v),

temos que

Frad · v = −2kq2

3c3

[d

dt(v · v)− (v · v)

](Frad −

2kq2

3c3v

)· v = −2kq2

3c3d

dt(v · v)

de modo que, caso o lado direito dessa ultima expressao seja nulo, ou aproxi-madamente zero, a forca de reacao de radiacao pode ser dada por

Frad =2kq2

3c3v = mτcv (7.110)

que satisfaz, ainda, aos requisitos (ii) e (iii) anteriormente mencionados. Orequisito (i), no entanto, nao e automaticamente garantido, pois ha situacoespara as quais a aceleracao e nula, mas a derivada da aceleracao nao e, como numoscilador harmonico simples. Substituindo (7.110) na equacao de movimento(7.108) temos a equacao de Abraham-Lorentz

mv −mτcv = Fext. (7.111)

A derivacao heurıstica que fizemos para a forca de reacao de radiacao naotarda a cobrar seu preco em inconsistencias na teoria. Por exemplo, ao procu-rarmos solucoes da equacao de Abraham-Lorentz para o caso trivial de forcaexterna nula, temos

v − τcv = 0, (7.112)

que possui duas solucoes possıveis: uma solucao “normal” a = 0, pois e o quedeverıamos esperar na ausencia de forcas externas, e uma solucao espuria

a(t) = a(0)et/τc ,

pois representa uma aceleracao da partıcula mesmo na ausencia de uma forca,o que e obviamente impossıvel.


7.7.3 Movimento sob a acao de uma forca central

A forca de radiacao dada por (7.110), nao obstante os seus defeitos conceituais,e bastante empregada em calculos aproximados relacionados ao amortecimentoradiativo. Considerando uma partıcula carregada sujeita a um potencial centralU(r), a forca externa sera

Fext(r) = −∇U(r) =dU

drr.

Por exemplo, no caso da forca coulombiana entre um eletron e um nucleoatomico de carga Ze o potencial e

U(r) = −kZe2

r, F (r) =

kZe2

r2.

Ao inves de tentar resolver a equacao de Abraham-Lorentz para esta forca,vamos proceder aplicando num primeiro momento a conservacao de energia(desprezando as perdas por amortecimento radiativo) e depois considerando areacao de radiacao como uma perturbacao de ordem mais baixa. A energia totaldo eletron e

E = Ecin + U(r) =1

2mv2 − k

Ze2

r

Como o eletron esta em movimento circular, sobre ele atua uma aceleracaocentrıpeta devido a forca de atracao Coulombiana

a =v2

r=Fextm

=kZe2

mr2,

de onde podemos isolar v2 e substituir na energia cinetica, de forma que

E =zZe2

2r− kZe2

r= −kZe

2

2r

ou seja1

r=

2EkZe2

Considerando, agora, a Eq. (7.102) temos a seguinte taxa de perda de energia

dEdt

= −2ke2a2

3c3=

2ke2

3c3F 2

m2=τcm

(dV

dr

)2

, (7.113)

onde usamos (7.107), e (dV

dr

)2

= k2Z2e41

r2=

16E4

k2Z2e4

que nos conduz a seguinte equacao diferencial elementar para a energia irradiadapor um eletron sob a acao de uma forca coulombiana.

dEdt

=16τc

mk2Z2e4E4. (7.114)

Uma aplicacao importante desta equacao e que ela nos permite estimar otempo Tque leva um eletron, numa orbita de Bohr em torno do nucleo, para


“cair” em direcao a ele, devido a perda de energia por irradiacao. Considerandoque, em t = 0, o eletron esteja numa orbita com energia E0, e que em t → ∞ele colida com o nucleo (isto e, perca toda a sua energia), temos∫ 0

E0

dEE

=16τc

mk2Z2e4

∫ T

0

dt,

Supondo que a orbita seja aquela de menor energia, onde r = a0 (raio de Bohr),temos que E0 = −Ze2/2a0 e portanto

T =mk2a306τcZe2

.

que, no sistema SI, resulta em T =???.

7.7.4 Solucao formal da equacao de Abraham-Lorentz

Podemos procuar uma solucao formal da equacao de Abraham-Lorentz

mv = mτcv + Fext. (7.115)

fazendo algumas suposicoes sobre a natureza da forca externa Fext agindo sobrea partıcula:

1. Fext varia lentamente com o tempo (em relacao ao tempo caracterısticoτc);

2. Fext e uma funcao continuamente diferenciavel no tempo;

3. Fext deve ser muito maior do que a forca de reacao de radiacao;

4. a equacao de Abraham-Lorentz, no limite nao-relativıstico, deve reduzir-sea segunda lei de Newton: Fext = mv.

Equacao ıntegro-diferencial do movimento

Para tentar resolver (7.115) vamos fazer o ansatz

v(t) = et/τcu(t), (7.116)

onde u(t) e uma funcao a ser determinada. Derivando em relacao ao tempo

v(t) = et/τc(u(t) +

1

τcu(t)

). (7.117)

Substituindo (7.116) e (7.117) em (7.115) temos, apos algumas simplificacoes,que

mu = − 1

τcet/τcFext, (7.118)

que pode ser integrada entre dois instantes de tempo t e t0 > t arbitrarios,fornecendo

m[u(t)− u(t0)] =1

τc

∫ t0

t

dt′e−t′/τcFext(t

′).


Supondo que u(t0) = 0 e fazendo t0 → ∞ para evitar a ocorrencia de solucoesespurias, como no caso sem forca externa, chegamos a uma equacao ıntegro-diferencial

mv(t) =et/τc

τc

∫ ∞

t

dt′e−t′/τcFext(t

′). (7.119)

Para mostrarmos que, no limite τc → 0 nos recobramos a segunda lei deNewton, como impusemos anteriormente, nos fazemos uma mudanca de variavel

s ≡ 1

τc(t− t′),

de modo que (7.119) fique como

mv(t) =

∫ ∞

0

dse−sFext(t+ τs). (7.120)

Se τ e pequeno, podemos expandir a forca externa numa serie de Taylor

Fext(t+ τs) =∞∑n=0

1

n!(τcs)

n dn

dtnFext(t)

a qual, inserida no integrando de (7.119),

mv(t) =∞∑n=0

τncn!

dn

dtnFext(t)

∫ ∞

0

dse−ssn︸︷︷︸=Γ(n+1)

,

onde usamos (B.1). Como n e um inteiro, de (B.3) temos que Γ(n+ 1) = n! e

mv(t) =∞∑n=0

τncn!

dn

dtnFext(t). (7.121)

No limite τ → 0 apenas o termo com n = 0 sobrevive na somatoria acima,e recuperamos, como esperado, a segunda lei de Newton do movimento (semreacao de radiacao):

mv(t) = Fext(t).

