Introdução à informática por Diego Brandão e-mail: [email protected] web: dbrandao

Introdução à informática

porDiego Brandão

e-mail: [email protected]: http://www.ic.uff.br/~dbrandao

Sistema numérico

• Objetivo do Módulo :

Entendimento e estudo dos sistemas numéricos utilizado na informática, com entendimento e domínio das

operações aritméticas do sistema binário e hexdecimal.

Sistema numérico - decimal

• Concebido pelos hindus cerca de 2000 anos atrás. Posteriormente foi adotado pelos árabes que o introduziram aos europeus.

• Também denominado sistema arábico porque utiliza símbolos arábicos para representar os dez algarismos ou dígitos (dedo em Latim) que a base suporta: (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9).

• Base é a quantidade de símbolos disponíveis para representar os diferentes dígitos do sistema.

Sistema numérico - decimal

• A representação de qualquer número na base decimal é posicional; isto é cada dígito assume um valor ponderado à posição que ocupa.

Ex: 638 = 6 x 102 + 3 x 101 + 8 x 100

• O valor que cada dígito assume na notação posicional é igual ao seu valor absoluto multiplicado pela base elevada à posição relativa do dígito – 1.

Sistema numérico – representação numérica

• Exemplo de sistema numérico não ponderado: Sistema Romano

Algarismos romanos:

I, V, X, L, C, D, M 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000

Exemplos de números romanos;

MCMLXXXIX, MCMXCIX, MM, MMI

Sistema numérico – representação de bases

• Outras bases ponderadas utilizando os mesmos símbolos arábicos:

Exemplos:

• Base 3:

0,1,2,10,11,12,20,21,22,100,101,102,110…


• Outras bases ponderadas utilizando os mesmos símbolos arábicos:

Exemplos:

• Base 3: 0,1,2,10,11,12, 20,21,22,100, 101,102,110…(base 3)

0,1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , 10, 11, 12….(base10)


• Exemplos outras bases (cont):

• É possível representar na base 5?– Base 5:

0,1,2,3,4,10,11,12,13,14,20,21,22,23,24,30,.




0,1,2,3,4,10,11,12,13,14,20,21,22,23,24,30,

0,1,2,3,4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11,12,13,14,15…




0,1,2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15,16,17,20….




0,1,2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15,16,17,20….

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,28

Sistema numérico – binária


• Base 2: 0,1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010,1011...

Sistema numérico –binária

• Representação na base binária

• 0,1

– Base 2: 0,1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010,1011,...

0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...

Sistema numérico – hexadecimal

• Representação na base hexadecimal

• 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

– Base 16: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F,10,11,12,13,…

Sistema numérico – hexadecimal

• Representação na base hexadecimal

• 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

– Base 16: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F,10,11,12,13,…

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,…

Sistema numérico – Conclusão

• Propriedades dos sistemas numéricos posicionais:• O número de dígitos usados em qualquer sistema é

sempre igual `a base• O maior dígito é igual ao valor da base menos 1• O valor que cada dígito assume na notação

posicional é igual ao seu valor absoluto multiplicado pela base elevada à posição relativa do dígito menos 1

• O número que corresponde à base é sempre igual a 10 (um-zero)

Sistema numérico – representação

• Assim um número inteiro qualquer N de uma dada base b representado por sua notação posicional:

Nb = (AnAn-1… A2A1A0) b ,

pode ser expresso em termos quantitativos por:

Nb = An.bn + An-1.bn-1 + …… + A2.b2 + A1.b1 + A0.b0

(expressão da expansão da notação posicional )


