Introducao Aos Sistemas Dinamicos

8/9/2019 Introducao Aos Sistemas Dinamicos

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Introduo aosIntroduo aos

Sistemas DinmicosSistemas DinmicosUMA ABORDAGEM PR ATICA COM MAXIMA

Jaime E. Villate9 789729 939600

ISBN 972-99396-0-8


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Introduc ao aos sistemas din amicos: uma abordagem pr atica com MaximaCopyright c 2005, 2006 Jaime E. VillateE-mail: [email protected]

Esta publicac ao e distribuda sob os termos da licenca Attribution-ShareAlike2.5 da Creative Commons,que pode ser consultada em http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.5/deed.pt oupedindo uma c opia para: Creative Commons, 543 Howard Street, 5th Floor, San Francisco, California,94105, USA.

ISBN: 972-99396-0-8

Vers ao 1.0, Marco de 2006

A imagem na capa e o conjunto de Julia do n umero complexo 0.75 + i 0.1, com 48 iterac oes. Os pontosque saem fora da regi ao de converg encia ap os o mesmo n umero de iterac aoes sao representados com amesma cor. Os pontos a preto continuma dentro da regi ao de converg encia ap os as 48 iterac oes.
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Conte udo

Pref acio xiii

1 Introduc ao 11.1 Equac oes diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Resoluc ao de problemas de fsica usando Maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Perguntas de escolha multipla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Sistemas din amicos discretos 9

2.1 Evoluc ao dos sistemas discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Analise graca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Pontos xos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4 Pontos peri odicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5 Resoluc ao numerica de equac oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5.1 M etodo de iterac ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.5.2 M etodo de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.6 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21


2.8 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 Sistemas din amicos contnuos 25

3.1 Equac oes diferenciais de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2 Campo de direcc oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3 Sistemas din amicos de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3.1 Queda livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3.2 Circuito RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.4 Sistemas aut onomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32


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iv CONTE UDO

3.4.1 Diagrama de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.5 Metodo de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.6 Resoluc ao anal tica de equac oes diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.6.1 Equac oes de vari aveis separ aveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.6.2 Equac oes lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.6.3 Equac oes exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.6.4 Equac oes homog eneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.6.5 Equac ao de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.6.6 Equac ao de Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.7 Refer encias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.8 Perguntas de escolha m ultipla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.9 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4 Sistemas cont nuos de segunda ordem 51

4.1 Queda livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.2 Lancamento de proj ecteis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.3 Sistemas de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.3.1 Diagrama de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.4 Resoluc ao analtica de equac oes de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.4.1 Equac oes autonomas de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.5 Sistemas n ao autonomos e derivadas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . 63

4.6 Eliminac ao de singularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.7 Refer encias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.8 Perguntas de escolha m ultipla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.9 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5 Sistemas lineares 67

5.1 Osciladores lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.2 Sistemas lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.3 Pontos xos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.4 Vectores e valores pr oprios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.4.1 Valores pr oprios reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.4.2 Razes complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.5 Classsicac ao dos sistemas de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.6 Nos proprios e impr oprios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.7 Pontos xos n ao hiperbolicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81


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CONTE UDO v

5.8 Osciladores amortecidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.9 Oscilac oes nos circuitos el ectricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.10 Refer encias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.11 Perguntas de escolha m ultipla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.12 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6 Sistemas n ao lineares 91

6.1 Linearizac ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6.2 O pendulo simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6.3 Metodo de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

6.4 Sistemas de equac oes de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.5 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103


6.7 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

7 Sistemas hamiltonianos 107

7.1 Funcao hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

7.2 Traject orias no espaco de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

7.3 Pontos xos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

7.4 Sistemas potenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

7.5 Pendulo de Wilberforce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

7.6 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

7.7 Perguntas de escolha m ultipla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

7.8 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

8 Ciclos limite 119

8.1 Oscilac oes auto-excitadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

8.2 Existencia de ciclos limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

8.3 Inexist encia de ciclos limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1248.4 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126


8.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

9 Coexist encia de duas esp ecies 129

9.1 Sistemas predador-presa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

9.2 Sistemas com competicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

9.3 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132


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CONTE UDO vii

A Tutorial de Maxima 175

A.1 A interface do Maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

A.2 Entrada e sada de dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176A.3 Vari aveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

A.4 Constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

A.5 Equac oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

A.6 Gracos de func oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

A.7 Func oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

A.8 Algebra e trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

A.9 Calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

A.10 Equac oes diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

A.11 Guardar informac ao entre sess oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

B Programas adicionais 189

Respostas 191

Indice Remissivo 195

Bibliograa 198


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Lista de Figuras

1.1 Pot encia dissipada numa resist encia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Traject oria de uma part cula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1 Soluc ao de yn+ 1 = cos( yn) com y0 = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2 Diagrama de degraus para xn+ 1 = cos( xn) com x0 = 2. . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Soluc oes de yn+ 1 = y2n 0.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4 Orbitas do modelo logstico discreto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.5 Metodo de Newton para aproximac ao a uma raz. . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.1 Campo de direcc oes da equac ao y = y + x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Campo de direcc oes da equac ao v = g. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.3 Campo de direcc oes para a velocidade de um p ara-quedista. . . . . . . . . . . . 303.4 Circuito RC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.5 Campo de direcc oes para o circuito RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.6 Linha de fase para a velocidade do para-quedista. . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.7 Linha de fase para o circuito RC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.8 Linha de fase do sistema aut onomo x = 4 x2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.9 Metodo de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.10 Soluc ao numerica e soluc ao exacta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.1 Altura em func ao do tempo, de um p ara-quedista. . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.2 Traject oria de um proj ectil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.3 As funcoes f e g denem a velocidade de fase das orbitas do sistema. . . . . . . 56

4.4 Diagrama de fase do sistema 4.13, com v arias orbitas, e representacao de umaorbita em func ao do tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.5 Campo de direccoes do sistema x= y, y= x e soluc ao com estado inicial x(0) = 3e y(0) = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.1 Esfera suspensa por uma mola vertical. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67


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x LISTA DE FIGURAS

5.2 Evoluc ao do oscilador harm onico simples, no espaco de fase e no dom nio do tempo. 69

5.3 Retrato de fase do sistema linear x = x + y, y = x/ 2 + y. A origem e um no instavel. 74

5.4 Retrato de fase do sistema linear x = x + 2 y, y = x + y. A origem e um ponto de sela. 755.5 Retrato de fase do sistema linear x = x2 y, y = x y. A origem e um centro. . . 775.6 Retrato de fase do sistema linear x = x2 y, y = x y. A origem e um foco est avel. 785.7 Classicac ao dos sistemas lineares de segunda ordem, em func ao do traco e o

determinante da matriz do sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.8 Retratos de fase com n o proprio e com n o improprio. . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.9 Retrato de fase do sistema linear x = x + 2 y, y = x + 2 y. Existem pontos xos n aohiperb olicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.10 Oscilador harmonico amortecido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.11 Evoluc ao do oscilador harm onico com amortecimento fraco. . . . . . . . . . . . 835.12 Circuito LCR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.1 Campo de direcc oes do sistema x = 4 x2 4 y2, y = y2 x2 + 1. . . . . . . . . . 926.2 Retrato de fase do sistema x = 4 x2 4 y2, y = y2 x2 + 1. . . . . . . . . . . . 946.3 Retrato de fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6.4 Diagrama de fase do p endulo simples, e uma orbita do sistema. . . . . . . . . . . 97

6.5 Orbita do oscilador harm onico simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

6.6 Os quatro valores da derivada usados no m etodo de Runge-Kutta de quarta ordem.Neste caso para o sistema x = x + t 2; a verde, mostra-se a soluc ao exacta dessesistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.7 Solucoes do sistema x = t x2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.8 Uma traject oria do sistema x = 4 x2 4 y2, y = y2 x2 + 1. . . . . . . . . . . . 1037.1 Retrato de fase para a func ao hamiltoniana H = ( y2 x2)/ 2 x3/ 3. . . . . . . . 1107.2 Pendulo de Wilberforce. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

7.3 Evoluc ao do alongamento e do angulo de rotac ao no pendulo de Wilberforce. . . 114

7.4 Subespaco de fase, formado pelo alongamento e o angulo, e traject oria do sistema. 114

7.5 Evoluc ao do alongamento e o momento linear (azul) e do angulo e momento an-gular (verde); o tempo aumenta na vertical. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

8.1 Circuito que d a origem a oscilac oes auto-excitadas. . . . . . . . . . . . . . . . . 119

8.2 Caracterstica corrente an odica-tens ao da grelha de um trodo de vacuo. . . . . . 120

8.3 Soluc ao da equac ao de van der Pol para um valor pequeno do par ametro = 0.17. 121

8.4 Soluc ao da equac ao de van der Pol para um valor intermedio do par ametro = 1. 121

8.5 Soluc ao da equac ao de van der Pol para o par ametro = 1.28. . . . . . . . . . . 122

8.6 Retrato de fase de um sistema com ciclo limite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123


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LISTA DE FIGURAS xi

8.7 Retrato de fase do sistema x = y+ x(12 x2 3 y2), doty = x + y(12 x2 3 y2). 1249.1 Possvel ciclo num sistema predador-presa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

9.2 Retrato de fase do modelo de Holling-Tanner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

10.1 Retrato de fase para negativo; n ao existem pontos xos. . . . . . . . . . . . . . 136

10.2 Retratos de fase para = 0 (esquerda) com um ponto xo nao-hiperb olico, e para positivo (direita) com um ponto de sela e um n o estavel. . . . . . . . . . . . . . 137

