INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E

TECNOLOGIA DO RIO GRANDE DO SUL

CAMPUS CAXIAS DO SUL

INTRODUÇÃO À TEORIA DE GALOIS

TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO

LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

BRUNA FAVERO

CAXIAS DO SUL

2019

BRUNA FAVERO

INTRODUÇÃO À TEORIA DE GALOIS

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como re-

quisito parcial para obtenção do grau de Licenciado

em Matemática, pelo Instituto Federal de Educação,

Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Sul −Campus

Caxias do Sul.

Área de Concentração: Matemática

Orientadores:

Orientador: Prof. Me. Nı́colas Moro Müller – IFRS –

Campus Caxias do Sul

Coorientador: Prof. Dr. Rafael Cavalheiro – FURG

CAXIAS DO SUL

2019

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Sul, Campus Caxias do Sul

51 Favero, Bruna F273i Introdução a teoria de Galois. [manuscrito] / Bruna Favero ; orientador,

Nícolas Moro Müller ; coorientador, Rafael Cavalheiro -- Caxias do Sul, RS, 2019. 67 f.

TCC (Licenciatura em Matemática) - Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do RS (IFRS), Caxias do Sul, 2019.

1. Licenciatura em matemática. 2. Teoria de Galois. 3.Extensão de corpos (Matemática) I. Müller, Nícolas Moro. II. Cavalheiro, Rafael. III. Título. CDU 51

Ficha catalográfica elaborada pela bibliotecária Jaçanã Eggres Pando - CRB 10/1936

BRUNA FAVERO

INTRODUÇÃO À TEORIA DE GALOIS

A banca examinadora, abaixo listada, aprova o Trabalho de Conclusão de Curso In-

trodução à Teoria de Galois elaborado por Bruna Favero como requisito parcial para

obtenção do grau de Licenciado em Matemática, pelo Instituto Federal de Educação,

Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Sul −Campus Caxias do Sul.

Me. Félix Afonso de Afonso – PPGMat - UFRGS

Me. Eduardo Henrique Philippsen – PPGMat - UFRGS

Me. Leonardo Duarte Silva – PPGMat - UFRGS

Caxias do Sul, 2019.

AGRADECIMENTOS

Primeiramente gostaria de agradecer a Deus.

Agradeço à minha famı́lia por todo apoio ao longo desses quatro anos, em

especial à minha mãe, Adriana, por estar ao meu lado em cada passo dessa trajetória.

Agradeço ao meu orientador professor Nı́colas Moro Müller e ao coorientador

professor Rafael Cavalheiro por aceitarem conduzir o meu trabalho de pesquisa. Aos

demais professores por todos os ensinamentos e inspirações.

Agradeço também as minhas colegas, Let́ıcia, Virǵınia e Munique, por todo

o apoio, por todas as tardes de estudos e pelas inúmeras risadas.

E por fim, agradeço também ao Instituto Federal de Educação, Ciência e

Tecnologia do Rio Grande do Sul - Campus Caxias do Sul, pela oportunidade de concluir

esta graduação.

RESUMO

O presente trabalho apresenta conteúdos introdutórios para a Teoria de Ga-

lois, a fim de tornar posśıvel a compreensão desta. A Teoria de Galois tem grande im-

portância na caracterização de polinômios acerca da sua solubilidade por meio de radicais,

utilizando propriedades de grupos de automorfismos de um corpo. A metodologia utili-

zada para a realização do trabalho foi a pesquisa bibliográfica, que possibilitou o estudo

dos tópicos em material já consolidado. No decorrer do trabalho é feita a apresentação de

conteúdos que são pré-requisitos, além de conceitos e definições como extensões algébricas

e extensões Galoisianas que precedem a Correspondência de Galois e a solubilidade por

meio de radicais, viabilizando o objetivo do trabalho.

Palavras-chave: Grupos, Extensão de corpos, Teoria de Galois.

ABSTRACT

This work presents introductory contents for the Galois theory, in order to be

possible understand it. The methodology applied for the work accomplishment was the

bibliographical research, which made possible the study of topics in already consolidated

material. During the work, is made the contents presentation that are prerequisites, as

well as concepts, definitions such as algebraic extensions, and galoisian extensions that

precede Galois correspondence and solvability by radicals, enabling the work purpose.

The Galois theory has a great importance in the characterization of polynomials about

their solvability by radicals, using properties of automorphism groups of a fields.

Keywords: Groups, Field extensions, Galois theory.

8

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 METODOLOGIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 EMBASAMENTO HISTÓRICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4 TEORIA PRELIMINAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.1 ANÉIS, IDEAIS E HOMOMORFISMOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.1.1 Anéis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.1.2 Ideais e Homomorfismos de anéis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.2 NOÇÕES DE ÁLGEBRA LINEAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.3 GRUPOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.3.1 Definições, Propriedades e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.4 SUBGRUPOS E CLASSES LATERAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.5 GRUPOS QUOCIENTES E HOMOMORFISMOS DE GRUPOS . . . . . . 32

4.6 EXTENSÕES ALGÉBRICAS DOS RACIONAIS . . . . . . . . . . . . . . 44

4.6.1 Extensões de Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.6.2 Grau de uma Extensão Algébrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5 TEORIA DE GALOIS ELEMENTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.1 EXTENSÕES GALOISIANAS E EXTENSÕES NORMAIS . . . . . . . . . 53

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

9

1 INTRODUÇÃO

Originalmente a álgebra restringia-se ao estudo das equações e métodos para

resolvê-las, sejam estes, métodos geométricos, utilizados pelos gregos, ou métodos mais

sofisticados, com a utilização de simbologia de representação e manipulação desenvolvida a

partir da Idade Média. No entanto, ao invés de procurar métodos numéricos para resolver

equações, Galois passou a investigar a estrutura dos corpos e grupos e estabeleceu uma

conexão entre eles que hoje chamamos de Teoria de Galois (BAUMGART, 1992).

Objetivamos com este trabalho estudar tais estruturas, partindo do estudo

inicial da Álgebra Abstrata realizado durante a graduação, com a finalidade de formar

conhecimentos necessários para o estudo da Teoria de Galois e de sua aplicabilidade na

determinação da solubilidade de equações de grau maior ou igual a cinco por meio de

radicais.

O trabalho está dividido em seis caṕıtulos, sendo esta introdução o primeiro.

Abordamos no segundo caṕıtulo a metodologia utilizada para o desenvolvimento do tra-

balho. Uma vez que este baseia-se em estudos de teorias e conceitos já elaborados, a

metodologia se dá de forma bibliográfica. No caṕıtulo três, faz-se uma breve abordagem

histórica da evolução do estudo das equações polinomiais e da solubilidade por meio de

radicais.

Os conceitos preliminares estão dispostos no quarto caṕıtulo, onde são abor-

dados conceitos e definições de anéis, ideais e homomorfismos, noções de álgebra linear,

extensões algébricas dos racionais, grau de uma extensão algébrica, grupos, subgrupos,

classes laterais, grupos quocientes e homomorfismo de grupos.

O quinto caṕıtulo traz definições e propriedades de extensões galoisianas e

extensões normais, tópicos fundamentais para a posterior compreensão da Teoria de Galois

e a solubilidade por meio de radicais. As conclusões sobre o estudo realizado encontram-se

no caṕıtulo seis.

10

2 METODOLOGIA

A metodologia escolhida para a realização deste trabalho foi a pesquisa bi-

bliográfica, uma vez que o campo de pesquisa estabelecido encontra-se bem desenvolvido

em livros, artigos, dissertações, entre outros. Por meio desta, buscaremos apropriação

necessária do tema a fim de estabelecer-se caminhos para a resposta do problema.

Segundo Gil (2010, p.45) as etapas de uma pesquisa bibliográfica são as

seguintes:

a) escolha do tema;

b) levantamento bibliográfico preliminar;

c) formulação do problema;

d) elaboração do plano provisório de assunto;

e) busca das fontes;

f) leitura do material;

g) fichamento;

h) organização lógica do assunto;

i) redação do texto.

Partindo da definição do tema foi realizado um levantamento bibliográfico,

fundamentado em livros, a fim de identificar as referências mais adequadas ao nosso

propósito. Desse modo, foi selecionado Gonçalves (2015) como principal referência tanto

para a conceituação dos pré-requisitos, conceitos e definições necessários à compreensão

do tema, como anéis, ideais, homomorfismos, extensões algébricas e grupos, quanto para

a introdução à Teoria de Galois, e como referências complementares Domingues e Iezzi

(2003), Martin (2010) e Bueno (2006). Para levantamento histórico utilizou-se Domingues

e Iezzi (2003), Eves (2004) e Katz (2010).

11

3 EMBASAMENTO HISTÓRICO

Problemas envolvendo o produto de duas incógnitas ou o quadrado de uma,

originaram equações conhecidas hoje em dia por equações quadráticas. Antes do século

V I d.C., os babilônicos resolveram equações quadráticas através de uma regra que pode

ser traduzida na fórmula moderna para resolver x2 + bx = c,

x =

√(b

2

)2+ c− b

2.

No entanto, os babilônicos não consideravam soluções negativas, porque estas não tem

significado geométrico, nem duas soluções positivas distintas, pois consideravam que uma

equação não poderia ter dois valores diferentes para a mesma incógnita. (KATZ, 2010)

Em cerca de 825 d.C., o matemático e astrônomo islâmico al-Khwarizmi,

baseado nas ideias babilônicas para a resolução da equação x2+bx = c, passou a considerar

soluções diferentes para uma mesma incógnita e o emprego de adição ou subtração para

obter a solução do problema, dado pela equação

x = − b2±

√(b

2

)2+ c,

que foi sendo adaptada, através do tempo, até chegar na atual fórmula resolutiva para

equação quadrática.

Entre 1500 e 1515, o matemático italiano Scipione del Ferro desenvolveu um

procedimento para resolver a equação cúbica x3+px = q (p, q > 0), que pode ser traduzido

pela fórmula

3

√q

2+

√(q2

)2+(p

3

)3− 3√−q

2+

√(q2

)2+(p

3

)3.

Com isso ele mostrou que é posśıvel expressar as ráızes da equação cúbica considerada

em termos dos seus coeficientes utilizando apenas adições, multiplicações e radiciações.

No século XV Id.C., o matemático francês François Viète determinou uma

solução para a equação quártica, considerando x4+ax2+bx = c, cuja forma pode se reduzir

toda quártica completa. Somando x2y2 +y4

4a ambos os membros de x4 = c − ax2 − bx

obtém-se (x2 +

y2

2

)2= (y2 − a) · x2 − bx+

(y4

4+ c

).

12

Escolhe-se então y de modo que o segundo membro seja um quadrado perfeito, sendo

posśıvel extrair ráızes quadradas, concluindo o problema (EVES, 2004).

Partindo da solução de Del Ferro sobre a resolubilidade de equações algébricas,

o matemático e astrônomo italiano Joseph-Louis Lagrange começou a desvendar o cami-

nho a ser seguido para abordar o problema, observou que permutações envolvendo as

ráızes da equação era de grande importância para a resolução desta. Em 1824, o ma-

temático norueguês Niels Henrik Abel mostrou que não há nenhuma fórmula geral por

radicais para resolver as equações de grau ≥ 5, conclusão de que Lagrange já suspeitava

(DOMINGUES E IEZZI, 2003).

Ainda, partindo da ideia da resolubilidade das equações algébricas através

de radicais, introduzidas por Del Ferro, foi posteriormente generalizada pelo matemático

francês Evariste Galois, que segundo Katz (2010)

[· · · ] começa por classificar a ideia de ra-cionalidade, uma vez que, uma equação tem coeficien-

tes num certo domı́nio, por exemplo, o conjunto dos

números racionais comuns, dizer que uma equação é

resolúvel através de radicais significa que é posśıvel

exprimir suas ráızes, utilizando as quatro operações

aritméticas básicas e a operação de extração de raiz,

aplicadas aos elementos deste domı́nio original.

Além disso, a fim de caracterizar quais equações de grau ≥ 5 seriam solúveis

por meio de radicais e quais não seriam, Galois analisou a noção de permutação e emprega

a palavra “grupo”, por vezes utilizado para referir-se a um conjunto de permutações que

é fechado para a composição e outras vezes para referir apenas um conjunto de arranjos

de letras, obtido através da aplicação de certas permutações.

A noção de grupo foi um instrumento de muita importância para a orga-

nização e o estudo de muitos ramos da matemática, em álgebra, foi um fator de grande

importância para o desenvolvimento da álgebra abstrata no século XX. A ideia de Ga-

lois para responder esta questão foi associar a cada equação um grupo formado pelas

permutações de suas ráızes e condicionar a resolubilidade por radicais a uma propriedade

desse grupo.

