2. universidade estadual de campinas Reitor Fernando Ferreira
Costa Coordenador Geral da Universidade Edgar Salvadori de Decca
Conselho Editorial Presidente Paulo Franchetti Alcir Pcora
Christiano Lyra Filho Jos A. R. Gontijo Jos Roberto Zan Marcelo
Knobel Marco Antonio Zago Sedi Hirano Silvia Hunold Lara
3. Howard Eves Introduo histria da matemtica traduo Hygino H.
Domingues
4. ndices para catlogo sistemtico: 1. Matemtica Histria 510.9
Copyright by Howard Eves Copyright 2011 by Editora da Unicamp 1a
edio, 1995 2a edio, 1997 3a edio, 2002 4a edio, 2004 Nenhuma parte
desta publicao pode ser gravada, armazenada em sistema eletrnico,
fotocopiada, reproduzida por meios mecnicos ou outros quaisquer sem
autorizao prvia do editor. isbn 85-268-0657-2 Ev 28i Eves, Howard
Introduo histria da matemtica / Howard Eves; traduo Hygino H.
Domingues. 5a ed. Campinas, sp: Editora da Unicamp, 2011. 1.
Matemtica Histria. I. Ttulo. 20 cdd510.9 ficha catalogrfica
elaborada pelo sistema de bibliotecas da unicamp diretoria de
tratamento da informao Editora da Unicamp Rua Caio Graco prado, 50
Campus Unicamp cep 13083-892 Campinas sp Brasil Tel./Fax: (19)
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Grafia atualizada segundo o Acordo Ortogrfico da Lngua Portuguesa
de 1990. Em vigor no Brasil a partir de 2009.
5. MIMSE Por incontveis recordaes encantadoras de coisas como
tomar sorvete juntos no meio de um lago, debaixo de chuva.
6. Sumrio
Prefcio..................................................................................................................................
13
Introduo.............................................................................................................................
17 PRIMEIRA PARTE: ANTES DO SCULO XVII Panorama Cultural I: Os
caadores das
savanas..............................................................
22 (A Idade da Pedra) 1 SISTEMAS DE NUMERAO
............................................................................
25 1-1 Contagem primitiva; 1-2 Bases; 1-3 Nmeros digitais e nmeros
escritos; 1-4 Sistemas de agrupamentos simples; 1-5 Sistemas de
agrupamentos multiplicativos; 1-6 Sistemas de numerao cifrados; 1-7
Sistemas de numerao posicionais; 1-8 Computao primitiva; 1-9 O
Sistema de numerao indo-arbico; 1-10 Bases arbitrrias.
EXERCCIOS......................................................................................................................
44
TEMAS.................................................................................................................................
49
BIBLIOGRAFIA..................................................................................................................
49 Panorama Cultural II: A Revoluo
Agrcola...............................................................
52 (Os beros da civilizao) 2 A MATEMTICA BABILNICA E
EGPCIA................................................. 57 2-1 O
Oriente antigo; 2-2 BABILNIA: Fontes; 2-3 Matemtica agrria e
comercial; 2-4 Geometria; 2-5 lgebra; 2-6 Plimpton 322; 2-7 EGITO:
Fontes e datas; 2-8 Aritmtica e lgebra; 2-9 Geometria; 2-10 Um
curioso problema do papiro Rhind.
EXERCCIOS.................................................................................................................
77
TEMAS..........................................................................................................................
88
BIBLIOGRAFIA............................................................................................................
88
7. Panorama Cultural III: Os filsofos da
gora......................................................... 90
(Grcia Helnica) 3 A MATEMTICA
PITAGRICA.................................................................
94 3-1 O bero da matemtica demonstrativa; 3-2 Pitgoras e os
pitagricos; 3-3 Aritmtica pitagrica; 3-4 O teorema de Pitgoras e os
ternos pitagricos; 3-5 A descoberta das grandezas irracionais; 3-6
Identidades algbricas; 3-7 Resoluo geomtrica de equaes quadrticas;
3-8 Transformao de reas; 3-9 Os slidos regulares 3-10 O raciocnio
postulacional.
EXERCCIOS.................................................................................................................
115
TEMAS..........................................................................................................................
126
BIBLIOGRAFIA............................................................................................................
127 4 DUPLICAO, TRISSECO E
QUADRATURA........................................... 129 4-1 O
perodo de Tales a Euclides; 4-2 Linhas de desenvolvimento
matemtico; 4-3 Os trs famosos problemas; 4-4 Os instrumentos de
Euclides; 4-5 Duplicao do cubo; 4-6 Trisseco do ngulo; 4-7
Quadratura do crculo; 4-8 Cronologia de .
EXERCCIOS.................................................................................................................
149
TEMAS..........................................................................................................................
159
BIBLIOGRAFIA............................................................................................................
159 Panorama Cultural IV: O oikoumene
...........................................................................
161 (O Imprio Persa, A Grcia Helenstica, O Imprio Romano) 5
EUCLIDES E SEUS ELEMENTOS
.................................................................
166 5-1 Alexandria; 5-2 Euclides; 5-3 Os Elementos de Euclides; 5-4
O contedo dos Elementos; 5-5 A teoria das propores; 5-6 Polgonos
regulares; 5-7 Aspectos formais dos Elementos; 5-8 Outros trabalhos
de Euclides.
EXERCCIOS.................................................................................................................
181
TEMAS..........................................................................................................................
189 BIBLIOGRAFIA
...........................................................................................................
189
8. 6 A MATEMTICA GREGA DEPOIS DE EUCLIDES
................................ 191 6-1 Cenrio histrico; 6-2
Arquimedes; 6-3 Eratstenes; 6-4 Apolnio; 6-5 Hiparco, Menelau,
Ptolomeu e a trigonometria grega; 6-6 Hero; 6-7 lgebra grega
antiga; 6-8 Diofanto; 6-9 Papus; 6-10 Os comentadores.
EXERCCIOS.................................................................................................................
213
TEMAS..........................................................................................................................
231 BIBLIOGRAFIA
...........................................................................................................
232 Panorama Cultural V: Os imprios asiticos
............................................................... 234
(China, ndia e a ascenso do Islamismo) 7 A MATEMTICA CHINESA, HINDU
E RABE........................................... 241 7-1 CHINA:
Fontes e perodos; 7-2 Do Shang ao Tang; 7-3 Do Tang atravs do Ming;
7-4 Observaes finais; 7-5 NDIA: Viso geral; 7-6 Clculos numricos;
7-7 Aritmtica e lgebra 7-8 Geometria e trigonometria; 7-9 Confronto
entre a matemtica grega e a hindu; 7-10 ARBIA: A ascenso da cultura
muulmana; 7-11 Aritmtica e lgebra; 7-12 Geometria e trigonometria;
7-13 Alguma etimologia; 7-14 A contribuio rabe.
EXERCCIOS.................................................................................................................
267
TEMAS..........................................................................................................................
279 BIBLIOGRAFIA
...........................................................................................................
280 Panorama Cultural VI: Servos, senhores e
papas.......................................................... 282
(A Idade Mdia europeia) 8 A MATEMTICA NA EUROPA, DE 500 A 1600
............................................ 289 8-1 A Alta Idade
Mdia; 8-2 O perodo de transmisso; 8-3 Fibonacci e o sculo XIII; 8-4
O sculo XIV; 8-5 O sculo XV; 8-6 As primeiras aritmticas; 8-7 O
incio do simbolismo algbrico; 8-8 Equaes cbicas e qurticas; 8-9
Franois Vite; 8-10 Outros matemticos do sculo XVI.
EXERCCIOS.................................................................................................................
314
TEMAS..........................................................................................................................
329
BIBLIOGRAFIA............................................................................................................
330
9. SEGUNDA PARTE: DO SCULO XVII EM DIANTE Panorama Cultural
VII: Puritanos e lobos do
mar....................................................... 334 (A
expanso da Europa) 9 A ALVORADA DA MATEMTICA
MODERNA............................................. 340 9-1 O
sculo XVII; 9-2 Napier; 9-3 Logaritmos; 9-4 As ctedras de Henry
Savile e Henry Lucas; 9-5 Harriot e Oughtred; 9-6 Galileu; 9-7
Kepler; 9-8 Desargues; 9-9 Pascal.
EXERCCIOS.................................................................................................................
366
TEMAS..........................................................................................................................
379
BIBLIOGRAFIA............................................................................................................
379 10 A GEOMETRIA ANALTICA E OUTROS DESENVOLVIMENTOS
PR-CLCULO.......................................................
382 10-1 Geometria analtica; 10-2 Descartes;- 10-3 Fermat; 10-4
Roberval e Torricelli; 10-5 Huygens; 10-6 Alguns matemticos
franceses e italianos do sculo XVII; 10-7 Alguns matemticos da
Alemanha e dos Pases Baixos no sculo XVII; 10-8 Alguns matemticos
britnicos do sculo XVII.
EXERCCIOS.................................................................................................................
405
TEMAS..........................................................................................................................
414 BIBLIOGRAFIA
...........................................................................................................
414 11 O CLCULO E CONCEITOS RELACIONADOS
......................................... 417 11-1 Introduo; 11-2
Paradoxos de Zeno; 11-3 O mtodo de exausto de Eudoxo; 11-4 O mtodo
de equilbrio de Arquimedes; 11-5 Primeiros passos da integrao na
Europa Ocidental; 11-6 O mtodo dos indivisveis de Cavalieri; 11-7
Os primeiros passos da diferenciao; 11-8 Wallis e Barrow; 11-9
Newton; 11-10 Leibniz.
EXERCCIOS.................................................................................................................
445
TEMAS..........................................................................................................................
452 BIBLIOGRAFIA
...........................................................................................................
453
10. Panorama Cultural VIII: A revolta da classe
mdia...................................................... 456 (A
Europa e a Amrica no sculo XVIII) 12 O SCULO XVIII E A EXPLORAO DO
CLCULO ................................. 461 12-1 Introduo e
justificativa; 12-2 A famlia Bernoulli; 12-3 De Moivre e a
probabilidade; 12-4 Taylor e Maclaurin; 12-5 Euler; 12-6 Clairaut,
dAlembert e Lambert; 12-7 Agnesi e du Chtelet; 12-8 Lagrange; 12-9
Laplace e Legendre; 12-10 Monge e Carnot; 12-11 O sistema mtrico;
12-12 Resumo.
EXERCCIOS.................................................................................................................
495
TEMAS..........................................................................................................................
510
BIBLIOGRAFIA............................................................................................................
511 Panorama Cultural IX: A revoluo industrial
............................................................ 514 (O
sculo XIX) 13 AS PRIMEIRAS DCADAS DO SCULO XIX E A LIBERTAO DA
GEOMETRIA E DA LGEBRA........................................ 519
13-1 O prncipe dos matemticos; 13-2 Germain e Somerville; 13-3
Fourier e Poisson; 13-4 Bolzano; 13-5 Cauchy; 13-6 Abel e Galois;
13-7 Jacobi e Dirichlet; 13-8 Geometria no Euclidiana; 13-9 A
libertao da geometria; 13-10 A emergncia de estruturas algbricas;
13-11 A libertao da lgebra; 13-12 Hamilton, Grassmann, Boole e De
Morgan; 13-13 Cayley, Sylvester e Hermite; 13-14 Academias,
sociedades e peridicos.
EXERCCIOS.................................................................................................................