10.3 Diagrama de bifurcac oes para x = x2, y = y. . . . . . . . . . . . . . . . . . 13810.4 Bifurcac ao transcr tica do sistema x = x x2, y = y. . . . . . . . . . . . . . . 13910.5 Diagrama de bifurcacao do sistema x = x x2, y = y. . . . . . . . . . . . . . 13910.6 Bifurcac ao de forquilha no sistema x = x

x3, y =

y. . . . . . . . . . . . . . . 140

10.7 Diagrama de bifurcacao do sistema x = x x3, y = y. . . . . . . . . . . . . . 14110.8 Pendulo simples ligado a uma mola e diagrama de corpo livre. . . . . . . . . . . 142

10.9 Diagrama de bifurcac ao do ponto de equil brio do p endulo com mola e energiapotencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

10.10Dois membros da famlia de mapas quadr aticos, com c = 1 e c = 1/ 4. . . . . . . 14510.11As func oes Q (vermelho) e Q2 (verde) para c = 0 e c = 3/ 4. . . . . . . . . . . 14610.12Para c = 1 o sistema tem um ciclo de ordem 2 e para c = 2 existem ciclos com

qualquer perodo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

10.13c=-2.2 e conjunto de Cantor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

10.14Diagrama de bifurcacoes do mapa quadr atico e amplicac ao de uma regi ao. . . . 148

10.15Os tr es poss veis tipos de orbitas limitadas num sistema cont nuo de segunda ordem. 149

10.16Oscilac oes do sistema de Lorenz para dois valores muito pr oximos do valor inicial: x(0) = 5 (vermelho) e x(0) = 5.005 (azul). Par ametros: a = 10, b = 8/ 3, r = 28, y(0) = 5, z(0) = 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

10.17Trajectoria no espaco de fase, projectada no plano xz, do sistema de Lorenz. Osparametros s ao os mesmos da gura 10.16, com x(0) = 5. . . . . . . . . . . . . . 150

10.18O caso c = 2.3 (com par ametros a = b = 0.2) conduz a um ciclo de fronteira comperodo simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

10.19O caso c = 3.3 (com par ametros a = b = 0.2) conduz a um ciclo de fronteira comperodo duplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

11.1 Evoluc ao do sistema de Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

11.2 Mapa de H enon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

11.3 Uma regi ao do mapa de H enon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

11.4 O fractal obtido e uma regiao amplicada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

11.5 Tri angulo de Sierpinski e quadrado fractal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

11.6 Arvore fractal, gerada com um sistema iterativo de 3 func oes. . . . . . . . . . . . 161


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xii LISTA DE FIGURAS

11.7 Fractal em forma de folha, gerado com 4 transformac oes. . . . . . . . . . . . . . 162

11.8 As 4 transformacoes usadas para obter o feto de Barnsley. . . . . . . . . . . . . . 163

12.1 Conjunto de Julia para c = 0.55 + i0.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16812.2 Conjunto de Julia para c = 0.75 + i0.1, com 36 iterac oes e 48 iterac oes. . . . . 16912.3 Conjunto de Julia para c = 0.75 + i0.1, com 160 e 300 iterac oes. . . . . . . . . 17012.4 Conjunto de Julia para c = 1, com 24 iterac oes, e ampliac ao da regiao perto de

(0 + i0.6), com 36 iterac oes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17012.5 O conjunto de Mandelbrot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

12.6 Uma pequena regi ao dentro do conjunto de Mandelbrot. . . . . . . . . . . . . . . 172

A.1 Xmaxima, versao 5.9.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

A.2 Graco do polin omio 3 x3 + 5 x2 x+ 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180A.3 Graco das func oes seno e co-seno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

A.4 Graco da func ao sin( x) sin( y), obtido com Gnuplot . . . . . . . . . . . . . . . . 182A.5 Graco da func ao sin( x) sin( y), obtido com Openmath . . . . . . . . . . . . . . . 182


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Pref acio

Este livro e modicado com bastante frequ encia. O numero da vers ao actual aparece na contra-capa, e a vers ao mais recente pode ser sempre obtida na Web em http://fisica.fe.up.pt/pub/maxima/sistdinam.pdf . O autor est a tambem a desenvolver o software que e utilizado

nesta obra (ap endice B). Existe um stio Web para esse software em: http://fisica.fe.up.pt/maxima/ . Para utilizar esse software, e poder reproduzir os exemplos ao longo do livro, epreciso o software Maxima (http://maxima.sourceforge.net ). Recomenda-se a vers ao maisactual, 5.9.3.

Este projecto foi iniciado no ambito de uma nova disciplina, F sica dos Sistemas Din amicos quefoi introduzida, no ano lectivo 2003/2004, no curso de Licenciatura em Engenharia Inform atica eComputac ao da Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto. A nova disciplina encontra-sena fronteira entre a fsica, a matematica e a computac ao. Por ser uma area cientca que n ao segueo tradicional m etodo axiom atico da f sica e da matematica, uma abordagem pr atica e mais util doque um tratamento puramente teorico.

As decadas de 1960 e 1970 marcaram o renascimento do estudo dos sistemas din amicos comouma nova area de investigac ao, com caracter pr oprio, que por ser inovador deu origem a agita-das pol emicas nos meios cient cos. O impulso inovador foi propiciado pelo desenvolvimentoacelerado dos meios computacionais.

Surgiu uma geracao de investigadores que usavam os seus computadores como aut enticos labo-ratorios para explorar equac oes e descobrir novos fen omenos. Os matem aticos tradicionais criti-caram a sua falta de rigor cientco, por n ao existir uma teoria s olida que explicasse os resultadosobtidos. Grande parte desses resultados encontram-se no domnio da fsica: din amica nao linear,materia condensada, electromagnetismo. Mas, para muitos f sicos, essa nova disciplina e vistacomo uma simples implementac ao computacional de conhecimentos antigos e j a bem estabeleci-dos, sem nenhuma inovacao do ponto de vista fsico. E comum o coment ario: isto e tudo muito

interessante, mas onde entra a f sica?.Assim, os pioneiros da nova area dos sistemas din amicos foram confrontados com rejeic oes depublicac ao em revistas de renome, e avaliacoes negativas. Mas, por outro lado, a sua actividadedespertou um interesse que foi aumentando exponencialmente e foi uma lufada de ar fresco paraa comunidade cient ca, ja que os seus m etodos adaptam-se facilmente a realidade actual do tra-balho cientco.

O novo paradigma inltrou-se tamb em no ensino, e as tradicionais disciplinas de fsica e ma-tematica tem sido contaminadas com essa nova metodologia experimental/ computacional, emcontraste com o tradicional metodo axiom atico. Tal como nos crculos cientcos, no sector edu-cativo a mudanca tem sido tamb em pol emica e, ao mesmo tempo, tem despertado grande interesse
http://fisica.fe.up.pt/pub/maxima/sistdinam.pdfhttp://fisica.fe.up.pt/pub/maxima/sistdinam.pdfhttp://fisica.fe.up.pt/maxima/http://fisica.fe.up.pt/maxima/http://maxima.sourceforge.net/http://maxima.sourceforge.net/http://fisica.fe.up.pt/maxima/http://fisica.fe.up.pt/maxima/http://fisica.fe.up.pt/pub/maxima/sistdinam.pdfhttp://fisica.fe.up.pt/pub/maxima/sistdinam.pdf


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xiv Pref acio

por ser f acil de adaptar a realidade actual com que s ao confrontados os alunos. Temas como ocaos e os fractais despertam facilmente o interesse dos alunos.

Neste livro pretendemos explorar alguns temas da din amica de sistemas, numa forma activa, apoi-ados sempre nas ferramentas computacionais e sem entrar em muitos pormenores abstractos. Ouso de um sistema CAS n ao elimina a necessidade de raciocnio matem atico por parte dos alunosnem torna o ensino puramente tecnico. Uma das complicac oes inerentes aos programas de algebrano computador e o facto de nao existirem respostas unicas. Diferentes m etodos podem produzirrespostas a um mesmo problema que aparentemente s ao diferentes, mas que representam a mesmafunc ao. Ou as respostas podem ser func oes de facto diferentes, que so coincidem para uns deter-minados valores dos par ametros do problema. Em alguns casos o sistema n ao pode dar nenhumaresposta ou a resposta dada pode estar errada.

E preciso ganhar alguma experi encia para poder utilizar as ferramentas CAS de forma a obter asrespostas na forma mais simples e poder conar na sua veracidade. No processo de obter essa

experi encia, o utilizador acaba por adquirir algum conhecimento sobre os m etodos matem aticosusados pelo sistema.

Hoje em dia a grande maioria dos prossionais de engenharia e ci encias exactas dependemos dasmaquinas de calcular para obter a raiz quadrada de um n umero, por exemplo, 3456. N ao me pareceque essa depend encia seja grave, nem que todos os prossionais tenham que aprender a calcular3456 com papel e caneta antes de passar a usar a calculadora, enquanto existam ainda livros queexpliquem os m etodos utilizados pelas calculadoras para calcular a raiz quadrada.

Por outro lado, quem possui uma calculadora que permite obter razes quadradas pode avancarmais rapidamente para outros temas como o c alculo de equac oes quadr aticas e a trav es desseestudo pode at e ganhar um bom conhecimento da func ao x, embora n ao saiba como calcularrazes sem calculadora. Os seus problemas matem aticos deslocam-se da area do calculo de razespara o problema da obtencao de soluc oes para uma equac ao quadr atica. No caso das equac oesdiferenciais e equac oes de diferencas, o uso de ferramentas CAS permite avancar mais facilmentepara outros temas como o caos e as fractais.

Agradeco aos meus colegas Helena Braga e Francisco Salzedas, com quem tenho leccionado a dis-ciplina de F sica dos Sistemas Din amicos, e aos alunos, os seus coment arios positivos encorajando-me a continuar com este projecto. Os alunos t em tido que realizar projectos para esta disciplina ealguns desses projectos foram muito interessantes e contribuiram para a minha pr opria aprendiza-gem. Agradeco especialmente a Pedro Martins por ter feito uma revis ao cuidadosa do texto.

