Introdução À Física-Matematica

Introduo Fsica-Matemtica

Ricardo Capiberibe Nunes

Equaes Diferenciais Separveis

Definio 1.1

Seja a equao diferencial

0dxdyy)N(x,y)M(x, (1)

Dizemos que (1) uma equao diferencial separvel se puder ser escrita sob a forma:

0dxdyy)(gf(x) (2)

E sua soluo dada por: )(k kg(y)dyf(x)dx (3)

Demonstrao

Sejam (x)H1 e (y)H2 funes tais que:

g(y)dy

(y)dH f(x)dx

(x)dH 21 (4)

Substituindo (4) em (2), temos que:

0dxdy

dy(y)dH

dx(x)dH 21 (5)

Observe que y uma funo de x, isto , (x)y(x) . Nestas condies, (y)H2 uma funo de x, ou seja, (y(x))H2 . Derivando (y(x))H2 em relao a

x, obtemos, pela regra da cadeia:

dxdy

dy(y)dHy(x)H

dxd 2

2 (6)

Retornando a equao (5), resulta por (6)

dx(y)dH

dx(x)dH 21 (7)

Sendo a derivada um operador linear, (7) pode ser escrita como: 0(y)H(x)Hdxd

21 (8)

Aplicando em (8) o operador integral: k.dx(y)H(x)Hdxd 21 (9)

Pelo Teorema Fundamental do Clculo, obtemos de (9):

)(k k(y)H(x)H 21 (10)

Por (4), determinamos as funes (x)H1 e (y)H2

g(y)dy(y)Hg(y)dy(y)dH f(x)dx(x)Hf(x)dx(x)dH 22 11 (11)

Substituindo (11) em (10)

)(k kg(y)dyf(x)dx

Como queramos demonstrar!

Roteiro

Equaes Diferenciais Separveis

1) Dada uma equao diferencial 0dxdyy)N(x,y)M(x, , verifique se a

equao separvel, isto , pode ser escrito sob a forma 0dxdyy)(gf(x) .

2) Se a equao diferencial for separvel, sua soluo, conforme demonstramos, dada por: )(k kg(y)dyf(x)dx

3) Se for dada uma equao diferencial, 0y)dyN(x,y)dxM(x, , podemos verificar que essa equao pode ser escrita como:

0dxdyy)N(x,y)M(x,

4) Uma equao diferencial da forma 0y)dyN(x,y)dxM(x, separvel, se, e somente se, pudermos escrev-la como: 0g(y)dyf(x)dx e sua soluo dada por: )(k kg(y)dyf(x)dx

5) Se o problema nos fornece condies iniciais, isto , oo y)y(x , nossas solues podem ser expressas por meio de uma integral definida:

yyxx oo )(k 0g(s)dsf(s)ds De fato podemos verificar se ox e oy so dois pontos quaisquer as primitivas de f(s) e g(s) em ox e oy , respectivamente, so valores constante que definem uma constante k qualquer.

Observe, tambm, que podemos obter a soluo geral da equao diferencial, )(k kg(y)dyf(x)dx , e por meio das condies iniciais do problema, obter uma soluo particular.

Exemplo Resolvido

1) Resolva o problema do valor inicial.

4(3) y0dxdy

yx

lnxyx

3

-1

2

-2

A primeira etapa para soluo dessa equao diferencial verificar se

ela separvel, isto , se pode ser escrita sob a forma 0dxdyy)(gf(x) .

Nosso passo inicial ento ser tentar separar variveis. Inicialmente

vamos nos focar na parcela lnxy

x2

-2

.

A menos do termo 2y1 essa parcela s depende de x, por isso,

multiplicamos a equao por 2y , obtendo:

0dxdy

yx

lnxx 0

dxdy

yxy

lnxx

yy -1-2

3

-12-2

2

2

Agora nos atemos parcela dxdy

yx-1 , a menos de -1x esta parcela s

depende de y, por isso, multiplicamos a equao por x , obtendo:

0dxdy

y1

lnxx 0

dxdy

yx.x

lnxx.x -1-1-2

Uma equao da forma 0dxdyy)(gf(x) , com

y1y)(g e

lnxxf(x)

-1 , cuja soluo dada por )(k kg(y)dyf(x)dx .

Sabemos que y1y)(g e

lnxxf(x)

-1 , ento a etapa seguinte consiste em realizar o clculo de suas integrais.1 Iniciaremos pela funo f(x).

dxx.lnx

1 dx lnxxf(x)dx

-1 Essa integral pode ser calculada por meio de uma mudana de varivel:

duu1dxx1lnx1dxx.lnx1 dxx1du lnxu

Uma primitiva para duu1 a funo ln(lnx) , no entanto, queremos uma soluo em x, para isso basta observar que, lnxu , portanto, uma primitiva para dxx.lnx1 ser ln(lnx) .

Agora determinemos a integral para funo g(y):

lny dy y1 imediata, primitiva uma que dy,

y1g(y)dy

Retornando equao diferencial, obtemos a sua soluo geral:

)(k klny ln(lnx) kg(y)dyf(x)dx

Usando algumas propriedades dos logaritmos podemos re-escrever a soluo geral e obter:

)(k lnxk y k y.lnx ee kln(y.lnx) kln(y.lnx) 2

1 No precisamos levar em conta as constantes de integrao das funes f(x) e g(y), visto que elas esto sendo consideradas na soluo da equao geral da equao diferencial. 2 Observe que a constante definida por ke podemos ainda chamar de k, pois k um nmero real qualquer.

Nossa terceira e ltima etapa consiste em determinar k que satisfaa as condies iniciais do problema. Conforme observamos no Roteiro existem duas maneiras de obter k, faremos os dois procedimentos.