Partıcula carregada ligada harmonicamente

Para τc suficientemente pequeno, a equacao integro-diferencial de Abraham-Lorentz e aproximadamente (7.121), que pode ser resolvida desde que conhecidaa forca externa atuando sobre a partıcula carregada. Vamos considerar, nocontexto da teoria classica dos eletrons, um eletron de massa m e carga −eligado harmonicamente com uma frequencia natural ω0. Nesse caso, ignorandoo efeito de uma onda eletromagnetica, a forca “externa” a ser considerada naequacao de Abraham-Lorentz e a propria forca restauradora hookeana que, nocaso unidimensional, e

Fext(t) = −mω20x(t),

tal que a a equacao integro-diferencial (7.121) a ser resolvida e

x(t) + ω20

∫ ∞

0

e−sx(t+ τcs) = 0. (7.122)


Vamos fazer novo ansatz

x(t) = x0e−αt (7.123)

onde α e um coeficiente a ser determinado. Inserindo x e suas derivada em(7.122) chegamos a

x0e−αt

α2 + ω2

0

∫ ∞

0

e−s(1+ατc)ds

.

Para α arbitrario, o termo entre chaves deve anular-se identicamente. Alemdisso, se a integral acima existe ela deve ir a zero no infinito, logo Reχ =Re(1 + ατc) > 0. Efetuando a integracao, que e elementar, temos a seguinteequacao do terceiro grau para z = ατc:

z3 + z2 + (ω0τc)2= 0.

O discriminante desta equacao cubica e positivo:

∆ = −(ω0τc)2(4 + 27(ω0τc)

2) > 0,

de modo que a equacao tem uma raiz real z1 e duas raizes complexo-conjugadasz2 = z∗3 .

Se ω0τc = 0, a raiz real da equacao cubica correspondente, z3 + x2 = 0, ez1 = −1. Isto nos sugere que, para ω0τc 1, podemos procurar uma solucaousando teoria de perturbacao para equacoes algebricas. Chamando ω0τc = εtemos que procurar a equacao real de

z3 + z2 + ε2 = 0, (7.124)

na forma de uma serie perturbativa, ja que ε 1:

z = aε+ bε2 + cε3

onde a, b e c sao coeficientes a serem determinados.Substituindo z e suas potencias em (7.124) obteremos

(a2 + 1)ε2 + (2ab+ a3)ε3 + (3a2b+ 2ac+ b2)ε4 = 0.

Igualando a zero os coeficientes desse polinomio em ε temos a = ±i, b = 1/2 ec = ∓5i/8, de modo que a solucao aproximada procurada e

z =ε2

2± i

(ε− 5

8ε3).

Definindo Γ = ω20τc e ∆ω = −(5/8)ω3

0τ2 podemos reescrever essa solucao

como

α =Γ

2± i(ω0 +∆ω),

que e o expoente α no ansatz (7.123):

x(t) = x0 exp

[−Γt

2± i(ω0 +∆ω)t

].


a qual representa uma oscilacao de frequencia ω0 + ∆ω (isto e, deslocada deδω em relacao a frequencia natural), e cuja amplitude decai exponencialmentena razao Γ. Tanto a taxa de decaimento como o deslocamento de frequenciasanulam-se se τc = 0, isto e, na ausencia de amortecimento radiativo. Estecomportamento explica, portanto, parte do termo dissipativo fenomenologicoque adicionamos a equacao de movimento do eletron harmonicamente ligado,na teoria classica do eletron. No entanto, ha outros fatores que entram nessetermo dissipativo, e que nao sao necessariamente devidos a reacao de radiacao.

Apendice A

Vetores e tensores noespaco Euclidiano

A.1 Algebra vetorial

A.1.1 Convencao de soma

Num sistema de coordenadas cartesianas x1 = x, x2 = y, x3 = z, e usando osvetores de base e1 = x, e2 = y, e3 = z, escrevemos o vetor posicao no espacoEuclidiano como

r =3∑i=1

xiei. (A.1)

Da mesma forma, sendo A1 = Ax, A2 = Ay e A3 = Az as componentes de umvetor A neste sistema, temos

A =3∑i=1

Aiei. (A.2)

Por economia de notacao usaremos a convencao de soma: dois ındices repeti-dos num mesmo termo estao sendo implicitamente somados de 1 a 3. Logoescreveremos (A.1) e (A.2) simplesmente como

r = xiei. A = Aiei. (A.3)

Observe que ındices repetidos sao “mudos”, ou seja, nao importa a letra (ousımbolo) que usemos como ındices. Por exemplo,

A = Aiei = Aj ej = Akek, (A.4)

querem dizer exatamente a mesma coisa.

A.1.2 Delta de Kronecker

Os vetores de base ei sao normalizados, isto e, tem modulo igual a um

e1 · e1 = e2 · e2 = e3 · e3 = 1, (A.5)

285

286 APENDICE A. VETORES E TENSORES NO ESPACO EUCLIDIANO

e tambem sao ortogonais:

e1 · e2 = e2 · e3 = e3 · e1 = 0, (A.6)

o que pode ser convenientemente expresso na seguinte relacao de ortonormali-dade:

ei · ej = δij, (A.7)

onde definimos o delta de Kronecker como

δij =

1, se i = j,0, se i 6= j.

. (A.8)

Em termos matriciais, a delta de Kronecker representa os elementos de umamatriz identidade de terceira ordem. Ela e simetrica na troca de i por j: δji =δij .

A delta de Kronecker, sempre que aparece dentro de um somatorio, exerce opapel de um “filtro”, retendo apenas o termo para o qual os ındices sao iguais.Por exemplo

3∑i=1

Aiδij = Aj . (A.9)

Esta propriedade permite-nos, por exemplo, escrever o produto interno (escalar)entre dois vetores como

A ·B = AiBj ei) · ej = AiBjδij = AiBi (A.10)

Um detalhe importante sobre a convencao de soma e o de que devemos cuidarpara nao repetirmos o mesmo ındice mais de duas vezes num mesmo termo.E por esse motivo que, na dupla somatoria acima, nos usamos dois ındicesdiferentes: i e j.

Por consistencia com a convencao de soma, temos a seguinte expressao

δii = δ11 + δ22 + δ33 = 1 + 1 + 1 = 3, (A.11)

que e o traco da matriz identidade.

A.1.3 Sımbolo de Levi-Civita

O sımbolo de Levi-Civita (ou permutador) e definido como o seguinte objetocom tres ındices

εijk =

1, se i, j, k estao em permutacao par dos ındices 1, 2, 3,-1, se i, j, k estao em permutacao ımpar dos ındices 1, 2, 3,0, se ha dois ou mais ındices iguais,

.