566
TEMAS..........................................................................................................................
580
BIBLIOGRAFIA............................................................................................................
581 14 AS DCADAS POSTERIORES DO SCULO XIX E A ARITMETIZAO DA
ANLISE...................................................................
585 14-1 Sequncia de Euclides; 14-2 Impossibilidade da resoluo dos
trs problemas famosos com instrumentos euclidianos; 14-3 Compasso
ou rgua apenas; 14-4 Geometria projetiva; 14-5 Geometria analtica;
14-6 Geometria n-dimensional; 14-7 Geometria diferencial; 14-8
Felix Klein e o programa de Erlanger; 14-9 A aritmetizao da anlise;
14-10 Weierstrass e Riemann; 14-11 Cantor, Kronecker e Poincar;
14-12 Sonja Kovalevsky, Emmy Noether e Charlotte Scott; 14-13 Os
nmeros primos.
11.
EXERCCIOS.................................................................................................................
625
TEMAS..........................................................................................................................
648
BIBLIOGRAFIA............................................................................................................
648 Panorama Cultural X: O tomo e a roda de
fiar........................................................... 652
(O sculo XX) 15 NO SCULO XX
..............................................................................................
655 15-1 Deficincias lgicas dos Elementos de Euclides; 15-2
Axiomtica; 15-3 Evoluo de alguns conceitos bsicos; 15-4 Nmeros
transfinitos; 15-5 Topologia; 15-6 Lgica matemtica; 15-7 Antinomias
da teoria dos conjuntos; 15-8 Filosofias da matemtica; 15-9
Computadores; 15-10 A matemtica moderna e o grupo Bourbaki; 15-11 A
rvore da matemtica; 15-12 E doravante?
EXERCCIOS.................................................................................................................
696
TEMAS..........................................................................................................................
714
BIBLIOGRAFIA............................................................................................................
715 BIBLIOGRAFIA
GERAL..............................................................................................
724 TABELA
CRONOLGICA...........................................................................................
729 RESPOSTAS E SUGESTES PARA A RESOLUO DE
EXERCCIOS................... 742 NDICE
REMISSIVO....................................................................................................
780
12. Prefcio Esta edio sem dvida ganhou muito com a incluso de
um grande nmero de apri moramentos, desde ampliaes e atualizaes
histricas at a introduo de algumas novas sees e a expanso de outras
que j existiam. Acrescentou-se muito material ilustrativo novo e se
deu s mulheres uma ateno mais digna de sua importncia. bem provvel
que no haja uma seo sequer dos 15 captulos do livro que no tenha
sofrido alguma ampliao ou atualizao. Esses melhoramentos so to nume
rosos que seria demais citar todos aqui. Dentre as mudanas maiores,
cumpre men- cionar uma expanso considervel da discusso do contedo
dos Elementos de Euclides no Captulo 5, o tratamento completo da
matemtica chinesa no Captulo 7, a abor- dagem dos logaritmos no
Captulo 9, uma seo inteiramente nova sobre Maria Ag- nesi e a
Marquesa du Chtelet no Captulo 12, um balano sobre as contribuies
de Argand e Wessel representao geomtrica dos nmeros complexos no
Captulo 13, uma nova seo no Captulo 13 dedicada a Sophie Germain e
Mary Somerville, outra seo nova no Captulo 13 dedicada a Bolzano,
uma ampliao considervel no Ca- ptulo 13 do material sobre a
libertao da geometria no sculo XIX, uma reformu- lao completa da
seo sobre geometria diferencial no Captulo 14, a incluso do
material sobre Grace Chisholm e Charlotte Scott no Captulo 14 e uma
nova seo de encerramento do livro dedicada a prognosticar o futuro
da matemtica. Constituem um acrscimo muito significativo ao livro
os Panoramas Culturais escritos por Jamie Eves. Na verdade eles vm
atender a solicitaes de usurios de edies anteriores do livro para
os quais um aprofundamento do cenrio cultural das vrias eras e
pocas da histria da matemtica traria muitos benefcios para os
alunos. Um aluno avisado dever ler com ateno cada Panorama Cultural
antes de se enfro- nhar no material histrico do captulo associado.
Quanto a ilustraes, acrescentaram-se 10 novas peas de material
pictrico e 16 novas fotografias de matemticos (totalizando agora
76). Finalmente, a bibliografia foi atualizada de maneira
considervel. O leitor que deseje descries mais detalhadas dos vrios
aspectos do livro poder consultar a Introduo que precede
imediatamente o Captulo 1. Como das edies anteriores, com prazer
que outra vez expresso minha satisfao com a calorosa acolhida que o
livro obteve junto aos professores em geral. Desejo agradecer em
especial aos que se preocuparam escrevendo-me palavras de encoraja-
mento e enviando-me sugestes para posteriores melhoramentos no
livro. Cada nova edio deste trabalho tem levado grandemente em
conta uma seleo organizada dessas sugestes.
13. howard eves14 H muitas outras pessoas que foram
particularmente teis. Entre elas esto Duane E. Deal da Universidade
Estadual de Bali, Florence D. Fasanelli da Escola Sidwell Friends,
David E. Kullman da Universidade de Miami e Gregorio Fuentes da Uni
versidade de Maine, cada um deles responsvel por valiosas sugestes
visando o apri- moramento do texto. Gostaria de agradecer em
especial ao professor Deal que, de dicadamente, no poupou tempo
para me oferecer material de alto nvel com vistas a enriquecer
diversas partes do livro. No poderia deixar de registrar as
recomendaes oportunas e o material de valor sobre a matemtica da
China antiga que nos foram enviados por Ouyang Jiang e Zhang
Liangjin. A livraria e a biblioteca da Universidade de Maine em
Machias e o Servio de Informaes Bibliogrficas da Universidade de
Maine em Orono foram de grande utilidade. com satisfao especial que
agradeo ao meu filho Jamie H. Eves por ter valori- zado o livro com
os Panoramas Culturais. Foi uma grande vantagem poder contar com a
colaborao de sua cultura ampla, profunda e entusistica no campo da
histria. Deixo, por fim, meu reconhecimento sincero eficiente
equipe da Editora Uni versitria Saunders por sua ajuda e cooperao
excelentes. Fox Hollow, Lubec, Maine Vero, 1989 H. E.
14. Introduo histria da matemtica
15. Introduo Este livro difere das muitas histrias da matemtica
existentes por no se tratar pri- mordialmente de um trabalho de
prateleira para consulta, mas sim de uma tentativa de introduzir a
histria da matemtica aos alunos de graduao dos cursos superiores de
matemtica. Assim sendo, alm da narrativa histrica, h muitos
expedientes pe- daggicos visando assistir, motivar e envolver o
aluno. Descrevamos alguns desses expedientes e comentemos algumas
caractersticas do livro. 1. Acreditando que um curso superior de
histria da matemtica deve, antes de nada, ser um curso de
matemtica, fez-se um esforo para incluir um montante conside rvel
de matemtica genuna no livro. Espera-se que o estudante, ao usar
este livro, aprenda muita matemtica, alm de histria. 2. Entre os
expedientes pedaggicos do livro, talvez os Exerccios* arrolados ao
fim de cada captulo representem o mais importante. Cada Exerccio
contm vrios problemas e questes relacionados entre si e
concernentes a alguma parte do mate- rial ligado ao captulo.
Parte-se do pressuposto de que, discutindo muitos desses Exerccios
em aula e passando outros tantos para serem trabalhados em casa, o
cur- so se tornar mais concreto e significativo para o estudante,
posto que essas ativida- des levaro cristalizao de muitos conceitos
historicamente importantes. Por exemplo, o estudante pode atingir
um entendimento e uma apreciao melhores dos sistemas de numerao
trabalhando efetivamente com os sistemas. Tambm, em vez de apenas
ler que os gregos antigos resolviam equaes quadrticas geome-
tricamente, ele pode resolver algumas delas pelo mtodo grego e, em
fazendo isso, chegar a uma apreciao mais profunda das realizaes da
matemtica grega. Alguns dos Exerccios dizem respeito a problemas e
procedimentos historicamente importan tes, outros fornecem material
de valor para futuros professores da escola secundria ou superior e
outros ainda tm finalidade meramente recreativa, havendo inclusive
alguns com o papel de servir de subsdio a pesquisas de iniciao
cientfica. Um grande nmero de professores de high-schools** e de
faculdades tem usado o material desses Exerccios para, ao mesmo
tempo, tornar mais interessantes e mais robustos os cursos que
ministram. Esses Exerccios tm sido usados tambm, e amplamente, *
NooriginalProblemStudies,cujatraduoliteralmaiscorretatalvezfosseEstudosdeProblemas.Optamospelatraduo
Exerccios mas fica o registro do carter especial desse expediente
pedaggico no texto presente. (N. T.) ** Fase escolar nos Estados
Unidos que corresponde, aproximadamente, ao nosso segundo grau. (N.
T.)
16. howard eves18 por centros estudantis ligados a cursos
superiores de matemtica; e muitos alunos os tm usado para
desenvolver atividades com vistas a feiras de matemtica promo-
vidas pelas high-schools. 3. H bem mais Exerccios do que se poderia
abarcar em um ou dois semestres, e seu grau de dificuldade bastante
diversificado. Isso permite ao professor selecionar problemas e
questes que se ajustem capacidade de seus alunos e mudar as tarefas
de ano para ano. 4. Ao fim do livro encontra-se um conjunto de
dicas e sugestes para a resoluo de muitos Exerccios. Espera-se que
elas no sejam to amplas a ponto de roubar o prazer da resoluo. Um
bom exerccio, alm de fugir ao rotineiro, deve ser insti- gante e no
muito fcil de resolver e ele deve exigir, inclusive, tempo para
elucu braes. 5. interessante registrar que, com base no conceito de
que os problemas cons tituem o mago da matemtica , j se deram
cursos em faculdades baseados to so- mente nos Exerccios deste
livro. 6. Muitos professores de histria da matemtica gostam de
passar temas a serem desenvolvidos como trabalhos por seus alunos;
por isso, ao fim de cada captulo, logo aps os Exerccios, se d uma
lista de Temas relacionados com o material coberto naquela unidade.
Trata-se de simples sugestes, uma vez que nenhum professor teria
dificuldades em elaborar, por si prprio, uma lista at mais ampla.
Cada Tema desses dever exigir, para ser desenvolvido, outras
leituras afora a deste texto; o aluno po- der ento achar necessrio
se aprofundar na literatura arrolada na Bibliografia do captulo.
Muitos desses temas redundaram em excelentes artigos, havendo
diversos deles, escritos por alunos, que mereceram publicao em
jornais matemticos e pe- daggicos. 7. um axioma que a histria de
uma determinada matria no pode ser devi damente apreciada sem que
se tenha pelo menos um razovel conhecimento da prpria matria .
Consequentemente, houve um empenho no sentido de explicar o
material focalizado, especialmente nos ltimos captulos, quando ele
se torna mais avanado. Essa uma das maneiras de um aluno
principiante poder aprender um volume considervel de matemtica,
assim como de histria, a partir do estudo deste livro. 8.
Perceber-se- que os conceitos definidos no texto so colocados em
destaque apresentando-os em negrito. Ver P. R. Halmos, The heart of
mathematics, The American Mathematical Monthly, no 87, 1980, pp.