Jaime E. VillatePorto, Marco de 2006


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Cap tulo 1

Introduc ao

1.1 Equac oes diferenciais

As equac oes diferenciais desempenham um papel muito importante na engenharia e nas ci enciasexactas. Muitos problemas conduzem a uma ou v arias equac oes diferenciais que deverao ser re-solvidas. O tipo de equac oes que tem recebido maior atenc ao sao as equac oes diferencias lineares;existem t ecnicas analticas para resolver esse tipo de equac oes.

As equac oes diferenciais n ao lineares s ao mais difceis de analisar e nao existem t ecnicas geraisde resoluc ao. O tipo de problemas que podem ser analisados com maior facilidade s ao os sistemasque conduzem a equac oes lineares. A partir da segunda parte do s eculo XX, com o r apido desen-volvimento dos computadores, tem sido possvel resolver problemas n ao-lineares usando metodosnumericos. Os sistemas n ao lineares permitem estudar muitos fen omenos interessantes que n aoaparecem em sistemas lineares.

Com o estudo dos sistemas n ao lineares tem ganho popularidade uma nova abordagem das equac oesdiferenciais, que dai mais importancia a analise geom etrica e menos import ancia as tecnicasanal ticas de resoluc ao. Muitos dos conceitos utilizados, como o espaco de fase, s ao uma ge-neralizac ao dos metodos utilizados na dinamica para estudar o movimento de um sistema.

Para introduzir essa nova metodologia, nos pr oximos captulos vamos estudar problemas es-peccos de din amica e circuitos el ectricos que conduzem a equac oes analogas as equac oes dadinamica. Antes de comecar, vamos introduzir o sistema computacional, Maxima, que vamosutilizar.

1.2 Resoluc ao de problemas de f sica usando Maxima

Maxima e um sistema de software na categoria dos sistemas designados de CAS ( Computer Alge-bra System ), nomeadamente, sistemas que para al em de numeros, permitem manipular equac oesalgebricas com vari aveis indeterminadas. Existem v arios sistemas CAS; optamos por usar Ma-xima por ser software livre; isso implica que pode ser instalado e utilizado pelos alunos sem teremque obter uma licenca e os alunos podem at e estudar o codigo fonte para compreender o seu fun-cionamento. Outra vantagem importante e a possibilidade de poder modicar e adaptar o sistema


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2 Introduc ao

as nossas necessidades, o qual facilitou a nossa tarefa de escrever m odulos espec cos para estemanual.

Maxima pode realizar muitas operac oes com func oes, incluindo derivacao, primitivac ao, aproxi-mac ao com series de Taylor, transformadas de Laplace, resoluc ao de equac oes diferenciais or-dinarias, resoluc ao de sistemas de equac oes lineares, realizacao de gracos em duas e tr es di-mensoes. Permite tamb em trabalhar com matrizes e vectores. Maxima pode ser usado tamb empara resolver problemas em forma num erica, e escrever programas, como uma linguagem deprogramac ao tradicional.

Os exemplos que se seguem deverao ser sucientes para dar uma visao inicial do funcionamentode Maxima. Ao longo dos pr oximos cap tulos vamos aprofundar mais no tema, mas quem preferircomecar com uma descric ao mais extensa do Maxima, pode consultar o ap endice A. Os exemplosque vamos resolver s ao na area da din amica de partculas e circuitos de corrente contnua, porserem os temas centrais deste manual. Ser ao precisos alguns conhecimentos m nimos desses dois

temas.

Exemplo 1.1Um gerador liga-se a uma resist encia externa R, e a diferenca de potencial produzida na resist encia e medida com um volt metro V. Para calcular o valor da forca electromotriz e da resist encia interna do gerador, r , usaram-se duas resist encias externas de 1.13 k e 17.4 k . As diferencasde potencial nos dois casos foram 6.26 V e 6.28 V. Calcule a corrente no circuito, em cada caso.Calcule os valores de e de r . Desenhe o gr aco da pot encia dissipada na resist encia externa, emfunc ao de R, para valores de R compreendidos entre 0 e 5r .

R , r V

Resoluc ao: A corrente na resist encia R calcula-se usando a lei de Ohm :

I =V R

(1.1)

Usando os valores dados para a diferenca de potencial, V , e a resistencia, R, podemos usar

Maxima para calcular as correntes:

(%i1) 6.26/1.13e3;(%o1) .005539823008849558

A etiqueta (%i1) a aparece inicialmente na consola do Maxima e indica que o sistema est a pre-parado para receber o primeiro comando; o i que dizer input . A express ao 1.13e3 e a formade escrever 1 .13 103 em Maxima. Cada comando dever a terminar com dois pontos. Quandocarregar na tecla de Enter, o sistema responde com a etiqueta (%o1) , seguida do resultado docomando em (%i1) ; o o quer dizer output .

A corrente na segunda resistencia calcula-se em forma analoga:


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1.2 Resoluc ao de problemas de f sica usando Maxima 3

(%i2) 6.28/17.4e3;(%o2) 3.609195402298851E-4

Assim, a corrente na resistencia de 1.13 k e de 5.54 mA, e na resist encia de 17.4 k e de 0.361mA.

Para calcular a forca electromotriz e a resist encia interna do gerador, usamos a equac ao da carac-ter stica tens ao-corrente para um gerador:

V = rI (1.2)substituindo os valores dados de V e R para cada resist encia externa, obteremos duas equac oes.Em Maxima vamos guardar essas duas equac oes em duas vari aveis que chamaremos eq1 e eq2

(%i3) eq1: 6.26 = fem - r*%o1;(%o3) 6.26 = fem - .005539823008849558 r(%i4) eq2: 6.28 = fem - r*%o2;(%o4) 6.28 = fem - 3.609195402298851E-4 r

de salientar que o smbolo usado para armazenar um valor numa vari avel sao os dois pontos. Osmbolo de igualdade faz parte das equac oes que est ao a ser memorizadas. Para n ao termos queescrever manualmente os valores da corrente obtidos anteriormente nos passos 1 e 2, foram usadosos smbolos %o1 e %o2, que identicam esses resultados.

As duas equac oes anteriores formam um sistema linear com duas vari aveis. Esse tipo de sistemaspode ser resolvido usando o comando solve de Maxima:

(%i5) solve([eq1,eq2]);983100 79952407

(%o5) [[r = ------, fem = --------]]254569 12728450

(%i6) %,numer;(%o6) [[r = 3.861821352953423, fem = 6.281393806787158]]

onde foram omitidos alguns avisos de advert encia que aparecem em Maxima. O segundo comando%,numer foi utilizado para aproximar para um n umero decimal o resultado calculado em formaexacta na alnea anterior. Conclumos que a forca electromotriz do gerador e aproximadamente6.2814 V, e a sua resist encia interna e 3.8618 .

A potencia dissipada na resist encia R eP = RI 2

a corrente I que circula pela resist encia externa calcula-se em func ao da forca electromotriz e dasduas resist encias r e R

I =

R+ r portanto, a pot encia dissipada na resist encia externa e

P = R

R+ r

2

para desenhar o gr aco pedido, em Maxima, usamos o comando seguinte


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4 Introduc ao

(%i7) plot2d(R*(6.2814/(R+3.8618))2, [R, 0, 5*3.8618]);

e o resultado e apresentado na gura 1.1. Deslocando o cursor na janela do gr aco produzidopor Maxima, e possvel ler as coordenadas do ponto onde se encontra o cursor. Podemos conferirque a potencia dissipada na resistencia externa e maxima quando a resistencia externa for igual aresistencia interna.

Figura 1.1: Potencia dissipada na resist encia externa, em func ao da resist encia externa.

Ha que ter cuidado de n ao cometer dois erros frequentes em Maxima:

Uma express ao comoa = 3 ;

nao armazena nenhum valor na vari avel a. A seguir a essa express ao, a vari avel a e aindaconsiderada como uma variavel indeterminada. Para dar o valor de 3 ` a variavel a , usa-se

a : 3 ;

Ha que ter atenc ao a diferenca entre equac oes e express oes em Maxima. Uma equac ao e,por exemplo

x2 - 3*x = 2*x + 5

enquanto que uma expressao e algo como

2*x + 5


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1.2 Resoluc ao de problemas de f sica usando Maxima 5

Alguns comandos de Maxima s o admitem equac oes ou express oes como argumento. Porexemplo, o comando plot2d , usado no exemplo anterior, aceita unicamente express oes enao equac oes. O comando solve precisa de uma equac ao, ou uma lista de equac oes, mastambem aceita express oes, que s ao automaticamente convertidas em equac oes; por exemplo,se escrever

solve(x2 - 5*x + 5);

sera construda uma equacao, igualando a expressao dada a zero, e ser ao calculadas assoluc oes dessa equac ao.

Exemplo 1.2O vector posic ao de uma partcula, em func ao do tempo t , e dado pela equac ao:

r = 5t 2 et / 5 e x + 3et / 12 e yem unidades SI. Calcule os vectores posic ao, velocidade e acelerac ao nos instantes t = 0, t = 15s, e quando o tempo se aproximar para innito. Desenhe a traject oria da partcula durante os primeiros 60 segundos do movimento.

Resoluc ao: Comecamos por representar o vector posic ao por meio de uma lista com dois elemen-tos; o primeiro elemento ser a a componente no eixo dos x e o segundo elemento ser a a componenteno eixo dos y. A lista sera guardada numa variavel r , para poder ser utilizada mais tarde.