13

4 TEORIA PRELIMINAR

Este caṕıtulo tem como objetivo apresentar a fundamentação teórica ne-

cessária para a compreensão da pesquisa. O mesmo será dividido em três seções: Anéis,

Ideais e Homomorfismos, Extensões Algébricas dos Racionais e Grupos. As definições, os

exemplos e os resultados aqui apresentados foram extráıdos e/ou adaptados de Gonçalves

(2015).

4.1 ANÉIS, IDEAIS E HOMOMORFISMOS

Nesta seção, iremos conceituar pré-requisitos necessários para a compreensão

dos tópicos básicos de extensões algébricas, que são fundamentais para o estudo da Teoria

de Galois. São eles: anel, corpo, ideal, homomorfismo e anéis de polinômios. A seguir

definiremos anéis e corpos, subanéis e subcorpos.

4.1.1 Anéis

Seja A um conjunto não vazio onde estejam definidas duas operações binárias,

as quais chamaremos de adição e multiplicação em A e denotaremos (como em Z) por +

e ·.

Assim,

+ : A× A→ A e · : A× A→ A

(a, b) 7→ a+ b (a, b) 7→ a · b.

Dizemos que (A, +, ·) é um anel se as seguintes propriedades, as quais cha-

maremos de axiomas, são verificadas quaisquer que sejam a, b, c ∈ A.

i) Associatividade da adição:

(a+ b) + c = a+ (b+ c);

ii) Existência do elemento neutro para a adição:

Existe 0A ∈ A tal que a+ 0A = 0A + a = a;

14

iii) Existência do elemento simétrico em relação à adição:

Dado a ∈ A existe um único b ∈ A, denotado por b = −a, tal que

a+ b = b+ a = 0A;

iv) Comutatividade da adição:

a+ b = b+ a;

v) Associatividade da multiplicação:

(a · b) · c = a · (b · c);

vi) Distributividade da multiplicação em relação à adição:

a · (b+ c) = a · b+ a · c e (a+ b) · c = a · c+ b · c.

Desta forma, temos que os axiomas de i) a vi) são os axiomas que definem

um anel.

Se além das propriedades acima (A, +, ·) satisfaz:

vii) Existência do elemento neutro para a multiplicação:

Existe 1A ∈ A, 0A 6= 1A tal que x · 1A = 1A · x = x, ∀x ∈ A.

Dizemos que (A, +, ·) é um anel com unidade 1A ou anel unitário.

viii) Comutatividade da multiplicação:

a · b = b · a.

Dizemos que (A, +, ·) é um anel comutativo ou abeliano.

Neste trabalho todos os anéis considerados serão comutativos e com unidade

e, para simplificar a notação denotaremos o anel (A,+, ·) simplesmente por A. Além

disso, por vezes escrevemos simplesmente ab para representar a · b, onde a, b ∈ A.

Um elemento não nulo a do anel (A,+, ·) é chamado ıdivisor de zero se existe

0A 6= b ∈ A tal que a · b = 0A. Assim, um anel (A,+, ·) é sem divisores de zero se é um

anel em que a · b = 0A ⇒ a = 0A ou b = 0A.

Definição 4.1.1. Um domı́nio de integridade, ou simplesmente domı́nio, é um anel sem

divisores de zero.

15

Sejam A um anel e a, b ∈ A. Dizemos que b é o inverso de a e, denotamos

por b = a−1, quando a · b = b · a = 1A.

Exemplo 4.1.2. Seja (Z,+, ·), onde + e · são as operações usuais. Temos que Z é um

domı́nio.

Vamos verificar os axiomas de anel. Para todo x, y e z ∈ Z, temos

i) Associatividade da adição: (x+ y) + z = x+ (y + z);

ii) Existência do elemento neutro: existe 0 ∈ Z tal que x+ 0 = 0 + x = x;

iii) Existência do elemento simétrico em relação à adição: existe −x ∈ Z tal que

x+ (−x) = (−x) + x = 0;

iv) Comutatividade da adição: x+ y = y + x;

v) Associatividade da multiplicação: (x · y) · z = x · (y · z);

vi) Distributividade da multiplicação em relação à adição: x·(y+z) = x·y+x·z;

vii) Existência do elemento neutro para a multiplicação: existe 1 ∈ Z tal que

x · 1 = 1 · x = x;

viii) Comutatividade da multiplicação: x · y = y · x;

ix) Z não possui divisires de zero: x · y = 0⇒ x = 0 ou y = 0.

Portanto, Z é um anel sem divisores de zero, ou seja, um domı́nio.

Definição 4.1.3. Seja K um anel. Dizemos que K é um corpo quando todos os elementos

não nulos de K possuem inverso.

Exemplo 4.1.4. Seja C conjunto de todos os pares ordenados (a, b) em que a, b ∈ R:

C = {(a, b); a, b ∈ R}.

Com as operações de + e · definidas por (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) e (a, b) · (c, d) =

(ac+ bd, ad+ bc), respectivamente. E com as seguintes propriedades:

16

a) (0, 0) + (a, b) = (a, b) + (0, 0) = (a, b);

b) (1, 0) · (a, b) = (a, b) · (1, 0) = (a, b).

Vamos verificar que C é um corpo.

De fato, para quaisquer x, y e z ∈ C, temos

i) Associatividade da adição: x+ (y + z) = (x+ y) + z;

ii) Comutatividade da adição: x+ y = y + x;

iii) Existência do elemento neutro: 0 + x = x;

iv) Existência do elemento simétrico em relação à adição: dado x = (a, b) ∈ C,

existe −x = (−a,−b) ∈ C tal que x+ (−x) = 0;

v) Associatividade da multiplicação: x · (y · z) = (x · y) · z;

vi) Comutatividade da multiplicação: x · y = y · x;

vii) Existência do elemento neutro para a multiplicação: 1 · x = x;

viii) Distribuitividade da multiplicação com relação à adição: x ·(y+z) = xy+xz;

iv) C não possui divisores de zero: x · y = 0⇒ x = (0, 0) ou y = (0, 0);

x) Existência do elemento inverso: se x = (a, b) 6= 0, então existe

x−1 =

(a

a2 + b2,−b

a2 + b2

)∈ C tal que x · x−1 = 1.

Portanto, C é corpo.

Proposição 4.1.5. Todo corpo, em particular, é um domı́nio de integridade.

Demonstração. Sejam K um corpo e a, b ∈ K tais que a · b = 0K .

Se a = 0K , temos o que se pede.

Suponhamos a 6= 0K . Da definição de corpo, temos que existe a−1 ∈ K tal

que a−1 · a = 1K , onde a−1 é o inverso de a. Assim, temos que

a · b = 0K ⇒ a−1 · (a · b) = a−1 · 0K ⇒ (a−1 · a) · b = 0K ⇒ 1K · b = 0K ⇒ b = 0K .

17

Logo, quando a · b = 0K , devemos ter a = 0K ou b = 0K . Portanto, temos

que K é um domı́nio.

Definição 4.1.6. Seja (A, +, ·) um anel. Um subconjunto não vazio B ⊂ A é subanel

de A quando

i) x+ y ∈ B e x · y ∈ B, ∀x, y ∈ B;

ii) 1A ∈ B;

iii) (B, +, ·) é um anel.

Se um subanel (B, +, ·) de um corpo (K, +, ·) é também um corpo, dizemos

que B é um subcorpo de K. Se K é um domı́nio, dizemos que B é subdomı́nio de

K. Por exemplo, seja R o corpo dos números reais, para cada p primo, temos que

Q[√p] ={a+ b

√p; a, b ∈ Q

}é um subcorpo de R.

4.1.2 Ideais e Homomorfismos de anéis

Nesta subseção trataremos da definição e propriedades dos ideais e dos ho-

momorfismos de anéis.

Definição 4.1.7. Sejam A um anel e ∅ 6= I ⊆ A. Dizemos que I é um ideal de A se

x− y ∈ I e x · a ∈ I, para todo a ∈ A e x, y ∈ I.

Os ideais {0A} e A são chamados de ideais triviais de A.

Exemplo 4.1.8. Sejam I = (2Z,+, ·) e A = (Z,+, ·), com adição usual de inteiros e

multiplicação definida por x · y = 0 para quaisquer x, y ∈ Z. Vamos verificar que I é ideal

de A.

Sejam x, y ∈ Z, temos

i) 2x− 2y = 2(x− y) ∈ I;

ii) 2x · y = 2(x · y) = 2 · 0 ∈ I.

Logo, I é ideal de A.

18

Definição 4.1.9. Sejam A um anel e M um ideal de A. Dizemos que M é ideal maximal

de A quando M 6= A e se I é um ideal de A com M ⊆ I ⊆ A então, I = M ou I = A.

Teorema 4.1.10. Seja (K,+, ·) um anel. Então, as seguintes condições são equivalentes:

a) K é um corpo;

b) {0K} é um ideal maximal de K;

c) Os únicos ideais de K são os triviais.

A demonstração desse teorema pode ser encontrada em GONÇALVES (2015,

p. 49).

Definição 4.1.11. Sejam A um anel I um ideal de A. Vamos definir a seguinte relação

em A: dados x, x′ ∈ A, x ≡ x′ (mod I) se, e somente se, x− x′ ∈ I.

Seja I um ideal de A. Denomina-se classe de equivalência de um elemento

x ∈ A o conjunto de todos os elementos x′ ∈ A tais que x′ ≡ x(mod I) e denotamos esse

conjunto por x = x+ I. O conjunto das classes de equivalência geradas por I em A será

denotado por

A/I = {x = x+ I;x ∈ A}.

Podemos definir uma adição e multiplicação em A/I, por a + b = a+ b e a · b = a · b,

respectivamente.

As operações de adição e multiplicação em A/I estão bem definidas, isto é,

dados a, b, x, y ∈ A/I com (a, b) = (x, y), temos que

a+ b = x+ y e a · b = x · y.

Ainda, sendo I um ideal do anel A então, (A/I, +, ·) é um anel, chamado de

anel quociente de A por I. A demonstração do que foi citado acima pode ser encontrada

em DOMINGUES E IEZZI (2003, p. 265).

Teorema 4.1.12. Sejam A um anel e I um ideal de A. Então, I é ideal maximal de A

se, e somente se, A/I é um corpo.

19

A demonstração desse teorema pode ser encontrada em GONÇALVES (2015,

p.52).

Definição 4.1.13. Sejam A e B anéis. Uma função f : A→ B diz-se um homomorfismo

de anéis se satisfaz as seguintes condições:

i) f(x+ y) = f(x) + f(y), ∀x, y ∈ A;

ii) f(x · y) = f(x) · f(y), ∀x, y ∈ A;

iii) f(1A) = 1B.

Observação 4.1.14. Se f : A → B for um homomorfismo de anéis bijetor dizemos que

f é um isomorfismo de anéis de A em B. Neste caso escrevemos A ' B. Ainda, os

isomorfismos de A sobre si mesmo, ou seja, f : A→ A, são chamados de automorfismos

de A. O conjunto dos automorfismos de A é denotado por Aut (A).

Exemplo 4.1.15. Denotamos por Zn ={a; a ∈ Z

}o conjunto de todas as classes de

equivalência módulo n, para n ∈ N e a ={b ∈ Z; a ≡ b mod n

}. Agora, seja f : Z→ Zn,

f(x) = x, é homomorfismo de anéis.

De fato, tomando x, y ∈ Z, temos

i) f(x+ y) = x+ y = x+ y = f(x) + f(y);

ii) f(x · y) = x · y = x · y = f(x) · f(y);

iii) f(1) = 1.

Definição 4.1.16. Seja f : A → B um homomorfismo de anéis. Chamamos de núcleo

de f e representamos por Ker(f), o conjunto formado pelos elementos de A cuja imagem

por f é 0B ∈ B, isto é,

Ker(f) = {a ∈ A; f(a) = 0B}.

Além disso, definimos a imagem de f por

Im(f) = {y ∈ B;∃ a ∈ A tal que f(a) = y}.

20

4.2 NOÇÕES DE ÁLGEBRA LINEAR

Nesta subseção trataremos de alguns conceitos de álgebra linear necessários

para descrição de alguns resultados sobre extensões algébricas.

Definição 4.2.1. Sejam K um corpo e V um conjunto não vazio, onde estão definidas

as seguintes operações:

+ : V × V → V e · : K × V → V.

