Introdução à Informação Quântica

Amir O. Caldeira

IFGW-UNICAMP

Sumário da palestra

• Introdução; a evolução histórica das áreas

que geraram a Informação Quântica.

• A Teoria Clássica da Informação.

• A Mecânica Quântica.

• A Informação Quântica.

• Comentários finais.

O desenvolvimento das diferentes

áreas

Física Quântica

Teoria da Computação

Teoria da Informação

Criptografia

Informação Quântica

Computação Quântica

• Na virada do século XX a

Física Clássica não

consegue explicar diversos

fenômenos observados

experimentalmente.

• Hipóteses de Planck,

Einstein, Bohr e de

Broglie culminam com a

criação de uma nova teoria

na década de 20;

A Mecânica Quântica

A Mecânica Quântica

• Um novo paradigma para as

teorias físicas.

• A dualidade partícula-onda e a

formulação matricial;

Schrödinger & Heisenberg.

• A visão unificada de Dirac.

• O que é o sistema físico? A

ênfase na observação; a teoria

da medida. von Neumann.

A Teoria da Computação

• Ábaco de areia inventado provavelmente na Babilônia em torno de 3000 a.C.

• Matemático babilônio desenvolve algoritmos de cálculo numérico em torno de 1800 a.C.

• Ábacos gregos e romanos em torno de 400 a.C.

• Na década de 30, Alan Turing desenvolve o conceito teórico de um computador programável; a máquina de Turing. “ Qualquer algoritmo pode ser eficientemente simulado em uma máquina de Turing”

• Pouco tempo depois John vonNeumann desenvolve o modelo teórico de como implementar a máquina de Turing

Desenvolvimento recente:

• “ Hardware” só teria impulso no final dos anos 40 após o desenvolvimento do transistor por Bardeen, Brattain e Shockley; Prêmio Nobel de Física de 1956

A Teoria da Informação

• Na década de 40 Claude Shannondesenvolve matematicamente o conceito de informação. Quantificação do armazenamento e transmissão de informação. Codificação da informação em canais com e sem ruído e códigos de correção de erros.

Questões da teoria de informação

• Que recursos ou meios são necessários para a transmissão de informação através de canais de comunicação?• Como esta informação pode ser protegida de influências externas (ruído) enquanto estiver sendo transmitida?

Ambas respondidas pelos dois teoremas de codificação de Shannon

Criptografia

• Métodos de comunicação secreta foram desenvolvidos por inúmeras civilizações antigas na Mesopotâmia, Egito, Índia, China...

• Os espartanos desenvolveram a CÍTALA em torno de 400 a.C.

• Durante a segunda grande guerra ocorrem avanços significativos na criptografia ; Alan Turing e a equipe de Bletchley Park na Inglaterra quebram os códigos cifrados da ENIGMA (máquina de cifrar usada pelos alemães) ; desenvolvimento do primeiro computador digital, o COLOSSUS !

• Em 1949, contribuição seminal de Shannon: "Communication theory of secrecy systems".

Desenvolvimento recente:

Teoria clássica da informação

• Envio de informação – letras, palavras, números –

através de canais de comunicação que operam de acordo

com as leis da física clássica.

• Codificação da informação : sistema binário.

• O sistema decimal

1120 = 1 x 103 + 1 x 102 + 2 x 101 + 0 x 100

21 = 2 x 101 + 1 x 100

• O sistema binário

21 = 16 + 4 + 1 = 1 x 24 + 0 x 23 + 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x

20 10101; representação alternativa para os números

Exemplo:Deseja-se enviar mensagens com as 23 letras do alfabeto e símbolos de pontuação . , : ; ! ? -

30 elementos

a cada elemento corresponde um número; 1,2,...30

30 = 1 x 24 + 1 x 23 + 1 x 22 + 1 x 21 + 0 x 20

= 11110

Precisa-se de 5 dígitos por elemento e cada um deles = 0 ou 1. Diferentes codificações maior eficiência na transmissão ou armazenamento.

dígito 0 ou 1 é o chamado de informação “ bit ’’

• Por quê o sistema binário?Operacionalização: geração do bit

Elemento Físico

excitação

Determinada característica é ativada 1

Não há ativação da característica em questão

0

Se usarmos uma composição de elementos físicos como o anterior

1

0

0

1

1

0

1

EmissorA

ReceptorB

Canais de transmissãoRealisticamente

apresentam erros na comunicação dos bits

Saída

Esquema da transmissão de informação

Entrada

Codificação em canais sem ruído (Shannon I)