(%i8) r: [5-t2*exp(-t/5),3-exp(-t/12)]; 2 - t/5 - t/12(%o8) [5 - t %e , 3 - %e ]

o vector velocidade e igual a derivada do vector posic ao e o vector acelerac ao e a derivada dovector velocidade. Em Maxima usa-se o comando diff para derivar uma expressao, em func ao deuma variavel. O comando diff pode tamb em ser aplicado a uma lista; a velocidade e a acelerac aosao obtidas s ao:

(%i9) v: diff(r,t);2 - t/5 - t/12

t %e - t/5 %e(%o9) [---------- - 2 t %e , --------]5 12

(%i10) a: diff(v,t);2 - t/5 - t/5 - t/12

t %e 4 t %e - t/5 %e(%o10) [- ---------- + ----------- - 2 %e , - --------]

25 5 144

a constante %e em Maxima representa o n umero de Euler, e. Para calcular a posic ao, velocidade eacelerac ao no instante t = 0, usam-se os comandos seguintes


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6 Introduc ao

(%i11) r, t=0, numer;(%o11) [5, 2](%i12) v, t=0, numer;(%o12) [0, .08333333333333333](%i13) a, t=0, numer;(%o13) [- 2, - .006944444444444444]

O modicador numer , foi utilizado para que a resposta seja aproximada em forma num erica, emvez de car indicada como um n umero irracional. Escritos em forma vectorial, os resultadosanteriores s ao:

r (0) = 5 ex + 2 e y v(0) = 0.08333 e y a(0) =

2 ex

0.006944 e y

Para t = 15 s fazemos os c alculos em forma an aloga

(%i14) r, t=15, numer;(%o14) [- 6.202090382769388, 2.71349520313981](%i15) v, t=15, numer;(%o15) [.7468060255179592, .02387539973834917](%i16) a, t=15, numer;(%o16) [0.0497870683678639, - .001989616644862431]

Os limites quando o tempo se aproximar para innito podem ser calculados com o comando limitde Maxima; o s mbolo utilizado em Maxima para representar o innito e inf

(%i17) limit(r,t,inf);(%o17) [5, 3](%i18) limit(v,t,inf);(%o18) [0, 0](%i19) limit(a,t,inf);(%o19) [0, 0]

Assim, a part cula aproximar-se- a para o ponto 5 e x + 3 e y, onde car a em repouso.Finalmente, para desenhar o gr aco da traject oria ser a preciso usar a opc ao parametric do co-mando graph2d . As componentes x e y do vector posic ao deverao ser dadas em forma separada;o comando plot2d nao admite que sejam dadas como uma lista. O primeiro elemento da lista r(componente x) identica-se como r[1] e o segundo elemento e r[2]

(%i20) plot2d([parametric,r[1],r[2],[t,0,60],[nticks,100]]);

O domnio de tempo, desde 0 at e 60, e dado usando a notac ao [t,0,60] . A opcao nticks foiusada para aumentar o n umero de intervalos de t utilizados, pois por omiss ao o seu valor e muitopequeno (10 intervalos) e o gr aco nao seria muito exacto. O gr aco obtido e apresentado nagura 1.2.


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1.3 Refer encias 7

Figura 1.2: Traject oria da partcula durante os primeiros 60 segundos, desde o instante inicial,em (5,2).

1.3 Refer encias

Para aprender mais sobre o Maxima, consulte o ap endice A, ou o livro do Maxima ( de Souza etal., 2003 ).

1.4 Perguntas de escolha m ultipla

1. Unicamente um dos comandos do Maximaque se seguem e correcto. Qual?

A. solve(t-6=0,u-2=0,[t,u]);B. solve(t+4=0,u-4=0,t,u);C. solve([x3+4=2,y-4],x,y);D. solve(x-6=0,y-2=0,[x,y]);

E. solve([t+3,u-4],[t,u]);

2. Foi denida a segunda lei de Newton em Ma-xima, usando:

(%i6) F = ma;para calcular o valor da forca, se a massafor igual a 7 e a acelerac ao igual a 5 (uni-dades SI), qual ser a o comando que dever aser usado?

A. solve(F, m=7, a=5);

B. solve(F, [m=7, a=5]);C. solve(%o6, m=7, a=5);

D. %o6, m=7, a=5;

E. solve(F: m=7, a=5)

3. Se escrevermos os seguintes comandos emMaxima:

(%i1) x:3$(%i2) x=5$(%i3) x;

qual ser a o valor do resultado (%o3)?

A. 5B. xC. 3

D. true

E. 0


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8 Introduc ao

1.5 Problemas

1. No circuito representado no diagrama, usou-se um ampermetro para medir a corrente nospontos D e F. No ponto D, a corrente medida foi 0.944 mA, no sentido ADC, e no ponto F, 0.438mA, no sentido CFE. ( a) Guarde a equac ao da lei de Ohm, V = IR , numa vari avel ohm deMaxima. ( b) Dena o valor da corrente I igual a corrente no ponto D, e a seguir substitua o valorde cada uma das resist encias de 2.2 k e 6.8 k , na lei de Ohm, para calcular a diferenca depotencial em cada resistencia; use o mesmo procedimento para calcular a diferenca de potencialem todas as outras resist encias.

A6.8 k

B3.3 k

E

9 V

F4.7 k

C

6 V

1.0 k

2.2 k D

3 V

2. A posic ao de uma part cula que se desloca no eixo dos x e aproximada pela relac ao x = 2.5 t 3 62 t 2 + 10.3 t , onde x e medido em metros e t em segundos. ( a) Encontre as express oes paraa velocidade e a acelerac ao em func ao do tempo. ( b) Encontre o tempo, posic ao e acelerac aonos instantes em que a part cula est a em repouso ( v = 0). (c) Desenhe os gr acos da posic ao,velocidade e aceleracao, em func ao do tempo, para t entre 0 e 20 s.

3. O vector posic ao de uma part cula, em func ao do tempo t , e dado pela equac ao:

r = 5.76 et / 2.51 e x + et / 2.51 cos(3.4 t ) e yem unidades SI. ( a) Calcule os vectores posic ao, velocidade e acelerac ao nos instantes t=0, t=8s, e quando o tempo se aproximar para innito. ( b) Desenhe os gr acos das componentes x e y da posic ao, em func ao do tempo, para t entre 0 e 15 s. (c) Desenhe o gr aco da traject oria,para t entre 0 e 15 s, no plano xy.


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Cap tulo 2

Sistemas din amicos discretos

Um sistema din amico discreto, e um sistema em que o seu estado s o muda durante os instantes

{t 0, t 1, t 2, . . .}. No intervalo de tempo entre dois desses instantes, o estado permanece constante.Neste cap tulo estudaremos unicamente sistemas discretos em uma dimens ao.

O estado de um sistema discreto em uma dimens ao e determinado completamente por uma vari avel, y. Os valores da vari avel de estado nos instantes {t 0, t 1, t 2, . . .}sera uma sequ encia { y0, y1, y2,. . .}(esta sequ encia costuma-se designar de orbita do sistema). O intervalo de tempo entre doisinstantes sucessivos t n e t n+ 1 nao tem que ser constante.

A equac ao de evoluc ao permite calcular o estado yn+ 1, num instante n + 1, a partir do estado yn ,no instante anterior n:

yn+ 1 = F ( yn) (2.1)

onde F ( y) e alguma func ao conhecida. A equac ao anterior e uma equac ao de diferencas deprimeira ordem. Dado um estado inicial y0, aplicac oes sucessivas de funcao F permitem obterfacilmente a sequ encia de estados yn . Em alguns casos pode ser poss vel obter uma express aogeral para yn em func ao de n.

Exemplo 2.1Pede-se um empr estimo de 500 ao banco, a uma taxa de juros de 5% anual, com prazo de 20 meses. A prestac ao mensal e de 26.11. Qual ser a o montante em d vida ap os 10 meses?

Resoluc ao : No mes numero n, o montante em d vida, yn , sera igual a o montante em d vida no

mes anterior, yn1 mais os juros devidos nesse perodo, menos a prestac ao p paga nesse m es: yn = yn1 + j yn1 p (2.2)

onde j e a taxa de juro mensal (0.05/12). Em Maxima, a frequ encia pode ser obtida aplicando emforma repetida a relacao de recorr encia:

(%i1) j: 0.05/12$

(%i2) y: 500$


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10 Sistemas din amicos discretos

(%i3) y: y + j*y - 26.11;

(%o3) 475.9733333333333(%i4) y: y + j*y - 26.11;

(%o4) 451.8465555555555(%i5) y: y + j*y - 26.11;

(%o5) 427.619249537037

sera preciso repetir o comando (%i3) dez vezes. Outro m etodo facil consiste em denir umafunc ao de argumento inteiro, a partir da relac ao de recorr encia, e us a-la directamente para calcular y10:

(%i6) y[0]: 500$

(%i7) y[n] := y[n-1] + j*y[n-1] - 26.11;

(%o7) y := y + j y - 26.11n n - 1 n - 1

(%i8) y[10];

(%o8) 255.1779109580579

E preciso ter algum cuidado com o uso de func oes de argumento inteiro em Maxima. No exemploanterior, quando calculamos y[10] , os valores de y[9] , y[8] ,. . . , y[1] , foram tamb em calculadose armazenados na memoria. Se mudarmos a relac ao de recorr encia, esses valores que j a foramcalculados n ao serao actualizados. Assim, antes de modicar a relac ao de recorr encia, ou o valorinicial y[0] , e necessario limpara a sequ encia, usando o comando kill .

Por exemplo, se o valor do emprestimo fosse duplicado para 1 000, e a prestac ao fosse tamb emduplicada, ser a que o montante em d vida ap os o decimo m es tambem passar a para o dobro?vejamos:

(%i9) kill(y)$

(%i10) y[0]: 1000$

(%i11) y[n] := y[n-1] + j*y[n-1] - 52.22;

(%o11) y := y + j y - 52.22n n - 1 n - 1

(%i12) y[10];

(%o12) 510.3558219161157


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2.1 Evoluc ao dos sistemas discretos 11

o montante em d vida e tambem duplicado.

Outra pergunta que pode surgir, no exemplo anterior, e qual dever a ser o valor da prestac ao se em

vez de 20 meses o prazo do emprestimo fosse 40 meses?Para responder essa quest ao, usamos uma vari avel p para representar a prestac ao, calculamos ovalor em d vida, em func ao de p, apos quarenta meses, e igualamos essa express ao a zero, paracalcular a prestac ao necess aria para que a dvida seja paga apos as 40 prestac oes.

