Introdução à Filtros Digitais

Filtros básicos, parâmetros no domínio do tempo e frequência,

classificação de filtros

Filtros são usados basicamente para dois propósitos:

• Separação de sinais combinados;• Restauração de sinal que foi distorcido.

A princípio, a separação e/ou restauração de sinais pode ser realizada com ambos os tipos de filtros, analógicos e digitais. As diferenças básicas são:

Analógicos

• Barato• Rápidos• Grande faixa dinâmica (amplitude e frequência)

Digitais

• Muito melhor desempenho. Ex.: Será visto um filtro passa-baixa que possui ganho 1±0,0002 entre frequência zero e 1000Hz e um ganho de menos que 0,0002 para frequências acima de 1001Hz. Excelente não?

Filtros lineares comumente apresentam as curvas abaixo:

-3dB : amplitude dosinal cai à 0,707 ea potência é reduzidaà 0,5.

DOMÍNIO DO TEMPO

Resposta ao degrau

Tempo de subida: entre 10% e90%. Deseja-se o menor possível.

Overshoot: distorção da informa-ção.

Fase linear: simetria entre as me-tades superior e inferior → res-posta em frequência com fase li-near.

DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA

Resposta em frequência

Banda passante: frequênciaspermitidas (ganho 1 geralmente)

Frequência de corte: 99%, 90%,70,7% e 50% da amplitude parafiltros digitais.

Banda de transição: deseja-sea menor possível.

Banda de rejeição: frequênciasbloqueadas.

DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA

Resposta em frequência

A figura abaixo mostra o processo de conversão filtro passa-baixa →filtro passa-alta.

1. mudar o sinal dasamostras no kernel2. adicionar 1 na amostra do centro dasimetria.

Assim …

Passa-alta → Passa-baixaPassa-banda → Rejeita-bandaRejeita-banda → Passa-banda

Por que as modificações no domínio do tempo indicadas, resultamem inversão no espectro de frequência ?

δ[n]-h[n]: inverter sinal da respostaimpulsiva e adicionar 1 no centro.

Condição: as componentes de baixafrequência das saídas parciais (antesdo somador) precisam estar em fase.Para isso deve-se:

1.filtro kernel original com fase linear2.impulso adicionado no centro dasimetria.

Outro método: spectral reversal !!

1. mudar o sinal dasamostras no kernel → multiplicar o filtro porsin(0,5t) → shift em fre_quência de 0,5.

A frequência 0 se torna0,5.

Ex.: Filtros passa-banda e rejeita-banda.

Cascata: 2 estágiosConvolução: 1 estágio

Paralelo: 2 estágiosSoma: 1 estágio

Classificação de filtros

Filtros Digitais

FIR IIR

Convolução Recursão

Melhor desempenho Mais rápido

Filtros Média Móvel

Implementação por convolução, redução de ruído, implementação

recursiva, passagens múltiplas.

Implementação por Convolução 1

É feito uma média de um número de pontos do sinal da entrada x[], para produzir cada ponto do sinal de saída y[]:

Ex.: O ponto 80 da saída, para um filtro média móvel com M=5 é dado por:

1. O filtro média móvel é uma convolução da entrada com um pulso retangular de área 1.

Ex.: Filtro média móvel com M=4

Note que,

• adição• subtração• multiplicação

Redução de ruído versus Resposta ao degrau

O filtro média móvel apresenta bom desempenho em muitasaplicações e ótimo desempenho na redução de ruído branco, ao mesmotempo que preserva a resposta ao degrau.

A quantidade de ruído reduzida é igual a raiz quadrada do número de pontos no filtro !!

Resposta em frequência

O filtro média móvel possui bom desempenho no domínio dotempo e mal desempenho no domínio da frequência.

1

1. Obtida pela transformada de Fourier do pulso retangular.

Passagens múltiplas no filtro média móvel

Consiste em passar o sinal de entrada pelo filtro duas ou maisvezes.

Implementação recursiva

É possível implementar um filtro média móvel com um algoritmorápido. Lembre que a implementação por convolução é lenta !!