(u, v) 7→ u+ v (λ, v) 7→ λv

Dizemos que V munido dessas operações é um espaço vetorial sobre o corpo

K se as propriedades a seguir são verificadas para quaisquer u, v, w ∈ V e λ, µ ∈ K.

i) u+ (v + w) = (u+ v) + w;

ii) existe 0K ∈ V tal que u+ 0K = 0K + u = u;

iii) dado x ∈ V existe y ∈ V tal que x+ y = y + x = 0K;

iv) u+ v = v + u;

v) 1Kv = v, onde 1K é a unidade do corpo K;

vi) λ(u+ v) = λu+ λv e (µ+ λ)u = µu+ λu;

vii) λ(µv) = µ(λv) = (λµ)v.

Observação 4.2.2. Chamamos + de adição e · de multiplicação por escalar. Os elemen-

tos de V são chamados vetores.

Definição 4.2.3. Sejam K um corpo e V um espaço vetorial sobre K e ∅ 6= W ⊆ V .

Dizemos que W é um subespaço vetorial de V se:

i) w1, w2 ∈ W ⇒ w1 + w2 ∈ W ;

ii) λ ∈ K,w ∈ W ⇒ λw ∈ W .

Sejam v1, · · · , vn ∈ V . Dizemos que {v1, · · · , vn} é linearmente independente

(L.I) se a equação vetorialn∑i=1

αivi = 0, αi ∈ K, para cada i ∈ {1, 2, · · · , n} é satis-

feita apenas para os escalares α1 = α2 = · · · = αn = 0. Caso contrário, dizemos que

{v1, · · · , vn} é linearmente dependente (L.D).

21

Definição 4.2.4. Se u1, u2, · · · , ur ∈ V então,

W =

{r∑i=1

αiui;αi ∈ K, i ∈ {1, · · · , r}

}

é um subespaço vetorial de V. De fato, sejam w,w1, w2 ∈ W e λ ∈ K, temos

i) Se w1 =∑r

i=1 αiui e w2 =∑r

i=1 βiui, então w1 +w2 =∑r

i=1(αi +βi)ui ∈ W ;

ii) Se w =∑r

i=1 αiui, então λw = λ ·(∑r

i=1 αiui

)=∑r

i=1 λ(αiui) =

=∑r

i=1(λαi)ui ∈ W , pois λαi ∈ K, ∀ 1 ≤ i ≤ r.

Chamaremos W de subespaço gerado por u1, · · · , ur e denotaremos esse espaço

por W = 〈u1, · · · , ur〉.

Ainda, se um conjunto (ordenado) {v1, · · · , vn} ⊂ V for L.I. e tal que

〈v1, · · · , vn〉 = V , dizemos que {v1, · · · , vn} é uma base de V .

Teorema 4.2.5. Todo subconjunto linearmente independente S = {y1, · · · , yj} de um

espaço vetorial V de dimensão n ≥ 1 pode ser completado para formar uma base de V .

A demonstração desse teorema pode ser encontrada em BUENO (2006. p.

5).

Teorema 4.2.6.

a) Todo espaço vetorial V sobre um corpo K possui uma base.

b) Se um espaço vetorial V sobre um corpo K possui uma base com n elementos

então, toda base de V possui n elementos.

Demonstração. (a) Como V 6= {~0}, podemos considerar ~0 6= ~v ∈ V .

Note que ~v é L.I, então pelo Teorema 4.2.5 este conjunto pode ser estendido

a uma base de V .

(b) Sejam β = {~v1, · · · , ~vm} e γ = { ~u1, · · · , ~un} bases de V . Mostraremos

que m = n.

Como β gera V e γ é L.I, implica que n ≤ m e como γ gera V e β é L.I,

imploca que m ≤ n. Portanto, m = n.

22

Definição 4.2.7. Sejam V um espaço vetorial sobre o corpo K e {v1, · · · , vn} uma base

de V com n elementos, chamamos ao número n de dimensão de V sobre K e denotamos

[V : K] = n.

Diz-se que um espaço vetorial V tem dimensão finita quando admite uma

base com um número finito de elementos.

4.3 GRUPOS

Nesta seção abordaremos outro ponto chave para a Teoria de Galois, a Teoria

de Grupos.

4.3.1 Definições, Propriedades e Exemplos

Seja G um conjunto não vazio onde está definida uma operação entre pares

de G, denotada por

∗ : G×G→ G.

(x, y) 7→ x ∗ y

Dizemos que o par (G, ∗) é um grupo se são válidas as seguintes propriedades:

i) Associatividade:

a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c, ∀ a, b, c ∈ G;

ii) Elemento Neutro:

Existe e ∈ G tal que a ∗ e = e ∗ a, ∀ a ∈ G;

iii) Elemento Simétrico:

Para cada a ∈ G, existe b ∈ G tal que a ∗ b = b ∗ a = e.

Um elemento e satisfazendo o item ii) é chamado elemento neutro de G e, o

elemento b que satisfaz o item iii) é dito simétrico de a em G, que denotaremos por a−1.

Dizemos que o grupo (G, ∗) é um grupo abeliano, se satisfaz a seguinte pro-

priedade:

23

iv) Comutatividade:

a ∗ b = b ∗ a, ∀ a, b ∈ G.

A fim de simplificar notações, usaremos G em vez de (G, ∗) para denotar um

grupo. Usaremos ab, em vez de a ∗ b, para representar o resultado de a operado com b.

Ainda, usaremos a notação aditiva a ∗ b = a + b apenas para grupos abelianos e, nesse

caso, o simétrico de a é denotado por −a e b+ (−a) é denotado simplesmente por b− a,

e o elemento neutro será representado por 0.

Exemplo 4.3.1.

a) (Z,+), (R,+), (C,+) são grupos abelianos;

b) (Zn,+) é grupo abeliano finito com n elementos;

c) Seja R∗ = R\{0}. (R∗, ·) é grupo abeliano;

d) (N,+), (N∗, ·) e (Z∗, ·) não são grupos.

De fato, em (N,+) o elemento neutro é zero, mas para 1 ∈ N não existe x ∈ N

tal que 1 + x = 0. Em (N∗, ·) e (Z∗, ·), o elemento neutro é 1, mas para 2 ∈ N∗ ⊂ Z∗, não

existe x ∈ Z∗ tal que 2 · x = 1.

Proposição 4.3.2. Seja G um grupo. Então

a) Existe um único elemento neutro em G;

b) Para cada a ∈ G, existe um único simétrico de a em G;

c) Se a ∈ G e a−1 ∈ G é o simétrico de a, então o simétrico de a−1 é a, ou

seja,(a−1)−1

= a;

d) Se a, b ∈ G e a−1, b−1 ∈ G são seus simétricos, então o simétrico de ab é

b−1a−1.

Demonstração. (a) Supondo que e e ê sejam elementos neutros de G, temos eê = ê e

eê = e, donde e = ê.

24

(b) Sejam a′ e â os simétricos de a em G. Desse modo, aa′ = e = âa, donde

segue que

â = âe = â(aa′) = (âa)a′ = ea′ = a′.

(c) De fato, de a−1 ser o simétrico de a, temos

a−1a = aa−1 = e,

o que, por definição, significa que(a−1)−1

= a.

(d) Basta notar que

(ab)(b−1a−1) = a(bb−1)a−1 = aea−1 = aa−1 = e

e

(b−1a−1)(ab) = b−1(a−1a)b = b−1eb = b−1b = e.

Logo, (ab)−1 = b−1a−1.

Exemplo 4.3.3. Seja S um conjunto não vazio e considere

G = {f : S → S; f bijetiva}.

Se ◦ é a operação “composição de funções”, isto é

◦ : G×G→ G,

(g, f) 7→ g ◦ f

então G é um grupo tendo a função identidade

idS : S → S

x 7→ x

como elemento neutro.

Esse grupo é chamado de Grupo das Permutações do Conjunto S e chamamos

de permutação um elemento f ∈ G. No caso em que S = {1, 2, · · · , n}, denotaremos esse

grupo por Sn, e temos que o número de elementos de Sn é exatamente n!.

Agora, vamos mostrar que os grupos Sn, n ≥ 3, são exemplos de grupos não

abelianos. De fato, sejam f, g ∈ Sn definidas como segue

25

• f : {1, 2, 3, · · · , n} → {1, 2, 3, · · · , n}, dada por f(1) = 2, f(2) = 1,

f(x) = x, para cada 3 ≤ x ≤ n;

• g : {1, 2, 3, · · · , n} → {1, 2, 3, · · · , n} dada por g(1) = 2, g(2) = 3, g(3) = 1 e

se n ≥ 4, g(x) = x, para cada 4 ≤ x ≤ n.

Note que

(g ◦ f)(1) = g(f(1)

)= g(2) = 3 e (f ◦ g)(1) = f

(g(1)

)= f(2) = 1.

Assim, temos que g ◦ f 6= f ◦ g.

Em particular, S3 é um exemplo de um grupo não abeliano com exatamente

seis elementos.

É usual denotar um elemento f do grupo Sn por,

f =

1 2 3 · · · nf(1) f(2) f(3) · · · f(n)

.Assim, o grupo S3 é composto dos seguintes seis elementos:

e =

1 2 31 2 3

,f2 =

1 2 31 3 2

= f−12 ,f4 =

1 2 32 3 1

= f−15 ,

f1 =

1 2 32 1 3

= f−11 ,f3 =

1 2 33 2 1

= f−13 ,f5 =

1 2 33 1 2

= f−14 .Observação 4.3.4. Uma permutação α ∈ Sn é denominada um p-ciclo, p ≤ n, se existem

elementos distintos a1, · · · , ap ∈ {1, · · · , n} tais que

α(a1) = a2, α(a2) = a3, · · · , α(ap−1) = ap, α(ap) = a1,

e

a(j) = j,∀ j ∈ {1, · · · , n}\{a1, · · · , ap}.

Tal p − ciclo será denotado por (a1 · · · ap) e o número p é chamado o comprimento do

ciclo.

26

Os 2 − ciclos são também chamados de transposições. Chamamos de per-

mutação par uma permutação que pode ser expressa como o produto de um número par

de transposições, e denotamos o grupo de permutações pares de Sn por An.

A demonstração do que foi citado acima, pode ser encontrada em MARTIN

(2010, p. 172).

Exemplo 4.3.5. Seja f =

1 2 3 4 54 5 3 1 2

um elemento do grupo S5.Escrevendo f na notação de ciclos, obtemos f = (1 4)(2 5) ∈ S5. Note que, f

pode ser escrita como o produto de duas transposições, assim, f é dita uma permutação

par.

Definição 4.3.6. Sejam G um grupo e x ∈ G. Se n ∈ Z definimos xn como segue:

xn =

e, se n = 0;

xn−1 · x, se n > 0;

(x−n)−1, se n < 0.

Se m,n ∈ Z pode-se provar, usando indução, as seguintes propriedades:

i) xm · xn = xm+n;

ii) (xm)n = xmn.

Se denotarmos 〈x〉 = {xm;m ∈ Z} ⊂ G, como x0 = e, (xm)−1 = x−m e

xm · xn = xm+n, segue que 〈x〉 é um exemplo de subgrupo abeliano. O subgrupo 〈x〉 de

G é chamado subgrupo gerado por x. Ainda, o grupo 〈x〉 é chamado grupo ćıclico gerado

pelo elemento x ∈ G. Observe que, todo grupo ćıclico é abeliano.

Lema 4.3.7. Os ciclos (1 2) e (1 2 · · ·n) geram o grupo Sn.

A demonstração desse lema pode ser encontrada em GONÇALVES (2015, p.

164).

27

4.4 SUBGRUPOS E CLASSES LATERAIS

Nesta seção definiremos conceitos e traremos alguns resultados importantes,

dentre eles o Teorema de Lagrange.

Definição 4.4.1. Seja (G, ∗) um grupo e consideremos H ⊂ G, sendo H 6= ∅. Dizemos

que H é subgrupo de G quando:

i) e ∈ H;

ii) ∀ a, b ∈ H ⇒ ab ∈ H;

iii) (H, ∗) é um grupo.

Quando H é subgrupo de G, denotamos H ≤ G.

A seguir, veremos algumas proposições e exemplos sobre subgrupos.

Proposição 4.4.2. Seja G um grupo e H um subconjunto de G. As seguintes condições

são equivalentes:

a) H ≤ G;

b) Valem:

i) e ∈ H;

ii) ∀ a ∈ H tem-se a−1 ∈ H;

iii) ∀ a, b ∈ H tem-se ab ∈ H.

c) H 6= ∅ e ∀ a, b ∈ H tem-se ab−1 ∈ H.

Demonstração. (a) ⇒ (b) Seja H ≤ G. Precisamos verificar os itens i), ii) e iii). Da

Definição 4.4.1, temos que e ∈ H e (H, ∗) é um grupo. Em particular, temos o item i).