(A.12)Desta forma, ε123 = 1, enquanto ε213 = −1 e ε113 = 0, por exemplo. Paradescobrir se uma dada sequencia e uma permutacao par ou ımpar dos ındices(1, 2, 3) nos comparamos a sequencia dada com (1, 2, 3) e contamos o numerode cruzamentos. Se este for par (ımpar), entao o sımbolo e igual a 1 (−1).O sımbolo de Levi-Civita e, portanto, totalmente anti-simetrico na troca dequaisquer pares de ındices:

εijk = −εjik = −εkji, etc. (A.13)

A.1. ALGEBRA VETORIAL 287

Os produtos externos (vetoriais) entre os vetores de base do espaco Euclidi-ano constituem um exemplo importante de aplicacao do sımbolo de Levi-Civita.Usando a convencao de soma temos que

ei × ej = εijkek, (A.14)

onde k soma de 1 a 3. Consequentemente

e1 × e2 = ε12kek = ε121e1 + ε122e2 + ε123e3 = e3, (A.15)

e assim por diante: e2 × e3 = e1, e3 × e1 = e2. Para dois vetores arbitrariostemos

A×B = AiBj ei)× ej = εijkAiBj ek. (A.16)

Em particular, a m-esima componente deste produto vetorial e

(A×B)m = εijkAiBj ek · em = εijkAiBjδkm = εijmAiBj . (A.17)

Abrindo a expressao (A.16) temos um total de nove termos, que podem serdispostos na conhecida forma de um determinante:

A×B =

∣∣∣∣∣∣A1 A2 A3

B1 B2 B3

e1 e2 e3

∣∣∣∣∣∣ . (A.18)

De fato, a propria definicao do determinante de uma matrix pode ser expressaem termos do sımbolo de Levi-Civita. Se M e uma matriz com elementos mij

o seu determinante edetM = εijkm1im2jm3k. (A.19)

Algumas propriedades uteis do sımbolo de Levi-Civita sao

εijkε`mn =

∣∣∣∣∣∣δi` δim δinδj` δjm δjnδk` δkm δkn

∣∣∣∣∣∣ . (A.20)

εijkεimn = δjmδkn − δjnδkm, (A.21)

εijkεijk = 6. (A.22)

A.1.4 Identidades vetoriais

As propriedades anteriores, especialmente (A.21), sao muito uteis na deducao deidentidades vetoriais. Por exemplo, de (A.17) decorre que a i-esima componentesdo duplo produto vetorial e

[A× (B×C)]i = εijkAj(B×C)k= εkijεk`mAjB`Cm

= (δi`δjm − δimδj`)AjB`Cm

= AmBiCm −AjBjCi

= (A ·C)Bi − (A ·B)Ci, (A.23)

de modo que temos a formula conhecida

A× (B×C) = (A ·C)B− (A ·B)C. (A.24)


A.2 Analise vetorial

A.2.1 O operador nabla

O operador diferencial vetorial nabla, ou del, em coordenadas cartesianas, podeser escrito usando a convencao de soma, como

∇ = e1∂

∂x1+ e2

∂

∂x2+ e3

∂

∂x3= ei

∂

∂xi, (A.25)

ou ainda, abreviando-se ∂/∂xi por ∂i, como

∇ = ei∂i. (A.26)

Desta forma, o gradiente de um campo escalar ϕ(r) e escrito, simplesmente,como

gradϕ = ∇ϕ = ei∂iϕ, (A.27)

assim como o divergente de um campo vetorial A(r) como

divA = ∇ ·A = ∂iAi, (A.28)

tal que o Laplaciano fique

∇2ϕ = ∇ · ∇ϕ = ∂i∂iϕ. (A.29)

Ja o rotacional e expresso em funcao do sımbolo de Levi-Civita:

rotA = ∇×A = εijk∂iAj ek. (A.30)

A.2.2 Simetria e antisimetria dos ındices

Uma matriz S e simetrica se ST = S, onde o superescrito T indica transposicao,ou seja, seus elementos satisfazem Sji = Sij . Uma matriz A e anti-simetrica seAT = −A, ou Aji = −Aij . Logo

SijAji = −SijAij . (A.31)

Como i e j sao ındices mudos, podemos trocar i por j e vice-versa no segundomembro, de modo que

SijAji = −SjiAji = SijAij . (A.32)

Comparando estas duas expressoes temos que

SijAij = −SijAij . (A.33)

que so pode ser sempre verdadeira caso

SijAij = 0, (A.34)

de modo que o produto de uma matriz simetrica por outra anti-simetrica eidenticamente nulo. Esta conclusao vale tambem para objetos com ındices, quenao sao representados por matrizes, como o sımbolo de Levi-Civita.

A.2. ANALISE VETORIAL 289

Por exemplo, como a delta de Kronecker e simetrica nos seus ındices, e osımbolo de Levi-Civita e anti-simetrico nos mesmos ındices, temos

δijεijk = εiik = 0. (A.35)

Uma aplicacao interessante desse resultado e a identidade ∇ × ∇ϕ = 0.Usando (A.30) e (A.27)

(∇×∇ϕ)i = εijk∂j∂kϕ (A.36)

O produto ∂i∂j e simetrico na troca de ındices, gracas a relacao de Schwartz

∂j∂i =∂

∂xj

∂

∂xi=

∂2

∂xjxi=∂xi∂xj

= ∂i∂j, (A.37)

de modo queεijk∂j∂k = 0 (A.38)

ja que o sımbolo de Levi-Civita e anti-simetrico. Logo (∇×∇ϕ)i = 0.

A.2.3 Outras identidades vetoriais

Aplicando duas vezes (A.30) a um campo vetorial temos que a i-esima compo-nente de ∇× (∇×A) e

[∇× (∇×A)]i = εijkεk`m∂j∂Àm

= (δi`δjm − δimδ`j)∂j∂Àm

= ∂m∂iAm − ∂`∂Ài

= ∂i(∇ ·A)−∇2Ai,

de modo que temos a identidade vetorial

∇× (∇×A) = ∇(∇ ·A)−∇2A. (A.39)

onde usamos novamente a “milagrosa” relacao (A.21). Da mesma forma mostra-se que

∇ · (A×B) = B(∇×A)−A(∇×B). (A.40)

Uma deducao semelhante, porem mais trabalhosa, envolve a demonstracaoda famosa formula

∇(A ·B) = (B · ∇)A+ (A · ∇)B+B× (∇×A+A× (∇×B) (A.41)

Para isso calculamos inicialmente

[∇(A ·B)]i = ∂iAjBj

= ∂iAjBj +Aj∂iBj

= (∂iAj − ∂jAi)Bj︸︷︷︸=I

+Bj(∂jAi)︸︷︷︸=II

+Aj(∂iBj − ∂jBi)︸︷︷︸=III

+Aj(∂jBi)︸︷︷︸=IV

,

Calculando separadamente cada termo:

II = (Bj∂j)Ai = (B · ∇)Ai,

IV = (Aj∂j)Bi = (A · ∇)Bi,


Podemos, agora, usar a delta de Kronecker para trocar ındices onde dese-jamos, como na expressao em I