O primeiro procedimento consiste em calcular uma integral definida aps a separao de variveis.

yyxx oo 0g(s)dsf(s)ds

Com ox e oy , as condies iniciais do problema, no nosso exemplo 4 ye 3x oo

y4x3 0g(s)dsf(s)ds

Assim como na soluo geral realizaremos as integrais separadamente. Comeando com a funo que dependa de x:

ln(ln3)ln(lnx)ln(lns)dss.lns

1f(s)ds x3

x

3

x

3

Calculando a funo que depende de y

ln4lnylnsdss1g(s)ds y

4

y

4

y

4

Voltando na equao diferencial temos que:

ln4ln(ln3)lnyln(lnx) 0ln4lnyln(ln3)ln(lnx)

Pelas propriedades de logaritmo podemos simplificar a equao:

4ln3 ylnxee ln(4ln3)ln(ylnx) ln(4ln3)ln(ylnx)

Explicitando y, obtemos a soluo particular: lnx4ln3y

O segundo procedimento consiste em substituir os valores inicias na soluo geral e por meio de manipulaes algbricas determinar o valor da constante k.

Sabemos que a soluo geral da equao diferencial dada por:

)(k lnxk y ky.lnx

Conhecendo os valores iniciais e substituindo na equao, obtemos:

)(k lnx

k y k.lnxyo

ooo

No nosso exemplo, 4 ye 3x oo 4.ln3k k4.ln3

Assim a soluo geral dada por:

lnx4.ln3y 4.ln3y.lnx

Que concorda com a soluo obtida pelo primeiro mtodo.

Concluso

Embora o primeiro procedimento parea mais complexo, ele uma forma direta de se obter a soluo particular da equao diferencial separvel, pois no necessrio achar uma soluo geral da equao e substituir os valores iniciais dados para determinar k, durante o processo de determinao da soluo basta realizar uma integrao definida.

Caber ao leitor escolher, qual dos mtodos, lhe mais conveniente durante o processo de soluo de equaes diferenciais.

Equaes Diferenciais Homogneas

Definio 2.1

Seja F uma funo de n variveis,

),...,x,x,xf(x F n21o (1)

Dizemos que F uma funo homognea de ordem k, se a seguinte condio for verificada:

),...,x,x.f(xt)tx,...,tx,f(tx n1ok

n1o (2)

Em particular, uma funo de duas variveis y)f(x, dita homognea de ordem k, se, e somente se:

y)xg(y)f(x, y).f(x,tty)f(tx,k

(3)

Definio 2.2

Seja a equao diferencial,


A equao (4) pode ser escrita na forma:

y)f(x,dxdy (5)

Se f(x,y) em (5) for uma funo homognea ento a equao diferencial denominada homognea.

Teorema 2.1

Seja uma equao diferencial (4) e (5)

0dxdyy)N(x,y)M(x, y)f(x,

dxdy

Se a equao for homognea, ento a mudana de varivel xyt transforma

a equao (5) em uma equao separvel nas variveis t e x.

Demonstrao

Por (3), podemos re-escrever (5) como:

)xyg(dxdy (6)

Fazendo x

y(x)t(x) , resulta que, txy , diferenciando obtemos: dxdtx

dxdxt

dxdy

dxd(tx)

dxdy (7)

Portanto,

dxdtxt

dxdy , com

xyt (8)

Por (8) em (5), a equao diferencial pode ser re-escrita como:

g(t)dxdtxt ou 0

dxdtxg(t)-t (9)

Que pode ser transformada uma equao separvel nas variveis t e x.

Para tanto basta dividir (9) por x.[t-g(t)]:

0dxdt

g(t)-t1

x1 (10)

Uma equao separvel como queramos demonstrar.

Como (10) separvel podemos obter uma soluo para equao diferencial:

kdt g(t)-t1dx

x1 (11)

Observe que a integral em x imediata, assim:

kdt g(t)-t1x ln (12)

Quando a integral em t resultar em um logaritmo nepteriano (ln), conveniente escrever a constante k em temos de um logaritmo.

k nldt g(t)-t1x ln (13)

Assim por propriedades de logaritmos, fcil mostrar que:

xk nldt

g(t)-t1 (14)

E, portanto:

kdt

g(t)-t1

x.e k (15) Observaes:

1) Observe que (15) no a soluo da equao diferencial homognea, uma vez determinada integral em (t) deve-se retornar a varivel y/x.

2) A demonstrao do teorema nos fornece um mtodo de soluo as equaes homogneas, que sistematizaremos em um roteiro.

Roteiro

Equaes Diferenciais Homogneas

1) Dada uma equao diferencial 0dxdyy)N(x,y)M(x, , escreva-a na

forma y)f(x,dxdy .

2) Verifique se f(x,y) homognea, isto , y)f(x,tty)f(tx, n . 3) Se a funo for homognea, podemos re-escrever a equao

diferencial como: g(y/x)dxdy

4) A mudana de varivel xyt , onde t uma funco de x, transforma a

equao homognea em uma equao separvel nas variveis t(x) e x.

5) Isole a varivel y e obtenha y = tx. Diferenciando, obtemos que

dxdtxt

dxdy .

6) Por (4) e (5), a equao diferencial se torna: g(t)dxdtxt , e pro

manipulaes algbricas, 0dxdt

g(t)t1

x1 , uma equao separvel nas

variveis x e t.

7) Pelo mtodo das equaes separveis, a soluo da equao dada

por: kdt g(t)t1x nl ou ainda, k nldt g(t)t 1x nl , que por meio

de propriedades elementares de logaritmo permite-nos escrever a soluo

na forma: kdt

g(t)t1

e.x k 8) Uma vez determinada soluo nas variveis x e t, faa xyt para

determinar a soluo implcita da equao diferencial homognea nas variveis y e x.