Pelo fato de (H, ∗) ser grupo, temos que para cada a ∈ H, existe a−1 ∈ H, logo temos

ii). E por fim, note que a operação ∗ é fechada em H, isto é ∗ : H ×H → H, e portanto

para cada a, b ∈ H, temos ab ∈ H, ou seja, vale iii).

28

(b) ⇒ (c) Primeiro, note que H ≤ ∅ pois pelo item i), temos que e ∈ H.

Dados a, b ∈ H, pelo item ii) temos que b−1 ∈ H. Assim, a, b−1 ∈ H e pelo item iii)

temos que ab−1 ∈ H.

(c)⇒ (a) Precisamos verificar os três itens da Definição 4.4.1. Como H 6= ∅,

existe c ∈ H. Por hipótese, cc−1 ∈ H. Logo, vale o item i) (da definição), ou seja, H

possui o neutro da operação. Agora, dado b ∈ H, temos e, b ∈ H, donde b−1 = eb−1 ∈ H,

por hipótese. Ou seja, para cada elemento de H, temos que o seu simétrico também está

em H.

Sejam a, b ∈ H. Sabemos que b−1 ∈ H. Utilizando a hipótese, e a Proposição

4.5.1 obtemos

ab = a(b−1)−1 ∈ H,

ou seja, a operação fechada em H.

Por fim, a associatividade de H é herdada de G e portanto (H, ∗) é um grupo,

com a operação de G, de modo que está provado que H ≤ G.

Exemplo 4.4.3. Seja H = {x ∈ R∗;x > 0}. Mostraremos que (H, ·) ≤ (R∗, ·).

Note que H 6= 0, pois 1 > 0. Portanto, 1 ∈ H. Ainda, para todo b ∈ H

temos que b > 0. Assim, b−1 =1

b> 0 e

∀ a, b ∈ H ⇒ a > 0 e b−1 > 0⇒ ab−1 > 0⇒ ab−1 ∈ H.

Logo, pela Proposição 4.4.2, item c) segue que (H, ·) ≤ (R∗, ·).

Proposição 4.4.4. Sejam x, y ∈ G e H ≤ G. Então x ≡ y(modH)⇔ xy−1 ∈ H define

uma relação de equivalência no conjunto G.

Demonstração. Para mostrar que x ≡ y(modH) ⇔ xy−1 ∈ H é relação de equivalência,

devemos mostrar que esta é reflexiva, simétrica e transitiva.

(i) Reflexiva: x ≡ x (modH), para cada x ∈ G, pois x · x−1 = e ∈ H;

(ii) Simétrica: x ≡ y (modH)⇒ y ≡ x (modH). De fato, se xy−1 ∈ H então,

yx−1 = (xy−1)−1 ∈ H.

29

(iii) Transitiva: x ≡ y (modH) e y ≡ z (modH)⇒ x ≡ z (modH). De fato,

se

xy−1 ∈ H e yz−1 ∈ H ⇒ xz−1 = (xy−1)(yz−1) ∈ H.

Por (i), (ii) e (iii), temos o que se pede.

Consideremos agora H ≤ G e x ∈ G. Temos então a classe de equivalência

de x, dada por

x̄ = {y ∈ G; y ≡ x (modH)}.

Assim,

y ∈ x̄⇔ y ≡ x (modH)⇔ yx−1 = h, para algum h ∈ H ⇔ y = hx,

para algum h ∈ H.

Se denotarmos Hx = {hx;h ∈ H} então, temos que x̄ = Hx que é cha-

mada classe lateral (à direita) de x, de H em G. De maneira análoga, teremos que

xH = {xh;h ∈ H}, chamada classe lateral (à esquerda) de x de H em G, será dada

pela classe de equivalência do elemento x ∈ G na relação de equivalência dada por

x ∼= y ⇔ x−1y ∈ H.

Com a representação de classes laterais (à direita), denotaremos o conjunto

quociente {x̄;x ∈ G} por G/H, ou seja, G/H = {Hx;x ∈ G} = {hx;h ∈ H};x ∈ G é o

conjunto de todas as classes laterais (à direita) de H em G.

Exemplo 4.4.5. Seja Z4 ={

0, 1, 2, 3}

. Vamos determinar as classes laterais à esquerda

e à direita de H ={

0̄, 2̄}

em (Z4,+) para cada elemento de Z4.

Como Z4 é grupo aditivo, temos que

x+H = {x+ h;h ∈ H} e H + x = {h+ x;h ∈ H}.

Assim,

• 0̄ +H = H + 0̄ = {0̄, 2̄};

• 1̄ +H = H + 1̄ = {1̄, 3̄};

• 2̄ +H = H + 2̄ = {0̄, 2̄};

• 3̄ +H = H + 3̄ = {1̄, 3̄}.

30

Note que, 0̄ +H = 2̄ +H e 1̄ +H = 3̄ +H. Dáı, segue que

(0̄ +H) ∩ (1̄ +H) = ∅ e Z4 = (0̄ +H) ∪ (1̄ +H).

Definição 4.4.6. Seja A um conjunto não vazio. Define-se como partição de A, qualquer

subconjunto P de P (A), onde P (A) é o conjunto das partes de A, que satisfaz as seguintes

condições, onde P (A) = {A1, A2, · · · , An}:

i) Ai 6= ∅, para i = 1, 2, · · · , n;

ii) Ai ⊂ A, para i = 1, 2, · · · , n;

iii) A = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An;

iv) Ai ∩ Aj = ∅, para i 6= j, com i, j = 1, 2, · · · , n.

Exemplo 4.4.7. Se A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, então X = {{1, 3}, {2, 4, 7}, {5}, {6, 8}} é

uma partição de A, com quatro elementos.

Suponhamos agora que G/H possui exatamente n classes laterais (à di-

reita) distintas, ou seja, G/H = {Hx1, Hx2, · · · , Hxn} onde x1, x2, · · · , xn ∈ G. Como

{Hx1, · · · , Hxn} é uma partição de G temos que Hxi ∩ Hxj = ∅ se i 6= j, isto é, duas

classes laterais à direita são iguais ou disjuntas e mais ainda, G = Hx1∪· · ·∪Hxn. Assim,

a união das classes laterais à direita disjuntas é G.

Se G é um grupo finito, definimos a ordem de G como sendo o número de

elementos de G, e denotamos por |G|. Além disso, para a ∈ G, definimos a ordem de a

como sendo∣∣〈a〉∣∣, e denotamos simplesmente por |a|.

Teorema 4.4.8. (Teorema de Lagrange) Se G é um grupo finito e H ≤ G, então |H| é

um divisor de |G| (isto é, a ordem de H é um divisor da ordem de G).

Demonstração. Suponhamos que G seja um grupo finito e H ≤ G. Assim, temos que o

conjunto G/H das classes laterais distintas (à direita) de G é finito e |G/H| = n, para

algum n ∈ N.

Seja G/H = {Hx1, · · · , Hxn} o conjunto das classes laterais à direita. Desta

forma, temos que G = Hx1 ∪Hx2 ∪ · · · ∪Hxn e Hxi ∩Hxj = ∅ para i 6= j.

31

Agora, para cada 1 ≤ i ≤ n, considere a função

ψi : H → Hxih 7→ hxi.

Temos que ψi é sobrejetiva, e ainda, se ψ(h) = ψ(h′) obtém-se hxi = h

′xi e

então h = h′, ou seja, ψi é bijetiva. Portanto, |Hxi| = |H|, para cada i ∈ {1, 2, · · · , n}.

Logo,

|G| = |Hx1|+ |Hx2|+ · · ·+ |Hxn| = |H|+ |H|+ · · ·+ |H| = n · |H|.

E, portanto, |H|∣∣∣|G|.

Corolário 4.4.9. Todo grupo finito de ordem prima é ćıclico (em particular é abeliano).

Demonstração. Seja G um grupo tal que |G| = p, onde p é um número primo. Se x ∈ G,

x 6= e, então 〈x〉 é um subgrupo de G contendo o conjunto {e, x}. Assim, pelo Teorema

de Lagrange, temos que∣∣〈x〉∣∣ é um divisor de |G| = p e ∣∣〈x〉∣∣ > 1.

Portanto,∣∣〈x〉∣∣ = p e isso nos diz que G = 〈x〉.

Corolário 4.4.10. Se G é um grupo tal que |G| ≤ 5 então G é abeliano.

Demonstração. Se |G| = 1 então, G = {e}, que é abeliano.

Se |G| = 2, |G| = 3 e |G| = 5, pelo Corolário 4.4.9 segue que G é abeliano.

Para |G| = 4, temos a seguinte solução. Se existe x 6= e, x ∈ G, tal que

〈x〉 = G, então G é ćıclico e, portanto, abeliano.

Suponhamos então que para qualquer x ∈ G, com x 6= e, temos 〈x〉 6= G.

Dáı, pelo Teorema de Lagrange segue que∣∣〈x〉∣∣ = 2. Assim,

x2 = e⇒ x−1 = x,∀x ∈ G.

Portanto, se x, y ∈ G tem-se xy = (xy)−1 = y−1x−1 = yx, ou seja, G é

abeliano.

32

4.5 GRUPOS QUOCIENTES E HOMOMORFISMOS DE GRUPOS

Sejam G um grupo e H ≤ G. Para g ∈ G, definimos a função ψg (conjugação

pelo elemento g ∈ G) por,

ψg : G→ G

x 7→ ψg(x) = xg = g−1xg.

Observe que ψg(H) = {ψg(h);h ∈ H} = {hg = g−1hg;h ∈ H}, que denota-

remos por Hg ou g−1Hg, também é um subgrupo de G, pois:

i) e = g−1eg = eg ∈ Hg, onde “e” é o elemento neutro de G;

ii) hg1, hg2 ∈ Hg ⇒ h

g1h

g2 = (g

−1h1g)(g−1h2g) = g

−1h1(gg−1)h2g = g

−1h1eh2g =

= g−1h1h2g = (h1h2)g ∈ Hg;

iii) hg ∈ Hg ⇒ (hg)−1 = (g−1hg)−1 = g−1h−1g = (h−1)g ∈ Hg.

Assim, a função conjugação transforma subgrupos de G em subgrupos de G.

Dizemos que um subgrupo H ≤ G é normal (ou invariante em G) se

ψg(H) = Hg ⊆ H, para cada g ∈ G.

Note que Hg ⊆ H ⇒ g−1Hg ⊆ H e Hg−1 ⊆ H. Dáı, (g−1)−1H (g−1) ⊆ H e

portanto gHg−1 ⊆ H. Dáı, H ⊆ g−1Hg ⊆ H, ou seja, H ⊆ Hg ⊆ H, e portanto H = Hg.

Se H é um subgrupo normal de G, então denotaremos por H / G. Note

que, {e} e G são sempre subgrupos normais de G. Ainda, se G é um grupo abeli-

ano, então qualquer subgrupo H de G é normal em G, pois para cada g ∈ G, temos

Hg = {g−1hg;h ∈ H} = {h;h ∈ H} = H.

Dizemos que um grupo G 6= {e} é simples se os únicos subgrupos normais de

G são {e} e G.

No que segue, veremos algumas proposições sobre subgrupos normais.

Proposição 4.5.1. Seja G um grupo. Então,

a) N / G⇔ Ng = gN,∀ g ∈ G, onde gN = {gn;n ∈ N};

33

b) N1, N2 / G⇒ N1 ∩N2 / G;

c) H ≤ G e N / G⇒ HN = {hn;h ∈ H,n ∈ N} é um subgrupo de G;

d) N1 / G,N2 / G⇒ N1N2 / G;

e) H ≤ G,N / G⇒ H ∩N / H.

Demonstração. (a) Observemos que N / G⇔ N g = g−1Ng = N ⇔ Ng = gN , para cada

g ∈ G.

(b) Seja x ∈ N1 ∩ N2 e g ∈ G. Desta forma, temos que x ∈ N1 e x ∈ N2 e,

assim, xg ∈ N g1 = N1 e xg ∈ Ng2 = N2, ou seja, x

g ∈ N1∩N2. Logo, (N1∩N2)g = N1∩N2,

para cada g ∈ G.

(c) Seja H ≤ G e N / G. Vamos provar que L = HN = {hn;h ∈ H,n ∈ N}

é um subgrupo de G. De fato,

i) e = ee ∈ HN .

ii) Note que

h1n1, h2n2 ∈ L⇒ (h1n1)(h2n2) = h1((h2h

−12 )n1h2

)n2

⇒ (h1n1)(h2n2) = (h1h2)(h−12 n1h2

)n2 = (h1h2)

((n1)

h2n2)

e tomando h = h1h2 e n = nh21 n2 teremos h ∈ H, nh21 ∈ Nh2 = N e

n = nh21 n2 ∈ N e, assim,

(h1n1)(h2n2) = hn ∈ L = HN.

iii) Observe que x = hn ∈ L implica que x−1 = (hn)−1 = n−1h−1 = h−1(hn−1h−1).