(%i13) kill(y)$

(%i14) y[0]: 500$

(%i15) y[n] := expand(y[n-1] + j*y[n-1] - p)$

(%i16) solve(y[40] = 0, p);

72970398(%o16) [p = --------]

5366831(%i17) %, numer;

(%o17) [p = 13.59655222979818]

O valor da prestac ao dever a ser 13.60. A func ao expand foi usada porque como p e uma vari aveldesconhecida, Maxima deixa v arios produtos indicados, tornando a express ao para M[n] compli-

cada, a menos que os produtos em M[n-1] ja tenham sido calculados. Nos passos interm ediosforam feitas algumas aproximac oes para evitar erros num ericos, usando n umeros racionais.

2.1 Evoluc ao dos sistemas discretos

A evoluc ao de um sistema discreto de primeira ordem:

yn+ 1 = F ( yn) (2.3)

E obtida aplicando em forma sucessiva a func ao F , ao estado inicial c:

{c, F (c), F (F (c)) , F (F (F (c))) , . . .} (2.4)ou, em forma mais compacta:{c, F (c), F 2(c), F 3(c), . . . yn = F n(c)} (2.5)

2.2 An alise gr aca

Uma forma gr aca de representar a evolucao do sistema consiste em desenhar um ponto para cadainstante, com abcissa igual ao ndice n e ordenada igual a xn . Em Maxima, o programa evolution ,includo no m odulo dynamicalsystems , permite desenhar esse tipo de diagrama.


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Dever ao ser dados 3 argumentos ao programa: uma express ao com uma unica vari avel, que dever aser y (a func ao F ( y) no lado direito da equacao de diferencas 2.1), o valor inicial y0 e o numero deelementos da sequ encia que dever ao ser representados.

Por exemplo, no caso F ( y) = cos y (exemplo 2.4), com valor inicial y0 = 2 e vinte iterac oes, ocomando usado e

(%i18) load("dynamicalsystems");

(%i19) evolution(cos(y), 2, 20);

Para que o comando (%i18) funcione, ser a preciso ter copiado o cheiro dynamicalsystems.macem algum direct orio onde o Maxima possa encontr a-lo (se nao for encontrado, Maxima dizer-lhe-a a lista dos direct orios onde foi procurado). Esse cheiro n ao vem inclu do com Maxima, poistrata-se de um modulo especco desenvolvido para este manual (ver ap endice B).O graco produzido em (%i19) aparece na gura 2.1.

n

y n

5 10 15

1

2

0.5

Figura 2.1: Soluc ao de yn+ 1 = cos( yn) com y0 = 2.

Outro tipo de diagrama que ser a muito util para a analisar os sistemas din amicos discretos em umadimens ao e o diagrama de degraus , 1 que consiste em representar a funcoes F ( y), G( y) = y euma serie alternada de segmentos verticais e horizontais que unem os pontos ( y0, y0), ( y0, y1), ( y1, y1), ( y1, y2), etc. Por exemplo, a gura 2.2 mostra o diagrama de degraus no caso da sequ enciarepresentada na gura 2.1

O programa staircase , includo no m odulo dynamicalsystems , permite obter o gr aco de de-graus. O programa precisa dos mesmos tr es argumentos do programa evolution ; nomeadamente,a funcao F ( y) no lado direito da equacao de diferencas 2.1, o valor inicial y0 e o numero de ele-mentos da sequ encia que dever ao ser representados.

Por exemplo, o gr aco 2.2 foi obtido com o comando

(%i20) staircase(cos(y),2,8)$

O diagrama de degraus permite-nos compreender quando uma sequ encia diverge ou converge equal o valor para onde converge. Por exemplo, consideremos o sistema yn+ 1 = y2n 0.2. Se

1Em ingles staircase diagram ou cobweb diagram .


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2.2 An alise gr aca 13

y n

y n+1

11

1

2

1

Figura 2.2: Diagrama de degraus para xn+ 1 = cos( xn) com x0 = 2.

comecarmos com um valor y0 = 1.1 obtem-se o gr aco no lado esquerdo da gura 2.3; vemosque a sequencia converge para um valor y negativo que e o ponto de intersecc ao entre as func oesF ( y) = y2 0.2 e G( y) = y, nomeadamente, y = ( 535)/ 10.As duas func oes interceptam-se num outro ponto positivo y = ( 5 + 35)/ 10. No gr aco podemosobservar que apesar de que o valor inicial estava muito perto do segundo ponto de intersecc ao,a sequencia afasta-se para o primeiro ponto, devido a que entre os dois pontos de intersecc aoa funcao y2 0.2 encontra-se por baixo de G( y) = y. Se usarmos um valor inicial a direita dosegundo ponto de interseccao, y0 = 1.5, a sequencia cresce r apidamente afastando-se para in-nito (lado direito da gura 2.3. Para que as sequ encias convergissem para o segundo ponto deintersecc ao, teria sido necess ario que entre os dois pontos F ( y) estivesse por cima de G( y) = y;isto e, que o declve de F ( y) fosse menor que 1, em vez de maior que 1, no segundo ponto deintersecc ao.

y n

y n+1

1

1

y n

y n+1

2 4

2

4

Figura 2.3: Soluc ao do sistema yn+ 1 = y2n 0.2 com valor inicial 1.1 (esquerda) e 1.5 (direita).

Exemplo 2.2Analise as soluc oes do modelo log stico, que consiste em considerar uma populac ao P com uma taxa de natalidade constante, a , e uma taxa de mortalidade directamente proporcional a populac ao,


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bPn , onde a e b s ao constantes.

Resoluc ao : A populac ao em quest ao pode ser por exemplo um grupo de alguma esp ecie animal,onde a sequ encia {P0, P1, P2, . . .}representa o n umero de esp ecimes durante v arios anos sucessi-vos.Se Pn for o numero de esp ecimes no inicio do per odo n. Durante esse per odo nascem, em m edia,aP n especimes e morrem bP 2n . No incio do perodo n + 1 a populac ao sera

Pn+ 1 = ( a + 1) Pn 1b

a + 1Pn (2.6)

Convem denir uma vari avel y por meio de yn = bPn/ (a + 1). Obtemos assim uma equacao comum unico par ametro c = a + 1

yn+ 1 = cyn(1

yn) (2.7)

A gura 2.4 mostra as orbitas obtidas com um valor inicial y0 = 0.1, nos casos em que c = 2 ec = 4. Para c = 2, a orbita converge rapidamente para o ponto xo y = 0.5.Para c = 4, o estado do sistema passa por muitos valores diferentes, entre 0 e 1, sem parecerobedecer nenhuma regra. Esse tipo de comportamento e designado de ca otico . O estado numperodo qualquer est a perfeitamente determinado pelo estado no per odo anterior, mas uma pe-quena modicacao do estado num perodo inicial conduz a estados completamente diferentes noperodo seguinte.

y n

y n+1

1

1

0.5

0.5

yn

y n+1

1

1

0.5

0.5

Figura 2.4: Orbitas do modelo logstico com valor inicial 0.1. Para c = 2 (esquerda) a sequ encia

converge, mas para c = 4 (direita) o comportamento e caotico.

2.3 Pontos xos

Um ponto xo do sistema 2.1 e um ponto c onde o estado do sistema permanece constante. Paraisso acontecer ser a necess ario e suciente que

F (c) = c (2.8)


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2.3 Pontos xos 15

Do ponto de vista gr aco, os pontos xos ser ao todos os pontos onde a curva F ( y) intersecta arecta G( y) = y. Por exemplo, no caso do modelo logstico, a gura 2.4 mostra que nos casos c = 2e c = 4 existem dois pontos xos, um deles em y = 0. Podemos usar o comando solve do Maximapara encontrar os pontos xos; no caso c = 4

(%i21) flogistic: 4*y*(1-y);

(%o21) 4 (1 - y) y(%i22) fixos: solve(flogistic - y);

3(%o22) [y = -, y = 0]

4

Os pontos xos s ao 0 e 0.75.

Consideremos um ponto xo, onde a func ao F ( y) intersecta a recta com decl ve igual a 1, tal queo valor absoluto da derivada da funcao, F ( y), for maior que 1 nesse ponto. Para um ponto queesteja a uma dist ancia y do ponto, F ( y) produz um ponto que est a mais afastado do ponto xo; ese a derivada for positiva o ponto muda de esquerda para direita do ponto xo, ou viceversa. Portanto, as orbitas perto do ponto xo afastar-se- ao do ponto.

Se a derivada for maior que 1 e positiva, a orbita afasta-se do ponto formando uma escada nodiagrama de degraus, tal como no lado direito da gura 2.3; designamos o ponto de no repulsivo .Se a derivada for negativa e menor que -1, as orbitas tamb em se afastam, mas neste caso alternandode lado para lado, formando uma teia de aranha no diagrama de degraus, dizemos que o pontoxo e um foco repulsivo .Se o valor absoluto da derivada for menor que 1, F ( y) faz com que os pontos perto do ponto xocheguem mais perto. O ponto xo ser a um no atractivo se a derivada for positiva (um exemploe o lado esquerdo na gura 2.4) ou um foco atractivo se a derivada for negativa (por exemplo oponto xo na gura 2.2). Resumindo, temos os seguintes tipos de pontos xos y f :

1. No atractivo, se 0 F ( y f ) < 12. No repulsivo, se F ( y f ) > 1

3. Foco atractivo, se 1 < F ( y f ) < 04. Foco repulsivo, se F ( y f ) < 1

Voltando ao nosso exemplo do modelo log stico (ver (%i21) ate (%o22) acima), o valor da deri-vada de F nos pontos xos e:

(%i23) dflogistic: diff(flogistic, y);

(%o23) 4 (1 - y) - 4 y(%i24) dflogistic, fixos[1];


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(%o24) - 2(%i25) dflogistic, fixos[2];

(%o25) 4

Assim, os dois pontos s ao, no caso c = 4, repulsivos. Em y = 0 ha um no repulsivo, e em y = 0.75um foco repulsivo.

