INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA FINANCEIRA

Professor: Daniel MouraDisciplina: Engenharia EconômicaCurso: Graduação em Engenharia de Produção

Uma pergunta inicial …

O que éO que éMatemáticaMatemáticaMatemáticaMatemáticaFinanceiraFinanceira??

Uma resposta simples …

RETORNORETORNO==

Constatação importante …

Dinheiro tem custo tem custo

notempo!!!

Primeiro passo …

Entendendo Entendendo

o o dinheiro dinheiro o o dinheiro dinheiro

nono tempotempo!!!!!!

Diagramas de fluxo de caixa

� Representação gráfica da evolução do dinheiro no tempo

� Símbolos

MovimentaçõesMovimentações de $de $

TempoTempo

MovimentaçõesMovimentações de $de $

(+) Entradas(+) Entradas

((--) Saídas) Saídas

Taxa de juros = Taxa de juros =

JurosJuros

Valor InicialValor Inicial

Ilustrando o uso do DFC

Um investidor aplicou hoje $100,00 por

um mês, planejando resgatar $108,00.

Desenhe o diagrama de fluxo de caixa da

operação.

--100,00100,00

+108,00+108,00

11

taxa = 8/100 = 8%taxa = 8/100 = 8%

juros = $8,00juros = $8,00

ao períodoao período

00 mesesmeses

Componentes do DFC� Valor presente (VP)

� Valor futuro (VF)

� Tempo (n)

� Taxa de juros (i)

VF VF -- VPVPjuros = $80,00juros = $80,00

ii

--400,00400,00

+480,00+480,00

44

taxa = 80/400 = 20%taxa = 80/400 = 20% ao períodoao período

00

VPVP

VFVF

nn

ii

Analisando a compra do rádio

A vista: $100,00A vista: $100,00

1+1: $60,001+1: $60,00

ouou

Pensando sem esforço …

Já que o bem custa $100,00 e eu vou pagar duas de

$60,00 …

Vou pagar 20% de juros!

Pensando melhor …

Ops!

Estude o diagrama Estude o diagrama de fluxo de caixa

da operação!!!

Para sempre lembrar …

Ops … recebi 100, pagando 60 …Ops … recebi 100, pagando 60 …

Que Que absurdo!absurdo!

+100,00+100,00

taxa = 20/40 = 50%taxa = 20/40 = 50%

juros = $20,00juros = $20,00

ao mês

00 11

--60,0060,00--60,0060,00

+40,00+40,00

Ops … recebi 100, pagando 60 …Ops … recebi 100, pagando 60 …

Conceito de juros simples

Juros sempre

incidem sobre o

VALOR VALOR

PRESENTE

Equações dos juros simples

No regime de juros simples, o juro é calculado sobre o

capital inicial , proporcionalmente ao número de

capitalização.

J = C · i · n (equação 4.1)

onde:J = juros;C = capital inicial (ou principal);i = taxa de juros;

n = número de capitalização durante o prazo da operação financeira.

Exemplo de cálculo.

Calcular o juro produzido por um capital de $ 100.000,

aplicado durante 6 meses, à taxa de juros simples de

2% a.m.

J = C x i x n

J = $ 100.000 x 0,02 x 6 = $ 12.000,00

A soma de Capital (C) e Juros (J) chama-se

Montante (M), e pode ser calculado de duas formas

(equação 4.2 ou 4.3).

M = C + J (equação 4.2)

M = C (1 + i ⋅⋅⋅⋅ n) (equação 4.3)

Exemplo de cálculo.

Calcular o montante de um capital de $ 100.000, aplicado durante 6 meses, à taxa de juros simples de 2% a.m.

Forma de cálculo 1:Forma de cálculo 1:M = C + JM = $ 100.000 + $ 12.000 = $ 112.000

Forma de cálculo 2:M = C x (1 + i x n)M = $ 100.000 x (1 + 0,02 x 6)M = $ 112.000

Preste atenção!!!

� Empréstimo� Valor atual na data zero

igual a $100,00� Taxa igual a 10% a.p.� Taxa igual a 10% a.p.

Considere juros simples

Juros simples

nn JurosJuros VFVF FórmulaFórmula

0 - 100,00 VF=VP

1 10,00 110,00 VF=VP + i.VP10% x $100

Juros simples sempreincidem sobre valor presente

1 10,00 110,00

2 10,00 120,00 VF=VP + i.VP + i.VP

10% x $100

n i.VP VF VF=VP (1+ i.n)

Fórmula dos juros simples para Cálculo do Valor Futuro

VF=VP (1+ i.n)Devem estar

em uma mesmaem uma mesmabase!!!