Na codificação ótima uma mensagem de n símbolos

de um alfabeto de d elementos, {a1,...ad}, requer

),...,,( 21 npppnH

bits para ser transmitida confiavelmente, onde

∑=

−=d

i

iidpppppH

1

21log),...,,(

é a Entropia de Shannon

Codificador Descodificador

Entrada Canal clássico sem ruído

(compressão de dados)

Saída

Esquematicamente

Cn Dn

Codificação em canais com ruído (Shannon II)

A capacidade de um canal N , com ruído, é dada por

):(max)()(

YXHCxp

=N

):( YXHonde é a informação (entropia) mútua

de X e Y

),()()():( YXHYHXHYXH −+=

X é o conjunto de entrada e Y o de saída

Codificador Descodificador

EntradaX

SaídaY

Esquematicamente

Canal clássico com ruído

(compressão de dados)

Cn Dn

• os bits são os elementos básicos na teoria clássica da informação, mas o elemento físico tende a ser cada vez menor para o melhor desempenho no armazenamento, transmissão e processamento da informação

miniaturização

• tão pequenos que as leis da física clássica não mais se aplicam a eles bits de sistemas regidos pela física quântica “ qubit ’’

• Quem são e como se comportam ?Para responder questões como estas precisamos de alguns conceitos novos.

A Mecânica Quântica

• Um conjunto de postulados que descreve a evolução temporal e os resultados de observações de grandezas de um sistema físico.

• Seus efeitos são fortemente evidenciados nas escalas molecular, atômica e sub-atômica.

• Na escala macroscópica, aquela do nosso cotidiano, a física quântica reproduz os resultados e previsões da física clássica.

• Miniaturização nos leva a bits de dimensões suficientemente pequenas para que a mecânica quântica entre em cena

• Os postulados

1. O estado físico e o espaço de Hilbert2. Os observáveis e os operadores hermitianos3. Auto valores e resultados da medida4. Probabilidades dos diferentes auto valores5. Redução do pacote de onda6. Operadores unitários e a evolução temporal7. Quantização canônica

“ qubit ’’

No nosso caso de interesse...

• Espaço de Hilbert bidimensional Spin do elétron, polarização do fóton, sistemas de dois níveis em geral ;

↓=↑= )0()1( φφ ou

base associada os valores 1 ou 0 do bit clássico. Auto estados do observável !

−

=10

01z

σ

Mas, em Mecânica Quântica existe o...

zσ

Princípio da superposição

22

)()(↓−↑

=↓+↑

= −+ φφ ou

que são os auto - estados do operador

=

01

10x

σ

Em geral

↓+↑= θθψ sincos Estado puro

xσ

N qubits: espaço de Hilbert é um produto direto

NNψψψψψψψ ,...,,...

2121=⊗⊗⊗=

Base do espaço

)()(

2

)(

1},...,{,...,, 21

21

N

N

i

N

ii

iiiφφφφ =

é um produto direto de estados puros

ExemploN

↓↑↑ ,...,,21

NΞ⊗⊗Ξ⊗Ξ⊗Ξ ...

321

Forma genérica do estado

∑=

=1

0,...,

)()(

2

)(

1},...,{

21

21

21

,...,,N

N

N

iii

i

N

ii

iiic φφφψ

que em geral não é um produto direto !

2

,,2121

↓↓+↑↑=ψ

Exemplo em

Emaranhados

21Ξ⊗Ξ

2

,...,,,...,,2121 NN

↓↓↓+↑↑↑=ψ

Emaranhados de N qubits

Se N é macroscopicamente grande...

O gato de Schrödinger

Misturas estatísticas

Membros de um ensemble descritos por e aos quais se atribui uma distribuição clássica de probabilidades {pi}

iψ

ii

i

ip ψψρ ∑≡

Se teremos para o subsistema 1

ρρ21

tr=

Quando o estado é puro ψψρ ≡

21Ξ⊗Ξ=Ξ

Misturas são importantes para se descrever o comportamento de sistemas não-isolados em Mecânica Quântica, em particular, a sua dinâmica.

inressHHHH ++=

Sistema isoladoSistema

não-isolado

Equação de Schrödingerpara o estado puro

Equação de Liouvillepara a mistura

↓=↑= )0()1( φφ ou

↓=)0(φ

Novamente queremos atuar em vários elementos físicos. Agora os elementos são quânticos0 ou 1

Elemento Físico

excitação

Determinada característica é ativada

Não há ativação da característica em questão

↑=)1(φ

Informação Quântica

Stern-Gerlach

?

?

?

?

?

?

?