519-24. interessante e pertinente que, reciprocamente, seja
impossvel uma apreciao verdadeira de um ramo da matemtica sem algum
conhecimento da histria desse ramo, pois a matemtica , em grande
parte, um estudo de ideias, e uma compreenso autntica das ideias no
possvel sem uma anlise de suas origens. Um exemplo particularmente
bvio dessa observao o estudo da geometria no euclidiana. Com muita
propriedade J. W. L. Glaisher disse: Estou certo de que nenhuma
matria perde tanto quanto a matemtica ao se dissoci-la de sua
histria.
17. 19introduo histria da matemtica 9. Apresenta-se o material
histrico em ordem essencialmente cronolgica, com desvios eventuais
determinados por consideraes pedaggicas e lgicas ou pela von- tade
de alguns leitores e professores. Em alguns lugares onde poderia
ser desejvel um desenvolvimento cronolgico mais direto, h
sinalizaes claras a respeito juntamen- te com instrues de como
proceder para rearranjar a sequncia dos assuntos. 10. O leitor
perceber que um conhecimento bsico da aritmtica, da lgebra, da
geometria e da trigonometria do primeiro e segundo graus , em
geral, suficiente para uma compreenso adequada dos primeiros nove
captulos. Para o Captulo 10 neces- srio conhecer os rudimentos da
geometria analtica plana, assim como preciso co- nhecer os
conceitos bsicos do clculo para os captulos seguintes (11 a 15).
Espera-se que os conceitos e desenvolvimentos de natureza mais
avanada envolvidos no livro estejam suficientemente explicados nos
pontos onde so introduzidos. desejvel um certo grau de maturidade
matemtica, e se nove, dez, onze ou todos os quinze captulos sero
cobertos, depende da quantidade de aulas e da preparao prvia dos
alunos. Quanto a isso, os Exerccios formam um elemento elstico,
pois eles podero ser explo- rados (includos ou omitidos) segundo os
ditames da convenincia e do tempo. 11. Positivamente, no fcil
cobrir a histria da matemtica desde a Antiguidade at os tempos
modernos num curso semestral de trs horas-aula semanais; isso reque
reria muita leitura por parte do aluno e um desprezo quase que
completo do problema material. O ideal seria oferecer-se um curso
anual sobre o assunto, desenvolvendo-se no primeiro semestre a
Parte 1 (os primeiros oito captulos) ou a Parte 1 juntamente com
alguns tpicos escolhidos dos Captulos 9, 10 e 11, e no segundo
semestre a Parte 2 ou o material restante. Os alunos mais avanados
de um bacharelado em ma- temtica poderiam cursar os dois semestres;
para um aluno de licenciatura em mate- mtica poderia ser suficiente
cursar apenas o primeiro semestre. 12. A histria da matemtica to
vasta que apenas uma introduo matria possvel em nvel de graduao,
mesmo num curso anual. Em vista disso anexou-se a cada captulo, em
seu final, uma bibliografia referente ao material desse captulo. A
Bibliografia Geral, que segue imediatamente o ltimo captulo,
envolve todos, ou qua- se todos, os captulos. Deve-se observar que
a Bibliografia Geral, a despeito de ser ex- tensa, no tem a
pretenso de ser completa; ela foi elaborada to somente como ponto
de partida para uma busca de material suplementar. Fornecem-se no
livro, em locais apropriados e em notas de rodap, muitas referncias
de peridicos. Perto do final da Bibliografia Geral h uma fonte
excelente de referncias de peridicos; so muito nu- merosas as
referncias dessa espcie e um aluno curioso logo as encontrar. 13.
Uma grande armadilha para quem escreve um livro como este a incluso
de mais material do que poderia ser coberto e/ou assimilado dentro
dos limites de tempo do curso; um escritor simplesmente conhece
bastante sobre seu campo. No fcil al canar o delicado equilbrio
entre um tratamento muito breve e um outro muito exten so a melhor
maneira de se conseguir isso talvez seja atravs da experincia
didtica. Ningum est mais inteirado do que o autor sobre aqueles
muitos tpicos que, devido aos objetivos em vista e clientela do
livro, devem merecer menos importncia ou at ser suprimidos. Se um
professor sentir profundamente que certo material omitido
18. howard eves20 deveria ser includo em seu curso, que o
introduza sem hesitaes caso tenha condies para tanto. Um
livro-texto no deve ter a pretenso de substituir o professor ou de
interferir no ensino criativo; ele serve apenas como um instrumento
de ajuda. 14. Os Panoramas Culturais de autoria de Jamie H. Eves
podem ser includos ou omitidos escolha do professor. Eles foram
inseridos no texto para atender expec- tativa daqueles que sentem
que a matemtica no se desenvolve no vcuo. Como alguns professores
podem preferir deixar de lado os Panoramas Culturais, algo do
material que neles figura se repete no texto propriamente
dito.
19. parte 1 ANTES DO SCULO XVII
20. Panorama Cultural Os caadores das savanas A Idade da Pedra
c. 5 milhes-3000 a.C. (Para acompanhar o Captulo 1) Os primeiros
povos viviam da caa de pequenos animais selvagens e das frutas,
cas- tanhas e razes que colhiam. Habitavam, em geral, os espaos
abertos das savanas, verdadeiros oceanos de uma erva alta que
cobria a maior parte das pores habitveis da frica, sul da Europa,
sul da sia e Amrica Central. Eram nmades e constan- temente se
deslocavam de um lugar para outro procura de alimento e em resposta
s mudanas climticas. Sua cultura era forjada no cadinho de um mundo
duro e hostil onde a busca do alimento era uma constante
indeclinvel. Tudo tinha que se adaptar caa: seus instrumentos de
pedra, madeira, osso e carapaa de animais eram desenhados ou para a
caa ou para a preparao de alimentos; o fogo, que domina- ram, era
usado para cozer e para o aquecimento; sua arte retratava cenas de
caadas; sua religio era uma tentativa tmida de entender e submeter
a imensido rude que os cercava e apenas obscuramente se prendia
ideia de destino final. No sabemos ao certo quando a Idade da Pedra
comeou. Talvez j uns 5 milhes de anos antes de Cristo, quando o
Australopithecus, um quadrpede em p ancestral do homem, que viveu
na frica, ps-se a construir machados e facas de pedra toscos,
golpeando um seixo contra outro. Certamente por volta de 400000
a.C. o Homo erectus na China j construa rotineiramente machados,
facas e raspadeiras de pedra. O Homo erectus tambm procurou abrigo
das temperaturas que castigavam as savanas em cavernas perto da
atual Pequim, um avano que teve continuidade com seu primo, o Homo
neanderthalensis, que viveu na Europa e no Oriente Mdio entre
aproxi- madamente 110000 a.C. e 35000 a.C. O Homo neanderthalensis
aquecia suas cavernas com fogo e cozia os animais que capturava nas
savanas. Preservou regis- tros de suas caadas em pinturas murais
elegantes e detalhadas. Por volta de 30000 a.C. o Homo sapiens (o
novo homem) substituiu as moradias em cavernas por estruturas mveis
barracas de peles de animais com cobertura de madeira que podia
levar consigo nas caadas. Pela mesma poca comeou a esculpir
estatuetas da fertilidade e outros cones religiosos em pedra. No se
pode precisar com exatido o fim da Idade da Pedra. Algumas culturas
persistiram na Idade da Pedra em algumas partes do mundo at o sculo
XIX ou XX. Quando os conquistadores europeus chegaram ao sul da
frica, Austrlia e
21. 23introduo histria da matemtica s Amricas entre os sculos
XVI e XVII a maior parte dos povos que encontraram vivia na Idade
da Pedra. Em meados do sculo XX alguns caadores chegaram por acaso
aos Tasadays, uma tribo at ento no descoberta e que vivia
embrenhada no interior das florestas de uma das ilhas do arquiplago
das Filipinas ao nvel de Idade da Pedra. Por uma conveno histrica,
porm, costuma-se situar o fim da Idade da Pedra aproximadamente em
3000 a.C. quando no Oriente Mdio, na ndia e na China emergiram
cidades com culturas capazes de fundir metais. Como todas as pocas
histricas, a Idade da Pedra no foi esttica. A sociedade e a cultura
foram mudando com o tempo para adaptar-se a um mundo em transio. Os
historiadores esquematizam essas mudanas dividindo a Idade da Pedra
em trs perodos. Durante o Paleoltico, ou Antiga Idade da Pedra (c.
5 milhes-10000 a.C.) o Homo sapiens evolveu de criaturas menores e
mais frgeis e desenvolveu a estrutu- ra socioeconmica da Idade da
Pedra. No perodo Mesoltico, ou Mdia Idade da Pedra, (c. 10000-7000
a.C.) a economia baseada no binmio caar/colher cristali- zou-se. No
perodo Neoltico ou Nova Idade da Pedra (c. 7000-3000 a.C.) a Idade
da Pedra comeou a declinar e a dar lugar s Idades do Bronze e do
Ferro, medida que os povos comearam a se afastar da forma de
sociedade calcada no caar/colher, para outra que envolvia modos
primitivos de agricultura e domesticao de animais. O Paleoltico foi
uma era de transio de um mundo de pr-humanos para uma so- ciedade
de caadores humanos. O Neoltico foi tambm um perodo de transio: de
uma sociedade de caadores para uma de agricultores. Por ter sido
uma poca em que quase todas as pessoas eram caadores nmades, a
Idade da Pedra registrou limitados avanos cientficos e
intelectuais. Mas isso no se deu porque faltasse inteligncia s
pessoas na Idade da Pedra. Por volta de 20000 a.C. os caadores das
savanas haviam desenvolvido uma cultura complexa que inclua a
feitura de ferramentas, linguagem, religio, arte, msica e comrcio.
Os progressos na matemtica e na cincia, todavia, eram obstados
pelas estruturas social e econ- mica daqueles tempos remotos. Como
os povos da Idade da Pedra eram caadores e no agricultores, tinham
de se deslocar em consonncia com as estaes e com o sazonamento de
frutas e castanhas. S tinham condies de levar consigo ferramen- tas
pequenas, fceis de transportar, roupas e objetos pessoais. No havia
lugar nessa sociedade para o volumoso equipamento necessrio para
fundir metais nem para as propores de uma biblioteca; da porque na
Idade da Pedra no se desenvolveram ferramentas metlicas nem a
linguagem escrita. No havia cidades, e as savanas s podiam fornecer
alimentos suficientes para cerca de 40 pessoas por centena de milha
quadrada. Nessa vida ocupada, e muitas vezes curta, um caador no
tinha tempo para ponderar questes de filosofia e cincia. Sem dvida,
algum progresso cientfi- co se verificou durante a Idade da Pedra.
As pessoas comerciavam entre si e havia necessidade de anotar a
parte de cada famlia na caada; ambas as atividades depen- diam da
ideia de contar, um preldio do pensamento cientfico. Alguns povos
na Idade da Pedra, como a tribo Sioux, tinham calendrios
pictogrficos que registravam vrias dcadas de histria. Todavia,
afora os sistemas de contagem primitivos, tudo
22. howard eves24 o mais teve de esperar o desenvolvimento da
agricultura, intensiva e em grande es- cala, que requeria uma
aritmtica mais sofisticada. No ltimo milnio da Idade da Pedra,
durante o Neoltico, a humanidade passou do estgio de colher simples
e naturalmente frutas silvestres, castanhas, razes e ve- getais
para o de efetivamente plantar sementes e colher a safra. O homem
do Neol- tico era todavia ainda primordialmente caador e colhedor e
seus campos pequenos e mal arrumados assemelhavam-se mais a jardins
meio abandonados do que a fazen- das. Esses jardins do fim da Idade
da Pedra com certeza se pareciam muito com os milharais plantados
pelos ndios americanos e descritos pelos conquistadores europeus do
sculo XVI, com plantas de vrias espcies plantadas no mesmo campo.