Como a taxa é sagrada,ajusta-se o valor de n

Abreviaturas nas taxas

Abreviatura Significado

a.d. ao dia

a.d.u. ao dia útil

a.m. ao mês

a.m.o. ao mês overa.m.o. ao mês over

a.b. ao bimestre

a.t. ao trimestre

a.q. ao quadrimestre

a.s. ao semestre

a.a. ao ano

a.a.o. ao ano over

Cuidado com os anos�ano civil ou exato�formado por 365 dias;

ano comercial�ano comercial�formado por 360 dias.

Exemplo A� Uma aplicação de $500,00 foi feita

por oito meses a uma taxa simples igual a 5% am. Qual o valor do resgate?

VFVF

--500500

8 meses8 meses00

i = 5% a.m.i = 5% a.m.

VF = VP (1+in)VF = VP (1+in)

VF = 500 (1+0,05 x 8)VF = 500 (1+0,05 x 8)

VF = 700VF = 700

Características dos juros simples

� Valor uniforme dos juros períodicos

� Valor futuro cresce linearmente

Capitalização LinearValor Futuro

Tempo

VP

Exercícios de …

Sala!Sala!

Exemplo B� Sabina precisará de $1.200,00 em

dez meses. Quanto deverá aplicar hoje para ter a quantia desejada? Considere uma taxa simples igual a 5% am

1.200,001.200,00

--VPVP

10 meses10 meses00

i = 5% a.m.i = 5% a.m.

VF = VP (1+in)VF = VP (1+in)

1200 = VP (1+0,05 x 10)1200 = VP (1+0,05 x 10)

VP = 800VP = 800

Exemplo C� Neco aplicou $8.000,00 por seis

meses e recebeu $2.400,00 de juros simples. Qual a taxa mensal vigente na operação?

10.400,0010.400,00

--80008000

6 meses6 meses00

i = ?i = ?

VF = VP (1+in)VF = VP (1+in)

10400 = 8000 (1+i x 6)10400 = 8000 (1+i x 6)

i = 5%i = 5%

Exemplo D� A aplicação de $9.000,00 a uma

taxa simples igual a 6% a.m. resulta em um valor futuro igual a $11.700,00. Qual o prazo em meses dessa operação?

11.700,0011.700,00

--90009000

n=?n=?00

i = 6% a.m.i = 6% a.m.

VF = VP (1+in)VF = VP (1+in)

11700 = 9000 (1+0,06 x n)11700 = 9000 (1+0,06 x n)

n = 5n = 5

Importante!!!

Taxas são sagradas!!!sagradas!!!

Exemplo E

Calcule o valor futuro de uma aplicação de $500,00 por 24

meses a 8% a.a.

Taxa anual !!!

-$500,00

0

24

VF

n em anos

X24 meses = 2 anos

2 anos

Alterando o prazo …

VF=VP (1+ i.n)

VF=500 (1+ 0,08.2)

VF=$580,00

A soma de Capital (C) e Juros (J) chama-se

Montante (M), e pode ser calculado de duas formas

(equação 4.2 ou 4.3).

M = C + J (equação 4.2)

M = C (1 + i ⋅⋅⋅⋅ n) (equação 4.3)

Exemplo de cálculo.

Calcular o montante de um capital de $ 100.000, aplicado durante 6 meses, à taxa de juros simples de 2% a.m.

Forma de cálculo 1:Forma de cálculo 1:M = C + JM = $ 100.000 + $ 12.000 = $ 112.000

Forma de cálculo 2:M = C x (1 + i x n)M = $ 100.000 x (1 + 0,02 x 6)M = $ 112.000

Juros compostos

No regime de juros compostos, os juros produzidos

em um período de capitalização e não pagos são

integrados ao capital no início do período seguinte,

para produzirem novos juros, ou seja, os juros

incidem sobre o capital inicial e sobre os próprios

juros.

� O juro composto é a maior invenção da humanidade,

porque permite uma confiável e sistemática

acumulação de riqueza." - Albert Einstein.

35

acumulação de riqueza." - Albert Einstein.

“Juros Compostos são juros sobre juros!”