Exemplo Resolvido

1) Verifique que a equao diferencial homognea e resolva o pvi.

2y(1)

0)dx3y(x(2xy)dy 22

A primeira etapa consiste em re-escrever a equao na forma y)f(x,dxdy .

Somando a equao por )dxx-(3y 22 , obtemos: )dxx-(3y(2xy)dy 22 , e, por conseguinte:

2xy)x-(3y

dxdy 22 .

Verifiquemos se a funo 2xy

)x-(3y)y,x(f22 homognea de ordem zero.

2

2222

2xyt)xt-y(3t)ty,tx(f , evidenciando t, obtemos:

2xy)x-(3y

tt)ty,tx(f

22

2

2 , que resulta em

2xy)x-(3y)ty,tx(f

22 , portanto f(x,y) homognea de ordem zero, pois )y,x(f)ty,tx(f .

Como a funo f(x,y) homognea, existe uma funo g(y/x) tal que, )y,x(f)xy(g . Determinemos g(y/x):

(I) 2xy

)x-(3y)y,x(f22 , evidenciando 2y , obtemos:

2xy)yx-(3y

)y,x(f222 ,

portanto: 2x

)yx-y(3)y,x(f

22 , isto , 2

)yx-(3xy)xy(g)y,x(f

22

(II) Fazendo uma mudana de varivel, xyt , e explicitando a y temos:

txy , diferenciando, dxdtxt

dxdy .

Por I e II, podemos re-escrever a equao diferencial y)f(x,dxdy como:

)t(gdxdtxt , com .

2)t1-t(3

)t(g e )t(g)xy(g2 (Verifique!)

Distribuindo t e efetuando as simplificaes a equao fica na forma:

t1-3t

dxdtxt2. , separando as variveis, t1-t dxdtx2 , portanto:

t1-t

dxdtx2

2 , que resulta em: 0x1

dxdt

1-t2t2 , uma equao separvel.

A soluo da equao 0x1

dxdt

1-t2t2 , conforme demonstramos, dada por: k lndx

x1 dt

1-t2t2 , as duas integrais so imediatas, e decorre que:

k lnx ln1-t ln 2 , pelas propriedades de logaritmo, x.k ln1-t ln 2 ,

assim: x.k1-t2 , a soluo em y ser, x.k1-xy

2

2 . Ou ainda, 322 k.xxy , que a soluo geral da equao diferencial.

Impondo as condies iniciais, )x(yy oo , no nosso exerccio, y(1) = 2, assim: k 1 4 k.112 322 , conseguimos determinar o valor de k, 3k .

Portanto a nossa soluo geral ser dada por: 322 k.xxy , k

E a soluo particular que satisfaz a condio inicial y(1) = 2 322 3.xxy

Equaes Diferenciais Exatas

Fatores Integrantes ,

Definio 3.1

Seja , uma regio fechada e limitada por uma curva C de classe C tal que 2 . denominada uma regio simplesmente conexa se para qualquer

curva D fechada, contida em , qualquer ponto contido na superfcie limitada por D pertence . Geometricamente uma regio simplesmente conexa qualquer superfcie fechada que no apresente buracos.

Teorema 3.1

Sejam M(x,y) e N(x,y) funes escalares de classe C em uma regio simplesmente conexa.

Um campo F(x,y) = (M(x,y), N(x,y)) dito conservativo ou gradiente em , se, e somente, se

xN

yM . Em outras palavras existe uma funo y)(x,

de classe C, tal que )y,x(Mx e )y,x(Ny .3

3 A demonstrao deste teorema pode ser vista no livro Calculo Diferencial e Integral de Funes de Vrias Variveis (Diomara Pinto; Maria Cndida Ferreira Morgado, 3 edio 2005, Editora UFRJ)

Teorema 3.2

Seja M(x,y) e N(x,y) funes de classe C em uma regio simplesmente conexa. Ento a equao diferencial

0dxdyy)N(x,y)M(x, 4 (1)

uma equao diferencial exata , se, e somente se, o campo escalar F(x,y) = (M(x,y),N(x,y)), for uma campo gradiente em . Isto , existe uma funo y)(x, de classe C, tal que )y,x(M

x e

)y,x(Ny , se, e somente se, xNyM

Corolrio5

Seja a equao diferencial (1)

0dxdyy)N(x,y)M(x,

Se for exata em , ento a soluo de (1) em ser dada por k k,y)(x, .

Demonstrao (Teorema 3.2)

A demonstrao deste teorema consiste em duas partes:

A) xyyx2 NM)y,x(N e )y,x(M tq em C classe y)(x,

B) exata 0,dxdyy)N(x,y)M(x,NM xy

4 Ou a equivalente 0y)dyN(x,y)dxM(x, 5 Corolrio um resultado (ou decorrncia) imediato de um teorema.

Demonstrao (A)

Por hiptese as funes M(x,y) e N(x,y) so de classe C em , portanto so diferenciveis em . Derivando parcialmente M(x,y) em funo de y e N(x,y) em funo de x, obtemos:

yxx xy,y NM (2)

Como, por hiptese, y)(x, uma funo de classe C em , as derivadas parciais de segunda ordem existem e so contnuas em , ento as derivadas mistas so iguais, isto , yx xy , portanto, por (2), a igualdade

xy NM satisfeita, assim (A) est demonstrado.