Ex.: Seja um filtro média móvel com M=7. Dois pontos de saída adjacentessão calculados da seguinte forma:

Uma vez que os pontos x[48]....x[53] aparecem em y[50] e y[51], a melhor maneira para calcular y[51] é

e assim sucessivamente.

7]54[]53[]52[]51[]50[]49[]48[]51[

7]53[]52[]51[]50[]49[]48[]47[]50[

xxxxxxxy

xxxxxxxy

]47[]54[71y[50]y[51] xx

Depois que o primeiro ponto de y[] é calculado, todos os outros são determinados através de 1 soma e 1 subtração, por ponto:

12/)1(

,

][][1]1[][

pqMp

onde

qixpixM

iyiy

Simulação

Implementar um filtro média móvel (recursivo ou não) para filtrar o seguinte sinal:

Gerada através do Matlab/Simulink ...

Resultados

Optou-se pelo recursivo. Abaixo algumas formas de onda:

M=7 M=21Note os picos do ruído filtrado e a tendênciade se tornar onda triangular com o aumento deM !

Filtros Windowed-Sinc(Sinc Janelado)

Estratégia do filtro, projeto, exemplos.

Estratégia do filtro Sinc Janelado

Características:

• Bons para separar uma banda de frequência de outra• Pobre resposta no tempo (overshoot)• Pode ser programado por convolução (lento) ou por FFT (rápido) 1

1. Assunto que será visto.

(Função Sinc)

Problema: comprimento infinito e nunca cai à zero.

Solução: Truncar em M+1 pontos (M par)e shiftar de M/2 (índices positivos).

Para suavizar o efeito do truncamento utiliza-se janelas:

x =

FFT(Janela)

Janelas

Blackman Hamming

Mi ...0

M=50

Qual janela deve-se usar ?

Blackman apresenta ainda ripple na banda de passagem de ~0,02%, enquantoa Hamming de ~0,2%.

Projeto do filtro

Parâmetros de projeto:

• Frequência de corte fC. Expressa como uma fração da frequência de amostragem, logo0 ≤ fC ≤ 0,5 (teorema da amostragem)• Número de amostras M. Essa quantidade determina a largura da banda de transição bw, poisM ≈ 4 / bw , onde 0 ≤ bw ≤ 0,5

bw = 0.2, 0.1 e 0.02

A fc não incluencia na forma da resposta

Após selecionado fc e M, o filtro pode ser calculado usando:

onde K é selecionado de modo a garantir ganho unitário na frequência zero. Para evitardivisão por zero, fazer h[M/2]=2fcK.

Note que a equação acima possui: a função sinc, o shift M/2 e a janela Blackman !!

Algumas respostas

• A frequência da oscilação senoidal vale aproximadamente fC ;• Resposta no tempo ruim.

ExemplosExemplos

Um eletroencefalograma (EEG) é o resultado combinado de um número enorme de pulsos elétricos das células nervosas do cérebro. Em relaxamento, o EEG apresentará um padrão de oscilação entre 7 e 12Hz (estado alpha). Um pouco mais ativo, o padrão fica entre 17 e 20Hz (estado beta).

COMO PODEMOS SEPARAR O SINAL ALPHA DO SINAL BETA ? SUPONHA UMA FREQUÊNCIA DE AMOSTRAGEM DE 100Hz.

Solução: filtro passa-baixa com fc=14Hz (fc=0.14), bw=0.04 (logo M=100) e janelaHamming.

ExemplosExemplos

Projeto de um filtro passa-banda, onde o sinal que será filtrado será amostrado a10kHz. O filtro terá na sua resposta em frequência uma banda de 80Hz de passagem do sinal centrada na frequência 2kHz. Assim, o filtro deverá bloquearfrequência abaixo de 1960Hz e acima de 2040Hz. O filtro terá 50Hz de largura de banda de transição, e portanto, M=801.

Etapas do projeto:

1. Dois filtros passa-baixa com fc1=0.196 e fc2=0.204 ;2. O segundo filtro tem seu espectro invertido, tornando-se um passa-alta ;3. Soma-se ambos os filtros, resultando um rejeita-banda ;4. Outra inversão de espectro resulta em um passa-banda.