Emprega-se $ 100,00 a 10% a.a.. Observe a analise deste capital (principal) ajuros compostos:

PeríodoSaldoIníciodoperíodo

Juroscalculados

Saldoinicial

+Juros

Crescimentopor período domontante

período Juros

0 100,00 100 x 0,1 = 10 110,00 10,00

1 110,00 110,00 x 0,1 = 11 121,00 11,00

2 121,00 121,00 x 0,1 =12,1

133,10 12,10

3 133,10 133,10 x 0,10 =13,3

13,31 13,31

i=10% Montante Montante Diferença

Ano Juros simples Juros compostos

início 1o. Ano 1000 1000 0

fim 1o. Ano 1100 1100 0

fim 2o. Ano 1200 1210 10

fim 3o. Ano 1300 1331 31

As diferenças entre a capitalização simples e a composta cresce, exponencialmente, com a taxa de juros...

Quadro 3: Juros com capitalização composta (i=10%)

i=20% Montante Montante Diferença

Ano Juros simples Juros compostos

início 1o. Ano 1000 1000 0

fim 1o. Ano 1200 1200 0

fim 2o. Ano 1400 1440 40

fim 3o. Ano 1600 1728 128

fim 4o. Ano 1800 2073,6 273,6

fim 5o. Ano 2000 2488,32 488,32

fim 3o. Ano 1300 1331 31

fim 4o. Ano 1400 1464,1 64,1

fim 5o. Ano 1500 1610,51 110,51

Quadro 4: Juros apurados com capitalização composta

� Em juros compostos, o problema principal consiste

em calcular o montante (soma) F obtido pela

aplicação de um único valor principal P no instante

39

aplicação de um único valor principal P no instante

t=0, à taxa i de juros (por período) durante n períodos.

� Juros pode ser representado pela seguinte fórmula:

40

( )( )11 −+=n

iPJ� Sendo que:

� J = Juros recebido (ou pago) referente ao período;� P = Capital aplicado (ou tomado);� i = Taxa de juros;� n = Período de aplicação (ou prazo da operação).

( )( )11 −+= iPJ

� Montante: É o valor do capital inicial somando aos juros acumulados no decorrer do período, onde usamos a seguinte fórmula:

41

� Sendo que:� F = Representa o montante ou valor futuro

PFJ −=

niPF )1( +=

� Por meio das fórmulas básicas de valor futuro podemos extrair outras fórmulas para facilitar o cálculo de outras variáveis, como:

42

1

1

−

=

n

P

Fi

niPF )1( +=

niLog

P

FLog

n)1( +

=n

i

FP

)1( +=

Valor presente Prazo Taxa de juros

Aplicações para Juros Compostos

� Calcular o valor inicial de uma aplicação que foi remunerada a 6% a.a., em 4 anos e teve como resgate final $ 7.400,00.

niPF )1( +=

� Resposta:

� 5.861,493. Logo, o valor inicialmente aplicado foi de aproximadamente $5.861,50.

niPF )1( +=

� Qual o tempo necessário para $ 6.000,00, a 5% a.a., renderem $ 900,00 de juros?

P

FLog

n

=

� Para juros compostos usando a equação , tem-se:J = F - P F= P + J = 6.000 + 900 = 6.900,00.

� n = 3 anos

niLog

Pn

)1( +

=

� A que taxa deve-se colocar o capital de $ 10.000,00 para em 2 anos, 6meses e 10 dias ter $ 1.137,50 de juros?

1

1

−

=nF

i

� Como F = P + J = 10.000 + 1.137,50 = 11.137,50; 2a, 6m e 10d = 910 dias; e substituindo n por na equação, tem-se que:

� i = 4,354% a.a

1−

=P

i

Exercícios

� Aplicando-se R$ 15.000,00 a uma taxa de juro composto de 1,7% a.m., quanto receberei de volta após um ano de aplicação? Qual o juro obtido neste período?

� R: F = 18362, 96 J = 3362,96

� Planejo emprestar R$ 18.000,00 por um período de 18 meses ao final do qual pretendo receber de volta um total de R$ 26.866,57. Qual deve ser o percentual da taxa de juro composto para que eu venha a conseguir este montante?para que eu venha a conseguir este montante?

� i = 2,25% a.m.

� Preciso aplicar R$ 100.000,00 por um período de quantos meses, a uma taxa de juro composto de 1,7% a.m., para que ao final da aplicação eu obtenha o dobro deste capital?

� R: 41, 12 meses de aplicação