∂iAj − ∂jAi = δi`δjm∂Àm − δimδj`∂Àm

= εkijεk`m∂Àm

onde usamos novamente (A.21). Dessa forma

I = (∂iAj − ∂jAi)Bj = εijkεk`m∂ÀmBj = [B× (∇×A)]i. (A.42)

e, analogamente,

IV = Aj(∂iBj − ∂jBi) = [A× (∇×B)]i. (A.43)

Reunindo as quatro contribuicoes temos a identidade (A.41). Todas as identi-dades vetoriais podem ser demonstradas dessa forma compacta, como

∇ · (ϕA) = A · ∇ϕ+ ϕ(∇ ·A), (A.44)

∇× (ϕA) = ∇ϕ×A+ ϕ(∇×A), (A.45)

∇× (A×B) = A(∇ ·B)−B(∇ ·A) + (B · ∇)A− (A · ∇)B. (A.46)

A.2.4 Teoremas da analise vetorial

Se V e uma regiao limitada do espaco, envolvida por uma superfıcie fechadaS, para qualquer campo vetorial A(r) “bem-comportado” (isto e, contınuo ediferenciavel em todos os pontos de V ) vale o teorema do divergente∫

V

∇ ·AdV =

∮S

A · dA, (A.47)

onde dA = dAn e um elemento de area vetorial, sendo n um vetor unitarioperpendicular a superfıcie S.

Se S e uma superfıcie aberta limitada pela curva fechada C, para qualquercampo vetorial bem-comportado vale o teorema de Stokes:∫

S

∇×A · dA =

∮C

A · ds, (A.48)

onde ds e um elemento de linha vetorial ao longo de C.Sejam ϕ(r) e ψ(r) dois campos escalares bem-comportados. Entao, para um

volume V limitado vale o teorema de Green no espaco∫V

dV (ϕ∇2ψ − ψ∇2ϕ) =

∮S

(ϕ∇ψ − ψ∇ϕ) · dA. (A.49)

Como ∇ψ · n = ∂ψ/∂n e a derivada normal de ψ (ou seja, a derivada segundouma direcao perpendicular a superfıcie S em cada ponto), podemos reescrevero teorema de Green como∫

V

dV (ϕ∇2ψ − ψ∇2ϕ) =

∮S

dA

(ϕ∂ψ

∂n− ψ

∂ϕ

∂n

), (A.50)

A.3. ALGEBRA TENSORIAL 291

A.3 Algebra tensorial

A.3.1 Vetores e pseudo-vetores no espaco Euclidiano

Definimos um vetor v, no espaco Euclidiano tridimensional, como um conjuntode tres quantidades vi, i = 1, 2, 3 que se transformam, sob uma rotacao dosistema de coordenadas, de acordo com a seguinte regra

v′i = aijvj , (A.51)

onde aij sao os elementos da matriz de rotacao correspondente:

x′i = aijxj (A.52)

onde xi e x′i sao as coordenadas antes e depois da rotacao, respectivamente.

Numa rotacao no espaco Euclidiano tridimensional o modulo de um vetor einvariante:

x′ix′i = xixi = |r|2, (A.53)

logo

aijaikxjxk = xjxj = δjkxjxk,

donde a matriz de rotacao a deve ser ortogonal, ja que

aTjiaik = δjk ⇒ aTa = I, (A.54)

onde o superscrito T indica matriz transposta e I denota a matriz identidade.Calculando o determinante de (A.54)

det(aTa) = detaT deta = det I,

(deta)2

= 1,

deta = ±1,

onde as matrizes de rotacao sao tais que det a) = +1.Ha, contudo, outra operacao que tambem mantem o modulo invariante, que

e a inversao de paridade: quando trocamos o sinal das coordenadas de um ponto:

r → −r, (x, y, z) → (−x,−y,−z). (A.55)

Nos chamamos de reflexao a combinacao de uma inversao de paridade e umarotacao. Para uma reflexao deta) = −1, donde ela e chamada tambem derotacao impropria.

Um vetor proprio (tambem chamado vetor polar) e tambem invariante sobuma reflexao. Um exemplo e o potencial vetor A. Ja um pseudo-vetor (ou vetoraxial) troca de sinal mediante uma reflexao. O exemplo mais simples de vetoraxial e o produto externo de dois vetores polares C = A×B. Se fizermos umareflexao entao

C → −C. (A.56)

Logo o campo magnetico B = ∇ × A e um vetor axial, enquanto o campoeletrico E = −∇φ− g∂A/∂t e um vetor polar.


A.3.2 Tensores no espaco Euclidiano

Definimos um tensor proprio de segunda ordem (no espaco Euclideano) comoum conjunto de 32 = 9 quantidades Tij que se transformam, sob uma rotacao,como o produto de dois vetores proprios:

T ′ij = aikaj`Tk`, (A.57)

ao passo que um pseudo-tensor ganha um sinal negativo quando desta trans-formacao. Um escalar e um tensor de ordem zero, pois e invariante medianteuma rotacao: ϕ′ = ϕ. Ja um vetor, conforme definido em (A.51), e um tensorde ordem 1. As nove componentes de um tensor de segunda ordem podem serencaradas como os elementos de uma matriz 3× 3 que representa o tensor:

T.=

T11 T12 T13T21 T22 T23T31 T32 T33

. (A.58)

De forma analoga podemos definir um tensor de ordem N ,

T ′i1i2···iN = ai1j1ai2j2 · · · aiN jNTi1i2···iN (A.59)

bem como o respectivo pseudo-tensor. Um pseudo-tensor de terceira ordemimportante e o sımbolo de Levi-Civita (A.12).

Um tensor de segunda ordem e simetrico se TT = T, ou Tij = Tji; e anti-simetrico se TT = −T, ou Tij = −Tji. Neste ultimo caso, os elementos diagonaisserao identicamente nulos, pois Tii = −Tii = 0. O tensor identidade tem compo-nentes 1ij = δij (delta de Kronecker), e e simetrico. Ja o sımbolo de Levi-Civitae totalmente anti-simetrico para quaisquer pares de ındices.