Para recapitular, a Idade da Pedra durou vrios milhares de anos,
comeando talvez j em 5 milhes a.C. e indo at por volta de 3000 a.C.
Num mundo de vastas pastagens e savanas onde abundavam os animais
selvagens e as pessoas eram princi- palmente caadores e colhedores.
Suas vidas eram agrestes e difceis, de maneira que elas viviam
demasiado ocupadas e em permanente agitao para poderem desenvolver
tradies cientficas. Depois de 3000 a.C. emergem comunidades
agrcolas densa- mente povoadas ao longo do rio Nilo na frica, dos
rios Tigre e Eufrates no Orien- te Mdio e ao longo do rio Amarelo
na China. Essas comunidades criaram culturas nas quais a cincia e a
matemtica comeam a se desenvolver.
23. 1 Sistemas de numerao 1.1 Contagem primitiva Ao se fazer um
relato cronolgico do desenvolvimento da matemtica, a questo de por
onde comear se impe. Deve-se iniciar com as primeiras dedues
sistemticas em geometria, tradicionalmente creditadas a Tales de
Mileto, por volta de 600 a.C.? Ou se deve recuar mais no tempo e
iniciar com a obteno de certas frmulas de mensurao feitas pelas
civilizaes pr-helnicas da Mesopotmia e do Egito? Ou se deve recuar
ainda mais no tempo e iniciar com os primeiros esforos tateantes
feitos pelo homem pr-histrico visando a sistematizao das ideias de
grandeza, forma e nmero? Ou se pode dizer que a matemtica teve
incio em pocas pr-hu- manas com a manifestao de senso numrico e
reconhecimento de modelos, em- bora muito limitadamente, por parte
de alguns animais, pssaros e insetos? Ou mesmo antes disso, nas
relaes numricas e espaciais das plantas? Ou at antes, nas nebulosas
espiraladas, nas trajetrias de planetas e cometas e na cristalizao
de minerais em pocas pr-orgnicas? Ou ser que a matemtica, como
acreditava Plato, sempre existiu, estando meramente a aguardar sua
descoberta? Cada uma dessas origens possveis comporta uma defesa .
Como usualmente se considera como a matemtica mais antiga aquela
resultante dos primeiros esforos do homem para sistematizar os
conceitos de grandeza, forma e nmero, por a que comearemos,
focalizando de incio o surgimento no homem primitivo do conceito de
nmero e do processo de contar. O conceito de nmero e o processo de
contar desenvolveram-se to antes dos primei ros registros histricos
(h evidncias arqueolgicas de que o homem, j h uns 50000 anos, era
capaz de contar) que a maneira como ocorreram largamente
conjectural. No difcil, porm, imaginar como isso provavelmente se
deu. razovel admitir que a espcie humana, mesmo nas pocas mais
primitivas, tinha algum senso numrico, pelo menos ao ponto de
reconhecermais e menos quando se acrescentavam ou retiravam alguns
objetos de uma coleo pequena, pois h estudos que mostram que alguns
ani- mais so dotados desse senso. Com a evoluo gradual da
sociedade, tornaram-se inevitveis contagens simples. Uma tribo
tinha que saber quantos eram seus membros e quantos eram seus
inimigos e tornava-se necessrio a um homem saber se seu rebanho
Ver, por exemplo, D. E. Smith, History of Mathematics, vol. 1, cap.
1 e Howard Eves, In Mathematical Circles (1o , 2o , 3o e 4o itens),
ambos citados na Bibliografia Geral ao fim do livro.
24. 26 howard eves de carneiros estava diminuindo. provvel que
a maneira mais antiga de contar se baseasse em algum mtodo de
registro simples, empregando o princpio da correspon- dncia
biunvoca. Para uma contagem de carneiros, por exemplo, podia-se
dobrar um dedo para cada animal. Podia-se tambm contar fazendo-se
ranhuras no barro ou numa pedra, produzindo-se entalhes num pedao
de madeira ou fazendo-se ns numa corda. Ento, talvez mais tarde,
desenvolveu-se um arranjo de sons vocais para registrar verbalmente
o nmero de objetos de um grupo pequeno. E mais tarde ainda, com o
aprimoramento da escrita, foram surgindo arranjos de smbolos para
representar esses nmeros. Esse desenvolvimento hipottico encontra
respaldo em relatrios de antro- plogos que estudaram povos
primitivos em nossa poca. Duas vistas do osso Ishango, com mais de
8000 anos de idade, encontrado em Ishango, s margens do lago
Edward, no Zaire, mostrando nmeros preservados por meio de entalhes
no osso (Dr. de Heinzelin) Nos mais remotos estgios do perodo de
contagem vocal, usavam-se sons (palavras) diferentes para, por
exemplo, dois carneiros e dois homens. (Considere, por exemplo, em
portugus: parelha de cavalos, junta de bois, par de sapatos, casal
de coelhos.) A abstrao da propriedade comum dois, representada por
algum som considerado inde pendentemente de qualquer associao
concreta, provavelmente levou muito tempo para acontecer. Nossas
atuais palavras-nmero de incio muito provavelmente se re- feriam a
conjuntos de certos objetos concretos, mas essas ligaes, exceto
talvez no que se refira ao cinco, perderam-se para ns . Para uma
alternativa interessante viso evolutiva clssica, ver
Euthomatematics, de Mareia e Robert Ascher, em History of Science,
vol. 24, no 2, jun., 1980, pp. 125-44.
25. 27introduo histria da matemtica Um quipo de indgenas
peruanos usado para recenseamento, mostrando nmeros registrados por
meio de ns em cordas. Ns maiores so mltiplos dos menores, e a cor
da corda pode distinguir homens de mulheres (Coleo Muse de LHomme,
Paris) 1.2 Bases Quando se tornou necessrio efetuar contagens mais
extensas, o processo de contar teve de ser sistematizado. Isso foi
feito dispondo-se os nmeros em grupos bsicos convenientes, sendo a
ordem de grandeza desses grupos determinada em grande parte pelo
processo de correspondncia empregado. Esquematizando-se as ideias,
o mtodo consistia em escolher um certo nmero b como base e atribuir
nomes aos nmeros 1, 2, ..., b. Para os nmeros maiores do que b os
nomes eram essencialmen- te combinaes dos nomes dos nmeros j
escolhidos. Como os dedos do homem constituam um dispositivo de
correspondncia conve niente, no de estranhar que o 10 acabasse
sendo escolhido frequentemente o nmero b da base. Considerem-se,
por exemplo, as palavras-nmeros atuais na lngua inglesa, formadas
tomando-se 10 como base. H os nomes especiais one (um), two (dois),
..., ten (dez) para os nmeros 1, 2, 10. Quando se chega a 11 a
palavra usada eleven, que,
segundoosfillogos,derivadeeinlifon,cujosignificadoumacimadedez.Analogamen
te, twelve (doze) provm de twe lif (dois acima de dez). Depois se
tem thirteen (trs e dez) para 13, fourteen (quatro e dez) para 14,
at nineteen (nove e dez) para 19.
26. 28 howard eves Chega-se ento a twenty (twe-tig, ou dois
dez), twenty-one (dois dez e um) e assim por diante. A palavra
hundred (cem), segundo parece, deriva originalmente de uma outra
que significa dez vezes (dez). entalhe em v com a largura de uma mo
entalhe curvo com a largura de um polegar entalhe em v com a
largura de um dedo mnimo entalhe em v com a largura de um gro de
cevada maduro entalhe menor mas ainda visvel corte sem remoo da
madeira nota-se o semientalhe para 10 Desenho mostrando o sistema
oficial de entalhes usado para registros computacionais pelo
Tesouro Britnico no sculo XII. Este sistema de registros manteve-se
em uso at 1826 H evidncias de que 2, 3 e 4 serviram como bases
primitivas. Por exemplo, h nativos de Queensland que contam um,
dois, dois e um, dois e dois, muito, e alguns pigmeus africanos que
contam a, oa, ua, oa-oa, oa-oa-a e oa-oa-oa para 1, 2, 3, 4, 5 e 6.
Uma certa tribo da Terra do Fogo compe seus primeiros e poucos
nomes de n- meros na base 3 e algumas da Amrica do Sul usam de
maneira anloga o 4. Como seria de esperar, o sistema quinrio, ou
sistema de numerao de base 5, foi o primeiro a ser usado
extensivamente. At hoje algumas tribos da Amrica do Sul contam com
as mos: um, dois, trs, quatro, mo, mo e um e assim por diante. Os
Yukaghirs da Sibria usam uma escala mista para contar um, dois,
trs, trs e um, cinco, dois trs, um mais, dois trs e dois, dez
faltando um, dez. Ainda no incio do sculo XIX se encontravam
calendrios de camponeses germnicos baseados no sis- tema quinrio. H
evidncias tambm de que o 12 pode ter sido usado como base em pocas
pr- histricas, principalmente em relao a medidas. Essa base pode
ter sido sugerida pelo nmero aproximado de lunaes de um ano ou,
talvez, pelo fato de o 12 ter tantos divisores inteiros. De
qualquer maneira, 12 o nmero de polegadas em um p, de onas numa
libra antiga, de pences em um shilling, de horas de um relgio, de
meses num ano, e as palavras dzia e grosa indicam unidades de ordem
superior. O sistema vigesimal (base 20) tambm foi amplamente usado,
e remonta aos dias em que o homem andava descalo. Esse sistema foi
usado por ndios americanos, sendo
27. 29introduo histria da matemtica mais conhecido pelo bem
desenvolvido sistema de numerao maia. As palavras-n- mero francesas
quatre-vingt (oitenta) em vez de huitante e quatre-vingt-dix
(noventa) em vez de nonante so traos da base 20 dos celtas. Tambm
se encontram traos no galico, no dinamarqus e no ingls. Os
groenlandeses usam um homem para 20, dois homens para 40 e assim
por diante. Em ingls h a palavra score (uma vintena),
frequentemente usada. O sistema sexagesimal (base 60) foi usado
pelos babilnios, sendo ainda empregado na medida do tempo e de
ngulos em minutos e segundos. 1.3 Nmeros digitais e nmeros escritos
Alm dos nmeros falados, numa certa poca usaram-se largamente os
nmeros digitais (representados por meio de dedos). Com efeito, a
expresso de nmeros por meio de vrias posies dos dedos e das mos
talvez preceda os smbolos numricos ou os nomes dos nmeros. Assim,
os smbolos escritos primitivos para 1, 2, 3 e 4 eram invaria
velmente o nmero conveniente de riscos verticais ou horizontais,
representando o nmero correspondente de dedos levantados ou
estendidos, remontando a palavra dgito (isto, dedo), para indicar
os algarismos de 1 a 9, mesma origem.