Algoritmo para filtropassa-banda.

ExemplosExemplos

Deseja-se separar um sinal de 1mV que viaja numa linha de transmissão de 120V. Um filtro passa-baixa com banda de atenuação de -120dB no mínimo é necessário.Mas como foi visto, uma janela Blackman oferece somente -74dB.

Solução

Kernelh1

Kernelh2

-74dB-148dB

Kernelh=h1*h2

Simulação

Para implementar um sinal amostrado no simulink, pode-se utilizar o bloco zero-orderhold. Na simulação abaixo, amostrou-se uma senóide de 60Hz com período de amostragemde 1ms. Adicionalmente, inserimos o bloco to worspace para trabalharmos futuramente noespaço de trabalho (workspace). Experimente o comando:plot(simout.time,simout.signals.values,'o') no worspace.

Convolução

Função delta, resposta ao impulso,algoritmo input side e output side.

Função Delta e Resposta ao Impulso

Convolução é uma operação matemática que combina dois sinais para formar umterceiro. É importante pois relaciona três sinais de grande interesse, a saber: o sinal de entrada,o sinal de saída e a resposta ao impulso.

Conhecendo-se a resposta ao impulso h,é possível determinar a saída y para qualquerentrada x !!

Algoritmo Input Side

Esse método procura explicar a convolução do ponto de vista do sinal da entrada, ouseja, explica como cada amostra da entrada contribui para formar as muitas amostras na saída.

N=9 M=4 N+M-1=12 pontos

Fundamento básico em DSP: 1. decompor a entrada2. passá-la pelo sistema3. sintetizar

Ex.: Análise da amostra x[4]=1.4

Passo 1: 1.4[n-4] (impulso deslocado)

Passo 2: 1.4h[n-4] (se a entrada é , então a saída é h)

Passo 3:

+

+

Note os símbolos em diamantes setados para zero !!

É possível mostrar que a convolução é comutativa: x[n]*h[n] = h[n]*x[n]

Programa em BASIC para o cálculo da convolução usando o algoritmoInput Side.

Algoritmo Output Side

Esse método procura explicar a convolução do ponto de vista do sinal da saída. Esta-remos olhando as amostras da saída e verificando a contribuição dos pontos da entrada.

Lembre que y[n] = combinação de muitos valores entre entrada e resposta ao impulso.

No presente método, veremos como calcular cada amostra da saída independentementedas outras amostras da saída.

Ex.: Análise de y[6]

y[6]

y[6] = soma de todos os sextos pontos nas nove componentesacima, ou seja, y[6]=x[3]h[3]+x[4]h[2]+x[5]h[1]+x[6]h[0].

Máquina de Convolução: um diagrama de fluxo de como ocorre a convolução.

X[n] e y[n] são fixos, enquantoh[n] é móvel para os lados !

Ex.: cálculo de y[0] e y[3]

As amostras da saída bem da direitae as bem da esquerda estão baseadasem informações incompletas.

Onde não existem amostras (note x[-3],x[-2] e x[-1]), colocar valor zero. Nessecaso diz-se que a resposta ao impulso h,não está totalmente imergida no sinalde entrada x.

A definição formal da convolução enfim é dada por:

A Transformada Discreta de Fourier - DFT

Jean Baptiste Joseph Fourier afirmou que : todo sinal contínuo periódico poderiaser representado como uma soma apropriada de sinais senoidais.

Por que usar senóides e não ondas triangulares ou quadradas? As senóides possuema interessante característica de manter a sua forma após passarem por algum sistema. Apenas as suas amplitudes e fases são alteradas !

Existem 4 categorias associadas ao termo Transformada de Fourier, a saber:

• Contínuo aperiódico: Ex.: Decaimento exponencial. A transformada é simplesmentechamada transformada de Fourier.

• Contínuo periódico: Ex.: Senóides e onda quadrada. A transformada é chamadasérie de Fourier.