2.4 Pontos peri odicos

Se a sequencia { y0, y1, y2, . . .}for uma orbita do sistema din amico yn+ 1 = F ( yn) (2.9)

um elemento qualquer na sequ encia pode ser obtido directamente a partir de y0, por meio da func aocomposta F n

yn = F n( y0) = F (F (. . . (F

n vezes( y)))) (2.10)

Uma orbita ou ciclo de per odo 2 e uma sequ encia com dois valores repetidos: { y0, y1, y0, y1, . . .}.Os pontos y0, y1 sao pontos peri odicos com perodo igual a 2. Para que isto aconteca, e sucientecom que y2 = x0, isto e, F 2( y0) = y0; como F ( y0) = y1 temos tamb em que F 2( y1) = y1. Assim, y0e y1 sao pontos xos de F 2( y). O ciclo ser a atractivo ou repulsivo (est avel ou inst avel) segundo ovalor que a derivada de F 2 tiver em cada ponto do ciclo.

Para calcular a derivada de F 2 em y0 usa-se a regra da cadeia

(F 2( y0)) = ( F (F ( y0))) = F (F ( y0))F ( y0) = F ( y0)F ( y1) (2.11)

a derivada de F 2 e igual nos dois pontos y0, y1 que fazem parte do ciclo, e e igual ao produto daderivada de F nos dois pontos.

Em forma geral, se F m( y0) = y0, existe um ciclo de perodo m, formado pelos conjunto y0, y1,. . . , ym. Todos os pontos no conjunto ser ao pontos xos de f m. Se o valor absoluto do produto deF ( yi) para os m pontos no ciclo for maior que 1, o ciclo sera repulsivo; se o produto for menorque 1, o ciclo ser a atractivo, e se o produto for igual a 1, o ciclo sera neutro.

Exemplo 2.3Encontre os ciclos de per odo igual a 2 do sistema log stico

yn+ 1 = 3.1 yn(1 yn)e diga se s ao atractivos, repulsivos ou neutros.

Resoluc ao : Comecamos por denir a func ao F ( y) e o seu quadrado F 2( y)

(%i26) flog: 3.1*y*(1-y)$


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2.5 Resoluc ao num erica de equac oes 17

(%i27) flog2: flog, y=flog;

(%o27) 9.610000000000001 (1 - y) y (1 - 3.1 (1 - y) y)

Os pontos peri odicos de per odo igual a dois s ao as soluc oes da equac ao F 2( y) y = 0(%i28) periodicos: solve(flog2 - y);

SQRT(41) - 41 SQRT(41) + 41 21(%o28) [y = - -------------, y = -------------, y = --, y = 0]

62 62 31

Os dois ultimos pontos, nomeadamente 0 e 21 / 31 sao tambem pontos xos (isto v e-se na soluc ao

de F ( y) y = 0) e cada um constitui, isoladamente, um ciclo trivial, pois realmente d ao origema sequencias constantes, que tamb em podem ser consideradas ciclos com um per odo qualquer,mas nao sao realmente ciclos.

Os outros dois pontos fazem parte de um ciclo de perodo dois, como se pode conferir facilmente:se calcularmos a orbita com valor inicial igual a um desses pontos, obt em-se uma sequ encia queoscila entre os dois valores.

Para saber se o ciclo e atractivo ou repulsivo, calculamos a derivada em cada um dos dois pontosdo ciclo

(%i29) dflog: diff(flog, y);

(%o29) 3.1 (1 - y) - 3.1 y

(%i30) dflog, periodicos[1], ratsimp, numer;

(%o30) - 0.3596875787352

(%i31) dflog, periodicos[2], ratsimp, numer;

(%o31) - 1.640312421264802

O valor absoluto do produto das duas derivadas e menor que 1 e, portanto, o ciclo e atractivo.

2.5 Resoluc ao num erica de equac oes

Uma aplicac ao importante dos sistemas dinamicos discretos e na resoluc ao de equac oes com umavariavel. O problema consiste em encontrar as ra zes de uma func ao real f , isto e, os valores de xque vericam a equacao


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f ( x) = 0 (2.12)

Por exemplo, encontrar os valores de x que resolvem a equac ao:

3 x2 xcos(5 x) = 6Esse tipo de equac ao nao pode ser resolvida em forma analtica; dever a ser resolvida por m etodosnumericos. Os metodos num ericos consistem em encontrar um sistema din amico com orbitasconvergentes que se aproximem das soluc oes da equac ao. Nas secc oes seguintes estudaremosdois desses m etodos.

2.5.1 M etodo de iterac ao

Se a equac ao 2.12 pode ser escrita na forma

x = g( x) (2.13)

As soluc oes sao os pontos xos do sistema dinamico:

xn+ 1 = g( xn) (2.14)

Para encontrar um ponto xo, escolhemos um valor inicial qualquer e calculamos a evoluc ao dosistema.

As soluc oes da equac ao serao os pontos xos do sistema dinamico:

Exemplo 2.4Encontre a soluc ao da equac ao x = cos x

Resoluc ao : Esta equac ao ja esta escrita numa forma que nos permite usar o m etodo de iterac ao.Consideramos o sistema dinamico com relac ao de recorr encia

xn+ 1 = cos( xn)

Para encontrarmos um ponto xo, escolhemos um valor inicial qualquer e calculamos a evoluc ao

do sistema

(%i32) x: 1$

(%i33) for i thru 15 do (x: float(cos(x)), print(x))$

0.540302305868140.857553215846390.654289790497780.793480358742570.70136877362276


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2.5 Resoluc ao num erica de equac oes 19

0.763959682900650.722102425026710.750417761763760.731404042422510.744237354900560.735604740436350.741425086610110.737506890513240.740147335567880.73836920412232

Exemplo 2.5Calcule a ra z de 5, por meio de adic oes, multiplicac oes e divis oes.

Resoluc ao : A raz quadrada de 5 e a solucao positiva da equac ao

x2 = 5

que pode ser escrita como:

x =5 x

resolve-se o sistema din amico associado a funcao

f ( x) =5 x

E f acil ver que as soluc oes desse sistema s ao ciclos de per odo 2:

x0,5

x0, x0,

5 x0

, . . .

Para fugir desse ciclo, podemos tentar usar o ponto m edio:

xn+ 1 =1

2 xn +

5

xn

Esse sistema converge rapidamente para um ponto xo:

(%i34) x : 1$

(%i35) for i thru 7 do (x: float((x + 5/x)/2), print(x))$3.02.3333333333333342.2380952380952382.236068895643363


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2.2360679774999782.236067977499792.23606797749979

2.5.2 M etodo de Newton

O metodo de Newton permite encontrar as ra zes da equac ao 2.12 . Comecamos por admitir que araz se encontra num ponto x0 e melhoramos a nossa aproximac ao encontrando o ponto x1 onde atangente em f ( x0) corta o eixo dos x (ver gura 2.5)

x1 = x0

f ( x0)

f ( x0)(2.15)

Podemos usar a mesma equacao para calcular uma outra aproximac ao x2 a partir de x1. Em geral

xn+ 1 = xn f ( xn)

f ( xn)(2.16)

Excepto alguns casos excepcionais, se a func ao f for cont nua e deriv avel, a sequ encia xn aproximar-se-a de uma da ra zes de f . Assim, as ra zes de f sao os pontos xos do sistema din amico denidopela equac ao 2.16 .

x

f

x0 x1

f ( x0)

Figura 2.5: Metodo de Newton para aproximac ao a uma raz.

Para ilustrar o m etodo, vamos resolver novamente o exemplo 2.5 pelo metodo de Newton.A raz quadrada de 5 e uma das soluc oes da equac ao x2 = 5. Assim, para encontrar a ra z de 5podemos procurar a raz positiva da func ao

f ( x) = x2 5A derivada dessa funcao e

f ( x) = 2 x

substituindo na relac ao de recorr encia para o m etodo de Newton obtemos

xn+ 1 = xn x2n 5

2 xn=

12

xn +5

xn


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2.6 Refer encias 21

que e exactamente a mesma sequ encia que j a tinhamos encontrado e resolvido. No entanto, nestecaso nao foi preciso usar nenhum truque, mas apenas a formula padr ao do metodo.

2.6 Refer encias

Algumas refer encias uteis, com um n vel semelhante ao utilizado aqui, s ao Chaos (Alligood etal., 1996 ), A First Course in Chaotic Dynamical Systems (Devaney , 1992 ) e Chaos and Fractals(Peitgen et al. , 1992 ).

2.7 Perguntas de escolha m ultipla

1. A variavel de estado de um sistema dinamicodiscreto, de primeira ordem, toma os valoresna seguinte sequ encia:

{3.4, 6.8, 7.2, 5.1, 6.8,...}o que e que podemos armar acerca dessesistema:

A. nao tem nenhum ciclo de per odo menorque 5.

B. tem um ponto xo.

C. e um sistema ca otico.

D. tem um ciclo de per odo 3.E. tem um ciclo de perodo 2.

2. A gura mostra o diagrama de escada do sis-tema discreto yn+ 1 = y2n 0.2, que tem doispontos xos y = 0.17 e y = 1.17.

y n

y n+1

1

1

o ponto xo y = 1.17 e:

A. nenhuma das outras respostas.

B. um foco atractivo.

C. atractivo.

D. parte de um ciclo de perodo 2.

E. repulsivo.

3. Um sistema din amico discreto, de primeiraordem, tem um unico ponto xo em 0.739.Com valor inicial 2, a evoluc ao do sistema ea sequencia:

{2, 0.915, 0.610, 0.820, 0.683, . . .}o que e que podemos armar acerca dessesistema:

A. e um sistema caotico.

B. o ponto xo e atractivo.

C. tem um ciclo de per odo 2.

D. tem um ciclo de per odo 3.

E. o ponto xo e repulsivo.

4. Uma func ao F ( x) tem as seguintes proprie-dades:

F 2(2) = 5 F (5) = 2assim, podemos armar que o sistema din a-

mico discreto xn+ 1 = F ( xn) tem um ciclocom perodo igual a:

A. 2B. 3C. 4

D. 5

E. 1

5. A gura mostra o diagrama de escada dasprimeiras 40 iterac oes de um sistema dis-creto.


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podemos concluir que o sistema tem:

A. um foco atractivo.

B. um ponto xo repulsivo.

C. um ciclo de per odo 2.

D. um ciclo de per odo 3.

E. um ciclo de per odo 40.

2.8 Problemas

1. A sequencia que encontramos neste cap tulo, para calcular ra zes quadradas,

xn+ 1 =12

xn +a

xn

ja era conhecida pela civilizacao sumeria ha 4000 anos. Usando esse metodo, calcule 3, 15e 234. Use qualquer valor inicial positivo, e represente o n umero a com ponto utuante (porexemplo, 3.0), para que os resultados obtidos em Maxima sejam tamb em em ponto utuante.Em cada caso, compare o resultado com o valor obtido com a func ao sqrt() de Maxima.