Demonstrao (B)6

A demonstrao de (B) consiste na construo de uma funo potencial y)(x, que satisfaa:

)y,x(Ny )y,x(Mx (3)

Fixando x como constante e integrando a primeira equao em relao a y, resulta em:

)x(y y)N(x,y)(x, (4)

Onde )x( uma funo arbitrria de x representando a constante de integrao.7 Mostraremos que sempre possvel determinar )x( satisfazendo a equao (3), ou seja, )y,x(M

x .

6 A demonstrao de (B) ir nos fornecer um mtodo de determinar a funo y)(x, que,

conforme o corolrio, necessria para determinao da soluo da equao diferencial.

7 Observe que )x(dydy y)N(x,

dydy)(x,

dyd , portanto pelo t.f.c, )y,x(Ny)(x,dyd

Diferenciando (4) em relao x, resulta que:

)x(x

y y)N(x,xx

(5) Por (3), obtemos:

)y,x(M)x(x

y y)N(x,x

(6)

Isolando )x(x :

y y)N(x,x

)y,x(M)x(x

(7)

Para (7) ser satisfeita, o segundo membro da igualdade deve, no mximo, ser uma funo de x. Para provar que essa igualdade satisfeita, diferenciaremos (7) em relao y.

y y)N(x,x)y,x(My)x(xy (8)

Como )x(x depende s de x, sua derivada parcial em relao y zero:

y y)N(x,xyy)M(x,y0 (9)

Como as funes M e N so de classe C, Podemos re-escrever (9) como:

y y)N(x,yxy)M(x,y0 (10)

E pelo teorema fundamental do clculo:

y)N(x,x

y)M(x,y

0 (11)

Como por hiptese xN

yM , ento (11) satisfeita, portanto, (7) ocorre.

Para determinar )x(x que satisfaz (7) e (11), basta integrar a eq. (7):

dx y y)N(x,x

)y,x(M)x( (12)

Portanto, uma funo potencial y)(x, dada por (12) e (4):

dxy y)N(x,x)y,x(M )x( )x(y y)N(x,y)(x,

(13)

Que encerra a demonstrao do Teorema 3.2.

Demonstrao (Corolrio)

Seja a equao diferencial (1),


Por hiptese existe uma funo uma funo y)(x, de classe C, tal que verifica a condio (3):

)y,x(Mx )y,x(Ny (3)

Por (3) em (1), resulta:

0dxdy

y

x (14)

(i) A regra da cadeia para funes de vrias variveis dada por:

Se ))x(v),x(u(F v)F(u, , ento, dxdv.

vF

dxdu.

uFv)F(u,

dxd

Seja y)(x, , recordemos que y uma funo de x, isto y = y(x). Derivando y)(x, em relao a x, obtemos, pela regra da cadeia (i):

dxdy.

y

dxdx.

xy)(x,

dxd (15)

Ou ainda,

dxdy.

y

xy)(x,

dxd (16)

Observe que o lado esquerdo de (16) exatamente o lado direito de (14), por transitividade, podemos re-escrever (14) como:

0y)(x,dxd (17)

Integrando (17), observando que y)(x, y(x))(x, , obtemos: k ,ky)(x,kdx y)(x,dxd (18)

Como queramos demonstrar.

Pela demonstrao do Teorema 3.2, sabemos quem y)(x, , portanto a soluo de uma equao diferencial exata em , ser:

dxy y)N(x,x)y,x(M )x( k ,,k)x(y y)N(x,y)(x, (19)

Observaes

1) Embora na prtica possa se usar frmula (19) prefervel construir a funo potencial y)(x, , conforme realizado na demonstrao (B).

2) possvel obter uma frmula equivalente (19) se a demonstrao do

teorema 3.2 se construo de uma funo y)(x, , partir por: )y,x(Mx .

Definio 3.2

Seja uma equao diferencial


Se a condio y)N(x,dxdy)M(x,

dyd , no se verifica )y,x( oo , ento a

equao diferencial no exata.

No entanto, pode existir uma funo y)(x, que multiplicada equao diferencial torna exata. Essa funo y)(x, denominada fator integrante.

Multiplicando a equao diferencial por y)(x, , obtemos que: 0

dxdyy)y).N(x,(x,y)y).M(x,(x, (21)

A equao (20) exata se, e somente se: y)y).N(x,(x,

dxdy)y).M(x,(x,

dyd (22)

Pela regra do quociente, obtemos:

y)N(x,dxdy)(x,y)(x,

dxdy)N(x,

y)M(x,dydy)(x,y)(x,

dydy)M(x,

(23)

Por (22) e (21), podemos obter que:

0dxdN

dydM

dxdN

dydM (24)

Qualquer soluo que satisfaa a equao diferencial (24) determina um fator integrante. Uma vez determinado y)(x, , a soluo da equao diferencial (21) (exata) soluo da equao diferencial (20), uma vez que possvel cancelar o fator integrante y)(x, .

Embora os fatores integrantes tornem possvel resolver uma gama de problemas em equaes diferenciais, , em geral, mais difcil resolver a equao diferencial (24) do que resolver a equao original (20).

Por essa razo, o estudo de fatores integrantes limitado a alguns casos particulares, cuja soluo no envolve uma complexidade matemtica alta. Casos mais gerais so objetos de estudo de teorias mais avanadas dentro da anlise matemtica.