Porém, h−1 ∈ H e hn−1h−1 = (n−1)h−1 ∈ Nh−1 = N e, portanto,

x−1 ∈ L = HN .

(d) Observamos que para cada g ∈ G, tem-se

(N1N2)g = g−1(N1N2)g = (g

−1N1g)(g−1N2g) = N

g1N

g2 .

34

Como N g1 = N1, Ng2 = N2, para cada g ∈ G, segue que (N1N2)g = N1N2, para cada

g ∈ G.

(e) Seja x ∈ H ∩N e h ∈ H. Então x ∈ N e xh ∈ Nh = N . Como x, h ∈ H,

segue que h−1xh = xh ∈ H, e portanto, xh ∈ H ∩N , para cada h ∈ H.

Agora, considere G um grupo e H / G. De acordo com a Proposição 4.4.4,

temos que G/H = {g; g ∈ G} é o conjunto quociente de G pela relação de equivalência

x ∼= y ⇔ xy−1 ∈ H, dizemos que g = Hg = {hg;h ∈ H} é a classe de equivalência módulo

H tendo g como representante.

Sendo H / G vamos agora introduzir uma operação no conjunto das classes

G/H de modo que G/H seja um grupo com esta operação, tal grupo receberá o nome de

grupo quociente de G por H. Defina ∗ por,

∗ : G/H ×G/H → G/H,

(Hx,Hy) 7→ Hxy

ou seja, x ∗ y = xy.

Proposição 4.5.2. Seja G um grupo e H / G. Então, a operação x ∗ y = xy, para cada

x, y ∈ G, define uma operação no conjunto das classes G/H e mais ainda, G/H é um

grupo com essa operação.

Demonstração. Para demonstrarmos que x ∗ y = xy define uma operação em G/H temos

que provar que a definição acima não depende da escolha dos representantes das classes.

De fato, se x = a e y = b provaremos que x ∗ y = a ∗ b, isto é, xy = ab.

Para isso é suficiente provarmos que Hxy = Hab ou ainda (xy)(ab)−1 ∈ H.

Mas xy(ab)−1 = xyb−1a−1 e x = a, y = b nos diz que xa−1 ∈ H, yb−1 ∈ H.

Se xa−1 = h1 ∈ H, yb−1 = h2 ∈ H então,

(xy)(ab)−1 = x(yb−1)a−1 = x(h2)a−1 = (h1a)(h2)a

−1 = h1(ah2a−1)

e como h1 ∈ H e ah2a−1 ∈ Ha−1

= H, pois H / G, segue que

(xy)(ab)−1 ∈ H.

35

Assim, nossa definição não depende da escolha dos representantes.

Agora, se e é a identidade de G, então,

i) e = He = H é o elemento identidade de G/H, pois e ∗ x = ex = x = xe =

= x ∗ e, para cada x ∈ G/H.

ii) x ∗ (y ∗ z) = x ∗ (yz) = x(yz) = (xy)z = (xy) ∗ z = (x ∗ y) ∗ z, para cada

x, y, z ∈ G/H.

iii) se x ∈ G/H então ∃x−1 ∈ G/H tal que x−1 ∗ x = x ∗ x−1 = e, ou seja, todo

elemento x ∈ G/H possui simétrico em G/H.

Portanto, G = G/H é um grupo com a operação definida pela regra

x ∗ y = xy, para cada x, y ∈ G.

Proposição 4.5.3. Seja G um grupo e H / G. Então,

a) Se G abeliano, então G = G/H é abeliano;

b) Se G ćıclico, então G = G/H é ćıclico.

Demonstração. (a) Sejam x, y ∈ G = G/H. Então,

x ∗ y = xy = yx = y ∗ x.

(b) Se G = 〈x〉 = {xm;m ∈ Z} então para cada y = Hy ∈ G = G/H temos

que y ∈ G = 〈x〉 e, assim, y = xm para algum m ∈ Z. Dáı segue que

y = xm = xm ∈ 〈x〉 = {xr; r ∈ Z}.

Portanto, G = 〈x〉.

Se estamos utilizando a notação aditiva para um grupo G e H / G, então

denotaremos também aditivamente o grupo quociente G/H. Desta forma,

(H + x) + (H + y) = x+ y = x+ y = H + (x+ y),

36

onde

x = H + x = {h+ x;h ∈ H}

e

y = H + y = {h+ y;h ∈ H}.

Proposição 4.5.4. Sejam G um grupo, H / G e G = G/H o grupo quociente de G por

H. Então,

π : G→ G

x 7→ π(x) = x

é uma função sobrejetiva (projeção canônica) tal que:

a) π(xy) = π(x) ∗ π(y),∀x, y ∈ G;

b) H = {x ∈ G; π(x) = e} onde e é a identidade de G e e é a identidade de G.

Demonstração. (a) Note que π(xy) = xy = x ∗ y = π(x) ∗ π(y), para cada x, y ∈ G.

(b) Observe que

π(x) = e⇔ x = e⇔ x ∈ H.

No que segue, vamos definir e ver alguns resultados sobre homomorfismos de

grupos.

Definição 4.5.5. Sejam G e G′ grupos e ψ : G→ G′ uma função de G em G′. Dizemos

que ψ é um homomorfismo de grupos se ψ(xy) = ψ(x)ψ(y), para cada x, y ∈ G.

Exemplo 4.5.6. Observe que a projeção canônica π : G → G = G/H definida na

Proposição 4.5.4 é um homomorfismo de grupos de G sobre G/H.

Proposição 4.5.7. Seja ψ : G→ G′ um homomorfismo de grupos. Então:

a) ψ(e) = e′, onde e, e′ são os neutros de G,G′, respectivamente;

b) ψ(g)−1 = ψ(g−1), ∀ g ∈ G.

37

Demonstração. Sejam (G, ·) e (G′, ∗) grupos ψ : G→ G′ um homomorfismo. Temos que

(a) ψ(e) = ψ(e · e) = ψ(e) ∗ψ(e). Operando em ambos os lados da igualdade

com(ψ(e)

)−1, obtemos e′ = ψ(e).

(b) e′ = ψ(e) = ψ(g ·g−1) = ψ(g)∗ψ(g−1). Analogamente, e′ = ψ(g−1)∗ψ(g).

Dessas igualdades segue que ψ(g−1) = ψ(g)−1.

Se a função ψ : G → G′ for um homomorfismo de grupos bijetor, dizemos

que ψ é um isomorfismo. Nesse caso podemos simplesmente dizer que G é isomorfo a

G′ e denotamos por G ' G′. Os isomorfismos de grupos de G sobre si mesmo, ou seja,

ψ : G→ G, são chamados de automorfismos deG. A seguir, um exemplo de automorfismo.

Exemplo 4.5.8. Seja p um número primo. A aplicação f : Z[√p] −→ Z[√p],

f(a+ b√p) = a− b√p é um automorfismo do grupo (Z[√p],+).

De fato, sejam a+ b√p, c+ d

√p ∈ Z[√p]. Temos que

f((a+ b

√p) + (c+ d

√p))

= f((a+ c) + (b+ d)

√p)

= (a+ c)− (b+ d)√p

= (a− b√p) + (c− d√p)

= f(a+ b√p) + f(c+ d

√p).

Portanto, f é homomorfismo de grupos.

Note que para a + b√p ∈ Z[√p], tomamos a− b√p ∈ Z[√p], e obtemos que

f(a− b√p) = a+ b√p. Assim, temos que f é uma aplicação sobrejetiva.

Ainda, note que, se f(a+ b√p) = f(c+ d

√p) então,

a− b√p = c− d√p⇒ a = c e b = d⇒ (a+ b√p) = (c+ d√p),

ou seja, f é injetora.

Como f é injetora e sobrejetora, temos que f é um homomorfismo de grupos

bijetor e, sendo f uma aplicação de Z[√p] em Z[√p], segue que f é automorfismo do

grupo(Z[√p],+

).

38

As funções ψg : G → G, conjugação pelo elemento g ∈ G, apresentadas

no ińıcio desta subseção são exemplos de automofirmos de G, chamados automorfismos

internos de G. Denotaremos por Inn (G) o conjunto dos automorfismos internos de G.

A seguir, veremos alguns resultados sobre homomorfismos de grupos.

Proposição 4.5.9. Se G é um grupo e f1, f2 ∈ Aut (G) então,

a) f1 ◦ f2 ∈ Aut (G);

b) f−11 ∈ Aut (G), onde f−11 é a função inversa de f1.

Demonstração. (a) Sejam f1, f2 ∈ Aut (G). Temos que

(f1 ◦ f2)(xy) = f1(f2(xy)

)= f1

(f2(x)f2(y)

)= f1

(f2(x)

)f1(f2(y)

)= (f1 ◦ f2)(x)(f1 ◦ f2)(y), ∀x, y ∈ G.

Da definição de automorfismo, temos que f1 e f2 são funções bijetoras e, como

a composição de funções bijetoras é uma função bijetora, obtemos que f1 ◦ f2 ∈ Aut (G).

(b) Se f1 ∈ Aut (G) então, para cada x′, y′ ∈ G existem x, y ∈ G tais que

x′ = f1(x) e y′ = f1(y).

Assim, se h = f−11 temos,

h(x′y′) = h(f1(x)f1(y)

)= h

(f1(xy)

)= (h ◦ f1)(xy) = (f−11 ◦ f1)(xy) = xy = h(x′)h(y′).

Logo, f−11 = h ∈ Aut (G).

Proposição 4.5.10. Seja G um grupo.

a)(Aut (G), ◦

)é grupo;

b) Inn (G) / Aut (G).

Demonstração. (a) Sejam f, ϕ ∈ Aut (G). Segue da Proposição 4.5.9 que ϕ◦f ∈ Aut (G).

Logo, a composição é uma operação em Aut (G).

39

i) Como a composição de funções é uma operação associativa, temos que vale

a associatividade em(Aut (G), ◦

).

ii) Note que a função identidade idG : G→ G, id(x) = x, para cada x ∈ G, é o

elemento neutro de Aut (G).

iii) Seja f ∈ Aut (G). Pela Proposição 4.5.9, temos que f−1 ∈ Aut (G).

Portanto,(Aut (G), ◦

)é grupo.

(b) Mostramos primeiro que Inn (G) ≤ Aut (G).

Tomamos ψg, ψh ∈ Inn (G) e, assim, devemos mostrar que ψg ◦ (ψh)−1 ∈

Inn (G). Note que (ψh)−1 = ψh−1 . Logo, para cada n ∈ G, temos:

(ψg ◦ ψh−1)(x) = ψg(ψh−1(x)

)= ψg(h

−1xh) = gh−1xhg−1

= (gh−1)x(gh−1)−1 = ψgh−1(x).

Portanto, ψg ◦ ψh−1 = ψgh−1 ∈ Inn(G), ou seja, Inn(G) ≤ Aut(G).

Agora, tomando ψg ∈ Inn (G), ϕ ∈ Aut (G), mostraremos que ϕ ◦ ψg ◦ ϕ−1 é

elemento de Inn (G), ou seja, ϕ ◦ ψg ◦ ϕ−1 ∈ Inn (G). Dado x ∈ G, temos(ϕ ◦ ψg ◦ ϕ−1

)(x) = ϕ

(ψg(ϕ−1(x)

))= ϕ

(gϕ−1(x)g−1

)= ϕ(g)ϕ

(ϕ−1(x)

)ϕ(g−1)

= ϕ(g)xϕ(g−1)

= ϕ(g)xϕ(g)−1 = ψϕ(g)(x) ∈ Inn (G).

Logo, Inn (G) / Aut (G).

Teorema 4.5.11. (1◦ Teorema do Homomorfismo) Sejam G e G′ grupos com neutros “e”

e “e′”, respectivamente, e ψ : G→ G′ um homomorfismo de grupos. Então,

a) Im (ψ) = ψ(G) = {ψ(G); g ∈ G} é um subgrupo de G′;

b) Ker(ψ) = {g ∈ G;ψ(g) = e′} é um subgrupo normal de G (chamado de

núcleo do homomorfismo de grupos ψ). Além disso, ψ é injetiva se, e somente

se, Ker(ψ) = {e}.

40

Demonstração. (a) Note que e′ = ψ(e) ∈ Im (ψ) pois,

ee = e⇒ ψ(e)ψ(e)⇒ ψ(e) = e′ ∈ Im (ψ).

