INTRODUÇÃO À INTRODUÇÃO À PROBABILIDADEPROBABILIDADE

UMA DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE: UMA DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE:

Considere que:

1.Cada resultado possível de um fenômeno aleatório é um evento.

2.Os eventos têm diferentes atributos, ou seja, têm aspectos

diferentes que os distinguem entre si.

Definição 1: Se são possíveis n eventos mutuamente exclusivos

e igualmente prováveis, se nA desses eventos tem o atributo A,

então a probabilidade de A é dada pela razão nA / n.

UMA DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE: UMA DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE:

Exemplo 1:

Qual é a probabilidade de ocorrer face 6, quando se joga um

dado equilibrado?

Solução:

Quando se joga um dado equilibrado, ocorre um de 6 eventos

mutuamente exclusivos e igualmente prováveis; logo, a

probabilidade de ocorrer face 6 é 1/6.

UMA DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE: UMA DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE:

IMPORTANTE:

É importante entender que a definição clássica de probabilidade

não faz sentido a menos que possamos imaginar muitas repetições

independentes do fenômeno. Quando dizemos que a probabilidade

de sair cara num jogo de moeda é 1/2, estamos aplicando, a um

único lançamento de uma única moeda, a medida de chance que

teria sido obtida se tivéssemos feito uma longa série de jogadas.

UMA DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE: UMA DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE:

Exemplo 2:

Qual é a probabilidade de ocorrer face 6 quando se joga um dado que

não é equilibrado (os seis eventos possíveis não são igualmente

prováveis)?

Solução:

Se o dado não é equilibrado, para obter a probabilidade de ocorrer

face 6 devemos lançar o dado um número suficientemente grande de

vezes e dividir o número de vezes que saiu 6 pelo número de

lançamentos feitos.

DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES:

Exemplo 1: Fenômeno Aleatório: Lançamento

de uma moeda.

Ω = {cara, coroa}

Evento: Face observada é cara.

Definição 3:

Ω = Espaço amostral: É o conjunto de todos os resultados

possíveis de um fenômeno aleatório.

Um evento é qualquer subconjunto do espaço amostral.

DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES:

Exemplo 2: Fenômeno Aleatório: Lançamento

de um dado.

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Evento 1: Face observada é SEIS.

Evento 2: Face observada é ÍMPAR.

Evento 3: Face observada é maior ou igual a 4.

Evento 4: Face observada é PAR.

DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES:

Exemplo 3: Fenômeno Aleatório: Um jogador de

basketball faz três lances livre. Quais são as possíveis

sequências de acertos (A) e erros(E)?

Ω =???

Ω = {AAA, AAE, AEA, AEE, EAA, EAE, EEA, EEE}

Note: 8 elementos, 23

DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES:

Evento F: O jogador acerta os três lances;

Evento G: O jogador erra dois lances;

Evento H: O jogador acerta o segundo lance;

P(F) = 1/8

P(G) = 3/8

P(H) = 4/8

Ω = {AAA, AAE, AEA, AEE, EAA, EAE, EEA, EEE}

Note: 8 elementos, 23

DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES:

Ω = {0, 1, 2, 3}

Exemplo 3: Fenômeno Aleatório: Um jogador de

basketball faz três lances livre. Qual o número de cestas feitas?

Ω =???

P(0) = ?? P(1) = ??

P(2) = ?? P(3) = ??

DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES:

Ω = [0, ∞] = (todos os números ≥ 0)

Exemplo 4: Fenômeno Aleatório: Uma nutricionista pesquisa sobre uma nova dieta para alimentar ratos machos brancos. Quais são os possíveis resultados de ganho de peso (em gramas)?

Ω = ???

DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES:

Finitos

ESPAÇOS AMOSTRAIS:

Infinitos

Dado: Ω = {1,2,3,4,5,6}

Peso: Ω = [0, ∞] = (todos os números ≥ 0)

DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES:

Questão:

Como calcular probabilidades quando o espaço amostral é infinito (contínuo)?