Existem trs casos especiais de fatores integrantes que iremos estudar:

1) Fator integrante dependendo de x, (x)y)(x, 2) Fator integrante dependendo de y, (y)y)(x, 3) Fator integrante dependendo de xy, (xy)y)(x,

1) Fator Integrante Dependendo De X


0dxdN

dydM

dxdN

dydM (24)

Suponha que o fator integrante y)(x, dependa somente de x, isto , (x)y)(x, . Ento a equao diferencial (24), reduzida :

0NM(x)(x)dxdN xy (25)

Dividindo (25) por (x).N , obtemos:

0N

NM(x)

(x)' xy (26)

Ou ainda,

NMN

(x)(x)' yx (27)

Para que (27) seja satisfeita, o lado direito da equao deve depender de no mximo de x. Supondo que isso ocorra, podemos integrar (27).

dx N

MN(x)ln yx (28)

Portanto, um fator integrante em x ser dado por:

dx N

MN

e(x)yx (29)

Observe que, suprimos a constante de integrao, pois precisamos apenas de um fator integrante, por isso optamos por fazer k igual zero.

2) Fator Integrante Dependendo De y


0dxdN

dydM

dxdN

dydM (24)

Suponha que o fator integrante y)(x, dependa somente de y, isto , (y)y)(x, . Ento a equao diferencial (24), reduzida :

0NM(y)(y)dydM xy (30)

Dividindo (25) por (y).M , obtemos:

0M

NM(y)

(y)' xy (31)

Ou ainda,

MMN

(y)(y)' yx (32)

Para que (32) seja satisfeita, o lado direito da equao deve depender de no mximo de y. Supondo que isso ocorra, podemos integrar (32).

dy M

MN(y)ln yx (33)

Portanto, um fator integrante em x ser dado por:

dy M

MN

e(y)yx (34)


3) Fator Integrante Dependendo De xy


0dxdN

dydM

dxdN

dydM (24)

Suponha que o fator integrante y)(x, dependa somente de xy, isto , (xy)y)(x, . Pela regra da cadeia, a equao (24), fica na forma:

0dxdN

dydM

d(xy)xyd.

dxdxyN

d(xy)xyd.

dydxyM (35)

Que resulta em: 0

dxdN

dydM N.yx.M

d(xy)xyd (36)

Dividindo (25) por yN)(xy)(xM , e isolando (xy) , obtemos: N.yx.M MN(xy)(xy)' yx (37)

Para que (37) seja satisfeita, o lado direito da equao deve depender de no mximo de xy. Supondo que isso ocorra, podemos integrar (37). )xy(d N.yx.M MN(xy)ln yx (38)

Observe que, tratamos (xy) no como um produto de duas variveis, mas como uma nica varivel t=(xy).

Portanto, um fator integrante em x ser dado por: )xy(d N.yx.M MNe(xy) yx (39)


Na resoluo de uma equao diferencial inexata, no possvel saber qual fator integrante deve ser adotado, nem se existe um fator integrante que esteja enquadrado nos trs casos que estudamos! Um procedimento que pode facilitar a busca por fatores integrante o seguinte:

N

MNR yx

, se R depender no mximo de x, existe um (x)y)(x,

MMN

R yx , se R depender no mximo de y, existe um (y)y)(x,

N.yx.M MNR yx , se R depende no mximo de xy, existe um (xy)y)(x, .

* Se estas situaes no ocorrerem estritamente, no possvel determinar um fator integrante na forma (xy)(y),(x), . * Se ocorrer de existir mais de um fator integrante, todos so equivalentes e suficientes para solucionar a equao diferencial.

Roteiro

Equaes Diferenciais Exatas

1) Dada uma equao diferencial 0dxdyy)N(x,y)M(x, , verifique se a

equao exata, isto , y)(x,Ny)(x,M xy . 2) Se a equao no for exata procure um fator integrante y)(x, na

forma (xy)(y),(x), .

3) Se a equao diferencial for exata ento existe uma funo potencial y)(x, de classe C em uma regio fechada simplesmente conexa, tal que Mx e Ny , e k k,y)(x, soluo da equao diferencial.

4) Construa a funo potencial a partir das funes: Mx ou Ny , lembre-se que a integral dessas funes x , y fornecem funes

(x) e (y) , respectivamente, atuando como constantes de integrao.

5) Determine uma funo (x) ou (y) . Um mtodo consiste em derivar a funo y)(x, parcialmente. Se a funo escolhida Mx , ento a funo potencial dada por (y) dx My)(x, , derivando y)(x, em relao a y, Ny , e, portanto, (y)' dx MdydN , isolando (y)' , obtemos que:

dy dx MdydN(y) . Um processo anlogo pode ser feito para (x) .

6) Um segundo mtodo, para obteno de (x) e (y) , consiste em obter funes potenciais a partir de x , y e por inspeo determinar quem so as funes (x) e (y) .

7) Determinado quem so as funes (x) ou (y) , basta igualar a funo potencial y)(x, uma constante arbitrria, para determinar a soluo geral da equao diferencial. Isto , k k,y)(x,

Exerccio Resolvido

1) Resolva o problema do valor inicial.

2)4)y(ln( 0dy2y.cscycotgyedxe xx

Inicialmente determinemos quem so as funes M e N.

2y.cscycotgyey)N(x, ey)M(x, xx

Verifiquemos se a equao diferencial exata em uma regio .

cotgye 2y.cscy)cotgy(edxdy)(x,N

0edydy)(x,M

xxx

xy

Como y)(x,Ny)(x,M xy , a equao no exata! Devemos procurar um fator integrante, faamos:

N

MNR yx

, e verifiquemos se R apenas depende de x. 2y.cscycotgye

cotgyeR x

x , R no depende apenas de x, (x)y)(x, No

M

MNR yx

, e verifiquemos se R apenas depende de y cotgyR

ecotgyeR x

x , R depende apenas de y, (y)y)(x, E esse fator integrante dado por,

dy cotgye(y) .

dy cotgy , uma integral imediata, k|seny|lndy cotgy , como precisamos apenas de uma primitiva, faa k = 0. Assim:

seny(y) |seny|lne(y)

Ou seja, um fator integrante a funo sen(y). Multiplicando equao diferencial obtemos: 0dycy2y.seny.cscotgyseny.edxseny.e xx

E, portanto: 0dy2ycosyedxseny.e xx

Embora no seja preciso, pois conforme mostramos o fator integrante torna a equao diferencial exata, podemos verificar se de fato a equao se tornou exata8.