2. Admita que a populac ao actual de baleias no mundo e 1000 e que cada ano o aumento naturalda populac ao (nascimentos menos mortes naturais) e de 25%. Admitindo que o n umero debaleias abatidas pelos pescadores cada ano fosse 300, e que esse n umero n ao mudasse nos

proximos anos, como seria a evoluc ao da populac ao de baleias nos pr oximos 10 anos?

3. Calcule os 10 primeiros termos da sequ encia denida pela equac ao:

xn+ 1 = x2n 2usando os seguintes valores iniciais:

(a) x0 = 1(b) x0 = 0.5

(c) x0 = 2(d) x0 = 1.999

Em cada caso explique o comportamento da sequ encia.

4. Para cada func ao na lista que se segue, o ponto y = 0 faz parte de uma orbita peri odica dosistema yn+ 1 = F ( yn). Diga em cada caso qual e o perodo da orbita e calcule a respectivaderivada para determinar se a orbita e atractiva, repulsiva ou neutra. Desenhe o diagrama deescada da sequ encia com valor inicial 0.

(a) F ( y) = 1 y2(b) F ( y) =

2

cos y

(c) F ( y) = 12 y3

32 y2 + 1

(d) F ( y) = | y2|1(e) F ( y) =

4

arctg( y+ 1)


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2.8 Problemas 23

5. Encontre os pontos xos e os ciclos de per odo 2 do sistema din amico:

yn+ 1 = F ( yn)

e classique-os como atractivos ou repulsivos, para cada um dos casos seguintes:

(a) F ( y) = y2 y2

(b) F ( y) =2 y

10(c) F ( y) = y4 4 y2 + 2

(d) F ( y) =2

sin y

(e) F ( y) = y3 3 y(f) F ( y) = arctg ( y)

Em cada caso, comece por desenhar um diagrama de escada, usando a func ao staircase , paratentar descobrir a posicao dos pontos xos e ciclos; use a opcao domain para obter uma vis aogeral da posic ao dos pontos xos. A seguir tente encontrar os pontos em forma anal tica. Emalguns casos isso n ao e possvel e o resultado tem que ser obtido a partir dos gr acos.

6. Considere a sequ encia xn+ 1 = | xn 2|(a) Encontre todos os pontos xos. Mostre os pontos xos num gr aco com as func oes

F ( x) = | x2| e G( x) = x.(b) Diga como ser a a sequencia se x0 for um numero inteiro par ou mpar.

(c) Encontre a soluc ao para o valor inicial 8 .2.(d) Encontre todos os pontos peri odicos de per odo igual a dois. Mostre os pontos peri odicos

num graco de F 2( x) e G( x).

7. Considere a func ao

F ( y) =2 y , se y 142 y , se y 1

(a) Mostre que F ( y) e equivalente a 2 2| y1|.(b) Desenhe, no mesmo gr aco, as func oes F ( y), F 2( y), F 3( y) e G( y) = y. Que pode concluir

acerca dos pontos xos e pontos peri odicos de xn+ 1 = F ( xn)?(c) Faca uma tabela, ou desenhe um graco, de n vs xn , entre n = 0 e n = 100, com os valores

iniciais 0.5, 0.6, 0.89, 0.893, 0.1111111111. Discuta e explique os resultados obtidos.

(d) Na alnea anterior, em todos os casos a sequ encia permanece constante a partir de n = 55.

Obtenha novamente os resultados da al nea anterior usando o programa seguinte com umaprecisao numerica maior da que e utilizada na func ao evolution :

evolution60(f, x0, n) :=block([x: bfloat(x0), xlist:[0, x0], fpprec: 60],for i thru ndo (x: ev(f), xlist: append(xlist, [i, float(x)])),openplot_curves([["plotpoints 1 nolines"], xlist]))$

que pode concluir?


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Cap tulo 3

Sistemas din amicos cont nuos

Neste captulo usaremos a notac ao simplicada x, x, . . . para representar as derivadas, em ordemao tempo, de uma func ao x(t ), e y , y , . . . para representar as derivadas de uma func ap y( x) quedepende de x. Por exemplo:

x =d xdt

x =d2 xdt 2

y =d yd x

y =d2 yd x2

(3.1)

Em Maxima, essas quatro derivadas representam-se assim:

diff(x,t) diff(x,t,2) diff(y,x) diff(y,x,2)

3.1 Equac oes diferenciais de primeira ordem

As equac oes diferenciais ordin arias ou em forma curta, EDO de primeira ordem, s ao daforma F ( x, y, y ) = 0, mas geralmente por meio de simples manipulac ao algebrica conseguem-sere-escrever na forma de uma ou mais equac oes

y = f ( x, y) (3.2)

Uma soluc ao da equac ao diferencial ordin aria, em algum intervalo, e qualquer func ao y( x) queverique a equac ao anterior nesse intervalo. A solucao da equac ao diferencial pode tambem ser

dada na forma de uma func ao implcita g( x, y), que verica a equac ao, como acontece no exemploa seguir.

Exemplo 3.1Demonstre que a func ao implcita

x+ y+ e xy = 0 (3.3)

e soluc ao da equac ao diferencial de primeira ordem

dydx

= 1 + ye xy

1 + x e xy(3.4)


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26 Sistemas din amicos cont nuos

Resoluc ao : neste caso o que fazemos e derivar a func ao dada, em ordem a x, e mostrar que arelac ao obtida e equivalente a equac ao diferencial.

(%i1) eq3: x + y + exp(x*y) = 0$(%i2) depends(y,x);(%o2) [y(x)](%i3) diff(eq3,x);

x y dy dy(%o3) %e (x -- + y) + -- + 1 = 0

dx dx(%i4) solve(%,diff(y,x));

x ydy y %e + 1

(%o4) [-- = - -----------]dx x y

x %e + 1

assim, vemos que a equac ao obtida e a mesma equac ao diferencial dada.

No exemplo anterior foi necessario usar o comando depends para declarar que y e uma func aoque depende de x. Se nao tivessemos feito essa declaracao, x e y seriam consideradas variaveisindependentes, e a derivada de y em func ao de x, daria igual a zero, em vez de dar dy / dx .Em alguns casos e possvel encontrar func oes que s ao soluc oes de uma equac ao diferencial. Porexemplo, se a equac ao tiver a forma simples

y = f ( x) (3.5)

resolve-se facilmente, usando o teorema fundamental do c alculo integral

y( x) = Z f ( x) d x+ c (3.6)em que c e uma constante arbitr aria que ser a determinada usando a condicao inicial do problema.

No caso geral, as soluc oes nao podem obtida nem escritas em forma analtica e dever ao ser cal-culadas em forma num erica. Mais adiante neste cap tulo estudaremos um m etodo simples deresoluc ao numerica, o metodo de Euler, e no m do cap tulo discutiremos alguns casos particula-res que podem ser resolvidos analiticamente.

3.2 Campo de direcc oes

E poss vel descobrir muita informac ao importante sobre as soluc oes da equac ao 3.2 com umasimples an alise geom etrica da func ao f ( x, y). A funcao f ( x, y) dene, em cada ponto do plano( x, y), o declive que dever a ter uma func ao y( x) que seja soluc ao da EDO.O campo de direcc oes e um desenho do plano ( x, y), onde em cada ponto aparece um vector comdeclive igual a f ( x, y). As soluc oes da equac ao diferencial ser ao curvas tangentes a esses vectoresem todos os pontos. Por exemplo, A gura 3.1 mostra o campo de direccoes da equac ao y = y+ x.


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3.2 Campo de direcc oes 27

1

1

-2.5

-2.5

0

0

2.5

2.5

-2.5 -2.5

0 0

2.5 2.5

(x0 , y 0)

Figura 3.1: Campo de direcc oes da equac ao y = y + x, e a solucao que passa pelo ponto ( x0, y0).

Existem, em geral, muitas soluc oes de uma equac ao diferencial de primeira ordem. Dado um valorinicial y( x0) = y0, e possvel calcular a derivada y no ponto x0,1 e geralmente e possvel encontraruma curva integral que passe pelo ponto ( x

0, y

0) e com derivada igual a f ( x, y) em cada ponto. O

problema de valor inicial : y = f ( x, y) y( x0) = y0 (3.7)

consiste em encontrar a curva integral (ou curvas integrais) que passa pelo ponto ( x0, y0).Para desenhar campos de direcc oes em Maxima, usa-se o comando plotdf , que foi desenvolvidoespecicamente para este livro. O m odulo plotdf ja vem includo com Maxima, a partir davers ao 5.9.2, mas como n ao e um modulo standard, ser a preciso comecar por carreg a-lo por meiodo comando

(%i5) load("plotdf")$

Para desenhar o campo de direccoes da equac ao 3.2, escreve-se a func ao f ( x, y) como argumentopara o comando plotdf . Por exemplo, o campo de direcc oes da equac ao y = y+ x obtem-se com:

(%i6) plotdf(y + x);

Aparecer a uma janela com o campo de direcc oes. Deslocando o rato sobre o campo de direcc oes,aparecem no canto superior esquerdo as coordenadas ( x, y) do ponto onde estiver o rato. Carre-gando no bot ao esquerdo do rato, sobre algum ponto no campo, ser a desenhada a orbita que passapor esse ponto.