Comotempo,osnmerosdigitaisforamestendidosdemodoaabrangeros nmeros
maiores que ocorriam nas transaes comerciais; perto da Idade Mdia
eles tinham se tornado internacionais. No desenvolvimento final, os
nmeros 1, 2, 9 e 10, 20, 90 eram representados na mo esquerda e os
nmeros 100, 200, 900 e 1000, 2000, 9000 na mo direita. Os livros de
aritmtica da Renascena traziam figuras dos nmeros digitais. Por
exemplo, usando a mo esquerda, representava-se o 1 dobrando-se
parcialmente para
baixoodedomnimo;o2dobrando-separcialmenteparabaixoosdedosmdioe
anular;
o3dobrando-separcialmenteparabaixoosdedosmnimo,anularemdio;o4dobran
do-se para baixo os dedos mdio e anular; o 5 dobrando-se para baixo
o dedo mdio; o 6 dobrando-se para baixo o dedo anular; o 7
dobrando-se completamente para baixo o dedo mnimo; o 8 dobrando-se
completamente para baixo os dedos mnimo e anular; e o 9 dobrando-se
completamente para baixo os dedos mnimo, anular e mdio. Embora os
nmeros digitais tivessem se originado em pocas muito remotas, ainda
so usados hoje por alguns povos primitivos da frica, por rabes e
por persas. Nas Amricas do Sul e do Norte, alguns indgenas e
algumas tribos de esquims ainda usam os dedos. Os nmeros digitais
tinham a vantagem de transcender diferenas de lingua- gem mas, como
os nmeros vocais, deixavam a desejar quanto permanncia e no eram
convenientes para a realizao de clculos. J mencionamos o uso de
marcas e entalhes como maneiras primitivas de registrar nmeros.
Esses expedientes provavel mente representam a primeira tentativa
por parte do homem de escrever. De qualquer maneira, desses
primeiros esforos no sentido de fazer registros permanentes de nme
ros resultaram vrios sistemas de numerao escritos. Um nmero escrito
chama-se numeral. Voltaremos agora nossa ateno para uma classificao
simples dos sistemas de numerao antigos.
28. 30 howard eves Nmeros digitais. As duas primeiras colunas
representam a mo esquerda, as outras duas a mo direita. Ilustrao
tirada da Suma de Pacioli, 1491 1.4 Sistemas de agrupamentos
simples Talvez o mais antigo tipo de sistema de numerao a se
desenvolver tenha sido aquele chamado sistema de agrupamentos
simples. Nessa modalidade de sistema escolhe-se um nmero b como
base e adotam-se smbolos para 1, b, b2 , b3 etc. Ento, qualquer
nmero se expressa pelo uso desses smbolos aditivamente,
repetindo-se cada um deles o nme ro necessrio de vezes. A ilustrao
seguinte tornar claro o princpio subjacente. Os hierglifos egpcios,
cujo emprego remonta a cerca do ano 3400 a.C. e usados princi
palmente para fazer inscries em pedras, fornecem um exemplo de
sistema de agrupa mentos simples. Embora os hierglifos fossem
usados s vezes para escrever em outros materiais que no pedras, os
egpcios cedo desenvolveram duas formas de escrita con
sideravelmente mais rpidas para trabalhos em papiro, madeira e
cermica. A mais
29. 31introduo histria da matemtica antiga dessas formas era
uma escrita cursiva, conhecida como hiertica, derivada da
hieroglfica e usada pelos sacerdotes. Da hiertica mais tarde
resultou a escrita dem- tica, que foi adotada para usos gerais. Os
sistemas de numerao hiertico e demtico no pertencem ao tipo de
agrupamentos simples. A base usada no sistema de numerao
hieroglfico egpcio a 10. Os smbolos adotados para 1 e para as
primeiras potncias de 10 so 1 10 102 103 104 105 106 um basto
vertical uma ferradura um rolo de pergaminho uma flor de ltus um
dedo encurvado um barbato um homem espantado Assim, qualquer nmero
expressava-se pelo uso desses smbolos aditivamente, re- petindo-se
cada um deles o nmero necessrio de vezes. Por exemplo 13015 = 1(104
) + 3(103 ) + 1(10) + 5 = Escrevemos esse nmero da esquerda para
direita, embora para os egpcios fosse mais habitual escrever da
direita para a esquerda.
Osbabilniosantigos,carecendodepapirosetendopoucoacessoapedrasconvenien
tes, recorreram principalmente argila como material de escrita. As
inscries eram impressas em tbulas de argila midas com estilos cujas
extremidades podem ter sido tringulos issceles penetrantes.
Inclinando-se ligeiramente o estilo da posio vertical, podia-se
pressionar a argila ou com o ngulo do vrtice ou com um dos ngulos
da base do tringulo, produzindo-se assim duas formas de caracteres
assemelhadas a cunhas (cuneiformes). As tbulas eram ento cozidas
num forno at endurecer, obtendo- se assim registros permanentes. Em
tbulas cuneiformes do perodo 2000 a.C. a 200 a.C.
30. 32 howard eves os nmeros menores do que 60 se expressavam
por um sistema de agrupamentos sim- ples de base 10, e interessante
que muitas vezes se simplificava a escrita pelo uso de um smbolo
subtrativo. O smbolo subtrativo e os smbolos para o 1 e o 10 eram
respectivamente, em que o smbolo para o 1 e as duas partes que
formavam o smbolo subtrativo se obtinham pelo uso do ngulo do
vrtice do tringulo issceles, e o sm- bolo do 10 se obtinha pelo uso
do ngulo da base. Como exemplos de nmeros escri- tos com o emprego
desses smbolos temos 25 = 2(10) + 5 = e 38 = 40 - 2 = O mtodo
empregado pelos babilnios para escrever nmeros grandes ser visto na
Seo 1-7. Os numerais gregos, ticos ou herodinicos, desenvolveram-se
algum tempo antes do sculo III a.C. e constituem um sistema de
agrupamentos simples de base 10 for- mado com as letras iniciais
dos nomes dos nmeros. Alm dos smbolos I, , , , para 1, 10, 102 ,
103 , 104 , havia um smbolo especial para o 5. Esse smbolo especial
uma forma antiga de , a inicial da palavra grega pente (cinco),
sendo , , , as iniciais de deka (dez), hekaton (cem), kilo (mil) e
myriad (dez milhares). O smbolo do 5 era frequentemente usado
sozinho ou em combinao com outros smbolos a fim de encurtar a
representao numrica. Um exemplo nesse sistema de numerao 2857 = no
qual se nota que o smbolo do 5 aparece uma vez sozinho e duas vezes
em combina o com outros smbolos. Como um exemplo final de um
sistema de agrupamentos simples, ainda de base 10, figuram os
familiares numerais romanos. Neste caso os smbolos bsicos I, X, C,
M para 1, 10, 102 e 103 so acrescidos de V, L, D para 5, 50 e 500.
O princpio subtrati vo, segundo o qual um smbolo para uma unidade
menor colocado antes de um sm- bolo para uma unidade maior
significa a diferena entre as duas unidades, raramente
31. 33introduo histria da matemtica era utilizado nos tempos
antigos e medievais. Seu uso pleno s comeou nos tempos modernos.
Por exemplo 1944 = MDCCCCXXXXIIII ou, em notao mais moderna, de
quando o princpio subtrativo se tornou comum, 1944 = MCMXLIV. No
uso do princpio subtrativo deve-se levar em conta, porm, a seguinte
regra: o I s pode preceder o V ou X, o X s pode preceder o L ou o C
e o C s pode preceder o D ou o M. No tem faltado imaginao nas
tentativas de descrever os smbolos numricos romanos. Entre as
explicaes mais plausveis, aceitas por muitas autoridades em his-
tria latina e epigrafia, est a de que I, II, III e IIII procedem
dos dedos erguidos da mo. O smbolo X pode-se compor de dois V ou
pode ter sido sugerido por duas mos cruzadas ou dois polegares
cruzados, ou da prtica comum, quando da contagem por traos, de
cruzar grupos de dez. H alguma evidncia de que os smbolos originais
para 50, 100 e 1000 podem ter sido os aspirados gregos (psi),
(theta) e (phi). Foram formas mais antigas de psi todas usadas para
o 50 em inscries primitivas. O smbolo para o 100 provavelmen- te
evoluiu para o smbolo, algo semelhante, C, sob a influncia do fato
de que C a inicial da palavra latina centum (cem). Um smbolo usado
comumente em tempos primitivos para o 1000 | , que podia ser uma
variante de . O smbolo para o 1000 tornou-se M sob influncia do
fato de que se trata da inicial da palavra latina mille (mil).
Cinco centenas, sendo a metade de 1000, eram representadas por | ,
que mais tarde transformou-se em D. Remonta ao ano 1715 o ltimo uso
encontrado dos smbolos | e | para 1000 e 500. 1.5 Sistemas de
agrupamentos multiplicativos H exemplos em que um sistema de
agrupamentos simples evoluiu para o que pode ser chamado sistema de
agrupamentos multiplicativo. Nesse tipo de sistema, aps se escolher
uma base b, adotam-se smbolos para 1, 2, b 1 e um segundo conjunto
de smbolos para b, b2 , b3 ... Empregam-se os smbolos dos dois
conjuntos multiplicativa- mente de maneira a mostrar quantas
unidades dos grupos de ordem superior so ne- cessrias. Assim,
designando-se os primeiros nove nmeros pelos smbolos habituais, mas
designando-se 10, 100 e 1000 por a, b e c, ento num sistema de
agrupamentos multiplicativo se escreveria 5625 = 5c6b2a5.
32. 34 howard eves O sistema de numerao chins-japons
tradicional um exemplo de sistema de agrupamentos multiplicativo de
base 10. Escritos verticalmente, os smbolos dos dois grupos bsicos
e o nmero 5625 so mostrados abaixo. Carecendo de um material de
escrita como o papel, os chineses e japoneses antigos registravam
seus achados em lminas de bambu. A parte do caule do bambu situada
entre dois ns era rachada longitudinalmente em tiras estreitas.
Depois que essas tiras eram secas e raspadas, elas eram colocadas
lado a lado e amarradas por quatro cordes transversais. A
estreiteza das tiras fazia com que os caracteres fossem arranjados
ver- ticalmente, de cima para baixo, dando origem ao costume de
escrever que perdurou at tempos mais modernos, quando as lminas de
bambu foram substitudas pela tinta e o papel, materiais de escrita
mais convenientes. Exemplo: 5625 1.6 Sistemas de numerao cifrados
Num sistema de numerao cifrado, depois de se escolher uma base b,
adotam-se smbolos para 1, 2, ..., b 1; b, 2b, ..., ( b 1)b; b2 ,
2b2 , . . . , ( b 1 ) b 2 ; e assim por diante. Embora se devam
memorizar muitos smbolos nesse tipo de sistema, a repre- sentao dos
nmeros compacta.
33. 35introduo histria da matemtica O sistema de numerao grego,
conhecido como jnico ou alfabtico, cujas origens situam-se j por
volta do ano 450 a.C., um exemplo desse sistema cifrado. Ele de-
cimal e emprega 27 caracteres as 24 letras do alfabeto grego mais
trs outras obso- letas: digamma, koppa e sampi. Embora se usassem
letras maisculas (as minsculas s muito mais tarde vieram a
substitu-las), o sistema ser ilustrado aqui com letras minsculas.