2ycosyey)N(x, e.senyy)M(x, xx

Verifiquemos se a equao diferencial exata em uma regio .

cosye 2y)cosy(edxdy)(x,N

osycee.senydydy)(x,M

xxx

xxy

Como y)(x,Ny)(x,M xy , a equao exata!

Nessas condies, existe uma funo potencial y)(x, de classe C em uma regio fechada simplesmente conexa, tal que Mx e Ny , e k k,y)(x, soluo da equao diferencial.

Nesse exemplo construiremos a funo y)(x, a partir de Mx , fica de exerccio ao leitor realizar o mesmo procedimento a partir de Ny .

8 O que pode ser til para verificarmos se realizamos os clculos corretamente.

Seja Mx , portanto, temos que: senye xx , integrando, resulta em:

)y(dx senyey)(x, x , observe que sen(y) constante em relao varivel x, portanto devemos integrar somente a funo exponencial.

)y(dxesenyy)(x, x , essa integral imediata, assim da forma: )y(senyey)(x, x , para obtermos )y( , basta fazermos Ny .

Derivando y)(x, em funo de y, temos: )y('ycoseNy)(x, xy )y('ycose2ycosye xx , por conseguinte: y2)y(' , integrando a

equao, obtemos: dy y2)y( , finalmente, 2y)y( .

Voltando )y(senyey)(x, x , substituindo )y( por 2y)y( , temos 2x ysenyey)(x, , portanto, pelo corolrio, a soluo geral da equao diferencial ser: k kysenye 2x 9

Pelas condies iniciais, )2,4)(ln( , obtemos uma soluo particular: k

4.1

4 k)2()2(sene 24)ln( , portanto,

2k .

Assim as solues da equao diferencial so:

* Soluo Geral k kysenye 2x * Soluo Particular:

2ysenye 2x )2,4)(ln(

Fica de exerccio ao leitor determinar a soluo geral e particular, construindo uma funo potencial a partir de Ny . Com a funo obtida por Ny e o desenvolvimento feito coma funo Mx , o leitor poder ainda testar mtodo de inspeo para determinar as funes (x) e (y) .

9 Observe que essa uma soluo onde impossvel explicitar y em funo de x, podemos no mximo escrever x como uma funo de y, x(y).

Equaes Diferenciais Lineares

As equaes diferenciais lineares descrevem diversos fenmenos naturais e por isso so de grande importncia na Fsica, Qumica, Biologia e Engenharia.

Os modelos de osciladores harmnicos que permitem compreender diversos sistemas eletrnicos, os processos de interao das matrias e as leis do movimento harmnico, so exemplos de equaes diferenciais lineares.

Neste tpico buscaremos desenvolver a teoria elementar das equaes diferenciais lineares e aplic-la m seguida a problemas prticos.

Definio 4.1

Uma equao diferencial linear de ordem n toda equao que pode ser escrita sob a forma:

f(x)(x)yA...dx

yd(x)Adx

yd(x)A n1-n1-n

1n

n

o (1)

Onde as funes, (x)A(x),...,A(x),A n1o so todas contnuas em um intervalo aberto I, tal que 0)(xA I,x ooo .

Dividindo (1), por (x)A0 , podemos re-escrever a equao como:

g(x)(x)ya...dx

yd(x)adx

ydn1-n

1-n

1n

n (2)

Podemos ainda representar (2) por meio da seguinte equao:

)...yy,yy,F(x,dx

yd 1)(n(2)(1)n

n (3)

Onde os nmeros entre parnteses nos expoentes indicam a ordem da derivada de y em relao x.

Definio 4.2

Uma equao diferencial linear de ordem n, onde f(x) a funo nula denominada: Equao Diferencial Linear Homognea.

A equao de Hermite um exemplo de equao diferencial homognea:

INn 0,2nydxdy2x

dxyd2

2 (4)

Uma equao diferencial linear de ordem n, onde a f(x) uma funo no-nula denominada: Equao Diferencial Linear No-Homognea.

O oscilador harmnico forado um exemplo de equao no-homognea:

t)cos(wFxdtdx2

dtxd

1o2o2

2 (5)

Definio 4.3

Uma equao diferencial linear de ensima ordem (ou ordem n), onde os coeficientes (x)A(x),...,A(x),A n10 so funes constantes denominada de: Equao Diferencial Linear Com Coeficientes Constantes.

O oscilador harmnico forado, (5), uma com coeficientes constantes

t)cos(wFxdtdx2

dtxd

1o2o2

2

Uma equao diferencial linear de ensima ordem, onde os coeficientes (x)A(x),...,A(x),A n10 so funes no todas constantes denominada de:

Equao Diferencial Linear Com Coeficientes Variveis.

A equao de Hermite, (4), uma equao com coeficientes variveis:

INn 0,2nydxdy2x

dxyd2

2

Definio 4.4

Uma equao diferencial linear denominada, conforme as definies 4.2 e 4.3 como: Equao Diferencial Linear (No-)Homognea com Coeficientes (Constantes ou Variveis).

Cada equao diferencial linear apresenta suas caractersticas prprias e mtodos de resoluo, por isso um estudo detalhado de cada caso necessrio.

Abaixo listamos em ordem crescente de complexidade o estudo a ser desenvolvido em equaes diferenciais lineares.