1De acordo com a equac ao diferencial, a derivada nesse ponto e igual a f ( x0, y0).


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Carregando no bot ao esquerdo do rato, na zona do canto esquerdo onde s ao apresentadas as co-ordenadas do ponto, aparece o menu do plotddf . A opcao Cong no menu permite mudaralgumas congurac oes. Por exemplo, a vari avel direction tera, por omiss ao, o valor both , queimplica que quando se seleccionar um ponto no campo, ser a desenhada a orbita que passa por esseponto, desde pontos menores que x0, ate pontos maiores. Mudando essa vari avel para forwardou backward, consegue-se que a orbita seja desenhada unicamente para valores de x estritamentemaiores ou menores que x0. Para que as novas opc oes sejam aplicadas, e preciso regressar ao menuprincipal e seleccionar Replot.

Algumas das vari aveis que podem ser modicadas no menu podem tamb em ser modicadas comopcoes do comando plotdf . Por exemplo, a gura 3.1 foi obtida assim:

(%i7) plotdf(y+x, [xradius,2.5], [yradius,2.5], [trajectory_at,0,0.2]);

O domnio de ( x, y) representado por plotdf e: (xcenter

xradius), (ycenter

yradius). O valor

por omiss ao de xcenter e ycenter e 0, e o valor por omiss ao de xradius e yradius e 10. Aopcao trajectory at especica as coordenadas dum ponto inicial ( x, y) por onde ser a desenhadauma orbita. Por omiss ao, a orbita ser a desenhada com o ponto inicial ao meio; para que a orbitaseja desenhada comecando no ponto inicial, usa-se a opc ao [direction, forward] , e para quea orbita termine no ponto inicial usa-se [direction, backward] .

3.3 Sistemas din amicos de primeira ordem

Para introduzir alguns conceitos b asicos que ser ao essenciais nos pr oximos captulos, vamos ana-lisar dois sistemas din amicos simples: um sistema em queda livre e um circuito RC. Nas pr oximassecc oes generalizaremos essa analise ao caso de outros sistemas, que podem aparecer em camposmuito diversos, diferentes da din amica e da teoria de circuitos.

3.3.1 Queda livre

Consideremos primeiro o caso de um objecto que cai livremente dentro de um tubo com v acuo.Nessas condic oes, a unica forca externa que actua sobre o sistema e o seu peso, mg, e a segundalei de Newton para este sistema e:

ma = mg (3.8)A massa do objecto e eliminada nos dois lados da equac ao, e a acelerac ao instant anea a e igual aderivada da velocidade, v. Assim, obtemos

v = g (3.9)a acelerac ao sera independente da massa ou forma do objecto, e igual ` a acelerac ao da gravidade, g.O sinal negativo e devido a estarmos a considerar o sentido positivo da velocidade (e da acelerac ao)de baixo para cima.

O campo de direcc oes para a equac ao diferencial 3.9 estara formado por vectores paralelos, todoscom declive igual a g (gura 3.2).2

2O comando plotdf actualmente falha quando a func ao f e constante; esse erro devera ser corrigido em vers oesfuturas.


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3.3 Sistemas din amicos de primeira ordem 29

0 630

30

1 2 3 4 5

20

10

0

10

20

v

t

Figura 3.2: Campo de direcc oes da equac ao v = g.

No graco 3.2 e facil ver que as soluc oes da equac ao sao rectas com declive igual a g. A veloci-dade diminui continuamente a uma taxa de 9.8 m/s cada segundo. A curva integral representadana gura 3.2 corresponde a um objecto que foi lancado verticalmente para cima, pois a sua velo-cidade e negativa. A velocidade decresce at e zero, no ponto mais alto da trajectoria, e continua adiminuir para valores negativos.

Se o sistema em queda livre n ao estiver dentro de um tubo de v acuo, existe outra forca externaque nao pode ser desprezada: o atrito com o ar. A forca de atrito com o ar e sempre oposta avelocidade e depende forma do objecto e do quadrado do m odulo da velocidade. A expressaomatem atica para essa forca e

F a = 12

C d A|v|v (3.10)onde A e a area da secc ao transversal do objecto, e a massa vol umica do ar, e C d e uma constante,sem unidades, que depende da forma geom etrica; para esferas tem o valor de 0.5, e para um p ara-

quedas circular e aproximadamente 0 .8. O produto |v|v garante um sentido oposto `a velocidade;se o objecto desce, v < 0, e forca de atrito ser a para cima (|v|v positivo). Se objecto sobe, v > 0,e a forca de atrito ser a para baixo (|v|v negativo).A segunda lei de Newton para o objecto em queda livre e

mv = mg 12

C d A|v|v (3.11)

Para poder desenhar o campo de direcc oes, sera preciso substituir os valores numericos dos par a-metros. Alguns valores realistas para um p ara-quedista s ao: C d = 0.8, m = 70 kg e A = 7 m2. Aacelerac ao da gravidade e aproximadamente g = 9.8 m/s2. A massa volumica do ar varia com a


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temperatura, a humidade relativa e a altura sobre o n vel do mar. A temperatura ambiente e algunsmetros por cima do nvel do mar, a massa vol umica do ar e aproximadamente 1 .2 kg/m3. Assim,em unidades SI, a equac ao 3.11 e igual a

v = 9.80.048 |v|v (3.12)para usar o comando plotdf , ha que ter em conta que o comando admite sempre que a vari avelindependente e x e a variavel dependente y. No caso da equac ao anterior, a vari avel dependente,v, devera ser identicada como y no argumento de plotdf , e a variavel t dever a ser identicadacomo x nos argumentos de plotdf . O campo de direcc oes, apresentado na gura 3.3, foi obtidocom

(%i8) plotdf(-9.8 - 0.048*abs(y)*y, [xradius,4], [xcenter,4],

[yradius,30]);

1 5

10

2.5

2.5

5

5

7.5

7.5

-25 -25

0 0

25 25

Figura 3.3: Campo de direcc oes para a velocidade de um p ara-quedista.

A gura 3.3 mostra que a velocidade j a nao diminui indenidamente, mas aproxima-se de umlimite, designado de velocidade terminal . O sinal negativo da velocidade terminal indica queessa velocidade e atingida quando o objecto desce.

A unica parte das curvas integrais (gura 3.3) que interessam neste caso sao as partes em que avelocidade e negativa, pois o p ara-quedas est a sempre a descer. De facto, a soluc ao sera maisparecida a curva integral de baixo, que comeca num valor da velocidade por baixo da velocidadeterminal, j a que a equac ao estudada e valida apenas ap os o para-quedas estar aberto. Antes daabertura do p ara-quedas, o p ara-quedista desce com uma velocidade maior do que a velocidadeterminal (por baixo na gura 3.3).


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3.3 Sistemas din amicos de primeira ordem 31

3.3.2 Circuito RC

Um circuito RC e constitudo por um condensador, em s erie com uma resist encia R e uma fontede tens ao com forca electromotriz constante, .

R

C

Figura 3.4: Circuito RC.

A soma algebrica das diferencas de potencial nos tr es elementos do circuito, devera ser nula. Adiferenca de potencial na fonte e , a diferenca de potencial na resist encia e RI e a diferenca depotencial no condensador e Q/ C

RI +QC

= (3.13)

Toda a carga que passa pela resist encia ou sai de uma das armaduras do condensador, ou e armaze-nada nessa armadura. Isso implica que a corrente atrav es da resistencia e igual a derivada da carga

no condensador. A equac ao reduz-se a uma equac ao diferencial para a carga no condensador emfunc ao do tempo

Q =

R Q

RC

Para desenhar o campo de direcc oes, vamos usar alguns valores realistas dos elementos do circuito:Se R = 4 k , C = 250 nF e = 5 V.Convem usar um sistema de unidades apropriado, para evitar os erros num erico associados comnumeros muito grandes ou muito pequenos. Usaremos unidades de micro-coulombs, C, paraa carga, e o tempo em ms. Com esse sistema de unidades, e com os par ametros do circuito, aequac ao 3.3.2 toma a forma

Q = 1.25 Q (3.14)O campo de direcc oes, gura 3.5, obteve-se com o comando

(%i9) plotdf(1.25-y, [xradius,5], [xcenter,5]);

A carga aproxima-se do valor limite 1.25 C, que corresponde a C e e o valor ideal se a resist enciafosse nula.


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1 5

2

2.5

2.5

5

5

7.5

7.5

-5 -5

0 0

5 5

Figura 3.5: Campo de direcc oes para o circuito RC .

3.4 Sistemas aut onomos

As duas equac oes diferenciais, 3.9 e 3.11 , sao duas formas particulares da denic ao geral das

equac oes diferencias de primeira ordem (equac ao 3.2). No caso da queda livre no v acuo a equac aoobtida tem a formav = constante (3.15)

e no caso da queda livre no arv = f (v) (3.16)

Nos dois casos a func ao f nao depende da vari avel independente t . Do ponto de vista f sico,a evoluc ao da vari avel independente nao depender a do valor inicial da vari avel independente;isto e, a partir de uma velocidade inicial o movimento do sistema ser a exactamente o mesmo,independentemente do instante em que o sistema obteve essa velocidade inicial. Se repetirmosuma experi encia de queda livre uns dias mais tarde, o resultado da experi encia ser a o mesmo.

Do ponto de vista geom etrico, as curvas integrais formam famlias de curvas id enticas, deslocadasna direcc ao do ei

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Introducao Aos Sistemas Dinamicos