Vamos considerar um pseudo-vetor b. E possıvel associar a ele um tensorproprio antisimetrico B tal que bji = −bij . Como os seus elementos diagonaissao nulos, ha apenas (9− 3)/2 = 3 componentes independentes, que vem a seras proprias componentes cartesianas do pseudo-vetor bi (i = 1, 2, 3):

bi =1

2εijkBjk. (A.60)

Por exemplo, se i = 1 temos

b1 =1

2ε1jkBjk =

1

2ε123︸︷︷︸=1

B23 +1

2ε132︸︷︷︸=−1

B32 =1

2(B23 +B23) = B23

e, analogamente, b2 = −B13 e b3 = B12. O “tensor do vetor axial” b tera, pois,as seguintes componentes

(Bij) =

0 bz −by−bz 0 bxby −bx 0

. (A.61)

A.3.3 Produtos entre vetores e tensores

Define-se o produto (a direita) entre um tensor de segunda ordem T, de com-

ponentes Tij , e um vetor a = aiei, como um segundo vetor b = bibi tal que

b = T · a,⇒ bi = Tijaj , (i = 1, 2, 3). (A.62)

A.4. ANALISE TENSORIAL 293

O produto do tensor identidade por um vetor resulta o proprio vetor: 1 · a = a,pois δijaj = ai. Analogamente, tambem definimos um produto a esquerda entreT e a = aiei:

b = a · T,⇒ bi = ajTij , (i = 1, 2, 3). (A.63)

O duplo produto de dois vetores por um tensor e um escalar:

ϕ = a · T · b,⇒ ϕ = aiTijbj . (A.64)

Podemos tambem fazer o produto de dois tensores T e U, gerando outrotensor W:

W = T · U,⇒Wij = TikUkj . (A.65)

No caso anterior, contraimos apenas um ındice (k). No entanto, podemostambem fazer uma dupla contracao entre dois tensores, que resulta num es-calar:

ϕ = T : U,⇒ ϕ = TijUij . (A.66)

A.3.4 Produto diadico

Sejam dois vetores a = aiei e b = bibi. O produto diadico (ou produto ten-sorial) entre eles e um tensor de segunda ordem, denotado por a ⊗ b, cujascomponentes sao dadas por

(a⊗ b)ij = aibj (A.67)

como pode ser facilmente verificado checando as propriedades de transformacao(A.57). Como

a⊗ b = aibj ei ⊗ ej

concluimos que as nove quantidades x⊗ x x⊗ y x⊗ zy ⊗ x y ⊗ y y ⊗ zz⊗ x z⊗ y z⊗ z

(A.68)

formam uma base tensorial para o produto diadico.Duas propriedades importantes do produto diadico sao

(a⊗ b) · c = a(b · c), (A.69)

c · (a⊗ b) = (c · a)b), (A.70)

A primeira delas pode ser facilmente demonstrada:

(a⊗ b) · ci = (a⊗ b)ijcj = aibjcj = Ai(b · c).

A.4 Analise tensorial

O gradiente de um vetor a e um tensor de segunda ordem∇a, cujos componentessao

(∇a)ij = ∂iAj . (A.71)

Em particular ∇r = 1 (tensor identidade).


O divergente de um tensor de segunda ordem T e um vetor a cujas compo-nentes sao

a = ∇ · T,⇒ ai = ∂jTji. (A.72)

Um caso particular importante e quando o tensor e um produto diadico. Nestecaso

∇ · (a⊗ b) = (∇ · a)b+ (a · ∇)b), (A.73)

que se demonstra como segue:

[∇ · (a⊗ b)]i = ∂j(a⊗ b)ji = ∂j(ajbi)

= (∂jaj)bi + (aj∂j)bi = (∇ · a)bi + (a · ∇)bi.

Se ϕ e um escalar e T e um tensor, entao

∇ · (ϕT) = (∇ϕ) · T+ ϕ(∇ · T). (A.74)

Um teorema integral importante da analise tensorial e a generalizacao doteorema do divergente (A.47):∫

V

dV∇ · T =

∮S

T · ndA (A.75)

onde S e uma superfıcie fechada que envolve o volume V . A i-esima componenteda expressao acima e ∫

V

dV ∂jTji =

∮S

TijnjdA, (A.76)

onde n = nj ej e um vetor unitario normal a superfıcie S.

Apendice B

Complementos matematicos

B.1 Funcoes Especiais

B.1.1 Funcao Gama

Se z e um numero complexo com Re(z) > 0, a funcao gama pode ser definidapor meio de uma integral de Euler de primeira especie:

Γ(z) =

∫ ∞

0

e−ttz−1dt, (B.1)

a partir da qual deduz-se a propriedade fundamental

Γ(z + 1) = zΓ(z), (B.2)

Seja n um inteiro positivo diferente de zero. Como Γ(1) = 1 = 0!, o usorepetido de (B.2) conduz a

Γ(n+ 1) = n! (B.3)

Por integracao direta verificamos que Γ(1/2) =√π, de tal modo que (B.2)

fornece Γ(3/2) =√π/2, etc. que podem ser generalizadas como

Γ(n2+ 1)=

n!!√π

2(n+1)/2, (B.4)

onde introduzimos o duplo fatorial

n!! = n(n− 2)(n− 4) . . . 3.2.1. (B.5)

B.1.2 Polinomios de Legendre

Os polinomios de Legendre P`(z), com −1 ≤ z ≤ 1, sao solucoes da equacaodiferencial

d

dz

[(1− z2)

d

dzP`(z)

]+ `(`+ 1)P`(z) = 0, (B.6)

onde ` e um inteiro positivo. Os polinomios de Legendre podem ser obtidos pelaformula de Rodrigues

P`(z) =1

2``!

d`

dz`(z2 − 1)

`. (B.7)

295

296 APENDICE B. COMPLEMENTOS MATEMATICOS

` P`(z)

0 11 z2 1

2 (3z2 − 1)

3 12 (5z

3 − 3z)4 1

8 (35z4 − 30z2 + 3)

Tabela B.1: Polinomios de Legendre

Alguns dos polinomios de Legendre de ordem mais baixa sao mostrados natabela B.1. Se ` e par (ımpar), os polinomios de Legendre sao funcoes pares(ımpares) de z.

Os polinomios de Legendre satisfazem a seguinte relacao de ortonormalidade∫ 1

−1

dzP`(z)P`′(z) =2

2`+ 1δ``′ , (B.8)

de modo que P`(z)∞`=0 formam um conjunto completo e ortonormal de funcoesde base: uma funcao arbitraria f(z) pode ser expandida como uma combinacaolinear dos polinomios de Legendre

f(z) =∞∑`=0

c`P`(z), (B.9)

cujos coeficientes sao dados pelas seguintes integrais:

c` =2

2`+ 1

∫ 1

−1

dzf(z)P`(z). (B.10)

A funcao geratriz dos polinomios de Legendre e

1√1− 2tz + t2

=∞∑`=0

t`P`(z) (B.11)

Algumas relacoes de recorrencia importantes envolvendo polinomios de Leg-endre e suas derivadas sao

(`+ 1)P`+1(z)− (2`+ 1)zP`(z) + `P`−1(z) = 0, (` ≥ 1), (B.12)

P ′`+1(z)− 2zP ′

`+1(z) + P ′`−1(z)− P`(z) = 0, (B.13)

(x2 − 1)P ′ell(x)− `xP`(x) + `P`−1(x) = 0 (B.14)

d

dz

[√1− z2P 1

` (z)]

= `(`+ 1)P`(z), (B.15)

Em particular, temos a seguinte identidade

P`(0) =

0, se ` = 2n+ 1 for ımpar, com n = 0, 1, 2, . . .,(−1)n(2n−1)!!