Logo, Im (ψ) 6= ∅;

Considere agora ψ(g1), ψ(g2) ∈ Im (ψ). Logo,

ψ(g1)ψ(g2)−1 = ψ(g1)ψ(g

−12 ) = ψ(g1g

−12 ) ∈ Im (ψ).

Segue portanto da Proposição 4.4.2, item c) que Im(ψ) ≤ G.

(b) Note que e ∈ Ker(ψ), pois ψ(e) = e′.

Considere agora g1, g2 ∈ Ker(ψ). Logo, ψ(g1g2) = ψ(g1)ψ(g2) = e′e′ = e′.

Assim, g1g2 ∈ Ker(ψ).

Seja g ∈ Ker(ψ). Então g−1 ∈ G e é tal que ψ(g−1) = ψ(g)−1 =

= (e′)−1 = e′, o que implica, g−1 ∈ Ker(ψ). Logo, pela Proposição 4.4.2, item b), te-

mos que Ker(ψ) ≤ G.

Agora, se n ∈ Ker(ψ) e g ∈ G temos que

ψ(g−1ng) = ψ(g−1)ψ(n)ψ(g) = ψ(g)−1e′ψ(g) = ψ(g)−1ψ(g) = e′,

ou seja, g−1ng ∈ Ker(ψ) para cada n ∈ Ker(ψ), g ∈ G. Assim, Ker(ψ) / G.

Agora, resta ver a última afirmação. Sejam x, y ∈ G. Então

ψ(x) = ψ(y)⇔ ψ(x)ψ(y)−1 = ψ(y)ψ(y)−1

⇔ ψ(x)ψ(y)−1 = e′ ⇔ ψ(xy−1) = e′ ⇔ xy−1 ∈ Ker(ψ).

Dáı, se Ker(ψ) = {e}, temos que ψ(x) = ψ(y) implica que xy−1 = e e

portanto x = y, ou seja, ψ é injetiva. Reciprocamente, se ψ é injetiva, note que para

x ∈ Ker(ψ) obtemos que x = xe−1, e portanto ψ(x) = ψ(e) então pela injetividade de ψ

segue que x = e, neste caso Ker(ψ) = {e}.

Teorema 4.5.12. Seja f : G→ G′ um homomorfismo de grupos. Então,

f :G

Ker(f)→ Im(f)

gKer(f) 7→ f(g)

é isomorfismo de grupos.

41

Demonstração. Como os elementos deG

Ker(f)são classes de equivalência, devemos mos-

trar que f não depende da escolha dos representantes da classe lateral.

Mostraremos que se g1Ker(f) = g2Ker(f), então f(g1Ker(f)

)= f

(g2Ker(f)

).

Temos que g1Ker(f) = g2Ker(f) implica em g1 ∈ g2Ker(f). Assim,

g1Ker(f) = g2Ker(f)⇒ g1 = g2x para algum x ∈ Ker(f)

⇒ f(g1) = f(g2x) = f(g2)f(x) = f(g2)

⇒ f(g1Ker(f)

)= f(g1) = f(g2) = f

(g2Ker(f)

).

Logo, f está bem definida.

Note que f é homomorfismo de grupos, pois dados g1Ker(f), g2Ker(f) ∈G

Ker(f)tem-se:

f(g1Ker(f)g2Ker(f)

)= f

(g1g2Ker(f)

)= f(g1g2)

= f(g1)f(g2) = f(g1Ker(f)

)f(g2Ker(f)

).

Note que f é sobrejetiva, pois dado u ∈ Im(f), temos que u = f(g), para

algum g ∈ G. Tomando gKer(f) ∈ GKer(f)

, vem que f(gKer(f)

)= f(g) = u.

Agora, mostraremos que f é injetiva, e faremos isso provando que

Ker(f)

= {Ker(f)}.

Seja gKer(f) ∈ GKer(f)

então,

gKer(f) ∈ Ker(f)⇔ f

(gKer(f)

)= e′ ⇔ f(g) = e′

⇔ g ∈ Ker(f)⇔ gKer(f) = Ker(f).

Portanto, Ker(f)

= {Ker(f)} e f é isomorfismo de grupos.

Definição 4.5.13. Sejam p um número primo e G um grupo. Se |G| = pn, n ∈ N,

dizemos que G é um p-grupo.

Corolário 4.5.14. Sejam G um grupo finito e ψ : G→ G′ um homomorfismo de grupos.

Então,

42

a)∣∣ψ(G)∣∣ é um divisor de |G|;

b) Se G é um p-grupo, então ψ(G) = Im (ψ) é também um p-grupo.

Demonstração. (a) Observe que G/Ker(ψ) ' ψ(G) pelo Teorema 4.5.12 temos que

|G/Ker(ψ)| = |ψ(G)|. Como |G/Ker(ψ)| = |G|/|Ker(ψ)|, segue que |G| = |Ker(ψ)| ·

|ψ(G)|. Logo, |ψ(G)| é divisor de |G|.

(b) Seja G é um p-grupo. Pelo item (a), temos que∣∣ψ(G)∣∣ é divisor de |G|.

Como |G| = pn, para algum n ∈ N, temos que |ψ(G)|∣∣pn, e portanto |ψ(G)| = pk, para

algum k ∈ N, k ≤ n. Logo, ψ(G) é também um p-grupo.

Definição 4.5.15. Seja G um grupo. Então, chamamos de centro do grupo G, e denota-

mos por Z(G), o conjunto Z(G) = {a ∈ G; ax = xa,∀x ∈ G}.

Proposição 4.5.16. Seja G um grupo. Então, Z(G) é um subgrupo de G.

Demonstração. Primeiro observamos que e ∈ Z(G), pois ex = x = xe, para cada x ∈ G.

Além disso, se a, b ∈ Z(G), então (ab)x = a(bx) = a(xb) = (ax)b = (xa)b = x(ab), para

cada x ∈ G, ou seja, ab ∈ Z(G). Por fim, se a ∈ Z(G), então ax = xa, para cada x ∈ G,

e portanto xa−1 = a−1x, ou seja, a−1 ∈ Z(G). Logo, pela Proposição 4.4.2, item b), segue

que Z(G) ≤ G.

O próximo resultado é um corolário do Teorema 4.5.12:

Corolário 4.5.17. Seja G um grupo e Z(G) o centro do grupo G. Então,

Inn (G) ' G/Z(G).

Demonstração. Observe que a função,

ψ : G→ Inn (G)

g 7→ ψg−1

é um homomorfismo de grupos tal que: Im(ψ) = Inn (G) e Ker(ψ) = Z(G). De fato, ψ

é um homomorfismo de grupos, pois ψ(gh) = ψ(gh)−1 e, para cada x ∈ G, temos

ψ(gh)−1(x) = (gh)x(h−1g−1)

= g(h · xh−1)g−1

= ψg−1(ψh−1(x)

),

43

ou seja, ψ(gh) = ψ(gh)−1 = ψg−1 ◦ ψh−1 = ψ(g)ψ(h), para cada g, h ∈ G.

Agora, Im(ψ) = Inn(G) e

Ker(ψ) = {g ∈ G;ψg−1 = idg}

= {g ∈ G; gxg−1 = x, ∀x ∈ G}

= {g ∈ G; gx = xg ∀, x ∈ G} = Z(G).

Portanto, Ker(ψ) = Z(G).

Teorema 4.5.18. (Teorema da Correspondência) Sejam G e G′ grupos e ψ : G→ G′ um

homomorfismo sobrejetivo. Então

a) Para cada H ≤ G tem-se H ′ = ψ(H) = {ψ(h);h ∈ H} ≤ G′. Mais ainda, se

H / G, então H ′ / G′.

b) Para cada H ′ ≤ G′ existe um único H ≤ G, onde H = ψ−1(H ′) =

= {g ∈ G;ψ(g) ∈ H ′} ⊇ Ker(ψ) e é tal que ψ(H) = H ′. Além disso,

se H ′ / G′, então H / G.

A demonstração desse teorema pode ser encontrada em GONÇALVES (2015,

p. 149).

Definição 4.5.19. Um grupo G diz-se solúvel se existem subgrupos

{e} = G0 ≤ G1 ≤ G2 ≤ · · · ≤ Gn−1 ≤ Gn = G tais que

a) Gi−1 / Gi,∀ i ∈ {1, 2, · · · , n};

b) Gi/Gi−1 é abeliano, para cada i ∈ {1, 2, · · · , n}.

Assim, grupos abelianos e p-grupos são exemplos de grupos solúveis.

Teorema 4.5.20. O grupo An, com n ≥ 5 é simples.

A demonstração desse teorema pode ser encontrada em GONÇALVES

(2015, p. 165).

44

Corolário 4.5.21. O grupo Sn, como n ≥ 5, não é solúvel.

Demonstração. Basta observar que An ≤ Sn e An é não solúvel, pois An é um grupo

simples, ou seja, os únicos subgrupos normais de An são os triviais.

Corolário 4.5.22. Seja G um grupo e N / G. Então, todo subgrupo do grupo quociente

G = G/N é do tipo H = H/N onde H é o único subgrupo de G contendo N tal que

π(H) = H onde π : G → G = G/N é a projeção canônica (H recebe o nome de pré-

imagem de H em G). Mais ainda,

H / G⇔ H / G.

Demonstração. Sejam G um grupo, N /G e π : G→ G = G/N a projeção canônica. Pelo

Teorema 4.5.18, item b), temos que para cada H ≤ G, existe único H = π−1(H) = {g ∈

G; π(g) ∈ H} ⊇ Ker(π), H ≤ G e é tal que π(H) = H.

O resultado segue notando que Ker(π) = N . Além disso, note que H /G se,

e somente se, H / G, decorre dos itens a) e b) do Teorema 4.5.18.

4.6 EXTENSÕES ALGÉBRICAS DOS RACIONAIS

4.6.1 Extensões de Corpos

Nesta subseção abordaremos alguns dos conceitos necessários para estudar a

Teoria de Galois para extensões de corpos K tais que Q ⊂ K ⊂ C.

Definição 4.6.1. Seja K um anel. Chamamos de polinômio sobre K em uma indetermi-

nada x a expressão p(x) dada por p(x) = a0 + a1x+ · · ·+ amxm + · · · , onde ai ∈ K, com

i ∈ N e, existe n ∈ N tal que aj = 0 para todo j ≥ n.

Observação 4.6.2. Como existe n ∈ N tal que aj = 0 para todo j > n e an 6= 0, então

o polinômio p(x) poderá ser escrito simplesmente por p(x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn, onde

an 6= 0.

Observação 4.6.3. Denotaremos por K[x] o conjunto de todos os polinômios sobre K

em uma indeterminada x.

45

Seja K um corpo. Se p(x) = a0 + a1x + a2x2 + · · · + anxn ∈ K[x] e

q(x) = b0+b1x+· · ·+bmxm ∈ K[x] com, por exemplo n ≥ m, completando com coeficientes

iguais a zeros, se for necessário, podemos escrever q(x) = b0 +b1x+ · · ·+bmxm+ · · ·+bnxn.

Definimos as operações de adição e multiplicação de p(x) com q(x), respectivamente, por

i) p(x) + q(x) = (a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ anxn) + (b0 + b1x+ b2b2 + · · ·+ bnxn)

= (a0 + b0) + (a1 + b1)x+ (a2 + b2)x2 + · · ·+ (an + bn)xn ∈ K[x]

ii) p(x) · q(x) = (a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ anxn) · (b0 + b1x+ b2b2 + · · ·+ bnxn)

= c0 + c1x+ c2x2 + · · ·+ canxan ∈ K[x],

onde ck =∑

i+j=k

aibj = a0bk + a1bk−1 + · · ·+ akb0.

Ainda, temos que existe o elemento neutro da adição de K[x] e é o polinômio

identicamente nulo de K, definido por 0 + 0 · x + 0 · x2 + · · · , em que 0 indica o zero do

corpo K. Observe que, K[x] é um anel com estas operações.

A demonstração do que foi descrito acima pode ser encontrada em DOMIN-

GUES E IEZZI (2003, p. 283).

Agora, considere p(x) = a0 +a1x+ · · ·+anxn um polinômio não nulo de K[x]

tal que an = 1. Neste caso, dizemos que p(x) é um polinômio mônico em K[x]. Ainda,

dizemos que p(x) tem grau n quando an 6= 0 e aj = 0 para todo j > n e denotamos

∂ p(x) = n para simbolizar que p(x) tem grau n.