1) Equaes Diferenciais Homogneas Com Coeficientes Constantes

2) Equaes Diferenciais No-Homogneas Com Coeficientes Constantes

3) Equaes Diferenciais Com Coeficientes Variveis (Pontos Ordinrios)

4) Equaes Diferenciais Com Coeficientes Variveis (Pontos Singulares)

Dentro das Equaes Com Coeficientes Variveis um fator adicional a natureza da vizinhana dos pontos em buscamos uma soluo da equao diferencial.

Conforme observamos, quando buscamos solues de uma equao diferencial linear, estas solues so vlidas em um intervalo I,

0)(xA I,x ooo , todas as solues na vizinhana dos pontos ox que satisfazem essa condio, so denominadas solues na vizinhana de um ponto ordinrio.

No entanto podemos buscar solues na vizinhana de um ponto kx tal que 0)(xA ko , essas solues, quando existem, so denominadas de solues na

vizinhana de um ponto singular e envolvem uma complexidade matemtica maior.

Inicialmente iremos nos ocupar de Equaes Diferenciais Lineares De Primeira Ordem, em seguida Equaes Diferenciais Homogneas Com Coeficientes Constantes findando nas Equaes Diferenciais Com Coeficientes Variveis na Vizinhana de Pontos Singulares.

Equaes Diferenciais Lineares de 1 Ordem

Definio 5.1

Uma equao diferencial linear de primeira ordem toda equao diferencial que pode ser escrita sob a forma:

f(x)(x)yAdxdy(x)A 1o (1)

Onde as funes, (x)A(x),A 1o so todas contnuas em um intervalo aberto I, tal que 0)(xA I,x ooo .

Dividindo (1), por (x)A0 , podemos re-escrever a equao (1) como:

g(x)(x)yadxdy

1 (2)

Podemos ainda representar (2) por meio da seguinte equao:

y)F(x,dxdy (3)

Ainda podemos re-escrever (2) como: 0g(x)(x)yadxdy

1 (4)

Observe que (4) uma equao do tipo:

0dxdyy)N(x,y)M(x, (5) g(x)(x)ya y)M(x, 1 e 1 y)N(x,

Podemos verificar se a equao (5) exata e procurar uma soluo dada por uma funo K K,y)(x, .

Calculando as derivadas parciais de M(x,y) e N(x,y):

0xN e (x)a

yM

1 (6)

Por (6) conclumos que a equao (4) no exata, podemos, no entanto podemos procurar um fator integrante y)(x, que multiplicada a (4) torna exata. fcil verificar que existe um fator integrante (x) .

Multiplicando (4) por (x) , obtemos: 0g(x)(x)ya(x)

dxdy(x) 1 (7)

Calculando as derivadas parciais de (x)M(x,y) e (x)N(x,y):

(x)'xN e (x)(x)a

yM

1 (8)

A equao diferencial (7) exata se, e somente se, verificar que xN

yM .

Nestas condies, por (8) resulta que:

(x)(x)a(x)' 1 (9)

A equao diferencial (9) uma equao separvel nas variveis x, .10 Pois podemos escrev-la como:

0(x)a-(x)'(x)1

1 (10)

Cuja soluo, j foi demonstrada, dada por:

K k(x)dxa-d1 1 (11)

10 Uma equao separvel nas variveis x, , toda equao na forma 0.NxM .

Como necessitamos de apenas um fator integrante podemos tomar a constante k igual a zero. Portanto: (x)dxaln 1 (12)

Ou ainda: (x)dxae(x) 1 (13)

Substituindo valor de (x) obtido em (13) na equao diferencial (7): 0g(x)(x)ya(x)dxae(x)dxaedxdy

111 (14)

Podemos ainda re-escrever (14) como:

g(x)(x)dxae(x)yadxdy(x)dxae 111 (15)

Observaes:

1) Existem cinco formas de resolver a equao (14), uma das formas consiste em uma aplicao da regra da cadeia para funes de uma varivel, a segunda ocorre por meio de um mtodo denominado: Mtodo de Lagrange (ou Variao de Parmetros), enquanto as trs demais formas se baseiam na construo da funo y)(x, .

2) Observamos tambm que pela prpria estrutura da equao diferencial linear de primeira ordem, no precisamos estud-la em casos particulares (no que diz respeito a sua homogeneidade e a natureza dos seus coeficientes), essa particularidade, no entanto, ocorrem em poucos casos, bastante especficos, em equaes de ordem superior.

Solues da Equao Diferencial Linear de 1 Ordem

1) Regra da Cadeia

Este mtodo consiste em observar que:

(x)y.adxdy(x)dxae(x)dxay.e

dxd

111 (16)

Que o membro esquerdo da igualdade em (15), nessas condies, por (16), obtemos:

g(x)(x)dxae(x)dxay.edxd 11 (17)

Integrando (17), resulta em:

dx g(x)(x)dxaedx (x)dxayedxd 11 (18)

Pelo Teorema Fundamental do Clculo:

Cdx g(x)(x)dxae(x)dxaye 11 (19)

Isolando a varivel y, obtemos a soluo da equao diferencial:

Cdx g(x)(x)dxae(x)dxae 1 y(x) 11 (20)

Ou ainda:

Cdx g(x)(x)dxae(x)dxae y(x) 11 (21)

Este procedimento bastante simples e rpido em relao aos demais mtodos que veremos, bastando apenas familiaridade com a regra da cadeia.

2) Mtodo de Lagrange

Seja a equao diferencial:

g(x)(x)yadxdy

1 (1)

O Mtodo de Lagrange ou Variao de Parmetros consiste em duas etapas:

A) Determinar a soluo da Equao Homognea Associada.