2nn! , se ` = 2n , com n = 0, 1, 2, . . ...

(B.16)Uma integral notavel e∫ 1

0

P`(z)dz =

0, se ` for par,√

π/2

Γ(1− `2 )Γ(

3+`2 )

, se ` for ımpar. (B.17)

B.1. FUNCOES ESPECIAIS 297

B.1.3 Polinomios de Legendre Associados

Os polinomios de Legendre associados sao definidos como (−1 ≤ z ≤ 1):

Pm` (z) = (−1)m(1− z2)

m/2 dm

dzmP`(z), (B.18)

onde ` = 0, 1, 2, . . . e m = −`,−` + 1, . . . , ` − 1, `, sendo solucoes normalizadasda equacao de Legendre associada

d

dz

[(1− z2)

d

dzP`(z)

]+

[`(`+ 1)− m2

1− z2

]P`(z) = 0. (B.19)

Se m = 0 o polinomio associado correspondente reduz-se ao polinomio deLegendre convencional: P 0

` (z) = P`(z). Ja, para valores negativos de m, vale aexpressao

P−m` (z) = (−1)

m (`−m)!

(`+m)!Pm` (z). (B.20)

A forma explıcita de

P 1` (0) =

(−1)n+1Γ(n+3/2)

Γ(n+1)Γ(3/2) , se è ımpar(` = 2n+ 1)

0, se è par(` = 2n),(B.21)

onde n e um inteiro nao-negativo, sera util no Capıtulo 2.Os polinomios de Legendre associados tambem formam um conjunto de

funcoes ortonormais, satisfazendo∫ 1

−1

dzPm` (z)Pm`′ (z) =2

2`+ 1

(`+m)!

(`−m)!δ`,`′ , (B.22)

B.1.4 Harmonicos Esfericos

Os harmonicos esfericos sao autofuncoes do operador Laplaciano em coorde-nadas esfericas (r, θ, φ). De acordo com a convencao do Jackson [13] seraodefinidos como

Y m` (θ, φ) =

√2`+ 1

4π

(`−m)!

(`+m)!Pm` (cos θ)eimφ, (m ≥ 0), (B.23)

onde ` = 0, 1, 2, . . . e m = −`,−`+ 1, . . . `− 1, ` para m < 0 os harmonicos saoobtidos usando

Y −m` (θ, φ) = (−1)

mY ∗m

` (θ, φ). (B.24)

Um caso particular muito importante e quando m = 0, pois os polinomiosde Legendre associados reduzem-se aos polinomios de Legendre comuns, e oharmonico esferico correspondente torna-se independente do angulo φ:

Y 0` (θ) =

√2`+ 1

4πP`(cos θ). (B.25)

Alguns harmonicos esfericos de ordem mais baixa estao listados na TabelaB.1.4. Duas propriedades dos harmonicos esfericos sao particularmente uteis:(i) a relacao de ortonormalidade∫ 2π

0

dφ

∫ π

0

sin θdθY ∗m′

`′ (θ, φ)Y m` (θ, φ) = δ`′`δm′m, (B.26)


` m Y m` (θ, φ)

0 0√

14π

1 0√

34π cos θ

1 1 -√

38π sin θeiφ

2 0 12

√54π (3 cos

2 θ − 1)

2 1 −√

158π sin θ cos θeiφ

2 2 14

√152π sin2 θe2iφ

e a relacao de completeza

∞∑`=0

∑m=−`

Y ∗m` (θ′, φ′)Y m` (θ, φ) = δ(φ− φ′)δ(cos θ − cos θ′). (B.27)

Gracas as propriedades anteriores, os harmonicos esfericos podem ser encar-ados como funcoes de base num espaco de Hilbert adequado, tal que uma funcaoarbitraria de θ e φ na superfıcie de uma esfera pode ser expandida como umacombinacao linear dessas funcoes de base:

g(θ, φ) =

∞∑`=0

∑m=−`

A`mYm` (θ, φ), (B.28)

onde os coeficientes (de Fourier) da expansao sao dados por

A`m =

∫ 2π

0

dφ

∫ π

0

sin θdθY m`∗(θ, φ)g(θ, φ). (B.29)

Essa expansao e particularmente simples quando θ = 0:

g(0, φ) =∞∑`=0

√2`+ 1

4πA`0, (B.30)

onde

A`0 =

∫ 2π

0

dφ

∫ π

0

sin θdθP`(θ)g(θ, φ). (B.31)

Um dos usos mais frequentes dos harmonicos esfericos esta na solucao geralda equacao de Laplace em coordenadas esfericas (∇2Φ(r, θ, φ) = 0):

Φ(r, θ, φ) =∞∑`=0

∑m=−`

[C`mr

` +D`mr−(`+1)

]Y m` (θ, φ), (B.32)

onde C`m e D`m sao constantes determinadas pelas condicoes de contorno doproblema. Se a solucao procurada deve ser regular (isto e, finita) na origem,entao termos do tipo r`+1 estao descartados, de modo que impomos a condicaoD`m = 0 para todos os valores de ` e m. Por outro lado, caso o potencial


deva anular-se no infinito, descartamos os termos com r`, ou seja, C`m = 0.Finalmente, um caso bastante frequente e o de problemas com simetria axial,ou seja, o potencial nao depende do angulo φ. Quando isso ocorrer, fazemosm = 0 e usamos (B.25) para o harmonico esferico correspondente.

Um resultado importante quando fazemos expansoes em harmonicos esfericose o chamado teorema de adicao

P`(cos γ) =4π

2`+ 1

∑m=−`

Y ∗m` (θ′, φ′)Y m` (θ, φ), (B.33)

ondecos γ = cos θ cos θ′ + sin θ sin θ′ cos(φ− φ′). (B.34)

B.1.5 Funcoes cilındricas

Em problemas de contorno envolvendo coordenadas cilındricas ocorrem fre-quentemente as funcoes de Bessel de primeira especie de ordem ν

Jν(x) =(x2

)ν ∞∑j=0

(−1)j

j!Γ(j + ν + 1)

(x2

)2j, (B.35)

Se ν nao e um inteiro, entao Jν(x) e J−ν(x) sao duas solucoes linearmenteindependentes da equacao de Bessel

d2R

dx2+

1

x

dR

dx+

(1− ν2

x2

)R = 0, (B.36)

de tal modo que a solucao geral e uma combinacao linear dessas duas solucoes.No entanto, se ν = m e um numero inteiro, J±ν nao sao mais linearmente

independentes, ja que J−m(x) = (−1)mJm(x). Nestas condicoes podemos usar

a funcao de Neumann (tambem conhecida como funcao de Bessel de segundaespecie)

Nν(x) =Jν(x) cos(νπ)− J−ν(x)

sin(νπ), (B.37)

tais que N−m(x) = (−1)mNm(x). Um detalhe importante e que as funcoes de

Neumann divergem na origem, razao pela qual nao podem ocorrer em problemasonde a solucao deva ser regular em x = 0.