• Exemplos:1) 42610 = 4 x 102 + 2 x 101 + 6 x 100 = 42610


• Exemplos:1) 42610 = 4 x 102 + 2 x 101 + 6 x 100 = 42610

2) 43035 = 4 x 53 + 3 x 52 + 3 = 57810


• Exemplos:1) 42610 = 4 x 102 + 2 x 101 + 6 x 100 = 42610

2) 43035 = 4 x 53 + 3 x 52 + 3 = 57810

3) 430316 = 4 x 163 + 3 x 162 + 3 = 1715510


• Exemplos:1) 42610 = 4 x 102 + 2 x 101 + 6 x 100 = 42610

2) 43035 = 4 x 53 + 3 x 52 + 3 = 57810

3) 430316 = 4 x 163 + 3 x 162 + 3 = 1715510

4) 210223 = 2 x 34 + 1 x 33 + 2 x 3 + 2 = 19710


• Exemplos:1) 42610 = 4 x 102 + 2 x 101 + 6 x 100 = 42610

2) 43035 = 4 x 53 + 3 x 52 + 3 = 57810

3) 430316 = 4 x 163 + 3 x 162 + 3 = 1715510

4) 210223 = 2 x 34 + 1 x 33 + 2 x 3 + 2 = 19710

5) 10110102 = 1 x 26 + 1 x 24 + 1 x 23 + 1 x 2 = 9010


• Exemplos:1) 42610 = 4 x 102 + 2 x 101 + 6 x 100 = 42610

2) 43035 = 4 x 53 + 3 x 52 + 3 = 57810

3) 430316 = 4 x 163 + 3 x 162 + 3 = 1715510

4) 210223 = 2 x 34 + 1 x 33 + 2 x 3 + 2 = 19710

5) 10110102 = 1 x 26 + 1 x 24 + 1 x 23 + 1 x 2 = 9010

6) ABC16 = 10 x 162 + 11 x 16 + 12 = 274810


• Exemplos:1) 42610 = 4 x 102 + 2 x 101 + 6 x 100 = 42610

2) 43035 = 4 x 53 + 3 x 52 + 3 = 57810

3) 430316 = 4 x 163 + 3 x 162 + 3 = 1715510

4) 210223 = 2 x 34 + 1 x 33 + 2 x 3 + 2 = 19710

5) 10110102 = 1 x 26 + 1 x 24 + 1 x 23 + 1 x 2 = 9010

6) ABC16 = 10 x 162 + 11 x 16 + 12 = 274810

7) ABG16 = não é possível a representação na base 16. “G” não faz parte da representação em hexadecimal (base 16)

Sistema numérico – Soma e subtração (base 10)

• Soma:

987610

+675410

1663010

• Subtração:

967810

- 378910

588910

111


• Soma:

987610

+675410

1663010

• Subtração:

966810

- 378910

588910

111 18


• Soma:

987610

+675410

1663010

• Subtração:

956810

- 378910

588910

111 16


• Soma:

987610

+675410

1663010

• Subtração:

856810

- 378910

588910

111 15


• Soma:

987610

+675410

1663010

• Subtração:

856810

- 378910

588910

111


• Soma:

11102

+ 11012

110112

• Subtração:

10002

- 1112

12

1


• Soma:

11102

+ 11012

110112

• Subtração:

00002

- 1112

12

1 10


• Soma:

11102

+ 11012

110112

• Subtração:

01002

- 1112

12

1 10


• Soma:

11102

+ 11012

110112

• Subtração:

01102

- 1112

00012

1 10


• Soma:

acd016

+ 123416

bf0416

• Subtração:

a00016

- fff16

900116

1


• Soma:

acd016

+ 123416

bf0416

• Subtração:

900016

- fff16

900116

1 10


• Soma:

acd016

+ 123416

bf0416

• Subtração:

9f0016

- fff16

900116

1 10


• Soma:

acd016

+ 123416

bf0416

• Subtração:

9ff016

- fff16

900116

1 10

Sistema numérico – Conversão de base

• Divisões sucessivas

NNss rr

BB00 NN11 rr

BB11 NN22

NNm-1m-1 rr

BBm-1m-1 NNmm rr

BBmm 00

N = Número na base 10

r = Base de origem

B = Base de destino

Sistema numérico – base 10 base 2

• Divisões sucessivas: 6910 = 10001012

6969 22

11 3434 22

00 1717 22

1 81 8 22

0 40 4 22

0 20 2 22

0 10 1 22

11 00


• Divisões sucessivas: 17110 = AB16

171171 1616

BB 1010 1616

AA 00

Sistema numérico – conversão de base

• Assim um número inteiro qualquer N de uma dada base b representado por sua notação posicional na base 10:

– Onde:• N = Número de uma base b qualquer.

• b = Base em que o número está representado.

• D = Digito do número.

Nb = Dn.bn + Dn-1.bn-1 + …… + D2.b2 + D1.b1 + D0.b0


•Conversão: 10001012 = 6910

69212121 026


• Conversão: AB16 = 17110

17116111610

171161601

01

BA


• Requer 16 dígitos diferentes:– 0 a 9, A a F

• Cada dígito hexadecimal representa 4 bits de número representado em binário

– 4 bits: 016 a F16

Sistema numérico – base 2 base 16Dígito hexadecimal Valor decimal Valor binário

0 0 0000

1 1 0001

2 2 0010

3 3 0011

4 4 0100

5 5 0101

6 6 0110

7 7 0111

8 8 1000

9 9 1001

A 10 1010

B 11 1011

C 12 1100

D 13 1101

E 14 1110

F 15 1111

Sistema numérico – Exercício

Faça as operações aritméticas abaixo:

1. (FEDCB)16 + (9F8EA)16 = (XXXX) 16

2. (AABCC)16 + (1234)16 = (XXXX) 16

3. (AA00)16 - (DEF)16 = (XXXXX) 16

4. (7D7)16 - (11101101)2 = (XXXX) 10

5. (400)16 - (768)10 = (XXXXX) 2

Sistema numérico – Exercício

Faça as operações aritméticas abaixo:

1. (FEDCB)16 + (9F8EA)16 = (19E6B5) 16

2. (AABCC)16 + (1234)16 = (ABE00) 16

3. (AA00)16 - (DEF)16 = (9C11) 16

4. (7D7)16 - (11101101)2 = (7D7)-(ED)=(6EA) 16

=(1536+224+10) 10 = (1770) 10

5. (400)16 - (768)10 = (1024)-(768)=(256)= (100000000) 2

Referência

• Notas de Aula do Prof Marcelo Zamith

• Notas de Aula do Prof André Renato

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