B) Determinar, a partir da soluo da Equao Homognea Associada, uma soluo para Equao No-Homognea.

A primeira etapa consiste em determinar uma soluo para equao homognea associada, isto , uma soluo de (1) para quando 0g(x) . Nestas condies:

0(x)yadxdy

1 (2)

Essa uma equao separvel, pois podemos escrev-la como:

0dx (x)adyy1

1 (3)

Cuja soluo dada por:

ln(k)dx (x)adyy1

1 (4)

Portanto: dx (x)a-ln(k)ln(y) 1 (5)

Explicitando varivel y(x). (x)dxakey(x) 1 (6)

Determinada a soluo homognea, buscamos uma soluo para equao no-homognea da forma: (x)dxak(x)ey(x) 1 (7)

Onde K uma funo a ser determinada.

Substituindo a equao (7) em (1), temos que:

g(x)dxakeadxakedxd 1

11 (8)

Sendo 1a e k, funes de x, aplicando a regra da cadeia obtemos que11:

g(x)dxak'e 1 (9)

Isolando a funo k(x), obtemos que: (x)dxag(x)ek(x)dxd 1 (10)

Integrando (10) obtemos a funo k(x):

C dx (x)dxag(x)ek(x) 1 (11)

Substituindo (11) em (7), obtemos a soluo da equao diferencial:


Que concorda com o resultado obtido pelo mtodo anterior.

O mtodo de Lagrange, conforme veremos posteriormente, pode ser generalizado para obteno de solues de equaes diferenciais lineares no-homogneas de ensima ordem. Essa primeira aplicao visa a familiarizao do leitor com mtodo.

11 A derivada da funo dxakeadxaedxdk. 111 , que cancela com segundo membro da equao resultando g(x)dxak'e 1 .

3) Construo de uma Funo y)(x, - Mtodo (I)

No incio desta seco mostramos que uma equao diferencial linear

g(x)(x)yadxdy

1 (1)

Usando os mtodos de soluo de uma equao diferencial exata, pode ser escrita sob a forma: 0g(x)(x)ya(x)dxae(x)dxaedxdy

111 (2)

Essa equao (2) exata, portanto, existe uma funo y)(x, de classe C em um uma regio simplesmente conexa tal que: g(x)(x)ya(x)dxaey)(x,

x 11 (3)

Integrando (3) em relao x, obtemos: (y)dx g(x)(x)ya (x)dxaey)(x, 11 (4)

Observe que a integral dx (x)a (x)dxaey 11 (5)

Pode ser efetuada mediante uma mudana de varivel:

(x)dxadu (x)dxau 11 (6)

Assim a integral se torna:

uye duuey (7)

E retornando a varivel x.

(x)dxaye dx (x)a (x)dxaey 111 (8)

Assim podemos re-escrever (4) como: ydx g(x)(x)dxae(x)dxayey)(x, 11 (9)

Para determinarmos (y) , usamos a hiptese que: (x)dxaey)(x,y 1 (10)

Por (9) obtemos que:

(x)dxae (y)(x)dxae 11 ' (11)

Donde resulta que: 11 k k(y) 0(y) ,' (12)

Substituindo (y) obtido em (12) na equao (4), conclumos que: 111 kdx g(x)(x)ya (x)dxaey)(x, (13)

Como a soluo dada por oky)(x, , por (13) obtemos: 1o11 kkdx g(x)(x)ya (x)dxae (14)

Explicitando y(x),


Que concorda com a soluo obtida pelos outros mtodos analisados.

4) Construo de uma Funo y)(x, - Mtodo (II)

No incio desta seco mostramos que uma equao diferencial linear

g(x)(x)yadxdy

1 (1)

Usando os mtodos de soluo de uma equao diferencial exata, pode ser escrita sob a forma: 0g(x)(x)ya(x)dxae(x)dxaedxdy

111 (2)

Essa equao (2) exata, portanto, existe uma funo y)(x, de classe C em um uma regio simplesmente conexa tal que: (x)dxaey)(x,y 1 (3)

Integrando (3) em relao y, obtemos:

(x)(x)dxay.ey)(x, 1 (4)

Para determinarmos (x) , usamos a hiptese que: g(x)(x)ya(x)dxaey)(x,

x 11 (5)

Por (5) obtemos que: g(x)(x)yae (x)(x)eya 1(x)dx1a(x)dx1a1 ' (6)

Donde resulta que:

21 kdx (x)dxag(x).e(x) (7)

Substituindo (x) obtido em (7) na equao (4), conclumos que:

211 kdx(x)dxag(x)e(x)dxayey)(x, (8)

Como a soluo dada por oky)(x, , por (13) obtemos:

1o11 kkdx(x)dxag(x)e(x)dxaye (9)

Explicitando y(x),



5) Construo de uma Funo y)(x, - Mtodo (III)

O mtodo aqui proposto uma extenso dos mtodos I e II. Determinamos a funo y)(x, por inspeo das funes construdas a partir de N(x,y) e M(x,y). Por essa razo usaremos os resultados desenvolvidos anteriormente.

Por (I) e (II) obtemos que:

(x)(x)dxayey)(x,ydx g(x)(x)dxae(x)dxayey)(x,

1

11

(1)

Por inspeo, dx g(x)(x)dxae(x) 1 e 0y , portanto: g(x)dx(x)dxae(x)dxay.ey)(x, 11 (2)

Fazendo Cy)(x, e explicitando a varivel y(x), obtemos:



Estes so os cinco mtodos possveis para soluo de equaes diferenciais lineares de 1 Ordem, todos so equivalentes, caber ao leitor escolher aquele lhe for mais familiar.

Documents

Introdução À Física-Matematica