Costumamos usar Jν(x) e Nν(x) como solucoes linearmente independentesmesmo quando ν nao e um inteiro. Alem disso, dependendo do tipo de condicaode contorno a ser satisfeita, as vezes usamos, com a mesma funcao, as funcoesde Hankel

H(1)ν (x) = Jν(x) + iNν(x), (B.38)

H(2)ν (x) = Jν(x)− iNν(x). (B.39)

para as quais H(1)−m(x) = enπiH

(1)m (x) e H

(2)−m(x) = e−nπiH

(2)m (x).

Vale o seguinte teorema de adicao para as funcoes de Hankel do primeirotipo:

H(1)ν (k|r− r′|)eiν(φ−φ

′) =∑m=−`

ei(ν+m)(φ−φ′)Jm(kρ′)H(1)ν+m(kρ), (B.40)


onde ρ = |r| e ρ′ = |r′|.As funcoes cilındricas Ων(x) (que podem ser Bessel, Neumann, ou Hankel)

satisfazem as mesmas relacoes de recorrencia, a saber:

Ων−1(x) + Ων+1(x) =2ν

xΩν(x), (B.41)

Ων−1(x)− Ων+1(x) = 2dΩνdx

. (B.42)

Embora os valores das funcoes cilındricas, em geral, devam ser procuradosem pacotes numericos (como o Mathematica, Maple, etc.), e muito comum ne-cessitarmos apenas das suas formas assintoticas, validas para argumentos muitograndes ou muito pequenos.

Jν(x) −−−→x1

1

Γ(ν + 1)

(x2

)ν, (B.43)

Jν(x) −−−→x1

√2

πxcos(x− νπ

2− π

4

), (B.44)

Nν(x) −−−→x1

−Γ(ν)

π

(2

x

)ν, (B.45)

N0(x) −−−→x1

2

π

[ln(x2

)+ γ], (B.46)

Nν(x) −−−→x1

√2

πxsin(x− νπ

2− π

4

), (B.47)

H(1)ν (x) −−−→

x1

1

πiΓ(ν)

(x2

)−ν, (B.48)

H(2)ν (x) −−−→

x1− 1

πiΓ(ν)

(x2

)−ν, (B.49)

H(1)0 (x) −−−→

x1− 2

πilnx, (B.50)

H(2)0 (x) −−−→

x1

2

πilnx, (B.51)

H(1)ν (x) −−−→

x1

√2

πxei(x−

νπ2 −π

4 ), (B.52)

H(2)ν (x) −−−→

x1

√2

πxe−i(x−

νπ2 −π

4 ), (B.53)

onde γ = 0, 5772 . . . e a constante de Euler-Mascheroni.Duas integrais notaveis envolvendo a funcao de Bessel de primeira especie

Jν(x) sao

J0(x) =1

2π

∫ 2π

0

dφeix cosφ, (B.54)∫xJ0(x)dx = xJ1(x). (B.55)

As condicoes de contorno impostas em problemas em coordenadas cilındricas(ρ, ϕ, z) costumam levar as raızes n-esimas (n = 1, 2, . . .) da funcao de Bessel deordem ν: Jν(xνm) = 0. Na tabela B.1.5 apresentamos algumas raızes de ordem


ν xν1 xν2 xν3

0 2, 405 5, 520 8, 6541 3, 832 7, 016 10, 1732 5, 136 8, 417 11, 620

mais baixa. Usando tais raızes, podemos escrever a propriedade de ortonormal-idade para o intervalo 0 ≤ ρ ≤ a:∫ a

0

ρdρJν

(xνm

ρ

a

)Jν

(xνn

ρ

a

)=a2

2J2ν+1(xνn)δmn. (B.56)

Ja a imposicao de condicoes iniciais nesses problemas de contorno requero uso de series de Fourier-Bessel: uma funcao f(ρ) definida no intervalo [0, a]pode ser expressa como a superposicao linear de funcoes de Bessel

f(ρ) =∞∑n=1

AνnJν

(xνn

ρ

a

), (B.57)

onde os coeficientes sao dados por

Aνn =2

a2J2ν+1(xm)

∫ a

0

ρdρf(ρ)Jν

(xνn

ρ

a

). (B.58)

A equacao de Bessel modificada

d2R

dx2+

1

x

dR

dx+

(1 +

ν2

x2

)R = 0, (B.59)

tem como solucoes linearmente independentes as funcoes de Bessel modificadas,cujos argumentos sao imaginarios puros (nao obstante, as funcoes sao reais),definidas como:

Iν(x) = i−νJν(ix), (B.60)

Kν(x) =π

2iν+1H(1)

ν (ix). (B.61)

com I−m(x) = Im(x) e K−m(x) = Km(x).As formas assintoticas dessas funcoes sao bastante empregadas:

Iν(x) −−−→x1

1

Γ(ν + 1)

(x2

)ν, (B.62)

Iν(x) −−−→x1

√1

2πxex, (B.63)

Kν(x) −−−→x1

Γ(ν)

π

(2

x

)ν, (B.64)

K0(x) −−−→x1

−[ln(x2

)+ γ], (B.65)

Kν(x) −−−→x1

√π

2xe−x. (B.66)


f(x) fF (p) = Ff(x)1

√2πδ(x)

1, se |x| ≤ a

0, se |x| > a.

√2π

sin(ak)ak

e−αx2 1√

2αe−k

2/4α

eikx√2πδ(p+ k)

sin(kx) i√2π2 [δ(p+ k)− δ(p− k)]

cos(kx)√2π2 [δ(p+ k) + δ(p− k)]

B.2 Transformada de Fourier

As transformadas de Fourier direta e inversa sao definidas como

fF (p) = Ff(x) =1√2π

∫ +∞

−∞dxf(x)eipx, (B.67)

f(x) = F−1fF (p) =1√2π

∫ +∞

−∞dpfF (p)e

−ipx. (B.68)

A seguir, listamos algumas propriedades importantes da transformada deFourier

fF (−p) = fF∗(p) (B.69)

Ff(x)eax = fF (p− ia), (amortecimento) (B.70)

Ff(x− a) = eipafF (p), (deslocamento) (B.71)

Ff ′(x) = −ipfF (p), (B.72)

Ff ′′(x) = −p2fF (p), (B.73)∫ +∞

−∞dx|f(x)|2 =

∫ +∞

−∞dp|fF (p)|2. (teorema de Parseval) (B.74)