Qubits podem ser preparados por inúmeros “magnetos” orientados para medir ou e, portanto, encarados como qubits não-ortogonais

↑

↑

↓

−

−

↑

+

xσ

zσ

Comunicação de dados quânticos

A deseja enviar N qubits para B: sem medir!!!

↑

↑

↓

−

−

↑

+

↑

+

↑

↓

−

−

↑

Fonte de informação quântica

iψ com probabilidade i

p

Operador densidadeii

i

ip ψψρ ∑≡

iψ não necessariamente ortogonais

Não podem ser medidos sem que sejam destruídos e não podem ser copiados (no – cloning )

Codificação em canais quânticos sem ruído(Schumacher)

Na codificação ótima uma mensagem de n símbolos

de um alfabeto de d elementos, {a1,...ad}, requer

)(ρnS

qubits para ser transmitida confiavelmente, onde

é a entropia de von Neumann

ρρρ log)( trS −≡

Esquematicamente

ρ ρ ′ ρ ′′

n logdqubits

n logdqubits

)(ρnS

qubits

Cn Dn

Fidelidade no i – ésimo canal 2

ii ψψ ′

Compressão de dados quânticos (Schumacher)

Fótons com polarização horizontal

Fótons com polarização a 45o

1ou↑≡

+≡

( )↔↔+↔↔=2

1ρ

A

BPar EPR

2 bits clássicos

1qubit

1qubit

Teleportação

Comunicação sem o envio dos qubits

Base de Bell para o par EPR

( )ABABAB

01102

1)( +=+ψ

( )ABABAB

01102

1)( −=−ψ

( )ABABAB

00112

1)( +=+φ

( )ABABAB

00112

1)( −=−φ

Emaranhamento com C

( ) ( )ABABCCABC

ba 00112

110

)( ++=+φψ

BzACByAC

BxACBACABC

i ψσφψσψ

ψσψψφφψ

)()(

)()()(

2

1)(

2

1

2

1

2

1

−−

+++

+−+

++=

A comunica classicamente (2 bits) a B o resultado de sua medida na base de Bell.B através de transformações unitárias obtém o estado original!

Note que ao determinar a característica do composto (A+C) o objeto C desaparece!

Objetos quânticos não podem ser copiados(no – cloning)

Fax clássico X Teletransporte

Original cópiaIntacto

dadosGravação tratamento

Original matéria prima

Original objetodestruido teletransportado

(2+3) (1)

dadosGravação B A

32 1

Original EPR

Codificação superdensa quântica

A

BPar EPR

2 bits clássicos

2 bits clássicos

1qubit

Canais com ruído, decoerência e correção de erros

• Descrição do ruído em mecânica quântica: acoplamento com um meio externo, o reservatório

• Operador densidade representativo de uma mistura estatística = emaranhado (estado puro)do sistema composto

• Dinâmica irreversível do sub-sistema de interesse (N – qubits ) = evolução unitária do sistema composto

Esquematicamente

Codificação em canais quânticos com ruído (Holevo – Schumecher – Westmoreland)

A capacidade de um canal quântico , com

ruído, é dada por

( )( )

−

= ∑∑ j

j

j

j

jjp

SppSCii

ρϑρϑϑρ },{

max)(

ϑonde é uma operação quântica que preserva o traço

)(ϑC

Correção de erro

Emaranhamento de um qubit com outros pode transportá-lo confiavelmente

A

B

pergunta

resposta

confirma

O(N) bitsO(sqrt(N) logN) qubits

Uma das possíveis vantagens da transmissão por canais quânticos

• Vimos como o uso de emaranhados em apenas 1 canal pode trazer resultados surpreendentes à teoria de comunicação.

• Importância grande em criptografia. Não –clonagem protege o envio de mensagens codificadas.

• Processamento de informação lado a lado com o desenvolvimento da computação quântica. Uma preocupação...quebra de senhas.

Comentários gerais:

Avanço na implementação prática destes conceitos

Manipulação individual de sistemas quânticos

• íons em armadilhas lineares• fótons em cavidades ópticas• spins em pontos quânticos• fluxóides em dispositivos supercondutores• NMR em moléculas

Comentários finais

• Informação + Computação Quântica; maior eficiência no armazenamento, processamento e transmissão da informação paralelismo viaemaranhamento.

• Influência do meio em processadores e canais quânticos de comunicação decoerência

efeitos quânticos rapidamente destruidos.Códigos quânticos de correção de erros.

• Exploração de recursos de multi-canais quânticosainda em desenvolvimento.

• Mais aplicações ?

• Problemas em aberto?

• Implementação em escala industrial ?

A área ainda está na sua infância e respostas a estas questões serão dadas nas próximas

décadas !