Exemplo: Densidade uniforme. A probabilidade de distribuirmos uniformemente a variável Y dentro de 0.3 e 0.7 é a área sob a curva de densidade correspondente a esse intervalo. Então:

P(0.3 ≤ Y ≤ 0.7) = (0.7 − 0.3)*1 = 0.4

Existem muitos outros tipos de curvas de densidades.Existem muitos outros tipos de curvas de densidades.

DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES:

Definição 4:

Dois eventos são disjuntos (ou

mutuamente exclusivos) se eles não

tiverem nenhum resultado em

comum, portanto nunca ocorrem

juntos.

A B = P(A B) = 0

DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES:

Definição 5:

Dois eventos são independentes se a probabilidade de um evento

ocorrer em qualquer realização do experimento não muda a

probabilidade de um outro evento ocorrer.

Exemplo: No lançamento de uma moeda, o resultado do primeiro

lançamento (cara, por exemplo) NÃO ALTERA a probabilidade de

dar cara ou coroa no segundo lançamento.

DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES:

Propriedade 1:

A Probabilidade P(A) de qualquer evento A satisfaz 0 ≤ P(A) ≤ 1

Propriedade 2:

A probabilidade do espaço amostral completo é igual a 1. P(Ω) = 1

Exemplo: P(cara) + P(coroa) = 0.5 + 0.5 = 1 Propriedade 3:

A Probabilidade de um evento não ocorrer é igual a 1 menos a

probabilidade do evento ocorrer. P(Ac) = 1 – P(A)

Exemplo: P(coroa) = 1 – P(cara) = 0.5

DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES:

Propriedade 4:

Regra da adição geral para quaisquer dois eventos A e B: A probabilidade

de que A ocorra, ou B ocorra, ou ambos eventos ocorram é:

P(A ou B) = P ( A B) = P(A) + P(B) – P(A e B)

DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES:

Propriedade 4:

Exemplo: Qual é a probabilidade de selecionar aleatoriamente uma carta de

um baralho de 52 cartas e ela ser um rei ou copas?

Então: P(rei ou copas)= P(rei) + P(copas) – P(rei e copas)

= 4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/52 ≈ 0.3

3 121

DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES:

Propriedade 5:

A probabilidade condicional reflete como a probabilidade de um

evento pode mudar se soubermos que algum outro evento tenha

ocorrido.

Exemplo: A probabilidade de que um dia nublado resulte em chuva é

diferente se você vive no Nordeste ou se você vive no Sul do Brasil.

DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES:

Propriedade 5:

A probabilidade condicional do evento B dado o evento A é: (desde que

P(A) > 0)

A = Retirado um Rei

B = Carta Retirada é de Copas

Ex:

DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES:

Se A e B são independentes:

Desta forma, se A e B são independentes:

DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES:

IMPORTANTE:

A e B são independentes:

A e B disjuntos ou mutuamente exclusivos:

DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES:

CASO GERAL: REGRA DA MULTIPLICAÇÃO.

Caso particular: A e B são independentes.

A probabilidade de que quaisquer dois eventos, A e B,

ocorram conjuntamente pode ser dada por:

P(A e B) = P(A B) = P(A) P(B|A)

DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES:

REGRA DA MULTIPLICAÇÃO: DIAGRAMA DE ÁRVORES

O diagrama de árvores representa graficamente todos os possíveis

resultados e apresenta as probabilidades condicionais de

subconjuntos de eventos.

Diagrama de árvores para hábitos de conversar em sites de bate-papo, para três grupos de idade adulta.

Uso de Internet

0.47

DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES:

Uso de Internet

0.47

Qual a probabilidade de encontrarmos um indivíduo que utiliza o bate-papo na internet?

P(Utilizar e ter idade A1) + P(Utilizar e ter idade A2) + P(Utilizar e ter idade A3) =

P(C A1) + P(C A2) + P(C A3) = P(A1) P(C/A1) + P(A2) P(C/A2) + P(A3) P(C/A3) =

= 0.29 * 0.47 + 0.47 * 0.21 + 0.24 * 0.07 = 0.136 + 0.099 + 0.017 = 0.252