F−1fF (p)gF (p) =1√2π

∫ +∞

−∞dξf(x− ξ)g(ξ) ≡ f ∗ g = g ∗ f.(B.75)

onde fF (p) = Ff(x) e gF (p) = Fg(x).Podemos generalizar estes resultados para D dimensoes. As transformadas

direta e inversa de Fourier sao definidas como

fF (p) = Ff(r) =1

(2π)D/2

∫dDrf(r)eip·r, (B.76)

f(r) = F−1fF (p) =1

(2π)D/2

∫dDpfF (p)e

−ip·r, (B.77)

onde tanto r como p sao vetores num espaco D-dimensional. Algumas pro-priedades sao adaptadas, nesse caso, para

F∇f(r) = −ipfF (p), (B.78)

F∇2f(r) = −p2fF (p). (B.79)

B.2. TRANSFORMADA DE FOURIER 303

Vamos apresentar as formulas especıficas para os casos bi e tridimensional.Para D = 2, e usando coordenadas polares onde r = (ρ, ϕ) e p = (p, ψ), sealinharmos p com o eixo x temos que

e±ip·r = e±ipρ cosψ. (B.80)

Caso alinhemos r com o eixo x, entao trocamos ϕ por ψ. Os elementos de areanos espacos de posicao e momenta sao, respectivamente

d2r = dS = ρdρdϕ, d2p = pdpdψ. (B.81)

Em D = 3 e conveniente o uso de coordenadas esfericas onde r = (r, θ, φ) ep = (p, ϑ, ϕ). Alinhando p com o eixo z

e±ip·r = e±ipr cos θ, (B.82)

sendo ϑ o angulo correspondente se alinharmos r com o eixo z. Os elementosde volume nos espacos de posicao e momenta sao, respectivamente

d3r = dV = dφ sin θdθr2dr, d3p = dϕ sinϑdϑp2dp. (B.83)

No caso unidimensional, podemos definir a funcao delta de Dirac δ(x) pormeio das seguintes propriedades:

δ(x− ξ) =

0, se x 6= ξ,

∞, se x = ξ,(B.84)∫ +∞

−∞δ(x− ξ)dx = 1, (B.85)∫ +∞

−∞f(x)δ(x− ξ)dx = f(ξ). (B.86)

E possıvel representar a funcao delta como o limite de uma sequencia defuncoes δn(x) quando o parametro n tende a infinito. Algumas das sequenciasque tem tal propriedade sao

δn(x) =

0, se x < − 1

2n ,

n, se − 12n < x < 1

2n ,

0, se x > − 12n ,

, (pulso quadrado) (B.87)

δn(x) =n√πe−n

2x2

, (gaussiana) (B.88)

δn(x) =1

π

n

1 + n2x2, (lorentziana) (B.89)

Algumas propriedades importantes da funcao delta sao:

xδ(x) = 0, (B.90)

δ(ax) =1

|a|δ(x), (B.91)

δ[f(x)] =

n∑i=1

δ(x− xi)

|f ′(xi)|, (B.92)


onde xi sao zeros simples de f(x) (ou seja, tais que f ′(xi) 6= 0).Podemos obter uma expansao da funcao delta em series de Fourier no in-

tervalo [−L,+L] a partir da representacao (B.97), a qual e uma funcao par,portanto teremos apenas a serie de cossenos, e fazendo o limite n→ ∞:

δ(x) =1

2L+

1

L

∞∑k=1

cos

(kπx

L

). (B.93)

Se desejarmos fazer essa expansao no intervalo [0, L], no entanto, teremos deconsiderar uma funcao ımpar, cuja serie de Fourier so contem senos ao inves decossenos. Nesse caso a expansao em series de Fourier sera

δ(x− ξ) =2

L

∞∑k=1

sin

(kπξ

L

)sin

(kπx

L

). (B.94)

E importante, ainda, a representacao integral da funcao delta que se obtemcalculando a transformada de Fourier da representacao gaussiana (B.88) nolimite n→ ∞:

δ(x) =1

2π

∫ +∞

−∞eikxdk, (B.95)

onde subentendemos que a integral esteja sendo considerada como valor princi-pal de Cauchy. A transformada de Fourier da funcao delta e

Fδ(x− ξ) =1√2πe−ikξ. (B.96)

A derivada da funcao degrau unitario de Heaviside

H(t− a) =

0, se t < a,

1, se t ≥ a,. (B.97)

e igual a funcao delta de Dirac:

dH(x)

dx= δ(x). (B.98)

Ja a derivada da funcao delta pode ser definida na seguinte acepcao∫ +∞

−∞f(x)δ′(x)dx = −f ′(0). (B.99)

Em duas ou tres dimensoes, podemos usar formas generalizadas da funcaodelta de Dirac. Usando coordenadas retangulares, considere os vetores r =(x, y, z) e r′ = (x′, y′, z). Por definicao

δ(r− r′) = δ(x− x′)δ(y − y′)δ(z − z′), (B.100)

onde a normalizacao e∫ +∞

−∞dx

∫ +∞

−∞dy

∫ +∞

−∞dzδ(r− r′) = 1. (B.101)

B.2. TRANSFORMADA DE FOURIER 305

Para coordenadas cilındricas r = (ρ, φ, z) e r′ = (ρ′, φ′, z′):

δ(r− r′) =1

ρδ(ρ− ρ′)δ(φ− φ′)δ(z − z′), (B.102)∫ +∞

−∞dz

∫ 2π

0

dφ

∫ ∞

0

ρdρδ(r− r′) = 1. (B.103)

Usando B.95 obtemos a seguinte representacao integral da funcao delta em z:

δ(z − z′) =1

π

∫ +∞

0

dk cos[k(z − z′)], (B.104)

onde apenas a parte real e diferente de zero. Como funcoes do angulo φ de-vem ser periodicas, a unicidade das mesmas leva a uma representacao integralum pouco diferente para a funcao delta em φ, obtida a partir de (B.95) pelasubstituicao da integral por uma somatoria, e da variavel k real por um inteirom:

δ(φ− φ′) =1

2π

∞∑m=−∞

eim(φ−φ′). (B.105)

Em coordenadas esfericas r = (r, θ, φ) e r′ = (r′, θ′, φ′):

δ(r− r′) =1

r2δ(r − r′)δ(cos θ − cos θ′)δ(φ− φ′), (B.106)∫ 2π

0

dφ

∫ +1

−1

d(cos θ)

∫ ∞

0

r2drδ(r− r′) = 1. (B.107)

A transformada de Fourier da funcao delta D-dimensional e

FδD(r− r′) =1

(2π)D/2

∫dDrδD(r− r′)eip·r =

1

(2π)D/2

eip·r′, (B.108)

onde usamos a propriedade de filtragem (B.86) generalizada.


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Introdução à Eletrodinâmica Clássica - Ricardo Luiz