Definição 4.6.4. Seja p(x) ∈ K[x] tal que ∂ p(x) ≥ 1. Dizemos que p(x) é um polinômio

irredut́ıvel sobre K se, sempre que p(x) é expresso como um produto p(x) = g(x) · h(x),

com g(x), h(x) ∈ K[x], então g(x) = a ou h(x) = b, com a, b ∈ K. Se p(x) não for

irredut́ıvel sobre K dizemos que p(x) é redut́ıvel sobre K.

Lema 4.6.5. (Lema de Gauss) Seja p(x) ∈ Z[x] tal que p(x) é irredut́ıvel sobre Z. Então

p(x) é irredut́ıvel sobre Q.

A demonstração dessa proposição pode ser encontrada em GONÇALVES

(2015, p. 82).

Teorema 4.6.6. (Critério de Eisenstein) Seja p(x) = a0 +a1x+ · · ·+anxn um polinômio

em Z[x]. Suponhamos que exista um inteiro primo p tal que:

46

a) p - an;

b) p | a0, a1, · · · , an−1;

c) p2 - a0.

Então, p(x) é irredut́ıvel sobre Q.

Demonstração. Pelo Lema 4.6.5 é suficiente provar que p(x) é irredut́ıvel sobre Z. Supo-

nhamos por contradição que,

p(x) = g(x) · h(x); com g(x), h(x) ∈ Z[x]

e

1 ≤ ∂ g(x), ∂ h(x) < ∂ p(x) = n.

Sejam

g(x) = b0 + b1x+ · · ·+ brxr ∈ Z[x], ∂ g(x) = r

e

h(x) = c0 + c1x+ · · ·+ csxs ∈ Z[x], ∂ h(x) = s.

Assim, n = r + s.

Agora, b0 · c0 = a0 e, assim, p | b0 ou p | c0. Como p2 - a0 segue que p divide

apenas um dos inteiros b0, c0. Vamos admitir, sem perda de generalidade, que p | b0 e

p - c0.

Agora, an = br · cs é o coeficiente de xn = xr+s e portanto p - br e p | b0. Seja

bi o primeiro coeficiente de g(x) tal que p - bi.

Agora, ai = b0 ·ci+b1 ·ci−1 + · · ·+bi ·c0 e, portanto, como p | b0, · · · , bi−1, mas

p - bi e p - c0. Logo p - ai, e portanto i = n, o que é um absurdo, pois 1 ≤ i ≤ r < n.

Definição 4.6.7. Seja K um corpo. Dizemos que L ⊃ K é uma extensão de K se K for

um subcorpo de L.

Definição 4.6.8. Sejam K um corpo e L ⊃ K. Dizemos que α ∈ L é algébrico sobre

K se existe p(x) ∈ K[x] − {0K} tal que p(α) = 0K. Caso contrário, dizemos que α é

transcendente sobre K.

47

Observação 4.6.9. Se α ∈ K, então α é algébrico sobre K, pois é raiz de p(x) = x− α

com p(x) ∈ K[x]− {0K}.

Definição 4.6.10. Uma extensão de corpos L ⊃ K é dita algébrica se para todo α ∈ L,

α é algébrico sobre K.

Desta forma, supondo α ∈ L algébrico sobre K e p(x) ∈ K[x], mônico, de

menor grau tal que p(α) = 0K , temos, pela minimalidade do grau de p(x), que este é o

único polinômio mônico irredut́ıvel em K[x] tal que p(α) = 0K . Assim, denotaremos por

p(x) = irr(α,K) tal polinômio.

Definição 4.6.11. Se α ∈ L ⊃ K, definimos K[α] ={p(α); p(x) ∈ K[x]

}.

Note que K[α] é um subdomı́nio de L que contém K. De fato, se a ∈ K

tomamos o polinômio de grau zero p(x) = a e, assim, a = p(α) ∈ K[α].

Teorema 4.6.12. Se α ∈ L ⊃ K e Ψ : K[x] → L é definida por Ψ(p(x)

)= p(α), então

Ψ é um homomorfismo de anéis tal que:

i) Im(Ψ) = K[α] e K ⊂ K[α] ⊂ L;

ii) α é transcendente sobre K ⇔ Ker(Ψ) = {0K};

iii) se α é algébrico sobre K e p(x) = irr(α,K) então, Ker(Ψ) = K[x] · p(x) é

um ideal maximal de K[x];

iv) K[x]/Ker(Ψ) ' K[α].

Corolário 4.6.13. Seja α ∈ L ⊃ K.

a) Se α é algébrico sobre K, então K[α] é um subcorpo de L que contém K.

b) Se α é transcendente sobre K, então K[α] é um subdomı́nio de L isomorfo

ao domı́nio K[x] dos polinômios em uma indeterminada x.

As demonstrações do Teorema 4.6.12 e do Corolário 4.6.13 serão omitidas e

podem ser encontradas em Gonçalves (2015, p. 89).

Corolário 4.6.14. Se α, β ∈ L ⊃ K são ráızes de um mesmo polinômio irredut́ıvel sobre

K então K[α] e K[β] são corpos isomorfos.

48

A demonstração desse corolário pode ser encontrada em GONÇALVES (2015,

pg. 90).

Proposição 4.6.15. Sejam L ⊃ K e α ∈ L algébrico sobre K. Se o grau do polinômio

irr(α,K) é n, então:

a) dado p(x) ∈ K[x], temos que p(α) pode ser expresso de modo único na forma

p(α) = a0 + a1α + · · ·+ an−1αn−1, onde ai ∈ K;

b) K[α] = {a0 + a1α+ · · ·+ an−1αn−1; ai ∈ K} é um subcorpo de L que contém

K.

A demonstração desta proposição pode ser encontrada em GONÇALVES

(2015, p. 90).

Definição 4.6.16. Seja K um corpo. Se todo polinômio não constante de K[x] tem pelo

menos uma raiz em K, diz-se que K é um corpo algebricamente fechado.

Consideraremos agora K um subcorpo de C. Se p(x) ∈ K[x] é um polinômio

de grau n ≥ 1 e α1, α2, · · · , αr são todas as ráızes distintas de p(x) em C, temos que

p(x) = an · (x− α1)m1 · · · (x− αr)mr em C[x],

onde an ∈ K e r,m1, · · · ,mr são inteiros positivos. Neste caso, dizemos que o inteiro mi é

a multiplicidade da raiz αi e, em particular, se mi = 1 dizemos que αi é uma raiz simples

de p(x).

Para definirmos a derivada de p(x), suponha que p(x) = a0+a1x+· · ·+anxn ∈

K[x]. Representamos a derivada de p(x) por p′(x) onde, p′(x) = a1+2a2x+· · ·+nanxn−1 ∈

K[x]. Observe que se ∂ p(x) = n ≥ 1, então p′(x) 6= 0 e ∂ p′(x) = n− 1.

Sejam p(x), q(x) ∈ K[x] e a ∈ K. Seguem as seguintes propriedades:

i)(p(x) + q(x)

)′= p′(x) + q′(x);

ii)(a · p(x)

)′= a · p′(x);

iii)(p(x) · q(x)

)′= p′(x) · q(x) + p(x) · q′(x).

Proposição 4.6.17. Sejam p(x) ∈ K[x], ∂p(x) = n ≥ 1 e α ∈ C uma raiz de p(x).

Então,

49

a) α é raiz simples de p(x) se, e somente se, p(α) = 0 e p′(α) 6= 0;

b) se p(x) é irredut́ıvel sobre K, então todas as ráızes de p(x) são simples.

A demonstração dessa proposição pode ser encontrada em GONÇALVES

(2015, p. 92).

Definição 4.6.18. Chamamos de corpo de decomposição de um polinômio p(x) ∈ K[x]

sobre K o subcorpo de C que contém K e todas as ráızes de p(x) em C, o qual será

denotado por L = Gal(p,K).

Exemplo 4.6.19. Sejam α = 3√

2 ∈ R e β = 3√

2·

(−1

2+

√3

2i

)∈ C uma raiz complexa de

x3−2 ∈ Q[x]. Também temos que o conjugado de β dado por β = 3√

2 ·

(−1

2−√

3

2i

)∈ C

é solução de x3 − 2. Assim, α, β e β são as 3 distintas ráızes de x3 − 2 ∈ Q[x] e nesse

caso, Gal(x3 − 2,Q) = Q[α, β].

Pela fórmula de De Moivre, temos que u = cos

(2π

n

)+ isen

(2π

n

)é uma

raiz n-ésima da unidade. De fato,

un =

(cos

(2π

n

)+ isen

(2π

n

))n= cos

(2πn

n

)+ isen

(2πn

n

)= cos(2π) + isen(2π) = 1 + i · 0 = 1.

Exemplo 4.6.20. Vamos mostrar que se α = n√

2 ∈ R e u = cos(

2π

n

)+ i · sen

(2π

n

),

então Gal(xn − 2,Q) = Q[α, u] = Q[α, β], onde β = α · u é uma raiz de xn − 2 ∈ C[x].

Por definição, temos que Gal(xn − 2,Q) = Q[α, αu, αu2, · · · , αun−1], onde

α, αu, · · · , αun−1 são as ráızes do polinômio xn − 2.

Tomando K = Gal(xn − 2,Q), vamos mostrar que u ∈ K;∀ i ≤ i ≤ n − 1.

Como α ∈ K temos que α−1 ∈ K, pois K é corpo. Assim,

ui = α−1(αui) ∈ K, ∀ 1 ≤ i ≤ n− 1.

Portanto, K ⊇ Q[α, u, u2, · · · , un−1] ⊇ Q[α, u].

No entanto, u ∈ Q[α, u] e, portanto, ui ∈ Q[α, u], ∀ 1 ≤ i ≤ n − 1. Logo,

αui ∈ Q[α, u], para cada 1 ≤ i ≤ n− 1.

50

4.6.2 Grau de uma Extensão Algébrica

Definição 4.6.21. Seja K um corpo. Uma extensão de corpos L ⊃ K diz-se finita se

[L : K] = n, caso contrário L ⊃ K diz-se uma extensão infinita.

Proposição 4.6.22. Sejam K um corpo e L ⊃ K uma extensão de K. Então,

a) se L ⊃ K é finita, então L ⊃ K é algébrica;

b) se α ∈ L ⊃ K é um elemento algébrico sobre K e ∂ irr(α,K) = n, então

{1, α, · · · , αn−1} é uma base do espaço vetorial K[α] sobre K e [K[α] : K] =

n;

c) se α ∈ L ⊃ K é um elemento transcendente sobre K então, K[α] ⊃ K é uma

extensão infinita.

Demonstração. (a) Sejam [L : K] = m e α ∈ L ⊃ K. Sendo K[α] um subespaço de L,

segue que [K[α] : K] ≤ m. Se [K[α] : K] = n ≤ m, então {1, α, · · · , αn} é L.D., pois n é

o número máximo de elementos L.I. e, portanto, existem escalares a0, a1, · · · , an ∈ K não

todos nulos tais que

a0 + aiα + · · ·+ anαn = 0,

e isso nos diz que α é algébrico sobre K.

(b) Seja α ∈ L ⊃ K um elemento algébrico sobre K tal que ∂ irr(α,K) = n.

Vimos na Proposição 4.6.15, item a), que todo elemento de K[α] pode ser escrito de forma

única como combinação linear sobre K de 1, α, · · · , αn−1. Assim, {1, α, · · · , αn−1} é uma

base de K[α] sobre K e isto nos diz que [K[α] : K] = n.

(c) Seja α ∈ L ⊃ K um elemento transcendente sobre K. Temos que não

existe 0 6= p(x) ∈ K[x] tal que p(α) = 0. Assim, {1, α, · · · , αn} é L.I, para todo n ∈ N.

De fato, suponhamos que para algum n ∈ N{1, α, · · · , αn} é L.D. Dáı, existem ai ∈ K

tais que a0 + a1α+ · · ·+ anαn = 0. Então p(x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn ∈ K[x] é tal que

p(α) = 0, um absurdo. Portanto, K[α] sobre K é uma extensão infinita.

Corolário 4.6.23. Seja α ∈ L ⊃ K. Então, as seguintes afirmações são equivalentes:

i) α é algébrico sobre K;

51

ii) [K[α] : K] = n, para algum n ∈ N;

iii) K[α] é uma extensão algébrica de K.

Demonstração. (i)⇒ (ii) Como α é algébrico sobreK, temos que existe p(x) = irr(α,K) =

a0 + a1x+ · · ·+ an−1xn−1 + anxn com ∂ irr(α,K) = n. Portanto, pela Proposição 4.6.22

segue que[K[α] : K

]= n.

(ii)⇒ (iii) Por hipótese, temos que K[α] ⊃ K é finita. Logo, pela Proposição

4.6.22, K[α] ⊃ K é algébrica.