As seguintes equivalncias tm que ser memorizadas: 1 alpha (alfa) 10
iota 100 rho 2 beta 20 kappa 200 sigma 3 gamma (gama) 30 lambda 300
tau 4 delta 40 mu 400 upsilon 5 epsilon 50 nu 500 phi 6 obsoleta
digamma 60 xi 600 chi 7 zeta 70 omicron 700 psi 8 eta 80 pi 800
omega 9 theta (teta) 90 obsoleta koppa 900 obsoleta sampi Como
exemplos do uso desses smbolos temos: 12 = , 21 = , 247 = . Para
nmeros maiores faziam-se acompanhar os smbolos de barras ou
acentos. Os smbolos obsoletos de digamma, koppa e sampi so Tambm so
cifrados os sistemas de numerao egpcio (hiertico e demtico),
cptico, hindu-brmane, hebreu, srio e arbico antigo. Os ltimos trs,
como o jni- co grego, eram sistemas de numerao alfabticos. 1.7
Sistemas de numerao posicionais Nosso prprio sistema de numerao um
exemplo de um sistema de numerao posicional. Para esse sistema,
depois de se escolher uma base b, adotam-se smbolos para 0, 1, 2,
..., b 1. Assim, h no sistema b smbolos bsicos, no caso de nosso
sistema frequentemente chamados dgitos. Qualquer nmero N pode ser
escrito de maneira nica na forma N = an bn + an 1 bn l + ... + a2
b2 + a1 b + a0 ,
34. 36 howard eves na qual 0 aib, i = 0, 1, ..., n. Por isso
ento representamos o nmero N na base b pela sequncia de smbolos an
an 1 ... a1 a2 a0 Assim, um smbolo bsico em qualquer numeral dado
representa um mltiplo de alguma potncia da base, potncia essa que
depende da posio ocupada pelo smbo- lo bsico. Em nosso prprio
sistema de numerao indo-arbico, por exemplo, 2 em 206 representa
2(102 ) ou 200, ao passo que em 27 o 2 representa 2(10) ou 20.
Deve- se notar que para clareza completa necessita-se de um smbolo
para o zero, a fim de indicar a ausncia possvel de alguma potncia
da base. Um sistema de numerao posicional uma consequncia lgica,
embora no necessariamente histrica, de um sistema de agrupamentos
multiplicativo. Os babilnios antigos desenvolveram, em algum
momento entre 3000 e 2000 a.C., um sistema sexagesimal que
empregava o princpio posicional. O sistema de numera- o babilnico ,
porm, misto, na medida em que, embora os nmeros superiores a 60
fossem escritos de acordo com o princpio posicional, os 60 nmeros
correspon- dentes ao grupo bsico eram escritos nos moldes de um
sistema de agrupamento simples decimal, conforme explanao dada na
Seo 1-4. Como ilustrao temos 524 551 = 2(603 ) + 25(602 ) + 42(60)
+ 31 = Esse sistema de numerao posicional ressentiu-se, at depois
do ano 300 a.C., da falta de um smbolo para o zero que
representasse as potncias ausentes de 60, levan- do assim a
possveis mal-entendidos na expresso de um nmero dado. Finalmente
introduziu-se um smbolo, consistindo em duas cunhas pequenas,
inclinadas, mas esse smbolo s era usado para indicar uma potncia
ausente de 60 dentro de um nmero, nunca quando ela ocorresse no seu
final. Esse smbolo era, portanto, apenas um zero parcial, pois um
zero verdadeiro serve para indicar as potncias ausentes da base
tanto no meio como no final dos nmeros, como o caso de nossos 304 e
340. No sistema de numerao babilnico, ento, 10 804 apareceria como
10804 = 3(602 ) + 0(60) + 4 = e 11040 como 11040 = 3(602 ) +4(60)
=
35. 37introduo histria da matemtica em vez de Muito
interessante o sistema de numerao maia. De origem remota e desco-
nhecida, foi descoberto pelas expedies espanholas a Yucatn no incio
do sculo XVI. Esse sistema essencialmente vigesimal, mas seu
segundo grupo vale (18)(20) = 360 em vez de 202 = 400. Os grupos de
ordem superior so da forma (18)(20n ). A explicao para essa
discrepncia provavelmente reside no fato de o ano maia consis- tir
em 360 dias. O smbolo para o zero dado na tabela abaixo, ou alguma
variante desse smbolo, era usado consistentemente. Escreviam-se os
vinte nmeros do grupo bsico de maneira muito simples por meio de
pontos e traos (seixos e gravetos) de acordo com o seguinte esquema
de agrupamentos em que o ponto representa o 1 e o trao o 5. A
seguir um exemplo de um nmero grande, escrito verticalmente maneira
maia 43487 = 6(18)(202 ) + 0(18)(20) + 14(20) + 7 = O sistema de
base mista que descrevemos era usado pela classe sacerdotal. H re-
latos de um sistema vigesimal puro usado pelo povo comum mas que no
sobreviveu em forma escrita. 1.8 Computao primitiva Muitos dos
modelos de computao usados hoje na aritmtica elementar, tais como
para a realizao de multiplicaes e divises, somente surgiram no
sculo XV. Duas razes so em geral aventadas para explicar esse
desenvolvimento tardio: as dificulda- des intelectuais e as
dificuldades materiais encontradas nesse trabalho.
36. 38 howard eves As dificuldades intelectuais devem ser em
parte desprezadas. A impresso de que os sistemas de numerao antigos
no eram favorveis mesmo aos clculos mais sim- ples em grande parte
baseada na falta de familiaridade com esses sistemas. claro que a
adio e a subtrao num sistema de agrupamentos simples requer apenas
a capacidade de contar o nmero de smbolos de cada espcie e a
converso, a seguir, em unidades de ordem superior. No se necessita
de nenhuma memorizao de com- binaes de nmeros. Num sistema de
numerao cifrado, memorizando-se o sufi- ciente das tbuas de adio e
multiplicao, o trabalho pode ser levado a efeito em grande parte
como o fazemos hoje. O matemtico francs Paul Tannery adquiriu
habilidade considervel na multiplicao com o sistema de numerao
jnico grego e concluiu mesmo que aquele sistema tinha algumas
vantagens sobre o que usamos. As dificuldades materiais encontradas
foram, porm, bastante reais. Sem um su- primento abundante e
conveniente de materiais adequados escrita, qualquer desen-
volvimento muito extensivo dos processos aritmticos estava sujeito
a impedimentos. Deve-se lembrar que o hoje comum papel de polpa
industrializado s existe h menos de cem anos. O antigo papel feito
de trapos era produzido manualmente e consequen- temente era caro e
escasso, isso sem falar que s foi introduzido na Europa no sculo
XII, embora seja provvel que os chineses j o conhecessem um milnio
antes. Os antigos egpcios inventaram um primitivo material de
escrita parecido com o papel o papiro, que por volta do ano 650
a.C. j havia sido introduzido na Grcia. Esse material era feito de
um junco aqutico chamado papu. Os talos desse junco eram cortados
em longas e delgadas tiras que eram colocadas lado a lado para
formar uma folha. Outra camada de tiras era colocada por cima e a
pea era ento embebida em gua, aps o que era imprensada e posta a
secar ao sol. provvel que devido a uma goma natural da planta as
camadas mantivessem-se unidas. Aps a secagem as folhas eram
preparadas para a escrita mediante um laborioso processo de
alisamento feito com um objeto redondo e rgido. O papiro era
demasiado valioso para ser usado abundantemente como simples papel
rascunho. Outro material de escrita primitivo era o pergaminho,
feito de peles de animais, em geral carneiros e cordeiros.
Naturalmente era raro e difcil de se obter. Mais valio- so ainda
era o papel pergaminho, um material feito da pele de vitelos. O
pergaminho era efetivamente to caro que na Idade Mdia surgiu o
costume de raspar a tinta de velhos manuscritos em pergaminho para
poder us-los outra vez. Tais manuscritos so chamados palimpsestos
(palin, outra vez; psao, raspado). Em alguns casos, com a pas-
sagem dos anos, o escrito original de um palimpsesto reaparecia por
baixo do trata- mento posterior. Algumas restauraes interessantes
foram feitas dessa maneira. Pequenas pranchas, carregando uma fina
camada de cera, juntamente com um es- tilo, compuseram o material
de escrita dos romanos de cerca de dois milnios atrs. Antes e
durante o Imprio Romano usaram-se frequentemente tabuleiros de
areia para Para o desempenho em multiplicaes e divises com numerais
romanos ver, por exemplo, Arithmetic with Roman numerals de James
G. Kennedy, The American Mathematical Monthly, 88, 1981, p.
29-33.
37. 39introduo histria da matemtica clculos simples e para
traados de figuras geomtricas. E, obviamente, muito cedo se usaram
pedras e argila para registros escritos. O meio de contornar essas
dificuldades intelectuais e materiais foi a inveno do baco (do
grego abax, tabuleiro de areia), que pode ser considerado o mais
antigo instrumento de computao mecnico usado pelo homem. Muitas
formas de baco aparecem em vrias partes do mundo antigo e medieval.
Descrevamos uma forma ru- dimentar de baco e ilustremos seu uso
numa adio e numa subtrao de alguns n- meros romanos. Tracemos
quatro segmentos de reta verticais paralelos e os rotulemos, da
esquerda para a direita, por M, C, X e I e tomemos uma coleo
conveniente de fichas como, por exemplo, pedras de algum tipo de
jogo. Uma ficha representar 1, 10, 100 ou 1000 unidades conforme
esteja colocada na linha I, X, C ou M. Para reduzir o n-
merodefichasquepodemaparecersubsequentementenumsegmento,convencionamos
substituir cada cinco fichas de um segmento por uma ficha a ser
colocada no espao exatamente esquerda desse segmento. Ento todo
nmero menor que 10000 pode ser representado em nosso quadro de
linhas, colocando-se no mximo quatro fichas em cada segmento e no
mximo uma ficha no espao esquerda de cada segmento. Efetuemos a
adio de MDCCLXIX e MXXXVII. Representemos o primeiro desses nmeros
por fichas no quadro, como se ilustra na parte esquerda da Figura
1. Vamos agora somar a ele o segundo nmero, operando da direita
para a esquerda. Para somar VII, ponhamos outra ficha entre os
segmentos X e I e mais duas fichas no segmento I. O segmento I tem
agora seis fichas. Removemos cinco delas em lugar das quais
colocamos outra ficha entre os segmentos X e I. Das trs fichas
agora entre os segmentos X e I transportamos duas, na forma de uma
nica ficha, para o segmento X. Somamos agora o XXX pondo mais trs
fichas no segmento X. Como agora temos um total de cinco fichas no
segmento X podemos substitu-las por uma nica ficha entre os
segmentos C e X. As duas fichas que se tm agora entre C e X so
substitudas por uma nica ficha no segmento C. Para, finalmen- te,
somar o M basta pr outra ficha no segmento M. A parte direita da
Figura 1 ilustra o aspecto final de nosso quadro e a soma pode ser
lida como MMDCCCVI. Dessa forma obtivemos a soma de dois nmeros por
meio de simples operaes mecnicas, sem a necessidade de papel
rascunho. Figura 1 A subtrao se efetua de maneira anloga, salvo
que, neste caso, em vez de trans portar para a esquerda, pode vir a
ser necessrio emprestar da esquerda.