• Discreto aperiódico: A transformada é chamada transformada de Fourier a tempodiscreto.

• Discreto periódico: É as vezes chamada de série de Fourier discreta, mas em geralé conhecida como transformada de Fourier discreta.

Ex.: Decomposição de um sinal discreto aperiódico

Cada sinal possui 16 pontos

16 pontos

DFT real

A entrada são amostras de um sinal qualquer (igualmente espaçadas), enquanto assaídas contém as amplitudes das componentes senoidais escaladas de uma forma que veremos.

Re X[]: amplitudes cossenóide;Im X[]: amplitudes senóide.

Usualmente N é escolhido de tal forma que seja potência de 2 (128, 256, 512, etc). Osmotivos são:

1. Endereçamento binário da informação, logo a potência de 2 é o tamanho natural do sinal;2. O algoritmo mais usado para calcular a DFT, a FFT, opera sobre N.

Variável independente no domínio da frequência

Ex.: DFT com N=128.

Eixo horizontal como uma fração dafrequência de amostragem.

Ainda é possível usar (frequência natural), multiplicando por 2 o eixo do f. O range seráportanto, de 0 a .

Eixo horizontal corresponde às amostras k.

Nkf

Lembrar: SINAIS DISCRETOS APENAS CONTÉM FREQUÊNCIA ENTRE 0 E 0,5 DA FREQUÊNCIA DE AMOSTRAGEM !

Funções base da DFT

As função base da DFT (de amplitudes unitárias)são geradas a partir de:

sinal). do pontos em ciclos de (número frequência a determina e 1-N ... 0i onde

X[k] Im em sarmazenada )/ 2sin(][X[k] Re em sarmazenada )/ 2cos(][

Nk

NikisNikic

k

k

Ex.: Seja uma DFT com N=32. A seguir 8 componentes das 17 senóides e 17 cossenóides usadas na DFT.

.

.

.

A DFT inversa

De acordo com o que foi dito, podemos sintetizar a entrada como:

onde,

exceto

Conclusão: Qualquer sinal x[i] com N pontos pode ser sintetizado, adicionando N/2+1 cossenóides e N/2+1 senóides.

Eqs. 2

Eqs. 1

Programa em BASIC para o cálculo da transformada DFT inversa:

Ex.: DFT inversa.

função impulso função constante

A parte imaginária, não mostrada, é composta de zeros !

Cálculo da DFT

Os métodos são:

1. Equações simultâneas (pouco eficiente);2. Correlação (consiste em detectar uma forma de onda conhecida em outro sinal);3. FFT (decompõe uma DFT de N pontos em N DFTs, cada uma com um único ponto).

Correlação

Ex.: calcular ImX[3] de um sinal com N=64, ou seja, a amplitude da onda senoidalque completa 3 ciclos entre os pontos 0 e 63.

Lembre que o resultado da DFT gera dois sinais, cada um com N/2+1 pontos, ou seja, 33 pontos na parte real e 33 pontos na parte imaginária, no exemplo dado !

Por correlação descobrimos que uma senóide que completa 3 ciclos entre as amostras 0 a 63 (note que é uma função base), está presente no exemplo 1 apenas, pois a soma das amostras em e) resulta em 32. Já em f) o resultado é zero.

x

=

x

=

Equação de análise

Assim, o cálculo da DFT consiste em correlacionar o sinal de entrada no tempo comcada função base.

Ex.: Algoritmo em BASIC

Forma Polar

Tendo em vista que: , podemos escrever

onde MagX[k] e PhaseX[k] armazenam a amplitude e a fase da cossenóide.

Por que se utilizou a função cos ?

Porque a função sin não podem representar a componente DC, pois o senode frequência zero é composto todo de zeros.

Ex.: Filtro passa-baixa.

Ex.: Algoritmo para conversão.

Incômodos do algoritmo:

1. Divisão por zero ;2. Incorreto arctan ;3. Fase de magnitudes muitopequenas (tendência de ficarrandômica entre - e ) ;

Bibliografia

• S. W. Smith, Digital Signal Processing – a practical guide for engineers andscientists, 2003. USA.