(iii) ⇒ (i) Por hipótese temos que K[α] ⊃ K é algébrica e, como α ∈ K[x],

pela definição de extensão algébrica, conclúımos que α é algébrico sobre K.

Proposição 4.6.24. Sejam M ⊃ L ⊃ K corpos tais que M ⊃ L e L ⊃ K são extensões

finitas. Então, M ⊃ K é uma extensão finita e [M : K] = [M : L] · [L : K].

A demonstração dessa proposição pode ser encontrada em GONÇALVES

(2015, p. 99).

Corolário 4.6.25.

a) Q̄C = {α ∈ C;α algébrico sobre Q} é um subcorpo de C, que é uma extensão

algébrica infinita de Q.

b) Q̄R = {α ∈ R;α algébrico sobre Q} é um subcorpo de R, que é uma extensão

algébrica infinita de Q.

A demonstração desse corolário pode ser encontrada em GONÇALVES (2015,

p. 100).

Corolário 4.6.26. Sejam K ⊃ Q tal que [K : Q] = m e p(x) ∈ Q[x] um polinômio

irredut́ıvel sobre Q de grau n. Se m.d.c(m,n) = 1, então p(x) é um polinômio irredut́ıvel

sobre K.

A demonstração desse corolário pode ser encontrada em GONÇALVES (2015,

p. 101).

Corolário 4.6.27. Seja L = Gal(xp− 2,Q), onde p é primo. Então, [L : Q] = p · (p− 1).

52

Demonstração. De fato, sabemos pelo Exemplo 4.6.20 que L = Gal(xp− 2,Q) = Q[α, u],

onde α = p√

2 ∈ R e u = cos(

2π

p

)+ i · sen

(2π

p

)∈ C é uma raiz p-ésima primitiva da

unidade.

Agora, pela Proposição 4.6.24, [L : Q] =[L : Q[α]

]·[Q[α] : Q

]e pelo

Teorema 4.6.6 temos que p(x) = xp − 2 é irredut́ıvel sobre Q, e pela Proposição 4.6.22,

conclúımos que[Q[α] : Q

]= p, pois p(x) = irr(α,Q). Note que, se K = Q[α], obtemos

L = K[u] ⊃ K ⊃ Q.

Como u é raiz p-ésima primitiva da unidade, u é raiz de xp−1 +xp−2 + · · ·x+1

e este é irredut́ıvel pelo Teorema 4.6.6. Como [K : Q] = p e m.d.c.{p, p− 1} = 1, temos,

pelo Corolário 4.6.26 que xp−1 + xp−2 + · · · + x + 1 é irredut́ıvel sobre K, tendo u como

raiz. Portanto,[K[u] : K

]= p− 1, onde L = K[u] e K = Q[α], como queŕıamos.

Teorema 4.6.28. Seja L ⊃ K ⊃ Q tal que L ⊃ K é uma extensão finita. Então, existe

u ∈ L tal que L = K[u].

Corolário 4.6.29. Seja L ⊃ K ⊃ Q tal que L ⊃ K é uma extensão finita. Então,

[L : K] ≥ |AutK L|, onde |AutK L| denota o número de elementos do conjunto

AutK L = {f ∈ AutL; f(λ) = λ,∀λ ∈ K}.

As demonstrações do Teorema 4.6.28 e do Corolário 4.6.29 podem ser encon-

tradas em Gonçalves (2015, p. 102).

53

5 TEORIA DE GALOIS ELEMENTAR

Nessa seção veremos alguns resultados para extensões L ⊃ K finitas, tais que

C ⊃ L ⊃ K ⊃ Q, ou seja, todas as extensões L ⊃ K serão de subcorpos de C contendo

Q.

5.1 EXTENSÕES GALOISIANAS E EXTENSÕES NORMAIS

Definição 5.1.1. Seja L ⊃ K uma extensão finita. Dizemos que L ⊃ K é uma extensão

galoisiana se existe p(x) ∈ K[x] tal que L = Gal(p,K).

Definição 5.1.2. Seja L ⊃ K uma extensão algébrica. Dizemos que L ⊃ K é normal se

para todo q(x) ∈ K[x], irredut́ıvel sobre K, que possui uma raiz α ∈ L, possui todas as

ráızes complexas em L.

Observe que se L ⊃M ⊃ K são extensões tais que L ⊃ K é galoisiana, então

L ⊃M é também galoisiana. No entanto, M ⊃ K não é, necessariamente, galoisiana. De

fato, considere L = Gal(x3 − 2,Q), M = Q[

3√

2]

e K = Q, temos, pelo Exemplo 4.6.19,

que L ⊃ M ⊃ K e ainda L ⊃ K é galoisiana, pois p(x) = x3 − 2 ∈ K[x] = Q[x], então

L ⊃ M também é galoisiana. Porém, M ⊃ K não é galoisiana, pois se fosse galoisiana,

teŕıamos M = Gal(p(x),Q) para algum p(x) ∈ Q[x] tal que p(

3√

2)

= 0. Neste caso, temos

que (x3 − 2)/p(x), ou seja, p(x) = (x3 − 2)g(x), para algum g(x) ∈ Q[x]. Dáı, note que

β (como no Exemplo 4.6.19) é raiz de p(x), e portanto β ∈ M , pois M = Gal(p(x),Q).

Mas isto é um absurdo, pois β 6∈M , uma vez que M = Q[ 3√

2] ⊆ R e β 6∈ R.

No que segue, mostraremos que uma extensão finita L ⊃ K é galoisiana se,

e somente se, L ⊃ K é normal. Porém, precisaremos de algumas definições e de alguns

resultados sobre extensões de isomorfismos.

Sejam K,K ′ corpos e

σ : K → K ′

a 7→ σ(a) = a′

um isomorfismo de corpos deK sobreK ′. Se p(x) = a0+a1x+· · ·+anxn é um polinômio em

K[x], definimos pσ(x) = a′0+a′1x+· · ·+a′nxn ∈ K ′[x], onde a′i = σ(ai) para i = 0, 1, · · · , n.

54

Note que se p(x) = p1(x)p2(x) · · · pk(x), onde pj(x) ∈ K[x], para j = 1, · · · , k,

são irredut́ıveis sobre K, então pσ(x) = pσ1 (x) · pσ2 (x) · · · pσk(x), onde pσj (x) ∈ K ′[x], com

j = 1, · · · , k, são irredut́ıveis sobre K ′.

Em particular, se todas as ráızes de p(x) estão em K, temos que cada pj(x)

possui grau 1 e, portanto, cada pσj (x) também possui grau 1. Dáı, segue que todas a ráızes

de pσ(x) estão em K ′.

Proposição 5.1.3. Sejam K,K ′ ⊃ Q corpos, σ : K → K ′ um isomorfismo e h(x) ∈ K[x]

um polinômio irredut́ıvel sobre K. Se α ∈ C é uma raiz de h(x) e β ∈ C é uma raiz de

hσ(x) então, existe um único isomorfismo de corpos σ̂ : K[α]→ K ′[β] tal que σ̂(α) = β e

σ̂∣∣∣K

= σ.

Demonstração. Seja α uma raiz de h(x) ∈ K[x] e β uma raiz de hσ(x) ∈ K ′[x]. Como α

e β são ráızes de polinômios em K[x] e K ′[x], respectivamente, temos que são algébricos

sobre K e K ′, respectivamente. Dáı, pelo Corolário 4.6.13 temos que K[α] eK ′[β] são

corpos e ainda, se ∂ h(x) = ∂ hσ(x) = r segue, da Proposição 4.6.22, que

i) K[α] = {p(α); p(x) ∈ K[x]} = {a0 + a1α + · · · + ar−1αr−1; ai ∈ K} e

{1, α, α2, · · · , αr−1} é uma base do espaço vetorial K[α] sobre o corpo K.

ii) K ′[β] = {p(β); p(x) ∈ K ′[x]} = {a′0 + a′1β + · · · + a′r−1βr−1; ai ∈ K} e

{1, β, β2, · · · , βr−1} é uma base do espaço vetorial K ′[β] sobre o corpo K ′.

Definindo a aplicação,

σ̂ : K[α]→ K ′[β]r−1∑i=1

aiαi 7→

r−1∑i=1

σ(ai)βi

temos que

σ̂(p(x)

)= σ̂

(a0 + a1α + · · ·+ ar−1αr−1

)= σ (a0) + σ (a1) β + · · ·+ σ (ar−1) βr−1

é um isomorfismo do corpo K[α] sobre o corpo K ′[β] tal que σ̂(α) = β e σ̂∣∣∣K

= σ, e ainda,

σ̂ é o único com essas duas condições.

Corolário 5.1.4. Sejam K,K ′ corpos, σ : K → K ′ um isomorfismo de corpos, p(x) ∈

K[x] e α ∈ C uma raiz de p(x). Então, existe β ∈ C raiz de pσ(x) ∈ K ′[x] e existe um

55

isomorfismo

σ1 : K[α]→ K ′[β]

tal que

σ1(α) = β e σ1

∣∣∣K

= σ.

Demonstração. Seja p(x) = p1(x)m1p2(x)

m2 · · · pk(x)mk , onde p1(x), · · · , pk(x) são os dis-

tintos fatores irredut́ıveis de p(x) em K[x]. Desta forma, temos que

pσ(x) = pσ1 (x)m1pσ2 (x)

m2 · · · pσk(x)mk , onde pσ1 (x), · · · , pσk(x) são os distintos fatores irre-

dut́ıveis de pσ(x) em K ′[x].

Como α é raiz de p(x), podemos assumir que α é raiz de p1(x). Logo, para β

qualquer raiz do polinômio pσ1 (x), segue pela Proposição 5.1.3 que existe um isomorfismo

de corpos σ1 : K[α]→ K ′[β] tal que σ1(α) = β e σ1∣∣∣K

= σ.

Teorema 5.1.5. Sejam K,K ′ corpos, σ : K → K ′ um isomorfismo de corpos, p(x) ∈ K[x]

e α1, · · · , αr as distintas ráızes de p(x) em C. Se L = Gal(p,K) e L′ = Gal(pσ, K ′), então

existe um isomorfismo σ̂ : L→ L′ tal que σ̂∣∣∣K

= σ e mais ainda, σ̂(α1), · · · , σ̂(αr) são as

distintas ráızes de pσ(x) em C.

Demonstração. Suponhamos que p(x) ∈ K[x] possua uma única raiz α1, então temos

p(x) = (x − α1)m em C[x], porém, isto implica que α1 ∈ K e, portanto, σ(α1) ∈ K ′ é a

única raiz de pσ(x) em C e neste caso L = K, L′ = K ′ e existe um isomorfismo de corpos

satisfazendo σ̂ = σ : L→ L′ e σ̂∣∣∣L

= σ.

Agora, se p(x) = p1(x)m1 · · · pk(x)mk , onde pi(x) ∈ K[x] são distintos po-

linômios irredut́ıveis sobre K, temos que pσ(x) = pσ1 (x)m1 · · · pσk(x)mk , onde pσi (x) ∈ K ′[x]

são distintos polinômios irredut́ıveis sobre K ′.

Sabemos, pela Proposição 4.6.17 que o número r de ráızes distintas de p(x)

em C é dado por r = ∂ p1(x)+∂ p2(x)+· · ·+∂ pk(x) e, portanto, temos como consequência

que o número de ráızes distintas de pσ(x) em C é também igual a r. Tome β1, β2, · · · , βrcomo sendo as r distintas ráızes em C do polinômio pσ(x) ∈ K ′[x].

Seja K1 = K[α1], K2 = K1[α2], · · · , Kr = Kr−1[αr].

56

Pela Proposição 5.1.4, temos que existe β ∈ {β1, · · · , βr} e existe isomor-

fismo de corpos σ1 : K[α1] → K ′[β] tal que σ1(α1) = β e σ1∣∣∣K

= σ. Renomeando

β1 = σ1(α1) = β, temos que existe β ∈ {β1, · · · , βr} e o isomorfismo σ1 : K[α1]→ K ′[β1]

tal que

σ1(α1) = β1 e σ1

∣∣∣K

= σ.

Seja K ′[β1] = K′1. Assim, temos σ1 : K1 → K ′1 isomorfismo de corpos tal que

σ1(α1) = β1 e σ1

∣∣∣K

= σ.

Agora, como p(x) ∈ K[x] e σ1∣∣∣K

= σ segue que p(x) ∈ K1[x] e pσ1(x) = pσ(x).

Aplicando novamente a Proposição 5.1.4, para os corpos K1, K′1 e

σ1 : K1 → K ′1,