38. 40 howard eves A representao de um nmero no sistema de
numerao indo-arbico se faz de maneira muito simples, bastando
registrar em ordem o nmero de fichas dos vrios segmentos do baco. O
smbolo 0 representa um segmento sem nenhuma ficha. Nos- sos atuais
modelos de adio e subtrao, tanto quanto os conceitos de transportar
e emprestar, podem ter se originado nos processos de efetuar essas
operaes por meio do baco. Uma vez que no sistema de numerao
indo-arbico trabalhamos com smbolos em vez de com fichas, torna-se
necessrio memorizar as combinaes simples de nmeros ou recorrer a
uma tbua de adio elementar. 1.9 O sistema de numerao indo-arbico O
sistema de numerao indo-arbico tem esse nome devido aos hindus, que
o in- ventaram, e devido aos rabes, que o transmitiram para a
Europa Ocidental. Os mais antigos exemplos de nosso atuais smbolos
numricos encontram-se em algumas colunas de pedra erigidas na ndia
por volta do ano 250 a.C. pelo rei Aoka. Outros exemplos primitivos
na ndia, se corretamente interpretados, encontram-se em re- gistros
talhados por volta do ano 100 a.C. nas paredes de uma caverna numa
colina perto de Poona e em algumas inscries de por volta do ano 200
d.C., gravadas nas cavernas de Nasik. Essas primeiras amostras no
contm nenhum zero e no utilizam a notao posicional. Contudo, a
ideia de valor posicional e um zero devem ter sido introduzidos na
ndia algum tempo antes do ano 800 d.C., pois o matem- tico persa
Al-Khowrizm descreveu de maneira completa o sistema hindu num livro
do ano 825 d.C. Como e quando os novos smbolos numerais entraram na
Europa so questes ainda no decididas. Muito provavelmente eles
foram levados por comerciantes e viajantes pelas costas do
Mediterrneo. Esses smbolos se encontram num manuscrito espanhol do
sculo X, sendo possvel que tenham sido introduzidos na Espanha
pelos rabes que invadiram a pennsula ibrica no ano 711 d.C., onde
permaneceram at 1492 d.C. Mas foi uma traduo latina do tratado de
Al-Khowrizm, feita no sculo XII, seguida de alguns trabalhos
europeus sobre o assunto, o que fez com que o siste- ma se
disseminasse mais amplamente. Os quatro sculos seguintes assistiram
a uma verdadeira batalha entre abacistas e algoristas, como eram
chamados os defensores do novo sistema, mas em torno do ano 1500 as
atuais regras de computao acabaram se impondo. Mais um sculo e os
aba- cistas haviam sido quase esquecidos, sendo que perto do sculo
XVIII no restava mais nenhum trao do baco na Europa Ocidental. Seu
reaparecimento, como uma curio- sidade, deveu-se ao gemetra francs
Poncelet, que levou um espcime para a Frana depois de ser libertado
como prisioneiro de guerra na Rssia, onde participara da campanha
napolenica. At que os smbolos dos numerais indo-arbicos se
estabilizassem, com a inveno da imprensa de tipos mveis, muitas
modificaes em sua grafia se verificaram. Nossa
39. 41introduo histria da matemtica palavra zero provavelmente
provm da forma latinizada zephirum derivada de sifr que uma traduo
para o rabe de sunya, que em hindu significa vazio ou vcuo. A
palavra rabe sifr foi introduzida na Alemanha, no sculo XIII, por
Nemorarius, como cifra*. O abacista versus o algorista (De
Margarita Philosophica, de Gregor Reisch, Strasburgo, 1504) *Em
portugus cifra significa, entre outras coisas, zero (N. T.)
40. 42 howard eves 1.10 Bases arbitrrias Lembremos que para
representar um nmero num sistema de numerao posicio- nal de base b
precisamos de smbolos bsicos para os inteiros de 0 at b 1. Embora a
base b = 10 seja uma parte importante de nossa cultura, a escolha
do 10 de fato bastante arbitrria, e outras bases tm grande
importncia, tanto prtica como teri- ca. Se b 10, podemos usar os
algarismos usuais. Assim, por exemplo, podemos considerar 3012 como
um nmero expresso na base 4 com os smbolos 0, 1, 2 e 3. Para tornar
claro que se trata de um nmero expresso na base 4 escrevemos
(3012)4. Quan- do no se usa nenhum ndice subentende-se que o nmero
est expresso na base usual 10. Se b10, devemos acrescentar aos
nossos algarismos outros smbolos bsicos, pois necessita-se de b
smbolos bsicos. Assim, se b = 12, podemos tomar 0, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9, t, e como smbolos bsicos, nos quais t e e so os smbolos
para o dez e para o onze, respectivamente. Como exemplo poderamos
considerar (3t1e)12 . fcil passar um nmero de uma dada base para a
base usual 10. Por exemplo (3012)4 = 3(43 ) + 0(42 ) + 1(4) + 2 =
198 e (3t1e)12 = 3(123 ) + 10(122 ) + 1(12) + 11 = 6647. A seguir
mostraremos como passar um nmero da base usual para uma base b. Se
N o nmero, temos de determinar os inteiros an , an 1 , ..., a0 na
expresso N = an bn + an 1 bn 1 + ... + a2 b2 + a1 b + a0 , em que 0
aib. Dividindo a igualdade acima por b obtemos N/b = an bn 1 + an 1
bn 2 + ... + a2 b + a1 + a0 /b = N + a0 /b. Isto , o resto a0 dessa
diviso o ltimo algarismo da representao desejada. Di- vidindo-se N
por b obtm-se N /b = an bn 2 + an 1 bn 3 + ... + a2 + a1 /b, e o
resto dessa diviso o vizinho do ltimo dgito na representao
desejada. Proce- dendo dessa maneira obteremos todos os dgitos a0 ,
a1 ..., an . Esse procedimento pode ser sistematizado de maneira
bastante conveniente como se mostra a seguir. Suponha- mos, por
exemplo, que se pretenda expressar 198 na base 4. Encontramos:
41. 43introduo histria da matemtica 198 4 2 49 4 1 12 4 0 3 4 3
0 Como os restos sucessivos so 2, 1, 0 e 3, a representao desejada
(3012)4 . Su- ponhamos agora que se pretenda representar 6647 na
base 12, onde, de novo, se empregaro t e e para representar dez e
onze, respectivamente. Obtemos: 6647 12 e = 11 553 12 1 46 12 t =
10 3 12 3 0 A representao pedida , portanto, (3t1e)12 . H a
propenso a esquecer, quando se est somando ou multiplicando em
nosso sistema de numerao, que o trabalho real efetuado mentalmente
e que os smbolos numricos so usados simplesmente para registrar os
resultados mentais. Nosso xito e eficincia ao efetuar tais operaes
aritmticas dependem de quo bem tenhamos em mente as tbuas de adio e
multiplicao a cujo aprendizado so dedicadas tantas horas das
primeiras sries escolares. Com tbuas correspondentes construdas
para uma base b podemos igualmente efetuar adies e multiplicaes no
novo sistema sem, em momento nenhum, ter que fazer a transformao
para o sistema decimal. Ilustremos esse fato com a base 4. Primeiro
construmos as tbuas da adio e da multiplicao correspondentes. Adio
Multiplicao 0 1 2 3 0 1 2 3 0 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 1 2 3 10 1 0 1 2
3 2 2 3 10 11 2 0 2 10 12 3 3 10 11 12 3 0 3 12 21 Com referncia a
essas tbuas, a soma de 2 com 3 11 e o produto de 2 por 3 12. Usando
essas tbuas, exatamente como estamos habituados a usar as tbuas
corres- pondentes da base 10, podemos efetuar adies e multiplicaes.
Por exemplo, para a multiplicao de (3012)4 por (233)4 temos,
omitindo o ndice 4,
42. 44 howard eves 3012 233 21102 21102 12030 2101122 Para se
efetuarem as operaes inversas, subtrao e diviso, necessita-se de
consi- dervel familiaridade com as tbuas. Isso, obviamente, tambm
vlido para a base 10; a razo das dificuldades encontradas no ensino
dessas operaes nos graus elemen- tares reside nesse fato. Exerccios
1.1 Palavras-nmero Fornea as explicaes para as seguintes
palavras-nmero primitivas. (a) Para uma tribo papua do sudeste da
Nova Guin foi necessrio traduzir a pas- sagem da Bblia (Joo 5:5):
Estava ali um homem que, h trinta e oito anos, se en- contrava
enfermo da seguinte maneira: Um homem caiu doente um homem, ambas
as mos, 5 e 3 anos. (b) Na Nova Guin britnica, o nmero 99 se
exprime como quatro homens mortos, duas mos at o fim, um p completo
e quatro. (c) A tribo Kamayura da Amrica do Sul usa a palavra
dedo-mximo para o 3, de modo que 3 dias se exprime por dedo-mximo
dias. (d) Os zulus da frica do Sul usam a seguinte equivalncia: 6
(polegar recolhido), 7 (ele apontado). (e) Os malink do Sudo
Ocidental usam a palavra dibi para 40. Essa palavra sig- nifica
literalmente um colcho. (f ) A tribo Mandingo da frica Ocidental
usa a palavra kononto para 9. Essa pala- vra significa literalmente
para algum que est no ventre. 1.2 Nmeros escritos Escreva 574 e 475
em numerais (a) hieroglficos egpcios, (b) romanos, (c) gregos
ticos, (d) cuneiformes babilnicos, (e) tradicionais
chineses-japoneses, (f ) gregos al fabticos, (g) maias.
43. 45introduo histria da matemtica Indique em numerais
romanos: (h) 1/4 de MCXXVIII, (i) 4 vezes XCIV. Indique em numerais
gregos alfabticos: (j) 1/8 de , (k) 8 vezes . 1.3 Sistema de
numerao grego alfabtico (a) Quantos smbolos diferentes devem ser
memorizados para escrever os nmeros menores do que 1000 no sistema
alfabtico grego? E no sistema hieroglfico egpcio? E no sistema
babilnico cuneiforme? (b) No sistema de numerao grego alfabtico os
nmeros 1000, 2000, ..., 9000 eram muitas vezes representados
apostofrando-se os smbolos de 1, 2, ..., 9. Assim o 1000 poderia
aparecer como . O smbolo para 10000, ou mirade, era M. Usava-se o
princpio da multiplicao para os mltiplos de 10000. Assim 20000,
300000 e 4000000 eram indicados por M, M e M. Escreva com numerais
gregos alfabticos os nmeros 5780, 72803, 450 082 e 3257888. (c) Faa
uma tbua da adio at 10 + 10 e uma tbua da multiplicao at 10 x 10
para o sistema de numerao grego alfabtico. 1.4 Sistemas de numerao
antigos e hipotticos (a) Como uma alternativa aos smbolos de
numerais cuneiformes, os babilnios s vezes usavam smbolos de
numerais circulares, assim chamados por serem formados de impresses
em forma circular feitas com um estilo de extremidade circular numa
tbula de argila. Nesse caso os smbolos para o 1 e o 10 eram e .
Escreva com numerais babilnicos circulares os nmeros: 5780, 72 803,
450 082 e 3 257 888. (b) Enuncie uma regra simples para multiplicar
por 10 um nmero expresso em numerais hieroglficos. (c) Um sistema
de numerao muito interessante ochins cientfico (ou em barras) que
provavelmente remonta no tempo a mais de dois milnios. O sistema
essencial- mente posicional, de base 10. A Figura 2 mostra como se
representam os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 quando
aparecem em posies mpares (unidades, centenas etc.). Mas esses
dgitos, quando aparecem em posies pares (dezenas, milhares etc.),
so representados como mostra a Figura 3. Nesse sistema passou-se a
usar um crculo, , como zero a partir da dinastia Sung (960-1126).
Escreva, com numerais em barra, os nmeros 5780, 72 803, 450 082 e 3
257 888. Figura 2
44. 46 howard eves (d) Num sistema de agrupamentos simples de
base 5 representemos 1, 5, 52 e 53 por /, *, e . Expresse os nmeros
360, 252, 78 e 33 nesse sistema. (e) Num sistema de numerao
posicional de base 5 representemos 0, 1, 2, 3 e 4 por #, /, *, e .
Expresse os nmeros 360, 252, 78 e 33 nesse sistema. Figura 3 1.5
Nmeros digitais (a) A representao de nmeros por meio de dedos foi
usada por muitos sculos; desse uso desenvolveram-se processos para
a realizao de clculos simples. Um desses processos, que permite
obter o produto de dois nmeros entre 5 e 10, servia para re- duzir
o trabalho de memorizao ligado a tbuas de multiplicao. Por exemplo,
para multiplicar 7 por 9, erga 7 5 = 2 dedos de uma das mos e 9 5 =
4 da outra. A soma 2 + 4 = 6 dos dedos erguidos fornece as dezenas,
ao passo que o produto 3 x 1 dos dedos fechados fornece as unidades
do produto que , portanto, 63. Esse processo ainda utilizado por
alguns camponeses europeus. Prove que ele sempre conduz a
resultados corretos. (b) Explique o quebra-cabea do sculo IX s
vezes atribudo a Alcuno (c. 775): Eu vi um homem com 8 em sua mo, e
do 8 ele tirou 7, e o que restou foi 6. (c) Explique o texto
seguinte, encontrado na dcima stira de Juvenal: Feliz de fato ele
que retardou tanto a hora de sua morte que ao fim enumerou seus
anos sobre sua mo direita. 1.6 Notao posicional para fraes Os
nmeros fracionrios podem ser expressos, na base usual, por dgitos
que seguem a vrgula decimal. Pode-se usar tambm a mesma notao para
outras bases; portanto, da mesma forma que 0,3012 representa 3/10 +
0/102 + 1/103 + 2/104 a expresso (0,3012)b representa 3/b + 0/b2 +
1/b3 + 2/b4 . Uma expresso como (0,3012)b pode ser chamada de frao
posicional na base b. No caso b = 10 o nome usado frao
decimal.
45. 47introduo histria da matemtica (a) Mostre como transformar
uma frao posicional na base b numa frao de cimal. (b) Mostre como
transformar uma frao decimal numa frao posicional na base b. (c)
Aproxime at a quarta casa, como fraes decimais, as fraes
posicionais (0,3012)4 e (0,3t1e)12 . (d) Aproxime at a quarta casa,
como frao posicional, primeiro na base 7 e depois na base 12, a
frao decimal 0,4402. 1.7 Aritmtica em outras bases (a) Construa as
tbuas de adio e multiplicao nas bases 7 e 12. (b) Efetue a adio e a
multiplicao de (3406)7 e (251)7 , primeiro usando as t- buas da
parte (a) e depois fazendo a converso para a base 10. Faa o mesmo
com (3t04e)12 e (51tt)12 . (c) Podemos aplicar as tbuas da base 12
para problemas de mensurao simples envolvendo ps e polegadas. Por
exemplo, se tomarmos um p como unidade, ento 3 ps e 7 polegadas* se
tornam (3,7)12 . Para encontrar, com a mxima aproximao at polegadas
quadradas, a rea de um retngulo de 3 ps e 7 polegadas de base por 2
ps e 4 polegadas de altura, podemos multiplicar (3,7)12 por (2,4)12
e ento converter o resultado em ps quadrados e polegadas quadradas.
Complete esse exemplo. 1.8 Problemas envolvendo notao em outras
bases (a) Expresse (3012)5 na base 8. (b) Em que base se tem 3 x 3
= 10? E 3 x 3 = 11? E 3 x 3 = 12? (c) Pode um nmero par ser
representado em alguma base por 27? E por 37? Pode um nmero mpar
ser representado em alguma base por 72? E por 82? (d) Determine b
de maneira que 79 = (142)b . Determine b de maneira que 72 =
(2200)b. (e) Um nmero de trs algarismos na base 7 se expressa pelos
mesmos algarismos, porm na ordem contrria, na base 9. Determine os
trs algarismos. (f ) Qual a menor base em que 301 representa um
inteiro quadrado? (g) Se b2, mostre que (121)b um inteiro quadrado.
Se b4, mostre que (40001)b divisvel por (221)b . * 1 p = 12
polegadas. (N. T.)
46. 48 howard eves 1.9 Alguns aspectos recreativos da base
binria O sistema de numerao posicional binrio tem aplicaes em vrios
ramos da matemtica. H tambm muitos jogos e quebra-cabeas, como o
bem conhecido jogo Nim e o quebra-cabea dos anis chineses, cujas
solues dependem desse sistema. Seguem-se dois quebra-cabeas simples
dessa natureza. (a) Mostre como se pode pesar, com uma balana de
pratos simples, um peso w de um nmero inteiro de libras, usando-se
pesos de uma libra, duas libras, 22 libras, 23 libras e assim por
diante, havendo apenas um peso de cada tipo. (b) Considere as
quatro fichas seguintes, formadas por nmeros de 1 a 15. 1 9 2 10 4
12 8 12 3 11 3 11 5 13 9 13 5 13 6 14 6 14 10 14 7 15 7 15 7 15 11
15 Na primeira ficha esto todos os nmeros cujo ltimo algarismo na
base binria 1; na segunda esto todos os nmeros cujo segundo
algarismo, a partir da direita, 1; na terceira esto aqueles cujo
terceiro algarismo, a partir da direita, 1; e na quarta aqueles
cujo quarto algarismo, a partir da direita, 1. Pede-se ento que
algum pen- se num nmero N de 1 a 15 e para dizer em que fichas se
encontra esse nmero. Fica fcil ento descobrir o nmero N: basta
somar os nmeros que ficam no topo, es- querda, das fichas em que
ele aparece. Construa um conjunto semelhante de seis fichas para
descobrir qualquer nmero de 1 a 63. J se observou que, se os nmeros
fossem escritos em fichas pesando 1, 2, 4, ... unidades, ento um
autmato, na forma de uma balana postal, automaticamente expressaria
o nmero N. 1.10 Alguns truques numricos Muitos dos truques
numricos, nos quais se deve adivinhar um nmero escolhido, tm
explicaes que dependem de nosso prprio sistema posicional. Descubra
os se- guintes truques dessa natureza: (a) Pede-se a uma pessoa que
pense num nmero de dois algarismos. Solicita-se ento a ela para
multiplicar o algarismo das dezenas do nmero pensado por 5, somar
7, dobrar, somar o algarismo das unidades do nmero original e
anunciar o resultado final. Subtraindo-se 14 desse resultado,
descobre-se o nmero pensado. (b) Pede-se a algum que pense num
nmero de trs algarismos. Solicita-se a esse algum para multiplicar
o algarismo das centenas por 2, somar 3, multiplicar por 5,
47. 49introduo histria da matemtica somar 7, somar o algarismo
das dezenas, multiplicar por 2, somar 3, multiplicar por 5, somar o
algarismo das unidades e anunciar o resultado. Subtraindo-se
secretamente 235 desse resultado, obtm-se o nmero pensado. (c)
Solicita-se a algum que pense num nmero de trs algarismos tal que o
alga- rismo das unidades e o das centenas sejam diferentes. Pede-se
ento que esse algum encontre a diferena entre o nmero pensado e o
nmero obtido invertendo-se a ordem dos algarismos. Aps a revelao do
ltimo algarismo dessa diferena, pode-se dizer com certeza qual a
diferena. Como se faz isso? Temas 1/1 Possvel senso numrico no
mundo animal. 1/2Evidncias lingusticas do uso, em alguma poca, de
bases diferentes da deci- mal. 1/3 Vantagens e desvantagens de
bases diferentes da decimal. 1/4 A histria dos materiais de
escrita. 1/5 A luta entre abacistas e algoristas. 1/6 Nmeros e
aritmtica digitais. 1/7 A aritmtica no baco. 1/8 O quipo antigo.
1/9 Aritmtica maia. 1/10 Barras de calcular. 1/11 O zero babilnico.
1/12 Tabus numricos. 1/13 O mistrio da pedra de Kensington. 1/14
Algumas origens fantasiosas dos nossos smbolos numerais.
1/15Confronto entre o baco e a calculadora eletrnica de mesa.
Bibliografia ANDREWS, F. E. New Numbers. Nova York, Harcourt,
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geral como suplemento desta e das bibliografias nos captulos
seguintes.
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50. Panorama Cultural II A Revoluo Agrcola Os beros da
civilizao c. 3000-525 a.C. (Para acompanhar o Captulo 2) Perto do
final da Idade da Pedra, em certas partes do mundo, os povos foram
impe- lidos para uma agricultura intensiva e em grande escala, em
virtude de mudanas no clima do mundo. As vastas e ervosas savanas
onde os caadores da Idade da Pedra viviam comearam a se contrair no
fim do perodo Neoltico, como acontece ainda hoje. Em alguns
lugares, as florestas em expanso comearam a invadir as savanas; em
outros lugares as savanas se tornaram ridas e sem vida,
transformando-se em desertos. Conforme seu meio ambiente mudava, o
homem adaptava-se como podia. Na Europa, sul da frica, sudeste da
sia e a leste das Amricas do Norte e do Sul, os povos deslocaram-se
para novas florestas e tornaram-se caadores dos bosques, o que
requeria uma adaptao menor. Nos crescentes desertos do norte da
frica, do Oriente Mdio e da sia Central, porm, a transformao no foi
to simples. Conforme a vegetao murchava e os ribeiros secavam,
conforme dunas de areia enormes punham-se em marcha a partir dos
centros dos novos desertos, os animais que haviam vivido nessas
regies deixavam- nas, abrindo caminho para algum osis, e seguindo
em frente quando o osis secava. Os homens seguiam os animais em sua
fuga ante o avano das imensas dunas, even- tualmente
estabelecendo-se nas margens dos desertos em regies midas
semelhantes a osis. Esses novos lugares eram como cisternas para
todas as formas de vida, incluin- do os seres humanos, e grande
nmero de homens e mulheres passaram a viver neles depois de sua
fuga do deserto. Na frica, com o avano do deserto do Sahara, que
fora outrora uma pradaria ondulante, o vale do rio Nilo oferecia
gua para os animais que migravam e para seus caadores humanos. No
Oriente Mdio, os rios Tigre e Eufrates, dividindo um nico vale,
formavam uma cisterna para aqueles que fugiam do crescente deserto
rabe. O vale do rio Indo, na periferia do deserto de Thar na ndia e
o vale do rio Amarelo na China, junto ao deserto de Gobi, tambm
serviam de cisternas. Nas Amricas, embora em poca posterior, a
plancie costeira do Pacfi- co tornou-se seca e murcha, e os povos
escalaram os altos picos da serra Madre no Mxico e Amrica
Centr